Chapter 12: Analytic Geometry

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向量代数

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\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

经典几何学的研究对象是点、线、面等不动的形体.然而, 物理世界充满了运动与力, 这些量不仅有大小, 更有其方向. 为了将这些动态的、有方向的量纳入数学的严谨体系, 我们必须引入一种新的代数结构.

想象一艘船试图渡过一条湍急的河流.船长始终将船头垂直指向对岸（对应速度 $\overrightarrow{v}_{\text{船}}$ ）, 但河水（对应速度 $\overrightarrow{v}_{\text{水}}$ ）却将船向下游推.最终, 船的实际航线既不完全向前, 也不完全向右, 而是沿着一条斜线（对应速度 $\overrightarrow{v}_{\text{实际}}$ ）到达对岸的下游某处.

在物理中，力的合成、相对运动等等，都涉及一些不仅有大小（速率、力的大小），更有方向的物理量.我们如何用数学语言来精确地描述和计算这些“带方向的量”？如果船长想精确地在正对岸靠岸，他又该如何调整船头的方向来抵消水流的影响？要回答这些问题，代数中的普通数字（标量）已然无能为力.我们需要引入一种全新的数学工具，它能将“大小”和“方向”完美地融为一体.这就是向量. 这个结构的起点, 是一个比向量更原始、更具体的几何实体: 有向线段.

从有向线段到向量

有向线段

我们首先定义一个局限于特定位置的几何对象.

有向线段

在空间中给定有序的一对点 $A$ 和 $B$ , 从点 $A$ 指向点 $B$ 的线段称为一条有向线段, 记作 $\overrightarrow{AB}$ .

点 $A$ 称为该有向线段的起点.
点 $B$ 称为该有向线段的终点.

一条有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 包含了三个基本要素：它的起点（位置）、它的长度（大小）, 以及从 $A$ 指向 $B$ 的方向. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 如图所示, 有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 是两个不同的几何对象, 因为它们的起点不同. 然而, 物理学中的位移或力的概念促使我们思考: 如果 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 的长度相等且方向相同, 它们是否代表了同一个物理实体? 例如, “向东北方向移动5公里”这一位移, 无论从何处开始, 其本身是不变的.

为了捕捉这种独立于位置的“有向的大小”, 我们需要定义一种等价关系.

有向线段的等价

两条有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 被认为是等价的, 如果其中一条可以通过平移变换得到另一条.

从几何上看, 这等价于要求四边形 $ABDC$ 是一个平行四边形. (注意顶点的顺序). 这同时保证了 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 的长度相等且方向相同.

这种等价关系具有数学上的完备性:

自反性: $\overrightarrow{AB}$ 与自身等价.
对称性: 若 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 等价, 则 $\overrightarrow{CD}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 等价.
传递性: 若 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 等价, 且 $\overrightarrow{CD}$ 与 $\overrightarrow{EF}$ 等价, 则 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{EF}$ 等价.

这种关系将所有有向线段划分成一个个互不相交的集合, 每个集合中的所有成员都相互等价. 这个集合, 这个抽象的整体, 就是向量.

向量

一个向量是所有相互等价的有向线段所构成的等价类.

\begin{figure}[htbp]

$}{a} 是一个抽象概念, 它是所有这些长度和方向相同的有向线段的集合. 其中任意一条都是该向量的一个**几何表示**或**代表**.} \end{figure} *图：向量 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{a*

这个从具体到抽象的定义至关重要. 它将我们从对特定起点和终点的关注中解放出来, 使得向量成为一个自由向量. 我们可以任意平移它的几何表示, 而不改变向量本身. 这为后续的代数运算提供了理论基础.

向量的基本属性与线性运算

我们已经将向量定义为一个抽象的等价类, 它封装了“大小”与“方向”这两个核心信息, 并摆脱了具体位置的束缚. 接着，我们的任务是为这些新的数学对象建立一套自洽的代数运算法则.

向量的基本属性

在定义运算之前, 我们首先要明确向量自身的几个基本属性.

模: 向量 $\overrightarrow{a}$ 的模, 记作 $|\overrightarrow{a}|$ , 是其等价类中任意一个有向线段代表的长度. 模是一个非负实数, 它唯一地刻画了向量的大小.
相等: 两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 相等, 记作 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ , 当且仅当它们的模相等且方向相同. 从等价类的角度看, 它们属于同一个集合.
零向量: 模为 $0$ 的向量称为零向量, 记作 $\overrightarrow{0}$ . 它的起点与终点重合, 其几何表示为一个点. 由于没有长度, 我们规定它的方向是任意的. 在向量加法中, 零向量扮演着类似于数字 $0$ 的角色(加法单位元): $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}$ .
单位向量: 模为 $1$ 的向量称为单位向量. 单位向量是“纯粹”的方向载体. 对于任意一个非零向量 $\overrightarrow{a}$ , 与其方向相同的单位向量可以通过将其自身除以其模得到:

\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{a}} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}

因此, 任何向量都可以表示为其模与它的单位向量的乘积: $\overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{a}}$ .

相反向量: 与向量 $\overrightarrow{a}$ 模相等但方向相反的向量, 称为 $\overrightarrow{a}$ 的相反向量, 记作 $-\overrightarrow{a}$ . 它是向量加法中的逆元: $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$ . 若 $\overrightarrow{a}$ 的一个代表是 $\overrightarrow{AB}$ , 则 $-\overrightarrow{a}$ 的一个代表是 $\overrightarrow{BA}$ .

下面我们来逐个详细了解一下： \paragraph{模} 向量 $\overrightarrow{a}$ 的模, 记作 $|\overrightarrow{a}|$ , 在几何上直观地表现为其任意代表有向线段的长度. 然而, 其更深远的意义在于, 模是在向量空间上定义的一个范数. 范数是一个将向量映射到非负实数的函数, 它满足三个基本公理:

正定性: $|\overrightarrow{a}| \ge 0$ , 且 $|\overrightarrow{a}|=0$ 当且仅当 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ .
齐次性: 对于任意实数 $\lambda$ , 有 $|\lambda\overrightarrow{a}| = |\lambda||\overrightarrow{a}|$ .
三角不等式: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| \le |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$ .

模不仅仅是一个“长度”的度量, 它是赋予一个纯代数空间以几何拓扑结构的根本工具. 有了模, 我们便可以定义向量之间的距离 ( $d(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$ ), 进而探讨收敛、极限与连续性等分析学概念. 因此, 模是连接代数与分析的桥梁.

\paragraph{相等} 两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 相等, 记作 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ , 当且仅当它们的模相等且方向相同. 这一看似平凡的定义, 实则蕴含了向量概念的核心抽象. 从我们对向量的构造性定义出发, $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ 的真正含义是: 向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 属于同一个等价类. 这意味着, 代表 $\overrightarrow{a}$ 的任意有向线段 $\overrightarrow{AB}$ , 与代表 $\overrightarrow{b}$ 的任意有向线段 $\overrightarrow{CD}$ , 都是相互等价的. 这种等价关系的确立, 使得向量摆脱了其几何代表的具体位置, 成为一个自由向量. 正是这种自由, 才使得我们可以将不同位置的向量进行平移、首尾相接或共起点放置, 从而为向量的代数运算(如加法)提供了理论上的合法性与可能性.

\paragraph{零向量} 模为 $0$ 的向量称为零向量, 记作 $\overrightarrow{0}$ . 它在几何上对应一个点, 其方向被规定为任意. 这一定义在代数结构中扮演着核心角色: 零向量是向量加法运算的单位元. 在任何一个代数群中, 单位元是那个与其他元素运算后不改变该元素的特殊元素. 对于向量空间, 这表现为对于任意向量 $\overrightarrow{a}$ , 恒有

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}

\paragraph{单位向量} 模为 $1$ 的向量称为单位向量. 如果说模是向量“大小”信息的载体, 那么单位向量就是“方向”信息的纯粹载体. 将一个非零向量 $\overrightarrow{a}$ 除以其模, 即 $\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{a}} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ , 这一过程被称为规范化. 规范化操作揭示了向量的一个基本结构分解: 任何非零向量 $\overrightarrow{a}$ 都可以唯一地表示为其模与它的单位向量的乘积:

\overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{a}}

这是一种向量的极分解, 类似于复数中的极坐标表示 $z=re^{i\theta}$ . 它将一个向量蕴含的两种信息，也就是大小与方向—进行了彻底的分离. 在诸多物理与工程应用中, 我们常常只关心一个过程的方向, 此时单位向量便成为描述该过程最简洁有力的工具. 所有单位向量的终点集合, 构成了向量空间中的单位球面 (在二维平面上即单位圆), 这是研究向量旋转等变换的一个基本几何舞台.

\paragraph{相反向量} 与向量 $\overrightarrow{a}$ 模相等但方向相反的向量, 称为 $\overrightarrow{a}$ 的相反向量, 记作 $-\overrightarrow{a}$ . 在代数结构中, 相反向量是向量加法运算的逆元. 对于群中的每一个元素, 都必须存在一个逆元, 使得该元素与逆元运算的结果是单位元. 对于向量空间, 这表现为对于任意向量 $\overrightarrow{a}$ , 恒有

\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}

相反向量的存在, 保证了向量加法群的完整性, 并由此自然地导出了向量减法的定义: 减去一个向量, 等价于加上它的相反向量. 没有相反向量, 就没有封闭的代数系统, 向量的线性运算也将无从谈起. 从几何上看, 若 $\overrightarrow{a}$ 的一个代表是 $\overrightarrow{AB}$ , 则 $-\overrightarrow{a}$ 的一个代表是 $\overrightarrow{BA}$ , 这直观地体现了其“逆反”的几何本质.

例

判断命题甲：“ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ ” 是命题乙：“ $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$ ” 的什么条件？

解

这是一个典型的考察向量基本概念的问题，关键在于区分向量相等与向量的模相等.

若 $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ , 这意味着向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的大小和方向完全相同. 既然大小相同，那么它们的模必然相等，即 $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$ . 因此，甲能够推出乙，甲是乙的充分条件.

反之, 若 $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$ ，这只说明两个向量的长度相等. 它们的方向可能不同.例如，令 $\overrightarrow{a}$ 是一个非零向量, 而 $\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{a}$ , 则 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$ , 但 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{b}$ . 因此，乙无法推出甲，甲不是乙的必要条件.

综上所述，“ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ ” 是 “ $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$ ” 的充分不必要条件.

向量加法

向量加法的几何动机源于对连续位移的描述. 想象一个质点从点 $A$ 移动到点 $B$ , 产生位移 $\overrightarrow{AB}$ ; 接着又从点 $B$ 移动到点 $C$ , 产生位移 $\overrightarrow{BC}$ . 整个过程的净效果是从起点 $A$ 直接到达终点 $C$ 的位移 $\overrightarrow{AC}$ . 这个“首尾相接, 连接始末”的直观过程, 被抽象为向量加法的基本法则.

向量加法的三角形法则

设 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 为任意两个向量. 取 $\overrightarrow{a}$ 的一个代表 $\overrightarrow{AB}$ , 并取 $\overrightarrow{b}$ 的一个以 $B$ 为起点的代表 $\overrightarrow{BC}$ . 则向量和 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 由有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所代表.

证明

此定理的深刻之处在于，它不仅提供了一个几何作图的方法，更重要的是，它作为一个定义，其结果必须是唯一且自洽的。即，向量和的最终结果不应依赖于我们最初为向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 选取的几何代表的位置。我们的任务是证明这一点，即证明向量加法是良定义的.

设 $\overrightarrow{AB}$ 是向量 $\overrightarrow{a}$ 的一个代表, $\overrightarrow{BC}$ 是向量 $\overrightarrow{b}$ 的一个代表. 根据定义, 它们的和 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 是由 $\overrightarrow{AC}$ 所代表的向量.

现在，我们在平面上另选一点 $A'$ , 并作 $\overrightarrow{A'B'}$ 作为 $\overrightarrow{a}$ 的另一个代表. 同样, 作 $\overrightarrow{B'C'}$ 作为 $\overrightarrow{b}$ 的另一个代表. 我们的目标是证明由这条新路径得到的和向量代表 $\overrightarrow{A'C'}$ 与原始的代表 $\overrightarrow{AC}$ 是等价的.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：向量加法定义的良定义性

根据向量相等的定义，有向线段等价于可通过平移重合. 因为 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{A'B'}$ 都是向量 $\overrightarrow{a}$ 的代表, 所以它们等价. 这意味着四边形 $ABB'A'$ 是一个平行四边形. 由平行四边形的性质, 我们得到 $\overrightarrow{AA'}$ 与 $\overrightarrow{BB'}$ 等价.

同理, 因为 $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{B'C'}$ 都是向量 $\overrightarrow{b}$ 的代表, 所以它们等价. 这意味着四边形 $BCC'B'$ 是一个平行四边形. 由此我们得到 $\overrightarrow{BB'}$ 与 $\overrightarrow{CC'}$ 等价.

接着, 利用向量等价关系的传递性: 既然 $\overrightarrow{AA'}$ 等价于 $\overrightarrow{BB'}$ , 且 $\overrightarrow{BB'}$ 等价于 $\overrightarrow{CC'}$ , 那么 $\overrightarrow{AA'}$ 必然等价于 $\overrightarrow{CC'}$ .

最后, $\overrightarrow{AA'}$ 与 $\overrightarrow{CC'}$ 等价, 这一结论的几何意义是四边形 $ACC'A'$ 是一个平行四边形. 根据平行四边形的性质, 其另一对对边也必然平行且等长, 即 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{A'C'}$ 等价.

这就证明了, 无论我们如何选取向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的代表, 最终得到的和向量的代表总是彼此等价的, 它们都属于同一个唯一的等价类. 因此, 向量加法的三角形法则是一个良定义的运算.

\begin{figure}[htbp]

$}{a} 和 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b} $}{b} 首尾相接, 其和为从 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{a} $}{a} 的起点到 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b} $}{b} 的终点的向量.} \end{figure} *图：三角形法则: 向量 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{a*

当两个向量的作用是同时发生而非依次进行时 (例如, 共同作用于一点的两个力), 平行四边形法则提供了更直观的几何图像.

向量加法的平行四边形法则

设两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 具有共同的起点 $O$ . 以它们的代表 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 为邻边作平行四边形 $OACB$ , 则从公共起点 $O$ 出发的对角线 $\overrightarrow{OC}$ 代表它们的和 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ .

事实上, 平行四边形法则与三角形法则是等价的. 在平行四边形 $OACB$ 中, $\overrightarrow{AC}$ 是向量 $\overrightarrow{b}$ 的一个等价代表. 于是, 在 $\triangle OAC$ 中应用三角形法则, 立即得到 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ .

向量加法如同实数加法一样, 满足以下运算律:

交换律: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
结合律: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

例

化简向量表达式： $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EB}$ .

解

注意到，前一个向量的终点恰好是后一个向量的起点，这形成了完美的“首尾相接”链条.

利用向量加法的结合律，分步进行：

\begin{aligned} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}) + \overrightarrow{EB} &= \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB} &= \overrightarrow{AB} \end{aligned}

因此，原表达式化简的结果为 $\overrightarrow{AB}$ . 对于一串首尾相接的向量之和，其最终结果就是从第一个向量的起点，直接指向最后一个向量的终点的向量.

例

在平行四边形 $ABCD$ 中, 点 $E, F$ 分别是边 $BC, DC$ 的中点.若 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ , 试用 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 表示向量 $\overrightarrow{AE}$ 和 $\overrightarrow{AF}$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

此问题要求我们将目标向量通过一条由已知基向量组成的路径来表示.

要表示 $\overrightarrow{AE}$ , 我们可以选择路径 $A \to B \to E$ . 根据三角形法则：

\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}

已知 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ . 关键在于表示 $\overrightarrow{BE}$ . 因为 $E$ 是 $BC$ 的中点, 所以 $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ . 在平行四边形 $ABCD$ 中, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ . 因此， $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ . 代入可得：

\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}

要表示 $\overrightarrow{AF}$ , 我们可以选择路径 $A \to D \to F$ . 根据三角形法则：

\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF}

已知 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ . 关键在于表示 $\overrightarrow{DF}$ . 因为 $F$ 是 $DC$ 的中点, 所以 $\overrightarrow{DF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$ . 在平行四边形 $ABCD$ 中, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ . 因此， $\overrightarrow{DF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$ . 代入可得：

\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{a}

例

已知两个非零向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}|=3, |\overrightarrow{b}|=5$ , 且它们的夹角为 $120^\circ$ . 求 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ 的值. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

求向量和的模长，是平行四边形法则的直接数量化应用. 设 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ . 以 $OA, OB$ 为邻边作平行四边形 $OACB$ . 根据平行四边形法则， $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \overrightarrow{OC}$ . 我们要求的 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ 就是对角线 $OC$ 的长度.

在 $\triangle OAC$ 中, 我们有 $OA=|\overrightarrow{a}|=3$ , $AC=OB=|\overrightarrow{b}|=5$ . 由于 $OB \parallel AC$ , 所以 $\angle OAC$ 与 $\angle AOB$ 互补. 即 $\angle OAC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ .

接着，在 $\triangle OAC$ 中应用余弦定理来求第三边 $OC$ 的长度：

\begin{aligned} |\overrightarrow{OC}|^2 &= |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AC}|\cos(\angle OAC) |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2 &= 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) &= 9 + 25 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 19 \end{aligned}

因此， $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| = \sqrt{19}$ .

例

设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内任意一点, $D, E, F$ 分别是边 $BC, CA, AB$ 的中点.求证： $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

这是一个关于中点和任意基点的普适性命题，证明的关键是将等式两边的向量都用以 $O$ 为起点的向量来表示.

我们从等式左边入手，逐一分解 $\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OF}$ . 根据中线模型，我们有 $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ . 同理， $\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$ , 以及 $\overrightarrow{OF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ .

接着，我们将这三个表达式相加：

\begin{aligned} \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) &= \frac{1}{2} (2\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}) &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \end{aligned}

等式左边等于等式右边，命题得证.

向量减法

如果说向量加法回答了“下一步去哪”的问题, 那么向量减法则回答了“如何从 B 到 A”的问题. 它描述了两个由同一起点出发的向量终点之间的相对位移.

向量减法

向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的差定义为 $\overrightarrow{a}$ 加上 $\overrightarrow{b}$ 的相反向量, 即

\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})

为了揭示其深刻的几何意义, 我们考虑共起点的向量 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ . 根据三角形法则, 我们有

\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}

移项可得

\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：向量减法的几何意义: (左) 共起点时, 差向量由减向量终点指向被减向量终点. (右) 其等价于加上相反向量.

这一结论极为重要: 两个共起点向量之差, 是连接它们终点的向量, 方向由减向量的终点指向被减向量的终点.

例

在四边形 $ABCD$ 中, 化简表达式 $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

在处理向量的加减混合运算时，关键一步是将减法转化为加法，即减去一个向量等于加上它的相反向量.

\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB}

接着我们利用向量加法的交换律来调整各项的顺序，使得它们“首尾相接”：

\begin{aligned} \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} &= (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{CB} &= \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} &= \overrightarrow{DB} \end{aligned}

因此，原表达式的化简结果为 $\overrightarrow{DB}$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 结论： 在 $\triangle ABC$ 中, 若 $D$ 是边 $BC$ 的中点，则有：

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AD}

证明

在 $\triangle ABD$ 中, 我们有 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}$ . 在 $\triangle ACD$ 中, 我们有 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$ . 将上述两式相加:

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} &= (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) &= 2\overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) \end{aligned}

因为 $D$ 是线段 $BC$ 的中点, 向量 $\overrightarrow{DB}$ 与 $\overrightarrow{DC}$ 是相反向量. 因此， $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ . 代入即得： $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AD}$ .

例

在 $\triangle ABC$ 中, 点 $D$ 在边 $BC$ 上, 且满足 $BD=2DC$ . 设 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$ , 试用 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 表示向量 $\overrightarrow{AD}$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

我们选择路径 $A \to B \to D$ . 根据向量加法法则：

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}

其中 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ 是已知的.我们只需用基向量表示 $\overrightarrow{BD}$ . 点 $D$ 在线段 $BC$ 上, 根据条件 $BD=2DC$ , 我们知道 $BD = \frac{2}{3} BC$ . 在向量形式下，这意味着 $\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ . 根据向量减法的几何意义：

\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}

将 $\overrightarrow{BC}$ 的表达式代入 $\overrightarrow{BD}$ ：

\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})

最后，将此结果代回到 $\overrightarrow{AD}$ 的表达式中：

\begin{aligned} \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) &= \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b} - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b} \end{aligned}

标量乘法

标量乘法定义了一个实数 $\lambda$ 与一个向量 $\overrightarrow{a}$ 之间的运算. 其结果 $\lambda\overrightarrow{a}$ 仍是一个向量, 几何上表示对原向量 $\overrightarrow{a}$ 进行沿其自身方向的“伸缩”或“反向”.

标量乘法

实数 $\lambda$ 与向量 $\overrightarrow{a}$ 的乘积 $\lambda\overrightarrow{a}$ 是一个向量, 满足:

模: $|\lambda\overrightarrow{a}| = |\lambda||\overrightarrow{a}|$ .
方向:

若 $\lambda \> 0$ , $\lambda\overrightarrow{a}$ 的方向与 $\overrightarrow{a}$ 相同.
若 $\lambda \< 0$ , $\lambda\overrightarrow{a}$ 的方向与 $\overrightarrow{a}$ 相反.
若 $\lambda = 0$ , $\lambda\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ .

\begin{figure}[htbp]

$}{a} 的作用.} \end{figure} *图：标量乘法对向量 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{a*

标量乘法与向量加法共同满足分配律, 这是将向量代数与实数代数联系起来的关键桥梁:

$\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = \lambda\overrightarrow{a} + \lambda\overrightarrow{b}$
$(\lambda+\mu)\overrightarrow{a} = \lambda\overrightarrow{a} + \mu\overrightarrow{a}$

这些线性运算共同构成了向量空间的基本结构, 是后续所有解析几何理论的代数基础.

探究向量的除法

在建立了向量的加、减、数乘以及两种乘积（数量积与向量积）之后，一个自然的问题浮现出来：我们能否定义向量的“除法”？要回答这个问题，我们必须首先回归到除法这一运算的根本意义.

在实数域中，除法是乘法的逆运算. “ $a$ 除以 $b$ ” ( $a/b$ ), 其本质是寻找一个唯一的数 $x$ ，使得

b \cdot x = a

若对于任意的 $a$ 和非零的 $b$ , 都能找到这样一个唯一的 $x$ ，我们就说这个代数系统中的除法是良定义的.

将这个思想模板套用到向量上，定义“向量 $\overrightarrow{a}$ 除以向量 $\overrightarrow{b}$ ”, 就意味着我们要寻找一个唯一的向量 $\overrightarrow{x}$ ，使得

\overrightarrow{b} \ \text{某种符号} \ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a}

其中某种符号代表一种向量乘法. 然而，我们已经知道向量的乘法有两种截然不同的形式：数量积 · 和向量积 × 这使得我们的探索必须兵分两路. 我们将分别审视这两种乘法，看它们是否允许一个良定义的逆运算.

我们首先尝试基于数量积来定义除法. 这要求我们求解方程：

\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a}

我们立刻遇到了一个无法逾越的障碍：类型不匹配. 方程的左侧, $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x}$ , 根据定义是一个标量 (一个实数). 而方程的右侧, $\overrightarrow{a}$ ，是一个向量. 一个标量永远不可能等于一个非零向量，这在根本上是矛盾的.

为了让探索继续，我们不妨调整一下问题：我们能否用一个标量 $k$ 来除以一个向量 $\overrightarrow{b}$ ？这对应于求解关于向量 $\overrightarrow{x}$ 的方程：

\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} = k

这个方程在代数类型上是自洽的. 它的几何意义是什么？根据数量积的几何解释, 这个方程要求向量 $\overrightarrow{x}$ 在向量 $\overrightarrow{b}$ 方向上的投影是一个固定的值. 设 $\overrightarrow{b}$ 的方向上的单位向量为 $\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{b}}$ , 则投影长度为

|\overrightarrow{x}|\cos\theta = \frac{k}{|\overrightarrow{b}|}

其中 $\theta$ 是 $\overrightarrow{b}$ 与 $\overrightarrow{x}$ 的夹角. \begin{figure}[htbp]

\cdot \overrightarrow{x} = k $}{b.x=k} 的解. 任何以 \texorpdfstring{$ O $}{O} 为起点, 终点落在垂直于 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b} $}{b} 的特定直线(或平面)上的向量 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{x} $}{x} 都是该方程的解.} \end{figure} *图：方程 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b*

如图所示, 所有满足条件的向量 $\overrightarrow{x}$ 的终点构成了一个垂直于 $\overrightarrow{b}$ 的直线 (在二维空间中) 或平面 (在三维空间中). 这意味着方程的解有无穷多个. 由于除法要求解是唯一的, 所以我们得出结论: 数量积不存在逆运算. 它在运算中“丢失”了关于 $\overrightarrow{x}$ 垂直于 $\overrightarrow{b}$ 的分量信息, 这种信息损失是不可逆的.

接着, 我们尝试基于向量积来定义除法. 这要求我们求解方程：

\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a}

这一次, 方程两边的类型是匹配的：向量积的结果是一个向量. 这看起来更有希望.

然而, 我们首先面临一个可解性的限制. 根据向量积的定义, 向量 $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}$ 必然同时垂直于 $\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{x}$ . 这意味着, 等式右边的向量 $\overrightarrow{a}$ 必须也垂直于 $\overrightarrow{b}$ , 即 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ . 如果 $\overrightarrow{a}$ 不垂直于 $\overrightarrow{b}$ , 那么这个方程根本没有解. 一个良定义的除法不应该只对极少数特殊情况有解.

即使我们满足了可解性条件 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ , 解的唯一性问题依然存在. 假设我们找到了一个解 $\overrightarrow{x}_0$ , 使得 $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}_0 = \overrightarrow{a}$ . 接着让我们构造一个新的向量 $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{x}_0 + \lambda\overrightarrow{b}$ , 其中 $\lambda$ 是任意实数. 我们来计算 $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}$ :

\begin{aligned} \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x} &= \overrightarrow{b} \times (\overrightarrow{x}_0 + \lambda\overrightarrow{b}) &= (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}_0) + (\overrightarrow{b} \times \lambda\overrightarrow{b}) (\text{向量积对加法满足分配律}) &= \overrightarrow{a} + \lambda(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) \end{aligned}

由于任何向量与自身的向量积都是零向量 ( $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ ), 上式变为:

\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}

这表明, 如果 $\overrightarrow{x}_0$ 是一个解, 那么所有形如 $\overrightarrow{x}_0 + \lambda\overrightarrow{b}$ 的向量都是解！ \begin{figure}[htbp]

\times \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} $}{b x x = a} 的解. 若 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{x}_0 $}{x0} 是一个解, 则所有终点在过 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{x}_0 $}{x0} 终点且平行于 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b} $}{b} 的直线上的向量都是解.} \end{figure} *图：方程 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b*

几何上, 所有的解向量的终点构成了一条平行于向量 $\overrightarrow{b}$ 的直线. 我们再次得到了无穷多个解. 其根源在于, 向量积运算存在零因子：两个非零向量的向量积可以是零向量 (当它们共线时). 这与实数乘法中“ $ab=0 \implies a=0 \text{ or } b=0$ ”的性质截然不同. 拥有零因子的代数结构通常都不支持除法.

我们已经看到, 无论基于数量积还是向量积, 都无法建立起一个良定义的向量除法. 其根本原因在于，两种乘法都是“多对一”的映射, 它们在运算过程中都不可避免地丢失了输入向量的某些信息, 使得逆向求解无法得到唯一的结果.且向量代数系统, 尤其是向量积, 包含零因子, 这从根本上破坏了除法所依赖的唯一性.

共线定理与平面向量基本定理

上述运算共同构成了向量的线性结构, 其核心是共线与线性组合的概念.

向量共线定理

向量 $\overrightarrow{a}$ ( $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$ ) 与向量 $\overrightarrow{b}$ 共线的充分必要条件是：存在唯一的实数 $\lambda$ ，使得

\overrightarrow{b} = \lambda \overrightarrow{a}

证明

必要性 (由共线 $\implies$ 存在 $\lambda$ ) 假设向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 共线, 且 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$ . 若 $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ , 取 $\lambda=0$ 即可. 若 $\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$ , 且与 $\overrightarrow{a}$ 方向相同, 则其单位向量相同, $\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ . 整理得 $\overrightarrow{b} = \frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|} \overrightarrow{a}$ . 令 $\lambda = \frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|} \> 0$ . 若与 $\overrightarrow{a}$ 方向相反, 则单位向量互为相反, $\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = -\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ . 整理得 $\overrightarrow{b} = -\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|} \overrightarrow{a}$ . 令 $\lambda = -\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|} \< 0$ .

充分性 (由存在 $\lambda \implies$ 共线) 假设存在实数 $\lambda$ , 使得 $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ . 根据向量数乘的定义, 向量 $\overrightarrow{b}$ 的方向或者与 $\overrightarrow{a}$ 相同 ( $\lambda\>0$ ), 或者相反 ( $\lambda\<0$ ), 或者是零向量 ( $\lambda=0$ ). 任何情况下, $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 均共线.

唯一性 假设存在 $\lambda_1 \ne \lambda_2$ 使得 $\overrightarrow{b} = \lambda_1 \overrightarrow{a}$ 且 $\overrightarrow{b} = \lambda_2 \overrightarrow{a}$ . 则 $\lambda_1 \overrightarrow{a} = \lambda_2 \overrightarrow{a}$ , 故 $(\lambda_1 - \lambda_2) \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ . 由于 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$ , 必有 $\lambda_1 - \lambda_2 = 0$ , 即 $\lambda_1 = \lambda_2$ . 这与假设矛盾.

例

判断命题 p：“存在实数 $k$ , 使得 $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$ ” 是命题 q：“向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 共线” 的什么条件？

解

本题旨在辨析向量共线的代数表示与其几何定义之间的细微差别，其陷阱在于对零向量的考虑.

若存在实数 $k$ 使得 $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$ , 根据数乘的几何意义, $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 必然共线. 所以，p 是 q 的充分条件.

反之，若向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 共线, 我们考虑反例：当 $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ 且 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$ 时. 根据定义，任何非零向量都与零向量共线，所以此时命题 q 为真. 然而，不存在任何实数 $k$ 能够使得一个非零向量 $\overrightarrow{a}$ 等于 $k\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$ . 即此时命题 p 为假.

由于我们找到了一个 q 为真而 p 为假的情况，所以 q 不能推出 p. p 不是 q 的必要条件. 综上所述，命题 p 是命题 q 的充分不必要条件.

此定理将几何上的“共线”关系, 完美地转化为代数上的“倍数”关系, 是进行向量论证和计算的基石.

平面向量基本定理

当我们将视野扩展到整个平面, 一个自然的问题是: 是否可以用少数几个“基本”向量, 通过线性运算来表示出平面内的所有向量?

平面向量基本定理

如果 $\overrightarrow{e_1}$ 和 $\overrightarrow{e_2}$ 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于该平面内的任意一个向量 $\overrightarrow{a}$ , 存在唯一的一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$ ，使得

\overrightarrow{a} = \lambda_1 \overrightarrow{e_1} + \lambda_2 \overrightarrow{e_2}

我们称不共线的向量 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 为表示该平面内所有向量的一组基底.

证明

存在性: 取诸向量共起点的代表 $\overrightarrow{OE_1}=\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{OE_2}=\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ . 过点 $A$ 作直线平行于 $OE_2$ , 交直线 $OE_1$ 于 $A_1$ ; 再过点 $A$ 作直线平行于 $OE_1$ , 交直线 $OE_2$ 于 $A_2$ .

由平行四边形法则, $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}$. 由于 $\overrightarrow{OA_1}$ 与 $\overrightarrow{e_1}$ 共线, 故存在 $\lambda_1$ 使 $\overrightarrow{OA_1}=\lambda_1\overrightarrow{e_1}$. 同理存在 $\lambda_2$ 使 $\overrightarrow{OA_2}=\lambda_2\overrightarrow{e_2}$. 故 $\overrightarrow{a}=\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}$.

唯一性: 假设另有一对实数 $(\mu_1, \mu_2)$ 满足要求. 则 $\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2} = \mu_1\overrightarrow{e_1}+\mu_2\overrightarrow{e_2}$ , 整理得 $(\lambda_1-\mu_1)\overrightarrow{e_1} = (\mu_2-\lambda_2)\overrightarrow{e_2}$ . 由于 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 不共线, 此等式成立的唯一可能是系数均为零, 即 $\lambda_1=\mu_1$ 且 $\lambda_2=\mu_2$ .

这一定理的重大意义在于, 它为平面内的所有向量建立了一个“坐标系”. 任何向量都可以在这个坐标系下被唯一地分解.

例

在 $\triangle ABC$ 中, 点 $M$ 在边 $BC$ 上, 满足 $BM:MC = 1:2$ . 点 $N$ 在边 $AC$ 上, 满足 $AN:NC = 3:1$ . 线段 $AM$ 与 $BN$ 交于点 $P$ . 求 $AP:PM$ 的值.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

此题是关于共线和交点问题的经典模型，其核心思想是：对于同一个向量，其在同一组基底下的表示是唯一的.

我们选择点 $A$ 作为原点, 并以 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$ 作为基向量. 由于 $A, P, M$ 三点共线, 向量 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AM}$ 共线.因此存在实数 $\lambda$ , 使得 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AM}$ . 根据定比分点公式， $\overrightarrow{AM} = \frac{2\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AC}}{1+2} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}$ . 代入可得 $\overrightarrow{AP}$ 的第一个表达式：

\overrightarrow{AP} = \lambda \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}\right) = \frac{2\lambda}{3}\overrightarrow{b} + \frac{\lambda}{3}\overrightarrow{c} \cdots\cdots (1)

由于 $B, P, N$ 三点共线, 向量 $\overrightarrow{BP}$ 与 $\overrightarrow{BN}$ 共线.因此存在实数 $\mu$ , 使得 $\overrightarrow{BP} = \mu \overrightarrow{BN}$ . 利用向量减法， $\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = \mu (\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB})$ . 整理得到 $\overrightarrow{AP} = (1-\mu)\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AN}$ . 已知 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$ , 且 $\overrightarrow{AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{c}$ . 代入得到 $\overrightarrow{AP}$ 的第二个表达式：

\overrightarrow{AP} = (1-\mu)\overrightarrow{b} + \frac{3\mu}{4}\overrightarrow{c} \cdots\cdots (2)

根据平面向量基本定理， $\overrightarrow{AP}$ 由基底 $\{\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\}$ 的表示是唯一的. 比较表达式 (1) 和 (2) 中 $\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 的系数，它们必须分别相等：

\begin{cases} \frac{2\lambda}{3} = 1-\mu \\ \frac{\lambda}{3} = \frac{3\mu}{4} \end{cases}

这是一个关于 $\lambda, \mu$ 的二元一次方程组.解得 $\lambda = \frac{9}{10}$ .

$\overrightarrow{AP} = \frac{9}{10} \overrightarrow{AM}$ 意味着 $AP = \frac{9}{10} AM$ . 因此 $PM = \frac{1}{10}AM$ , 故 $AP:PM = 9:1$ .

向量的坐标表示

为了计算的方便，我们通常选择一组最特殊的基底：在直角坐标系中，分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴正方向相同, 且长度为1的单位向量, 记作 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

根据平面向量基本定理，任何向量 $\overrightarrow{a}$ 都可以唯一地表示为 $\overrightarrow{a} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$ . 我们便将这对唯一的实数 $(x,y)$ 称为向量 $\overrightarrow{a}$ 的坐标，记作

\overrightarrow{a} = (x,y)

向量的运算也就相应地转化为其坐标的运算.

向量的坐标运算

设 $\overrightarrow{a}=(x_1, y_1), \overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$ ，则：

加法： $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2)$
减法： $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1-x_2, y_1-y_2)$
数乘： $k\overrightarrow{a} = (kx_1, ky_1)$
模： $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

证明

这些运算规则是向量代数与解析几何之间的核心桥梁. 其证明的基石在于平面向量基本定理, 即任何一个向量都可以唯一地表示为一组基向量的线性组合. 在我们所选取的标准笛卡尔坐标系中, 这组基底是相互正交的单位向量 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ .

设 $\overrightarrow{a}=(x_1, y_1)$ 和 $\overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$ . 根据坐标的定义, 这等价于

\overrightarrow{a} = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j} \text{以及} \overrightarrow{b} = x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}

\paragraph{加法} 我们从向量加法的抽象定义出发, 利用向量运算的代数性质进行推导.

\begin{aligned} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} &= (x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}) + (x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}) &= (x_1\overrightarrow{i} + x_2\overrightarrow{i}) + (y_1\overrightarrow{j} + y_2\overrightarrow{j}) && (\text{向量加法的交换律与结合律}) &= (x_1 + x_2)\overrightarrow{i} + (y_1 + y_2)\overrightarrow{j} && (\text{标量乘法对加法的分配律}) \end{aligned}

根据平面向量基本定理的唯一性, 向量和 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 在基底 $\{\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\}$ 下的坐标是唯一的, 即 $(x_1+x_2, y_1+y_2)$ .

\paragraph{减法} 同理, 向量减法可以看作是加上一个相反向量.

\begin{aligned} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} &= (x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}) - (x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}) &= (x_1\overrightarrow{i} - x_2\overrightarrow{i}) + (y_1\overrightarrow{j} - y_2\overrightarrow{j}) &= (x_1 - x_2)\overrightarrow{i} + (y_1 - y_2)\overrightarrow{j} \end{aligned}

因此, 差向量 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 的坐标为 $(x_1-x_2, y_1-y_2)$ .

\paragraph{数乘} 设 $k \in \mathbb{R}$ 为一个标量.

\begin{aligned} k\overrightarrow{a} &= k(x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}) &= k(x_1\overrightarrow{i}) + k(y_1\overrightarrow{j}) && (\text{标量乘法对向量加法的分配律}) &= (kx_1)\overrightarrow{i} + (ky_1)\overrightarrow{j} && (\text{标量乘法的结合律}) \end{aligned}

因此, 向量 $k\overrightarrow{a}$ 的坐标为 $(kx_1, ky_1)$ .

\paragraph{模} 向量 $\overrightarrow{a}$ 的模是其几何长度. 向量 $\overrightarrow{a} = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}$ 可以看作是两个向量 $x_1\overrightarrow{i}$ 和 $y_1\overrightarrow{j}$ 的和. 向量 $x_1\overrightarrow{i}$ 位于 $x$ 轴上, 其长度为 $|x_1\overrightarrow{i}| = |x_1||\overrightarrow{i}| = |x_1|$ . 向量 $y_1\overrightarrow{j}$ 位于 $y$ 轴上, 其长度为 $|y_1\overrightarrow{j}| = |y_1||\overrightarrow{j}| = |y_1|$ . 由于基向量 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 相互垂直, 这两个分量向量也相互垂直.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

根据向量加法的平行四边形法则 (在此处退化为矩形), 向量 $\overrightarrow{a}$ 是以 $x_1\overrightarrow{i}$ 和 $y_1\overrightarrow{j}$ 为邻边的矩形的对角线. 根据勾股定理, 该对角线的长度 (即 $\overrightarrow{a}$ 的模) 为:

|\overrightarrow{a}|^2 = |x_1\overrightarrow{i}|^2 + |y_1\overrightarrow{j}|^2 = x_1^2 + y_1^2

因此, $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ .

一个极其重要的结论是：如果两点坐标为 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ , 那么由 A 指向 B 的向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标为

\overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1)

即“终点坐标减去起点坐标”.

例

已知点 $A(-1, 2), B(2, 1), C(3, 4)$ , 求向量 $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$ 的坐标及其模.

解

首先，我们根据“终点减起点”法则求出基准向量的坐标.

\overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 1 - 2) = (3, -1)

\overrightarrow{BC} = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)

接下来，进行向量的线性运算.

\begin{aligned} \overrightarrow{u} &= 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = 2(3, -1) - (1, 3) &= (6, -2) - (1, 3) = (5, -5) \end{aligned}

最后，求出向量 $\overrightarrow{u}$ 的模.

|\overrightarrow{u}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

例

平面内向量 $\overrightarrow{OA}=(1, 7), \overrightarrow{OB}=(5, 1), \overrightarrow{OP}=(2, 1)$ . 点 $X$ 为直线 $OP$ 上的一个动点.

\item[(1)] 当 $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}$ 取最小值时, 求 $\overrightarrow{OX}$ 的坐标; \item[(2)] 当点 $X$ 满足 (1) 的条件和结论时, 求 $\cos\angle AXB$ 的值.

{/* latex-label: fig:vector-geometry */} \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：向量关系几何示意图

解

(1) 我们首先对目标数量积 $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}$ 进行几何转化. 引入线段 $AB$ 的中点 $M$ . 则 $\overrightarrow{XA} = \overrightarrow{XM} + \overrightarrow{MA}$ , 且 $\overrightarrow{XB} = \overrightarrow{XM} + \overrightarrow{MB}$ . 由于 $M$ 是中点, $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MA}$ . 代入数量积表达式:

\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB} = (\overrightarrow{XM} + \overrightarrow{MA}) \cdot (\overrightarrow{XM} - \overrightarrow{MA}) = |\overrightarrow{XM}|^2 - |\overrightarrow{MA}|^2

注意到, 点 $A, B$ 是定点, 故中点 $M$ 和线段长 $|\overrightarrow{MA}|$ 均为定值. 因此, 欲使 $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}$ 取得最小值, 等价于使 $|\overrightarrow{XM}|^2$ 取得最小值, 这也等价于使点 $X$ 到定点 $M$ 的距离 $|\overrightarrow{XM}|$ 最小.

