Volume II: Limits and Derivatives — Derivatives and Rules

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切线问题

在建立起极限的初步概念之后，可以进一步讨论曲线在某一点的切线应如何严格定义.

古典定义

古典几何中，常把“直线与曲线在某点附近只有一个交点”看作切线的判据. 对圆、椭圆等简单曲线，这种说法便于理解.

当曲线更复杂时，这一判据就不够用了. 下面考察函数 $y=x^3$ 在原点 $(0,0)$ 处的切线.

对直线 $y=0$ 而言，当 $x\>0$ 时有 $x^3\>0$ , 当 $x\<0$ 时有 $x^3\<0$ . 曲线在原点附近穿过这条直线，但从图形看, $y=0$ 仍应视为原点处的切线.

还会出现唯一性问题. 对任意斜率为负的直线 $y=mx$ ( $m\<0$ ), 方程 $x^3=mx$ 只有实数解 $x=0$ . 若只按“唯一交点”判断，则所有经过原点且斜率为负的直线都可算作切线，这与切线概念不符.

这说明，用交点个数刻画切线并不充分. 切线反映的是曲线在某一点附近的局部变化趋势，这就需要借助极限.

割线的极限观点

设曲线经过点 $P(x_0, f(x_0))$ . 确定切线只差一个量，即切线的斜率.

斜率公式 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 需要两个不同的点. 因而在点 $P$ 附近另取曲线上一点 $Q(x, f(x))$ . 连接 $P$ 与 $Q$ 所得直线称为割线, 其斜率为 $k_{PQ} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ , 它表示函数在区间 $[x_0, x]$ 上的平均变化率.

当点 $Q$ 沿曲线趋近于点 $P$ 时，割线 $PQ$ 逐步逼近切线. 这一过程可用极限刻画.

*图：当点 $Q$ 沿曲线趋近于点 $P$ 时，割线 $PQ$ 的极限位置即为在点 $P$ 处的切线.*

从几何上看，割线 $PQ$ 在此过程中不断转动. 当 $Q$ 无限接近 $P$ 时，若割线趋于一个确定位置，就把该极限位置的直线定义为点 $P$ 处的切线.

与这一几何极限位置对应的，正是割线斜率的极限值. 因而切线斜率应定义为 $k_{PQ}$ 当 $x \to x_0$ 时的极限.

切线斜率的严格定义

据此可把切线斜率写成严格的极限定义.

切线斜率

曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率 $k_{\text{tan}}$ 定义为：

k_{\text{tan}} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

若令 $x = x_0 + \Delta x$ , 则 $x \to x_0$ 等价于增量 $\Delta x \to 0$ . 定义式可写为等价的形式：

k_{\text{tan}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

若此极限存在，则称曲线在该点处的切线存在.

这个定义把“切线”落到一个可计算的量上：割线斜率的极限. 差商在 $\Delta x=0$ 时会变成 $\frac{0}{0}$ 型表达式，因此要先在 $\Delta x \ne 0$ 时化简，再让 $\Delta x \to 0$ .

再回到 $f(x)=x^3$ 在原点的例子. 连接原点 $(0,0)$ 与曲线上另一点 $(x, x^3)$ 的割线斜率为

k_{\text{割线}} = \frac{x^3 - 0}{x - 0} = x^2 (x \ne 0).

令 $x \to 0$ , 得 $k_{\text{tan}} = \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$ 因此原点处的切线斜率是 $0$ , 切线方程为 $y=0$ . 这个结果唯一，也与图形相符.

从局部看，光滑曲线在一点附近可近似为一条直线，这条直线就是该点的切线. 因而切线可看作曲线在该点附近的线性近似.

例

求曲线 $f(x) = x^2$ 在点 $P(1, 1)$ 处的切线斜率，并写出切线方程.

解

所求切线斜率，是点 $P(1,1)$ 与邻近点 $Q(1+\Delta x, (1+\Delta x)^2)$ 的割线斜率在 $\Delta x \to 0$ 时的极限.

割线 $PQ$ 的斜率为 $k_{PQ} = \frac{(1+\Delta x)^2 - 1}{\Delta x}.$ 先化简分子:

k_{PQ} = \frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2 + \Delta x)}{\Delta x} = 2 + \Delta x (\Delta x \ne 0).

取极限得 $k_{\text{tan}} = \lim_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2$ . 因此，曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为 $2$ .

根据点斜式方程，所求的切线方程为 $y - 1 = 2(x - 1)$ ，即 $y = 2x - 1$ .

同一个极限还会出现在更一般的变化率问题中. 极限 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 既给出切线斜率，也刻画函数在一点处的瞬时变化率. 这一极限称为导数.

本节习题

习题

练习

对函数 $g(x) = \sqrt{x}$ , 用极限定义证明其在点 $P(x_0, \sqrt{x_0})$ ( $x_0 \> 0$ ) 处的切线斜率为 $\dfrac{1

解

2\sqrt{x_0

}$. } { 求所有通过点 $A(1, -3)$ 且与抛物线 $y=x^2$ 相切的直线方程. }

练习

判断函数 $h(x) = |x^2 - 4|$ 在 $x=2$ 处是否有切线. 若有，求出其方程；若无，说明几何与代数原因.

解

求参数 $a$ , 使抛物线 $y=ax^2$ 与对数曲线 $y=\ln x$ 相切.

练习

求常数 $b$ , 使直线 $y=x+b$ 与对数曲线 $y=\ln x$ 相切.

解

求抛物线 $y=x^2-1$ 上的点，使该点处的法线经过原点 $(0,0)$ .

练习

证明：对于任意实数 $x$ , 不等式 $e^x \ge x+1$ 恒成立.

解

在双曲线 $y=1/x$ 的第一象限分支上任取一点. 证明该点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数.

导数的概念

导数用于刻画函数在某一点附近的瞬时变化率. 在几何上，它对应曲线在该点的切线斜率；在物理上，它对应随时间变化的量在某一时刻的瞬时速度.

求瞬时变化率时，已知的是一段区间上的平均变化率. 若直接把区间长度取为 $0$ , 差商 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 便失去意义. 因此需要考察当 $\Delta x \to 0$ 时这个差商是否趋于某个确定值.

从几何观点看，这相当于用割线斜率逼近切线斜率. 牛顿从瞬时速度出发，莱布尼茨从切线问题出发，最终都归结到同一思想：先计算平均变化率，再取极限.

由割线到切线

从割线斜率出发. 设曲线 $y=f(x)$ 上有两点 $P(x_0,f(x_0)), Q(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$ . 连接 $P,Q$ 所得割线的斜率为

k_{\text{割线}} = \frac{\text{纵坐标之差}}{\text{横坐标之差}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

它表示函数在区间 $[x_0,x_0+\Delta x]$ 上的平均变化率.

逼近过程. 当点 $Q$ 沿曲线向点 $P$ 移动时，横坐标增量 $\Delta x$ 逐渐趋于 $0$ .

