第II巻極限と導関数 — 導関数と微分法

:::info 翻訳状況

このローカライズページでは、ナビゲーション、メタデータ、アーカイブ告知を翻訳しています。数式、例、原稿由来の本文は、手動翻訳が未提供の箇所では簡体字中国語の原文を保持しています。

:::

切线问题

在建立起极限的初步概念之后，可以进一步讨论曲线在某一点的切线应如何严格定义.

古典定义

古典几何中，常把“直线与曲线在某点附近只有一个交点”看作切线的判据. 对圆、椭圆等简单曲线，这种说法便于理解.

当曲线更复杂时，这一判据就不够用了. 下面考察函数 $y=x^3$ 在原点 $(0,0)$ 处的切线.

对直线 $y=0$ 而言，当 $x\>0$ 时有 $x^3\>0$ , 当 $x\<0$ 时有 $x^3\<0$ . 曲线在原点附近穿过这条直线，但从图形看, $y=0$ 仍应视为原点处的切线.

还会出现唯一性问题. 对任意斜率为负的直线 $y=mx$ ( $m\<0$ ), 方程 $x^3=mx$ 只有实数解 $x=0$ . 若只按“唯一交点”判断，则所有经过原点且斜率为负的直线都可算作切线，这与切线概念不符.

这说明，用交点个数刻画切线并不充分. 切线反映的是曲线在某一点附近的局部变化趋势，这就需要借助极限.

割线的极限观点

设曲线经过点 $P(x_0, f(x_0))$ . 确定切线只差一个量，即切线的斜率.

斜率公式 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 需要两个不同的点. 因而在点 $P$ 附近另取曲线上一点 $Q(x, f(x))$ . 连接 $P$ 与 $Q$ 所得直线称为割线, 其斜率为 $k_{PQ} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ , 它表示函数在区间 $[x_0, x]$ 上的平均变化率.

当点 $Q$ 沿曲线趋近于点 $P$ 时，割线 $PQ$ 逐步逼近切线. 这一过程可用极限刻画.

*图：当点 $Q$ 沿曲线趋近于点 $P$ 时，割线 $PQ$ 的极限位置即为在点 $P$ 处的切线.*

从几何上看，割线 $PQ$ 在此过程中不断转动. 当 $Q$ 无限接近 $P$ 时，若割线趋于一个确定位置，就把该极限位置的直线定义为点 $P$ 处的切线.

与这一几何极限位置对应的，正是割线斜率的极限值. 因而切线斜率应定义为 $k_{PQ}$ 当 $x \to x_0$ 时的极限.

切线斜率的严格定义

据此可把切线斜率写成严格的极限定义.

切线斜率

曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率 $k_{\text{tan}}$ 定义为：

k_{\text{tan}} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

若令 $x = x_0 + \Delta x$ , 则 $x \to x_0$ 等价于增量 $\Delta x \to 0$ . 定义式可写为等价的形式：

k_{\text{tan}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

若此极限存在，则称曲线在该点处的切线存在.

这个定义把“切线”落到一个可计算的量上：割线斜率的极限. 差商在 $\Delta x=0$ 时会变成 $\frac{0}{0}$ 型表达式，因此要先在 $\Delta x \ne 0$ 时化简，再让 $\Delta x \to 0$ .

再回到 $f(x)=x^3$ 在原点的例子. 连接原点 $(0,0)$ 与曲线上另一点 $(x, x^3)$ 的割线斜率为

k_{\text{割线}} = \frac{x^3 - 0}{x - 0} = x^2 (x \ne 0).

令 $x \to 0$ , 得 $k_{\text{tan}} = \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$ 因此原点处的切线斜率是 $0$ , 切线方程为 $y=0$ . 这个结果唯一，也与图形相符.

从局部看，光滑曲线在一点附近可近似为一条直线，这条直线就是该点的切线. 因而切线可看作曲线在该点附近的线性近似.

例

求曲线 $f(x) = x^2$ 在点 $P(1, 1)$ 处的切线斜率，并写出切线方程.

解

所求切线斜率，是点 $P(1,1)$ 与邻近点 $Q(1+\Delta x, (1+\Delta x)^2)$ 的割线斜率在 $\Delta x \to 0$ 时的极限.

割线 $PQ$ 的斜率为 $k_{PQ} = \frac{(1+\Delta x)^2 - 1}{\Delta x}.$ 先化简分子:

k_{PQ} = \frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2 + \Delta x)}{\Delta x} = 2 + \Delta x (\Delta x \ne 0).

取极限得 $k_{\text{tan}} = \lim_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2$ . 因此，曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为 $2$ .

根据点斜式方程，所求的切线方程为 $y - 1 = 2(x - 1)$ ，即 $y = 2x - 1$ .

同一个极限还会出现在更一般的变化率问题中. 极限 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 既给出切线斜率，也刻画函数在一点处的瞬时变化率. 这一极限称为导数.

本节习题

习题

练习

对函数 $g(x) = \sqrt{x}$ , 用极限定义证明其在点 $P(x_0, \sqrt{x_0})$ ( $x_0 \> 0$ ) 处的切线斜率为 $\dfrac{1

解

2\sqrt{x_0

}$. } { 求所有通过点 $A(1, -3)$ 且与抛物线 $y=x^2$ 相切的直线方程. }

练习

判断函数 $h(x) = |x^2 - 4|$ 在 $x=2$ 处是否有切线. 若有，求出其方程；若无，说明几何与代数原因.

解

求参数 $a$ , 使抛物线 $y=ax^2$ 与对数曲线 $y=\ln x$ 相切.

练习

求常数 $b$ , 使直线 $y=x+b$ 与对数曲线 $y=\ln x$ 相切.

解

求抛物线 $y=x^2-1$ 上的点，使该点处的法线经过原点 $(0,0)$ .

练习

证明：对于任意实数 $x$ , 不等式 $e^x \ge x+1$ 恒成立.

解

在双曲线 $y=1/x$ 的第一象限分支上任取一点. 证明该点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数.

导数的概念

导数用于刻画函数在某一点附近的瞬时变化率. 在几何上，它对应曲线在该点的切线斜率；在物理上，它对应随时间变化的量在某一时刻的瞬时速度.

求瞬时变化率时，已知的是一段区间上的平均变化率. 若直接把区间长度取为 $0$ , 差商 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 便失去意义. 因此需要考察当 $\Delta x \to 0$ 时这个差商是否趋于某个确定值.

从几何观点看，这相当于用割线斜率逼近切线斜率. 牛顿从瞬时速度出发，莱布尼茨从切线问题出发，最终都归结到同一思想：先计算平均变化率，再取极限.

由割线到切线

从割线斜率出发. 设曲线 $y=f(x)$ 上有两点 $P(x_0,f(x_0)), Q(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$ . 连接 $P,Q$ 所得割线的斜率为

k_{\text{割线}} = \frac{\text{纵坐标之差}}{\text{横坐标之差}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

它表示函数在区间 $[x_0,x_0+\Delta x]$ 上的平均变化率.

