函数的基本性质

单调性

{/* label: sec:ch03-s03 */}

图像上升时，函数值变大. 图像下降时，函数值变小. 用不等式把这种升降关系写出来，就得到单调性的定义.

单调性的定义

单调递增与单调递减

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ , 区间 $I\subseteq D$ .

若对任意 $x_1,x_2\in I$ , 只要 $x_1\<x_2$ , 就有 $f(x_1)\<f(x_2)$ , 则称 $f$ 在 $I$ 上严格单调递增;
若对任意 $x_1,x_2\in I$ , 只要 $x_1\<x_2$ , 就有 $f(x_1)\>f(x_2)$ , 则称 $f$ 在 $I$ 上严格单调递减.

若把上面的 $\<$ , $\>$ 换成 $\le$ , $\ge$ , 就得到非严格的单调递增、单调递减. 在初等函数讨论中，最常用的是严格单调.

几何直观. 严格递增可理解为从左往右看，图像整体向上''; 严格递减可理解为从左往右看，图像整体向下''. 图像给出直观，判定仍要回到定义中的 $x_1\<x_2$ 与 $f(x_1),f(x_2)$ 的大小关系.

| | --- | --- |

单调性一定要放在区间上说

单调性是区间上的性质. 例如 $f(x)=1/x$ 在 $(-\infty,0)$ 上递减，在 $(0,+\infty)$ 上也递减，但不能说它在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上递减，因为这个集合不是一个连通区间.

常值段与严格单调

若函数在某一段上保持常值，则它在该段上可以说是非严格单调递增，也可以说是非严格单调递减，但不能说是严格单调. 严格单调要求不同自变量必须对应不同函数值.

图像法

\BookSubsectionSubtitle{先分区间，再看升降}

若函数图像已经画出，判定单调性时通常先找转折点、端点和分段点，再逐段观察图像从左向右的升降趋势. 读图时不能把几段互不连通的部分合并成一个单调区间.

例

判断函数 $f(x)=|x-2|$ 的单调区间.

解

函数 $y=|x-2|$ 的图像是顶点在 $(2,0)$ 的``V''形图像.

当 $x$ 从左侧向 $2$ 靠近时，图像向下，因而函数在 $(-\infty,2]$ 上递减；当 $x$ 从 $2$ 向右增大时，图像向上，因而函数在 $[2,+\infty)$ 上递增.

图像法的步骤

若图像清楚可见，一般按下面的顺序处理:

先找图像的转折点、分段点和端点;
再把定义域拆成若干个连续区间;
最后逐段判断图像是上升、下降还是保持水平.

图像法给的是直观判断，需要严格说明时，仍要回到定义.

定义法

\BookSubsectionSubtitle{基本判定方法}

要证明函数在区间上单调，最直接的方法就是按定义来做:

在区间内任取 $x_1\<x_2$ ;
比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小;
常用做法是考察差 $f(x_1)-f(x_2)$ 或 $f(x_2)-f(x_1)$ 的符号.

例

判断函数 $f(x)=2x-3$ 在 $\mathbb{R}$ 上的单调性.

解

任取 $x_1\<x_2$ , 则 $f(x_1)-f(x_2)=(2x_1-3)-(2x_2-3)=2(x_1-x_2)\<0$ . 因此 $f(x_1)\<f(x_2)$ , 所以 $f(x)=2x-3$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增.

例

判断函数 $f(x)=x^2$ 在 $(-\infty,0]$ 与 $[0,+\infty)$ 上的单调性.

解

先看 $[0,+\infty)$ 上. 任取 $0\le x_1\<x_2$ , 则 $f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)\>0$ , 所以 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增.

再看 $(-\infty,0]$ 上. 任取 $x_1\<x_2\le 0$, 此时 $x_1+x_2\<0$, 所以 $f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)\<0$. 因此 $f$ 在 $(-\infty,0]$ 上严格递减.

例

证明函数 $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上严格递减，在 $[1,+\infty)$ 上严格递增.

