Chapter 03: Functions

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\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：从出租车计价看函数的对应关系

函数是现代数学的中心概念之一，它为变量之间的依赖关系提供了形式化的语言. 本章的目标是系统地建立函数的理论. 我们将从其作为一种特殊映射的严格定义出发，进而研究其核心性质——单调性、奇偶性、周期性等. 随后，我们将分析几类基本初等函数，它们是构造与分析更复杂函数的基础. 最后，我们将探讨函数的图像变换，并将函数模型应用于解决实际问题.

函数的概念

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数学中，映射 (mapping) 是一个普适的概念，它描述了从一个集合 $A$ 到另一个集合 $B$ 的元素间的对应法则. 函数是这类关系中最为重要的一种特例, 其特殊之处在于集合 $A$ 和 $B$ 的元素均为数.

函数的定义

函数

设 $A, B$ 为两个非空的实数子集. 一个从 $A$ 到 $B$ 的函数 (function) $f$ , 是一个为 $A$ 中每一个元素 $x$ , 都在 $B$ 中指派唯一确定的一个元素 $y$ 的法则.

此函数可记作 $f: A \to B$ ，其对应关系通常写作：

y = f(x), x \in A

我们称 $x$ 为自变量, $y$ 为因变量, 集合 $A$ 为函数的定义域, 集合 $B$ 为陪域.

一个函数由三部分构成：定义域 $A$ 、陪域 $B$ 和对应法则 $f$ . 定义直接蕴含了两条核心约束，这两条约束继承自映射的定义：

穷尽性：法则 $f$ 必须对定义域 $A$ 中的所有元素都有效.
唯一性：对于 $A$ 中给定的任意元素 $x$ , 其在 $B$ 中对应的元素 $y$ 必须是唯一的. 这意味着一个输入不能产生多个输出.

值得强调的是，定义并不禁止多个不同的输入 $x_1, x_2$ 对应同一个输出 $y_0$ (即 $f(x_1)=f(x_2)=y_0$ 的情况).

在记号 $y=f(x)$ 中, 必须精确区分 $f$ 和 $f(x)$ . $f$ 指代整个函数（即法则本身）, 而 $f(x)$ 是一个具体的数值, 它是在法则 $f$ 作用下, 与自变量 $x$ 对应的值.

陪域与值域的辨析

陪域和值域是两个相关但不同的概念.

陪域 $B$ 是函数定义时预先指定的目标集合，它包含了所有可能的输出值.
值域 $f(A)$ 是所有实际输出值的集合，由定义域和对应法则完全确定. 其严谨定义为：

f(A) = \{y \mid y=f(x), x \in A\}

值域始终是陪域的一个子集，即 $f(A) \subseteq B$.

例如，对于函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , 其法则为 $f(x) = x^2$ . 此函数的陪域是 $\mathbb{R}$ , 但其值域是 $[0, +\infty)$ .

将研究对象限定于数集，极大地拓展了可用的分析工具. 首先，我们可以对函数表达式进行代数运算，例如构造两个函数的和 $h(x) = f(x) + g(x)$ . 其次, 也是更根本的, 我们可以利用笛卡尔坐标系, 将函数与平面几何对象关联起来. 函数 $f$ 的图像 $\mathcal{G}_f$ 被定义为点集：

\mathcal{G}_f = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y=f(x), x \in A \}

这种代数与几何的联系，使得我们可以通过几何直观来研究函数的抽象性质.

函数的三要素

在分析函数时，我们的注意力通常集中在三个核心要素上：定义域、对应法则和值域.

定义域 指定了函数的合法输入集合. 任何关于函数的讨论都必须以其定义域为前提，此即“定义域优先”原则. 定义域记作 $\operatorname{D}(f)$ 或 $\operatorname{dom}(f)$ . 若一个函数仅由解析式给出而未明确指定定义域, 则其定义域约定为使该解析式在实数范围内有意义的所有 $x$ 的集合，称为自然定义域.

对应法则 描述了输入与输出之间的具体关系. 它最常由解析式给出，如 $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ . 图像与表格也是表示对应法则的有效形式.

值域是所有函数值构成的集合. 它并非函数的初始构成部分，而是由定义域和对应法则完全决定的派生集合. 探求一个函数的值域，是理解其行为的核心任务之一，也是数学中一类重要且富有技巧性的问题.

定义域

{/* label: sec:ch03-s02 */}

函数的自然定义域 (natural domain)，是指使该函数的解析式在实数域 $\mathbb{R}$ 内有意义的全体自变量 $x$ 构成的集合. 求解此集合通常归结为建立并求解一个或多个由函数代数结构决定的约束条件（通常是不等式或方程）.

基本代数结构的约束

以下是构成函数解析式的基本代数结构所引入的典型约束条件：

**分式 $\frac{f(x)**{g(x)}$ }：分母不为零, 即 $g(x) \neq 0$ . 这是因为除以零在实数域中没有定义.
**偶次根式 $\sqrt[2n]{f(x)**$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )}：被开方数非负, 即 $f(x) \ge 0$ . 这是因为在实数域中, 任何数的偶次幂均为非负数.
对数 $\log_a f(x)$ ：真数大于零, 即 $f(x) \> 0$ . 此约束源于对数的定义. 对数 $\log_a N$ 是指数方程 $a^y = N$ ( $a\>0, a\neq 1$ ) 的解 $y$ . 由于指数函数 $a^y$ 的值域是 $(0, +\infty)$ , 真数 $N$ 必须为正.
零次幂 $[f(x)]^0$ ：底数不为零, 即 $f(x) \neq 0$ . 这是基于指数运算法则 $a^m / a^m = a^{m-m} = a^0$ 建立的, 其中除法运算要求 $a \neq 0$ . 表达式 $0^0$ 在标准分析中是未定式.

实际问题中的隐性定义域

当函数模型源于实际问题时, 其定义域除受上述代数结构约束外, 还必须符合问题本身的物理或逻辑意义. 例如, 代表时间、长度或数量的变量通常被限制为非负数. 这些隐性条件是模型有效性的前提.

例

求函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x-4}$ 的定义域.

解

该函数的定义域由两个代数约束确定. 其一, 偶次根式 $\sqrt{x-2}$ 的被开方数必须非负. 其二, 分母 $x-4$ 不得为零. 这两个条件共同构成了一个不等式体系:

\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x-4 \neq 0 \end{cases}

该体系的解为 $x \ge 2$ 且 $x \neq 4$ .

因此, 函数的定义域为 $[2, 4) \cup (4, +\infty)$ .

例

求函数 $y = \sqrt{9-x^2} + \log_{2}(x+1)$ 的定义域.

解

函数的定义域是使其所有组成部分均有意义的自变量 $x$ 的集合.

对于根式项 $\sqrt{9-x^2}$ , 被开方数必须非负, 即 $9-x^2 \ge 0$ , 解得 $-3 \le x \le 3$ .

对于对数项 $\log_{2}(x+1)$ , 真数必须为正, 即 $x+1 \> 0$ , 解得 $x \> -1$ .

函数的定义域是这两个解集的交集. 联立不等式组:

\begin{cases} -3 \le x \le 3 \\ x \> -1 \end{cases}

其解集为 $(-1, 3]$ . 因此, 函数的定义域为 $(-1, 3]$ .

例

求函数 $f(x) = \frac{(x^2-4)^0}{\sqrt{x+1}-2}$ 的定义域.

解

要确定此函数的定义域, 必须满足三个条件.

首先, 零次幂的底数 $x^2-4$ 不为零, 这意味着 $x \neq 2$ 且 $x \neq -2$ .

其次, 分母 $\sqrt{x+1}-2$ 不为零, 即 $\sqrt{x+1} \neq 2$ , 两边平方得 $x+1 \neq 4$ , 故 $x \neq 3$ .

最后, 分母中的根式要求被开方数 $x+1$ 非负, 即 $x \ge -1$ .

综合这三个条件, 自变量 $x$ 必须在区间 $[-1, +\infty)$ 内, 且不等于 $2$ 和 $3$ . 注意到 $x \ge -1$ 已自动排除了 $x=-2$ 的情况.

因此, 定义域为 $[-1, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$ .

例

求函数 $f(x) = \sqrt{\log_{0.5}\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)}$ 的定义域.

解

此为复合函数, 其定义域的约束条件需由外向内逐层分析. 最外层的根式结构要求其被开方数非负:

\log_{0.5}\left(\frac{2x-1}{x+2}\right) \ge 0

由于对数底数 $0.5 \in (0,1)$ , 对数函数 $\log_{0.5} t$ 是严格单调递减的. 同时, 根据对数函数的性质, $\log_{0.5} 1 = 0$ . 因此, 上述不等式等价于其真数满足:

0 \< \frac{2x-1}{x+2} \le 1

此分式不等式组可分解为两个不等式:

\begin{aligned} \frac{2x-1}{x+2} &\> 0 {/* label: eq:def-ex4-1 */} \frac{2x-1}{x+2} &\le 1 {/* label: eq:def-ex4-2 */} \end{aligned}

对于不等式 \eqref{eq:def-ex4-1}, 其解集为 $(-\infty, -2) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$ . 对于不等式 \eqref{eq:def-ex4-2}, 移项通分得 $\frac{x-3}{x+2} \le 0$ , 其解集为 $(-2, 3]$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

函数的定义域是这两个解集的交集, 即 $((-\infty, -2) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)) \cap (-2, 3]$ .

因此, 定义域为 $(\frac{1}{2}, 3]$ .

例

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-1, 4]$ . 求函数 $g(x) = \frac{f(2x-1)}{\sqrt{x}}$ 的定义域.

解

函数 $f$ 的定义域为 $[-1,4]$ , 这意味着 $f$ 的有效输入值必须属于该区间.

对于函数 $g(x)=\frac{f(2x-1)}{\sqrt{x}}$ , 其自变量 $x$ 必须同时满足以下两个条件.

第一, $f$ 的输入量 $2x-1$ 必须在其定义域内:

-1 \le 2x-1 \le 4

解此不等式得 $0 \le x \le \frac{5}{2}$ .

第二, 表达式 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 要求分母不为零且根号内非负, 即 $x\>0$ .

联立这两个条件, $x$ 的取值范围是区间 $[0, \frac{5}{2}]$ 与 $(0, +\infty)$ 的交集.

因此, 函数 $g(x)$ 的定义域为 $(0, \frac{5}{2}]$ .

单调性

{/* label: sec:ch03-s03 */}

函数的基本性质之一是其值的变化趋势.单调性是对函数值随自变量有序变化这一趋势的精确刻画.它将函数图像“上升”或“下降”的几何直观，转化为严格的代数语言，并揭示了函数如何保持或反转其定义域上的序结构.对单调性的分析是比较函数值、求解不等式以及探求函数极值的理论基础.

单调性的定义与判定策略

单调函数

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ , 区间 $I \subseteq D$ .

若对于 $I$ 内任意 $x_1, x_2$ , 当 $x_1 \< x_2$ 时, 恒有 $f(x_1) \< f(x_2)$ , 则称 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递增.
若对于 $I$ 内任意 $x_1, x_2$ , 当 $x_1 \< x_2$ 时, 恒有 $f(x_1) \> f(x_2)$ , 则称 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递减.

若将上述定义中的严格不等号 $\<$ 和 $\>$ 分别替换为 $\le$ 和 $\ge$ , 则得到单调递增 (或称非减) 和单调递减 (或称非增) 的定义.严格单调函数与单调函数统称为单调函数.

从代数的观点看, 严格单调递增的函数是保序的, 而严格单调递减的函数是逆序的.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：单调性的几何直观

判定一个函数单调性的任务, 本质上是证明一个全称量词命题.其一般性策略如下：首先, 理解目标. 目标是证明一个形如 “ $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \< x_2 \implies f(x_1) \< f(x_2)$ ” (以严格递增为例) 的命题. 核心问题是如何比较任意两个函数值 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小.

其次, 拟定方案. 比较大小的基本途径有两种. 其一是代数途径, 即直接考察差 $f(x_1) - f(x_2)$ 的符号, 或在函数值恒正时考察商 $\frac{f(x_1)}{f(x_2)}$ 与 $1$ 的关系. 此即定义法. 其二是分析途径, 即利用导数工具. 若函数可导, 其单调性与导函数的符号有直接联系, 此即导数法.

最后, 执行与回顾. 执行方案, 完成代数或微积分的推导. 随后回顾论证过程, 识别出使问题得以解决的关键步骤（例如, 某个特定的因式分解技巧, 或导函数零点的确定）, 这有助于将方法内化为解决一类问题的通用能力.

单调性的判定方法

定义法

此方法是单调性定义的直接应用, 其核心在于通过代数变形判断函数值之差的符号. 其逻辑步骤为:

在指定区间 $I$ 内, 任取 $x_1, x_2$ , 并设 $x_1 \< x_2$ .
构造差式 $f(x_1) - f(x_2)$ .
对差式进行恒等变形, 目标是将其化为若干符号易于判定的因式的乘积或商.
依据区间 $I$ 的约束条件判定差式的最终符号, 从而确定 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小关系.

例

证明函数 $g(x) = x + \frac{1}{x}$ 在区间 $(0, 1]$ 上严格单调递减, 在 $[1, +\infty)$ 上严格单调递增.

解

设 $x_1, x_2$ 为函数定义域内两点且 $x_1 \< x_2$ . 我们已在上一节的分析中将差式变形为:

g(x_1) - g(x_2) = \frac{(x_1 - x_2)(x_1 x_2 - 1)}{x_1 x_2}

由于 $x_1 \< x_2$ , 因子 $(x_1 - x_2)$ 恒为负. 差式的符号取决于因子 $(x_1 x_2 - 1)$ 和分母 $x_1 x_2$ .

若 $x_1, x_2 \in [1, +\infty)$ 且 $1 \le x_1 \< x_2$ , 则分母 $x_1 x_2 \> 0$ , 且 $x_1 x_2 \> 1$ , 故因子 $(x_1 x_2 - 1) \> 0$ . 差式的符号为 $\frac{(-)(+)}{(+)} = (-)$ , 即 $g(x_1) \< g(x_2)$ . 因此, $g(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上严格单调递增.

若 $x_1, x_2 \in (0, 1]$ 且 $0 \< x_1 \< x_2 \le 1$ , 则分母 $x_1 x_2 \> 0$ , 且 $0 \< x_1 x_2 \< 1$ , 故因子 $(x_1 x_2 - 1) \< 0$ . 差式的符号为 $\frac{(-)(-)}{(+)} = (+)$ , 即 $g(x_1) \> g(x_2)$ . 因此, $g(x)$ 在 $(0, 1]$ 上严格单调递减.

单调区间的表述

单调性是定义在单一区间上的性质.例如, 函数 $f(x)=1/x$ 在 $(-\infty, 0)$ 上严格单调递减, 在 $(0, +\infty)$ 上也严格单调递减.但是, 不能断言 $f(x)$ 在其定义域的并集 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ 上是单调递减的.

为证此言, 只需一个反例：取 $x_1=-1, x_2=1$ .显然 $x_1 \< x_2$ , 但 $f(x_1)=-1 \< f(x_2)=1$ , 这不满足单调递减的定义.因此, 陈述函数的单调区间时, 必须分别列出, 如用"和"或逗号连接, 而非使用并集符号.

导数法

对于可导函数, 其单调性与其导函数的符号密切相关.

导数与单调性的关系

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上可导.

若在 $I$ 的内部恒有 $f'(x) \> 0$ , 则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增.
若在 $I$ 的内部恒有 $f'(x) \< 0$ , 则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减.

此定理将判定单调性的问题转化为求解不等式.导函数的零点是划分单调区间的关键点.

例

求函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$ 的单调区间.

解

函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ .其导函数为 $f'(x) = x^2 - 2x - 3$ . 令 $f'(x)=0$ , 即 $x^2 - 2x - 3 = 0$ , 解得 $x=-1$ 或 $x=3$ . 这两个根将实数轴划分为三个区间: $(-\infty, -1)$ , $(-1, 3)$ , $(3, +\infty)$ .

当 $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ 时, $f'(x)\>0$ . 当 $x \in (-1, 3)$ 时, $f'(x)\<0$ .

由于函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 和 $x=3$ 处连续, 我们可以将单调区间扩展至闭区间.因此, 函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty, -1]$ 和 $[3, +\infty)$ , 单调递减区间是 $[-1, 3]$ .

复合函数的单调性

复合函数 $y=f(g(x))$ 的单调性由其内层函数 $u=g(x)$ 和外层函数 $y=f(u)$ 的单调性共同决定, 其规律可概括为“同增异减”.

复合函数单调性

设复合函数 $y=f(g(x))$ 在区间 $I$ 上有定义.若 $u=g(x)$ 在 $I$ 上单调, 且 $y=f(u)$ 在对应的区间 $g(I)$ 上单调, 则:

若 $f(u)$ 与 $g(x)$ 的单调性相同 (同为增或同为减), 则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上单调递增.
若 $f(u)$ 与 $g(x)$ 的单调性相异 (一增一减), 则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上单调递减.

证明

设 $x_1, x_2 \in I$ 且 $x_1 \< x_2$ .令 $u_1 = g(x_1), u_2 = g(x_2)$ .

若 $g$ 和 $f$ 均单调递增, 则 $x_1 \< x_2 \implies u_1 \< u_2 \implies f(u_1) \< f(u_2)$ .复合函数递增.

若 $g$ 和 $f$ 均单调递减, 则 $x_1 \< x_2 \implies u_1 \> u_2 \implies f(u_1) \< f(u_2)$ .复合函数递增.

若 $g$ 递增而 $f$ 递减, 则 $x_1 \< x_2 \implies u_1 \< u_2 \implies f(u_1) \> f(u_2)$ .复合函数递减.

最后一种情况（ $g$ 递减, $f$ 递增）的证明是类似的.

例

求函数 $y = \log_{0.5}(x^2-2x-3)$ 的单调区间.

解

首先, 函数的定义域由 $x^2-2x-3 \> 0$ 确定, 解得 $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ .

我们将函数分解为: 外层函数 $y=f(u)=\log_{0.5} u$ 和内层函数 $u=g(x)=x^2-2x-3$ .

外层函数 $f(u)$ 因底数 $0.5 \in (0,1)$ 在其定义域 $(0, \infty)$ 上严格单调递减.

内层函数 $g(x)$ 是开口向上的二次函数, 对称轴为 $x=1$ .在其定义域的子区间 $(-\infty, -1)$ 上, $g(x)$ 严格单调递减; 在 $(3, +\infty)$ 上, $g(x)$ 严格单调递增.

在区间 $(-\infty, -1)$ 上, $g(x)$ 递减, $f(u)$ 递减.根据定理, 单调性相同, 故复合函数单调递增.

在区间 $(3, +\infty)$ 上, $g(x)$ 递增, $f(u)$ 递减.根据定理, 单调性相异, 故复合函数单调递减.

因此, 函数的单调递增区间是 $(-\infty, -1)$ , 单调递减区间是 $(3, +\infty)$ .

奇偶性

{/* label: sec:ch03-s04 */}

对称是蕴藏于宇宙与数学深处最本质的美学原则之一. 从雪花的六重对称到物理学中的守恒定律，对称性无处不在.

在函数的世界里，图像的对称性同样是其内在结构与性质的直观体现. 我们需要一套精准的代数语言来刻画这种几何上的对称，这便是奇偶性理论的出发点.

定义

我们首先关注两种最基本、最重要的对称形式：关于 $y$ 轴的轴对称与关于原点的中心对称.

奇偶性

设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 是一个关于原点对称的数集 (即, 若 $x \in D$ , 则必有 $-x \in D$ ).

如果对于任意 $x \in D$ , 恒有 $f(-x) = f(x)$ , 则称 $f(x)$ 为偶函数. 其图像关于 $y$ 轴对称.
如果对于任意 $x \in D$ , 恒有 $f(-x) = -f(x)$ , 则称 $f(x)$ 为奇函数. 其图像关于原点中心对称.

此定义包含两个不可分割的部分. 首先，定义域的对称性是讨论奇偶性的逻辑前提，它保证了当 $x$ 在定义域内取值时, 其相反数 $-x$ 同样有意义, 从而使得 $f(-x)$ 的考察成为可能. 其次, 代数恒等式 $f(-x)=\pm f(x)$ 是奇偶性的本质判据, 它必须对定义域内的每一个 $x$ 都成立.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：偶函数与奇函数的几何直观

例

(1) 下列函数在定义域上是偶函数的是 ( )

\item[A.] $f(x)=\frac{x^2+x}{x+1}$ \item[B.] $f(x)=x\sin x$ \item[C.] $f(x)=\log_2(\sqrt{x^2+1}-x)$ \item[D.] $f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x+2|-2}$

(2) 已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=xf(y)+yf(x)$ . 定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $g(x)$ 满足 $g(x+1)=(x+1)(x^2+2x)$ , 则 ( )

\item[A.] $f(x)$ 不是奇函数 \item[B.] $f(x)$ 既是奇函数也是偶函数 \item[C.] $g(x)$ 是奇函数 \item[D.] $g(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数

证明

(1) 我们需要逐一检验每个选项的奇偶性. 值得注意的是，在判断奇偶性之前，我们务必首先确定函数的定义域是否关于原点对称.

\item[A.] $f(x)=\frac{x^2+x}{x+1}$ . 其定义域为 $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \}$ , 显然不关于原点对称. 因此, $f(x)$ 不可能是偶函数. \item[B.] $f(x)=x\sin x$ . 其定义域为 $\mathbb{R}$ , 关于原点对称. 考察 $f(-x)=(-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = f(x)$ . 因此, $f(x)$ 是偶函数. \item[C.] $f(x)=\log_2(\sqrt{x^2+1}-x)$ . 在之前的例题中我们已经证明了 $g(x) = \sqrt{x^2+1}+x$ 是一个奇函数, 并且它的定义域为 $\mathbb{R}$ . 注意到 $\sqrt{x^2+1}-x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ . 所以 $f(x) = \log_2(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}) = -\log_2(\sqrt{x^2+1}+x)$ . 因此 $f(x)$ 是奇函数，而非偶函数. \item[D.] $f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x+2|-2}$ . 其定义域需要满足 $1-x^2 \ge 0$ 且 $|x+2|-2 \neq 0$ . 由 $1-x^2 \ge 0$ 解得 $-1 \le x \le 1$ . 由 $|x+2|-2 \neq 0$ 解得 $x \neq 0$ 且 $x \neq -4$ . 综上, 其定义域为 $[-1, 0) \cup (0, 1]$ , 关于原点对称. 考察 $f(-x)=\frac{\sqrt{1-(-x)^2}}{|-x+2|-2} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{|2-x|-2}$ . 显然, 一般情况下 $f(x) \neq f(-x)$ , 故 $f(x)$ 不是偶函数.

综上所述, 只有 B 选项是偶函数.

(2) 这个问题需要我们从函数方程中提取信息.

对于 $f(x)$ , 我们注意到 $f(x+y)=xf(y)+yf(x)$ 对任意 $x, y \in \mathbb{R}$ 成立. 这是一个非常强的条件. 为了探究 $f(x)$ 的奇偶性, 我们需要考察 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系. 这启发我们选取特殊的 $x, y$ 值, 使得等式中出现 $f(-x)$ 项.

一个自然的想法是令 $x=0$ , 则 $f(0+y) = 0\cdot f(y) + y\cdot f(0)$ . 这意味着 $f(y) = yf(0)$ . 换句话说, $f(x)$ 是一个正比例函数, 其形式为 $f(x) = kx$ , 其中 $k=f(0)$ 是一个常数.

那么 $k$ 的值是多少呢? 我们将 $f(x)=kx$ 代入原方程 $f(x+y)=xf(y)+yf(x)$ .

k(x+y) = x(ky) + y(kx) \implies kx+ky = 2kxy

为了让这个等式对任意 $x,y$ 都成立, 唯一的可能是 $k=0$ . 因此, $f(x) \equiv 0$ (恒等于零). 这是一个特殊的函数, 它既是奇函数又是偶函数.

接下来分析 $g(x)$ . 我们已知 $g(x+1)=(x+1)(x^2+2x)$ . 我们的目标是判断 $g(x)$ 的奇偶性. 这需要我们考察 $g(-x)$ 与 $g(x)$ 的关系.

一个直接的想法是设法求出 $g(x)$ 的表达式. 我们可以令 $t=x+1$ , 则 $x=t-1$ . 于是

\begin{aligned} g(t) &= t((t-1)^2+2(t-1)) = t(t^2-2t+1+2t-2) &= t(t^2-1) = t^3-t \end{aligned}

因此, $g(x)=x^3-x$ . 于是 $g(-x)=(-x)^3-(-x) = -x^3+x = -(x^3-x) = -g(x)$ . 故 $g(x)$ 是一个奇函数.

综上，正确选项是 B 和 C.

函数的奇偶分解定理

奇偶性似乎只是部分特殊函数的属性. 一个自然而深刻的问题是：一个定义在对称区间上的任意函数，是否能与奇偶函数建立某种联系？答案是肯定的，并且揭示了一个优美的结构性事实.

奇偶分解定理

任何一个定义在对称区间 $D$ 上的函数 $f(x)$ , 都可以唯一地表示为一个偶函数 $f_e(x)$ 与一个奇函数 $f_o(x)$ 的和，即

f(x) = f_e(x) + f_o(x)

其中，

f_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \text{且} f_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}

证明

我们首先构造性地证明存在性，再论证其唯一性.

不妨设 $f(x)$ 可以分解为 $f(x) = f_e(x) + f_o(x)$ , 其中 $f_e(x)$ 为偶函数, $f_o(x)$ 为奇函数. 将 $x$ 替换为 $-x$ ，我们得到

f(-x) = f_e(-x) + f_o(-x) = f_e(x) - f_o(x)

现在我们得到了一个关于 $f_e(x)$ 和 $f_o(x)$ 的线性方程组：

\begin{aligned} f_e(x) + f_o(x) &= f(x) f_e(x) - f_o(x) &= f(-x) \end{aligned}

两式相加除以 2，得到 $f_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ . 两式相减除以 2，得到 $f_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ . 这表明如果分解存在，则其形式必是如此.

接下来，我们只需验证这样构造出的 $f_e(x)$ 和 $f_o(x)$ 确实分别是偶函数和奇函数. 对于 $f_e(x)$ ，我们考察

f_e(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = f_e(x)

故 $f_e(x)$ 是偶函数. 对于 $f_o(x)$ ，我们考察

f_o(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = - \frac{f(x) - f(-x)}{2} = -f_o(x)

故 $f_o(x)$ 是奇函数. 并且, 它们的和 $f_e(x)+f_o(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = f(x)$ , 恰好还原为 $f(x)$ .

至此，我们不仅证明了分解的存在性，其推导过程本身也蕴含了唯一性. 任何满足条件的分解必须满足该线性方程组，而该方程组有唯一的解. 证毕.

这个定理的意义是重大的. 它告诉我们，奇函数集合与偶函数集合并非两个孤立的群体，而是共同构成了一个更广阔的函数空间的“基石”. 任何定义在对称域上的函数都可以被投影到这两个“正交”的子空间中.

例

将函数 $f(x)=e^x$ 分解为一个偶函数与一个奇函数之和.

证明

函数 $f(x)=e^x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ ，是关于原点对称的. 根据奇偶分解定理，其偶部为

f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} = \frac{e^x+e^{-x}}{2}

其奇部为

f_o(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} = \frac{e^x-e^{-x}}{2}

这两个函数在高等数学中极为重要，它们分别被称为双曲余弦函数和双曲正弦函数，记作 $\cosh x$ 和 $\sinh x$ . 于是, 我们得到了指数函数的一个深刻分解： $e^x = \cosh x + \sinh x$ .

运算封闭性与对称推广

我们已经定义了奇函数与偶函数，它们是满足特定对称性的函数类. 一个自然的问题是，这些对称性在函数的基本代数运算（加法与乘法）下，会如何保持或改变？探索这一问题，将揭示奇偶性背后深刻的代数结构.

不妨设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个定义在同一个对称区间 $D$ 上的函数.

首先考虑加法. 令 $h(x) = f(x) + g(x)$ . 我们来探究 $h(x)$ 的奇偶性. 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为偶函数, 那么根据定义, 有 $f(-x)=f(x)$ 和 $g(-x)=g(x)$ . 于是，

h(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = h(x)

这表明，两个偶函数的和仍然是一个偶函数. 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为奇函数, 那么 $f(-x)=-f(x)$ 和 $g(-x)=-g(x)$ . 于是，

h(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x)+g(x)) = -h(x)

这表明，两个奇函数的和仍然是一个奇函数.

接下来，我们以同样的方式探究乘法. 令 $p(x) = f(x)g(x)$ . 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为偶函数，则

p(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = p(x)

乘积是偶函数. 若 $f(x)$ 是偶函数而 $g(x)$ 是奇函数，则

p(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)(-g(x)) = -f(x)g(x) = -p(x)

乘积是奇函数. 一个最值得关注的情形是，当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为奇函数时：

p(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) = p(x)

这是一个非常重要的结果：两个奇函数的乘积是一个偶函数.

这些运算法则与整数的符号法则惊人地相似. 如果我们将“偶函数”看作“正号”或“+1”，将“奇函数”看作“负号”或“-1”，那么函数的乘法规则就完全对应于符号的乘法：

\begin{aligned} \text{偶} \times \text{偶} \to \text{偶} & \longleftrightarrow (+1) \times (+1) = +1 \text{偶} \times \text{奇} \to \text{奇} & \longleftrightarrow (+1) \times (-1) = -1 \text{奇} \times \text{奇} \to \text{偶} & \longleftrightarrow (-1) \times (-1) = +1 \end{aligned}

这个类比不仅是记忆的技巧，更暗示了奇偶性是一种具有二元结构的性质.

运算封闭性与对称推广

不妨设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个定义在同一个对称区间 $D$ 上的函数.

首先考虑加法. 令 $h(x) = f(x) + g(x)$ . 我们来探究 $h(x)$ 的奇偶性. 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为偶函数, 那么根据定义, 有 $f(-x)=f(x)$ 和 $g(-x)=g(x)$ . 于是，

h(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = h(x)

这表明，两个偶函数的和仍然是一个偶函数. 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为奇函数, 那么 $f(-x)=-f(x)$ 和 $g(-x)=-g(x)$ . 于是，

h(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x)+g(x)) = -h(x)

这表明，两个奇函数的和仍然是一个奇函数.

接下来，我们以同样的方式探究乘法. 令 $p(x) = f(x)g(x)$ . 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为偶函数，则

p(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = p(x)

乘积是偶函数. 若 $f(x)$ 是偶函数而 $g(x)$ 是奇函数，则

p(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)(-g(x)) = -f(x)g(x) = -p(x)

乘积是奇函数. 一个最值得关注的情形是，当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为奇函数时：

p(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) = p(x)

这是一个非常重要的结果：两个奇函数的乘积是一个偶函数.

\begin{aligned} \text{偶} \times \text{偶} \to \text{偶} & \longleftrightarrow (+1) \times (+1) = +1 \text{偶} \times \text{奇} \to \text{奇} & \longleftrightarrow (+1) \times (-1) = -1 \text{奇} \times \text{奇} \to \text{偶} & \longleftrightarrow (-1) \times (-1) = +1 \end{aligned}

这个类比不仅是记忆的技巧，更暗示了奇偶性是一种具有二元结构的性质.

对称性的推广

函数关于 $y$ 轴和原点的对称性, 本质上是关于直线 $x=0$ 和点 $(0,0)$ 的对称. 这一概念可以被自然地推广到任意的对称轴和对称中心.

\begin{description} \item[关于直线 $x=a$ 对称] 若函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称, 这意味着对于数轴上任意一对关于点 $a$ 对称的点 $a-t$ 和 $a+t$ ，它们所对应的函数值必须相等. 也就是说，

f(a-t) = f(a+t)

这个关系式对于所有使得 $a \pm t$ 在定义域内的 $t$ 都成立. 为了得到一个更通用的关于变量 $x$ 的表达式, 我们可以进行变量代换. 令 $x = a-t$ , 则 $t=a-x$ . 于是, 等式右边的自变量变为 $a+t = a+(a-x) = 2a-x$ . 代入上式，我们便得到其等价的代数判据：

f(x) = f(2a-x)

\item[关于点 $(a,b)$ 对称] 若函数 $f(x)$ 的图像关于点 $(a,b)$ 中心对称, 这意味着对于任意一对自变量 $a-t$ 和 $a+t$ , 它们对应的函数值 $f(a-t)$ 和 $f(a+t)$ 的算术平均值必须恰好是 $b$ . 换言之, 点 $(a,b)$ 是连接点 $(a-t, f(a-t))$ 与 $(a+t, f(a+t))$ 的线段的中点. 这给出了关系：

\frac{f(a-t) + f(a+t)}{2} = b

整理得到 $f(a-t)+f(a+t) = 2b$ . 同样地, 为了得到关于 $x$ 的表达式, 令 $x=a-t$ , 则 $a+t=2a-x$ . 代入后得到等价的代数判据：

f(x) + f(2a-x) = 2b

\end{description} 不难发现，标准的奇偶性正是这些广义对称性的特例. 当对称轴为 $x=0$ ( $a=0$ ) 时, $f(x)=f(-x)$ , 这正是偶函数的定义. 当对称中心为 $(0,0)$ ( $a=0, b=0$ ) 时, $f(x)+f(-x)=0$ , 即 $f(-x)=-f(x)$ ，这正是奇函数的定义.

\paragraph{一个更具操作性的判别方法} 在处理具体的函数方程以判定对称性时，我们往往面对形如 $f(x+a)=f(-x+b)$ 的表达式. 直接套用 $f(x)=f(2a-x)$ 的形式可能不便. 然而, 我们注意到一个深刻的共性：在 $f(x)=f(2a-x)$ 中, 两个自变量 $x$ 和 $2a-x$ 的和是一个常数 $2a$ . 这一观察为我们提供了识别对称性的一个更为直接和强大的工具.

对称性的统一判据

设函数 $f(x)$ 满足某个函数方程.

轴对称: 若该方程可化为 $f(X_1)=f(X_2)$ 的形式, 且自变量之和 $X_1+X_2=k$ (常数), 则函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{k}{2}$ 对称.
点对称: 若该方程可化为 $f(X_1)+f(X_2)=k$ (常数) 的形式, 且自变量之和 $X_1+X_2=K$ (常数), 则函数 $f(x)$ 的图像关于点 $\left(\frac{K}{2}, \frac{k}{2}\right)$ 中心对称.

证明

对于 $f(X_1)=f(X_2)$ 且 $X_1+X_2=k$ , 令 $a=k/2$ . 我们可以设 $X_1=a+t$ . 那么 $X_2=k-X_1 = 2a-(a+t)=a-t$ . 于是原方程化为 $f(a+t)=f(a-t)$ , 这正是函数关于 $x=a$ 对称的定义式.
对于 $f(X_1)+f(X_2)=k$ 且 $X_1+X_2=K$ , 令 $a=K/2, b=k/2$ . 同样设 $X_1=a+t$ , 则 $X_2=K-X_1=2a-(a+t)=a-t$ . 于是原方程化为 $f(a+t)+f(a-t)=2b$ , 这正是函数关于点 $(a,b)$ 对称的定义式.

这个定理将复杂的函数方程与直观的几何对称性联系起来，其核心在于检验“自变量之和是否为常数”.

推论

我们现在可以迅速判定一些常见形式的对称性.

若 $f(x+a)=f(-x+b)$ , 自变量之和为 $(x+a)+(-x+b)=a+b$ . 故对称轴为 $x=\frac{a+b}{2}$ . 当 $b=0$ 时, $f(x+a)=f(-x)$ , 对称轴为 $x=a/2$ .
若 $f(x+a)+f(-x+b)=c$ , 自变量之和为 $a+b$ , 函数值之和为 $c$ . 故对称中心为 $\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right)$ . 特别地, 若 $f(x+a)=-f(-x)$ , 则 $f(x+a)+f(-x)=0$ , 自变量之和为 $a$ , 函数值之和为 $0$ , 故对称中心为 $(\frac{a}{2}, 0)$ .

例

设函数 $f(x)$ 定义在 $\mathbb{R}$ 上. 已知 $f(x-1)$ 是一个偶函数, 而 $f(x+1)$ 是一个奇函数. 试证明 $f(x)$ 是一个周期函数.

证明

本题的实质是利用广义对称性推导周期性. 我们首先将题设条件翻译为 $f(x)$ 本身的对称性.

设 $g(x) = f(x-1)$ . 题设 $g(x)$ 为偶函数, 即 $g(x)=g(-x)$ . 代入定义, 得 $f(x-1) = f(-x-1)$ . 这是一个 $f(X_1)=f(X_2)$ 的形式. 自变量之和为 $(x-1)+(-x-1)=-2$ . 根据上述定理, $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{-2}{2}=-1$ 对称.

