函数图像初步

图像作为函数的几何表示

{/* label: sec:reading-graphs */}

图像是函数的一种表示方式. 从图像上读信息：定义域和值域、交点、端点、分支、对称痕迹和整体轮廓，再把这些线索组织成可靠的草图.

函数图像上的每一点都形如 $(x,f(x))$ . 横坐标表示输入，纵坐标表示输出. 图像上的点、端点、空点、分支和交点，都在说明输入与输出的对应关系.

图像把分散在解析式里的信息放到同一张平面图上：定义域、交点、对称痕迹、局部位置和整体轮廓可以一起观察. 所以学习函数时，既要会由式子画草图，也要会由图像直接读信息.

图像与坐标轴、关键直线及基本交点

读图与作图时，坐标轴和几条关键直线常先给出第一批锚点. 图像与这些参照线一旦发生关系，相应的代数条件也会跟着露出来.

与 $x$ 轴的关系. 图像与 $x$ 轴的交点满足 $y=0$ . 因此它们对应方程 $f(x)=0$ 的解. 在图像研究里，这类交点最先告诉我们哪几个横坐标会让函数值变成 $0$ .

与 $y$ 轴的关系. 图像与 $y$ 轴的交点满足 $x=0$ . 若 $0$ 在定义域内，交点纵坐标就是 $f(0)$ . 这个点常用来确定图像在坐标原点附近的位置.

与直线 $y=x$ 的关系. 直线 $y=x$ 在函数学习里很重要. 图像与它的交点满足 $f(x)=x$ . 这些点的横坐标与纵坐标相同，叫作不动点. 当函数图像落在 $y=x$ 上方时，对应 $f(x)\>x$ ; 落在下方时，对应 $f(x)\<x$ .

与直线 $x=a$ 、 $y=c$ 的关系. 竖直线 $x=a$ 用来观察某个固定输入对应的函数值，水平线 $y=c$ 用来观察函数值等于某个固定高度时的点. 读图时常先看图像与这些直线是否相交，再决定该输入或该高度是否取到.

先找参照线

作图时，常先把 $x$ 轴、 $y$ 轴、直线 $y=x$ 和题目中特别显眼的竖直线、水平线标出来. 参照线先立住，图像信息就容易归位.

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由图像读定义域和值域

图像在横向出现在哪些位置，就告诉我们哪些输入允许；图像在纵向覆盖哪些高度，就告诉我们哪些函数值能取到. 如果图像分成几段，定义域和值域都要按各段分别记录，再用并集写出来.

定义域的图像理解. 函数的定义域，就是图像在 $x$ 轴方向上的投影: 图像出现在哪些横坐标上，那些横坐标就属于定义域.

例

若某图像只出现在 $-2\le x\<3$ 的范围内，并且在 $x=3$ 处画成空点，那么定义域就是 $[-2,3)$ .

若图像中间断开，也要把断开的部分写出来. 例如图像只出现在 $x\<-1$ 或 $x\>2$ 两段上，定义域就应写成 $(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$ .

值域的图像理解. 类似地，值域就是图像在 $y$ 轴方向上的投影: 图像能达到哪些纵坐标，那些纵坐标就属于值域.

例

若图像最低达到 $y=-1$ , 而上方只贴近 $y=4$ 这一高度，那么值域就是 $[-1,4)$ .

同样地，若不同分支覆盖的高度分成几段，值域也要写成并集.

读值域时要分清“取到”和“贴近”. 实心点表示该点属于图像，空心点表示该位置只作为边界标记出现. 所以图像向某个高度靠近，与图像真正取到这个高度，在值域里需要分开记录.

横向看定义域，纵向看值域

这是读图时最基本的顺序. 先把横向与纵向范围看清楚，后面的交点、分支和特殊点才有落点.

由解析式抓作图线索

\BookSectionSubtitle{定义域、对称、零点、特殊点}

给定解析式时，先抓结构线索，再落到具体取点. 线索抓住了，草图就容易立起来.

先看定义域. 定义域先决定图像可能出现在哪些横坐标上. 分母为零、偶次根式、对数真数等条件，都会先切出图像的横向范围.