解

任取 $x_1\<x_2$ , 则 <MathBlock raw={"\begin{aligned} g(x_1)-g(x_2) &=\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right) &=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2} &=\frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-1)}{x_1x_2}. \end{aligned}"} />

若 $0\<x_1\<x_2\le 1$ , 则 $x_1x_2\<1$ , 上式为正，故 $g(x_1)\>g(x_2)$ , 所以在 $(0,1]$ 上递减;
若 $1\le x_1\<x_2$ , 则 $x_1x_2\>1$ , 上式为负，故 $g(x_1)\<g(x_2)$ , 所以在 $[1,+\infty)$ 上递增.

单调性的作用

单调性的主要作用是: 把函数值大小比较转化为自变量大小比较, 或反过来.

若 $f$ 在区间上递增，则 $x_1\<x_2 \Rightarrow f(x_1)\<f(x_2)$ ;
若 $f$ 在区间上递减，则 $x_1\<x_2 \Rightarrow f(x_1)\>f(x_2)$ .

因此，单调性常用于解不等式、比较大小、求值域和判断最值位置.

例

解不等式 $2x-3\>5$ .

解

函数 $f(x)=2x-3$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，所以 $2x-3\>5 \iff x\>4$ .

例

求函数 $f(x)=3x-2,\ x\in[-1,2]$ 的值域.

解

因为 $f(x)=3x-2$ 在整个实数范围内都递增，所以在区间 $[-1,2]$ 上最小值取在左端点，最大值取在右端点，即 $f(-1)=-5,\ f(2)=4$ . 故值域为 $[-5,4]$ .

2021年北京卷

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$ . 则“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增”是“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$ ”的什么条件?

解

若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，那么对任意 $x\in[0,1]$ , 都有 $f(x)\le f(1)$ . 因此 $f(1)$ 确实是函数在 $[0,1]$ 上的最大值. 所以前者是后者的充分条件.

但它不是必要条件. 例如取
<MathBlock raw={"f(x)=
\\begin{cases}
	x, & 0\\le x\\le \\dfrac12,\\\\[4pt]
	\\dfrac14, & \\dfrac12\\<x\\le \\dfrac34,\\\\[4pt]
	x, & \\dfrac34\\<x\\le 1.
\\end{cases}"} />
这个函数在 $x=1$ 处取到最大值 $1$, 但它并不单调递增，因为
<MathBlock raw={"\\frac12\\<\\frac34,     f\\left(\\frac12\\right)=\\frac12\\>\\frac14=f\\left(\\frac34\\right)."} />
故原命题应选“充分而不必要条件”.

复合函数的单调性

对于复合函数，单调性也可分层讨论. 处理时先看定义域，再看内层函数与外层函数各自的增减方向.

同增异减

设 $u=g(x)$ 在区间 $I$ 上单调，且 $y=f(u)$ 在区间 $g(I)$ 上单调.

若 $f$ 与 $g$ 单调性相同，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递增;
若 $f$ 与 $g$ 单调性相反，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递减.

证明

任取 $x_1,x_2\in I$ 且 $x_1\<x_2$ .

若 $g$ 在 $I$ 上递增，则 $g(x_1)\le g(x_2)$. 此时:

若 $f$ 在 $g(I)$ 上也递增，则 $f(g(x_1))\le f(g(x_2)),$ 故 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递增;
若 $f$ 在 $g(I)$ 上递减，则 $f(g(x_1))\ge f(g(x_2)),$ 故 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递减.

若 $g$ 在 $I$ 上递减，则 $g(x_1)\ge g(x_2)$ . 同理可得:
当 $f$ 递减时，有 $f(g(x_1))\le f(g(x_2)),$ 于是复合函数递增;
当 $f$ 递增时，有 $f(g(x_1))\ge f(g(x_2)),$ 于是复合函数递减.

四种情形合并起来，就得到“同增异减”.

例

求函数 $y=\sqrt{2x+1}$ 在定义域内的单调性.

解

先看定义域. 由 $2x+1\ge 0$ 得 $x\ge -\dfrac12$ .

内层函数 $u=2x+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增.
外层函数 $y=\sqrt{u}$ 在 $u\ge 0$ 上递增.