设 $h(x) = f(x+1)$ . 题设 $h(x)$ 为奇函数, 即 $h(x)=-h(-x)$ . 代入定义, 得 $f(x+1) = -f(-x+1)$ , 即 $f(x+1)+f(-x+1)=0$ . 这是一个 $f(X_1)+f(X_2)=k$ 的形式. 自变量之和为 $(x+1)+(-x+1)=2$ , 函数值之和为 $0$ . 因此, $f(x)$ 的图像关于点 $(\frac{2}{2}, \frac{0}{2})=(1,0)$ 中心对称.

现在我们拥有了关于 $f(x)$ 的两个对称性法则：

\begin{aligned} f(-1+t) &= f(-1-t) &\text{法则一：关于 } x=-1 \text{ 对称} f(1+t) &= -f(1-t) &\text{法则二：关于 } (1,0) \text{ 对称} \end{aligned}

我们的目标是寻找一个常数 $T$ 使得 $f(x+T)=f(x)$ . 这需要我们巧妙地复合运用这两个法则.

我们从 $f(x)$ 出发, 为了能够利用对称性, 先将其平移. 考虑 $f(x+4)$ . 为了应用关于点 $1$ 的对称法则二, 我们将其写成 $f(1+(x+3))$ .

f(x+4) = f(1+(x+3)) \overset{\text{法则二}}{=} -f(1-(x+3)) = -f(-x-2)

现在，我们需要处理 $f(-x-2)$ . 为了应用关于直线 $-1$ 的对称法则一, 我们将其写成 $f(-1+(-x-1))$ .

f(-x-2) = f(-1+(-x-1)) \overset{\text{法则一}}{=} f(-1-(-x-1)) = f(x)

将此结果代回上一步的推导，我们得到了一个关键的中间关系：

f(x+4) = -f(-x-2) = -f(x)

这个关系 $f(x+4) = -f(x)$ 尚未是周期性，但它揭示了一种“反周期”的结构. 我们只需再迭代一次. 将上式中的 $x$ 替换为 $x+4$ , 我们得到 $f((x+4)+4) = -f(x+4)$ , 即 $f(x+8) = -f(x+4)$ . 结合两个式子，我们最终得到：

f(x+8) = -f(x+4) = -(-f(x)) = f(x)

此式对任意 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立. 故 $f(x)$ 是一个周期函数, 其一个周期为 $8$ .

回顾此例，我们看到，两个不同位置的对称性（一个轴对称，一个中心对称）相互作用，最终在函数上生成了一个全局的平移不变性——周期性. 这深刻地揭示了不同函数性质之间内在的、非平凡的联系.

例

设函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的增函数. 我们将探讨在两种不同的附加条件下, 该函数所展现出的性质.

情形一: 若 $f(x)$ 满足柯西函数方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ .

求 $f(0)$ 的值.
求证 $f(x)$ 是奇函数.
若 $f(x^2+1)+f(3x-5)\<0$ , 求实数 $x$ 的取值范围.

情形二: 若 $f(x)$ 满足函数方程 $yf(x)-xf(y)=xy(x^2-y^2)$ .

求 $f(0)$ 的值.
求证 $f(x)$ 是奇函数.
若 $f(x^2+1)+f(3x-5)\<0$ , 求实数 $x$ 的取值范围.

证明

本题旨在揭示，不同的函数方程可能蕴含着相同的核心代数性质. 我们的策略是通过对函数方程进行精巧的赋值，从中“榨取”出关于 $f(0)$ 和奇偶性的信息，并利用这些性质以及函数的单调性来解决不等式问题.

\paragraph{情形一的解析} 我们面对的是著名的柯西函数方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ .

(1) 为了探求特定点（如 $x=0$ ）的函数值, 最直接的思路是在方程中进行赋值, 以期简化方程或直接解出该值. 一个自然的选择是令 $x=y=0$ .

f(0+0) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 2f(0)

此式唯一解为 $f(0)=0$ .

(2) 欲证明 $f(x)$ 为奇函数, 我们的目标是建立 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系. 关键在于如何通过赋值在方程中同时引入 $x$ 和 $-x$ . 令 $y=-x$ 是一个绝佳的策略, 因为 $x+y=0$ , 而 $f(0)$ 的值我们刚刚已经求得.

f(x+(-x)) = f(x) + f(-x) \implies f(0) = f(x) + f(-x)

由于 $f(0)=0$ , 我们立即得到 $f(x)+f(-x)=0$ , 即 $f(-x)=-f(x)$ . 故 $f(x)$ 是奇函数.

(3) 现在我们来解决不等式 $f(x^2+1)+f(3x-5)\<0$ . 此时, 我们已经掌握了 $f(x)$ 的两个核心性质: 奇函数和增函数.

首先, 移项得到 $f(x^2+1) \< -f(3x-5)$ . 利用 $f(x)$ 的奇函数性质, 我们可以将负号“吸收”到函数内部. 事实上, $-f(3x-5) = f(-(3x-5)) = f(5-3x)$ . 于是, 原不等式等价于

f(x^2+1) \< f(5-3x)

接下来, $f(x)$ 作为增函数的性质便派上了用场. 对于一个增函数, 函数值的大小关系直接对应于其自变量的大小关系. 因此,

x^2+1 \< 5-3x

整理得 $x^2+3x-4\<0$ , 分解因式为 $(x+4)(x-1)\<0$ . 解此一元二次不等式, 得到 $x$ 的取值范围为 $(-4, 1)$ .

\paragraph{情形二的解析} 现在我们转向一个形式上更复杂的函数方程 $yf(x)-xf(y)=xy(x^2-y^2)$ . 我们的分析思路保持不变：通过特殊赋值来揭示其内在性质.

(1) 求 $f(0)$ . 为了分离出 $f(0)$ , 我们可以令其中一个变量为 $0$ . 不妨设 $y=1, x=0$ . (思考: 为何不直接令 $y=0$ ?)

1 \cdot f(0) - 0 \cdot f(1) = 0 \cdot 1 \cdot (0^2-1^2) \implies f(0)=0

这与情形一的结果完全一致.

(2) 证明奇偶性. 再次使用令 $y=-x$ 的策略.

(-x)f(x) - xf(-x) = x(-x)(x^2 - (-x)^2)

-x f(x) - x f(-x) = -x^2 (x^2 - x^2)

-x[f(x)+f(-x)] = 0

此等式对任意 $x \in \mathbb{R}$ 均成立. 当 $x \neq 0$ 时, 我们可以安全地约去 $-x$ , 得到 $f(x)+f(-x)=0$ . 当 $x=0$ 时, 我们已知 $f(0)=0$ , 故 $f(0)+f(-0)=0$ 亦成立. 因此, 对所有实数 $x$ , 均有 $f(-x)=-f(x)$ , 即 $f(x)$ 是奇函数.

(3) 解不等式. 注意到, 尽管函数方程的形式大相径庭, 我们从中推导出的核心性质—— $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数和增函数——与情形一完全相同.

因此, 不等式 $f(x^2+1)+f(3x-5)\<0$ 的求解过程与情形一完全一致. 其解集依然是 $(-4, 1)$ .

\paragraph{回顾与反思} 这个例子深刻地说明, 解决抽象函数问题的关键在于识别并利用其内在的、不随具体表达式变化的结构性性质 (如奇偶性、单调性、周期性). 不同的函数方程可能只是同一组性质的不同“外衣”. 一旦我们通过巧妙的代数技巧剥离外衣、抓住本质, 解决问题的道路便豁然开朗.

模型：狗造具有特定对称性的函数

在掌握了奇偶性的基本概念后，一个富有创造性的问题随之而来：我们能否主动地构造出具有特定奇偶性的函数？熟记若干结论是低效且违背数学思想的，我们真正的目标是掌握构造这些函数的内在逻辑. 我们将从定义的源头 $f(-x) = \pm f(x)$ 出发，探究如何对基本函数（如指数、对数函数）进行“对称化”改造.

\paragraph{源于指数函数的对称构造} 指数函数 $g(x)=a^x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 本身是非奇非偶的. 然而, 我们不久前学习的奇偶分解定理 $f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}$ 给予了我们强大的启示. 任何定义在对称域上的函数, 都可以分解为其“偶部”和“奇部”. 对指数函数 $g(x)=a^x$ 应用此思想，我们便能“提炼”出其内在的对称成分.

其偶部为 $f_e(x) = \frac{a^x+a^{-x}}{2}$ , 奇部为 $f_o(x) = \frac{a^x-a^{-x}}{2}$ . 不难验证，任意常数 $m$ 与它们的乘积，即

f(x) = m(a^x + a^{-x}) \text{与} g(x) = m(a^x - a^{-x})

分别是偶函数和奇函数的典范. 它们是构造更复杂函数的基础单元.

一个看似不同的常见奇函数模型是 $f(x) = m\frac{a^x-1}{a^x+1}$ . 我们来探究其对称性的来源.

证明

其定义域为 $\{x \in \mathbb{R} \mid a^x \neq -1 \}$ , 即 $\mathbb{R}$ . 这是一个对称的定义域. 我们考察 $f(-x)$ :

f(-x) = m\frac{a^{-x}-1}{a^{-x}+1}

这里的关键技巧是分子分母同乘 $a^x$ , 以此恢复与 $f(x)$ 的联系.

f(-x) = m\frac{(a^{-x}-1)a^x}{(a^{-x}+1)a^x} = m\frac{1-a^x}{1+a^x} = -m\frac{a^x-1}{a^x+1} = -f(x)

故 $f(x)$ 是一个奇函数. 事实上，通过简单的代数变形，可以发现它与我们之前导出的双曲函数模型有深刻联系.

\paragraph{源于对数函数的对称构造} 对于对数函数 $f(x) = \log_a g(x)$ , 其奇偶性完全取决于其宗量 $g(x)$ 的性质. 若 $f(x)$ 为奇函数, 则必须满足

f(-x) = \log_a g(-x) = -f(x) = -\log_a g(x) = \log_a \frac{1}{g(x)}

这要求其宗量必须满足关系 $g(-x) = \frac{1}{g(x)}$ . 若 $f(x)$ 为偶函数, 则必须满足

f(-x) = \log_a g(-x) = f(x) = \log_a g(x)

这要求其宗量必须是偶函数, 即 $g(-x) = g(x)$ .

基于此原理，我们可以构造出大量的对数型奇偶函数.

例

判断函数 $f(x)=\log_a(\sqrt{x^2+1}+x)$ 的奇偶性.

证明

函数定义域要求 $\sqrt{x^2+1}+x\>0$ . 注意到 $\sqrt{x^2+1} \> \sqrt{x^2} = |x|$ , 因此 $\sqrt{x^2+1}+x \> |x|+x$ . 当 $x \ge 0$ 时, $|x|+x=2x \ge 0$ . 当 $x\<0$ 时, $|x|+x=0$ . 故 $\sqrt{x^2+1}+x$ 恒为正, 定义域为 $\mathbb{R}$ .

我们考察其宗量 $g(x)=\sqrt{x^2+1}+x$ .

g(-x) = \sqrt{(-x)^2+1} - x = \sqrt{x^2+1} - x

$g(-x)$ 是否等于 $1/g(x)$ ? 我们来计算它们的乘积, 这启发我们使用平方差公式.

g(x)g(-x) = (\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x) = (\sqrt{x^2+1})^2 - x^2 = (x^2+1) - x^2 = 1

由此可见, $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$ 确实成立. 于是,

f(-x) = \log_a g(-x) = \log_a \frac{1}{g(x)} = -\log_a g(x) = -f(x)

因此, $f(x)=\log_a(\sqrt{x^2+1}+x)$ 是一个奇函数. 这是一个非常重要且优美的模型.

同理, 读者可以自行验证, 形如 $f(x) = \log_a \frac{m+x}{m-x}$ 的函数, 其宗量 $g(x)=\frac{m+x}{m-x}$ 也满足 $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$ , 故它也是奇函数.

\paragraph{普适的对称性构造法则} 除了针对特定函数类型的改造, 还存在一些更为普适的构造方法.

绝对值化构造偶函数: 对于定义域关于原点对称的任意函数 $f(x)$ , 函数 $h(x)=f(|x|)$ 必然是偶函数.

证明

$h(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = h(x)$ .

这个构造的几何意义是, 舍弃 $y$ 轴左侧的图像, 然后将 $y$ 轴右侧的图像反射到左侧, 从而强制地创造出关于 $y$ 轴的对称性.

复合函数法则: 设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的奇偶性已知. 复合函数 $f(g(x))$ 的奇偶性遵循“内偶则偶，内奇看外”的原则. \begin{itemize}
若 $g(x)$ 是偶函数, 则 $f(g(x))$ 必为偶函数 (思考: 为什么与 $f(x)$ 的奇偶性无关?).
若 $g(x)$ 是奇函数, 则 $f(g(x))$ 的奇偶性与 $f(x)$ 相同.

\item 平凡模型: 最简单的偶函数是常数函数 $f(x)=c$ , 最简单(非零)的奇函数是正比例函数 $f(x)=kx$ . \end{itemize} 通过以上从具体到一般的构造性分析, 我们便无需再孤立地记忆所谓的“常见模型”. 任何一个给定的函数, 我们都可以通过审视其结构, 判断它是否符合上述某一种构造原理, 从而确定其奇偶性. 这才是真正深入理解并掌握知识的方法.

例

已知函数 $f(x) = \frac{2^x-1}{2^x+1}$ , $g(x)=\cos x$ . 判断函数 $h(x) = f(|x|) \cdot g(x)$ 的奇偶性.

证明

我们首先分析构成 $h(x)$ 的两个部分.

函数 $f(x)$ 完美地契合了我们讨论过的奇函数模型 $m\frac{a^x-1}{a^x+1}$ (此处 $m=1, a=2$ ). 因此, $f(x)$ 是一个奇函数.

接下来考察 $f(|x|)$ . 这是“绝对值化构造偶函数”法则的直接应用. 对于任何函数, 经过 $f(|x|)$ 的改造后, 必然成为偶函数. 严谨地验证: 令 $p(x)=f(|x|)$ , 则 $p(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=p(x)$ . 故 $p(x)$ 是偶函数.

函数 $g(x)=\cos x$ 是一个基本的偶函数, $g(-x)=\cos(-x)=\cos x = g(x)$ .

最终, $h(x)$ 是一个偶函数 $p(x)=f(|x|)$ 与另一个偶函数 $g(x)=\cos x$ 的乘积. 根据我们推导的运算法则 (偶 $\times$ 偶 = 偶), 函数 $h(x)$ 必然是偶函数.

例

求解不等式: $\log_2(\sqrt{x^2+1}+x) + \log_2(\sqrt{4x^2+1}-2x) \> 0$ .

证明

直接解这个不等式似乎非常棘手. 然而, 我们应该敏锐地识别出其结构与我们熟知的典范模型相关.

令 $f(x) = \log_2(\sqrt{x^2+1}+x)$ . 我们已经证明, 这是一个定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数.

现在观察不等式中的第二项, $\log_2(\sqrt{4x^2+1}-2x)$ . 它的形式与 $f(x)$ 的“共轭”形式 $\log_2(\sqrt{x^2+1}-x)$ 极其相似. 注意到

\log_2(\sqrt{4x^2+1}-2x) = \log_2(\sqrt{(2x)^2+1}-2x)

我们知道 $\sqrt{u^2+1}-u = \frac{1}{\sqrt{u^2+1}+u}$ . 因此,

\log_2(\sqrt{(2x)^2+1}-2x) = \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{(2x)^2+1}+2x}\right) = -\log_2(\sqrt{(2x)^2+1}+2x) = -f(2x)

至此, 原不等式通过函数性质的运用, 被成功地化简为:

f(x) - f(2x) \> 0 \implies f(x) \> f(2x)

我们还需要考察 $f(x)$ 的单调性. 函数 $u(x)=\sqrt{x^2+1}+x$ 是增函数 (因为 $\sqrt{x^2+1}$ 和 $x$ 都是增函数), 而 $v(u)=\log_2 u$ 也是增函数. 根据复合函数单调性法则, $f(x)=v(u(x))$ 是 $\mathbb{R}$ 上的增函数.

因为 $f(x)$ 是增函数, 所以由 $f(x)\>f(2x)$ 可以直接得到 $x\>2x$ , 这意味着 $-x\>0$ , 即 $x\<0$ .

所以, 原不等式的解集为 $(-\infty, 0)$ . 这个例子展示了识别典范模型并利用其性质 (奇偶性、单调性) 来简化复杂问题的威力.

例

设 $g(x) = \ln\frac{1+x^2}{1-x^2}$ , $h(x)=x^3\cos x$ . 判断复合函数 $F(x) = g(h(x))$ 的奇偶性.

证明

我们遵循“先内后外”的原则, 首先确定内外层函数的奇偶性.

内层函数 $h(x)=x^3\cos x$ . 它是奇函数 $x^3$ 与偶函数 $\cos x$ 的乘积. 根据运算法则 (奇 $\times$ 偶 = 奇), $h(x)$ 是奇函数.

外层函数 $g(x)=\ln\frac{1+x^2}{1-x^2}$ . 其定义域由 $\frac{1+x^2}{1-x^2}\>0 \implies 1-x^2\>0 \implies -1\<x\<1$ 给出, 是对称区间. 我们考察 $g(-x)$ :

g(-x) = \ln\frac{1+(-x)^2}{1-(-x)^2} = \ln\frac{1+x^2}{1-x^2} = g(x)

故 $g(x)$ 是偶函数.

现在我们判断复合函数 $F(x)=g(h(x))$ . 我们考察 $F(-x)$ :

F(-x) = g(h(-x))

因为 $h(x)$ 是奇函数, 所以 $h(-x)=-h(x)$ . 代入得:

F(-x) = g(-h(x))

又因为 $g(x)$ 是偶函数, 所以 $g(-u)=g(u)$ 对其定义域内任意的 $u$ 成立. 于是:

F(-x) = g(-h(x)) = g(h(x)) = F(x)

因此, $F(x)$ 是一个偶函数. 这验证了我们总结的复合函数法则: 内层函数为奇, 复合函数的奇偶性与外层函数相同.

例

设定义在 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足, 当 $x\>0$ 时, $f(x) = x + \frac{1}{x} - 2$ . 求解方程 $f(x)=3$ .

证明

本题的核心在于如何利用已知的偶函数性质, 将问题从仅知的正半轴推广到整个定义域.

我们分两种情况讨论.

情形一: $x\>0$ 当 $x\>0$ 时, 方程 $f(x)=3$ 直接等价于

x + \frac{1}{x} - 2 = 3 \implies x + \frac{1}{x} - 5 = 0

两边同乘 $x$ (因为 $x\>0, x \neq 0$ ), 得到 $x^2 - 5x + 1 = 0$ . 利用求根公式, 解得 $x = \frac{5 \pm \sqrt{25-4}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ . 由于 $\sqrt{16}\<\sqrt{21}\<\sqrt{25}$ , 即 $4\<\sqrt{21}\<5$ , 所以两个根 $\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ 和 $\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ 均为正数, 符合本情形的假设.

情形二: $x\<0$ 当 $x\<0$ 时, 我们不能直接使用给定的解析式. 但我们知道 $f(x)$ 是偶函数, 因此

f(x) = f(-x)

因为 $x\<0$ , 所以 $-x\>0$ . 这意味着我们可以对 $f(-x)$ 使用已知的解析式.

f(x) = f(-x) = (-x) + \frac{1}{-x} - 2 = -x - \frac{1}{x} - 2

于是, 在 $x\<0$ 的区间上, 方程 $f(x)=3$ 等价于

-x - \frac{1}{x} - 2 = 3 \implies -x - \frac{1}{x} - 5 = 0

两边同乘 $-x$ (注意 $-x\>0$ ), 得到 $x^2+5x+1=0$ . 解得 $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25-4}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$ . 两个根 $\frac{-5+\sqrt{21}}{2}$ 和 $\frac{-5-\sqrt{21}}{2}$ 均为负数, 符合本情形的假设.

综上所述, 方程 $f(x)=3$ 的所有解为 $\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ 和 $\frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$ .

例

设 $f(x) = \log_a g(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数. 求证: 函数 $h(x) = \frac{(g(x))^2 - 1}{(g(x))^2+1}$ 也是奇函数.

证明

这是一个更具抽象性的证明题. 问题的关键在于从“ $f(x)$ 是奇函数”这一条件中, 提炼出其宗量 $g(x)$ 必须满足的代数性质.

因为 $f(x)=\log_a g(x)$ 是奇函数, 所以 $f(-x)=-f(x)$ .

\log_a g(-x) = -\log_a g(x) = \log_a \left(\frac{1}{g(x)}\right)

由于对数函数是单射, 两边宗量必定相等, 即

g(-x) = \frac{1}{g(x)}

这个关系是后续证明的基石.

现在, 我们来考察函数 $h(x) = \frac{(g(x))^2 - 1}{(g(x))^2+1}$ . 我们的目标是计算 $h(-x)$ 并将其与 $h(x)$ 比较.

h(-x) = \frac{(g(-x))^2 - 1}{(g(-x))^2+1}

将我们刚刚推导出的核心关系 $g(-x) = 1/g(x)$ 代入上式:

h(-x) = \frac{\left(\frac{1}{g(x)}\right)^2 - 1}{\left(\frac{1}{g(x)}\right)^2+1} = \frac{\frac{1}{(g(x))^2} - 1}{\frac{1}{(g(x))^2} + 1}

为了化简这个繁分数, 我们将分子分母同乘以 $(g(x))^2$ :

h(-x) = \frac{1 - (g(x))^2}{1 + (g(x))^2} = - \frac{(g(x))^2-1}{(g(x))^2+1} = -h(x)

此式表明 $h(x)$ 是一个奇函数. 证毕.

事实上, 我们可以观察到 $h(x)$ 的结构与典范奇函数模型 $\frac{a^u-1}{a^u+1}$ 极为相似. 若令 $u(x) = \log_a (g(x))^2$ , 则 $a^{u(x)}=(g(x))^2$ . 于是 $h(x)=\frac{a^{u(x)}-1}{a^{u(x)}+1}$ . 这从另一个角度揭示了其奇函数属性的来源.

周期性

{/* label: sec:ch03-s05 */}

除了单调性与奇偶性这两种刻画函数局部与对称形态的性质外，函数的第三种宏观性质是周期性.它描述了函数值在定义域上的一种平移不变性，即函数图像以固定间隔进行无尽的自我复制.对周期性的分析是研究所有振荡、波动现象（如声波、电磁场、行星轨道）的数学基础, 也是简化函数相关计算的重要工具.

周期性的定义

我们将函数图像沿水平方向平移后与自身重合的几何直观，精确化为如下代数定义.

周期函数

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ . 若存在一个非零常数 $T$ , 使得对于任意 $x \in D$ , 恒有 $x+T \in D$ , 并且满足:

f(x+T) = f(x)

则称 $f(x)$ 为周期函数, $T$ 称为它的一个周期.

此定义蕴含了三个不可或缺的要素.其一，周期 $T$ 必须是非零常数, 以确保其描述的是一种有意义的重复模式.其二, 定义域 $D$ 必须在平移 $T$ 的操作下是封闭的, 这保证了对任意 $x \in D$ , $f(x+T)$ 均有定义.因此, 周期函数的定义域必然是无界的, 例如 $\mathbb{R}$ 或 $(-\infty, a)$ .其三, 核心等式 $f(x+T)=f(x)$ 必须对定义域内的所有 $x$ 成立.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：周期函数的几何意义：图像的平移不变性

由定义可直接推得：若 $T$ 是一个周期, 则对任意非零整数 $n$ , $nT$ 也是一个周期.此外, 若 $T$ 是周期, 则 $f(x)=f(x-T)$ , 故 $-T$ 也是周期.

最小正周期

若一个周期函数的所有正周期中存在一个最小值, 则称此数为该函数的最小正周期. 通常语境下所称的“周期”即指最小正周期.

值得注意的是，并非所有周期函数都有最小正周期.例如，常数函数 $f(x)=c$ , 任何非零实数 $T$ 都是它的周期, 故不存在最小的正周期.一个更深刻的例子是狄利克雷函数：

D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}

对于任意非零有理数 $T$ , 当 $x$ 是有理数时, $x+T$ 也是有理数, 故 $D(x+T)=1=D(x)$ ; 当 $x$ 是无理数时, $x+T$ 也是无理数, 故 $D(x+T)=0=D(x)$ .因此, 任何非零有理数都是它的周期, 而正有理数集合没有最小值, 故狄利克雷函数不存在最小正周期.

周期性的四则运算

当两个独立的周期性现象叠加时, 其合成的现象是否仍具有周期性？例如, 将两个不同频率的纯音（对应两个正弦函数）混合, 得到的混合音是否仍是周期性的？这个问题的答案, 揭示了周期性在线性运算下的传递规律, 其核心在于周期的公度性.

定理

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在同一集合 $D$ 上的两个周期函数, 周期分别为 $T_1$ 和 $T_2$ .

若 $T_1$ 与 $T_2$ 可公度 (即其比值为有理数), 则它们的和 $f(x)+g(x)$ , 差 $f(x)-g(x)$ , 积 $f(x)g(x)$ 仍然是周期函数, 其一个周期 $T$ 是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数.
若 $T_1$ 与 $T_2$ 不可公度, 则它们的和、差、积不一定是周期函数.

证明

我们以和函数 $h(x)=f(x)+g(x)$ 为例进行证明.

为了使 $h(x)$ 具有周期性, 我们必须寻找一个非零常数 $T$ , 使得对任意 $x \in D$ , 恒有 $h(x+T)=h(x)$ , 即

f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)

要使此等式无条件成立, 一个充分条件是 $f(x+T)$ 与 $g(x+T)$ 同时回归到 $f(x)$ 与 $g(x)$ , 即

\begin{cases} f(x+T) = f(x) \\ g(x+T) = g(x) \end{cases}

第一个条件要求 $T$ 必须是 $f(x)$ 的周期 $T_1$ 的整数倍, 即 $T = n_1 T_1$ ( $n_1 \in \mathbb{Z}, n_1 \neq 0$ ). 第二个条件要求 $T$ 必须是 $g(x)$ 的周期 $T_2$ 的整数倍, 即 $T = n_2 T_2$ ( $n_2 \in \mathbb{Z}, n_2 \neq 0$ ).

因此, $h(x)$ 存在周期的充要条件是, 存在非零整数 $n_1, n_2$ 使得 $n_1 T_1 = n_2 T_2$ . 此式等价于

\frac{T_1}{T_2} = \frac{n_2}{n_1}

这表明, 两个周期的比值必须是一个有理数. 这正是周期 $T_1$ 与 $T_2$ 可公度的数学定义.

当此条件满足时, 任何满足 $T=n_1 T_1 = n_2 T_2$ 的 $T$ 都是 $h(x)$ 的一个周期. 我们所寻求的最小正周期, 正是 $T_1$ 和 $T_2$ 的所有正公倍数中的最小值, 即它们的最小公倍数, 记作 $T = \operatorname{lcm}(T_1, T_2)$ .

然而, 如果两个周期不可公度, 例如 $f(x)=\sin x$ (周期 $T_1=2\pi$ ) 与 $g(x)=\sin(\sqrt{2}x)$ (周期 $T_2=2\pi/\sqrt{2}=\sqrt{2}\pi$ ), 其周期之比 $T_1/T_2 = \sqrt{2}$ 是一个无理数. 我们用反证法证明其和 $h(x) = \sin x + \sin(\sqrt{2}x)$ 不是周期函数. 假定 $h(x)$ 是周期函数, 其周期为 $T$ . 那么 $T$ 必须同时是 $T_1$ 和 $T_2$ 的公倍数. 即存在非零整数 $n_1, n_2$ 使得

T = n_1 T_1 = n_1 (2\pi) \text{且} T = n_2 T_2 = n_2 (\sqrt{2}\pi)

联立两式可得 $2n_1\pi = \sqrt{2}n_2\pi$ , 消去 $\pi$ 后得到 $\sqrt{2} = 2n_1/n_2$ . 这意味着 $\sqrt{2}$ 是一个有理数, 与事实矛盾. 因此, 我们的假设不成立, $h(x)$ 不是周期函数. 证毕.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：具有不可公度周期的两个函数 (虚线与点线) 之和 (粗实线) 不再是周期函数, 而是呈现出复杂的、永不重复的准周期行为.

例

求函数 $f(x) = |\sin x| + \cos(2x)$ 的最小正周期.

解

我们将函数 $f(x)$ 视为两个周期函数之和: $g(x)=|\sin x|$ 与 $h(x)=\cos(2x)$ .

首先分析 $g(x)=|\sin x|$ . 函数 $\sin x$ 的周期为 $2\pi$ . 经过绝对值变换后, $x$ 轴下方的图像被翻折到上方. 原本在 $[\pi, 2\pi]$ 区间的负半周图像, 与 $[0, \pi]$ 区间的正半周图像完全相同. 因此, $g(x)=|\sin x|$ 的最小正周期为 $T_1=\pi$ .

接着分析 $h(x)=\cos(2x)$ . 其最小正周期为 $T_2 = 2\pi/|2| = \pi$ .

两个函数的周期分别为 $T_1=\pi, T_2=\pi$ . 它们的比值为 $T_1/T_2 = 1$ , 是有理数, 故周期可公度.

因此, $f(x)$ 是周期函数, 其最小正周期为 $T = \operatorname{lcm}(T_1, T_2) = \operatorname{lcm}(\pi, \pi) = \pi$ .

我们可以通过代数变形来验证此结论. 利用二倍角公式,

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2|\sin x|^2

例

求函数 $h(x) = \sin(3x) + \cos(\frac{5}{2}x)$ 的最小正周期.

解

我们将函数 $h(x)$ 视为两个周期函数 $f(x) = \sin(3x)$ 与 $g(x) = \cos(\frac{5}{2}x)$ 的和. 我们的策略是首先分别确定这两个基函数的最小正周期, 然后检验其公度性, 最后求解它们的最小公倍数.

对于函数 $f(x) = \sin(3x)$ , 其角频率为 $3$ , 故其最小正周期为

T_1 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}

对于函数 $g(x) = \cos(\frac{5}{2}x)$ , 其角频率为 $\frac{5}{2}$ , 故其最小正周期为

T_2 = \frac{2\pi}{|5/2|} = \frac{4\pi}{5}

接下来, 我们考察这两个周期的公度性. 计算它们的比值:

\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi/3}{4\pi/5} = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{5}{4\pi} = \frac{5}{6}

由于比值 $5/6$ 是一个有理数, 两个周期是可公度的. 因此, 函数 $h(x)$ 必然是周期函数. 其最小正周期 $T$ 是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数.

对于两个分数形式的周期 $\frac{p_1}{q_1}\pi$ 和 $\frac{p_2}{q_2}\pi$ , 它们的最小公倍数可以通过以下方式计算:

T = \operatorname{lcm}\left(\frac{p_1}{q_1}, \frac{p_2}{q_2}\right)\pi = \frac{\operatorname{lcm}(p_1, p_2)}{\operatorname{gcd}(q_1, q_2)}\pi

在本例中, 我们需要计算

T = \operatorname{lcm}\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{5}\right) = \pi \cdot \operatorname{lcm}\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{5}\right)

应用上述法则,

T = \pi \cdot \frac{\operatorname{lcm}(2, 4)}{\operatorname{gcd}(3, 5)} = \pi \cdot \frac{4}{1} = 4\pi

因此, 函数 $h(x)$ 的最小正周期为 $4\pi$ .

例

考察函数 $h(x) = \{2x\} - \sin(\pi x)$ 的周期性, 其中 $\{u\}=u-\lfloor u \rfloor$ 表示小数部分函数.

解

此函数由两个周期函数 $f(x) = \{2x\}$ 和 $g(x) = \sin(\pi x)$ 的差构成.

首先分析 $f(x)=\{2x\}$ . 我们知道, 基本的小数部分函数 $\{u\}$ 的最小正周期为 $1$ . 对于复合函数 $\{kx\}$ , 其周期为 $1/|k|$ . 因此, $f(x)=\{2x\}$ 的最小正周期为 $T_1 = 1/2$ . 我们可以验证这一点: $f(x+1/2) = \{2(x+1/2)\} = \{2x+1\}$ . 由于为一个数加上整数不改变其小数部分, 故 $\{2x+1\}=\{2x\}=f(x)$ .

接着分析 $g(x)=\sin(\pi x)$ . 其角频率为 $\pi$ , 故最小正周期为 $T_2 = 2\pi/|\pi| = 2$ .

我们检验这两个周期的公度性. 其比值为

\frac{T_1}{T_2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}

这是一个有理数, 故函数 $h(x)$ 是周期函数. 其最小正周期 $T$ 是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数.

T = \operatorname{lcm}\left(\frac{1}{2}, 2\right) = \operatorname{lcm}\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{1}\right) = \frac{\operatorname{lcm}(1, 2)}{\operatorname{gcd}(2, 1)} = \frac{2}{1} = 2

因此, 函数 $h(x)$ 的最小正周期为 $2$ .

\begin{figure}[htbp]

-\sin(\pi x)$}{h(x)={2x}-sin(pi x)} 的图像. 尽管其构成部分周期不同 (\texorpdfstring{$T_1=0.5, T_2=2$}{T1=0.5, T2=2}), 合成后的函数呈现出清晰的周期性, 最小正周期为 \texorpdfstring{$T=2$}{T=2}.}

\end{figure} *图：函数 \texorpdfstring{$h(x)={2x*

对称性与周期性的关系

函数的周期性常常由其对称性导出.一个深刻的几何事实是, 两种不同位置的对称性（轴对称或中心对称）相复合, 可以生成一种新的对称性——平移对称, 即周期性.

对称性向周期性的转化

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ .

双轴对称: 若 $f(x)$ 的图像关于两条不同的直线 $x=a$ 和 $x=b$ 对称, 则 $f(x)$ 是周期函数, 且 $T = 2|a-b|$ 是其一个周期.
双中心对称: 若 $f(x)$ 的图像关于两个不同的点 $(a,c)$ 和 $(b,d)$ 中心对称, 则 $f(x)$ 是周期函数, 且 $T=2|a-b|$ 是其一个周期.
轴对称与中心对称: 若 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称, 且关于点 $(b,c)$ 中心对称, 则 $f(x)$ 是周期函数, 且 $T = 4|a-b|$ 是其一个周期.

证明

我们逐一证明这三个由对称性导出周期性的重要结论. 证明的核心思想在于, 将几何上的对称操作翻译为代数恒等式, 并通过对这些恒等式进行巧妙的复合与迭代, 最终推导出形如 $f(x+T)=f(x)$ 的周期关系.

\paragraph{1. 双轴对称} 我们已知函数 $f(x)$ 的图像关于两条不同的直线 $x=a$ 和 $x=b$ 对称. 这在代数上意味着以下两个恒等式对定义域内所有 $x$ 成立:

\begin{aligned} f(x) &= f(2a-x) {/* label: eq:sym-axis-a */} f(x) &= f(2b-x) {/* label: eq:sym-axis-b */} \end{aligned}

我们的目标是构造出平移不变性. 为此, 我们连续施行这两个对称变换.

从 $f(x)$ 出发, 首先应用关于 $x=a$ 的对称性 \eqref{eq:sym-axis-a}:

f(x) = f(2a-x)

接着, 我们对上式右端的函数 $f(2a-x)$ 应用关于 $x=b$ 的对称性 \eqref{eq:sym-axis-b}. 这需要将 \eqref{eq:sym-axis-b} 中的自变量 $x$ 替换为 $2a-x$ :

f(2a-x) = f(2b - (2a-x)) = f(x + 2b - 2a)

将以上两步连接起来, 我们得到

f(x) = f(x + 2(b-a))

这正是周期函数的定义. 若令 $T = 2(b-a)$ , 则 $f(x)=f(x+T)$ . 因此, $f(x)$ 是一个周期函数, 且 $2|a-b|$ 是其一个周期.

\paragraph{2. 双中心对称} 我们已知 $f(x)$ 的图像关于点 $(a,c)$ 和 $(b,d)$ 中心对称. 其代数表述为:

\begin{aligned} f(x) + f(2a-x) &= 2c {/* label: eq:sym-center-a */} f(x) + f(2b-x) &= 2d {/* label: eq:sym-center-b */} \end{aligned}

从这两个关系式中, 我们可以分别解出 $f(2a-x)$ 和 $f(2b-x)$ :

\begin{aligned} f(2a-x) &= 2c - f(x) f(2b-x) &= 2d - f(x) \end{aligned}

我们再次通过复合变换来建立远距离自变量之间的联系. 考虑自变量 $x+2(a-b)$ , 我们可以将其巧妙地构造为 $2a-(2b-x)$ .

