函数的结构与变换

函数的复合

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一个函数的输出可以成为另一个函数的输入. 把式子读成一个过程——先算什么，再算什么，每一步对定义域、值域和图像各有什么影响——就能处理反函数、图像变换和绝对值翻折中的同类结构.

复合函数的层次结构

很多函数都不是一步完成的. 例如 $\sqrt{x^2+1}, \ln(3-\sin x), (2^x+1)^3$ 都要先算一个中间结果，再把它送进下一层运算. 这种“层层套入”的方式，就是复合函数的层次结构.

例

观察函数 $y=\sqrt{x^2+1}.$ 它可以读成 $x\longmapsto x^2+1\longmapsto \sqrt{x^2+1}.$ 第一步把 $x$ 变成 $x^2+1$, 第二步再对这个结果开方.

识别层次时，有两个方向:

• 从外向内看，用来拆层. 先认出最外层运算是什么;
• 从内向外看，用来计算. 真正代入时总是先算里面，再算外面.

例

把函数 $y=\ln(3-\sin x)$ 按层次拆开.

解

最外层运算是取对数，所以先写成 $u=3-\sin x, y=\ln u.$ 若继续细分，还可以写成 <MathBlock raw={"x\longmapsto \sin x\longmapsto 3-\sin x\longmapsto \ln(3-\sin x)."} /> 同一个函数可以有粗细不同的拆法. 只要层次顺序一致，这些拆法都有效.

识别层次的常用办法

开方、平方、绝对值、对数、指数、三角函数常常充当外层函数. 先把最外层认出来，剩下的整体就当作内层函数.

代数式和操作过程的对应

看到 $\sqrt{\,3-\sin x\,}$ 时，若只把它当成一个整体符号串，很容易漏掉层次关系. 把它读成“先求 $\sin x$, 再算 $3-\sin x$, 最后开方”，式子的结构就清楚了.

复合函数的定义

设函数 $u=g(x)$ 先把输入 $x$ 变成中间量 $u$, 再由函数 $y=f(u)$ 把 $u$ 变成最终结果 $y$. 这两步连起来，就得到一个新函数.

复合函数

设函数 $g$ 的定义域为 $D_g$, 函数 $f$ 的定义域为 $D_f$. 对每个满足 $x\in D_g, g(x)\in D_f$ 的 $x$, 定义 $F(x)=f(g(x)).$ 那么 $F$ 叫作 $f$ 与 $g$ 的复合函数. 其中 $g$ 叫作内层函数, $f$ 叫作外层函数.

复合函数是一段有先后次序的运算过程*

$f(g(x))$ 这串记号表示“先求 $g(x)$, 再把结果代入 $f$”. 它首先是一段过程，然后才是一段代数式.

例

设 $f(u)=u^3, g(x)=2^x+1.$ 则 $f(g(x))=(2^x+1)^3.$ 它表示的过程是：先求 $2^x+1$, 再把这个结果立方.

复合的顺序通常不能交换

复合函数有先后顺序. 先做 $g$, 再做 $f$, 与先做 $f$, 再做 $g$, 往往得到不同的结果.

例

设 $f(x)=x+1, g(x)=x^2.$ 比较 $f(g(x))$ 与 $g(f(x))$.

解

$f(g(x))=f(x^2)=x^2+1,$ 而 $g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1.$ 两者不同.

这里的差别来自操作顺序. “先平方，再加 $1$”与“先加 $1$, 再平方”本来就是两条不同的计算路线.

顺序一变，图像也跟着变*

例

再看 $f(x)=\sqrt{x}, g(x)=x-1.$ 则 $f(g(x))=\sqrt{x-1}, g(f(x))=\sqrt{x}-1.$

解

函数 $\sqrt{x-1}$ 的定义域是 $[1,+\infty)$, 函数 $\sqrt{x}-1$ 的定义域是 $[0,+\infty)$. 这一次连定义域都发生了变化.

顺序意识

这一点会贯穿后面的图像变换. 先平移再伸缩，与先伸缩再平移，一般也会得到不同结果.

复合函数的定义域

复合函数的定义域只有一个原则：复合过程的每一步都要有意义.

复合函数的定义域

设函数 $g$ 的定义域为 $D_g$, 函数 $f$ 的定义域为 $D_f$. 那么复合函数 $F(x)=f(g(x))$ 的定义域是 $\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}.$

证明

要使 $f(g(x))$ 有意义，先要能求出 $g(x)$, 这要求 $x\in D_g$; 还要使这个结果能够代入外层函数 $f$, 这要求 $g(x)\in D_f$. 两个条件同时成立时，复合函数才有定义.

因此，复合函数的定义域约束由内到外层层传递：内层要有意义，而且内层的输出要能被外层接收.

例

求函数 $y=\sqrt{\ln(3-x)}$ 的定义域.

解

按层次写成 $u=\ln(3-x), y=\sqrt{u}.$ 外层根式要求 $u\ge 0,$ 所以 $\ln(3-x)\ge 0.$ 因为对数函数单调递增，上式等价于 $3-x\ge 1.$ 解得 $x\le 2.$ 这个条件同时保证 $3-x\>0$, 所以对数也有意义. 因而原函数的定义域为 $(-\infty,2].$

例

已知函数 $f(2x-1)$ 的定义域是 $[0,1]$, 求函数 $f(\sqrt{x})$ 的定义域.

解

函数 $f(2x-1)$ 在 $x\in[0,1]$ 时有意义，说明外层函数 $f$ 能接收的输入正好是 $2x-1\in[-1,1].$ 因此 $f$ 的定义域是 $[-1,1]$.

现在考虑 $f(\sqrt{x})$. 要使它有意义，需要 $\sqrt{x}\in[-1,1].$ 由于 $\sqrt{x}\ge 0$, 条件化为 $0\le \sqrt{x}\le 1.$ 平方得 $0\le x\le 1.$ 所以定义域为 $[0,1]$.

定义域中的常见错误

有些题只检查内层有意义，忽略了外层的限制；还有些题只盯着外层条件，却忘了内层本身也要先能算出来. 这两步都要保留.

复合函数的值域

复合函数的值域分析是在跟踪“中间量能走到哪里”：先求内层函数 $u=g(x)$ 的值域，再把这个值域当作外层函数的新定义域，求出 $y=f(u)$ 的取值范围.按这个思路，往往可以从内到外逐步确定复合函数的值域.

例

求函数 $y=4^x-2^{x+1}+3$ 的值域.

解

注意到 $4^x=(2^x)^2, 2^{x+1}=2\cdot 2^x.$ 令 $u=2^x,$ 则 $u\>0$. 原函数化为 $y=u^2-2u+3=(u-1)^2+2.$ 因为 $u\in(0,+\infty)$, 且 $u=1$ 可以取到，所以 $(u-1)^2$ 的最小值为 $0$. 因而 $y\ge 2.$ 原函数的值域为 $[2,+\infty).$

例

求函数 $y=\sqrt{2-\cos x}$ 的值域.