因此，复合函数 $y=\sqrt{2x+1}$ 在它的定义域 $\left[-\dfrac12,+\infty\right)$ 上递增.

例

求函数 $y=\log_2(5-2x)$ 的单调性.

解

先看定义域. 由 $5-2x\>0$ 得 $x\<\dfrac52$ .

内层函数 $u=5-2x$ 在 $\mathbb{R}$ 上递减.
外层函数 $y=\log_2u$ 在 $u\>0$ 上递增.

因此，复合函数 $y=\log_2(5-2x)$ 在定义域 $\left(-\infty,\dfrac52\right)$ 上递减.

复合函数的检查顺序

复合函数的单调性要从里到外层层梳理：首先确定定义域，然后把内层函数在各个区间上的增减方向拆开来看，再判断外层函数在内层值域上的增减方向，最后用“同增异减”的规则给出结果.这种由内到外的顺序，可以避免在多层复合时把区间或方向判断错.

本节小结

讨论单调性时，要始终记住两件基本事实.第一，单调性必须放在具体的区间上讨论，图像法通过先分区间再观察升降趋势来直观判断，定义法则通过比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小来得出结论.第二，单调函数在区间上建立了自变量与函数值的一一对应关系，所以一旦单调性确定，比较大小、解不等式和研究最值位置都会变得直接，而复合函数的单调性则需要从内到外逐层梳理，先确定定义域，再判断内外两层的增减方向，最后用 "同增异减" 的规则给出结论.

最值

{/* label: sec:ch03-s03b */}

在给定范围内，函数能否取到最大值或最小值? 这取决于函数值在整个区间上的分布.

最大值与最小值的定义

最大值与最小值

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ , $I\subseteq D$ .

若存在 $x_0\in I$ , 使得对任意 $x\in I$ , 都有 $f(x)\le f(x_0),$ 则称 $f(x_0)$ 为函数 $f$ 在 $I$ 上的最大值, 称 $x_0$ 为取到最大值的点;
若存在 $x_1\in I$ , 使得对任意 $x\in I$ , 都有 $f(x)\ge f(x_1),$ 则称 $f(x_1)$ 为函数 $f$ 在 $I$ 上的最小值, 称 $x_1$ 为取到最小值的点.

这里讨论的是整个区间或整个集合上的最高、最低函数值. 图像上的直观说法，就是看这一范围内是否存在最高点或最低点.

例

若函数图像在闭区间 $[-2,3]$ 上经过最高点 $(1,5)$ 与最低点 $(-2,-1)$ , 则 $\max f(x)=5, \min f(x)=-1.$

取到与逼近

讨论最值时，最重要的是“取到”二字. 一个函数值可以作为上界或下界，也可以只是图像不断靠近的边界.

例

若函数在某个范围内的值域是 $[-1,4),$ 则它有最小值 $-1$ , 但没有最大值.

最值与界

函数在某个区间上有上界，只说明函数值都不超过某个数. 最大值要求这个数本身由图像上的某个点真正取到. 最小值与下界的区别也是这样.

例如，函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上有上界 $1$, 因为对所有 $x\ge 1$, 都有 $\dfrac{1}{x}\le 1$. 而 $1$ 在 $x=1$ 处取到，所以最大值确实存在且等于 $1$.
但如果考虑 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上，虽然 $1$ 仍是上界，却取不到，因此没有最大值.

利用单调性判断最值

在闭区间上已经知道单调性时，最值只需要检查两个端点.

性质

若函数在闭区间 $[a,b]$ 上递增，则 $\min f(x)=f(a), \max f(x)=f(b).$ 若函数在闭区间 $[a,b]$ 上递减，则 $\max f(x)=f(a), \min f(x)=f(b).$

证明

只证递增的情形，递减的情形类似.

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上递增. 对任意 $x\in [a,b]$, 有 $a\le x\le b$.
由递增性:
$f(a)\le f(x)\le f(b).$
这说明 $f(a)$ 是所有函数值中最小的, $f(b)$ 是所有函数值中最大的. 又因为 $a,b\in [a,b]$, 所以 $f(a)$ 和 $f(b)$ 都能取到.
因此 $\min f(x)=f(a)$, $\max f(x)=f(b)$.

