基本初等函数

多项式函数与三次函数初步

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多项式函数

形如 <MathBlock raw={"f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 (n\in\mathbb{N},\ a_n\ne 0)"} /> 的函数称为多项式函数. 其中 $n$ 称为这个多项式函数的次数.

$n=1,2,3$ 分别给出一次函数、二次函数和三次函数. 一次函数和二次函数是三次函数的工具：平移、对称和根与系数的结论在三次函数中反复出现. 三次函数要解决的是化简形式与读出图像信息.

一次函数与二次函数回顾

平移、对称和根与系数的结论在三次函数中反复出现. 先回顾一次函数和二次函数中的对应结论.

一次函数 $f(x)=kx+b (k\ne0)$ 的图像是直线. 若 $x_1\<x_2$, 则 $f(x_2)-f(x_1)=k(x_2-x_1).$ 因为 $x_2-x_1\>0$, 所以差值的符号只由 $k$ 决定. 因而当 $k\>0$ 时, $f(x_2)\>f(x_1)$, 函数在整个定义域上严格递增；当 $k\<0$ 时, $f(x_2)\<f(x_1)$, 函数在整个定义域上严格递减.

二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c (a\ne0)$ 的图像是抛物线. 配方可得 $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}.$ 所以抛物线的对称轴是 $x=-\frac{b}{2a},$ 顶点坐标是 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right).$ 因为平方项总是非负，当 $a\>0$ 时，顶点给出最小值；当 $a\<0$ 时，顶点给出最大值. 若方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个根，它们关于对称轴成轴对称分布.

若方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根为 $x_1,x_2$, 由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{b}{a},$ 所以对称轴横坐标也可以写成 $\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}.$

三次函数的标准形

三次函数的一般形式是 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a\ne0)$. 处理这类函数时，常先把二次项消去.

三次函数的平移标准形

对任意三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a\ne0),$ 令 $g(u)=f\!\left(u-\frac{b}{3a}\right),$ 则 $g(u)=au^3+pu+q,$ 其中 <MathBlock raw={"p=c-\frac{b^2}{3a}, q=d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}."} />

证明

把 $x=u-\frac{b}{3a}$ 代入 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, 得 <MathBlock raw={"\begin{aligned} g(u) &=a\left(u-\frac{b}{3a}\right)^3+b\left(u-\frac{b}{3a}\right)^2+c\left(u-\frac{b}{3a}\right)+d &=au^3+\left[3a\left(-\frac{b}{3a}\right)+b\right]u^2+\left[3a\left(\frac{b}{3a}\right)^2-2b\left(\frac{b}{3a}\right)+c\right]u & -a\left(\frac{b}{3a}\right)^3+b\left(\frac{b}{3a}\right)^2-\frac{bc}{3a}+d. \end{aligned}"} /> 其中 $u^2$ 项的系数为 $3a\left(-\frac{b}{3a}\right)+b=-b+b=0,$ 所以 <MathBlock raw={"g(u)=au^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)u+\left(d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}\right)."} />

这个结论的作用很直接：任意三次函数经过一次水平平移后，都能化成不含二次项的形式. 后面讨论图像对称时，只要研究 $au^3+pu+q$ 就够了.

三次函数的中心对称

三次函数的中心对称

三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的图像关于点 $\left(-\frac{b}{3a},\,f\!\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ 中心对称.

证明

由上一节的结论，令 $g(u)=f\!\left(u-\frac{b}{3a}\right)=au^3+pu+q.$ 对任意实数 $t$, 曲线 $y=g(u)$ 上有两点 $A(t,g(t)), B(-t,g(-t)).$ 由 $g(t)+g(-t)=\bigl(at^3+pt+q\bigr)+\bigl(-at^3-pt+q\bigr)=2q$ 可知线段 $AB$ 的中点是 $\left(\frac{t+(-t)}{2},\frac{g(t)+g(-t)}{2}\right)=(0,q).$ 所以曲线 $y=g(u)$ 关于点 $(0,q)$ 中心对称.

再把坐标平移回原变量. 当 $u=0$ 时，对应的横坐标是 $x=-\frac{b}{3a}$, 对应函数值是 $q=g(0)=f\!\left(-\frac{b}{3a}\right).$ 所以原三次函数图像关于点 $\left(-\frac{b}{3a},\,f\!\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ 中心对称.

例

写出函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ 的对称中心.

解

由上一定理，对称中心的横坐标为 $x_0=-\frac{b}{3a}=-\frac{-6}{3\cdot 1}=2.$ 再算 $f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2+1=8-24+18+1=3.$ 所以对称中心是 $(2,3)$.

标准立方函数的图像

当上面的平移标准形里恰好有 $p=0$ 时，三次函数就变成最简单的形状.

标准立方函数

形如 $y=a(x-h)^3+k (a\ne 0)$ 的函数称为标准立方函数.

参数 $h,k$ 决定对称中心的位置，参数 $a$ 决定图像的方向和伸缩程度.

标准立方函数的性质

函数 $f(x)=a(x-h)^3+k (a\ne 0)$ 有下面三个性质:

1. 图像关于点 $(h,k)$ 中心对称;
2. 当 $a\>0$ 时，函数在 $\mathbb{R}$ 上严格递增；当 $a\<0$ 时，函数在 $\mathbb{R}$ 上严格递减;
3. 任意水平直线 $y=m$ 与图像恰有一个交点.

证明

对任意实数 $t$, 有 $f(h+t)+f(h-t)=\bigl(at^3+k\bigr)+\bigl(-at^3+k\bigr)=2k.$ 所以点 $(h,k)$ 是图像的对称中心.

