Volume I: Functions — Structure and Transformations

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函数的复合

一个函数的输出可以成为另一个函数的输入. 把式子读成一个过程——先算什么，再算什么，每一步对定义域、值域和图像各有什么影响——就能处理反函数、图像变换和绝对值翻折中的同类结构.

复合函数的层次结构

很多函数都不是一步完成的. 例如 $\sqrt{x^2+1}, \ln(3-\sin x), (2^x+1)^3$ 都要先算一个中间结果，再把它送进下一层运算. 这种“层层套入”的方式，就是复合函数的层次结构.

例

观察函数 $y=\sqrt{x^2+1}.$ 它可以读成 $x\longmapsto x^2+1\longmapsto \sqrt{x^2+1}.$ 第一步把 $x$ 变成 $x^2+1$ , 第二步再对这个结果开方.

识别层次时，有两个方向:

从外向内看，用来拆层. 先认出最外层运算是什么;
从内向外看，用来计算. 真正代入时总是先算里面，再算外面.

例

把函数 $y=\ln(3-\sin x)$ 按层次拆开.

解

最外层运算是取对数，所以先写成 $u=3-\sin x, y=\ln u.$ 若继续细分，还可以写成

x\longmapsto \sin x\longmapsto 3-\sin x\longmapsto \ln(3-\sin x).

同一个函数可以有粗细不同的拆法. 只要层次顺序一致，这些拆法都有效.

识别层次的常用办法

开方、平方、绝对值、对数、指数、三角函数常常充当外层函数. 先把最外层认出来，剩下的整体就当作内层函数.

代数式和操作过程的对应

看到 $\sqrt{\,3-\sin x\,}$ 时，若只把它当成一个整体符号串，很容易漏掉层次关系. 把它读成“先求 $\sin x$ , 再算 $3-\sin x$ , 最后开方”，式子的结构就清楚了.

复合函数的定义

设函数 $u=g(x)$ 先把输入 $x$ 变成中间量 $u$ , 再由函数 $y=f(u)$ 把 $u$ 变成最终结果 $y$ . 这两步连起来，就得到一个新函数.

复合函数

设函数 $g$ 的定义域为 $D_g$ , 函数 $f$ 的定义域为 $D_f$ . 对每个满足 $x\in D_g, g(x)\in D_f$ 的 $x$ , 定义 $F(x)=f(g(x)).$ 那么 $F$ 叫作 $f$ 与 $g$ 的复合函数. 其中 $g$ 叫作内层函数, $f$ 叫作外层函数.

$f(g(x))$ 这串记号表示“先求 $g(x)$ , 再把结果代入 $f$ ”. 它首先是一段过程，然后才是一段代数式.

例

设 $f(u)=u^3, g(x)=2^x+1.$ 则 $f(g(x))=(2^x+1)^3.$ 它表示的过程是：先求 $2^x+1$ , 再把这个结果立方.

复合的顺序通常不能交换

复合函数有先后顺序. 先做 $g$ , 再做 $f$ , 与先做 $f$ , 再做 $g$ , 往往得到不同的结果.

例

设 $f(x)=x+1, g(x)=x^2.$ 比较 $f(g(x))$ 与 $g(f(x))$ .

解

$f(g(x))=f(x^2)=x^2+1,$ 而 $g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1.$ 两者不同.

这里的差别来自操作顺序. “先平方，再加 $1$ ”与“先加 $1$ , 再平方”本来就是两条不同的计算路线.

例

再看 $f(x)=\sqrt{x}, g(x)=x-1.$ 则 $f(g(x))=\sqrt{x-1}, g(f(x))=\sqrt{x}-1.$

解

函数 $\sqrt{x-1}$ 的定义域是 $[1,+\infty)$ , 函数 $\sqrt{x}-1$ 的定义域是 $[0,+\infty)$ . 这一次连定义域都发生了变化.

顺序意识

这一点会贯穿后面的图像变换. 先平移再伸缩，与先伸缩再平移，一般也会得到不同结果.

复合函数的定义域

复合函数的定义域只有一个原则：复合过程的每一步都要有意义.

复合函数的定义域

设函数 $g$ 的定义域为 $D_g$ , 函数 $f$ 的定义域为 $D_f$ . 那么复合函数 $F(x)=f(g(x))$ 的定义域是 $\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}.$

证明

要使 $f(g(x))$ 有意义，先要能求出 $g(x)$ , 这要求 $x\in D_g$ ; 还要使这个结果能够代入外层函数 $f$ , 这要求 $g(x)\in D_f$ . 两个条件同时成立时，复合函数才有定义.

因此，复合函数的定义域约束由内到外层层传递：内层要有意义，而且内层的输出要能被外层接收.

例

求函数 $y=\sqrt{\ln(3-x)}$ 的定义域.

解

按层次写成 $u=\ln(3-x), y=\sqrt{u}.$ 外层根式要求 $u\ge 0,$ 所以 $\ln(3-x)\ge 0.$ 因为对数函数单调递增，上式等价于 $3-x\ge 1.$ 解得 $x\le 2.$ 这个条件同时保证 $3-x\>0$ , 所以对数也有意义. 因而原函数的定义域为 $(-\infty,2].$

例

已知函数 $f(2x-1)$ 的定义域是 $[0,1]$ , 求函数 $f(\sqrt{x})$ 的定义域.

解

函数 $f(2x-1)$ 在 $x\in[0,1]$ 时有意义，说明外层函数 $f$ 能接收的输入正好是 $2x-1\in[-1,1].$ 因此 $f$ 的定义域是 $[-1,1]$ .

现在考虑 $f(\sqrt{x})$ . 要使它有意义，需要 $\sqrt{x}\in[-1,1].$ 由于 $\sqrt{x}\ge 0$ , 条件化为 $0\le \sqrt{x}\le 1.$ 平方得 $0\le x\le 1.$ 所以定义域为 $[0,1]$ .

定义域中的常见错误

有些题只检查内层有意义，忽略了外层的限制；还有些题只盯着外层条件，却忘了内层本身也要先能算出来. 这两步都要保留.

复合函数的值域

复合函数的值域分析是在跟踪“中间量能走到哪里”：先求内层函数 $u=g(x)$ 的值域，再把这个值域当作外层函数的新定义域，求出 $y=f(u)$ 的取值范围.按这个思路，往往可以从内到外逐步确定复合函数的值域.

例

求函数 $y=4^x-2^{x+1}+3$ 的值域.

解

注意到 $4^x=(2^x)^2, 2^{x+1}=2\cdot 2^x.$ 令 $u=2^x,$ 则 $u\>0$ . 原函数化为 $y=u^2-2u+3=(u-1)^2+2.$ 因为 $u\in(0,+\infty)$ , 且 $u=1$ 可以取到，所以 $(u-1)^2$ 的最小值为 $0$ . 因而 $y\ge 2.$ 原函数的值域为 $[2,+\infty).$

例

求函数 $y=\sqrt{2-\cos x}$ 的值域.

