第13章射影幾何

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{/* label: chap:ch13 */}

源起与观念

{/* label: sec:ch13-s01 */}

欧氏几何以直尺和圆规为基本作图工具.圆规的存在意味着“距离”是其核心概念之一，长度、角度等度量性质构成了整个理论的基础.

一个自然的问题是：若舍弃圆规，只保留作直线的无刻度直尺，几何学将呈现何种面貌？这门几何学仅有两个基本操作：过两点作一直线，以及求两直线之交点.

第二个操作存在一个例外：当两直线平行时，它们没有交点.这个例外破坏了理论的对称性.为消除此例外，射影几何的先驱者从艺术中的透视法获得启发.在透视图中，平行的铁轨在地平线上交于一个“灭点”.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：透视法中，平行的直线在视觉上交于地平线上的灭点.

由此，他们提出一个修正：假设所有平行线都相交于一个理想的点.这个想法被系统化：

对于平面上的每一个方向，所有与该方向平行的直线（构成一个平行线族）都视为交于同一个无穷远点.
所有这些新增的无穷远点的集合，构成一条特殊的直线，称为无穷远直线.

通过为欧氏平面添加这条无穷远直线，我们得到一个新的几何空间.

射影平面

在欧氏平面的基础上，添加由所有无穷远点构成的无穷远直线，所得到的扩充空间称为射影平面.

在射影平面中，关于直线相交的公理变得异常简洁：

任意两个不同的点，唯一确定一条穿过它们的直线.
任意两条不同的直线，唯一确定一个它们的交点.

这种点与直线地位的对称性，被称为对偶原理.

射影几何研究的核心，是在中心投影变换下保持不变的几何性质.中心投影可以设想为一个点光源 $O$ 将一个平面 $\pi_1$ 上的图形投射到另一个平面 $\pi_2$ 上.

\begin{figure}[htbp]

$}{C} 映射为另一个平面上的椭圆 \texorpdfstring{$ \mathcal{C}' $}{C'}.} \end{figure} *图：中心投影将一个平面上的圆 \texorpdfstring{$ \mathcal{C*

在此变换下，长度、角度、平行关系通常都会改变.保持不变的是关联属性，如点的共线性与线的共点性.例如，欧氏几何中性质各异的椭圆、抛物线和双曲线，在射影几何中被视为同一种对象（圆锥曲线）的不同投影.它们的区别仅在于与无穷远直线的位置关系：

椭圆与无穷远直线没有实交点.
抛物线与无穷远直线相切于一点.
双曲线与无穷远直线相交于两点.

为了在此非度量几何中进行定量分析，需要寻找一种在投影变换下保持不变的数值量.这个量不是长度或角度，而是一种仅依赖于四个共线点相对位置的量.

单比与交比

{/* label: sec:ch13-s02 */}

射影几何研究在中心投影变换下保持不变的性质.为进行定量分析，需要寻找一个在此变换下不变的数值量.长度与角度显然不满足此要求.

单比：一个仿射不变量

我们首先考虑一个更简单的量.给定共线三点 $A, B, C$ .

单比

给定共线三点 $A, B, C$ , 点 $C$ 关于基点对 $(A, B)$ 的单比定义为有向线段长度之比：

r(A, B; C) = \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}}

若在直线上建立坐标系，设 $A, B, C$ 的坐标为 $x_A, x_B, x_C$ ，则

r(A, B; C) = \frac{x_C - x_A}{x_C - x_B}

这个值不依赖于坐标系原点或单位长度的选择，是一个仿射不变量.它在平移、旋转、均匀缩放等仿射变换下保持不变.

然而，在中心投影下，单比的值会发生改变.考虑点列 $A, B, C$ 从投影中心 $O$ 投射到另一条直线上, 得到像点 $A', B', C'$ .一般而言, $r(A, B; C) \neq r(A', B'; C')$ .投影过程引入了一种非均匀的尺度变化，破坏了单比的不变性.

交比：一个射影不变量

虽然单个的单比在投影下会改变，但数学家发现，两个单比的比值，在特定构造下，其变化可以相互抵消.这个构造需要四个点.

考虑共线四点 $A, B, C, D$ .我们可以用基点对 $(A, B)$ 定义两个单比： $r(A, B; C)$ 和 $r(A, B; D)$ .它们的比值，即为交比.

交比

给定共线四点 $A, B, C, D$ ，它们的交比定义为两个单比的比：

(A, B; C, D) = \frac{r(A, B; C)}{r(A, B; D)} = \frac{\overrightarrow{AC}/\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{AD}/\overrightarrow{BD}} = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}}

这个定义的内在思想是：以点对 $(A, B)$ 为一个内在的坐标系或“标尺”, 去度量另外两个点 $C$ 和 $D$ 的相对位置. $r(A, B; C)$ 可视为点 $C$ 在此标尺下的“坐标”, $r(A, B; D)$ 可视为点 $D$ 的“坐标”.交比就是这两个“坐标”的比值.

中心投影对单比 $r(A, B; C)$ 和 $r(A, B; D)$ 造成的尺度扭曲是系统性的.当我们计算它们的比值时，这个共同的扭曲因子被精确地消除了.这使得交比从一个仿射不变量，提升为我们所寻求的射影不变量.

为严格证明这一点，需将交比的概念从点列推广到线束.

线束的交比

以点 $O$ 为中心的四条共点直线 $a, b, c, d$ 构成一个线束.其交比 $O(a,b;c,d)$ 定义为任意一条不经过点 $O$ 的截线 $l$ 与线束交点 $A, B, C, D$ 所构成的点列的交比 $(A, B; C, D)$ .

此定义的合理性依赖于交比值不随截线的选择而改变.