再看单调性. 取任意 $x_1\<x_2$, 则 $x_1-h\<x_2-h$. 立方运算保持大小顺序，所以 $(x_1-h)^3\<(x_2-h)^3.$ 当 $a\>0$ 时，两边同乘 $a$ 后顺序不变，从而 $a(x_1-h)^3+k\<a(x_2-h)^3+k,$ 即 $f(x_1)\<f(x_2)$. 这说明函数严格递增. 当 $a\<0$ 时，两边同乘 $a$ 后顺序反向，于是 $f(x_1)\>f(x_2)$, 函数严格递减.

最后看水平直线. 设 $a(x-h)^3+k=m.$ 则 $(x-h)^3=\frac{m-k}{a},$ 所以 $x=h+\sqrt[3]{\frac{m-k}{a}}.$ 这个实数唯一，因而水平直线 $y=m$ 与图像恰有一个交点.

因此当 $a\>0$ 时，图像从左下向右上延伸；当 $a\<0$ 时，图像从左上向右下延伸.

例

讨论方程 $(x-1)^3=8$ 的实根.

解

原方程等价于 $x-1=\sqrt[3]{8}=2,$ 所以唯一实根是 $x=3.$ 由标准立方函数的性质，水平直线 $y=8$ 与曲线 $y=(x-1)^3$ 只有一个交点，所以上面的解已经给出了全部实根.

图像上，这就是曲线 $y=(x-1)^3$ 与水平直线 $y=8$ 的唯一交点.

三次方程根与系数的关系

三次方程也可以把根的和、两两乘积之和、三根乘积直接写成系数的式子. 计算根的对称式时，先用这些关系会更省力.

三次方程根与系数的关系

设方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\ne0)$ 在复数范围内的三个根为 $x_1,x_2,x_3$ (重根按重数计算), 则有 <MathBlock raw={"\begin{aligned} x_1+x_2+x_3&=-\frac{b}{a}, x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3&=\frac{c}{a}, x_1x_2x_3&=-\frac{d}{a}. \end{aligned}"} />

证明

在复数范围内，这个三次多项式可以分解为三个一次因式. 设这三个根为 $x_1,x_2,x_3$, 则 $ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).$ 展开右边得 <MathBlock raw={"a\bigl[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3\bigr]."} /> 比较同次项系数，就得到三个关系式.

例

已知三次方程 $x^3-6x^2+11x-6=0$ 的三个根为 $x_1,x_2,x_3$, 求 $x_1+x_2+x_3, x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3, x_1x_2x_3$.

解

这里 $a=1,\ b=-6,\ c=11,\ d=-6$. 由根与系数关系, $x_1+x_2+x_3=6, x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=11, x_1x_2x_3=6.$

幂函数

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前面已经讨论过指数函数 $y=a^x$. 下面讨论变量位于底数位置的函数.

定义与辨析

幂函数

形如 $y=x^\alpha$ 的函数称为幂函数, 其中 $x$ 是自变量, $\alpha \in \mathbb{R}$ 是一个常数，称为指数.

幂函数与指数函数都含有幂运算，但变量的位置不同，因而性质也不同.

• 幂函数 $y=x^\alpha$: 自变量 $x$ 是底数, 指数 $\alpha$ 是常数.
• 指数函数 $y=a^x$: 自变量 $x$ 是指数, 底数 $a$ 是常数.

先看变量在幂中的位置. $y=x^2$ 与 $y=2^x$ 在 $x\>0$ 时都递增，当 $x$ 足够大时, $2^x$ 增长得更快.

幂函数与指数函数的增长比较. 在 $x\>4$ 后，指数函数的增长速度远超幂函数.*

图像与性质

幂函数的性质由指数 $\alpha$ 决定. 下面通过几个典型图像归纳其共性与差异.

不同指数 $\alpha$ 下幂函数的图像*

观察图像，再配合代数运算，可得到幂函数 $y=x^\alpha$ 的常用性质:

1. 定义域: 定义域依赖于 $\alpha$. 若 $\alpha$ 为正整数，定义域为 $\mathbb{R}$. 若 $\alpha$ 为负整数，定义域为 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. 若 $\alpha$ 为分数，则需根据分母的奇偶性确定，例如 $y=x^{1/2}$ 的定义域为 $[0, +\infty)$.
2. 奇偶性: 奇偶性同样取决于 $\alpha$. 若 $f(x)=x^\alpha$ 的定义域关于原点对称，则当 $\alpha$ 是整数时，其奇偶性与 $\alpha$ 的奇偶性一致. 若 $\alpha=p/q$ (最简分数), 则当 $q$ 为奇数时，其奇偶性与分子 $p$ 的奇偶性一致.
3. 公共点: 无论 $\alpha$ 为何值 (除 $\alpha=0$ 外), 幂函数的图像恒过定点 $(1,1)$, 因为 $1^\alpha=1$.
4. 单调性 (在第一象限，即 $x\>0$ 时):

• 当 $\alpha\>0$ 时，函数在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递增.
• 当 $\alpha\<0$ 时，函数在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递减.

下面补充单调性和奇偶性的证明.

证明（单调性的证明）

设 $0\<x_1\<x_2$, 则 $\dfrac{x_2}{x_1}\>1$.

当 $\alpha\>0$ 时，因为底数大于 $1$ 且指数为正，所以 $\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\alpha}\>1,$ 从而 <MathBlock raw={"x_2^{\alpha}=x_1^{\alpha}\cdot\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\alpha}\>x_1^{\alpha}."} /> 这说明 $y=x^{\alpha}$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增.

