函数方程与抽象函数

{/* label: chap:ch04 */}

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TikZ 图 61

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一个函数通常由其解析式所定义. 然而, 在许多数学情境中, 我们面对的是一个“黑箱”：我们不知道函数的具体形态, 只知道它满足某些特定的代数关系式, 即函数方程.

函数方程是刻画函数代数性质的核心工具. 抽象函数问题通常不直接给出函数的解析表达式, 而是通过一个或多个函数方程来约束其行为. 解决此类问题的过程, 是从抽象的代数关系中提炼出具体的函数性质 (如奇偶性、单调性、周期性), 进而确定其解析形式的逻辑探索.

基本分析方法

{/* label: sec:ch04-s01 */}

在面对形式各异的函数方程时, 存在若干普适性的基本分析策略. 这些方法是后续所有模型化方法的基础, 也是在无法直接套用模型时进行探索的根本工具.

赋值法

赋值法, 或称特殊值代入法, 是求解函数方程最基础、最直接的工具. 其逻辑基石在于, 若一个等式对定义域内任意变量均成立, 则它必然对变量取任何满足条件的特殊值时也成立. 通过审慎地选取能够简化方程结构或揭示函数内在性质的特殊值, 我们可以系统地推导出未知函数的关键信息.

常见的赋值策略包括:

• 引入单位元: 在加法型方程 $f(x+y)$ 中令 $y=0$, 或在乘法型方程 $f(xy)$ 中令 $y=1$, 以探求 $f(0)$ 或 $f(1)$ 的值.
• 引入逆元: 在加法型方程中令 $y=-x$, 或在乘法型方程中令 $y=1/x$, 以探求函数的奇偶性或对称性.
• 变量取等: 令 $y=x$, 可将 $f(x+y)$ 转化为 $f(2x)$, 或将 $f(xy)$ 转化为 $f(x^2)$, 由此得到关于自变量倍数或乘方的函数关系式.

多选题

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$, 对任意 $x,y \in \mathbb{R}$, 均有 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 成立, 且 $f(1)=2$. 则下列说法正确的有：

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}}ll@{}} (A) $f(0)=1$ & (B) $f(x)$ 是偶函数 (C) $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增 & (D) 不等式 $f(x^2-2x) \< f(3)$ 的解集为 $(-1, 3)$ \end{tabular*}

解

此函数方程的性质可通过一系列目标明确的赋值操作来系统地揭示.

在分析具体选项前, 我们先建立函数的一个基本性质：恒正性. 在方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 中, 令 $y=x$, 得到 $f(2x)=[f(x)]^2 \ge 0$. 若存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)=0$, 则对任意 $x \in \mathbb{R}$, 有 $f(x)=f((x-x_0)+x_0) = f(x-x_0)f(x_0) = 0$. 这将导致 $f(x)$ 为零函数, 与已知条件 $f(1)=2$ 相矛盾. 因此, 对任意 $x \in \mathbb{R}$, 均有 $f(x) \neq 0$. 结合 $f(2x) \ge 0$ 可知, 对任意 $x$, $f(x) \ge 0$. 故 $f(x)\>0$.

对于 (A): 为探求 $f(0)$ 的值, 在原方程中令 $y=0$, 得 $f(x)=f(x)f(0)$. 由于 $f(x)$ 恒不为零, 可在等式两边同除以 $f(x)$, 得到 $f(0)=1$. 故 (A) 正确.

对于 (B): 为探究函数的奇偶性, 在原方程中令 $y=-x$, 以引入 $f(-x)$. $f(x-x)=f(x)f(-x)$, 即 $f(0)=f(x)f(-x)$. 代入 $f(0)=1$, 得 $1=f(x)f(-x)$, 即 $f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$. 由于 $f(1)=2$, 则 $f(-1)=1/f(1)=1/2$. 显然 $f(-1) \neq f(1)$ 且 $f(-1) \neq -f(1)$. 因此, $f(x)$ 既非奇函数亦非偶函数. 故 (B) 错误.

