Volume II: Limits and Derivatives — Theorems and Approximation

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中值定理与线性近似

拉格朗日中值定理把区间上的函数增量写成某个中间点的导数乘以区间长度: $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ . 这条公式可以证明不等式，估计线性近似的误差，还可以推广到两个函数的增量比，得到柯西中值定理.

中值定理的基本应用

若函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a,b)$ , 使得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a).$ 这条公式把区间两端的函数增量 $f(b)-f(a)$ 写成中间某点的导数值 $f'(\xi)$ 与区间长度 $b-a$ 的乘积.

点 $\xi$ 的具体位置通常未知，可它一定落在 $(a,b)$ 内. 因此只要能在这个区间上控制 $f'$ 的范围，就能控制 $f(b)-f(a)$ 的大小. 这是中值定理处理定量估计的入口.

先识别函数增量结构

许多题目的量是同一个函数在两点的差. 看到下列形式时，优先检查能否在对应区间上应用中值定理:

出现差商或函数增量，如 $f(a)-f(b)$ , $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$ ；
要证明 $f(x)-f(x_0)$ 与 $x-x_0$ 之间的大小关系；
题目中含有 $\ln a - \ln b$ , $e^a - e^b$ , $\sin a - \sin b$ 这类“同一函数在两点的差”；
复杂函数的差值对应着较容易估计的导数.

中值定理证不等式

关键选择是函数 $f$ 与区间端点 $a,b$ . 一旦目标量成为 $f(b)-f(a)$ , 中值定理给出 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ . 后续只需在 $\xi \in (a,b)$ 的范围内估计 $f'(\xi)$ , 再结合 $b-a$ 的符号得到所需的上界、下界或夹逼结论.

基本方法与实例

证明形如 $g(x) \> h(x)$ 的不等式时，可寻找一个函数 $f$ 和两个端点，使目标差值成为 $f(b)-f(a)$ . 中值定理随后把问题转到 $f'$ 的估计上.

例

证明：当 $x \> 0$ 时，成立不等式 $e^x \> 1 + x$ .

证明

把原不等式写成 $e^x - 1 \> x.$ 设 $f(t)=e^t$ . 因为 $x\>0$ , 所以 $f$ 在 $[0,x]$ 上连续，在 $(0,x)$ 内可导. 由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ , 使得 $e^x - 1 = f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)=e^\xi x.$ 由于 $\xi\>0$ , 有 $e^\xi\>1$ . 再乘以 $x\>0$ , 得 $e^x - 1 = e^\xi x \> x.$ 因而 $e^x \> 1+x$ .

对数函数常适合用这种办法处理: $\ln x$ 的导数 $1/x$ 单调明确，比原式中的对数差更容易夹住.

例

证明：对于任意 $a \> b \> 0$ ，成立 $\frac{a-b}{a} \< \ln \frac{a}{b} \< \frac{a-b}{b}$

证明

设 $f(x)=\ln x$ . 因为 $a\>b\>0$ , 所以 $f$ 在 $[b,a]$ 上连续，在 $(b,a)$ 内可导. 由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (b,a)$ , 使得 $\ln a-\ln b=f'(\xi)(a-b)=\frac{a-b}{\xi}.$ 于是 $\ln \frac{a}{b}=\frac{a-b}{\xi}.$ 又因为 $b\<\xi\<a$ , 函数 $y=\frac1x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，所以 $\frac{1}{a}\<\frac{1}{\xi}\<\frac{1}{b}.$ 由 $a-b\>0$ , 上式同乘 $a-b$ , 得 $\frac{a-b}{a}\<\frac{a-b}{\xi}\<\frac{a-b}{b}.$ 代回 $\ln \dfrac{a}{b}=\dfrac{a-b}{\xi}$ , 即得 $\frac{a-b}{a}\<\ln \frac{a}{b}\<\frac{a-b}{b}.$

导数有界推出增量有界

函数增量等于某个中间导数乘以区间长度. 导数范围给出增量范围，由此得到下面的常用结论.

定理

设 $a\<b$ , 函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且对任意 $x \in (a,b)$ 都有 $m \le f'(x) \le M$ 则有 $m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)$

证明

由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 再由 $m \le f'(\xi) \le M$ ，且 $b-a\>0$ ，直接得到 $m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)$

注

特别地，若在 $(a,b)$ 上有 $|f'(x)|\le M$ , 则 $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|.$ 这类估计经常用来控制函数值之差.