当 $\alpha\<0$ 时，同理可得 $\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\alpha}\<1,$ 从而 $x_2^{\alpha}\<x_1^{\alpha}$, 函数在 $(0,+\infty)$ 上严格递减.

证明（奇偶性的证明）

设 $\alpha$ 为整数，且 $f(x)=x^{\alpha}$ 的定义域关于原点对称.

若 $\alpha$ 为偶数，则 $f(-x)=(-x)^{\alpha}=(-1)^{\alpha}x^{\alpha}=x^{\alpha}=f(x),$ 所以 $f$ 为偶函数.

若 $\alpha$ 为奇数，则 <MathBlock raw={"f(-x)=(-x)^{\alpha}=(-1)^{\alpha}x^{\alpha}=-x^{\alpha}=-f(x),"} /> 所以 $f$ 为奇函数.

对 $\alpha=p/q$ (最简分数) 且 $q$ 为奇数的情形，此时 $x^{1/q}$ 对所有实数 $x$ 都有意义，定义域为 $\mathbb{R}$, 关于原点对称. 又因为 $(-x)^{1/q}=-x^{1/q}$ (奇数次方根保持符号), 所以 <MathBlock raw={"(-x)^{p/q}=\bigl((-x)^{1/q}\bigr)^{p}=\bigl(-x^{1/q}\bigr)^{p}=(-1)^{p}\bigl(x^{1/q}\bigr)^{p},"} /> 奇偶性取决于 $p$ 的奇偶性.

比较幂的大小、解含幂式的不等式时，通常先看定义域和单调性.

例

比较 $0.7^{0.8}, 0.8^{0.7}, 0.8^{0.8}$ 的大小.

解

取 $0.8^{0.8}$ 作中间量，分两次比较.

比较 $0.8^{0.7}$ 与 $0.8^{0.8}$. 把它们看作指数函数 $f(x)=0.8^x$ 在两个点处的函数值. 由于 $0.8\in(0,1)$, 函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，又 $0.7\<0.8$, 所以 $0.8^{0.7}\>0.8^{0.8}$.

比较 $0.7^{0.8}$ 与 $0.8^{0.8}$. 把它们看作幂函数 $g(x)=x^{0.8}$ 在两个点处的函数值. 由于指数 $0.8\>0$, 函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，又 $0.7\<0.8$, 所以 $0.7^{0.8}\<0.8^{0.8}$.

综合两步比较，得 $0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8} \< 0.8^{0.7}$. 因此，三个数的大小顺序为 $0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8} \< 0.8^{0.7}$.

例

已知函数 $f(x) = (m^2-m-1)x^{m-2}$ 是一个幂函数，且在区间 $(0, +\infty)$ 上是减函数，求实数 $m$ 的值.

解

分别使用“幂函数”和“减函数”两个条件.

幂函数的标准形式为 $y=x^\alpha$, 自变量前的系数必须为 $1$. 因此 $m^2 - m - 1 = 1$. 整理得 $m^2 - m - 2 = 0$. 因式分解为 $(m-2)(m+1)=0$, 解得两个可能的 $m$ 值为 $m=2$ 或 $m=-1$.

再用单调性筛选. 当 $x\>0$ 时, $y=x^\alpha$ 单调递减对应 $\alpha \< 0$. 在本题中，指数为 $m-2$. 故必须满足 $m-2 \< 0 \implies m \< 2$.

在 $\{2, -1\}$ 中取满足 $m\<2$ 的值，得 $m=-1$.

故实数 $m$ 的值为 $-1$.

指数函数

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在自然现象与社会经济现象中，常会遇到增长或衰减速率与当前总量成正比的过程. 例如细胞增殖、放射性衰变和复利计息.

刻画这类过程需要指数函数模型. 幂运算的推广是它的起点.

指数的扩张与指数函数的定义

$a^3 = a \cdot a \cdot a$, $a^{-2} = 1/a^2$. 把指数从整数扩展到实数，同时保留幂运算律，就得到指数函数.

先定义有理数指数幂. 对于任意正实数 $a$ 和有理数 $p/q$ ($p,q \in \mathbb{Z}, q\>0$), 定义 $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$ 这一定义的目的是保持幂运算律 $(a^x)^y = a^{xy}$.

对于无理数指数，在高中阶段把 $a^x$ 视为已经建立好的基本函数对象. 它保持了熟悉的幂运算规律，并把定义域自然扩展到全体实数.

指数函数

函数 $y=a^x$ ($a\>0$ 且 $a \neq 1$) 称为指数函数, 其中 $x$ 是自变量. 其定义域为全体实数 $\mathbb{R}$.

要求底数 $a$ 为正数，是为了确保函数在整个实数域上都有定义 (例如, $(-2)^{1/2}$ 在实数域内无意义). 而 $a \neq 1$ 是因为当 $a=1$ 时, $y=1^x=1$ 是常数函数，通常不单独作为指数函数研究.

指数函数的定义辨析

若函数 $y=(a^2-5a+7)a^{x}$ 是指数函数，求参数 $a$ 的值.

解

先对照指数函数的标准形式 $y=b^x$. 给定式子要成为指数函数，需要满足:

1. 函数的系数必须为 $1$.
2. 底数 $b$ 必须为正数且不等于 $1$.

系数必须为 $1$, 所以 $a^2 - 5a + 7 = 1$, 即 $a^2 - 5a + 6 = 0$. 因式分解得 $(a-2)(a-3)=0$, 所以 $a=2$ 或 $a=3$.