逼近过程. 当点 $Q$ 沿曲线向点 $P$ 移动时，横坐标增量 $\Delta x$ 逐渐趋于 $0$ .

当 $\Delta x \to 0$ 时，点 $Q$ 逼近点 $P$ , 割线 $PQ$ 也随之逼近点 $P$ 处的切线.

用极限刻画切线斜率. 若割线斜率在 $\Delta x \to 0$ 时趋于某个确定值，就把这个极限看作点 $P$ 处的切线斜率:

k_{\text{切线}} = \lim_{\Delta x \to 0} k_{\text{割线}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

这样，切线斜率问题与瞬时速度问题便统一为同一种极限过程.

导数的定义

平均变化率在自变量增量趋于零时的极限，称为函数在该点的导数.

函数在一点的导数

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的附近有定义. 如果极限

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

存在，就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导. 这个极限值称为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数, 记作 $f'(x_0)$ .

定义中的 $\Delta x$ 先保持非零，差商先有意义，再让 $\Delta x \to 0$ . 因此导数研究的是差商整体的极限. 极限存在时，函数在该点附近有稳定的线性变化趋势.

注

几何意义： $f'(x_0)$ 就是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率.
物理意义： 如果 $s(t)$ 是位移关于时间的函数，那么 $s'(t_0)$ 就是物体在时刻 $t_0$ 的瞬时速度.
一般意义： 导数 $f'(x_0)$ 衡量了函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处变化的快慢程度，是函数的瞬时变化率.

莱布尼茨记号

若把函数写成 $y=f(x)$ ，那么导数也常记为

\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0} \text{或} \frac{df}{dx}(x_0).

这个记号保留了差商的影子. 当 $\Delta x$ 很小时，差商 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 已经很接近导数. 继续沿着这个记号往前走，就会引出微分.

微分的引入

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导. 按照导数的定义，当 $\Delta x \to 0$ 时， $\frac{\Delta y}{\Delta x} \to f'(x_0)$ . 当 $\Delta x \ne 0$ 时，可写成 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha,$ 其中 $\alpha \to 0$ . 两边乘以 $\Delta x$ , 得 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x.$ 第一项与 $\Delta x$ 成正比，是函数增量中的线性部分. 微分就是把这部分单独记下来.

微分

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导. 取自变量的改变量 $dx$ ，定义函数在点 $x_0$ 处的微分 $dy$ 为 $dy = f'(x_0)\,dx.$ 其中， $dx$ 称为自变量的微分， $dy$ 称为因变量的微分.

把 $dx$ 看成刚才的 $\Delta x$ ，上面的关系便可写成 $\Delta y=dy+\alpha\,dx$ . 当 $dx$ 很小时， $dy$ 与实际增量 $\Delta y$ 很接近. $dy$ 记录切线给出的线性变化，曲线偏离切线的差别落在 $\alpha\,dx$ 里.

例

设 $y=x^2$ . 求其在点 $x$ 处的微分，并与实际增量比较.

解

当自变量由 $x$ 变为 $x+dx$ 时， $\Delta y = (x+dx)^2 - x^2 = 2x\,dx + (dx)^2.$ 而函数 $y=x^2$ 的导数为 $y'=2x$ ，因此它的微分为 $dy = y'\,dx = 2x\,dx.$ 所以 $\Delta y = dy + (dx)^2.$ 当 $dx$ 很小时， $(dx)^2$ 比 $dx$ 小得多, $dy=2x\,dx$ 就给出了 $\Delta y$ 的线性近似. 后面讨论切线近似与泰勒展开时，这个式子还会重新出现.

用定义求导

导数的极限定义为

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

它给出了由平均变化率计算瞬时变化率的统一方法.

在尚未建立求导公式之前，可以直接利用定义求一些基本函数的导数. 这既能熟悉导数的来源，也能为后面的求导法则作准备.

求导三步法

根据导数的定义，求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 可分为三步：第一步求增量, 计算当自变量从 $x$ 变为 $x+\Delta x$ 时函数值的增量 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ ；第二步作商, 计算平均变化率 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , 这一步常通过因式分解或有理化把分母中的 $\Delta x$ 约去；第三步取极限, 计算 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , 所得的结果就是导函数 $f'(x)$ .

例

求函数 $f(x) = c$ ( $c$ 为常数) 的导数.

解

常数函数对应一条水平直线，导数应为 $0$ .

求增量 $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x) = c - c = 0$ 作商 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{\Delta x} = 0$ 取极限 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 0 = 0$ 结论： $(c)' = 0$ . 常数函数没有变化，瞬时变化率恒为零.

例

求函数 $f(x) = x^2$ 的导数.

解

$x^2$ 的切线斜率随 $x$ 改变.

\begin{aligned} \text{求增量 } \Delta y &= f(x+\Delta x) - f(x) &= (x+\Delta x)^2 - x^2 &= (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - x^2 &= 2x\Delta x + (\Delta x)^2 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{作商 } \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} &= \frac{\Delta x (2x + \Delta x)}{\Delta x} (\text{关键一步：提取公因式并约分}) &= 2x + \Delta x \end{aligned}

\begin{aligned} \text{取极限} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) &= 2x \end{aligned}

结论： $(x^2)'=2x$ . 这说明抛物线 $y=x^2$ 在任意一点 $x$ 处的切线斜率都等于该点横坐标的两倍. 例如，在 $x=1$ 处斜率为 $2$ , 在 $x=-3$ 处斜率为 $-6$ .

例

求函数 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 的导数.

解

这里需要用到通分.

\begin{aligned} \Delta y &= \frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x} &= \frac{x - (x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)} (\text{通分}) &= \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)} \cdot \frac{1}{\Delta x} &= \frac{-1}{x(x+\Delta x)} \end{aligned}

\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} &= \frac{-1}{x(x+0)} = -\frac{1}{x^2} \end{aligned}

结论： $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ .

以上例子表明，导数定义可以直接用于计算. 但当函数结构稍复杂时，差商化简会迅速变长，逐次使用定义并不经济.

基本求导公式的诞生

来龙去脉

导数定义可以直接用于计算. 但每次都从

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

起步，差商会越写越长. 把这些极限计算整理成可反复调用的公式表.

三角函数、指数函数与对数函数的求导，最后都会追到两个关键极限:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \text{和} \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}.

前一个用于三角函数求导，后一个给出自然常数 $e$ , 进而用于指数函数和对数函数求导. 证明它们之前，先准备一个常用工具：夹逼定理.

夹逼定理的想法很朴素：找到两个容易分析的量，让目标量始终夹在它们之间. 当两侧同时逼近同一个值时，中间量也被迫逼近这个值. 后面证明 $\frac{\sin x}{x}$ 的极限时，正要用到这种比较方法.