当 $\Delta x \to 0$ 时，点 $Q$ 逼近点 $P$ , 割线 $PQ$ 也随之逼近点 $P$ 处的切线.

用极限刻画切线斜率. 若割线斜率在 $\Delta x \to 0$ 时趋于某个确定值，就把这个极限看作点 $P$ 处的切线斜率:

k_{\text{切线}} = \lim_{\Delta x \to 0} k_{\text{割线}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

这样，切线斜率问题与瞬时速度问题便统一为同一种极限过程.

导数的定义

平均变化率在自变量增量趋于零时的极限，称为函数在该点的导数.

函数在一点的导数

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的附近有定义. 如果极限

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

存在，就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导. 这个极限值称为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数, 记作 $f'(x_0)$ .

定义中的 $\Delta x$ 先保持非零，差商先有意义，再让 $\Delta x \to 0$ . 因此导数研究的是差商整体的极限. 极限存在时，函数在该点附近有稳定的线性变化趋势.

注

几何意义： $f'(x_0)$ 就是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率.
物理意义： 如果 $s(t)$ 是位移关于时间的函数，那么 $s'(t_0)$ 就是物体在时刻 $t_0$ 的瞬时速度.
一般意义： 导数 $f'(x_0)$ 衡量了函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处变化的快慢程度，是函数的瞬时变化率.

莱布尼茨记号

若把函数写成 $y=f(x)$ ，那么导数也常记为

\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0} \text{或} \frac{df}{dx}(x_0).

这个记号保留了差商的影子. 当 $\Delta x$ 很小时，差商 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 已经很接近导数. 继续沿着这个记号往前走，就会引出微分.

微分的引入

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导. 按照导数的定义，当 $\Delta x \to 0$ 时， $\frac{\Delta y}{\Delta x} \to f'(x_0)$ . 当 $\Delta x \ne 0$ 时，可写成 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha,$ 其中 $\alpha \to 0$ . 两边乘以 $\Delta x$ , 得 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x.$ 第一项与 $\Delta x$ 成正比，是函数增量中的线性部分. 微分就是把这部分单独记下来.

微分

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导. 取自变量的改变量 $dx$ ，定义函数在点 $x_0$ 处的微分 $dy$ 为 $dy = f'(x_0)\,dx.$ 其中， $dx$ 称为自变量的微分， $dy$ 称为因变量的微分.

把 $dx$ 看成刚才的 $\Delta x$ ，上面的关系便可写成 $\Delta y=dy+\alpha\,dx$ . 当 $dx$ 很小时， $dy$ 与实际增量 $\Delta y$ 很接近. $dy$ 记录切线给出的线性变化，曲线偏离切线的差别落在 $\alpha\,dx$ 里.

例

设 $y=x^2$ . 求其在点 $x$ 处的微分，并与实际增量比较.

解

当自变量由 $x$ 变为 $x+dx$ 时， $\Delta y = (x+dx)^2 - x^2 = 2x\,dx + (dx)^2.$ 而函数 $y=x^2$ 的导数为 $y'=2x$ ，因此它的微分为 $dy = y'\,dx = 2x\,dx.$ 所以 $\Delta y = dy + (dx)^2.$ 当 $dx$ 很小时， $(dx)^2$ 比 $dx$ 小得多, $dy=2x\,dx$ 就给出了 $\Delta y$ 的线性近似. 后面讨论切线近似与泰勒展开时，这个式子还会重新出现.

用定义求导

导数的极限定义为

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

它给出了由平均变化率计算瞬时变化率的统一方法.

在尚未建立求导公式之前，可以直接利用定义求一些基本函数的导数. 这既能熟悉导数的来源，也能为后面的求导法则作准备.

求导三步法

根据导数的定义，求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 可分为三步：第一步求增量, 计算当自变量从 $x$ 变为 $x+\Delta x$ 时函数值的增量 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ ；第二步作商, 计算平均变化率 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , 这一步常通过因式分解或有理化把分母中的 $\Delta x$ 约去；第三步取极限, 计算 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , 所得的结果就是导函数 $f'(x)$ .

例

求函数 $f(x) = c$ ( $c$ 为常数) 的导数.

解

常数函数对应一条水平直线，导数应为 $0$ .

求增量 $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x) = c - c = 0$ 作商 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{\Delta x} = 0$ 取极限 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 0 = 0$ 结论： $(c)' = 0$ . 常数函数没有变化，瞬时变化率恒为零.

例

求函数 $f(x) = x^2$ 的导数.

解

$x^2$ 的切线斜率随 $x$ 改变.

\begin{aligned} \text{求增量 } \Delta y &= f(x+\Delta x) - f(x) &= (x+\Delta x)^2 - x^2 &= (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - x^2 &= 2x\Delta x + (\Delta x)^2 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{作商 } \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} &= \frac{\Delta x (2x + \Delta x)}{\Delta x} (\text{关键一步：提取公因式并约分}) &= 2x + \Delta x \end{aligned}

\begin{aligned} \text{取极限} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) &= 2x \end{aligned}

结论： $(x^2)'=2x$ . 这说明抛物线 $y=x^2$ 在任意一点 $x$ 处的切线斜率都等于该点横坐标的两倍. 例如，在 $x=1$ 处斜率为 $2$ , 在 $x=-3$ 处斜率为 $-6$ .

例

求函数 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 的导数.

解

这里需要用到通分.

\begin{aligned} \Delta y &= \frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x} &= \frac{x - (x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)} (\text{通分}) &= \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)} \cdot \frac{1}{\Delta x} &= \frac{-1}{x(x+\Delta x)} \end{aligned}

\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} &= \frac{-1}{x(x+0)} = -\frac{1}{x^2} \end{aligned}

结论： $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ .

以上例子表明，导数定义可以直接用于计算. 但当函数结构稍复杂时，差商化简会迅速变长，逐次使用定义并不经济.

基本求导公式的诞生

来龙去脉

导数定义可以直接用于计算. 但每次都从

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

起步，差商会越写越长. 把这些极限计算整理成可反复调用的公式表.

三角函数、指数函数与对数函数的求导，最后都会追到两个关键极限:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \text{和} \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}.

前一个用于三角函数求导，后一个给出自然常数 $e$ , 进而用于指数函数和对数函数求导. 证明它们之前，先准备一个常用工具：夹逼定理.

夹逼定理的想法很朴素：找到两个容易分析的量，让目标量始终夹在它们之间. 当两侧同时逼近同一个值时，中间量也被迫逼近这个值. 后面证明 $\frac{\sin x}{x}$ 的极限时，正要用到这种比较方法.

夹逼定理 *(选读内容)

引理

如果在点 $x_0$ 的某个去心邻域内，有三个函数 $g(x), f(x), h(x)$ 始终满足 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 并且 $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$ 那么 $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$

证明

任取 $\varepsilon \> 0$ . 由 $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = L$ , 存在 $\delta_1 \> 0$ , 使得当 $0 \< |x - x_0| \< \delta_1$ 时, $|g(x) - L| \< \varepsilon$ , 即 $L - \varepsilon \< g(x) \< L + \varepsilon$ .