解

先看内层函数 $u=2-\cos x.$ 因为 $-1\le \cos x\le 1,$ 所以 $1\le u\le 3.$ 再看外层函数 $y=\sqrt{u}.$ 当 $u\in[1,3]$ 时, $1\le y\le \sqrt3.$ 因此原函数的值域为 $[1,\sqrt3].$

值域分析中的观察点

内层函数的值域未必等于外层函数的整个定义域. 只把真实能取到的中间量送入外层，才能得到准确的值域.

复合函数的单调性

复合函数的单调性，要同时看内层“怎样变化”和外层“怎样响应这种变化”. 常用规律是“同增异减”，但使用前要先把区间分清楚.

复合函数的单调性

设 $g$ 在区间 $I$ 上单调，且 $f$ 在区间 $g(I)$ 上单调. 那么:

• 若 $f$ 与 $g$ 的单调方向相同，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递增;
• 若 $f$ 与 $g$ 的单调方向相反，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递减.

证明

任取 $x_1,x_2\in I$, 且 $x_1\<x_2$.

若 $g$ 递增，则 $g(x_1)\le g(x_2)$. 当 $f$ 也递增时, $f(g(x_1))\le f(g(x_2)),$ 于是复合函数递增；当 $f$ 递减时, $f(g(x_1))\ge f(g(x_2)),$ 于是复合函数递减.

若 $g$ 递减，证明完全类似.

使用条件

“同增异减”只在单一区间上使用. 若内层函数在整个定义域上没有统一的单调方向，就先分区间，再分别讨论.

例

求函数 $y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)$ 的单调区间.

解

先求定义域: $x^2-2x-3\>0.$ 解得 $x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty).$

令 $u=x^2-2x-3.$ 外层函数 $y=\log_{0.5}u$ 因为底数 $0.5\<1$, 所以在 $(0,+\infty)$ 上递减.

内层函数 $u=x^2-2x-3$ 是二次函数，对称轴为 $x=1$.

• 在 $(-\infty,-1)$ 上, $u$ 递减;
• 在 $(3,+\infty)$ 上, $u$ 递增.

因此:

• 在 $(-\infty,-1)$ 上，内外都递减，所以复合后递增;
• 在 $(3,+\infty)$ 上，内层递增，外层递减，所以复合后递减.

为什么不能只看一层

只看外层，会漏掉内层把区间顺序翻转的可能；只看内层，又看不到外层怎样改变增减方向. 两层都要纳入判断.

复合函数的奇偶性

复合函数的奇偶性也体现层次传递. 这里先要保证定义域关于原点对称，否则奇偶性本身就无从谈起.

复合函数的奇偶性

设复合函数 $F(x)=f(g(x))$ 的定义域关于原点对称.

1. 若 $g$ 是偶函数，则 $F$ 是偶函数;
2. 若 $g$ 是奇函数，且 $f$ 是偶函数，则 $F$ 是偶函数;
3. 若 $g$ 是奇函数，且 $f$ 是奇函数，则 $F$ 是奇函数.

证明

若 $g$ 为偶函数，则 $F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),$ 所以 $F$ 为偶函数.

若 $g$ 为奇函数，则 $F(-x)=f(g(-x))=f(-g(x)).$ 这时若 $f$ 为偶函数，就有 $F(-x)=f(g(x))=F(x);$ 若 $f$ 为奇函数，就有 $F(-x)=-f(g(x))=-F(x).$

例

判断函数 $F(x)=\cos(x^3)$ 的奇偶性.

解

内层函数 $g(x)=x^3$ 是奇函数，外层函数 $f(u)=\cos u$ 是偶函数. 由上面的结论可知 $F(x)=\cos(x^3)$ 是偶函数.

直接代定义仍然有效

若外层函数既不具有奇性，也不具有偶性，上面的结论就不能直接套用. 这时回到定义去算 $F(-x)$ 最稳妥.

由复合关系反求原函数

前面的问题都是已知 $f$ 与 $g$, 去研究 $f(g(x))$. 题目里还常见另一种方向：已知复合关系，反过来求原函数. 这类题的常用思路是拆层，设元，回代，检查范围.

例

已知 $f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x},$ 求 $f(x)$.

解

令 $t=\sqrt{x}+1.$ 因为 $\sqrt{x}\ge 0$, 所以 $t\ge 1.$ 由 $t=\sqrt{x}+1$ 可得 $\sqrt{x}=t-1, x=(t-1)^2.$ 代回原式: <MathBlock raw={"\begin{aligned} f(t) &=(t-1)^2+2(t-1) &=t^2-1. \end{aligned}"} /> 把记号换回 $x$, 得 $f(x)=x^2-1, x\ge 1.$

例

已知 $f(x^2+1)=2x^2-3,$ 求 $f(x)$.

解

令 $t=x^2+1.$ 由于 $x^2\ge 0$, 所以 $t\ge 1.$ 又因为 $x^2=t-1,$ 原式右边可化为 $2x^2-3=2(t-1)-3=2t-5.$ 因此 $f(t)=2t-5.$ 把记号换回 $x$, 得 $f(x)=2x-5, x\ge 1.$

逆向分析意识

这类题常见的失误是只算出解析式，却漏掉新变量的取值范围. 复合关系反求原函数时，定义域同样属于答案的一部分.

函数相等与定义域

判断两个函数是否相等，不能只看解析式长得像不像. 函数由定义域和对应规则共同确定.

函数相等

若两个函数的定义域相同，并且对定义域中的每一个自变量都取相同的函数值，就称这两个函数相等.

例

判断下列两组函数是否相等: $f(x)=x+2, g(x)=\frac{x^2-4}{x-2};$ $u(x)=\sqrt{x^2}, v(x)=|x|.$

解

先看第一组. 对 $x\neq 2$, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$ 但函数 $g$ 在 $x=2$ 处没有定义，函数 $f$ 在 $x=2$ 处有定义. 两者定义域不同，所以它们不相等.

再看第二组. 对任意实数 $x$, $\sqrt{x^2}=|x|.$ 并且两个函数的定义域都是 $\mathbb{R}$. 所以 $u$ 与 $v$ 是同一个函数.

函数相等的判断要点

两个函数相等的条件是：定义域相同，且在定义域内每一点的函数值完全相同.化简后解析式相同只说明对应规则在公共部分一致，还需要核对定义域是否重合.

综合演练

设函数 $F(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right),$ 试分析它的层次结构、定义域、值域、单调区间和奇偶性.