首先应用关于点 $(a,c)$ 的对称性 \eqref{eq:sym-center-a}, 将其自变量 $x$ 替换为 $2b-x$ :

f(2b-x) + f(2a-(2b-x)) = 2c

整理得

f(x+2a-2b) = 2c - f(2b-x)

现在, 利用关于点 $(b,d)$ 的对称性 \eqref{eq:sym-center-b} 来替换上式右端的 $f(2b-x)$ :

f(x+2(a-b)) = 2c - (2d - f(x)) = f(x) + 2(c-d)

此关系式揭示了一个深刻的事实: 函数 $f(x)$ 在平移 $2(a-b)$ 后, 其函数值会产生一个固定的增量 $2(c-d)$ . 这种结构称为准周期性.

为使 $f(x)$ 成为严格意义上的周期函数, 该增量必须为零, 即 $2(c-d)=0$ , 这当且仅当 $c=d$ . 因此, 若 $f(x)$ 关于 $(a,c)$ 和 $(b,c)$ (注意纵坐标相同) 对称, 则 $f(x+2(a-b))=f(x)$ , 故 $T=2|a-b|$ 是其一个周期.

\paragraph{3. 轴对称与中心对称} 我们已知 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称, 且关于点 $(b,c)$ 中心对称. 其代数恒等式为:

\begin{aligned} f(x) &= f(2a-x) {/* label: eq:sym-mix-axis */} f(x) + f(2b-x) &= 2c {/* label: eq:sym-mix-center */} \end{aligned}

此证明的关键在于寻找一个“反周期”关系, 然后通过迭代将其转化为周期关系.

我们从 $f(x)$ 出发, 先应用轴对称 \eqref{eq:sym-mix-axis}, 再应用中心对称 \eqref{eq:sym-mix-center}.

f(x) \overset{\eqref{eq:sym-mix-axis}}{=} f(2a-x)

从 \eqref{eq:sym-mix-center} 中解出 $f(y) = 2c - f(2b-y)$ . 将此式应用于 $y=2a-x$ :

f(2a-x) = 2c - f(2b-(2a-x)) = 2c - f(x+2b-2a)

结合两步, 我们得到 $f(x) = 2c - f(x+2(b-a))$ . 整理后得到一个反周期关系:

f(x + 2(b-a)) = 2c - f(x)

这个关系表明, 自变量增加 $2(b-a)$ 后, 新的函数值与原函数值关于水平线 $y=c$ 对称. 为了消除这种对称性并恢复恒等关系, 我们对此式进行迭代. 将上式中的 $x$ 替换为 $x+2(b-a)$ :

\begin{aligned} f([x+2(b-a)] + 2(b-a)) &= 2c - f(x+2(b-a)) f(x+4(b-a)) &= 2c - (2c - f(x)) f(x+4(b-a)) &= f(x) \end{aligned}

此式正是周期函数的定义. 故 $T=4|a-b|$ 是函数的一个周期.

由函数方程确定周期性

对于定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ , 若存在非零常数 $a$ , 满足以下关系之一, 则 $f(x)$ 为周期函数：

若 $f(x+a) = -f(x)$ , 则 $T=2a$ 是一个周期.
若 $f(x+a) = 1/f(x)$ 且 $f(x)$ 的值域不包含零, 则 $T=2a$ 是一个周期.
若 $f(x+a) = \frac{1+f(x)}{1-f(x)}$ , 则 $T=4a$ 是一个周期.

证明

证明均通过对给定关系式进行迭代完成, 这是一种探求周期性的基本技巧.

$f(x+2a) = f((x+a)+a) = -f(x+a) = -(-f(x)) = f(x)$ .
$f(x+2a) = f((x+a)+a) = 1/f(x+a) = 1/(1/f(x)) = f(x)$ .
这是一个更具挑战性的迭代.

\begin{aligned} f(x+2a) &= f((x+a)+a) = \frac{1+f(x+a)}{1-f(x+a)} = \frac{1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}} &= \frac{(1-f(x))+(1+f(x))}{(1-f(x))-(1+f(x))} = \frac{2}{-2f(x)} = -\frac{1}{f(x)} \end{aligned}

我们发现 $f(x+2a) = -1/f(x)$ . 再次迭代, $f(x+4a) = f((x+2a)+2a) = -1/f(x+2a) = -1/(-1/f(x)) = f(x)$ . 故 $T=4a$ 是一个周期.

例

已知函数 $y=f(x)$ ( $x \in \mathbb{R}$ ) 不是常函数, 且满足 $f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)$ 及 $f(1)=1/2$ . 求 $f(2024)$ .

解

这是一个抽象函数问题, 其解的关键在于通过对变量 $a, b$ 赋特殊值来探究 $f(x)$ 的内在结构性质.

首先, 在 $f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)$ 中, 令 $a=x, b=0$ , 得 $f(x)+f(x)=2f(x)f(0)$ , 即 $2f(x) = 2f(x)f(0)$ . 此式可化为 $f(x)(1-f(0))=0$ . 由于 $f(x)$ 不是常函数（特别地, 不是恒为零的函数）, 必存在 $x_0$ 使得 $f(x_0) \neq 0$ . 因此, 必然有 $1-f(0)=0$ , 即 $f(0)=1$ .

接着, 探究函数的奇偶性. 令 $a=0, b=x$ , 得 $f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)$ . 代入 $f(0)=1$ , 我们得到 $f(x)+f(-x)=2f(x)$ , 这立即导出 $f(-x)=f(x)$ . 故 $f(x)$ 是一个偶函数.

然后, 我们利用已知条件 $f(1)=1/2$ . 令 $a=1, b=x$ ,

f(1+x)+f(1-x) = 2f(1)f(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot f(x) = f(x)

由于 $f(x)$ 是偶函数, $f(1-x)=f(-(x-1))=f(x-1)$ . 于是上式变为 $f(x+1)+f(x-1)=f(x)$ .

这个递推关系暗示了周期性. 我们来探寻这个模式. 将 $x$ 替换为 $x+1$ , 得 $f(x+2)+f(x)=f(x+1)$ . 将 $f(x+1)=f(x)-f(x-1)$ 代入上式: $f(x+2)+f(x) = f(x)-f(x-1)$ , 故 $f(x+2)=-f(x-1)$ . 再将 $x$ 替换为 $x+1$ : $f(x+3)=-f(x)$ .

我们得到了一个反周期关系 $f(x+3)=-f(x)$ . 对此关系进行迭代:

f(x+6) = f((x+3)+3) = -f(x+3) = -(-f(x)) = f(x)

因此, $f(x)$ 是一个周期函数, 其一个周期为 $T=6$ .

最后, 我们的目标是计算 $f(2024)$ . 利用周期性, 我们考察 $2024$ 除以 $6$ 的余数.

2024 = 6 \times 337 + 2

故 $f(2024)=f(2)$ .

为了求 $f(2)$ , 我们再次利用递推关系. 在 $f(x+3)=-f(x)$ 中, 令 $x=-1$ , 得 $f(2)=-f(-1)$ . 由于 $f(x)$ 是偶函数, $f(-1)=f(1)=1/2$ . 因此, $f(2)=-f(1)=-1/2$ .

综上, $f(2024) = f(2) = -1/2$ .

凹凸性

{/* label: sec:ch03-s06 */}

函数的单调性描述了其图像的升降趋势, 这是一个关于变化率符号的性质. 然而, 函数图像的形态远比单纯的升降要丰富. 考虑函数 $f(x)=x^2$ 与 $g(x)=\sqrt{x}$ (在 $x\>0$ 时), 它们都是单调递增的, 但它们的增长“姿态”截然不同. $f(x)=x^2$ 的增长越来越快, 其图像向上弯曲; 而 $g(x)=\sqrt{x}$ 的增长越来越慢, 其图像向下弯曲.

凹凸性正是为了精确刻画函数图像的这种弯曲方向而引入的概念. 它所关注的, 不再是变化率的符号, 而是变化率自身的变化趋势.

凹凸性的几何直观与定义

要捕捉曲线的弯曲特性, 我们可以从两个等价的几何观点出发.

\paragraph{观点一：割线斜率的演变} 一个更具动态的观点是考察连接曲线上两点的割线斜率如何变化. 设想我们在一个向上弯曲的曲线上固定一点 $P_1(x_1, f(x_1))$ , 然后让另一点 $P_2(x_2, f(x_2))$ 沿着曲线从左向右移动. 我们会直观地发现, 连接 $P_1$ 和 $P_2$ 的割线, 其斜率是单调递增的.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：下凸函数割线斜率的单调性

\paragraph{观点二：函数图像与弦的相对位置} 另一个等价的、也是更为经典的几何刻画, 是比较函数图像本身 (弧) 与连接其上任意两点的线段 (弦) 的相对位置.

对于一个向上弯曲的函数, 其图像总是位于连接其上任意两点的弦的下方 (或重合).
对于一个向下弯曲的函数, 其图像总是位于连接其上任意两点的弦的上方 (或重合).

为了将这个几何观察转化为精确的代数语言, 我们需要一种方式来表示弦上的点. 设弦的两个端点为 $A(x_1, f(x_1))$ 和 $B(x_2, f(x_2))$ . 对于任意 $t \in [0,1]$ , 表达式 $x_t = (1-t)x_1 + tx_2$ 给出了线段 $[x_1, x_2]$ 上的一个点. 对应地, 弦上具有相同横坐标的点的纵坐标, 是端点纵坐标的同权重线性组合, 即 $y_t = (1-t)f(x_1) + tf(x_2)$ . 而函数图像上对应点的纵坐标是 $f(x_t) = f((1-t)x_1 + tx_2)$ . 比较这两个纵坐标的大小, 便得到了凹凸性的严格定义.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：下凸函数的代数定义图解

凹凸函数

设函数 $f(x)$ 定义在区间 $I$ 上.

若对于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和任意 $t \in [0,1]$ , 恒有

f((1-t)x_1 + tx_2) \le (1-t)f(x_1) + tf(x_2)

则称 $f(x)$ 为 $I$ 上的**下凸函数**.

若对于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和任意 $t \in [0,1]$ , 恒有

f((1-t)x_1 + tx_2) \ge (1-t)f(x_1) + tf(x_2)

则称 $f(x)$ 为 $I$ 上的**上凸函数**.

若当 $x_1 \neq x_2$ 且 $t \in (0,1)$ 时上述不等式均取严格不等号, 则称函数为严格下凸或严格上凸.

这个不等式是凸性理论的基石. 特别地, 当我们取 $t=1/2$ 时, 它退化为一个极其常用且直观的形式:

下凸函数: $\displaystyle f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ (中点的函数值不大于函数值的中点).
上凸函数: $\displaystyle f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \ge \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ (中点的函数值不小于函数值的中点).

凹凸性的分析判定法

凹凸性的代数定义虽然严谨, 但在实际操作中直接应用不等式进行判定往往十分繁琐. 我们需要一个更具操作性的分析工具. 这一工具的建立, 源于对凹凸性几何直观的深刻洞察：函数图像的弯曲方向, 本质上由其切线斜率的变化趋势所决定.

我们考察一个下凸函数的图像. 当我们从左至右观察其切线时, 会发现切线的倾斜程度在持续增大. 即使在函数递减的部分, 切线的斜率也是从一个较大的负数向一个较小的负数变化, 始终处在增加的过程中. 这一观察是建立分析判定法的关键桥梁.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：下凸函数: 切线斜率 $f'(x)$ 单调递增

事实上, 函数的凹凸性与其一阶导数的单调性是等价的.

定理

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导.

$f(x)$ 在 $I$ 上是下凸函数的充分必要条件是其导函数 $f'(x)$ 在 $I$ 上单调递增.
$f(x)$ 在 $I$ 上是上凸函数的充分必要条件是其导函数 $f'(x)$ 在 $I$ 上单调递减.

证明

我们仅证明下凸的情形.

回顾割线斜率的几何直观, 对于下凸函数, 任意满足 $x_1 \< x_2 \< x_3$ 的三点, 其割线斜率满足

\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}

我们考察任意两点 $a, b \in I$ 且 $a\<b$ . 在上述不等式中, 令 $x_1=a, x_3=b$ .

首先, 令 $x_2 \to a^+$ , 则左侧的割线斜率趋近于 $f'(a)$ . 于是我们得到

f'(a) \le \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

接着, 令 $x_2 \to b^-$ , 则右侧的割线斜率趋近于 $f'(b)$ . 于是我们得到

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \le f'(b)

将这两个不等式结合起来, 我们立即导出 $f'(a) \le f'(b)$ . 由于此结论对任意 $a\<b$ 均成立, 故导函数 $f'(x)$ 在 $I$ 上单调递增. 反方向的证明可由拉格朗日中值定理构造, 此处从略.

这个定理将凹凸性的判定问题, 转化为了我们已经熟悉的单调性判定问题, 只不过判定的对象是导函数 $f'(x)$ . 我们知道, 一个函数 (此处为 $f'(x)$ ) 的单调性由其自身的导数 (即 $f''(x)$ ) 的符号所决定. 这便引出了最终的、也是最常用的分析判定法.

二阶导数判定法

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导.

若在 $I$ 内恒有 $f''(x) \ge 0$ , 则 $f(x)$ 在 $I$ 上是下凸的.
若在 $I$ 内恒有 $f''(x) \le 0$ , 则 $f(x)$ 在 $I$ 上是上凸的.

此定理将判断凹凸性的问题最终归结为求解一个不等式, 即判断二阶导数 $f''(x)$ 的符号.

拐点

函数从一种弯曲形态过渡到另一种的临界点, 在几何上具有特殊的重要性.

拐点

若函数 $y=f(x)$ 的图像在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处凹凸性发生改变, 则称点 $P$ 为该函数图像的一个拐点.

根据二阶导数判定法, 拐点的出现意味着二阶导数 $f''(x)$ 在该点两侧的符号发生了改变. 因此, 若函数在拐点 $x_0$ 处二阶可导, 则必然有 $f''(x_0)=0$ . 值得注意的是, $f''(x_0)=0$ 只是拐点的一个必要条件, 而非充分条件. (思考: 考虑函数 $f(x)=x^4$ , 其在 $x=0$ 处二阶导数为零, 但该点并非拐点.)

例

确定函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 1$ 的凹凸区间及拐点.

解

我们的策略是计算函数的二阶导数, 并分析其符号.

首先求一阶导数:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 5

接着求二阶导数:

f''(x) = 6x - 12

令 $f''(x)=0$ , 解得 $x=2$ . 这个点是可能存在拐点的唯一候选. 我们以此点为界, 考察 $f''(x)$ 的符号:

当 $x \in (-\infty, 2)$ 时, $f''(x) \< 0$ . 根据定理, 函数 $f(x)$ 在此区间上是上凸的.
当 $x \in (2, +\infty)$ 时, $f''(x) \> 0$ . 根据定理, 函数 $f(x)$ 在此区间上是下凸的.

由于函数在 $x=2$ 两侧的凹凸性发生了改变, 因此点 $(2, f(2))$ 是一个拐点. 计算拐点的纵坐标: $f(2) = 2^3 - 6(2^2) + 5(2) + 1 = 8 - 24 + 10 + 1 = -5$ .

综上, 函数 $f(x)$ 的上凸区间为 $(-\infty, 2)$ , 下凸区间为 $(2, +\infty)$ , 其拐点为 $(2, -5)$ .

Jensen 不等式

凹凸性的定义本身蕴含了一个深刻的不等式结构. 当我们将定义中连接两点的弦与弧的关系, 从两个点自然地推广到任意多个点时, 便得到了数学分析中一个极为重要且应用广泛的不等式——Jensen 不等式.

Jensen 不等式的一般形式

Jensen 不等式的核心思想是: 对于下凸函数, 变量的加权平均的函数值, 不大于函数值的同权重加权平均值.

Jensen 不等式

设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的函数.

若 $f(x)$ 为下凸函数, 则对于任意 $x_1, ..., x_n \in I$ 以及任意一组满足 $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$ 的非负权重 $\lambda_i \ge 0$ , 恒有:

f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)

若 $f(x)$ 为上凸函数, 则上述不等号方向相反.

对于严格凹凸函数, 等号成立的充分必要条件是 $x_1=x_2=...=x_n$ .

此定理的加权形式是其最完整的表述. 当我们取所有权重相等, 即 $\lambda_i = 1/n$ 时, 便得到了其更为人熟知的算术平均形式.

Jensen 不等式的算术平均形式

设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的函数.

若 $f(x)$ 为下凸函数, 则对于任意 $x_1, ..., x_n \in I$ , 有:

f\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n}

此即“平均的函数值不大于函数值的平均”.

2. 若 $f(x)$ 为上凸函数, 则不等号方向相反.

证明（算术平均形式的证明）

我们以下凸函数为例, 使用数学归纳法证明.

奠基: 当 $n=2$ 时, 不等式为 $f(\frac{x_1+x_2}{2}) \le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ . 这正是下凸函数定义中取 $t=1/2$ 的直接推论, 命题成立.

归纳假设: 假设命题对所有小于等于 $n$ 的正整数均成立. (这是一个稍强的归纳假设, 称为强归纳法, 它使得证明过程更为简洁).

归纳递推: 我们需要证明命题对 $n+1$ 成立. 考虑 $n+1$ 个点 $x_1, ..., x_{n+1}$ . 令它们的算术平均值为 $\bar{x}_{n+1} = \frac{x_1+...+x_{n+1}}{n+1}$ . 证明的核心技巧在于, 将这个 $n+1$ 个点的平均值, 巧妙地表示为两个点的加权平均, 以便利用奠基步骤 ( $n=2$ ) 的结论.

\bar{x}_{n+1} = \frac{n}{n+1} \left( \frac{x_1+...+x_n}{n} \right) + \frac{1}{n+1} x_{n+1}

这是一个以 $\frac{n}{n+1}$ 和 $\frac{1}{n+1}$ 为权重的加权平均. 根据下凸函数的定义 (加权形式), 我们有:

\begin{aligned} f(\bar{x}_{n+1}) &\le \frac{n}{n+1} f\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right) + \frac{1}{n+1} f(x_{n+1}) \end{aligned}

现在, 对于上式右侧的第一项 $f(\frac{x_1+...+x_n}{n})$ , 我们可以应用对 $n$ 个点成立的归纳假设:

f\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n}

将此不等式代入, 得到:

\begin{aligned} f(\bar{x}_{n+1}) &\le \frac{n}{n+1} \left( \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n} \right) + \frac{1}{n+1} f(x_{n+1}) &= \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n+1} + \frac{f(x_{n+1})}{n+1} &= \frac{f(x_1)+...+f(x_{n+1})}{n+1} \end{aligned}

这证明了命题对 $n+1$ 成立. 故由数学归纳法, Jensen不等式对所有整数 $n \ge 2$ 成立.

应用: 从 Jensen 不等式到均值不等式

许多著名不等式是 Jensen 不等式的特例.

例

证明算术-几何平均值不等式: 对于正数 $x_1, ..., x_n$ , $\frac{x_1+...+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1... x_n}$ .

解

考虑函数 $f(x)=\ln x$ , 定义域为 $(0, +\infty)$ . 其二阶导数为 $f''(x) = -1/x^2$ . 在 $(0, +\infty)$ 内, $f''(x)\<0$ 恒成立, 故 $f(x)=\ln x$ 是严格上凸函数.

根据上凸函数的 Jensen 不等式:

\frac{\ln x_1 + ... + \ln x_n}{n} \le \ln\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right)

利用对数性质, 不等式左侧可化为:

\frac{\ln(x_1... x_n)}{n} = \ln\left((x_1... x_n)^{1/n}\right) = \ln(\sqrt[n]{x_1... x_n})

代入原不等式, 得 $\ln(\sqrt[n]{x_1... x_n}) \le \ln(\frac{x_1+...+x_n}{n})$ .

由于对数函数是严格单调递增的, 上述不等关系等价于其自变量之间的不等关系:

\sqrt[n]{x_1... x_n} \le \frac{x_1+...+x_n}{n}

证毕.

Jensen 不等式的应用信号

在处理多元函数极值问题时, 若目标表达式形如 $\sum f(x_i)$ (例如 $2^{x_1}+2^{x_2}$ 或 $\sin A+\sin B+\sin C$ ), 且变量满足和为定值的约束 $\sum x_i = C$ , 这便是应用 Jensen 不等式的强烈信号.

例

在 $\triangle ABC$ 中, 求 $S = \sin A + \sin B + \sin C$ 的最大值.

解

此问题符合上述应用模式.考虑函数 $f(x)=\sin x$ , 定义域为内角范围 $(0, \pi)$ , 变量满足 $A+B+C=\pi$ .

函数 $f(x)=\sin x$ 的二阶导数为 $f''(x)=-\sin x$ . 在区间 $(0, \pi)$ 内, $\sin x \> 0$ , 故 $f''(x)\<0$ . 因此 $f(x)$ 是严格上凸函数.

应用上凸函数的 Jensen 不等式:

\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \le \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)

代入约束条件 $A+B+C=\pi$ :

\frac{S}{3} \le \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

解得 $S \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

等号成立条件为 $A=B=C=\pi/3$ , 此条件可以达到 (当 $\triangle ABC$ 为正三角形时). 因此, $S$ 的最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

反函数

{/* label: sec:ch03-s07 */}

函数定义了一个从定义域到值域的确定性映射.一个自然的问题是，此过程是否可逆？即，能否根据输出值唯一地确定输入值？实现这一“逆过程”的函数即为反函数.反函数的概念不仅在函数理论中至关重要, 其背后蕴含的坐标互换与图像对称思想, 是解决问题的有力工具.

反函数存在的条件

一个函数 $f$ 的逆过程要成为一个函数, 必须保证对于值域中的任意一个元素 $y$ , 在定义域中都存在唯一的 $x$ 与之对应.这要求原函数 $f$ 的映射关系是无损的, 即没有多个输入映射到同一个输出.

单射

称一个函数 $f: A \to C$ 是单射 (或称一一映射), 如果对于其定义域 $A$ 内任意两个不同的元素 $x_1, x_2$ , 其对应的函数值也必然不同, 即 $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ .

定理

一个函数 $f(x)$ 存在反函数的充分必要条件是 $f(x)$ 为单射.

在几何上, 函数是否为单射可以通过水平线检验法直观判断：若任意一条水平直线与函数图像至多只有一个交点, 则该函数为单射, 存在反函数.严格单调函数是单射函数的一个重要子类.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：水平线检验法

反函数的定义与求解

反函数

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $A$ , 值域为 $C$ , 且 $f$ 为单射.对于任意 $y \in C$ , 方程 $y=f(x)$ 存在唯一的解 $x \in A$ . 这个解 $x$ 依赖于 $y$ , 因此我们可以定义一个新函数 $g: C \to A$ , 使得 $x=g(y)$ . 函数 $g$ 称为 $f$ 的反函数, 记作 $f^{-1}$ .

按照惯例, 我们用 $x$ 表示自变量, $y$ 表示因变量, 故将 $x=f^{-1}(y)$ 写为 $y=f^{-1}(x)$ . 此时, 反函数的定义域是原函数的值域 $C$ .

符号 $f^{-1}(x)$ 是反函数的标准记法, 它与 $\frac{1}{f(x)}$ 绝无关系.

求解反函数的标准步骤为：

反解: 从 $y=f(x)$ 中解出 $x$ , 得到 $x=f^{-1}(y)$ .
互换: 将 $x$ 与 $y$ 互换, 得到 $y=f^{-1}(x)$ .
注明定义域: 反函数的定义域是原函数的值域.

例

求函数 $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ 的反函数.

解

首先确定原函数 $f(x)$ 的值域.将 $y = \frac{2x-1}{x+3}$ 变形为 $y = 2 - \frac{7}{x+3}$ .由于 $\frac{7}{x+3} \neq 0$ , 故 $y \neq 2$ . 原函数的值域为 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ , 此即反函数的定义域.

接着, 从 $y = \frac{2x-1}{x+3}$ 中反解 $x$ :

\begin{aligned} y(x+3) &= 2x-1 xy + 3y &= 2x - 1 3y + 1 &= x(2-y) x &= \frac{3y+1}{2-y} \end{aligned}

互换 $x, y$ 得到 $y = \frac{3x+1}{2-x}$ .

因此, 所求反函数为 $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{2-x}$ , 其定义域为 $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$ .

反函数的性质

互为反函数的两个函数在代数性质与几何图像上存在紧密的对偶关系.

反函数的性质

设 $y=f(x)$ 是一个存在反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的函数.

图像对称性: $y=f(x)$ 的图像与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称.
定义域与值域互换: $f$ 的定义域是 $f^{-1}$ 的值域, $f$ 的值域是 $f^{-1}$ 的定义域.
单调性一致性: 若 $f(x)$ 在某个区间上单调递增(减), 则其反函数 $f^{-1}(x)$ 在对应的区间上也单调递增(减).
复合抵消性: 对于 $f^{-1}$ 定义域中的任意 $x$ , $f(f^{-1}(x))=x$ .对于 $f$ 定义域中的任意 $x$ , $f^{-1}(f(x))=x$ .

证明（性质1的证明）

若点 $P(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 的图像上, 则 $b=f(a)$ .根据反函数的定义, 这等价于 $a=f^{-1}(b)$ .这意味着点 $Q(b,a)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 的图像上.点 $P(a,b)$ 与 $Q(b,a)$ 关于直线 $y=x$ 对称, 此结论对图像上所有点均成立, 故两函数图像关于 $y=x$ 对称.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数与反函数图像关于 $y=x$ 对称

例

已知 $x_1$ 是方程 $3^x = \frac{4}{x}$ 的根, $x_2$ 是方程 $\log_3 x = \frac{4}{x}$ 的根, 求 $x_1 x_2$ .

解

这两个方程无法直接求解.我们从函数图像的角度分析.

方程一的根 $x_1$ 是函数 $y_1=3^x$ 与 $y_g=4/x$ 图像交点的横坐标. 方程二的根 $x_2$ 是函数 $y_2=\log_3 x$ 与 $y_g=4/x$ 图像交点的横坐标.

我们分析这三个函数的对称性. $y_1=3^x$ 与 $y_2=\log_3 x$ 互为反函数, 它们的图像关于直线 $y=x$ 对称. $y_g=4/x$ 的反函数是其自身, 故其图像也关于直线 $y=x$ 对称.

设 $P_1(x_1, y_1)$ 是 $y_1=3^x$ 与 $y_g=4/x$ 的一个交点. 由于 $y_1$ 和 $y_g$ 的图像都关于 $y=x$ 对称的图像分别是 $y_2$ 和 $y_g$ , 那么 $y_2$ 与 $y_g$ 的交点 $P_2(x_2, y_2)$ 必然是 $P_1(x_1, y_1)$ 关于直线 $y=x$ 的对称点.

因此, $P_2$ 的坐标为 $(y_1, x_1)$ , 即 $x_2=y_1, y_2=x_1$ .

由 $P_1$ 点的定义, 有 $y_1=4/x_1$ . 结合 $x_2=y_1$ , 我们得到 $x_2=4/x_1$ .

故 $x_1 x_2 = 4$ .

函数的反函数

{/* label: sec:ch03-s08 */}

反函数存在的条件

单射

定理

一个函数 $f(x)$ 存在反函数的充分必要条件是 $f(x)$ 为单射.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：水平线检验法

反函数的定义与求解

反函数

按照惯例, 我们用 $x$ 表示自变量, $y$ 表示因变量, 故将 $x=f^{-1}(y)$ 写为 $y=f^{-1}(x)$ . 此时, 反函数的定义域是原函数的值域 $C$ .

符号 $f^{-1}(x)$ 是反函数的标准记法, 它与 $\frac{1}{f(x)}$ 绝无关系.

求解反函数的标准步骤为：

反解: 从 $y=f(x)$ 中解出 $x$ , 得到 $x=f^{-1}(y)$ .
互换: 将 $x$ 与 $y$ 互换, 得到 $y=f^{-1}(x)$ .
注明定义域: 反函数的定义域是原函数的值域.

例

求函数 $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ 的反函数.

解

接着, 从 $y = \frac{2x-1}{x+3}$ 中反解 $x$ :

\begin{aligned} y(x+3) &= 2x-1 xy + 3y &= 2x - 1 3y + 1 &= x(2-y) x &= \frac{3y+1}{2-y} \end{aligned}

互换 $x, y$ 得到 $y = \frac{3x+1}{2-x}$ .

因此, 所求反函数为 $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{2-x}$ , 其定义域为 $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$ .

反函数的性质

互为反函数的两个函数在代数性质与几何图像上存在紧密的对偶关系.

反函数的性质

设 $y=f(x)$ 是一个存在反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的函数.

图像对称性: $y=f(x)$ 的图像与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称.
定义域与值域互换: $f$ 的定义域是 $f^{-1}$ 的值域, $f$ 的值域是 $f^{-1}$ 的定义域.
单调性一致性: 若 $f(x)$ 在某个区间上单调递增(减), 则其反函数 $f^{-1}(x)$ 在对应的区间上也单调递增(减).
复合抵消性: 对于 $f^{-1}$ 定义域中的任意 $x$ , $f(f^{-1}(x))=x$ .对于 $f$ 定义域中的任意 $x$ , $f^{-1}(f(x))=x$ .

证明（性质1的证明）

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数与反函数图像关于 $y=x$ 对称

例

已知 $x_1$ 是方程 $3^x = \frac{4}{x}$ 的根, $x_2$ 是方程 $\log_3 x = \frac{4}{x}$ 的根, 求 $x_1 x_2$ .

解

这两个方程无法直接求解.我们从函数图像的角度分析.

方程一的根 $x_1$ 是函数 $y_1=3^x$ 与 $y_g=4/x$ 图像交点的横坐标. 方程二的根 $x_2$ 是函数 $y_2=\log_3 x$ 与 $y_g=4/x$ 图像交点的横坐标.

因此, $P_2$ 的坐标为 $(y_1, x_1)$ , 即 $x_2=y_1, y_2=x_1$ .

由 $P_1$ 点的定义, 有 $y_1=4/x_1$ . 结合 $x_2=y_1$ , 我们得到 $x_2=4/x_1$ .

故 $x_1 x_2 = 4$ .

函数的复合

{/* label: sec:ch03-s09 */}

函数的复合是一种基本运算, 它通过依次施加多个函数的作用, 由已知函数构造新函数.深刻理解复合函数的构造过程及其性质的传递规律, 是分析复杂函数的关键.

复合函数的定义

设有两个函数, $f$ 和 $g$ .函数的复合过程如下：自变量 $x$ 首先由函数 $g$ 作用, 得到中间值 $u=g(x)$ .该中间值 $u$ 继而作为函数 $f$ 的自变量, 得到最终值 $y=f(u)$ .这个从 $x$ 到 $y$ 的连续作用过程定义了一个新的函数.

x \xrightarrow{g} u=g(x) \xrightarrow{f} y=f(u) = f(g(x))

复合函数

设有函数 $u=g(x)$ 和 $y=f(u)$ , 则通过代换形成的函数

y = f(g(x))

称为由函数 $g$ 和 $f$ 构成的复合函数.其中, $x$ 是自变量, $u$ 是中间变量.我们称 $g$ 为内层函数, $f$ 为外层函数.

复合函数 $y=f(g(x))$ 得以良定义的前提是：内层函数 $g(x)$ 的值域必须是外层函数 $f(u)$ 定义域的子集.

复合函数的基本性质

定义域

复合函数的定义域由一个核心原则支配：复合过程的每一步都必须有意义.

复合函数定义域

设函数 $f$ 的定义域为 $D_f$ , 函数 $g$ 的定义域为 $D_g$ .则复合函数 $y = f(g(x))$ 的定义域 $D_{f \circ g}$ 是同时满足以下两个条件的自变量 $x$ 构成的集合：

$x \in D_g$ (内层函数有意义);
$g(x) \in D_f$ (外层函数有意义).

即 $D_{f \circ g} = \{ x \in D_g \mid g(x) \in D_f \}$ .

例

已知函数 $f(2x-1)$ 的定义域为 $[0, 1]$ , 求函数 $f(\sqrt{x})$ 的定义域.

解

此问题的核心在于确定外层函数 $f$ 的定义域. 由题设, 当 $x \in [0, 1]$ 时, $f(2x-1)$ 有意义.这意味着 $f$ 的输入量 (即中间变量 $u=2x-1$ ) 的取值范围是由 $x \in [0, 1]$ 决定的. 当 $x \in [0, 1]$ 时, $u=2x-1 \in [-1, 1]$ . 因此, 外层函数 $f(u)$ 的定义域为 $D_f = [-1, 1]$ .

对于新函数 $f(\sqrt{x})$ , 其定义域由以下不等式组确定:

\begin{cases} x \ge 0 & (\text{内层函数 } \sqrt{x} \text{ 有意义}) \sqrt{x} \in [-1, 1] & (\text{内层函数的值在外层函数的定义域内}) \end{cases}

由于 $\sqrt{x} \ge 0$ , 第二个条件等价于 $0 \le \sqrt{x} \le 1$ , 平方得 $0 \le x \le 1$ . 联立两个条件, 函数 $f(\sqrt{x})$ 的定义域为 $[0, 1]$ .

值域

求解复合函数的值域, 是一个“由内向外”的分析过程. 对于函数 $y=f(g(x))$ :

确定内层函数的值域: 在复合函数的定义域内, 求出内层函数 $u=g(x)$ 的值域 $R_g$ .
求解外层函数的值域: 将 $R_g$ 作为外层函数 $f(u)$ 的新定义域, 在此定义域上求 $f(u)$ 的值域, 即为原复合函数的值域.

例

求函数 $y = 4^x - 2^{x+1} + 3$ 的值域.

解

通过换元法识别其复合结构.令 $u = 2^x$ , 则原函数可视为 $y = u^2 - 2u + 3$ . 这是一个由内层函数 $u=g(x)=2^x$ 和外层函数 $y=f(u)=u^2-2u+3$ 构成的复合函数.

内层函数 $u=2^x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ , 其值域为 $R_g = (0, +\infty)$ .

问题转化为求二次函数 $y=f(u)=(u-1)^2+2$ 在定义域 $u \in (0, +\infty)$ 上的值域. 此为开口向上, 对称轴为 $u=1$ 的抛物线.由于对称轴 $u=1$ 位于定义域 $(0, +\infty)$ 内, 函数在 $u=1$ 处取得最小值 $y_{\min} = f(1) = 2$ .

因此, 原函数的值域为 $[2, +\infty)$ .

单调性与奇偶性

复合函数的单调性与奇偶性遵循明确的传递法则.

复合函数单调性

设复合函数 $y=f(g(x))$ 在区间 $I$ 上有定义, 且 $u=g(x)$ 与 $y=f(u)$ 在各自对应的定义域区间上单调.

若 $f(u)$ 与 $g(x)$ 单调性相同, 则 $f(g(x))$ 为增函数.
若 $f(u)$ 与 $g(x)$ 单调性相异, 则 $f(g(x))$ 为减函数.

复合函数奇偶性

设复合函数 $y=f(g(x))$ 的定义域 $D$ 关于原点对称.

若内层函数 $g(x)$ 是偶函数, 则 $y=f(g(x))$ 必为偶函数.
若内层函数 $g(x)$ 是奇函数, 则复合函数的奇偶性与外层函数 $f(u)$ 相同.

证明（奇偶性定理证明）

令 $F(x) = f(g(x))$ .

若 $g$ 为偶函数: $F(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = F(x)$ . 故 $F(x)$ 为偶函数.
若 $g$ 为奇函数: $F(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x))$ . 若 $f$ 为偶函数, $f(-g(x))=f(g(x))=F(x)$ , 故 $F(x)$ 为偶函数. 若 $f$ 为奇函数, $f(-g(x))=-f(g(x))=-F(x)$ , 故 $F(x)$ 为奇函数.

函数相等

判定两个函数是否为同一函数, 需满足严格的条件.

函数相等

若两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域相同, 且对应法则也相同, 则称这两个函数相等, 记为 $f(x)=g(x)$ .

判定时必须同时审查这两个方面.对应法则的审查, 通常在将解析式化至最简形式后进行.

例

判断 $f(x) = x+2$ 与 $g(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ 是否为同一函数.

解

审查定义域: $f(x)=x+2$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ . $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ 的分母不能为零, 即 $x \neq 2$ . 其定义域为 $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$ .

由于定义域不同, 这两个函数不是同一函数.

函数的图像变换

{/* label: sec:ch03-s10 */}

函数的图像是其代数表达式的几何实现.图像变换提供了一套系统性的方法, 使我们能从基本函数图像出发, 通过平移、伸缩、对称等操作, 精确构造出更复杂函数的图像.本节旨在建立这些几何操作与其代数表示之间的严格联系, 并揭示其背后的统一原理.

变换的统一原理

所有图像变换均可归结为一个代数原理：新旧坐标的代换关系.