解

先看内层函数 $u=2-\cos x.$ 因为 $-1\le \cos x\le 1,$ 所以 $1\le u\le 3.$ 再看外层函数 $y=\sqrt{u}.$ 当 $u\in[1,3]$ 时, $1\le y\le \sqrt3.$ 因此原函数的值域为 $[1,\sqrt3].$

值域分析中的观察点

内层函数的值域未必等于外层函数的整个定义域. 只把真实能取到的中间量送入外层，才能得到准确的值域.

复合函数的单调性

复合函数的单调性，要同时看内层“怎样变化”和外层“怎样响应这种变化”. 常用规律是“同增异减”，但使用前要先把区间分清楚.

复合函数的单调性

设 $g$ 在区间 $I$ 上单调，且 $f$ 在区间 $g(I)$ 上单调. 那么:

若 $f$ 与 $g$ 的单调方向相同，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递增;
若 $f$ 与 $g$ 的单调方向相反，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递减.

证明

任取 $x_1,x_2\in I$ , 且 $x_1\<x_2$ .

若 $g$ 递增，则 $g(x_1)\le g(x_2)$ . 当 $f$ 也递增时, $f(g(x_1))\le f(g(x_2)),$ 于是复合函数递增；当 $f$ 递减时, $f(g(x_1))\ge f(g(x_2)),$ 于是复合函数递减.

若 $g$ 递减，证明完全类似.

使用条件

“同增异减”只在单一区间上使用. 若内层函数在整个定义域上没有统一的单调方向，就先分区间，再分别讨论.

例

求函数 $y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)$ 的单调区间.

解

先求定义域: $x^2-2x-3\>0.$ 解得 $x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty).$

令 $u=x^2-2x-3.$ 外层函数 $y=\log_{0.5}u$ 因为底数 $0.5\<1$ , 所以在 $(0,+\infty)$ 上递减.

内层函数 $u=x^2-2x-3$ 是二次函数，对称轴为 $x=1$ .

在 $(-\infty,-1)$ 上, $u$ 递减;
在 $(3,+\infty)$ 上, $u$ 递增.

因此:

在 $(-\infty,-1)$ 上，内外都递减，所以复合后递增;
在 $(3,+\infty)$ 上，内层递增，外层递减，所以复合后递减.

为什么不能只看一层

只看外层，会漏掉内层把区间顺序翻转的可能；只看内层，又看不到外层怎样改变增减方向. 两层都要纳入判断.

复合函数的奇偶性

复合函数的奇偶性也体现层次传递. 这里先要保证定义域关于原点对称，否则奇偶性本身就无从谈起.

复合函数的奇偶性

设复合函数 $F(x)=f(g(x))$ 的定义域关于原点对称.

若 $g$ 是偶函数，则 $F$ 是偶函数;
若 $g$ 是奇函数，且 $f$ 是偶函数，则 $F$ 是偶函数;
若 $g$ 是奇函数，且 $f$ 是奇函数，则 $F$ 是奇函数.

证明

若 $g$ 为偶函数，则 $F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),$ 所以 $F$ 为偶函数.

若 $g$ 为奇函数，则 $F(-x)=f(g(-x))=f(-g(x)).$ 这时若 $f$ 为偶函数，就有 $F(-x)=f(g(x))=F(x);$ 若 $f$ 为奇函数，就有 $F(-x)=-f(g(x))=-F(x).$

例

判断函数 $F(x)=\cos(x^3)$ 的奇偶性.

解

内层函数 $g(x)=x^3$ 是奇函数，外层函数 $f(u)=\cos u$ 是偶函数. 由上面的结论可知 $F(x)=\cos(x^3)$ 是偶函数.

直接代定义仍然有效

若外层函数既不具有奇性，也不具有偶性，上面的结论就不能直接套用. 这时回到定义去算 $F(-x)$ 最稳妥.

由复合关系反求原函数

前面的问题都是已知 $f$ 与 $g$ , 去研究 $f(g(x))$ . 题目里还常见另一种方向：已知复合关系，反过来求原函数. 这类题的常用思路是拆层，设元，回代，检查范围.

例

已知 $f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x},$ 求 $f(x)$ .

解

令 $t=\sqrt{x}+1.$ 因为 $\sqrt{x}\ge 0$ , 所以 $t\ge 1.$ 由 $t=\sqrt{x}+1$ 可得 $\sqrt{x}=t-1, x=(t-1)^2.$ 代回原式:

\begin{aligned} f(t) &=(t-1)^2+2(t-1) &=t^2-1. \end{aligned}

把记号换回 $x$ , 得 $f(x)=x^2-1, x\ge 1.$

例

已知 $f(x^2+1)=2x^2-3,$ 求 $f(x)$ .

解

令 $t=x^2+1.$ 由于 $x^2\ge 0$ , 所以 $t\ge 1.$ 又因为 $x^2=t-1,$ 原式右边可化为 $2x^2-3=2(t-1)-3=2t-5.$ 因此 $f(t)=2t-5.$ 把记号换回 $x$ , 得 $f(x)=2x-5, x\ge 1.$

逆向分析意识

这类题常见的失误是只算出解析式，却漏掉新变量的取值范围. 复合关系反求原函数时，定义域同样属于答案的一部分.

函数相等与定义域

判断两个函数是否相等，不能只看解析式长得像不像. 函数由定义域和对应规则共同确定.

函数相等

若两个函数的定义域相同，并且对定义域中的每一个自变量都取相同的函数值，就称这两个函数相等.

例

判断下列两组函数是否相等: $f(x)=x+2, g(x)=\frac{x^2-4}{x-2};$ $u(x)=\sqrt{x^2}, v(x)=|x|.$

解

先看第一组. 对 $x\neq 2$ , $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$ 但函数 $g$ 在 $x=2$ 处没有定义，函数 $f$ 在 $x=2$ 处有定义. 两者定义域不同，所以它们不相等.

再看第二组. 对任意实数 $x$ , $\sqrt{x^2}=|x|.$ 并且两个函数的定义域都是 $\mathbb{R}$ . 所以 $u$ 与 $v$ 是同一个函数.

函数相等的判断要点

两个函数相等的条件是：定义域相同，且在定义域内每一点的函数值完全相同.化简后解析式相同只说明对应规则在公共部分一致，还需要核对定义域是否重合.

综合演练

设函数 $F(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right),$ 试分析它的层次结构、定义域、值域、单调区间和奇偶性.