例

证明：对于任意实数 $a,b$ ，都有 $|\sin a-\sin b| \le |a-b|$

证明

当 $a=b$ 时，两边都等于 $0$ , 结论成立. 下设 $a\>b$ . 对函数 $f(x)=\sin x$ 在区间 $[b,a]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (b,a)$ , 使得 $\sin a-\sin b=\cos \xi\,(a-b).$ 两边取绝对值，得 $|\sin a-\sin b|=|\cos \xi|\,|a-b|.$ 因为 $|\cos \xi|\le 1$ , 所以 $|\sin a-\sin b|\le |a-b|.$ 当 $a\<b$ 时交换 $a,b$ 即可，故结论对任意实数 $a,b$ 都成立.

注

上题的做法是用导数控制增量. 以后再遇到 $|f(a)-f(b)| \le C|a-b|$ 这类估计，可以先检查连接 $a,b$ 的区间上是否有 $|f'(x)|\le C$ .

线性近似与误差分析

当 $x$ 接近 $x_0$ 时，曲线在 $x_0$ 附近常可用切线近似. 这就是线性近似.

线性近似与误差

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导. 定义 $L(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的线性近似. 相应的误差定义为 $R(x)=f(x)-L(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0).$

$L(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程. 误差 $R(x)$ 记录曲线与切线之间的差. 对 $R(x)$ 的估计越具体，线性近似的可信范围就越清楚.

线性近似的误差估计

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，且 $x_0,x \in I$ . 则存在介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$ , 使得

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(\xi)(x - x_0)^2

即误差项为 $R(x) = \frac{1}{2}f''(\xi)(x - x_0)^2$ .

证明

当 $x=x_0$ 时，等式两边都等于 $f(x_0)$ . 下设 $x\ne x_0$ , 并令 $K=\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}.$ 于是 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+K(x-x_0)^2.$ 定义辅助函数

\varphi(t)=f(t)-\left[f(x_0)+f'(x_0)(t-x_0)+K(t-x_0)^2\right].

由 $K$ 的定义知 $\varphi(x)=0$ , 直接代入也有 $\varphi(x_0)=0$ . 因为 $f$ 在 $I$ 上二阶可导，所以 $\varphi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间的闭区间上连续，在开区间内可导. 由罗尔定理，存在 $\eta$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使得 $\varphi'(\eta)=0.$ 计算导数: $\varphi'(t)=f'(t)-f'(x_0)-2K(t-x_0),$ 从而 $\varphi'(x_0)=0.$ 于是 $\varphi'(x_0)=\varphi'(\eta)=0$ . 再对 $\varphi'$ 在 $x_0$ 与 $\eta$ 之间应用罗尔定理，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $\eta$ 之间，因而也介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使得 $\varphi''(\xi)=0.$ 而 $\varphi''(t)=f''(t)-2K,$ 所以 $0=\varphi''(\xi)=f''(\xi)-2K,$ 即 $K=\frac12 f''(\xi).$ 代回 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+K(x-x_0)^2$ , 就得到 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac12 f''(\xi)(x-x_0)^2.$

做近似计算时，展开点 $x_0$ 是一个主动选择. 通常选在目标点附近，同时保证 $f(x_0)$ 与 $f'(x_0)$ 容易计算；误差估计则放在连接 $x_0$ 与目标点的区间上完成.

例

利用线性近似估算 $\sqrt{4.1}$ ，并给出误差范围.

证明

取 $f(x)=\sqrt{x}$ , 选 $x_0=4$ . 因为 $4.1$ 离 $4$ 很近，且 $f(4)=2, f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, f'(4)=\frac14.$ 所以线性近似为 $L(x)=2+\frac14(x-4).$ 代入 $x=4.1$ , 得 $\sqrt{4.1}\approx L(4.1)=2+\frac14\cdot 0.1=2.025.$

再估计误差. 由 $f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}},$ 对一切 $x\in[4,4.1]$ 都有 $|f''(x)|\le \frac{1}{4\cdot 4^{3/2}}=\frac{1}{32}.$ 由误差公式，存在 $\xi \in (4,4.1)$ , 使得 $R(4.1)=\frac12 f''(\xi)(0.1)^2.$ 因而

|R(4.1)|\le \frac12\cdot \frac{1}{32}\cdot (0.1)^2=\frac{1}{6400}.