设原函数图像满足方程 $y_0=f(x_0)$ , 其上任意一点为 $(x_0, y_0)$ .经过变换, 该点移动至新图像上的点 $(x,y)$ .若新旧坐标间的变换关系可表示为

\begin{aligned} x_0 &= g(x,y) y_0 &= h(x,y) \end{aligned}

则将此关系代入原方程 $y_0=f(x_0)$ , 即得新图像的方程 $h(x,y) = f(g(x,y))$ .

坐标变换与方程变换的对偶性

核心在于, 方程的变换与点的坐标变换在形式上是"逆向"的.例如, 将图像上的所有点 $(x_0, y_0)$ 向右平移 $a$ 个单位得到新点 $(x,y)$ , 其坐标关系为 $x = x_0+a, y=y_0$ .为建立新坐标 $(x,y)$ 满足的方程, 必须用新坐标表示旧坐标, 即 $x_0 = x-a, y_0=y$ , 然后代入原方程, 得到 $y=f(x-a)$ .注意到, 作用于坐标的变换是 $+a$ , 而作用于方程中变量的变换是 $-a$ .

基本图像变换

平移与伸缩变换

设原函数为 $y=f(x)$ , $a,b,\omega,A$ 均为正实数.

水平平移: $y = f(x-a)$ 的图像由 $y=f(x)$ 向右平移 $a$ 个单位得到.
竖直平移: $y = f(x)+b$ 的图像由 $y=f(x)$ 向上平移 $b$ 个单位得到.
水平伸缩: $y = f(\omega x)$ 的图像由 $y=f(x)$ 上各点的横坐标变为原来的 $1/\omega$ 倍得到 (纵坐标不变).
竖直伸缩: $y = A f(x)$ 的图像由 $y=f(x)$ 上各点的纵坐标变为原来的 $A$ 倍得到 (横坐标不变).

对称变换

设原函数为 $y=f(x)$ .

关于 x轴对称的图像方程为 $y = -f(x)$ .
关于 y轴对称的图像方程为 $y = f(-x)$ .
关于原点对称的图像方程为 $y = -f(-x)$ .
关于直线 y=x 对称的图像方程为 $x = f(y)$ (即反函数图像).

上述变换均可通过统一原理直接推导.

复合变换

对于形如 $y=A f(\omega x + \phi) + k$ 的函数, 其图像变换顺序至关重要.为避免混淆, 我们首先将其改写为标准形式:

y - k = A f\left(\omega\left(x + \frac{\phi}{\omega}\right)\right)

此形式揭示了从基函数 $y_0=f(x_0)$ 到目标函数的坐标映射关系:

x_0 = \omega\left(x + \frac{\phi}{\omega}\right), y_0 = \frac{y-k}{A}

反解出新坐标 $(x,y)$ 与旧坐标 $(x_0, y_0)$ 的关系：

x = \frac{1}{\omega}x_0 - \frac{\phi}{\omega}, y = Ay_0 + k

此坐标变换过程可分解为伸缩(或对称)变换与平移变换的复合.一个可靠的作图法则是先伸缩, 后平移.具体而言, 水平变换与竖直变换的次序无关, 但各自内部的“先伸缩后平移”的次序不应颠倒.

例

叙述由 $y=\sin x$ 的图像变换得到 $y=-2\sin\left( \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ 图像的过程.

解

将目标函数改写为标准形式 $y - 1 = -2\sin\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)$ . 变换过程如下:

1. 水平变换: (a) 将 $y=\sin x$ 图像上所有点的横坐标变为原来的 $2$ 倍, 得到 $y=\sin(\frac{1}{2}x)$ 的图像. (b) 再将所得图像向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位, 得到 $y=\sin(\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3}))$ 的图像.

2. 竖直变换: (a) 将前一步所得图像上所有点的纵坐标变为原来的 $-2$ 倍 (即伸长到2倍, 再关于x轴对称), 得到 $y=-2\sin(\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3}))$ 的图像. (b) 最后将所得图像向上平移 $1$ 个单位, 得到最终图像.

绝对值变换

含绝对值的函数图像变换是一种基于坐标轴的翻折操作.

翻折变换

设原函数为 $y=f(x)$ .

函数 $y=f(|x|)$ 的图像: 由 $f(|x|) = \begin{cases} f(x), & x \ge 0 \\ f(-x), & x \< 0 \end{cases}$ 可知, 新函数为偶函数. 其图像的构造方法为: 保留 $y=f(x)$ 图像在 y轴右侧 (含y轴) 的部分, 并将此部分关于 y轴对称翻折到左侧, 构成完整的图像.
函数 $y=|f(x)|$ 的图像: 由 $|f(x)| = \begin{cases} f(x), & f(x) \ge 0 \\ -f(x), & f(x) \< 0 \end{cases}$ 可知, 新函数的值域非负. 其图像的构造方法为: 保留 $y=f(x)$ 图像在 x轴上方 (含x轴) 的部分, 并将 x轴下方的部分关于 x轴对称翻折到上方.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：翻折变换示例

导函数的对称性

定理

若可导函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 轴对称, 则其导函数 $y=f'(x)$ 的图像关于点 $(a,0)$ 中心对称.

证明

函数 $f(x)$ 图像关于 $x=a$ 对称的代数表达式为 $f(a-x)=f(a+x)$ .对此恒等式两边关于 $x$ 求导, 应用链式法则:

\begin{aligned} [f(a-x)]' &= [f(a+x)]' f'(a-x) \cdot (a-x)' &= f'(a+x) \cdot (a+x)' -f'(a-x) &= f'(a+x) \end{aligned}

此关系式即为导函数 $f'(x)$ 的图像关于点 $(a,0)$ 中心对称的定义.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：轴对称原函数与中心对称导函数

常见多项式函数

{/* label: sec:ch03-s11 */}

多项式函数 $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ 是由幂函数通过有限次加法与数乘运算复合而成的函数类, 它们是函数世界中最基本、性质最良好、应用最广泛的基石. 其定义域为全体实数 $\mathbb{R}$ , 且在定义域内处处连续、光滑可导. 本节将简要回顾一次与二次函数的核心性质, 并重点剖析三次函数的对称性、单调性与根的性质, 以期建立一个分析任意多项式函数的系统性视角.

一次与二次函数回顾

一次函数 $f(x)=kx+b \ (k\neq 0)$ 的本质特征是其变化率恒定. 它的导数 $f'(x)=k$ 是一个常数, 这意味着其图像——直线——的斜率处处相等. 几何上, 直线是自身在每一点的切线, 并且关于其上任意一点都构成中心对称图形.

二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c \ (a\neq 0)$ 的本质特征是其变化率的变化率恒定. 它的二阶导数 $f''(x)=2a$ 是一个非零常数, 这意味着其图像——抛物线——的凹凸性在整个定义域上保持不变. 抛物线最根本的性质是其轴对称性, 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}$ . 这一对称性深刻地联系了函数的几何与代数性质. 不妨设方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1, x_2$ , 根据韦达定理, 根与系数的关系为 $x_1+x_2 = -b/a$ . 注意到, 对称轴的横坐标恰好是两根的算术平均值 $\frac{x_1+x_2}{2} = -\frac{b}{2a}$ . 这一事实揭示了对称轴作为函数零点几何中心的代数根源.

三次函数

三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ (a\neq 0)$ 展现了更为丰富的形态与性质, 其行为主要由其一阶与二阶导数所支配.

\begin{aligned} f'(x) &= 3ax^2+2bx+c f''(x) &= 6ax+2b \end{aligned}

注意到, 一阶导数是二次函数, 决定了原函数的单调性与极值; 二阶导数是一次函数, 决定了原函数的凹凸性与拐点. 从高阶导数反向研究原函数, 是分析函数性质的根本方法.

单调性与极值

三次函数的单调性完全取决于其导函数 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 的符号. 作为一个二次函数, $f'(x)$ 的符号由其判别式 $\Delta = (2b)^2 - 4(3a)c = 4(b^2-3ac)$ 决定.

当 $\Delta \> 0$ 时, 即 $b^2-3ac \> 0$ , 方程 $f'(x)=0$ 有两个不相等的实数根 $x_1, x_2$ . 这两个根是 $f(x)$ 的极值点. 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, \min\{x_1,x_2\})$ 和 $(\max\{x_1,x_2\}, +\infty)$ 上单调, 在 $(\min\{x_1,x_2\}, \max\{x_1,x_2\})$ 上单调性相反. 函数图像呈现典型的“S”形, 拥有一个极大值点和一个极小值点.
当 $\Delta = 0$ 时, 即 $b^2-3ac = 0$ , 方程 $f'(x)=0$ 有两个相等的实数根 $x_0$ . 此时 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上除一点外恒为正或恒为负. 函数 $f(x)$ 在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上是单调的, 没有极值点. 但在 $x_0$ 处, 其切线斜率为零, 该点是一个水平拐点.
当 $\Delta \< 0$ 时, 即 $b^2-3ac \< 0$ , 方程 $f'(x)=0$ 无实数根. $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒为正或恒为负. 函数 $f(x)$ 在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上是严格单调的, 既无极值点, 也无水平切线.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：三次函数的三种基本形态 ( $a\>0$ )

对称性

二次函数具有轴对称性, 而三次函数则具有更为深刻的中心对称性.

定理

任何三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的图像都是中心对称图形, 其对称中心是唯一的拐点 $(x_0, f(x_0))$ .

证明

函数的拐点是其凹凸性改变之处, 由二阶导数 $f''(x)=0$ 确定.

f''(x) = 6ax+2b = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{3a}

此即拐点的横坐标. 事实上, 该点也是导函数 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 这条抛物线的对称轴.

为证明点 $(x_0, f(x_0))$ 是对称中心, 我们只需验证 $f(x_0+t)+f(x_0-t) = 2f(x_0)$ 对任意实数 $t$ 恒成立. 将 $x_0+t$ 与 $x_0-t$ 分别代入 $f(x)$ 的表达式, 经过直接但略显繁琐的代数运算, 可以消去所有含 $t$ 的奇次幂项, 最终验证该恒等式成立.

这一对称性具有重要的推论. 若三次函数存在两个极值点 $x_1, x_2$ , 它们必然关于对称中心的横坐标 $x_0$ 对称, 即 $x_0 = \frac{x_1+x_2}{2}$ . 同时, 两个极值点 $f(x_1), f(x_2)$ 也关于对称中心的纵坐标 $f(x_0)$ 对称, 即 $f(x_0) = \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ .

三次方程实根个数的判定

探究三次方程 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$ 实根的个数, 本质上是考察函数图像 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴的交点个数. 这一几何问题的代数判据, 完全蕴含于函数的极值性质之中.

我们分析的出发点是导函数 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ . 其判别式 $\Delta = 4(b^2-3ac)$ 是分类讨论的第一个枢纽.

首先, 我们考察函数不存在极值的情形. 当 $b^2-3ac \le 0$ 时, 导函数 $f'(x)$ 在实数域上至多有一个零点, 从而 $f'(x)$ 恒为非负或恒为非正. 这意味着原函数 $f(x)$ 在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上是单调的. 一个在 $\mathbb{R}$ 上连续的单调函数, 其图像与任何一条水平直线(包括 $x$ 轴)至多有一个交点. 又因 $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)$ 符号相反, 故必有一个交点. 因此, 在此情形下, 方程 $f(x)=0$ 有且仅有一个实根.

一个更为微妙的情形是当 $b^2-3ac \> 0$ 时. 此时, 函数 $f(x)$ 存在一个极大值与一个极小值, 不妨设其发生在 $x_1$ 与 $x_2$ 处. 函数图像不再单调, 而是呈现“升-降-升”或“降-升-降”的形态. 此时, 图像与 $x$ 轴的交点个数, 完全取决于两个极值 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 相对于 $x$ 轴的位置. 这一几何位置关系, 可以通过考察两个极值的乘积 $f(x_1) \cdot f(x_2)$ 的符号来精确刻画.

若 $f(x_1) \cdot f(x_2) \> 0$ , 这意味着两个极值点均在 $x$ 轴的同一侧(同为正或同为负). 此时, 函数图像在达到一个极值后“折返”, 但在到达另一个极值前并未能触及 $x$ 轴. 因此, 图像仅与 $x$ 轴有一个交点, 方程仅有一个实根.
若 $f(x_1) \cdot f(x_2) = 0$ , 这意味着其中一个极值点恰好落在 $x$ 轴上. 此时, 函数图像在 $x$ 轴上有一个切点(二重根)和一个穿根点. 因此, 方程有两个不相等的实根.
若 $f(x_1) \cdot f(x_2) \< 0$ , 这意味着极大值在 $x$ 轴上方, 而极小值在 $x$ 轴下方. 根据连续函数介值定理, 函数图像在两个极值点之间必然要穿越一次 $x$ 轴. 加上两端趋于无穷的行为, 图像共与 $x$ 轴有三个不同的交点. 因此, 方程有三个不相等的实根.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：三次函数存在极值时, 实根个数的几何情形

综上所述, 我们可以将三次方程实根个数的判定条件总结如下: 设 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$ , 且 $x_1, x_2$ 是其导函数 $f'(x)=0$ 的根.

一个实根的充要条件是 $b^2-3ac \le 0$ , 或 $b^2-3ac \> 0$ 且 $f(x_1)f(x_2)\>0$ .
两个不等实根的充要条件是 $b^2-3ac \> 0$ 且 $f(x_1)f(x_2)=0$ .
三个不等实根的充要条件是 $b^2-3ac \> 0$ 且 $f(x_1)f(x_2)\<0$ .

例

确定方程 $2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$ 的实根个数.

解

此问题等价于考察函数 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ 的图像与 $x$ 轴的交点个数. 我们的分析策略是首先通过导数确定函数的单调性与极值, 进而根据极值与零的位置关系来判定根的数目.

首先求其导函数:

f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)

令 $f'(x)=0$ , 我们得到两个临界点 $x_1=1$ 和 $x_2=2$ . 这表明函数 $f(x)$ 存在两个极值点.

接下来, 我们计算这两个极值的大小:

\begin{aligned} f(1) &= 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 4 = 2 - 9 + 12 - 4 = 1 f(2) &= 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 4 = 16 - 36 + 24 - 4 = 0 \end{aligned}

我们注意到, 极小值 $f(2)$ 恰好为零. 这意味着函数图像在点 $(2,0)$ 处与 $x$ 轴相切.

为了确定根的总数, 我们考察极值的乘积:

f(1) \cdot f(2) = 1 \cdot 0 = 0

根据我们的判定准则, 当极值之积为零时, 函数图像与 $x$ 轴有一个切点和一个穿根点.

因此, 原方程有两个不相等的实根 (其中一个是二重根).

例

讨论关于 $x$ 的方程 $x^3 - 3x = m$ 的实根个数随参数 $m$ 的变化情况.

解

此问题要求我们根据参数 $m$ 的取值, 对一个三次方程的根的结构进行完整的分类讨论. 我们可以将方程变形为 $x^3 - 3x - m = 0$ , 并令 $f(x) = x^3 - 3x - m$ . 问题的核心便是分析函数 $f(x)$ 的零点个数.

首先, 我们考察 $f(x)$ 的极值存在性. 其导函数为:

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)

令 $f'(x)=0$ , 解得极值点为 $x_1=-1$ 和 $x_2=1$ . 注意到极值点的存在与参数 $m$ 无关.

接下来, 我们计算两个极值, 它们将是 $m$ 的表达式:

\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^3 - 3(-1) - m = -1 + 3 - m = 2-m f(1) &= (1)^3 - 3(1) - m = 1 - 3 - m = -2-m \end{aligned}

方程实根的个数取决于这两个极值乘积的符号:

f(-1)f(1) = (2-m)(-2-m) = (m-2)(m+2)

我们现在可以对参数 $m$ 进行分类讨论:

当有三个不等实根时, 必须满足 $f(-1)f(1) \< 0$ , 即 $(m-2)(m+2) \< 0$ . 解此不等式得 $-2 \< m \< 2$ .
当有两个不等实根时, 必须满足 $f(-1)f(1) = 0$ , 即 $(m-2)(m+2) = 0$ . 解得 $m=2$ 或 $m=-2$ .
当仅有一个实根时, 必须满足 $f(-1)f(1) \> 0$ , 即 $(m-2)(m+2) \> 0$ . 解得 $m \> 2$ 或 $m \< -2$ .

综上所述, 当 $-2 \< m \< 2$ 时, 方程有三个不等实根; 当 $m=\pm 2$ 时, 方程有两个不等实根; 当 $|m|\>2$ 时, 方程仅有一个实根.

分离参数法

一个等价且几何直观更强的视角是分离参数. 原方程 $x^3 - 3x = m$ 的根的个数, 等价于函数 $g(x)=x^3-3x$ 的图像与水平直线 $y=m$ 的交点个数. 通过分析 $g(x)$ 的极大值 $g(-1)=2$ 与极小值 $g(1)=-2$ , 我们可以直观地得出相同的结论.

例

已知函数 $f(x) = x^3 - ax^2 + (a^2-2a)x$ . 若 $f(x)$ 在区间 $(1, 2)$ 内恰有一个极值点, 求实数 $a$ 的取值范围.

解

注意到, $f'(x)$ 可以进行因式分解:

f'(x) = (3x - (a-1))(x - (a+1))

这是一个错误的分解. 让我们重新尝试配方法或直接使用求根公式.

让我们重新审视 $f'(x) = 3x^2 - 2ax + (a^2-2a)$ . 这是一个开口向上的抛物线. 它在区间 $(1, 2)$ 内恰有一个根, 这意味着该区间穿过了抛物线与 $x$ 轴的一个交点. 这在几何上对应两种可能:

抛物线在 $(1, 2)$ 内只有一个根(可能是重根, 但此处判别式 $\Delta = 4a^2 - 12(a^2-2a) = -8a^2+24a = -8a(a-3)$ 需大于等于零, 故 $0 \le a \le 3$ ).
抛物线在 $x=1$ 和 $x=2$ 处的函数值异号, 即 $f'(1) \cdot f'(2) \< 0$ .

我们来计算 $f'(1)$ 和 $f'(2)$ :

\begin{aligned} f'(1) &= 3 - 2a + a^2 - 2a = a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3) f'(2) &= 3(4) - 2a(2) + a^2 - 2a = a^2 - 6a + 12 \end{aligned}

对于 $f'(2) = a^2 - 6a + 12 = (a-3)^2 + 3$ , 其值恒为正.

因此, 条件 $f'(1) \cdot f'(2) \< 0$ 就等价于 $f'(1) \< 0$ .

(a-1)(a-3) \< 0

解得 $1 \< a \< 3$ .

我们还需检验边界情况. 若 $f'(1)=0$ , 则 $a=1$ 或 $a=3$ . 当 $a=1$ 时, $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = (3x+1)(x-1)$ . 根为 $x=-1/3$ 和 $x=1$ . 区间 $(1,2)$ 内无根, 不符. 当 $a=3$ 时, $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x-1)^2$ . 根为 $x=1$ (二重根). 区间 $(1,2)$ 内无根, 不符.

若 $f'(2)=0$ , 由于 $f'(2)=(a-3)^2+3$ 恒大于零, 此情况不会发生.

综上所述, 使得 $f'(x)=0$ 在 $(1,2)$ 内恰有一个根的充要条件是 $1 \< a \< 3$ .

最后, 我们必须确保在此条件下 $f(x)$ 确实存在极值点, 即 $f'(x)=0$ 有实根. 这要求判别式 $\Delta = -8a(a-3) \ge 0$ , 即 $0 \le a \le 3$ .

将两个条件取交集, 我们得到 $a$ 的最终取值范围是 $(1, 3)$ .

例

设函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax^2 + 1$ . 若 $a\>2$ , 判断函数 $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内的零点个数.

解

此问题的核心在于判断函数 $f(x)$ 在指定区间 $(0,2)$ 上的单调性, 并结合端点处的函数值符号来确定零点的个数. 这是一个典型的结合了导数与连续函数介值定理的分析问题.

首先, 我们考察函数的导数以确定其单调趋势:

f'(x) = x^2 - 2ax = x(x-2a)

根据题设条件 $a\>2$ , 可知 $2a \> 4$ . 对于任意 $x \in (0,2)$ , 我们有 $x\>0$ 且 $x-2a \< 2-4 = -2 \< 0$ . 因此, 在区间 $(0,2)$ 内, 两个因子 $x$ 与 $(x-2a)$ 异号, 故其乘积 $f'(x) = x(x-2a) \< 0$ 恒成立.

这表明 $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上是严格单调递减的.

接下来, 我们考察函数在区间端点处的函数值. 在左端点, $f(0) = 1 \> 0$ . 在右端点, $f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - a(2)^2 + 1 = \frac{8}{3} - 4a + 1 = \frac{11}{3} - 4a$ . 由于 $a\>2$ , 必然有 $4a\>8$ , 故 $f(2) = \frac{11}{3} - 4a \< \frac{11}{3} - 8 = -\frac{13}{3} \< 0$ .

函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续, 在开区间 $(0,2)$ 上严格单调递减, 且其在区间两端点的值异号 ( $f(0)\>0, f(2)\<0$ ). 根据连续函数介值定理, $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内存在唯一一个零点.

故函数在区间 $(0,2)$ 上恰好有1个零点.

例

设 $a$ 为实数, 函数 $f(x) = -x^3 + 3x + a$ .

求 $f(x)$ 的极值.
若函数 $y=f(x)$ 恰好有两个零点, 求 $a$ 的值.

解

(1) 函数的极值由其导数的零点决定. 我们求其导函数:

f'(x) = -3x^2 + 3

令 $f'(x)=0$ , 即 $-3x^2+3=0$ , 解得 $x=\pm 1$ .

通过考察 $f'(x)$ 的符号, 我们可知: 当 $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ 时, $f'(x)\<0$ , 函数单调递减; 当 $x \in (-1, 1)$ 时, $f'(x)\>0$ , 函数单调递增.

因此, $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值, 在 $x=1$ 处取得极大值. 极小值为: $f_{\text{极小}} = f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + a = 1 - 3 + a = a-2$ . 极大值为: $f_{\text{极大}} = f(1) = -(1)^3 + 3(1) + a = -1 + 3 + a = a+2$ .

(2) 函数 $y=f(x)$ 的图像恰好有两个零点, 这在几何上意味着其图像与 $x$ 轴恰有两个交点. 对于一个具有极大值和极小值的三次函数而言, 这当且仅当其中一个极值点恰好落在 $x$ 轴上, 即极大值或极小值之一为零.

因此, 我们有

f_{\text{极小}} = a-2 = 0 \text{或} f_{\text{极大}} = a+2 = 0

解得 $a=2$ 或 $a=-2$ .

例

已知函数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax^2 + b$ , 且其在 $x=-2$ 处取得极值.

求函数 $f(x)$ 的单调区间.
若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-3, 3]$ 上有且仅有一个零点, 求实数 $b$ 的取值范围.

解

(I) 函数的极值点必然是其导函数为零的点. 我们首先计算导函数:

f'(x) = x^2 - 2ax

根据题设, $f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得极值, 故必有 $f'(-2)=0$ . 将 $x=-2$ 代入导函数表达式:

f'(-2) = (-2)^2 - 2a(-2) = 4 + 4a = 0

解得 $a=-1$ .

由此, 导函数得以确定: $f'(x) = x^2 + 2x = x(x+2)$ . 令 $f'(x)\>0$ , 解得 $x\>0$ 或 $x\<-2$ . 令 $f'(x)\<0$ , 解得 $-2\<x\<0$ .

因此, 函数 $f(x)$ 的严格单调递增区间是 $(-\infty, -2)$ 和 $(0, +\infty)$ , 严格单调递减区间是 $(-2, 0)$ .

(II) 根据(I)的结论, 我们所研究的函数为 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + b$ . 此函数在 $(-\infty, -2)$ 上递增, 在 $(-2, 0)$ 上递减, 在 $(0, \infty)$ 上递增. 我们需要分析其在闭区间 $[-3, 3]$ 上的行为. 为此, 我们计算函数在区间端点及内部极值点处的函数值:

\begin{aligned} f(-3) &= \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 + b = -9 + 9 + b = b f(-2) &= \frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + b = -\frac{8}{3} + 4 + b = b + \frac{4}{3} (\text{区间内的极大值}) f(0) &= b (\text{区间内的极小值}) f(3) &= \frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + b = 9 + 9 + b = b + 18 \end{aligned}

函数图像在 $[-3, 3]$ 上的形态是固定的, 仅随参数 $b$ 发生竖直平移. 为使函数在此区间上有且仅有一个零点, 函数图像的最高点与最低点必须几乎完全位于 $x$ 轴的一侧. 我们分两种情形讨论:

情形一: 函数图像的极大值低于 $x$ 轴, 即 $f(-2) \< 0$ . 此条件为 $b + 4/3 \< 0$ , 即 $b \< -4/3$ . 在此条件下, $f(-3)=b$ , $f(-2)$ 及 $f(0)=b$ 均为负值. 要存在唯一零点, 必须且只需函数在区间右端点的值非负, 即 $f(3) \ge 0$ . 此条件为 $b+18 \ge 0$ , 即 $b \ge -18$ . 综合此情形下的两个条件, 我们得到 $-18 \le b \< -4/3$ .

情形二: 函数图像的极小值高于 $x$ 轴, 即 $f(0) \> 0$ . 此条件为 $b \> 0$ . 在此条件下, $f(0), f(-2), f(3)$ 均为正值. 要存在唯一零点, 必须且只需 $f(-3) \le 0$ , 即 $b \le 0$ . 这两个条件 $b\>0$ 与 $b \le 0$ 相互矛盾, 故此情形不可能发生.

我们还需检验边界情况. 若 $f(-2)=0$ , 即 $b=-4/3$ , 则函数在 $x=-2$ 处有二重根, 且 $f(3) = -4/3+18 \> 0$ , $f(0)=-4/3\<0$ , 故在 $(0,3)$ 内还有一根, 不符. 若 $f(0)=0$ , 即 $b=0$ , 则 $f(x) = x^2(\frac{1}{3}x+1)$ , 其零点为 $x=0$ 和 $x=-3$ . 在 $[-3,3]$ 内有两个零点, 不符.

综合以上所有分析, 实数 $b$ 的取值范围是 $[-18, -4/3)$ .

根与系数的关系

三次方程根与系数的关系

设方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的三个根(可能为复数根)为 $x_1, x_2, x_3$ , 则:

\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= -b/a x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 &= c/a x_1x_2x_3 &= -d/a \end{aligned}

证明

由因式定理, 多项式 $ax^3+bx^2+cx+d$ 可唯一地分解为 $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ . 展开右侧的表达式, 并与左侧的同次项系数进行比较, 即可导出上述三个关系式.

切线问题

一个有趣的问题是：过平面上任意一点, 可以作三次函数图像的几条切线？设切点为 $(t, f(t))$ , 则切线方程为 $y-f(t) = f'(t)(x-t)$ . 若该切线经过点 $P(x_0, y_0)$ , 则

y_0 - f(t) = f'(t)(x_0-t)

将 $f(t)$ 和 $f'(t)$ 的表达式代入, 这是一个关于切点横坐标 $t$ 的三次方程. 此方程实根的个数即为过点 $P$ 可作的切线条数. 对此三次方程根的个数进行分析, 可以得到一个优美的几何结论.

切线条数判定

三次函数 $y=f(x)$ 的图像及其在拐点处的切线(称之为拐点切线), 将整个平面划分为四个区域.

若点 $P(x_0, y_0)$ 位于由函数图像与拐点切线所夹的两个开区域内, 则过该点可作3条不同的切线.
若点 $P$ 位于函数图像上或拐点切线上 (但非拐点本身), 则可作2条切线.
若点 $P$ 位于其余两个开区域内, 或 $P$ 恰为拐点, 则仅可作1条切线.

{/* latex-label: fig:tangent-regions */} \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：过平面一点作三次函数切线条数的区域划分 ( $a\>0$ )

例

已知函数 $f(x)=-x^3+2x^2-x$ , 若过点 $P(1,t)$ 可作曲线 $y=f(x)$ 的三条切线, 求实数 $t$ 的取值范围.

解

理解题意的第一步, 是将“可作三条切线”这一条件转化为点 $P$ 的几何位置约束. 根据切线条数判定定理, 点 $P(1,t)$ 必须严格位于函数图像 $y=f(x)$ 与其拐点切线之间. 我们的方案是, 分别求出在横坐标 $x=1$ 处, 函数图像的纵坐标与拐点切线的纵坐标, $t$ 的值必须介于此二者之间.

首先, 计算函数在 $x=1$ 处的值:

f(1) = -(1)^3 + 2(1)^2 - 1 = -1+2-1=0

接下来, 我们需要确定拐点切线的方程. $f'(x)=-3x^2+4x-1$ , 进而 $f''(x)=-6x+4$ . 令 $f''(x)=0$ , 解得拐点的横坐标为 $x_0 = 2/3$ . 拐点处的函数值为 $f(2/3) = -(2/3)^3 + 2(2/3)^2 - 2/3 = -8/27 + 8/9 - 2/3 = -2/27$ . 拐点处的切线斜率为 $k_0 = f'(2/3) = -3(2/3)^2 + 4(2/3) - 1 = -4/3 + 8/3 - 1 = 1/3$ .

因此, 拐点切线的方程为 $y - (-2/27) = (1/3)(x-2/3)$ , 化简得 $y = \frac{1}{3}x - \frac{8}{27}$ .

现在, 我们计算当 $x=1$ 时, 这条切线上的点的纵坐标:

y_{\text{切线}} = \frac{1}{3}(1) - \frac{8}{27} = \frac{9-8}{27} = \frac{1}{27}

点 $P(1,t)$ 的纵坐标 $t$ 必须严格地介于函数值 $f(1)=0$ 与拐点切线上的值 $1/27$ 之间.

故, 实数 $t$ 的取值范围是 $(0, 1/27)$ .

对称性

函数的对称性与其导函数的对称性之间存在着一种优美的对偶关系，也就是对称性.

定理

设可导函数 $y=f(x)$ .

若 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 轴对称, 则其导函数 $y=f'(x)$ 的图像关于点 $(a,0)$ 中心对称.
若 $f(x)$ 的图像关于点 $(a,b)$ 中心对称, 则其导函数 $y=f'(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 轴对称.

证明

第一条性质已在前面章节证明. 我们在此证明第二条, 以展现其推导的简洁与深刻.

函数 $f(x)$ 图像关于点 $(a,b)$ 对称的代数表达式为 $f(a+t)+f(a-t)=2b$ . 注意到这是一个关于变量 $t$ 的恒等式. 我们对此恒等式两边关于 $t$ 求导, 并应用链式法则:

\begin{aligned} \frac{d}{dt}[f(a+t)] + \frac{d}{dt}[f(a-t)] &= \frac{d}{dt}[2b] f'(a+t) \cdot (a+t)'_t + f'(a-t) \cdot (a-t)'_t &= 0 f'(a+t) \cdot 1 + f'(a-t) \cdot (-1) &= 0 \end{aligned}

由此我们得到 $f'(a+t) = f'(a-t)$ . 这正是导函数 $f'(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 轴对称的定义.

现在, 我们可以从一个更高的视角重新审视三次函数的对称性. 我们已经证明, 任何三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 都关于其唯一的拐点 $(x_0, f(x_0))$ 中心对称, 其中 $x_0 = -b/(3a)$ . 根据上述定理, 其导函数 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 的图像必然关于直线 $x=x_0=-b/(3a)$ 轴对称. 这与我们熟知的二次函数对称轴公式完全吻合, 展现了不同层级理论之间的和谐统一.

极值点连线的几何性质

当三次函数存在两个极值点时, 连接这两个点的直线(割线)的几何性质, 与函数在拐点处的微观性质(切线斜率)之间, 存在一个令人惊讶的定量关系.

定理

若三次函数 $f(x)$ 存在两个极值点 $(x_1, f(x_1))$ 与 $(x_2, f(x_2))$ , 则连接这两点的割线斜率满足:

\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = -\frac{a}{2}(x_1-x_2)^2

不仅如此, 该斜率与拐点处的切线斜率 $f'(x_0)$ 存在正比关系:

\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = \frac{2}{3}f'(x_0)

其中 $x_0 = \frac{x_1+x_2}{2}$ 是函数拐点的横坐标.

证明

此证明旨在揭示函数宏观几何性质(割线斜率)与局部微观性质(切线斜率)之间的内在联系.

首先, 极值点 $x_1, x_2$ 是导函数 $f'(x)=3ax^2+2bx+c=0$ 的两根. 根据韦达定理, 我们有 $x_1+x_2 = -2b/(3a)$ 以及 $x_1x_2 = c/(3a)$ .

我们来计算割线斜率.

\begin{aligned} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} &= \frac{(ax_1^3+bx_1^2+cx_1+d)-(ax_2^3+bx_2^2+cx_2+d)}{x_1-x_2} &= a(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) + b(x_1+x_2) + c \end{aligned}

为建立一个更简洁的关系, 我们利用 $f'(x_1)=3ax_1^2+2bx_1+c=0$ 这一事实来消去 $c$ , 即 $c = -3ax_1^2-2bx_1$ . 代入斜率表达式:

\begin{aligned} \text{斜率} &= a(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) + b(x_1+x_2) - (3ax_1^2+2bx_1) &= a(x_1x_2+x_2^2-2x_1^2) + b(x_2-x_1) &= a(x_2-x_1)(x_2+2x_1) + b(x_2-x_1) &= (x_2-x_1)(a(x_2+2x_1)+b) \end{aligned}

注意到 $x_2+2x_1 = (x_1+x_2)+x_1 = -2b/(3a)+x_1$ . 代入得:

\text{斜率} = (x_2-x_1)\left(a\left(-\frac{2b}{3a}+x_1\right)+b\right) = (x_2-x_1)\left(-\frac{2b}{3}+ax_1+b\right) = (x_2-x_1)\left(ax_1+\frac{b}{3}\right)

这是一个非对称的表达式, 我们尝试另一种途径. 回到 $a(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) + b(x_1+x_2) + c$ , 将其用系数 $a,b,c$ 表示. $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-2b/(3a))^2 - 2(c/(3a)) = \frac{4b^2}{9a^2} - \frac{2c}{3a}$ . 代入斜率表达式:

\begin{aligned} \text{斜率} &= a\left( \left(\frac{4b^2}{9a^2} - \frac{2c}{3a}\right) + \frac{c}{3a} \right) + b\left(-\frac{2b}{3a}\right) + c &= a\left( \frac{4b^2}{9a^2} - \frac{c}{3a} \right) - \frac{2b^2}{3a} + c &= \frac{4b^2}{9a} - \frac{c}{3} - \frac{6b^2}{9a} + c = -\frac{2b^2}{9a} + \frac{2c}{3} = \frac{-2b^2+6ac}{9a} = -\frac{2(b^2-3ac)}{9a} \end{aligned}

现在我们计算 $-\frac{a}{2}(x_1-x_2)^2$ .

-\frac{a}{2}(x_1-x_2)^2 = -\frac{a}{2}((x_1+x_2)^2-4x_1x_2) = -\frac{a}{2}\left(\left(-\frac{2b}{3a}\right)^2 - 4\frac{c}{3a}\right) = -\frac{a}{2}\left(\frac{4b^2-12ac}{9a^2}\right) = -\frac{2(b^2-3ac)}{9a}

故第一个等式成立.

接下来, 拐点横坐标 $x_0 = -b/(3a)$ , 此处的导数值为:

\begin{aligned} f'(x_0) &= 3a(x_0)^2+2bx_0+c = 3a\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 + 2b\left(-\frac{b}{3a}\right) + c &= \frac{b^2}{3a} - \frac{2b^2}{3a} + c = -\frac{b^2}{3a} + c = \frac{-b^2+3ac}{3a} = -\frac{b^2-3ac}{3a} \end{aligned}

比较斜率与 $f'(x_0)$ 的表达式, 我们清晰地看到:

\text{斜率} = -\frac{2(b^2-3ac)}{9a} = \frac{2}{3} \left( -\frac{b^2-3ac}{3a} \right) = \frac{2}{3}f'(x_0)

证毕.

此定理揭示了一个深刻的几何事实：连接三次函数两个极值点的直线的斜率, 恰好是其拐点处切线斜率的 $2/3$ . 拐点处的切线斜率是整个导函数 $f'(x)$ 的极值, 代表了原函数变化率最快或最慢的瞬间. 因此, 这一关系定量地刻画了函数的宏观起伏(由极值点决定)与其局部变化最剧烈处(拐点)的内在关联.

指数函数

{/* label: sec:ch03-s12 */}

在自然界与社会经济现象中，许多系统的增长或衰减过程具有一个共同的特征：其变化率与系统当前的总量成正比. 例如，在理想条件下，一个细胞群落的增殖速率与其现有的细胞数量成正比；放射性元素的衰变速率与其剩余的原子核数量成正比；一笔按复利计息的存款，其利息的增长速率与当前的本利和成正比.