交比的射影不变性

一个固定的共点线束的交比是一个不变量，它不依赖于截线的选择.

\begin{figure}[htbp]

{O(a,b,c,d)} 被两条不同截线 \texorpdfstring{ $l$ }{l} 和 \texorpdfstring{ $l'$ }{l'} 所截, 点列交比 \texorpdfstring{ $(A,B;C,D)$ }{(A,B;C,D)} 与 \texorpdfstring{ $(A',B';C',D')$ }{(A',B';C',D')} 相等.} \end{figure} 图：线束 \texorpdfstring{ $O(a,b,c,d)$

证明

设线束中心为 $O$ , 四条直线为 $a, b, c, d$ .截线 $l$ 与之交于 $A, B, C, D$ .我们用三角形面积表示有向线段之比. $\triangle OAC$ 和 $\triangle OBC$ 有共同的高，因此面积比等于底边比：

\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} = \frac{\text{Area}(\triangle OAC)}{\text{Area}(\triangle OBC)}

使用正弦面积公式 $\text{Area}(\triangle OAC) = \frac{1}{2} OA \cdot OC \sin(\angle AOC)$ ，我们得到

\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} = \frac{\frac{1}{2} OA \cdot OC \sin(\angle AOC)}{\frac{1}{2} OB \cdot OC \sin(\angle BOC)} = \frac{OA \cdot \sin(\angle AOC)}{OB \cdot \sin(\angle BOC)}

同理，

\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}} = \frac{OA \cdot \sin(\angle AOD)}{OB \cdot \sin(\angle BOD)}

将两式代入交比定义：

\begin{aligned} (A, B; C, D) &= \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} \div \frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}} &= \left( \frac{OA \cdot \sin(\angle AOC)}{OB \cdot \sin(\angle BOC)} \right) \div \left( \frac{OA \cdot \sin(\angle AOD)}{OB \cdot \sin(\angle BOD)} \right) &= \frac{\sin(\angle AOC) \cdot \sin(\angle BOD)}{\sin(\angle BOC) \cdot \sin(\angle AOD)} \end{aligned}

记直线 $a, c$ 间的夹角为 $\angle(a,c)$ ，则

(A, B; C, D) = \frac{\sin\angle(a,c) \cdot \sin\angle(b,d)}{\sin\angle(b,c) \cdot \sin\angle(a,d)}

此表达式仅与线束的内蕴角度有关，与截线 $l$ 的位置或截点 $A,B,C,D$ 的具体坐标无关.这就证明了交比的射影不变性.

这个不变性是射影几何定量分析的基石.它也揭示了不同几何学之间的层级关系.若点 $D$ 为直线上的无穷远点 $P_\infty$ , 其坐标 $x_D \to \infty$ .

\lim_{x_D \to \infty} \frac{x_D - x_B}{x_D - x_A} = \lim_{x_D \to \infty} \frac{1 - x_B/x_D}{1 - x_A/x_D} = 1

因此，交比退化为单比：

(A, B; C, P_\infty) = \frac{x_C - x_A}{x_C - x_B} = r(A, B; C)

这表明，仿射几何的核心不变量（单比），是射影几何的核心不变量（交比）在其中一个点退化到无穷远时的特殊情况.射影几何是一个更具普遍性的框架.

调和共轭

在交比的所有可能取值中，有一个值因其对称性与几何意义而尤为重要，即 $-1$ .

调和共轭

若共线四点 $A, B, C, D$ 的交比 $(A, B; C, D) = -1$ , 则称该点列为调和点列.此时, 称点对 $(C, D)$ 调和分割点对 $(A, B)$ , 或称 $C$ 和 $D$ 关于 $A$ 和 $B$ 调和共轭.

交比为 $-1$ 的线束相应地被称为调和线束.

调和共轭的定义式 $(A, B; C, D) = -1$ 等价于

\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} = - \frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}}

这个关系式揭示了调和分割的几何内涵：

符号的相反意味着，点 $C$ 和 $D$ 中, 一个必然是线段 $AB$ 的内分点，另一个是外分点.
表达式的绝对值相等，即 $|\overrightarrow{AC}/\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}/\overrightarrow{BD}|$ , 表明这两个点分割线段 $AB$ 的比的大小是相同的.

这种一个在内部、一个在外部，且分割比大小相等的关系，体现了一种几何上的“和谐”.

\begin{figure}[htbp]

{C} 内分线段 \texorpdfstring{ $AB$ }{AB}, 点 \texorpdfstring{ $D$ }{D} 外分线段 \texorpdfstring{ $AB$ }{AB}.} \end{figure} 图：调和点列示意图.点 \texorpdfstring{ $C$

调和共轭的概念将欧氏几何中的一些基本观念统一在射影几何的框架下.考虑一个特殊情况：若 $C$ 是线段 $AB$ 的中点, 其调和共轭点 $D$ 在何处？

若 $C$ 是 $AB$ 的中点, 则 $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{BC}$ , 因此单比 $r(A, B; C) = \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} = -1$ . 代入调和条件 $(A, B; C, D) = \frac{r(A, B; C)}{r(A, B; D)} = -1$ ，得到

\frac{-1}{r(A, B; D)} = -1 \implies r(A, B; D) = 1

即 $\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}} = 1$ , 或 $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$ .对于两个不同的点 $A, B$ , 在欧氏平面内不存在任何有限远处的点 $D$ 能满足此条件.唯一的可能是点 $D$ 位于该直线的无穷远处.

由此我们得到一个重要结论：线段中点的调和共轭点是该直线上的无穷远点.反之，与无穷远点调和共轭的点是线段的中点.

调和点列还满足一个优美的度量关系.