点 $X$ 是直线 $OP$ 上的动点, 故此问题转化为寻找直线上一点 $X$ , 使其到直线外一点 $M$ 的距离最短. 根据平面几何的基本定理, 这个最短距离在 $X$ 为 $M$ 在直线 $OP$ 上的正交投影点时取得. 此时, 向量 $\overrightarrow{MX}$ 必须与直线 $OP$ 的方向向量 $\overrightarrow{OP}$ 垂直.

首先, 计算中点 $M$ 的坐标:

\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) = \frac{1}{2}((1,7)+(5,1)) = \frac{1}{2}(6,8) = (3,4)

由于点 $X$ 在直线 $OP$ 上, 存在唯一的实数 $t$ , 使得 $\overrightarrow{OX} = t\overrightarrow{OP} = t(2,1) = (2t, t)$ . 向量 $\overrightarrow{MX}$ 可以表示为:

\overrightarrow{MX} = \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OM} = (2t, t) - (3,4) = (2t-3, t-4)

施加垂直条件 $\overrightarrow{MX} \cdot \overrightarrow{OP} = 0$ :

(2t-3, t-4) \cdot (2,1) = 0

2(2t-3) + 1(t-4) = 0 \implies 4t-6+t-4=0 \implies 5t=10 \implies t=2

当 $t=2$ 时, $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}$ 取得最小值. 此时, $\overrightarrow{OX}$ 的坐标为:

\overrightarrow{OX} = 2\overrightarrow{OP} = 2(2,1) = (4,2)

(2) 根据 (1) 的结论, 我们取点 $X$ 的坐标为 $(4,2)$ . 我们的任务是计算 $\cos\angle AXB$ . 根据数量积的夹角公式:

\cos\angle AXB = \frac{\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}}{|\overrightarrow{XA}| |\overrightarrow{XB}|}

我们首先计算分子和分母所需的各个向量与模长.

\overrightarrow{XA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OX} = (1,7) - (4,2) = (-3, 5)

\overrightarrow{XB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OX} = (5,1) - (4,2) = (1, -1)

接着计算数量积:

\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB} = (-3)(1) + (5)(-1) = -3-5 = -8

计算模长:

|\overrightarrow{XA}| = \sqrt{(-3)^2+5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}

|\overrightarrow{XB}| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}

最后, 将这些值代入夹角公式:

\cos\angle AXB = \frac{-8}{\sqrt{34}\sqrt{2}} = \frac{-8}{\sqrt{68}} = \frac{-8}{2\sqrt{17}} = -\frac{4}{\sqrt{17}} = -\frac{4\sqrt{17}}{17}

平面向量的数量积

我们已经定义了向量的加、减、数乘运算，其结果仍然是向量. 接着，一个自然的问题是：两个向量能否“相乘”？如果可以，乘积是什么？是向量还是标量？物理学给了我们深刻的启示. 当一个力 $F$ 作用于一个物体, 使其产生位移 $s$ 时, 力所做的功 $W$ 是一个标量, 它的大小不仅与力的大小、位移的大小有关, 还与它们之间的夹角有关. 具体来说, $W = |\overrightarrow{F}||\overrightarrow{s}|\cos\theta$ . 这个例子启发我们定义一种新的向量乘法，其结果是一个标量，故称其为数量积，又因其符号形如点，也称为点积.

数量积的定义与几何意义

数量积

已知两个非零向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ , 它们的夹角为 $\theta$ . 我们定义它们的数量积为一个标量：

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos\theta

如果其中一个向量为零向量，则数量积为0.

数量积 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 的几何意义是：向量 $\overrightarrow{a}$ 的模 $|\overrightarrow{a}|$ 与向量 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 方向上的投影 $|\overrightarrow{b}|\cos\theta$ 的乘积. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

数量积的性质与坐标表示

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2$ 或 $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}$ .
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ (交换律).
$(\lambda\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = \lambda(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$ .
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$ (分配律).

垂直的判定

判断两个非零向量是否垂直，是数量积最重要的应用之一.

\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \iff \theta = 90^\circ \iff \cos\theta = 0 \iff \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0

设基向量 $\overrightarrow{i}=(1,0), \overrightarrow{j}=(0,1)$ . 显然 $|\overrightarrow{i}|=|\overrightarrow{j}|=1, \overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=0$ . 对于 $\overrightarrow{a}=(x_1, y_1) = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}$ 和 $\overrightarrow{b}=(x_2, y_2) = x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}$ ，我们有：

\begin{aligned} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} &= (x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}) \cdot (x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}) &= x_1x_2(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{i}) + x_1y_2(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}) + y_1x_2(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{i}) + y_1y_2(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{j}) &= x_1x_2(1) + x_1y_2(0) + y_1x_2(0) + y_1y_2(1) &= x_1x_2 + y_1y_2 \end{aligned}

我们得到了数量积的坐标计算公式：

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2

由此，我们可以推导出坐标形式下的模长和夹角公式：

模长： $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
夹角： $\cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

例

已知向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}|=2, |\overrightarrow{b}|=3$ , 且它们的数量积 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3$ . 求向量差 $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ 的模 $|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$ .

解

处理向量模的问题，一个有力的代数工具是利用公式 $|\overrightarrow{v}|^2 = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$ . 我们将此方法应用于向量 $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ ：

\begin{aligned} |\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2 &= (\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}) &= \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{b}) - (2\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{a} + (2\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{b}) &= |\overrightarrow{a}|^2 - 2(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}) &= |\overrightarrow{a}|^2 - 4(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}) + 4|\overrightarrow{b}|^2 \end{aligned}

接着，我们将题目给出的所有已知值代入上式：

\begin{aligned} |\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2 &= (2)^2 - 4(-3) + 4(3)^2 &= 4 + 12 + 4(9) = 52 \end{aligned}

因此，所求的模为 $|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ .

走路法

向量加法的三角形法则 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ 是向量代数中最基本的运算之一, 它在几何上直观地表现为一个连续的位移过程. 这种“首尾相接, 连接始末”的构造, 我们称之为走路法. 它的深刻意义在于, 它为我们将复杂的几何路径问题转化为一系列有序的代数运算提供了最直接的途径. 任何一个从点 $P_1$ 到点 $P_n$ 的路径, 无论多么曲折, 都可以被分解为向量之和 $\overrightarrow{P_1P_2} + \overrightarrow{P_2P_3} + ... + \overrightarrow{P_{n-1}P_n} = \overrightarrow{P_1P_n}$ .

这种方法的力量在于其系统性与普适性. 它将对图形空间位置关系的直观依赖, 转化为对向量代数法则的严格运用. 相较于综合几何学中常常需要依赖辅助线构造和灵感的解题模式, 向量走路法提供了一种更为程序化的解决思路: 建立向量关系, 进行代数演算, 直至获得最终的几何结论. 诚然, 任何有效的方法都包含其独特的技巧, 例如参考点的巧妙选取, 但其核心优势在于, 它用极少的公理和运算规则, 便能构建起解决大量几何问题的统一框架.

例

在 $\triangle ABC$ 中, 高线 $AD$ 与 $BE$ 相交于点 $F$ . 求证: $CF \perp AB$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

此为欧几里得几何中关于三角形高线交于一点 (垂心) 的经典论断..

欲将此几何问题转化为向量的语言, 我们必须首先将垂直关系代数化. 向量 $\overrightarrow{u}$ 与 $\overrightarrow{v}$ 相互垂直的充要条件是它们的数量积为零, 即 $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ .

接着是证明策略的核心, 即选择一个恰当的参考点作为位置向量的原点. 一个能够极大简化代数结构的选择, 是将原点置于两条已知高线的交点 $F$ 处.

令点 $F$ 为原点. 于是, 诸顶点 $A, B, C$ 的位置向量即为 $\overrightarrow{FA}, \overrightarrow{FB}, \overrightarrow{FC}$ . 为简洁起见, 我们分别记为 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ .

现在, 我们将题设条件逐一翻译为向量方程. 注意到高线 $AD$ 所在的直线通过原点 $F$ , 故向量 $\overrightarrow{a}$ 的方向与高线 $AD$ 的方向共线. 因此, 条件 $AD \perp BC$ 等价于向量 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{BC}$ 正交. 向量 $\overrightarrow{BC}$ 可由“走路法”得到, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FC} - \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$ . 于是, 第一个条件转化为:

\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) = 0

依完全相同的理路, 高线 $BE$ 所在的直线通过原点 $F$ , 故向量 $\overrightarrow{b}$ 的方向与高线 $BE$ 的方向共线. 条件 $BE \perp AC$ 等价于向量 $\overrightarrow{b}$ 与向量 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$ 正交. 第二个条件转化为:

\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) = 0

我们的目标是证明 $CF \perp AB$ . 在我们选定的参考系中, 这等价于证明向量 $\overrightarrow{c}$ 与向量 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ 正交.

接着, 我们对已有的两个数量积方程进行展开. 由第一个方程, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ , 导出

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}

由第二个方程, $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = 0$ , 导出

\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}

根据数量积的交换律, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ . 比较上述两式, 我们立即得到一个关键的传递关系:

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}

这个关系正是我们完成证明所需要的. 考察我们欲证明的目标数量积:

\overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}

再次利用交换律, 此表达式等价于 $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ . 根据我们推导出的关键关系, 此差值为零.

因此, $\overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = 0$ , 这在几何上意味着 $CF \perp AB$ . 证明完毕. 此证明过程未涉及任何坐标计算, 亦未添加任何辅助线, 纯粹通过向量的代数运算揭示了问题的内在结构, 体现了向量方法的抽象性与力量.

例

如图, 在正方形 $ABCD$ 中, $E$ 是 $AB$ 中点, $3BF = FC$ , 求证: $DE \perp EF$ .

证明

此题涉及中点与定比分点, 这类条件在向量代数中具有简洁的表述, 并且正方形的垂直与等长边为向量运算提供了绝佳的代数性质. 因此, 我们采用走路法证明.

走路法的精髓在于, 选取一个合适的基点作为原点, 并以从该点出发的向量为基本元素来表示图中的其他所有向量, 从而将几何问题转化为代数问题. 我们以点 $A$ 为原点, 令基向量为 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}$ 和 $\overrightarrow{AD} = \mathbf{d}$ .

由于 $ABCD$ 是正方形, 这两个基向量的长度相等, 且相互垂直. 这一几何性质反映在代数上, 即

|\mathbf{b}| = |\mathbf{d}|, \text{且} \mathbf{b} \cdot \mathbf{d} = 0.

接着, 我们用基向量表示图中相关点的向量. 这好比从原点 $A$ “走”到目标点. 点 $D$ 的位置向量即为 $\overrightarrow{AD} = \mathbf{d}$ . 点 $E$ 是 $AB$ 的中点, 故其位置向量为 $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{b}$ . 点 $F$ 在边 $BC$ 上, 由 $3BF=FC$ 知, $F$ 是 $BC$ 的一个四等分点, 且 $BF = \frac{1}{4}BC$ . 注意到 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} = \mathbf{d}$ . 于是, $\overrightarrow{BF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{4}\mathbf{d}$ . 从 $A$ 到 $F$ 的路径可以分解为先到 $B$ 再到 $F$ , 故

\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{d}.

现在我们构造待证垂直的两个线段所对应的向量 $\overrightarrow{DE}$ 与 $\overrightarrow{EF}$ .

\begin{aligned} \overrightarrow{DE} &= \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{b} - \mathbf{d}, \overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \left(\mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{d}\right) - \frac{1}{2}\mathbf{b} = \frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{d}. \end{aligned}

为了证明 $DE \perp EF$ , 我们只需验证其方向向量的数量积为零. 计算数量积:

\begin{aligned} \overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{EF} &= \left(\frac{1}{2}\mathbf{b} - \mathbf{d}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{d}\right) &= \frac{1}{4}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) + \frac{1}{8}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - \frac{1}{2}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{b}) - \frac{1}{4}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}) &= \frac{1}{4}|\mathbf{b}|^2 + \frac{1}{8}(0) - \frac{1}{2}(0) - \frac{1}{4}|\mathbf{d}|^2. \end{aligned}

利用 $|\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{d}|^2$ 这一性质, 上式的结果为

\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{EF} = \frac{1}{4}|\mathbf{b}|^2 - \frac{1}{4}|\mathbf{b}|^2 = 0.

数量积为零, 这表明向量 $\overrightarrow{DE}$ 与 $\overrightarrow{EF}$ 相互正交, 故线段 $DE$ 与 $EF$ 垂直.

例

如图, 以 $\triangle ABC$ 的 $AB$ 和 $BC$ 边分别向外作等边 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCE$ , 且 $AB \perp BC$ . 求证: $BE \perp AD$ .

证明

此题的条件涉及在三角形边上构建新的几何图形, 且包含旋转与垂直关系, 这正是向量法展现其优势的领域. 向量的代数运算能够优雅地处理旋转与投影.

关键在于选择合适的原点与基向量. 点 $B$ 是两个等边三角形的公共顶点, 且是垂直关系 $AB \perp BC$ 的交点, 因此以点 $B$ 为原点进行向量分析最为便捷. 我们令基向量为 $\overrightarrow{BA} = \mathbf{a}$ 和 $\overrightarrow{BC} = \mathbf{c}$ .

根据题设, $AB \perp BC$, 这意味着基向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{c}$ 相互垂直. 其代数体现为它们的数量积为零:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0.

我们要证明 $BE \perp AD$ , 这等价于证明 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ . 为此, 我们需要用基向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{c}$ 表示出 $\overrightarrow{BE}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ .

向量 $\overrightarrow{BE}$ 是由向量 $\overrightarrow{BC}=\mathbf{c}$ 绕点 $B$ 向外 (顺时针) 旋转 $60^\circ$ 得到的. 向量 $\overrightarrow{BD}$ 是由向量 $\overrightarrow{BA}=\mathbf{a}$ 绕点 $B$ 向外 (逆时针) 旋转 $60^\circ$ 得到的. 接着, 我们表示目标向量: 向量 $\overrightarrow{BE}$ 已由上述旋转定义. 向量 $\overrightarrow{AD}$ 可以通过“走路”得到: 从 $A$ 到 $D$ 等价于从 $A$ 先回到 $B$ , 再从 $B$ 走到 $D$ . 故

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD} = -\mathbf{a} + \overrightarrow{BD}.

现在, 我们来计算数量积 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AD}$ :

\begin{aligned} \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{BE} \cdot (-\mathbf{a} + \overrightarrow{BD}) &= \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BE} \cdot \mathbf{a}. \end{aligned}

我们利用数量积的几何定义 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x}||\mathbf{y}|\cos\theta$ 来计算右侧的两项. 对于 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BD}$ : $|\overrightarrow{BE}| = |\overrightarrow{BC}| = |\mathbf{c}|$ , 且 $|\overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{BA}| = |\mathbf{a}|$ . 向量 $\overrightarrow{BD}$ 由 $\mathbf{a}$ 逆时针旋转 $60^\circ$ 得到, 向量 $\overrightarrow{BE}$ 由 $\mathbf{c}$ 顺时针旋转 $60^\circ$ 得到. 由于 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{c}$ 的夹角为 $90^\circ$ , 那么 $\overrightarrow{BD}$ 与 $\overrightarrow{BE}$ 之间的夹角为 $60^\circ + 90^\circ + 60^\circ = 210^\circ$ . 不过, 在计算数量积时, 通常取不超过 $180^\circ$ 的夹角, 即 $360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$ . 因此

\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BD} = |\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{BD}|\cos(150^\circ) = |\mathbf{c}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ).

对于 $\overrightarrow{BE} \cdot \mathbf{a}$ : $|\overrightarrow{BE}| = |\mathbf{c}|$ , $|\mathbf{a}|$ 为已知. 向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{c}$ 的夹角为 $90^\circ$ . 向量 $\overrightarrow{BE}$ 由 $\mathbf{c}$ 顺时针旋转 $60^\circ$ 得到, 因此 $\overrightarrow{BE}$ 与 $\mathbf{a}$ 的夹角为 $90^\circ+60^\circ=150^\circ$ . 所以

\overrightarrow{BE} \cdot \mathbf{a} = |\overrightarrow{BE}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ) = |\mathbf{c}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ).

将以上两式代入数量积的表达式中, 我们得到

\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AD} = |\mathbf{c}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ) - |\mathbf{c}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ) = 0.

数量积为零, 结论得以证明. 故 $BE \perp AD$ .

前面两个范例展示了处理平面几何问题的一种强有力的代数化思想, 即向量法, 或称“走路法”. 其核心在于将几何图形的性质与关系, 转化为向量空间的代数运算. 这种方法的实施步骤, 蕴含着一种清晰的逻辑流.

向量法的首要步骤在于建立分析的框架. 这包括:

选取基点: 在图形中选择一个合适的点作为原点. 通常, 这个点是图形的特殊点, 例如顶点, 中点, 或是多条重要线段的交点. 一个好的基点可以极大地简化后续的向量表示.
定义基向量: 从基点出发, 选取一至两个线性无关的向量作为基向量. 在平面问题中, 通常是两个不共线的向量. 在正方形或矩形中, 沿两条邻边方向的向量是自然的选择; 在一般三角形中, 沿两条边的向量亦是如此.

这个框架一旦建立, 图形中的任何一个点的位置, 都可以由从基点出发的一个唯一的位置向量来描述; 任何一个有向线段, 都可以表示为基向量的线性组合.

在此基础上, 第二步是翻译几何条件. 将题设中所有的几何关系, 如长度、中点、定比分点、平行、垂直等, 转化为向量的代数语言. 这一步是向量法成功的关键.

长度关系与角度关系, 通常与向量的模和数量积相关. 例如, $AB \perp BC$ 意味着 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ .
点 $M$ 是线段 $AB$ 的中点, 则 $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ .
点 $P$ 在直线 $AB$ 上, 且 $AP:PB = \lambda : \mu$ , 则 $\overrightarrow{OP} = \frac{\mu\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}}{\lambda+\mu}$ .

通过这种方式, 整个几何问题被“翻译”成了一个关于基向量的代数问题.

接着, 我们的目标是构造并计算目标向量. 将待证的几何关系 (例如 $DE \perp EF$ ) 同样用向量语言表达出来 (即 $\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{EF} = 0$ ). 然后, 利用向量的加减法法则 (即“走路法则”, 如 $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OD}$ ) 将这些目标向量用基向量表示出来.

最后的最后，只需通过纯粹的代数运算, 结合基向量自身的性质 (例如它们的模长关系和数量积), 对目标表达式进行化简并验证是否符合要证明的即可.

极化恒等式

在向量的代数体系中, 数量积是核心概念之一, 它将向量的几何关系 (如夹角) 与代数运算联系起来. 数量积的几何定义 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = ||\mathbf{u}|| \cdot ||\mathbf{v}|| \cos\theta$ 依赖于夹角 $\theta$ . 但在许多几何问题中, 角度是未知的, 我们更易获知的是线段的长度, 即向量的模.

一个自然的问题是: 我们能否仅通过模长来表达数量积? 答案是肯定的. 极化恒等式正是建立数量积与向量模长之间直接桥梁的关键定理.

我们考虑向量和的模长平方 $||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2$ . 根据模的定义, 它等于向量自身的数量积:

||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 = (\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})

利用数量积的分配律展开上式, 我们得到

(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{u} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}

注意到 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{u} = ||\mathbf{u}||^2$ 且数量积满足交换律 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}$ , 上式可化为

||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 + 2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})

移项整理, 我们便得到了数量积的一种表达形式. 这个思想可以推广并总结为如下的命题.

极化恒等式

对于任意两个向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ , 其数量积可以通过向量的模长表示:

\begin{aligned} \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} &= \frac{1}{2} \left( ||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 - ||\mathbf{u}||^2 - ||\mathbf{v}||^2 \right) \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} &= \frac{1}{4} \left( ||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 - ||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 \right) \end{aligned}

第一种形式我们已经推导得出. 第二种形式更具对称性, 其推导过程也颇具启发性. 我们已有

||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 + 2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) (1)

同理, 计算 $||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2$ :

\begin{aligned} ||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 &= (\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{v}) &= ||\mathbf{u}||^2 - 2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) + ||\mathbf{v}||^2 (2) \end{aligned}

将 (1) 式与 (2) 式相减, 即可消去模长平方项, 得到

||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 - ||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 = 4(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})

整理后即得恒等式的第二种形式.

此恒等式具有深刻的几何意义. 我们重写式 (2) 可得:

||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 - 2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})

若以 $\mathbf{u}=\overrightarrow{OA}$ 和 $\mathbf{v}=\overrightarrow{OB}$ 为邻边构成三角形, 则第三边即为向量 $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} = \mathbf{u}-\mathbf{v}$ .

令 $\theta$ 为 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的夹角, 代入数量积的几何定义 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = ||\mathbf{u}|| ||\mathbf{v}|| \cos\theta$, 上式即变为

||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 - 2||\mathbf{u}|| ||\mathbf{v}||\cos\theta

这正是三角形中的余弦定理. 因此, 极化恒等式可以被视为余弦定理的向量形式, 它将几何中的长度与角度关系完美地融入了向量代数的框架之中. 当一个问题只涉及边长而不涉及角度时, 此恒等式是计算数量积, 进而判断垂直关系的不二之选.

例

设有两个向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ , 满足 $||\mathbf{a}+\mathbf{b}|| = \sqrt{10}$ 及 $||\mathbf{a}-\mathbf{b}|| = \sqrt{6}$ , 求数量积 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ 的值.

解

此问题直接给出了向量和与差的模长, 而要求它们的数量积, 这正是极化恒等式应用的典型情景. 我们采用极化恒等式的第二种形式:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{4} \left( ||\mathbf{a}+\mathbf{b}||^2 - ||\mathbf{a}-\mathbf{b}||^2 \right)

将题设中的已知值代入上式:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{4} \left( (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2 \right)

进行简单的代数计算:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{4} (10 - 6) = \frac{1}{4}(4) = 1.

因此, 这两个向量的数量积为 $1$ . 这个例子清晰地展示了极化恒等式如何绕开角度, 直接从长度信息中提取出数量积.

例

设 $\triangle ABC$ , $P_0$ 是边 $AB$ 上一定点, 满足 $P_0B = \frac{1}{4}AB$ . 若对于边 $AB$ 上任意一点 $P$ , 恒有不等式 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} \ge \overrightarrow{P_0B} \cdot \overrightarrow{P_0C}$ 成立, 试确定 $\triangle ABC$ 必须满足的几何条件.

解

该命题的条件是一个关于动点 $P$ 的向量不等式. 其核心是表达式 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}$ 在点 $P=P_0$ 处取得最小值. 这种涉及最值的问题, 提示我们可以将该表达式构造成一个函数, 并利用函数的性质来求解.

我们以点 $B$ 为基点, 设 $\overrightarrow{BA} = \mathbf{a}$ 和 $\overrightarrow{BC} = \mathbf{c}$ .

点 $P$ 在线段 $AB$ 上, 它的位置可以用参数 $\lambda$ 描述. 令 $\overrightarrow{BP} = \lambda \overrightarrow{BA} = \lambda \mathbf{a}$, 其中 $\lambda \in [0, 1]$. 于是, 向量 $\overrightarrow{PB}$ 和 $\overrightarrow{PC}$ 可以用基向量表示:

\begin{aligned} \overrightarrow{PB} &= -\overrightarrow{BP} = -\lambda \mathbf{a}, \overrightarrow{PC} &= \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BP} = \mathbf{c} - \lambda \mathbf{a}. \end{aligned}

接着, 我们计算它们的数量积:

\begin{aligned} f(\lambda) = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} &= (-\lambda \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{c} - \lambda \mathbf{a}) &= -\lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) + \lambda^2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}) &= ||\mathbf{a}||^2 \lambda^2 - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\lambda. \end{aligned}

这是一个关于变量 $\lambda$ 的二次函数, 其二次项系数 $||\mathbf{a}||^2$ 为正, 故其图像是开口向上的抛物线, 存在唯一的最小值. 根据二次函数的性质, 其对称轴位置在 $\lambda = -\frac{-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})}{2||\mathbf{a}||^2} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}}{2||\mathbf{a}||^2}$ . 此即函数 $f(\lambda)$ 取最小值的点.

根据题设, 最小值在 $P=P_0$ 处取得. 我们需要确定 $P_0$ 对应的参数 $\lambda_0$ . 由 $P_0B = \frac{1}{4}AB$ 可知, $||\overrightarrow{BP_0}|| = \frac{1}{4}||\overrightarrow{BA}||$ . 由于 $P_0$ 在 $A, B$ 之间, 故 $\overrightarrow{BP_0}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 同向, 所以 $\overrightarrow{BP_0} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BA} = \frac{1}{4}\mathbf{a}$ . 因此, $\lambda_0 = \frac{1}{4}$ .

令函数取得最小值的 $\lambda$ 等于 $\lambda_0$ :

\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}}{2||\mathbf{a}||^2} = \frac{1}{4}.

由此我们得到一个关于基向量的代数关系:

2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) = ||\mathbf{a}||^2.

最后一步, 我们需要将这个代数关系翻译回几何语言. 我们考察三角形的边长关系. $||\overrightarrow{AC}||^2 = ||\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}||^2 = ||\mathbf{c} - \mathbf{a}||^2$ . 利用我们推导极化恒等式时的展开方法:

||\mathbf{c} - \mathbf{a}||^2 = (\mathbf{c}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{a}) = ||\mathbf{c}||^2 - 2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) + ||\mathbf{a}||^2.

将我们得到的条件 $2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) = ||\mathbf{a}||^2$ 代入上式:

||\overrightarrow{AC}||^2 = ||\mathbf{c}||^2 - ||\mathbf{a}||^2 + ||\mathbf{a}||^2 = ||\mathbf{c}||^2.

这表明 $||\overrightarrow{AC}|| = ||\mathbf{c}|| = ||\overrightarrow{BC}||$ . 因此, $\triangle ABC$ 必须满足的几何条件是 $AC = BC$ , 即它是一个以 $C$ 为顶角的等腰三角形.

例

在 $\triangle ABC$ 中, $D$ 是 $BC$ 的中点, $E, F$ 是 $AD$ 上的两个三等分点. 已知 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} = 4$ , $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} = -1$ , 求 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE}$ 的值.

解

此题的条件与结论均涉及以不同顶点为起点的向量数量积. 这种结构提示我们寻找一个统一的代数形式. 注意到所有数量积都涉及线段 $BC$ 的两个端点 $B$ 和 $C$ , 这启发我们将 $BC$ 的中点 $D$ 作为一个关键的参照点.

我们来考察形如 $\overrightarrow{PX} \cdot \overrightarrow{PY}$ 的数量积, 当一个参照点 $M$ 存在时, 我们可以进行分解. 对于 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA}$ , 我们将向量起点统一到中点 $D$ . $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}$ $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}$ 由于 $D$ 是 $BC$ 的中点, $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{DB}$ . 代入上式: $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}$ 于是, 数量积可以展开为:

\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} = (\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}) \cdot (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}) = ||\overrightarrow{DA}||^2 - ||\overrightarrow{DB}||^2 = AD^2 - BD^2.

这实际上是极化恒等式思想的一个直接应用, 它将数量积与中线长和半弦长联系起来. 根据题设, 我们有

AD^2 - BD^2 = 4 (1)

完全同理, 对于点 $F$ 和 $E$, 我们可以得到相同的代数结构:

\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} = DF^2 - BD^2

\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = DE^2 - BD^2

根据题设 $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} = -1$ , 我们有

DF^2 - BD^2 = -1 (2)

现在问题转化为一个关于长度的代数问题. $E, F$ 是 $AD$ 的三等分点. 不妨设 $F$ 是靠近 $D$ 的分点, 则 $DF = \frac{1}{3}AD$ , 且 $DE = \frac{2}{3}AD$ . 将 $DF = \frac{1}{3}AD$ 代入 (2) 式:

\left(\frac{1}{3}AD\right)^2 - BD^2 = -1 \implies \frac{1}{9}AD^2 - BD^2 = -1 (3)

我们现在拥有一个关于 $AD^2$ 和 $BD^2$ 的二元一次方程组, 由 (1) 和 (3) 构成:

\begin{aligned} AD^2 - BD^2 &= 4 \frac{1}{9}AD^2 - BD^2 &= -1 \end{aligned}

两式相减, 消去 $BD^2$ :

\left(1 - \frac{1}{9}\right)AD^2 = 4 - (-1) \implies \frac{8}{9}AD^2 = 5 \implies AD^2 = \frac{45}{8}.

将 $AD^2$ 的值代回 (1) 式:

BD^2 = AD^2 - 4 = \frac{45}{8} - 4 = \frac{45-32}{8} = \frac{13}{8}.

我们的目标是计算 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = DE^2 - BD^2$ . 利用 $DE = \frac{2}{3}AD$ , 我们有 $DE^2 = \frac{4}{9}AD^2$ . 代入已求出的值:

\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = \frac{4}{9}AD^2 - BD^2 = \frac{4}{9}\left(\frac{45}{8}\right) - \frac{13}{8} = \frac{5}{2} - \frac{13}{8} = \frac{20-13}{8} = \frac{7}{8}.

故所求值为 $\frac{7}{8}$ .

例

已知等边 $\triangle ABC$ 内接于半径为 $2$ 的 $\odot O$ , 点 $P$ 是 $\odot O$ 上的一个动点, 则 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 的取值范围是？

解

这个问题的核心是处理一个动点相关的数量积. 动点 $P$ 的轨迹是圆, 其几何特征是到圆心 $O$ 的距离恒定. 我们希望将数量积 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 与点 $P$ 的位置建立联系.

同样地, 极化恒等式的思想启示我们引入 $AB$ 的中点. 设 $D$ 为 $AB$ 的中点. 将 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PB}$ 用过 $D$ 的路径来表示: $\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DA}$ $\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DB}$ 由于 $D$ 是 $AB$ 的中点, $\overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{DA}$ . 代入得: $\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PD} - \overrightarrow{DA}$ 计算数量积:

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (\overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DA}) \cdot (\overrightarrow{PD} - \overrightarrow{DA}) = ||\overrightarrow{PD}||^2 - ||\overrightarrow{DA}||^2 = PD^2 - AD^2.

通过这个变换, 我们成功地将数量积的范围问题转化为了几何长度 $PD$ 的范围问题. 问题分解为两个子任务: 计算定长 $AD$, 以及确定动长 $PD$ 的范围.

首先, 计算 $AD$ . $\triangle ABC$ 是内接于 $\odot O$ 的等边三角形, 半径 $r=OP=OA=OB=2$ . 在 $\triangle OAB$ 中, $OA=OB=2$ , $\angle AOB = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ . $D$ 是 $AB$ 的中点, 因此 $OD \perp AB$ . 在 Rt $\triangle ODA$ 中, $\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOB = 60^\circ$ . 于是 $AD = OA \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ . 因此, 常数项 $AD^2 = 3$ .

接着, 确定 $PD$ 的范围. $P$ 是圆周上的动点, $D$ 是圆内一定点. $P$ 到 $D$ 的距离范围取决于 $D$ 到圆心 $O$ 的距离. 在 Rt $\triangle ODA$ 中, $OD = OA \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ . 点 $P$ 在半径为 $2$ 的圆上, 点 $D$ 与圆心 $O$ 的距离为 $1$ . 根据几何知识, $PD$ 的最大值发生在 $P, O, D$ 三点共线且 $O$ 在 $P, D$ 之间时:

PD_{\max} = PO + OD = r + OD = 2 + 1 = 3.

$PD$ 的最小值发生在 $P, O, D$ 三点共线且 $D$ 在 $P, O$ 之间时:

PD_{\min} = PO - OD = r - OD = 2 - 1 = 1.

所以, $PD$ 的取值范围是 $[1, 3]$ . 从而, $PD^2$ 的取值范围是 $[1^2, 3^2] = [1, 9]$ .

最后, 我们回到原表达式:

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = PD^2 - AD^2 = PD^2 - 3.

由于 $PD^2 \in [1, 9]$ , 那么

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \in [1-3, 9-3] = [-2, 6].

因此, 所求的取值范围是 $[-2, 6]$ .

例

如图, Rt $\triangle ABC$ 中, $\angle ABC=90^\circ$ , $AB=2$ , $BC=2\sqrt{3}$ . $M$ 是线段 $AC$ 上一动点, 若以 $M$ 为圆心, 半径为 $1$ 的圆与线段 $AC$ 交于 $P, Q$ 两点, 则 $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 的最小值为 ( )

解

此题要求一个数量积的最小值, 其中涉及的向量起点固定, 终点则由一个移动的圆心确定. 这看似复杂, 但其结构恰好契合了极化恒等式的思想.

注意到点 $M$ 是圆心, 而 $P, Q$ 是圆与直径 $AC$ 的交点, 故 $M$ 必然是线段 $PQ$ 的中点. 根据极化恒等式的思想, 我们可以将 $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 以中点 $M$ 分解:

\begin{aligned} \overrightarrow{BP} &= \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MP} \overrightarrow{BQ} &= \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MQ} \end{aligned}

由于 $M$ 是 $PQ$ 中点, $\overrightarrow{MQ} = -\overrightarrow{MP}$ . 于是

\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ} = (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MP}) \cdot (\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{MP}) = ||\overrightarrow{BM}||^2 - ||\overrightarrow{MP}||^2.

$||\overrightarrow{MP}||$ 是圆的半径, 题设为 $1$ , 故 $||\overrightarrow{MP}||^2=1$ . 表达式化为:

\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ} = ||\overrightarrow{BM}||^2 - 1.

欲求 $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 的最小值, 我们只需寻求 $||\overrightarrow{BM}||^2$ 的最小值. 这等价于寻找动点 $M$ 在线段 $AC$ 上运动时, 点 $B$ 到 $M$ 的最短距离. 几何直观告诉我们, 点到线段的最短距离是该点到直线距离 (垂线段长). 令 $h_B$ 为 Rt $\triangle ABC$ 斜边 $AC$ 上的高. 斜边 $AC$ 的长度由勾股定理给出: $AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12}=4$ . 根据三角形面积公式, $\frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{1}{2}AC \cdot h_B$ .

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_B \implies h_B = \sqrt{3}.

此即 $||\overrightarrow{BM}||$ 的最小值. 于是 $||\overrightarrow{BM}||^2$ 的最小值为 $(\sqrt{3})^2=3$ . 因此, $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 的最小值为 $3-1=2$ .

例

在平行四边形 $ABCD$ 中, 已知 $AB=8, AD=5$ . 点 $P$ 在边 $CD$ 上, 满足 $\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$ , 且 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 2$ . 求 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ 的值.

解

此题在一个平行四边形中给出了边长与一个数量积的特定值, 要求另一个数量积. 这是典型的通过向量代数运算建立桥梁的问题. 我们以点 $A$ 为基点, 令基向量为 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ .

我们的目标是利用已知条件 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 2$ 来构造一个包含目标 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ 的方程. 首先, 用基向量表示 $\overrightarrow{AP}$ 和 $\overrightarrow{BP}$. 点 $P$ 在 $CD$ 上, 我们可以通过路径 $A \to D \to P$ 来表示 $\overrightarrow{AP}$.

\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DP}.

由 $\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$ 可知 $P$ 是 $CD$ 的四等分点, 且 $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$ . 在平行四边形中, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ . 故 $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ . 所以, $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ .

接着表示 $\overrightarrow{BP}$ . 路径可以是 $B \to A \to P$ .

\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{AB} + \left(\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\right) = \overrightarrow{AD} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}.

现在将这两个表达式代入已知条件:

\left(\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\right) \cdot \left(\overrightarrow{AD} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\right) = 2.

展开此数量积, 这与极化恒等式的推导过程一致:

||\overrightarrow{AD}||^2 - \frac{3}{4}(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}) + \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - \frac{3}{16}||\overrightarrow{AB}||^2 = 2.

利用数量积的交换律 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$ , 合并同类项:

||\overrightarrow{AD}||^2 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - \frac{3}{16}||\overrightarrow{AB}||^2 = 2.

代入已知边长 $AD=5, AB=8$ :

5^2 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - \frac{3}{16}(8^2) = 2.

25 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - \frac{3}{16}(64) = 2.

25 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - 12 = 2.

13 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) = 2.

解得 $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) = 11$ , 故 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 22$ .

例

已知 $\triangle ABC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形, $P$ 为平面 $ABC$ 内一点, 则 $\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 的最小值是 ( )

解

此表达式包含三个与动点 $P$ 相关的向量, 直接处理较为困难. 我们需要通过向量加法的几何意义来简化它. 令 $M$ 为边 $BC$ 的中点. 根据向量加法的平行四边形法则, 向量和 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$ 可以被合成为

\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PM}.

于是, 原表达式化为

\overrightarrow{PA} \cdot (2\overrightarrow{PM}) = 2(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PM}).

现在问题转化为求 $2(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PM})$ 的最小值. 表达式中仍有两个与 $P$ 相关的向量. 为了进一步化简, 我们再次利用中点. 线段 $AM$ 是定长线段, 我们取其中心 $O$ 作为新的参照点.

\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OA}

\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OM}

由于 $O$ 是 $AM$ 的中点, $\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OA}$ . 代入后, 数量积变为

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PM} = (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{PO} - \overrightarrow{OA}) = ||\overrightarrow{PO}||^2 - ||\overrightarrow{OA}||^2.

所以, 原表达式为

2(||\overrightarrow{PO}||^2 - ||\overrightarrow{OA}||^2).

这是一个关于动点 $P$ 到定点 $O$ 距离的函数. $O$ 与 $A$ 均为定点, 故 $||\overrightarrow{OA}||^2$ 是一个常数. 为使整个表达式最小, 我们需要最小化 $||\overrightarrow{PO}||^2$ , 其最小值在 $P=O$ 时取得, 为 $0$ . 此时, 整个表达式的最小值为 $2(0 - ||\overrightarrow{OA}||^2) = -2||\overrightarrow{OA}||^2$ .

最后, 计算 $||\overrightarrow{OA}||$ . $\triangle ABC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形, 其高 (也是中线) $AM$ 的长度为 $2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ . $O$ 是 $AM$ 的中点, 所以 $||\overrightarrow{OA}|| = \frac{1}{2}||\overrightarrow{AM}|| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . 因此, $||\overrightarrow{OA}||^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$ . 所求的最小值为 $-2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{2}$ .

例

在 $\triangle ABC$ 中, $AD$ 为 $BC$ 边上的中线, $E$ 为 $AD$ 延长线上一点, 且 $AD = 2DE$ . 已知 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 10$ , $\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{EC} = -2$ , 求 $|BC|$ 的长度.

解

此题与之前的一道例题（哪道？看看你认真看了没.）结构高度相似, 提供了关于中线端点以及延长线上一点的向量数量积信息, 这是应用中线分解的明确信号. 设 $D$ 为 $BC$ 的中点. 对于平面上任意一点 $X$ , 我们有恒等式

\overrightarrow{XB} \cdot \overrightarrow{XC} = XD^2 - BD^2.

将此恒等式分别应用于点 $A$ 和点 $E$ . 当 $X=A$ 时:

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AD^2 - BD^2.

由题设 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 10$ , 得

AD^2 - BD^2 = 10 (1).

当 $X=E$ 时:

\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{EC} = ED^2 - BD^2.

由题设 $\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{EC} = -2$ , 得

ED^2 - BD^2 = -2 (2).

此外, 几何条件 $AD=2DE$ 意味着长度的平方关系为 $AD^2 = 4DE^2$. 我们将此关系代入方程 (1):

4DE^2 - BD^2 = 10 (3).

现在我们得到一个关于 $DE^2$ 和 $BD^2$ 的二元一次方程组:

\begin{aligned} 4DE^2 - BD^2 &= 10 DE^2 - BD^2 &= -2 \end{aligned}

将两方程相减, 消去 $BD^2$ :

3DE^2 = 12 \implies DE^2 = 4.

将 $DE^2=4$ 代回方程 (2):

4 - BD^2 = -2 \implies BD^2 = 6.

我们要求的是 $|BC|$ . 由于 $D$ 是 $BC$ 的中点, $|BC|=2|BD|$ . 因此, $|BC| = 2\sqrt{BD^2} = 2\sqrt{6}$ .

总结一下什么时候使用极化恒等式：

中点结构 这是最重要且最常见的结构. 当题目中出现 线段的中点 $M$ , 并且需要处理与该线段两端点相关的向量数量积时, 几乎总能受益于此思想. 具体表现为计算形如 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 的数量积, 其中 $M$ 是 $AB$ 的中点. 通过分解 $\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MA}$ 和 $\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{PM} - \overrightarrow{MA}$ , 数量积立即转化为长度的平方差:

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = ||\overrightarrow{PM}||^2 - ||\overrightarrow{MA}||^2.

这种转换是极化恒等式思想的直接体现, 它将一个依赖于角度和动点的复杂数量积, 转化为一个仅与距离相关的简单代数式.

最值问题 当问题要求某个数量积的最小值或最大值, 且其中涉及动点时, 极化恒等式是实现问题转化的关键工具. 比如之前的例题，我们通过中点分解, 我们将 $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 的最值问题转化为求 $||\overrightarrow{BM}||^2$ 的最值, 将 $\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 的最值问题转化为求 $||\overrightarrow{PO}||^2$ 的最值. 这本质上是将一个向量代数的最值问题, 降维成一个更直观的几何距离的最值问题, 即“求一点到某轨迹 (直线、线段、圆) 的最短或最长距离”.
向量和的出现 当表达式中出现形如 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$ 的向量和时, 这是一个强烈的简化信号. 利用中点 $M$ 可将此和式合并为 $2\overrightarrow{PM}$ . 这一步往往是应用极化恒等式的前奏, 它将三个与动点 $P$ 相关的向量 $(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}, \overrightarrow{PC})$ 减少到两个 $(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PM})$ , 从而创造出可以应用中点分解的结构.
纯长度信息的代数运算 当题目给出的条件主要为边长, 却要求计算依赖于角度的数量积时, 这暗示我们需要绕开角度, 直接建立长度与数量积的关系. 之前的几道例题就是一个绝佳的例子, 我们通过向量分解和展开, 建立了一个包含已知长度和未知数量积的代数方程, 最终解出目标值. 这整个代数展开的过程, 其数学本质与极化恒等式的推导过程是完全一致的.