对于 (C): 为判断单调性, 设任意 $x_2 \> x_1$. 则 $x_2 - x_1 \> 0$. 我们考察 $f(x_2) = f(x_1 + (x_2 - x_1)) = f(x_1)f(x_2 - x_1)$. 由于 $f(x_1)\>0$, 比较 $f(x_2)$ 与 $f(x_1)$ 的大小, 等价于判断 $f(x_2-x_1)$ 与 $1$ 的关系. 令 $h=x_2-x_1\>0$. 我们需证明当 $h\>0$ 时, $f(h)\>1$. 由 $f(1)=2\>1$ 出发, 可知 $f(1/2)^2 = f(1)=2$, 故 $f(1/2)=\sqrt{2}\>1$. 通过数学归纳法可证, 对任意 $n \in \mathbb{N}^*$, $f(1/2^n) = 2^{1/2^n} \> 1$. 进而对任意正二进有理数 $r = \sum_{k=0}^N \frac{c_k}{2^k}$ ($c_k \in \{0,1\}$), 有 $f(r) = \prod_{k=0}^N f(c_k/2^k) \> 1$. 尽管题目未声明函数连续, 但在通常语境下, 此性质可推广至任意正实数. 故当 $h\>0$ 时, $f(h)\>1$. 因此 $f(x_2) = f(x_1)f(x_2-x_1) \> f(x_1)$. 即 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上为单调递增函数. 故 (C) 正确.

对于 (D): 基于 (C) 所证的单调递增性, 函数不等式 $f(x^2-2x) \< f(3)$ 等价于其自变量的不等式 $x^2-2x \< 3$. 解此一元二次不等式 $x^2-2x-3 \< 0$, 即 $(x+1)(x-3) \< 0$, 解集为 $(-1, 3)$. 故 (D) 正确.

综上所述, 正确的选项为 (A)(C)(D).

换元构造法

当函数方程的形式不规范, 无法直接套用标准模型时, 换元构造法是一种揭示其内在结构的有力工具. 其核心思想在于, 识别出原方程中反复出现的、具有统一结构的“功能模块”, 并将此模块定义为一个新的、更简洁的函数, 从而将一个复杂的非标方程, 转化为一个我们熟知的标准方程.

2023年8月浙江省Z20名校联盟第一次联考第12题

(多选)定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足如下条件：(1) $f(xy) = xf(y)+yf(x)$；(2)当$x\>1$时, $f(x)\>0$. 则下列结论中正确的是

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}}ll@{}} (A) $f(1)=0$ & (B) $f(xy)=f(x)f(y)$ (C) $f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增 & (D) 不等式 $x f\left(x-\frac{3}{2}\right) \ge \left(\frac{3}{2}-x\right)f(x)$ 的解集为$[2,+\infty)$ \end{tabular*}

解

方程 $f(xy)=xf(y)+yf(x)$ 并非任何一种标准模型. 但我们观察到, 等式左边自变量是 $xy$. 这启发我们尝试通过“同除以 $xy$”的操作, 来构造一个“函数值/自变量”形式的新函数, 看能否将其转化为我们熟悉的柯西方程.

在方程 $f(xy)=xf(y)+yf(x)$ 两边同时除以 $xy$. 因为定义域为 $(0, +\infty)$, $x,y$ 均为正数, 除法操作是安全的. <MathBlock raw={"\frac{f(xy)}{xy} = \frac{xf(y)}{xy} + \frac{yf(x)}{xy} \implies \frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x}"} />

此变形清晰地揭示了一个重复出现的结构模块 $\frac{f(z)}{z}$. 我们构造新函数 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$. 上述方程即转化为一个标准的对数型柯西方程: <MathBlock raw={"g(xy) = g(x) + g(y)"} />

在正则性假设下, 其解的模型为 $g(x)=c \ln x$. 因此, 原函数 $f(x)$ 的模型为 $f(x) = x \cdot g(x) = cx \ln x$.

我们利用条件(2)来确定常数 $c$ 的符号：当 $x\>1$ 时, $f(x)\>0$. 即 $cx\ln x \> 0$. 因为当 $x\>1$ 时, $x\>0$ 且 $\ln x \> 0$, 所以必须有 $c\>0$.

我们现在基于模型 $f(x)=cx \ln x$ ($c\>0$) 对各选项进行判断.

• (A) $f(1)=0$: $f(1) = c \cdot 1 \cdot \ln 1 = 0$. 正确.

• (B) $f(xy)=f(x)f(y)$: 即 $cxy\ln(xy) = (cx\ln x)(cy\ln y)$. 显然不成立. 错误.

• (C) $f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增: 求导: $f'(x) = c(\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = c(\ln x + 1)$. 因为 $c\>0$, 当 $x\>1$ 时, $\ln x \> 0$, 故 $f'(x) \> 0$. 函数单调递增. 正确.

