Chapter 19: Elementary Integration

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原函数与不定积分

{/* label: sec:ch19-s01 */}

在微分学的研究中，我们关注的核心问题是：给定一个函数 $F(x)$ , 如何求出其导函数 $f(x)=F'(x)$ ？这个过程赋予我们一种从“总量”描述其“瞬时变化率”的能力. 接着，我们自然地转向其逆问题. 假设已知一个代表“变化率”的函数 $f(x)$ , 我们能否反向追溯, 寻找到一个其导数恰好是 $f(x)$ 的原初函数 $F(x)$ ？这个问题，即求导运算的逆运算，构成了积分学理论的起点.

原函数的概念与结构

原函数

如果在区间 $I$ 上, 可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$ , 即对于任意 $x \in I$ ，都有

F'(x) = f(x)

那么，我们称函数 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数.

寻找原函数的过程，在本质上是求解最基本的一类微分方程 $y' = f(x)$ .

一个自然的问题是：原函数是否唯一？不难发现，对于任意常数 $C$ , 函数 $F(x)+C$ 的导数都是 $f(x)$ . 这表明，一个函数的原函数若存在，则必然存在无穷多个，构成一个函数族.

更深刻的问题是：一个函数的所有原函数是否都具有这种仅相差一个常数的形式？下面的定理给出了肯定的回答，但其成立的背后，定义域的拓扑性质——即区间的连通性——至关重要.

原函数的结构

若函数 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在一个区间 $I$ 上的一个原函数, 则 $f(x)$ 在该区间上的任意其他原函数 $G(x)$ 必定具有形式 $G(x) = F(x) + C$ , 其中 $C$ 为某个常数.

证明

设 $F(x)$ 和 $G(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的任意两个原函数. 根据定义，我们有 $F'(x)=f(x)$ 以及 $G'(x)=f(x)$ . 构造一个新的辅助函数 $\Phi(x) = G(x) - F(x)$ . 对 $\Phi(x)$ 求导，我们得到

\Phi'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0

对于区间 $I$ 内的任意 $x$ 都成立. 我们在导数的章节中已经证明 (作为拉格朗日中值定理的一个重要推论)，如果一个函数在一个连通的区间上的导数恒为零，那么这个函数在该区间上必然是一个常数函数. 因此，存在一个常数 $C$ , 使得对所有 $x \in I$ 都有 $\Phi(x) = C$ . 即 $G(x) - F(x) = C$ , 或 $G(x) = F(x) + C$ .

必须强调定理中“区间”这一前提. 若函数的定义域并非单个连通的区间，而是多个不相交区间的并集，则在每个独立的区间上，任意两个原函数之间的差可以是不同的常数. 例如，考虑函数 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ , 其定义域为 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ . 其一个原函数是 $F(x)=-\frac{1}{x}$ . 那么， $G(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x} + 2 & x \> 0 \\ -\frac{1}{x} - 5 & x \< 0 \end{cases}$ 也是 $f(x)$ 的原函数，但两个原函数之差在整个定义域上并非同一个常数.

不定积分

为了系统地表示一个函数的“全体原函数”，我们引入不定积分的记号.

不定积分

函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的全体原函数所构成的集合, 称为 $f(x)$ 在 $I$ 上的不定积分，记作

\int f(x) \, dx

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，那么我们写出

\int f(x) \, dx = F(x) + C

这里的 $C$ 被称为积分常数，它代表了函数族中所有可能的常数项.

从算子的角度看，微分算子 $\frac{d}{dx}$ 与积分算子 $\int (\cdot) \, dx$ 是一对互逆的线性算子.

\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} (F(x)+C) = f(x)

这表明微分是积分的“左逆”.

\int \left(\frac{d}{dx} F(x)\right) \, dx = \int F'(x) \, dx = F(x) + C

这表明积分是微分的“右逆”，其结果与原函数相差一个常数，反映了微分运算会丢失常数信息.

几何上，微分方程 $y'=f(x)$ 在平面上定义了一个方向场 (或称斜率场), 它在每一点 $(x_0, y_0)$ 指定了一个斜率 $f(x_0)$ . 而不定积分 $y=F(x)+C$ 所代表的积分曲线族，正是穿过这个方向场、并且其每点切线都与该点场方向完全吻合的曲线集合.

{/* latex-label: fig:slope-field */} \begin{figure}[htbp]

{y'=2x} 的方向场与积分曲线族 \texorpdfstring{ $y=x^2+C$ }{y=x^2+C}}

\end{figure} 图：微分方程 \texorpdfstring{ $y'=2x$

原函数的存在性

我们已经定义了原函数，但并未讨论其存在的条件. 一个函数是否必然拥有原函数？答案是否定的. 然而，微积分的一个基石性结论 (微积分基本定理的第一部分) 保证了以下事实：

原函数存在定理

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续, 则 $f(x)$ 在该区间上必存在原函数.

这个定理极为深刻，它将函数的分析性质 (连续性) 与积分运算的可能性直接联系起来. 它确保了我们对所有遇到的连续函数谈论其不定积分都是有意义的.

然而，存在性与能否用我们熟悉的函数形式表达出来，是两个截然不同的问题. 我们熟悉的函数，如多项式、有理函数、指数、对数、三角函数及其反函数，以及由它们经过有限次四则运算和复合得到的函数，统称为初等函数. 一个自然的问题是：一个初等函数的原函数是否也必定是初等函数？答案出人意料，同样是否定的. 事实上，大量的“简单”初等函数，其原函数无法用初等函数表示. 这揭示了积分运算与微分运算的一个根本性不对称：初等函数的导数必为初等函数，反之则不然. 以下是一些著名的例子，它们的积分在各自的领域中定义了重要的“特殊函数”：

$\displaystyle \int e^{-x^2} \, dx$ (高斯积分的被积函数，其原函数与误差函数 erf(x) 相关)
$\displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, dx$ (正弦积分 Si(x))
$\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} \, dx$ (对数积分 Li(x)，在数论中至关重要)
$\displaystyle \int \sqrt{1-k^2\sin^2 x} \, dx$ (第二类椭圆积分)

这一事实表明，我们通过基本积分公式和各种技巧能够“解出”的积分，仅仅是全部可积函数中的沧海一粟. 它也从根本上阐明了为何数值积分方法和特殊函数理论在科学与工程中不可或缺.

不定积分

{/* label: sec:ch19-s02 */}

我们已经确立，一个给定函数 $f(x)$ 的所有原函数构成了一个函数族 $F(x)+C$ . 为系统地研究和表示这个函数族，我们引入不定积分的概念.这不仅是一套符号，更是一种数学结构，它将求导的逆运算形式化，并揭示了其内在的代数性质.

不定积分的表示法与代数结构

不定积分

函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的全体原函数所构成的集合, 称为 $f(x)$ 在 $I$ 上的不定积分，记作

\int f(x) \, dx

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，那么我们写出

\int f(x) \, dx = F(x) + C

莱布尼茨引入的积分符号 $\int f(x) \, dx$ 具有深刻的内涵. 积分号 $\int$ 是字母 S 的拉长, 代表“求和”(Summa), 这预示了不定积分与定积分（黎曼和的极限）之间的深刻联系. 而被积表达式 $f(x)dx$ 则暗示了变量的微分 $dx$ 在运算中的重要地位，这为我们后续学习换元积分法提供了直观的引导.

与导数算子 $\frac{d}{dx}$ 类似, 不定积分算子 $\int(\cdot)dx$ 也具有优良的代数结构，即线性性.