极化恒等式不仅是一个公式而已, 更是一种对称化和代数化的策略. 其应用的本质, 是识别出几何图形中由中点带来的对称性, 并利用这种对称性将复杂的向量关系转化为简单的标量 (长度) 关系. 当你面对一个向量问题, 尤其是涉及中点、最值和向量和时, 应当首先思考能否通过分解与变换, 构造出 $(X+Y)\cdot (X-Y)$ 这一标志性结构.

定比分点与共线定理

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向量不仅能够表示大小与方向, 其代数运算的结构更是描述几何关系的利器. 特别是点的共线, 共面等位置关系, 在向量的语言下有着异常简洁的代数刻画.

系数和为常数的轨迹

我们首先从一个基本问题出发: 平面上任意三点 $P, A, B$ 共线的充要条件是什么? 从几何直观上看, $P$ 在直线 $AB$ 上, 意味着向量 $\overrightarrow{AP}$ 与向量 $\overrightarrow{AB}$ 是共线的. 用代数语言描述, 即存在唯一的实数 $\lambda$ , 使得

\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}.

这是一个重要的基础. 然而在很多问题中, 我们更习惯于从一个公共的基点 (原点) $O$ 出发来描述所有点的位置. 我们可以将上式用位置向量 $\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ 来改写:

\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \lambda(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}).

整理后可得

\overrightarrow{OP} = (1-\lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}.

这是一个极其优美的形式. 若我们令 $x = 1-\lambda$ 及 $y=\lambda$ , 则上式变为

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}, \text{其中} x+y=1.

这便得到了平面上三点共线的向量表示定理. 它的逆命题同样成立. 这个结论是后续讨论的基石.

三点共线定理

设 $O$ 为平面内任意一点, 则 $P, A, B$ 三点共线的充要条件是, 存在唯一的实数对 $(x,y)$ 使得

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}, \text{且} x+y=1.

证明

为证明该充要条件, 我们需要分别证明其充分性与必要性.

先证明，**充分性.**假设存在实数对 $(x,y)$ 满足 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=1$ . 我们需要证明 $P, A, B$ 三点共线.

为证明三点共线, 我们只需证明连接其中两点的向量, 例如 $\overrightarrow{AP}$ , 与连接另外两点的向量, 例如 $\overrightarrow{AB}$ , 是共线向量即可. 我们构造向量 $\overrightarrow{AP}$ :

\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}.

将假设条件 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 代入上式:

\overrightarrow{AP} = (x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}) - \overrightarrow{OA} = (x-1)\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}.

利用系数和条件 $x+y=1$ , 我们有 $x-1 = -y$ . 将此关系代入:

\overrightarrow{AP} = -y\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} = y(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}).

注意到 $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ 正是向量 $\overrightarrow{AB}$ . 于是, 我们得到

\overrightarrow{AP} = y\overrightarrow{AB}.

此式表明向量 $\overrightarrow{AP}$ 是向量 $\overrightarrow{AB}$ 的一个标量倍. 因此, $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线. 又因为这两个向量拥有共同的起点 $A$ , 故 $P, A, B$ 三点必然位于同一条直线上. 充分性得证.

**接下来证明，必要性与唯一性.**假设 $P, A, B$ 三点共线. 我们需要证明存在唯一的实数对 $(x,y)$ 满足 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=1$ .

首先, 考虑一个退化情形: 若 $A=B$ , 则三点共线意味着 $P$ 也与 $A, B$ 重合. 此时 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$ . 那么 $\overrightarrow{OP} = 1\overrightarrow{OA} + 0\overrightarrow{OB}$ (取 $x=1, y=0$ ), 或 $0\overrightarrow{OA}+1\overrightarrow{OB}$ (取 $x=0,y=1$ ), 满足 $x+y=1$ . 唯一性在这种情况下不严格成立, 但定理通常在 $A, B$ 为不同点的背景下讨论.

故设 $A \neq B$ . 因为 $P, A, B$ 三点共线, 向量 $\overrightarrow{AP}$ 与向量 $\overrightarrow{AB}$ 共线. 故存在唯一的实数 $\lambda$ , 使得

\overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{AB}.

将此式用以 $O$ 为基点的位置向量表示:

\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \lambda(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}).

整理可得 $\overrightarrow{OP}$ 的表达式:

\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB} - \lambda\overrightarrow{OA} = (1-\lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}.

令 $x = 1-\lambda$ 且 $y = \lambda$ . 此时, 我们找到了满足 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 的系数. 验证其和: $x+y = (1-\lambda) + \lambda = 1$ . 由于对于给定的共线三点, $\lambda$ 的值 (即 $\overrightarrow{AP}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 上的投影系数) 是唯一确定的, 故 $x$ 和 $y$ 的值也是唯一确定的. 必要性与唯一性得证.

综上, 该定理成立.

一个自然的问题是, 如果系数和不为 $1$ , 而是一个任意的常数 $k$ , 即 $x+y=k$ , 那么点 $P$ 的轨迹又将是什么呢?

我们来考察这个条件: $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ , 且 $x+y=k$ .

首先考虑特殊情况. 当 $k=0$ 时, $y=-x$ . 于是

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} - x\overrightarrow{OB} = x(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) = x\overrightarrow{BA}.

这表明向量 $\overrightarrow{OP}$ 与向量 $\overrightarrow{BA}$ 共线. 由于 $\overrightarrow{OP}$ 的起点是原点 $O$ , 故点 $P$ 的轨迹是一条经过原点 $O$ 且平行于直线 $AB$ 的直线.

接着, 我们考察 $k \neq 0$ 的一般情况. 我们的策略是通过代数变形, 将表达式整理成能够揭示其几何意义的形式. 从条件 $x+y=k$ 中, 我们可以用 $x$ 表示 $y$ , 即 $y=k-x$ . 将其代入向量表达式:

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + (k-x)\overrightarrow{OB}.

为了分离变量 $x$ 的影响, 我们将上式按 $x$ 和常数项重新组合:

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OB} - x\overrightarrow{OB} = k\overrightarrow{OB} + x(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}).

注意到括号中的项正是向量 $\overrightarrow{BA}$ , 于是

\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OB} + x\overrightarrow{BA}.

这个结构是向量几何中直线的参数方程. 为了更清晰地理解其几何轨迹, 我们可以将常数项移到等式左边:

\overrightarrow{OP} - k\overrightarrow{OB} = x\overrightarrow{BA}.

令 $B'$ 是这样一个点, 其位置向量为 $\overrightarrow{OB'} = k\overrightarrow{OB}$ . 由于 $k$ 和点 $B$ 都是固定的, 所以 $B'$ 是一个定点. 上述方程可以写为

\overrightarrow{B'P} = x\overrightarrow{BA}.

此式的几何意义非常明确: 从定点 $B'$ 到动点 $P$ 的向量 $\overrightarrow{B'P}$ , 总是与一个固定的向量 $\overrightarrow{BA}$ 共线. 因此, 动点 $P$ 的轨迹必然是一条经过定点 $B'$ 且方向与 $\overrightarrow{BA}$ (即直线 $AB$ ) 相同的直线.

同理, 我们也可以定义一个定点 $A'$ 满足 $\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}$ , 通过消去 $x$ 而非 $y$ , 将会证明点 $P$ 的轨迹也经过 $A'$ . 因此, 当 $x+y=k$ ( $k \neq 0$ ) 时, 点 $P$ 的轨迹是一条经过点 $A'(k\overrightarrow{OA})$ 和 $B'(k\overrightarrow{OB})$ 的直线, 并且该直线平行于直线 $AB$ .

我们将这一重要结论总结如下.

等和线定理

给定平面上不共线的三点 $O, A, B$ , 对于动点 $P$ , 若其位置向量满足

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB},

则点 $P$ 的轨迹由系数和 $x+y$ 的值唯一确定:

若 $x+y=1$ , 则 $P$ 的轨迹是直线 $AB$ .
若 $x+y=k$ ( $k$ 为非零常数), 则 $P$ 的轨迹是一条经过点 $A'(k\overrightarrow{OA})$ 和 $B'(k\overrightarrow{OB})$ 的直线, 且该直线平行于 $AB$ .
若 $x+y=0$ , 则 $P$ 的轨迹是一条经过原点 $O$ 且平行于 $AB$ 的直线.

这条由系数和为常数所确定的直线, 我们称之为“等和线”.

证明

我们将分三种情况进行证明.

情况一: $x+y=1$ 此情况即为前述的“三点共线定理”, 其充分性与必要性已得到严格证明. 它是整个等和线理论的基石.
情况二: $x+y=0$ 充分性: 假设 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=0$ . 由 $x+y=0$ 可得 $y=-x$ . 将其代入向量表达式:

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} - x\overrightarrow{OB} = x(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = x\overrightarrow{BA}.

此式表明, 向量 $\overrightarrow{OP}$ 与向量 $\overrightarrow{BA}$ 共线. 由于 $\overrightarrow{OP}$ 的起点为 $O$, 故点 $P$ 必然位于那条经过原点 $O$ 且与直线 $AB$ 平行的直线上.

**必要性:** 假设点 $P$ 位于经过原点 $O$ 且平行于直线 $AB$ 的直线上.
这意味着向量 $\overrightarrow{OP}$ 与向量 $\overrightarrow{AB}$ (或 $\overrightarrow{BA}$) 共线. 因此, 存在唯一的实数 $t$ 使得:

\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{BA}.

将 $\overrightarrow{BA}$ 写成 $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$, 我们得到:

\overrightarrow{OP} = t(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = t\overrightarrow{OA} - t\overrightarrow{OB}.

若令 $x=t$ 及 $y=-t$, 则上式符合 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 的形式.
此时系数和为 $x+y = t + (-t) = 0$. 证毕.

情况三: $x+y=k$ ( $k$ 为非零常数) 充分性: 假设 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=k$ . 我们定义点 $A'$ 为满足 $\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}$ 的定点. 我们来考察向量 $\overrightarrow{A'P}$ :

\overrightarrow{A'P} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA'} = (x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}) - k\overrightarrow{OA} = (x-k)\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}.

利用系数和条件 $x+y=k$, 我们有 $x-k = -y$. 将此关系代入:

\overrightarrow{A'P} = -y\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} = y(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = y\overrightarrow{AB}.

此式表明, 向量 $\overrightarrow{A'P}$ 与向量 $\overrightarrow{AB}$ 共线. 因为 $A'$ 是一个定点, 所以动点 $P$ 的轨迹是一条经过 $A'$ 且平行于直线 $AB$ 的直线. 类似地, 我们可以证明该直线也经过点 $B'(k\overrightarrow{OB})$.

**必要性:** 假设点 $P$ 位于经过点 $A'(k\overrightarrow{OA})$ 且平行于直线 $AB$ 的直线上.
这意味着向量 $\overrightarrow{A'P}$ 与向量 $\overrightarrow{AB}$ 共线. 因此, 存在唯一的实数 $t$ 使得:

\overrightarrow{A'P} = t\overrightarrow{AB}.

用位置向量展开上式:

\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA'} = t(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}).

解出 $\overrightarrow{OP}$:

\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA'} + t\overrightarrow{OB} - t\overrightarrow{OA}.

将 $\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}$ 代入:

\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} - t\overrightarrow{OA} = (k-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}.

若令 $x=k-t$ 及 $y=t$, 则上式符合 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 的形式.
此时系数和为 $x+y = (k-t) + t = k$. 证毕.

综合以上三种情况, 定理得证.

这一结论极为有用, 它将一个代数条件 ( $x+y=k$ ) 和一个清晰的几何轨迹 (一条特定的直线) 对应起来, 是解决向量与几何综合问题的有力工具.

什么？你还不知道这玩意到底是什么？下面我们从三种观点，探究下这个神奇的定理：

观点一: 仿射坐标系

我们熟悉的笛卡尔坐标系, 是由一个原点和两个相互垂直的单位向量基底构成的. 而等和线的概念, 实质上是在一个更广义的坐标系——仿射坐标系——中进行讨论.

给定一个基点 $O$ 和两个线性无关的向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ , 它们构成了一个仿射坐标系, 记为 $(O; \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$ . 在此坐标系中, 平面上任意一点 $P$ 的位置向量 $\overrightarrow{OP}$ 都可以被唯一地表示为

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}.

这里的数对 $(x,y)$ 就是点 $P$ 在该仿射坐标系下的 仿射坐标.

从这个视角来看, 等和线定理的条件 $x+y=k$ 就变得豁然开朗. 它是在仿射坐标系下的一条线性方程. 我们知道, 在笛卡尔坐标系中, 任何形如 $ax+by=c$ 的线性方程都对应一条直线. 仿射坐标系保持了这种最基本的“线性”性质.

$x+y=1$ : 这条特殊的等和线, 即直线 $AB$ , 在仿射坐标系 $(O; \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$ 中扮演着如同笛卡尔坐标系中 $x+y=1$ 的角色, 是连接两个“单位点” $A(1,0)$ 和 $B(0,1)$ 的基准线.
$x+y=k$ : 这族方程对应的是一族互相平行的直线, 正如在笛卡尔坐标系中 $x+y=k$ 对应一族斜率为 $-1$ 的平行直线系一样.

因此, 等和线定理本质上是陈述了在向量定义的仿射坐标系中, 点的共线关系等价于其仿射坐标满足一个线性方程.

观点二: 几何变换

等和线定理也可以被理解为一种几何变换作用的结果. 具体的说, 是位似变换.

以原点 $O$ 为位似中心, 位似比为 $k$ 的位似变换, 将点 $P'$ 映射到点 $P$ , 其定义就是 $\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OP'}$ .

现在我们重新审视等和线的推导过程. 我们证明了, 如果点 $P'$ 的位置向量满足 $\overrightarrow{OP'} = x'\overrightarrow{OA} + y'\overrightarrow{OB}$ 且 $x'+y'=1$ (即 $P'$ 在直线 $AB$ 上), 那么经过位似变换后的点 $P$ , 其位置向量 $\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OP'} = kx'\overrightarrow{OA} + ky'\overrightarrow{OB}$ . 令 $x=kx'$ 及 $y=ky'$ , 则点 $P$ 的仿射坐标为 $(x,y)$ , 且其系数和为

x+y = kx' + ky' = k(x'+y') = k(1) = k.

这精确地说明了: 系数和为 $k$ 的等和线, 正是系数和为 $1$ 的基准线 (直线 $AB$ ) 在以 $O$ 为中心、比值为 $k$ 的位似变换下的像. 位似变换的一个基本性质就是将直线映射为与之平行的直线. 这就从几何变换的角度完美解释了为何所有的等和线都相互平行.

观点三: 重心坐标

对于 $\triangle OAB$ , 平面内任意一点 $P$ 都可以被唯一表示为三个顶点的线性组合:

\overrightarrow{OP} = u\overrightarrow{OA} + v\overrightarrow{OB} + w\overrightarrow{OO}, \text{其中} u+v+w=1.

由于 $\overrightarrow{OO}$ 是零向量, 上式简化为 $\overrightarrow{OP} = u\overrightarrow{OA} + v\overrightarrow{OB}$ , 且 $u+v+w=1$ . 这里的 $(u,v,w)$ 称为点 $P$ 关于 $\triangle OAB$ 的重心坐标.

现在, 我们来重新审视条件 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ . 这可以看作是重心坐标表示中第三个系数 $w$ (对应于顶点 $O$ ) 的信息. 比较两种表示, 我们有 $u=x, v=y$ . 由重心坐标的系数和为 $1$ , 即 $u+v+w=1$ , 我们得到

x+y+w=1 \implies w = 1-(x+y).

于是, 等和线的条件 $x+y=k$ 等价于一个关于重心坐标的条件:

w = 1-k.

这也就是说, 等和线 $x+y=k$ 上所有点的重心坐标中, 对应于顶点 $O$ 的分量 $w$ 是一个常数 $1-k$ . 在重心坐标系中, 一个顶点对应的坐标分量为常数的点的轨迹, 是一条平行于该顶点对边的直线. 在这里, $w$ 是对应顶点 $O$ 的坐标, 其对边是线段 $AB$ . 因此, $w=1-k$ 所描述的点的轨迹是一条平行于直线 $AB$ 的直线.

推广至高维

以上观点, 特别是仿射坐标与重心坐标的观点, 很容易推广到三维乃至更高维空间. 例如在三维空间中, 给定基点 $O$ 和三个不共面的点 $A, B, C$ , 那么满足

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}, \text{且} x+y+z=k

的点 $P$ 的轨迹, 就是一个平行于平面 $ABC$ 的平面. 这正是等和线定理在高维空间中的自然推广.

例

在 $\triangle OAB$ 中, 点 $P$ 位于平面内, 且满足 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ . 若 $\triangle OAB$ 的面积为 $1$ , 求在下列条件下点 $P$ 的轨迹.

$x+y=2$ ;
$x+2y=2$ 且 $x \ge 0, y \ge 0$ .

解

此题旨在将向量系数的代数约束, 翻译为点 $P$ 的几何轨迹.

(1) 条件为 $x+y=2$ . 根据等和线定理, 当系数和为常数 $k$ 时, 点 $P$ 的轨迹是一条平行于 $AB$ 的直线. 此处 $k=2$ . 这条直线经过点 $A'$ 和 $B'$ , 其中 $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$ 且 $\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ . 因此, 点 $P$ 的轨迹是直线 $A'B'$ .

(2) 条件为 $x+2y=2$ , 且 $x \ge 0, y \ge 0$ . 这个条件 $x+2y=2$ 并非直接的等和线形式. 我们需要通过代数变换将其化归. 关键在于将基向量进行重组, 以匹配系数的线性关系. 令 $\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ . 则原向量表达式可以改写为

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y(2\overrightarrow{OB}) = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB'}.

现在, 表达式变为 $\overrightarrow{OP}$ 由 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB'}$ 线性表示, 而其系数 $x, y$ 满足的关系恰好是 $x+y=1$ (将 $2y$ 整体看作系数, 对应向量 $\overrightarrow{OB}$ ), 但这种看法不清晰. 修正思路: 我们希望新基向量的系数和为 $1$ . 条件是 $x+2y=2$ , 两边同除以 $2$ , 得到

\frac{x}{2} + y = 1.

这提示我们应该构造一个新基底, 使得其系数恰为 $\frac{x}{2}$ 和 $y$ .

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + 2y\overrightarrow{OB} = \frac{x}{2}(2\overrightarrow{OA}) + y(2\overrightarrow{OB}).

令 $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ . 那么

\overrightarrow{OP} = \frac{x}{2}\overrightarrow{OA'} + y\overrightarrow{OB'}.

令 $x'=\frac{x}{2}$ 和 $y'=y$ . 则 $x'+y'=1$ . 根据三点共线定理, 点 $P$ 的轨迹是直线 $A'B'$ .

然而, 题目中还有附加条件 $x \ge 0, y \ge 0$ . $x \ge 0 \implies x' \ge 0$ . $y \ge 0 \implies y' \ge 0$ . 因此, 点 $P$ 的轨迹是系数 $x', y'$ 均非负的线段, 即线段 $A'B'$ .

这个例子说明, 任何关于系数的线性约束 $ax+by=c$, 都可以通过对基向量的伸缩变换, 转化为系数和为 $1$ 的标准形式, 从而确定其轨迹为一条直线.

例

给定 $\triangle OAB$ , 其中 $OA=OB=1$ , $\angle AOB=120^\circ$ . 点 $P$ 在平面内运动, 其位置向量 $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ . 若实数 $s, t$ 满足 $s \ge 0, t \ge 0$ 且 $1 \le s+t \le 2$ , 求点 $P$ 所形成区域的面积.

解

此题要求由向量系数的不等式约束所确定的点的轨迹区域的面积. 这是一个典型的由等和线界定区域的问题. 我们分析点 $P$ 的轨迹边界. 约束条件为 $1 \le s+t \le 2$ , 同时 $s \ge 0, t \ge 0$ .

考虑边界 $s+t=1$ . 根据等和线定理, 这对应一条直线. 又因 $s \ge 0, t \ge 0$ , 点 $P$ 的轨迹是连接点 $A(s=1,t=0)$ 和点 $B(s=0,t=1)$ 的线段 $AB$ .
考虑边界 $s+t=2$ . 根据等和线定理, 这对应另一条与 $AB$ 平行的直线. 这条直线经过点 $A'(s=2,t=0)$ 和点 $B'(s=0,t=2)$ . 其中, $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$ 且 $\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ . 同样因为 $s \ge 0, t \ge 0$ , 点 $P$ 的轨迹是连接 $A'$ 和 $B'$ 的线段 $A'B'$ .

当 $s+t$ 的值在 $[1, 2]$ 区间内连续变化时, 点 $P$ 的轨迹会扫过线段 $AB$ 与线段 $A'B'$ 之间的所有区域. 因此, 点 $P$ 所形成的区域是一个以 $A, B, B', A'$ 为顶点的梯形.

TikZ 图 200

为求该梯形的面积, 我们可以用大三角形 $\triangle OA'B'$ 的面积减去小三角形 $\triangle OAB$ 的面积. 首先, 计算 $\triangle OAB$ 的面积:

S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}.

$\triangle OA'B'$ 是 $\triangle OAB$ 以 $O$ 为中心, 位似比为 $2$ 的放大图形. 它的边长 $OA'=2, OB'=2$ , 夹角不变. 其面积为:

S_{\triangle OA'B'} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA'}| |\overrightarrow{OB'}| \sin(\angle A'OB') = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(120^\circ) = \sqrt{3}.

或者, 利用面积的位似性质:

S_{\triangle OA'B'} = 2^2 \cdot S_{\triangle OAB} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}.

因此, 梯形 $ABB'A'$ 的面积为

S_{\text{梯形}} = S_{\triangle OA'B'} - S_{\triangle OAB} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}.

奔驰定理

我们已经探讨了由两个基向量线性组合所定义的点的轨迹. 一个自然而然的推广是: 对于三角形的三个顶点, 它们的向量之和具有怎样的几何意义? 答案揭示了三角形一个基本中心——重心的深刻向量性质.

重心向量定理

对于平面上任意 $\triangle ABC$ 及其重心 $G$ , 以下两个向量恒等式成立:

对于任意选定的基点 $O$ , 顶点的位置向量之和等于重心位置向量的三倍:

\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}.

对于平面上任意一点 $P$ , 从该点出发到三个顶点的向量之和等于到重心向量的三倍:

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{PG}.

证明

我们将从重心的基本几何性质出发, 即重心是中线的交点, 且按 $2:1$ 的比例分割中线, 来推导这两个恒等式.

**1. 证明 $\overrightarrow{OA** + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ }

设 $M$ 为边 $BC$ 的中点. 根据中点向量公式, 对于任意选定的基点 $O$ , 点 $M$ 的位置向量 $\overrightarrow{OM}$ 可以表示为:

\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}).

重心 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的三条中线的交点. 特别地, $G$ 位于中线 $AM$ 上. 由重心的性质可知, 点 $G$ 将中线 $AM$ 分成两段, 且满足比例关系 $AG:GM = 2:1$ .

我们可以利用定比分点公式来表示点 $G$ 的位置向量 $\overrightarrow{OG}$ . 因为 $G$ 在线段 $AM$ 上, 且 $AG:GM=2:1$ , 我们可以将 $\overrightarrow{OG}$ 表示为 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OM}$ 的线性组合:

\overrightarrow{OG} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OM}}{1+2} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OM}).

现在, 将 $\overrightarrow{OM}$ 的表达式 $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ 代入上式:

\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA} + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\right)\right).

化简括号内的表达式, 我们得到:

\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}).

将等式两边同乘以 $3$ , 便得到了第一个恒等式:

3\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}.

此式的成立不依赖于基点 $O$ 的选择, 故对任意点 $O$ 均成立.

**2. 证明 $\overrightarrow{PA** + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{PG}$ }

此恒等式可以巧妙地通过更换基点由第一个恒等式导出, 这体现了向量运算的优越性. 在第一个恒等式中, 基点 $O$ 是任意的. 我们可以将这个任意点 $O$ 替换为点 $P$ . 于是, 恒等式变为:

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{PG}.

这种方法虽然简洁, 但为了更清晰地展示推导过程, 我们也可以从向量的减法出发进行证明. 对于任意点 $P$ , 我们可以将从 $P$ 出发的向量分解为经过基点 $O$ 的路径:

\begin{aligned} \overrightarrow{PA} &= \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} \overrightarrow{PB} &= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP} \overrightarrow{PC} &= \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP} \end{aligned}

将这三个向量表达式相加:

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) - 3\overrightarrow{OP}.

利用我们已经证明的第一个恒等式 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ , 将其代入上式:

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{OG} - 3\overrightarrow{OP}.

提取公因子 $3$ :

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3(\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OP}).

根据向量减法的定义, $\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OP}$ 正是向量 $\overrightarrow{PG}$ . 因此,

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{PG}.

至此, 定理的两个形式均已得证.

这个定理, 尤其是它的一个重要推论, 在几何学中被赋予了一个形象的名称——奔驰定理.

定理的几何形象与名称由来

若我们将基点 $O$ 选为重心 $G$ 本身, 那么定理的第一个恒等式就变为

\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{GG} = \overrightarrow{0}.

这个简洁而深刻的结论 $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ 是奔驰定理的核心. 它表明, 如果将三个从重心出发指向顶点的向量首尾相接, 它们将构成一个封闭的三角形. 而如果将这三个向量的起点都置于重心 $G$ , 它们会形成一个完美的力的平衡, 指向三个方向. 这三个向量构成的 Y 形结构, 与梅赛德斯-奔驰的标志惊人地相似, 定理因此得名. 这也从物理学的角度诠释了重心作为“质量中心”的本质.

奔驰定理是处理涉及重心问题时的一个基础出发点. 它将三个顶点的信息优雅地“平均”或“集中”到了重心这一点上, 极大地简化了许多复杂的向量关系.

二次和的最小值与斯坦纳定理

奔驰定理揭示了从任意点到三角形三顶点向量之和的简洁性质. 一个自然延伸的问题是: 从平面上哪一点出发, 到三顶点的距离平方和最小? 这个问题在几何、物理 (力矩) 和统计 (方差) 中都有着重要的应用. 其答案由如下的斯坦纳定理或称莱布尼茨公式给出.

向量的斯坦纳定理

对于平面上任意 $\triangle ABC$ , 其重心为 $G$ . 对于平面上任意一点 $P$ , 以下恒等式成立:

PA^2 + PB^2 + PC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2.

或者用向量模长的形式写作:

||\overrightarrow{PA}||^2 + ||\overrightarrow{PB}||^2 + ||\overrightarrow{PC}||^2 = ||\overrightarrow{GA}||^2 + ||\overrightarrow{GB}||^2 + ||\overrightarrow{GC}||^2 + 3||\overrightarrow{PG}||^2.

这个恒等式揭示了一个优美的结构: 从任意点 $P$ 出发的距离平方和, 等于一个不依赖于 $P$ 的常数 (即从重心 $G$ 出发的距离平方和), 加上一个正比于 $P$ 到重心 $G$ 距离平方的变量. 这在物理学中, 与质点系的转动惯量中的平行轴定理具有完全相同的数学形式.

证明

此定理的证明是奔驰定理的一个直接且精彩的应用. 我们的出发点是将所有与动点 $P$ 相关的向量, 都通过重心 $G$ 这个“不动点”进行分解. 对于向量 $\overrightarrow{PA}$ , 我们可以插入点 $G$ , 得到路径 $P \to G \to A$ :

\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GA}.

接着, 我们计算其模长的平方:

\begin{aligned} ||\overrightarrow{PA}||^2 &= (\overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GA}) \cdot (\overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GA}) &= ||\overrightarrow{PG}||^2 + 2(\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GA}) + ||\overrightarrow{GA}||^2. \end{aligned}

同理, 我们可以得到关于点 $B$ 和 $C$ 的表达式:

\begin{aligned} ||\overrightarrow{PB}||^2 &= ||\overrightarrow{PG}||^2 + 2(\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GB}) + ||\overrightarrow{GB}||^2, ||\overrightarrow{PC}||^2 &= ||\overrightarrow{PG}||^2 + 2(\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GC}) + ||\overrightarrow{GC}||^2. \end{aligned}

将这三个等式相加, 得到我们关心的距离平方和:

\begin{aligned} ||\overrightarrow{PA}||^2 + ||\overrightarrow{PB}||^2 + ||\overrightarrow{PC}||^2 = & \left( 3||\overrightarrow{PG}||^2 \right) &+ \left( ||\overrightarrow{GA}||^2 + ||\overrightarrow{GB}||^2 + ||\overrightarrow{GC}||^2 \right) &+ 2(\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GC}). \end{aligned}

利用数量积的分配律, 我们可以将最后一项中的公因子 $\overrightarrow{PG}$ 提取出来:

2\overrightarrow{PG} \cdot (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}).

此时, 奔驰定理的核心结论 $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ 发挥了决定性作用. 上述交叉项因此变为

2\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{0} = 0.

于是, 总和的表达式中交叉项消失, 化简为:

||\overrightarrow{PA}||^2 + ||\overrightarrow{PB}||^2 + ||\overrightarrow{PC}||^2 = 3||\overrightarrow{PG}||^2 + ||\overrightarrow{GA}||^2 + ||\overrightarrow{GB}||^2 + ||\overrightarrow{GC}||^2.

这便完成了恒等式的证明.

推论

在平面上, 使得与 $\triangle ABC$ 三个顶点的距离平方和 $PA^2+PB^2+PC^2$ 取得最小值的点 $P$ , 唯一地是该三角形的重心 $G$ .

证明

根据斯坦纳定理的恒等式, 表达式 $PA^2+PB^2+PC^2$ 由两部分构成. 第一部分, $GA^2+GB^2+GC^2$ , 对于一个给定的三角形, 是一个确定的常数. 第二部分, $3PG^2$ , 是唯一与动点 $P$ 位置相关的变量. 由于模长的平方 $PG^2$ 总是非负的, 即 $PG^2 \ge 0$ , 那么 $3PG^2$ 的最小值显然为 $0$ . 这个最小值在且仅在 $P$ 与 $G$ 重合时 ( $P=G$ ) 取得. 因此, 总和在点 $P=G$ 时达到其最小值, 最小值为 $GA^2+GB^2+GC^2$ .

对角线数量积定理

在深入研究了三角形的向量性质后, 我们自然地将目光转向更为复杂的四边形. 一个基本的问题是: 四边形的四条边长与其两条对角线的长度和方向之间, 是否存在着某种确定的代数关系? 答案是肯定的, 并且这个关系由一个关于对角线向量数量积的简洁恒等式所刻画.

定理

对于平面上任意一个四边形 $ABCD$ , 其边长与对角线向量的数量积满足如下关系:

2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}) = (AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2).

该恒等式表明, 对角线向量的数量积等于两组对边长度平方和之差的一半.

证明

此定理的证明是向量代数处理几何问题的典范. 其核心策略是引入一个任意的基点 (原点) $O$ , 将所有几何量 (边长和对角线) 用相对于 $O$ 的位置向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}$ 来表示, 从而将几何问题彻底转化为代数恒等式的验证.

令 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}, \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$ . 我们从恒等式右侧的边长平方和之差入手进行计算.

\begin{aligned} (AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2) &= (||\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}||^2 + ||\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}||^2) - (||\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}||^2 + ||\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}||^2) &= \left( (\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}) \right) & - \left( (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}) \right). \end{aligned}

我们将所有模长平方展开:

\begin{aligned} = & \; (||\overrightarrow{d}||^2 - 2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d} + ||\overrightarrow{a}||^2 + ||\overrightarrow{c}||^2 - 2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + ||\overrightarrow{b}||^2) & - (||\overrightarrow{b}||^2 - 2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + ||\overrightarrow{a}||^2 + ||\overrightarrow{d}||^2 - 2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d} + ||\overrightarrow{c}||^2). \end{aligned}

展开并移除括号后, 所有的模长平方项 $||\overrightarrow{a}||^2, ||\overrightarrow{b}||^2, ||\overrightarrow{c}||^2, ||\overrightarrow{d}||^2$ 都相互抵消. 剩下的项为:

= -2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d} - 2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}.

提取公因子 $2$ , 并重新组合这些项, 以便进行因式分解:

\begin{aligned} &= 2( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + \overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d} ) &= 2( \overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}) - \overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}) ) &= 2( (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}) ). \end{aligned}

最后, 我们将位置向量的差还原为几何向量: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{BD}$ . 于是, 最终的表达式为:

2( (-\overrightarrow{AC}) \cdot (-\overrightarrow{BD}) ) = 2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}).

这就证明了 $(AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2) = 2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD})$ . \qed

这个定理不仅形式优美, 更重要的是它引出了一条关于对角线垂直的深刻几何性质.

正交对角线定理

一个四边形的两条对角线相互垂直的充要条件是, 其两组对边的长度平方和相等. 即,

AC \perp BD \iff AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2.

证明

根据向量的性质, 两条对角线 $AC$ 与 $BD$ 相互垂直, 等价于它们的向量数量积为零, 即 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ . 将此条件代入我们刚刚证明的对角线数量积定理:

2(0) = (AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2).

0 = (AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2).

移项即得:

AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2.

由于推导过程中的每一步都是可逆的, 因此该条件的充分性与必要性均成立.

这个推论在解决有关筝形、菱形以及其他对角线垂直的四边形问题时, 提供了一个极其强大的边长关系判据.

直线与圆

{/* label: sec:ch12-s03 */}

在建立了向量的代数体系之后, 我们便拥有了描述几何对象的有力工具. 此前, 几何对象的描述依赖于公理和逻辑演绎, 而解析几何的核心思想, 则是为几何对象赋予代数方程, 从而将对“形”的研究转化为对“数”的运算. 我们将从最基本的几何图形——直线与圆——开始这一进程.

直线的方程

一条直线, 在欧几里得的观念中是“没有宽度、无限延伸的长度”. 如何用代数语言精确地捕捉这一概念? 我们可以从不同的几何约束出发, 得到形式各异但本质相同的方程.

描述直线方向最直观的量是其倾斜程度.

倾斜角与斜率

在平面直角坐标系中, 对于一条与 $x$ 轴相交的直线 $l$ , 我们把 $x$ 轴正向绕着交点逆时针旋转到与直线 $l$ 重合时所转过的最小正角 $\alpha$ 称为该直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围是 $[0, \pi)$ . 当 $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$ 时, 倾斜角 $\alpha$ 的正切值 $\tan\alpha$ 称为该直线的斜率, 记作 $m$ .

注意到, 当直线与 $x$ 轴平行时, $\alpha=0, m=0$ . 当直线与 $x$ 轴垂直时, $\alpha=\frac{\pi}{2}$ , 其斜率不存在.

斜率的本质是直线在竖直方向上的变化量与水平方向上的变化量之比, 并且这个比值对于直线上任意两点的选取都是不变的. 设直线 $l$ 的斜率为 $m$ , 且经过一个定点 $P_0(x_0, y_0)$ . 对于直线上异于 $P_0$ 的任意一点 $P(x,y)$ , 我们有

m = \frac{y-y_0}{x-x_0}

整理此式, 即得直线的点斜式方程:

y - y_0 = m(x - x_0)

此方程清晰地揭示了由“一点” $(x_0,y_0)$ 和“一斜率” $m$ 确定一条直线的事实.

若已知的定点是直线与 $y$ 轴的交点 $(0, b)$ , 我们称 $b$ 为直线在 $y$ 轴上的截距. 将该点坐标代入点斜式方程, 得到 $y-b=m(x-0)$ , 化简即得直线的斜截式方程:

y = mx+b

这是将函数思想与几何图形结合最紧密的方程形式.

“过两点有且只有一条直线”是基本的几何公理. 设已知直线上两点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ , 其中 $x_1 \neq x_2$ 且 $y_1 \neq y_2$ . 首先, 我们可以确定该直线的斜率:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

接着, 以 $P_1(x_1, y_1)$ 为定点, 利用点斜式方程, 可得

y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)

将此式变形, 得到更具对称性的两点式方程:

\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}

若已知的两点恰好是直线与坐标轴的两个交点, 即 $x$ 截距点 $(a,0)$ 和 $y$ 截距点 $(0,b)$ , 其中 $a, b$ 均非零. 将 $x_1=a, y_1=0$ 和 $x_2=0, y_2=b$ 代入两点式方程:

\frac{y - 0}{b - 0} = \frac{x - a}{0 - a}

\frac{y}{b} = \frac{x-a}{-a} = -\frac{x}{a} + 1

整理即得直线的截距式方程:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

上述各种方程形式直观地反映了直线的几何要素, 但它们都存在局限性, 例如点斜式和斜截式不能表示垂直于 $x$ 轴的直线, 而截距式不能表示过原点或与坐标轴平行的直线. 我们需要一种能够涵盖所有情况的普适形式.

将任意一种形式的方程移项整理, 都可以化为 $Ax+By+C=0$ 的形式. 例如, 点斜式 $y-y_0=m(x-x_0)$ 可化为 $mx-y+(y_0-mx_0)=0$ . 这启发我们定义直线的一般式方程:

Ax+By+C=0 (A,B \text{不全为零})

当 $B\neq0$ , 方程可化为 $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ , 即斜截式. 当 $B=0$ , 由于 $A,B$ 不全为零, 必有 $A \neq 0$ , 方程化为 $x = -\frac{C}{A}$ , 这正是一条垂直于 $x$ 轴的直线. 因此, 一般式方程囊括了平面内所有直线.

为了更深刻地理解直线方程的内在结构, 我们回归到向量的视角. 一条直线 $l$ 可以由其上一点 $P_0$ 和一个方向向量 $\overrightarrow{d}$ 唯一确定. 对于直线上任意一点 $P$ , 向量 $\overrightarrow{P_0P}$ 与 $\overrightarrow{d}$ 共线. 设 $O$ 为原点, $P_0, P$ 的位置向量分别为 $\overrightarrow{p_0}, \overrightarrow{p}$ , 则 $\overrightarrow{P_0P} = \overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0}$ . 于是存在实数 $t$ 使得 $\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0} = t\overrightarrow{d}$ . 此即直线的向量参数方程:

\overrightarrow{p} = \overrightarrow{p_0} + t\overrightarrow{d}, t \in \mathbb{R}

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：直线的向量参数表示

在笛卡尔坐标系下, 设 $\overrightarrow{p}=(x,y), \overrightarrow{p_0}=(x_0,y_0), \overrightarrow{d}=(a,b)$ . 向量方程等价于坐标表示的参数方程:

\begin{cases} x = x_0 + at y = y_0 + bt \end{cases} (t \in \mathbb{R})

若 $a, b$ 均不为零, 消去参数 $t$ 可得 $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b}$ , 这被称为对称式方程, 整理即得 $b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$ , 也就是 $bx-ay+(ay_0-bx_0)=0$ . 这正是 $Ax+By+C=0$ 的形式, 其中 $A=b, B=-a, C=ay_0-bx_0$ .

此外, 直线的方向亦可由一个与之垂直的法向量 $\overrightarrow{n}$ 确定. 设直线过点 $P_0$ , 法向量为 $\overrightarrow{n}$ . 对线上任意点 $P$ , 向量 $\overrightarrow{P_0P}$ 恒与 $\overrightarrow{n}$ 正交, 故其数量积为零.

\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0 \text{或} \overrightarrow{n} \cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0})=0

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：直线的法向量表示法

设 $\overrightarrow{n}=(A,B), \overrightarrow{p}=(x,y), \overrightarrow{p_0}=(x_0,y_0)$ , 上述点法式方程展开为 $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ , 即 $Ax+By-(Ax_0+By_0)=0$ . 令 $C=-(Ax_0+By_0)$ , 这又一次导出了直线的一般形式 $Ax+By+C=0$ . 这一推导揭示了一个至关重要的事实: **在直线的一般式方程 $Ax+By+C=0$ 中, 系数 $A$ 和 $B$ 恰好构成该直线的一个法向量 $\overrightarrow{n**=(A,B)$ }.

圆的方程

圆是继直线之后最简单、最完美的曲线. 其定义蕴含着一种纯粹的对称性.

圆

平面内到一个定点 $C$ 的距离等于一个定长 $R$ 的所有点 $P$ 的集合, 称为圆. 定点 $C$ 称为圆心, 定长 $R$ 称为半径.

圆的标准方程

这一定义可以直接翻译为代数语言. 引入笛卡尔坐标系, 设圆心 $C$ 的坐标为 $(h,k)$ , 圆上任意一点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$ , 半径为 $R\>0$ . 根据平面上两点间的距离公式, "点 $P$ 到点 $C$ 的距离为 $R$ " 可以表示为:

\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = R

由于距离 $R$ 是非负的, 我们可以对等式两边进行平方, 得到一个等价的、形式更简洁的方程, 此即圆的标准方程:

(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2

此方程直观地展现了圆的三个几何要素: 圆心横坐标 $h$ , 纵坐标 $k$ 和半径 $R$ . 特别地, 当圆心在原点 $(0,0)$ 时, 方程简化为 $x^2+y^2=R^2$ .

从向量的角度看, 设圆心 $C$ 和圆上一点 $P$ 的位置向量分别为 $\overrightarrow{c}$ 和 $\overrightarrow{p}$ . 定义 $|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}|=R$ 即为圆的向量方程. 这也等价于 $(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}) = R^2$ , 它与坐标形式的方程是完全一致的.