再看式子里显眼的几何痕迹. 有些线索会直接从解析式里露出来:

分式常带来空点、分支或边界附近的特殊现象;
绝对值常带来折点与对称痕迹;
平方、立方和若干移项改写，常把顶点、中心或对称轴写得更清楚.

接着找零点与特殊点. 零点给出与 $x$ 轴的交点, $f(0)$ 给出与 $y$ 轴的交点，代入若干简单的输入还能得到额外锚点. 这些点未必要很多，但需要放在关键位置上.

必要时先改写. 有些式子换一种写法，图像线索会更明显. 例如配方、因式分解和约分，都可能把图像的主要骨架写出来.

例

作函数 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 的草图.

解

先看定义域: $x\ne 1$ .

再把分子因式分解:
<MathBlock raw={"\\frac{x^2-1}{x-1}=\\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1      (x\\ne 1)."} />
所以图像落在直线 $y=x+1$ 上. 但原式在 $x=1$ 处没有定义，点 $(1,2)$ 只能画成空点.

例

作函数 $y=x^2-2x+2$ 的草图.

解

先把式子改写为 $y=(x-1)^2+1.$ 这样可以直接看出图像是开口向上的抛物线，对称轴是 $x=1$ , 顶点是 $(1,1)$ .

再看几个容易算出的点. 由 $f(0)=2$, 图像经过 $(0,2)$. 由对称性，图像也经过 $(2,2)$.

又因为 $(x-1)^2\ge 0$, 所以 $y\ge 1$. 图像与 $x$ 轴没有交点. 这些信息已经足够把草图画出来.

由式到图的一条顺序

定义域定横向范围，零点和特殊点定锚点，改写后的结构定骨架. 这是最常用的作图入口.

交点与图像

\BookSectionSubtitle{与坐标轴的交点、与直线的交点、两函数图像的交点}

交点是图像研究的重要锚点. 它能定位置，判上下，看分支，也能帮助观察参数变化.

交点对应的方程.

与 $x$ 轴交点对应 $f(x)=0$ ;
与 $y$ 轴交点对应 $x=0$ ;
与直线 $y=x$ 交点对应 $f(x)=x$ ;
两个函数 $y=f(x), y=g(x)$ 的交点对应 $f(x)=g(x)$ .

交点在图像研究中的作用.

定锚点: 先把图像钉在若干关键位置上;
判位置: 交点把坐标轴或另一条曲线分成若干段，每一段里常可判断图像在上方还是下方;
看分支: 某些图像虽然整体分成几支，交点仍能说明各支怎样与坐标轴或辅助线发生关系;
看参数变化: 当参数变化时，交点个数与位置常会随之变化，图像族的变化就能看得更清楚.

例

借助与坐标轴的交点，画出函数 $y=x^2-x-2$ 的草图.

解

先找与 $x$ 轴的交点: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$ , 所以图像经过点 $(-1,0), (2,0)$ .

再找与 $y$ 轴的交点: $f(0)=-2$, 所以图像经过点 $(0,-2)$.

二次项系数为正，所以图像是开口向上的抛物线. 两个零点的中点是 $\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac12$, 因而对称轴是 $x=\dfrac12$.

三个锚点加上对称轴，已经把草图的基本位置固定下来，顺着开口方向连起来即可.

例

设 $f(x)=x+1, g(x)=x^2-1$ . 利用两图像的交点，判断在各区间内哪一条曲线在上方.

解

两图像的交点满足 $x+1=x^2-1$ , 即 $x^2-x-2=0$ . 解得 $x=-1, x=2$ .

再看差 $f(x)-g(x)=x+1-(x^2-1)=-(x-2)(x+1)$.

当 $-1\<x\<2$ 时, $f(x)-g(x)\>0$ , 直线 $y=x+1$ 在抛物线 $y=x^2-1$ 的上方;
当 $x\<-1$ 或 $x\>2$ 时, $f(x)-g(x)\<0$ , 直线落在抛物线下方.

交点把数轴分成三个区间，每一段上的上下关系都由差的符号确定.