再检查底数条件 $a\>0$ 且 $a \neq 1$.

• 当 $a=2$ 时, $2\>0$ 且 $2 \neq 1$. 此条件满足.

• 当 $a=3$ 时, $3\>0$ 且 $3 \neq 1$. 此条件同样满足.

  两个候选值均满足条件. 因此，参数 $a$ 的值为 $2$ 或 $3$.

由点确定指数函数

已知指数函数 $y=f(x)$ 的图像经过点 $(2,4)$, 求 $f(3)$ 的值.

解

题目明确指出 $f(x)$ 是指数函数，因而可设 $f(x)=a^x$, 其中底数 $a$ 满足 $a\>0$ 且 $a \neq 1$.

图像经过点 $(2,4)$, 即当 $x=2$ 时函数值为 $4$. 代入函数形式得到关于底数 $a$ 的方程 $f(2) = a^2 = 4$. 解此方程，得 $a=2$ 或 $a=-2$.

由指数函数底数满足 $a\>0$, 需舍去 $a=-2$. 因此，底数 $a$ 被唯一确定为 $2$.

因而函数表达式确定为 $f(x) = 2^x$. 再计算所求的函数值 $f(3)$, 有 $f(3) = 2^3 = 8$, 故 $f(3)$ 的值为 $8$.

指数函数的图像与性质

指数函数的性质由底数 $a$ 的取值范围决定. 下面分 $a\>1$ 和 $0\<a\<1$ 两种情形讨论.

指数函数的图像*

指数函数 $y=a^x$ ($a\>0, a \neq 1$) 具有以下基本性质:

1. 定义域与值域: 其定义域为 $\mathbb{R}$, 值域为 $(0, +\infty)$.
2. 特定点: 无论底数 $a$ 为何值，函数图像恒过定点 $(0,1)$, 因为 $a^0=1$.
3. 单调性:

• 当 $a\>1$ 时，指数函数在 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递增的.
• 当 $0\<a\<1$ 时，指数函数在 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递减的.

4. 渐近线: $x$ 轴是指数函数图像的水平渐近线.

以下以 $a\>1$ 的情形为例，用定义法证明其单调性.

证明

不妨设 $a\>1$. 在定义域 $\mathbb{R}$ 中任取 $x_1, x_2$ 且 $x_1 \< x_2$. 考察其函数值的比值，有 $\frac{f(x_2)}{f(x_1)} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = a^{x_2-x_1}$. 由于 $x_1 \< x_2$, 故 $x_2-x_1 \> 0$. 当底数 $a\>1$ 且指数为正数时，幂的值必然大于 $1$. 即 $a^{x_2-x_1} \> 1$. 因此, $\frac{f(x_2)}{f(x_1)} \> 1$. 又因为指数函数的值域为 $(0, +\infty)$, $f(x_1)$ 恒为正，故可得 $f(x_2) \> f(x_1)$. 根据定义，函数 $f(x)=a^x$ 在 $a\>1$ 时是严格单调递增的. $0\<a\<1$ 的情形可类似证明.

例

求解不等式 $4^{x^2+x} \< (\frac{1}{2})^{x-5}$.

解

先把两端都化成以 $2$ 为底的幂，再用单调性比较指数.

由 $4 = 2^2, \frac{1}{2} = 2^{-1}$, 原不等式化为 $(2^2)^{x^2+x} \< (2^{-1})^{x-5}$, 即 $2^{2(x^2+x)} \< 2^{-(x-5)}$. 这就是同一个指数函数 $f(t)=2^t$ 在 $t_1=2(x^2+x)$ 和 $t_2=-(x-5)$ 处的取值比较.

由于底数 $2\>1$, 指数函数 $f(t)=2^t$ 在其定义域 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递增的. 因此, $f(t_1) \< f(t_2)$ 等价于 $t_1 \< t_2$, 即 $2(x^2+x) \< -(x-5)$. 整理得 $2x^2 + 3x - 5 \< 0$. 因式分解得 $(2x+5)(x-1) \< 0$.

此不等式的解集为 $(-\frac{5}{2}, 1)$.

例

求解方程 $4^x + 6^x = 2 \cdot 9^x$.

解

先观察底数: $4=2^2, 6=2 \cdot 3, 9=3^2$. 用除法把它们整理成同一个比值.

将方程两边同除以 $9^x$, 得 $\frac{4^x}{9^x} + \frac{6^x}{9^x} = 2$. 利用 $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$, 得 <MathBlock raw={"\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0."} /> 令 $t = (\frac{2}{3})^x$. 由于指数函数的值域为正，有 $t\>0$. 原方程转化为 $t^2 + t - 2 = 0$. 因式分解得 $(t+2)(t-1)=0$. 解得 $t=-2$ 或 $t=1$.

结合 $t\>0$ 筛选，保留 $t=1$.

将 $t$ 的值代回换元关系式，得 $\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$. 由于任何非零实数的零次幂都等于 $1$, 立即得到 $x=0$.

本题的关键是先把不同底数化为同一比值，再换元.

指数增长模型的性质辨析

某池塘中浮萍的面积 $y$ (单位: $\text{m}^2$) 与时间 $t$ (单位：月) 的关系为指数函数模型 $y=f(t)=ka^t$ ($k\>0, a\>0, a \neq 1$), 其图像如图所示. 试判断下列说法的正误. \begin{BookDiagram}

TikZ 图 102

\end{BookDiagram}

[label=\Alph*.]