由 $\lim\limits_{x \to x_0} h(x) = L$ , 存在 $\delta_2 \> 0$ , 使得当 $0 \< |x - x_0| \< \delta_2$ 时, $|h(x) - L| \< \varepsilon$ , 即 $L - \varepsilon \< h(x) \< L + \varepsilon$ .

由 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内成立，可取 $\delta_3 \> 0$ , 使得当 $0 \< |x - x_0| \< \delta_3$ 时, $g(x) \le f(x) \le h(x)$ .

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \delta_3)$ . 则当 $0 \< |x - x_0| \< \delta$ 时，同时有 $L - \varepsilon \< g(x) \le f(x) \le h(x) \< L + \varepsilon$ , 从而 $|f(x) - L| \< \varepsilon$ .

由极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义，得 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$ .

直观地说，中间函数被两侧函数夹住，两侧同时逼近同一个值，中间函数也随之逼近这个值.

例

证明 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

这个极限通常从单位圆证明. 下面的角 $x$ 用弧度制表示，先讨论 $x\>0$ 的情形.

< S_{\text{扇形 }OAP} < S_{\triangle OAT}$}

由几何图形的面积关系，有

\text{面积}(\triangle OAP) \< \text{面积}(\text{扇形 } OAP) \< \text{面积}(\triangle OAT).

单位圆半径是 $1$ , 所以这三个面积分别是

\begin{aligned} \text{面积}(\triangle OAP) &= \frac{1}{2}\sin x, \text{面积}(\text{扇形 } OAP) &= \frac{1}{2}x, \text{面积}(\triangle OAT) &= \frac{1}{2}\tan x. \end{aligned}

代回去并同乘 $2$ , 得到 $\sin x \< x \< \tan x.$ 现在要把它改写成 $\dfrac{\sin x}{x}$ 的形式. 当 $x \to 0^+$ 时, $\sin x \> 0$ , 所以可以同除以 $\sin x$ :

1 \< \frac{x}{\sin x} \< \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x}.

再取倒数，不等号方向反过来: $\cos x \< \frac{\sin x}{x} \< 1.$ 当 $x \to 0^+$ 时，左右两端都趋于 $1$ , 夹逼定理给出 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1.$ 又因为 $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x},$ 这个函数是偶函数，左极限和右极限相同. 因此得到第一个重要极限

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

第二个重要极限来自复利模型.

设本金是 $1$ 元，年利率是 $100\%$ . 如果一年计息一次，一年后得到 $2$ 元. 如果一年分成 $2$ 次计息，一年后得到 $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2 = 2.25.$ 如果一年分成 $12$ 次计息，一年后得到 $\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613.$ 如果一年分成 $365$ 次计息，一年后得到 $\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.714.$ 计息次数越多，每次加上的利息越小，总次数越多. 这一列数稳定逼近一个极限，它描述连续复利下的本利和. 这个极限记作自然常数 $e$ .

自然常数 $e$

自然常数 $e$ 定义为

e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828...

令 $x = \frac{1}{n}$ , 则当 $n \to \infty$ 时, $x \to 0$ . 这个复利极限就变成了第二个重要极限

\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e

有了这两个极限，就可以从定义推导常用求导公式.

幂函数 $f(x)=x^n$ ( $n$ 为正整数). 先看幂函数. 这里会用到二项式定理

(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n.

\begin{aligned} (x^n)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1}\Delta x + C_n^2 x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots - x^n}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{n x^{n-1}\Delta x + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \left( n x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}\Delta x + \cdots \right) \end{aligned}

最后一行中，第一项 $n x^{n-1}$ 与 $\Delta x$ 无关，后面的每一项都至少带一个 $\Delta x$ 因子. 当 $\Delta x \to 0$ 时，后面的项趋于 $0$ , 只留下首项: $(x^n)' = n x^{n-1}.$ 这个公式后来可以推广到任意实数指数. 例如

(x^2)' = 2x, \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.

三角函数 $f(x)=\sin x$ . 这一步要用到重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1,$ 以及和差化积公式

\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right).

推导的关键是把差商里的三角项改写成 $\dfrac{\sin u}{u}$ 的形状，以便调用已知极限.

\begin{aligned} (\sin x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left(\frac{x+\Delta x+x}{2}\right)\sin\left(\frac{x+\Delta x-x}{2}\right)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} \end{aligned}

最后一行已拆成两个因子. 第一个因子在 $\Delta x \to 0$ 时趋于 $\cos x$ , 第二个因子是重要极限的标准形状，其中 $u=\frac{\Delta x}{2}$ . 因此 $(\sin x)' = \cos x.$

同理，利用公式

\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right),

可以得到

\begin{aligned} (\cos x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x+\Delta x) - \cos x}{\Delta x} &= -\lim_{\Delta x \to 0} \sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} &= -\sin x. \end{aligned}

指数函数 $f(x)=a^x$ ( $a\>0,\ a\neq 1$ ). 指数函数的差商里，关键部分是指数增量 $a^{\Delta x}$ . 先把它从整体里提出来:

\begin{aligned} (a^x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^x\left(a^{\Delta x} - 1\right)}{\Delta x} &= a^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \end{aligned}

后面的极限只和底数 $a$ 有关，记作 $\ln a$ : $\ln a = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}.$ 于是得到 $(a^x)' = a^x \ln a.$ 前面的复利极限把 $e$ 选成了最自然的底数. 当 $a=e$ 时, $\ln e = 1$ , 所以 $(e^x)' = e^x.$ $e^x$ 的变化率等于函数值本身，因而在微积分中格外重要.

对数函数 $f(x)=\log_a x$ ( $x\>0,\ a\>0,\ a\neq 1$ ). 对数函数的差商需要先改形. 目标是构造 $(1+t)^{1/t}$ , 以便使用第二个重要极限.

\begin{aligned} (\log_a x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a(x+\Delta x) - \log_a x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \log_a\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \log_a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right) \end{aligned}

令 $t = \frac{\Delta x}{x}$ , 则 $\Delta x = xt$ . 当 $\Delta x \to 0$ 时, $t \to 0$ , 上式变成

\begin{aligned} (\log_a x)' &= \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{\log_a(1+t)}{t} &= \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \log_a\left((1+t)^{\frac{1}{t}}\right) \end{aligned}

这里把 $\dfrac{\log_a(1+t)}{t}$ 改写成 $\log_a\left((1+t)^{1/t}\right)$ , 是为了调用 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e.$ 又因为对数函数连续，所以 $(\log_a x)' = \frac{1}{x} \log_a e = \frac{1}{x \ln a}.$ 当底数取 $e$ 时，立刻得到 $(\ln x)' = \frac{1}{x}.$

把上面的结果整理成表. 其中指数函数和对数函数默认 $a\>0,\ a\neq 1$ , 对数函数还要求 $x\>0$ .