为了精确地刻画这类“自催化”式的增长模式，我们需要一种新的函数模型. 我们的探索始于对幂运算的推广，并最终引出数学中最为重要的函数之一——指数函数.

指数的扩张与指数函数的定义

我们已经熟悉了整数指数幂的运算, 例如 $a^3 = a \cdot a \cdot a$ 以及 $a^{-2} = 1/a^2$ . 为了将指数的概念从整数域 $\mathbb{Z}$ 拓展至整个实数域 $\mathbb{R}$ , 我们必须分步进行, 并确保每一步拓展都与原有的运算律相容.

首先, 我们定义有理数指数幂. 对于任意正实数 $a$ 和有理数 $p/q$ ( $p,q \in \mathbb{Z}, q\>0$ ), 我们定义

a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}

此定义是基于保持幂运算律 $(a^x)^y = a^{xy}$ 的期望而自然导出的.

一个深刻的挑战在于如何为无理数指数幂赋予一个明确的意义. 例如, $2^{\pi}$ 的值究竟是什么？我们无法将其理解为有限次的乘法或开方. 解决此问题的关键在于利用实数系的完备性. 我们可以用一串有理数 $r_1, r_2, r_3, ...$ (例如 $\pi$ 的十进制小数展开 $3, 3.1, 3.14, ...$ ) 来无限逼近无理数 $\pi$ . 相应地, 数列 $2^{r_1}, 2^{r_2}, 2^{r_3}, ...$ 将会逼近一个确定的实数. 实数系的完备性保证了这个极限的存在且唯一. 我们便将此极限值定义为 $2^{\pi}$ .

通过这种方式, 我们可以将 $a^x$ 的定义域从有理数集 $\mathbb{Q}$ 拓展至整个实数集 $\mathbb{R}$ .

指数函数

函数 $y=a^x$ ( $a\>0$ 且 $a \neq 1$ ) 称为指数函数, 其中 $x$ 是自变量. 其定义域为全体实数 $\mathbb{R}$ .

我们要求底数 $a$ 为正数, 是为了确保函数在整个实数域上都有定义 (例如, $(-2)^{1/2}$ 在实数域内无意义). 而 $a \neq 1$ 是因为当 $a=1$ 时, $y=1^x=1$ 是一个常数函数, 其性质平庸, 通常不单独作为指数函数研究.

指数函数的定义辨析

若函数 $y=(a^2-5a+7)a^{x}$ 是指数函数, 求参数 $a$ 的值.

解

要确定参数 $a$ 的值, 我们必须回归指数函数的严格定义. 一个函数被称为指数函数, 其标准形式为 $y=b^x$ , 这蕴含了两个不可或缺的代数约束:

函数的系数必须为 $1$ .
底数 $b$ 必须为正数且不等于 $1$ .

我们将这两个约束条件应用于给定的函数表达式 $y=(a^2-5a+7)a^{x}$ .

首先, 系数部分必须为 $1$ :

a^2 - 5a + 7 = 1

移项整理, 我们得到一个关于 $a$ 的一元二次方程:

a^2 - 5a + 6 = 0

通过因式分解, $(a-2)(a-3)=0$ , 解得两个可能的参数值为 $a=2$ 或 $a=3$ .

接下来, 我们必须检验这两个候选值是否满足底数 $a$ 的约束条件, 即 $a\>0$ 且 $a \neq 1$ .

当 $a=2$ 时, $2\>0$ 且 $2 \neq 1$ . 此条件满足.
当 $a=3$ 时, $3\>0$ 且 $3 \neq 1$ . 此条件同样满足.

两个候选值均通过了检验. 因此, 参数 $a$ 的值为 $2$ 或 $3$ .

由点确定指数函数

已知指数函数 $y=f(x)$ 的图像经过点 $(2,4)$ , 求 $f(3)$ 的值.

解

题目明确指出 $f(x)$ 是一个指数函数, 这为我们提供了其基本的代数形式. 不妨设 $f(x)=a^x$ , 其中底数 $a$ 满足 $a\>0$ 且 $a \neq 1$ .

函数图像经过点 $(2,4)$ 这一几何信息, 意味着当自变量 $x=2$ 时, 其对应的函数值 $y$ 必为 $4$ . 将此条件代入函数的一般形式, 我们得到一个关于底数 $a$ 的方程:

f(2) = a^2 = 4

解此方程, 得 $a=2$ 或 $a=-2$ .

根据指数函数定义中对底数的约束 ( $a\>0$ ), 我们必须舍去 $a=-2$ 这个解. 因此, 底数 $a$ 被唯一确定为 $2$ .

至此, 我们完全确定了该指数函数的具体表达式:

f(x) = 2^x

最后, 我们计算所求的函数值 $f(3)$ :

f(3) = 2^3 = 8

故 $f(3)$ 的值为 $8$ .

指数函数的图像与性质

指数函数的性质由其底数 $a$ 的取值范围决定. 我们分 $a\>1$ 和 $0\<a\<1$ 两种情形来讨论.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：指数函数的图像

指数函数 $y=a^x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 具有以下核心性质:

定义域与值域: 其定义域为 $\mathbb{R}$ , 值域为 $(0, +\infty)$ .
特定点: 无论底数 $a$ 为何值, 函数图像恒过定点 $(0,1)$ , 因为 $a^0=1$ .
单调性:

当 $a\>1$ 时, 指数函数在 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递增的.
当 $0\<a\<1$ 时, 指数函数在 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递减的.

渐近线: $x$ 轴是指数函数图像的水平渐近线.

我们以 $a\>1$ 的情形为例, 利用定义法严格证明其单调性.

证明

不妨设 $a\>1$ . 在定义域 $\mathbb{R}$ 中任取 $x_1, x_2$ 且 $x_1 \< x_2$ . 我们考察其函数值的比值:

\frac{f(x_2)}{f(x_1)} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = a^{x_2-x_1}

由于 $x_1 \< x_2$ , 故 $x_2-x_1 \> 0$ . 当底数 $a\>1$ 且指数为正数时, 幂的值必然大于 $1$ . 即 $a^{x_2-x_1} \> 1$ . 因此, $\frac{f(x_2)}{f(x_1)} \> 1$ . 又因为指数函数的值域为 $(0, +\infty)$ , $f(x_1)$ 恒为正, 故可得 $f(x_2) \> f(x_1)$ . 根据定义, 函数 $f(x)=a^x$ 在 $a\>1$ 时是严格单调递增的. $0\<a\<1$ 的情形可类似证明.

例

求解不等式 $4^{x^2+x} \< (\frac{1}{2})^{x-5}$ .

解

此不等式两端的底数不同, 直接比较指数是无意义的. 解决此类问题的关键在于, 通过代数变形将不等式两端统一为相同的底数, 从而利用指数函数的单调性将问题转化为指数部分的不等式.

注意到, 不等式中的底数 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 都是 $2$ 的幂. 这是一个强烈的信号, 提示我们将底数统一为 $2$ .

4 = 2^2, \frac{1}{2} = 2^{-1}

将此关系代入原不等式:

(2^2)^{x^2+x} \< (2^{-1})^{x-5}

根据幂的运算法则, 上式等价于:

2^{2(x^2+x)} \< 2^{-(x-5)}

现在, 不等式两端是同一个指数函数 $f(t)=2^t$ 在两个不同点 $t_1=2(x^2+x)$ 和 $t_2=-(x-5)$ 的取值.

由于底数 $2\>1$ , 指数函数 $f(t)=2^t$ 在其定义域 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递增的. 因此, 函数值的大小关系 $f(t_1) \< f(t_2)$ 等价于其自变量的大小关系 $t_1 \< t_2$ .

2(x^2+x) \< -(x-5)

整理此一元二次不等式:

2x^2 + 2x \< -x + 5

2x^2 + 3x - 5 \< 0

通过因式分解, 我们得到 $(2x+5)(x-1) \< 0$ .

此不等式的解集为 $(-\frac{5}{2}, 1)$ .

例

求解方程 $4^x + 6^x = 2 \cdot 9^x$ .

解

直接求解此方程是困难的, 因为它包含了三个不同的底数. 然而, 我们注意到这些底数 $4, 6, 9$ 之间存在深刻的代数联系, 它们均可由 $2$ 和 $3$ 的幂次组合而成: $4=2^2, 6=2 \cdot 3, 9=3^2$ . 这一结构提示我们, 或许可以通过某种除法运算来简化方程, 减少底数的种类.

一个有效的策略是, 将方程两边同除以某一项, 以期得到一个关于某个比值的方程. 不妨将方程两边同除以 $9^x$ . (思考: 为何选取 $9^x$ ? 因为 $9^x$ 恒为正, 除法是安全的, 且它可以产生形式上最简洁的项).

\frac{4^x}{9^x} + \frac{6^x}{9^x} = 2

利用指数运算法则 $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$ , 上式化为:

\left(\frac{4}{9}\right)^x + \left(\frac{6}{9}\right)^x = 2

\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0

\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0

至此, 原方程的内在结构已经清晰地暴露出来. 它是一个关于变量 $t = (\frac{2}{3})^x$ 的一元二次方程.

令 $t = (\frac{2}{3})^x$ . 由于指数函数的值域为正, 我们有 $t\>0$ . 上述方程转化为:

t^2 + t - 2 = 0

因式分解得 $(t+2)(t-1)=0$ . 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ .

我们必须结合 $t\>0$ 的约束来筛选解. $t=-2$ 不符合要求, 舍去. 因此, 唯一有效的解是 $t=1$ .

将 $t$ 的值代回换元关系式:

\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1

由于任何非零实数的零次幂等于 $1$ , 我们立即得到 $x=0$ .

回顾整个解题过程, 关键步骤在于识别底数之间的代数关系, 并通过除法运算将原方程转化为一个隐藏的二次方程. 这种通过代数变形揭示问题内在结构的方法, 是解决复杂数学问题的核心思想之一.

指数增长模型的性质辨析

某池塘中浮萍的面积 $y$ (单位: $\text{m}^2$ ) 与时间 $t$ (单位: 月) 的关系为指数函数模型 $y=f(t)=ka^t$ ( $k\>0, a\>0, a \neq 1$ ), 其图像如图所示. 试判断下列说法的正误. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

[label=\Alph*.]

浮萍每月增加的面积都相等.
第6个月时, 浮萍的面积会超过 $30\,\text{m}^2$ .
浮萍面积从 $2\,\text{m}^2$ 蔓延到 $64\,\text{m}^2$ 只需经过 5 个月.
若浮萍面积蔓延到 $4\,\text{m}^2, 6\,\text{m}^2, 9\,\text{m}^2$ 所经过的时间分别为 $t_1, t_2, t_3$ , 则 $t_1+t_3=2t_2$ .

解

首先, 我们需要从图像中提取关键信息以确定函数模型的具体参数. 图像明确地经过点 $(0,1)$ , 这为我们提供了一个直接的约束. 将其代入 $y=ka^t$ , 我们得到:

1 = k \cdot a^0 \implies k=1

因此, 函数模型简化为 $y=a^t$ . 不仅如此, 图像还清晰地经过点 $(1,2)$ . 将此点代入, 可确定底数 $a$ :

2 = a^1 \implies a=2

为验证此模型的准确性, 我们检验点 $(2,4)$ : $f(2)=2^2=4$ , 与图像吻合. 因此, 该浮萍面积的增长模型为 $y=f(t)=2^t$ .

现在我们逐一分析各个命题.

对于命题 A, “每月增加的面积”在数学上表示为差分 $f(t+1)-f(t)$ .

f(t+1) - f(t) = 2^{t+1} - 2^t = 2^t(2-1) = 2^t

此增量是时间 $t$ 的函数, 随 $t$ 的增加而指数级增长, 并非一个固定的常量. 故 A 项错误.

对于命题 B, 我们计算在第6个月末 (即 $t=6$ 时) 的面积:

f(6) = 2^6 = 64 \, (\text{m}^2)

由于 $64 \> 30$ , 故 B 项正确.

对于命题 C, 此命题的本质是求解一个时间差. 面积为 $2\,\text{m}^2$ 对应的时间由方程 $2^t=2$ 给出, 解得 $t_{\text{初}}=1$ . 面积为 $64\,\text{m}^2$ 对应的时间由 $2^t=64=2^6$ 给出, 解得 $t_{\text{末}}=6$ . 所需时间为 $\Delta t = t_{\text{末}} - t_{\text{初}} = 5$ 个月. 故 C 项正确.

对于命题 D, 此命题探究的是指数函数自变量与因变量之间更深层次的代数关系. 根据题意, 我们有:

4=2^{t_1}, 6=2^{t_2}, 9=2^{t_3}

这在对数语言中等价于 $t_1=\log_2 4$ , $t_2=\log_2 6$ , $t_3=\log_2 9$ . 我们需要检验等式 $t_1+t_3=2t_2$ 是否成立. 考察等式左侧:

t_1+t_3 = \log_2 4 + \log_2 9 = \log_2(4 \cdot 9) = \log_2 36

考察等式右侧:

2t_2 = 2\log_2 6 = \log_2(6^2) = \log_2 36

由于二者相等, 故 D 项正确.

综上所述, 正确的说法为 B, C, D.

等比与等差的对偶性

选项 D 揭示了一个深刻的性质：若指数函数的因变量构成一个等比数列 (本例中 $4, 6, 9$ 的公比为 $3/2$ ), 则其对应的自变量必然构成一个等差数列. 这是对数运算将乘法关系转化为加法关系的直接体现.

指数衰减模型的建立与求解

某地区计划对总面积为 $A$ 的老旧房屋进行“平改坡”工程. 经测算, 若改造模式为每年改造的面积是当年剩余未改造面积的一个固定百分比 $p$ , 要在10年内完成工程总量的一半, 试估算这个百分比 $p$ 的值. (参考数据: $(1/2)^{1/10} \approx 0.933$ )

解

此问题本质上是建立一个描述剩余量的指数衰减模型. 设工程总面积为 $A$ , $t$ 年后剩余未改造的面积为 $R(t)$ . 初始状态为 $R(0)=A$ .

根据题意, 每年改造的面积是当年剩余面积的百分比 $p$ . 这意味着, 第 $t+1$ 年末的剩余面积 $R(t+1)$ 与第 $t$ 年末的剩余面积 $R(t)$ 之间的关系为:

R(t+1) = R(t) - p \cdot R(t) = (1-p)R(t)

这是一个公比为 $r=1-p$ 的递推关系, 其通项公式为 $R(t) = R(0) \cdot r^t = A(1-p)^t$ .

题目给出的核心条件是, 10年后完成工程总量的一半, 即 $t=10$ 时, 剩余面积为初始面积的一半: $R(10) = A/2$ . 将此条件代入我们建立的模型中:

A(1-p)^{10} = \frac{A}{2}

消去 $A$ , 我们得到 $(1-p)^{10} = \frac{1}{2}$ .

由此, 我们可以解出公比 $r=1-p$ :

1-p = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{10}}

利用题目给出的参考数据 $(1/2)^{1/10} \approx 0.933$ , 我们得到 $1-p \approx 0.933$ .

因此, 所求的固定百分比 $p = 1 - (1-p) \approx 1 - 0.933 = 0.067$ .

故每年约需改造当年剩余面积的 $6.7\%$ .

指数模型与线性模型的对比

值得注意的是, 这种按剩余量百分比进行改造的模式, 理论上永远无法完成100%的工程, 因为剩余量总是在不断减小但永不为零. 这与每年改造固定面积 (例如, 总面积的 $5\%$ ) 的线性模型有着本质区别. 在线性模型中, 工程将在确定的 20 年后完成.

自然底数 \texorpdfstring{ $e$

{e} 的引入} 在指数函数 $y=a^x$ 的大家族中, 底数 $a$ 可以是任何不为1的正实数. 不同的底数决定了函数增长或衰减的“剧烈程度”. 一个自然而深刻的问题是：在所有这些可能的底数中, 是否存在一个“最自然”或“最基本”的底数, 使其对应的指数函数具有某种独特的、不可替代的简洁性？

这个问题的答案, 令人惊讶地源于一个看似无关的金融问题：连续复利.

设想我们将一笔本金存入银行, 年利率为 $r$ . 若每年计息一次, 一年后本利和为 $P_1 = P_0(1+r)$ . 若每半年计息一次, 则每次计息的利率为 $r/2$ , 一年内计息两次. 一年后本利和为 $P_2 = P_0(1+\frac{r}{2})^2$ . 若每月计息一次, 则一年后本利和为 $P_{12} = P_0(1+\frac{r}{12})^{12}$ .

一般地, 若一年内计息 $n$ 次, 则每次的利率为 $r/n$ , 一年后本利和为:

P_n = P_0\left(1+\frac{r}{n}\right)^n

我们不禁要问：当计息周期无限缩短, 即计息频率 $n$ 趋于无穷大时, 最终的本利和是会无限制地增长, 还是会收敛到一个确定的极限值？

为了探究其数学本质, 不妨设本金为1单位, 年利率为 $100\%$ (即 $r=1$ ), 以剥离无关参数, 聚焦于核心的数学结构. 此时, 一年后的本利和表达式为:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

我们的问题转化为研究当 $n \to \infty$ 时, 此表达式的极限行为. 通过计算可以发现, 随着 $n$ 的增大, 这个值确实在增长, 但增长的步伐越来越慢, 并稳定地趋向于一个特定的数值.

$n=1$ : $(1+1/1)^1 = 2$
$n=10$ : $(1+1/10)^{10} \approx 2.5937$
$n=100$ : $(1+1/100)^{100} \approx 2.7048$
$n=1000$ : $(1+1/1000)^{1000} \approx 2.7169$

可以严格证明 (尽管这需要更高等的分析工具), 这个极限是存在且唯一的. 这个极限值是一个无理数, 在数学中扮演着至关重要的角色, 我们用字母 $e$ 来表示它.

自然底数 $e$

自然底数 $e$ 定义为如下极限:

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828...

事实上, 对于任意年利率 $r$ , 连续复利下的本利和极限为 $P_0 e^r$ . 这表明, $e$ 正是单位利率下单位本金连续增长的极限倍率.

然而, 连续复利模型仅仅揭示了 $e$ 的一种来源, 其在数学中的核心地位源于一个更为深刻的分析性质. 我们回到最初的问题：是否存在一个“最自然”的底数？从微积分的观点看, “自然”意味着“简洁”. 我们不禁要问：在所有的指数函数 $y=a^x$ 中, 哪一个的变化率 (即其导数) 与其函数值本身的关系最为简洁？

可以证明, 指数函数 $f(x)=a^x$ 的导数与其自身成正比, 即 $(a^x)' = (\ln a) \cdot a^x$ , 其中比例常数 $\ln a$ 完全由底数 $a$ 决定. 我们能否找到一个底数 $a$ , 使得这个比例常数恰好为1, 从而使得函数的变化率在每一点都精确地等于其函数值？

这个特殊的底数正是自然底数 $e$ .

自然指数函数的基本性质

以 $e$ 为底的指数函数 $f(x)=e^x$ (称为自然指数函数) 是唯一满足初始条件 $f(0)=1$ 且其导数恒等于自身的函数, 即:

(e^x)' = e^x

这个性质使得 $e^x$ 成为描述所有“增长率正比于存量”的物理、生物及经济过程的数学基石. 它的简洁性与普适性, 使 $e$ 当之无愧地成为指数函数家族中“最自然”的底数.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：自然指数函数的几何意义：图像上任意一点的切线斜率等于该点的函数值.

幂函数

{/* label: sec:ch03-s13 */}

我们已经探讨了变量位于指数位置的函数, 即指数函数 $y=a^x$ . 现在, 我们将注意力转向另一类基本函数, 其中变量位于底数位置.

定义与辨析

幂函数

形如 $y=x^\alpha$ 的函数称为幂函数, 其中 $x$ 是自变量, $\alpha \in \mathbb{R}$ 是一个常数, 称为指数.

在深入研究之前, 辨析幂函数与指数函数的根本区别至关重要. 尽管它们的表达式都涉及幂运算, 但变量在其中的角色截然不同, 这导致了它们性质上的巨大差异.

幂函数 $y=x^\alpha$ : 自变量 $x$ 是底数, 指数 $\alpha$ 是常数.
指数函数 $y=a^x$ : 自变量 $x$ 是指数, 底数 $a$ 是常数.

这种结构上的对偶性, 使得它们在定义域、图像形态、单调性等方面的行为迥异. 例如, 函数 $y=x^2$ 与 $y=2^x$ 在 $x\>0$ 时均为增函数, 但它们的增长“姿态”完全不同. $y=x^2$ 的增长是多项式的, 而 $y=2^x$ 的增长是指数级的, 后者在 $x$ 足够大时将远远超过前者.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：幂函数与指数函数的增长比较. 在 $x\>4$ 后, 指数函数的增长速度远超幂函数.

图像与性质的系统性分析

幂函数的性质由其指数 $\alpha$ 的值深刻决定. 不同的 $\alpha$ 值赋予函数截然不同的几何形态与分析性质. 我们将通过考察几个典型的 $\alpha$ 值来系统地归纳其共性与差异.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：不同指数 $\alpha$ 下幂函数的图像

通过对图像的观察与代数分析, 我们可以总结出幂函数 $y=x^\alpha$ 的一般性质:

定义域: 定义域依赖于 $\alpha$ . 若 $\alpha$ 为正整数, 定义域为 $\mathbb{R}$ . 若 $\alpha$ 为负整数, 定义域为 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . 若 $\alpha$ 为分数, 则需根据分母的奇偶性确定, 例如 $y=x^{1/2}$ 的定义域为 $[0, +\infty)$ .
奇偶性: 奇偶性同样取决于 $\alpha$ . 若 $f(x)=x^\alpha$ 的定义域关于原点对称, 则当 $\alpha$ 是整数时, 其奇偶性与 $\alpha$ 的奇偶性一致. 若 $\alpha=p/q$ (最简分数), 则当 $q$ 为奇数时, 其奇偶性与分子 $p$ 的奇偶性一致.
公共点: 无论 $\alpha$ 为何值 (除 $\alpha=0$ 外), 幂函数的图像恒过定点 $(1,1)$ , 因为 $1^\alpha=1$ .
单调性 (在第一象限, 即 $x\>0$ 时):

当 $\alpha\>0$ 时, 函数在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递增.
当 $\alpha\<0$ 时, 函数在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递减.

凹凸性 (在第一象限, 即 $x\>0$ 时):

当 $\alpha\>1$ 或 $\alpha\<0$ 时, 图像是下凸的 (向上弯曲).
当 $0\<\alpha\<1$ 时, 图像是上凸的 (向下弯曲).

这些性质的组合, 决定了幂函数在比较大小、求解不等式等问题中的关键作用.

例

比较 $0.7^{0.8}, 0.8^{0.7}, 0.8^{0.8}$ 的大小.

解

此问题涉及的三个数, 其底数和指数均不相同, 直接比较十分困难. 解决此类问题的关键策略是引入一个或多个中间量作为“桥梁”, 将复杂的比较分解为若干个简单的、可以利用函数单调性解决的比较.

我们首先观察这三个数, 注意到 $0.8^{0.8}$ 与另外两个数分别共享了底数和指数, 这使其成为一个理想的中间桥梁.

首先, 我们考察 $0.8^{0.7}$ 与 $0.8^{0.8}$ . 这可以视为指数函数 $f(x)=0.8^x$ 在两个不同点上的取值. 由于底数 $a=0.8 \in (0,1)$ , 此指数函数在 $\mathbb{R}$ 上是严格单调递减的. 因为 $0.7 \< 0.8$ , 根据单调递减的定义, 必有 $f(0.7) \> f(0.8)$ , 即 $0.8^{0.7} \> 0.8^{0.8}$ .

接着, 我们转向比较 $0.7^{0.8}$ 与 $0.8^{0.8}$ . 这可以视为幂函数 $g(x)=x^{0.8}$ 在两个不同点上的取值. 由于指数 $\alpha=0.8 \> 0$ , 此幂函数在定义域 $(0, +\infty)$ 上是严格单调递增的. 因为 $0.7 \< 0.8$ , 根据单调递增的定义, 必有 $g(0.7) \< g(0.8)$ , 即 $0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8}$ .

综合以上两方面的分析, 我们便可建立一个完整的大小关系链:

0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8} \< 0.8^{0.7}

因此, 三个数的大小顺序为 $0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8} \< 0.8^{0.7}$ .

例

已知函数 $f(x) = (m^2-m-1)x^{m-2}$ 是一个幂函数, 且在区间 $(0, +\infty)$ 上是减函数, 求实数 $m$ 的值.

解

此问题综合考察了幂函数的定义及其单调性与指数的关系. 我们需要从题设的两个条件中分别提炼出对参数 $m$ 的约束.

根据幂函数的定义, 其标准形式为 $y=x^\alpha$ , 这要求自变量前的系数必须为 $1$ . 因此, 给定函数的系数部分必须满足:

m^2 - m - 1 = 1

整理得 $m^2 - m - 2 = 0$ . 因式分解为 $(m-2)(m+1)=0$ , 解得两个可能的 $m$ 值为 $m=2$ 或 $m=-1$ .

我们再利用第二个条件来筛选这两个候选值. 题设函数在区间 $(0, +\infty)$ 上是减函数. 根据幂函数的性质, 当 $x\>0$ 时, 函数 $y=x^\alpha$ 单调递减的充要条件是其指数 $\alpha \< 0$ . 在本题中, 指数为 $m-2$ . 故必须满足:

m-2 \< 0 \implies m \< 2

最后, 我们将两个条件得到的解集求交集. 第一个条件给出的可能值为 $\{2, -1\}$ . 第二个条件要求 $m\<2$ . 唯一同时满足这两个条件的 $m$ 值是 $m=-1$ .

故实数 $m$ 的值为 $-1$ .

对数函数

{/* label: sec:ch03-s14 */}

指数函数 $y=a^x$ 建立了一个从自变量 $x$ (指数) 到函数值 $y$ (幂) 的映射. 一个自然而深刻的问题随之而来：这一过程是否可逆？即, 若已知幂的值 $y$ 和底数 $a$ , 我们能否唯一地确定其对应的指数 $x$ ？

例如, 求解方程 $2^x=8$ 是直接的, 我们知道 $x=3$ . 然而, 若要求解 $2^x=5$ , 我们会发现 $x$ 并非一个有理数. 尽管如此, 从指数函数 $y=2^x$ 的严格单调递增图像上可以看出, 必然存在一个唯一的实数 $x$ 与 $y=5$ 对应. 为了表示这个数, 我们需要引入一种新的记号, 一种描述“求解指数”这一逆运算的语言. 这便是对数概念的起源.

对数的定义与对数函数

对数

若 $a^x = N$ ( $a\>0, a \neq 1$ ), 则数 $x$ 称为以 $a$ 为底 $N$ 的对数, 记作

x = \log_a N

其中, $a$ 称为对数的底数, $N$ 称为真数.

这个定义揭示了对数与指数之间深刻的互逆关系： $a^x=N \iff x=\log_a N$ . 对数 $\log_a N$ 的本质, 就是“求使 $a$ 的幂等于 $N$ 的那个指数”.

基于此定义, 我们可以建立对数函数.

对数函数

函数 $y=\log_a x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 称为对数函数, 其中 $x$ 是自变量.

对数函数的定义域与底数的约束条件, 并非凭空规定, 而是由其作为指数函数逆运算的身份所继承而来.

底数约束 ( $a\>0, a \neq 1$ ): 与指数函数完全相同.
定义域 (真数约束 $x\>0$ ): 对数函数的自变量 $x$ 对应于指数函数 $y=a^x$ 的因变量 $y$ . 由于指数函数的值域是 $(0, +\infty)$ , 故对数函数的定义域也必须是 $(0, +\infty)$ .

对数函数的图像与性质

对数函数 $y=\log_a x$ 是指数函数 $y=a^x$ 的反函数. 这一事实决定了它们在几何与代数性质上的全部对偶关系. 最直观的体现是, 它们的图像关于直线 $y=x$ 对称.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：指数函数与对数函数图像的对称性 ( $a\>1$ )

对数函数 $y=\log_a x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 的核心性质如下:

定义域与值域: 其定义域为 $(0, +\infty)$ , 值域为 $\mathbb{R}$ . (这恰好是指数函数定义域与值域的互换).
特定点: 无论底数 $a$ 为何值, 函数图像恒过定点 $(1,0)$ , 因为 $\log_a 1=0$ .
单调性:

当 $a\>1$ 时, 对数函数在 $(0, +\infty)$ 上是严格单调递增的.
当 $0\<a\<1$ 时, 对数函数在 $(0, +\infty)$ 上是严格单调递减的.

渐近线: $y$ 轴 (即直线 $x=0$ ) 是对数函数图像的垂直渐近线.

对数与指数的复合应用

已知对数函数 $f(x)$ 的图像与一次函数 $h(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ 的图像交于 $A, B$ 两点, 且点 $B$ 的横坐标为 $4$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

求 $f(x)$ 的解析式.
若关于 $x$ 的不等式 $4^{f(x)}\<k$ 恰有 1 个整数解, 求实数 $k$ 的取值范围.

解

首先, 我们需要确定对数函数 $f(x)$ 的具体形式. 设其解析式为 $f(x)=\log_a x$ , 其中 $a\>0$ 且 $a \neq 1$ .

点 $B$ 作为两个函数图像的公共点, 其坐标必须同时满足两个函数的解析式. 已知点 $B$ 的横坐标为 $4$ , 我们可以计算其纵坐标:

h(4) = \frac{1}{3}(4) - \frac{1}{3} = 1

因此, 点 $B$ 的坐标为 $(4,1)$ .

将点 $B(4,1)$ 的坐标代入 $f(x)=\log_a x$ 中, 我们得到一个关于底数 $a$ 的方程:

f(4) = \log_a 4 = 1

根据对数的定义, 此式等价于 $a^1=4$ , 故 $a=4$ . 因此, 函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\log_4 x$ .

接下来, 我们分析不等式 $4^{f(x)}\<k$ . 将已求得的 $f(x)$ 解析式代入, 不等式左侧呈现出一个指数与对数复合的结构.

4^{\log_4 x} \< k

根据对数与指数的互逆关系, $a^{\log_a N} = N$ , 上述不等式可以被极大地简化为:

x \< k

然而, 对此不等式的讨论必须在原函数 $f(x)=\log_4 x$ 的定义域内进行. $f(x)$ 的定义域为 $x\>0$ .

因此, 不等式的完整解集是 $0 \< x \< k$ . 我们的任务是寻找参数 $k$ 的取值, 使得开区间 $(0,k)$ 内恰好包含一个整数.

区间 $(0,k)$ 内的整数从小到大依次为 $1, 2, 3, ...$ . 要使该区间内恰好包含一个整数, 这个整数必然是 $1$ .

为了让 $1$ 成为解集的一部分, 必须有 $1 \< k$ . 为了让 $2$ 不成为解集的一部分, 必须有 $k \le 2$ .

综合这两个条件, 我们得到 $1 \< k \le 2$ . 故实数 $k$ 的取值范围是 $(1, 2]$ .

对数函数图像的几何应用

如图, 对数函数 $f(x)=\log_a x$ ( $a\>1$ ) 图像上的点 $A$ 与 $x$ 轴上的点 $B(1,0)$ 和点 $C$ 构成以 $BC$ 为斜边的等腰直角三角形. 若 $\triangle ECD$ 与 $\triangle ABC$ 相似, 点 $E$ 在函数 $f(x)$ 的图像上, 点 $D$ 位于点 $C$ 的右侧, 且两个三角形的相似比为 $2:1$ , 求底数 $a$ 的值. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

此问题的核心在于将复杂的几何条件转化为点坐标之间的代数关系.

我们首先分析 $\triangle ABC$ 的几何性质. 设点 $A$ 的坐标为 $(x_1, y_1)$ . 由于 $a\>1$ , 函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增, 故 $y_1\>0$ . $\triangle ABC$ 是以 $BC$ 为斜边的等腰直角三角形, 且 $A$ 点在其上方, 这意味着 $A$ 点到斜边 $BC$ 的垂线段 (即其高) 恰好是斜边长度的一半, 且垂足是 $BC$ 的中点.

点 $A$ 的纵坐标 $y_1$ 即为三角形的高. 设 $C$ 点坐标为 $(c,0)$ , 则斜边长为 $c-1$ . 我们得到关系 $y_1 = \frac{1}{2}(c-1)$ . 同时, 点 $A$ 的横坐标 $x_1$ 必为 $BC$ 的中点横坐标, 即 $x_1 = \frac{1+c}{2}$ .

从这两个关于 $x_1, y_1, c$ 的关系式中, 我们可以消去 $c$ . 由 $c=2x_1-1$ 代入前式, 得 $y_1 = \frac{1}{2}((2x_1-1)-1) = x_1-1$ . 这揭示了一个关键的约束：图像上的点 $A(x_1, y_1)$ 必须满足线性关系 $y_1=x_1-1$ .

接下来, 我们引入 $\triangle ECD$ 的信息. 设点 $E$ 的坐标为 $(x_2, y_2)$ . 由于 $\triangle ECD \sim \triangle ABC$ 且相似比为 $2$ , 其对应高的比也为 $2$ . $\triangle ECD$ 的高即为点 $E$ 的纵坐标 $y_2$ . 因此, $y_2 = 2y_1$ .

因为点 $A(x_1, y_1)$ 和 $E(x_2, y_2)$ 均在函数 $f(x)=\log_a x$ 的图像上, 我们有:

y_1 = \log_a x_1, y_2 = \log_a x_2

结合 $y_2=2y_1$ , 我们得到 $\log_a x_2 = 2\log_a x_1 = \log_a(x_1^2)$ . 由于对数函数是单射, 此式蕴含了 $x_2 = x_1^2$ .

我们还需要一个关于 $x_1, x_2$ 的关系. 同样利用 $\triangle ECD$ 的几何性质, 其底边 $CD$ 的长度是 $BC$ 的两倍, 即 $CD=2BC=2(c-1)=4y_1$ . 点 $E$ 的横坐标 $x_2$ 是 $CD$ 的中点横坐标.

x_2 = c + \frac{1}{2}CD = c + 2y_1

现在我们拥有一个关于 $x_1, y_1, x_2$ 的方程组:

\begin{cases} y_1 = x_1-1 x_2 = x_1^2 x_2 = c + 2y_1 = (2x_1-1) + 2y_1 \end{cases}

将第一、二个式子代入第三个式子:

x_1^2 = (2x_1-1) + 2(x_1-1) = 4x_1 - 3

整理得到一个关于 $x_1$ 的一元二次方程:

x_1^2 - 4x_1 + 3 = 0

因式分解得 $(x_1-1)(x_1-3)=0$ , 解得 $x_1=1$ 或 $x_1=3$ .

若 $x_1=1$ , 则 $y_1 = \log_a 1 = 0$ , 这将导致 $\triangle ABC$ 退化为一个线段, 不合题意, 故舍去. 因此, $x_1=3$ .

当 $x_1=3$ 时, $y_1 = x_1-1 = 2$ . 故点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$ .

最后, 将点 $A(3,2)$ 的坐标代入函数解析式以求解底数 $a$ :

2 = \log_a 3

根据对数的定义, $a^2=3$ . 由于题设 $a\>1$ , 我们得到 $a=\sqrt{3}$ .

对数的运算法则

对数的运算法则并非独立存在, 它们是指数运算法则在对数语言下的直接“翻译”. 每一个对数法则的背后, 都隐藏着一个对应的指数法则.

对数运算法则

设 $a\>0, a \neq 1$ , 且 $M\>0, N\>0$ .

$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ (积的对数等于对数的和).
$\log_a(M/N) = \log_a M - \log_a N$ (商的对数等于对数的差).
$\log_a(M^n) = n \log_a M$ ( $n \in \mathbb{R}$ ) (幂的对数等于指数乘以底的对数).

note

证明（以

\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N

为例）

我们的策略是将对数表达式转换回其本源的指数形式, 在指数的世界里运用我们熟知的法则, 然后再转换回来.

不妨设 $\log_a M = u$ 且 $\log_a N = v$ . 根据对数的定义, 这两个等式分别等价于:

a^u = M, a^v = N

我们将这两个指数式相乘, 以构造出真数 $MN$ :

MN = a^u \cdot a^v

根据指数的运算法则, 我们得到:

MN = a^{u+v}

现在, 我们将这个最终的指数式重新翻译回对数语言. 根据定义, 它等价于:

\log_a(MN) = u+v

最后, 将 $u$ 和 $v$ 的原始定义代回, 即得所证:

\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N

其余法则的证明思想完全类似.

在实际计算与理论推导中, 统一不同对数的底数是一个常见的需求. 这需要一个重要的工具——换底公式.