• (D) 解不等式: 原不等式为 $x f(x-\frac{3}{2}) - (\frac{3}{2}-x)f(x) \ge 0$. 移项得 $x f(x-\frac{3}{2}) + (x-\frac{3}{2})f(x) \ge 0$. 左侧结构恰好是 $f(x \cdot (x-\frac{3}{2}))$ 的展开形式. 根据条件(1) $f(uv)=uf(v)+vf(u)$, 令 $u=x, v=x-\frac{3}{2}$, 则原不等式等价于 $f(x(x-\frac{3}{2})) \ge 0$.

  要使表达式有意义, 自变量必须大于0, 即 $x\>0$ 且 $x-\frac{3}{2}\>0 \implies x \> \frac{3}{2}$. 代入模型：$c \cdot x(x-\frac{3}{2}) \ln\left(x(x-\frac{3}{2})\right) \ge 0$. 由于 $c\>0$ 且 $x(x-3/2)\>0$, 不等式简化为 $\ln\left(x(x-\frac{3}{2})\right) \ge 0$. 因为对数函数是增函数, 且 $\ln 1=0$, 所以真数必须大于等于1. $x(x-\frac{3}{2}) \ge 1 \implies 2x^2-3x-2 \ge 0 \implies (2x+1)(x-2) \ge 0$. 考虑到定义域 $x \> \frac{3}{2}$, 解得 $x \ge 2$. 正确.

  正确的选项是 (A)(C)(D).

柯西函数方程及其变式

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柯西函数方程是函数方程理论的基石. 其四种标准形式深刻地揭示了基本初等函数的核心代数结构, 并为模型法提供了理论依据.

标准形式与模型法

我们注意到, 基本初等函数的运算性质本身即构成了一类函数方程.

• 线性函数 $f(x)=cx$ 保持了加法结构: $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
• 指数函数 $f(x)=a^x$ 将加法映射为乘法: $f(x+y)=f(x)f(y)$.
• 幂函数 $f(x)=x^k$ 保持了乘法结构: $f(xy)=f(x)f(y)$.
• 对数函数 $f(x)=\log_a x$ 将乘法映射为加法: $f(xy)=f(x)+f(y)$.

这种从具体函数性质到抽象方程的提炼, 构成了模型法识别抽象函数问题的理论基础.

柯西函数方程

在适当的正则性条件 (如连续性、单调性或局部有界性) 下, 以下四类柯西函数方程的实数解具有唯一确定的基本初等函数形式：

\item[加法型] $f(x+y) = f(x)+f(y) \implies f(x)=cx$ \item[指数型] $f(x+y) = f(x)f(y) \implies f(x)=a^x$ (或 $f(x) \equiv 0$) \item[乘法型] $f(xy) = f(x)f(y) \implies f(x)=x^k$ (或 $f(x) \equiv 0, 1$) \item[对数型] $f(xy) = f(x)+f(y) \implies f(x)=\log_a x$ (或 $f(x) \equiv 0$)

证明

以下证明均假设函数 $f(x)$ 在其定义域上连续.

\paragraph{加法型方程} 此为柯西方程的基础形式, 其证明分三步将解从整数域拓展至实数域. 首先, 通过数学归纳法易证, 对任意 $n \in \mathbb{Z}$ 及 $x \in \mathbb{R}$, 均有 $f(nx)=nf(x)$. 其次, 对于任意有理数 $r = p/q$ ($p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^*$), 我们有 $f(p) = pf(1)$ 且 $f(p) = f(q \cdot \frac{p}{q}) = qf(\frac{p}{q})$. 令 $c=f(1)$, 则 $pc = qf(p/q)$, 故 $f(p/q) = (p/q)c$. 这表明对任意有理数 $r \in \mathbb{Q}$, 均有 $f(r)=cr$. 最后, 对于任意实数 $x \in \mathbb{R}$, 存在有理数序列 $\{r_n\}$ 使得 $\lim_{n \to \infty} r_n = x$. 利用函数的连续性, 我们有 <MathBlock raw={"f(x) = f\left(\lim_{n \to \infty} r_n\right) = \lim_{n \to \infty} f(r_n) = \lim_{n \to \infty} (cr_n) = c \left(\lim_{n \to \infty} r_n\right) = cx"} /> 故加法型方程的连续解为 $f(x)=cx$.

\paragraph{其他形式的证明} 其余三种形式的方程, 均可通过适当的变量代换与函数构造, 将其化归为已证的加法型方程.