夹逼定理 *(选读内容)

引理

如果在点 $x_0$ 的某个去心邻域内，有三个函数 $g(x), f(x), h(x)$ 始终满足 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 并且 $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$ 那么 $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$

证明

任取 $\varepsilon \> 0$ . 由 $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = L$ , 存在 $\delta_1 \> 0$ , 使得当 $0 \< |x - x_0| \< \delta_1$ 时, $|g(x) - L| \< \varepsilon$ , 即 $L - \varepsilon \< g(x) \< L + \varepsilon$ .

由 $\lim\limits_{x \to x_0} h(x) = L$ , 存在 $\delta_2 \> 0$ , 使得当 $0 \< |x - x_0| \< \delta_2$ 时, $|h(x) - L| \< \varepsilon$ , 即 $L - \varepsilon \< h(x) \< L + \varepsilon$ .

由 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内成立，可取 $\delta_3 \> 0$ , 使得当 $0 \< |x - x_0| \< \delta_3$ 时, $g(x) \le f(x) \le h(x)$ .

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \delta_3)$ . 则当 $0 \< |x - x_0| \< \delta$ 时，同时有 $L - \varepsilon \< g(x) \le f(x) \le h(x) \< L + \varepsilon$ , 从而 $|f(x) - L| \< \varepsilon$ .

由极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义，得 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$ .

直观地说，中间函数被两侧函数夹住，两侧同时逼近同一个值，中间函数也随之逼近这个值.

例

证明 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

这个极限通常从单位圆证明. 下面的角 $x$ 用弧度制表示，先讨论 $x\>0$ 的情形.

< S_{\text{扇形 }OAP} < S_{\triangle OAT}$}

由几何图形的面积关系，有

\text{面积}(\triangle OAP) \< \text{面积}(\text{扇形 } OAP) \< \text{面积}(\triangle OAT).

单位圆半径是 $1$ , 所以这三个面积分别是

\begin{aligned} \text{面积}(\triangle OAP) &= \frac{1}{2}\sin x, \text{面积}(\text{扇形 } OAP) &= \frac{1}{2}x, \text{面积}(\triangle OAT) &= \frac{1}{2}\tan x. \end{aligned}

代回去并同乘 $2$ , 得到 $\sin x \< x \< \tan x.$ 现在要把它改写成 $\dfrac{\sin x}{x}$ 的形式. 当 $x \to 0^+$ 时, $\sin x \> 0$ , 所以可以同除以 $\sin x$ :

1 \< \frac{x}{\sin x} \< \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x}.

再取倒数，不等号方向反过来: $\cos x \< \frac{\sin x}{x} \< 1.$ 当 $x \to 0^+$ 时，左右两端都趋于 $1$ , 夹逼定理给出 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1.$ 又因为 $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x},$ 这个函数是偶函数，左极限和右极限相同. 因此得到第一个重要极限

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

第二个重要极限来自复利模型.

设本金是 $1$ 元，年利率是 $100\%$ . 如果一年计息一次，一年后得到 $2$ 元. 如果一年分成 $2$ 次计息，一年后得到 $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2 = 2.25.$ 如果一年分成 $12$ 次计息，一年后得到 $\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613.$ 如果一年分成 $365$ 次计息，一年后得到 $\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.714.$ 计息次数越多，每次加上的利息越小，总次数越多. 这一列数稳定逼近一个极限，它描述连续复利下的本利和. 这个极限记作自然常数 $e$ .

自然常数 $e$

自然常数 $e$ 定义为

e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828...

令 $x = \frac{1}{n}$ , 则当 $n \to \infty$ 时, $x \to 0$ . 这个复利极限就变成了第二个重要极限

\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e

有了这两个极限，就可以从定义推导常用求导公式.

幂函数 $f(x)=x^n$ ( $n$ 为正整数). 先看幂函数. 这里会用到二项式定理

(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n.

\begin{aligned} (x^n)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1}\Delta x + C_n^2 x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots - x^n}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{n x^{n-1}\Delta x + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \left( n x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}\Delta x + \cdots \right) \end{aligned}

最后一行中，第一项 $n x^{n-1}$ 与 $\Delta x$ 无关，后面的每一项都至少带一个 $\Delta x$ 因子. 当 $\Delta x \to 0$ 时，后面的项趋于 $0$ , 只留下首项: $(x^n)' = n x^{n-1}.$ 这个公式后来可以推广到任意实数指数. 例如

(x^2)' = 2x, \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.

三角函数 $f(x)=\sin x$ . 这一步要用到重要极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1,$ 以及和差化积公式

\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right).

推导的关键是把差商里的三角项改写成 $\dfrac{\sin u}{u}$ 的形状，以便调用已知极限.

\begin{aligned} (\sin x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left(\frac{x+\Delta x+x}{2}\right)\sin\left(\frac{x+\Delta x-x}{2}\right)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} \end{aligned}

最后一行已拆成两个因子. 第一个因子在 $\Delta x \to 0$ 时趋于 $\cos x$ , 第二个因子是重要极限的标准形状，其中 $u=\frac{\Delta x}{2}$ . 因此 $(\sin x)' = \cos x.$

同理，利用公式

\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right),

可以得到

\begin{aligned} (\cos x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x+\Delta x) - \cos x}{\Delta x} &= -\lim_{\Delta x \to 0} \sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} &= -\sin x. \end{aligned}

指数函数 $f(x)=a^x$ ( $a\>0,\ a\neq 1$ ). 指数函数的差商里，关键部分是指数增量 $a^{\Delta x}$ . 先把它从整体里提出来:

\begin{aligned} (a^x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^x\left(a^{\Delta x} - 1\right)}{\Delta x} &= a^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \end{aligned}

后面的极限只和底数 $a$ 有关，记作 $\ln a$ : $\ln a = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}.$ 于是得到 $(a^x)' = a^x \ln a.$ 前面的复利极限把 $e$ 选成了最自然的底数. 当 $a=e$ 时, $\ln e = 1$ , 所以 $(e^x)' = e^x.$ $e^x$ 的变化率等于函数值本身，因而在微积分中格外重要.

对数函数 $f(x)=\log_a x$ ( $x\>0,\ a\>0,\ a\neq 1$ ). 对数函数的差商需要先改形. 目标是构造 $(1+t)^{1/t}$ , 以便使用第二个重要极限.

\begin{aligned} (\log_a x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a(x+\Delta x) - \log_a x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \log_a\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \log_a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right) \end{aligned}

令 $t = \frac{\Delta x}{x}$ , 则 $\Delta x = xt$ . 当 $\Delta x \to 0$ 时, $t \to 0$ , 上式变成

\begin{aligned} (\log_a x)' &= \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{\log_a(1+t)}{t} &= \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \log_a\left((1+t)^{\frac{1}{t}}\right) \end{aligned}

这里把 $\dfrac{\log_a(1+t)}{t}$ 改写成 $\log_a\left((1+t)^{1/t}\right)$ , 是为了调用 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e.$ 又因为对数函数连续，所以 $(\log_a x)' = \frac{1}{x} \log_a e = \frac{1}{x \ln a}.$ 当底数取 $e$ 时，立刻得到 $(\ln x)' = \frac{1}{x}.$

把上面的结果整理成表. 其中指数函数和对数函数默认 $a\>0,\ a\neq 1$ , 对数函数还要求 $x\>0$ .