解

这个函数可以看作三层复合：先算 $x^2+1$，再开方得到 $u$，最后取对数得到 $F(x)$.写成 $t=x^2+1, u=\sqrt{t}, F(x)=\ln u.$

先看 $t=x^2+1$.由于 $x^2\ge 0$，所以 $t\ge 1$，且对任意实数 $x$ 都有定义.再算 $u=\sqrt{t}$，因为 $t\ge 1\>0$，所以 $u$ 总有意义，且 $u\ge 1$.最后外层是对数函数，$\ln u$ 在 $u\>0$ 时有定义.由于 $u\ge 1$，对数完全可行.因此 $F(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right)$ 的定义域是全体实数 $\mathbb{R}$.

在定义域内，$x^2+1\ge 1$，所以 $\sqrt{x^2+1}\ge 1$，从而 $F(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right)\ge \ln 1=0.$ 当 $x=0$ 时取到等号.又由于 $\sqrt{x^2+1}$ 可以任意增大，所以 $F(x)$ 的值域是 $[0,+\infty)$.

再看单调性.注意到 $F(x)=\frac{1}{2}\ln(x^2+1),$ 内层函数 $x^2+1$ 在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增；而对数函数本身是单调递增的.因此 $F(x)$ 的单调性与内层一致：在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增.

最后看奇偶性.因为 <MathBlock raw={"F(-x)=\ln\left(\sqrt{(-x)^2+1}\right)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right)=F(x),"} /> 所以 $F(x)$ 是偶函数.

分析层次与综合判断

以上例题涵盖了复合函数的主要分析方面.处理这类综合题时，做法是先把层层拆清楚，从内到外确定每一步的限制条件，再把性质判断交给对应的基本函数.

复合函数第一次系统呈现了函数的层次结构. 下一节讨论反函数，沿着同一条链条反向追踪，研究输出能否唯一地追溯到输入.

反函数

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复合函数是顺着层次往前走，反函数则沿着同一条链条往回走. 已知输入求输出，是函数；已知输出反推输入，就进入了反函数的问题. 这一节的重点有两件事：一是看清“能不能反过来”，二是看清“在哪个范围里可以反过来”.

反函数的基本问题

设函数 $y=f(x)$. 若已知 $x$, 我们可以求出 $y$; 若已知 $y$, 能否唯一确定 $x$? 这就是反函数的基本问题.

例

已知正方形边长 $x$, 面积是 $x^2$. 若反过来已知面积，我们希望求边长.

例

已知摄氏温度 $C$, 华氏温度满足 $F=\frac95C+32.$ 若反过来给出华氏温度，也希望恢复摄氏温度.

这两个例子都有同一个结构：原函数把输入变成输出，反函数尝试把输出再变回输入. 从方程角度看，这件事等价于解 $f(x)=y.$ 如果对每个允许的 $y$, 这个方程都有唯一解 $x$, 那么“由输出恢复输入”本身就可以组织成一个新函数.

例

设 $f(x)=2x+1.$ 给定函数值 $y$, 反求输入就是解方程 $2x+1=y.$ 它的唯一解是 $x=\frac{y-1}{2}.$ 因此，由输出恢复输入的过程本身就是一个函数.

一个容易忽略的细节. 反函数的输入来自原函数的值域. 原函数从来没有取到的数，不能直接拿来代入反函数.

和复合函数的关系. 若两个函数确实互为反函数，那么先用一个函数把输入送出去，再用另一个函数把结果接回来，会回到原来的数. 这就是后面复合关系 $f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x, f^{-1}(f(x))=x$ 的来源.

反函数与定义域选择

求反函数前先选范围. 检查每个输出是否只对应一个输入；若同一输出对应多个输入，就把定义域缩到合适的一段，再反推.

例

函数 $y=x^2$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上不能直接反过来. 因为 $(-2)^2=2^2=4,$ 同一个输出 $4$ 对应两个输入.

若把定义域缩小到合适的区间，情况就会改变.

例

把 $y=x^2$ 的定义域限制为 $[0,+\infty)$, 就得到反函数 $y=\sqrt{x}.$ 若把定义域限制为 $(-\infty,0]$, 就得到另一个反向恢复公式 $y=-\sqrt{x}.$

为什么要选定义域. 反函数要求“由输出唯一确定输入”. 缩小定义域的作用，就是把重复出现的输出拆开，让每个输出只对应一个输入.

定义域选择带来的结论. 同一个代数式，在不同区间上可以得到不同的反函数. 因此，讨论反函数时，真正的对象是“选定区间上的原函数”.

一个判断习惯. 遇到“求反函数”四个字时，先看题目有没有给定区间. 若没有给定，下一步就该检查原函数在哪些区间上能够保持一一性.

为什么有的函数能反过来，有的不能

若想由 $y$ 唯一确定 $x$, 就要求不同输入产生不同输出. 这是一种一一性.

单射

设函数 $f$ 的定义域为 $A$. 若对任意 $x_1,x_2\in A$, 只要 $x_1\neq x_2$, 就有 $f(x_1)\neq f(x_2),$ 就称 $f$ 在 $A$ 上是单射.

对中学阶段的理解来说，单射的意思很直观：不同的输入不会撞到同一个输出上. 只有这样，才能从输出唯一追溯到输入.

定理

函数 $f$ 在它的值域上存在反函数，当且仅当 $f$ 是单射.

证明

若 $f$ 有反函数 $f^{-1}$, 那么一旦 $f(x_1)=f(x_2),$ 对两边同时作用 $f^{-1}$, 得 $x_1=f^{-1}(f(x_1))=f^{-1}(f(x_2))=x_2.$ 所以 $f$ 必为单射.

反过来，若 $f$ 是单射，那么对值域中的每个 $y$, 方程 $f(x)=y$ 恰好有唯一解. 于是就可以把这个唯一的 $x$ 定义为 $f^{-1}(y)$, 从而得到反函数.

图像上的判断. 判断一个函数能否反过来，常用水平线检验法: 若任意一条水平直线与图像至多有一个交点，那么函数就是单射.

TikZ 图 93

*图：定义域选择会改变可逆性*

严格单调是最常见的充分条件

若函数在某个区间上严格递增或严格递减，那么它在这个区间上一定是单射，因而一定存在反函数. 这是因为严格单调意味着 $x_1\<x_2$ 时必有 $f(x_1)\neq f(x_2)$, 直接满足单射的定义. 在初等函数中，指数函数、对数函数、三角函数在其自然定义域的单调区间上都有反函数，这一条件覆盖了绝大多数常见情形，因此它是判断可逆性时首先想到的工具.