不定积分的线性性质

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函数都存在, $k$ 为非零常数，则

齐次性: $\displaystyle \int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$
可加性: $\displaystyle \int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

证明

此定理的证明根植于微分算子的线性性. 我们知道 $\frac{d}{dx}$ 是一个线性算子. 作为其逆运算的积分算子，理应继承这种线性结构.

为证齐次性，我们对右式求导：

\frac{d}{dx} \left( k \int f(x) \, dx \right) = k \frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = k f(x)

由于右式的导数是被积函数 $kf(x)$ ，根据不定积分的定义，该法则成立.

为证可加性，我们同样对右式求导：

\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx}\left( \int f(x) \, dx \right) + \frac{d}{dx}\left( \int g(x) \, dx \right) = f(x) + g(x)

由于右式的导数是被积函数 $f(x)+g(x)$ ，该法则成立.

这个定理意义重大，它表明在函数空间中，不定积分是一个线性算子. 这允许我们将复杂函数的积分问题分解为若干个简单函数积分的线性组合，是进行积分计算的根本法则.

基本积分表

既然积分是微分的逆运算，那么我们已经掌握的每一个求导公式，反向审视，都对应着一条积分公式. 这些基本公式构成了我们求解更复杂积分问题的“辞典”.

\paragraph{幂函数与对数函数} 幂函数求导法则 $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ 是我们最熟悉的法则之一. 为将其逆转以求 $\int x^n dx$ , 我们需要寻找一个函数, 其导数恰为 $x^n$ . 注意到 $\left(x^{n+1}\right)' = (n+1)x^n$ . 为抵消系数 $n+1$ , 我们构造 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ , 其导数为 $\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = x^n$ . 此推导要求分母 $n+1 \neq 0$ , 即 $n \neq -1$ .

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (n \in \mathbb{R}, n \neq -1)

幂函数积分公式中 $n=-1$ 的情况构成了一个独特的缺口. $\int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx$ 的答案并非来自幂函数族，而是由一个全新的超越函数——自然对数函数——来填补. 我们已知当 $x\>0$ 时, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ . 当 $x\<0$ 时, $-x \> 0$ , 函数 $\ln(-x)$ 有定义. 根据链式法则, $(\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$ . 这表明，无论 $x$ 在哪个半轴, $\frac{1}{x}$ 的原函数都与对数相关. 为统一表达，我们引入绝对值.

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

\begin{figure}[htbp]

{ln|x|} 作为 \texorpdfstring{ $\frac{1}{x}$ }{1/x} 在其整个定义域上的原函数} \end{figure} 图：函数 \texorpdfstring{ $\ln|x|$

\paragraph{指数与三角函数} 指数函数 $e^x$ 在微积分中因其导数的不变性而地位特殊, 这一性质也完美地延续到了积分中. 对于一般底数的指数函数 $a^x$ , 求导时产生的 $\ln a$ 因子，在积分时需要被抵消. 三角函数的积分公式同样是其导数关系的直接逆转，需特别注意符号的变化.

\begin{aligned} \int e^x \, dx &= e^x + C \int a^x \, dx &= \frac{a^x}{\ln a} + C (a\>0, a\neq 1) \int \cos x \, dx &= \sin x + C \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \int \sec^2 x \, dx &= \tan x + C \int \csc^2 x \, dx &= -\cot x + C \end{aligned}

基本不定积分表

\begin{multicols}{2}

$\displaystyle \int 0 \, dx = C$
$\displaystyle \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (n \neq -1)$
$\displaystyle \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
$\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C$
$\displaystyle \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
$\displaystyle \int \cos x \, dx = \sin x + C$
$\displaystyle \int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$\displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$\displaystyle \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

\end{multicols}

积分技巧

在实际问题中，很少有被积函数能直接与基本积分表中的某一项完全对应. 求解积分的真正挑战与艺术，在于如何通过代数或三角恒等变换，将被积函数化归为基本形式的线性组合.

例

求不定积分 $\displaystyle \int (4x^3 - \frac{3}{\sqrt{x}} + 2e^x) \, dx$ .

解

首要任务是将所有项改写为标准幂函数或指数函数形式.

\text{被积函数} = 4x^3 - 3x^{-1/2} + 2e^x

接着，运用线性性质逐项积分.

\begin{aligned} \int \left( 4x^3 - 3x^{-1/2} + 2e^x \right) \, dx &= 4\int x^3 \, dx - 3\int x^{-1/2} \, dx + 2\int e^x \, dx &= 4 \left( \frac{x^4}{4} \right) - 3 \left( \frac{x^{1/2}}{1/2} \right) + 2e^x + C &= x^4 - 6\sqrt{x} + 2e^x + C \end{aligned}

我们只需在最终结果处添加一个总的积分常数 $C$ 即可.

例

求不定积分 $\displaystyle \int \frac{(x-1)^2}{x\sqrt{x}} \, dx$ .

解

被积函数形式复杂，直接积分无从下手. 策略是先进行代数展开与化简，将其转化为幂函数的和差.

\begin{aligned} \frac{(x-1)^2}{x\sqrt{x}} &= \frac{x^2-2x+1}{x^{3/2}} &= \frac{x^2}{x^{3/2}} - \frac{2x}{x^{3/2}} + \frac{1}{x^{3/2}} &= x^{1/2} - 2x^{-1/2} + x^{-3/2} \end{aligned}

化简之后，积分问题迎刃而解.

\begin{aligned} \int (x^{1/2} - 2x^{-1/2} + x^{-3/2}) \, dx &= \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2\frac{x^{1/2}}{1/2} + \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C &= \frac{2}{3}x^{3/2} - 4x^{1/2} - 2x^{-1/2} + C &= \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} + C \end{aligned}

例

求不定积分 $\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$ .

解

函数 $\tan^2 x$ 并不在我们的基本积分表中. 然而，它可以通过三角恒等式与表中的一项建立联系. 我们回忆勾股恒等式 $1+\tan^2 x = \sec^2 x$ . 由此可得 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ . 这个变换是解决问题的关键，因为它将未知的积分转化为了已知的积分.

\begin{aligned} \int \tan^2 x \, dx &= \int (\sec^2 x - 1) \, dx &= \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx &= \tan x - x + C \end{aligned}

换元积分法

{/* label: sec:ch19-s03 */}

我们现有的工具，即基本积分公式和线性运算法则，使我们能够对基本函数的和与差进行积分.然而，这套工具在面对复合函数时则显得无能为力.例如，我们能够求解 $\int \cos x \, dx$ , 但面对 $\int \cos(2x) \, dx$ 却束手无策；我们可以求解 $\int \sqrt{x} \, dx$ , 但对于 $\int 2x\sqrt{x^2+1} \, dx$ 却感到棘手.

这些“更复杂”的被积函数并非凭空出现，它们往往具有一个共同的结构特征：它们看起来像是一个复合函数经过链式法则求导后的产物.这提示我们，解决复合函数积分问题的钥匙，必然隐藏在微分学的链式法则之中.

让我们重新审视链式法则：

\frac{d}{dx} [F(g(x))] = F'(g(x)) \cdot g'(x)

如果我们对这个等式的两边同时进行不定积分，根据微分与积分的互逆关系，我们会得到：

\int F'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C

这个恒等式是换元积分法的理论核心.它揭示了一个深刻的模式：如果一个被积函数可以被识别为一个“外层函数”的导数 $F'$ 作用于一个“内层函数” $g(x)$ , 再乘以这个“内层函数”自身的导数 $g'(x)$ 的形式, 那么它的积分结果就是那个“外层函数”的原函数 $F$ 作用于“内层函数” $g(x)$ .