1. 浮萍每月增加的面积都相等.
2. 第6个月时，浮萍的面积会超过 $30\,\text{m}^2$.
3. 浮萍面积从 $2\,\text{m}^2$ 蔓延到 $64\,\text{m}^2$ 只需经过 5 个月.
4. 若浮萍面积蔓延到 $4\,\text{m}^2, 6\,\text{m}^2, 9\,\text{m}^2$ 所经过的时间分别为 $t_1, t_2, t_3$, 则 $t_1+t_3=2t_2$.

解

先读图确定模型参数. 图像经过点 $(0,1)$, 代入 $y=ka^t$ 得 $1 = k \cdot a^0$, 所以 $k=1$. 模型化为 $y=a^t$. 图像还经过点 $(1,2)$, 代入得 $2 = a^1$, 所以 $a=2$. 再检验点 $(2,4)$: $f(2)=2^2=4$, 与图像吻合. 因而浮萍面积的增长模型为 $y=f(t)=2^t$.

逐项判断.

对于命题 A, “每月增加的面积”对应差分 $f(t+1)-f(t)$, 而 $f(t+1) - f(t) = 2^{t+1} - 2^t = 2^t$. 这个增量随 $t$ 增大而增大. 故 A 项错误.

对于命题 B, 计算第6个月末 (即 $t=6$ 时) 的面积，有 $f(6) = 2^6 = 64 \, (\text{m}^2)$. 由于 $64 \> 30$, 故 B 项正确.

对于命题 C, 面积为 $2\,\text{m}^2$ 时 $2^t=2$, 得 $t_{\text{初}}=1$; 面积为 $64\,\text{m}^2$ 时 $2^t=64=2^6$, 得 $t_{\text{末}}=6$. 所需时间为 $5$ 个月. 故 C 项正确.

对于命题 D, 根据题意有 $4=2^{t_1}, 6=2^{t_2}, 9=2^{t_3}$, 即 $t_1=\log_2 4$, $t_2=\log_2 6$, $t_3=\log_2 9$. 检验等式: $t_1+t_3 = \log_2 4 + \log_2 9 = \log_2 36$, $2t_2 = 2\log_2 6 = \log_2 36$. 由于二者相等，故 D 项正确.

因此，正确的说法为 B, C, D.

等比与等差的对偶性

选项 D 反映出一个常见性质：若指数函数的因变量构成等比数列，则对应的自变量构成等差数列. 这是对数把乘法关系转化为加法关系的直接体现.

2017年北京卷

已知函数 $f(x)=3^x-\left(\frac13\right)^x.$ 判断 $f(x)$ 的奇偶性与单调性.

解

先看奇偶性: $f(-x)=3^{-x}-3^x=-\left(3^x-3^{-x}\right)=-f(x).$ 所以 $f(x)$ 是奇函数.

再看单调性. 任取 $x_1\<x_2$, 则因为 $3^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增, $3^{-x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上递减，所以 $3^{x_1}\<3^{x_2}, 3^{-x_1}\>3^{-x_2}.$ 从而 <MathBlock raw={"\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1) &=\left(3^{x_2}-3^{-x_2}\right)-\left(3^{x_1}-3^{-x_1}\right) &=\left(3^{x_2}-3^{x_1}\right)+\left(3^{-x_1}-3^{-x_2}\right)\>0. \end{aligned}"} /> 因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增.

综上, $f(x)$ 是奇函数，且在 $\mathbb{R}$ 上是增函数.

指数衰减模型的建立与求解

某地区计划对总面积为 $A$ 的老旧房屋进行“平改坡”工程. 经测算，若改造模式为每年改造的面积是当年剩余未改造面积的一个固定百分比 $p$, 要在10年内完成工程总量的一半，试估算这个百分比 $p$ 的值. (参考数据: $(1/2)^{1/10} \approx 0.933$)

解

设 $t$ 年后剩余未改造面积为 $R(t)$, 则 $R(0)=A$.

每年改造当年剩余面积的 $p$, 下一年就剩下原剩余量的 $1-p$, 因此 $R(t+1) = R(t) - pR(t) = (1-p)R(t).$ 所以 $R(t) = A(1-p)^t$.

10 年后完成一半，也就是 $R(10)=A/2$. 代入模型得 $A(1-p)^{10} = \frac{A}{2}$, 消去 $A$, 得 $(1-p)^{10} = \frac{1}{2}$.

由此得 $1-p = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{10}}$. 利用参考数据 $(1/2)^{1/10} \approx 0.933$, 得到 $1-p \approx 0.933$.

因此, $p \approx 1 - 0.933 = 0.067$.

故每年约需改造当年剩余面积的 $6.7\%$.

指数模型与线性模型的对比

按剩余量百分比改造时，剩余面积按固定比例缩小. 每年改造固定面积时，剩余面积按固定差值减少.

自然底数 \texorpdfstring{$e$

{e} 的引入} 在指数函数 $y=a^x$ 中，不同底数决定增长或衰减的快慢. 其中有一个特殊底数，记作 $e$.

设一笔本金存入银行，年利率为 $r$. 若每年计息一次，一年后本利和为 $P_1 = P_0(1+r)$. 若每半年计息一次，则每次计息的利率为 $r/2$, 一年内计息两次. 一年后本利和为 $P_2 = P_0(1+\frac{r}{2})^2$. 若每月计息一次，则一年后本利和为 $P_{12} = P_0(1+\frac{r}{12})^{12}$.

一般地，若一年内计息 $n$ 次，则每次的利率为 $r/n$, 一年后本利和为: $P_n = P_0\left(1+\frac{r}{n}\right)^n$ 当计息次数不断增加时，上式会稳定到一个固定的数值附近.