圆的一般方程

将圆的标准方程 $(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$ 展开:

x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 - R^2 = 0

整理后, 方程具有以下形式:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

其中 $D=-2h, E=-2k, F=h^2+k^2-R^2$ . 这被称为圆的一般方程. 其特点是:

$x^2$ 和 $y^2$ 的系数相同, 且通常化为 $1$ .
不含 $xy$ 这样的交叉项.

一个自然的问题是: 是否任何形如 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的方程都表示一个圆? 换言之, 给定一组系数 $D, E, F$ , 我们能否找到对应的圆心 $(h,k)$ 和半径 $R$ , 使得该方程与某个圆的标准方程等价?

为了回答这个问题, 我们采用配方法, 试图将一般方程还原为标准形式. 配方的核心思想是, 将二次项和一次项组合成一个完全平方项, 使得方程的结构更加清晰.

\begin{aligned} x^2 + y^2 + Dx + Ey + F &= 0 (x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) &= -F \end{aligned}

为了配方, 我们需要在 $(x^2 + Dx)$ 中加上 $(\frac{D}{2})^2 = \frac{D^2}{4}$ , 在 $(y^2 + Ey)$ 中加上 $(\frac{E}{2})^2 = \frac{E^2}{4}$ . 为了保证等式依然成立, 我们需要在方程的右侧也加上相应的项:

\begin{aligned} \left(x^2 + Dx + \frac{D^2}{4}\right) + \left(y^2 + Ey + \frac{E^2}{4}\right) &= -F + \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 &= \frac{D^2+E^2-4F}{4} \end{aligned}

方程的左侧是两个完全平方项的和, 形式上已经非常接近圆的标准方程. 为了使形式完全一致, 我们将方程右侧的表达式记作 $\frac{\Delta_c}{4}$ , 其中 $\Delta_c = D^2+E^2-4F$ .

\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{\Delta_c}{4}

进一步变形, 得到

\left(x - \left(-\frac{D}{2}\right)\right)^2 + \left(y - \left(-\frac{E}{2}\right)\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{\Delta_c}}{2}\right)^2

我们可以清晰地看到, 方程的几何意义完全取决于 $\Delta_c$ 的符号:

若 $\Delta_c \> 0$ : 此时, $\frac{\sqrt{\Delta_c}}{2}$ 是一个正实数, 可以作为圆的半径 $R$ . 方程表示一个圆心为 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$ , 半径为 $R=\frac{\sqrt{\Delta_c}}{2}$ 的圆. 这意味着, 当且仅当 $D^2 + E^2 \> 4F$ 时, 一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 才表示一个真正的圆.
若 $\Delta_c = 0$ : 此时, 方程变为

\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = 0

由于任何实数的平方都是非负的, 两个非负数的和为零, 意味着它们必须同时为零. 因此, $x = -\frac{D}{2}$ 且 $y = -\frac{E}{2}$ . 方程只有一个解, 表示一个点 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$ . 我们可以将这个点视为半径为 $0$ 的退化圆，即圆心与圆周重合.

若 $\Delta_c \< 0$ : 此时, 方程变为

\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{\Delta_c}{4} \< 0

由于任何实数的平方都是非负的, 两个非负数的和也必然是非负的. 因此, 方程的左侧恒为非负, 而右侧为负数. 这意味着，不存在任何实数 $x$ 和 $y$ 能够满足该方程.因此，方程没有实数解, 不表示任何几何图形.

一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 只有在满足条件 $D^2 + E^2 \> 4F$ 时, 才表示一个圆.此时, 圆心为 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$ , 半径为 $\frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$ .

直线与圆的位置关系

研究直线与圆的位置关系, 实质上是研究它们的方程所构成的方程组的解的情况. 设直线 $l: Ax+By+C=0$ 与圆 $C: (x-h)^2+(y-k)^2=R^2$ . 从代数角度看, 我们可以联立这两个方程, 消去一个变量 (例如 $y$ ), 得到一个关于另一个变量 (例如 $x$ ) 的一元二次方程. 该二次方程的判别式 $\Delta$ 的符号决定了交点的个数: $\Delta\>0$ 对应两交点(相交), $\Delta=0$ 对应一交点(相切), $\Delta\<0$ 对应无交点(相离).

然而, 这种纯代数的方法往往计算繁琐, 且掩盖了问题内在的几何结构. 一种更优雅、更具洞察力的判别方法是比较圆心到直线的距离与半径的大小.

点到直线的距离

我们需要一个公式来计算点 $P_0(x_0, y_0)$ 到直线 $l: Ax+By+C=0$ 的距离 $d$ . 设 $P_1(x_1, y_1)$ 是直线 $l$ 上任意一点. 我们要求的是向量 $\overrightarrow{P_1P_0}$ 在直线法向量 $\overrightarrow{n}=(A,B)$ 方向上的投影的长度.

这个投影的长度 $d$ 就是 $P_0$ 到直线 $l$ 的距离. 根据向量投影的公式:

d = \frac{|\overrightarrow{P_1P_0} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}

将坐标代入: $\overrightarrow{P_1P_0} = (x_0-x_1, y_0-y_1)$ , $\overrightarrow{n}=(A,B)$ .

d = \frac{|A(x_0-x_1) + B(y_0-y_1)|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|Ax_0+By_0 - (Ax_1+By_1)|}{\sqrt{A^2+B^2}}

由于点 $P_1(x_1,y_1)$ 在直线 $l$ 上, 它的坐标满足直线方程, 即 $Ax_1+By_1+C=0$ , 从而 $Ax_1+By_1 = -C$ . 代入上式, 即得点到直线的距离公式.

点到直线的距离

点 $P_0(x_0, y_0)$ 到直线 $l: Ax+By+C=0$ 的距离为

d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

几何判别法

设圆 $C$ 的圆心为 $C$ , 半径为 $R$ . 设直线为 $l$ . 我们考察圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离, 记为 $d$ . 设 $H$ 是从 $C$ 到 $l$ 的垂足, 那么根据定义, $d = |CH|$ . 接着考虑直线上任意一点 $P$ . 点 $P$ 是直线与圆的公共点, 当且仅当点 $P$ 到圆心 $C$ 的距离为 $R$ , 即 $|CP|=R$ .

在直角三角形 $\triangle CHP$ 中 (若 $P$ 与 $H$ 不重合), 根据勾股定理, 我们有:

|CP|^2 = |CH|^2 + |HP|^2

代入 $d$ 和 $R$ 的定义, 我们寻求满足下式的点 $P$ :

R^2 = d^2 + |HP|^2

这个方程是连接代数关系与几何直观的桥梁. 我们可以通过分析此方程解的存在性来判断公共点的个数. 将方程变形为:

|HP|^2 = R^2 - d^2

方程的解, 即点 $P$ 的位置, 取决于线段 $HP$ 的长度 $|HP|$ , 而 $|HP|$ 的值则完全由 $R^2 - d^2$ 的符号决定.

若 $d \< R$ , 则 $d^2 \< R^2$ , 从而 $R^2 - d^2 \> 0$ . 此时, 方程 $|HP|^2 = R^2 - d^2$ 有唯一正实数解 $|HP| = \sqrt{R^2 - d^2}$ . 这意味着在直线 $l$ 上, 存在两个关于垂足 $H$ 对称的点 $P_1$ 和 $P_2$ , 使得它们到 $H$ 的距离等于这个正值. 这两个点 $P_1, P_2$ 均满足 $|CP_1|=|CP_2|=R$ , 故它们是直线上仅有的两个在圆上的点. 因此, 直线与圆相交, 有两个公共点. 此时直线称为圆的割线.
若 $d = R$ , 则 $d^2 = R^2$ , 从而 $R^2 - d^2 = 0$ . 此时, 方程变为 $|HP|^2=0$ , 其唯一解为 $|HP|=0$ . 这意味着点 $P$ 必须与垂足 $H$ 重合. 因此, 直线与圆有且仅有一个公共点, 即垂足 $H$ . 此时直线与圆相切, 该公共点称为切点.
若 $d \> R$ , 则 $d^2 \> R^2$ , 从而 $R^2 - d^2 \< 0$ . 此时, 方程 $|HP|^2 = R^2-d^2$ 的右侧为负数. 由于任何实数的平方都不可能为负, 该方程没有实数解. 这意味着在直线 $l$ 上不存在任何点 $P$ 能够满足 $|CP|=R$ . 因此, 直线与圆相离, 没有公共点.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：直线与圆的三种位置关系及其几何判定

圆的切线

切线是位置关系中的临界状态, 具有优美的几何性质. 注意到当直线与圆相切时, 圆心到直线的距离等于半径, 且这段距离本身就是由圆心到切点的半径. 这意味着, 过切点的半径所在的直线与切线垂直.

这个性质为我们提供了一种求切线方程的强大方法. 设圆的标准方程为 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$ , 切点为 $P_0(x_0, y_0)$ . 向量 $\overrightarrow{CP_0} = (x_0-h, y_0-k)$ 就是切线的一个法向量. 根据直线的点法式方程, 切线方程为

(x_0-h)(x-x_0) + (y_0-k)(y-y_0) = 0

为了得到一个更具对称性的形式, 我们对上式进行代数变换:

(x_0-h)(x-h - (x_0-h)) + (y_0-k)(y-k - (y_0-k)) = 0

(x_0-h)(x-h) - (x_0-h)^2 + (y_0-k)(y-k) - (y_0-k)^2 = 0

移项得到

(x_0-h)(x-h) + (y_0-k)(y-k) = (x_0-h)^2 + (y_0-k)^2

由于点 $P_0(x_0,y_0)$ 在圆上, 它满足圆的方程, 即 $(x_0-h)^2 + (y_0-k)^2 = R^2$ . 于是, 我们得到了圆的切线方程的标准形式:

(x_0-h)(x-h) + (y_0-k)(y-k) = R^2

这个形式的优美之处在于, 它是将圆的标准方程 $(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$ 中的一个 $(x-h)$ 和一个 $(y-k)$ 分别替换为 $(x_0-h)$ 和 $(y_0-k)$ 得到的, 这种代换模式在解析几何的其他二次曲线的切线问题中也普遍存在, 具有深刻的代数根源.

线性规划初步*

{/* label: sec:ch12-s04 */}

在前面的章节中, 我们运用解析几何的工具来描述和分析确定的几何图形. 接着我们将视野转向一个更具动态和决策性的领域: 如何在给定的限制条件下, 做出最优的选择? 这便是运筹学的核心问题, 而线性规划则是解决此类问题最基本且最强大的数学工具之一.

从本质上讲, 线性规划是一种数学建模技术, 用于解决资源分配的最优化问题. 几乎所有组织，无论是商业公司, 政府机构, 还是非营利组织——都面临着一个共同的挑战: 在资源 (如资金, 原材料, 人力, 时间) 有限的情况下, 如何实现某个目标的最大化 (如利润, 效率, 社会福利) 或最小化 (如成本, 风险, 资源消耗).

一个问题能够被构建为线性规划模型, 必须具备三个核心的数学要素:

目标函数: 一个需要被最优化的量, 并且这个量可以表示为决策变量的线性函数. “线性”意味着变量之间的关系是成比例的, 例如, 生产两倍的产品会获得两倍的利润.
决策变量: 一组我们可以控制的变量, 它们的取值共同构成一个决策方案. 例如, 生产线上各种产品的产量, 或投资组合中各项资产的金额.
约束条件: 一系列描述决策变量必须满足的限制条件的线性等式或不等式. 它们反映了现实世界中资源的稀缺性或规则的限制.

因此, 线性规划的宏观定义是: 在一组线性约束条件下, 寻找一组决策变量的值, 使得一个线性目标函数达到最优 (最大或最小) 的数学方法.

经济学中的资源优化问题

线性规划的思想与经济学的基本原则——研究稀缺资源如何有效配置——不谋而合. 因此, 它在经济学领域得到了极其广泛和深刻的应用. 让我们通过一个经典的生产计划问题 来具体阐释.

设想一个企业, 它利用有限的资源 (如劳动力, 机器工时, 原材料) 来生产多种产品. 企业的目标是制定一个生产计划, 也就是决定每种产品的产量, 以实现总利润的最大化.

决策变量: 设企业生产 $n$ 种产品, 对应的产量分别为 $x_1, x_2, ..., x_n$ . 这就是企业需要决定的方案.
目标函数: 每种产品 $i$ 都有一个单位利润 $c_i$ . 企业的总利润 $Z$ 就是所有产品利润的总和, 即 $Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n$ . 这是一个典型的线性函数, 企业的目标是 $\max Z$ .
约束条件: 生产过程受到多种资源的限制. 假设有 $m$ 种资源. \begin{itemize}
对于第 $j$ 种资源 (例如, 钢材), 其总供应量是有限的, 设为 $b_j$ .
生产每单位的第 $i$ 种产品, 需要消耗 $a_{ji}$ 个单位的第 $j$ 种资源.
因此, 对第 $j$ 种资源的总消耗量不能超过其总供应量, 这就构成了一条线性不等式约束:

a_{j1}x_1 + a_{j2}x_2 + ... + a_{jn}x_n \le b_j

企业有多少种资源限制, 就会有多少条这样的约束.

此外, 产量不能为负, 这构成了非负约束: $x_i \ge 0$ 对所有 $i$ 成立.

\end{itemize} 通过这样的建模过程, 一个复杂的企业生产决策问题, 被清晰地转化为一个标准的线性规划数学模型.

除了生产计划, 线性规划在经济学中还有诸多其他应用, 例如:

运输问题: 如何安排从多个产地到多个销地的货物运输方案, 以最低的总运输成本满足所有销地的需求.
投资组合选择: 在预算和风险承受能力的约束下, 如何分配资金到不同的金融资产 (股票, 债券等), 以最大化预期回报.
营养学问题 (饮食问题): 如何从多种食物中进行搭配, 以最低的成本满足人体每日对各种营养素 (维生素, 蛋白质等) 的最低需求. 这是最早被研究的线性规划问题之一.

在所有这些场景中, 线性规划都提供了一个强大而系统的框架, 将现实世界的优化问题转化为一个结构清晰, 并且存在有效求解算法的数学问题. 接下来, 我们将探讨如何利用解析几何的知识, 来求解这类问题.

线性规划问题的数学模型

我们将通过一个具体问题来引入线性规划的数学结构.

例

一个工坊生产两种产品, 产品A和产品B.

每生产一件产品A, 需要2个单位的原料甲和1个单位的原料乙, 可获利3万元.
每生产一件产品B, 需要1个单位的原料甲和2个单位的原料乙, 可获利4万元.

工坊每日可用的原料甲总量为8个单位, 原料乙总量为7个单位. 问每日应如何安排两种产品的生产件数, 才能获得最大利润?

要将此问题数学化, 我们需要确定三个核心要素:

决策变量: 这是我们需要决定的未知量. 在本例中, 设每日生产产品A为 $x$ 件, 产品B为 $y$ 件.
约束条件: 这是决策变量必须满足的限制, 通常由一系列线性等式或不等式表示.

生产件数不能为负: $x \ge 0, y \ge 0$ .
原料甲的限制: $2x + y \le 8$ .
原料乙的限制: $x + 2y \le 7$ .

目标函数: 这是一个关于决策变量的线性函数, 我们希望将其最大化或最小化. 在本例中, 目标是最大化总利润 $z$ , 即 $z = 3x + 4y$ .

综上, 该问题被抽象为一个标准的二维线性规划模型:

\begin{aligned} \text{最大化} & z = 3x+4y \text{满足约束} & \begin{cases} 2x+y \le 8 x+2y \le 7 x \ge 0 y \ge 0 \end{cases} \end{aligned}

可行域与图解法

对于二维线性规划问题, 我们可以借助解析几何的工具, 将整个优化过程转化为一个直观的几何搜寻任务. 这种方法被称为图解法, 其原理建立在对约束条件和目标函数的几何解释之上.

约束条件组中的每一个线性不等式, 如 $ax+by \le c$ , 都将笛卡尔平面分割为两部分: 满足条件的点构成的闭半平面和不满足条件的点构成的开半平面. 所有约束条件所对应的闭半平面的公共交集, 构成了所有可行解 $(x,y)$ 的集合. 我们称这个几何区域为可行域. 在二维平面上, 只要可行域有界, 它必然是一个凸多边形. 凸性意味着连接区域内任意两点的线段完全位于该区域之内.

对于我们的生产计划问题, 可行域由以下四个半平面交织而成: $x \ge 0$ (y轴右侧), $y \ge 0$ (x轴上方), $2x+y \le 8$ (直线 $2x+y=8$ 左下方), 以及 $x+2y \le 7$ (直线 $x+2y=7$ 左下方). \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：由约束条件构成的凸多边形可行域

接着, 我们考察目标函数 $z = 3x+4y$ . 这个方程可以改写为斜截式:

y = -\frac{3}{4}x + \frac{z}{4}

对于任意一个特定的利润值 $z_0$ , 方程 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{z_0}{4}$ 都代表一条斜率为 $-\frac{3}{4}$ 的直线. 当 $z$ 的值连续变化时, 我们得到的是一族斜率相同但 $y$ 轴截距 $\frac{z}{4}$ 不同的平行直线. 我们称这族直线为目标函数的等值线, 因为在同一条直线上的所有点 $(x,y)$ 都会产生相同的目标函数值 $z$ .

我们的任务是最大化 $z$ . 从上式可以看出, $z$ 与 $y$ 轴截距 $\frac{z}{4}$ 是成正比的. 因此, 最大化目标函数 $z$ 在几何上等价于寻找一条与可行域有公共点, 且具有最大 $y$ 轴截距的等值线.

那么, 我们应该朝哪个方向移动等值线来增大 $z$ 呢? 回忆直线的一般式方程 $Ax+By-z=0$ , 我们知道向量 $\overrightarrow{n}=(A,B)$ 是该直线的一个法向量. 在本例中, 目标函数 $z=3x+4y$ 对应的法向量为 $\overrightarrow{n}=(3,4)$ . 几何上, 法向量指向的方向正是直线“抬升”最快的方向, 也就是使得 $3x+4y$ 的值增大的方向. 因此, 我们的求解过程可以想象为: 将等值线 $3x+4y=z$ 沿着其法向量 $\overrightarrow{n}=(3,4)$ 的方向平移, 直到它即将离开可行域.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：图解法原理: 沿法向量方向平移等值线

如图所示, 等值线族 $3x+4y=z$ 是一系列斜率为 $-\frac{3}{4}$ 的平行线. 当我们沿着法向量 $\overrightarrow{n}=(3,4)$ 的方向推动这条直线时 (即向右上方平移), $z$ 的值不断增大. 这个平移过程是有限制的, 因为该直线必须始终与灰色表示的可行域保持接触. 当等值线移动到恰好经过顶点 $B(3,2)$ 时, 它达到了在满足约束条件下的最远位置. 如果再向上平移丝毫, 它将与可行域完全分离. 因此, 可行域中的顶点 $B$ 就是使目标函数值达到最大的点.

这个几何过程揭示了线性规划问题的一个根本性质, 并为我们提供了下一节将要介绍的更普适的代数解法的理论基础.

线性规划基本定理

图解法提供了强大的几何直观, 但对于高维度问题或精度要求高的场景, 我们需要一种更普适的代数方法. 该方法的理论基础是下面的定理.

线性规划基本定理

如果一个线性规划问题存在最优解, 那么最优解一定可以在其可行域的某个顶点处取得. 若存在多个最优解, 则它们至少覆盖可行域的一条边, 因而其端点 (顶点) 同样是最优解.

证明

我们考察目标函数 $z=ax+by$ 所代表的平行直线族 $l_z$ . 由于可行域 $S$ 是一个闭凸集, 函数 $z$ 在 $S$ 上的取值必然存在一个最大值和一个最小值. 设取得最大值的等值线为 $l_{z^*}$ . $l_{z^*}$ 与 $S$ 至少有一个公共点. 若此公共点位于 $S$ 的内部, 则我们总可以将 $l_{z^*}$ 再微小平移一点而不离开 $S$ , 从而得到一个更大的 $z$ 值, 这与 $z^*$ 是最大值矛盾. 因此, 最优解必须出现在 $S$ 的边界上. 若 $l_{z^*}$ 与 $S$ 的交集是边界上的一点, 则该点必为顶点. 若 $l_{z^*}$ 与 $S$ 的交集是边界上的一条边, 那么这条边上的所有点都是最优解, 这自然也包括了该边的两个顶点. 综上, 必有顶点是最优解.

基本定理将一个可能包含无穷多个解的搜索问题, 简化为对有限个顶点的考察. 这引出了顶点检验法:

找出可行域的所有顶点. 每个顶点都是两条或多条边界直线方程的交点, 可通过解方程组得到.
计算目标函数在每个顶点的值.
比较这些值, 其中最大者即为问题的最大值, 最小者即为最小值.

对于引例, 我们已通过图解法确定了四个顶点: $O(0,0), A(4,0), C(0, 3.5), B(3,2)$ . 代入目标函数 $z=3x+4y$ 进行检验:

$z(O) = 3(0)+4(0)=0$
$z(A) = 3(4)+4(0)=12$
$z(C) = 3(0)+4(3.5)=14$
$z(B) = 3(3)+4(2)=17$

比较可知, 最大值为 $17$ , 在顶点 $B(3,2)$ 处取得. 这与图解法的结果一致.

例

求目标函数 $z = 5x + 3y$ 在下列约束条件下

\begin{cases} 2x+y \le 8 x+y \le 6 x \ge 0 y \ge 0 \end{cases}

的最大值.

解

我们首先需要确定由该线性不等式组定义的可行域. 该区域是一个位于第一象限的闭合凸多边形. 接着, 我们通过求解边界直线的交点来找出其所有顶点. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：例1的可行域

可行域的顶点由边界线的交点确定:

顶点 $O$ : $x=0$ 与 $y=0$ 的交点, $O(0,0)$ .
顶点 $A$ : $2x+y=8$ 与 $y=0$ 的交点, 解得 $A(4,0)$ .
顶点 $C$ : $x+y=6$ 与 $x=0$ 的交点, 解得 $C(0,6)$ .
顶点 $B$ : $2x+y=8$ 与 $x+y=6$ 的交点. 联立方程组

\begin{cases} 2x+y=8 x+y=6 \end{cases} \implies \begin{cases} x=2 y=4 \end{cases}

故交点为 $B(2,4)$.

根据线性规划基本定理, 最大值必在这些顶点之一处取得. 我们将各顶点坐标代入目标函数 $z = 5x + 3y$ 进行检验: \begin{table}[h!]

顶点坐标 $(x,y)$	目标函数值 $z=5x+3y$
$O(0,0)$	$5(0)+3(0) = 0$
$A(4,0)$	$5(4)+3(0) = 20$
$B(2,4)$	$5(2)+3(4) = 10+12=22$
$C(0,6)$	$5(0)+3(6) = 18$

\end{table} 比较上表中的目标函数值, 我们发现最大值为 $22$ , 它在顶点 $B(2,4)$ 处取得.

例

求目标函数 $z = 2x+2y$ 在约束条件

\begin{cases} x+y \le 7 x \ge 1 y \ge 2 \end{cases}

下的最大值.

解

同样地, 我们首先确定可行域的顶点. 该可行域是一个三角形. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：例2的可行域

顶点由以下边界线的交点构成:

顶点 $C$ : $x=1$ 与 $y=2$ 的交点, $C(1,2)$ .
顶点 $A$ : $x=1$ 与 $x+y=7$ 的交点, 解得 $A(1,6)$ .
顶点 $B$ : $y=2$ 与 $x+y=7$ 的交点, 解得 $B(5,2)$ .

我们将这些顶点代入目标函数 $z=2x+2y$ 中: \begin{table}[h!]

顶点坐标 $(x,y)$	目标函数值 $z=2x+2y$
$A(1,6)$	$2(1)+2(6) = 14$
$B(5,2)$	$2(5)+2(2) = 14$
$C(1,2)$	$2(1)+2(2) = 6$

\end{table} 观察结果, 我们发现最大值 $14$ 同时在两个顶点 $A(1,6)$ 和 $B(5,2)$ 处取得.

这种情况的出现并非偶然. 我们注意到目标函数 $z=2x+2y$ 可以改写为 $y = -x + z/2$ . 其等值线的斜率为 $-1$ . 可行域的一条边界线 $x+y=7$ 的斜率同样为 $-1$ . 这意味着目标函数的等值线与可行域的边界 $AB$ 平行. 当等值线平移至与线段 $AB$ 重合时, 整个线段上的所有点都将成为最优解. 因此, 该线性规划问题的最大值为 $14$ , 且最优解为线段 $AB$ 上的任意一点.

在某些问题中, 决策变量必须取整数, 这类问题称为整数线性规划. 虽然其通用解法远比标准线性规划复杂, 但在二维平面上, 若可行域有界, 我们有时可以结合几何方法进行求解. 其中一类特殊问题是计算可行域内的整点 (格点) 总数.

例

在笛卡尔坐标平面上, 求满足不等式组

\begin{cases} y \le 3x y \ge \frac{1}{3}x x+y \le 100 \end{cases}

的整点 $(x,y)$ 的个数.

再解决此问题之前，我们先介绍一个引理.

皮克定理

对于一个顶点均为整点的简单多边形, 其面积 $S$ 与其内部的整点数 $I$ 、边界上的整点数 $B$ 之间满足如下关系:

S = I + \frac{B}{2} - 1

证明

我们将通过一个循序渐进的构造性证明来验证此定理. 核心思想是证明表达式 $\Phi(P) = I_P + \frac{B_P}{2} - 1$ (其中 $P$ 代表一个多边形) 具有与面积 $S(P)$ 相同的可加性. 若此性质得证, 我们只需在一个基本图形上验证公式的成立, 便可将其推广至任意简单多边形.

考虑两个顶点为整点的简单多边形 $P_1$ 和 $P_2$ , 它们共享一条公共边 $e$ , 并且它们的并 $P = P_1 \cup P_2$ 也是一个简单多边形. 设公共边 $e$ 上共有 $k$ 个整点 (包含两个端点).

对于合并后的多边形 $P$ , 其面积显然是可加的: $S(P) = S(P_1) + S(P_2)$ . 我们来考察其内部整点数 $I_P$ 和边界整点数 $B_P$ .

内部整点: $P$ 的内部整点由 $P_1$ 的内部整点, $P_2$ 的内部整点, 以及公共边 $e$ 上不含端点的 $k-2$ 个整点构成.

I_P = I_{P_1} + I_{P_2} + (k-2)

边界整点: $P$ 的边界由 $P_1$ 和 $P_2$ 的边界除去公共边 $e$ (但不含端点) 后拼接而成. $P_1$ 的边界上有 $B_{P_1}$ 个点, $P_2$ 的边界上有 $B_{P_2}$ 个点. 公共边 $e$ 上的 $k$ 个点对于 $P_1, P_2$ 均是边界点, 但对于 $P$ 而言, 其中 $k-2$ 个变为内部点, 2个端点仍为边界点. 因此, $P$ 的边界点数是 $P_1$ 和 $P_2$ 边界点数之和, 减去被计入两次的公共边上的点, 再将被转化为内部点的 $k-2$ 个点排除在外. 更简洁地看, $P$ 的边界长度是 $P_1, P_2$ 边界长度之和减去两倍的 $e$ 的长度.

B_P = (B_{P_1} - k) + (B_{P_2} - k) + 2 = B_{P_1} + B_{P_2} - 2k + 2

我们计算 $\Phi(P)$ :

\begin{aligned} \Phi(P) &= I_P + \frac{B_P}{2} - 1 &= (I_{P_1} + I_{P_2} + k - 2) + \frac{B_{P_1} + B_{P_2} - 2k + 2}{2} - 1 &= I_{P_1} + I_{P_2} + k - 2 + \frac{B_{P_1}}{2} + \frac{B_{P_2}}{2} - k + 1 - 1 &= \left(I_{P_1} + \frac{B_{P_1}}{2} - 1\right) + \left(I_{P_2} + \frac{B_{P_2}}{2} - 1\right) &= \Phi(P_1) + \Phi(P_2) \end{aligned}

这完美地证明了 $\Phi(P)$ 具有与面积 $S(P)$ 完全相同的可加性.

既然 $\Phi(P)$ 和 $S(P)$ 都是可加的, 那么我们只需证明对于某个基本图形 $P_0$ , 有 $S(P_0) = \Phi(P_0)$ 成立. 任何其他可以通过拼接这些基本图形得到的多边形, 其定理的正确性将由可加性来保证. 我们选择一个边与坐标轴平行的矩形 $R$ 作为基本图形, 其顶点为 $(x_1, y_1), (x_2, y_1), (x_2, y_2), (x_1, y_2)$ . 令其边长为整数 $a = x_2 - x_1$ 和 $b = y_2 - y_1$ .

面积: $S_R = a \cdot b$ .
边界整点数: $B_R = 2a + 2b$ .
内部整点数: $I_R = (a-1)(b-1) = ab - a - b + 1$ .

我们来计算 $\Phi(R)$ :

\begin{aligned} \Phi(R) &= I_R + \frac{B_R}{2} - 1 &= (ab - a - b + 1) + \frac{2a+2b}{2} - 1 &= ab - a - b + 1 + a + b - 1 &= ab \end{aligned}

我们看到 $S_R = \Phi(R)$ . 定理对所有与坐标轴平行的整点矩形都成立.

任何一个顶点为整点的简单多边形, 都可以被三角剖分, 即分解为有限个顶点同为整点的三角形的并. 同时, 任何一个顶点为整点的三角形, 都可以通过一个外接的、边与坐标轴平行的矩形, 减去其角上至多三个顶点为整点的直角三角形得到. 由于我们已经证明了 $\Phi$ 的可加性, 并且在矩形上验证了 $S=\Phi$ , 这也意味着 $S=\Phi$ 对那些直角三角形也成立. 既然矩形和直角三角形这些基本构造块都满足皮克定理, 那么由它们通过加减运算构成的任意三角形也必然满足. 最后, 既然任意三角形都满足皮克定理, 那么由这些三角形拼接而成的任意简单多边形也必然满足此定理. 证明完毕.

解

此问题要求我们对一个由线性不等式定义的凸多边形区域内的整点进行计数. 直接枚举的方法虽然可行, 但过程繁琐. 一个更为深刻且结构优雅的途径是运用几何与数论的联系.

我们首先需要精确地刻画该不等式组所定义的可行域. 该区域是由三条直线 $l_1: y=3x$ , $l_2: y=\frac{1}{3}x$ 以及 $l_3: x+y=100$ 所围成的封闭区域. 通过联立方程组, 我们可以确定这个区域的顶点.

直线 $y=3x$ 与 $y=\frac{1}{3}x$ 的交点为 $O(0,0)$ .
直线 $y=3x$ 与 $x+y=100$ 的交点为 $A(25,75)$ .
直线 $y=\frac{1}{3}x$ 与 $x+y=100$ 的交点为 $B(75,25)$ .

该可行域是一个以 $O, A, B$ 为顶点的三角形. 关键在于, 所有顶点均为整点, 这一特性为我们应用皮克定理提供了理想的条件. \begin{figure}[htbp]

{Triangle OAB}}

\end{figure} 图：由不等式组定义的可行域 \texorpdfstring{ $\triangle OAB$

皮克定理指出, 对于一个顶点均为整点的简单多边形, 其面积 $S$ 与其内部的整点数 $I$ 、边界上的整点数 $B$ 之间满足如下关系:

S = I + \frac{B}{2} - 1

我们的目标是求总整点数 $N = I + B$ . 借助皮克定理, 我们可以将 $I$ 表示为 $I = S - \frac{B}{2} + 1$ , 从而得到总整点数的计算公式:

N = \left(S - \frac{B}{2} + 1\right) + B = S + \frac{B}{2} + 1

接下来的任务便是分别计算该三角形的面积 $S$ 与其边界上的整点数 $B$ .

对于顶点为 $(x_O, y_O), (x_A, y_A), (x_B, y_B)$ 的三角形, 其面积可由鞋带公式给出:

\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} | (x_O y_A + x_A y_B + x_B y_O) - (y_O x_A + y_A x_B + y_B x_O) | &= \frac{1}{2} | (0 \cdot 75 + 25 \cdot 25 + 75 \cdot 0) - (0 \cdot 25 + 75 \cdot 75 + 25 \cdot 0) | &= \frac{1}{2} | 625 - 5625 | = 2500 \end{aligned}

面积计算完毕后, 我们转向边界整点数 $B$ 的计算. 连接两个整点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的线段上, 其包含的整点个数 (含端点) 为 $\gcd(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|) + 1$ , 其中 $\gcd$ 表示最大公约数.

边 OA (从 $O(0,0)$ 到 $A(25,75)$ ): 整点数为 $\gcd(25, 75) + 1 = 25 + 1 = 26$ .
边 OB (从 $O(0,0)$ 到 $B(75,25)$ ): 整点数为 $\gcd(75, 25) + 1 = 25 + 1 = 26$ .
边 AB (从 $A(25,75)$ 到 $B(75,25)$ ): 整点数为 $\gcd(|75-25|, |25-75|) + 1 = \gcd(50, 50) + 1 = 50 + 1 = 51$ .

边界上的总整点数 $B$ 是三条边上的整点数之和, 并减去被重复计算的三个顶点:

B = 26 + 26 + 51 - 3 = 100

, 我们已具备所有要素, 可以得出最终的整点总数. 将 $S=2500$ 和 $B=100$ 代入公式:

N = S + \frac{B}{2} + 1 = 2500 + \frac{100}{2} + 1 = 2500 + 50 + 1 = 2551

因此, 满足给定不等式组的整点共有 $2551$ 个.

补集计数法

本题亦可通过一种直接的解析方法，补集计数法来求解. 其核心思想是, 首先计算一个包含目标区域且易于计数的更大区域内的整点总数, 然后减去该区域内不满足原始约束条件的点的数量.

我们首先考虑一个由 $x \ge 0, y \ge 0$ 以及 $x+y \le 100$ 所定义的闭合大三角形区域, 记作 $T$ . 这个区域包含了我们所求的所有整点. 为了对 $T$ 内的整点 $(x,y)$ 进行计数, 我们可以遍历所有可能的整数 $x$ 值. 当 $x=k$ (其中 $k$ 是一个从 $0$ 到 $100$ 的整数), $y$ 必须满足 $0 \le y \le 100-k$ . 因此, 对于每一个固定的整数 $k$ , 对应的整数 $y$ 的个数为 $(100-k) - 0 + 1 = 101-k$ . 将所有可能的 $k$ 值对应的 $y$ 的个数相加, 便得到区域 $T$ 内的整点总数 $N(T)$ :

N(T) = \sum_{k=0}^{100} (101-k) = (101-0) + (101-1) + ... + (101-100)

这是一个首项为 $101$ , 末项为 $1$ , 共 $101$ 项的等差数列. 其和为

N(T) = \frac{(101+1) \times 101}{2} = 5151

接着, 我们需要从这个总数中排除那些不满足原不等式组中另外两个条件的点. 令 $T_A$ 为 $T$ 内不满足 $y \ge \frac{1}{3}x$ 的整点集合, 即满足 $y \< \frac{1}{3}x$ 的点集. 令 $T_B$ 为 $T$ 内不满足 $y \le 3x$ 的整点集合, 即满足 $y \> 3x$ 的点集. 我们所求的整点数 $N$ 就等于 $N(T) - N(T_A) - N(T_B)$ .

此处我们注意到一个深刻的对称性. 考虑坐标变换 $\phi: (x,y) \mapsto (y,x)$ , 这个变换在几何上是关于直线 $y=x$ 的对称. 该变换将大三角形区域 $T$ 映射到其自身. 对于 $T_A$ 中的一个点 $(x,y)$ , 它满足 $y \< \frac{1}{3}x$ . 经过变换后, 其像为 $(x', y') = (y,x)$ , 满足 $x' \< \frac{1}{3}y'$ , 即 $y' \> 3x'$ . 这意味着 $\phi$ 将 $T_A$ 中的点一一映射到了 $T_B$ 中. 因此, 这两个区域的整点个数必然相等: $N(T_A) = N(T_B)$ . 我们的问题便简化为计算 $N(T_B)$ 的值, 然后从总数中减去它的两倍.

N = N(T) - 2N(T_B)

我们来计算 $N(T_B)$ . 区域 $T_B$ 由不等式组 $x \ge 0, y \> 3x, x+y \le 100$ 定义. 由于 $x,y$ 均为整数, 不等式 $y \> 3x$ 等价于 $y \ge 3x+1$ . 我们对 $x$ 进行遍历. 对于一个固定的整数 $x=k$ , 变量 $y$ 必须满足 $3k+1 \le y \le 100-k$ . 为了保证这个区间至少包含一个整数, 必须有 $3k+1 \le 100-k$ , 这导出 $4k \le 99$ , 即 $k \le 24.75$ . 因此, 整数 $k$ 的取值范围是 $k \in \{0, 1, 2, ..., 24\}$ . 对于每一个这样的 $k$ , 对应的整数 $y$ 的个数为 $(100-k) - (3k+1) + 1 = 100-4k$ . 将所有可能的 $k$ 值对应的 $y$ 的个数相加, 便得到 $N(T_B)$ :

N(T_B) = \sum_{k=0}^{24} (100-4k)

这是一个首项为 $100-4(0)=100$ , 末项为 $100-4(24)=4$ , 共有 $25$ 项的等差数列. 其和为

N(T_B) = \frac{(100+4) \times 25}{2} = 52 \times 25 = 1300

最后, 我们将计算结果代入总数公式:

N = N(T) - 2N(T_B) = 5151 - 2 \times 1300 = 5151 - 2600 = 2551

通过补集计数的方法, 我们同样得到, 满足给定不等式组的整点共有 $2551$ 个.

例

点 $P(1,1), Q(2,2), R(0, -1)$ 在由方程 $|x-1|+|y-1|=1$ 确定的曲线所围成的图形中的个数有 \begin{multicols}{4}

[label=\Alph*.]

\end{multicols}

解

此问题的核心在于识别由方程 $|x-1|+|y-1|=1$ 所定义的几何图形, 并判断给定点与该图形的位置关系. 该方程描述的是一个区域的边界, 而区域内部及边界上的点 $(x,y)$ 则满足不等式

|x-1|+|y-1| \le 1

为了清晰地揭示其几何形态, 我们可以引入一个坐标平移变换. 令 $x' = x-1$ 及 $y' = y-1$ . 在新的 $x'y'$ 坐标系中, 不等式转化为

|x'|+|y'| \le 1

这是一个标准形式, 它表示一个以新坐标系原点为中心, 顶点分别位于坐标轴上 $(\pm 1, 0)$ 和 $(0, \pm 1)$ 的正方形区域. 将这个几何图形变换回原始的 $xy$ 坐标系, 我们可知该区域是一个以点 $(1,1)$ 为对称中心, 顶点为 $(2,1), (1,2), (0,1), (1,0)$ 的旋转正方形. \begin{figure}[htbp]

{|x-1|+|y-1| \<= 1} 定义的区域及相关点}

\end{figure} 图：由 \texorpdfstring{ $|x-1|+|y-1| \le 1$

接着, 我们通过代数方法精确检验每个点的位置:

对于点 $P(1,1)$ :

|1-1|+|1-1| = 0 + 0 = 0

由于 $0 \le 1$, 点 $P$ 位于该区域内, 且为其对称中心.

对于点 $Q(2,2)$ :

|2-1|+|2-1| = 1 + 1 = 2

由于 $2 \> 1$, 点 $Q$ 位于该区域之外.

对于点 $R(0,-1)$ :

|0-1|+|-1-1| = |-1|+|-2| = 1+2 = 3

由于 $3 \> 1$, 点 $R$ 同样位于该区域之外.

综上所述, 仅有点 $P$ 满足条件, 因此在图形中的点的个数为 $1$ . 正确的选项为C.

例

坐标平面内区域 $M\left\{(x,y) \left| \begin{cases} x-y+1\ge0 \\ x+y-1\le0 \\ kx-y-1\le0 \end{cases} \right. , (0\le k \le 1) \right\}$ 的面积可用函数 $f(k)$ 表示, 若 $f(k)=8$ , 则 $k=$ 是多少.

解

此问题要求我们分析一个由参数 $k$ 定义的线性不等式组所确定的平面区域, 并根据其面积反求参数的值. 这是一个典型的解析几何与函数思想结合的问题.

首先, 我们将不等式组转化为边界直线的形式, 以便确定可行域的几何形状.

\begin{cases} y \le x+1 & (l_1) y \le -x+1 & (l_2) y \ge kx-1 & (l_3) \end{cases}

该可行域是由这三条直线围成的一个三角形区域. 为了计算其面积, 我们需要确定其三个顶点的坐标. 这些顶点是边界直线两两相交的交点.

我们通过联立方程组来求解顶点坐标:

顶点 $A$ 是直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点:

\begin{cases} y=x+1 \\ y=-x+1 \end{cases} \implies \begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}

故顶点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$. 此顶点的位置不随参数 $k$ 的变化而改变.

顶点 $B$ 是直线 $l_1$ 与 $l_3$ 的交点:

\begin{cases} y=x+1 \\ y=kx-1 \end{cases} \implies x+1=kx-1 \implies (1-k)x=-2 \implies x=\frac{2}{k-1}

代入得 $y=x+1=\frac{2}{k-1}+1 = \frac{k+1}{k-1}$. 故顶点 $B$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{k-1}, \frac{k+1}{k-1}\right)$.