解

这个函数可以看作三层复合：先算 $x^2+1$ ，再开方得到 $u$ ，最后取对数得到 $F(x)$ .写成 $t=x^2+1, u=\sqrt{t}, F(x)=\ln u.$

先看 $t=x^2+1$ .由于 $x^2\ge 0$ ，所以 $t\ge 1$ ，且对任意实数 $x$ 都有定义.再算 $u=\sqrt{t}$ ，因为 $t\ge 1\>0$ ，所以 $u$ 总有意义，且 $u\ge 1$ .最后外层是对数函数， $\ln u$ 在 $u\>0$ 时有定义.由于 $u\ge 1$ ，对数完全可行.因此 $F(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right)$ 的定义域是全体实数 $\mathbb{R}$ .

在定义域内， $x^2+1\ge 1$ ，所以 $\sqrt{x^2+1}\ge 1$ ，从而 $F(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right)\ge \ln 1=0.$ 当 $x=0$ 时取到等号.又由于 $\sqrt{x^2+1}$ 可以任意增大，所以 $F(x)$ 的值域是 $[0,+\infty)$ .

再看单调性.注意到 $F(x)=\frac{1}{2}\ln(x^2+1),$ 内层函数 $x^2+1$ 在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增；而对数函数本身是单调递增的.因此 $F(x)$ 的单调性与内层一致：在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增.

最后看奇偶性.因为

F(-x)=\ln\left(\sqrt{(-x)^2+1}\right)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right)=F(x),

所以 $F(x)$ 是偶函数.

分析层次与综合判断

以上例题涵盖了复合函数的主要分析方面.处理这类综合题时，做法是先把层层拆清楚，从内到外确定每一步的限制条件，再把性质判断交给对应的基本函数.

复合函数第一次系统呈现了函数的层次结构. 下一节讨论反函数，沿着同一条链条反向追踪，研究输出能否唯一地追溯到输入.

反函数

复合函数是顺着层次往前走，反函数则沿着同一条链条往回走. 已知输入求输出，是函数；已知输出反推输入，就进入了反函数的问题. 这一节的重点有两件事：一是看清“能不能反过来”，二是看清“在哪个范围里可以反过来”.

反函数的基本问题

设函数 $y=f(x)$ . 若已知 $x$ , 我们可以求出 $y$ ; 若已知 $y$ , 能否唯一确定 $x$ ? 这就是反函数的基本问题.

例

已知正方形边长 $x$ , 面积是 $x^2$ . 若反过来已知面积，我们希望求边长.

例

已知摄氏温度 $C$ , 华氏温度满足 $F=\frac95C+32.$ 若反过来给出华氏温度，也希望恢复摄氏温度.

这两个例子都有同一个结构：原函数把输入变成输出，反函数尝试把输出再变回输入. 从方程角度看，这件事等价于解 $f(x)=y.$ 如果对每个允许的 $y$ , 这个方程都有唯一解 $x$ , 那么“由输出恢复输入”本身就可以组织成一个新函数.

例

设 $f(x)=2x+1.$ 给定函数值 $y$ , 反求输入就是解方程 $2x+1=y.$ 它的唯一解是 $x=\frac{y-1}{2}.$ 因此，由输出恢复输入的过程本身就是一个函数.

一个容易忽略的细节. 反函数的输入来自原函数的值域. 原函数从来没有取到的数，不能直接拿来代入反函数.

和复合函数的关系. 若两个函数确实互为反函数，那么先用一个函数把输入送出去，再用另一个函数把结果接回来，会回到原来的数. 这就是后面复合关系 $f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x, f^{-1}(f(x))=x$ 的来源.

反函数与定义域选择

求反函数前先选范围. 检查每个输出是否只对应一个输入；若同一输出对应多个输入，就把定义域缩到合适的一段，再反推.

例

函数 $y=x^2$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上不能直接反过来. 因为 $(-2)^2=2^2=4,$ 同一个输出 $4$ 对应两个输入.

若把定义域缩小到合适的区间，情况就会改变.

例

把 $y=x^2$ 的定义域限制为 $[0,+\infty)$ , 就得到反函数 $y=\sqrt{x}.$ 若把定义域限制为 $(-\infty,0]$ , 就得到另一个反向恢复公式 $y=-\sqrt{x}.$

为什么要选定义域. 反函数要求“由输出唯一确定输入”. 缩小定义域的作用，就是把重复出现的输出拆开，让每个输出只对应一个输入.

定义域选择带来的结论. 同一个代数式，在不同区间上可以得到不同的反函数. 因此，讨论反函数时，真正的对象是“选定区间上的原函数”.

一个判断习惯. 遇到“求反函数”四个字时，先看题目有没有给定区间. 若没有给定，下一步就该检查原函数在哪些区间上能够保持一一性.

为什么有的函数能反过来，有的不能

若想由 $y$ 唯一确定 $x$ , 就要求不同输入产生不同输出. 这是一种一一性.

单射

设函数 $f$ 的定义域为 $A$ . 若对任意 $x_1,x_2\in A$ , 只要 $x_1\neq x_2$ , 就有 $f(x_1)\neq f(x_2),$ 就称 $f$ 在 $A$ 上是单射.

对中学阶段的理解来说，单射的意思很直观：不同的输入不会撞到同一个输出上. 只有这样，才能从输出唯一追溯到输入.

定理

函数 $f$ 在它的值域上存在反函数，当且仅当 $f$ 是单射.

证明

若 $f$ 有反函数 $f^{-1}$ , 那么一旦 $f(x_1)=f(x_2),$ 对两边同时作用 $f^{-1}$ , 得 $x_1=f^{-1}(f(x_1))=f^{-1}(f(x_2))=x_2.$ 所以 $f$ 必为单射.

反过来，若 $f$ 是单射，那么对值域中的每个 $y$ , 方程 $f(x)=y$ 恰好有唯一解. 于是就可以把这个唯一的 $x$ 定义为 $f^{-1}(y)$ , 从而得到反函数.

图像上的判断. 判断一个函数能否反过来，常用水平线检验法: 若任意一条水平直线与图像至多有一个交点，那么函数就是单射.

*图：定义域选择会改变可逆性*

严格单调是最常见的充分条件

若函数在某个区间上严格递增或严格递减，那么它在这个区间上一定是单射，因而一定存在反函数. 这是因为严格单调意味着 $x_1\<x_2$ 时必有 $f(x_1)\neq f(x_2)$ , 直接满足单射的定义. 在初等函数中，指数函数、对数函数、三角函数在其自然定义域的单调区间上都有反函数，这一条件覆盖了绝大多数常见情形，因此它是判断可逆性时首先想到的工具.

反函数的定义

反函数

设函数 $f\colon A\to B$ 的值域为 $C$ , 且 $f$ 在 $A$ 上是单射. 对任意 $y\in C$ , 若方程 $y=f(x)$ 有唯一解 $x\in A$ , 那么由 $y$ 确定 $x$ 的这个新函数叫作 $f$ 的反函数, 记作 $f^{-1}$ .

这里有两点必须分清:

$f^{-1}(x)$ 表示反函数，不是 $\dfrac{1}{f(x)}$ ;
反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.