为突出主要结构，取本金为 $1$, 年利率为 $100\%$, 得 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$. 随着 $n$ 逐渐增大，这个数列的值逐渐稳定.

• $n=1$: $(1+1/1)^1 = 2$
• $n=10$: $(1+1/10)^{10} \approx 2.5937$
• $n=100$: $(1+1/100)^{100} \approx 2.7048$
• $n=1000$: $(1+1/1000)^{1000} \approx 2.7169$

这个稳定下来的常数记作 $e$.

自然底数 $e$

自然底数 $e$ 是一个重要常数，近似值为 $e \approx 2.71828...$ 复利模型中，计息足够频繁时的增长常数就是 $e$.

在复利模型中, $e$ 描述了计息足够频繁时的增长规律.

自然指数函数的基本性质

以 $e$ 为底的指数函数 $f(x)=e^x$ (称为自然指数函数) 仍属于指数函数. 因而它满足:

1. 定义域为 $\mathbb{R}$, 值域为 $(0,+\infty)$;
2. 图像过点 $(0,1)$;
3. 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增.

证明

这些结论都是指数函数一般性质在底数 $a=e$ 时的直接特例.

因此, $e^x$ 常用于描述复利增长、持续积累和指数增长过程. 第二卷再继续讨论它的更深性质.

对数函数

{/* label: sec:ch03-s14 */}

在第~[ref:sec:ch03-s07] 节中，已讨论过反函数的一般理论. 对指数函数 $y=a^x$ 而言，一个自然问题是其逆过程如何表示：已知幂的值 $y$ 和底数 $a$, 能否唯一确定对应的指数 $x$？

例如，方程 $2^x=8$ 的解是 $x=3$. 若求解 $2^x=5$, 虽然解不再是有理数，但由指数函数 $y=2^x$ 的严格单调性可知，仍存在唯一的实数 $x$ 与 $y=5$ 对应. 为了表示这个数，需要引入描述“求解指数”这一逆运算的记号，这就是对数概念的起源.

对数的定义与对数函数

对数

若 $a^x = N$ ($a\>0, a \neq 1$), 则数 $x$ 称为以 $a$ 为底 $N$ 的对数, 记作 $x = \log_a N$ 其中, $a$ 称为对数的底数, $N$ 称为真数.

这个定义揭示了对数与指数之间的互逆关系：$a^x=N \iff x=\log_a N$. 对数 $\log_a N$ 的含义，就是求使 $a$ 的幂等于 $N$ 的指数.

据此可建立对数函数.

对数函数

函数 $y=\log_a x$ ($a\>0, a \neq 1$) 称为对数函数, 其中 $x$ 是自变量.

从指数式 $a^x=N$ 反看对数，可以直接读出底数和真数的限制.

• 底数约束 ($a\>0, a \neq 1$): 底数仍按指数函数的要求取值.
• 定义域 (真数约束 $x\>0$): 对数函数的自变量 $x$ 对应指数函数 $y=a^x$ 的函数值. 指数函数的值域为 $(0, +\infty)$, 所以对数函数的定义域为 $(0, +\infty)$.

对数函数的图像与性质

对数函数 $y=\log_a x$ 是指数函数 $y=a^x$ 的反函数. 画图时，可以把指数函数图像沿直线 $y=x$ 翻折，得到对应的对数函数图像.

指数函数与对数函数图像的对称性 ($a\>1$)*

对数函数 $y=\log_a x$ ($a\>0, a \neq 1$) 的性质如下:

1. 定义域与值域: 其定义域为 $(0, +\infty)$, 值域为 $\mathbb{R}$. (这恰好是指数函数定义域与值域的互换).
2. 特定点: 无论底数 $a$ 为何值，函数图像恒过定点 $(1,0)$, 因为 $\log_a 1=0$.
3. 单调性:

• 当 $a\>1$ 时，对数函数在 $(0, +\infty)$ 上是严格单调递增的.
• 当 $0\<a\<1$ 时，对数函数在 $(0, +\infty)$ 上是严格单调递减的.

4. 渐近线: $y$ 轴 (即直线 $x=0$) 是对数函数图像的垂直渐近线.

2021年全国甲卷

五分记录法与小数记录法记录视力数据时，两者满足 $L=5+\lg V.$ 已知某同学视力的五分记录法数据为 $4.9$, 求其小数记录法数据 $V$ 的近似值. (参考数据: $10^{0.1}\approx 1.259$)

解

由题意 $4.9=5+\lg V,$ 所以 $\lg V=-0.1.$ 按照对数定义, $V=10^{-0.1}=\frac{1}{10^{0.1}}.$ 利用题中所给数据, $V\approx \frac{1}{1.259}\approx 0.79.$ 因而小数记录法数据约为 $0.8.$

对数与指数的复合应用

已知对数函数 $f(x)$ 的图像与一次函数 $h(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ 的图像交于 $A, B$ 两点，且点 $B$ 的横坐标为 $4$. \begin{BookDiagram}

TikZ 图 104

\end{BookDiagram}

1. 求 $f(x)$ 的解析式.
2. 若关于 $x$ 的不等式 $4^{f(x)}\<k$ 恰有 1 个整数解，求实数 $k$ 的取值范围.

解

先确定对数函数 $f(x)$ 的具体形式. 设 $f(x)=\log_a x$, 其中 $a\>0$ 且 $a \neq 1$.