例

求函数 $y=x^2$ 与直线 $y=x$ 的交点，并说明图像在这些交点附近与直线的相对位置.

解

交点满足 $x^2=x$ , 即 $x(x-1)=0$ . 所以图像与直线 $y=x$ 相交于 $(0,0), (1,1)$ .

这两个点就是函数 $f(x)=x^2$ 的不动点.

再看 $f(x)-x=x^2-x=x(x-1)$. 当 $0\<x\<1$ 时, $f(x)-x\<0$, 抛物线在直线 $y=x$ 的下方；当 $x\<0    \text{或}    x\>1$ 时, $f(x)-x\>0$, 抛物线在直线 $y=x$ 的上方.

与直线 $y=x$ 的交点给出不动点，也把 $f(x)$ 与 $x$ 的大小关系分成了几个清楚的区间.

含参数函数的图像综合（一）

前面已经介绍了图像、交点与基本作图线索. 这一节开始系统讨论参数. 参数固定时得到一条具体图像；参数变化时得到一族图像. 这一节先看一族图像本身的公共骨架，下一节再看它与另一条图像相交时，交点个数怎样变化.

研究顺序. 研究含参数函数的图像时，先要抓住两条线索：一是先把参数暂时看成常数，看清图像的基本形状；二是抓住定义域、截距、零点、对称、渐近线这些最直观的几何线索，最后再观察参数变化时，图像的哪一部分发生了移动，哪一部分保持不变.按这个顺序，能从整体上把握含参数函数图像的变化规律.

第一组：“一个”. 这一组只研究“一个含参数函数所形成的一族图像”. 重点是先把整族图像的共同骨架看出来，再讨论参数取不同值时的差异.

例 1.1

观察下列函数所形成的图像族: $f_1(x)=a$ , $f_2(x)=ax$ , $f_3(x)=x+a$ , $f_4(x)=ax+1$ , $f_5(x)=ax+a$ .

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解

这一组都是直线或水平线. 参数 $a$ 改变的量主要有三种：高度、斜率、截距.

对于 $f_1(x)=a$, 图像是水平直线 $y=a$. 参数 $a$ 只影响高度，所以整族图像互相平行，只是上下移动.

对于 $f_2(x)=ax$, 图像是一族过原点的直线. 参数 $a$ 改变的是斜率:

$a\>0$ 时直线向右上方倾斜;
$a\<0$ 时直线向右下方倾斜;
$a=0$ 时图像退化为 $x$ 轴.

对于 $f_3(x)=x+a$ , 图像是一族斜率都等于 $1$ 的平行直线. 参数 $a$ 改变的是纵截距 $(0,a)$ 和横截距 $(-a,0)$ . $a$ 变化时，这族直线保持方向不变，只整体上下平移.

对于 $f_4(x)=ax+1$ , 图像是一族都经过点 $(0,1)$ 的直线. 参数 $a$ 改变斜率，公共点 $(0,1)$ 保持不变.

对于 $f_5(x)=ax+a=a(x+1)$ , 图像是一族都经过点 $(-1,0)$ 的直线. 这里参数同时影响斜率和纵截距，但公共零点 $x=-1$ 保持不变. 当 $a=0$ 时，图像退化为 $x$ 轴.

这组图像里最先要看的，往往是斜率、截距和是否经过某个公共点.

一次型图像先抓什么

看到一次型含参数函数时，先问三件事：斜率是否变化，截距是否变化，是否存在全族共过的定点. 这三件事理清以后，一族直线的图像关系通常就已经清楚了.

例 1.2

观察下列二次型函数所形成的图像族: $f_1(x)=ax^2+1$ , $f_2(x)=(x-a)(x-1)$ , $f_3(x)=a(x-a)(x-2a)$ , $f_4(x)=x^2+ax+1$ .

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解

这一组都对应二次型图像，但参数进入的位置不同，观察重点也不同.

对于 $f_1(x)=ax^2+1$, 当 $a=0$ 时，图像是水平直线 $y=1$. 当 $a\ne 0$ 时，图像是关于 $y$ 轴对称的抛物线，顶点固定在 $(0,1)$. 参数 $a$ 影响三件事:

开口方向: $a\>0$ 时向上, $a\<0$ 时向下;
开口大小: $|a|$ 越大，图像越“瘦”;
与 $x$ 轴的交点个数: $a\<0$ 时有两个交点, $a\ge 0$ 时没有交点.