温馨提示

| 函数 | 导数 \

1ex] | | --- | --- | | [-0.5ex] $f(x) = c$ | $f'(x) = 0$ | | [1ex] $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{R}$) | $f'(x) = n x^{n-1}$ | | [1ex] $f(x) = \sin x$ | $f'(x) = \cos x$ | | [1ex] $f(x) = \cos x$ | $f'(x) = -\sin x$ | | [1ex] $f(x) = a^x$ | $f'(x) = a^x \ln a$ | | [1ex] $f(x) = e^x$ | $f'(x) = e^x$ | | [1ex] $f(x) = \log_a x$ | $f'(x) = \dfrac{1}{x \ln a}$ | | [2ex] $f(x) = \ln x$ | $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ | | [1ex] | |

有了公式表，还要学会把这些公式拼起来用. 最先用到的，就是常数倍法则和加减法则.

温馨提示

设函数 $f(x), g(x)$ 均可导, $c$ 为常数，则

常数倍法则 [ [c \cdot f(x)]' = c \cdot f'(x)

2. **加减法则** $[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$

证明（常数倍法则的证明）

令 $h(x) = c \cdot f(x)$ . 直接从导数定义出发:

\begin{aligned} [c \cdot f(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c \cdot f(x+\Delta x) - c \cdot f(x)}{\Delta x} &= c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} &= c \cdot f'(x) \end{aligned}

证明（加减法则的证明）

先证明加法情形. 令 $h(x) = f(x) + g(x)$ , 则

\begin{aligned} [f(x) + g(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)] + [g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} &= f'(x) + g'(x) \end{aligned}

减法情形完全一样.

到这里为止，由基本函数通过加减和数乘拼出来的表达式，已经可以顺着规则直接求导.

例

求多项式函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 1$ 的导数.

解

\begin{aligned} f'(x) &= (2x^3 - 5x^2 + 7x - 1)' &= 2(x^3)' - 5(x^2)' + 7(x)' - (1)' &= 2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x + 7 - 0 &= 6x^2 - 10x + 7 \end{aligned}

多项式求导的做法很固定：逐项求导，最后合并.

例

求函数 $y = 3\sqrt{x} - \dfrac{2}{x^2}$ 的导数.

解

先把根式和分式改写成幂函数: $y = 3x^{1/2} - 2x^{-2}.$ 然后逐项求导:

\begin{aligned} y' &= (3x^{1/2} - 2x^{-2})' &= 3(x^{1/2})' - 2(x^{-2})' &= 3\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right) - 2\left(-2x^{-3}\right) &= \frac{3}{2}x^{-1/2} + 4x^{-3} &= \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{4}{x^3} \end{aligned}

例

求函数 $f(x) = 4\cos x + e^x - \ln 2$ 的导数.

解

$\ln 2$ 是常数，其导数等于 $0$ .

\begin{aligned} f'(x) &= (4\cos x + e^x - \ln 2)' &= 4(\cos x)' + (e^x)' - (\ln 2)' &= 4(-\sin x) + e^x - 0 &= -4\sin x + e^x \end{aligned}

掌握这张公式表以及加减、数乘法则以后，我们已经能处理很多常见函数.

$x^2\sin x$ , $\dfrac{x^2+1}{x}$ , $\sin(2x+1)$ 分别涉及乘积、商和复合. 对应的求导法则如下.

乘、除、复合求导法则

三大运算法则

温馨提示

设函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在点 $x$ 处均可导，则：

乘法法则 $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ 语言描述：两函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
除法法则

\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} (v(x) \neq 0)

语言描述：两函数商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，所得的差再除以分母的平方.

3. 链式法则 设函数 $y=f(u)$ 的自变量 $u$ 本身是另一个关于 $x$ 的函数 $u=g(x)$ , 则复合函数 $y=f(g(x))$ 对 $x$ 的导数为： $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 语言描述：复合函数的导数，等于外层函数对内层函数求导，乘以内层函数对自变量求导.

链式法则的莱布尼茨表示. 莱布尼茨符号便于记忆这一法则.若记 $y=f(u), u=g(x)$ ，则链式法则写作： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 这种写法有助于记忆导数在复合过程中的传递方式.

这些法则均可由导数的极限定义推导出来. 理解证明过程有助于把握导数的来源.

乘法法则的证明. 证明中需要作构造项.

\begin{aligned} [u(x)v(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \Bigl[\frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\,v(x+\Delta x) + u(x)\,\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\Bigr] &= \Bigl(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\Bigr)\,v(x) + u(x)\,\Bigl(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\Bigr) \end{aligned}

由于函数 $v(x)$ 可导则必然连续，所以 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} v(x+\Delta x) = v(x)$ . 其余两项分别是 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 的定义. 因此， $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ 证毕.

除法法则的证明. 证明过程与乘法法则类似，先通分，再作构造项.

\begin{aligned} \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left(\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}\right) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot v(x)v(x+\Delta x)} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x) + u(x)v(x) - u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot v(x)v(x+\Delta x)} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{v(x)v(x+\Delta x)} \Biggl[ \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x) & - u(x) \cdot \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} \Biggr] &= \frac{1}{[v(x)]^2} [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] \end{aligned}

证毕.

链式法则的证明. 链式法则的严格证明需要细分内层函数增量的情形. 这里先掌握计算用法：识别外层和内层，外层求导后乘以内层导数.

三大法则的应用

先看最外层结构

掌握这三个基本法则后，还要根据函数结构选择相应的求导方法.

先识别函数最外层的代数结构. 最外层是两个函数相乘时用乘法法则，相除时用除法法则，一个函数复合另一个函数时用链式法则. 确定最外层结构后，再对内部需要求导的部分重复同样的识别过程，直到化归为基本求导公式.

乘法法则

求函数 $f(x) = x^2 \sin x$ 的导数.

解

结构分析： 函数 $f(x)$ 是 $u(x) = x^2$ 与 $v(x) = \sin x$ 的乘积.因此，首要应用乘法法则.

根据乘法法则 $[uv]' = u'v + uv'$ :

\begin{aligned} f'(x) &= (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' &= (2x) \cdot \sin x + x^2 \cdot (\cos x) &= 2x\sin x + x^2\cos x \end{aligned}

除法法则

求函数 $y = \dfrac{e^x}{x^2+1}$ 的导数.

解

结构分析： 函数 $y$ 是 $u(x) = e^x$ 与 $v(x) = x^2+1$ 的商.应用除法法则.

根据除法法则 $\left[\dfrac{u}{v}\right]' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ :

\begin{aligned} y' &= \frac{(e^x)'(x^2+1) - e^x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} &= \frac{e^x(x^2+1) - e^x(2x)}{(x^2+1)^2} &= \frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2} &= \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2} \end{aligned}

在分子上提取公因式 $e^x$ 使表达式更为清晰，这是一个良好的代数习惯.

链式法则

求函数 $y = \cos(x^3 - 4x)$ 的导数.