为了系统地利用这一模式，我们引入一种形式上的变量替换，即令 $u = g(x)$ . 这种“变量替换”的技巧, 就是所谓的换元积分法, 它在积分运算中的地位, 完全等同于链式法则在微分运算中的地位.它分为两种战略方向：第一类换元法通过 $u = g(x)$ 将复杂结构“收缩”为简单形式；第二类换元法通过 $x = \phi(t)$ 将变量“展开”为一个函数，以期简化被积函数的内在结构.

第一类换元法 (凑微分法)

第一类换元法的策略是“由内向外”识别结构. 我们的目标是在被积函数中辨认出 $f(g(x))g'(x)$ 的形式, 然后通过替换 $u=g(x)$ 将其转化为更易处理的 $\int f(u)du$ .

第一类换元积分法则

设函数 $f(u)$ 具有原函数 $F(u)$ , 即 $\int f(u) \, du = F(u)+C$ . 如果 $u=g(x)$ 是一个可导函数，那么我们有

\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F(g(x)) + C

证明

欲证明 $\int f(g(x)) g'(x) \, dx = F(g(x)) + C$ , 根据不定积分的定义, 我们只需验证等式右侧的函数 $F(g(x)) + C$ 是否为等式左侧被积函数 $f(g(x)) g'(x)$ 的一个原函数.

换言之，我们的目标是证明：

\frac{d}{dx} [F(g(x)) + C] = f(g(x)) g'(x)

我们对函数 $F(g(x)) + C$ 关于 $x$ 进行求导. 这是一个复合函数求导的问题. 注意到 $F(g(x))$ 是由外层函数 $F(u)$ 和内层函数 $u=g(x)$ 复合而成. 根据微分学的链式法则, 我们有

\frac{d}{dx} F(g(x)) = \frac{dF}{du} \cdot \frac{du}{dx}

根据定理的假设，函数 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的原函数，这意味着

\frac{dF}{du} = F'(u) = f(u)

同时，我们已知 $u=g(x)$ , 故

\frac{du}{dx} = g'(x)

将这两个结果代入链式法则的表达式，得到

\frac{d}{dx} F(g(x)) = f(u) \cdot g'(x)

将 $u=g(x)$ 回代，我们有

\frac{d}{dx} F(g(x)) = f(g(x)) g'(x)

接着，我们考虑整个表达式 $F(g(x))+C$ 的导数. 由于常数的导数为零,

\frac{d}{dx} [F(g(x)) + C] = \frac{d}{dx} F(g(x)) + \frac{d}{dx}(C) = f(g(x)) g'(x) + 0 = f(g(x)) g'(x)

这表明函数 $F(g(x))$ 确实是被积函数 $f(g(x))g'(x)$ 的一个原函数. 因此，根据不定积分的定义，

\int f(g(x)) g'(x) \, dx = F(g(x)) + C

再结合假设 $\int f(u)du = F(u)+C$ , 并将 $u=g(x)$ 代入，定理得证.

在实际操作中，我们将莱布尼茨的微分符号 $du = g'(x)dx$ 作为一个形式上的整体来进行替换. 这种将微分 $dx$ 视为可分离、可组合的代数实体的做法，虽然在严格的分析基础上需要更深的理论支撑（微分形式），但在计算层面是一种极为有效且直观的启发式工具.

第一类换元法战略思想

识别结构. 审视被积函数，尝试寻找一个复合函数的"内层" $u=g(x)$ , 其导数 $g'(x)$ (或其常数倍) 也在被积表达式中作为因子出现.
换元.

声明替换 $u=g(x)$ , 并计算其微分 $du = g'(x)dx$ .
将被积表达式中所有与 $x$ 相关的部分完全替换为关于 $u$ 和 $du$ 的表达式. 积分 $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$ 此时应转化为更简洁的 $\int f(u) \, du$ . 这个过程也常被称为"凑微分".

求解新积分. 对关于 $u$ 的新积分进行求解. 这一步通常可以直接套用基本积分公式.
回代. 将积分结果中的变量 $u$ 替换回原来的表达式 $g(x)$ , 确保最终答案是关于 $x$ 的函数.

例

求不定积分 $\displaystyle \int 2x\sqrt{x^2+1} \, dx$ .

解

被积函数中呈现出一个复合结构 $\sqrt{x^2+1}$ . 我们识别出其“内层”函数为 $u=x^2+1$ . 接着，我们立即检验其微分： $du = (x^2+1)' dx = 2x \, dx$ . 这个微分 $2x \, dx$ 恰好是原被积表达式中剩下的部分.这是一个完美的换元结构.

令 $u = x^2+1$ , 则 $du = 2x \, dx$ . 我们将原积分中的部分进行整体替换：

\int \underbrace{\sqrt{x^2+1}}_{\sqrt{u}} \underbrace{2x \, dx}_{du}

原积分在 $u$ 变量下转化为

\int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du

应用幂函数积分公式：

\frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C

最后，将 $u=x^2+1$ 代回结果：

\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C

例

求不定积分 $\displaystyle \int \tan x \, dx$ .

解

$\tan x$ 并不在我们的基本积分公式表中. 为了求解，我们必须将其改写为更基本的形式，以期揭示其内在的复合结构.

\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx

在这个分式形式中，我们可以将分母视为内层函数 $u=\cos x$ . 其微分为 $du = (\cos x)' dx = -\sin x \, dx$ . 这与分子 $\sin x \, dx$ 只相差一个常数因子 $-1$ . 我们可以通过凑微分来匹配它.

\sin x \, dx = -du

于是原积分转化为

\int \frac{1}{\underbrace{\cos x}_{u}} \underbrace{(\sin x \, dx)}_{-du} = \int \frac{-1}{u} \, du = - \int \frac{1}{u} \, du

- \ln|u| + C

回代 $u=\cos x$ ，得到

- \ln|\cos x| + C

利用对数性质，这个结果也可以写成 $\ln|\cos x|^{-1} + C = \ln|\sec x| + C$ .

第二类换元法

第一类换元法的策略是令 $u=g(x)$ , 将被积函数向标准形式“收缩”. 而第二类换元法则反其道而行之, 它通过令 $x=\phi(t)$ , 将被积函数进行“扩张”和“变形”. 这种方法的目标是, 选择一个巧妙的函数 $\phi(t)$ , 使得原先棘手的被积函数（尤其是含有根式的）, 在新的变量 $t$ 下，能够利用代数或三角恒等式得到根本性的简化，从而达到“有理化”或消除复杂结构的目的.

这种方法最典型的应用场景是处理含有二次根式的积分，特别是形如 $\sqrt{a^2-x^2}$ , $\sqrt{a^2+x^2}$ 和 $\sqrt{x^2-a^2}$ 的被积函数. 这些根式结构与勾股定理以及三角函数的基本恒等式有着惊人的同构性：

$\sqrt{a^2-x^2} \longleftrightarrow$ 直角边 $\sqrt{c^2-b^2} \longleftrightarrow \cos t = \sqrt{1-\sin^2 t}$
$\sqrt{a^2+x^2} \longleftrightarrow$ 斜边 $\sqrt{b^2+c^2} \longleftrightarrow \sec t = \sqrt{1+\tan^2 t}$
$\sqrt{x^2-a^2} \longleftrightarrow$ 直角边 $\sqrt{c^2-b^2} \longleftrightarrow \tan t = \sqrt{\sec^2 t - 1}$

利用这些联想，我们通过引入三角函数作为新的变量，来彻底消除根号，将一个复杂的无理函数积分问题，转化为一个相对简单的有理三角函数积分问题. 这就是三角换元法的精髓.