调和点列的度量关系

若点列 $(A, B; C, D)$ 为调和点列，则有向线段的倒数满足如下关系：

\frac{2}{\overrightarrow{AB}} = \frac{1}{\overrightarrow{AC}} + \frac{1}{\overrightarrow{AD}}

其中线段的起点均取为 $A$ .

证明

为方便计算，我们在直线上建立坐标系，并令点 $A$ 为原点, 即 $x_A = 0$ .设 $B, C, D$ 的坐标分别为 $b, c, d$ . 交比的定义式为

(A, B; C, D) = \frac{x_C - x_A}{x_C - x_B} \cdot \frac{x_D - x_B}{x_D - x_A} = -1

代入坐标，得到

\frac{c - 0}{c - b} \cdot \frac{d - b}{d - 0} = -1

c(d - b) = -d(c - b)

展开得 $cd - cb = -cd + db$ .移项整理得

2cd = cb + db = b(c+d)

当 $b, c, d$ 均不为零时, 两边同除以 $bcd$ ，得到

\frac{2}{b} = \frac{c+d}{cd} = \frac{1}{d} + \frac{1}{c}

由于原点在 $A$ , 我们有 $b = \overrightarrow{AB}, c = \overrightarrow{AC}, d = \overrightarrow{AD}$ .代入即得

\frac{2}{\overrightarrow{AB}} = \frac{1}{\overrightarrow{AC}} + \frac{1}{\overrightarrow{AD}}

这个关系表明， $\overrightarrow{AB}$ 的长度是 $\overrightarrow{AC}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 长度的调和平均数.

例

在直线上给定三点 $A, B, C$ , 其坐标分别为 $0, 5, 8$ .求点 $D$ 的坐标, 使得 $(A, B; C, D) = -1$ .

证明

这是一个求解调和共轭点的问题.我们设点 $D$ 的坐标为 $x$ . 根据交比的定义，我们有

(A, B; C, D) = \frac{x_C - x_A}{x_C - x_B} \cdot \frac{x_D - x_B}{x_D - x_A} = -1

将已知的坐标值代入：

\frac{8 - 0}{8 - 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 0} = -1

计算并整理方程：

\frac{8}{3} \cdot \frac{x - 5}{x} = -1

8(x - 5) = -3x

8x - 40 = -3x

11x = 40

x = \frac{40}{11}

因此，点 $D$ 的坐标是 $40/11$ .

回顾这个结果.点 $A, B$ 的坐标为 $0, 5$ .点 $C$ 的坐标为 $8$ , 是外分点.我们求得的点 $D$ 的坐标为 $40/11 \approx 3.64$ , 位于 $A, B$ 之间，是内分点.这与调和分割的几何性质相符.

二次曲线的极点与极线

{/* label: sec:ch13-s03 */}

调和共轭的概念是连接直线几何与二次曲线几何的桥梁.它将揭示二次曲线的一种深刻的内在对称性.

调和分割与定比点差

我们首先回顾调和点列的定义.若点列 $(A, B; P, Q)$ 为调和点列, 其交比为 $-1$ .

(A, B; P, Q) = \frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{BP}} \div \frac{\overrightarrow{AQ}}{\overrightarrow{BQ}} = -1

这意味着

\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{BP}} = - \frac{\overrightarrow{AQ}}{\overrightarrow{BQ}}

这个关系式可以用另一种方式来表述.设存在一个常数 $\lambda$ ，使得

\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB} \text{且} \overrightarrow{AQ} = -\lambda \overrightarrow{QB}

其中 $\overrightarrow{PB} = -\overrightarrow{BP}$ , $\overrightarrow{QB} = -\overrightarrow{BQ}$ .代入后得到

\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{BP}} = -\lambda \text{且} \frac{\overrightarrow{AQ}}{\overrightarrow{BQ}} = \lambda

这两个式子合并，恰好满足交比为 $-1$ 的条件.因此, 调和分割可以用“定比点差”的等价形式来描述：点 $P$ 和 $Q$ 以大小相等、方向相反的比率分割有向线段 $AB$ .

若设 $A, B$ 的坐标分别为 $(x_A, y_A)$ 和 $(x_B, y_B)$ , 则点 $P, Q$ 的坐标可以由定比分点公式表示：

P = \frac{A + \lambda B}{1 + \lambda} = \left( \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}, \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda} \right)

Q = \frac{A - \lambda B}{1 - \lambda} = \left( \frac{x_A - \lambda x_B}{1 - \lambda}, \frac{y_A - \lambda y_B}{1 - \lambda} \right)

这个代数表示为我们研究二次曲线中的相关轨迹提供了工具.

极点与极线的定义与推导

在一条直线上，调和分割给出了四个点之间一种非常刚性的投影不变量：一旦 $(A,B;P,Q)=-1$ 被确定, 点 $Q$ 就由 $A,B,P$ 唯一决定，反之亦然.这是一维情形下“点—点”之间的精细对应关系.

现在我们把视角提升到平面上的二次曲线 $\mathcal{C}$ 上.对于一条经过定点 $P$ 的割线, 它与 $\mathcal{C}$ 相交于 $A,B$ 两点, 我们知道在这条割线上存在唯一一点 $Q$ , 使得 $(A,B;P,Q)$ 成为一个调和点列：在每一条割线上, $P$ 都有一个“调和对点” $Q$ .随着割线绕着 $P$ 旋转, 我们便得到了一大族点 $Q$ .

看上去，点 $Q$ 会在平面中“到处乱跑”, 因为不同的割线给出不同的 $A,B$ , 继而给出看似毫不相关的 $Q$ .然而, 调和分割是一个典型的投影不变量：我们对整幅图形做任何投影变换, $A,B,P,Q$ 的调和性都保持不变.这提示我们：这些 $Q$ 的集合，很可能并不是杂乱无章的，而是蕴含着某种简单而又深刻的几何结构.