解

结构分析： 函数 $y$ 是 $\cos(\cdot)$ 与多项式 $x^3-4x$ 的复合函数，应用链式法则，按由外到内的顺序求导.

外层函数： $y = \cos(u)$
内层函数： $u = x^3 - 4x$
外导： $y$ 对 $u$ 求导, $\dfrac{dy}{du} = (\cos u)' = -\sin u$
内导： $u$ 对 $x$ 求导, $\dfrac{du}{dx} = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$

根据链式法则 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$ :

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= (-\sin u) \cdot (3x^2 - 4) &= -\sin(x^3 - 4x) \cdot (3x^2 - 4) (\text{最后将中间变量 $u$ 换回}) &= -(3x^2 - 4)\sin(x^3 - 4x) \end{aligned}

多层复合

求函数 $f(x) = \ln(\sin(e^{x^2}))$ 的导数.

解

这是多层复合函数，按链式法则由外向内逐层求导.

层次分解 函数可分解为四层：最外层为 $y=\ln(u)$ ，第二层为 $u=\sin(v)$ ，第三层为 $v=e^{w}$ ，最内层为 $w=x^2$ .

逐层求导并应用链式法则 由链式法则 $[f(g(h(k(x))))]' = f' \cdot g' \cdot h' \cdot k'$ , 有

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{\sin(e^{x^2})} \cdot [\sin(e^{x^2})]' &= \frac{1}{\sin(e^{x^2})} \cdot \cos(e^{x^2}) \cdot [e^{x^2}]' (\text{对第二层求导}) &= \frac{\cos(e^{x^2})}{\sin(e^{x^2})} \cdot e^{x^2} \cdot [x^2]' (\text{对第三层求导}) &= \cot(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot (2x) (\text{对最内层求导}) \end{aligned}

整理得 $f'(x) = 2x e^{x^2} \cot(e^{x^2})$ .

例

求函数 $y = x^3 \sqrt{1-x^2}$ 的导数.

解

这是乘积函数. 先用乘法法则，再对根式部分使用链式法则.

由乘法法则 $y' = u'v + uv'$ , 有 $y' = (x^3)' \sqrt{1-x^2} + x^3 (\sqrt{1-x^2})'$ .

第一部分导数很简单： $(x^3)' = 3x^2$ .

第二部分 $(\sqrt{1-x^2})'$ 需要使用链式法则.将根式写为幂函数形式 $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ . 外层函数是 $w^{\frac{1}{2}}$ , 内层函数是 $w=1-x^2$ .

(\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}

将各部分代入乘法法则公式：

\begin{aligned} y' &= 3x^2 \sqrt{1-x^2} + x^3 \left( \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \right) &= 3x^2 \sqrt{1-x^2} - \frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

通分得

\begin{aligned} y' &= \frac{3x^2 (1-x^2) - x^4}{\sqrt{1-x^2}} &= \frac{3x^2 - 3x^4 - x^4}{\sqrt{1-x^2}} &= \frac{3x^2 - 4x^4}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x^2(3-4x^2)}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

例

求函数 $f(x) = \frac{x^2 e^{2x}}{\ln(x^2+1)}$ 的导数.

解

这是商函数. 分子求导用乘法法则，指数项与对数项求导都要用链式法则.

令 $u(x) = x^2 e^{2x}$ , $v(x) = \ln(x^2+1)$ . 先求 $u'(x)$ 与 $v'(x)$ .

求 $u'(x)$ (应用乘法法则):

\begin{aligned} u'(x) &= (x^2)' e^{2x} + x^2 (e^{2x})' &= 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot (e^{2x} \cdot 2) (\text{对 } e^{2x} \text{ 应用链式法则}) &= 2x e^{2x} (1 + x) \end{aligned}

求 $v'(x)$ (应用链式法则), 得 $v'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}$ .

接着，将 $u, v, u', v'$ 代入除法法则 $\left[\dfrac{u}{v}\right]' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ：

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{[2x e^{2x} (1 + x)] \cdot \ln(x^2+1) - (x^2 e^{2x}) \cdot \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)}{[\ln(x^2+1)]^2} &= \frac{2x e^{2x} \left( (1 + x)\ln(x^2+1) - \frac{x^2}{x^2+1} \right)}{[\ln(x^2+1)]^2} \end{aligned}

例

求函数 $g(x) = \left( \ln(x \sin^2 x) \right)^3$ 的导数.

解

这是复合函数与乘积函数的结合，先分清层次，再逐层求导. 函数可分解为四层：最外层是幂函数 $u^3$ ，第二层是自然对数函数 $\ln(v)$ ，第三层是乘积 $v = x \sin^2 x$ ，第四层（内嵌于第三层）是复合函数 $w^2$ , 其中 $w=\sin x$ .

由外到内应用链式法则，有 $g'(x) = 3\left( \ln(x \sin^2 x) \right)^2 \cdot \left( \ln(x \sin^2 x) \right)'$ , 且 $\left( \ln(x \sin^2 x) \right)' = \frac{1}{x \sin^2 x} \cdot (x \sin^2 x)'$ .

对 $(x \sin^2 x)'$ 应用乘法法则：

\begin{aligned} (x \sin^2 x)' &= (x)' \sin^2 x + x (\sin^2 x)' &= 1 \cdot \sin^2 x + x \cdot [2 \sin x \cdot (\sin x)'] (\text{对 } \sin^2 x \text{ 应用链式法则}) &= \sin^2 x + x (2 \sin x \cos x) &= \sin^2 x + x \sin(2x) \end{aligned}

将内层结果逐层代回：

\begin{aligned} g'(x) &= 3\left( \ln(x \sin^2 x) \right)^2 \cdot \frac{1}{x \sin^2 x} \cdot (\sin^2 x + x \sin(2x)) &= \frac{3(\sin^2 x + x \sin(2x))}{x \sin^2 x} \left( \ln(x \sin^2 x) \right)^2 \end{aligned}

例

求函数 $y = (x^2+1)^{\ln x}$ 的导数.

解

底数与指数都含有变量，用对数求导法.

$\ln y = \ln((x^2+1)^{\ln x}) = (\ln x) \cdot \ln(x^2+1)$ .

左边应用链式法则，右边应用乘法法则，得 $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = (\ln x)' \cdot \ln(x^2+1) + (\ln x) \cdot (\ln(x^2+1))'$ .

分别计算右侧各导数： $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ , 且 $(\ln(x^2+1))' = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}$ .

代回方程，得 $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \ln(x^2+1) + (\ln x) \frac{2x}{x^2+1}$ . 将 $y$ 乘到右边，并代入其原始表达式，得 $\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\ln(x^2+1)}{x} + \frac{2x \ln x}{x^2+1} \right) = (x^2+1)^{\ln x} \left( \frac{\ln(x^2+1)}{x} + \frac{2x \ln x}{x^2+1} \right)$ .

例

求函数 $f(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)$ 的导数.