先确认端点能取到

上面的结论用于闭区间 $[a,b]$ . 若区间写成 $(a,b)$ 、 $(a,b]$ 或 $[a,b)$ , 端点可能取不到，需要重新检查最大值或最小值是否存在.

例如，函数 $f(x)=3x-2$ 在 $(0,2]$ 上没有最小值，因为 $f(0)=-2$ 取不到，而 $f(x)$ 可以无限接近 $-2$ 但始终大于 $-2$. 最大值仍然存在: $f(2)=4$.

例

求函数 $f(x)=3x-2, x\in[-1,2]$ 的值域.

解

因为 $f(x)=3x-2$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，所以在区间 $[-1,2]$ 上最小值取在左端点，最大值取在右端点: $f(-1)=-5, f(2)=4.$ 故值域为 $[-5,4].$

例

求函数 $g(x)=x+\frac{1}{x}, x\>0$ 的最小值.

解

前一节已经证明, $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上递减，在 $[1,+\infty)$ 上递增.

因此, $x=1$ 是两段变化的交接点，并且
$g(1)=2.$
所以 $g(x)$ 在 $x\>0$ 上的最小值是
$2.$

最值与值域

若函数在所讨论的范围内既有最大值，又有最小值，那么值域就常可直接写成 $[\min f(x),\max f(x)].$ 若只取到一端，另一端只是靠近，值域中的端点形式就要随之改变.

求值域时先问最值是否存在

看到"求值域"时，可以先检查最大值和最小值是否真的取到. 这一点与前一章读图时区分实心点、空心点是同一件事.

若两个最值都能取到，值域就是 $[\min f(x),\max f(x)]$; 若一端取不到，就用半开区间表示. 例如 $f(x)=x^2$ 在 $(-1,1]$ 上的值域是 $[0,1]$, 因为最小值 $0$ 在 $x=0$ 处取到，最大值 $1$ 在 $x=1$ 处取到.

奇偶性

{/* label: sec:ch03-s04 */}

图像左右两侧怎样对应? 如果 $f(-x)=f(x)$ , 两侧关于 $y$ 轴对称; snip 如果 $f(-x)=-f(x)$ , 两侧关于原点旋转对称. 对称关系写成了代数上的等式，就是奇偶性.

奇函数与偶函数的定义

奇偶函数

设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，即只要 $x\in D$ , 就有 $-x\in D$ .

若对任意 $x\in D$ , 恒有 $f(-x)=f(x)$ , 则称 $f$ 为偶函数;
若对任意 $x\in D$ , 恒有 $f(-x)=-f(x)$ , 则称 $f$ 为奇函数.

先看定义域，再谈奇偶. 定义域关于原点对称，是讨论奇偶性的前提. 若 $f(-x)$ 本身就无意义，那么 $f(-x)=\pm f(x)$ 这类判断就谈不上.

几何意义.

偶函数的图像关于 $y$ 轴对称;
奇函数的图像关于原点中心对称.

代数关系与图像对称一一对应. 把成对的点标出来，就能直接看出 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 之间的关系.

| | --- | --- |

例

$f(x)=x^2$ 是偶函数，因为 $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$ .

例

$g(x)=x^3$ 是奇函数，因为 $g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)$ .

\NeedExampleDiagramSpace

例

$h(x)=x+1$ 既不是奇函数，也不是偶函数.

\begin{BookDiagram}

| | --- | --- | --- |

\end{BookDiagram}

基本结论

性质

若奇函数 $f(x)$ 的定义域包含 $0$ , 则 $f(0)=0$ .

证明

由奇函数定义, $f(-0)=-f(0)$ . 而 $-0=0$ , 所以 $f(0)=-f(0)$ , 从而 $2f(0)=0$ . 故 $f(0)=0$ .

这个结论很常用. 已知函数是奇函数且 $0$ 在定义域内时，常可直接得到 $f(0)=0$ .

判断奇偶性的步骤

判断奇偶性时按三步写：先查定义域是否关于原点对称，再算 $f(-x)$ , 最后和 $f(x)$ 、 $-f(x)$ 比较.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

定义域为 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , 它关于原点对称.