顶点 $C$ 是直线 $l_2$ 与 $l_3$ 的交点:

\begin{cases} y=-x+1 \\ y=kx-1 \end{cases} \implies -x+1=kx-1 \implies (k+1)x=2 \implies x=\frac{2}{k+1}

代入得 $y=-x+1=-\frac{2}{k+1}+1 = \frac{k-1}{k+1}$. 故顶点 $C$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)$.

\begin{figure}[htbp]

{k=0.5} 为例)}

\end{figure} 图：可行域示意图 (以 \texorpdfstring{ $k=0.5$

接着, 我们计算该三角形的面积 $f(k)$ . 一种有效的方法是选择一条边作为底, 计算对应的高. 我们选择线段 $BC$ 作为底边, 它位于直线 $l_3: kx-y-1=0$ 上. 底边 $BC$ 的长度的平方为:

\begin{aligned} |BC|^2 &= \left(\frac{2}{k-1}-\frac{2}{k+1}\right)^2 + \left(\frac{k+1}{k-1}-\frac{k-1}{k+1}\right)^2 &= \left(\frac{4}{k^2-1}\right)^2 + \left(\frac{4k}{k^2-1}\right)^2 = \frac{16(1+k^2)}{(k^2-1)^2} \end{aligned}

由于 $0\le k \< 1$ , $k^2-1 \< 0$ . 因此 $|BC| = \frac{4\sqrt{1+k^2}}{1-k^2}$ . 三角形的高 $h$ 是顶点 $A(0,1)$ 到直线 $l_3$ 的距离:

h = \frac{|k(0)-1-1|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{k^2+1}}

因此, 面积函数 $f(k)$ 为:

f(k) = \frac{1}{2} |BC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{1+k^2}}{1-k^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{4}{1-k^2}

根据题意, $f(k)=8$ . 我们建立关于 $k$ 的方程:

\frac{4}{1-k^2} = 8

解此方程, 我们得到 $4 = 8(1-k^2)$ , 即 $1 = 2(1-k^2)$ , 化简得 $2k^2=1$ . 因此 $k^2 = \frac{1}{2}$ , 解得 $k = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

考虑到参数 $k$ 的取值范围是 $0 \le k \le 1$ , 我们舍去负值解. 最终得到 $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

例

对于每个自然数 $n$ , 抛物线 $y=(n^2+n)x^2 - (2n+1)x+1$ 与 $x$ 轴交于 $A_n, B_n$ 两点, 以 $|A_nB_n|$ 表示该两点的距离, 则 $|A_1B_1|+|A_2B_2|+\cdots+|A_{2000}B_{2000}|$ 的值是 \begin{multicols}{4}

[label=\Alph*.]

$\dfrac{1999}{2000}$
$\dfrac{2000}{2001}$
$\dfrac{1999}{2001}$
$\dfrac{2001}{2001}$

\end{multicols}

解

此问题考察了二次函数与 $x$ 轴交点距离的计算, 并将其与级数求和, 特别是裂项相消法, 巧妙地结合在一起.

对于给定的自然数 $n$ , 抛物线 $y=(n^2+n)x^2 - (2n+1)x+1$ 与 $x$ 轴的交点 $A_n, B_n$ 的横坐标是二次方程

(n^2+n)x^2 - (2n+1)x+1 = 0

的两个实数根. 设这两个根为 $x_1$ 和 $x_2$ . 根据韦达定理, 我们有

x_1+x_2 = \frac{2n+1}{n^2+n}, x_1x_2 = \frac{1}{n^2+n}

两交点之间的距离 $|A_nB_n|$ 即为两根之差的绝对值 $|x_1-x_2|$ . 我们可以利用根与系数的关系来计算这个距离:

|A_nB_n| = |x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}

将韦达定理的结果代入上式:

\begin{aligned} |A_nB_n| &= \sqrt{\left(\frac{2n+1}{n^2+n}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{n^2+n}\right)} &= \sqrt{\frac{(2n+1)^2 - 4(n^2+n)}{(n^2+n)^2}} &= \sqrt{\frac{4n^2+4n+1 - 4n^2-4n}{(n^2+n)^2}} &= \sqrt{\frac{1}{(n^2+n)^2}} = \frac{1}{n^2+n} \end{aligned}

由于 $n$ 是自然数, $n \ge 1$ , 故 $n^2+n \> 0$ , 分母开方后无需加绝对值.

注意到 $n^2+n = n(n+1)$ , 于是我们得到了距离的简洁表达式:

|A_nB_n| = \frac{1}{n(n+1)}

这是一个可以进行裂项分解的结构. 我们将其分解为部分分式:

\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

现在, 我们的任务是计算这个级数的和. 这是一个典型的裂项相消.

\begin{aligned} S &= \sum_{n=1}^{2000} |A_nB_n| = \sum_{n=1}^{2000} \frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{2000} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) &= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2000} - \frac{1}{2001}\right) \end{aligned}

观察到, 除首项和末项外, 所有中间项都相互抵消. 因此, 和为

S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2001} = \frac{2001-1}{2001} = \frac{2000}{2001}

故正确选项为 B.

例

若当点 $P(m,n)$ 为圆 $x^2+(y-1)^2=1$ 上任一点时, 不等式 $m+n+c \ge 0$ 恒成立, 则 $c$ 的取值范围是？

解

此问题要求我们寻找参数 $c$ 的范围, 使得一个线性不等式在一个圆域上恒成立. 这是一个典型的线性规划思想在解析几何中的应用.

题目所给的条件是, 对于满足方程 $m^2+(n-1)^2=1$ 的任意实数对 $(m,n)$ , 不等式 $m+n+c \ge 0$ 均成立. 我们可以将此不等式变形为 $c \ge -(m+n)$ . 此不等式恒成立, 意味着 $c$ 的值必须大于或等于表达式 $-(m+n)$ 在圆上的所有可能取值. 换言之, $c$ 必须大于或等于 $-(m+n)$ 的最大值.

c \ge \max_{m^2+(n-1)^2=1} \{-(m+n)\}

求 $-(m+n)$ 的最大值, 等价于求 $z=m+n$ 的最小值.

我们将此问题置于几何框架中进行考察. 目标函数 $z=m+n$ 在 $mn$ -坐标平面上代表了一族斜率为 $-1$ 的平行直线. 我们需要寻找当这条直线与圆 $m^2+(n-1)^2=1$ 有公共点时, $z$ 所能取到的最小值. 该圆的圆心为 $C(0,1)$ , 半径为 $R=1$ . 当直线 $m+n-z=0$ 与圆相切时, 目标函数 $z$ 会取得其最大值或最小值. 相切的条件是圆心到直线的距离等于半径.

d = \frac{|1\cdot 0 + 1\cdot 1 - z|}{\sqrt{1^2+1^2}} = R=1

\frac{|1-z|}{\sqrt{2}} = 1

解此方程, 我们得到 $|1-z|=\sqrt{2}$ , 从而 $1-z = \sqrt{2}$ 或 $1-z = -\sqrt{2}$ . 这给出了 $z$ 的两个临界值: $z = 1-\sqrt{2}$ 和 $z = 1+\sqrt{2}$ . 显然, $z=m+n$ 在圆上的最小值为 $z_{\min} = 1-\sqrt{2}$ .

\begin{figure}[htbp]

{z=m+n} 的几何解释}

\end{figure} 图：目标函数 \texorpdfstring{ $z=m+n$

我们已经确定 $m+n$ 的最小值为 $1-\sqrt{2}$ . 因此, $-(m+n)$ 的最大值为 $-(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1$ . 要使不等式 $c \ge -(m+n)$ 恒成立, $c$ 必须大于或等于 $-(m+n)$ 的最大值. 所以, $c \ge \sqrt{2}-1$ . $c$ 的取值范围是 $[\sqrt{2}-1, +\infty)$ .

例

已知坐标平面内有曲线 $C$ 的方程为 $x^2\cos^2\theta + y^2\sin^2\theta=4$ .

\item[(1)] 当 $\theta$ 在什么范围内时, 由曲线 $C$ 上的所有点都位于不等式 $x^2+y^2\le16$ 所表示的图形之中 (这里 $0 \le \theta \le \pi$ ), 并求出此范围; \item[(2)] 当 $\dfrac{\pi}{6} \< \theta \< \dfrac{\pi}{3}$ 时, 求满足曲线 $C$ 的方程的点 $(x,y)$ 的取值范围, 并用图形表示.

解

(1) 我们首先分析曲线 $C$ 的方程. 该方程可改写为

\frac{x^2}{4/\cos^2\theta} + \frac{y^2}{4/\sin^2\theta} = 1

当 $\cos\theta \ne 0$ 且 $\sin\theta \ne 0$ 时, 此方程表示一个中心在原点的椭圆, 其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的半轴长分别为 $a = \frac{2}{|\cos\theta|}$ 和 $b = \frac{2}{|\sin\theta|}$ .

不等式 $x^2+y^2 \le 16$ 表示一个以原点为中心、半径为 $4$ 的闭圆盘. 要使椭圆上的所有点都位于该圆盘内, 椭圆的半长轴必须不大于圆的半径. 换言之, 椭圆上任意点到原点的距离的最大值不能超过 $4$ . 这个最大距离就是椭圆的半长轴长度. 因此, 我们必须满足条件:

\max\{a, b\} = \max\left\{\frac{2}{|\cos\theta|}, \frac{2}{|\sin\theta|}\right\} \le 4

这等价于同时满足以下两个不等式:

\frac{2}{|\cos\theta|} \le 4 \text{和} \frac{2}{|\sin\theta|} \le 4

化简得到

|\cos\theta| \ge \frac{1}{2} \text{和} |\sin\theta| \ge \frac{1}{2}

我们现在在给定区间 $0 \le \theta \le \pi$ 内求解这两个不等式.

对于 $|\sin\theta| \ge \frac{1}{2}$ : 在 $[0,\pi]$ 上, $\sin\theta \ge 0$ , 故不等式为 $\sin\theta \ge \frac{1}{2}$ . 解得 $\theta \in \left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$ .
对于 $|\cos\theta| \ge \frac{1}{2}$ : 这意味着 $\cos\theta \ge \frac{1}{2}$ 或 $\cos\theta \le -\frac{1}{2}$ . \begin{itemize}
在 $[0,\pi]$ 上, $\cos\theta \ge \frac{1}{2}$ 的解为 $\theta \in \left[0, \dfrac{\pi}{3}\right]$ .
在 $[0,\pi]$ 上, $\cos\theta \le -\frac{1}{2}$ 的解为 $\theta \in \left[\dfrac{2\pi}{3}, \pi\right]$ .

因此, $|\cos\theta| \ge \frac{1}{2}$ 的解集为 $\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{2\pi}{3}, \pi\right]$ . \end{itemize} 为了使两个条件同时成立, 我们需要取上述两个解集的交集:

\left( \left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3}, \pi\right] \right) \cap \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right] = \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right]

所以, $\theta$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$ .

(2) 当 $\theta$ 在开区间 $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right)$ 内变化时, 我们需要确定所有满足方程 $x^2\cos^2\theta + y^2\sin^2\theta=4$ 的点 $(x,y)$ 所构成的区域.

当 $\theta$ 取区间的两个端点时, 我们得到两个边界椭圆:

当 $\theta \to \frac{\pi}{6}$ , $\cos^2\theta \to \frac{3}{4}, \sin^2\theta \to \frac{1}{4}$ . 曲线趋近于 $x^2\left(\frac{3}{4}\right) + y^2\left(\frac{1}{4}\right)=4$ , 即 $3x^2+y^2=16$ .
当 $\theta \to \frac{\pi}{3}$ , $\cos^2\theta \to \frac{1}{4}, \sin^2\theta \to \frac{3}{4}$ . 曲线趋近于 $x^2\left(\frac{1}{4}\right) + y^2\left(\frac{3}{4}\right)=4$ , 即 $x^2+3y^2=16$ .

对于任意一个固定的点 $(x,y)$ , 方程 $x^2\cos^2\theta + y^2\sin^2\theta=4$ 可以看作是关于变量 $u=\cos^2\theta$ 的线性方程: $x^2 u + y^2(1-u) = 4$ , 即 $u(x^2-y^2) = 4-y^2$ . 当 $\theta \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$ 时, $u=\cos^2\theta \in (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ . 因此, 点 $(x,y)$ 属于所求区域的充要条件是, 存在 $u \in (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ 使得 $u(x^2-y^2) = 4-y^2$ .

这等价于数值 $4$ 严格地位于 $x^2 u + y^2(1-u)$ 当 $u=\frac{1}{4}$ 和 $u=\frac{3}{4}$ 时的两个值之间. 这两个值分别是 $\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}y^2$ 和 $\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}y^2$ . 所以, 点 $(x,y)$ 所在的区域由以下复合不等式定义:

\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}y^2 \< 4 \text{且} \frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}y^2 \> 4 \right) \text{或} \left(\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}y^2 \> 4 \text{且} \frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}y^2 \< 4 \right)

整理后即

(x^2+3y^2 \< 16 \text{且} 3x^2+y^2 \> 16) \text{或} (x^2+3y^2 \> 16 \text{且} 3x^2+y^2 \< 16)

该区域是位于椭圆 $3x^2+y^2=16$ 和 $x^2+3y^2=16$ 之间的部分, 不包括边界.

图形表示在下一页: \begin{figure}

{(x,y)} 的取值范围 (阴影部分, 不含边界)}

\end{figure} 图：点 \texorpdfstring{ $(x,y)$

饮食问题与计划经济等有趣的应用问题

线性规划的真正力量在于其作为一种思维框架, 能够将纷繁复杂的现实世界问题, 提炼为结构清晰的数学模型. 这一从具体问题到抽象模型的转化过程, 被称为数学建模, 它是应用数学的核心技能. 其关键在于准确地识别出决策变量, 目标函数和约束条件.

我们将通过一个经典的饮食问题 来完整地展示这一过程. 这是一个典型的成本最小化问题.

营养膳食的成本优化

一位营养师需要为一位运动员设计一份最低成本的早餐食谱, 该食谱必须满足特定的营养需求. 早餐由燕麦和牛奶两种食物构成.

营养信息与成本: \begin{itemize}
每 $100$ 克燕麦: 含蛋白质 $10$ 克, 维生素C $5$ 毫克. 成本为 $3$ 元.
每 $100$ 毫升牛奶: 含蛋白质 $4$ 克, 维生素C $20$ 毫克. 成本为 $5$ 元.

\item 营养需求: 早餐必须至少提供 $44$ 克的蛋白质和 $60$ 毫克的维生素C. \end{itemize} 问: 应该如何搭配燕麦和牛奶的份量, 才能在满足营养需求的前提下, 使得总成本最低?

解

我们遵循数学建模的步骤来构建并求解此问题.

我们需要决定的量是两种食物的份量. 设购买燕麦 $x$ 个单位 (每单位 $100$ 克), 牛奶 $y$ 个单位 (每单位 $100$ 毫升). 显然, $x \ge 0, y \ge 0$ .

我们的目标是最小化总成本 $z$ . 根据单价, 目标函数为:

\text{最小化} z = 3x + 5y

食谱必须满足两种营养素的最低需求.

蛋白质约束: 燕麦提供的蛋白质加上牛奶提供的蛋白质, 必须不少于 $44$ 克.

10x + 4y \ge 44

维生素C约束: 燕麦提供的维生素C加上牛奶提供的维生素C, 必须不少于 $60$ 毫克.

5x + 20y \ge 60 (\text{可化简为 } x+4y \ge 12)

综上, 完整的线性规划模型为:

\begin{cases} 10x + 4y \ge 44 x + 4y \ge 12 x \ge 0 y \ge 0 \end{cases}

我们使用顶点检验法. 首先确定可行域. 与之前的例子不同, 这是一个向右上方无限延伸的无界区域. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：饮食问题的无界可行域

可行域的顶点由边界线的交点构成:

顶点 $A$ : $10x+4y=44$ 与 $x=0$ 的交点, 解得 $A(0,11)$ .
顶点 $C$ : $x+4y=12$ 与 $y=0$ 的交点, 解得 $C(12,0)$ .
顶点 $B$ : $10x+4y=44$ 与 $x+4y=12$ 的交点. 两式相减得 $9x=32 \implies x=32/9$ . 代入第二式, $32/9+4y=12 \implies 4y = 12-32/9=76/9 \implies y=19/9$ . 故 $B(32/9, 19/9)$ .

即使可行域无界, 线性规划基本定理的一个推论告诉我们: 如果最优解存在, 它也必然在顶点处取得. 我们可以检验目标函数 $z=3x+5y$ 的等值线 $y = -\frac{3}{5}x + \frac{z}{5}$ . 当我们希望最小化 $z$ 时, 相当于在图中寻找截距最小 (即最靠下方) 的、且与可行域有交点的等值线. 几何直观显示, 这条线必定会首先触碰到可行域的某个“角落”, 即顶点.

我们将顶点坐标代入目标函数: \begin{table}

顶点	坐标 $(x,y)$	成本 $z=3x+5y$
$A$	$(0,11)$	$3(0)+5(11) = 55$
$B$	$(32/9, 19/9)$	$3(32/9)+5(19/9) = (96+95)/9 = 191/9 \approx 21.22$
$C$	$(12,0)$	$3(12)+5(0) = 36$

\end{table} 比较可知, 最小成本为 $191/9$ 元, 在顶点 $B(32/9, 19/9)$ 处取得.

因此, 最优的膳食搭配方案是购买 $32/9 \approx 3.56$ 个单位 (即 $356$ 克) 的燕麦和 $19/9 \approx 2.11$ 个单位 (即 $211$ 毫升) 的牛奶.

接下来，我们来探讨一个很有趣的问题，当然，我们有必要先理解不同经济体系是如何影响优化目标的. 在市场经济中, 企业通常以利润最大化或成本最小化为目标. 而在计划经济 体系中, 经济决策由中央计划机构 (如国家计划委员会) 做出, 资源并非通过市场价格机制来配置, 而是依据国家层面的宏观战略目标进行指令性分配.

因此, 计划经济下的优化目标函数并非利润, 而可能是一个衡量国家战略优先级的综合指数或计划产值. 例如, 在优先发展重工业的时期,

钢材的“价值”权重可能远高于消费品; 在致力于农业机械化时, 拖拉机的权重则会最高. 线性规划作为一种数学工具, 其普适性正体现在此: 无论目标是利润还是战略价值, 其底层的优化逻辑是相通的.

重工业与农业的平衡发展

一个地区的计划委员会需要为下一个五年计划周期制定核心产品的生产指标. 该地区主要利用电力、劳动力和铁矿石这三种资源, 生产两种关键产品: 钢材 (重工业基础) 和拖拉机 (支援农业).

可用资源总量: \begin{itemize}
电力: $1800$ 万千瓦时
熟练劳动力: $2100$ 万工时

\item 生产消耗 (以“万吨”为单位的钢材和“万台”为单位的拖拉机):
生产 $1$ 万吨钢材 ( $x$ ) 需要: $5$ 万千瓦时电力, $10$ 万工时劳动力.
生产 $1$ 万台拖拉机 ( $y$ ) 需要: $20$ 万千瓦时电力, $15$ 万工时劳动力.

\item 内部结构与最低任务约束:
内部消耗: 每生产 $1$ 万台拖拉机, 需要消耗 $2$ 万吨钢材作为原材料.
最低保障: 为满足基本建设和农业需求, 必须保证钢材产量至少为 $60$ 万吨, 拖拉机产量至少为 $30$ 万台.

\item 国家优先指数: 根据国家“以农促工, 工农并举”的战略方针, 每单位钢材的优先指数计为 $3$ 分, 每单位拖拉机的优先指数计为 $10$ 分. \end{itemize} 问: 应如何规划钢材和拖拉机的产量, 才能使该地区的总国家优先指数最高?

解

这是一个典型的、具有多重及内部关联约束的线性规划问题. 我们将严格按照数学建模的步骤来构建和求解.

设钢材的计划产量为 $x$ 万吨, 拖拉机的计划产量为 $y$ 万台. 目标是最大化国家优先指数 $z$ , 其目标函数为:

\text{最大化} z = 3x + 10y

决策变量 $(x,y)$ 必须满足一系列约束条件.

资源约束:

5x + 20y \le 1800 (\text{电力约束}) \implies x+4y \le 360

10x + 15y \le 2100 (\text{劳动力约束}) \implies 2x+3y \le 420

内部消耗约束: 用于生产拖拉机的钢材 ( $2y$ ) 不能超过钢材的总产量 ( $x$ ).

2y \le x \implies x - 2y \ge 0

最低任务约束:

x \ge 60, y \ge 30

我们获得了完整的线性规划模型. 接着, 通过顶点检验法求解. 首先确定可行域的顶点. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：计划经济问题的可行域

可行域的顶点由边界线的交点构成:

顶点 $A$ : $x=60$ 与 $y=30$ 的交点. 检验: $60-2(30)=0 \ge 0$ . 故 $A(60,30)$ 是一个顶点.
顶点 $B$ : $y=30$ 与 $2x+3y=420$ 的交点. $2x+3(30)=420 \implies 2x=330 \implies x=165$ . 故 $B(165,30)$ .
顶点 $C$ : $2x+3y=420$ 与 $x+4y=360$ 的交点. 联立求解得 $x=120, y=60$ . 故 $C(120,60)$ .

(我们需验证其他交点是否构成可行域. 例如 $x=2y$ 与 $x+4y=360$ 的交点也是 $(120,60)$ , 表明三条约束线在此交于一点. $x=60$ 与 $x=2y$ 的交点为 $(60,30)$ , 即顶点 $A$ . 故可行域确实为三角形 $ABC$ .)

最后, 将顶点代入目标函数 $z = 3x + 10y$ 进行检验: \begin{table}[h!]

顶点坐标 $(x,y)$	优先指数 $z=3x+10y$
$A(60,30)$	$3(60)+10(30) = 180+300 = 480$
$B(165,30)$	$3(165)+10(30) = 495+300 = 795$
$C(120,60)$	$3(120)+10(60) = 360+600 = 960$

\end{table} 比较可知, 最大的国家优先指数为 $960$ , 在顶点 $C(120,60)$ 处取得.

因此, 计划委员会应下达生产 $120$ 万吨钢材和 $60$ 万台拖拉机的指标. 在此计划下, 电力消耗为 $5(120)+20(60) = 600+1200=1800$ , 达到上限. 劳动力消耗为 $10(120)+15(60) = 1200+900=2100$ , 达到上限. 内部钢材消耗为 $2(60)=120$ , 与钢材产量相等. 此解表明, 最优策略是将所有可用资源全部投入生产, 直到电力和劳动力同时耗尽, 并且生产的钢材恰好全部用于制造拖拉机, 没有剩余. 这是一个资源被完全有效利用的理想状态.

例

假设你是国家计划委员会的规划专家, 需要为某一年的生产制定核心指标. 你的决策将围绕三个关键部门: 钢铁、机械制造 (以机床为代表) 和农业 (以粮食为代表).

决策变量: \begin{itemize}
钢材年产量: $x$ (万吨)
机床年产量: $y$ (万台)
粮食年产量: $z$ (百万吨)

\item 可用资源约束:
国家投资总额: $60$ 亿元. 生产1万吨钢材需投资 $0.3$ 亿元; 1万台机床需投资 $0.8$ 亿元; 1百万吨粮食需投资 $0.1$ 亿元.
技术工人总工时: $3000$ 万工时. 生产1万吨钢材需 $5$ 万工时; 1万台机床需 $20$ 万工时; 粮食生产主要依赖普通劳力, 对技术工人需求极小, 忽略不计.

\item 内部结构与社会需求约束:
钢材内部消耗: 每制造1万台机床, 需消耗 $2$ 万吨钢材. 剩余的钢材才能用于其他建设.
粮食基本需求: 工业部门 (钢铁, 机床) 的工人需要粮食来维持生产. 假设每生产1万吨钢材或1万台机床, 需要消耗 $0.2$ 百万吨粮食. 此外, 国家必须保证至少 $80$ 百万吨的粮食储备与民用.
最低工业指标: 作为工业化的基础, 钢材产量至少为 $40$ 万吨, 机床产量至少为 $5$ 万台.

\item 国家战略价值函数: 根据优先发展重工业, 特别是装备制造业的国策, 经测算, 每单位产出的战略价值为: 钢材 $5$ 分, 机床 $12$ 分, 粮食 $2$ 分. \end{itemize} 问: 应如何制定 $x, y, z$ 的年度生产计划, 使得国家战略价值总分最高?

解

这是一个三维线性规划问题, 其复杂性与真实性远超二维平面. 我们首先系统地构建其数学模型.

目标函数是最大化国家战略价值 $W$ :

\text{最大化} W = 5x + 12y + 2z

约束条件如下:

投资约束: $0.3x + 0.8y + 0.1z \le 60 \implies 3x+8y+z \le 600$
技术工人约束: $5x + 20y \le 3000 \implies x+4y \le 600$
钢材内部平衡: (此为隐性约束, 净钢材为 $x-2y$ , 必须非负) $x-2y \ge 0$
粮食需求约束: $z \ge 0.2x + 0.2y + 80$
最低指标约束: $x \ge 40, y \ge 5$

由于存在三个变量, 我们无法直接使用二维图解法. 然而, 我们可以分析约束条件的特性来简化问题. 注意到粮食需求约束 $z \ge 0.2x + 0.2y + 80$ 是一个下界. 而在目标函数 $W = 5x + 12y + 2z$ 中, $z$ 的价值系数 (2) 远低于 $x$ (5) 和 $y$ (12). 在一个追求最大化价值的系统中, 任何超出最低需求的资源都应被投入到价值更高的部门. 因此, 生产恰好满足需求的粮食, 而将节约下来的投资和劳动力用于生产钢材和机床, 是最优策略. 这一经济学直觉告诉我们, 最优解很可能出现在粮食约束的边界上.

我们假设最优解在 $z = 0.2x + 0.2y + 80$ 这条边界上取得. 将此关系代入投资约束和目标函数, 即可将三维问题转化为二维问题.

代入目标函数:

\begin{aligned} W &= 5x + 12y + 2(0.2x + 0.2y + 80) &= 5x + 12y + 0.4x + 0.4y + 160 &= 5.4x + 12.4y + 160 \end{aligned}

最大化 $W$ 等价于最大化有效目标函数 $W_{eff} = 5.4x + 12.4y$ .

代入投资约束:

3x+8y+(0.2x+0.2y+80) \le 600

3.2x + 8.2y \le 520 \implies 16x + 41y \le 2600

现在, 我们得到了一个关于 $x,y$ 的二维线性规划问题:

\text{最大化} W_{eff} = 5.4x + 12.4y

\text{满足} \begin{cases} x+4y \le 600 16x + 41y \le 2600 x - 2y \ge 0 x \ge 40 y \ge 5 \end{cases}

我们通过顶点检验法求解.

顶点 $A$ : $y=5$ 与 $x=40$ 的交点, $A(40,5)$ .
顶点 $B$ : $x=40$ 与 $x+4y=600$ 的交点, $40+4y=600 \implies y=140$ . $B(40,140)$ .
顶点 $C$ : $x+4y=600$ 与 $16x+41y=2600$ 的交点. 解方程组得 $C(80,130)$ .
顶点 $D$ : $16x+41y=2600$ 与 $x-2y=0$ (即 $x=2y$ ) 的交点. $16(2y)+41y=2600 \implies 73y=2600 \implies y \approx 35.6$ . $x \approx 71.2$ . $D(71.2, 35.6)$ .
顶点 $E$ : $x=2y$ 与 $y=5$ 的交点, $E(10,5)$ , 但不满足 $x \ge 40$ , 舍去.

(需检验各顶点是否满足所有约束, 经检验 A,B,C,D 均在可行域内).

将顶点代入有效目标函数 $W_{eff} = 5.4x + 12.4y$ : \begin{table}[h!]

顶点	$W_{eff} = 5.4x + 12.4y$
$A(40,5)$	$5.4(40)+12.4(5) = 216+62=278$
$B(40,140)$	$5.4(40)+12.4(140) = 216+1736=1952$
$C(80,130)$	$5.4(80)+12.4(130) = 432+1612=2044$
$D(71.2, 35.6)$	$5.4(71.2)+12.4(35.6) = 384.48+441.44 = 825.92$

\end{table}

最大有效值为 $2044$ , 在顶点 $C(80,130)$ 处取得. 此时, 钢材产量 $x=80$ 万吨, 机床产量 $y=130$ 万台. 代入求得粮食产量:

z = 0.2(80) + 0.2(130) + 80 = 16 + 26 + 80 = 122 \text{ 百万吨}

最终的战略价值总分为:

W = 5(80) + 12(130) + 2(122) = 400 + 1560 + 244 = 2204

(这与 $W_{eff}+160 = 2044+160=2204$ 的结果一致, 验证了计算的正确性).

因此, 最优的年度生产计划是: 生产钢材 $80$ 万吨, 机床 $130$ 万台, 粮食 $122$ 百万吨. 这个解反映了计划经济的内在逻辑: 在满足所有基本约束后, 资源被优先配置给战略价值最高的部门 (机床), 直到其生产受到资本和劳动力的双重制约, 从而达到全局最优.

金融领域的投资组合优化

金融学的核心议题之一是在不确定性中做出最优决策. 对任何投资者而言, 这都归结于一场在回报与风险之间的永恒博弈. 通常, 潜在回报越高的资产, 其价格波动的风险也越大. 一个纯粹追求最高回报的策略可能会导致无法承受的亏损, 而一个完全回避风险的策略则可能使资产价值停滞不前.

现代投资组合理论, 由诺贝尔奖得主哈里·马科维茨奠基, 为解决这一难题提供了科学的框架. 其核心思想是, 通过分散化 投资于多种不完全相关的资产, 可以在不牺牲预期回报的前提下降低整个投资组合的风险. 理论上, 存在一系列被称为“有效前沿”的投资组合, 它们在给定风险水平下提供了最高的回报.

虽然完整的马科维茨模型因其对风险 (通常用方差衡量) 的处理而属于二次规划的范畴, 但线性规划为解决这类问题提供了一个极其强大且易于理解的入门工具和近似方法. 在许多现实场景中, 风险可以通过一系列线性的规则和约束来有效控制, 从而将问题转化为一个标准的线性规划模型.

在线性规划的视角下, 投资组合优化的任务被清晰地解构为:

决策变量: 决定投入到每一种金融资产 (如股票, 债券, 房地产等) 的资金数额 $x_1, x_2, ..., x_n$ .
目标函数: 通常是最大化整个投资组合的总预期回报, 即 $\text{Maximize} Z = r_1 x_1 + r_2 x_2 + ... + r_n x_n$ , 其中 $r_i$ 是资产 $i$ 的预期回报率.
约束条件: 这部分是模型的关键, 它将所有现实世界的限制和投资者的偏好转化为数学语言. \begin{itemize}
预算约束: $\sum x_i \le \text{总投资额}$ .
风险控制约束: 对高风险资产类别的投资上限, 如 $\sum_{k \in \text{高风险}} x_k \le \text{风险敞口上限}$ .
分散化约束: 对单一资产或行业的最低或最高投资比例, 如 $x_j \ge \text{最低要求}$ , 或 $x_j \le \text{单一资产上限}$ .
监管与合规约束: 法律或基金章程规定的其他任何线性限制.

\end{itemize} 通过这种方式, 线性规划将投资者的主观目标 (高回报) 和客观限制 (预算, 风险) 转化为一个精确的数学问题, 并提供了一个保证找到最优解的系统性方法. 它使得在成千上万种可能的资金分配方案中, 寻找到那个唯一的最优解成为可能.

风险与回报的权衡

一位基金经理负责管理一笔总额为 $100$ 万元的资金. 她的目标是在遵守基金的投资章程的前提下, 将这笔资金分配给两种类型的股票: “高增长科技股”和“蓝筹公用事业股”, 以期获得最大的年度预期回报.

投资标的与预期回报: \begin{itemize}
高增长科技股 (T): 风险较高, 预期年回报率为 $10\%$ .
蓝筹公用事业股 (U): 风险较低, 预期年回报率为 $4\%$ .

\item 基金投资章程约束:
总预算: 投入两种股票的总金额不得超过 $100$ 万元.
风险敞口限制: 对高风险的科技股, 投资额不得超过 $60$ 万元.
稳健性要求: 为保证投资组合的稳定性, 对公用事业股的投资额不得低于 $10$ 万元.

\end{itemize} 问: 基金经理应如何分配资金, 才能使总的预期年回报最大化?

解

这是一个典型的投资组合优化问题, 我们可以通过线性规划进行建模求解.

\paragraph{数学建模} 设投入高增长科技股的资金为 $x$ 万元, 投入蓝筹公用事业股的资金为 $y$ 万元. 目标是最大化总预期回报 $Z$ (单位: 万元), 其目标函数为:

\text{最大化} Z = 0.10x + 0.04y

此决策必须满足基金章程规定的所有约束条件:

预算约束: $x + y \le 100$
风险敞口约束: $x \le 60$
稳健性约束: $y \ge 10$
非负约束: $x \ge 0$ .

\paragraph{求解} 我们通过顶点检验法求解. 首先绘制由上述不等式组定义的可行域. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：投资组合问题的可行域

可行域是一个四边形, 其顶点由边界线的交点构成:

顶点 $A$ : $x=0$ 与 $y=10$ 的交点. 故 $A(0,10)$ .
顶点 $B$ : $x=60$ 与 $y=10$ 的交点. 故 $B(60,10)$ .
顶点 $C$ : $x=60$ 与 $x+y=100$ 的交点, 解得 $y=40$ . 故 $C(60,40)$ .
顶点 $D$ : $x=0$ 与 $x+y=100$ 的交点, 解得 $y=100$ . 故 $D(0,100)$ .

根据线性规划基本定理, 最大回报必在这些顶点之一处取得. 我们将各顶点坐标代入目标函数 $Z = 0.10x + 0.04y$ 进行检验: \begin{table}[h!]

顶点坐标 $(x,y)$	预期回报 $Z=0.1x+0.04y$
$A(0,10)$	$0.1(0)+0.04(10) = 0.4$
$B(60,10)$	$0.1(60)+0.04(10) = 6 + 0.4 = 6.4$
$C(60,40)$	$0.1(60)+0.04(40) = 6 + 1.6 = 7.6$
$D(0,100)$	$0.1(0)+0.04(100) = 4$

\end{table}

比较上表中的回报值, 我们发现最大值为 $7.6$ 万元, 它在顶点 $C(60,40)$ 处取得.

因此, 最优的投资策略是: 将 $60$ 万元投入高增长科技股, 将 $40$ 万元投入蓝筹公用事业股. 这个解的经济学含义是, 为了追求最高回报, 基金经理应该将高风险资产的头寸加到规则允许的上限 ( $x=60$ ), 然后将剩余的资金全部投入到稳健资产中, 直到用尽全部预算.

构建固定收益投资组合

一家保险公司的资产管理部门需要将一笔 $500$ 万元的资金投资于一个由国债和企业债构成的固定收益投资组合. 目标是在满足严格的风险和流动性要求下, 最大化年度利息总收入.

投资标的: \begin{itemize}
A类资产 (政府主权债券 - 国债): 预期年收益率 $3\%$ , 风险评级为 $1$ (极低风险).
B类资产 (高收益企业债券 - 企业债): 预期年收益率 $7\%$ , 风险评级为 $5$ (中等风险).

\item 投资规定与风控要求:
总预算: 总投资额不超过 $500$ 万元.
平均风险控制: 整个投资组合的加权平均风险评级不得超过 $2$ .
流动性要求: 出于流动性考虑, 投资于国债的资金必须至少占总投资额的 $40\%$ .

\end{itemize} 问: 应如何配置国债和企业债的投资金额, 才能使年度利息收入最大化?

解

此问题要求我们在多重财务约束下, 寻找最优的资产配置方案. 我们将此问题构建为一个线性规划模型.

\paragraph{数学建模} 设投资于国债的金额为 $x$ 万元, 投资于企业债的金额为 $y$ 万元. 目标是最大化年度利息总收入 $Z$ (单位: 万元), 其目标函数为:

\text{最大化} Z = 0.03x + 0.07y

投资决策必须满足下列约束条件:

预算约束: $x + y \le 500$
平均风险约束: 投资组合的加权平均风险评级由 $\frac{1 \cdot x + 5 \cdot y}{x+y}$ 给出.

\frac{x + 5y}{x+y} \le 2 \implies x+5y \le 2(x+y) \implies x+5y \le 2x+2y \implies 3y \le x \implies x-3y \ge 0

流动性约束: $x \ge 0.40(x+y) \implies x \ge 0.4x+0.4y \implies 0.6x \ge 0.4y \implies 3x \ge 2y \implies 3x-2y \ge 0$
非负约束: $x \ge 0, y \ge 0$ .

\paragraph{求解} 我们通过顶点检验法求解. 首先确定可行域. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：债券投资组合问题的可行域

可行域是一个由原点和另外两个顶点构成的三角形. 它的顶点由以下边界线的交点确定: (注意到 $3x-2y \ge 0 \implies y \le 1.5x$ 是一个比 $x-3y \ge 0 \implies y \le x/3$ 更宽松的约束, 因此可行域的边界由 $y=x/3$ , $x+y=500$ 和 $y=0$ 决定).

顶点 $O$ : 原点 $(0,0)$ .
顶点 $B$ : $x+y=500$ 与 $y=0$ 的交点. 故 $B(500,0)$ .
顶点 $A$ : $x+y=500$ 与 $x-3y=0$ 的交点. 联立求解, $3y+y=500 \implies 4y=500 \implies y=125$ , 则 $x=375$ . 故 $A(375,125)$ .

(需检验顶点 $A$ 是否满足所有约束. $3(375)-2(125)=1125-250 \> 0$ , 满足流动性约束. 故 $A$ 是有效顶点).

我们将顶点代入目标函数 $Z = 0.03x + 0.07y$ 进行检验: \begin{table}[h!]

顶点坐标 $(x,y)$	利息收入 $Z=0.03x+0.07y$
$O(0,0)$	$0.03(0)+0.07(0) = 0$
$B(500,0)$	$0.03(500)+0.07(0) = 15$
$C(375,125)$	$0.03(375)+0.07(125) = 11.25 + 8.75 = 20$

\end{table}

比较结果, 最大利息收入为 $20$ 万元, 在顶点 $A(375,125)$ 处取得.

因此, 最优的资产配置方案是: 投资 $375$ 万元于国债, 投资 $125$ 万元于企业债. 此解的金融学含义是, 在满足预算的前提下, 决策的核心在于风险控制. 投资者应将尽可能多的资金投入到高收益的企业债中, 直到组合的平均风险达到规定的上限 ( $x-3y=0$ ). 此时, 任何进一步增加企业债投资的行为都将违反风险规定. 这个点定义了在给定风险偏好下的最优回报.

二次曲线

{/* label: sec:ch12-s05 */}

直线与圆是代数上由一阶和特定二阶方程定义的几何图形. 一个自然而深刻的推广是考察由一般二阶多项式方程所定义的曲线. 这些曲线, 统称为二次曲线, 构成了欧几里得平面几何中最为重要和优美的一族图形, 它们在物理学, 天文学和工程学中扮演着核心角色, 从行星的运行轨道到光学仪器的设计, 无不体现着它们的根本重要性.

二次曲线的一般理论

在笛卡尔坐标系中, 任意二次曲线都可以由一个二元二次方程的一般形式来描述.

二次曲线的代数定义

平面上一条二次曲线是所有满足方程

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

的点 $(x,y)$ 的集合, 其中系数 $A, B, C, D, E, F$ 均为实数, 且 $A, B, C$ 不全为零.

这个单一的方程蕴含着惊人的多样性. 根据系数的不同, 它可以表示椭圆 (包括圆), 抛物线, 或双曲线. 同时, 它也包含了一些退化情况, 例如一个点, 一条直线, 两条相交或平行的直线, 甚至没有图形.

这些曲线之所以被统称为圆锥曲线, 是因为它们都可以通过一个平面去截一个圆锥面得到, 这一几何观点揭示了它们之间深刻的内在联系.

一般方程中的 $Bxy$ 项, 称为交叉项, 它的存在意味着曲线的对称轴相对于坐标轴发生了旋转. 而 $Dx$ 和 $Ey$ 线性项的存在则意味着曲线的中心 (或顶点) 发生了平移. 解析几何的一个核心技巧就是通过坐标变换 (旋转和平移), 选取一个“恰当”的坐标系, 使得在该坐标系下曲线的方程不含交叉项和某些线性项. 这种简化后的方程形式被称为标准方程, 它能最清晰地揭示曲线的几何属性.

一个自然的问题是: 如何从代数方程的系数直接判断曲线的类型, 而无需进行复杂的坐标变换? 答案隐藏在一个不随坐标旋转而改变的量, 即不变量之中.

考虑将原始的 $xy$ 坐标系逆时针旋转一个角度 $\theta$ , 得到新的 $x'y'$ 坐标系. 坐标变换关系为:

\begin{aligned} x &= x' \cos\theta - y' \sin\theta y &= x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{aligned}

将此变换代入二次曲线的一般方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+...=0$ , 经过繁琐但直接的代数展开后, 我们会得到一个新的关于 $x', y'$ 的二次方程 $A'x'^2 + B'x'y' + C'y'^2 + ... = 0$ . 我们的目标是选择一个合适的旋转角 $\theta$ , 使得新方程中的交叉项系数 $B'$ 为零. 新的交叉项系数 $B'$ 的表达式为:

B' = B(\cos^2\theta - \sin^2\theta) - 2(A-C)\sin\theta\cos\theta = B\cos(2\theta) - (A-C)\sin(2\theta)

令 $B'=0$ , 我们得到 $B\cos(2\theta) = (A-C)\sin(2\theta)$ , 这意味着

\cot(2\theta) = \frac{A-C}{B}

对于任意的 $A,B,C$ , 这个方程总是有解的. 这表明我们总能找到一个旋转角 $\theta$ 来消除交叉项, 使得新方程的形式简化为 $A'x'^2+C'y'^2+D'x'+E'y'+F'=0$ .