又因为 $f''(\xi)\<0$ , 所以 $R(4.1)\<0$ . 于是 $2.025-\frac{1}{6400}\le \sqrt{4.1}\<2.025.$ 也就是 $2.02484375\le \sqrt{4.1}\<2.025.$

线性近似的适用情形

目标点附近若有一个“好算”的点，线性近似就有了合适的展开点. 误差大小再由这两个点之间的二阶导数控制.

误差公式说明：切线近似的精度由二阶导数控制. 在目标区间上, $|f''|$ 越大，曲线偏离切线可能越快，线性近似的误差上界也越大. 这为后续高阶近似提供了动机.

柯西中值定理

拉格朗日中值定理处理的是单个函数的增量. 若要把两个函数的增量放进同一个等式，就得到柯西中值定理. 它是拉格朗日中值定理的推广，也是下一章处理不定式极限的基础.

柯西中值定理

设 $a\<b$ . 如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
在开区间 $(a, b)$ 内可导；
对任意 $x \in (a, b)$ , $g'(x) \neq 0$ .

那么，在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

证明

先说明分母 $g(b)-g(a)$ 确实不为零. 若 $g(b)=g(a)$ , 则由罗尔定理可知存在 $\eta \in (a,b)$ , 使得 $g'(\eta)=0$ , 这与条件 3 矛盾. 因此 $g(b)-g(a)\ne 0.$

下面构造辅助函数 $\Phi(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x).$ 验证端点值:

\begin{aligned} \Phi(a) &= [f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b), \Phi(b) &= [f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(a)-f(a)g(b). \end{aligned}

所以 $\Phi(a)=\Phi(b)$ . 又因为 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，故 $\Phi$ 也满足罗尔定理的条件. 于是存在 $\xi \in (a,b)$ , 使得 $\Phi'(\xi)=0.$ 对 $\Phi$ 求导，得 $[f(b)-f(a)]g'(\xi)-[g(b)-g(a)]f'(\xi)=0.$ 由于 $g(b)-g(a)\ne 0$ 且 $g'(\xi)\ne 0$ , 可整理为 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$

注

读柯西中值定理时抓住三点:

取 $g(x)=x$ 时，公式变为拉格朗日中值定理.
条件 $g'(x)\ne 0$ 先排除 $g(b)-g(a)=0$ , 结论中的分式因而有意义.
两个增量共用同一个中间点 $\xi$ , 这是定理的信息.

何时应想到柯西中值定理

若题目中出现两个函数增量的比值，例如 $\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$ 或者需要由函数值之比走向导数之比，就应想到柯西中值定理. 例如对 $x\>a$ 应用在 $[a,x]$ 上，常能得到

\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \xi\in(a,x),

这个指针会在洛必达法则中反复使用.

几何意义

将曲线看成参数方程

\begin{cases} x = g(t), y = f(t), \end{cases} t \in [a, b],

就能看到它的几何意义. 比值 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是连接起点 $A(g(a),f(a))$ 和终点 $B(g(b),f(b))$ 的弦的斜率. 而

\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\Big|_{t=\xi}=\frac{dy}{dx}\Big|_{t=\xi}

是曲线在参数 $t=\xi$ 对应点处的切线斜率.

因此，柯西中值定理说明：在起点和终点之间，至少有一点的切线与弦平行.

这一观察正是下一章证明洛必达法则的关键. 当 $f(a)=g(a)=0$ 时，对每个靠近 $a$ 且 $x\ne a$ 的点，在连接 $a$ 与 $x$ 的区间上应用柯西中值定理，可得某个介于二者之间的 $\xi_x$ , 使得

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}.

由于 $\xi_x$ 夹在 $a$ 与 $x$ 之间，所以当 $x\to a$ 时, $\xi_x\to a$ . 这样就把函数值之比与导数之比联系起来了.

中值定理与线性近似​

中值定理的基本应用​

先识别函数增量结构​

基本方法与实例​

导数有界推出增量有界​

线性近似与误差分析​

柯西中值定理​

几何意义​

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中值定理与线性近似

中值定理的基本应用

先识别函数增量结构

基本方法与实例

导数有界推出增量有界

线性近似与误差分析

柯西中值定理

几何意义