三角换元的操作策略

根据被积函数中根式的不同形式，我们采用三种标准化的替换策略.

三角换元法则

**若含 $\sqrt{a^2-x^2**$ ( $a\>0$ ):} 令 $x = a\sin t$ , 其中 $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ . 此时 $dx = a\cos t \, dt$ . 根式化为 $\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t} = a\sqrt{\cos^2 t} = a|\cos t|$ . 由于 $t$ 的取值范围保证了 $\cos t \ge 0$ , 故 $\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$ .
**若含 $\sqrt{a^2+x^2**$ ( $a\>0$ ):} 令 $x = a\tan t$ , 其中 $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ . 此时 $dx = a\sec^2 t \, dt$ . 根式化为 $\sqrt{a^2+a^2\tan^2 t} = a\sqrt{\sec^2 t} = a|\sec t|$ . 由于 $t$ 的取值范围保证了 $\sec t \> 0$ , 故 $\sqrt{a^2+x^2} = a\sec t$ .
**若含 $\sqrt{x^2-a^2**$ ( $a\>0$ ):} 令 $x = a\sec t$ , 其中 $t \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ . 此时 $dx = a\sec t \tan t \, dt$ . 根式化为 $\sqrt{a^2\sec^2 t - a^2} = a\sqrt{\tan^2 t} = a|\tan t|$ . 在所选的 $t$ 定义域内, 通过选取合适的象限可保证 $\tan t$ 的符号，从而去掉绝对值.

核心思想: 通过精巧的变量代换，利用三角恒等式 $1-\sin^2 t=\cos^2 t$ , $1+\tan^2 t=\sec^2 t$ 或 $\sec^2 t-1=\tan^2 t$ 来完成"开方"运算，从而使被积函数有理化.

例

求不定积分 $\displaystyle \int \frac{1}{(x^2+9)^{3/2}} \, dx$ .

解

被积函数含有 $(x^2+9)^{3/2} = (\sqrt{x^2+9})^3$ , 其核心是 $\sqrt{x^2+a^2}$ 的形式, 其中 $a=3$ . 我们采用第二类三角换元. 令 $x = 3\tan t$ , $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ .

则 $dx = 3\sec^2 t \, dt$ . 根式部分 $\sqrt{x^2+9} = \sqrt{9\tan^2 t + 9} = 3\sec t$ . 因此， $(x^2+9)^{3/2} = (3\sec t)^3 = 27\sec^3 t$ . 代入原积分：

\begin{aligned} \int \frac{1}{27\sec^3 t} \cdot (3\sec^2 t \, dt) &= \frac{3}{27} \int \frac{\sec^2 t}{\sec^3 t} \, dt &= \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sec t} \, dt = \frac{1}{9} \int \cos t \, dt \end{aligned}

积分在 $t$ 变量下变得极其简单：

\frac{1}{9} \sin t + C

最后一步，也是至关重要的一步，是将结果从 $t$ 域转换回 $x$ 域. 我们根据换元关系 $x=3\tan t$ , 即 $\tan t = \frac{x}{3}$ , 构造一个辅助直角三角形来几何化此关系. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 根据 $\tan t = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{x}{3}$ , 我们画出如上三角形. 由勾股定理，斜边长为 $\sqrt{x^2+3^2} = \sqrt{x^2+9}$ . 从这个三角形中，我们可以直接读出所有 $t$ 的三角函数值，例如

\sin t = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}

将此表达式代回积分结果：

\frac{1}{9} \frac{x}{\sqrt{x^2+9}} + C

分部积分法

{/* label: sec:ch19-s04 */}

我们已经掌握了不定积分的线性性质，它允许我们处理函数和与差的积分. 然而，在面对两个函数乘积的积分时，线性法则便无能为力. 一个自然的疑问是：微分学中的乘法法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 在积分学中是否存在一个对应的结构？答案是肯定的，而这个对应物并非一个简单的公式，而是一种深刻的转化策略，这便是分部积分法.

其思想的根源，正在于对乘法法则的逆向应用. 我们从两个可导函数 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 的乘积的导数法则出发：

\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

这是一个关于函数及其导数的恒等式. 根据微积分基本定理的推论，等式两边函数的原函数族必然只相差一个常数. 于是我们对该恒等式两边同时取不定积分：

\int \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] \, dx = \int u'(x)v(x) \, dx + \int u(x)v'(x) \, dx

等式左边，积分与微分互为逆运算，因此结果就是原函数本身.

u(x)v(x) = \int u'(x)v(x) \, dx + \int u(x)v'(x) \, dx

通过简单的移项，我们便能用一个积分来表达另一个积分，这揭示了一种转化关系：

\int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x) \, dx

为了计算上的便利与形式上的优雅，我们采用莱布尼茨的微分记号，令 $du = u'(x)dx$ 以及 $dv = v'(x)dx$ .

分部积分法

若函数 $u(x)$ 与 $v(x)$ 均可导, 且不定积分 $\int v(x)u'(x) \, dx$ 存在, 则 $\int u(x)v'(x) \, dx$ 也存在，并且

\int u \, dv = uv - \int v \, du

分部积分法的本质，并非直接“求出”积分，而是一种积分的变换. 它将计算 $\int u \, dv$ 的问题, 转化为了计算 $\int v \, du$ 的问题. 这种变换的价值在于, 它将作用在 $v$ 上的微分算子“转移”到了 $u$ 上. 如果这个转移过程能使新的被积函数 $v \, du$ 比原来的 $u \, dv$ 更易于积分，那么我们的策略就成功了.

分部积分法的策略核心

将被积表达式 $f(x)dx$ 分解为 $u$ 和 $dv$ 两部分时，必须进行战略性权衡. 一个成功的分解遵循以下原则：

简化原则. 所选取的 $u$ 在微分后得到的 $du$ 应当是形式上更简单的函数. 多项式函数是这一原则的典型受益者，其次数每经过一次微分便降低一阶.
可积原则. 所选取的 $dv$ 必须是能够被直接积分以求得 $v$ 的. 若 $v$ 本身无法求出，则该方法无法继续.

例

求不定积分 $\displaystyle \int x e^x \, dx$ .

解

被积函数是多项式 $x$ 与指数函数 $e^x$ 的乘积. 为利用分部积分法简化积分，我们选择对多项式部分进行微分以降幂. 令 $u=x$ 且 $dv=e^x dx$ . 由此可得 $du=dx$ 且 $v = \int e^x dx = e^x$ . 根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ ，我们有

\begin{aligned} \int x e^x \, dx &= x e^x - \int e^x \, dx &= x e^x - e^x + C \end{aligned}

我们成功地将原积分转化为了一个可以直接求解的基本积分.

例

求不定积分 $\displaystyle \int \ln x \, dx$ .

解

此被积函数初看并非乘积形式. 然而，我们可以巧妙地将其视为 $\ln x \cdot 1$ 的乘积，从而为分部积分法的应用创造条件. 若令 $u=1, dv = \ln x dx$ , 则求解 $v=\int\ln x dx$ 正是原问题，此路不通. 因此，我们必须选择 $u = \ln x$ , 因为其导数 $\frac{1}{x}$ 是一个代数函数，形式上更为简单.