再计算 $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$.
所以 $f(x)=1/x$ 是奇函数.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $f(x)=x\sin x$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

定义域是 $\mathbb{R}$ , 关于原点对称.

并且 $f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)$.
所以 $f(x)=x\sin x$ 是偶函数.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $f(x)=\dfrac{x^2+x}{x+1}$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

它的定义域是 $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ , 这个集合不关于原点对称: $1$ 在定义域里，与它关于原点对应的 $-1$ 却不在定义域里. 所以它既不是奇函数，也不是偶函数.

利用奇偶性求值和补全解析式

奇偶性的直接作用是: 把一边的信息搬到另一边.

\NeedExampleDiagramSpace

例

已知函数 $f(x)$ 是奇函数，且当 $x\ge 0$ 时 $f(x)=e^x-1$ . 求 $x\<0$ 时的解析式.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

当 $x\<0$ 时, $-x\>0$ , 所以可以先写 $f(-x)=e^{-x}-1$ . 又因为 $f$ 是奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$ . 于是 $-f(x)=e^{-x}-1$ , 从而 $f(x)=-e^{-x}+1$ .

\NeedExampleDiagramSpace

例

已知奇函数 $f(x)$ 满足 $f(2)=5$ , 求 $f(-2)$ .

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$ , 因此 $f(-2)=-f(2)=-5$ .

平移后的奇偶性. 题目有时不会直接说“ $f(x)$ 是奇函数”或“ $f(x)$ 是偶函数”，而是说 $f(x+a)$ 具有奇偶性. 这时要把它看成一个新函数 $g(x)=f(x+a)$ . 于是:

若 $g(x)$ 是奇函数，则 $f(a+t)=-f(a-t)$ , 图像关于点 $(a,0)$ 中心对称，特别地 $f(a)=0$ ;
若 $g(x)$ 是偶函数，则 $f(a+t)=f(a-t)$ , 图像关于直线 $x=a$ 对称.

这类条件仍然描述函数图像的对称性，只是对称中心或对称轴不再落在原点和 $y$ 轴上.

\begin{BookDiagram}

| | --- | --- |

\end{BookDiagram}

\NeedExampleDiagramSpace

2021年全国甲卷理科

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ , $f(x+1)$ 为奇函数, $f(x+2)$ 为偶函数. 当 $x\in[1,2]$ 时, $f(x)=ax^2+b$ . 若 $f(0)+f(3)=6$ , 求 $f\!\left(\dfrac92\right)$ .

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

由“ $f(x+1)$ 为奇函数”可知，对任意 $t\in\mathbb{R}$ , $f(1+t)=-f(1-t)$ . 特别地，取 $t=0$ , 得 $f(1)=0$ . 又因为 $1\in[1,2]$ , 所以 $a+b=0.$

再由“$f(x+2)$ 为偶函数”可知，对任意 $t\in\mathbb{R}$, $f(2+t)=f(2-t)$. 取 $t=1$, 得 $f(3)=f(1)=0$.

另一方面，在奇函数关系式中取 $t=1$, 有 $f(2)=-f(0)$. 于是由题设 $f(0)+f(3)=6$ 可化为 $-f(2)+0=6$, 即 $f(2)=-6$.
由于 $2\in[1,2]$, 又有
$4a+b=-6.$
联立
<MathBlock raw={"\\begin{cases}
	a+b=0,
	4a+b=-6,
\\end{cases}"} />
解得
$a=-2,     b=2.$

现在求 $f\!\left(\dfrac92\right)$. 先把自变量拉回已知区间:
<MathBlock raw={"f\\!\\left(\\dfrac92\\right)=f\\!\\left(2+\\dfrac52\\right)=f\\!\\left(2-\\dfrac52\\right)=f\\!\\left(-\\dfrac12\\right)."} />
再用奇性和偶性继续转化:
<MathBlock raw={"f\\!\\left(-\\dfrac12\\right)=-f\\!\\left(\\dfrac52\\right)=-f\\!\\left(\\dfrac32\\right)."} />
而
<MathBlock raw={"f\\!\\left(\\dfrac32\\right)=a\\left(\\dfrac32\\right)^2+b=-2\\cdot\\dfrac94+2=-\\dfrac52,"} />
因此 $f\!\left(\dfrac92\right)=\dfrac52$.