反函数的定义

反函数

设函数 $f\colon A\to B$ 的值域为 $C$, 且 $f$ 在 $A$ 上是单射. 对任意 $y\in C$, 若方程 $y=f(x)$ 有唯一解 $x\in A$, 那么由 $y$ 确定 $x$ 的这个新函数叫作 $f$ 的反函数, 记作 $f^{-1}$.

这里有两点必须分清:

• $f^{-1}(x)$ 表示反函数，不是 $\dfrac{1}{f(x)}$;
• 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.

把这一定义翻成更直白的话，就是: $y=f(x) \Longleftrightarrow x=f^{-1}(y).$ 原函数和反函数把同一组对应关系沿相反方向读了一遍.

求反函数的基本步骤

求反函数时，按四步做：写出 $y=f(x)$; 从等式中解出 $x$; 交换 $x,y$ 的字母，写成 $y=f^{-1}(x)$; 检查反函数的定义域和值域.

这套步骤背后的含义很明确：原来是“输入 $x$, 输出 $y$”，现在改成“输入 $y$, 输出 $x$”，所以最后要交换两个字母的角色.

例

求函数 $f(x)=2x+1, x\in\mathbb{R}$ 的反函数.

解

设 $y=2x+1.$ 解出 $x$, 得 $x=\frac{y-1}{2}.$ 交换 $x,y$, 得 $y=\frac{x-1}{2}.$ 因此 $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}.$ 原函数的值域是 $\mathbb{R}$, 所以反函数的定义域也是 $\mathbb{R}$.

例

在定义域 $[0,+\infty)$ 上，求函数 $f(x)=x^2$ 的反函数.

解

因为 $x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增，所以存在反函数.

设 $y=x^2, x\ge 0.$ 由 $x\ge 0$, 解得 $x=\sqrt{y}.$ 交换 $x,y$, 得 $y=\sqrt{x}.$ 因此 $f^{-1}(x)=\sqrt{x}, x\ge 0.$

例

求函数 $f(x)=\frac{2x-1}{x+3} (x\neq -3)$ 的反函数.

解

设 $y=\frac{2x-1}{x+3}.$ 解方程: <MathBlock raw={"\begin{aligned} y(x+3)&=2x-1, yx+3y&=2x-1, x(y-2)&=-(1+3y), x&=\frac{3y+1}{2-y}. \end{aligned}"} /> 交换 $x,y$, 得 $f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}.$

原函数不可能取到 $2$, 所以反函数的定义域为 $\mathbb{R}\setminus\{2\}.$

最后一步为什么不能省

若只把式子解出来，却不检查值域与定义域，很容易把原函数没取到的数也误放进反函数的定义域. 例如上题中，原函数 $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ 的值域不包含 $2$ (无论 $x$ 取何值，分式都不等于 $2$), 如果忘记排除，反函数的定义域就会多出一个不该存在的点.

反函数的基本性质

反函数的几个基本性质彼此联系很紧.

定义域和值域交换

若 $f$ 与 $f^{-1}$ 互为反函数，那么 <MathBlock raw={"\begin{aligned} D_{f^{-1}}&=R_f, R_{f^{-1}}&=D_f. \end{aligned}"} />

证明

反函数的输入就是原函数真正取到的输出，所以 $D_{f^{-1}}=R_f$. 同理，反函数输出的正是原函数的输入，所以 $R_{f^{-1}}=D_f$.

复合关系

若 $f$ 与 $f^{-1}$ 互为反函数，则 $f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x$ 对 $f^{-1}$ 的定义域内一切 $x$ 成立，且 $f^{-1}(f(x))=x$ 对 $f$ 的定义域内一切 $x$ 成立.

证明

任取 $x$ 属于 $f^{-1}$ 的定义域，记 $y=f^{-1}(x).$ 由反函数定义, $x=f(y)$, 所以 $f(f^{-1}(x))=f(y)=x.$ 另一式同理可证.

图像关于 $y=x$ 对称

若 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 互为反函数，那么它们的图像关于直线 $y=x$ 对称.

证明

若点 $(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 的图像上，那么 $b=f(a).$ 由反函数定义, $a=f^{-1}(b),$ 所以点 $(b,a)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 的图像上. 而 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 正好关于直线 $y=x$ 对称.

TikZ 图 94

*图：原函数与反函数交换了横纵坐标的位置*

单调性保持

若函数 $f$ 在某个区间上严格递增，则它的反函数在对应区间上也严格递增；若 $f$ 严格递减，则反函数也严格递减.

证明

先证严格递增的情形. 任取 $y_1\<y_2,$ 记 $x_1=f^{-1}(y_1), x_2=f^{-1}(y_2).$ 若有 $x_1\ge x_2$, 由于 $f$ 严格递增，就有 $f(x_1)\ge f(x_2),$ 即 $y_1\ge y_2,$ 矛盾. 所以 $x_1\<x_2$, 于是 $f^{-1}$ 也严格递增. 严格递减的证明同理.

这些性质为什么连在一起

反函数做的事只有一件：交换输入和输出的角色. 定义域和值域交换，图像关于 $y=x$ 对称，单调方向保持，都来自这件事.

例

已知 $x_1$ 是方程 $3^x=\frac{4}{x}$ 的根, $x_2$ 是方程 $\log_3 x=\frac{4}{x}$ 的根，求 $x_1x_2$.

解

函数 $y=3^x$ 与 $y=\log_3 x$ 互为反函数，它们的图像关于 $y=x$ 对称.

函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图像本身也关于 $y=x$ 对称.

因此，这两组交点互为关于 $y=x$ 的对称点. 若第一个交点的横坐标是 $x_1$, 那么第二个交点的横坐标就是第一个交点的纵坐标.

而在第一个交点上, $y=\frac{4}{x_1}.$ 所以 $x_2=\frac{4}{x_1},$ 从而 $x_1x_2=4.$

2018年上海卷

设常数 $a\in\mathbb{R}$, 函数 $f(x)=\log_2(x+a).$ 若 $f(x)$ 的反函数图像经过点 $(3,1)$, 求 $a$.

解

反函数图像经过点 $(3,1)$, 就意味着原函数图像经过与之关于直线 $y=x$ 对称的点 $(1,3)$. 因此 $f(1)=3.$ 代入解析式: $\log_2(1+a)=3.$ 由对数定义, $1+a=2^3=8,$ 所以 $a=7.$

本节小结

反函数部分抓住四项检查：原函数在所讨论范围里是否具有一一性；定义域是否已经选到能唯一反推输入；反函数的定义域和值域是否补全；图像题是否已经用上关于 $y=x$ 的对称关系.

复合函数描述“一层一层往前走”，反函数描述“沿着同一结构往回走”. 图像变换把这种结构变化投影到平面上.