于是产生了下面的问题：

**问题：**给定平面上的一个二次曲线 $\mathcal{C}$ 和一个定点 $P$ .从点 $P$ 引出任意一条割线, 与二次曲线 $\mathcal{C}$ 交于 $A,B$ 两点.在这条割线上, 存在唯一的点 $Q$ , 使得点列 $(A,B;P,Q)$ 构成调和点列. 当割线绕着点 $P$ 转动时, 点 $Q$ 的轨迹是什么？

这个问题的答案极其简洁：所有这样的 $Q$ 居然自动排成了一条直线.这条直线只依赖于点 $P$ 和二次曲线 $\mathcal{C}$ , 而与我们选取哪一条割线无关.它把“从 $P$ 出发的一簇割线”上的无穷多个调和对点，凝聚成了一个统一的几何对象——一条直线.

这正是本节要引入的极点与极线的概念.

极点与极线定理

给定二次曲线 $\mathcal{C}$ 和一点 $P$ .所有满足 $(A,B;P,Q)=-1$ 的点 $Q$ 的轨迹是一条直线.这条直线称为 $P$ 关于 $\mathcal{C}$ 的极线, 点 $P$ 称为该极线的极点.

证明

我们以椭圆为例进行证明.设椭圆方程为

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

设极点为 $P(x_0,y_0)$ , 动点为 $Q(x,y)$ .割线与椭圆的交点为 $A(x_A,y_A)$ 和 $B(x_B,y_B)$ .

根据上一节中调和点列的向量（坐标）表示，存在常数 $\lambda$ （ $\lambda \neq \pm 1$ ）, 使得 $P$ 和 $Q$ 在割线上的坐标可以表示为

\begin{aligned} x_0 = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda} & \iff x_A + \lambda x_B = x_0(1+\lambda), y_0 = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda} & \iff y_A + \lambda y_B = y_0(1+\lambda), x = \frac{x_A - \lambda x_B}{1 - \lambda} & \iff x_A - \lambda x_B = x(1-\lambda), y = \frac{y_A - \lambda y_B}{1 - \lambda} & \iff y_A - \lambda y_B = y(1-\lambda). \end{aligned}

因为点 $A$ 和 $B$ 均在椭圆上，它们满足

\begin{aligned} \frac{x_A^2}{a^2} + \frac{y_A^2}{b^2} = 1, \tag{1} \frac{x_B^2}{a^2} + \frac{y_B^2}{b^2} = 1. \tag{2} \end{aligned}

我们的目标是消去与具体割线相关的量（ $x_A, y_A, x_B, y_B, \lambda$ ）, 得到一个只包含 $(x,y)$ 与定点 $(x_0,y_0)$ 的关系式, 从而刻画 $Q$ 的轨迹.

考虑用 $(1)$ 减去 $\lambda^2$ 倍的 $(2)$ ：

\left(\frac{x_A^2}{a^2} + \frac{y_A^2}{b^2}\right) - \lambda^2\left(\frac{x_B^2}{a^2} + \frac{y_B^2}{b^2}\right) = 1 - \lambda^2.

即

\frac{x_A^2 - \lambda^2 x_B^2}{a^2} + \frac{y_A^2 - \lambda^2 y_B^2}{b^2} = 1 - \lambda^2.

利用平方差公式分解：

\frac{(x_A - \lambda x_B)(x_A + \lambda x_B)}{a^2} + \frac{(y_A - \lambda y_B)(y_A + \lambda y_B)}{b^2} = 1 - \lambda^2.

将前面得到的关系

x_A - \lambda x_B = x(1-\lambda), x_A + \lambda x_B = x_0(1+\lambda),

以及 $y$ 的对应式代入，得到

\frac{x(1-\lambda)\cdot x_0(1+\lambda)}{a^2} + \frac{y(1-\lambda)\cdot y_0(1+\lambda)}{b^2} = 1 - \lambda^2.

注意 $(1-\lambda)(1+\lambda) = 1 - \lambda^2$ ，于是

(1 - \lambda^2)\left(\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2}\right) = 1 - \lambda^2.

由于割线与椭圆有两个不同交点， $\lambda\neq\pm1$ , 因此 $1-\lambda^2\neq 0$ ，可约去，得到

\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1.

这是一个关于 $(x,y)$ 的一阶线性方程, 其系数只由椭圆参数 $a,b$ 以及定点 $P(x_0,y_0)$ 决定.这说明, 随着割线转动, 所有满足调和条件的点 $Q$ 都落在这条直线上.因而点 $Q$ 的轨迹是一条直线.对于双曲线和抛物线，完全可以作出类似的推导.

\paragraph{关于“(1) 减去 $\lambda^2$ 倍的 (2) $\,$ ”这一步的思想}

这一步非常重要，有必要回顾一下. 这一步之前，我们已经得到两类信息：

椭圆给出的二次关系：

(1) \frac{x_A^2}{a^2} + \frac{y_A^2}{b^2} = 1, (2) \frac{x_B^2}{a^2} + \frac{y_B^2}{b^2} = 1;

调和分割给出的一次线性关系：

x_A \pm \lambda x_B, y_A \pm \lambda y_B

都能用 $x_0,y_0$ 与 $x,y$ 来表示.

我们的目标是：既利用椭圆的“二次”性质，又利用调和分割给出的“线性”表达，消去 $A,B,\lambda$ , 得到只含 $(x_0,y_0)$ 与 $(x,y)$ 的关系式.

要把二次式和一次式结合起来，最自然的想法是：把 $x_A^2$ 、 $x_B^2$ 这种二次项, 设法改写成 $(x_A\pm \lambda x_B)$ 的乘积形式，因为我们已经知道

x_A \pm \lambda x_B, y_A \pm \lambda y_B

都可以换成有关 $P,Q$ 的表达.一旦把 $x_A^2$ 和 $x_B^2$ 写成这类乘积，就可以直接用那些线性关系代入.