令 $u = \ln x$ 且 $dv = 1 \cdot dx$ . 进行微分与积分，得到 $du = \frac{1}{x} dx$ 且 $v = x$ . 应用分部积分公式，

\begin{aligned} \int \ln x \, dx &= (\ln x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx &= x \ln x - \int 1 \, dx &= x \ln x - x + C \end{aligned}

例

求不定积分 $\displaystyle \int e^x \sin x \, dx$ .

解

这是一个经典例子，其中指数函数与三角函数的导数和积分都保持其函数类型不变. 直接应用分部积分法似乎不会“简化”被积函数. 然而，连续两次应用该方法，会产生一个包含原积分本身的代数方程.

记 $I = \int e^x \sin x \, dx$ .

第一次分部积分，令 $u=e^x, dv=\sin x dx$ . 则 $du=e^x dx, v=-\cos x$ .

\begin{aligned} I &= e^x(-\cos x) - \int (-\cos x)e^x dx &= -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx \end{aligned}

对新出现的积分 $\int e^x \cos x dx$ 再次应用分部积分法, 并保持选择的一致性 (仍然选择 $e^x$ 作为 $u$ ). 令 $u_2 = e^x, dv_2 = \cos x dx$ . 则 $du_2 = e^x dx, v_2 = \sin x$ .

\begin{aligned} \int e^x \cos x dx &= e^x \sin x - \int (\sin x) e^x dx &= e^x \sin x - I \end{aligned}

将此结果代回第一步的表达式中：

I = -e^x \cos x + (e^x \sin x - I)

我们得到了一个关于待求量 $I$ 的方程.

2I = e^x(\sin x - \cos x)

解出 $I$ ，并补上积分常数：

I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C

选择 u 的启发式准则：LIATE 法则

在实践中，为了系统化选择 $u$ 的过程, 可以遵循一个由经验总结而来的启发式准则, 即按照以下函数类型的顺序来优先选择 $u$ ：

L: Logarithmic (对数函数), 如 $\ln x, \log_a x$ .
I: Inverse trigonometric (反三角函数), 如 $\arcsin x, \arctan x$ .
A: Algebraic (代数函数，包括多项式), 如 $x^n, \sqrt{x}$ .
T: Trigonometric (三角函数), 如 $\sin x, \cos x$ .
E: Exponential (指数函数), 如 $e^x, a^x$ .

这个顺序 (LIATE) 的内在逻辑是，排在前面的函数类型在微分后，其函数结构往往会变得更简单（例如对数变为代数，代数降低次数），而排在后面的函数在微分或积分后，其基本形式保持不变.

分部求和法

分部积分法的思想并不局限于连续的积分领域，它在离散的求和世界中有一个优美的对应物——分部求和法，或称阿贝尔求和公式. 从一个更高的视角看，这两种方法共享同一个灵魂：将一个算子（微分或差分）从一个因子转移到另一个因子上.

我们首先引入离散微积分中的核心算子——前向差分算子 $\Delta$ . 对于一个数列 $\{a_k\}$ , 其定义为 $\Delta a_k = a_{k+1} - a_k$ . 这个算子是微分算子 $\frac{d}{dx}$ 的离散模拟. 其逆运算是求和算子 $\sum$ ，这构成了离散微积分基本定理：

\sum_{k=m}^{n-1} \Delta a_k = \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_m

这与 $\int_a^b F'(x)dx = F(b) - F(a)$ 的结构完全一致.

接着，我们推导离散世界中的“乘法法则”. 考虑两个数列乘积 $a_k B_k$ 的差分：

\begin{aligned} \Delta (a_k B_k) &= a_{k+1}B_{k+1} - a_k B_k &= a_{k+1}B_{k+1} - a_{k+1}B_k + a_{k+1}B_k - a_k B_k &= a_{k+1}(B_{k+1} - B_k) + (a_{k+1} - a_k)B_k &= a_{k+1}(\Delta B_k) + (\Delta a_k)B_k \end{aligned}

移项整理，我们得到 $\sum$ 算子下的分部法则的雏形：

a_{k+1}(\Delta B_k) = \Delta (a_k B_k) - (\Delta a_k)B_k

对此恒等式两边从 $k=1$ 到 $n-1$ 求和：

\sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1}(\Delta B_k) = \sum_{k=1}^{n-1} \Delta(a_k B_k) - \sum_{k=1}^{n-1} (\Delta a_k) B_k

右边的第一项是裂项和，等于 $a_n B_n - a_1 B_1$ . 通过一系列的指标变换和定义 $b_k = \Delta B_{k-1}$ ，我们可以得到其最常用的形式.

分部求和法

给定两个数列 $\{a_k\}$ 和 $\{b_k\}$ . 令 $B_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$ 为 $\{b_k\}$ 的部分和, 且约定 $B_0=0$ . 则对于任意正整数 $n \ge 1$ ,

\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_{k+1} - a_k)

\paragraph{连续与离散的对偶性} 阿贝尔求和公式与分部积分公式之间存在着惊人的一一对应关系，这揭示了连续数学与离散数学之间深刻的结构同构性.

分部积分 (连续)		分部求和 (离散)
$\displaystyle \int u \, dv$	$\longleftrightarrow$	$\displaystyle \sum a_k b_k$
$u$	$\longleftrightarrow$	$a_k$
$dv = v'(x)dx$	$\longleftrightarrow$	$b_k$
$v = \int dv$ (积分)	$\longleftrightarrow$	$B_k = \sum b_i$ (求和)
$du = u'(x)dx$ (微分)	$\longleftrightarrow$	$\Delta a_k = a_{k+1} - a_k$ (差分)
$\left. uv \right	_a^b$ (边界项)	$\longleftrightarrow$
$\displaystyle \int v \, du$ (转化后的积分)	$\longleftrightarrow$	$\displaystyle \sum B_k \Delta a_k$ (转化后的求和)

例

利用分部求和法，计算等差比数列之和 $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k q^k (q \neq 1)$ .

解

我们希望计算 $\sum_{k=1}^{n} k q^k$ . 正如在分部积分中我们倾向于对多项式求导以降幂, 在分部求和中, 我们也选择对等差数列 $\{k\}$ 进行“差分”运算.

令 $a_k=k$ 以及 $b_k=q^k$ . $a_k$ 的差分为 $\Delta a_k = a_{k+1} - a_k = (k+1) - k = 1$ . $b_k$ 的部分和为几何级数求和

B_k = \sum_{i=1}^{k} q^i = \frac{q(1-q^k)}{1-q}

根据阿贝尔求和公式 $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_{k+1} - a_k)$ ,

\begin{aligned} S_n &= n \cdot B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k \cdot 1 &= n \frac{q(1-q^n)}{1-q} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{q(1-q^k)}{1-q} \end{aligned}

将常数因子 $\frac{q}{1-q}$ 提出，我们处理剩余的和式

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1} (1-q^k) &= \sum_{k=1}^{n-1} 1 - \sum_{k=1}^{n-1} q^k &= (n-1) - \frac{q(1-q^{n-1})}{1-q} \end{aligned}

将此结果代回原式

\begin{aligned} S_n &= n \frac{q(1-q^n)}{1-q} - \frac{q}{1-q} \left[ (n-1) - \frac{q(1-q^{n-1})}{1-q} \right] &= \frac{nq - nq^{n+1}}{1-q} - \frac{q(n-1)}{1-q} + \frac{q^2(1-q^{n-1})}{(1-q)^2} &= \frac{nq - nq^{n+1} - nq + q}{1-q} + \frac{q^2 - q^{n+1}}{(1-q)^2} &= \frac{q - nq^{n+1}}{1-q} + \frac{q^2 - q^{n+1}}{(1-q)^2} &= \frac{(q-nq^{n+1})(1-q) + q^2 - q^{n+1}}{(1-q)^2} &= \frac{q - q^2 - nq^{n+1} + nq^{n+2} + q^2 - q^{n+1}}{(1-q)^2} &= \frac{q - (n+1)q^{n+1} + nq^{n+2}}{(1-q)^2} \end{aligned}

此结果与传统的“错位相减法”得到的结果完全一致，但分部求和公式为此类计算提供了一个更高观点的理解.