奇偶性的运算法则

设 $f,g$ 都定义在关于原点对称的同一个集合上，则有以下常见结论:

偶函数 $+$ 偶函数 $=$ 偶函数;
奇函数 $+$ 奇函数 $=$ 奇函数;
偶函数 $\times$ 偶函数 $=$ 偶函数;
偶函数 $\times$ 奇函数 $=$ 奇函数;
奇函数 $\times$ 奇函数 $=$ 偶函数.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $F(x)=x^3\cos x$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

$x^3$ 是奇函数, $\cos x$ 是偶函数. 奇函数与偶函数的乘积仍是奇函数，所以 $F(x)=x^3\cos x$ 是奇函数.

奇偶性与复合

设 $F(x)=f(g(x))$ .

先检查 $F$ 的定义域，再使用下面的结论:

若内层函数 $g(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 一定是偶函数;
若内层函数 $g(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 的奇偶性与外层函数 $f$ 相同.

常见错误是直接套结论，忽略外层函数是否能在 $g(x)$ 的取值上定义.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $F(x)=\cos(x^5)$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

内层 $x^5$ 是奇函数，外层 $\cos u$ 是偶函数，所以复合后仍是偶函数.

本节小结

判断奇偶性时，可按下面顺序进行：先检查定义域是否关于原点对称，再去计算 $f(-x)$ , 最后判断它等于 $f(x)$ 还是 $-f(x)$ .

奇偶性对应函数图像的对称性. 求值、补全解析式和复合函数问题中常要用到这一点.

周期性

{/* label: sec:ch03-s05 */}

正弦函数的波形往右平移一段固定长度后，和原来的图像重合. 图像按固定长度水平重复的现象，叫作周期性.

周期函数的定义

周期函数

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ . 若存在一个非零常数 $T$ , 使得对任意 $x\in D$ , 都有 $x+T\in D$ 且 $f(x+T)=f(x)$ , 则称 $f(x)$ 为周期函数, 常数 $T$ 叫作它的一个周期.

周期性表现为整段图像按固定长度重复出现. 图上取一对对应点 $(x,f(x))$ 与 $(x+T,f(x+T))$ , 就能直接看到它们在平移后重合.

这个定义里要注意三点:

$T$ 必须是非零常数;
要对定义域内所有 $x$ 都成立;
还要保证 $x+T$ 仍在定义域内.

最小正周期

若一个周期函数的所有正周期中存在最小者，就把它叫作该函数的最小正周期.

最小正周期刻画的是图像完成一次最短重复所需要的长度. 一旦知道了最小正周期 $T_0$ , 其余正周期都必须是 $T_0$ 的正整数倍. 也有一些函数虽然有无穷多个正周期，却没有最小的一个，常函数就是最典型的例子.

例

$f(x)=\sin x$ 的最小正周期是 $2\pi$ .

例

$g(x)=\tan x$ 的最小正周期是 $\pi$ .

例

常函数 $f(x)=c$ 的任意非零实数都是周期，因而它没有最小正周期.

| | --- | --- | --- |

周期的几个直接结论

若 $T$ 是函数的一个周期，那么:

$-T$ 也是周期;
任意非零整数倍 $nT$ 也是周期.

理由并不复杂. 例如 $f(x+T)=f(x)$ 对一切 $x$ 成立，那么把 $x$ 换成 $x-T$ , 就得到 $f(x)=f(x-T)$ , 于是 $-T$ 也是周期.

由解析式直接求周期

对于常见三角函数，周期往往可以直接从角的系数看出来:

<MathBlock raw={"\sin(\omega x),\ \cos(\omega x)\ \text{的周期是}\ \frac{2\pi}{|\omega|};

\tan(\omega x)\ \text{的周期是}\ \frac{\pi}{|\omega|}."} />

例

求函数 $f(x)=\sin(3x)$ 的最小正周期.