温馨提示

| 函数 | 导数 \

1ex] | | --- | --- | | [-0.5ex] $f(x) = c$ | $f'(x) = 0$ | | [1ex] $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{R}$) | $f'(x) = n x^{n-1}$ | | [1ex] $f(x) = \sin x$ | $f'(x) = \cos x$ | | [1ex] $f(x) = \cos x$ | $f'(x) = -\sin x$ | | [1ex] $f(x) = a^x$ | $f'(x) = a^x \ln a$ | | [1ex] $f(x) = e^x$ | $f'(x) = e^x$ | | [1ex] $f(x) = \log_a x$ | $f'(x) = \dfrac{1}{x \ln a}$ | | [2ex] $f(x) = \ln x$ | $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ | | [1ex] | |

有了公式表，还要学会把这些公式拼起来用. 最先用到的，就是常数倍法则和加减法则.

温馨提示

设函数 $f(x), g(x)$ 均可导, $c$ 为常数，则

常数倍法则 [ [c \cdot f(x)]' = c \cdot f'(x)

2. **加减法则** $[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$

证明（常数倍法则的证明）

令 $h(x) = c \cdot f(x)$ . 直接从导数定义出发:

\begin{aligned} [c \cdot f(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c \cdot f(x+\Delta x) - c \cdot f(x)}{\Delta x} &= c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} &= c \cdot f'(x) \end{aligned}

证明（加减法则的证明）

先证明加法情形. 令 $h(x) = f(x) + g(x)$ , 则

\begin{aligned} [f(x) + g(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)] + [g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} &= f'(x) + g'(x) \end{aligned}

减法情形完全一样.

到这里为止，由基本函数通过加减和数乘拼出来的表达式，已经可以顺着规则直接求导.

例

求多项式函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 1$ 的导数.

解

\begin{aligned} f'(x) &= (2x^3 - 5x^2 + 7x - 1)' &= 2(x^3)' - 5(x^2)' + 7(x)' - (1)' &= 2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x + 7 - 0 &= 6x^2 - 10x + 7 \end{aligned}

多项式求导的做法很固定：逐项求导，最后合并.

例

求函数 $y = 3\sqrt{x} - \dfrac{2}{x^2}$ 的导数.

解

先把根式和分式改写成幂函数: $y = 3x^{1/2} - 2x^{-2}.$ 然后逐项求导:

\begin{aligned} y' &= (3x^{1/2} - 2x^{-2})' &= 3(x^{1/2})' - 2(x^{-2})' &= 3\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right) - 2\left(-2x^{-3}\right) &= \frac{3}{2}x^{-1/2} + 4x^{-3} &= \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{4}{x^3} \end{aligned}

例

求函数 $f(x) = 4\cos x + e^x - \ln 2$ 的导数.

解

$\ln 2$ 是常数，其导数等于 $0$ .

\begin{aligned} f'(x) &= (4\cos x + e^x - \ln 2)' &= 4(\cos x)' + (e^x)' - (\ln 2)' &= 4(-\sin x) + e^x - 0 &= -4\sin x + e^x \end{aligned}

掌握这张公式表以及加减、数乘法则以后，我们已经能处理很多常见函数.

$x^2\sin x$ , $\dfrac{x^2+1}{x}$ , $\sin(2x+1)$ 分别涉及乘积、商和复合. 对应的求导法则如下.

乘、除、复合求导法则

三大运算法则

温馨提示

设函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在点 $x$ 处均可导，则：

乘法法则 $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ 语言描述：两函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
除法法则

\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} (v(x) \neq 0)

语言描述：两函数商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，所得的差再除以分母的平方.

3. 链式法则 设函数 $y=f(u)$ 的自变量 $u$ 本身是另一个关于 $x$ 的函数 $u=g(x)$ , 则复合函数 $y=f(g(x))$ 对 $x$ 的导数为： $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 语言描述：复合函数的导数，等于外层函数对内层函数求导，乘以内层函数对自变量求导.

链式法则的莱布尼茨表示. 莱布尼茨符号便于记忆这一法则.若记 $y=f(u), u=g(x)$ ，则链式法则写作： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 这种写法有助于记忆导数在复合过程中的传递方式.

这些法则均可由导数的极限定义推导出来. 理解证明过程有助于把握导数的来源.

乘法法则的证明. 证明中需要作构造项.

\begin{aligned} [u(x)v(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \Bigl[\frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\,v(x+\Delta x) + u(x)\,\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\Bigr] &= \Bigl(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\Bigr)\,v(x) + u(x)\,\Bigl(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\Bigr) \end{aligned}

由于函数 $v(x)$ 可导则必然连续，所以 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} v(x+\Delta x) = v(x)$ . 其余两项分别是 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 的定义. 因此， $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ 证毕.

除法法则的证明. 证明过程与乘法法则类似，先通分，再作构造项.

\begin{aligned} \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left(\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}\right) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot v(x)v(x+\Delta x)} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x) + u(x)v(x) - u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot v(x)v(x+\Delta x)} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{v(x)v(x+\Delta x)} \Biggl[ \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x) & - u(x) \cdot \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} \Biggr] &= \frac{1}{[v(x)]^2} [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] \end{aligned}

证毕.

链式法则的证明. 链式法则的严格证明需要细分内层函数增量的情形. 这里先掌握计算用法：识别外层和内层，外层求导后乘以内层导数.

三大法则的应用

先看最外层结构

掌握这三个基本法则后，还要根据函数结构选择相应的求导方法.

先识别函数最外层的代数结构. 最外层是两个函数相乘时用乘法法则，相除时用除法法则，一个函数复合另一个函数时用链式法则. 确定最外层结构后，再对内部需要求导的部分重复同样的识别过程，直到化归为基本求导公式.

乘法法则

求函数 $f(x) = x^2 \sin x$ 的导数.

解

结构分析： 函数 $f(x)$ 是 $u(x) = x^2$ 与 $v(x) = \sin x$ 的乘积.因此，首要应用乘法法则.

根据乘法法则 $[uv]' = u'v + uv'$ :

\begin{aligned} f'(x) &= (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' &= (2x) \cdot \sin x + x^2 \cdot (\cos x) &= 2x\sin x + x^2\cos x \end{aligned}

除法法则

求函数 $y = \dfrac{e^x}{x^2+1}$ 的导数.

解

结构分析： 函数 $y$ 是 $u(x) = e^x$ 与 $v(x) = x^2+1$ 的商.应用除法法则.

根据除法法则 $\left[\dfrac{u}{v}\right]' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ :

\begin{aligned} y' &= \frac{(e^x)'(x^2+1) - e^x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} &= \frac{e^x(x^2+1) - e^x(2x)}{(x^2+1)^2} &= \frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2} &= \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2} \end{aligned}

在分子上提取公因式 $e^x$ 使表达式更为清晰，这是一个良好的代数习惯.

链式法则

求函数 $y = \cos(x^3 - 4x)$ 的导数.