对于 $f_2(x)=(x-a)(x-1)$ , 图像始终是一条开口向上的抛物线. 这里参数最直接地影响两个零点中的一个: $x=1$ 保持不动, $x=a$ 随着参数移动. 因而对称轴也随之变为 $x=\dfrac{a+1}{2}$ , 与 $y$ 轴的交点是 $(0,a)$ . 当 $a=1$ 时，图像变成 $y=(x-1)^2$ , 与 $x$ 轴只有一个公共点.

对于 $f_3(x)=a(x-a)(x-2a)$ , 当 $a=0$ 时，图像就是 $x$ 轴. 当 $a\ne 0$ 时，图像是一条抛物线，零点为 $x=a,\ x=2a$ . 所以两个零点会随着参数一起移动. 它的对称轴是 $x=\dfrac{3a}{2}$ , 与 $y$ 轴的交点是 $(0,2a^3)$ . 这里参数既出现在外面，又出现在里面，因而它同时影响开口方向、零点位置和顶点位置:
$a\>0$ 时开口向上;
$a\<0$ 时开口向下;
$|a|$ 变化时，图像的横向位置与纵向高度都跟着变化.

对于 $f_4(x)=x^2+ax+1$ , 图像始终是开口向上的抛物线，与 $y$ 轴的交点固定在 $(0,1)$ . 参数 $a$ 影响的是对称轴 $x=-\dfrac{a}{2}$ 和顶点高度 $1-\dfrac{a^2}{4}$ . 顶点坐标是 $\left(-\dfrac{a}{2},\,1-\dfrac{a^2}{4}\right).$ 若记顶点横坐标为 $u=-\dfrac{a}{2}$ , 那么顶点纵坐标就是 $1-u^2$ , 所以顶点沿着曲线 $y=1-x^2$ 移动. 与 $x$ 轴的交点个数由 $a^2-4$ 的符号决定:
$|a|\<2$ 时没有交点;
$|a|=2$ 时有一个公共点;
$|a|\>2$ 时有两个交点.

这一组里，参数有时控制开口，有时控制零点，有时同时带动对称轴和顶点.

二次型图像先抓什么

看到二次型含参数函数时，先抓四条线索：开口方向，对称轴或顶点，零点位置，与坐标轴的交点. 这四条线索理清以后，一族抛物线的变化就容易看清.

例 1.3

观察下列含 $\dfrac1x$ 型项的图像族: $f_1(x)=ax+\dfrac1x$ , $f_2(x)=x+\dfrac{a}{x}$ .

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解

这一组的重点从顶点和对称轴转到了定义域分裂、渐近线和分支位置. 两个函数都有 $x\ne 0$ , 所以图像都分成左右两支.

先看 $f_1(x)=ax+\dfrac1x$. 它的定义域是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. 当 $x$ 接近 $0$ 时, $\dfrac1x$ 的绝对值会迅速变大，所以 $x=0$ 是竖直渐近线. 又因为
$f_1(-x)=-f_1(x),$
图像关于原点中心对称.

再看远处的走势. 有
$f_1(x)-ax=\dfrac1x.$
当 $|x|$ 很大时, $\dfrac1x$ 接近 $0$, 所以图像远处贴近直线 $y=ax$.

最后看零点. 方程 $ax+\dfrac1x=0$ 可化为 $ax^2+1=0$. 所以

$a\<0$ 时图像与 $x$ 轴有两个交点;
$a\ge 0$ 时图像与 $x$ 轴没有交点.

再看 $f_2(x)=x+\dfrac{a}{x}$ . 它同样有定义域 $x\ne 0$ , 同样关于原点中心对称，同样以 $x=0$ 为竖直渐近线.

这里远处的参考线变成了 $f_2(x)-x=\dfrac{a}{x}.$ 当 $|x|$ 很大时, $\dfrac{a}{x}$ 接近 $0$ , 所以图像远处总是贴近直线 $y=x$ . 参数 $a$ 改变的是两支图像相对这条斜线的位置.