为此，我们希望在计算中出现

x_A^2 - \lambda^2 x_B^2, y_A^2 - \lambda^2 y_B^2

这样的组合，因为它们可以利用平方差公式分解为

x_A^2 - \lambda^2 x_B^2 = (x_A - \lambda x_B)(x_A + \lambda x_B),

y_A^2 - \lambda^2 y_B^2 = (y_A - \lambda y_B)(y_A + \lambda y_B).

这正好把“二次”信息拆成了两个“一次”因子，而这两个因子都已经在前面通过调和分割被表示成了 $x_0,y_0,x,y$ 的线性组合.

于是，**为什么要用 $(1) - \lambda^2 (2)$ ？**原因在于：

如果只用 $(1) - (2)$ , 得到的是 $x_A^2 - x_B^2$ , 分解后会出现 $(x_A \pm x_B)$ , 而我们的线性关系是关于 $x_A \pm \lambda x_B$ 的, 系数对不上, 代入后不会简化成只含 $P,Q$ 的整齐形式.
如果用 $(1) - \lambda (2)$ , 则出现的是 $x_A^2 - \lambda x_B^2$ , 同样无法分解成 $(x_A - \lambda x_B)(x_A + \lambda x_B)$ , 因为系数必须是 $\lambda^2$ 才能匹配平方差公式.
只有选择 $(1) - \lambda^2 (2)$ ，才恰好得到

x_A^2 - \lambda^2 x_B^2, y_A^2 - \lambda^2 y_B^2,

从而既能用平方差分解，又能与我们已有的 $x_A \pm \lambda x_B$ 、 $y_A \pm \lambda y_B$ 直接对应起来.

因此，这一步

(1) - \lambda^2 (2)

是要搭建一个桥梁，一头连着二次曲线的方程（包含 $x_A^2,y_A^2,x_B^2,y_B^2$ ）, 另一头连着调和分割给出的线性组合（ $x_A \pm \lambda x_B$ 等）.通过这座桥, 我们得以把曲线的二次信息与调和的线性信息乘在一起, 最终把 $A,B,\lambda$ 全部消去，凝练成

\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1

这样一个只依赖于 $P$ 和 $Q$ 的线性方程, 也就从解析上证明了：所有这样的 $Q$ 共线.

从整体结构看，这一步是整个消元过程的关键转折点：它把“二次曲线的信息”与“调和共轭的信息”融合在一起，使得极点—极线关系得以从代数上明确地呈现出来.

极线方程

设点 $P$ 的坐标为 $(x_0, y_0)$ .

若二次曲线 $\mathcal{C}$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ，则其极线方程为：

\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1

若二次曲线 $\mathcal{C}$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ，则其极线方程为：

\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1

若二次曲线 $\mathcal{C}$ 为抛物线 $y^2 = 2px$ ，则其极线方程为：

y_0 y = p(x + x_0)

观察极线方程的形式，可以发现一个代数规律.极线方程可以通过对二次曲线方程进行“形式替换”得到：

$x^2 \to x_0 x$
$y^2 \to y_0 y$
$x \to \frac{1}{2}(x + x_0)$
$y \to \frac{1}{2}(y + y_0)$
$xy \to \frac{1}{2}(x_0 y + y_0 x)$

这个过程被称为配极变换或极化.它统一了所有二次曲线的极线方程，并与点 $P$ 位于曲线上时的切线方程在形式上完全一致.

例

过点 $P(1,1)$ 的直线交椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 于 $A,B$ 两点．在线段 $AB$ 上取点 $Q$ ，满足

\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|} = \frac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{QB}|}.

求证：点 $Q$ 在某条定直线上．

证明

先把题目条件翻译成调和点列的语言．

由于 $P$ 在线段 $AB$ 上, $Q$ 在射线 $AB$ 的延长线上（或反之）, 于是 $P,Q$ 一为内分点，一为外分点．又有

\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|} = \frac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{QB}|},

这等价于

\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QB},

其中一边是内分比，另一边是外分比．根据前面对调和分割的刻画（“若 $P$ 内分 $AB$ , $Q$ 外分 $AB$ , 且 $\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AQ}{QB}$ , 则点列 $(A,B;P,Q)$ 为调和点列”），可知

(A,B;P,Q)=-1.

也就是说，题目给出的比例条件正说明 $Q$ 是 $P$ 在割线 $AB$ 上的调和共轭点．

于是，当过 $P(1,1)$ 的直线在平面内转动时, 所有这样的点 $Q$ 正是关于给定椭圆

\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1

的极点 $P$ 所对应的极线上所有点．根据刚刚得到的极点与极线定理, 我们只需写出 $P$ 的极线方程即可确定 $Q$ 的轨迹．

对一般椭圆

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,

上一节已经推导出：点 $P(x_0,y_0)$ 的极线方程为

\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1.

本题中 $a^2=4,b^2=2$ , 极点为 $P(1,1)$ ，代入可得

\frac{1\cdot x}{4} + \frac{1\cdot y}{2} = 1.

两边同乘以 $4$ ，化简为

x + 2y = 4,

即

x + 2y - 4 = 0.

这是一条与割线无关的定直线．因此，无论过 $P(1,1)$ 的直线如何转动, 只要 $Q$ 满足题中的比例条件, 它都必在这条直线 $x+2y-4=0$ 上．

综上，点 $Q$ 的轨迹是一条定直线，其方程为

x + 2y - 4 = 0.

例

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ( $a\>0, b\>0$ ) 过点 $A(4\sqrt{2}, 3)$ ，且焦距为 10.