把这一定义翻成更直白的话，就是: $y=f(x) \Longleftrightarrow x=f^{-1}(y).$ 原函数和反函数把同一组对应关系沿相反方向读了一遍.

求反函数的基本步骤

求反函数时，按四步做：写出 $y=f(x)$ ; 从等式中解出 $x$ ; 交换 $x,y$ 的字母，写成 $y=f^{-1}(x)$ ; 检查反函数的定义域和值域.

这套步骤背后的含义很明确：原来是“输入 $x$ , 输出 $y$ ”，现在改成“输入 $y$ , 输出 $x$ ”，所以最后要交换两个字母的角色.

例

求函数 $f(x)=2x+1, x\in\mathbb{R}$ 的反函数.

解

设 $y=2x+1.$ 解出 $x$ , 得 $x=\frac{y-1}{2}.$ 交换 $x,y$ , 得 $y=\frac{x-1}{2}.$ 因此 $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}.$ 原函数的值域是 $\mathbb{R}$ , 所以反函数的定义域也是 $\mathbb{R}$ .

例

在定义域 $[0,+\infty)$ 上，求函数 $f(x)=x^2$ 的反函数.

解

因为 $x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增，所以存在反函数.

设 $y=x^2, x\ge 0.$ 由 $x\ge 0$ , 解得 $x=\sqrt{y}.$ 交换 $x,y$ , 得 $y=\sqrt{x}.$ 因此 $f^{-1}(x)=\sqrt{x}, x\ge 0.$

例

求函数 $f(x)=\frac{2x-1}{x+3} (x\neq -3)$ 的反函数.

解

设 $y=\frac{2x-1}{x+3}.$ 解方程:

\begin{aligned} y(x+3)&=2x-1, yx+3y&=2x-1, x(y-2)&=-(1+3y), x&=\frac{3y+1}{2-y}. \end{aligned}

交换 $x,y$ , 得 $f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}.$

原函数不可能取到 $2$ , 所以反函数的定义域为 $\mathbb{R}\setminus\{2\}.$

最后一步为什么不能省

若只把式子解出来，却不检查值域与定义域，很容易把原函数没取到的数也误放进反函数的定义域. 例如上题中，原函数 $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ 的值域不包含 $2$ (无论 $x$ 取何值，分式都不等于 $2$ ), 如果忘记排除，反函数的定义域就会多出一个不该存在的点.

反函数的基本性质

反函数的几个基本性质彼此联系很紧.

定义域和值域交换

若 $f$ 与 $f^{-1}$ 互为反函数，那么

\begin{aligned} D_{f^{-1}}&=R_f, R_{f^{-1}}&=D_f. \end{aligned}

证明

反函数的输入就是原函数真正取到的输出，所以 $D_{f^{-1}}=R_f$ . 同理，反函数输出的正是原函数的输入，所以 $R_{f^{-1}}=D_f$ .

复合关系

若 $f$ 与 $f^{-1}$ 互为反函数，则 $f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x$ 对 $f^{-1}$ 的定义域内一切 $x$ 成立，且 $f^{-1}(f(x))=x$ 对 $f$ 的定义域内一切 $x$ 成立.

证明

任取 $x$ 属于 $f^{-1}$ 的定义域，记 $y=f^{-1}(x).$ 由反函数定义, $x=f(y)$ , 所以 $f(f^{-1}(x))=f(y)=x.$ 另一式同理可证.

图像关于 $y=x$ 对称

若 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 互为反函数，那么它们的图像关于直线 $y=x$ 对称.

证明

若点 $(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 的图像上，那么 $b=f(a).$ 由反函数定义, $a=f^{-1}(b),$ 所以点 $(b,a)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 的图像上. 而 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 正好关于直线 $y=x$ 对称.

*图：原函数与反函数交换了横纵坐标的位置*

单调性保持

若函数 $f$ 在某个区间上严格递增，则它的反函数在对应区间上也严格递增；若 $f$ 严格递减，则反函数也严格递减.

证明

先证严格递增的情形. 任取 $y_1\<y_2,$ 记 $x_1=f^{-1}(y_1), x_2=f^{-1}(y_2).$ 若有 $x_1\ge x_2$ , 由于 $f$ 严格递增，就有 $f(x_1)\ge f(x_2),$ 即 $y_1\ge y_2,$ 矛盾. 所以 $x_1\<x_2$ , 于是 $f^{-1}$ 也严格递增. 严格递减的证明同理.

这些性质为什么连在一起

反函数做的事只有一件：交换输入和输出的角色. 定义域和值域交换，图像关于 $y=x$ 对称，单调方向保持，都来自这件事.

例

已知 $x_1$ 是方程 $3^x=\frac{4}{x}$ 的根, $x_2$ 是方程 $\log_3 x=\frac{4}{x}$ 的根，求 $x_1x_2$ .

解

函数 $y=3^x$ 与 $y=\log_3 x$ 互为反函数，它们的图像关于 $y=x$ 对称.

函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图像本身也关于 $y=x$ 对称.

因此，这两组交点互为关于 $y=x$ 的对称点. 若第一个交点的横坐标是 $x_1$ , 那么第二个交点的横坐标就是第一个交点的纵坐标.

而在第一个交点上, $y=\frac{4}{x_1}.$ 所以 $x_2=\frac{4}{x_1},$ 从而 $x_1x_2=4.$

2018年上海卷

设常数 $a\in\mathbb{R}$ , 函数 $f(x)=\log_2(x+a).$ 若 $f(x)$ 的反函数图像经过点 $(3,1)$ , 求 $a$ .

解

反函数图像经过点 $(3,1)$ , 就意味着原函数图像经过与之关于直线 $y=x$ 对称的点 $(1,3)$ . 因此 $f(1)=3.$ 代入解析式: $\log_2(1+a)=3.$ 由对数定义, $1+a=2^3=8,$ 所以 $a=7.$

本节小结

反函数部分抓住四项检查：原函数在所讨论范围里是否具有一一性；定义域是否已经选到能唯一反推输入；反函数的定义域和值域是否补全；图像题是否已经用上关于 $y=x$ 的对称关系.

复合函数描述“一层一层往前走”，反函数描述“沿着同一结构往回走”. 图像变换把这种结构变化投影到平面上.

函数的图像变换

复合函数教我们从表达式里读出层次，反函数教我们沿着对应关系反向追索. 图像变换则把这种结构变化画在坐标平面上. 一个式子写在 $f(\cdot)$ 的内部还是外部，会在图像上留下不同的痕迹.

图像变换研究的对象

图像变换研究的是这样一类问题：已知一个基本函数的图像，当我们改动自变量、改动函数值，或对图像做平移、伸缩、对称、翻折时，新图像会变成什么样.

例

函数 $y=(x-2)^2+1$ 与 $y=x^2$ 具有相同的开口方向和相同的基本形状. 前者只是把后者的顶点从 $(0,0)$ 移到了 $(2,1)$ .