解

因为 $\sin x$ 的最小正周期是 $2\pi$ , 所以 $\sin(3x)$ 的最小正周期为 $\dfrac{2\pi}{3}$ .

例

求函数 $g(x)=\cos\left(\dfrac{5}{2}x\right)$ 的最小正周期.

解

最小正周期为 $\dfrac{2\pi}{5/2}=\dfrac{4\pi}{5}$ .

周期函数的和差与最小公倍数

若两个周期函数叠加，新函数是否仍有周期，要看它们是否存在公共周期.

定理

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的周期分别为 $T_1,T_2$ . 若存在正数 $T$ , 既是 $T_1$ 的整数倍，又是 $T_2$ 的整数倍，那么在它们的共同定义域内, $f(x)\pm g(x),\ f(x)g(x)$ 也都是周期函数，而这个公共周期 $T$ 就是它们的一个周期.

证明

设 $x$ 属于 $f$ 与 $g$ 的共同定义域. 因为 $T$ 是 $T_1$ 的整数倍，所以 $f(x+T)=f(x)$ . 同理，由于 $T$ 也是 $T_2$ 的整数倍，有 $g(x+T)=g(x)$ . 于是 $(f\pm g)(x+T)=f(x+T)\pm g(x+T)=f(x)\pm g(x)=(f\pm g)(x)$ , 并且 $(fg)(x+T)=f(x+T)g(x+T)=f(x)g(x)=(fg)(x)$ . 所以 $f(x)\pm g(x)$ 与 $f(x)g(x)$ 都以 $T$ 为周期.

对高中阶段最常见的题目来说，若 $\dfrac{T_1}{T_2}$ 是有理数，就可以求公共周期；若比值是无理数，往往就不能得到周期函数.

例

求函数 $f(x)=|\sin x|+\cos 2x$ 的最小正周期.

解

先看两个部分.

$|\sin x|$ 的最小正周期是 $\pi$ ;
$\cos 2x$ 的最小正周期也是 $\pi$ .

因此它们的和的最小正周期也是 $\pi$ .

例

求函数 $h(x)=\sin(3x)+\cos\left(\dfrac{5}{2}x\right)$ 的最小正周期.

解

两个部分的最小正周期分别为 $T_1=\dfrac{2\pi}{3},\ T_2=\dfrac{4\pi}{5}$ .

要找公共周期 $T$, 令 $T=m\cdot \dfrac{2\pi}{3}=n\cdot \dfrac{4\pi}{5}$, 其中 $m,n$ 为正整数. 化简得
<MathBlock raw={"\\frac{2m}{3}=\\frac{4n}{5}
   \\Longleftrightarrow   
10m=12n
   \\Longleftrightarrow   
5m=6n."} />
取最小正整数解 $m=6,n=5$, 得 $T=6\cdot \dfrac{2\pi}{3}=4\pi$. 所以最小正周期是 $4\pi$.

本节小结

判断周期性时，通常从三个方向入手：第一是直接检验 $f(x+T)=f(x)$ 是否成立；第二是看函数是否是若干周期函数的叠加，如果是就找公共周期；第三是把题目给出的对称或变形关系改写成函数等式，再继续处理.这三个方向已经覆盖周期判断的基本场景，后续遇到周期相关的问题时，可以先从这三个角度入手.

周期性表现为图像在水平方向上的重复. 后续函数题中常要利用这一点.

性质之间的联系与综合判断

{/* label: sec:ch03-s06b */}

单调性给出变化方向，最值给出变化结果，奇偶性给出对称约束，周期性给出重复结构. 同一个函数往往同时具有多种性质，它们之间互相配合.

单调性与最值

单调性给出变化方向，最值给出这一变化在整个区间上的结果. 因而，一旦函数被划分成若干个单调区间，最值位置往往也就随之清楚起来.

例

求函数 $f(x)=x^2, x\in[-2,3]$ 的最大值与最小值.

解

函数 $x^2$ 在 $[-2,0]$ 上递减，在 $[0,3]$ 上递增.