方程 $x+\dfrac{a}{x}=0$ 可化为 $x^2+a=0$ . 所以
$a\<0$ 时图像与 $x$ 轴有两个交点;
$a=0$ 时图像成为直线 $y=x$ 在 $x\ne 0$ 上的两段;
$a\>0$ 时图像与 $x$ 轴没有交点.

含 $\dfrac1x$ 型项的函数图像，先看定义域怎样裂成两部分，再看渐近线和对称性，最后再看分支与坐标轴怎样发生关系.

备注

含 \texorpdfstring{

1/x

}{1/x} 型图像先抓什么

含 $\dfrac1x$ 型项的含参数函数，先抓定义域分裂，再抓渐近线和对称性，最后看分支位置与零点变化. 这类题里，分支怎样移动常常比求几个特殊点更重要.

含参数函数的图像综合（二）

前一节研究的是一族图像本身. 这一节继续研究它与另一条图像相交时会发生什么：交点个数怎样变化，相对位置怎样变化.

研究顺序. 处理交点个数问题时，通常先把两条图像各自的形状稳住，再沿着参数变化的方向观察图像发生了上下移动、左右移动、翻折还是分段变化.这些变化搞定之后，再把交点问题落到方程上，验证参数在边界位置时方程解的个数是否发生突变.抓住"先定形、再跟踪、最后验证边界"的顺序，就能系统处理这类问题.

第二组：“两个”. 这一组研究一族图像与另一条图像之间的关系怎样随参数改变.

例 2.1

设 $f(x)=\left|x+\dfrac1x+3\right|$ , $g(x)=a$ . 讨论两图像的交点个数.

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解

这里 $g(x)=a$ 是一条水平直线. 因而问题的关键，是水平直线 $y=a$ 在不同高度时怎样切到图像 $y=\left|x+\dfrac1x+3\right|$ .

先看 $h(x)=x+\dfrac1x+3$. 它的定义域是 $x\ne 0$, 所以图像分成左右两支.

在 $x\>0$ 上，由 $x+\dfrac1x\ge 2$ 可知 $h(x)\ge 5$, 且 $h(1)=5$. 所以右半边图像的最低点是 $(1,5)$:

$a\<5$ 时右半边没有交点;
$a=5$ 时右半边有 $1$ 个交点;
$a\>5$ 时右半边有 $2$ 个交点.

在 $x\<0$ 上，有 $x+\dfrac1x\le -2$ , 所以 $h(x)\le 1$ , 且 $h(-1)=1$ . 再看方程 $|h(x)|=a$ 在左半边的解.

若 $h(x)=a$ , 那么 $x^2+(3-a)x+1=0.$ 当 $0\<a\<1$ 时，判别式 $(3-a)^2-4=(1-a)(5-a)\>0,$ 又因为两根之和为 $a-3\<0$ , 两根之积为 $1\>0$ , 所以有两个负根. 当 $a=1$ 时，方程化为 $(x+1)^2=0$ , 给出一个负的重根 $x=-1$ . 当 $a\>1$ 时，判别式小于 $0$ , 没有实根.

若 $h(x)=-a$ , 那么 $x^2+(3+a)x+1=0.$ 当 $a\ge 0$ 时，判别式 $(3+a)^2-4\>0$ , 两根之和为 $-(3+a)\<0$ , 两根之积为 $1\>0$ , 所以总有两个负根.

把左右两部分合起来，交点个数分类如下:
当 $a\<0$ 时，水平直线在 $x$ 轴下方，与 $f(x)\ge 0$ 的图像没有交点;
当 $a=0$ 时，左半边有 $2$ 个交点，右半边没有交点，共 $2$ 个;
当 $0\<a\<1$ 时，左半边由 $h(x)=a$ 给出 $2$ 个交点，由 $h(x)=-a$ 再给出 $2$ 个交点，右半边没有交点，共 $4$ 个;
当 $a=1$ 时，左半边由 $h(x)=1$ 给出 $1$ 个交点，由 $h(x)=-1$ 给出 $2$ 个交点，右半边没有交点，共 $3$ 个;
当 $1\<a\<5$ 时，左半边只剩 $h(x)=-a$ 给出的 $2$ 个交点，右半边没有交点，共 $2$ 个;
当 $a=5$ 时，左半边有 $2$ 个交点，右半边在 $x=1$ 处再给出 $1$ 个交点，共 $3$ 个;
当 $a\>5$ 时，左半边有 $2$ 个交点，右半边有 $2$ 个交点，共 $4$ 个.