在此新坐标系下, 曲线的类型由系数 $A'$ 和 $C'$ 的符号决定:

若 $A'$ 与 $C'$ 同号 (即 $A'C' \> 0$ ), 曲线为椭圆类型.
若 $A'$ 或 $C'$ 中有一个为零 (即 $A'C' = 0$ ), 曲线为抛物线类型.
若 $A'$ 与 $C'$ 异号 (即 $A'C' \< 0$ ), 曲线为双曲线类型.

尽管我们可以计算出 $A'$ 和 $C'$ 的具体表达式, 但一个更为深刻和简洁的方法是寻找一个在坐标旋转下保持不变的量. 通过直接计算可以证明, 表达式 $B^2-4AC$ 就是这样一个不变量, 即

B'^2 - 4A'C' = B^2 - 4AC

由于我们选择的 $\theta$ 使得 $B'=0$ , 上述不变量关系简化为:

-4A'C' = B^2 - 4AC

这个等式建立了原始方程的系数与旋转后方程系数之间的直接桥梁, 从而使我们能够直接判断曲线类型:

若 $B^2 - 4AC \< 0$ , 则 $-4A'C' \< 0$ , 意味着 $A'C' \> 0$ . $A'$ 和 $C'$ 同号, 曲线为椭圆类型 (当 $B=0, A=C$ 时为圆).
若 $B^2 - 4AC = 0$ , 则 $-4A'C' = 0$ , 意味着 $A'C' = 0$ . $A'$ 或 $C'$ 必有一个为零, 曲线为抛物线类型.
若 $B^2 - 4AC \> 0$ , 则 $-4A'C' \> 0$ , 意味着 $A'C' \< 0$ . $A'$ 和 $C'$ 异号, 曲线为双曲线类型.

我们称 $\Delta = B^2 - 4AC$ 为二次曲线的判别式. 它的符号不依赖于坐标系的选择, 而是内禀地反映了曲线的几何本质. 我们的研究将从逐一分析这些曲线的标准方程开始.

椭圆

椭圆的几何定义

我们首先从一个纯粹的几何构造出发, 这个构造不依赖于任何坐标系, 捕捉了椭圆最本质的特征.

椭圆

平面内到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之和等于一个常数 (该常数必须大于两定点之间的距离) 的所有点 $P$ 的轨迹, 称为椭圆. 这两个定点 $F_1, F_2$ 称为椭圆的焦点.

这个定义可以直观地通过“拉绳法”来理解: 将一根长度固定的绳子的两端固定在两个图钉上 ( $F_1, F_2$ ), 用笔尖 ( $P$ ) 将绳子拉紧并移动, 笔尖所经过的轨迹就是一个椭圆. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：椭圆的焦点定义

椭圆的标准方程

为了将上述几何定义转化为代数方程, 我们需要建立一个坐标系. 最能简化计算的坐标系选择是: 将 $x$ 轴置于两焦点所在的直线上, 并将原点置于线段 $F_1F_2$ 的中点. 设两焦点之间的距离为 $2c$ ( $c\>0$ ), 则 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$ . 设点 $P$ 到两焦点的距离之和为常数 $2a$ . 根据三角形两边之和大于第三边的原理, 必须有 $2a \> |F_1F_2|=2c$ , 即 $a\>c$ . 设 $P$ 的坐标为 $(x,y)$ . 根据定义, 我们有

|PF_1| + |PF_2| = 2a

利用两点间距离公式, 将其写为坐标形式:

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a

这是一个含有两个根式的方程. 我们的目标是通过代数运算消除根式. 首先, 将其中一个根式移到等式右侧:

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}

对等式两边同时平方:

(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2

展开并化简. 注意到 $x^2, y^2, c^2$ 项在两侧被消去:

x^2+2xc+c^2+y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + x^2-2xc+c^2+y^2

4xc - 4a^2 = -4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}

两边同除以 $4$ , 并整理得到:

a^2 - cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}

为了消除最后的根式, 我们再次对等式两边进行平方:

(a^2-cx)^2 = a^2 \left( (x-c)^2+y^2 \right)

a^4 - 2a^2cx + c^2x^2 = a^2 (x^2-2xc+c^2+y^2)

a^4 - 2a^2cx + c^2x^2 = a^2x^2 - 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2

注意到 $-2a^2cx$ 项在两侧也被消去. 我们将含有变量的项移到一边, 常数项移到另一边:

a^2x^2 - c^2x^2 + a^2y^2 = a^4 - a^2c^2

(a^2-c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2-c^2)

由于我们已经假设 $a\>c$ , 故 $a^2-c^2$ 是一个正数. 这个量在椭圆的几何结构中具有重要意义. 我们定义一个新常数 $b$ :

b^2 = a^2-c^2 (b\>0)

将此式代入, 方程变为:

b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2

最后, 用 $a^2b^2$ 除以方程两边 (由于 $a\>c\>0$ , $b^2\>0$ , 故 $a^2b^2 \ne 0$ ), 我们便得到了椭圆的标准方程:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a\>b\>0)

若焦点位于 $y$ 轴上, 即 $F_1(0,-c), F_2(0,c)$ , 遵循同样的推导, 可得标准方程为 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ . 通常我们约定 $a$ 代表半长轴, 故 $a\>b$ 总是成立.

椭圆的几何性质

椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 以一种极为凝练的形式编码了其全部的几何信息.

对称性: 由于方程中 $x,y$ 均以平方形式出现, 将 $(x,y)$ 替换为 $(-x,y), (x,-y), (-x,-y)$ 方程均不变. 这表明椭圆是关于 $y$ 轴, $x$ 轴以及原点中心对称的图形.
范围: 从方程可知 $\frac{x^2}{a^2} \le 1$ 且 $\frac{y^2}{b^2} \le 1$ . 这意味着 $|x| \le a$ 且 $|y| \le b$ . 椭圆是一个有界图形, 它完全包含在由直线 $x=\pm a, y=\pm b$ 构成的矩形内部.
顶点: 椭圆与对称轴的交点称为顶点. 它们是 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$ .
轴: 连接顶点 $(\pm a, 0)$ 的线段称为长轴, 其长度为 $2a$ . 连接顶点 $(0, \pm b)$ 的线段称为短轴, 其长度为 $2b$ . $a$ 和 $b$ 分别被称为半长轴长和半短轴长.
焦点与轴长的关系: 我们定义的 $b^2=a^2-c^2$ 可以改写为 $a^2=b^2+c^2$ . 这个关系在几何上体现为一个以半长轴长 $a$ 为斜边, 半短轴长 $b$ 和焦距 $c$ 为直角边的直角三角形.

\begin{figure}[htbp]

{a^2=b^2+c^2}} \end{figure} 图：椭圆的标准方程几何要素, 其中 \texorpdfstring{ $a^2=b^2+c^2$

例

设 $F_1$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的右焦点, $AB$ 为过原点的弦, 则 $\triangle ABF_1$ 面积的最大值为 \begin{multicols}{4}

[label=\Alph*.]

20
15
$13\dfrac{1}{2}$
12

\end{multicols}

解

此问题要求解一个以焦点为顶点, 以中心弦为底边的三角形的面积最大值. 其解法深刻地依赖于对椭圆基本参数的几何理解.

首先, 我们从椭圆方程 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 中提取其几何参数: 半长轴 $a=\sqrt{25}=5$ , 半短轴 $b=\sqrt{9}=3$ . 半焦距 $c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16}=4$ . 由于 $F_1$ 是右焦点, 其坐标为 $(4,0)$ .

设弦 $AB$ 是过原点的一条直线. 设其与椭圆的交点为 $A(x_A, y_A)$ 和 $B(x_B, y_B)$ . 由于直线过原点, 椭圆关于原点中心对称, 因此点 $A$ 和点 $B$ 必然也关于原点对称, 即 $x_B=-x_A, y_B=-y_A$ .

我们来计算 $\triangle ABF_1$ 的面积. 我们可以将这个三角形看作是由 $\triangle OAF_1$ 和 $\triangle OBF_1$ 拼接而成. 这两个小三角形共享底边 $OF_1$ . 底边长为 $|OF_1|=c=4$ . $\triangle OAF_1$ 的高是点 $A$ 到 $x$ 轴的距离, 即 $|y_A|$ . $\triangle OBF_1$ 的高是点 $B$ 到 $x$ 轴的距离, 即 $|y_B|=|-y_A|=|y_A|$ .

因此, $\triangle ABF_1$ 的总面积 $S$ 为:

S = S_{\triangle OAF_1} + S_{\triangle OBF_1} = \frac{1}{2}|OF_1|\cdot|y_A| + \frac{1}{2}|OF_1|\cdot|y_B| = \frac{1}{2}c|y_A| + \frac{1}{2}c|y_A| = c|y_A|

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：焦点-中心弦三角形面积的构成

要使面积 $S = c|y_A|$ 最大化, 我们需要最大化点 $A$ 的纵坐标的绝对值 $|y_A|$ . 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上的任意一点, 其坐标满足 $|y| \le b$ . $|y|$ 的最大值在短轴顶点处取得, 即当 $x=0$ 时, $|y|=b$ .

因此, 当弦 $AB$ 恰好是椭圆的短轴时, $|y_A|$ 取得最大值 $b$ . 此时 $\triangle ABF_1$ 的面积也达到最大值.

S_{\max} = c \cdot b

代入本题的数值, 我们得到:

S_{\max} = 4 \times 3 = 12

故正确选项为 D.

这个例题的解法揭示了一个具有普遍性的结论, 我们可以将其总结为一个定理.

焦点-中心弦三角形面积

对于中心在原点的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , 由一个焦点 $F(c,0)$ 和一条过原点的弦 $AB$ 构成的三角形 $\triangle ABF$ , 其面积 $S$ 的取值范围为:

0 \< S \le cb

当弦 $AB$ 为短轴时, 面积取得最大值 $cb$ .
当弦 $AB$ 趋近于长轴时 (此时三角形退化为线段), 面积趋近于最小值 $0$ .

证明

设椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , 其右焦点为 $F(c,0)$ . 设过原点的弦 $AB$ 由直线 $l$ 确定, $A$ 和 $B$ 为 $l$ 与椭圆的两个交点. 由于椭圆关于原点中心对称, 若 $A$ 的坐标为 $(x_A, y_A)$ , 则 $B$ 的坐标必为 $(-x_A, -y_A)$ .

我们来计算三角形 $\triangle ABF$ 的面积 $S$ . 我们可以选择线段 $AB$ 在 $y$ 轴上的投影作为“底”, 焦点 $F$ 到 $y$ 轴的距离作为“高”. 更严谨地, 我们可以将 $\triangle ABF$ 的面积视为两个共底边的小三角形 $\triangle OAF$ 和 $\triangle OBF$ 的面积之和.

以线段 $OF$ 所在的 $x$ 轴为基准.

$\triangle OAF$ 的底边为 $|OF|=c$ , 其高为点 $A$ 到 $x$ 轴的距离, 即 $|y_A|$ . 因此, $S_{\triangle OAF} = \frac{1}{2}c|y_A|$ .
$\triangle OBF$ 的底边也为 $|OF|=c$ , 其高为点 $B$ 到 $x$ 轴的距离, 即 $|y_B|$ . 由于 $y_B = -y_A$ , 我们有 $|y_B|=|y_A|$ . 因此, $S_{\triangle OBF} = \frac{1}{2}c|y_A|$ .

将两者相加, 得到 $\triangle ABF$ 的总面积:

S = S_{\triangle OAF} + S_{\triangle OBF} = \frac{1}{2}c|y_A| + \frac{1}{2}c|y_A| = c|y_A|

这个关系式表明, 三角形的面积 $S$ 与弦的端点 $A$ 的纵坐标的绝对值成正比. 因此, 寻求面积 $S$ 的最大值, 等价于寻求 $|y_A|$ 在椭圆上的最大值.

对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上的任意一点 $(x,y)$ , 其坐标必须满足方程. 从方程中我们可以推断出 $y$ 的取值范围:

\frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2} \le 1

y^2 \le b^2 \implies |y| \le b

因此, 椭圆上任意一点的纵坐标的绝对值 $|y|$ 的最大值为 $b$ . 这个最大值在 $x=0$ 时取得, 此时的点为椭圆的短轴顶点 $(0, \pm b)$ .

将 $|y_A|$ 的最大值代入面积公式, 我们得到面积的最大值:

S_{\max} = c \cdot b = cb

这种情况发生在点 $A$ 为 $(0,b)$ 或 $(0,-b)$ 时, 此时弦 $AB$ 正是椭圆的短轴.

我们再来考察面积的最小值. $|y_A|$ 的最小值为 $0$ , 这发生在点 $A$ 为长轴顶点 $(\pm a, 0)$ 时. 此时弦 $AB$ 为椭圆的长轴. 在这种情况下, 三个点 $A, B, F$ 共线, 三角形退化为一条线段, 其面积为 $0$ . 对于任意非退化的三角形, 弦 $AB$ 不能是长轴, 故 $|y_A|\>0$ , 从而 $S \> 0$ . 面积可以随着弦 $AB$ 任意地接近长轴而趋近于 $0$ .

综上所述, 三角形面积 $S$ 的取值范围为 $0 \< S \le cb$ . 证毕.

例

在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a\>b\>0)$ 上取三点, 其横坐标满足 $x_1+x_3=2x_2$ . 三点与某一个焦点连结的线段长分别为 $r_1, r_2, r_3$ , 则 $r_1, r_2, r_3$ 满足 \begin{multicols}{4}

[label=\Alph*.]

$2r_2=r_1+r_3$
$\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_3}=\dfrac{2}{r_2}$
$r_2^2=r_1 \cdot r_3$
以上结论全不对

\end{multicols}

解

此问题的核心在于利用椭圆的焦半径公式, 将关于焦半径长度 $r_i$ 的关系, 转化为关于对应点横坐标 $x_i$ 的关系.

设这三点为 $P_1(x_1, y_1)$ , $P_2(x_2, y_2)$ , $P_3(x_3, y_3)$ . 设它们与右焦点 $F_2(c,0)$ 相连. (选择左焦点 $F_1(-c,0)$ 会得到相同的结论). 根据我们之前证明的焦半径公式, 椭圆上一点 $(x,y)$ 到右焦点 $F_2(c,0)$ 的距离为

r = a - ex

其中 $e=\frac{c}{a}$ 是椭圆的离心率.

我们将此公式应用于给定的三点:

\begin{aligned} r_1 &= a - ex_1 r_2 &= a - ex_2 r_3 &= a - ex_3 \end{aligned}

这是一个焦半径长度 $r_i$ 与横坐标 $x_i$ 之间的一阶线性关系. 我们可以利用这个关系来探究 $r_1, r_2, r_3$ 之间的代数结构.

题目给出的条件是三点的横坐标构成一个等差数列, 即 $x_1+x_3 = 2x_2$ . 我们来考察焦半径 $r_1, r_2, r_3$ 是否也构成等差数列. 计算 $r_1+r_3$ :

\begin{aligned} r_1+r_3 &= (a-ex_1) + (a-ex_3) &= 2a - e(x_1+x_3) \end{aligned}

将条件 $x_1+x_3=2x_2$ 代入上式:

r_1+r_3 = 2a - e(2x_2) = 2(a-ex_2)

注意到 $a-ex_2$ 正是 $r_2$ 的表达式. 因此, 我们得到:

r_1+r_3 = 2r_2

这个关系表明, 焦半径 $r_1, r_2, r_3$ 也构成一个等差数列.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：横坐标成等差数列的点的焦半径

(若选择左焦点 $F_1(-c,0)$ , 焦半径公式为 $r=a+ex$ . 同样地, $r_1+r_3 = (a+ex_1)+(a+ex_3) = 2a+e(x_1+x_3) = 2a+e(2x_2) = 2(a+ex_2) = 2r_2$ . 结论不变.)

因此, 正确的选项为 A. 这个结论揭示了椭圆的一个深刻性质: 焦半径的长度是其端点横坐标的线性函数. 这一性质直接导致了等差数列的结构可以在横坐标与焦半径之间传递.

椭圆的参数方程

虽然椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 简洁地描述了曲线上点的坐标 $(x,y)$ 必须满足的代数关系, 但它提供的是一种静态的描述. 在许多物理和工程问题中, 我们更倾向于将曲线视为一个质点运动的轨迹. 这就需要一种能够动态生成曲线上所有点的方式, 即用一个独立的变量 (通常代表时间或角度) 来表示每个坐标. 这便是参数方程的核心思想.

为了构建椭圆的参数方程, 我们观察其标准方程的形式:

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

这个结构与三角学中最基本的恒等式 $\cos^2t + \sin^2t = 1$ 惊人地相似. 这种形式上的类比启发我们进行一次巧妙的变量代换. 我们可以令:

\frac{x}{a} = \cos t, \frac{y}{b} = \sin t

由此, 我们直接得到了椭圆的参数方程:

\begin{cases} x = a \cos t y = b \sin t \end{cases} (t \text{为参数})

当参数 $t$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 时, 点 $(x,y)$ 恰好沿着椭圆逆时针运行一周.

一个至关重要的问题是: 参数 $t$ 的几何意义是什么? 一个常见的误解是认为 $t$ 是点 $P(x,y)$ 的位置向量与 $x$ 轴正向的夹角 (即极角). 事实上并非如此. $t$ 的几何意义，即离心角，需要通过一个辅助几何构造来揭示.

我们引入椭圆的长轴辅助圆, 这是一个与椭圆同中心, 半径等于椭圆半长轴长 $a$ 的圆. 其方程为 $x^2+y^2=a^2$ . \begin{figure}[htbp]

{t} (离心角) 的几何意义} \end{figure} 图：参数 \texorpdfstring{ $t$

如图所示, 离心角 $t$ 的构造如下:

从椭圆上任意一点 $P(x,y)$ 向长轴 (即 $x$ 轴) 作垂线, 垂足为 $M$ .
延长 (或缩短) 线段 $MP$ 交长轴辅助圆于点 $Q$ .
则有向角 $\angle MOQ$ (其中 $O$ 为原点) 的大小就是参数 $t$ .

从这个构造中我们可以验证参数方程的正确性. 点 $Q$ 位于半径为 $a$ 的圆上, 且其极角为 $t$ , 因此其坐标为 $(a\cos t, a\sin t)$ . 由于点 $P$ 与点 $Q$ 在同一条垂线上, 它们的横坐标相同, 故 $x = a\cos t$ . 将此 $x$ 代入椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ :

\frac{(a\cos t)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies \cos^2t + \frac{y^2}{b^2} = 1

\frac{y^2}{b^2} = 1 - \cos^2t = \sin^2t \implies y^2 = b^2\sin^2t

由此可得 $y = \pm b\sin t$ . 结合点 $P$ 与 $Q$ 的位置关系 (同在 $x$ 轴上方或下方), 可知 $y = b\sin t$ . 这一几何构造不仅直观地解释了离心角 $t$ 的含义, 也为我们提供了一个从圆到椭圆的几何变换视角: **椭圆可以看作是将其长轴辅助圆沿短轴方向均匀压缩 (或拉伸) $\frac{b**{a}$ 倍得到的图形}.

这个动态的、可生成的参数表示法在计算椭圆的切线、面积、弧长以及在物理学中描述椭圆轨道运动时, 都显示出其独特的优越性.

例

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a\>b\>0)$ 与 $y$ 轴正向的交点为 $B$ . 求以 $B$ 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形的个数.

解

此问题要求我们探究在椭圆中嵌入特定几何构造的可能性, 其解的个数并非一个固定的整数, 而是依赖于椭圆的形状参数---离心率. 这要求我们从代数方程解的存在性入手, 进行分类讨论.

椭圆与 $y$ 轴正向的交点为短轴顶点 $B(0,b)$ . 设所求的等腰直角三角形为 $\triangle BPQ$ , 其中 $P, Q$ 为椭圆上另外两点. 我们不预先假设 $\triangle BPQ$ 的朝向, 而是采用一种更具普遍性的方法.

设从 $B$ 点出发的一条腰 $BP$ 所在的射线, 其方向向量与 $x$ 轴正向夹角为 $\phi$ . 为简化计算, 我们设其方向向量为 $(\cos\theta, -\sin\theta)$ . 另一条与之垂直的腰 $BQ$ 的方向向量则为 $(-\sin\theta, -\cos\theta)$ , 以保证两条射线均朝向椭圆内部.

射线 $BP$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = t\cos\theta \\ y = b-t\sin\theta \end{cases} (t\>0)$ . 将其代入椭圆方程 $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ :

b^2(t\cos\theta)^2 + a^2(b-t\sin\theta)^2 = a^2b^2

展开并整理, 可得关于 $t=|BP|$ 的二次方程:

(b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta)t^2 - (2a^2b\sin\theta)t = 0

此方程的非零解即为 $|BP|$ 的长度:

|BP| = \frac{2a^2b\sin\theta}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}

同理, 对于射线 $BQ$ , 其参数方程为 $\begin{cases} x=-t\sin\theta \\ y=b-t\cos\theta \end{cases} (t\>0)$ . 代入椭圆方程可得 $|BQ|$ 的长度:

|BQ| = \frac{2a^2b\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}

施加“等腰”条件, 即 $|BP|=|BQ|$ :

\frac{\sin\theta}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta} = \frac{\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}

交叉相乘并整理:

\sin\theta(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta) = \cos\theta(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta)

假设 $\cos\theta \ne 0$ , 两边同除以 $\cos^3\theta$ :

\tan\theta(a^2+b^2\tan^2\theta) = a^2\tan^2\theta+b^2

令 $T = \tan\theta$ , 我们得到一个关于 $T$ 的三次方程:

b^2T^3 - a^2T^2 + a^2T - b^2 = 0

注意到 $T=1$ 是该方程的一个根, 因为 $b^2(1)^3 - a^2(1)^2 + a^2(1) - b^2 = 0$ . 因此, 我们可以分解因式:

(T-1)[b^2T^2 + (b^2-a^2)T + b^2] = 0

三角形的个数取决于该方程实数根的个数. 一个根是 $T=\tan\theta=1$ , 这对应于 $\theta=45^\circ$ , 此时两腰对称于 $y$ 轴, 底边 $PQ$ 水平. 这种三角形总是存在一个.

其他可能的解源于二次方程 $b^2T^2 + (b^2-a^2)T + b^2 = 0$ . 我们考察该二次方程的判别式 $\Delta$ :

\Delta = (b^2-a^2)^2 - 4(b^2)(b^2) = (b^2-a^2)^2 - 4b^4

利用 $c^2=a^2-b^2$ , 即 $b^2-a^2=-c^2$ , 判别式化为:

\Delta = (-c^2)^2 - 4b^4 = c^4 - 4b^4 = (c^2-2b^2)(c^2+2b^2)

由于 $c^2+2b^2\>0$ , $\Delta$ 的符号由 $c^2-2b^2$ 决定. 我们将此条件转化为关于离心率 $e$ 的不等式:

c^2 - 2b^2 \> 0 \iff c^2 \> 2(a^2-c^2) \iff 3c^2 \> 2a^2 \iff e^2 \> \frac{2}{3} \iff e \> \frac{\sqrt{6}}{3}

接着, 我们进行分类讨论:

**当 $e \> \frac{\sqrt{6**}{3}$ }, 即 $c^2 \> 2b^2$ , $\Delta\>0$ . 此时二次方程有两个不相等的实数根 $T_1, T_2$ . 注意到 $T=1$ 不是该二次方程的根 (代入得 $2b^2-a^2 \ne 0$ , 除非 $c^2=2b^2$ ). 因此, 总共有三个不同的实数根 $1, T_1, T_2$ . 每个根对应一个 $\theta$ 值, 从而对应一个唯一的等腰直角三角形. 故此时共有 3 个这样的三角形.
**当 $e = \frac{\sqrt{6**}{3}$ }, 即 $c^2 = 2b^2$ , $\Delta=0$ . 此时二次方程有一个重根 $T = -\frac{b^2-a^2}{2b^2} = \frac{c^2}{2b^2} = \frac{2b^2}{2b^2}=1$ . 这意味着三次方程有三重根 $T=1$ . 因此只存在一个 $\tan\theta=1$ 的解. 故此时只有 1 个这样的三角形.
**当 $e \< \frac{\sqrt{6**}{3}$ }, 即 $c^2 \< 2b^2$ , $\Delta\<0$ . 此时二次方程没有实数根. 三次方程唯一的实数根是 $T=1$ . 故此时也只有 1 个这样的三角形.

综上所述, 椭圆内接等腰直角三角形的个数取决于其离心率 $e$ :

若 $e \> \frac{\sqrt{6}}{3}$ , 存在 3 个.
若 $0 \< e \le \frac{\sqrt{6}}{3}$ , 存在 1 个.

椭圆的切线方程

我们现在来推导经过椭圆上一点的切线方程. 这是一个将微分思想与代数技巧相结合的经典范例. 考虑标准椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ . 为了求得曲线上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 的切线斜率, 我们对方程两边关于 $x$ 进行隐式微分:

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right) = \frac{d}{dx}(1)

\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0

由此, 我们可以解出切线的斜率 $\frac{dy}{dx}$ :

\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}

在点 $P(x_0, y_0)$ 处, 切线的斜率为 $m = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$ . 利用直线的点斜式方程 $y-y_0=m(x-x_0)$ , 我们得到:

y-y_0 = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)

为了将其化为更简洁对称的形式, 我们对上式两边同乘 $a^2y_0$ :

a^2y_0(y-y_0) = -b^2x_0(x-x_0)

a^2yy_0 - a^2y_0^2 = -b^2xx_0 + b^2x_0^2

将含有变量的项移到一边:

b^2xx_0 + a^2yy_0 = b^2x_0^2 + a^2y_0^2

注意到方程的右侧, 由于点 $P(x_0, y_0)$ 在椭圆上, 其坐标满足椭圆方程, 即 $\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ . 将此式两边同乘 $a^2b^2$ , 得到 $b^2x_0^2+a^2y_0^2 = a^2b^2$ . 将此结果代入切线方程, 我们得到:

b^2xx_0 + a^2yy_0 = a^2b^2

最后, 两边同除以 $a^2b^2$ , 便得到了椭圆切线方程极为优美的标准形式:

\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1

这个形式具有深刻的“替换”对称性: 将椭圆标准方程中的一个 $x$ 和一个 $y$ 替换为切点的坐标 $x_0$ 和 $y_0$ .

若切点由参数方程给出, $P(a\cos t, b\sin t)$ , 我们只需将 $x_0=a\cos t$ 和 $y_0=b\sin t$ 代入上式, 即可得到切线方程的参数形式:

\frac{x(a\cos t)}{a^2} + \frac{y(b\sin t)}{b^2} = 1

\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1

例

证明自椭圆的两焦点向其任任意切线所作垂线段长的乘积为定值.

证明

这是一个揭示椭圆深刻几何性质的经典定理. 参数方程在此问题的证明中展现了其强大的威力. 我们考虑中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . 其焦点为 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$ . 利用参数方程, 椭圆上任意一点 $P$ 可表示为 $(a\cos\theta, b\sin\theta)$ . 根据我们刚刚导出的结论, 过此点的切线方程为:

\frac{x\cos\theta}{a} + \frac{y\sin\theta}{b} = 1

为了使用点到直线的距离公式, 我们将其改写为一般形式:

\left(\frac{\cos\theta}{a}\right)x + \left(\frac{\sin\theta}{b}\right)y - 1 = 0

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：焦点到切线的垂线段

设两焦点到该切线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$ . 根据点到直线的距离公式:

\begin{aligned} d_1 &= \frac{\left| \frac{\cos\theta}{a}(-c) + \frac{\sin\theta}{b}(0) - 1 \right|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}}} = \frac{\left| -\frac{c\cos\theta}{a} - 1 \right|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}}} d_2 &= \frac{\left| \frac{\cos\theta}{a}(c) + \frac{\sin\theta}{b}(0) - 1 \right|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}}} = \frac{\left| \frac{c\cos\theta}{a} - 1 \right|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}}} \end{aligned}

我们现在计算这两个距离的乘积 $d_1d_2$ . 分子和分母分别相乘:

d_1 d_2 = \frac{\left| \left(-\frac{c\cos\theta}{a} - 1\right)\left(\frac{c\cos\theta}{a} - 1\right) \right|}{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}} = \frac{\left| 1 - \frac{c^2\cos^2\theta}{a^2} \right|}{\frac{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}{a^2b^2}}

我们对分子和分母分别进行化简. 对于分子:

\left| 1 - \frac{c^2\cos^2\theta}{a^2} \right| = \frac{|a^2 - c^2\cos^2\theta|}{a^2}

对于分母:

\begin{aligned} b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta &= b^2\cos^2\theta+a^2(1-\cos^2\theta) &= b^2\cos^2\theta + a^2 - a^2\cos^2\theta &= a^2 - (a^2-b^2)\cos^2\theta &= a^2 - c^2\cos^2\theta \end{aligned}

将化简后的结果代回原式:

d_1 d_2 = \frac{\frac{|a^2 - c^2\cos^2\theta|}{a^2}}{\frac{a^2 - c^2\cos^2\theta}{a^2b^2}} = \frac{|a^2 - c^2\cos^2\theta|}{a^2} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2 - c^2\cos^2\theta}

注意到, 由于 $a\>c$ 且 $|\cos\theta|\le 1$ , 必然有 $a^2 \> c^2 \ge c^2\cos^2\theta$ , 因此表达式 $a^2 - c^2\cos^2\theta$ 恒为正. 故绝对值符号可以去掉.

d_1 d_2 = \frac{a^2 - c^2\cos^2\theta}{a^2} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2 - c^2\cos^2\theta} = b^2

此结果 $b^2$ (半短轴长的平方) 是一个不依赖于切点位置 (即参数 $\theta$ ) 的常数. 证毕.

椭圆的光学与声学性质

二次曲线的几何特性不仅在纯粹数学中展现出和谐与优美, 更在物理世界中扮演着至关重要的角色. 椭圆最引人入胜的性质之一便是其独特的反射特性, 这一性质是自然界和人类工程学中众多现象与设计的理论基石.

椭圆的反射性质

从椭圆的一个焦点发出的任何射线 (如光线或声波), 经过椭圆内壁的一次反射后, 其反射射线必将精确地汇聚于另一个焦点.

证明

根据物理学中的反射定律, 入射角等于反射角. 在几何上, 这等价于证明: 在椭圆上任意一点 $P$ 处的切线, 是两条焦半径 $F_1P$ 和 $F_2P$ 所构成的角的外角平分线. 一个更便于向量分析的等价命题是: 该点处的法线是 $\angle F_1PF_2$ 的内角平分线.

设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , 焦点为 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ . 取椭圆上任意一点 $P(x_0, y_0)$ .

\begin{figure}[htbp]

{alpha_i} 等于反射角 \texorpdfstring{$\alpha_r$}{alpha_r}}

\end{figure} 图：椭圆的反射性质: 入射角 \texorpdfstring{ $\alpha_i$

要证明法线平分 $\angle F_1PF_2$ , 我们采用向量法, 证明法向量与向量 $\overrightarrow{PF_1}$ 和 $\overrightarrow{PF_2}$ 的夹角相等. 过点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为 $\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1$ . 因此, 该切线的一个法向量为 $\overrightarrow{n} = \left(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}\right)$ .

向量 $\overrightarrow{PF_1} = (-c-x_0, -y_0)$ 和 $\overrightarrow{PF_2} = (c-x_0, -y_0)$ . 在计算夹角之前, 我们首先需要建立一个至关重要的结论.

焦半径公式

对于椭圆上一点 $P(x_0, y_0)$ , 其到两焦点的距离为

|PF_1| = a+ex_0, |PF_2| = a-ex_0

其中 $e=\frac{c}{a}$ 是离心率.

我们直接计算 $|PF_2|^2$ :

\begin{aligned} |PF_2|^2 &= (x_0-c)^2+y_0^2 = x_0^2-2cx_0+c^2+b^2\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}\right) &= x_0^2-2cx_0+c^2+b^2-\frac{b^2x_0^2}{a^2} &= x_0^2-2cx_0+c^2+(a^2-c^2)-\frac{(a^2-c^2)x_0^2}{a^2} (\text{代入 } b^2=a^2-c^2) &= a^2-2cx_0+x_0^2\frac{c^2}{a^2} = a^2-2a\left(\frac{c}{a}\right)x_0+\left(\frac{c}{a}x_0\right)^2 &= (a-ex_0)^2 \end{aligned}

由于 $P$ 在椭圆上, $|x_0| \le a$ , 且 $e\<1$ , 故 $a-ex_0 \> 0$ . 因此 $|PF_2|=a-ex_0$ . 根据椭圆的定义 $|PF_1|+|PF_2|=2a$ , 可得 $|PF_1|=2a-(a-ex_0) = a+ex_0$ .

现在我们计算法向量 $\overrightarrow{n}$ 与焦半径向量 $\overrightarrow{PF_1}$ 和 $\overrightarrow{PF_2}$ 的夹角 $\alpha_1, \alpha_2$ 的余弦值.

\begin{aligned} \cos\alpha_1 = \cos(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{PF_1}) &= \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PF_1}}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{PF_1}|} = \frac{\left(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}\right) \cdot (-c-x_0, -y_0)}{|\overrightarrow{n}| |PF_1|} &= \frac{-\frac{cx_0}{a^2}-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}}{|\overrightarrow{n}| (a+ex_0)} = \frac{-\frac{c}{a}\frac{x_0}{a} - \left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)}{|\overrightarrow{n}| (a+ex_0)} &= \frac{-e\frac{x_0}{a} - 1}{|\overrightarrow{n}| (a+ex_0)} = -\frac{1}{a|\overrightarrow{n}|}\frac{ex_0+a}{a+ex_0} = -\frac{1}{a|\overrightarrow{n}|} \end{aligned}

\begin{aligned} \cos\alpha_2 = \cos(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{PF_2}) &= \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PF_2}}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{PF_2}|} = \frac{\left(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}\right) \cdot (c-x_0, -y_0)}{|\overrightarrow{n}| |PF_2|} &= \frac{\frac{cx_0}{a^2}-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}}{|\overrightarrow{n}| (a-ex_0)} = \frac{e\frac{x_0}{a} - 1}{|\overrightarrow{n}| (a-ex_0)} &= \frac{1}{a|\overrightarrow{n}|}\frac{ex_0-a}{a-ex_0} = -\frac{1}{a|\overrightarrow{n}|} \end{aligned}

由于 $\cos\alpha_1 = \cos\alpha_2$ , 且两个向量夹角均在 $[0, \pi]$ 范围内, 故 $\alpha_1=\alpha_2$ . 这证明了法线确实平分 $\angle F_1PF_2$ . 根据反射定律, 这意味着从 $F_1$ 发出、经由点 $P$ 反射的光线, 其路径与向量 $\overrightarrow{PF_2}$ 共线, 即必将朝向另一个焦点 $F_2$ . 证毕.

证明（平面几何法）

我们的策略是证明: 对于椭圆上任意一点 $P$ , 其两条焦半径 $F_1P$ 和 $F_2P$ 对切线张开的角度是相等的.

设 $l$ 为椭圆在点 $P$ 处的切线. 根据凸曲线的性质, 切线 $l$ 与椭圆仅有唯一的公共点 $P$ , 且整个椭圆位于 $l$ 的一侧. 我们的核心构造如下: 延长焦半径 $F_1P$ 至点 $G$ , 使得 $|PG|=|PF_2|$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：椭圆反射性质的几何证明

根据椭圆的定义, $|F_1P| + |PF_2| = 2a$ . 由我们的构造, $|F_1G| = |F_1P|+|PG| = |F_1P|+|PF_2| = 2a$ . 这意味着, 对于固定的焦点 $F_1$ , 点 $G$ 的轨迹是一个以 $F_1$ 为圆心, 半径为 $2a$ 的圆.

现在, 我们来考察 $\triangle F_2PG$ . 由于 $|PG|=|PF_2|$ , 这是一个以 $P$ 为顶点的等腰三角形.

我们的目标是证明切线 $l$ 平分外角 $\angle F_2PG$ . 在等腰三角形 $\triangle F_2PG$ 中, 顶点角 $\angle F_2PG$ 的平分线, 必然是底边 $F_2G$ 的垂直平分线. 因此, 我们的任务转化为证明: 切线 $l$ 是线段 $F_2G$ 的垂直平分线.

我们采用反证法. 假设切线 $l$ 不是 $F_2G$ 的垂直平分线. 那么, 设 $l'$ 是 $F_2G$ 的垂直平分线. 由于 $\triangle F_2PG$ 是等腰三角形, $l'$ 必然经过顶点 $P$ .

现在取 $l'$ 上异于 $P$ 的任意一点 $Q$ . 由于 $l'$ 是 $F_2G$ 的中垂线, 我们有 $|QF_2|=|QG|$ . 我们来计算点 $Q$ 的焦半径之和:

|QF_1| + |QF_2| = |QF_1| + |QG|

在 $\triangle QF_1G$ 中, 根据三角形两边之和大于第三边的公理, 我们有

|QF_1| + |QG| \> |F_1G|

而已知 $|F_1G|=2a$ , 故

|QF_1| + |QF_2| \> 2a

这个不等式表明, 直线 $l'$ 上除了点 $P$ 之外的任何点 $Q$ 都在椭圆的外部. 根据切线的定义, 这条直线 $l'$ 就是椭圆在点 $P$ 处的切线. 因此, $l'=l$ .

我们已经证明了椭圆在点 $P$ 处的切线 $l$ 就是线段 $F_2G$ 的垂直平分线. 作为 $F_2G$ 的中垂线, $l$ 上的任意一点到 $F_2$ 和 $G$ 的距离都相等. 这也意味着 $\angle F_2Pl = \angle GPl$ . 由于 $\angle GPl$ 与 $\angle F_1Pl'$ (其中 $l'$ 是 $l$ 的反向延长线) 是对顶角, 它们相等. 因此, $\angle F_2Pl = \angle F_1Pl'$ , 这在光学上意味着入射光线 $F_1P$ 的延长线与反射光线 $PF_2$ 关于法线对称. 也就是说, 从 $F_1$ 出发的光线经反射后必经过 $F_2$ . 证毕.

例

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 中的两焦点 $F_1(3,0), F_2(-3,0)$ , 由点 $F_1$ 射出一光线至椭圆上一点 $A_1$ , 经反射后经过另一焦点 $F_2$ 后至椭圆上另一点 $A_2$ , 再反射回到焦点 $F_1$ , 则所经过的路径长度为何?

解

此问题完美地展示了椭圆的反射性质与其基本定义的结合. 问题的核心在于将光线的路径分解, 并利用椭圆的几何性质进行计算.

首先, 我们从椭圆的方程 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 中确定其关键参数. 这是一个标准形式的椭圆, 其中 $a^2=25, b^2=16$ , 因此半长轴长 $a=5$ . (我们可以验证焦距 $c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{25-16}=3$ , 与题设焦点坐标相符).

光线所经过的总路径由三个部分构成:

从 $F_1$ 到 $A_1$ , 长度为 $|F_1A_1|$ .
从 $A_1$ 反射, 经过 $F_2$ , 到达 $A_2$ . 根据椭圆的反射性质, 从 $A_1$ 反射的光线必将经过 $F_2$ , 因此 $A_1, F_2, A_2$ 三点共线. 这一段路径的长度为 $|A_1A_2| = |A_1F_2| + |F_2A_2|$ .
从 $A_2$ 反射, 回到 $F_1$ . 这一段路径的长度为 $|A_2F_1|$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：光线在椭圆内的反射路径

因此, 总的路径长度 $L$ 为:

L = |F_1A_1| + |A_1A_2| + |A_2F_1|

将 $|A_1A_2|$ 替换为其分段之和:

L = |F_1A_1| + (|A_1F_2| + |F_2A_2|) + |A_2F_1|

我们重新组合上式中的各项, 以便利用椭圆的定义.

L = (|F_1A_1| + |A_1F_2|) + (|F_2A_2| + |A_2F_1|)

注意到:

点 $A_1$ 是椭圆上的一点. 根据椭圆的定义, 该点到两焦点的距离之和为常数 $2a$ .

|F_1A_1| + |A_1F_2| = 2a

同样, 点 $A_2$ 也是椭圆上的一点, 故其到两焦点的距离之和也为常数 $2a$ .

|F_2A_2| + |A_2F_1| = 2a

将这两个结论代回总路径长度的表达式:

L = 2a + 2a = 4a

这是一个不依赖于反射点 $A_1, A_2$ 具体位置的定值.

对于本题中的椭圆, 我们已经确定 $a=5$ . 因此, 总路径长度为:

L = 4 \times 5 = 20

椭圆的导演圆

椭圆的反射性质揭示了其焦点与单一切线之间的深刻联系. 一个自然而然的推广问题是: 当我们考虑从同一个点出发的两条切线时, 它们的几何关系又会呈现出怎样的规律? 18世纪的法国数学家加斯帕尔·蒙日深入研究了这一问题, 并发现了一个令人惊叹的结论, 其轨迹被称为导演圆 或蒙日圆.

椭圆的导演圆

与椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 相切的两条相互垂直的切线的交点的轨迹, 是一个与椭圆同中心的圆, 其方程为:

x^2+y^2 = a^2+b^2

证明

此证明是解析几何中一个运用代数技巧解决轨迹问题的典范. 核心思想是通过建立一个关于切线斜率的二次方程, 并利用根与系数的关系来施加“相互垂直”这一几何约束.