解

结构分析： 函数 $y$ 是 $\cos(\cdot)$ 与多项式 $x^3-4x$ 的复合函数，应用链式法则，按由外到内的顺序求导.

外层函数： $y = \cos(u)$
内层函数： $u = x^3 - 4x$
外导： $y$ 对 $u$ 求导, $\dfrac{dy}{du} = (\cos u)' = -\sin u$
内导： $u$ 对 $x$ 求导, $\dfrac{du}{dx} = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$

根据链式法则 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$ :

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= (-\sin u) \cdot (3x^2 - 4) &= -\sin(x^3 - 4x) \cdot (3x^2 - 4) (\text{最后将中间变量 $u$ 换回}) &= -(3x^2 - 4)\sin(x^3 - 4x) \end{aligned}

多层复合

求函数 $f(x) = \ln(\sin(e^{x^2}))$ 的导数.

解

这是多层复合函数，按链式法则由外向内逐层求导.

层次分解 函数可分解为四层：最外层为 $y=\ln(u)$ ，第二层为 $u=\sin(v)$ ，第三层为 $v=e^{w}$ ，最内层为 $w=x^2$ .

逐层求导并应用链式法则 由链式法则 $[f(g(h(k(x))))]' = f' \cdot g' \cdot h' \cdot k'$ , 有

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{\sin(e^{x^2})} \cdot [\sin(e^{x^2})]' &= \frac{1}{\sin(e^{x^2})} \cdot \cos(e^{x^2}) \cdot [e^{x^2}]' (\text{对第二层求导}) &= \frac{\cos(e^{x^2})}{\sin(e^{x^2})} \cdot e^{x^2} \cdot [x^2]' (\text{对第三层求导}) &= \cot(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot (2x) (\text{对最内层求导}) \end{aligned}

整理得 $f'(x) = 2x e^{x^2} \cot(e^{x^2})$ .

例

求函数 $y = x^3 \sqrt{1-x^2}$ 的导数.

解

这是乘积函数. 先用乘法法则，再对根式部分使用链式法则.

由乘法法则 $y' = u'v + uv'$ , 有 $y' = (x^3)' \sqrt{1-x^2} + x^3 (\sqrt{1-x^2})'$ .

第一部分导数很简单： $(x^3)' = 3x^2$ .

第二部分 $(\sqrt{1-x^2})'$ 需要使用链式法则.将根式写为幂函数形式 $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ . 外层函数是 $w^{\frac{1}{2}}$ , 内层函数是 $w=1-x^2$ .

(\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}

将各部分代入乘法法则公式：

\begin{aligned} y' &= 3x^2 \sqrt{1-x^2} + x^3 \left( \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \right) &= 3x^2 \sqrt{1-x^2} - \frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

通分得

\begin{aligned} y' &= \frac{3x^2 (1-x^2) - x^4}{\sqrt{1-x^2}} &= \frac{3x^2 - 3x^4 - x^4}{\sqrt{1-x^2}} &= \frac{3x^2 - 4x^4}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x^2(3-4x^2)}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

例

求函数 $f(x) = \frac{x^2 e^{2x}}{\ln(x^2+1)}$ 的导数.

解

这是商函数. 分子求导用乘法法则，指数项与对数项求导都要用链式法则.

令 $u(x) = x^2 e^{2x}$ , $v(x) = \ln(x^2+1)$ . 先求 $u'(x)$ 与 $v'(x)$ .

求 $u'(x)$ (应用乘法法则):

\begin{aligned} u'(x) &= (x^2)' e^{2x} + x^2 (e^{2x})' &= 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot (e^{2x} \cdot 2) (\text{对 } e^{2x} \text{ 应用链式法则}) &= 2x e^{2x} (1 + x) \end{aligned}

求 $v'(x)$ (应用链式法则), 得 $v'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}$ .

接着，将 $u, v, u', v'$ 代入除法法则 $\left[\dfrac{u}{v}\right]' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ：

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{[2x e^{2x} (1 + x)] \cdot \ln(x^2+1) - (x^2 e^{2x}) \cdot \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)}{[\ln(x^2+1)]^2} &= \frac{2x e^{2x} \left( (1 + x)\ln(x^2+1) - \frac{x^2}{x^2+1} \right)}{[\ln(x^2+1)]^2} \end{aligned}

例

求函数 $g(x) = \left( \ln(x \sin^2 x) \right)^3$ 的导数.

解

这是复合函数与乘积函数的结合，先分清层次，再逐层求导. 函数可分解为四层：最外层是幂函数 $u^3$ ，第二层是自然对数函数 $\ln(v)$ ，第三层是乘积 $v = x \sin^2 x$ ，第四层（内嵌于第三层）是复合函数 $w^2$ , 其中 $w=\sin x$ .

由外到内应用链式法则，有 $g'(x) = 3\left( \ln(x \sin^2 x) \right)^2 \cdot \left( \ln(x \sin^2 x) \right)'$ , 且 $\left( \ln(x \sin^2 x) \right)' = \frac{1}{x \sin^2 x} \cdot (x \sin^2 x)'$ .

对 $(x \sin^2 x)'$ 应用乘法法则：

\begin{aligned} (x \sin^2 x)' &= (x)' \sin^2 x + x (\sin^2 x)' &= 1 \cdot \sin^2 x + x \cdot [2 \sin x \cdot (\sin x)'] (\text{对 } \sin^2 x \text{ 应用链式法则}) &= \sin^2 x + x (2 \sin x \cos x) &= \sin^2 x + x \sin(2x) \end{aligned}

将内层结果逐层代回：

\begin{aligned} g'(x) &= 3\left( \ln(x \sin^2 x) \right)^2 \cdot \frac{1}{x \sin^2 x} \cdot (\sin^2 x + x \sin(2x)) &= \frac{3(\sin^2 x + x \sin(2x))}{x \sin^2 x} \left( \ln(x \sin^2 x) \right)^2 \end{aligned}

例

求函数 $y = (x^2+1)^{\ln x}$ 的导数.

解

底数与指数都含有变量，用对数求导法.

$\ln y = \ln((x^2+1)^{\ln x}) = (\ln x) \cdot \ln(x^2+1)$ .

左边应用链式法则，右边应用乘法法则，得 $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = (\ln x)' \cdot \ln(x^2+1) + (\ln x) \cdot (\ln(x^2+1))'$ .

分别计算右侧各导数： $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ , 且 $(\ln(x^2+1))' = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}$ .

代回方程，得 $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \ln(x^2+1) + (\ln x) \frac{2x}{x^2+1}$ . 将 $y$ 乘到右边，并代入其原始表达式，得 $\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\ln(x^2+1)}{x} + \frac{2x \ln x}{x^2+1} \right) = (x^2+1)^{\ln x} \left( \frac{\ln(x^2+1)}{x} + \frac{2x \ln x}{x^2+1} \right)$ .

例

求函数 $f(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)$ 的导数.