例 2.2

设 $f(x)=|a^x-2|$ , $g(x)=a$ . 讨论两图像的交点个数.

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解

为了使 $a^x$ 对一切实数 $x$ 都有意义，这里只讨论 $a\>0$ . 函数 $g(x)=a$ 仍然是一条水平直线，所以问题仍然是直线 $y=a$ 与图像 $y=|a^x-2|$ 的交点个数.

先看 $y=|a^x-2|$ 的形状. 当 $a\ne 1$ 时，方程 $a^x=2$ 有唯一解，所以图像只有一个零点，并在这个点形成折点.

先处理特殊值 $a=1$. 这时
$f(x)=|1^x-2|=1,     g(x)=1.$
两图像重合，因而有无穷多个交点.

下面设 $a\ne 1$. 交点满足
$|a^x-2|=a,$
也就是
$a^x=2+a      \text{或}      a^x=2-a.$
对固定的 $a\>0,\ a\ne 1$, 方程 $a^x=c$ 在 $c\>0$ 时恰有一个实根. 所以交点个数只取决于右端是否为正:

$2+a\>0$ 总成立，所以总有 $1$ 个交点;
$2-a\>0$ 当且仅当 $0\<a\<2$ , 这时再多出 $1$ 个交点.

因此
当 $0\<a\<1$ 时，有 $2$ 个交点;
当 $a=1$ 时，有无穷多个交点;
当 $1\<a\<2$ 时，有 $2$ 个交点;
当 $a\ge 2$ 时，有 $1$ 个交点.

例 2.3

设 $f(x)=(ax-1)^2$ , $g(x)=x+3,\ x\in(0,1)$ . 讨论两图像在区间 $(0,1)$ 内的交点个数.

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解

交点满足 $(ax-1)^2=x+3, x\in(0,1).$ 设 $F(x)=(ax-1)^2-(x+3)=a^2x^2-(2a+1)x-2.$ 题目转化为: $F(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内有几个解.

先看解的个数上限. 当 $a=0$ 时,
$F(x)=-x-2\<0,$
区间内没有解. 当 $a\ne 0$ 时, $F$ 是开口向上的二次函数，并且
$F(0)=-2\<0.$
这说明如果 $F$ 有两个实根，那么 $0$ 一定位于两根之间，因而正根至多只有一个. 所以区间 $(0,1)$ 内的交点至多 $1$ 个.

再看这个正根是否落在 $1$ 的左边. 计算
$F(1)=(a-1)^2-4=(a+1)(a-3).$

当 $a\<-1$ 或 $a\>3$ 时, $F(1)\>0$ . 由于 $F(0)\<0$ , 在 $(0,1)$ 内恰有 $1$ 个解;
当 $-1\<a\<3$ 时, $F(1)\<0$ . 正根若存在，只能落在 $x\>1$ , 因而 $(0,1)$ 内没有解;
当 $a=-1$ 或 $a=3$ 时, $F(1)=0$ , 交点落在 $x=1$ , 但题目给的是开区间 $(0,1)$ , 这个点不计入.

所以 <MathBlock raw={"\begin{cases} \text{在 $(0,1)$ 内有 $1$ 个交点}, & a\<-1 \ \text{或}\ a\>3,\\[4pt] \text{在 $(0,1)$ 内没有交点}, & -1\le a\le 3. \end{cases}"} />

例 2.4

设 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} |x-1|, & x\ge 0,\\[4pt] x^2+a, & x\<0, \end{cases}

g(x)=-x+2."} />
讨论两图像的交点个数.