设 $P(x_0, y_0)$ 是所求轨迹上的任意一点. 从点 $P$ 出发可以引出两条与椭圆相切的直线. 设其中一条切线的方程为

y-y_0 = m(x-x_0) \text{即} y = mx + (y_0-mx_0)

我们首先需要建立直线 $y=mx+k$ 与椭圆相切的条件. 将直线方程代入椭圆方程并整理成关于 $x$ 的二次方程:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{(mx+k)^2}{b^2} = 1 \implies (b^2+a^2m^2)x^2 + 2a^2mkx + a^2(k^2-b^2)=0

直线与椭圆相切, 意味着此二次方程有唯一解, 即其判别式 $\Delta$ 为零:

(2a^2mk)^2 - 4(b^2+a^2m^2)a^2(k^2-b^2) = 0

化简可得 $a^2m^2k^2 - (b^2+a^2m^2)(k^2-b^2) = 0$ , 最终得到一个普适的切线条件:

k^2 = a^2m^2+b^2

对于我们设定的过点 $P(x_0, y_0)$ 的切线 $y = mx + (y_0-mx_0)$ , 其截距 $k = y_0-mx_0$ . 将此代入切线条件:

(y_0-mx_0)^2 = a^2m^2+b^2

展开并整理成一个关于斜率 $m$ 的二次方程:

y_0^2 - 2mx_0y_0 + m^2x_0^2 = a^2m^2+b^2

(x_0^2-a^2)m^2 - (2x_0y_0)m + (y_0^2-b^2) = 0

这个方程的两个根 $m_1$ 和 $m_2$ 正是从点 $P(x_0, y_0)$ 引出的两条切线的斜率.

根据题意, 这两条切线是相互垂直的. 这意味着它们的斜率之积为 $-1$ :

m_1 m_2 = -1

根据韦达定理, 二次方程根的乘积等于常数项除以二次项系数:

m_1 m_2 = \frac{y_0^2-b^2}{x_0^2-a^2}

于是, 我们得到一个关于点 $P(x_0, y_0)$ 坐标的方程:

\frac{y_0^2-b^2}{x_0^2-a^2} = -1

y_0^2-b^2 = -(x_0^2-a^2) = -x_0^2+a^2

整理得到

x_0^2+y_0^2 = a^2+b^2

这就是交点 $P$ 的轨迹方程. 它表示一个以原点为中心, 半径为 $R = \sqrt{a^2+b^2}$ 的圆. 证毕.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：椭圆 (蓝色) 及其导演圆 (红色)

离心率

在确定了椭圆的三个基本几何量 $a, b, c$ 之后, 我们不禁要问: 是什么决定了椭圆的形状? 一个椭圆可以接近圆形, 也可以极为扁长. 我们需要一个独立于其尺寸大小, 能够纯粹描述其形状的参数.

为了回答这个问题, 我们必须回归到椭圆最本原的构造. 椭圆的诞生源于两个核心要素: 焦点间距 $2c$ 和常数和 $2a$ . 参数 $b$ 只是 $a$ 和 $c$ 关系 ( $b^2=a^2-c^2$ ) 的一个派生结果. 因此, 椭圆的形状必然蕴含在 $a$ 和 $c$ 的相对关系之中. 一个自然的、能够消除尺寸影响的度量方法, 就是考察这两个基本长度的比值. 这便引出了离心率的定义.

离心率

椭圆的半焦距 $c$ 与半长轴长 $a$ 的比值称为椭圆的离心率, 记作 $e$ .

e = \frac{c}{a}

“离心率” 一词的字面含义是“偏离中心”. 这个比值精确地量化了焦点 $F_1, F_2$ 偏离椭圆中心的程度, 并且是相对于椭圆的整体尺寸 ( $a$ ) 而言的.

我们来考察其极限情况, 以此揭示其深刻的几何内涵:

当 $e \to 0$ 时: 这意味着 $c \to 0$ . 从几何上看, 两个焦点 $F_1, F_2$ 不断靠近, 最终在中心 $O$ 处重合. 此时, 椭圆的定义 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$ 就退化为 $|PO|+|PO|=2a$ , 即 $|PO|=a$ . 这正是半径为 $a$ 的圆的定义. 在代数上, $c \to 0$ 意味着 $b^2=a^2-c^2 \to a^2$ , 即 $b \to a$ , 椭圆的长短轴相等. 因此, 圆可以被视为离心率为 $0$ 的一种特殊的、完美的椭圆.
当 $e \to 1$ 时: 这意味着 $c \to a$ . 此时 $b^2 = a^2-c^2 \to 0$ , 即 $b \to 0$ . 椭圆的短轴长度趋近于零, 整个图形在竖直方向上被“压扁”, 极限情况下退化为连接两个焦点 (此时也与顶点重合) 的线段. 离心率越接近 $1$ , 椭圆就越扁长.

这一观察结果极具启发性: 离心率 $e$ (其取值范围为 $0 \le e \< 1$ ) 如同一根“刻度尺”, 完美地度量了椭圆从“最圆” (圆, $e=0$ ) 到“最扁” (线段, $e \to 1$ ) 的全部形态.

一个更深刻且统一的视角, 来自于圆锥曲线的另一个等价定义, 它揭示了离心率是所有二次曲线共有的“基因”.

圆锥曲线的统一焦点-准线定义

平面内到一个定点 $F$ (焦点) 的距离与到一条定直线 $l$ (准线, $F$ 不在 $l$ 上) 的距离之比为常数 $e$ 的点的轨迹, 是一条圆锥曲线. 这个常数 $e$ 就是该曲线的离心率.

当 $0 \< e \< 1$ 时, 轨迹是椭圆.
当 $e = 1$ 时, 轨迹是抛物线.
当 $e \> 1$ 时, 轨迹是双曲线.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：椭圆的焦点-准线定义

可以证明, 对于椭圆, 这个统一定义中的常数 $e$ 与我们之前定义的比值 $\frac{c}{a}$ 是完全相同的. 准线的位置为 $x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{a}{e}$ . 这个统一定义的意义是很重要的，它告诉我们, 椭圆、抛物线和双曲线并非三种孤立的曲线, 而是同一个几何法则 ( $|PF|=e|PL|$ ) 在参数 $e$ 取不同值域时的具体表现.

例

求椭圆 $16x^2+25y^2=400$ 的离心率.

解

此为求解离心率最基本的问题. 我们首先需要将给定的椭圆方程转化为其标准形式, 以便清晰地识别出其半长轴与半短轴的长度. 将方程 $16x^2+25y^2=400$ 两边同除以 $400$ , 得到

\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1

化简得

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1

这是一个焦点位于 $x$ 轴上的椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . 通过比较系数, 我们可以确定 $a^2=25$ 且 $b^2=16$ . 由此得到半长轴长 $a=5$ , 半短轴长 $b=4$ .

离心率的定义是 $e = \frac{c}{a}$ , 其中 $c$ 为半焦距. 这三个量之间由基本关系式 $a^2=b^2+c^2$ 联系. 因此, 我们可以计算出 $c$ :

c^2 = a^2-b^2 = 25-16=9 \implies c=3

接着, 我们便可求得离心率:

e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}

例

已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个顶角为 $120^\circ$ 的等腰三角形, 求该椭圆的离心率.

解

此问题将离心率的求解与椭圆的内在几何结构联系起来. 我们需要将角度这一几何信息转化为关于 $a, b, c$ 的代数关系. 设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . 其焦点为 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ , 短轴顶点为 $B(0,b)$ .

根据题意, $\triangle F_1BF_2$ 是一个以 $B$ 为顶点的等腰三角形, 其顶角 $\angle F_1BF_2 = 120^\circ$ . $y$ 轴 (即直线 $OB$ ) 是该等腰三角形的对称轴, 因此它平分顶角.

\angle F_2BO = \frac{1}{2}\angle F_1BF_2 = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ

接着, 我们考察直角三角形 $\triangle F_2OB$ . 在此三角形中, 我们有

\tan(\angle F_2BO) = \frac{|OF_2|}{|OB|} = \frac{c}{b}

代入角度值, 我们得到一个关于 $b$ 和 $c$ 的关系:

\tan(60^\circ) = \frac{c}{b} \implies \sqrt{3} = \frac{c}{b} \implies c = \sqrt{3}b

为了求得离心率 $e=\frac{c}{a}$ , 我们需要引入 $a$ . 利用基本关系式 $a^2=b^2+c^2$ :

a^2 = b^2 + (\sqrt{3}b)^2 = b^2 + 3b^2 = 4b^2

由此可得 $a=2b$ . 同时, 将 $b = c/\sqrt{3}$ 代入 $a=2b$ , 得到 $a=2(c/\sqrt{3})$ . 整理此式, 我们便可得到 $c$ 与 $a$ 的比值:

\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

因此, 该椭圆的离心率为 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

例

设 $P$ 为椭圆上任意一点, $F_1, F_2$ 为其两焦点. 若角 $\angle F_1PF_2$ 的最大值为 $90^\circ$ , 求该椭圆的离心率.

解

此问题将离心率与一个极值问题联系起来. 我们需要首先确定在何种条件下 $\angle F_1PF_2$ 取得最大值, 然后利用该条件构建方程.

对于椭圆上的任意点 $P$ , 焦半径 $|PF_1|$ 和 $|PF_2|$ 的和是固定的 $2a$ , 而底边 $|F_1F_2|$ 的长度是固定的 $2c$ . 直观上, 当点 $P$ 距离底边 $F_1F_2$ 最远时, 其对底边所张的角 $\angle F_1PF_2$ 应该最大. 这个最远的位置正是椭圆的短轴顶点.

\begin{figure}[htbp]

{Angle F1PF2} 在短轴顶点处取得最大值}

\end{figure} 图：角 \texorpdfstring{ $\angle F_1PF_2$

当点 $P$ 位于短轴顶点, 例如 $B(0,b)$ 时, $\triangle F_1BF_2$ 是一个等腰三角形. 根据题意, 该角的最大值为 $90^\circ$ , 这意味着当 $P$ 点为 $B(0,b)$ 时, $\triangle F_1BF_2$ 是一个等腰直角三角形.

在该三角形中, 腰长为 $|BF_1|=|BF_2|$ . 根据椭圆的对称性以及 $a^2=b^2+c^2$ 的几何意义, 我们知道这个腰长等于半长轴长 $a$ . 斜边为 $|F_1F_2| = 2c$ .

根据勾股定理, 我们有

|BF_1|^2 + |BF_2|^2 = |F_1F_2|^2

将 $a$ 和 $c$ 代入:

a^2 + a^2 = (2c)^2

2a^2 = 4c^2

整理此式以得到离心率 $e$ :

\frac{c^2}{a^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

因此, 离心率 $e = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

例

一根长度为 $L$ 的刚性细杆 $AB$ , 其两端点 $A$ 和 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动. 点 $P$ 是杆上的一点, 满足 $|PA|=l_2$ 且 $|PB|=l_1$ , 其中 $l_1+l_2=L$ . 求点 $P$ 的轨迹方程, 并确定该轨迹的离心率.

解

此问题是一个经典的轨迹问题, 其解法优美地展示了参数方程在描述几何生成过程中的威力.

我们建立一个合适的坐标系. 设杆 $AB$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $\theta$ . 则端点 $A$ 在 $x$ 轴上, $B$ 在 $y$ 轴上.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：细杆滑动构造椭圆

过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线, 垂足为 $M$ ; 作 $y$ 轴的垂线, 垂足为 $N$ . 在直角三角形 $APM$ 中, $\angle PAM = \theta$ . 因此

y = |PM| = |PA|\sin\theta = l_2\sin\theta

在直角三角形 $BPN$ 中, $\angle PBN = \angle OAB = \theta$ . 因此

x = |PN| = |PB|\cos\theta = l_1\cos\theta

我们得到了点 $P$ 轨迹的参数方程:

\begin{cases} x = l_1\cos\theta y = l_2\sin\theta \end{cases} (\theta \text{为参数})

这是一个标准的椭圆参数方程. 为了得到其笛卡尔方程, 我们消去参数 $\theta$ .

\frac{x}{l_1} = \cos\theta, \frac{y}{l_2} = \sin\theta

利用三角恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ , 我们得到

\left(\frac{x}{l_1}\right)^2 + \left(\frac{y}{l_2}\right)^2 = 1

\frac{x^2}{l_1^2} + \frac{y^2}{l_2^2} = 1

此即点 $P$ 的轨迹方程, 它确实是一个中心在原点的椭圆.

要确定其离心率, 我们需要区分两种情况, 取决于 $l_1$ 和 $l_2$ 的相对大小.

若 $l_1 \> l_2$ : 此时, 半长轴 $a=l_1$ , 半短轴 $b=l_2$ . 半焦距 $c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{l_1^2-l_2^2}$ . 离心率为 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{l_1^2-l_2^2}}{l_1}$ .
若 $l_2 \> l_1$ : 此时, 半长轴 $a=l_2$ (位于 $y$ 轴上), 半短轴 $b=l_1$ . 半焦距 $c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{l_2^2-l_1^2}$ . 离心率为 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{l_2^2-l_1^2}}{l_2}$ .

综合来看, 离心率取决于点 $P$ 在杆上的相对位置.

例

设椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a\>b\>0)$ 的长轴辅助圆为 $C: x^2+y^2=a^2$ . 过椭圆上任意一点 $P$ 作其切线 $l_P$ . 过 $P$ 点的竖直线与辅助圆 $C$ 交于点 $Q$ (设 $P,Q$ 均在 $x$ 轴上方). 过 $Q$ 作圆 $C$ 的切线 $l_Q$ .

证明: 两条切线 $l_P$ 和 $l_Q$ 相交于 $x$ 轴上同一点.
若由两条切线 $l_P, l_Q$ 以及 $y$ 轴所围成的三角形面积的最小值等于 $ab$ , 求椭圆 $E$ 的离心率 $e$ .

解

(1) 我们采用参数方程来描述点的位置, 这将极大地简化切线方程的表达. 设椭圆上点 $P$ 的离心角为 $t \in (0,\pi)$ , 则其坐标为 $P(a\cos t, b\sin t)$ . 根据离心角的几何意义, 与 $P$ 对应的辅助圆上的点 $Q$ 坐标为 $Q(a\cos t, a\sin t)$ .

过点 $P$ 的椭圆切线 $l_P$ 方程为:

\frac{x \cos t}{a} + \frac{y \sin t}{b} = 1

过点 $Q$ 的圆 $C$ 的切线 $l_Q$ 方程为 (应用圆的切线公式 $xx_0+yy_0=R^2$ ):

x(a\cos t) + y(a\sin t) = a^2 \implies x\cos t + y\sin t = a

为了寻找两切线的交点, 我们令 $y=0$ , 分别求它们在 $x$ 轴上的截距. 对于 $l_P$ : $\frac{x \cos t}{a} = 1 \implies x = \frac{a}{\cos t}$ . 对于 $l_Q$ : $x\cos t = a \implies x = \frac{a}{\cos t}$ . 由于两条切线在 $x$ 轴上的截距完全相同, 它们必然相交于 $x$ 轴上的同一点, 记为 $T(\frac{a}{\cos t}, 0)$ . 证毕.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：两切线与 $y$ 轴围成的三角形

(2) 所述三角形是由两条切线与 $y$ 轴围成. 其三个顶点为两条切线在 $y$ 轴上的截距点, 以及它们在 $x$ 轴上的公共交点 $T$ . 我们首先求出两条切线在 $y$ 轴上的截距. 对于 $l_P$ , 令 $x=0$ , 得 $\frac{y \sin t}{b} = 1 \implies y = \frac{b}{\sin t}$ . 对于 $l_Q$ , 令 $x=0$ , 得 $y \sin t = a \implies y = \frac{a}{\sin t}$ .

该区域是一个以 $y$ 轴部分线段为底, 顶点为 $T$ 的三角形. 其底边长为 $\left|\frac{a}{\sin t} - \frac{b}{\sin t}\right| = \frac{a-b}{\sin t}$ (由于 $t \in (0,\pi)$ , $\sin t\>0$ 且 $a\>b$ ). 其高为点 $T$ 到 $y$ 轴的距离, 即 $T$ 点的横坐标的绝对值 $|\frac{a}{\cos t}|$ .

三角形的面积 $S(t)$ 为:

S(t) = \frac{1}{2} \cdot \text{底} \cdot \text{高} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a-b}{\sin t} \cdot \left|\frac{a}{\cos t}\right| = \frac{a(a-b)}{|2\sin t \cos t|} = \frac{a(a-b)}{|\sin(2t)|}

我们需要求这个面积函数的最小值. 由于分母 $|\sin(2t)|$ 的最大值为 $1$ (当 $2t=\pi/2$ , 即 $t=\pi/4$ 时), 面积 $S(t)$ 的最小值在此时取得.

S_{\min} = \frac{a(a-b)}{1} = a(a-b)

根据题设条件, 这个最小值等于 $ab$ .

a(a-b) = ab

由于 $a \ne 0$ , 我们可以将方程两边同除以 $a$ :

a-b = b \implies a = 2b

这个关系唯一地确定了椭圆的形状. 我们接着计算其离心率:

e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{b^2}{(2b)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

故椭圆 $E$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

例

以正方形 $ABCD$ 的相对顶点 $A, C$ 为焦点的椭圆, 恰过正方形四边的中点, 则椭圆的离心率为( ).

解

此问题巧妙地将正方形的几何对称性与椭圆的焦点定义结合起来. 为了揭示其内在的数量关系, 我们必须建立一个能充分利用这种对称性的坐标系.

我们选择以正方形的中心为原点, 以焦点所在的对角线 $AC$ 为 $x$ 轴建立平面直角坐标系. 设椭圆的半焦距为 $c$ , 则焦点坐标为 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$ . 这两个焦点也即是正方形的顶点 $A$ 和 $C$ . 由于 $AC$ 是正方形的对角线, 其长度为 $2c$ , 且中心在原点, 我们可以确定另外两个顶点 $B$ 和 $D$ 的坐标为 $(0,c)$ 和 $(0,-c)$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：椭圆与内切正方形

椭圆经过正方形四边的中点. 我们取边 $BC$ 的中点 $M$ 进行分析. 其坐标为 $M\left(\frac{c+0}{2}, \frac{0+c}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, \frac{c}{2}\right)$ .

根据椭圆的定义, 点 $M$ 到两焦点的距离之和等于常数 $2a$ :

|MF_1| + |MF_2| = 2a

我们分别计算这两个焦半径的长度:

|MF_1| = \sqrt{\left(\frac{c}{2} - (-c)\right)^2 + \left(\frac{c}{2}-0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3c}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9c^2}{4}+\frac{c^2}{4}} = \frac{\sqrt{10}c}{2}

|MF_2| = \sqrt{\left(\frac{c}{2} - c\right)^2 + \left(\frac{c}{2}-0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{c^2}{4}+\frac{c^2}{4}} = \frac{\sqrt{2}c}{2}

将这些距离代入定义式:

2a = \frac{\sqrt{10}c}{2} + \frac{\sqrt{2}c}{2} = \frac{c(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{2}

由此, 我们可以直接求得离心率 $e$ :

e = \frac{c}{a} = \frac{c}{c(\sqrt{10}+\sqrt{2})/4} = \frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}

为了得到一个更简洁的形式, 我们对分母进行有理化:

e = \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{(\sqrt{10}+\sqrt{2})(\sqrt{10}-\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{10-2} = \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}

圆锥曲线基本解题策略

从直线与圆锥曲线的位置关系谈起

在前面的几节中，我们已经推导出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程以及它们之间的一些有趣的应用，接下来，我们将进入解析几何的核心领域，或者是他最核心的思想：通过代数工具来研究几何对象之间的动态关系. 而在这其中，最基本也是最重要的关系，便是直线与圆锥曲线的位置关系. 我们的任务，就是建立一套系统性的方法，将“相交”、“相切”、“弦长”、“中点”等几何概念，精确地翻译成代数语言.

研究直线与圆锥曲线的位置关系，其代数上的第一步是求解由它们的方程组成的方程组.

设直线 $l$ 的方程为 $Ax+By+C=0$ , 圆锥曲线 $\mathcal{C}$ 的方程为 $f(x,y)=0$ . 联立方程组：

\begin{cases} Ax+By+C=0 f(x,y)=0 \end{cases}

通过消元（例如，将 $y=kx+m$ 代入 $f(x,y)=0$ ）, 我们通常会得到一个关于变量 $x$ (或 $y$ ) 的一元二次方程：

ax^2+bx+c=0 (a \neq 0)

这个一元二次方程是连接几何与代数的桥梁，其性质直接反映了直线与曲线的几何关系.

\paragraph{判别式与交点个数} 一元二次方程的实数根的个数决定了直线与圆锥曲线的交点个数. 其判别式 $\Delta = b^2-4ac$ 的符号是判断位置关系的核心指标.

$\Delta \> 0 \iff$ 方程有两个不等实根 $\iff$ 直线与曲线相交于两点.
$\Delta = 0 \iff$ 方程有两个相等实根 $\iff$ 直线与曲线相切于一点.
$\Delta \< 0 \iff$ 方程无实根 $\iff$ 直线与曲线相离，无公共点.

需要注意的是，当直线是双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴的平行线时，联立消元后将得到一个一次方程，此时直线与曲线只有一个交点，但这种情况并非相切. 因此， $\Delta=0$ 是相切的充分条件，但在运用时需注意二次项系数不为零.

这个结论完美地展示了解析几何的精髓：将直观的几何概念精确地转化为可计算的代数结构. 但我们必须深入思考：为什么几何图形的“相交”与代数方程的“判别式”之间存在如此必然的、一一对应的关系？这个联系的建立，依赖于一个严密的逻辑链条：

在笛卡尔坐标系中，任何一个几何图形（如直线、椭圆）都可以被看作是一个点的集合，这个集合中的每一个点的坐标 $(x,y)$ 都满足一个特定的代数方程. 一个交点的几何意义是, 这个点同时位于直线上和圆锥曲线上. 将这个几何描述翻译成代数语言就是：这个交点的坐标 $(x,y)$ 必须同时满足直线方程和圆锥曲线方程.

在代数中，寻找同时满足多个方程的解，这个过程被称为解方程组. 因此，寻找几何交点的问题，被完全转化为了求解代数方程组的问题. 这个方程组的实数解的组数，就等于几何图形的交点个数.

为了求解这个包含两个变量的方程组，我们通常使用消元法. 利用较为简单的线性方程来表达一个变量与另一个变量的关系（例如 $y=kx+m$ ）, 然后将其代入到二次曲线方程中. 这个代入的过程, 本质上是将问题进行了降维：我们从一个二维平面上的问题（寻找点 $(x,y)$ ）, 转化为了一个一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 所描述的一维数轴上的问题（寻找满足条件的横坐标 $x$ ）.

这个一元二次方程的每一个实数根，都对应着一个交点的横坐标. 若方程有两个不等的实数根 $x_1, x_2$ , 则对应两个不同的交点；若方程有两个相等的实数根 $x_0$ , 则只对应一个交点；若方程没有实数根, 则意味着在实数范围内, 不存在任何一个 $x$ 值能满足这个由几何问题转化而来的代数约束，故不存在任何交点. 因此，一元二次方程的实数根的个数，与几何图形的交点个数，在此建立了严格的一一对应关系.

于是，问题最终归结为：如何判断一个一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实数根的个数？这正是判别式 $\Delta = b^2-4ac$ 的根本作用. 根据二次方程求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , $\Delta$ 的符号决定了根式 $\sqrt{\Delta}$ 是实数还是虚数，从而裁定了实数根的个数.

通过以上五个步骤的严密推理，我们建立了一条从几何到代数的逻辑通路：

\text{几何交点个数} \xrightarrow{\text{坐标化}} \text{方程组实数解的组数} \xrightarrow{\text{消元}} \text{一元二次方程实数根的个数} \xrightarrow{\text{判别式}} \Delta \text{ 的符号}

\paragraph{韦达定理} 当 $\Delta \ge 0$ 时, 我们确知交点存在. 一个自然而然的想法是, 直接解出方程的两个根 $x_1, x_2$ , 从而获得交点的确切坐标，再进行后续的几何计算. 这种“求出坐标再计算”的思路，在逻辑上完全可行，但在实践中往往会引导我们进入一条荆棘丛生的代数路径.

让我们审视这个一元二次方程的求根公式：

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

除非问题经过精心设计，否则根号下的判别式 $\Delta$ 通常不是一个完全平方数. 这意味着交点的横坐标 $x_1, x_2$ 将是包含无理数的复杂表达式. 将这样复杂的代数式代入到几何计算中，那确实不是人能算出来的了.

然而，在这些看似繁杂的计算中蕴含着深刻的规律. 例如，在计算弦中点横坐标 $\frac{x_1+x_2}{2}$ 时：

\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-2b}{2a} \right) = -\frac{b}{2a}

我们观察到，那个最棘手的无理部分 $\sqrt{\Delta}$ 在求和过程中竟然相互抵消了. 最终的结果 $\left(-\frac{b}{2a}\right)$ 异常简洁, 并且只与方程的系数 $a, b$ 有关. 这强烈地暗示我们：或许根本没有必要去求解根的具体值，我们需要的可能只是根的某些“整体性质”，比如它们的和或积.

法国数学家弗朗索瓦·韦达的工作，正是响应这种需求而生的完美工具. 它揭示了一个深刻的事实：一元二次方程两根的和与积，可以直接由其系数确定，完全无需经过开方运算.

韦达定理

若一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1, x_2$ , 则它们满足以下关系：

x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, x_1x_2 = \frac{c}{a}

韦达定理的引入，催生了解析几何中一种极为重要的数学思想——设而不求. 其核心是：我们可以大胆地设出交点坐标为 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ , 但我们从不打算真正去解出它们. 我们只是将它们作为逻辑推理的载体, 并将所有需要的几何量, 都想方设法地用交点坐标的对称表达式 $(x_1+x_2, x_1x_2)$ 来表示.

在解析几何的语境中，韦达定理的意义被极大地放大了. 因为一元二次方程的系数 $a, b, c$ 是由直线参数（如斜率 $k$ ）和曲线参数（如 $a^2, b^2$ ）组合而成的. 于是，韦达定理建立起了一条至关重要的逻辑链：

\text{几何要素参数 } \xrightarrow{\text{联立}} \text{二次方程系数 } \xrightarrow{\text{韦达定理}} \text{交点坐标的整体性质 }

基本几何量的计算

当直线与圆锥曲线相交于两点 $P_1, P_2$ 时, 线段 $P_1P_2$ 称为曲线的一条弦. 其长度 $|P_1P_2|$ 是一个基本的几何量，可以通过韦达定理精确计算.

设直线方程为 $y=kx+m$ . 由两点间距离公式：

|P_1P_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} = \sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|

而 $|x_1-x_2|$ 可以通过韦达定理表示，完全避免求解根的具体值：

(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\frac{c}{a} = \frac{b^2-4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}

因此， $|x_1-x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$ .

弦长公式

若直线 $y=kx+m$ 与圆锥曲线交于两点, 且联立消元后得到的关于 $x$ 的一元二次方程为 $ax^2+bx+c=0$ , 则弦长为：

|P_1P_2| = \sqrt{1+k^2} \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

若直线方程为 $x=my+n$ , 联立消元后得到关于 $y$ 的方程为 $ay^2+by+c=0$ , 则弦长为：

|P_1P_2| = \sqrt{1+m^2} \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

此公式将弦长这一几何量，完全用联立后方程的代数系数来表达，是“设而不求”思想的完美体现.

例

求直线 $y=x-1$ 被抛物线 $y^2=4x$ 截得的弦长.

解

联立直线与抛物线的方程，得到方程组：

\begin{cases} y = x-1 y^2 = 4x \end{cases}

消去 $y$ , 整理得到关于 $x$ 的一元二次方程：

(x-1)^2 = 4x

x^2 - 2x + 1 = 4x

x^2 - 6x + 1 = 0

此方程的系数为 $a=1, b=-6, c=1$ . 直线的斜率 $k=1$ . 判别式为：

\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(1) = 32 \> 0

表明直线与抛物线有两个不同的交点. 根据弦长公式，所求弦长为：

|P_1P_2| = \sqrt{1+k^2} \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{1+1^2} \frac{\sqrt{32}}{|1|} = \sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 8

例

求椭圆 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的过右焦点 $F$ 且斜率为 $k$ 的弦的长度.

解

对于椭圆 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ , 有 $a^2=4, b^2=1$ , 故半焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}$ . 其右焦点坐标为 $F(\sqrt{3}, 0)$ . 过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线方程为：

y = k(x-\sqrt{3})

将其代入椭圆方程并整理：

\frac{x^2}{4} + k^2(x-\sqrt{3})^2 = 1

x^2 + 4k^2(x^2 - 2\sqrt{3}x + 3) = 4

(1+4k^2)x^2 - 8\sqrt{3}k^2x + (12k^2-4) = 0

此方程的判别式为：

\Delta = (-8\sqrt{3}k^2)^2 - 4(1+4k^2)(12k^2-4) = 192k^4 - 16(1+4k^2)(3k^2-1)

\Delta = 192k^4 - 16(12k^4-k^2-1) = 192k^4 - 192k^4 + 16k^2 + 16 = 16(k^2+1)

应用弦长公式，可得弦长为：

|P_1P_2| = \sqrt{1+k^2} \frac{\sqrt{16(k^2+1)}}{1+4k^2} = \frac{4(1+k^2)}{1+4k^2}

弦中点问题

\paragraph{法一：韦达定理} 设弦 $P_1P_2$ 的中点为 $M(x_M, y_M)$ . 联立直线与曲线方程得到 $ax^2+bx+c=0$ . 由中点坐标公式和韦达定理，可得中点横坐标：

x_M = \frac{x_1+x_2}{2} = -\frac{b}{2a}

中点纵坐标 $y_M$ 可通过代入直线方程 $y_M=kx_M+m$ 求得. 这种方法思路直接，是处理中点问题的基本功.

\paragraph{法二：点差法} 虽然韦达定理法普适，但在某些情况下运算较为繁琐. 点差法为涉及弦中点和弦斜率的问题提供了一种更为简洁和深刻的代数路径. 设弦的端点为 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ , 中点为 $M(x_M, y_M)$ . 以椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 为例. $P_1, P_2$ 均在椭圆上，故其坐标满足方程：

\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 \text{①} \text{和} \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1 \text{②}

将两式相减 (此即“点差”之意)，并利用平方差公式：

\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2} + \frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2} = 0

代入中点坐标 $x_M = \frac{x_1+x_2}{2}, y_M = \frac{y_1+y_2}{2}$ 与斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ :

\frac{(x_1-x_2)(2x_M)}{a^2} + \frac{k(x_1-x_2)(2y_M)}{b^2} = 0

当 $x_1 \neq x_2$ 时, 约去 $2(x_1-x_2)$ ，整理即得：

\frac{x_M}{a^2} + k \frac{y_M}{b^2} = 0

此式优美地建立了弦中点坐标 $(x_M, y_M)$ 与弦斜率 $k$ 之间的内在关系，而无需关心直线方程的具体截距.

弦中点斜率关系

对于中心在原点的椭圆与双曲线，其一条斜率为 $k$ 的弦的中点坐标 $(x_M, y_M)$ 满足：

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ : $k \cdot \frac{y_M}{x_M} = -\frac{b^2}{a^2}$ , 即 $k \cdot k_{OM} = -\frac{b^2}{a^2}$
双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ : $k \cdot \frac{y_M}{x_M} = \frac{b^2}{a^2}$ , 即 $k \cdot k_{OM} = \frac{b^2}{a^2}$

例

已知直线 $y=x+m$ 与双曲线 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ 交于两点, 若两交点所构成弦的中点的横坐标为 $3$ , 求实数 $m$ 的值.

解

联立直线与双曲线的方程：

\frac{x^2}{4} - \frac{(x+m)^2}{2} = 1

整理可得：

x^2 - 2(x^2+2mx+m^2) = 4

-x^2 - 4mx - 2m^2 - 4 = 0

即

x^2 + 4mx + 2m^2 + 4 = 0

设两交点为 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ , 弦中点为 $M(x_M, y_M)$ . 根据韦达定理， $x_1+x_2 = -4m$ . 中点横坐标为：

x_M = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-4m}{2} = -2m

根据题意， $x_M=3$ , 故有：

-2m = 3 \implies m = -\frac{3}{2}

例

求椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 中, 被点 $M(1, 1)$ 平分的弦所在的直线方程.

解

此问题可直接应用点差法得到的弦中点斜率关系式. 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , 弦的斜率 $k$ 与弦的中点 $M(x_M, y_M)$ 的坐标满足关系：

k \cdot \frac{y_M}{x_M} = -\frac{b^2}{a^2}

在本题中， $a^2=9, b^2=4$ , 中点 $M(1, 1)$ , 故 $x_M=1, y_M=1$ . 代入上述关系式，可得弦的斜率 $k$ :

k \cdot \frac{1}{1} = -\frac{4}{9} \implies k = -\frac{4}{9}

该弦所在的直线经过点 $M(1, 1)$ 且斜率为 $-\frac{4}{9}$ . 由点斜式可得直线方程为：

y-1 = -\frac{4}{9}(x-1)

整理得：

4x+9y-13=0

例

求抛物线 $y^2=2px \, (p\>0)$ 的一组斜率为 $k \, (k \neq 0)$ 的平行弦的中点轨迹方程.

解

设任意一条斜率为 $k$ 的弦的两个端点为 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ . 两点坐标满足抛物线方程：

y_1^2 = 2px_1 \text{①}

y_2^2 = 2px_2 \text{②}

将两式相减，得：

y_1^2 - y_2^2 = 2p(x_1 - x_2)

利用平方差公式进行分解：

(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 2p(x_1 - x_2)

由于弦的斜率存在且不为零，故 $x_1 \neq x_2$ . 上式可变形为：

\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} (y_1 + y_2) = 2p

设弦的中点为 $M(x_M, y_M)$ , 则弦的斜率 $k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ , 且中点纵坐标 $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$ , 即 $y_1+y_2 = 2y_M$ . 代入上式，得：

k \cdot (2y_M) = 2p

化简得：

y_M = \frac{p}{k}

此关系式对所有斜率为 $k$ 的弦的中点均成立. 因此, 这些中点的轨迹是一条平行于 $x$ 轴的直线, 其方程为 $y=\frac{p}{k}$ .

\paragraph{点差法的原理与思想} 点差法是一种处理圆锥曲线弦中点问题的独特技巧，其名称已经揭示了其核心操作：将两个满足曲线方程的点的坐标代入方程，然后将所得的两个等式作差.

我们以椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 为例，设弦 $P_1P_2$ 的端点为 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ . 由于这两点均在椭圆上，它们的坐标必然满足椭圆方程：

\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 \text{(I)}

\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1 \text{(II)}

单独看任何一个方程，我们只能得到关于一个点的信息. 但解析几何的威力在于研究点与点之间的关系. 点差法的关键步骤，即 I-II，正是为了建立这种关系.

\left(\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{x_2^2}{a^2}\right) + \left(\frac{y_1^2}{b^2}-\frac{y_2^2}{b^2}\right) = 0

作差的直接代数效果是消去了等式右侧的常数项 1，使得等式变为齐次形式，这为因式分解创造了条件. 利用平方差公式，上式可以被分解为：

\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2} + \frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2} = 0

至此，代数变形完成了它的使命. 下一步是赋予这些代数表达式以几何意义. 我们观察式中出现的四个关键组合项：

$x_1-x_2$ 与 $y_1-y_2$ : 这两项是坐标的差值, 它们的比值 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ 正是弦 $P_1P_2$ 的斜率 $k$ (当 $x_1 \neq x_2$ ).
$x_1+x_2$ 与 $y_1+y_2$ : 这两项是坐标的和, 它们的一半 $\frac{x_1+x_2}{2}$ 和 $\frac{y_1+y_2}{2}$ 恰好是弦 $P_1P_2$ 的中点 $M$ 的坐标 $(x_M, y_M)$ .

通过引入弦的斜率 $k$ 和中点坐标 $(x_M, y_M)$ , 我们便可以将上述纯代数等式转化为一个蕴含丰富几何信息的方程：

\frac{(x_1-x_2) \cdot (2x_M)}{a^2} + \frac{k(x_1-x_2) \cdot (2y_M)}{b^2} = 0

约去公因子 $2(x_1-x_2)$ (当弦不垂直于 $x$ 轴), 我们便得到了一个不依赖于端点 $P_1, P_2$ 具体坐标，而仅联系弦中点与弦斜率的内在关系式：

\frac{x_M}{a^2} + k\frac{y_M}{b^2} = 0

总结而言，点差法的本质是：

代数层面：通过作差消去常数项，利用因式分解将二次关系转化为关于坐标和与坐标差的乘积形式.
几何层面：将代数中的“和”与“差”分别诠释为几何中的“中点”与“斜率”.

它巧妙地绕开了韦达定理法中求解联立方程的繁琐过程，直接揭示了圆锥曲线自身所固有的、关于其任意一族平行弦中点轨迹的几何属性. 这种从“点”的方程到“弦”的性质的推演，是解析几何思想的精髓体现.

至此，我们已经构建了分析直线与圆锥曲线关系的核心代数工具箱. 下一步，我们将探讨如何运用这些工具，形成系统性的解题策略，以应对更加复杂的几何挑战. 这便是解析几何的两大思想门派：设点法与设线法.

设点法

解析几何的核心思想在于将几何问题代数化，通过坐标系建立几何对象与代数方程之间的联系. 设点法是这一思想最直接的体现，它是一种基础但极为重要的解题策略. 当问题涉及的几何关系较为复杂，或需要确定动点的轨迹时，我们通常会主动为研究的关键点赋予坐标变量.

与前述利用韦达定理处理弦问题的“设而不求”思想不同，设点法中的“设”是具体地设定点的坐标，如 $P(x_0, y_0)$ . 这么做的目的是将点所满足的几何条件，逐一转化为关于其坐标的代数方程. 这些条件通常包括：

点在已知曲线上：点的坐标 $(x_0, y_0)$ 满足该曲线的方程. 这是建立基本关系的第一步.
点与其他点或直线的位置关系：如距离、斜率、中点、对称性等，这些都可以通过相应的公式表示为包含 $(x_0, y_0)$ 的等式或不等式.

通过联立这些方程，我们可以解出点的坐标，或者在求解轨迹问题时，消去中间参数 $(x_0, y_0)$ , 最终得到目标动点坐标 $(x, y)$ 所满足的轨迹方程.

\paragraph{基本思路} 设点法的应用遵循一个清晰的逻辑框架：

设坐标：根据问题情境，设出关键动点的坐标，例如 $P(x_0, y_0)$ . 如果需要求解轨迹, 则设目标轨迹上的动点坐标为 $M(x, y)$ .
列方程：将问题中所有的几何条件翻译成代数语言. 最首要的方程是 $P(x_0, y_0)$ 在已知曲线上所满足的方程. 其次是 $P(x_0, y_0)$ 与 $M(x, y)$ 及其他已知点、线之间的关系式.
代入与消元：这是核心的代数操作步骤. 目标是消去我们作为中间量引入的参数坐标 $(x_0, y_0)$ , 仅保留轨迹点坐标 $(x, y)$ 和题目中的已知常量，从而得到轨迹方程.

例

已知椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $F_1(-1,0)$ 、 $F_2(1,0)$ , 短轴的两个端点是 $B_1, B_2$ .

若 $\triangle F_1B_1B_2$ 为等边三角形, 求椭圆 $C$ 的标准方程.
若椭圆 $C$ 的短轴长为 2, 过点 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点, 且以 $PQ$ 为直径的圆经过点 $F_1$ , 求直线 $l$ 的方程.

\begin{figure}[htbp]

{PQ} 为直径的圆经过焦点 \texorpdfstring{ $F_1$ }{F1} 的几何示意图, 其等价于 \texorpdfstring{ $\overrightarrow{F_1P} \perp \overrightarrow{F_1Q}$ }{Vector F1P perp Vector F1Q}.} \end{figure} 图：以 \texorpdfstring{ $PQ$

解

(1) 由焦点坐标可知，半焦距 $c=1$ . $\triangle F_1B_1B_2$ 是以 $B_1B_2$ 为底, $F_1O$ 为高的等腰三角形. 其底边长为 $|B_1B_2|=2b$ , 边 $|F_1B_1|=a$ . 因为 $\triangle F_1B_1B_2$ 为等边三角形, 所以 $|F_1B_1|=|F_1F_2|=2c=2$ . 故 $a=2$ . 由椭圆的基本关系式 $a^2=b^2+c^2$ 可得：

4 = b^2+1 \implies b^2=3

因此，椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ .

(2) 这是一个典型的几何条件约束下的问题，我们首先应用设点法将核心几何条件代数化.

由题设，短轴长为 $2b=2$ , 故 $b=1$ . 半焦距 $c=1$ . 则 $a^2 = b^2+c^2 = 1^2+1^2=2$ . 此时椭圆 $C$ 的标准方程为:

\frac{x^2}{2} + y^2 = 1

设直线 $l$ 与椭圆的交点为 $P(x_1, y_1)$ 和 $Q(x_2, y_2)$ .

核心的几何条件是“以 $PQ$ 为直径的圆经过点 $F_1$ ”. 在圆中，直径所对的圆周角为直角. 这一条件的等价代数表示为向量 $\overrightarrow{F_1P}$ 与 $\overrightarrow{F_1Q}$ 垂直.

\overrightarrow{F_1P} \perp \overrightarrow{F_1Q} \implies \overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0

点 $F_1$ 的坐标为 $(-1, 0)$ , 故：

\overrightarrow{F_1P} = (x_1+1, y_1), \overrightarrow{F_1Q} = (x_2+1, y_2)

将坐标代入数量积的表达式，得到：

(x_1+1)(x_2+1) + y_1y_2 = 0 \text{(I)}

此式即为核心几何条件的代数表示. 为了求解它，我们需要建立 $x_1, x_2, y_1, y_2$ 之间的关系，这需要联立直线与椭圆方程.

直线 $l$ 经过点 $F_2(1,0)$ . 首先讨论直线斜率不存在的情况，此时直线 $l$ 的方程为 $x=1$ . 代入椭圆方程得 $\frac{1}{2}+y^2=1$ , 解得 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ . 此时 $P(1, \frac{\sqrt{2}}{2}), Q(1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ . $\overrightarrow{F_1P}=(2, \frac{\sqrt{2}}{2}), \overrightarrow{F_1Q}=(2, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ . $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 2 \cdot 2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 - \frac{1}{2} \neq 0$ . 故直线 $l$ 的斜率存在.