函数的图像变换

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复合函数教我们从表达式里读出层次，反函数教我们沿着对应关系反向追索. 图像变换则把这种结构变化画在坐标平面上. 一个式子写在 $f(\cdot)$ 的内部还是外部，会在图像上留下不同的痕迹.

图像变换研究的对象

图像变换研究的是这样一类问题：已知一个基本函数的图像，当我们改动自变量、改动函数值，或对图像做平移、伸缩、对称、翻折时，新图像会变成什么样.

例

函数 $y=(x-2)^2+1$ 与 $y=x^2$ 具有相同的开口方向和相同的基本形状. 前者只是把后者的顶点从 $(0,0)$ 移到了 $(2,1)$.

例

函数 $y=\ln(3-x)$ 可以从 $y=\ln x$ 的图像出发理解. 先把图像关于 $y$ 轴对称，得到 $y=\ln(-x)$; 再向右平移 $3$ 个单位，得到 $y=\ln(3-x)$.

学习图像变换时先练两个动作:

• 作图前先认基本函数，再按顺序写出变换过程;
• 读到新函数时，立即标出顶点、对称轴、定义域、值域和变化趋势的移动.

变换的统一表示

设原函数图像为 $y=f(x).$ 若把它变成 $y=A f\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k,$ 其中 $\omega\neq 0,\ A\neq 0$, 那么原图像上的点 $(x_0,y_0), y_0=f(x_0)$ 会对应到新图像上的点 $\left(\frac{x_0}{\omega}+h,\ Ay_0+k\right).$

读这个式子时，先分清作用位置:

• 写在 $f(\cdot)$ 内部 的变化，影响横坐标;
• 写在 $f(\cdot)$ 外部 的变化，影响纵坐标.

当 $\omega\<0$ 时，横向变化里包含关于 $y$ 轴的对称；当 $A\<0$ 时，纵向变化里包含关于 $x$ 轴的对称. 伸缩和对称常常同时出现.

备注

横向看 $x$, 纵向看 $y$

这是图像变换最重要的观察习惯. 写在 $f(\cdot)$ 内部的运算作用于自变量 $x$, 影响的是横坐标；写在 $f(\cdot)$ 外部的运算作用于函数值，影响的是纵坐标. 例如 $y=f(2x)$ 中的 $2$ 把横坐标压缩到一半，而 $y=2f(x)$ 中的 $2$ 把纵坐标伸长到两倍. 只要按作用位置分类，平移方向和伸缩倍数就不会混淆.

证明（统一表示的来历）

若原图像上的点是 $(x_0,y_0)$, 那么它满足 $y_0=f(x_0).$ 新图像上的点 $(x,y)$ 满足 $y=A f\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k.$ 把 $x_0=\omega(x-h), y_0=\frac{y-k}{A}$ 代入原方程，再解出 $x,y$, 就得到 $x=\frac{x_0}{\omega}+h, y=Ay_0+k.$

基本图像变换

下面把最常见的几类变换分别说清.

1. 平移.

• 函数 $y=f(x-a)$ 由 $y=f(x)$ 的图像向右平移 $a$ 个单位得到;
• 函数 $y=f(x)+b$ 由 $y=f(x)$ 的图像向上平移 $b$ 个单位得到.

之所以 $f(x-a)$ 对应向右平移，是因为原图像上横坐标为 $0$ 的点，在新图像里会出现在 $x=a$ 的位置. 平移改变的是位置，图像形状本身保持不变.

2. 伸缩.

• 函数 $y=f(\omega x)$ 把原图像上各点的横坐标变成原来的 $\dfrac1{\omega}$ 倍;
• 函数 $y=A f(x)$ 把原图像上各点的纵坐标变成原来的 $A$ 倍.

若 $\omega\>1$, 图像在水平方向压缩；若 $0\<\omega\<1$, 图像在水平方向伸长. 这是因为内部系数作用在横坐标上，其效果是“反过来”的.

3. 对称.

• $y=f(-x)$ 表示图像关于 $y$ 轴对称;
• $y=-f(x)$ 表示图像关于 $x$ 轴对称;
• $y=-f(-x)$ 表示图像关于原点对称.

若函数存在反函数，那么 $y=f^{-1}(x)$ 与 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称. 这正是上一节讨论过的反函数图像性质.

例

由 $y=x^2$ 的图像写出 $y=(x-2)^2+1$ 的变换过程.

解

先向右平移 $2$ 个单位，得到 $y=(x-2)^2.$ 再向上平移 $1$ 个单位，得到 $y=(x-2)^2+1.$ 顶点从 $(0,0)$ 变成 $(2,1)$.

例

由 $y=\ln x$ 的图像写出 $y=\ln(3-x)$ 的变换过程.

解

先把 $y=\ln x$ 关于 $y$ 轴对称，得到 $y=\ln(-x).$ 再向右平移 $3$ 个单位，得到 $y=\ln(3-x).$

复合变换

当一个函数同时包含平移、伸缩和对称时，最稳妥的做法是先把式子写成标准形式 $y=A f\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k.$ 这样就能直接看出横向变化和纵向变化.

例

叙述由 $y=\sin x$ 的图像得到 $y=-2\sin\left(\frac12 x-\frac{\pi}{6}\right)+1$ 的过程.

解

先把内部整理成标准形式: $\frac12 x-\frac{\pi}{6}=\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$ 因此目标函数可写成 $y=-2\sin\left(\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)+1.$

接着分两部分看:

• 横向变化: 先把横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，再向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$;
• 纵向变化: 先把纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍并关于 $x$ 轴对称，再向上平移 $1$ 个单位.

顺序为什么重要

同一方向上的两个变换按不同顺序执行，会得到不同解析式. 例如从 $y=f(x)$ 出发:

• 先向右平移 $1$ 个单位，再把横坐标压缩到原来的一半，得到 $y=f(2x-1);$
• 先把横坐标压缩到原来的一半，再向右平移 $1$ 个单位，得到 $y=f\bigl(2(x-1)\bigr)=f(2x-2).$

这两个结果分别是 $f(2x-1)$ 和 $f(2x-2)$. 顺序写错，平移量会跟着错.

一个实用习惯. 读复合变换时，横向变化和纵向变化可以分开处理. 同一方向内部的顺序要严格检查.

反求解析式时怎样想. 若题目给的是“由基本图像经过若干步变换得到”，求解析式时可以把每一步变换翻成对 $x$ 或 $y$ 的改动，再按顺序写进公式. 这样比死记口诀稳定得多.

绝对值变换

绝对值变换有很鲜明的图像特征：它会把图像沿某条轴“折起来”.

定理

设原函数为 $y=f(x)$.