例

函数 $y=\ln(3-x)$ 可以从 $y=\ln x$ 的图像出发理解. 先把图像关于 $y$ 轴对称，得到 $y=\ln(-x)$ ; 再向右平移 $3$ 个单位，得到 $y=\ln(3-x)$ .

学习图像变换时先练两个动作:

作图前先认基本函数，再按顺序写出变换过程;
读到新函数时，立即标出顶点、对称轴、定义域、值域和变化趋势的移动.

变换的统一表示

设原函数图像为 $y=f(x).$ 若把它变成 $y=A f\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k,$ 其中 $\omega\neq 0,\ A\neq 0$ , 那么原图像上的点 $(x_0,y_0), y_0=f(x_0)$ 会对应到新图像上的点 $\left(\frac{x_0}{\omega}+h,\ Ay_0+k\right).$

读这个式子时，先分清作用位置:

写在 $f(\cdot)$ 内部的变化，影响横坐标;
写在 $f(\cdot)$ 外部的变化，影响纵坐标.

当 $\omega\<0$ 时，横向变化里包含关于 $y$ 轴的对称；当 $A\<0$ 时，纵向变化里包含关于 $x$ 轴的对称. 伸缩和对称常常同时出现.

note

横向看

x

, 纵向看

y

这是图像变换最重要的观察习惯. 写在 $f(\cdot)$ 内部的运算作用于自变量 $x$ , 影响的是横坐标；写在 $f(\cdot)$ 外部的运算作用于函数值，影响的是纵坐标. 例如 $y=f(2x)$ 中的 $2$ 把横坐标压缩到一半，而 $y=2f(x)$ 中的 $2$ 把纵坐标伸长到两倍. 只要按作用位置分类，平移方向和伸缩倍数就不会混淆.

证明（统一表示的来历）

若原图像上的点是 $(x_0,y_0)$ , 那么它满足 $y_0=f(x_0).$ 新图像上的点 $(x,y)$ 满足 $y=A f\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k.$ 把 $x_0=\omega(x-h), y_0=\frac{y-k}{A}$ 代入原方程，再解出 $x,y$ , 就得到 $x=\frac{x_0}{\omega}+h, y=Ay_0+k.$

基本图像变换

下面把最常见的几类变换分别说清.

1. 平移.

函数 $y=f(x-a)$ 由 $y=f(x)$ 的图像向右平移 $a$ 个单位得到;
函数 $y=f(x)+b$ 由 $y=f(x)$ 的图像向上平移 $b$ 个单位得到.

之所以 $f(x-a)$ 对应向右平移，是因为原图像上横坐标为 $0$ 的点，在新图像里会出现在 $x=a$ 的位置. 平移改变的是位置，图像形状本身保持不变.

2. 伸缩.

函数 $y=f(\omega x)$ 把原图像上各点的横坐标变成原来的 $\dfrac1{\omega}$ 倍;
函数 $y=A f(x)$ 把原图像上各点的纵坐标变成原来的 $A$ 倍.

若 $\omega\>1$ , 图像在水平方向压缩；若 $0\<\omega\<1$ , 图像在水平方向伸长. 这是因为内部系数作用在横坐标上，其效果是“反过来”的.

3. 对称.

$y=f(-x)$ 表示图像关于 $y$ 轴对称;
$y=-f(x)$ 表示图像关于 $x$ 轴对称;
$y=-f(-x)$ 表示图像关于原点对称.

若函数存在反函数，那么 $y=f^{-1}(x)$ 与 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称. 这正是上一节讨论过的反函数图像性质.

例

由 $y=x^2$ 的图像写出 $y=(x-2)^2+1$ 的变换过程.

解

先向右平移 $2$ 个单位，得到 $y=(x-2)^2.$ 再向上平移 $1$ 个单位，得到 $y=(x-2)^2+1.$ 顶点从 $(0,0)$ 变成 $(2,1)$ .

例

由 $y=\ln x$ 的图像写出 $y=\ln(3-x)$ 的变换过程.

解

先把 $y=\ln x$ 关于 $y$ 轴对称，得到 $y=\ln(-x).$ 再向右平移 $3$ 个单位，得到 $y=\ln(3-x).$

复合变换

当一个函数同时包含平移、伸缩和对称时，最稳妥的做法是先把式子写成标准形式 $y=A f\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k.$ 这样就能直接看出横向变化和纵向变化.

例

叙述由 $y=\sin x$ 的图像得到 $y=-2\sin\left(\frac12 x-\frac{\pi}{6}\right)+1$ 的过程.

解

先把内部整理成标准形式: $\frac12 x-\frac{\pi}{6}=\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$ 因此目标函数可写成 $y=-2\sin\left(\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)+1.$

接着分两部分看:

横向变化: 先把横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，再向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ ;
纵向变化: 先把纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍并关于 $x$ 轴对称，再向上平移 $1$ 个单位.

顺序为什么重要

同一方向上的两个变换按不同顺序执行，会得到不同解析式. 例如从 $y=f(x)$ 出发:

先向右平移 $1$ 个单位，再把横坐标压缩到原来的一半，得到 $y=f(2x-1);$
先把横坐标压缩到原来的一半，再向右平移 $1$ 个单位，得到 $y=f\bigl(2(x-1)\bigr)=f(2x-2).$

这两个结果分别是 $f(2x-1)$ 和 $f(2x-2)$ . 顺序写错，平移量会跟着错.

一个实用习惯. 读复合变换时，横向变化和纵向变化可以分开处理. 同一方向内部的顺序要严格检查.

反求解析式时怎样想. 若题目给的是“由基本图像经过若干步变换得到”，求解析式时可以把每一步变换翻成对 $x$ 或 $y$ 的改动，再按顺序写进公式. 这样比死记口诀稳定得多.

绝对值变换

绝对值变换有很鲜明的图像特征：它会把图像沿某条轴“折起来”.

定理

设原函数为 $y=f(x)$ .

函数 $y=f(|x|)$ 的图像保留原图像在 $y$ 轴右侧的部分，再把这部分关于 $y$ 轴对称复制到左侧;
函数 $y=|f(x)|$ 的图像保留原图像在 $x$ 轴上方的部分，再把 $x$ 轴下方的部分关于 $x$ 轴翻到上方.

证明

对 $f(|x|),$ 当 $x\ge 0$ 时, $|x|=x$ , 所以 $f(|x|)=f(x);$ 当 $x\<0$ 时, $|x|=-x$ , 所以 $f(|x|)=f(-x).$ 这说明左半边由右半边关于 $y$ 轴对称得到.

对 $|f(x)|,$ 当 $f(x)\ge 0$ 时，函数值保持不变；当 $f(x)\<0$ 时, $|f(x)|=-f(x),$ 所以图像在 $x$ 轴下方的部分会翻到上方.