换底公式

设 $a, b \> 0$ 且 $a, b \neq 1$ , $N\>0$ . 则

\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}

证明

设 $\log_a N = x$ . 则 $a^x = N$ . 对此指数式两边取以 $b$ 为底的对数:

\log_b(a^x) = \log_b N

应用对数的幂运算法则, 我们得到 $x \log_b a = \log_b N$ . 由于 $a \neq 1$ , $\log_b a \neq 0$ , 故可解得 $x = \frac{\log_b N}{\log_b a}$ . 将 $x=\log_a N$ 代回, 即得公式.

换底公式有两个极其有用的推论:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ (通过令 $N=b$ 得到).
$\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ (通过换底到以 $a$ 为底的对数得到).

例

求解不等式 $\log_{0.5}(x^2-2x-3) \> \log_{0.5}(x-1)$ .

解

此不等式涉及对数函数, 其求解必须在一个严格的前提下进行：所有对数的真数必须为正. 这构成了我们解集的一个基本约束.

\begin{cases} x^2-2x-3 \> 0 x-1 \> 0 \end{cases}

第一个不等式 $(x-3)(x+1)\>0$ 的解集为 $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ . 第二个不等式 $x\>1$ 的解集为 $(1, +\infty)$ . 两个解集的交集为 $(3, +\infty)$ . 这是我们考虑原不等式时, 自变量 $x$ 必须满足的范围.

现在, 我们在定义域 $x \in (3, +\infty)$ 内求解原不等式. 不等式两端是同一个对数函数 $f(t)=\log_{0.5} t$ 在两个不同点 $t_1=x^2-2x-3$ 和 $t_2=x-1$ 的取值.

由于底数 $a=0.5 \in (0,1)$ , 对数函数 $f(t)$ 在其定义域上是严格单调递减的. 因此, 函数值的大小关系 $f(t_1) \> f(t_2)$ 等价于其自变量的反向大小关系 $t_1 \< t_2$ .

x^2-2x-3 \< x-1

整理此一元二次不等式:

x^2-3x-2 \< 0

此方程 $x^2-3x-2=0$ 的根为 $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ . 故不等式 $x^2-3x-2 \< 0$ 的解集为 $(\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

最后, 我们必须将此解集与我们最初确定的函数定义域 $(3, +\infty)$ 求交集. 注意到 $4 \< \sqrt{17} \< 5$ , 因此 $\frac{3+4}{2} \< \frac{3+\sqrt{17}}{2} \< \frac{3+5}{2}$ , 即 $3.5 \< \frac{3+\sqrt{17}}{2} \< 4$ . 同时, $3 = \frac{6}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} \< \frac{3+\sqrt{17}}{2}$ .

因此, 两个区间的交集为 $(3, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

故原不等式的解集为 $(3, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

例

已知函数 $f(x) = \log_a \frac{1+x}{1-x}$ ( $a\>0, a \neq 1$ ).

求 $f(x)$ 的定义域.
判断 $f(x)$ 的奇偶性.

解

函数的定义域由其真数必须为正的条件决定:

\frac{1+x}{1-x} \> 0

此分式不等式等价于 $(1+x)(1-x) \> 0$ , 即 $(x+1)(x-1) \< 0$ . 解得 $-1 \< x \< 1$ . 故 $f(x)$ 的定义域为开区间 $(-1, 1)$ .

接下来, 我们判断其奇偶性. 注意到定义域 $(-1, 1)$ 是一个关于原点对称的区间, 这使得讨论奇偶性成为可能. 我们考察 $f(-x)$ 的表达式:

f(-x) = \log_a \frac{1+(-x)}{1-(-x)} = \log_a \frac{1-x}{1+x}

为了将此表达式与 $f(x)$ 建立联系, 我们利用对数的运算法则. 注意到 $\frac{1-x}{1+x} = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}$ . 因此,

\begin{aligned} f(-x) &= \log_a \left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) &= -1 \cdot \log_a \frac{1+x}{1-x} &= -f(x) \end{aligned}

此关系对定义域内的所有 $x$ 恒成立, 故函数 $f(x)$ 是一个奇函数.

注

此函数是一个重要的奇函数模型. 更一般地, 任何形如 $f(x) = \log_a g(x)$ 的函数, 若其宗量满足 $g(-x)=1/g(x)$ , 则该函数必为奇函数.

函数模型与应用

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数学的力量不仅在于其内部逻辑的严谨与和谐, 更在于其作为一种普适语言, 能够对自然、社会及经济现象中的复杂关系进行抽象、描述与预测. 将一个实际问题转化为数学结构的过程, 称为数学建模. 在此过程中, 核心任务之一是根据问题的内在规律和经验数据, 从已知的函数类型中选择一个或多个作为候选模型, 估算其参数, 并最终通过检验与比较, 确定一个最能反映问题本质的函数表达式.

这个过程本质上是一种数学化的科学探究, 它包含以下几个密不可分的环节:

数据分析与模型初选: 审视经验数据, 分析其变化趋势 (增长或衰减)、变化速率 (加速、匀速或减速) 等宏观特征, 以此为依据, 筛选出具有相似理论行为的函数类型作为候选模型.
参数估计: 利用数据中的若干关键信息 (通常是特定的数据点), 建立关于模型待定参数的方程组, 并求解这些参数.
模型检验与优化: 将拟合出的具体函数模型用于预测其他数据点, 并通过比较预测值与真实值的差异 (即误差) 来评估模型的优劣. 若误差过大, 则可能需要更换模型或修正参数.

通过以下实例, 我们将完整地展现这一思想过程.

函数模型的选择与拟合

某养殖场随着技术的进步和规模的扩大, 肉鸡产量在不断增加. 现收集到 2020 年前 10 个月该养殖场上市的肉鸡数量 $W$ (单位: 万只) 与月份 $m$ 的数据如下表:

月份 $m$	1	2	3	4	5
数量 $W$	1.020	2.000	2.578	2.997	3.313
月份 $m$	6	7	8	9	10
数量 $W$	3.578	3.804	4.000	4.173	4.329

数量 $W$ 和月份 $m$ 之间可能存在以下四种函数关系:

\item[\textcircled{1}] $W(m)=b \cdot a^m$ \item[\textcircled{2}] $W(m)=b \cdot m^c$ \item[\textcircled{3}] $W(m)=b+\log_a m$ \item[\textcircled{4}] $W(m)=a+\frac{b}{m}$ ( $a\>0, a \neq 1, b\>0$ )

请从这四个函数模型中去掉一个与表格中数据不吻合的函数模型, 并说明理由.
请从表格中选择 2 月份和 8 月份的数据, 再从第(1)问剩下的三个模型中任选两个函数模型进行建模, 求出其函数表达式, 再分别求出这两个模型下 4 月份的肉鸡数量, 并说明哪个函数模型更好. (参考数据: $\sqrt[3]{16} \approx 2.519, \sqrt{2} \approx 1.414$ )

解

(1) 我们首先分析经验数据所呈现的宏观趋势. 从表格中可以清晰地看到, 数量 $W$ 随月份 $m$ 的增加而增加, 表明这是一个增长过程. 然而, 增长的速率并非恒定. 我们考察相邻月份的增量:

\begin{aligned} W(2)-W(1) &\approx 0.980 W(3)-W(2) &\approx 0.578 W(4)-W(3) &\approx 0.419 &... W(10)-W(9) &\approx 0.156 \end{aligned}

注意到, 每月增加的数量是递减的. 这表明该增长过程具有减速增长的特征.

现在, 我们来分析四个候选模型的理论行为.

模型 \textcircled{1} $W(m)=b \cdot a^m$ : 这是一个指数增长模型. 为保证增长, 必须有 $a\>1$ . 在此条件下, 其增量为 $W(m+1)-W(m) = b \cdot a^m(a-1)$ , 这是一个随 $m$ 增加而严格递增的量. 这意味着指数模型描述的是加速增长过程.
模型 \textcircled{2} $W(m)=b \cdot m^c$ : 这是一个幂函数模型. 为保证增长, 需 $b\>0, c\>0$ . 若 $0\<c\<1$ , 其增长率是递减的; 若 $c\>1$ , 其增长率是递增的.
模型 \textcircled{3} $W(m)=b+\log_a m$ : 这是一个对数函数模型. 为保证增长, 需 $a\>1$ . 对数函数的增长率是递减的.
模型 \textcircled{4} $W(m)=a-b/m$ (修正为增长模型): 这是一个反比例函数平移后的模型. 其增长率也是递减的.

比较理论行为与数据特征, 模型 \textcircled{1} 所描述的加速增长与数据所反映的减速增长存在根本性的矛盾. 因此, 与表格中数据最不吻合的函数模型是 \textcircled{1}.

(2) 我们选取 2 月份的数据 $(2, 2.000)$ 和 8 月份的数据 $(8, 4.000)$ . 不妨选择模型 \textcircled{2} 和 \textcircled{3} 进行拟合.

对于模型 \textcircled{2: $W(m)=b \cdot m^c$ }

将数据点 $(2,2)$ 和 $(8,4)$ 代入, 得到关于参数 $b, c$ 的方程组:

\begin{cases} 2 = b \cdot 2^c 4 = b \cdot 8^c \end{cases}

两式相除, 以消去参数 $b$ :

\frac{4}{2} = \frac{b \cdot 8^c}{b \cdot 2^c} \implies 2 = \left(\frac{8}{2}\right)^c = 4^c

解得 $c=1/2$ . 将 $c=1/2$ 代回第一个方程: $2 = b \cdot 2^{1/2} = b\sqrt{2}$ , 解得 $b=\sqrt{2}$ . 因此, 幂函数模型为 $W_2(m) = \sqrt{2} \cdot m^{1/2} = \sqrt{2m}$ .

利用此模型预测 4 月份的肉鸡数量:

W_2(4) = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \text{ (万只)}

对于模型 \textcircled{3: $W(m)=b+\log_a m$ }

将数据点 $(2,2)$ 和 $(8,4)$ 代入, 得到关于参数 $a, b$ 的方程组:

\begin{cases} 2 = b + \log_a 2 4 = b + \log_a 8 \end{cases}

两式相减, 以消去参数 $b$ :

4-2 = (\log_a 8) - (\log_a 2) \implies 2 = \log_a(8/2) = \log_a 4

根据对数的定义, $a^2=4$ . 由于底数 $a\>0, a \neq 1$ , 故 $a=2$ . 将 $a=2$ 代回第一个方程: $2 = b + \log_2 2 = b+1$ , 解得 $b=1$ . 因此, 对数函数模型为 $W_3(m) = 1+\log_2 m$ .

利用此模型预测 4 月份的肉鸡数量:

W_3(4) = 1 + \log_2 4 = 1+2 = 3.000 \text{ (万只)}

模型比较

为了判断哪个模型更好, 我们将两个模型的预测值与表格中 4 月份的真实数据 $W(4)=2.997$ 进行比较.

模型 \textcircled{2} 的预测误差为 $|2.828 - 2.997| = 0.169$ . 模型 \textcircled{3} 的预测误差为 $|3.000 - 2.997| = 0.003$ .

由于对数函数模型的预测误差远小于幂函数模型, 我们可以认为, 在描述此项生产数据时, 对数函数模型 \textcircled{3} 更加精确, 是一个更好的模型.

例

物理世界中, 声音的强度 (声强 $I$ , 单位: $\text{W/m}^2$ ) 的变化范围极其巨大, 而人耳对其响度的感知并非线性关系. 为此, 科学家引入了声强级 $Y$ (单位: 分贝) 的概念, 它通过一个对数模型将声强映射到一个更符合人类感知的标度上. 其公式为:

Y = 10\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)

其中 $10^{-12} \, \text{W/m}^2$ 是人耳能听到的阈值声强.

平常人交谈时的声强约为 $10^{-6} \, \text{W/m}^2$ , 求其声强级.
一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝, 求能听到的最低声强为多少？
比较理想的睡眠环境要求声强级 $Y \le 50$ 分贝. 已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为 $5 \times 10^{-7} \, \text{W/m}^2$ , 问这两位同学是否会影响其他同学休息？ (参考数据: $\lg 2 \approx 0.301$ )

解

此问题旨在应用对数函数模型来量化声音的物理强度与其被人耳感知到的响度之间的关系. 核心模型为声强级 $Y$ 与声强 $I$ 之间的对数关系.

对于平常人交谈的情形, 已知声强 $I = 10^{-6} \, \text{W/m}^2$ . 我们的任务是计算其对应的声强级 $Y$ . 将此声强值代入模型公式, 我们得到:

\begin{aligned} Y &= 10\lg\left(\frac{10^{-6}}{10^{-12}}\right) &= 10\lg(10^{6}) &= 10 \cdot 6 = 60 \text{ (分贝)} \end{aligned}

故平常人交谈时的声强级约为 60 分贝.

接着, 我们探究人耳能听到的最低声强. 此情形对应于声强级为 0 分贝, 即 $Y=0$ . 这要求我们求解方程:

0 = 10\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)

此方程等价于 $\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) = 0$ . 根据常用对数的性质, 仅当真数为 1 时, 其对数值为 0. 故

\frac{I}{10^{-12}} = 1 \implies I = 10^{-12} \, \text{W/m}^2

此即人耳能感知的阈值声强, 也正是模型公式中作为基准的参考声强.

最后, 我们来评估宿舍内谈话声是否会影响他人休息. 为此, 我们需计算声强 $I = 5 \times 10^{-7} \, \text{W/m}^2$ 对应的声强级, 并将其与理想睡眠环境的上限 50 分贝进行比较.

\begin{aligned} Y &= 10\lg\left(\frac{5 \times 10^{-7}}{10^{-12}}\right) &= 10\lg(5 \times 10^5) \end{aligned}

利用对数的运算法则, 将积的对数拆分为对数的和:

\begin{aligned} Y &= 10(\lg 5 + \lg 10^5) &= 10(\lg 5 + 5) \end{aligned}

为了估算 $\lg 5$ , 我们巧妙地利用 $\lg 5 = \lg(10/2) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - \lg 2$ .

\begin{aligned} Y &= 10((1-\lg 2) + 5) = 10(6 - \lg 2) &\approx 10(6 - 0.301) = 10(5.699) = 56.99 \text{ (分贝)} \end{aligned}

计算结果 $56.99$ 分贝显著高于 50 分贝的阈值. 因此, 这两位同学的谈话声会影响其他同学休息.

对数标度的意义

为何在声学、地震学 (里氏震级)、化学 (pH值) 等领域广泛采用对数标度？其根本原因在于, 这些物理量的变化范围极其广阔, 且人类或仪器的感知与物理量的绝对值不成正比, 而是与其数量级的变化更为相关. 对数函数恰好能将乘法关系 (数量级的变化) 转化为加法关系 (标度值的线性变化), 从而将一个巨大的动态范围压缩到一个易于处理的区间内, 这正是对数模型的核心价值所在.

函数的零点（一）

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函数的零点, 这一概念在代数与几何之间架起了一座至关重要的桥梁. 从代数的观点看, 函数 $y=f(x)$ 的零点是方程 $f(x)=0$ 的实数根; 从几何的观点看, 它则是函数图像 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标. 这三种表述——函数的零点、方程的根、图像的横截距——是同一数学对象的不同侧面. 对零点的研究, 其本质便是探究方程 $f(x)=0$ 解的存在性、个数与具体位置.

零点的存在性：介值定理的直观应用

一个基本的问题是：我们如何能确信一个函数必定存在零点, 尤其是在我们无法直接解出方程 $f(x)=0$ 的情况下？答案蕴含于函数的一个根本性质——连续性之中.

设想一条连续不断的曲线, 如果它的一个端点在 $x$ 轴下方, 而另一个端点在 $x$ 轴上方, 那么这条曲线在从一端运动到另一端的过程中, 必然会穿越 $x$ 轴. 这一直观的几何事实, 正是零点存在性定理的精髓.

零点存在性定理

若函数 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的图像是一条连续不断的曲线, 并且其在区间端点处的函数值异号, 即 $f(a) \cdot f(b) \< 0$ , 则在开区间 $(a,b)$ 内, 函数 $y=f(x)$ 至少存在一个零点.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：零点存在性定理的几何直观. 由于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号, 连续曲线必然穿越 $x$ 轴.

值得注意的是, 条件 $f(a) \cdot f(b) \< 0$ 仅仅是函数在 $(a,b)$ 内存在零点的一个充分条件, 而非必要条件. 一个函数完全可能在区间内存在零点, 却不满足此条件. 例如, 函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[-1,1]$ 上显然有零点 $x=0$ , 但 $f(-1)f(1)=1\>0$ . 这种情况通常发生在函数图像与 $x$ 轴相切, 或在区间内穿越 $x$ 轴偶数次.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：零点存在性定理条件的非必要性

例

函数 $f(x) = \ln x + x^2 - 2$ 的零点所在的区间是 ( ). A. $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B. $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C. $(1, \sqrt{2})$ D. $(\sqrt{2}, 2)$

解

要确定函数零点的位置, 我们首先需要理解该函数的基本性状. 函数 $f(x) = \ln x + x^2 - 2$ 的定义域为 $(0, +\infty)$ .

在直接求解方程 $\ln x + x^2 - 2 = 0$ 不可行的情况下, 零点存在性定理是我们定位其根的主要工具. 然而, 该定理仅保证零点的存在性, 而非唯一性. 为了得到一个更强的结论, 我们不妨先考察函数的单调性, 这将决定其零点是否唯一.

其导函数为 $f'(x) = \frac{1}{x} + 2x$ . 注意到, 对于定义域内的任意 $x \> 0$ , 均有 $\frac{1}{x} \> 0$ 且 $2x \> 0$ , 因此 $f'(x) \> 0$ 恒成立. 这表明函数 $f(x)$ 在其整个定义域 $(0, +\infty)$ 上是严格单调递增的. 一个严格单调函数至多只有一个零点. 我们的任务因此从寻找一个零点, 简化为定位这唯一的一个零点.

现在, 我们的策略是逐一检验题目所给区间的端点, 寻找函数值发生符号变化的区间.

我们从最简洁的整数点开始考察. 考虑区间端点 $x=1$ :

f(1) = \ln 1 + 1^2 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1 \< 0

由于 $f(1)$ 为负, 根据函数的单调递增性, 零点 $x_0$ 必然位于 $1$ 的右侧, 即 $x_0 \> 1$ . 这一推论使我们能够立刻排除选项 A 和 B.

接下来, 我们检验选项 C 的右端点. 考察 $x=\sqrt{2}$ :

f(\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 - 2 = \ln(2^{1/2}) + 2 - 2 = \frac{1}{2}\ln 2

由于 $2\>1$ , $\ln 2 \> 0$ , 故 $f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\ln 2 \> 0$ .

我们已经发现, 函数在区间 $[1, \sqrt{2}]$ 的两个端点处异号: $f(1) \< 0$ 且 $f(\sqrt{2}) \> 0$ . 根据零点存在性定理, 函数 $f(x)$ 在开区间 $(1, \sqrt{2})$ 内必存在一个零点.

结合其单调性, 此零点是唯一的. 因此, 函数的零点落在区间 $(1, \sqrt{2})$ 内.

故选 C.

零点的求解与个数判定

在确认零点存在后, 下一步便是确定其具体位置与个数. 解决这一问题的策略, 往往需要将代数分析与几何直观紧密结合.

代数变换与图像分析

对于复杂的方程 $f(x)=0$ , 一个极其有力的思想是将其等价变形为两个更简洁、我们更熟悉的函数图像的交点问题. 方程 $f(x)=0$ 的根, 与方程 $g(x)=h(x)$ 的根是相同的, 只要 $f(x)=g(x)-h(x)$ . 通过巧妙地构造 $g(x)$ 和 $h(x)$ , 我们可以将一个抽象的求根问题, 转化为一个直观的几何问题：判断两条曲线的交点个数.

例

判断函数 $f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x}$ 的零点个数.

解

直接分析函数 $f(x)$ 的性质较为复杂. 一个更具启发性的思路是, 将求解 $f(x)=0$ 的问题转化为求解 $\ln(x+1) = \frac{2}{x}$ .

这样, 原问题便等价于考察函数 $y_1 = \ln(x+1)$ 与函数 $y_2 = \frac{2}{x}$ 的图像的交点个数.

我们分别分析这两个函数的性质与图像. 函数 $y_1 = \ln(x+1)$ 是由基本对数函数 $y=\ln x$ 的图像向左平移 1 个单位得到的. 其定义域为 $(-1, +\infty)$ , 在定义域内严格单调递增, 且图像过原点 $(0,0)$ .

函数 $y_2 = \frac{2}{x}$ 是一个反比例函数, 其图像在第一、三象限.

现在, 我们在同一坐标系中绘制这两个函数的草图, 以便直观地判断交点情况.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数 $y_1=\ln(x+1)$ 与 $y_2=2/x$ 的图像

从图像上观察, 两条曲线在第一象限似乎有且仅有一个交点. 为严格证明这一点, 我们需要更深入的分析.

注意到, 在区间 $(0, +\infty)$ 上, $y_1=\ln(x+1)$ 是严格单调递增的, 而 $y_2=2/x$ 是严格单调递减的. 一个严格增函数与一个严格减函数的图像, 在一个公共定义区间内至多只有一个交点.

我们只需验证在此区间内确实存在一个交点. 考察 $x=1$ 处, $y_1(1)=\ln 2 \> 0$ , $y_2(1)=2$ . 考察 $x=2$ 处, $y_1(2)=\ln 3 \approx 1.098$ , $y_2(2)=1$ . 注意到 $y_1(2) \> y_2(2)$ . 而在 $x$ 趋于 $0^+$ 时, $y_1 \to 0$ , $y_2 \to +\infty$ . 故在 $(0, +\infty)$ 内必有交点.

在区间 $(-1, 0)$ 内, $y_1=\ln(x+1)$ 的值域为 $(-\infty, 0)$ , 而 $y_2=2/x$ 的值域也为 $(-\infty, 0)$ . 两者均为增函数, 交点情况不明显, 但可以构造辅助函数 $F(x) = \ln(x+1) - 2/x$ . $F'(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2} \> 0$ , 故 $F(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增. 又 $\lim_{x\to -1^+} F(x) = -\infty$ , $\lim_{x\to 0^-} F(x) = -\infty$ , 故在此区间内无零点.

综上所述, 两个函数图像仅有一个交点, 故原函数 $f(x)$ 有且仅有 1 个零点.

单调性与极值分析

对于无法轻易分离为两个简单函数的 $f(x)$ , 判定其零点个数的根本方法是研究其自身的单调性. 函数的单调区间由其导函数 $f'(x)$ 的符号决定, 而单调区间的端点 (即极值点) 的函数值, 则成为判断零点存在的关键.

其一般性策略是:

求导数 $f'(x)$ , 并求解 $f'(x)=0$ 得到所有临界点.
根据临界点划分函数的单调区间.
计算函数在所有极值点处的函数值, 并考察函数在无穷远处的极限行为.
结合单调性与上述关键点的函数值符号, 在每个单调区间内应用零点存在性定理, 最终确定零点的总个数.

例

讨论函数 $f(x) = e^x - ax$ ( $a \in \mathbb{R}$ ) 的零点个数.

解

此问题等价于考察方程 $e^x=ax$ 的根的个数, 亦即曲线 $y=e^x$ 与直线 $y=ax$ 的交点个数. 直线 $y=ax$ 是一条过原点的直线, 其斜率 $a$ 是变化的参数. 这是一个典型的动态几何问题.

我们从分析函数 $f(x)$ 的单调性入手. 其导函数为 $f'(x) = e^x - a$ .

令 $f'(x)=0$ , 得 $e^x=a$ . 此方程解的存在性取决于参数 $a$ 的值.

情形一: $a \le 0$ 在此情形下, $e^x=a$ 无解, 且 $f'(x)=e^x-a \> 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立. 故 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增. 一个在 $\mathbb{R}$ 上连续的严格单调函数, 其图像与 $x$ 轴至多有一个交点. 由于 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (当 $a\<0$ ) 或 $0$ (当 $a=0$ ), 且 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , 根据介值定理, 函数必有一个零点. 因此, 当 $a \le 0$ 时, 函数有且仅有 1 个零点.

情形二: $a \> 0$ 在此情形下, $f'(x)=0$ 有唯一解 $x_0 = \ln a$ . 当 $x \< \ln a$ 时, $f'(x)\<0$ , $f(x)$ 单调递减. 当 $x \> \ln a$ 时, $f'(x)\>0$ , $f(x)$ 单调递增. 因此, 函数在 $x=\ln a$ 处取得唯一的极小值, 也是最小值.

f_{\min} = f(\ln a) = e^{\ln a} - a \ln a = a - a \ln a = a(1-\ln a)

函数零点的个数, 完全取决于这个最小值与零的大小关系.

若 $f_{\min} \> 0$ , 即 $a(1-\ln a) \> 0$ . 由于 $a\>0$ , 这等价于 $1-\ln a \> 0$ , 即 $\ln a \< 1$ , 解得 $0 \< a \< e$ . 此时, 函数的最小值大于零, 图像恒在 $x$ 轴上方, 故函数没有零点.
若 $f_{\min} = 0$ , 即 $a(1-\ln a) = 0$ . 由于 $a\>0$ , 这等价于 $1-\ln a = 0$ , 即 $\ln a = 1$ , 解得 $a=e$ . 此时, 函数的最小值恰好为零, 图像与 $x$ 轴仅有一个切点, 故函数有且仅有 1 个零点.
若 $f_{\min} \< 0$ , 即 $a(1-\ln a) \< 0$ . 由于 $a\>0$ , 这等价于 $1-\ln a \< 0$ , 即 $\ln a \> 1$ , 解得 $a \> e$ . 此时, 函数的最小值小于零. 考虑到 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$ , 函数图像在极小值点左侧和右侧必然各与 $x$ 轴相交一次. 故函数有 2 个零点.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：方程 $e^x=ax$ 根的个数的几何解释

综上所述, 函数 $f(x)=e^x-ax$ 的零点个数为:

当 $a \in (-\infty, 0] \cup \{e\}$ 时, 有 1 个零点.
当 $a \in (0, e)$ 时, 有 0 个零点.
当 $a \in (e, +\infty)$ 时, 有 2 个零点.

分段函数

{/* label: sec:ch03-s17 */}

在数学建模的实践中, 许多现象的变化规律在不同的阶段会遵循截然不同的法则. 例如, 所得税的税率随收入水平的分级而变化, 物体在不同介质中的运动遵循不同的物理定律. 为了精确地刻画这类在定义域的不同部分具有不同对应法则的函数关系, 单一的解析表达式往往显得力不从心. 这促使我们引入一种更具灵活性的函数构造方式——分段函数. 对这类函数的分析, 核心在于理解其在各个“片段”上的局部性质, 以及这些性质在“拼接点”处如何衔接, 从而决定其整体行为, 如连续性与可导性.

定义与基本示例

分段函数

一个分段函数是指在其定义域的不同子集上, 分别由不同的解析式所定义的函数. 其一般形式为:

f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in D_1 f_2(x), & x \in D_2 \vdots & f_n(x), & x \in D_n \end{cases}

其中, 各个子集 $D_i$ 互不相交 (即 $D_i \cap D_j = \emptyset$ 对任意 $i \neq j$ ), 且它们的并集 $\bigcup_{i=1}^n D_i$ 构成了函数 $f(x)$ 的完整定义域 $D$ .

我们可以将分段函数理解为一个具有多套计价规则的收费系统，例如出租车计费.

输入 ( $x$ ): 乘客乘坐的里程.
输出 ( $f(x)$ ): 最终需要支付的车费.
函数 ( $f$ ): 整个计费规则的集合.

计费规则可能会是这样：

规则1: 如果里程不超过3公里 ( $x \in [0, 3]$ ), 则车费固定为13元.
规则2: 如果里程超过3公里 ( $x \in (3, +\infty)$ ), 则车费为13元加上超出部分的费用, 每公里2.4元.

这个计费系统就是一个分段函数, 我们可以将其精确地写为:

f(x) = \begin{cases} 13, & 0 \le x \le 3 \\ 13 + 2.4(x-3), & x \> 3 \end{cases}

这里的核心思想是：对于任何一个给定的里程 $x$ , 我们首先要判断它属于哪个“计价区间”, 然后再应用该区间对应的“计价公式”来计算费用. 整个过程构成了一个单一、明确的函数关系.

现在, 我们可以回头审视形式化的定义, 并理解其每个部分的精确含义. \begin{description} \item[ $D_1, D_2, ...$ (定义域的划分)] 这对应于出租车计费的各个“里程区间”. 它们将所有可能的输入值 (整个定义域) 分割成若干个互不重叠的部分.

\item[ $f_1(x), f_2(x), ...$ (不同的法则)] 这对应于每个里程区间所使用的不同“计价公式”. 它们是函数在特定区域的行为准则.

\item[“互不相交” ( $D_i \cap D_j = \emptyset$ )] 这是确保其成为一个函数的根本. 它意味着任何一个输入值 $x$ 都只能落入唯一一个子定义域 $D_i$ 中. 这就保证了对于一个输入, 只会有一个计价公式被激活, 从而产生唯一的输出值. 一次5公里的行程, 不能同时适用“3公里内”和“3公里外”的规则.

\item[“并集构成完整定义域”] 这保证了规则的完备性. 对于任何一个允许的输入值, 系统中都存在一个对应的规则来处理它, 不会存在“无法计价”的情况. \end{description} 因此, 分段函数并非多个独立函数的简单拼凑, 而是一个定义完整的函数. 它的特殊之处在于其对应法则是有条件的, 需要根据自变量的取值来选择执行.

分段函数

一个分段函数是指在其定义域的不同子集上, 分别由不同的解析式所定义的函数. 其一般形式为:

f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in D_1 f_2(x), & x \in D_2 \vdots & f_n(x), & x \in D_n \end{cases}

其中, 各个子集 $D_i$ 互不相交 (即 $D_i \cap D_j = \emptyset$ 对任意 $i \neq j$ ), 且它们的并集 $\bigcup_{i=1}^n D_i$ 构成了函数 $f(x)$ 的完整定义域 $D$ .

分段函数的核心在于其定义域的划分. 函数在某一点 $x_0$ 的取值, 完全取决于 $x_0$ 属于哪个子定义域. 绘制分段函数的图像, 本质上是在同一坐标系中, 将各个函数片段 $y=f_i(x)$ 在其各自的定义域 $D_i$ 上的图像“拼接”起来. 在这个过程中, 必须特别关注各个分段的端点. 这些点是函数性质可能发生突变的地方, 我们称之为分段点. 在分段点处, 必须仔细判断该点是属于前一段还是后一段, 并在图像上用实心点与空心点加以区分, 以确保函数的单值性.

例

设函数 $f(x) = \begin{cases} x+2, & x \le 1 \\ 3, & x \> 1 \end{cases}$ . 求 $f(0)$ 与 $f(f(0))$ 的值.

解

为求 $f(0)$ , 我们首先判断自变量 $0$ 所在的区间. 由于 $0 \le 1$ , $f(0)$ 适用第一个解析式, 故 $f(0) = 0+2=2$ .

为求 $f(f(0))$ , 我们需计算 $f(2)$ . 自变量 $2$ 满足 $2\>1$ , 适用第二个解析式, 故 $f(2)=3$ . 因此, $f(f(0))=3$ .

例

设函数 $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \ge 0 \\ 2x+1, & x \< 0 \end{cases}$ . 求 $f(3)$ 的值.

解

为求 $f(3)$ , 我们首先需要确定自变量 $x=3$ 属于哪个子定义域.

由于 $3 \ge 0$ , 自变量 $x=3$ 满足第一个条件.

因此, 我们应用第一个解析式 $f(x)=x^2+1$ 来计算函数值.

f(3) = 3^2+1 = 9+1 = 10

故 $f(3)$ 的值为 $10$ .

例

设函数 $g(x) = \begin{cases} 2x, & x \> 1 \\ x-1, & x \le 1 \end{cases}$ . 求 $g(g(1))$ 的值.

解

求解复合函数值 $g(g(1))$ 需要一个由内向外的计算过程.

首先, 我们计算内层函数的值 $g(1)$ . 自变量 $x=1$ 满足条件 $x \le 1$ . 因此, 我们应用第二个解析式 $g(x)=x-1$ .

g(1) = 1-1 = 0

接下来, 我们将此结果作为外层函数的自变量, 即计算 $g(0)$ . 自变量 $x=0$ 满足条件 $x \le 1$ . 因此, 我们再次应用第二个解析式.

g(g(1)) = g(0) = 0-1 = -1

故 $g(g(1))$ 的值为 $-1$ .

例

已知函数 $h(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 1 \\ x+1, & x \< 1 \end{cases}$ . 若 $h(x)=3$ , 求 $x$ 的值.

解

此问题要求我们寻找一个自变量 $x$ , 使得其函数值为 $3$ . 由于函数的解析式是分段的, 我们需要分别在每个子定义域上进行讨论.

情形一: 假设 $x \ge 1$ . 在此条件下, 函数的解析式为 $h(x)=\sqrt{x}$ . 我们令 $\sqrt{x}=3$ , 两边平方得 $x=9$ . 我们需要检验此解是否满足本情形的假设. 由于 $9 \ge 1$ , 该解是有效的.

情形二: 假设 $x \< 1$ . 在此条件下, 函数的解析式为 $h(x)=x+1$ . 我们令 $x+1=3$ , 解得 $x=2$ . 我们需要检验此解是否满足本情形的假设. 由于 $2$ 并不小于 $1$ , 该解是无效的, 必须舍去.

综合以上两种情形, 唯一有效的解是 $x=9$ .

连续性与可导性

分段函数的分析, 关键在于其在分段点处的行为.

分段点的连续性

设 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的一个分段点. $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的充要条件是其在该点的左极限、右极限均存在且等于该点的函数值, 即

\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

若此条件不满足, 则称函数在 $x_0$ 处间断.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：分段点处的连续与间断

分段点的可导性

若函数 $f(x)$ 在分段点 $x_0$ 处连续, 则其在该点可导的充要条件是其左导数与右导数存在且相等, 即

f'_{-}(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'_{+}(x_0)

若左右导数不相等, 则函数在 $x_0$ 处不可导, 其图像在该点形成尖点或角点.

例

分析函数 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处的连续性与可导性.

解

函数 $f(x)=|x|$ 可写为分段函数形式 $f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x \< 0 \end{cases}$ .

在 $x=0$ 处, 左极限 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ . 右极限 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$ . 函数值为 $f(0)=0$ . 由于左极限 = 右极限 = 函数值, 函数在 $x=0$ 处连续.

左导数为 $f'_{-}(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h|-|0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$ . 右导数为 $f'_{+}(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h|-|0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$ . 由于 $f'_{-}(0) \neq f'_{+}(0)$ , 函数在 $x=0$ 处不可导.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：分段点处的光滑与尖点

整体性质的判定

一个函数在各分段区间上具有某种性质 (如单调性), 并不保证该函数在整个定义域上都具有此性质. 整体性质的判定必须额外考察函数在分段点处的衔接行为.

例如, 一个分段函数若要在整个定义域上单调递增, 必须满足:

函数在每个子定义域上均单调递增.
在任意相邻的两个子定义域 $D_i, D_{i+1}$ (设 $D_i$ 在 $D_{i+1}$ 左侧) 的分界点 $x_0$ 处, 必须有 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \le f(x_0)$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：一个在各分段区间均递增, 但整体非单调的函数.

例

已知函数 $f(x) = \begin{cases} (2a-1)x+7a-2, & x \< 1 \\ a^x, & x \ge 1 \end{cases}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减, 求实数 $a$ 的取值范围.

解

为使函数 $f(x)$ 在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上单调递减, 必须同时满足三个条件.

首先, 函数在第一个子定义域 $(-\infty, 1)$ 上必须单调递减. 此段为线性函数, 其单调性由斜率决定.

2a-1 \< 0 \implies a \< \frac{1}{2}

其次, 函数在第二个子定义域 $[1, +\infty)$ 上必须单调递减. 此段为指数函数, 其单调性由底数决定.

0 \< a \< 1

最后, 在分段点 $x=1$ 处, 左侧区间的终点值必须不小于右侧区间的起点值, 以保证单调性的延续.

\lim_{x \to 1^-} f(x) \ge f(1)

计算得:

(2a-1)(1) + 7a-2 \ge a^1

9a-3 \ge a \implies 8a \ge 3 \implies a \ge \frac{3}{8}

我们将这三个条件联立, 求解其交集:

\begin{cases} a \< 1/2 \\ 0 \< a \< 1 \\ a \ge 3/8 \end{cases}

由于 $3/8 = 0.375$ 且 $1/2 = 0.5$ , 这三个区间的公共部分为 $[\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ .

故实数 $a$ 的取值范围是 $[\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ .

例

讨论方程 $f(x)=k$ 的根的个数, 其中 $f(x) = \begin{cases} -x^2-2x, & x \le 0 \\ \ln(x+1), & x \> 0 \end{cases}$ .