1. 函数 $y=f(|x|)$ 的图像保留原图像在 $y$ 轴右侧的部分，再把这部分关于 $y$ 轴对称复制到左侧;
2. 函数 $y=|f(x)|$ 的图像保留原图像在 $x$ 轴上方的部分，再把 $x$ 轴下方的部分关于 $x$ 轴翻到上方.

证明

对 $f(|x|),$ 当 $x\ge 0$ 时, $|x|=x$, 所以 $f(|x|)=f(x);$ 当 $x\<0$ 时, $|x|=-x$, 所以 $f(|x|)=f(-x).$ 这说明左半边由右半边关于 $y$ 轴对称得到.

对 $|f(x)|,$ 当 $f(x)\ge 0$ 时，函数值保持不变；当 $f(x)\<0$ 时, $|f(x)|=-f(x),$ 所以图像在 $x$ 轴下方的部分会翻到上方.

例

令 $f(x)=x-1.$ 比较 $f(|x|) \text{和} |f(x)|.$

解

$f(|x|)=|x|-1.$ 它是把直线 $y=x-1$ 在右半平面的部分关于 $y$ 轴对称复制到左边，图像是顶点在 $(0,-1)$ 的 V 形.

再看 $|f(x)|=|x-1|.$ 它是把直线 $y=x-1$ 在 $x$ 轴下方的部分翻到上方，图像是顶点在 $(1,0)$ 的 V 形.

两个式子都带有绝对值，但作用对象不同，图像也完全不同.

局部折叠的感觉

$f(|x|)$ 改的是输入，所以折叠发生在左右方向; $|f(x)|$ 改的是函数值，所以折叠发生在上下方向.

图像变换中的常见错误

图像变换里先查对象，再查顺序.

• 把自变量变化和函数值变化混在一起. 看到写在 $f(\cdot)$ 内部的量，应先想到横坐标；看到写在外部的量，应先想到纵坐标. 混用以后，左右平移会被画成上下平移.
• 把平移方向记反. 例如 $f(x-a)$ 向右平移，因为新图像上横坐标为 $a$ 的点对应原图像上横坐标为 $0$ 的点. 方向记反时，顶点或对称轴会落到相反一侧.
• 忽略内部因式分解. 例如 $\sin\left(\frac12x-\frac{\pi}{6}\right)$ 应先写成 $\sin\left(\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right),$ 这样平移量才能看准. 漏掉因式分解时，会把 $\dfrac{\pi}{3}$ 误看成 $\dfrac{\pi}{6}$.
• 忽略先后顺序. 同一方向上的伸缩和平移要按题目顺序执行，顺序错会改变解析式.
• 把 $f(|x|)$ 与 $|f(x)|$ 混为一谈. 一个对应左右复制，一个对应上下翻折. 混用以后，折叠的轴会选错.

口诀的作用

口诀只适合压缩记忆. 稳定的方法是先问一句：这一步作用在自变量上，还是作用在函数值上?

图像变换把“结构变化如何投影到图像上”这件事讲清了. 下一节讨论分段函数，则把另一种结构展示出来：同一个函数可以按条件分成几段规则来组织.

分段函数

{/* label: sec:ch03-s17 */}

前面看到的复合函数强调“层层套入”，图像变换强调“整体移动和翻折”. 分段函数展示的是另一种结构：同一个函数可以按条件分成几条规则来组织. 这在数学内部和实际应用里都很常见.

定义与读法

分段函数

若函数在定义域的不同部分分别由不同解析式给出，就称它为分段函数. 一般写成 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} f_1(x),& x\in D_1, f_2(x),& x\in D_2, \vdots& f_n(x),& x\in D_n, \end{cases}"} /> 其中各个集合 $D_1,D_2,...,D_n$ 两两不交，并且它们的并集构成函数的定义域.

读分段函数时，每一行都包含两部分信息:

• 这一段用什么规则计算;
• 这一段在什么条件下生效.

先看条件，再选公式，这是分段函数最基本的读法.

例

设 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} x+2,& x\le 1, 3,& x\>1. \end{cases}"} /> 求 $f(0)$ 与 $f(f(0))$.

解

因为 $0\le 1$, 所以 $f(0)=0+2=2.$ 再算 $f(f(0))=f(2).$ 由于 $2\>1$, 应用第二段表达式，得 $f(2)=3.$ 所以 $f(f(0))=3.$

分段函数仍然是一个函数

给定一个输入，只会落入某一段的适用范围，因而输出仍然唯一. 分段写法改变的是组织方式，并没有改变函数的本质.

分段函数不要求“接起来很光滑”

有些分段函数在分界点左右函数值相同，图像能够接上；有些分段函数在分界点会跳开. 这两种情况都可以是合法的分段函数.

作图与端点

分段函数的图像要按区间分别画. 画图时，端点是否取到需要格外注意.

• 若该段包含端点，在对应点画实心点;
• 若该段不包含端点，在对应点画空心点.

端点属于哪一段，由条件决定，不能凭图形感觉判断.

例

画出函数 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} x+1,& x\<0, x^2+1,& x\ge 0 \end{cases}"} /> 的图像.

解

当 $x\<0$ 时，图像是直线 $y=x+1$ 在左半平面的部分，点 $(0,1)$ 不属于这一段，所以在该点画空心点.

当 $x\ge 0$ 时，图像是抛物线 $y=x^2+1$ 在右半平面的部分，点 $(0,1)$ 属于这一段，所以在该点画实心点.

把两部分合在一起，就得到原函数图像.

分段点的归属决定实心点和空心点*

端点检查的顺序

先代入条件判断这一点属于哪一段，再决定点的虚实. 这个顺序能避免很多作图错误.

定义域、值域与单调性

分段函数的定义域是各段定义域的并集. 值域与单调性则要先分段分析，再把局部结论组合成整体结论.

值域. 求值域时，可以按下面的顺序处理：分别求出各段上的值域，再把这些部分值域取并集.

例

求函数 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} x+2,& x\le -1, x^2,& -1\<x\<2, 2,& x\ge 2 \end{cases}"} /> 的值域.

解

当 $x\le -1$ 时, $f(x)=x+2,$ 值域为 $(-\infty,1].$

当 $-1\<x\<2$ 时, $f(x)=x^2.$ 在这一区间内，最小值为 $0$, 上界逼近 $4$ 而不取到，所以值域为 $[0,4).$

当 $x\ge 2$ 时, $f(x)=2,$ 值域为 $\{2\}.$

把三部分合并，总值域为 $(-\infty,4).$

单调性. 分段函数要在整个定义域上保持单调，需要同时满足两件事:

1. 各段内部的单调方向一致;
2. 相邻两段在分界点附近的函数值衔接符合这一方向.

例

已知函数 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} (2a-1)x+7a-2,& x\<1, a^x,& x\ge 1 \end{cases}"} /> 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.

解

要使函数在整个定义域上单调递减，先看各段内部.