求 $C$ 的方程.
已知点 $B(4\sqrt{2}, -3)$ , $D(2\sqrt{2}, 0)$ , $E$ 为线段 $AB$ 上一点, 且直线 $DE$ 交 $C$ 于 $G, H$ 两点.证明： $\dfrac{|GD|}{|GE|} = \dfrac{|HD|}{|HE|}$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

证明

(1) 首先确定双曲线的方程. 由焦距为 $10$ 可知 $2c = 10$ , 即 $c=5$ .因此 $c^2 = a^2 + b^2 = 25$ . 点 $A(4\sqrt{2}, 3)$ 在双曲线上，其坐标满足方程：

\frac{(4\sqrt{2})^2}{a^2} - \frac{3^2}{b^2} = 1 \implies \frac{32}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1

我们得到关于 $a^2, b^2$ 的方程组：

\begin{cases} a^2 + b^2 = 25 32b^2 - 9a^2 = a^2 b^2 \end{cases}

将 $b^2 = 25 - a^2$ 代入第二式：

32(25 - a^2) - 9a^2 = a^2(25 - a^2)

800 - 41a^2 = 25a^2 - a^4

a^4 - 66a^2 + 800 = 0

这是一个关于 $a^2$ 的二次方程, 分解因式得 $(a^2 - 16)(a^2 - 50) = 0$ . 解得 $a^2 = 16$ 或 $a^2 = 50$ . 若 $a^2 = 50$ , 则 $b^2 = 25 - 50 = -25$ ，不合题意. 若 $a^2 = 16$ , 则 $b^2 = 25 - 16 = 9$ . 因此，双曲线 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ .

(2) 问题的核心在于证明 $\dfrac{|GD|}{|GE|} = \dfrac{|HD|}{|HE|}$ . 这个条件可以变形为 $\dfrac{|GD|}{|HD|} = \dfrac{|GE|}{|HE|}$ . 注意到点 $D, E, G, H$ 共线.该比例式是点对 $(D, E)$ 调和分割点对 $(G, H)$ 的度量表达形式, 即等价于证明交比 $(G, H; D, E) = -1$ .

这个几何结构——一个定点 $D$ , 一条定直线 $AB$ , 以及一条过 $D$ 的变动割线 $DGH$ 与定直线交于 $E$ ——提示我们考察点 $D$ 与直线 $AB$ 之间的极点极线关系.

我们计算点 $D(2\sqrt{2}, 0)$ 关于双曲线 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的极线方程. 极点为 $(x_0, y_0) = (2\sqrt{2}, 0)$ .应用配极变换：

\frac{x_0 x}{16} - \frac{y_0 y}{9} = 1

代入坐标得：

\frac{2\sqrt{2} \cdot x}{16} - \frac{0 \cdot y}{9} = 1

\frac{\sqrt{2}x}{8} = 1 \implies x = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}

我们确定直线 $AB$ 的方程. 点 $A$ 的坐标为 $(4\sqrt{2}, 3)$ , 点 $B$ 的坐标为 $(4\sqrt{2}, -3)$ . 这是一条垂直于 $x$ 轴的直线, 其方程为 $x = 4\sqrt{2}$ .

由于点 $D$ 的极线方程与直线 $AB$ 的方程完全相同, 我们确认直线 $AB$ 就是点 $D$ 的极线.

根据极点与极线的定义，对于任意一条穿过极点 $D$ 的割线, 若其与双曲线交于 $G, H$ 两点, 与极线交于点 $E$ , 则点列 $(G, H; D, E)$ 必然构成调和点列. 即 $(G, H; D, E) = -1$ .

由交比定义，这意味着：

\frac{\overrightarrow{GD}}{\overrightarrow{HD}} \div \frac{\overrightarrow{GE}}{\overrightarrow{HE}} = -1 \implies \frac{\overrightarrow{GD}}{\overrightarrow{HD}} = - \frac{\overrightarrow{GE}}{\overrightarrow{HE}}

取两边的绝对值，得到：

\frac{|\overrightarrow{GD}|}{|\overrightarrow{HD}|} = \frac{|\overrightarrow{GE}|}{|\overrightarrow{HE}|}

整理后即为所求证的式子：

\frac{|GD|}{|GE|} = \frac{|HD|}{|HE|}

证明完毕.

极点与极线的几何作图

{/* label: sec:ch13-s04 */}

本节探讨仅用直尺完成极点与极线相互构造的方法.核心在于构造调和共轭点.

构造调和共轭点

给定共线三点 $A, B, P$ , 作 $P$ 关于 $A, B$ 的调和共轭点 $Q$ 的方法依赖于完全四边形. 一个完全四边形由平面上任意四条直线（无三线共点）构成，有六个交点（顶点）和三条连接对顶点的对角线.其基本性质是：在任意一条对角线上，其与另外两条对角线的交点，与该线上的两个原始顶点，构成调和点列.

\paragraph{作图步骤}

在平面上任取一点 $S$ , 不在直线 $ABP$ 上.连接 $SA, SP, SB$ .
在直线 $SP$ 上任取一点 $R$ (异于 $S, P$ ).
作直线 $AR$ 交 $SB$ 于 $D$ .作直线 $BR$ 交 $SA$ 于 $C$ .
连接 $C, D$ .直线 $CD$ 与直线 $ABP$ 的交点即为所求的调和共轭点 $Q$ .

\begin{figure}[htbp]

{SCDR} (部分顶点为 \texorpdfstring{ $A,B$ }{A,B}) 构造调和共轭点 \texorpdfstring{ $Q$ }{Q}.} \end{figure} 图：使用完全四边形 \texorpdfstring{ $SCDR$

在此构造中，直线 $AB, SP, CD$ 是完全四边形的三条对角线.根据其性质, 点列 $(A, B; P, Q)$ 是调和点列.