解

此问题等价于考察函数 $y=f(x)$ 的图像与水平直线 $y=k$ 的交点个数. 解决此问题的最有效途径是分析函数 $f(x)$ 的图像, 特别是其单调性、极值与端点行为.

我们分段分析函数 $f(x)$ .

当 $x \le 0$ 时, $f(x) = -x^2-2x = -(x+1)^2+1$ . 这是一个开口向下, 对称轴为 $x=-1$ 的抛物线. 在区间 $(-\infty, -1]$ 上, 函数单调递增. 在区间 $[-1, 0]$ 上, 函数单调递减. 函数在 $x=-1$ 处取得极大值 $f(-1)=1$ . 在分段点 $x=0$ 处, $f(0)=0$ .

当 $x \> 0$ 时, $f(x) = \ln(x+1)$ . 这是一个严格单调递增的对数函数. 其在 $x \to 0^+$ 时的极限为 $\lim_{x \to 0^+} \ln(x+1) = \ln 1 = 0$ .

综合两段的信息, 我们可以绘制出函数的草图. 函数在 $x=0$ 处是连续的. 它从 $-\infty$ 增长到极大值 $1$ , 然后下降到 $0$ , 再从 $0$ 开始无限增长.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数 $y=f(x)$ 与水平直线 $y=k$ 的交点情况

通过观察图像与水平直线 $y=k$ 的交点个数, 我们可以得出结论:

当 $k\>1$ 时, 直线与图像在第一段和第二段各有一个交点, 共 2 个交点.
当 $k=1$ 时, 直线与图像在 $x=-1$ 处相切, 并在第二段有一个交点, 共 2 个交点.
当 $0 \< k \< 1$ 时, 直线与图像在第一段的两个分支以及第二段各有一个交点, 共 3 个交点.
当 $k=0$ 时, 直线与图像在 $x=0$ 和 $x=-2$ 处相交, 共 2 个交点.
当 $k\<0$ 时, 直线仅与图像在第一段有一个交点, 共 1 个交点.

总结可知, 方程 $f(x)=k$ 的根的个数为:

\text{根的个数} = \begin{cases} 1, & k \< 0 2, & k=0, k=1, k\>1 3, & 0 \< k \< 1 \end{cases}

此分析表明, 函数的零点(或更一般的, 方程的根)个数, 由常数 $k$ 与函数的关键值(极大值 $1$ 和连接点值 $0$ )之间的关系所决定.

函数的基本要素分析

分段函数的定义域、值域与单调性等基本性质, 由其各个组成部分的性质以及它们在分段点处的衔接方式共同决定. 对其分析的核心原则是“分段考察, 整体联立”.

定义域与值域

\paragraph{定义域} 分段函数的定义域是其所有子定义域的并集.

D = D_1 \cup D_2 \cup ... \cup D_n

这通常在函数定义时已明确给出.

\paragraph{值域} 分段函数的值域是其在各个子定义域上取得的值的集合的并集. 求解过程分为两步:

分别求出函数 $y=f_i(x)$ 在其对应定义域 $D_i$ 上的值域 $R_i$ .
将所有这些局部值域合并, 即求其并集 $R = R_1 \cup R_2 \cup ... \cup R_n$ .

例

求函数 $f(x) = \begin{cases} x+2, & x \le -1 \\ x^2, & -1 \< x \< 2 \\ 2, & x \ge 2 \end{cases}$ 的值域.

解

我们分别考察函数在每一个子定义域上的取值范围, 然后将这些范围合并.

当 $x \in (-\infty, -1]$ 时, $f(x)=x+2$ . 这是一个单调递增的线性函数. 其在该区间上的值域为 $(-\infty, f(-1)]$ , 即 $(-\infty, 1]$ .
当 $x \in (-1, 2)$ 时, $f(x)=x^2$ . 这是一个二次函数, 在区间 $(-1, 0]$ 上递减, 在 $[0, 2)$ 上递增. 其在该区间上的值域为 $[f(0), \max(\lim_{x\to -1^+} x^2, \lim_{x\to 2^-} x^2))$ , 即 $[0, 4)$ .
当 $x \in [2, \infty)$ 时, $f(x)=2$ . 这是一个常数函数, 其值域为单点集 $\{2\}$ .

函数 $f(x)$ 的总值域是这三个部分值域的并集:

(-\infty, 1] \cup [0, 4) \cup \{2\} = (-\infty, 4)

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数 $f(x)$ 的图像及其值域

因此, 函数的值域为 $(-\infty, 4)$ .

单调性

一个分段函数若要在整个定义域上单调, 必须同时满足两个条件:

函数在每个子定义域上均具有相同的单调性 (例如, 均为单调递增).
在所有分段点处, 函数的衔接必须保持这种单调趋势. 对于单调递增函数, 这意味着后一段的起始值必须不小于前一段的结束值.

若第二个条件不满足, 即使函数在每个局部区间上都单调, 其整体也非单调函数.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：一个在各分段区间均递增, 但因在 $x=0$ 处发生“向下跳跃”而整体非单调的函数.

例

已知函数 $f(x) = \begin{cases} (2a-1)x+7a-2, & x \< 1 \\ a^x, & x \ge 1 \end{cases}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减, 求实数 $a$ 的取值范围.

解

为使函数 $f(x)$ 在整个定义域 $\mathbb{R}$ 上单调递减, 必须同时满足三个条件.

首先, 函数在第一个子定义域 $(-\infty, 1)$ 上必须单调递减. 此段为线性函数, 其单调性由斜率决定.

2a-1 \< 0 \implies a \< \frac{1}{2}

其次, 函数在第二个子定义域 $[1, +\infty)$ 上必须单调递减. 此段为指数函数, 其单调性由底数决定.

0 \< a \< 1

最后, 在分段点 $x=1$ 处, 左侧区间的终点值必须不小于右侧区间的起点值, 以保证单调递减趋势的延续.

\lim_{x \to 1^-} f(x) \ge f(1)

计算得:

(2a-1)(1) + 7a-2 \ge a^1

9a-3 \ge a \implies 8a \ge 3 \implies a \ge \frac{3}{8}

我们将这三个条件联立, 求解其交集:

\begin{cases} a \< 1/2 \\ 0 \< a \< 1 \\ a \ge 3/8 \end{cases}

由于 $3/8 = 0.375$ 且 $1/2 = 0.5$ , 这三个区间的公共部分为 $[\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ .

故实数 $a$ 的取值范围是 $[\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ .

应用示例

分段函数是描述现实世界中条件依赖关系的有力工具. 以下示例展示了如何将几何问题与生活中的计价规则转化为分段函数的数学模型.

例

如图, 在边长为 4 的正方形 $ABCD$ 的边上有一动点 $P$ , 沿着折线 $B \to C \to D \to A$ 运动. 设点 $P$ 运动的路程为 $x$ , $\triangle APB$ 的面积为 $y$ .

求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式.
求面积最大时, $x$ 的取值范围.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

(1) 理解问题. 三角形 $APB$ 的底边 $AB$ 长度固定为 4. 因此, 其面积 $y$ 完全由高决定, 这个高是点 $P$ 到边 $AB$ 的垂直距离.

y = \frac{1}{2} \cdot \text{底} \cdot \text{高} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_P = 2h_P

点 $P$ 的运动路径由三条边构成, 其在不同边上运动时, 高 $h_P$ 与路程 $x$ 的关系不同. 这表明 $y(x)$ 是一个分段函数.

我们分段进行分析.

第一段: 点 $P$ 在边 $BC$ 上运动. 此时, $P$ 从 $B$ 运动到 $C$ . 路程 $x$ 的取值范围是 $[0, 4]$ . 点 $P$ 到 $AB$ 的高 $h_P$ 等于它从点 $B$ 向上运动的距离, 即路程 $x$ . 故 $h_P = x$ . 面积 $y = 2x$ .

第二段: 点 $P$ 在边 $CD$ 上运动. 此时, $P$ 从 $C$ 运动到 $D$ . 路程 $x$ 从 4 增加到 $4+4=8$ . 其取值范围是 $(4, 8]$ . 点 $P$ 在 $CD$ 上运动时, 它到 $AB$ 的高 $h_P$ 始终等于正方形的边长 4. 故 $h_P = 4$ . 面积 $y = 2 \cdot 4 = 8$ .

第三段: 点 $P$ 在边 $DA$ 上运动. 此时, $P$ 从 $D$ 运动到 $A$ . 路程 $x$ 从 8 增加到 $8+4=12$ . 其取值范围是 $(8, 12]$ . 点 $P$ 到 $AB$ 的高 $h_P$ 等于它与点 $A$ 的距离. 总路程为 12, 已走路程为 $x$ , 剩余路程即为 $PA$ 的长度. 故 $h_P = 12-x$ . 面积 $y = 2(12-x)$ .

综合以上三段, 我们得到函数关系式:

y = f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le 4 8, & 4 \< x \le 8 2(12-x), & 8 \< x \le 12 \end{cases}

(2) 为求面积的最大值, 我们分析函数 $y(x)$ 在其定义域 $[0, 12]$ 上的行为.

在 $[0, 4]$ 上, $y=2x$ 是增函数, 最大值为 $y(4)=8$ .
在 $(4, 8]$ 上, $y=8$ 是常数函数.
在 $(8, 12]$ 上, $y=2(12-x)$ 是减函数, 其值域为 $[0, 8)$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：面积函数 $y(x)$ 的图像

通过分析各段的值域并结合图像, 函数 $y$ 的最大值为 8. 这个最大值在 $x=4$ 时首次达到, 并一直保持到 $x=8$ . 因此, 当面积最大时, $x$ 的取值范围是 $[4, 8]$ .

例

某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:

乘坐汽车 5 km 以内, 票价 2 元;
5 km 以上, 每增加 5 km, 票价增加 1 元 (不足 5 km 的按 5 km 计算).

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 km, 如果沿途 (包括起点站和终点站) 设 20 个汽车站, 请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式.

解

首先, 我们需要确定函数的自变量和因变量. 设乘客乘坐的里程为 $x$ (km), 对应的票价为 $y$ (元).

接着, 确定自变量 $x$ 的取值范围. 线路共有 20 个站, 站间距为 1 km, 因此总里程为 $(20-1) \times 1 = 19$ km. 乘客乘坐的里程 $x$ 的范围是 $(0, 19]$ .

然后, 我们根据计价规则, 将定义域 $(0, 19]$ 分割成不同的计价区间. 计价规则以 5 km 为一个台阶.

第一区间: $0 \< x \le 5$ . 根据规则 (1), 在此里程范围内, 票价固定为 2 元.

第二区间: $5 \< x \le 10$ . 里程超过 5 km, 进入第一个增价区间. 根据规则 (2), 票价在 2 元的基础上增加 1 元. 票价为 $2+1=3$ 元.

第三区间: $10 \< x \le 15$ . 里程超过 10 km, 进入第二个增价区间. 票价在 3 元的基础上再增加 1 元. 票价为 $3+1=4$ 元.

第四区间: $15 \< x \le 19$ . 里程超过 15 km, 进入第三个增价区间. 票价在 4 元的基础上再增加 1 元. 票价为 $4+1=5$ 元.

综合以上分析, 我们可以写出票价 $y$ 关于里程 $x$ 的分段函数解析式:

y = f(x) = \begin{cases} 2, & 0 \< x \le 5 3, & 5 \< x \le 10 4, & 10 \< x \le 15 5, & 15 \< x \le 19 \end{cases}

这是一个阶梯函数.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：公交票价函数图像

例

设函数 $f(x) = \begin{cases} -ax+1, & x \< a \\ (x-2)^2, & x \ge a \end{cases}$ . 若 $f(x)$ 存在最小值, 求实数 $a$ 的最大值.

解

此问题的核心是分析函数在不同参数 $a$ 下的形态, 并确定其是否存在一个全局的最小值. 函数的表达式由线性部分与二次函数部分构成, 其整体行为取决于分段点 $a$ 的位置. 我们对 $a$ 的取值进行分类讨论.

情形一: $a \< 0$ . 此时, 线性部分 $y=-ax+1$ 的斜率 $-a$ 大于零, 函数在该区间 $(-\infty, a)$ 上单调递增. 然而, 题目要求的是最小值. 让我们重新审视. 当 $a\<0$ 时, 斜率 $-a \> 0$ . 故 $f(x)$ 在 $(-\infty, a)$ 上单调递增. 当 $x \to -\infty$ 时, $f(x) \to -\infty$ . 函数无下界, 因此不存在最小值.

情形二: $a = 0$ . 此时函数为 $f(x) = \begin{cases} 1, & x \< 0 \\ (x-2)^2, & x \ge 0 \end{cases}$ . 在区间 $(-\infty, 0)$ 上, 函数值为常数 $1$ . 在区间 $[0, +\infty)$ 上, 函数 $y=(x-2)^2$ 在 $x=2$ 处取得最小值 $0$ . 综合来看, 函数 $f(x)$ 的最小值为 $0$ . 故 $a=0$ 是一个可能的值.

情形三: $a \> 0$ . 此时, 线性部分 $y=-ax+1$ 的斜率 $-a$ 小于零, 函数在该区间 $(-\infty, a)$ 上单调递减.

我们根据分段点 $a$ 与抛物线顶点 $x=2$ 的相对位置, 进一步细分.

子情形 3a: $0 \< a \< 2$ . 函数在 $(-\infty, a)$ 上单调递减, 其值的下确界为 $\lim_{x \to a^-} f(x) = -a^2+1$ . 在 $[a, +\infty)$ 上, 函数 $y=(x-2)^2$ 先递减后递增, 在 $x=2$ 处取得最小值 $0$ . 要使函数存在全局最小值, 函数必须有下界. 这意味着当 $x$ 从左侧趋近于 $a$ 时, 函数值不能趋于一个比全局最小值更小的值. 若 $-a^2+1 \< 0$ , 则函数在 $(-\infty, a)$ 上的下确界为负, 且无法取到, 故不存在最小值. 因此, 必须满足 $-a^2+1 \ge 0$ , 即 $a^2 \le 1$ . 结合本情形的假设 $a\>0$ , 我们得到 $0 \< a \le 1$ .

子情形 3b: $a \ge 2$ . 函数在 $(-\infty, a)$ 上单调递减. 在 $[a, +\infty)$ 上, 由于 $a \ge 2$ , 函数 $y=(x-2)^2$ 是单调递增的. 因此, 函数的图像在 $x=a$ 点处可能存在一个最低点. 函数的下确界为 $\min(\lim_{x \to a^-} f(x), f(a)) = \min(-a^2+1, (a-2)^2)$ . 为使最小值存在, 该下确界必须在 $x=a$ 处取到, 即 $f(a) \le \lim_{x \to a^-} f(x)$ .

(a-2)^2 \le -a^2+1

整理得 $a^2-4a+4 \le -a^2+1$ , 即 $2a^2-4a+3 \le 0$ . 此二次多项式的判别式 $\Delta = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16-24 = -8 \< 0$ . 由于其开口向上, 故 $2a^2-4a+3$ 恒为正. 不等式 $2a^2-4a+3 \le 0$ 无解. 因此, 在 $a \ge 2$ 的情况下, 函数不存在最小值.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：不同 $a$ 值下函数图像形态示意

综合所有情形, 函数 $f(x)$ 存在最小值的条件是 $a \in [0, 1]$ . 因此, 实数 $a$ 的最大值为 $1$ .

例

设函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le a \\ x^2-2ax+a, & x \> a \end{cases}$ . 若存在实数 $b$ , 使得函数 $g(x)=f(x)-b$ 有 3 个零点, 则 $a$ 的取值范围为\underline{}.

解

函数 $g(x)$ 有 3 个零点, 等价于方程 $f(x)=b$ 有 3 个不同的实数根. 这在几何上意味着, 存在一条水平直线 $y=b$ , 与函数 $y=f(x)$ 的图像有 3 个不同的交点.

为实现 3 个交点, 函数 $f(x)$ 的图像必须存在某种形式的“峰”与“谷”, 即非单调. 我们分析函数 $f(x)$ 的结构.

在 $x=a$ 处, 函数的左值为 $f(a)=a^2$ . 其右极限为 $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (x^2-2ax+a) = a^2-2a^2+a = a-a^2$ .

我们对参数 $a$ 进行分类讨论.

情形一: $a \le 0$ . 当 $x \le a$ 时, $f(x)=x^2$ 在此区间上单调递减. 当 $x \> a$ 时, $f(x)=x^2-2ax+a = (x-a)^2 + a-a^2$ . 这是一个顶点在 $x=a$ 的开口向上的抛物线, 故在 $(a, +\infty)$ 上单调递增. 函数图像的整体形态是先下降后上升, 任何水平直线至多与其有两个交点. 故此情形不满足条件.

情形二: $a \> 0$ . 当 $x \le a$ 时, $f(x)=x^2$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调递减, 在 $[0, a]$ 上单调递增. 函数在 $x=0$ 处取得一个局部最小值 $f(0)=0$ . 当 $x \> a$ 时, $f(x)=(x-a)^2+a-a^2$ 在 $(a, +\infty)$ 上单调递增.

函数 $f(x)$ 的整体图像形态为: 从 $+\infty$ 下降至 $(0,0)$ , 再上升至分段点 $(a, a^2)$ , 然后在 $x=a$ 处发生一个跳跃, 从 $(a, a-a^2)$ 开始继续上升至 $+\infty$ .

要使水平直线 $y=b$ 能与图像产生 3 个交点, 它必须穿过位于 $(0,a)$ 区间的上升段, 并且同时穿过位于 $(a, +\infty)$ 区间的上升段. 这要求在分段点 $x=a$ 处发生一个“向下的跳跃”, 形成一个局部的“峰”与“谷”.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：当 $a\>1/2$ 时, 函数图像形态与水平线 $y=b$

这个“向下的跳跃”的代数条件是, 函数在分段点左侧的值大于其右极限:

f(a) \> \lim_{x \to a^+} f(x)

a^2 \> a-a^2

整理得 $2a^2-a \> 0$ , 即 $a(2a-1) \> 0$ .

结合本情形的假设 $a\>0$ , 上述不等式等价于 $2a-1 \> 0$ , 即 $a \> 1/2$ .

当 $a \> 1/2$ 时, 我们确实有 $a^2 \> a-a^2$ . 此时, 只要选取一个介于“谷底”与“峰顶”之间的 $b$ 值, 即 $a-a^2 \< b \< a^2$ , 水平直线 $y=b$ 就会与函数图像产生 3 个交点.

反之, 若 $0 \< a \le 1/2$ , 则 $a^2 \le a-a^2$ . 函数在 $x=0$ 之后是单调不减的, 任何水平直线至多有两个交点.

综上所述, 使得函数 $g(x)$ 有 3 个零点存在的条件是 $a \> 1/2$ . 故 $a$ 的取值范围为 $(\frac{1}{2}, +\infty)$ .

例

设 $a$ 为实数, 函数 $f(x)=(x-a)^2+|x-a|-a|a-1|$ .

若 $f(0)\>1$ , 求 $a$ 的取值范围;
讨论 $f(x)$ 的单调性;
当 $a\>2$ 时, 讨论 $f(x)+|x|$ 在 $\mathbb{R}$ 上的零点个数.

证明

(1) 根据函数表达式, 我们有 $f(0)=(0-a)^2+|0-a|-a|a-1| = a^2+|a|-a|a-1|$ . 条件 $f(0)\>1$ 即 $a^2+|a|-a|a-1|\>1$ . 我们根据 $a$ 的取值对绝对值进行分段讨论.

若 $a \ge 1$ , 不等式为 $a^2+a-a(a-1)\>1$ , 即 $a^2+a-a^2+a\>1$ , 整理得 $2a\>1$ , 解得 $a\>1/2$ . 与 $a \ge 1$ 求交集, 得 $a \ge 1$ .

若 $0 \le a \< 1$ , 不等式为 $a^2+a-a(-(a-1))\>1$ , 即 $a^2+a+a^2-a\>1$ , 整理得 $2a^2\>1$ , 解得 $a \> 1/\sqrt{2}$ 或 $a \< -1/\sqrt{2}$ . 与 $0 \le a \< 1$ 求交集, 得 $1/\sqrt{2} \< a \< 1$ .

若 $a \< 0$ , 不等式为 $a^2-a-a(-(a-1))\>1$ , 即 $a^2-a+a^2-a\>1$ , 整理得 $2a^2-2a-1\>0$ . 该二次不等式的解为 $a \> \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ 或 $a \< \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ . 与 $a \< 0$ 求交集, 得 $a \< \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ .

综上所述, $a$ 的取值范围是 $(-\infty, \frac{1-\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty)$ .

(2) 函数 $f(x)$ 的结构可视为复合函数. 令 $t=|x-a|$ , 则 $t \ge 0$ . 原函数可表示为关于 $t$ 的函数 $h(t) = t^2+t-a|a-1|$ . 这是一个开口向上的二次函数, 对称轴为 $t=-1/2$ . 由于 $t \ge 0$ , 函数 $h(t)$ 在其定义域 $[0, +\infty)$ 上是严格单调递增的.

内层函数 $t(x)=|x-a|$ 在区间 $(-\infty, a]$ 上单调递减, 在区间 $[a, +\infty)$ 上单调递增. 根据复合函数单调性法则: 在区间 $(-\infty, a]$ 上, 内层函数递减, 外层函数递增, 故 $f(x)$ 单调递减. 在区间 $[a, +\infty)$ 上, 内层函数递增, 外层函数递增, 故 $f(x)$ 单调递增.

(3) 设 $g(x)=f(x)+|x|$ . 当 $a\>2$ 时, 我们需要讨论方程 $g(x)=0$ 的根的个数. 我们根据绝对值的零点 $x=0$ 和 $x=a$ 将函数写为分段形式.

当 $x \< 0$ 时, $g(x)=(x-a)^2-(x-a)-a(a-1)-x = x^2-(2a+2)x+2a$ . 当 $0 \le x \< a$ 时, $g(x)=(x-a)^2-(x-a)-a(a-1)+x = x^2-2ax+2a$ . 当 $x \ge a$ 时, $g(x)=(x-a)^2+(x-a)-a(a-1)+x = x^2-(2a-2)x+2a$ .

我们分析函数 $g(x)$ 的单调性. 在 $(-\infty, 0)$ 上, $g'(x)=2x-(2a+2)$ . 由于 $x\<0, a\>2$ , $g'(x)\<0$ , 函数单调递减. 在 $(0, a)$ 上, $g'(x)=2x-2a=2(x-a)$ . 由于 $x\<a$ , $g'(x)\<0$ , 函数单调递减. 在 $(a, +\infty)$ 上, $g'(x)=2x-(2a-2)=2(x-(a-1))$ . 由于 $x\>a\>a-1$ , $g'(x)\>0$ , 函数单调递增.

综上, 函数 $g(x)$ 在 $(-\infty, a]$ 上单调递减, 在 $[a, +\infty)$ 上单调递增. 因此, $g(x)$ 在 $x=a$ 处取得全局最小值.

我们计算几个关键点的函数值: $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$ . $g(0) = 0^2-2a(0)+2a = 2a$ . 由于 $a\>2$ , $g(0)\>0$ . $g(a) = a^2-(2a-2)a+2a = a^2-2a^2+2a+2a = -a^2+4a = -a(a-4)$ . $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ .

零点的个数取决于最小值 $g(a)$ 的符号.

若 $2 \< a \< 4$ , 则 $a-4\<0$ , 故 $g(a)=-a(a-4)\>0$ . 此时, 函数的最小值为正, 图像恒在 $x$ 轴上方, 故 $g(x)$ 没有零点.

若 $a=4$ , 则 $g(a)=0$ . 此时, 函数的最小值为零, 图像与 $x$ 轴仅在最低点 $x=4$ 处相切, 故 $g(x)$ 有 1 个零点.

若 $a\>4$ , 则 $a-4\>0$ , 故 $g(a)=-a(a-4)\<0$ . 此时, 函数的最小值为负. 由于 $\lim_{x \to -\infty} g(x)=+\infty$ 且 $g(a)\<0$ , 函数在 $(-\infty, a)$ 上必有一个零点. 由于 $\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$ 且 $g(a)\<0$ , 函数在 $(a, +\infty)$ 上必有一个零点. 故 $g(x)$ 有 2 个零点.

绝对值函数

{/* label: sec:ch03-s18 */}

在数学的诸多概念中, 绝对值以其形式的简洁与内涵的深刻而独树一帜. 它不仅是代数运算的基础, 更为“距离”这一核心几何概念提供了最原初的代数刻画. 对绝对值函数的深入理解, 是掌握不等式恒等变形、分析函数图像以及领会近代数学中“范数”思想的基石.

绝对值的定义与核心性质

我们首先从其代数定义出发.

绝对值

实数 $x$ 的绝对值, 记作 $|x|$ , 定义为一个分段函数:

|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 -x, & x \< 0 \end{cases}

此定义的直接几何诠释是： $|x|$ 表示实数 $x$ 在数轴上对应的点到原点的距离. 类似地, $|x-a|$ 则表示数 $x$ 与数 $a$ 在数轴上对应点之间的距离. 这一几何观点是化解众多复杂绝对值问题的直观来源.

由定义可直接导出绝对值的几个根本性质.

绝对值的基本性质

对于任意实数 $x, y$ , 以下性质恒成立:

非负性: $|x| \ge 0$ .
正定性: $|x|=0 \iff x=0$ .
积性: $|xy| = |x||y|$ .
三角不等式: $|x+y| \le |x|+|y|$ . 等号成立的充要条件是 $xy \ge 0$ .

证明（三角不等式的证明）

此不等式的证明是展示分类讨论思想的绝佳范例, 其依据完全是绝对值的定义.

若 $x, y$ 中至少一个为零, 不等式显然成立. 故不妨设 $x, y$ 均非零.

情形一: $x\>0, y\>0$ . 此时 $x+y\>0$ . 于是 $|x+y|=x+y$ , $|x|=x$ , $|y|=y$ . 不等式化为 $x+y \le x+y$ , 等号成立.

情形二: $x\<0, y\<0$ . 此时 $x+y\<0$ . 于是 $|x+y|=-(x+y)$ , $|x|=-x$ , $|y|=-y$ . 不等式化为 $-(x+y) \le -x-y$ , 等号成立.

情形三: $x, y$ 异号. 不妨设 $x\>0, y\<0$ . 若 $x+y \ge 0$ , 则 $|x+y|=x+y$ . 不等式为 $x+y \le x+(-y)$ . 由于 $y\<0$ , $-y\>y$ , 故 $x+y \< x-y$ , 不等式严格成立. 若 $x+y \< 0$ , 则 $|x+y|=-(x+y)$ . 不等式为 $-x-y \le x-y$ . 这等价于 $-x \le x$ , 即 $2x \ge 0$ , 由于 $x\>0$ , 此式成立.

综合所有情形, $|x+y| \le |x|+|y|$ 恒成立. 等号仅在 $x,y$ 同号或至少其一为零时取得, 这等价于 $xy \ge 0$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：三角不等式的数轴诠释

绝对值函数图像与性质

函数 $f(x)=|x|$ 是最基本的分段函数之一, 其图像与性质是分析更复杂绝对值函数的基础.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数 $y=|x|$ 的图像

含绝对值的方程与不等式

求解含绝对值的方程与不等式, 其根本思想是**“化去绝对值”. 实现这一目标的核心方法论是零点分段讨论法**, 其逻辑根源在于绝对值的定义本身.

该方法的步骤是:

找出所有绝对值符号内部表达式的零点.
这些零点将整个实数轴划分为若干个开区间.
在每个开区间内, 所有绝对值符号内部表达式的符号是恒定的, 从而可以去掉绝对值符号, 将原方程(或不等式)转化为一个不含绝对值的常规问题.
分别求解在各个区间上的问题, 并将解集与该区间的范围求交集, 得到该区间内的有效解.
将所有区间上的有效解合并, 得到原问题的完整解集.

例

求解不等式 $|2x-1| \< x+2$ .

解

我们首先确定讨论的零点. 令绝对值内部的表达式 $2x-1=0$ , 解得 $x=1/2$ . 此点将实数轴划分为两个区间: $(-\infty, 1/2)$ 和 $[1/2, +\infty)$ .

情形一: $x \ge 1/2$ . 在此区间内, $2x-1 \ge 0$ , 故 $|2x-1|=2x-1$ . 原不等式转化为 $2x-1 \< x+2$ , 解得 $x \< 3$ . 将此解与本情形的约束 $x \ge 1/2$ 求交集, 得到该区间的解为 $[1/2, 3)$ .

情形二: $x \< 1/2$ . 在此区间内, $2x-1 \< 0$ , 故 $|2x-1|=-(2x-1)=1-2x$ . 原不等式转化为 $1-2x \< x+2$ , 解得 $-1 \< 3x$ , 即 $x \> -1/3$ . 将此解与本情形的约束 $x \< 1/2$ 求交集, 得到该区间的解为 $(-1/3, 1/2)$ .

最后, 我们将两个情形下得到的解集合并:

[1/2, 3) \cup (-1/3, 1/2) = (-1/3, 3)

故原不等式的解集为 $(-1/3, 3)$ .

对于特定形式的绝对值问题, 也存在一些更简洁的等价转化.

$|f(x)| \< a \ (a\>0) \iff -a \< f(x) \< a$ .
$|f(x)| \> a \ (a\>0) \iff f(x) \> a \text{ 或 } f(x) \< -a$ .
$|f(x)| = |g(x)| \iff f(x)^2 = g(x)^2 \iff (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0$ .

例

已知函数 $f(x) = -x\ln x + ax$ 在 $(0,e)$ 上是增函数, 函数 $g(x)=|e^x - a| + \frac{a^2}{2}$ 在 $x \in [0, \ln 3]$ 上的最大值 $M$ 与最小值 $m$ 的差为 $\frac{3}{2}$ . 求 $a$ 的值.

解

此问题包含两个独立的条件, 我们分别对其进行分析.

首先, 我们考察函数 $f(x)$ 的单调性. 其导函数为

f'(x) = -(\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) + a = a - 1 - \ln x

由于 $f(x)$ 在区间 $(0,e)$ 上是增函数, 故 $f'(x) \ge 0$ 在该区间上恒成立. 这等价于 $a \ge 1 + \ln x$ 对所有 $x \in (0,e)$ 成立. 函数 $h(x) = 1+\ln x$ 在 $(0,e)$ 上单调递增, 其上界为 $\lim_{x \to e^-} (1+\ln x) = 1+\ln e = 2$ . 因此, 参数 $a$ 必须满足 $a \ge 2$ .

接下来, 我们分析函数 $g(x) = |e^x - a| + \frac{a^2}{2}$ 在区间 $[0, \ln 3]$ 上的极值. 函数 $g(x)$ 的行为取决于其绝对值内部表达式 $e^x-a$ 的符号. 其零点为 $x_0 = \ln a$ . 由于 $a \ge 2$ , 我们有 $\ln a \ge \ln 2 \> 0$ . 函数 $g(x)$ 在 $x=\ln a$ 处取得其最小值, 因为当 $x \< \ln a$ 时 $g(x)$ 递减, 当 $x \> \ln a$ 时 $g(x)$ 递增.

我们需要根据 $\ln a$ 与区间 $[0, \ln 3]$ 的相对位置进行讨论.

情形一: $\ln a \ge \ln 3$ , 即 $a \ge 3$ . 在此情形下, 临界点 $\ln a$ 位于考察区间的右侧或恰在右端点. 因此, 函数 $g(x)$ 在整个区间 $[0, \ln 3]$ 上是单调递减的. 其最大值 $M$ 在 $x=0$ 处取得, 最小值为 $m$ 在 $x=\ln 3$ 处取得.

\begin{aligned} M &= g(0) = |1-a| + \frac{a^2}{2} = a-1+\frac{a^2}{2} (\text{因 } a \ge 3) m &= g(\ln 3) = |3-a| + \frac{a^2}{2} = a-3+\frac{a^2}{2} (\text{因 } a \ge 3) \end{aligned}

两者之差为 $M-m = (a-1+\frac{a^2}{2}) - (a-3+\frac{a^2}{2}) = 2$ . 这与题设条件 $M-m = 3/2$ 矛盾. 故此情形不成立.

情形二: $\ln a \< \ln 3$ , 即 $2 \le a \< 3$ . 在此情形下, 临界点 $\ln a$ 位于考察区间的内部. 函数 $g(x)$ 在 $[0, \ln a]$ 上单调递减, 在 $[\ln a, \ln 3]$ 上单调递增. 其最小值 $m$ 在 $x=\ln a$ 处取得:

m = g(\ln a) = |e^{\ln a}-a| + \frac{a^2}{2} = 0 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}

其最大值 $M$ 必然在区间的两个端点 $x=0$ 或 $x=\ln 3$ 处取得.

M = \max(g(0), g(\ln 3))

我们比较 $g(0)$ 与 $g(\ln 3)$ . $g(0) = |1-a| + \frac{a^2}{2} = a-1+\frac{a^2}{2}$ (因 $a \ge 2$ ). $g(\ln 3) = |3-a| + \frac{a^2}{2} = 3-a+\frac{a^2}{2}$ (因 $a \< 3$ ). 考察 $g(0)-g(\ln 3) = (a-1) - (3-a) = 2a-4$ . 由于 $a \ge 2$ , $2a-4 \ge 0$ , 故 $g(0) \ge g(\ln 3)$ . 因此, 最大值为 $M = g(0) = a-1+\frac{a^2}{2}$ .

根据题设条件 $M-m = 3/2$ , 我们建立方程:

\left(a-1+\frac{a^2}{2}\right) - \frac{a^2}{2} = \frac{3}{2}

a-1 = \frac{3}{2}

解得 $a = \frac{5}{2}$ .

最后, 我们检验此解是否满足本情形的约束条件 $2 \le a \< 3$ . 由于 $2 \le 5/2 \< 3$ , 该解是有效的.

综上所述, $a$ 的值为 $\frac{5}{2}$ .

距离和的最小值

绝对值函数的组合可以构造出许多在优化问题中具有重要意义的模型. 其中最经典的是求解动点到若干定点距离之和的最小值问题.

例

求函数 $f(x) = |x-1| + |x-3|$ 的最小值.

解

从几何的观点看, $f(x)$ 表示数轴上动点 $x$ 到两个定点 $1$ 和 $3$ 的距离之和. 直观上, 当动点 $x$ 位于两个定点之间时, 其距离之和恰好等于两定点间的距离, 此时应取得最小值. 我们通过代数方法严格证明这一猜想.

我们以两个零点 $x=1$ 和 $x=3$ 为分界, 对 $x$ 的取值进行分段讨论.

情形一: $x \le 1$ . 此时 $x-1 \le 0, x-3 \< 0$ . $f(x) = -(x-1) - (x-3) = -2x+4$ . 这是一个单调递减的函数.

情形二: $1 \< x \< 3$ . 此时 $x-1 \> 0, x-3 \< 0$ . $f(x) = (x-1) - (x-3) = 2$ . 函数在此区间上为常数.

情形三: $x \ge 3$ . 此时 $x-1 \> 0, x-3 \ge 0$ . $f(x) = (x-1) + (x-3) = 2x-4$ . 这是一个单调递增的函数.

综合三段的分析, 函数 $f(x)$ 的图像先下降, 然后在区间 $[1,3]$ 上保持为常数 $2$ , 之后再上升. 因此, 函数的最小值为 $2$ , 在闭区间 $[1,3]$ 上的任意一点均可取得.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数 $y=|x-1|+|x-3|$ 的图像

此例可以推广至更一般的情形. 对于函数 $f(x) = \sum_{i=1}^n |x-a_i|$ , 其几何意义是动点 $x$ 到 $n$ 个定点 $a_1, ..., a_n$ 的距离之和. 可以证明, 该函数的最小值在诸 $a_i$ 的中位数处取得. 这是一个在统计学和运筹学中具有重要应用的深刻结论.

两点距离模型：平底锅与破锅图像

函数 $f(x)=|x-1|+|x-3|$ 的图像形态具有一般性. 我们可以系统地考察两类与数轴上两点距离相关的函数模型.