解

先处理对数内部的分式. 对分子作有理化，得

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x} &= \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}-x)}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)} &= \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{(x^2+1) - x^2} &= (\sqrt{x^2+1}-x)^2 \end{aligned}

因此，原函数可以被重写为 $f(x) = \ln\left( (\sqrt{x^2+1}-x)^2 \right) = 2\ln(\sqrt{x^2+1}-x)$ .

再对化简后的函数求导：

\begin{aligned} f'(x) &= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot (\sqrt{x^2+1}-x)' &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x - 1 \right) &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - 1 \right) &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \right) &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \frac{-(\sqrt{x^2+1}-x)}{\sqrt{x^2+1}} &= -\frac{2}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}

直接对原式求导也能得到同一结果，但步骤会明显变长：先用链式法则处理 $\ln u$ , 再对 $u = \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x}$ 使用商法则，还要继续处理两个根式的导数. 本题的关键是先有理化，把复杂分式化成 $2\ln(\sqrt{x^2+1}-x)$ .

这个例子说明：对数内部含有复杂分式时，先化简再求导通常更稳妥.

综合应用

求函数 $y = e^{-x} \ln(x^2)$ 的导数.

解

结构分析： 最外层是 $e^{-x}$ 与 $\ln(x^2)$ 的乘积，先用乘法法则，再分别用链式法则求 $(e^{-x})'$ 与 $(\ln(x^2))'$ .

应用乘法法则，有 $y' = (e^{-x})' \ln(x^2) + e^{-x} (\ln(x^2))'$

分别计算两个需要用链式法则的部分：

求 $(e^{-x})'$ ：外层为 $e^u$ , 内层为 $u=-x$ .导数为 $e^u \cdot u' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$ .
求 $(\ln(x^2))'$ ：外层为 $\ln u$ , 内层为 $u=x^2$ .导数为 $\dfrac{1}{u} \cdot u' = \dfrac{1}{x^2} \cdot 2x = \dfrac{2}{x}$ .

最后，将计算结果代回乘法法则公式：

\begin{aligned} y' &= (-e^{-x}) \cdot \ln(x^2) + e^{-x} \cdot \left(\frac{2}{x}\right) &= e^{-x} \left(\frac{2}{x} - \ln(x^2)\right) \end{aligned}

常见错误

混淆运算法则

乘积求导要用 $[uv]'=u'v+uv'$ . 写成 $u'v'$ 会把乘法法则误当成线性法则.
链式法则遗漏内导

复合函数求导时，外层导数后面还要乘以内层导数. 例如

$(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x).$
复合层次识别不清

对于 $y = \sin^3 x$ , 其结构是 $y = (\sin x)^3$ . 最外层是幂函数 $u^3$ , 内层是三角函数 $u=\sin x$ .

$y' = 3(\sin x)^{3-1} \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cos x.$

对于 $y = \sin(x^3)$ , 最外层是正弦函数 $\sin u$ , 内层是幂函数 $u=x^3$ .

$y' = \cos(x^3) \cdot (x^3)' = 3x^2\cos(x^3).$
先化简，再求导

启动复杂法则前，先检查表达式能否化简. 例如 $y=\ln(e^{2x})$ 可先化为 $2x$ , 再求导.

几种求导方法*

至此，已经建立了基本的求导法则. 但有些关系并不能直接写成 $y=f(x)$ 的形式：

当函数呈现“幂的幂”或多项因子的乘除结构时，例如 $y = \dfrac{\sqrt{x+1}(x-2)^3}{(x+5)^4}$ , 直接使用乘除法与链式法则往往较繁.
当函数关系由方程给出，例如圆的方程 $x^2+y^2=25$ , 需要另行讨论求导方法.

取对数求导法

当函数表达式含有幂指结构，或由多个因子的乘、除、开方构成时，取对数求导法常较为简洁. 它利用对数运算把乘除化为加减，把幂化为乘积.

取对数求导法

对于函数 $y=f(x)$ , 若其表达式由多个因子的积、商或幂指结构 $u(x)^{v(x)}$ 构成，可按下列步骤求导：先在有定义的范围内取 $\ln|y| = \ln|f(x)|$ , 再利用对数性质展开右端，然后两边对 $x$ 求导使左端得到 $\dfrac{y'}{y}$ , 最后解出 $y'$ .

取对数求导法的作用是把“乘除关系”改写成“加减关系”，把“幂”改写成“乘积关系”. 这样做之后，原来难以下手的幂指结构就能转化成熟悉的乘法法则与链式法则. 取 $\ln|y|$ 可以同时覆盖正值与负值情形；使用时，仍要先说明函数在哪个范围内有定义.

例

求幂指函数 $y = x^{\sin x}$ ( $x\>0$ ) 的导数.

解

底数 $x$ 与指数 $\sin x$ 都含有变量，可用对数求导.

在 $x\>0$ 的条件下，两边取自然对数，得 $\ln y = \ln(x^{\sin x}) = \sin x \cdot \ln x$ . 于是幂指关系化为三角函数与对数函数的乘积.

方程两边对 $x$ 求导. 左边用链式法则，右边用乘法法则，得 $\frac{1}{y} \cdot y' = (\sin x)' \ln x + \sin x (\ln x)'$ , 即 $\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$ . 将 $y=x^{\sin x}$ 代回整理，得 $y' = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$ .

例

求函数 $y = \dfrac{\sqrt{x+1}(x-2)^3}{(x+5)^4}$ 的导数.

解

此函数由三个代数式的幂通过乘除构成. 利用对数性质可把运算拆成若干和式.

在函数有定义的区域考察绝对值的对数，利用 $\ln(abc)=\ln a+\ln b+\ln c$ 及 $\ln(a^n)=n\ln a$ 展开:

\begin{aligned} \ln|y| &= \ln \left| \dfrac{(x+1)^{1/2}(x-2)^3}{(x+5)^4} \right| &= \frac{1}{2}\ln|x+1| + 3\ln|x-2| - 4\ln|x+5| \end{aligned}

两边同时对 $x$ 求导. 注意 $\frac{d}{dx}(\ln|u|) = \frac{u'}{u}$ :

\frac{y'}{y} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+5}

最后解出 $y'$ :

y' = \dfrac{\sqrt{x+1}(x-2)^3}{(x+5)^4} \left[ \frac{1}{2(x+1)} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+5} \right]

这样可把原先的多重嵌套运算化为若干简单分式的求和.

隐函数求导法

当 $x$ 和 $y$ 的关系由方程 $F(x,y)=0$ 确定，而没有或较难写成 $y=f(x)$ 的形式时，就称这个关系定义了一个隐函数. 求这类函数的导数时，直接对原方程求导.