由极点作极线

已知极线是一条直线，只需构造其上两点即可. \paragraph{作图步骤}

从极点 $P$ 引一条割线交二次曲线 $\mathcal{C}$ 于 $A_1, B_1$ .
使用完全四边形法，构造 $P$ 关于 $A_1, B_1$ 的调和共轭点 $Q_1$ .
从 $P$ 引另一条割线交 $\mathcal{C}$ 于 $A_2, B_2$ .
同样构造调和共轭点 $Q_2$ .
连接 $Q_1, Q_2$ 即得所求的极线 $p$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：通过构造两个调和共轭点 $Q_1, Q_2$ 来确定极线 $p$ .

由极线作极点

此作图基于 La Hire 定理.

La Hire 定理

点 $P$ 位于点 $Q$ 关于二次曲线 $\mathcal{C}$ 的极线上, 当且仅当点 $Q$ 位于点 $P$ 关于 $\mathcal{C}$ 的极线上.

\paragraph{作图步骤}

在给定的极线 $p$ 上任取两点 $Q_1, Q_2$ .
作出点 $Q_1$ 的极线 $p_1$ .
作出点 $Q_2$ 的极线 $p_2$ .
根据 La Hire 定理，所求极点 $P$ 必同时在 $p_1$ 和 $p_2$ 上.因此, $p_1$ 和 $p_2$ 的交点即为极点 $P$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 图：取 $p$ 上两点 $Q_1, Q_2$ , 作其极线 $p_1, p_2$ , 交点即为 $p$ 的极点 $P$ .

自极三角形与综合构造

在前文中，我们通过构造两个独立的调和共轭点来确定一条极线.现在，我们介绍一种更具整体性的几何构造方法，它不仅能一次性作出极线，还能揭示一个深刻的对称结构——自极三角形.

此构造的基础是极点与极线之间的互易关系.

由La Hire 定理，我们知道若一个点沿着某条直线移动，则它对应的极线将始终绕着该直线的极点转动. 因此，我们考虑如何仅用直尺构造出点 $P$ 的极线.

\paragraph{极线的几何构造} 给定二次曲线 $\mathcal{C}$ 和外部一点 $P$ .

从点 $P$ 引两条任意的割线, 分别交二次曲线于点 $A, B$ 和 $C, D$ .
连接对角点，作直线 $AD$ 和 $BC$ , 设它们的交点为 $M$ .
连接另外一组对角点，作直线 $AC$ 和 $BD$ , 设它们的交点为 $N$ .
连接 $M, N$ 两点.直线 $MN$ 即为点 $P$ 关于二次曲线 $\mathcal{C}$ 的极线.

{/* latex-label: fig:polar-line-1 */} \begin{figure}[htbp]

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{从点 $P$ 引两条割线交 $\mathcal{C}$ 于 $A,B$ 和 $C,D$}

\end{subfigure}

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{连接对角点 $AD$ 和 $BC$, 交于点 $M$}

\end{subfigure}

\end{figure} 图：极线构造步骤 1-2

{/* latex-label: fig:polar-line-2 */} \begin{figure}[htbp]

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{连接对角点 $AC$ 和 $BD$, 交于点 $N$}

\end{subfigure}

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{连接 $M,N$ 得到点 $P$ 关于 $\mathcal{C}$ 的极线}

\end{subfigure}

\end{figure} 图：极线构造步骤 3-4

这个构造不仅给出了极线，还形成了一个特殊的三角形 $\triangle PMN$ .这个三角形具有完美的对偶性质.

自极三角形

一个三角形，如果它的每一个顶点都是其对边的极点，则称该三角形为关于该二次曲线的自极三角形（或自共轭三角形）.

在上述构造中， $\triangle PMN$ 就是一个自极三角形.我们已经构造出点 $P$ 的极线是 $MN$ .可以证明（利用交比的射影不变性）, 点 $M$ 的极线是直线 $PN$ , 点 $N$ 的极线是直线 $PM$ .

自极三角形模型揭示了极点极线对应关系的内在结构：

点的共线对应线的共点：若取极线 $MN$ 上的任意一点 $Q$ , 根据 La Hire 定理, $Q$ 的极线 $q$ 必然穿过 $MN$ 的极点 $P$ .
切点弦：若极线 $MN$ 与二次曲线 $\mathcal{C}$ 交于两点 $E, F$ , 则 $E, F$ 都在 $P$ 的极线上.根据 La Hire 定理, $P$ 必然在 $E$ 的极线和 $F$ 的极线上.由于 $E, F$ 在曲线上, 它们的极线就是曲线在各自点上的切线.因此, 直线 $PE$ 和 $PF$ 就是从点 $P$ 到该二次曲线的两条切线.

因此，构造自极三角形是解决与极点、极线、切线相关的几何问题的一个有力工具.

例

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ( $a\>b\>0$ ) 的左右焦点分别为 $F_1, F_2$ , 点 $P(1, \frac{3}{2})$ 在 $C$ 上, 且 $PF_2 \perp F_1F_2$ .

求 $C$ 的标准方程.
设 $C$ 的左右顶点分别为 $A, B$ .直线 $l$ 过右焦点 $F_2$ 且不与坐标轴垂直, $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点.直线 $AM$ 与直线 $BN$ 相交于点 $Q$ .证明点 $Q$ 在定直线上.