第一段是一次函数，递减条件为 $2a-1\<0,$ 即 $a\<\frac12.$

第二段是指数函数 $a^x$. 要在 $[1,+\infty)$ 上递减，必须有 $0\<a\<1.$

再比较分段点附近的衔接. 当 $x$ 从左边靠近 $1$ 时，第一段函数值趋近于 $(2a-1)\cdot 1+7a-2=9a-3.$ 而第二段在起点处的函数值是 $f(1)=a.$ 若整体递减，右段起点值不能高于左段末端值，因而应有 $9a-3\ge a.$ 即 $a\ge \frac38.$

把条件合并，得 $\frac38\le a\<\frac12.$

整体性质与局部性质

分段以后，每一段的性质都只是局部信息. 要得到整体结论，还要检查分界点两侧的衔接情况.

定义域不要漏掉条件端点

分段函数的定义域常常由若干区间拼成. 端点是否包含，完全由条件中的“$\<$、$\le$、$\>$、$\ge$”决定，这一点和作图时的实心点、空心点保持一致.

方程根的个数与图像

对于方程 $f(x)=k,$ 分段函数题往往最适合用图像来处理. 它等价于研究分段函数图像与水平直线 $y=k$ 的交点个数.

例

讨论方程 $f(x)=k$ 的根的个数，其中 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} -x^2-2x,& x\le 0, \ln(x+1),& x\>0. \end{cases}"} />

解

当 $x\le 0$ 时, $f(x)=-(x+1)^2+1.$ 这一段图像在 $x=-1$ 处达到最高点 $1$, 并经过点 $(0,0)$.

当 $x\>0$ 时, $f(x)=\ln(x+1)$ 是递增的，并且从 $(0,0)$ 的右侧开始向上延伸.

因此:

• 当 $k\>1$ 时，只在右侧对数曲线上有一个交点;
• 当 $k=1$ 时，左侧抛物线与右侧对数曲线各给出一个交点，共两个;
• 当 $0\<k\<1$ 时，左侧抛物线给出两个交点，右侧对数曲线再给出一个交点，共三个;
• 当 $k=0$ 时，交点为 $(-2,0)$ 与 $(0,0)$, 共两个;
• 当 $k\<0$ 时，只有左侧抛物线与水平线相交一次.

水平直线与分段函数的交点个数会随 $k$ 改变*

图像方法的价值

数根时先画 $y=f(x)$, 再移动水平直线 $y=k$. "有几个根"就对应"有几个交点", 每个交点给出一个解. 这个方法的好处在于：不需要求出方程的显式解，只要能画出函数图像的大致形状，就可以判断不同 $k$ 值下根的个数. 因此，它是处理超越方程、分段方程等无法直接求解情形的常用工具.

应用示例

分段函数非常适合描述“按条件收费”“按区间计价”“超过某个标准后规则改变”这一类现实规则.

例

某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:

1. 乘车 $5$ km 以内，票价 $2$ 元;
2. 超过 $5$ km 后，每增加 $5$ km, 票价增加 $1$ 元，不足 $5$ km 的部分按 $5$ km 计算.

若线路总里程为 $19$ km, 写出票价关于里程 $x$ 的函数解析式.

解

票价按区间分段保持常值，因而是一个阶梯函数: <MathBlock raw={"y= \begin{cases} 2,& 0\<x\le 5, 3,& 5\<x\le 10, 4,& 10\<x\le 15, 5,& 15\<x\le 19. \end{cases}"} /> 这正是“按条件定价”最典型的分段函数模型.

分段函数的现实背景

手机资费、阶梯电价、个税区间、邮费标准都经常出现同样的结构. 规则一旦随着条件改变，分段函数就会自然出现. 识别这类问题的关键是：找到"条件分界点", 即规则发生改变的位置，然后按区间分别写出每段的解析式. 分界点往往对应现实中的某个阈值或临界条件.

分段函数告诉我们：一个函数完全可以由若干局部规则拼成整体. 下一节讨论绝对值函数，会看到另一件事：绝对值既能制造分段结构，也能制造图像翻折.

绝对值函数

{/* label: sec:ch03-s18 */}

绝对值函数把前面几节的内容连了起来. 它按符号分段，常常写成复合函数，图像上表现为对称和翻折. 处理绝对值题时先找零点，再分段，最后回到图像或距离解释.

绝对值的定义与基本性质

绝对值

实数 $x$ 的绝对值, 记作 $|x|$, 定义为 <MathBlock raw={"|x|= \begin{cases} x,& x\ge 0, -x,& x\<0. \end{cases}"} />

这个定义有两个层面:

• 从代数上看，绝对值按符号分成两段;
• 从几何上看, $|x|$ 表示数轴上点 $x$ 到原点的距离.

更一般地, $|x-a|$ 表示点 $x$ 到点 $a$ 的距离. 这个解释会在绝对值方程、绝对值不等式和最值问题里反复出现.

绝对值的基本性质

对任意实数 $x,y$, 有:

1. 非负性 $|x|\ge 0;$
2. 零点性质 $|x|=0\iff x=0;$
3. 乘法性质 $|xy|=|x||y|;$
4. 三角不等式 $|x+y|\le |x|+|y|.$

证明

非负性与零点性质: 由定义，当 $x\ge0$ 时 $|x|=x\ge0$; 当 $x\<0$ 时 $|x|=-x\>0$. 因此对任意实数 $x$, 恒有 $|x|\ge0$, 并且 $|x|=0$ 当且仅当 $x=0$.

乘法性质: 按 $x,y$ 的符号分四种情形.

• 若 $x\ge0, y\ge0$, 则 $xy\ge0$, 于是 $|xy|=xy=|x||y|$;
• 若 $x\<0, y\<0$, 则 $xy\>0$, 于是 $|xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y|$;
• 若 $x\ge0, y\<0$, 则 $xy\le0$, 于是 $|xy|=-xy=x(-y)=|x||y|$;
• 若 $x\<0, y\ge0$, 则 $xy\le0$, 于是 $|xy|=-xy=(-x)y=|x||y|$.

四种情形均成立，故 $|xy|=|x||y|$ 对任意实数 $x,y$ 成立.

三角不等式: 利用非负性和乘法性质给出代数证明. 由 <MathBlock raw={"(|x|+|y|)^2 - |x+y|^2 = x^2+2|xy|+y^2 - (x+y)^2 = 2|xy|-2xy = 2(|xy|-xy)."} /> 由 $|xy|\ge xy$ (因为 $|t|\ge t$ 对任意实数 $t$ 成立), 得 $(|x|+|y|)^2 \ge |x+y|^2$. 两边取非负平方根，即得 $|x+y|\le |x|+|y|$.