例

令 $f(x)=x-1.$ 比较 $f(|x|) \text{和} |f(x)|.$

解

$f(|x|)=|x|-1.$ 它是把直线 $y=x-1$ 在右半平面的部分关于 $y$ 轴对称复制到左边，图像是顶点在 $(0,-1)$ 的 V 形.

再看 $|f(x)|=|x-1|.$ 它是把直线 $y=x-1$ 在 $x$ 轴下方的部分翻到上方，图像是顶点在 $(1,0)$ 的 V 形.

两个式子都带有绝对值，但作用对象不同，图像也完全不同.

局部折叠的感觉

$f(|x|)$ 改的是输入，所以折叠发生在左右方向; $|f(x)|$ 改的是函数值，所以折叠发生在上下方向.

图像变换中的常见错误

图像变换里先查对象，再查顺序.

把自变量变化和函数值变化混在一起. 看到写在 $f(\cdot)$ 内部的量，应先想到横坐标；看到写在外部的量，应先想到纵坐标. 混用以后，左右平移会被画成上下平移.
把平移方向记反. 例如 $f(x-a)$ 向右平移，因为新图像上横坐标为 $a$ 的点对应原图像上横坐标为 $0$ 的点. 方向记反时，顶点或对称轴会落到相反一侧.
忽略内部因式分解. 例如 $\sin\left(\frac12x-\frac{\pi}{6}\right)$ 应先写成 $\sin\left(\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right),$ 这样平移量才能看准. 漏掉因式分解时，会把 $\dfrac{\pi}{3}$ 误看成 $\dfrac{\pi}{6}$ .
忽略先后顺序. 同一方向上的伸缩和平移要按题目顺序执行，顺序错会改变解析式.
把 $f(|x|)$ 与 $|f(x)|$ 混为一谈. 一个对应左右复制，一个对应上下翻折. 混用以后，折叠的轴会选错.

口诀的作用

口诀只适合压缩记忆. 稳定的方法是先问一句：这一步作用在自变量上，还是作用在函数值上?

图像变换把“结构变化如何投影到图像上”这件事讲清了. 下一节讨论分段函数，则把另一种结构展示出来：同一个函数可以按条件分成几段规则来组织.

分段函数

前面看到的复合函数强调“层层套入”，图像变换强调“整体移动和翻折”. 分段函数展示的是另一种结构：同一个函数可以按条件分成几条规则来组织. 这在数学内部和实际应用里都很常见.

定义与读法

分段函数

若函数在定义域的不同部分分别由不同解析式给出，就称它为分段函数. 一般写成

f(x)= \begin{cases} f_1(x),& x\in D_1, f_2(x),& x\in D_2, \vdots& f_n(x),& x\in D_n, \end{cases}

其中各个集合 $D_1,D_2,...,D_n$ 两两不交，并且它们的并集构成函数的定义域.

读分段函数时，每一行都包含两部分信息:

这一段用什么规则计算;
这一段在什么条件下生效.

先看条件，再选公式，这是分段函数最基本的读法.

例

设

f(x)= \begin{cases} x+2,& x\le 1, 3,& x\>1. \end{cases}

求 $f(0)$ 与 $f(f(0))$ .

解

因为 $0\le 1$ , 所以 $f(0)=0+2=2.$ 再算 $f(f(0))=f(2).$ 由于 $2\>1$ , 应用第二段表达式，得 $f(2)=3.$ 所以 $f(f(0))=3.$

分段函数仍然是一个函数

给定一个输入，只会落入某一段的适用范围，因而输出仍然唯一. 分段写法改变的是组织方式，并没有改变函数的本质.

分段函数不要求“接起来很光滑”

有些分段函数在分界点左右函数值相同，图像能够接上；有些分段函数在分界点会跳开. 这两种情况都可以是合法的分段函数.

作图与端点

分段函数的图像要按区间分别画. 画图时，端点是否取到需要格外注意.

若该段包含端点，在对应点画实心点;
若该段不包含端点，在对应点画空心点.

端点属于哪一段，由条件决定，不能凭图形感觉判断.

例

画出函数

f(x)= \begin{cases} x+1,& x\<0, x^2+1,& x\ge 0 \end{cases}

的图像.

解

当 $x\<0$ 时，图像是直线 $y=x+1$ 在左半平面的部分，点 $(0,1)$ 不属于这一段，所以在该点画空心点.

当 $x\ge 0$ 时，图像是抛物线 $y=x^2+1$ 在右半平面的部分，点 $(0,1)$ 属于这一段，所以在该点画实心点.

把两部分合在一起，就得到原函数图像.

端点检查的顺序

先代入条件判断这一点属于哪一段，再决定点的虚实. 这个顺序能避免很多作图错误.

定义域、值域与单调性

分段函数的定义域是各段定义域的并集. 值域与单调性则要先分段分析，再把局部结论组合成整体结论.

值域. 求值域时，可以按下面的顺序处理：分别求出各段上的值域，再把这些部分值域取并集.

例

求函数

f(x)= \begin{cases} x+2,& x\le -1, x^2,& -1\<x\<2, 2,& x\ge 2 \end{cases}

的值域.

解

当 $x\le -1$ 时, $f(x)=x+2,$ 值域为 $(-\infty,1].$

当 $-1\<x\<2$ 时, $f(x)=x^2.$ 在这一区间内，最小值为 $0$ , 上界逼近 $4$ 而不取到，所以值域为 $[0,4).$

当 $x\ge 2$ 时, $f(x)=2,$ 值域为 $\{2\}.$

把三部分合并，总值域为 $(-\infty,4).$

单调性. 分段函数要在整个定义域上保持单调，需要同时满足两件事:

各段内部的单调方向一致;
相邻两段在分界点附近的函数值衔接符合这一方向.

例

已知函数

f(x)= \begin{cases} (2a-1)x+7a-2,& x\<1, a^x,& x\ge 1 \end{cases}

在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.

解

要使函数在整个定义域上单调递减，先看各段内部.

第一段是一次函数，递减条件为 $2a-1\<0,$ 即 $a\<\frac12.$

第二段是指数函数 $a^x$ . 要在 $[1,+\infty)$ 上递减，必须有 $0\<a\<1.$

再比较分段点附近的衔接. 当 $x$ 从左边靠近 $1$ 时，第一段函数值趋近于 $(2a-1)\cdot 1+7a-2=9a-3.$ 而第二段在起点处的函数值是 $f(1)=a.$ 若整体递减，右段起点值不能高于左段末端值，因而应有 $9a-3\ge a.$ 即 $a\ge \frac38.$

把条件合并，得 $\frac38\le a\<\frac12.$

整体性质与局部性质

分段以后，每一段的性质都只是局部信息. 要得到整体结论，还要检查分界点两侧的衔接情况.

定义域不要漏掉条件端点

分段函数的定义域常常由若干区间拼成. 端点是否包含，完全由条件中的“ $\<$ 、 $\le$ 、 $\>$ 、 $\ge$ ”决定，这一点和作图时的实心点、空心点保持一致.