定积分与微积分基本定理

{/* label: sec:ch19-s05 */}

在前面的讨论中，不定积分作为微分的逆运算，为我们提供了一个函数族，它完美地回答了“何种函数的导数是 $f(x)$ ”这一纯粹的分析问题.然而，积分学的历史根源和其在物理、几何等领域的广泛应用，都指向一个更具体的问题——积累问题.

无论是计算曲线下的面积、变速直线运动在某段时间内的位移，还是变力在某个过程中所作的功，这些问题的数学本质都是相同的：对一个连续变化的量在一个指定区间上进行“无限求和”以得到其总积累量. 这一思想，经过黎曼的严格化，形成了定积分的现代理论.

定积分

设想我们要计算一个连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上与 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积. 阿基米德的穷竭法启发我们，可以用一系列规则图形（如矩形）的面积来逼近这个不规则图形的面积.

分割. 我们将区间 $[a,b]$ 任意地分割成 $n$ 个小区间. 这个分割记为 $\mathcal{P} = \{x_0, x_1, ..., x_n\}$ , 其中 $a=x_0 \< x_1 \< ... \< x_n=b$ . 第 $i$ 个小区间的长度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .
近似. 在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 内, 我们任意选取一个样本点 $\xi_i$ . 接着, 我们用一个高为 $f(\xi_i)$ 、宽为 $\Delta x_i$ 的矩形面积来近似该小区间上曲边梯形的面积.
求和. 我们将所有这些小矩形的面积加总，得到总面积的一个近似值. 这个和式被称为黎曼和.

S_{\mathcal{P}} = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i

这个黎曼和的值，依赖于我们如何分割区间 $\mathcal{P}$ 以及如何在每个小区间内选取样本点 $\xi_i$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：对非均匀分割的黎曼和

直观上，当我们让分割无限地细密，所有小区间都变得无限窄时，黎曼和就应该逼近一个确定的值，即曲边梯形的精确面积. 我们用分割的模 $\|\mathcal{P}\| = \max_{i} \{\Delta x_i\}$ 来度量分割的精细程度.

定积分

若当分割的模 $\|\mathcal{P}\| \to 0$ 时, 黎曼和 $S_{\mathcal{P}}$ 的极限存在, 且此极限值与样本点 $\xi_i$ 的选取方式无关, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是可积的. 我们将这个唯一的极限值定义为 $f(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分，记作

\int_a^b f(x) \, dx

这里的积分号 $\int$ 正是 Summa (求和) 首字母 S 的拉长形式, 它与求和号 $\sum$ 在本质上遥相呼应.

一个关键的理论问题是：何种函数是可积的？微积分学的一个基石性结论是，连续性足以保证可积性.

定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 则 $f(x)$ 在该区间上必定可积.

证明

为了证明此定理，我们必须诉诸于可积性的严格定义.一个函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是, 对于任意给定的正数 $\epsilon \> 0$ , 我们总能找到一个区间 $[a,b]$ 的分割 $\mathcal{P}=\{x_0, x_1, ..., x_n\}$ , 使得该分割下的上和 $U(f, \mathcal{P})$ 与下和 $L(f, \mathcal{P})$ 之差小于 $\epsilon$ . 即

U(f, \mathcal{P}) - L(f, \mathcal{P}) \< \epsilon

其中，上和与下和分别定义为：

U(f, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i, L(f, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i

而 $M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$ 和 $m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$ 分别是 $f(x)$ 在第 $i$ 个小区间上的上确界与下确界.

我们的目标便是利用 $f(x)$ 的连续性来控制这个差值 $\sum_{i=1}^{n} (M_i - m_i) \Delta x_i$ .

这里的关键，是引入一个比普通连续性更强的性质：一致连续性. 这是实数完备性的一个推论，即海涅-康托尔定理：定义在闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数，必定在该区间上一致连续.

一致连续性保证了，对于我们给定的任意正数 $\epsilon \> 0$ , 我们可以选取一个新的正数 $\epsilon' = \frac{\epsilon}{b-a}$ . 根据一致连续的定义, 必然存在一个 $\delta \> 0$ , 使得对于区间 $[a,b]$ 内任意两点 $x', x''$ , 只要它们的距离 $|x' - x''| \< \delta$ , 它们函数值的差就满足 $|f(x') - f(x'')| \< \epsilon'$ . 这个 $\delta$ 的选取只依赖于 $\epsilon'$ ，而与点在区间内的具体位置无关.

接着，我们来构造一个满足条件的分割 $\mathcal{P}$ . 我们选取一个足够大的正整数 $n$ , 使得 $\frac{b-a}{n} \< \delta$ , 然后对区间 $[a,b]$ 进行 $n$ 等分. 此时, 每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 的宽度 $\Delta x_i = \frac{b-a}{n}$ 都小于 $\delta$ .

在任何一个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上, 由于 $f(x)$ 连续, 根据极值定理, 它必定能取到其最大值 $M_i$ 和最小值 $m_i$ . 假设取得这两个值的点分别是 $x''_{i}$ 和 $x'_{i}$ . 这两个点都在同一个小区间内, 因此它们之间的距离 $|x''_{i} - x'_{i}| \le \Delta x_i \< \delta$ .

根据一致连续性的保证，我们立刻得到

M_i - m_i = |f(x''_{i}) - f(x'_{i})| \< \epsilon' = \frac{\epsilon}{b-a}

这个不等式对所有的小区间 $i=1, 2, ..., n$ 都成立.

我们来计算上和与下和之差：

\begin{aligned} U(f, \mathcal{P}) - L(f, \mathcal{P}) &= \sum_{i=1}^{n} (M_i - m_i) \Delta x_i &\< \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\epsilon}{b-a}\right) \Delta x_i &= \frac{\epsilon}{b-a} \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i \end{aligned}

而所有小区间宽度之和恰好是总区间的长度，即 $\sum_{i=1}^{n} \Delta x_i = b-a$ . 于是，

U(f, \mathcal{P}) - L(f, \mathcal{P}) \< \frac{\epsilon}{b-a} (b-a) = \epsilon

我们成功地对于任意 $\epsilon \> 0$ 找到了一个分割，使得上和与下和之差可以任意小. 根据黎曼可积的充要条件，定理得证.

当函数不连续时

连续性是可积的一个充分条件，但并非必要条件. 那么，当一个函数不再连续时，它的可积性会发生怎样的变化？这取决于其不连续点的“数量”与“分布”.

有限个间断点

若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有有限个间断点（例如跳跃间断点），则函数仍然是可积的. 其直观思想是，这些有限个“坏”点的影响，可以通过将其隔离在一些总长度任意小的区间内而被控制住. 例如，对于函数 $f(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ -1, & x \< 0 \end{cases}$ 在 $[-1, 1]$ 上的积分. 它仅在 $x=0$ 处有一个间断点. 我们可以将积分拆分为 $\int_{-1}^0 (-1) dx + \int_0^1 (1) dx = -1 + 1 = 0$ . 严格的证明是, 我们可以用一个极窄的区间 $(-\delta, \delta)$ 将 $x=0$ 包围起来. 在这个区间内, 函数的振荡 $M-m = 1-(-1)=2$ 是固定的, 但这个区间对 $U-L$ 的贡献是 $2 \cdot (2\delta)$ , 可以随 $\delta \to 0$ 而任意小. 在区间 $[-1, -\delta]$ 和 $[\delta, 1]$ 上, 函数是连续的, 因此可积, 其 $U-L$ 之差也可以做得任意小. 两部分合起来, 总的 $U-L$ 仍然可以小于任意给定的 $\epsilon$ .