{/* latex-label: fig:ellipse-polar-example */} \begin{figure}[htbp]

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{问题(1)：点$P$在椭圆上, $PF_2 \perp F_1F_2$}

\end{subfigure}

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{问题(2)：$AM$与$BN$交于定直线$x=4$上的点$Q$}

\end{subfigure}

\end{figure} 图：椭圆极点与极线问题示意图

证明

(1) 确定椭圆的方程. 椭圆的焦点在 $x$ 轴上, 坐标为 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$ . 条件 $PF_2 \perp F_1F_2$ 意味着点 $P$ 与 $F_2$ 的横坐标相同.由于 $P(1, \frac{3}{2})$ , 可得 $c=1$ . 因此 $F_1(-1, 0), F_2(1, 0)$ . 点 $P$ 到左焦点 $F_1$ 的距离为 $|PF_1| = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (\frac{3}{2} - 0)^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \frac{5}{2}$ . 点 $P$ 到右焦点 $F_2$ 的距离为 $|PF_2| = \frac{3}{2}$ . 根据椭圆定义， $2a = |PF_1| + |PF_2| = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4$ , 所以 $a=2$ . 由 $a^2 = b^2 + c^2$ , 得 $b^2 = a^2 - c^2 = 4 - 1 = 3$ . 椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ .

(2) 证明点 $Q$ 在定直线上. 由题意，顶点 $A(-2, 0), B(2, 0)$ .设 $M(x_1, y_1), N(x_2, y_2), Q(x_Q, y_Q)$ . 直线 $l$ 过 $F_2(1, 0)$ , 设其方程为 $y=k(x-1)$ . 联立直线与椭圆方程：

\begin{cases} y=k(x-1) \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases} \implies (3+4k^2)x^2 - 8k^2x + 4k^2 - 12 = 0

$x_1, x_2$ 为此方程的两根，根据韦达定理：

x_1+x_2 = \frac{8k^2}{3+4k^2}, x_1x_2 = \frac{4k^2-12}{3+4k^2}

由 $A, M, Q$ 三点共线, 斜率相等, 得 $\dfrac{y_Q}{x_Q+2} = \dfrac{y_1}{x_1+2}$ (i). 由 $B, N, Q$ 三点共线, 斜率相等, 得 $\dfrac{y_Q}{x_Q-2} = \dfrac{y_2}{x_2-2}$ (ii).

将 (i) 式与 (ii) 式相除，得 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = \dfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}$ . 两边平方，得 $\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \dfrac{y_1^2(x_2-2)^2}{y_2^2(x_1+2)^2}$ .

因为 $M, N$ 在椭圆上, 所以 $y_1^2 = 3(1-\frac{x_1^2}{4}) = \frac{3}{4}(4-x_1^2)$ , $y_2^2 = \frac{3}{4}(4-x_2^2)$ . 代入上式：

\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \frac{\frac{3}{4}(4-x_1^2)(x_2-2)^2}{\frac{3}{4}(4-x_2^2)(x_1+2)^2} = \frac{(2-x_1)(2+x_1)(x_2-2)^2}{(2-x_2)(2+x_2)(x_1+2)^2}

化简得：

\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \frac{(2-x_1)(x_2-2)^2}{(2-x_2)(x_1+2)} = \frac{(2-x_1)(-(2-x_2))^2}{(2-x_2)(x_1+2)} = \frac{(2-x_1)(2-x_2)}{(x_1+2)(x_2+2)}

\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \frac{4 - 2(x_1+x_2) + x_1x_2}{4 + 2(x_1+x_2) + x_1x_2}

将韦达定理的表达式代入：

\begin{aligned} \text{分子} &= 4 - 2\left(\frac{8k^2}{3+4k^2}\right) + \frac{4k^2-12}{3+4k^2} &= \frac{4(3+4k^2) - 16k^2 + 4k^2-12}{3+4k^2} = \frac{12+16k^2 - 12k^2-12}{3+4k^2} = \frac{4k^2}{3+4k^2} \text{分母} &= 4 + 2\left(\frac{8k^2}{3+4k^2}\right) + \frac{4k^2-12}{3+4k^2} &= \frac{4(3+4k^2) + 16k^2 + 4k^2-12}{3+4k^2} = \frac{12+16k^2 + 20k^2-12}{3+4k^2} = \frac{36k^2}{3+4k^2} \end{aligned}

因此，

\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \frac{4k^2/(3+4k^2)}{36k^2/(3+4k^2)} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

解得 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = \dfrac{1}{3}$ 或 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = -\dfrac{1}{3}$ . 若 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = \dfrac{1}{3}$ , 则 $3(x_Q-2) = x_Q+2 \implies 2x_Q = 8 \implies x_Q = 4$ . 若 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = -\dfrac{1}{3}$ , 则 $3(x_Q-2) = -(x_Q+2) \implies 4x_Q = 4 \implies x_Q = 1$ .

从几何图形上看，点 $M, N$ 在直线 $l$ 上, 且 $l$ 经过 $F_2(1,0)$ .当 $l$ 的斜率变化时, $M, N$ 分布在 $F_2$ 两侧.直线 $AM$ 和 $BN$ 的交点 $Q$ 应在椭圆外部, 且在 $B$ 点的右侧, 因此 $x_Q \> 2$ . 所以 $x_Q=1$ 的解不符合题意，舍去.

故 $x_Q=4$ .点 $Q$ 在定直线 $x=4$ 上.

源起与观念​

单比与交比​

单比：一个仿射不变量​

交比：一个射影不变量​

调和共轭​

二次曲线的极点与极线​

调和分割与定比点差​

极点与极线的定义与推导​

极点与极线的几何作图​

构造调和共轭点​

由极点作极线​

由极线作极点​

自极三角形与综合构造​

コメント

源起与观念

单比与交比

单比：一个仿射不变量

交比：一个射影不变量

调和共轭

二次曲线的极点与极线

调和分割与定比点差

极点与极线的定义与推导

极点与极线的几何作图

构造调和共轭点

由极点作极线

由极线作极点

自极三角形与综合构造