解

先处理对数内部的分式. 对分子作有理化，得

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x} &= \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}-x)}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)} &= \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{(x^2+1) - x^2} &= (\sqrt{x^2+1}-x)^2 \end{aligned}

因此，原函数可以被重写为 $f(x) = \ln\left( (\sqrt{x^2+1}-x)^2 \right) = 2\ln(\sqrt{x^2+1}-x)$ .

再对化简后的函数求导：

\begin{aligned} f'(x) &= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot (\sqrt{x^2+1}-x)' &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x - 1 \right) &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - 1 \right) &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \right) &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \frac{-(\sqrt{x^2+1}-x)}{\sqrt{x^2+1}} &= -\frac{2}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}

直接对原式求导也能得到同一结果，但步骤会明显变长：先用链式法则处理 $\ln u$ , 再对 $u = \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x}$ 使用商法则，还要继续处理两个根式的导数. 本题的关键是先有理化，把复杂分式化成 $2\ln(\sqrt{x^2+1}-x)$ .

这个例子说明：对数内部含有复杂分式时，先化简再求导通常更稳妥.

综合应用

求函数 $y = e^{-x} \ln(x^2)$ 的导数.

解

结构分析： 最外层是 $e^{-x}$ 与 $\ln(x^2)$ 的乘积，先用乘法法则，再分别用链式法则求 $(e^{-x})'$ 与 $(\ln(x^2))'$ .

应用乘法法则，有 $y' = (e^{-x})' \ln(x^2) + e^{-x} (\ln(x^2))'$

分别计算两个需要用链式法则的部分：

求 $(e^{-x})'$ ：外层为 $e^u$ , 内层为 $u=-x$ .导数为 $e^u \cdot u' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$ .
求 $(\ln(x^2))'$ ：外层为 $\ln u$ , 内层为 $u=x^2$ .导数为 $\dfrac{1}{u} \cdot u' = \dfrac{1}{x^2} \cdot 2x = \dfrac{2}{x}$ .

最后，将计算结果代回乘法法则公式：

\begin{aligned} y' &= (-e^{-x}) \cdot \ln(x^2) + e^{-x} \cdot \left(\frac{2}{x}\right) &= e^{-x} \left(\frac{2}{x} - \ln(x^2)\right) \end{aligned}

常见错误

混淆运算法则

乘积求导要用 $[uv]'=u'v+uv'$ . 写成 $u'v'$ 会把乘法法则误当成线性法则.
链式法则遗漏内导

复合函数求导时，外层导数后面还要乘以内层导数. 例如

$(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x).$
复合层次识别不清

对于 $y = \sin^3 x$ , 其结构是 $y = (\sin x)^3$ . 最外层是幂函数 $u^3$ , 内层是三角函数 $u=\sin x$ .

$y' = 3(\sin x)^{3-1} \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cos x.$

对于 $y = \sin(x^3)$ , 最外层是正弦函数 $\sin u$ , 内层是幂函数 $u=x^3$ .

$y' = \cos(x^3) \cdot (x^3)' = 3x^2\cos(x^3).$
先化简，再求导

启动复杂法则前，先检查表达式能否化简. 例如 $y=\ln(e^{2x})$ 可先化为 $2x$ , 再求导.

几种求导方法*

至此，已经建立了基本的求导法则. 但有些关系并不能直接写成 $y=f(x)$ 的形式：

当函数呈现“幂的幂”或多项因子的乘除结构时，例如 $y = \dfrac{\sqrt{x+1}(x-2)^3}{(x+5)^4}$ , 直接使用乘除法与链式法则往往较繁.
当函数关系由方程给出，例如圆的方程 $x^2+y^2=25$ , 需要另行讨论求导方法.

取对数求导法

当函数表达式含有幂指结构，或由多个因子的乘、除、开方构成时，取对数求导法常较为简洁. 它利用对数运算把乘除化为加减，把幂化为乘积.

取对数求导法

对于函数 $y=f(x)$ , 若其表达式由多个因子的积、商或幂指结构 $u(x)^{v(x)}$ 构成，可按下列步骤求导：先在有定义的范围内取 $\ln|y| = \ln|f(x)|$ , 再利用对数性质展开右端，然后两边对 $x$ 求导使左端得到 $\dfrac{y'}{y}$ , 最后解出 $y'$ .

取对数求导法的作用是把“乘除关系”改写成“加减关系”，把“幂”改写成“乘积关系”. 这样做之后，原来难以下手的幂指结构就能转化成熟悉的乘法法则与链式法则. 取 $\ln|y|$ 可以同时覆盖正值与负值情形；使用时，仍要先说明函数在哪个范围内有定义.

例

求幂指函数 $y = x^{\sin x}$ ( $x\>0$ ) 的导数.

解

底数 $x$ 与指数 $\sin x$ 都含有变量，可用对数求导.

在 $x\>0$ 的条件下，两边取自然对数，得 $\ln y = \ln(x^{\sin x}) = \sin x \cdot \ln x$ . 于是幂指关系化为三角函数与对数函数的乘积.

方程两边对 $x$ 求导. 左边用链式法则，右边用乘法法则，得 $\frac{1}{y} \cdot y' = (\sin x)' \ln x + \sin x (\ln x)'$ , 即 $\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$ . 将 $y=x^{\sin x}$ 代回整理，得 $y' = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$ .

例

求函数 $y = \dfrac{\sqrt{x+1}(x-2)^3}{(x+5)^4}$ 的导数.

解

此函数由三个代数式的幂通过乘除构成. 利用对数性质可把运算拆成若干和式.

在函数有定义的区域考察绝对值的对数，利用 $\ln(abc)=\ln a+\ln b+\ln c$ 及 $\ln(a^n)=n\ln a$ 展开:

\begin{aligned} \ln|y| &= \ln \left| \dfrac{(x+1)^{1/2}(x-2)^3}{(x+5)^4} \right| &= \frac{1}{2}\ln|x+1| + 3\ln|x-2| - 4\ln|x+5| \end{aligned}

两边同时对 $x$ 求导. 注意 $\frac{d}{dx}(\ln|u|) = \frac{u'}{u}$ :

\frac{y'}{y} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+5}

最后解出 $y'$ :

y' = \dfrac{\sqrt{x+1}(x-2)^3}{(x+5)^4} \left[ \frac{1}{2(x+1)} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+5} \right]

这样可把原先的多重嵌套运算化为若干简单分式的求和.

隐函数求导法

当 $x$ 和 $y$ 的关系由方程 $F(x,y)=0$ 确定，而没有或较难写成 $y=f(x)$ 的形式时，就称这个关系定义了一个隐函数. 求这类函数的导数时，直接对原方程求导.