方程根的个数与图像

对于方程 $f(x)=k,$ 分段函数题往往最适合用图像来处理. 它等价于研究分段函数图像与水平直线 $y=k$ 的交点个数.

例

讨论方程 $f(x)=k$ 的根的个数，其中

f(x)= \begin{cases} -x^2-2x,& x\le 0, \ln(x+1),& x\>0. \end{cases}

解

当 $x\le 0$ 时, $f(x)=-(x+1)^2+1.$ 这一段图像在 $x=-1$ 处达到最高点 $1$ , 并经过点 $(0,0)$ .

当 $x\>0$ 时, $f(x)=\ln(x+1)$ 是递增的，并且从 $(0,0)$ 的右侧开始向上延伸.

因此:

当 $k\>1$ 时，只在右侧对数曲线上有一个交点;
当 $k=1$ 时，左侧抛物线与右侧对数曲线各给出一个交点，共两个;
当 $0\<k\<1$ 时，左侧抛物线给出两个交点，右侧对数曲线再给出一个交点，共三个;
当 $k=0$ 时，交点为 $(-2,0)$ 与 $(0,0)$ , 共两个;
当 $k\<0$ 时，只有左侧抛物线与水平线相交一次.

图像方法的价值

数根时先画 $y=f(x)$ , 再移动水平直线 $y=k$ . "有几个根"就对应"有几个交点", 每个交点给出一个解. 这个方法的好处在于：不需要求出方程的显式解，只要能画出函数图像的大致形状，就可以判断不同 $k$ 值下根的个数. 因此，它是处理超越方程、分段方程等无法直接求解情形的常用工具.

应用示例

分段函数非常适合描述“按条件收费”“按区间计价”“超过某个标准后规则改变”这一类现实规则.

例

某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:

乘车 $5$ km 以内，票价 $2$ 元;
超过 $5$ km 后，每增加 $5$ km, 票价增加 $1$ 元，不足 $5$ km 的部分按 $5$ km 计算.

若线路总里程为 $19$ km, 写出票价关于里程 $x$ 的函数解析式.

解

票价按区间分段保持常值，因而是一个阶梯函数:

y= \begin{cases} 2,& 0\<x\le 5, 3,& 5\<x\le 10, 4,& 10\<x\le 15, 5,& 15\<x\le 19. \end{cases}

这正是“按条件定价”最典型的分段函数模型.

分段函数的现实背景

手机资费、阶梯电价、个税区间、邮费标准都经常出现同样的结构. 规则一旦随着条件改变，分段函数就会自然出现. 识别这类问题的关键是：找到"条件分界点", 即规则发生改变的位置，然后按区间分别写出每段的解析式. 分界点往往对应现实中的某个阈值或临界条件.

分段函数告诉我们：一个函数完全可以由若干局部规则拼成整体. 下一节讨论绝对值函数，会看到另一件事：绝对值既能制造分段结构，也能制造图像翻折.

绝对值函数

绝对值函数把前面几节的内容连了起来. 它按符号分段，常常写成复合函数，图像上表现为对称和翻折. 处理绝对值题时先找零点，再分段，最后回到图像或距离解释.

绝对值的定义与基本性质

绝对值

实数 $x$ 的绝对值, 记作 $|x|$ , 定义为

|x|= \begin{cases} x,& x\ge 0, -x,& x\<0. \end{cases}

这个定义有两个层面:

从代数上看，绝对值按符号分成两段;
从几何上看, $|x|$ 表示数轴上点 $x$ 到原点的距离.

更一般地, $|x-a|$ 表示点 $x$ 到点 $a$ 的距离. 这个解释会在绝对值方程、绝对值不等式和最值问题里反复出现.

绝对值的基本性质

对任意实数 $x,y$ , 有:

非负性 $|x|\ge 0;$
零点性质 $|x|=0\iff x=0;$
乘法性质 $|xy|=|x||y|;$
三角不等式 $|x+y|\le |x|+|y|.$

证明

非负性与零点性质: 由定义，当 $x\ge0$ 时 $|x|=x\ge0$ ; 当 $x\<0$ 时 $|x|=-x\>0$ . 因此对任意实数 $x$ , 恒有 $|x|\ge0$ , 并且 $|x|=0$ 当且仅当 $x=0$ .

乘法性质: 按 $x,y$ 的符号分四种情形.

若 $x\ge0, y\ge0$ , 则 $xy\ge0$ , 于是 $|xy|=xy=|x||y|$ ;
若 $x\<0, y\<0$ , 则 $xy\>0$ , 于是 $|xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y|$ ;
若 $x\ge0, y\<0$ , 则 $xy\le0$ , 于是 $|xy|=-xy=x(-y)=|x||y|$ ;
若 $x\<0, y\ge0$ , 则 $xy\le0$ , 于是 $|xy|=-xy=(-x)y=|x||y|$ .

四种情形均成立，故 $|xy|=|x||y|$ 对任意实数 $x,y$ 成立.

三角不等式: 利用非负性和乘法性质给出代数证明. 由

(|x|+|y|)^2 - |x+y|^2 = x^2+2|xy|+y^2 - (x+y)^2 = 2|xy|-2xy = 2(|xy|-xy).

由 $|xy|\ge xy$ (因为 $|t|\ge t$ 对任意实数 $t$ 成立), 得 $(|x|+|y|)^2 \ge |x+y|^2$ . 两边取非负平方根，即得 $|x+y|\le |x|+|y|$ .

绝对值天然带来两件事

先记两件事：绝对值的结果非负，到同一点距离相等的两个数会成对出现. 这两件事决定了绝对值图像常有折点和对称轴. 具体来说，非负性意味着绝对值函数的图像不会出现在 $x$ 轴下方；成对性意味着 $|f(x)|=|g(x)|$ 等价于 $f(x)=g(x)$ 或 $f(x)=-g(x)$ , 这正是"零点分段讨论法"的理论基础.

绝对值函数

最基本的绝对值函数是 $y=|x|.$ 由定义可得

y= \begin{cases} x,& x\ge 0, -x,& x\<0. \end{cases}

所以它的图像由两条射线组成.

这个图像有几个基本特征:

关于 $y$ 轴对称，所以它是偶函数;
在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增;
在原点处出现一个尖点.

例

写出函数 $y=|x-2|+1$ 的图像特征.

解

它由 $y=|x|$ 的图像向右平移 $2$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位得到. 因此图像仍是 V 形，顶点在 $(2,1).$ 对称轴是直线 $x=2.$

绝对值函数与图像变换

一般地, $y=|x-a|+b$ 可以直接看成基本图像 $y=|x|$ 的平移. 这说明绝对值函数天然和图像变换连在一起. 类似地, $y=-|x|+b$ 是将 V 形翻转为倒 V 形; $y=c|x-a|+b$ ( $c\>0$ ) 改变的是 V 形的开口宽窄，而顶点 $(a,b)$ 和对称轴 $x=a$ 的位置不变. 掌握这些变换规律，可以快速画出各种绝对值函数的图像.