无穷个间断点

当间断点的数量达到无穷时，情况变得极为微妙. 此时，函数可能可积，也可能不可积. \paragraph{不可积的例子：狄利克雷函数} 考虑定义在 $[0,1]$ 上的狄利克雷函数:

D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}

这个函数在每一点都不连续. 对于 $[0,1]$ 上的任何一个分割 $\mathcal{P}$ , 在任意一个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 内，由于有理数和无理数的稠密性，我们总能找到有理数和无理数. 因此，每个小区间上的上确界 $M_i$ 永远是 $1$ , 而下确界 $m_i$ 永远是 $0$ . 于是，对于任何分割 $\mathcal{P}$ ：

U(D, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} 1 \cdot \Delta x_i = 1-0 = 1

L(D, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} 0 \cdot \Delta x_i = 0

上和与下和之差恒为 $1$ , 永远无法小于任意正数 $\epsilon$ . 因此，狄利克雷函数是黎曼不可积的.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：狄利克雷函数不可积的示意图：在任意子区间上，上确界为1，下确界为0

\paragraph{可积的例子：托玛函数} 然而，并非所有含无穷间断点的函数都不可积. 考虑托玛函数, $t(x)$ :

t(x) = \begin{cases} 1/q, & x=p/q \in \mathbb{Q} \text{ (最简分数)} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \\ 1, & x=0 \end{cases}

这个函数在所有有理点上间断，在所有无理点上连续. 尽管其间断点是无穷且稠密的，但它在 $[0,1]$ 上却是黎曼可积的, 其积分值为 $0$ . 其深层原因是，对于任何 $\epsilon \> 0$ , 只有有限个有理点的函数值 $t(x)=1/q$ 大于 $\epsilon$ (因为这要求分母 $q \< 1/\epsilon$ ). 我们可以将这有限个“主要”间断点用总长度任意小的区间隔离起来, 而在剩下的区间上, 函数的振荡 $M-m$ 小于 $\epsilon$ . 从而, 总的 $U-L$ 之差可以被控制.

微积分基本定理

至此，我们面对着两个在起源、定义和形式上都截然不同的“积分”概念：

不定积分: 一个纯粹的分析概念，是求导的逆运算，其结果是一个函数族 $F(x)+C$ .
定积分: 一个源于几何与物理的概念，是黎曼和的极限，其结果是一个数值.

数学史上最伟大的发现之一，便是牛顿和莱布尼茨揭示了这两个概念之间存在着内在的联系. 这种联系，被后世尊为微积分基本定理. 它包含两个部分，共同构筑了一座连接微分与积分世界的宏伟桥梁.

第一基本定理

为了探寻二者的联系，我们构造一个关键的辅助函数——变上限积分函数. 对于一个在 $[a,b]$ 上连续的函数 $f(t)$ , 我们可以定义一个新函数 $A(x)$ ：

A(x) = \int_a^x f(t) \, dt (x \in [a,b])

这个函数 $A(x)$ 的几何意义是 $f(t)$ 的图像从 $a$ 到 $x$ 所累积的有向面积. 微积分第一基本定理精确地回答了这个问题：这个“累积函数” $A(x)$ 的瞬时变化率是什么？

微积分第一基本定理

若 $f(t)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 则由 $A(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 定义的函数 $A(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，并且

A'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = f(x)

证明

我们考察 $A(x)$ 的导数定义式.

A'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{A(x+h) - A(x)}{h}

根据 $A(x)$ 的定义和定积分的区间可加性，

A(x+h) - A(x) = \int_a^{x+h} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt = \int_x^{x+h} f(t) \, dt

这个积分值表示了在极窄区间 $[x, x+h]$ 上的面积. 直观上, 当 $h$ 极小时, 这块面积约等于一个高为 $f(x)$ , 宽为 $h$ 的矩形面积, 即 $h \cdot f(x)$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：第一基本定理的几何直观

因此 $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} \approx \frac{h \cdot f(x)}{h} = f(x)$ . 严格的证明依赖于积分中值定理，但其核心思想已然明晰. 取极限后，我们便证明了 $A'(x)=f(x)$ .

第一基本定理的意义极为深远，它告诉我们：任何连续函数的定积分（作为其上限的函数）都是该函数的一个原函数. 这不仅证明了所有连续函数都必然存在原函数，更从根本上揭示了微分与积分作为“变化率”与“总积累”的互逆关系.

第二基本定理

第一基本定理是一个存在性与结构性的定理，而第二基本定理则是一个强大的计算工具. 它正是我们通常所说的“微积分基本定理”.

微积分第二基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式)

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在该区间上的任意一个原函数 (即 $F'(x)=f(x)$ )，那么

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

证明

根据第一基本定理，我们已知 $A(x) = \int_a^x f(t) dt$ 是 $f(x)$ 的一个原函数. 又设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数. 根据原函数的基本结构，这两个原函数之间必然只相差一个常数 $C$ . 即 $A(x) = F(x) + C$ . 为了确定这个常数 $C$ , 我们令 $x=a$ . $A(a) = \int_a^a f(t) dt = 0$ . 同时， $A(a) = F(a) + C$ . 于是 $0 = F(a) + C$ , 这表明 $C = -F(a)$ . 因此，我们得到关系式 $\int_a^x f(t) dt = F(x) - F(a)$ . 最后，令 $x=b$ ，定理即得证.

为方便书写，我们通常引入记号 $\left. F(x) \right|_a^b$ 来表示 $F(b)-F(a)$ . 于是，公式可以写为 $\int_a^b f(x) \, dx = \left. F(x) \right|_a^b$ .

这个定理的伟大之处在于，它将一个原则上需要计算无穷和的极限问题（求定积分），转化为了一个简单的代数问题：

找到被积函数 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$ (通过不定积分).
计算原函数在积分区间两个端点处的值，并求其差.

这无疑是数学思想的一次巨大飞跃，它使得曾经只有像阿基米德那样的天才才能解决的面积问题，变成了任何掌握了基本积分公式的普通大学生都能完成的常规计算.

因此，若有人问你与那些数年才学会如何积分和计算曲线下的面积的数学大家相比，你几个星期就弄明白了如何计算，谁更聪明，不言自明了.（这是一个玩笑）

例

计算定积分 $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x \, dx$ .

解

被积函数为 $f(x)=\sin x$ . 我们首先寻求其一个原函数. 已知 $F(x) = -\cos x$ 满足 $F'(x)=\sin x$ .

接着，我们援引微积分基本定理：

\begin{aligned} \int_0^{\pi} \sin x \, dx &= \left. (-\cos x) \right|_0^{\pi} &= (-\cos \pi) - (-\cos 0) &= (-(-1)) - (-1) &= 1 + 1 = 2 \end{aligned}

这个优美的结果表明，正弦曲线在 $[0,\pi]$ 上的一个“拱形”所围成的区域，其精确面积为 2.

例

计算定积分 $\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx$ .