隐函数求导法

当方程 $F(x,y)=0$ 在某区域内确定了 $y$ 为 $x$ 的函数时，即使无法显式解出 $y=f(x)$ , 也可以对方程两边关于 $x$ 求导. 具体做法是：将方程中出现的 $y$ 都看作 $x$ 的函数 $y(x)$ , 对含 $y$ 的项按链式法则处理，再从所得的等式中解出 $y'$ . 这个方法的合理性在于：若 $y(x)$ 确实可导，则它满足方程 $F(x,y(x))=0$ , 两边关于 $x$ 求导后自然得到 $y'$ 与 $x,y$ 的关系. 何时方程能确定可导的隐函数，由隐函数定理保证：当 $F$ 连续可微且 $\frac{\partial F}{\partial y}\ne0$ 时，局部存在唯一的可导函数 $y(x)$ .

例

求由圆的方程 $x^2 + y^2 = 25$ 所确定的函数在任意点 $(x,y)$ 的导数 $\dfrac{dy}{dx}$ .

解

对方程两边同时关于 $x$ 求导. $\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25)$ 利用加法法则展开： $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$

对 $x^2$ 求导，得 $2x$ .
对 $y^2$ 求导时，由于 $y$ 是 $x$ 的函数，所以 $y^2$ 是复合函数. 根据链式法则： $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \cdot y'$

将求导结果代回方程： $2x + 2y \cdot y' = 0$ 再把它看作关于 $y'$ 的代数方程来解： $2y \cdot y' = -2x$ $y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$ 因而圆上任意一点 $(x,y)$ 的切线斜率为 $-\frac{x}{y}$ . 例如在点 $(3,4)$ , 切线斜率为 $-\frac{3}{4}$ .

导数与单调性

导数 $f'(x)$ 刻画一点附近的变化趋势. 单调性关心整个区间上的增减. 下面要做的事，是把局部斜率信息转化为区间判断.

理论基石与判定法则

先看函数图像中的转折点. 这些点是单调性可能改变的位置，称为极值点.

函数的极值

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义.

如果对于该邻域内任意异于 $x_0$ 的点 $x$ , 都恒有 $f(x) \< f(x_0)$ , 就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值, 称 $x_0$ 为极大值点.
如果对于该邻域内任意异于 $x_0$ 的点 $x$ , 都恒有 $f(x) \> f(x_0)$ , 就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极小值, 称 $x_0$ 为极小值点.

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.

极值是局部概念，最值是全局概念. 直接由定义寻找极值并不方便. 对光滑曲线而言，峰顶或谷底处的切线通常是水平的，这一事实可由费马引理精确表述.

费马引理

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足以下两个条件：

$f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值；
$f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导；

那么，函数在该点的导数必为零，即 $f'(x_0) = 0$ .

证明

以下以 $f(x_0)$ 为极大值为例. 根据极大值的定义，存在一个以 $x_0$ 为中心的邻域，对于该邻域内任意的 $x$ , 都有 $f(x) \le f(x_0)$ , 即 $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$ .

考察导数 $f'(x_0)$ 的定义式. 当自变量从右侧逼近 ( $\Delta x \to 0^+$ ) 时，分母 $\Delta x \> 0$ , 分子 $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$ . 故比值非正，其极限（即右导数）满足 $f'_+(x_0) \le 0$ . 当自变量从左侧逼近 ( $\Delta x \to 0^-$ ) 时，分母 $\Delta x \< 0$ , 分子非正.故比值非负，其极限（即左导数）满足 $f'_-(x_0) \ge 0$ .

由于函数在 $x_0$ 处可导，其左、右导数必须存在且相等，即 $f'(x_0) = f'_+(x_0) = f'_-(x_0)$ . 联立 $f'(x_0) \le 0$ 与 $f'(x_0) \ge 0$ , 唯一可能的情况便是 $f'(x_0)=0$ .

必要而不充分

费马引理给出极值点的必要条件. 可导函数在极值点处导数必为零，因而寻找极值点时，先考察导数为零的点以及导数不存在的点. 仅有 $f'(x_0)=0$ 还不能推出 $x_0$ 是极值点. 例如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处导数为零，但函数仍保持递增，该点是拐点.

费马引理把单点处的极值性质与导数性质联系起来. 若要进一步讨论区间上的单调性，还需要中值定理. 先从罗尔定理开始.

罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 满足：(1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续；(2)在开区间 $(a,b)$ 内可导；(3)在端点处的函数值相等，即 $f(a) = f(b)$ . 那么，在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使得 $f'(\xi) = 0$ .

证明

根据闭区间上连续函数的最值定理， $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必取得最大值 $M$ 和最小值 $m$ . 若 $M=m$ , 则 $f(x)$ 为常数函数，其导数在 $(a,b)$ 内处处为零，结论成立. 若 $M\>m$ , 由于 $f(a)=f(b)$ , 则 $M$ 与 $m$ 中至少有一个必定在区间的内部某点 $\xi \in (a,b)$ 处取得. 这意味着点 $\xi$ 是一个极值点，且函数在该点可导.根据费马引理，可导函数在极值点处的导数必为零，故 $f'(\xi)=0$ . :::

罗尔定理要求 $f(a)=f(b)$ , 条件较强. 拉格朗日通过构造辅助函数把一般情形化为罗尔定理.

拉格朗日中值定理

如果函数 $f(x)$ 满足：(1)在 $[a,b]$ 上连续；(2)在 $(a,b)$ 内可导. 那么，在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}

证明

构造一个满足罗尔定理条件的辅助函数. 连接端点 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的割线方程为 $y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ . 构造辅助函数 $\varphi(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \right]$ . 此函数 $\varphi(x)$ 代表了曲线 $y=f(x)$ 与其端点割线之间的竖直距离. 直接计算得 $\varphi(a)=0$ 且 $\varphi(b)=0$ , 故 $\varphi(x)$ 满足罗尔定理的全部条件. 因此，存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\varphi'(\xi)=0$ . 对 $\varphi(x)$ 求导得 $\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . 令 $x=\xi$ 并代入 $\varphi'(\xi)=0$ ，移项后即得定理结论. :::

拉格朗日中值定理建立了瞬时变化率 $f'(\xi)$ 与区间平均变化率 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 之间的联系. 利用这一工具，可以严格证明单调性判定法则.

函数单调性的判定法

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 内可导.

如果在 $I$ 内恒有 $f'(x) \> 0$ , 那么函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是单调递增的.
如果在 $I$ 内恒有 $f'(x) \< 0$ , 那么函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是单调递减的.
如果在 $I$ 内恒有 $f'(x) = 0$ , 那么函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是一个常数函数.

证明

设 $x_1, x_2$ 是区间 $I$ 内的任意两点，且 $x_1 \< x_2$ . 在闭区间 $[x_1, x_2]$ 上对函数 $f(x)$ 应用拉格朗日中值定理，可知在开区间 $(x_1, x_2)$ 内必定存在一点 $\xi$ ，使得 $f'(\xi) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ 变形得 $f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1)$ 由于假设 $x_1 \< x_2$ , 因子 $(x_2 - x_1)$ 恒为正数. 因而函数值差 $f(x_2) - f(x_1)$ 的符号由 $f'(\xi)$ 的符号决定.