含绝对值的方程与不等式

求解含绝对值的方程与不等式时，最常用的方法是零点分段讨论法. 它依靠的正是绝对值的分段定义.

处理步骤通常是：先找出所有绝对值内部表达式的零点，这些零点把数轴分成若干区间；在每个区间内，绝对值内部表达式的符号固定，于是可以去掉绝对值；分别求解，再与本区间条件求交.

例

求解不等式 $|2x-1|\<x+2.$

解

先求分界点: $2x-1=0 \Longrightarrow x=\frac12.$ 于是只需在两个区间上分别讨论.

情形一: $x\ge \dfrac12$ . 这时 $|2x-1|=2x-1.$ 原不等式化为 $2x-1\<x+2,$ 解得 $x\<3.$ 与本情形条件合并，得 $\frac12\le x\<3.$

情形二: $x\<\dfrac12$ . 这时 $|2x-1|=1-2x.$ 原不等式化为 $1-2x\<x+2,$ 解得 $x\>-\frac13.$ 与本情形条件合并，得 $-\frac13\<x\<\frac12.$

把两部分合并，原不等式的解集为 $\left(-\frac13,3\right).$

几个常用等价形式. 当 $a\>0$ 时:

$|f(x)|\<a\iff -a\<f(x)\<a;$

|f(x)|\>a\iff f(x)\>a\ \text{或}\ f(x)\<-a;

$|f(x)|=|g(x)|\iff f(x)^2=g(x)^2.$

为什么分段法稳

绝对值本身按符号分段. 先找零点，再在每个区间去掉绝对值，可以避免把正负号写反；符号错会直接得到多余解或漏解. 与之相比，平方法虽然也能去绝对值，但可能引入增根，且对不等式会改变不等号方向，容易出错. 零点分段讨论法的每一步都有明确的逻辑依据，因此是最稳妥的通用方法.

绝对值与分段、复合、图像变换

绝对值函数同时涉及分段、复合和图像变换.

1. 它本身就是分段函数.

|x|= \begin{cases} x,& x\ge 0, -x,& x\<0. \end{cases}

所以每一个绝对值表达式都天然带有按条件分段的思想.

2. 它常常出现在复合函数里. 函数 $|f(x)|$ 就是先算 $f(x)$ , 再取绝对值. 分析它的定义域、值域和单调性时，仍然要先看内层函数.

3. 它会制造图像翻折.

$y=|f(x)|$ 把原图像在 $x$ 轴下方的部分翻到上方;
$y=f(|x|)$ 把原图像在 $y$ 轴右侧的部分对称复制到左侧.

例

分析函数 $y=|x^2-1|.$

解

先看内层函数 $u=x^2-1.$ 它在区间 $[-1,1]$ 内取非正值，在区间 $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ 内取非负值.

因此

|x^2-1|= \begin{cases} x^2-1,& |x|\ge 1, 1-x^2,& |x|\<1. \end{cases}

图像的外侧保持原样，中间落在 $x$ 轴下方的那一段被翻到上方.

结构之间的联系

一个绝对值表达式往往同时具有三种面貌：代数上是绝对值，结构上是复合，展开后是分段，图像上是翻折. 分析含绝对值的函数时，这四种视角可以互相配合：用复合函数的方法确定定义域和值域，用分段讨论的方法去掉绝对值，用图像翻折的直觉快速画图，用绝对值的代数性质简化计算.

距离模型与应用

绝对值最自然的应用来自距离. 这使很多最值问题一下子变得清楚.

例

求函数 $f(x)=|x-1|+|x-3|$ 的最小值.

解

几何上, $|x-1|$ 表示点 $x$ 到点 $1$ 的距离, $|x-3|$ 表示点 $x$ 到点 $3$ 的距离. 因而 $f(x)$ 表示点 $x$ 到这两个定点的距离之和.

若点 $x$ 落在区间 $[1,3]$ 内，那么两段距离正好拼成点 $1$ 到点 $3$ 的距离: $|x-1|+|x-3|=2.$ 这时已经达到最小.

若希望用代数说明，可以按分界点 $1,3$ 分段:

f(x)= \begin{cases} -2x+4,& x\le 1, 2,& 1\<x\<3, 2x-4,& x\ge 3. \end{cases}

于是图像先下降，在中间保持常数，再上升. 因此最小值为 $2,$ 在区间 $[1,3]$ 上的每一点都能取到.

模型的推广

函数 $\sum_{i=1}^n |x-a_i|$ 表示点 $x$ 到若干定点的距离之和. 这类函数的最小值问题与"中位数"有密切关系：当 $n$ 为奇数时，最小值在正中间那个点取得；当 $n$ 为偶数时，最小值在中间两个点之间的任意位置取得. 这个结论把绝对值函数与统计学中的中位数联系在一起.

一道绝对值函数题同时涉及：按符号分段，按层次复合，在图像上对称或翻折，在应用里翻译成距离和条件判断. 拆清步骤、查明范围、再画图像，就能处理一大类函数问题.

函数的复合​

复合函数的层次结构​

复合函数的定义​

复合的顺序通常不能交换​

复合函数的定义域​

复合函数的值域​

复合函数的单调性​

复合函数的奇偶性​

由复合关系反求原函数​

函数相等与定义域​

反函数​

反函数的基本问题​

反函数与定义域选择​

为什么有的函数能反过来，有的不能​

反函数的定义​

求反函数的基本步骤​

反函数的基本性质​

本节小结​

函数的图像变换​

图像变换研究的对象​

变换的统一表示​

基本图像变换​

复合变换​

绝对值变换​

图像变换中的常见错误​

分段函数​

定义与读法​

作图与端点​

定义域、值域与单调性​

方程根的个数与图像​

应用示例​

绝对值函数​

绝对值的定义与基本性质​

绝对值函数​

含绝对值的方程与不等式​

绝对值与分段、复合、图像变换​

距离模型与应用​

Comments

函数的复合

复合函数的层次结构

复合函数的定义

复合的顺序通常不能交换

复合函数的定义域

复合函数的值域

复合函数的单调性

复合函数的奇偶性

由复合关系反求原函数

函数相等与定义域

反函数

反函数的基本问题

反函数与定义域选择

为什么有的函数能反过来，有的不能

反函数的定义

求反函数的基本步骤

反函数的基本性质

本节小结

函数的图像变换

图像变换研究的对象

变换的统一表示

基本图像变换

复合变换

绝对值变换

图像变换中的常见错误

分段函数

定义与读法

作图与端点

定义域、值域与单调性

方程根的个数与图像

应用示例

绝对值函数

绝对值的定义与基本性质

绝对值函数

含绝对值的方程与不等式

绝对值与分段、复合、图像变换

距离模型与应用