隐函数求导法

当方程 $F(x,y)=0$ 在某区域内确定了 $y$ 为 $x$ 的函数时，即使无法显式解出 $y=f(x)$ , 也可以对方程两边关于 $x$ 求导. 具体做法是：将方程中出现的 $y$ 都看作 $x$ 的函数 $y(x)$ , 对含 $y$ 的项按链式法则处理，再从所得的等式中解出 $y'$ . 这个方法的合理性在于：若 $y(x)$ 确实可导，则它满足方程 $F(x,y(x))=0$ , 两边关于 $x$ 求导后自然得到 $y'$ 与 $x,y$ 的关系. 何时方程能确定可导的隐函数，由隐函数定理保证：当 $F$ 连续可微且 $\frac{\partial F}{\partial y}\ne0$ 时，局部存在唯一的可导函数 $y(x)$ .

例

求由圆的方程 $x^2 + y^2 = 25$ 所确定的函数在任意点 $(x,y)$ 的导数 $\dfrac{dy}{dx}$ .

解

对方程两边同时关于 $x$ 求导. $\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25)$ 利用加法法则展开： $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$

对 $x^2$ 求导，得 $2x$ .
对 $y^2$ 求导时，由于 $y$ 是 $x$ 的函数，所以 $y^2$ 是复合函数. 根据链式法则： $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \cdot y'$

将求导结果代回方程： $2x + 2y \cdot y' = 0$ 再把它看作关于 $y'$ 的代数方程来解： $2y \cdot y' = -2x$ $y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$ 因而圆上任意一点 $(x,y)$ 的切线斜率为 $-\frac{x}{y}$ . 例如在点 $(3,4)$ , 切线斜率为 $-\frac{3}{4}$ .

导数与单调性

导数 $f'(x)$ 刻画一点附近的变化趋势. 单调性关心整个区间上的增减. 下面要做的事，是把局部斜率信息转化为区间判断.

理论基石与判定法则

先看函数图像中的转折点. 这些点是单调性可能改变的位置，称为极值点.

函数的极值

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义.

如果对于该邻域内任意异于 $x_0$ 的点 $x$ , 都恒有 $f(x) \< f(x_0)$ , 就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值, 称 $x_0$ 为极大值点.
如果对于该邻域内任意异于 $x_0$ 的点 $x$ , 都恒有 $f(x) \> f(x_0)$ , 就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极小值, 称 $x_0$ 为极小值点.

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.

极值是局部概念，最值是全局概念. 直接由定义寻找极值并不方便. 对光滑曲线而言，峰顶或谷底处的切线通常是水平的，这一事实可由费马引理精确表述.

费马引理

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足以下两个条件：

$f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值；
$f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导；

那么，函数在该点的导数必为零，即 $f'(x_0) = 0$ .

证明

以下以 $f(x_0)$ 为极大值为例. 根据极大值的定义，存在一个以 $x_0$ 为中心的邻域，对于该邻域内任意的 $x$ , 都有 $f(x) \le f(x_0)$ , 即 $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$ .

考察导数 $f'(x_0)$ 的定义式. 当自变量从右侧逼近 ( $\Delta x \to 0^+$ ) 时，分母 $\Delta x \> 0$ , 分子 $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$ . 故比值非正，其极限（即右导数）满足 $f'_+(x_0) \le 0$ . 当自变量从左侧逼近 ( $\Delta x \to 0^-$ ) 时，分母 $\Delta x \< 0$ , 分子非正.故比值非负，其极限（即左导数）满足 $f'_-(x_0) \ge 0$ .

由于函数在 $x_0$ 处可导，其左、右导数必须存在且相等，即 $f'(x_0) = f'_+(x_0) = f'_-(x_0)$ . 联立 $f'(x_0) \le 0$ 与 $f'(x_0) \ge 0$ , 唯一可能的情况便是 $f'(x_0)=0$ .

必要而不充分

费马引理给出极值点的必要条件. 可导函数在极值点处导数必为零，因而寻找极值点时，先考察导数为零的点以及导数不存在的点. 仅有 $f'(x_0)=0$ 还不能推出 $x_0$ 是极值点. 例如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处导数为零，但函数仍保持递增，该点是拐点.

费马引理把单点处的极值性质与导数性质联系起来. 若要进一步讨论区间上的单调性，还需要中值定理. 先从罗尔定理开始.

罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 满足：(1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续；(2)在开区间 $(a,b)$ 内可导；(3)在端点处的函数值相等，即 $f(a) = f(b)$ . 那么，在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使得 $f'(\xi) = 0$ .

证明

根据闭区间上连续函数的最值定理， $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必取得最大值 $M$ 和最小值 $m$ . 若 $M=m$ , 则 $f(x)$ 为常数函数，其导数在 $(a,b)$ 内处处为零，结论成立. 若 $M\>m$ , 由于 $f(a)=f(b)$ , 则 $M$ 与 $m$ 中至少有一个必定在区间的内部某点 $\xi \in (a,b)$ 处取得. 这意味着点 $\xi$ 是一个极值点，且函数在该点可导.根据费马引理，可导函数在极值点处的导数必为零，故 $f'(\xi)=0$ . :::

罗尔定理要求 $f(a)=f(b)$ , 条件较强. 拉格朗日通过构造辅助函数把一般情形化为罗尔定理.

拉格朗日中值定理

如果函数 $f(x)$ 满足：(1)在 $[a,b]$ 上连续；(2)在 $(a,b)$ 内可导. 那么，在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}

证明

构造一个满足罗尔定理条件的辅助函数. 连接端点 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的割线方程为 $y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ . 构造辅助函数 $\varphi(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \right]$ . 此函数 $\varphi(x)$ 代表了曲线 $y=f(x)$ 与其端点割线之间的竖直距离. 直接计算得 $\varphi(a)=0$ 且 $\varphi(b)=0$ , 故 $\varphi(x)$ 满足罗尔定理的全部条件. 因此，存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\varphi'(\xi)=0$ . 对 $\varphi(x)$ 求导得 $\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . 令 $x=\xi$ 并代入 $\varphi'(\xi)=0$ ，移项后即得定理结论. :::

拉格朗日中值定理建立了瞬时变化率 $f'(\xi)$ 与区间平均变化率 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 之间的联系. 利用这一工具，可以严格证明单调性判定法则.

函数单调性的判定法

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 内可导.

如果在 $I$ 内恒有 $f'(x) \> 0$ , 那么函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是单调递增的.
如果在 $I$ 内恒有 $f'(x) \< 0$ , 那么函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是单调递减的.
如果在 $I$ 内恒有 $f'(x) = 0$ , 那么函数 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是一个常数函数.

证明

设 $x_1, x_2$ 是区间 $I$ 内的任意两点，且 $x_1 \< x_2$ . 在闭区间 $[x_1, x_2]$ 上对函数 $f(x)$ 应用拉格朗日中值定理，可知在开区间 $(x_1, x_2)$ 内必定存在一点 $\xi$ ，使得 $f'(\xi) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ 变形得 $f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1)$ 由于假设 $x_1 \< x_2$ , 因子 $(x_2 - x_1)$ 恒为正数. 因而函数值差 $f(x_2) - f(x_1)$ 的符号由 $f'(\xi)$ 的符号决定.