若在 $I$ 内 $f'(x) \> 0$ : 由于 $\xi \in (x_1, x_2) \subset I$ , 所以 $f'(\xi) \> 0$ . 此时 $f(x_2) - f(x_1) = (\text{正数}) \times (\text{正数}) \> 0$ , 即 $f(x_2) \> f(x_1)$ . 根据定义，函数单调递增.
若在 $I$ 内 $f'(x) \< 0$ : 同理，此时 $f'(\xi) \< 0$ . 于是 $f(x_2) - f(x_1) = (\text{负数}) \times (\text{正数}) \< 0$ , 即 $f(x_2) \< f(x_1)$ . 根据定义，函数单调递减.
若在 $I$ 内 $f'(x) = 0$ : 同理，此时 $f'(\xi) = 0$ . 于是 $f(x_2) - f(x_1) = 0$ , 即 $f(x_2) = f(x_1)$ . 由于 $x_1, x_2$ 是任意两点，故函数为常数函数.

由此得到利用导数判断函数单调性的法则.

单调性分析的标准流程与应用

根据上述定理，求单调区间通常按四步进行: 确定定义域; 求导数 $f'(x)$ ; 求分界点, 包括 $f'(x)=0$ 的根和 $f'(x)$ 无定义的点; 列表分析, 比较各子区间上 $f'(x)$ 的符号.

例

求函数 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ 的单调区间.

解

定义域 该函数为多项式函数，定义域为 $(-\infty, +\infty)$ .

求导数 $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$

求解分界点 令 $f'(x)=0$ , 解得 $x=1$ 或 $x=2$ . 这两个驻点将定义域 $(-\infty, +\infty)$ 划分为三个区间.

列表分析

区间	$(-\infty, 1)$	$1$	$(1, 2)$	$2$	$(2, +\infty)$
$f'(x)$ 的符号	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$ 的单调性	$\nearrow$ (增)	极大值	$\searrow$ (减)	极小值	$\nearrow$ (增)

结论函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, 1)$ 和 $(2, +\infty)$ , 单调递减区间为 $(1, 2)$ .

例

求函数 $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ 的单调区间.

解

定义域 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$ .

求导数 利用除法法则：

f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}

求解分界点 由于 $x \in (0, +\infty)$ , 分母 $x^2$ 恒为正，所以 $f'(x)$ 的符号完全由分子 $1-\ln x$ 决定. 令 $f'(x)=0$ , 得 $1-\ln x = 0$ , 解得 $x=e$ .

列表分析

区间	$(0, e)$	$e$	$(e, +\infty)$
$f'(x)$ 的符号	$+$	$0$	$-$
$f(x)$ 的单调性	$\nearrow$ (增)	极大值	$\searrow$ (减)

结论函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0, e)$ , 单调递减区间为 $(e, +\infty)$ .

例

已知函数 $f(x) = x\ln x$ .

讨论函数 $g(x) = f(x) - x + 1$ 的单调性，并证明：对任意 $x\>0$ , 恒有 $x\ln x \ge x - 1$ .
证明：存在唯一的 $x_0 \in (1, e)$ , 使得曲线 $y=x\ln x$ 在点 $x_0$ 处的切线，与连接点 $(1,0)$ 和 $(e,e)$ 的直线平行.

解

解题入口

第 (2) 问要求切线与割线平行，这是在比较两个斜率. 曲线在 $x_0$ 处的切线斜率是 $f'(x_0)$ , 端点割线斜率是 $\frac{f(e)-f(1)}{e-1}$ . 因此问题转化为证明方程 $f'(x_0)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}$ 在 $(1,e)$ 内有唯一解.

(1) 讨论 $g(x)$ 的单调性并证明不等式. 函数 $g(x) = x\ln x - x + 1$ 的定义域为 $(0, +\infty)$ . 对其求导，得： $g'(x) = (\ln x + 1) - 1 = \ln x$ 令 $g'(x) = 0$ , 解得 $x=1$ . 当 $x \in (0, 1)$ 时, $g'(x) = \ln x \< 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递减. 当 $x \in (1, +\infty)$ 时, $g'(x) = \ln x \> 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递增. 因此，函数 $g(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，同时也是全局最小值. 其最小值为 $g(1) = 1\ln 1 - 1 + 1 = 0$ . 由于函数的最小值是 $0$ , 所以对任意 $x\>0$ , 都有 $g(x) \ge 0$ . 即 $x\ln x - x + 1 \ge 0$ , 移项得 $x\ln x \ge x - 1$ .

(2) 证明解的存在性与唯一性. 本问等价于证明方程 $\ln x + 1 = \frac{e}{e-1}$ 在 $(1,e)$ 内有唯一解.

构造辅助函数 $H(x) = \ln x + 1 - \frac{e}{e-1}$ . 目标是证明 $H(x)$ 在 $(1,e)$ 内有唯一零点.

首先证明存在性. 函数 $H(x)$ 在闭区间 $[1,e]$ 上连续. 计算其在区间端点的值: $H(1) = \ln 1 + 1 - \frac{e}{e-1} = \frac{e-1-e}{e-1} = -\frac{1}{e-1} \< 0$ . $H(e) = \ln e + 1 - \frac{e}{e-1} = 2 - \frac{e}{e-1} = \frac{2e-2-e}{e-1} = \frac{e-2}{e-1} \> 0$ . 由于连续函数 $H(x)$ 在区间 $[1,e]$ 的两端异号，根据零点存在性定理，在开区间 $(1,e)$ 内至少存在一个点 $x_0$ , 使得 $H(x_0)=0$ .

接着证明唯一性. 再考察函数 $H(x)$ 在区间 $(1,e)$ 上的单调性. 对其求导，得 $H'(x) = \frac{1}{x}$ . 对于任意 $x \in (1,e)$ , 都有 $H'(x) \> 0$ . 这说明函数 $H(x)$ 在整个区间 $(1,e)$ 上是严格单调递增的. 一个严格单调的函数，其图像与 $x$ 轴最多只有一个交点. 结合已证的存在性，得出结论：函数 $H(x)$ 在 $(1,e)$ 内有且仅有一个零点. 证毕.

切线问题​

古典定义​

割线的极限观点​

切线斜率的严格定义​

本节习题​

导数的概念​

由割线到切线​

导数的定义​

微分的引入​

用定义求导​

基本求导公式的诞生​

来龙去脉​

夹逼定理 *(选读内容)​

乘、除、复合求导法则​

三大运算法则​

三大法则的应用​

先看最外层结构​

几种求导方法*​

取对数求导法​

隐函数求导法​

导数与单调性​

理论基石与判定法则​

单调性分析的标准流程与应用​

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切线问题

古典定义

割线的极限观点

切线斜率的严格定义

本节习题

导数的概念

由割线到切线

导数的定义

微分的引入

用定义求导

基本求导公式的诞生

来龙去脉

夹逼定理 *(选读内容)

乘、除、复合求导法则

三大运算法则

三大法则的应用

先看最外层结构

几种求导方法*

取对数求导法

隐函数求导法

导数与单调性

理论基石与判定法则

单调性分析的标准流程与应用