\paragraph{距离和模型} 考虑函数 $f(x) = |x-a| + |x-b|$ , 其中 $a\<b$ . 此函数可视为数轴上动点 $x$ 到两定点 $a, b$ 的距离之和. 通过零点分段讨论, 可得其分段表达式:

f(x) = \begin{cases} -2x+a+b, & x \< a b-a, & a \le x \le b 2x-a-b, & x \> b \end{cases}

函数图像由两条射线和一个水平线段构成, 形似平底锅. 其最小值为 $b-a$ , 在区间 $[a,b]$ 上取得.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数 $y=|x-a|+|x-b|$ 的图像 (平底锅图像)

\paragraph{距离差模型} 与距离和模型对应, 我们考察距离差模型 $g(x) = |x-a| - |x-b|$ , 其中 $a\<b$ . 其分段表达式为:

g(x) = \begin{cases} a-b, & x \< a 2x-a-b, & a \le x \le b b-a, & x \> b \end{cases}

函数图像由两条水平射线和一条斜率为 2 的线段构成. 其图像形态常被称为“破锅”图像. 函数的值域为 $[a-b, b-a]$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数 $y=|x-a|-|x-b|$ 的图像 (破锅图像)

作为范数的绝对值

绝对值的概念可以被抽象和推广, 从而引出近代数学中的一个核心概念——范数. 在一个向量空间中, 范数是为每个向量赋予一个“长度”或“大小”的函数. 绝对值 $|x|$ 正是定义在一维实向量空间 $\mathbb{R}^1$ 上的范数. 我们之前列出的绝对值的基本性质, 正是范数定义的三个公理:

正定性: $\|v\| \ge 0$ , 且 $\|v\|=0 \iff v=0$ .
齐次性: $\|\lambda v\| = |\lambda| \|v\|$ (这推广了积性).
三角不等式: $\|u+v\| \le \|u\|+\|v\|$ .

从这个观点看, 绝对值不再仅仅是一个初等函数, 而是广阔的泛函分析领域的一个最原初、最具体的实例. 例如, 在二维平面 $\mathbb{R}^2$ 中, 一个向量 $\mathbf{v}=(x,y)$ 的欧几里得范数(或称模长)定义为 $\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{x^2+y^2}$ , 它同样满足上述三条公理. 这正是绝对值概念在更高维度上的自然推广.

函数解析式的求解

{/* label: sec:ch03-s19 */}

探求一个未知函数的解析式, 本质上是一场逻辑推理的智力游戏. 我们所掌握的线索, 可能是函数满足的特定代数关系 (函数方程), 可能是其图像经过的若干点, 抑或是其具备的某种内在性质 (如奇偶性、周期性). 解决这类问题的核心, 在于根据已知信息的结构特征, 选取最恰当的数学工具, 将这些线索转化为关于函数表达式的代数方程, 从而揭示其“庐山真面目”. 不同的线索结构, 对应着不同的求解策略.

待定系数法（当函数类型已知时）

若题设已经明示或强烈暗示了函数的类型 (例如, 一次函数、二次函数、指数函数等), 那么函数解析式的“骨架”便已确定, 未知的仅仅是其中的若干个系数. 我们的任务, 便是利用给定的条件构造一个关于这些待定系数的方程组, 进而解出其值.

例

已知二次函数 $f(x)$ 满足 $f(2)=-1$ , 且其图像的对称轴为直线 $x=1$ , 顶点在 $x$ 轴下方, 与 $x$ 轴两交点间的距离为 $4$ . 求 $f(x)$ 的解析式.

解

此问题提供了关于一个二次函数的若干几何信息, 我们的目标是将其逐一翻译为代数约束.

注意到, 顶点坐标与对称轴是二次函数性质的核心. 对称轴为 $x=1$ 这一信息, 强烈建议我们采用函数的顶点式作为求解的出发点, 因为它能最直接地体现这一对称性.

不妨设 $f(x) = a(x-1)^2+k$ , 其中 $a \neq 0$ .

接下来, 我们利用“与 $x$ 轴两交点间的距离为 $4$ ”这一条件. 由于抛物线的对称性, 两个交点必然关于对称轴 $x=1$ 对称. 设两交点的横坐标为 $x_1, x_2$ , 则 $|x_1-x_2|=4$ 且 $\frac{x_1+x_2}{2}=1$ . 由此可解得, 两根分别为 $x_1=-1$ 和 $x_2=3$ .

这为我们提供了另一种设定函数形式的可能性——两根式:

f(x) = a(x-(-1))(x-3) = a(x+1)(x-3)

此形式同样内蕴了对称轴为 $x=1$ 的信息.

现在, 我们利用最后一个条件, 函数图像经过点 $(2, -1)$ , 将其代入两根式中以确定系数 $a$ :

f(2) = a(2+1)(2-3) = -3a = -1

解得 $a = 1/3$ .

将 $a$ 的值代回, 我们便得到了函数的完整解析式:

f(x) = \frac{1}{3}(x+1)(x-3) = \frac{1}{3}(x^2-2x-3) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x - 1

最后, 我们回顾并检验所有条件. 顶点坐标为 $(1, f(1)) = (1, -4/3)$ , 位于 $x$ 轴下方, 与题设吻合.

选择恰当的函数形式

对于二次函数, 其一般式、顶点式与两根式分别适用于不同的条件. 灵活地根据已知信息的结构, 选取最能简化计算的函数形式, 是待定系数法中的核心策略.

例

已知 $f(x)$ 为二次函数, 且 $f(0)=3$ , $f(x+2)-f(x)=4x+2$ . 求 $f(x)$ .

解

由于函数类型已知为二次函数, 我们可以设其一般形式为 $f(x)=ax^2+bx+c$ .

由条件 $f(0)=3$ , 可直接确定常数项 $c=3$ . 故 $f(x)=ax^2+bx+3$ .

接下来, 我们处理函数方程 $f(x+2)-f(x)=4x+2$ . 我们首先计算 $f(x+2)$ :

f(x+2) = a(x+2)^2+b(x+2)+3 = a(x^2+4x+4)+b(x+2)+3

然后构造差式:

\begin{aligned} f(x+2)-f(x) &= [a(x^2+4x+4)+b(x+2)+3] - [ax^2+bx+3] &= (ax^2+4ax+4a+bx+2b+3) - (ax^2+bx+3) &= 4ax + (4a+2b) \end{aligned}

根据题设, 此差式恒等于 $4x+2$ .

4ax + (4a+2b) = 4x+2

这是一个关于 $x$ 的恒等式. 根据多项式恒等定理, 两边同次项的系数必须相等. 比较 $x$ 的一次项系数: $4a=4$ , 解得 $a=1$ . 比较常数项: $4a+2b=2$ . 将 $a=1$ 代入, 得 $4(1)+2b=2$ , 解得 $b=-1$ .

至此, 所有待定系数均已确定. 故 $f(x) = x^2-x+3$ .

利用函数性质法（奇偶性、周期性与对称性）

当一个函数的具体类型未知, 但其具备某些确定的全局性质 (如奇偶性、周期性或更一般的对称性) 时, 这些性质本身就构成了强大的约束条件. 它们使得函数在定义域某一部分的行为, 能够决定其在另一部分的形态. 求解解析式的过程, 便是利用这些性质建立不同定义域子集上函数值之间的代数联系.

利用奇偶性

若一个奇函数或偶函数的解析式在部分定义域 (通常是 $x\>0$ 的部分) 上已知, 我们可以直接利用其对称性定义, 推导出其在对称的另一部分定义域上的解析式.

其核心逻辑是: 欲求 $x\<0$ 时的 $f(x)$ , 我们构造 $f(-x)$ . 由于此时 $-x\>0$ , $f(-x)$ 的值可由已知解析式求出. 随后, 根据 $f(x)=f(-x)$ (偶函数) 或 $f(x)=-f(-x)$ (奇函数) 的关系, 即可解出 $f(x)$ .

例

设函数 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数, 且当 $x \ge 0$ 时, $f(x) = e^x - 1$ . 求当 $x \< 0$ 时 $f(x)$ 的解析式.

解

我们的目标是确定当 $x\<0$ 时 $f(x)$ 的表达式.

设任意一个 $x \< 0$ . 根据奇函数的定义, 我们有 $f(x) = -f(-x)$ .

由于 $x\<0$ , 其相反数 $-x$ 必然大于 $0$ . 因此, $-x$ 属于函数解析式已知的区间 $[0, +\infty)$ . 我们可以将 $-x$ 代入已知的表达式中, 以计算 $f(-x)$ 的值.

f(-x) = e^{-x} - 1

将此结果代回奇函数的定义关系式中:

f(x) = -f(-x) = -(e^{-x} - 1) = 1 - e^{-x}

此表达式对所有 $x\<0$ 均成立.

我们还需考虑 $x=0$ 的情况. 对于奇函数, 若 $f(0)$ 有定义, 则必有 $f(0)=0$ . 在已知的 $x \ge 0$ 的表达式中, $f(0)=e^0-1=0$ , 与奇函数的性质吻合.

综上, 函数 $f(x)$ 的完整解析式为:

f(x) = \begin{cases} e^x - 1, & x \ge 0 1 - e^{-x}, & x \< 0 \end{cases}

利用周期性

若一个函数 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数, 那么其在任何一个长度为 $T$ 的区间 (例如 $[0, T)$ ) 上的表达式, 就决定了它在整个定义域上的行为.

其核心逻辑是: 对于任意一个自变量 $x$ , 我们总能通过加上或减去整数倍的周期 $T$ , 将其“平移”到已知的基准区间内.

f(x) = f(x+nT), n \in \mathbb{Z}

求解 $f(x)$ 的过程, 便是寻找恰当的整数 $n$ , 使得 $x+nT$ 落入已知解析式的定义域.

例

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=f(x)$ , 且当 $x \in [-1, 1)$ 时, $f(x)=x^2$ . 求当 $x \in [1, 3)$ 时 $f(x)$ 的解析式.

解

条件 $f(x+2)=f(x)$ 表明 $f(x)$ 是一个周期为 2 的周期函数.

我们的目标是求当 $x \in [1, 3)$ 时 $f(x)$ 的表达式. 设任意一个 $x \in [1, 3)$ .

为了利用已知的在 $[-1, 1)$ 上的解析式, 我们需要对自变量 $x$ 进行平移, 使其落入区间 $[-1, 1)$ . 考虑 $x-2$ . 当 $x \in [1, 3)$ 时, $x-2 \in [-1, 1)$ .

根据周期性, 我们有 $f(x) = f(x-2)$ .

由于 $x-2$ 属于函数解析式已知的区间, 我们可以将 $x-2$ 代入表达式 $f(t)=t^2$ 中 (此处 $t=x-2$ ).

f(x-2) = (x-2)^2

因此, 当 $x \in [1, 3)$ 时,

f(x) = (x-2)^2 = x^2-4x+4

换元法与配凑法（处理复合函数）

当已知条件涉及复合函数, 例如给出 $f(g(x))$ 的表达式而要求解 $f(x)$ 时, 我们的核心目标是“剥离”内层函数 $g(x)$ 的影响, 还原出外层函数 $f$ 对其自变量的原始作用. 实现这一目标的标准方法是换元法.

其逻辑步骤是: 首先, 将内层函数设为一个新变量, 例如 $t=g(x)$ . 接着, 确定新变量 $t$ 的取值范围, 这将构成最终函数 $f(t)$ 的定义域. 然后, 尝试将原方程右侧的表达式完全用新变量 $t$ 来表示. 这通常通过从 $t=g(x)$ 中反解出 $x$ 并代入来实现. 最后, 将得到的 $f(t)$ 的表达式中的 $t$ 替换回 $x$ , 便得到所求的解析式.

例

已知函数 $f(\sqrt{x}+1) = x+2\sqrt{x}$ , 求 $f(x)$ 的解析式.

解

为探求 $f(x)$ 的表达式, 我们的目标是分离出其自变量. 一个自然的策略是令中间变量 $t = \sqrt{x}+1$ .

此举引入了一个新的变量 $t$ , 我们必须确定其取值范围, 这将成为新函数 $f(t)$ 的定义域. 由于 $\sqrt{x} \ge 0$ , 故 $t = \sqrt{x}+1 \ge 1$ .

接下来, 我们需要将原表达式右侧的 $x$ 全部用新变量 $t$ 来表示. 从 $t=\sqrt{x}+1$ 中, 我们反解出 $\sqrt{x} = t-1$ . 进而, $x = (t-1)^2$ .

将这些关系代入已知的函数方程中:

f(t) = (t-1)^2 + 2(t-1)

展开并化简右侧表达式:

f(t) = (t^2-2t+1) + (2t-2) = t^2-1

我们已经得到了函数 $f$ 在新变量 $t$ 下的表达式. 按照惯例, 我们将自变量换回 $x$ , 并注明其定义域.

故 $f(x) = x^2-1$ , 其定义域为 $[1, +\infty)$ .

有时, 直接从 $t=g(x)$ 中反解 $x$ 是困难的或不雅的. 此时, 我们应转换视角, 考察已知表达式的右侧, 能否直接“配凑”成关于中间变量 $g(x)$ 的代数组合. 这种更具技巧性的方法称为配凑法.

例

已知 $f(x+\frac{1}{x}) = x^3 + \frac{1}{x^3}$ , 求 $f(x)$ .

解

令 $t = x+\frac{1}{x}$ . 直接从此式中反解 $x$ 将导致复杂的根式, 并非良策.

我们转而分析表达式的右侧 $x^3+\frac{1}{x^3}$ . 我们熟知立方和公式, 并尝试将其与 $t=x+\frac{1}{x}$ 建立联系. 利用恒等式 $(A+B)^3 = A^3+B^3+3AB(A+B)$ , 我们有:

\begin{aligned} x^3 + \frac{1}{x^3} &= \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x+\frac{1}{x}\right) &= \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\frac{1}{x}\right) \end{aligned}

此式清晰地表明, 函数值的表达式可以完全由中间变量 $t=x+\frac{1}{x}$ 来表示.

将 $t$ 代入, 我们得到 $f(t) = t^3 - 3t$ .

最后, 确定定义域. 由于 $x+\frac{1}{x}$ 的值域为 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ , 故函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ .

因此, $f(x) = x^3-3x$ , 定义域为 $|x| \ge 2$ .

例

若 $f(\sin x) = 2 - \cos(2x)$ , 则 $f(\cos x) = ( )$ .

解

此问题包含两个步骤. 首先, 我们需要从已知关系式中求出函数 $f(x)$ 的解析式. 其次, 将 $\cos x$ 代入所得的解析式中.

令 $t = \sin x$ . 由于 $x \in \mathbb{R}$ , 新变量 $t$ 的取值范围是 $[-1, 1]$ . 我们的目标是将表达式 $2-\cos(2x)$ 用 $t$ 来表示. 利用三角函数的二倍角公式, 我们有 $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ .

将此关系代入原方程:

f(\sin x) = 2 - (1 - 2\sin^2 x) = 1 + 2\sin^2 x

用 $t$ 替换 $\sin x$ , 我们得到:

f(t) = 1 + 2t^2, t \in [-1, 1]

因此, 函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x) = 1+2x^2$ , 其定义域为 $[-1, 1]$ .

接下来, 我们计算 $f(\cos x)$ . 这意味着将 $x$ 替换为 $\cos x$ 代入 $f(x)$ 的表达式中.

f(\cos x) = 1 + 2(\cos x)^2 = 1 + 2\cos^2 x

为了与选项匹配, 我们可以再次使用二倍角公式的变体 $2\cos^2 x = 1 + \cos(2x)$ .

f(\cos x) = 1 + (1 + \cos(2x)) = 2 + \cos(2x)

故选 D.

例

已知 $f\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ , 则 $f(x)$ 的解析式为 $( )$ .

解

我们采用换元法. 令 $t = \frac{1-x}{1+x}$ .

首先, 我们需要从这个关系式中反解出 $x$ , 以便用 $t$ 来表示原方程的右侧.

\begin{aligned} t(1+x) &= 1-x t+tx &= 1-x tx+x &= 1-t x(t+1) &= 1-t x &= \frac{1-t}{1+t} \end{aligned}

接下来, 我们将 $x = \frac{1-t}{1+t}$ 代入表达式 $\frac{1-x^2}{1+x^2}$ 中.

\begin{aligned} 1-x^2 &= 1 - \left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2 = \frac{(1+t)^2 - (1-t)^2}{(1+t)^2} = \frac{4t}{(1+t)^2} 1+x^2 &= 1 + \left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2 = \frac{(1+t)^2 + (1-t)^2}{(1+t)^2} = \frac{2(1+t^2)}{(1+t)^2} \end{aligned}

将这两个结果相除:

\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{4t/(1+t)^2}{2(1+t^2)/(1+t)^2} = \frac{4t}{2(1+t^2)} = \frac{2t}{1+t^2}

因此, 我们得到 $f(t) = \frac{2t}{1+t^2}$ .

将自变量换回 $x$ , 得到 $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ . 故选 B.

方程组法（利用对称性与对合关系）

当未知函数 $f(x)$ 出现在一个包含其自身与其他相关项 (如 $f(-x), f(1/x)$ ) 的方程中时, 我们可以通过对自变量进行巧妙的代换, 构造出另一个关于这些项的方程, 从而形成一个方程组. 此时, 我们可以将 $f(x)$ 等视为独立的未知量, 通过解方程组的方法求得其表达式.

这种方法的有效性, 根植于代换操作的对合性质, 即连续施行两次代换会使变量回归其自身. 常见的对合代换包括 $x \to -x$ 和 $x \to 1/x$ .

例

设函数 $f(x)$ 满足 $2f(x) + f(-x) = 3x+4$ , 求 $f(x)$ 的解析式.

解

此方程的精妙之处在于, 变量 $x$ 与 $-x$ 之间存在对合关系. 这一结构启发我们将原方程中的自变量 $x$ 全部替换为 $-x$ , 以期得到一个新方程.

将 $x$ 替换为 $-x$ , 原方程变为:

2f(-x) + f(-(-x)) = 3(-x)+4

化简得:

2f(-x) + f(x) = -3x+4

现在, 我们将原方程与这个新导出的方程联立, 形成一个关于“变量” $f(x)$ 和 $f(-x)$ 的二元一次方程组:

\begin{cases} 2f(x) + f(-x) = 3x+4 & (1) f(x) + 2f(-x) = -3x+4 & (2) \end{cases}

为消去 $f(-x)$ , 我们将方程 (1) 的两边乘以 2, 然后减去方程 (2):

(4f(x)+2f(-x)) - (f(x)+2f(-x)) = 2(3x+4) - (-3x+4)

3f(x) = (6x+8) - (-3x+4) = 9x+4

解得 $f(x) = 3x + \frac{4}{3}$ .

例

已知 $f(x)$ 的定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$ , 满足 $3f(x) + 5f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x}+1$ . 求函数 $f(x)$ .

解

此方程涉及 $f(x)$ 与 $f(1/x)$ , 且代换 $x \to 1/x$ 具有对合性.

我们将原方程记为 (1):

3f(x) + 5f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x}+1 (1)

在方程 (1) 中, 将所有 $x$ 替换为 $1/x$ , 得到新方程 (2):

3f\left(\frac{1}{x}\right) + 5f(x) = 3x+1 (2)

我们将 $f(x)$ 和 $f(1/x)$ 视为未知量, 联立方程组:

\begin{cases} 3f(x) + 5f(1/x) = 3/x+1 5f(x) + 3f(1/x) = 3x+1 \end{cases}

为消去 $f(1/x)$ , 将 (1) 式乘以 3, (2) 式乘以 5:

\begin{aligned} 9f(x) + 15f(1/x) &= 9/x+3 25f(x) + 15f(1/x) &= 15x+5 \end{aligned}

两式相减, 得到 $16f(x) = (15x+5) - (9/x+3) = 15x - 9/x + 2$ .

故 $f(x) = \frac{15}{16}x - \frac{9}{16x} + \frac{1}{8}$ .

例

已知函数 $f(x)$ 对定义域 $\{x \mid x \neq 0\}$ 内的任意实数 $x$ 满足 $f(x) - 2f\left(\frac{2}{x}\right) = 4x$ , 则 $f(x) = ( )$ .

解

此方程涉及 $f(x)$ 与 $f(2/x)$ . 我们考察代换 $x \to 2/x$ . 若令 $g(x)=2/x$ , 则 $g(g(x)) = 2/(2/x) = x$ . 此代换同样具有对合性.

原方程为:

f(x) - 2f\left(\frac{2}{x}\right) = 4x (1)

将 $x$ 替换为 $2/x$ :

f\left(\frac{2}{x}\right) - 2f\left(\frac{2}{2/x}\right) = 4\left(\frac{2}{x}\right)

化简得:

f\left(\frac{2}{x}\right) - 2f(x) = \frac{8}{x} (2)

联立方程组:

\begin{cases} f(x) - 2f(2/x) = 4x -2f(x) + f(2/x) = 8/x \end{cases}

为消去 $f(2/x)$ , 将 (2) 式乘以 2, 再与 (1) 式相加:

(f(x) - 2f(2/x)) + (-4f(x) + 2f(2/x)) = 4x + 2\left(\frac{8}{x}\right)

-3f(x) = 4x + \frac{16}{x}

解得 $f(x) = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3x}$ .

赋值法与递推（探索函数方程）

对于更为抽象的函数方程, 我们往往无法预知其函数类型. 此时, 赋值法成为一种强大的探索工具. 通过为方程中的变量赋予一些特殊的、能使方程结构简化的值 (如 $0, 1, -1, y=x, y=-x$ 等), 我们可以逐步揭示函数的某些关键性质或递推关系, 从而为最终求解其解析式铺平道路.

例

已知函数 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$ 均满足 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy$ , 且 $f(1)=1$ . 求 $f(x)$ 的解析式.

解

这是一个典型的柯西型函数方程. 我们通过一系列的特殊赋值来探寻其结构.

令 $x=y=0$ , 得 $f(0) = f(0)+f(0)+0$ , 故 $f(0)=0$ .

令 $y=-x$ , 得 $f(0) = f(x)+f(-x)-2x^2$ . 由于 $f(0)=0$ , 我们得到 $f(x)+f(-x)=2x^2$ . 这揭示了函数奇偶分解的线索.

我们尝试寻找一个递推关系. 令 $y=1$ , 得 $f(x+1) = f(x)+f(1)+2x$ . 代入 $f(1)=1$ , 我们得到一个一阶差分方程:

f(x+1) - f(x) = 2x+1

此关系暗示函数可能是一个多项式. 让我们考察其在整数点上的取值. $f(0)=0$ . $f(1)=1$ . $f(2) = f(1) + 2(1)+1 = 1+3=4$ . $f(3) = f(2) + 2(2)+1 = 4+5=9$ .

观察到 $f(n)=n^2$ 对自然数 $n=0,1,2,3$ 成立. 我们大胆猜测 $f(x)=x^2$ .

现在, 我们来验证这个猜测. 将 $f(x)=x^2$ 代入原方程的左侧: $f(x+y)=(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ . 代入原方程的右侧: $f(x)+f(y)+2xy = x^2+y^2+2xy$ .

左右两侧完全相等. 且 $f(1)=1^2=1$ 也满足.

因此, 函数的解析式为 $f(x)=x^2$ .

从离散到连续

通过赋值法, 我们首先发现了函数在整数点上的规律, 从而形成了一个关于其解析式的合理猜想. 随后通过严格的代数验证, 将此猜想推广至整个实数域. 这种“由特殊到一般, 从离散到连续”的思维路径, 是解决函数方程问题的常用策略.

例

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ , 且 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ , $f(0)=1$ . 请写出一个满足条件的函数 $f(x)$ .

解

这是一个著名的达朗贝尔函数方程. 我们通过特殊赋值来探究其性质.

令 $x=0$ , 得 $f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)$ . 化简得 $f(-y)=f(y)$ , 故 $f(x)$ 是一个偶函数.

令 $y=x$ , 得 $f(2x)+f(0)=2(f(x))^2$ . 代入 $f(0)=1$ , 我们得到 $f(2x) = 2(f(x))^2-1$ .

这个关系式与三角函数中的二倍角公式 $\cos(2x)=2\cos^2 x - 1$ 具有惊人的一致性.

我们猜测 $f(x)=\cos(\alpha x)$ 可能是一个解. 代入 $f(0)=1$ 的条件: $f(0)=\cos(0)=1$ , 满足.

现在验证其是否满足原方程. 左侧: $\cos(\alpha(x+y)) + \cos(\alpha(x-y)) = \cos(\alpha x+\alpha y) + \cos(\alpha x-\alpha y)$ . 利用和差化积公式, 左侧 $= 2\cos(\alpha x)\cos(\alpha y)$ . 右侧: $2f(x)f(y) = 2\cos(\alpha x)\cos(\alpha y)$ .

左右两侧恒等. 因此, $f(x)=\cos(\alpha x)$ 对任意实数 $\alpha$ 都是一个解.

题目要求写出一个满足条件的函数, 我们可以取最简单的非平凡情况, 例如 $\alpha=1$ .

故一个满足条件的函数是 $f(x)=\cos x$ .

例

已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x-y)=f(x)+x(2y-3x+4)$ , 且 $f(-1)=3$ . 求 $f(x)$ 的解析式.

解

此方程的结构较为特殊, 右侧不仅有 $f(x)$ , 还显式地含有 $x, y$ . 我们的目标是通过巧妙的赋值, 消去其中一个自变量, 或将方程转化为更简洁的形式.

一个有效的策略是令 $x-y$ 等于一个特定的常数, 以便利用已知条件 $f(-1)=3$ .

令 $x-y=-1$ , 则 $y=x+1$ . 将此关系代入原方程:

f(-1) = f(x) + x(2(x+1)-3x+4)

代入 $f(-1)=3$ :

3 = f(x) + x(2x+2-3x+4)

3 = f(x) + x(-x+6)

3 = f(x) - x^2+6x

由此, 我们可以直接解出 $f(x)$ 的表达式:

f(x) = x^2-6x+3

这是一个非常直接的解法, 其关键在于识别出可以通过令 $x-y$ 为常数来直接利用已知条件.

函数值域的求解

{/* label: sec:ch03-s20 */}

探求函数的值域, 即确定函数所有可能的输出值构成的集合, 是分析函数行为的核心任务之一. 它不仅揭示了函数纵向的运动范围, 更与方程解的存在性、不等式的成立范围等问题紧密相连. 若将定义域的求解视为从法则出发探究其“合法输入”的过程, 那么值域的求解便是探究其“必然输出”的逆向思维过程.

求解值域并无万能的法则, 而是需要根据函数表达式的代数结构与几何特征, 灵活地选取恰当的分析工具. 其根本思想, 是在代数变换的严谨性与几何直观的启发性之间建立联系.

观察法与基本函数

对于基本初等函数, 其值域是我们必须熟知的先验知识, 它们是构造更复杂函数值域的基石.

线性函数 $y=ax+b \ (a \neq 0)$ : 值域为 $\mathbb{R}$ .
二次函数 $y=ax^2+bx+c \ (a \neq 0)$ : 值域为 $[\frac{4ac-b^2}{4a}, +\infty)$ (当 $a\>0$ ) 或 $(-\infty, \frac{4ac-b^2}{4a}]$ (当 $a\<0$ ).
反比例函数 $y=k/x \ (k \neq 0)$ : 值域为 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ .
指数函数 $y=a^x$ : 值域为 $(0, +\infty)$ .
对数函数 $y=\log_a x$ : 值域为 $\mathbb{R}$ .
正弦与余弦函数 $y=\sin x, y=\cos x$ : 值域为 $[-1, 1]$ .

分析法

对于可导函数, 其值域的边界必然在区间的端点或导数为零的临界点处取得. 这一深刻的联系, 使得我们可以借助导数这一强大的分析工具, 系统性地探求函数的值域. 其理论基石在于, 连续函数在一个闭区间上的最大值与最小值决定了其值域.

此方法的逻辑步骤是: 首先, 求出函数的导数 $f'(x)$ , 并解出所有临界点 (即 $f'(x)=0$ 的根). 其次, 比较函数在所有临界点以及定义域端点处的函数值. 最后, 综合这些值, 确定函数的最大值与最小值, 从而得到其值域.

例

求函数 $f(x) = x + \frac{4}{x}$ 在区间 $[1, 4]$ 上的值域.

解

我们首先考察函数在指定区间内的变化趋势. 其导函数为:

f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2-4}{x^2}

在区间 $[1,4]$ 内, 令 $f'(x)=0$ , 解得 $x=2$ . 此为区间内唯一的临界点.

现在, 我们只需比较函数在区间端点 $(x=1, x=4)$ 与临界点 $(x=2)$ 处的函数值:

\begin{aligned} f(1) &= 1 + \frac{4}{1} = 5 f(2) &= 2 + \frac{4}{2} = 4 f(4) &= 4 + \frac{4}{4} = 5 \end{aligned}

通过比较可知, 函数在区间 $[1,4]$ 上的最大值为 $5$ , 最小值为 $4$ . 因此, 函数的值域为 $[4, 5]$ .

代数法

代数方法的核心在于通过精巧的恒等变形, 将原函数转化为一种我们熟知其值域的结构, 或建立一个关于因变量 $y$ 的存在性约束.

换元法与配方法

当函数可以视为某个中间变量的简单函数 (特别是二次函数) 时, 换元法便成为一种有力的工具. 其关键在于, 准确地确定中间变量的取值范围, 这将成为外层函数的新定义域.

例

求函数 $f(x) = \sin^2 x + 2\sin x + 3$ 的值域.

解

此函数的结构提示我们, 它可以被看作一个关于 $\sin x$ 的二次函数.

我们进行换元, 令 $t = \sin x$ . 首先必须确定新变量 $t$ 的取值范围. 由于正弦函数的值域为 $[-1, 1]$ , 故 $t \in [-1, 1]$ .

原问题等价于求解二次函数 $g(t) = t^2+2t+3$ 在定义域 $t \in [-1, 1]$ 上的值域.

我们对 $g(t)$ 进行配方, 以揭示其顶点位置与单调性:

g(t) = (t+1)^2 + 2

这是一个开口向上, 对称轴为 $t=-1$ 的抛物线.

由于对称轴 $t=-1$ 恰好是新定义域 $[-1, 1]$ 的左端点, 函数 $g(t)$ 在此定义域上是严格单调递增的. 因此, 其最小值在 $t=-1$ 处取得, 最大值在 $t=1$ 处取得.

\begin{aligned} g_{\min} &= g(-1) = (-1+1)^2+2 = 2 g_{\max} &= g(1) = (1+1)^2+2 = 6 \end{aligned}

故原函数 $f(x)$ 的值域为 $[2, 6]$ .

反函数法 (方程法)

此方法提供了一个优雅的视角转换. 其深刻之处在于利用了“原函数的值域即为其反函数的定义域”这一对偶性质. 即使原函数不存在反函数 (非单射), 这一思想仍然有效, 故更普适地称为方程法.

其核心思想是, 将 $y=f(x)$ 视为一个关于 $x$ 的方程. 函数的值域, 正是所有使得这个关于 $x$ 的方程有实数解的 $y$ 值构成的集合.

例

求函数 $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ 的值域.

解

设 $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ . 我们将此式看作一个关于 $x$ 的方程, 并尝试从中反解 $x$ .

整理方程, 消去分母:

y(x^2+x+1) = x^2-x+1

yx^2+yx+y = x^2-x+1

将所有项移至一边, 得到一个关于 $x$ 的标准一元二次方程形式:

(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0

函数的值域, 就是使得这个关于 $x$ 的方程有实数解的所有 $y$ 的集合.

我们对系数 $(y-1)$ 进行分类讨论.

情形一: $y-1=0$ , 即 $y=1$ . 此时方程退化为 $2x=0$ , 解得 $x=0$ . 这表明 $x=0$ 是一个合法的实数解, 故 $y=1$ 是值域的一部分.

情形二: $y-1 \neq 0$ , 即 $y \neq 1$ . 此时方程是一个标准的一元二次方程. 它有实数解的充要条件是其判别式 $\Delta \ge 0$ .

\Delta = (y+1)^2 - 4(y-1)(y-1) \ge 0

(y+1)^2 - (2(y-1))^2 \ge 0

利用平方差公式分解:

((y+1) - 2(y-1))((y+1) + 2(y-1)) \ge 0

(-y+3)(3y-1) \ge 0

(y-3)(3y-1) \le 0

解此不等式, 得到 $\frac{1}{3} \le y \le 3$ .

综合两种情形, 并考虑到 $y \neq 1$ , 我们得到 $y$ 的取值范围是 $[\frac{1}{3}, 1) \cup (1, 3] \cup \{1\}$ .

合并这些集合, 最终得到函数的值域为 $[\frac{1}{3}, 3]$ .

不等式法

在处理特定结构的函数时, 尤其是分式函数或根式函数, 我们可以利用基本不等式 (如均值不等式) 来探求其值的边界.

例

求函数 $f(x) = x + \frac{4}{x}$ 的值域.

解

此函数的定义域为 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ . 我们需要分情况讨论.

情形一: $x \> 0$ . 此时, $x$ 与 $4/x$ 均为正数, 这提示我们可以应用算术-几何平均值不等式.

f(x) = x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4

等号成立的条件是 $x = \frac{4}{x}$ , 即 $x^2=4$ . 由于 $x\>0$ , 解得 $x=2$ . 因此, 当 $x\>0$ 时, 函数的值域为 $[4, +\infty)$ .

情形二: $x \< 0$ . 此时, $x$ 与 $4/x$ 均为负数. 我们可以对它们的相反数应用均值不等式. 令 $x = -t$ , 其中 $t\>0$ .

f(x) = -t + \frac{4}{-t} = -\left(t+\frac{4}{t}\right)

由于 $t\>0$ , 我们已知 $t+\frac{4}{t} \ge 4$ . 因此, $f(x) = -\left(t+\frac{4}{t}\right) \le -4$ . 等号在 $t=2$ , 即 $x=-2$ 时取得. 因此, 当 $x\<0$ 时, 函数的值域为 $(-\infty, -4]$ .

综合两种情形, 函数 $f(x)$ 的完整值域为 $(-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$ .

数形结合法

函数的值域, 在几何上直观地表现为函数图像在 $y$ 轴上的投影. 绘制出函数的草图, 并观察其纵向的分布范围, 是求解值域问题中最直观、最富启发性的方法. 这种方法常常与其他代数方法结合使用, 以几何的直观引导代数的计算, 以代数的严谨验证几何的猜想.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：函数 $y=(x-2)^2+1$ 在定义域 $[1,4]$ 上的值域 $[1,5]$

函数的概念​

函数的定义​

函数的三要素​

定义域​

基本代数结构的约束​

实际问题中的隐性定义域​

单调性​

单调性的定义与判定策略​

单调性的判定方法​

定义法​

导数法​

复合函数的单调性​

奇偶性​

定义​

函数的奇偶分解定理​

运算封闭性与对称推广​

运算封闭性与对称推广​

对称性的推广​

模型：狗造具有特定对称性的函数​

周期性​

周期性的定义​

周期性的四则运算​

对称性与周期性的关系​

凹凸性​

凹凸性的几何直观与定义​

凹凸性的分析判定法​

拐点​

Jensen 不等式​

Jensen 不等式的一般形式​

应用: 从 Jensen 不等式到均值不等式​

反函数​

反函数存在的条件​

反函数的定义与求解​

反函数的性质​

函数的反函数​

反函数存在的条件​

反函数的定义与求解​

反函数的性质​

函数的复合​

复合函数的定义​

复合函数的基本性质​

定义域​

值域​

单调性与奇偶性​

函数相等​

函数的图像变换​

变换的统一原理​

基本图像变换​

复合变换​

绝对值变换​

导函数的对称性​

常见多项式函数​

一次与二次函数回顾​

三次函数​

单调性与极值​

对称性​

三次方程实根个数的判定​

根与系数的关系​

切线问题​

对称性​

极值点连线的几何性质​

指数函数​

指数的扩张与指数函数的定义​

指数函数的图像与性质​

自然底数 \texorpdfstring{​

幂函数​

定义与辨析​

图像与性质的系统性分析​

对数函数​

对数的定义与对数函数​

对数函数的图像与性质​

对数的运算法则​

函数模型与应用​

函数的零点（一）​

零点的存在性：介值定理的直观应用​

零点的求解与个数判定​

代数变换与图像分析​

单调性与极值分析​

分段函数​

定义与基本示例​

函数的概念

函数的定义

函数的三要素

定义域

基本代数结构的约束

实际问题中的隐性定义域

单调性

单调性的定义与判定策略

单调性的判定方法

定义法

导数法

复合函数的单调性

奇偶性

定义

函数的奇偶分解定理

运算封闭性与对称推广

运算封闭性与对称推广

对称性的推广

模型：狗造具有特定对称性的函数

周期性

周期性的定义

周期性的四则运算

对称性与周期性的关系

凹凸性

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凹凸性的分析判定法

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Jensen 不等式

Jensen 不等式的一般形式

应用: 从 Jensen 不等式到均值不等式

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反函数存在的条件

反函数的定义与求解

反函数的性质

函数的反函数

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反函数的性质

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复合函数的定义

复合函数的基本性质

定义域

值域

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函数的图像变换

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基本图像变换

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绝对值变换

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常见多项式函数

一次与二次函数回顾

三次函数

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对称性

三次方程实根个数的判定

根与系数的关系

切线问题

对称性

极值点连线的几何性质

指数函数

指数的扩张与指数函数的定义

指数函数的图像与性质

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零点的存在性：介值定理的直观应用

零点的求解与个数判定

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单调性与极值分析

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