点 $B$ 是两个函数图像的公共点，其坐标必须同时满足两个解析式. 已知点 $B$ 的横坐标为 $4$, 计算得 $h(4) = \frac{1}{3}(4) - \frac{1}{3} = 1$. 因此，点 $B$ 的坐标为 $(4,1)$.

将点 $B(4,1)$ 代入 $f(x)=\log_a x$, 得 $f(4) = \log_a 4 = 1$. 根据对数的定义，此式等价于 $a^1=4$, 故 $a=4$. 因此，函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\log_4 x$.

再分析不等式 $4^{f(x)}\<k$. 代入 $f(x)=\log_4 x$, 得 $4^{\log_4 x} \< k$. 由 $a^{\log_a N} = N$, 化为 $x \< k$. 同时保留原函数 $f(x)=\log_4 x$ 的定义域 $x\>0$.

因此，不等式的解集是 $0 \< x \< k$. 下面确定参数 $k$ 的取值，使开区间 $(0,k)$ 内恰好包含一个整数.

区间 $(0,k)$ 内的整数从小到大依次为 $1, 2, 3, ...$. 要使该区间内恰好包含一个整数，这个整数必然是 $1$.

为了让 $1$ 成为解集的一部分，必须有 $1 \< k$. 为了让 $2$ 不成为解集的一部分，必须有 $k \le 2$.

由此得 $1 \< k \le 2$. 故实数 $k$ 的取值范围是 $(1, 2]$.

对数函数图像的几何应用

如图，对数函数 $f(x)=\log_a x$ ($a\>1$) 图像上的点 $A$ 与 $x$ 轴上的点 $B(1,0)$ 和点 $C$ 构成以 $BC$ 为斜边的等腰直角三角形. 若 $\triangle ECD$ 与 $\triangle ABC$ 相似，点 $E$ 在函数 $f(x)$ 的图像上，点 $D$ 位于点 $C$ 的右侧，且两个三角形的相似比为 $2:1$, 求底数 $a$ 的值. \begin{BookDiagram}

TikZ 图 105

\end{BookDiagram}

解

把图形条件逐步写成点坐标关系.

设点 $A$ 的坐标为 $(x_1, y_1)$. 由于 $a\>1$, 函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，故 $y_1\>0$. $\triangle ABC$ 是以 $BC$ 为斜边的等腰直角三角形，点 $A$ 在其上方，所以点 $A$ 到 $BC$ 的高等于斜边长度的一半，垂足是 $BC$ 的中点.

点 $A$ 的纵坐标 $y_1$ 即为三角形的高. 设 $C$ 点坐标为 $(c,0)$, 则斜边长为 $c-1$. 于是 $y_1 = \frac{1}{2}(c-1)$. 同时，点 $A$ 的横坐标 $x_1$ 必为 $BC$ 的中点横坐标，即 $x_1 = \frac{1+c}{2}$.

消去 $c$, 由 $c=2x_1-1$ 代入前式，得 $y_1 = \frac{1}{2}((2x_1-1)-1) = x_1-1$. 因而图像上的点 $A(x_1, y_1)$ 满足线性关系 $y_1=x_1-1$.

设点 $E$ 的坐标为 $(x_2, y_2)$. 由于 $\triangle ECD \sim \triangle ABC$ 且相似比为 $2$, 对应高的比也为 $2$. $\triangle ECD$ 的高就是点 $E$ 的纵坐标 $y_2$. 因此, $y_2 = 2y_1$.

因为点 $A(x_1, y_1)$ 和 $E(x_2, y_2)$ 都在函数 $f(x)=\log_a x$ 的图像上，所以 $y_1 = \log_a x_1, y_2 = \log_a x_2$. 结合 $y_2=2y_1$, 得 $\log_a x_2 = 2\log_a x_1 = \log_a(x_1^2)$. 由于对数函数是单射，此式蕴含了 $x_2 = x_1^2$.

再找 $x_1, x_2$ 的关系. 由相似比可知 $CD$ 的长度是 $BC$ 的两倍，即 $CD=2BC=2(c-1)=4y_1$. 点 $E$ 的横坐标 $x_2$ 是 $CD$ 的中点横坐标，因而 $x_2 = c + \frac{1}{2}CD = c + 2y_1$.

于是得到关于 $x_1, y_1, x_2$ 的方程组 <MathBlock raw={"\begin{cases} y_1 = x_1-1 x_2 = x_1^2 x_2 = c + 2y_1 = (2x_1-1) + 2y_1 \end{cases}"} /> 将第一、二个式子代入第三个式子，得 $x_1^2 = (2x_1-1) + 2(x_1-1) = 4x_1 - 3$. 整理得到一个关于 $x_1$ 的一元二次方程 $x_1^2 - 4x_1 + 3 = 0$. 因式分解得 $(x_1-1)(x_1-3)=0$, 解得 $x_1=1$ 或 $x_1=3$.

若 $x_1=1$, 则 $y_1 = \log_a 1 = 0$, 这将导致 $\triangle ABC$ 退化为一个线段，不合题意，故舍去. 因此, $x_1=3$.

当 $x_1=3$ 时, $y_1 = x_1-1 = 2$. 故点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$.

最后，将点 $A(3,2)$ 代入函数解析式，得 $2 = \log_a 3$. 根据对数的定义, $a^2=3$. 由于题设 $a\>1$, 得 $a=\sqrt{3}$.

对数的运算法则

对数运算法则可以从指数运算法则推出. 证明时，先把对数式改写成指数式，用指数法则计算，再改写回对数式.

对数运算法则

设 $a\>0, a \neq 1$, 且 $M\>0, N\>0$.