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解

参数 $a$ 只影响左边那一支 $y=x^2+a$ , 右边那一支 $y=|x-1|$ 保持不变. 所以把左右两支分开讨论最清楚.

先看右边 $x\ge 0$ 的分支.

当 $0\le x\<1$ 时, $|x-1|=1-x$ . 方程 $1-x=-x+2$ 无解;
当 $x\ge 1$ 时, $|x-1|=x-1$ . 方程 $x-1=-x+2$ 给出 $x=\dfrac32$ .

所以右边始终提供 $1$ 个固定交点 $\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$ .

再看左边 $x\<0$ 的分支. 交点满足 $x^2+a=-x+2,$ 即 $x^2+x+a-2=0.$ 配方得 $x^2+x+a-2=\left(x+\dfrac12\right)^2+a-\dfrac94.$ 于是左边交点个数由 $a-\dfrac94$ 以及根的符号决定:
当 $a\>\dfrac94$ 时，方程没有实根，左边没有交点;
当 $a=\dfrac94$ 时，方程有一个重根 $x=-\dfrac12$ , 左边有 $1$ 个交点;
当 $2\<a\<\dfrac94$ 时，方程有两个实根. 这时两根之积是 $a-2\>0$ , 两根之和是 $-1\<0$ , 所以两根都小于 $0$ , 左边有 $2$ 个交点;
当 $a=2$ 时，方程化为 $x(x+1)=0$ . 由于左边只取 $x\<0$ , 只有 $x=-1$ 保留，左边有 $1$ 个交点;
当 $a\<2$ 时，两根之积 $a-2\<0$ , 所以一正一负. 左边只有那个负根符合 $x\<0$ , 因而左边有 $1$ 个交点.

再把右边固定的 $1$ 个交点加进去，两图像的交点个数为:
当 $a\>\dfrac94$ 时，有 $1$ 个交点;
当 $a=\dfrac94$ 时，有 $2$ 个交点;
当 $2\<a\<\dfrac94$ 时，有 $3$ 个交点;
当 $a\le 2$ 时，有 $2$ 个交点.

交点个数的观察顺序

两图像相交时，先看哪一条图像在变，另一条是什么参照线，再看值域、分支、折点、区间限制或分段点. 交点个数的变化，本质上就是这些几何因素共同作用的结果.

图像研究的基本路径与常见误判

把前面的内容收成一条稳定的研究路径，读图和作图时就不容易乱.

图像研究的基本路径.

先看定义域，确定图像可能出现在哪些横坐标上;
再找与坐标轴的交点、与直线 $y=x$ 的交点以及若干明显的特殊点;
接着观察解析式里是否带出对称、平移、折点、空点、渐近线或分支等线索;
若含有参数，先把参数固定成常数，先看一条曲线怎样成形，再看它与另一条图像怎样相交;
最后把这些离散信息组织成一幅可靠草图或一段稳定的图像变化过程.

常见误判.

把空点当成图像上的点，从而把某个边界值误算进定义域或值域;
只看局部形状，就把草图直接认成某一种确定函数;
把“带参数的一族图像”当成“同一条曲线”来理解;
遇到交点个数问题，直接把方程联立后埋头分类，忽略了图像本身的形状、分支和相对位置;
忽略区间限制、分段点或参数特殊值，于是把端点交点、退化情形或无定义情形一并算了进去;
图像里先看见了上升、下降、对称或重复，就急着套用后文的正式性质或更强工具.

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图像与函数性质

图像中的上升、下降、最高点、最低点、对称和重复现象，都可以进一步写成函数性质的语言. 单调性、最值、奇偶性和周期性，正是对这些直观现象的精确表达.

图像作为函数的几何表示​

图像与坐标轴、关键直线及基本交点​

由图像读定义域和值域​

由解析式抓作图线索​

交点与图像​

含参数函数的图像综合（一）​

含参数函数的图像综合（二）​

图像研究的基本路径与常见误判​

图像作为函数的几何表示

图像与坐标轴、关键直线及基本交点

由图像读定义域和值域

由解析式抓作图线索

交点与图像

含参数函数的图像综合（一）

含参数函数的图像综合（二）

图像研究的基本路径与常见误判