解

被积函数为 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ . 我们需要先求出它的不定积分. 这是一个典型的换元法问题. 令 $u = \ln x$ , 则 $du = \frac{1}{x} dx$ . 当处理定积分的换元时，我们必须同时对积分的上下限进行变换. 当 $x=1$ 时, $u=\ln(1)=0$ . 当 $x=e$ 时, $u=\ln(e)=1$ . 原积分在新的变量 $u$ 下转化为：

\begin{aligned} \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx &= \int_0^1 u \, du &= \left. \frac{u^2}{2} \right|_0^1 &= \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} &= \frac{1}{2} \end{aligned}

这种直接变换积分限的方法，避免了求出原函数后回代 $x$ 的繁琐步骤，是处理定积分换元的标准技巧.

定积分的性质

{/* label: sec:ch19-s06 */}

微积分基本定理为我们提供了计算定积分的强大代数工具，但定积分的本质是黎曼和的极限.因此，它必然继承了求和运算 ( $\sum$ ) 的内在结构，并展现出与积分区间和被积函数大小相关的深刻几何与分析性质.理解这些性质，不仅能极大地简化计算，更能让我们洞察到定积分作为一个数学算子的本质特征.

代数性质

定积分算子 $I(f) = \int_a^b f(x) \, dx$ 作用于一个函数空间之上.在这个空间中，最基本的运算是函数的加法与数乘.定积分算子与这些运算完美兼容，展现出优美的线性性质.

定积分的线性性

若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均在 $[a,b]$ 上可积, $k$ 为任意常数, 则 $kf(x)$ 与 $f(x)+g(x)$ 也在 $[a,b]$ 上可积，且

齐次性: $\displaystyle \int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) \, dx$
可加性: $\displaystyle \int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$

证明

此定理的根源在于求和算子 $\sum$ 的线性性. 我们审视黎曼和的定义. 对于 $kf(x)$ 的黎曼和：

\sum_{i=1}^{n} kf(\xi_i)\Delta x_i = k \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i

对和式两边同时取极限 $\|\mathcal{P}\| \to 0$ ，齐次性便得以证明.

对于 $f(x)+g(x)$ 的黎曼和：

\sum_{i=1}^{n} [f(\xi_i)+g(\xi_i)]\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i + \sum_{i=1}^{n} g(\xi_i)\Delta x_i

对和式两边取极限，可加性亦得证.

从一个更抽象的视角看，此定理表明，在给定区间 $[a,b]$ 上的可积函数构成一个线性空间（或称向量空间）, 而定积分算子是从这个函数空间到实数域 $\mathbb{R}$ 的一个线性映射（或称线性泛函）.

积分区间的性质

这些性质阐明了定积分的值如何依赖于其积分域 $[a,b]$ .

积分域退化: 若积分的上下限重合，则积分区间 $[a,a]$ 的长度为零.

\int_a^a f(x) \, dx = 0

这既可以从黎曼和的角度理解（所有 $\Delta x_i=0$ ）, 也可以由牛顿-莱布尼茨公式直接得出 $F(a)-F(a)=0$ . 2. 积分域反向: 交换定积分的上下限，积分值反号.

\int_b^a f(x) \, dx = - \int_a^b f(x) \, dx

此性质最初是作为一个约定来引入的，它使得牛顿-莱布尼茨公式 $F(a)-F(b) = -(F(b)-F(a))$ 在 $a\>b$ 时依然保持形式上的和谐. 3. 积分域的可加性: 积分的区间可以被拆分或合并.

\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx

该性质对于 $a,b,c$ 的任意排列顺序均成立, 只要 $f(x)$ 在包含这三点的最大区间上可积. 其几何意义极为直观：从 $a$ 到 $b$ 的总（有向）面积, 等于从 $a$ 到 $c$ 的面积与从 $c$ 到 $b$ 的面积之和.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：定积分的区间可加性

序性质与估值

这类性质将函数的大小关系（序关系）与积分值的大小关系联系起来，是进行积分估算的理论基础.

保序性: 若在区间 $[a,b]$ 上恒有 $f(x) \ge g(x)$ , 那么

\int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b g(x) \, dx

特别地，若 $f(x) \ge 0$ , 则 $\int_a^b f(x) \, dx \ge 0$ . 从黎曼和看，由于每个 $f(\xi_i) \ge g(\xi_i)$ 且 $\Delta x_i \> 0$ ，故和式的大小关系得以保持，取极限后亦然. 几何上，这表示更高的函数曲线所围成的（有向）面积也更大. 从算子的角度看，这表明定积分是一个保序算子. 2. 估值定理: 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值为 $M$ , 最小值为 $m$ . 那么

m(b-a) \le \int_a^b f(x) \, dx \le M(b-a)

证明

因为在 $[a,b]$ 上恒有 $m \le f(x) \le M$ . 根据保序性，我们对这个不等式链进行积分：

\int_a^b m \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b M \, dx

由于 $\int_a^b k \, dx = k(b-a)$, 定理得证.

几何上，这表示曲线下的真实面积一定被两个矩形的面积所夹住：一个是以最小值为高的“内接”矩形，另一个是以最大值为高的“外切”矩形. 3. 积分的绝对值不等式:

\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)| \, dx (a\<b)

证明

我们知道 $-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|$ . 根据保序性，对这个不等式积分，得到

\int_a^b -|f(x)| \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b |f(x)| \, dx

即

-\int_a^b |f(x)| \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b |f(x)| \, dx

这正是绝对值不等式 $|A| \le B \iff -B \le A \le B$ 的形式.

积分中值定理

估值定理给出了积分值的一个界，一个自然的问题是：在这个界之间，是否存在某一个值，它能以一种“平均”的方式代表整个积分？

函数的平均值

函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值定义为

\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx

这个定义的合理性在于，它推广了有限个数算术平均值的概念. 黎曼和 $\sum f(\xi_i)\Delta x_i$ 是对函数值的加权求和, 除以总长度 $b-a=\sum \Delta x_i$ 后再取极限，就得到了连续情形下的平均值.

那么，对于一个连续函数，它是否一定能在某一点取到它的平均值？积分中值定理给出了肯定的回答.

积分中值定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 则在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使得

f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx

或者写成等价形式： $\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)$ .

证明

设 $m$ 和 $M$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值与最大值. 根据估值定理，

m(b-a) \le \int_a^b f(x) \, dx \le M(b-a)

两边同除以 $(b-a)$ ，我们得到

m \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \le M

这表明函数的平均值 $\bar{f}$ 介于函数的最小值与最大值之间. 由于 $f(x)$ 在闭区间上连续, 根据介值定理, 对于任何一个介于 $m$ 与 $M$ 之间的数值, 函数 $f(x)$ 必定能在区间内的某一点取到该值. 因此，在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使得 $f(\xi)=\bar{f}$ .

此定理的几何意义极为深刻：对于任意连续曲线下的面积，总能找到一个高度为 $f(\xi)$ 的矩形, 其宽度为区间长度 $(b-a)$ ，使得这个矩形的面积与曲线下的面积完全相等.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：积分中值定理的几何诠释

原函数与不定积分​

原函数的概念与结构​

不定积分​

原函数的存在性​

不定积分​

不定积分的表示法与代数结构​

基本积分表​

积分技巧​

换元积分法​

第一类换元法 (凑微分法)​

第二类换元法​

三角换元的操作策略​

分部积分法​

分部求和法​

定积分与微积分基本定理​

定积分​

当函数不连续时​

有限个间断点​

无穷个间断点​

微积分基本定理​

第一基本定理​

第二基本定理​

定积分的性质​

代数性质​

积分区间的性质​

序性质与估值​

积分中值定理​

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