1. $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ (积的对数等于对数的和).
2. $\log_a(M/N) = \log_a M - \log_a N$ (商的对数等于对数的差).
3. $\log_a(M^n) = n \log_a M$ ($n \in \mathbb{R}$) (幂的对数等于指数乘以底的对数).

证明

三条法则的证明思路一致：设对数为指数，用指数法则运算，再改写回对数.

法则 1: 设 $\log_a M = u$, $\log_a N = v$, 则 $a^u = M$, $a^v = N$. 于是 $MN = a^u \cdot a^v = a^{u+v}$, 改写回对数得 $\log_a(MN) = u+v = \log_a M + \log_a N$.

法则 2: 同样设 $\log_a M = u$, $\log_a N = v$. 于是 $\dfrac{M}{N} = \dfrac{a^u}{a^v} = a^{u-v}$, 改写回对数得 $\log_a\!\left(\dfrac{M}{N}\right) = u-v = \log_a M - \log_a N$.

法则 3: 设 $\log_a M = u$, 则 $a^u = M$. 于是 $M^n = (a^u)^n = a^{nu}$, 改写回对数得 $\log_a(M^n) = nu = n\log_a M$.

在实际计算与理论推导中，统一不同对数的底数是一个常见的需求. 这需要一个重要的工具——换底公式.

换底公式

设 $a, b \> 0$ 且 $a, b \neq 1$, $N\>0$. 则 $\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}$

证明

设 $\log_a N = x$. 则 $a^x = N$. 对此指数式两边取以 $b$ 为底的对数，得 $\log_b(a^x) = \log_b N$. 应用对数的幂运算法则，得 $x \log_b a = \log_b N$. 由于 $a \neq 1$, $\log_b a \neq 0$, 故可解得 $x = \frac{\log_b N}{\log_b a}$. 将 $x=\log_a N$ 代回，即得公式.

换底公式有两个常用推论:

• $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ (通过令 $N=b$ 得到).
• $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ (通过换底到以 $a$ 为底的对数得到).

例

求解不等式 $\log_{0.5}(x^2-2x-3) \> \log_{0.5}(x-1)$.

解

先由对数的真数必须为正确定定义域. <MathBlock raw={"\begin{cases} x^2-2x-3 \> 0 x-1 \> 0 \end{cases}"} /> 第一个不等式 $(x-3)(x+1)\>0$ 的解集为 $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$. 第二个不等式 $x\>1$ 的解集为 $(1, +\infty)$. 两个解集的交集为 $(3, +\infty)$, 这就是原不等式的定义域.

在定义域 $x \in (3, +\infty)$ 内求解原不等式. 不等式两端是同一个对数函数 $f(t)=\log_{0.5} t$ 在两个不同点 $t_1=x^2-2x-3$ 和 $t_2=x-1$ 的取值.

由于底数 $a=0.5 \in (0,1)$, 对数函数 $f(t)$ 在其定义域上是严格单调递减的. 因此，函数值的大小关系 $f(t_1) \> f(t_2)$ 等价于其自变量的反向大小关系 $t_1 \< t_2$, 即 $x^2-2x-3 \< x-1$. 整理此一元二次不等式，得 $x^2-3x-2 \< 0$. 此方程 $x^2-3x-2=0$ 的根为 $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$. 故不等式 $x^2-3x-2 \< 0$ 的解集为 $(\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$.

最后将此解集与定义域 $(3, +\infty)$ 求交集. 注意到 $4 \< \sqrt{17} \< 5$, 因此 $\frac{3+4}{2} \< \frac{3+\sqrt{17}}{2} \< \frac{3+5}{2}$, 即 $3.5 \< \frac{3+\sqrt{17}}{2} \< 4$. 同时, $3 = \frac{6}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} \< \frac{3+\sqrt{17}}{2}$.

因此，两个区间的交集为 $(3, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$.

故原不等式的解集为 $(3, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$.

例

已知函数 $f(x) = \log_a \frac{1+x}{1-x}$ ($a\>0, a \neq 1$).

1. 求 $f(x)$ 的定义域.
2. 判断 $f(x)$ 的奇偶性.

解

函数的定义域由其真数必须为正的条件决定，即 $\frac{1+x}{1-x} \> 0$. 此分式不等式等价于 $(1+x)(1-x) \> 0$, 即 $(x+1)(x-1) \< 0$. 解得 $-1 \< x \< 1$. 故 $f(x)$ 的定义域为开区间 $(-1, 1)$.

再判断其奇偶性. 注意到定义域 $(-1, 1)$ 关于原点对称，因而可以讨论奇偶性. 计算 $f(-x) = \log_a \frac{1+(-x)}{1-(-x)} = \log_a \frac{1-x}{1+x}$. 利用对数运算法则. 注意到 $\frac{1-x}{1+x} = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}$. 因此, <MathBlock raw={"\begin{aligned} f(-x) &= \log_a \left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) &= -1 \cdot \log_a \frac{1+x}{1-x} &= -f(x) \end{aligned}"} /> 此关系对定义域内的所有 $x$ 恒成立，故函数 $f(x)$ 是一个奇函数.

注

此函数是一个重要的奇函数模型. 更一般地，任何形如 $f(x) = \log_a g(x)$ 的函数，若其宗量满足 $g(-x)=1/g(x)$, 则该函数必为奇函数. 验证方法与本题完全一致: $f(-x)=\log_a g(-x)=\log_a(1/g(x))=-\log_a g(x)=-f(x)$. 这个结论在判断含对数的抽象函数的奇偶性时经常用到.