因此，最小值取在
$x=0,$
此时
$f(0)=0.$

区间两端的函数值分别为
$f(-2)=4,     f(3)=9.$
所以最大值为
$9.$

奇偶性对图像信息的压缩

奇偶性能够把一边的图像信息搬到另一边.

若函数是偶函数，研究右半边图像后，左半边由关于 $y$ 轴对称得到;
若函数是奇函数，研究右半边图像后，左半边由关于原点中心对称得到.

因此，奇偶性常和单调性、最值一起使用. 先研究一侧的变化，再用对称把结果扩展到另一侧，往往比把整条图像从头到尾逐段讨论更简洁.

| | --- | --- |

周期性把局部信息推广到整体

周期性说明图像按固定长度重复. 一旦知道了一个周期内的图像，其余部分就由平移得到.

例

已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=-f(x),$ 且当 $x\in[0,1]$ 时 $f(x)=e^x.$ 求 $f(23)$ .

解

由 $f(x+2)=-f(x)$ 连续使用两次，得 $f(x+4)=f(x).$ 因此 $4$ 是函数的一个周期.

于是
$f(23)=f(3).$
又因为
$3=1+2,$
所以
$f(3)=f(1+2)=-f(1)=-e.$
故
$f(23)=-e.$

对称与重复常可互相转化

若题目给出的条件是关于某个点或某条直线的对称关系，连续使用两次后，常可得到周期. 这类题的关键，是把题目给出的几何关系改写成函数等式，再顺着等式迭代.

综合判断的顺序

把几种性质放在一起研究时，通常从定义域出发：一切性质都要在定义域内讨论.在此基础上，再看图像或解析式中最直接的结构线索，例如分段、对称或重复.接着按区间讨论单调性，由此确定最值位置或值域范围.最后把各段信息合并成对整个函数的描述.按这个顺序逐步推进，能避免在复杂函数中遗漏信息.

例

研究函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 的基本性质.

解

先看定义域: $\mathbb{R}\setminus\{0\}.$

再看奇偶性:
$f(-x)=-x-\frac{1}{x}=-f(x),$
所以 $f(x)$ 是奇函数，图像关于原点中心对称.

前面已经证明，它在
$(0,1]$
上递减，在
$[1,+\infty)$
上递增. 因而在正半轴上，最小值取在
$x=1,$
且
$f(1)=2.$

由奇偶性可知，在负半轴上与之对应的点是
$(-1,-2).$
于是函数值只能落在
$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$
中.

过渡. 图像告诉我们整体轮廓，基本性质告诉我们这些轮廓应当怎样准确表述. 再往下走，就要研究函数怎样由简单部分拼成更复杂的结构，以及图像在平移、伸缩和对称下怎样变化.

单调性​

单调性的定义​

图像法​

定义法​

单调性的作用​

复合函数的单调性​

本节小结​

最值​

最大值与最小值的定义​

取到与逼近​

利用单调性判断最值​

最值与值域​

奇偶性​

奇函数与偶函数的定义​

基本结论​

判断奇偶性的步骤​

利用奇偶性求值和补全解析式​

奇偶性的运算法则​

奇偶性与复合​

本节小结​

周期性​

周期函数的定义​

周期的几个直接结论​

由解析式直接求周期​

周期函数的和差与最小公倍数​

本节小结​

性质之间的联系与综合判断​

单调性与最值​

奇偶性对图像信息的压缩​

周期性把局部信息推广到整体​

综合判断的顺序​

单调性

单调性的定义

图像法

定义法

单调性的作用

复合函数的单调性

本节小结

最值

最大值与最小值的定义

取到与逼近

利用单调性判断最值

最值与值域

奇偶性

奇函数与偶函数的定义

基本结论

判断奇偶性的步骤

利用奇偶性求值和补全解析式

奇偶性的运算法则

奇偶性与复合

本节小结

周期性

周期函数的定义

周期的几个直接结论

由解析式直接求周期

周期函数的和差与最小公倍数

本节小结

性质之间的联系与综合判断

单调性与最值

奇偶性对图像信息的压缩

周期性把局部信息推广到整体

综合判断的顺序