设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-1)$ . 联立直线与椭圆方程组：

\begin{cases} y = k(x-1) \frac{x^2}{2} + y^2 = 1 \end{cases}

消去 $y$ 并整理得：

x^2 + 2k^2(x-1)^2 = 2

x^2 + 2k^2(x^2-2x+1) = 2

(1+2k^2)x^2 - 4k^2x + (2k^2-2) = 0

由韦达定理，可得：

x_1+x_2 = \frac{4k^2}{1+2k^2}, x_1x_2 = \frac{2k^2-2}{1+2k^2}

回到我们的核心关系式 (I), 将其展开：

x_1x_2 + (x_1+x_2) + 1 + y_1y_2 = 0

其中 $y_1y_2$ 可用 $x_1, x_2$ 表示：

y_1y_2 = k(x_1-1) \cdot k(x_2-1) = k^2(x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1)

将 $y_1y_2$ 代入展开式，并合并同类项：

x_1x_2 + (x_1+x_2) + 1 + k^2(x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1) = 0

(1+k^2)x_1x_2 + (1-k^2)(x_1+x_2) + (1+k^2) = 0

现在，将韦达定理的结论代入此式：

(1+k^2)\frac{2k^2-2}{1+2k^2} + (1-k^2)\frac{4k^2}{1+2k^2} + (1+k^2) = 0

方程两边同乘以 $(1+2k^2)$ :

(1+k^2)(2k^2-2) + (1-k^2)(4k^2) + (1+k^2)(1+2k^2) = 0

展开整理：

(2k^4 - 2) + (4k^2 - 4k^4) + (1 + 3k^2 + 2k^4) = 0

(2-4+2)k^4 + (4+3)k^2 + (-2+1) = 0

7k^2 - 1 = 0

解得 $k^2 = \frac{1}{7}$ , 即 $k = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

因此，所求直线 $l$ 的方程为 $y = \frac{\sqrt{7}}{7}(x-1)$ 或 $y = -\frac{\sqrt{7}}{7}(x-1)$ . 即 $x - \sqrt{7}y - 1 = 0$ 或 $x + \sqrt{7}y - 1 = 0$ .

面对这道例题的第二问，一个关键的思考节点是：如何处理“以 $PQ$ 为直径的圆经过点 $F_1$ ”这一核心几何条件？我们必须找到一种方式，将这个看似复杂的几何描述，转化为我们能够操作的、精确的代数语言.

几何条件的代数翻译： “以 $PQ$ 为直径的圆经过点 $F_1$ ”, 根据圆的几何性质, 其等价的表述是“线段 $F_1P$ 与 $F_1Q$ 相互垂直”, 即 $\angle PF_1Q = 90^\circ$ . 这一步是将一个关于圆的叙述，转化为了一个关于角和垂直关系的叙述，使其更接近坐标系的语言.

接下来，垂直关系在解析几何中最直接、最有效的代数翻译工具是向量的数量积. 两非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为零. 因此，几何条件 $\overrightarrow{F_1P} \perp \overrightarrow{F_1Q}$ 被精确地代数化为：

\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0

设点法的必然性：一旦我们将核心条件转化为向量方程 $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ , “设点”就从一种选择变成了一种必然. 为了计算向量的坐标表示并进而计算它们的数量积, 我们必须为向量的起点和终点赋予坐标. $F_1$ 的坐标是已知的 $(-1,0)$ , 但 $P$ 和 $Q$ 的坐标是未知的. 因此, 我们必须主动引入符号来表示它们, 即设 $P(x_1, y_1)$ 和 $Q(x_2, y_2)$ .

没有这一步“设点”操作，向量方程 $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ 就无法继续展开，整个解题路径也就此中断. 设点法在这里的作用，是为我们的代数推理提供了必需的坐标变量. 3. 构建解题的完整逻辑链：设点之后，我们的目标变得非常清晰：求解由 $(x_1+1)(x_2+1) + y_1y_2 = 0$ 所确定的, 关于直线 $l$ 的参数（即斜率 $k$ ）的方程.

此时我们发现，方程中包含了四个变量 $x_1, y_1, x_2, y_2$ , 但它们并非独立的. 它们之间存在着深刻的内在联系：

点 $P, Q$ 在椭圆上：它们的坐标满足椭圆方程.
点 $P, Q$ 在直线 $l$ 上：它们的坐标满足直线方程 $y=k(x-1)$ .

这两个联系正是我们消除多余变量、最终得到关于 $k$ 的方程的桥梁. 通过联立直线与椭圆方程, 我们可以得到一个关于 $x$ (或 $y$ ) 的一元二次方程. 这个方程的两个根恰好是 $x_1, x_2$ . 虽然我们不需要求出 $x_1, x_2$ 的具体值, 但韦达定理为我们提供了它们的和 $x_1+x_2$ 与积 $x_1x_2$ 的表达式.

最终，我们将 $y_1y_2$ 也用 $x_1, x_2$ 和 $k$ 表示, 再将 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 的韦达定理表达式代入, 便成功地将一个关于四个坐标变量的复杂关系式, 转化为了一个只含单个未知参数 $k$ 的简单方程.

综上所述，选择设点法并非是随意的，而是由问题的核心几何条件的性质所决定的. 当一个几何条件直接关涉到曲线上动点的具体位置关系（如本题中的垂直关系）时，设点法是将其代数化的最自然、最直接的途径.

如果我们偏要用设线法呢？首先，就会遇到几何条件难以直接用直线参数表达的问题：问题的核心条件是“以 $PQ$ 为直径的圆经过点 $F_1$ ”, 即 $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ . 这个条件本质上是关于三个特定点 $P, Q, F_1$ 之间位置关系的描述. 它是一个“点对点”的几何约束. 纯粹的“设线法”威力最大的领域, 是处理那些可以直接与直线整体或联立方程系数相关的几何量. 例如, 若题目条件是“弦长 $|PQ|$ 为定值”, 我们可以直接使用弦长公式 $|PQ| = \sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$ . 在这个公式中, 判别式 $\Delta$ 和二次项系数 $a$ 都是直线参数 $k$ 的函数. 整个条件被完美地转化为了一个关于 $k$ 的方程，完全无需引入交点坐标.

然而， $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ 这一条件无法被直接、封闭地表示为 $k$ 的函数. 我们找不到一个像弦长公式那样的“现成工具”，能够直接将这个点积与联立方程的系数联系起来.

接着，还会导致，引入交点坐标成为不可避免的中间步骤：为了将条件 $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ 进行代数展开, 我们必须表达出向量 $\overrightarrow{F_1P}$ 和 $\overrightarrow{F_1Q}$ 的坐标. 这就迫使我们必须引入交点 $P(x_1, y_1)$ 和 $Q(x_2, y_2)$ 的坐标. 换言之, 即便我们以“设线法”开局, 问题的几何本质也决定了我们必须立即转入“设点法”的框架, 将交点坐标作为中间变量来搭桥梁, 用以连接几何条件与直线参数 $k$ .

若固守纯粹的“设线法”，试图绕开交点坐标，我们将无法对核心几何条件进行有效的代数处理，解题过程将无法推进.

曲线系方程*

在处理一族具有共同几何性质的曲线（例如，经过共同的交点）时，逐一分析每条曲线的方程是不经济的.曲线系方程的思想，是用一个含参数的方程来统一表示这一整族曲线，从而将问题从“寻找一条特定的曲线”转化为“确定一个参数的值”.这一思想是解析几何中一种高度抽象且极其有力的代数工具.

其理论基础是以下原理：

曲线系原理

设曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程分别为 $f(x,y)=0$ 和 $g(x,y)=0$ .那么, 对于任意实数 $\lambda$ , 方程

f(x,y) + \lambda g(x,y) = 0

表示一条经过 $C_1$ 和 $C_2$ 所有公共点的曲线.

证明

设 $P(x_0, y_0)$ 是曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的任意一个公共点. 根据定义， $P$ 的坐标必然同时满足 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程，即：

f(x_0, y_0) = 0 \text{且} g(x_0, y_0) = 0

现在，我们将点 $P(x_0, y_0)$ 的坐标代入曲线系方程 $f(x,y) + \lambda g(x,y) = 0$ 的左侧：

f(x_0, y_0) + \lambda g(x_0, y_0) = 0 + \lambda \cdot 0 = 0

这表明等式恒成立.因此，点 $P(x_0, y_0)$ 必定位于方程 $f(x,y) + \lambda g(x,y) = 0$ 所表示的曲线上.由于此结论对所有公共点成立, 故该方程表示的曲线经过 $C_1$ 和 $C_2$ 的所有公共点.

这个原理的核心优势在于，处理“过交点”的问题时，可以完全避免求解交点坐标这一繁琐甚至不可能的步骤，直接在代数结构层面解决问题.

\paragraph{共点直线系} 最简单也是最基础的曲线系是共点直线系. 若两直线 $l_1: A_1x+B_1y+C_1=0$ 和 $l_2: A_2x+B_2y+C_2=0$ 相交, 则通过其交点的所有直线的集合（除去 $l_2$ ），可以由直线系方程表示：

(A_1x+B_1y+C_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2) = 0 (\lambda \in \mathbb{R})

此方程是曲线系原理在 $f,g$ 均为一次多项式时的直接应用.对于任意 $\lambda$ , 该方程均是关于 $x,y$ 的一次方程, 故表示一条直线, 且该直线必过 $l_1, l_2$ 的交点.

我们稍微看一些有趣的应用，大致了解其作用：

例

求经过两直线 $l_1: 2x-y-1=0$ 和 $l_2: x+y-5=0$ 的交点, 且与点 $P(1,-2)$ 的距离为 $\sqrt{5}$ 的直线方程.

解

设所求直线属于过 $l_1, l_2$ 交点的直线系，其方程可设为：

(2x-y-1) + \lambda(x+y-5)=0

整理为一般式：

(2+\lambda)x + (\lambda-1)y - (1+5\lambda) = 0

利用点 $P(1,-2)$ 到该直线的距离公式, 距离为 $\sqrt{5}$ ：

d = \frac{|(2+\lambda)(1) + (\lambda-1)(-2) - (1+5\lambda)|}{\sqrt{(2+\lambda)^2+(\lambda-1)^2}} = \sqrt{5}

化简分子：

|2+\lambda-2\lambda+2-1-5\lambda| = |-6\lambda+3|

化简分母下的表达式：

(2+\lambda)^2+(\lambda-1)^2 = (\lambda^2+4\lambda+4)+(\lambda^2-2\lambda+1) = 2\lambda^2+2\lambda+5

代入距离公式并两边平方：

\frac{(-6\lambda+3)^2}{2\lambda^2+2\lambda+5} = 5

36\lambda^2-36\lambda+9 = 5(2\lambda^2+2\lambda+5)

36\lambda^2-36\lambda+9 = 10\lambda^2+10\lambda+25

26\lambda^2-46\lambda-16=0

13\lambda^2-23\lambda-8=0

这是一个关于 $\lambda$ 的一元二次方程.尽管解 $\lambda$ 仍需计算，但此方法构建了一个清晰的代数框架，在处理更抽象的证明题或参数问题时，其结构性优势会更加凸显.

\paragraph{过圆锥曲线交点的曲线系} 曲线系原理的威力在处理二次曲线时体现得淋漓尽致. 设 $C_1: f(x,y)=0$ 和 $C_2: g(x,y)=0$ 是两条圆锥曲线, 则 $C_1 + \lambda C_2=0$ 表示经过它们所有交点的圆锥曲线系.

例

已知两圆 $C_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ 和 $C_2: x^2+y^2+2x-6y=0$ .

求经过 $C_1, C_2$ 交点的直线的方程.
求经过 $C_1, C_2$ 交点, 且过点 $P(3,1)$ 的圆的方程.

解

(1) 设经过两圆交点的曲线系方程为：

(x^2+y^2-2x-4y-4) + \lambda(x^2+y^2+2x-6y) = 0

该方程表示的曲线是一条直线的充要条件是，方程中 $x^2$ 和 $y^2$ 的系数为零. 整理方程的二次项部分： $(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + ... = 0$ . 为使二次项消去，需令 $1+\lambda = 0$ , 即 $\lambda = -1$ . 当 $\lambda=-1$ 时，曲线系方程即为所求直线的方程：

(x^2+y^2-2x-4y-4) - (x^2+y^2+2x-6y) = 0

-4x+2y-4=0

化简得 $2x-y+2=0$ . 此直线称为两圆的根轴.

(2) 所求圆是过 $C_1, C_2$ 交点的曲线系中的一员. 将点 $P(3,1)$ 的坐标代入曲线系方程, 以确定参数 $\lambda$ 的值. 对于 $C_1$ 部分： $3^2+1^2-2(3)-4(1)-4 = 9+1-6-4-4 = -4$ . 对于 $C_2$ 部分： $3^2+1^2+2(3)-6(1) = 9+1+6-6 = 10$ . 代入曲线系方程得到：

-4 + \lambda(10) = 0 \implies \lambda = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

将 $\lambda = \frac{2}{5}$ 代回曲线系方程：

(x^2+y^2-2x-4y-4) + \frac{2}{5}(x^2+y^2+2x-6y) = 0

方程两边同乘以 $5$ ：

5(x^2+y^2-2x-4y-4) + 2(x^2+y^2+2x-6y) = 0

5x^2+5y^2-10x-20y-20 + 2x^2+2y^2+4x-12y = 0

合并同类项，得到所求圆的方程：

7x^2+7y^2-6x-32y-20 = 0

例

求经过椭圆 $C: x^2+4y^2=4$ 与两条直线 $l_1: x-y=0$ 及 $l_2: x+y=0$ 的所有四个交点, 并且经过点 $P(2,1)$ 的圆锥曲线的方程.

解

此题若直接求解四个交点坐标，再用待定系数法求曲线方程，计算将极为繁琐.曲线系方法为此类问题提供了极为优雅的解决方案.

我们将两条直线 $l_1, l_2$ 视为一条退化的二次曲线.其方程为：

(x-y)(x+y) = 0 \implies x^2-y^2=0

此方程表示的图形正是直线 $y=x$ 和 $y=-x$ 的并集.

现在，问题转化为求经过椭圆 $C: x^2+4y^2-4=0$ 和退化二次曲线 $L: x^2-y^2=0$ 交点的曲线. 根据曲线系原理，设所求曲线的方程为：

(x^2+4y^2-4) + \lambda(x^2-y^2) = 0

此方程表示的曲线族自动满足经过所有四个交点的条件.

为确定参数 $\lambda$ , 我们将点 $P(2,1)$ 的坐标代入此方程：

(2^2+4(1)^2-4) + \lambda(2^2-1^2) = 0

(4+4-4) + \lambda(4-1) = 0

4 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{4}{3}

将 $\lambda = -\frac{4}{3}$ 代回曲线系方程：

(x^2+4y^2-4) - \frac{4}{3}(x^2-y^2) = 0

方程两边同乘以 $3$ ：

3(x^2+4y^2-4) - 4(x^2-y^2) = 0

3x^2+12y^2-12 - 4x^2+4y^2 = 0

整理得到所求圆锥曲线的方程：

-x^2+16y^2-12=0 \implies x^2-16y^2+12=0

这是一条双曲线.

直线系与圆系

\paragraph{直线系方程} 直线系是具有某种共同几何属性的一族直线的集合.根据属性的不同，其方程有几种标准形式.

共点直线系

经过两已知相交直线 $l_1: A_1x+B_1y+C_1=0$ 和 $l_2: A_2x+B_2y+C_2=0$ 交点的直线系方程为：

(A_1x+B_1y+C_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2) = 0 (\lambda \in \mathbb{R})

此方程族不包含直线 $l_2$ 本身.若需考虑 $l_2$ , 则需采用对称形式 $\mu(A_1x+B_1y+C_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2) = 0$ .

一个更基本的形式是经过定点 $P_0(x_0, y_0)$ 的直线系，其方程可设为：

y-y_0 = k(x-x_0)

其中斜率 $k$ 为参数.此形式的局限在于无法表示垂直于 $x$ 轴的直线 $x=x_0$ .在解题时，通常需要对斜率不存在的情况进行单独讨论.

平行直线系

与已知直线 $Ax+By+C=0$ 平行的一族直线的方程为：

Ax+By+\lambda=0 (\lambda \in \mathbb{R})

其几何本质是该族直线具有相同的法向量 $(A,B)$ , 因此斜率均相等.参数 $\lambda$ 控制了直线与原点的距离.

例

求与直线 $3x-4y+1=0$ 平行, 且与圆 $x^2+y^2=4$ 相切的直线方程.

解

设所求直线属于与 $3x-4y+1=0$ 平行的直线系，其方程可设为：

3x-4y+\lambda=0

直线与圆相切的几何条件，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径. 圆 $x^2+y^2=4$ 的圆心为 $O(0,0)$ , 半径 $R=2$ . 圆心 $O$ 到直线 $3x-4y+\lambda=0$ 的距离为：

d = \frac{|3(0)-4(0)+\lambda|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|\lambda|}{5}

令 $d=R$ , 可得：

\frac{|\lambda|}{5} = 2 \implies |\lambda|=10 \implies \lambda = \pm 10

因此，所求的切线方程有两条：

3x-4y+10=0 \text{和} 3x-4y-10=0

\paragraph{圆系方程} 与直线系类似，圆系方程是解决涉及两圆交点、切点等问题的强大工具.

过两圆交点的圆系

设两圆 $C_1: x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$ 和 $C_2: x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$ 相交，则经过其交点的圆系方程为：

(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1) + \lambda(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2) = 0 (\lambda \neq -1)

特别地，当 $\lambda=-1$ 时, 方程中的二次项 $x^2, y^2$ 被消去，得到一个一次方程，它表示过两圆公共弦所在的直线，即两圆的根轴.

过圆与直线交点的圆系

这是上述情形的一个重要特例，可将直线 $l: Ax+By+C=0$ 视为一个半径无限大的“退化圆”.经过圆 $C: x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 与直线 $l$ 交点的圆系方程为：

(x^2+y^2+Dx+Ey+F) + \lambda(Ax+By+C) = 0

相切圆系

与已知直线 $l: Ax+By+C=0$ 相切于点 $P_0(x_0, y_0)$ 的圆系方程, 可以看作是过直线与一个半径为零的“点圆” $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=0$ 交点的圆系.其方程为：

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 + \lambda(Ax+By+C) = 0

例

求经过圆 $C: x^2+y^2-4x=0$ 与直线 $l: x-2y-2=0$ 的交点，且面积最小的圆的方程.

解

设所求圆属于过圆 $C$ 与直线 $l$ 交点的圆系，其方程为：

(x^2+y^2-4x) + \lambda(x-2y-2) = 0

整理为圆的标准方程形式以确定其圆心与半径：

x^2 + (\lambda-4)x - 2\lambda y - 2\lambda = 0

配方得：

\left(x + \frac{\lambda-4}{2}\right)^2 + (y-\lambda)^2 = \left(\frac{\lambda-4}{2}\right)^2 + \lambda^2 + 2\lambda

圆的面积 $S=\pi R^2$ 最小, 等价于半径的平方 $R^2$ 最小. 令 $f(\lambda) = R^2 = \frac{\lambda^2-8\lambda+16}{4} + \lambda^2+2\lambda = \frac{5}{4}\lambda^2 + 1$ . 显然，当 $\lambda=0$ 时, $f(\lambda)$ 取得最小值 $1$ . 当 $\lambda=0$ 时, 所求圆的方程即为原始圆 $C$ 的方程 $x^2+y^2-4x=0$ .

此结果具有深刻的几何意义.过圆与直线两交点的所有圆中，以这两交点连线（即公共弦）为直径的圆面积最小. 圆心 $C$ 的坐标为 $(2,0)$ . 连接圆心与弦中点的直线垂直于弦. 直线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ . 以公共弦为直径的圆，其圆心必在直线 $l$ 上. 设该圆心为 $M(x_M, y_M)$ , 则 $x_M-2y_M-2=0$ . 同时，圆心 $M$ 也是原圆心 $(2,0)$ 在直线 $l$ 上的投影与弦中点的连线上的点.

让我们用圆心坐标来验证.圆系方程的圆心坐标为 $(-\frac{\lambda-4}{2}, \lambda)$ . 要使面积最小，该圆的直径即为圆 $C$ 与直线 $l$ 的公共弦.其圆心即为弦的中点, 该中点必须在直线 $l$ 上. 将圆心坐标代入直线 $l$ 的方程 $x-2y-2=0$ ：

-\frac{\lambda-4}{2} - 2\lambda - 2 = 0

-(\lambda-4) - 4\lambda - 4 = 0

-\lambda+4 - 4\lambda - 4 = 0 \implies -5\lambda=0 \implies \lambda=0

此结果与代数求最值的方法一致. 故面积最小的圆是 $x^2+y^2-4x=0$ .

例

求与直线 $y=2x$ 相切于点 $P(1,2)$ , 且过点 $Q(3,4)$ 的圆的方程.

解

此问题是相切圆系的经典应用. 切线方程为 $2x-y=0$ , 切点为 $P(1,2)$ . 设所求圆属于与直线 $2x-y=0$ 相切于点 $(1,2)$ 的圆系，其方程为：

(x-1)^2 + (y-2)^2 + \lambda(2x-y) = 0

因为该圆经过点 $Q(3,4)$ , 将 $Q$ 的坐标代入圆系方程以确定参数 $\lambda$ :

(3-1)^2 + (4-2)^2 + \lambda(2(3)-4) = 0

2^2 + 2^2 + \lambda(6-4) = 0

4+4+2\lambda = 0 \implies 8+2\lambda=0 \implies \lambda=-4

将 $\lambda=-4$ 代回圆系方程：

(x-1)^2 + (y-2)^2 - 4(2x-y) = 0

展开并整理：

(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) - 8x+4y = 0

x^2+y^2-10x+5=0

此即为所求圆的方程.

二次曲线系

我们将曲线系原理的应用从直线和圆推广至一般的二次曲线.其基本形式 $C_1 + \lambda C_2 = 0$ 描述了经过两条二次曲线 $C_1, C_2$ 所有（至多四个）交点的一族二次曲线.

其实际应用中最有力的策略，是将其中一条二次曲线“退化”为两条直线.

\paragraph{退化的二次曲线} 一个二次方程 $f(x,y)=0$ 所代表的图形, 并不总是椭圆、双曲线或抛物线.当二次多项式 $f(x,y)$ 可以因式分解为两个一次多项式的乘积时，该方程所代表的图形是两条直线的并集. 例如，两条直线 $l_1: A_1x+B_1y+C_1=0$ 和 $l_2: A_2x+B_2y+C_2=0$ 所组成的图形，可以被一个单一的二次方程所描述：

(A_1x+B_1y+C_1)(A_2x+B_2y+C_2) = 0

这个方程的解集，正是满足 $l_1=0$ 或 $l_2=0$ 的所有点的集合.我们称这样的图形为退化的二次曲线.这一概念是理解和构造二次曲线系的关键.

\paragraph{过四点的二次曲线系} 现在，我们考虑一个核心应用场景：求经过一条已知二次曲线 $C$ 与两条已知直线 $l_1, l_2$ 的四个交点的曲线. 设 $C=0, l_1=0, l_2=0$ 分别是它们的方程.我们可以构造一个退化的二次曲线 $l_1l_2=0$ .根据曲线系原理，方程

C + \lambda (l_1 l_2) = 0

就表示了经过这四个交点的一族二次曲线.

例

求经过椭圆 $C_1: x^2+2y^2=3$ 与圆 $C_2: x^2+y^2=2$ 的四个交点，且过原点的二次曲线方程.

解

设所求二次曲线属于过 $C_1, C_2$ 交点的曲线系，其方程可设为：

(x^2+2y^2-3) + \lambda(x^2+y^2-2) = 0

此方程族中的任意一条曲线均自动经过 $C_1, C_2$ 的所有交点.

该曲线经过原点 $(0,0)$ , 故将 $(0,0)$ 代入方程以确定参数 $\lambda$ .

(0+0-3) + \lambda(0+0-2) = 0

-3 - 2\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{3}{2}

将 $\lambda = -\frac{3}{2}$ 代回曲线系方程：

(x^2+2y^2-3) - \frac{3}{2}(x^2+y^2-2) = 0

为化简方程，两边同乘以 $2$ :

2(x^2+2y^2-3) - 3(x^2+y^2-2) = 0

2x^2+4y^2-6 - 3x^2-3y^2+6 = 0

合并同类项得到最终方程：

-x^2+y^2 = 0 \implies y^2=x^2

此方程可分解为 $(y-x)(y+x)=0$ , 其几何图形是两条直线 $y=x$ 和 $y=-x$ 的并集. 这是一个退化的双曲线.

\paragraph{从相交到相切} 曲线系的强大之处不仅在于处理离散的交点，更在于其能够优雅地处理相切这一“重合交点”的极限情形. 在几何上，切线是割线当两个交点无限逼近并重合时的极限位置. 在代数上，这意味着解方程组所得到的二次方程的判别式 $\Delta \to 0$ , 方程的两个不等实根合并为一个重根.

基于此思想，我们可以推广曲线系来处理相切问题.当两条直线 $l_1, l_2$ 重合为一条直线 $l$ 时, 退化二次曲线 $l_1l_2=0$ 就演变成了 $l^2=0$ . $l^2=0$ 的几何意义是一条“双重”直线.由此，我们得到处理相切问题的强大曲线系：

C + \lambda l^2 = 0

此方程描述了一族与二次曲线 $C$ 在其与直线 $l$ 的两个交点处有“二重接触”的曲线.若 $l$ 与 $C$ 相交于两点, 则该曲线系中的所有曲线都在这两点与 $C$ 相切.若 $l$ 与 $C$ 相切, 则该曲线系中的所有曲线都在该切点处与 $C$ 有更高阶的接触.

\paragraph{单点切触的曲线系} 当我们需要构造一族与某条直线 $l$ 在某一点 $P_0$ 相切的曲线时, 可以运用一个更为精妙的特例.一个与已知直线 $l: Ax+By+C=0$ 相切于已知点 $P_0(x_0, y_0)$ 的圆系, 可以由一个在 $P_0$ 处的半径为零的“点圆”与该直线 $l$ 线性组合而成. 点圆的方程为 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=0$ . 圆系方程即为：

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 + \lambda(Ax+By+C) = 0

例

求与抛物线 $C: y^2=4x$ 在顶点 $(0,0)$ 处相切, 且经过点 $P(1,2)$ 的圆的方程.

解

此问题的核心在于将“曲线与曲线相切”的几何条件转化为精确的代数构造.

首先，我们分析相切的几何内涵.若两条曲线在某点相切，则它们在该点有公共的切线. 抛物线 $C: y^2=4x$ 在其顶点 $(0,0)$ 的切线是 $y$ 轴, 其方程为 $x=0$ . 因此，原问题等价于：求一个经过点 $P(1,2)$ , 且与直线 $l: x=0$ 相切于点 $O(0,0)$ 的圆.

这个问题完美地契合了相切圆系的构造思想.

切点为 $O(0,0)$ , 对应的点圆方程为 $(x-0)^2+(y-0)^2=0$ , 即 $x^2+y^2=0$ .
切线方程为 $l: x=0$ .

根据相切圆系的构造原理，所有与直线 $x=0$ 相切于点 $(0,0)$ 的圆，其方程均可表示为：

(x^2+y^2) + \lambda x = 0

其中 $\lambda$ 是待定参数.这个方程族中的每一个成员都代表一个满足核心相切条件的圆.

接下来，我们利用第二个条件圆经过点 $P(1,2)$ 来从该圆系中确定唯一的成员.将点 $P(1,2)$ 的坐标代入圆系方程：

(1^2+2^2) + \lambda(1) = 0

5 + \lambda = 0 \implies \lambda = -5

将求得的参数 $\lambda=-5$ 代回圆系方程，即得所求圆的方程：

x^2+y^2-5x=0

此方法将复杂的几何约束（与抛物线相切）提炼为核心的代数结构（相切圆系），再通过一个简单的代入运算确定参数，充分展现了曲线系思想的优越性.

仿射变换*

在处理涉及椭圆的复杂几何问题时，我们常常会发现，尽管基本原理（联立方程、韦达定理）清晰，但往往只能爆算.

其根本原因在于椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中两个坐标变量的不对等性.相比之下, 圆的方程 $x^2+y^2=R^2$ 具有完美的对称性，其几何性质（如半径处处相等、垂径定理等）也更为简洁.

这启发我们提出一个深刻的问题：是否存在一种几何变换，能够搭建起从椭圆到圆的桥梁，将复杂的椭圆问题转化到我们熟悉的圆的领域中去解决？如果存在这样的变换，它需要满足什么条件？我们又该如何利用它？

\paragraph{构造伸缩变换} 我们的目标是寻找一个坐标映射 $T: (x,y) \mapsto (x',y')$ , 它能将椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的任意一点 $(x,y)$ , 映射成某个圆 $C'$ 上的点 $(x',y')$ .

为了使变换尽可能简单，我们希望保持坐标系的基本结构不变.一个自然的想法是，尝试对坐标轴进行独立的伸缩.观察椭圆方程，可以改写为：

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

我们希望变换后的新坐标 $(x',y')$ 满足一个圆的方程, 例如 $x'^2+y'^2=R^2$ . 比较上述两个方程的形式，一个非常自然的对应关系是：

\frac{x'}{R} = \frac{x}{a} \text{且} \frac{y'}{R} = \frac{y}{b}

为了进一步简化，我们可以选择一个特定的目标圆.例如，我们可以选择让变换不改变 $x$ 轴的尺度, 即令 $x'=x$ . 此时, 为使方程匹配, 我们必须选择目标圆的半径 $R=a$ . 由 $\frac{x'}{a} = \frac{x}{a}$ , 我们得到 $x'=x$ . 由 $\frac{y'}{a} = \frac{y}{b}$ , 我们得到 $y'=\frac{a}{b}y$ .

至此，我们成功地构造出了一个满足我们需求的坐标变换：

T: \begin{cases} x' = x y' = \frac{a}{b}y \end{cases}

这个变换在几何上，相当于将平面沿 $y$ 轴方向伸长（当 $a\>b$ ）或压缩（当 $a\<b$ ）了 $\frac{a}{b}$ 倍, 而保持 $x$ 轴方向不变.通过这个变换, 椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 被精确地映射到了圆 $x'^2+y'^2=a^2$ .

\paragraph{伸缩变换后对几何性质的影响} 我们已经找到了连接椭圆与圆的桥梁，但要真正应用它，还必须考察其他几何对象和几何关系在变换下的表现.

共线性保持

在伸缩变换 $T: (x,y) \mapsto (x, \frac{a}{b}y)$ 下，一条直线被映射为另一条直线.

证明

设原平面内的直线方程为 $Ax+By+C=0$ . 变换的逆关系为 $x=x', y=\frac{b}{a}y'$ . 将其代入直线方程，得到新坐标系下的方程：

A(x') + B\left(\frac{b}{a}y'\right) + C = 0 \implies Ax' + \frac{Bb}{a}y' + C = 0

由于 $A, B$ 不全为零, 故 $A, \frac{Bb}{a}$ 也不全为零.此方程是关于 $x', y'$ 的一次方程，故其像仍为一条直线.

平行性保持

在伸缩变换 $T$ 下，两条平行的直线被映射为两条仍然平行的直线.

证明

设原平面内两条平行直线为 $l_1: Ax+By+C_1=0$ 和 $l_2: Ax+By+C_2=0$ . 根据定理 1 的证明过程，它们的像分别为 $l'_1: Ax'+\frac{Bb}{a}y'+C_1=0$ 和 $l'_2: Ax'+\frac{Bb}{a}y'+C_2=0$ . 由于 $x', y'$ 的系数对应相等, 仅常数项不同, 故 $l'_1 \parallel l'_2$ .

定比分点保持

在伸缩变换 $T$ 下，线段的定比分点（包括中点）被映射为像线段的对应定比分点.

证明

设线段 $P_1P_2$ 的端点为 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ . 设点 $M$ 为线段 $P_1P_2$ 的一个定比分点, 满足 $\overrightarrow{P_1M} = \lambda \overrightarrow{MP_2}$ .

其坐标为 $M\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)$ .

各点经变换后的像为 $P'_1(x_1, \frac{a}{b}y_1), P'_2(x_2, \frac{a}{b}y_2), M'\left( \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \frac{a}{b}\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)$ . 计算像线段 $P'_1P'_2$ 上满足 $\overrightarrow{P'_1M''} = \lambda \overrightarrow{M''P'_2}$ 的点 $M''$ :

x_{M''} = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, y_{M''} = \frac{\frac{a}{b}y_1+\lambda \frac{a}{b}y_2}{1+\lambda} = \frac{a}{b}\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}

可见 $M''$ 的坐标与 $M'$ 完全相同. 当 $\lambda=1$ 时，此结论对中点成立.

相切性保持

在伸缩变换 $T$ 下，若一条直线与一条曲线相切，则它们的像也相互相切.

证明

相切的代数定义是，直线与曲线的方程联立后所得到的一元二次方程有唯一的重根. 变换 $T$ 是一个一一映射，其逆变换也存在且唯一. 这保证了方程组解的个数在变换前后保持不变. 因此，一个具有唯一重根解的方程组，在变换后得到的方程组也必然有唯一的重根解. 故相切关系得以保持.

需要注意的是，该变换不保持长度和角度. 例如，点 $(0,b)$ 变换为 $(0,a)$ , 其到原点的距离从 $b$ 变为 $a$ . 两条垂直的直线 $y=x$ 和 $y=-x$ 变换为 $y'=\frac{a}{b}x'$ 和 $y'=-\frac{a}{b}x'$ , 它们不再垂直（除非 $a=b$ ）. 因此，所有依赖于长度、距离、垂直关系的计算，必须在逆变换之后，回到原始坐标系中进行.

多边形面积变换

在伸缩变换 $T$ 下, 一个面积为 $S$ 的多边形, 被映射为一个面积为 $S'$ 的多边形, 且两面积满足关系 $S' = \frac{a}{b}S$ .

证明

我们首先证明此结论对任意三角形成立. 设原平面内一个三角形的顶点为 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2), P_3(x_3, y_3)$ . 其面积 $S_{\triangle}$ 可由坐标面积公式（鞋带公式）给出：

S_{\triangle} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|

经变换 $T$ 后, 像三角形的顶点为 $P'_1(x_1, \frac{a}{b}y_1), P'_2(x_2, \frac{a}{b}y_2), P'_3(x_3, \frac{a}{b}y_3)$ . 其面积 $S'_{\triangle}$ 为：

\begin{aligned} S'_{\triangle} &= \frac{1}{2} \left|x_1\left(\frac{a}{b}y_2-\frac{a}{b}y_3\right) + x_2\left(\frac{a}{b}y_3-\frac{a}{b}y_1\right) + x_3\left(\frac{a}{b}y_1-\frac{a}{b}y_2\right)\right| &= \frac{1}{2} \left|\frac{a}{b} \left( x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right)\right| \end{aligned}

由于 $a,b$ 均为正数, 可将因子 $\frac{a}{b}$ 提出绝对值符号：

S'_{\triangle} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = \frac{a}{b} S_{\triangle}

对于任意一个多边形（如四边形），我们总可以将其剖分为有限个不重叠的三角形. 设一个多边形被剖分为 $n$ 个三角形 $\triangle_1, \triangle_2, ..., \triangle_n$ . 其总面积 $S = \sum_{i=1}^{n} S_{\triangle_i}$ . 经变换后，该多边形的像由 $n$ 个像三角形 $\triangle'_1, \triangle'_2, ..., \triangle'_n$ 组成. 其总面积 $S' = \sum_{i=1}^{n} S'_{\triangle_i}$ . 根据已证的三角形面积变换关系，我们有 $S'_{\triangle_i} = \frac{a}{b}S_{\triangle_i}$ 对所有 $i$ 成立. 因此：

S' = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{a}{b}S_{\triangle_i}\right) = \frac{a}{b} \sum_{i=1}^{n} S_{\triangle_i} = \frac{a}{b}S

此结论对任意多边形均成立.

基于上述理论，我们形成一套清晰的解题流程：

变换：识别问题中的椭圆，施加伸缩变换，将其转化为圆. 同时，将问题中所有相关的几何元素（点、线）进行同步变换.
求解：在变换后的圆中，利用圆的简洁几何性质（对称性、垂径定理等）来解决问题. 这一步通常在代数上或几何上都更为简单.
逆变：将圆中得到的结论，依据变换的几何不变性（如平行、中点、相切）或确定的变换规律（如面积关系），翻译回原始的椭圆.

例

求内接于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的三角形的最大面积.

解

设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 内接一个 $\triangle PQR$ . 我们对其所在平面进行仿射变换 $T: (x,y) \mapsto (x', y') = (x, \frac{a}{b}y)$ .

在此变换下，椭圆 $C$ 变为圆 $C': x'^2+y'^2=a^2$ . 内接三角形 $\triangle PQR$ 变为圆 $C'$ 的内接三角形 $\triangle P'Q'R'$ .

在变换后的平面中，问题转化为求圆 $x'^2+y'^2=a^2$ 的内接三角形的最大面积. 我们知道，圆的内接三角形中，以等边三角形的面积为最大. 半径为 $R=a$ 的圆的内接等边三角形的面积为:

S'_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2

现在，我们将此结论逆变回原始平面. 根据我们导出的面积变换规律 $S' = \frac{a}{b}S$ , 可得 $S = \frac{b}{a}S'$ . 因此，椭圆内接三角形的最大面积为:

S_{\text{max}} = \frac{b}{a} S'_{\text{max}} = \frac{b}{a} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}ab

此方法将复杂的椭圆最值问题，通过一个简单的线性变换，化归为初等的圆的最值问题，过程极为简明.

例

设直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点, $M$ 为弦 $AB$ 的中点. 若直线 $OM$ ( $O$ 为坐标原点) 与椭圆交于点 $P$ . 证明：椭圆在点 $P$ 处的切线与直线 $l$ 平行.

解

这是一个关于椭圆共轭直径的基本性质，其直接代数证明较为繁琐，但使用仿射变换则直观且深刻.

我们对整个几何图形施行伸缩变换 $T: (x,y) \mapsto (x', y') = (x, \frac{a}{b}y)$ .

在变换后的平面中：椭圆变为圆 $C': x'^2+y'^2=a^2$ . 直线 $l$ 变为直线 $l'$ . 交点 $A, B$ 变为交点 $A', B'$ . 根据变换的中点保持性质，弦 $AB$ 的中点 $M$ 变为弦 $A'B'$ 的中点 $M'$ . 原点 $O$ 保持不变, 直线 $OM$ 变为直线 $OM'$ . 交点 $P$ 变为交点 $P'$ . 根据变换的相切保持性质，椭圆在点 $P$ 处的切线 $l_P$ 变为圆在点 $P'$ 处的切线 $l'_{P'}$ .

现在，我们在圆的世界中分析这些变换后的几何对象之间的关系. 在圆 $C'$ 中, $A'B'$ 是一条弦, $M'$ 是其中点, $O$ 是圆心. 根据圆的垂径定理，连接圆心与弦中点的直线必垂直于该弦. 因此，直线 $OM'$ 垂直于直线 $l'$ .

点 $P'$ 在直线 $OM'$ 上, 故 $OP'$ 也是圆的一条半径. 圆在点 $P'$ 处的切线 $l'_{P'}$ 必然垂直于经过该点的半径 $OP'$ .

综合以上两点，我们得到：

l' \perp OM' \text{且} l'_{P'} \perp OM'

在同一平面内，两条同时垂直于第三条直线的直线必定相互平行. 故 $l'_{P'} \parallel l'$ .

最后，我们将此结论逆变回原始平面. 由于仿射变换保持平行性质，若变换后的两条直线 $l'_{P'}$ 和 $l'$ 平行, 则它们在变换前的原像直线 $l_P$ 和 $l$ 也必定平行.

因此，椭圆在点 $P$ 处的切线与直线 $l$ 平行. 证毕.

向量代数​

从有向线段到向量​

有向线段​

向量的基本属性与线性运算​

向量的基本属性​

向量加法​

向量减法​

标量乘法​

探究向量的除法​

共线定理与平面向量基本定理​

向量共线定理​

平面向量基本定理​

向量的坐标表示​

平面向量的数量积​

数量积的定义与几何意义​

数量积的性质与坐标表示​

走路法​

极化恒等式​

定比分点与共线定理​

系数和为常数的轨迹​

观点一: 仿射坐标系​

观点二: 几何变换​

观点三: 重心坐标​

推广至高维​

奔驰定理​

定理的几何形象与名称由来​

二次和的最小值与斯坦纳定理​

对角线数量积定理​

直线与圆​

直线的方程​

圆的方程​

圆的标准方程​

圆的一般方程​

直线与圆的位置关系​

点到直线的距离​

几何判别法​

圆的切线​

线性规划初步*​

经济学中的资源优化问题​

线性规划问题的数学模型​

可行域与图解法​

线性规划基本定理​

饮食问题与计划经济等有趣的应用问题​

金融领域的投资组合优化​

二次曲线​

二次曲线的一般理论​

椭圆​

椭圆的几何定义​

椭圆的标准方程​

椭圆的几何性质​

椭圆的参数方程​

椭圆的切线方程​

椭圆的光学与声学性质​

椭圆的导演圆​

离心率​

圆锥曲线基本解题策略​

从直线与圆锥曲线的位置关系谈起​

基本几何量的计算​

弦中点问题​

设点法​

曲线系方程*​

直线系与圆系​

二次曲线系​

仿射变换*​

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共线定理与平面向量基本定理

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