绝对值天然带来两件事

先记两件事：绝对值的结果非负，到同一点距离相等的两个数会成对出现. 这两件事决定了绝对值图像常有折点和对称轴. 具体来说，非负性意味着绝对值函数的图像不会出现在 $x$ 轴下方；成对性意味着 $|f(x)|=|g(x)|$ 等价于 $f(x)=g(x)$ 或 $f(x)=-g(x)$, 这正是"零点分段讨论法"的理论基础.

绝对值函数

最基本的绝对值函数是 $y=|x|.$ 由定义可得 <MathBlock raw={"y= \begin{cases} x,& x\ge 0, -x,& x\<0. \end{cases}"} /> 所以它的图像由两条射线组成.

函数 $y=|x|$ 的图像*

这个图像有几个基本特征:

• 关于 $y$ 轴对称，所以它是偶函数;
• 在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增;
• 在原点处出现一个尖点.

例

写出函数 $y=|x-2|+1$ 的图像特征.

解

它由 $y=|x|$ 的图像向右平移 $2$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位得到. 因此图像仍是 V 形，顶点在 $(2,1).$ 对称轴是直线 $x=2.$

绝对值函数与图像变换

一般地, $y=|x-a|+b$ 可以直接看成基本图像 $y=|x|$ 的平移. 这说明绝对值函数天然和图像变换连在一起. 类似地, $y=-|x|+b$ 是将 V 形翻转为倒 V 形; $y=c|x-a|+b$ ($c\>0$) 改变的是 V 形的开口宽窄，而顶点 $(a,b)$ 和对称轴 $x=a$ 的位置不变. 掌握这些变换规律，可以快速画出各种绝对值函数的图像.

含绝对值的方程与不等式

求解含绝对值的方程与不等式时，最常用的方法是零点分段讨论法. 它依靠的正是绝对值的分段定义.

处理步骤通常是：先找出所有绝对值内部表达式的零点，这些零点把数轴分成若干区间；在每个区间内，绝对值内部表达式的符号固定，于是可以去掉绝对值；分别求解，再与本区间条件求交.

例

求解不等式 $|2x-1|\<x+2.$

解

先求分界点: $2x-1=0 \Longrightarrow x=\frac12.$ 于是只需在两个区间上分别讨论.

情形一: $x\ge \dfrac12$. 这时 $|2x-1|=2x-1.$ 原不等式化为 $2x-1\<x+2,$ 解得 $x\<3.$ 与本情形条件合并，得 $\frac12\le x\<3.$

情形二: $x\<\dfrac12$. 这时 $|2x-1|=1-2x.$ 原不等式化为 $1-2x\<x+2,$ 解得 $x\>-\frac13.$ 与本情形条件合并，得 $-\frac13\<x\<\frac12.$

把两部分合并，原不等式的解集为 $\left(-\frac13,3\right).$

几个常用等价形式. 当 $a\>0$ 时:

• $|f(x)|\<a\iff -a\<f(x)\<a;$
• <MathBlock raw={"|f(x)|\>a\iff f(x)\>a\ \text{或}\ f(x)\<-a;"} />
• $|f(x)|=|g(x)|\iff f(x)^2=g(x)^2.$

为什么分段法稳

绝对值本身按符号分段. 先找零点，再在每个区间去掉绝对值，可以避免把正负号写反；符号错会直接得到多余解或漏解. 与之相比，平方法虽然也能去绝对值，但可能引入增根，且对不等式会改变不等号方向，容易出错. 零点分段讨论法的每一步都有明确的逻辑依据，因此是最稳妥的通用方法.

绝对值与分段、复合、图像变换

绝对值函数同时涉及分段、复合和图像变换.

1. 它本身就是分段函数. <MathBlock raw={"|x|= \begin{cases} x,& x\ge 0, -x,& x\<0. \end{cases}"} /> 所以每一个绝对值表达式都天然带有按条件分段的思想.

2. 它常常出现在复合函数里. 函数 $|f(x)|$ 就是先算 $f(x)$, 再取绝对值. 分析它的定义域、值域和单调性时，仍然要先看内层函数.

3. 它会制造图像翻折.

• $y=|f(x)|$ 把原图像在 $x$ 轴下方的部分翻到上方;
• $y=f(|x|)$ 把原图像在 $y$ 轴右侧的部分对称复制到左侧.

例

分析函数 $y=|x^2-1|.$

解

先看内层函数 $u=x^2-1.$ 它在区间 $[-1,1]$ 内取非正值，在区间 $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ 内取非负值.

因此 <MathBlock raw={"|x^2-1|= \begin{cases} x^2-1,& |x|\ge 1, 1-x^2,& |x|\<1. \end{cases}"} /> 图像的外侧保持原样，中间落在 $x$ 轴下方的那一段被翻到上方.

结构之间的联系

一个绝对值表达式往往同时具有三种面貌：代数上是绝对值，结构上是复合，展开后是分段，图像上是翻折. 分析含绝对值的函数时，这四种视角可以互相配合：用复合函数的方法确定定义域和值域，用分段讨论的方法去掉绝对值，用图像翻折的直觉快速画图，用绝对值的代数性质简化计算.

距离模型与应用

绝对值最自然的应用来自距离. 这使很多最值问题一下子变得清楚.

例

求函数 $f(x)=|x-1|+|x-3|$ 的最小值.

解

几何上, $|x-1|$ 表示点 $x$ 到点 $1$ 的距离, $|x-3|$ 表示点 $x$ 到点 $3$ 的距离. 因而 $f(x)$ 表示点 $x$ 到这两个定点的距离之和.

若点 $x$ 落在区间 $[1,3]$ 内，那么两段距离正好拼成点 $1$ 到点 $3$ 的距离: $|x-1|+|x-3|=2.$ 这时已经达到最小.

若希望用代数说明，可以按分界点 $1,3$ 分段: <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} -2x+4,& x\le 1, 2,& 1\<x\<3, 2x-4,& x\ge 3. \end{cases}"} /> 于是图像先下降，在中间保持常数，再上升. 因此最小值为 $2,$ 在区间 $[1,3]$ 上的每一点都能取到.

两点距离和模型*

模型的推广

函数 $\sum_{i=1}^n |x-a_i|$ 表示点 $x$ 到若干定点的距离之和. 这类函数的最小值问题与"中位数"有密切关系：当 $n$ 为奇数时，最小值在正中间那个点取得；当 $n$ 为偶数时，最小值在中间两个点之间的任意位置取得. 这个结论把绝对值函数与统计学中的中位数联系在一起.

一道绝对值函数题同时涉及：按符号分段，按层次复合，在图像上对称或翻折，在应用里翻译成距离和条件判断. 拆清步骤、查明范围、再画图像，就能处理一大类函数问题.