若在 $I$ 内 $f'(x) \> 0$ : 由于 $\xi \in (x_1, x_2) \subset I$ , 所以 $f'(\xi) \> 0$ . 此时 $f(x_2) - f(x_1) = (\text{正数}) \times (\text{正数}) \> 0$ , 即 $f(x_2) \> f(x_1)$ . 根据定义，函数单调递增.
若在 $I$ 内 $f'(x) \< 0$ : 同理，此时 $f'(\xi) \< 0$ . 于是 $f(x_2) - f(x_1) = (\text{负数}) \times (\text{正数}) \< 0$ , 即 $f(x_2) \< f(x_1)$ . 根据定义，函数单调递减.
若在 $I$ 内 $f'(x) = 0$ : 同理，此时 $f'(\xi) = 0$ . 于是 $f(x_2) - f(x_1) = 0$ , 即 $f(x_2) = f(x_1)$ . 由于 $x_1, x_2$ 是任意两点，故函数为常数函数.

由此得到利用导数判断函数单调性的法则.

单调性分析的标准流程与应用

根据上述定理，求单调区间通常按四步进行: 确定定义域; 求导数 $f'(x)$ ; 求分界点, 包括 $f'(x)=0$ 的根和 $f'(x)$ 无定义的点; 列表分析, 比较各子区间上 $f'(x)$ 的符号.

例

求函数 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ 的单调区间.

解

定义域 该函数为多项式函数，定义域为 $(-\infty, +\infty)$ .

求导数 $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$

求解分界点 令 $f'(x)=0$ , 解得 $x=1$ 或 $x=2$ . 这两个驻点将定义域 $(-\infty, +\infty)$ 划分为三个区间.

列表分析

区间	$(-\infty, 1)$	$1$	$(1, 2)$	$2$	$(2, +\infty)$
$f'(x)$ 的符号	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$ 的单调性	$\nearrow$ (增)	极大值	$\searrow$ (减)	极小值	$\nearrow$ (增)

结论函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, 1)$ 和 $(2, +\infty)$ , 单调递减区间为 $(1, 2)$ .

例

求函数 $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ 的单调区间.

解

定义域 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$ .

求导数 利用除法法则：

f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}

求解分界点 由于 $x \in (0, +\infty)$ , 分母 $x^2$ 恒为正，所以 $f'(x)$ 的符号完全由分子 $1-\ln x$ 决定. 令 $f'(x)=0$ , 得 $1-\ln x = 0$ , 解得 $x=e$ .

列表分析

区间	$(0, e)$	$e$	$(e, +\infty)$
$f'(x)$ 的符号	$+$	$0$	$-$
$f(x)$ 的单调性	$\nearrow$ (增)	极大值	$\searrow$ (减)

结论函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0, e)$ , 单调递减区间为 $(e, +\infty)$ .

例

已知函数 $f(x) = x\ln x$ .

讨论函数 $g(x) = f(x) - x + 1$ 的单调性，并证明：对任意 $x\>0$ , 恒有 $x\ln x \ge x - 1$ .
证明：存在唯一的 $x_0 \in (1, e)$ , 使得曲线 $y=x\ln x$ 在点 $x_0$ 处的切线，与连接点 $(1,0)$ 和 $(e,e)$ 的直线平行.

解

解题入口

第 (2) 问要求切线与割线平行，这是在比较两个斜率. 曲线在 $x_0$ 处的切线斜率是 $f'(x_0)$ , 端点割线斜率是 $\frac{f(e)-f(1)}{e-1}$ . 因此问题转化为证明方程 $f'(x_0)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}$ 在 $(1,e)$ 内有唯一解.

(1) 讨论 $g(x)$ 的单调性并证明不等式. 函数 $g(x) = x\ln x - x + 1$ 的定义域为 $(0, +\infty)$ . 对其求导，得： $g'(x) = (\ln x + 1) - 1 = \ln x$ 令 $g'(x) = 0$ , 解得 $x=1$ . 当 $x \in (0, 1)$ 时, $g'(x) = \ln x \< 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递减. 当 $x \in (1, +\infty)$ 时, $g'(x) = \ln x \> 0$ , 函数 $g(x)$ 单调递增. 因此，函数 $g(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，同时也是全局最小值. 其最小值为 $g(1) = 1\ln 1 - 1 + 1 = 0$ . 由于函数的最小值是 $0$ , 所以对任意 $x\>0$ , 都有 $g(x) \ge 0$ . 即 $x\ln x - x + 1 \ge 0$ , 移项得 $x\ln x \ge x - 1$ .

(2) 证明解的存在性与唯一性. 本问等价于证明方程 $\ln x + 1 = \frac{e}{e-1}$ 在 $(1,e)$ 内有唯一解.

构造辅助函数 $H(x) = \ln x + 1 - \frac{e}{e-1}$ . 目标是证明 $H(x)$ 在 $(1,e)$ 内有唯一零点.

首先证明存在性. 函数 $H(x)$ 在闭区间 $[1,e]$ 上连续. 计算其在区间端点的值: $H(1) = \ln 1 + 1 - \frac{e}{e-1} = \frac{e-1-e}{e-1} = -\frac{1}{e-1} \< 0$ . $H(e) = \ln e + 1 - \frac{e}{e-1} = 2 - \frac{e}{e-1} = \frac{2e-2-e}{e-1} = \frac{e-2}{e-1} \> 0$ . 由于连续函数 $H(x)$ 在区间 $[1,e]$ 的两端异号，根据零点存在性定理，在开区间 $(1,e)$ 内至少存在一个点 $x_0$ , 使得 $H(x_0)=0$ .

接着证明唯一性. 再考察函数 $H(x)$ 在区间 $(1,e)$ 上的单调性. 对其求导，得 $H'(x) = \frac{1}{x}$ . 对于任意 $x \in (1,e)$ , 都有 $H'(x) \> 0$ . 这说明函数 $H(x)$ 在整个区间 $(1,e)$ 上是严格单调递增的. 一个严格单调的函数，其图像与 $x$ 轴最多只有一个交点. 结合已证的存在性，得出结论：函数 $H(x)$ 在 $(1,e)$ 内有且仅有一个零点. 证毕.

切线问题​

古典定义​

割线的极限观点​

切线斜率的严格定义​

本节习题​

导数的概念​

由割线到切线​

导数的定义​

微分的引入​

用定义求导​

基本求导公式的诞生​

来龙去脉​

夹逼定理 *(选读内容)​

乘、除、复合求导法则​

三大运算法则​

三大法则的应用​

先看最外层结构​

几种求导方法*​

取对数求导法​

隐函数求导法​

导数与单调性​

理论基石与判定法则​

单调性分析的标准流程与应用​

コメント

切线问题

古典定义

割线的极限观点

切线斜率的严格定义

本节习题

导数的概念

由割线到切线

导数的定义

微分的引入

用定义求导

基本求导公式的诞生

来龙去脉

夹逼定理 *(选读内容)

乘、除、复合求导法则

三大运算法则

三大法则的应用

先看最外层结构

几种求导方法*

取对数求导法

隐函数求导法

导数与单调性

理论基石与判定法则

单调性分析的标准流程与应用