• 指数型: 若 $f(x)$ 不恒为零, 则 $f(x)\>0$. 构造 $g(x)=\ln f(x)$. $g(x+y) = \ln f(x+y) = \ln(f(x)f(y)) = \ln f(x) + \ln f(y) = g(x)+g(y)$. 故 $g(x)=cx$. 因此 $\ln f(x) = cx \implies f(x) = e^{cx} = (e^c)^x$. 令 $a=e^c$, 则 $f(x)=a^x$.
• 对数型: 定义域为 $(0, +\infty)$. 构造 $g(t)=f(e^t)$. $g(u+v) = f(e^{u+v}) = f(e^u e^v) = f(e^u)+f(e^v) = g(u)+g(v)$. 故 $g(t)=ct$. 令 $t=\ln x$, 则 $f(x) = c \ln x = \log_{e^{1/c}} x$. 令 $a=e^{1/c}$, 则 $f(x)=\log_a x$.
• 乘法型: 定义域为 $(0, +\infty)$. 构造 $g(t)=\ln f(e^t)$. $g(u+v) = \ln f(e^{u+v}) = \ln(f(e^u)f(e^v)) = \ln f(e^u)+\ln f(e^v) = g(u)+g(v)$. 故 $g(t)=ct$. 因此 $\ln f(e^t) = ct \implies f(e^t) = e^{ct} = (e^t)^c$. 令 $x=e^t$, 则 $f(x)=x^c$.

代数变式

对标准的柯西方程进行代数上的平移或调整, 可以衍生出一系列新的函数方程模型.

平移变式

柯西方程平移变式

若连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y) = f(x)+f(y)+\lambda$ (其中 $\lambda$ 为常数), 则其函数形式为 $f(x) = cx - \lambda$, 其中 $c$ 为待定常数.

证明

为消除常数项 $\lambda$, 我们构造一个新函数 $g(x)=f(x)+\lambda$. 考察 $g(x+y)$: <MathBlock raw={"\begin{aligned} g(x+y) &= f(x+y)+\lambda = (f(x)+f(y)+\lambda) + \lambda &= (f(x)+\lambda) + (f(y)+\lambda) = g(x)+g(y) \end{aligned}"} /> 函数 $g(x)$ 满足标准的加法型柯西方程, 故其连续解必为 $g(x)=cx$. 将 $f(x)$ 代回, 得 $f(x)+\lambda=cx$, 即 $f(x)=cx-\lambda$.

2024年3月安徽省安庆市二模第9题

(多选)已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$, 满足对任意的实数 $x,y$, 均有 $f(x+y)=f(x)+f(y)-1$, 且当 $x\>0$ 时, $f(x)\<1$，则：

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}}ll@{}} (A) $f(0)=1$ & (B) $f(1)+f(-1)=1$ (C) $f(x)$ 为减函数 & (D) 函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(0,1)$ 对称 \end{tabular*}

解

该函数方程是 $\lambda=-1$ 的平移变式. 我们的解题策略是, 首先通过赋值法严谨推导函数的普适性质，然后利用这些性质对所有选项进行判断.

对于 (A): 在方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)-1$ 中, 令 $x=y=0$, 得到 $f(0)=f(0)+f(0)-1$, 解得 $f(0)=1$. 故 (A) 正确.

对于 (D) 与 (B): 为探究函数的对称性，在方程中令 $y=-x$. $f(x-x) = f(x)+f(-x)-1$, 即 $f(0) = f(x)+f(-x)-1$. 代入 $f(0)=1$, 得 $1 = f(x)+f(-x)-1$, 整理得 $f(x)+f(-x)=2$. 此关系式正是函数图像关于点 $(0,1)$ 中心对称的数学表述. 故 (D) 正确. 在该对称关系式中令 $x=1$, 可得 $f(1)+f(-1)=2$. 故 (B) 错误.

对于 (C): 为判断单调性，任取 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ 且 $x_2 \> x_1$. 令 $\Delta x = x_2 - x_1 \> 0$. 考察 $f(x_2)-f(x_1) = f(x_1+\Delta x) - f(x_1)$. 根据原方程，有 $f(x_1+\Delta x) = f(x_1)+f(\Delta x)-1$. 因此，$f(x_2)-f(x_1) = f(\Delta x)-1$. 由题设，当自变量大于 $0$ 时, 函数值小于 $1$. 因为 $\Delta x \> 0$, 所以 $f(\Delta x) \< 1$. 这意味着 $f(\Delta x)-1 \< 0$. 故 $f(x_2)-f(x_1) \< 0$, 即 $f(x_2) \< f(x_1)$. 根据定义，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是减函数. 故 (C) 正确.

正确的选项是 (A)(C)(D).

尺度变式

带尺度因子的乘法型方程模型

若函数 $f(xy) = \lambda f(x)f(y)$ (其中 $\lambda \neq 0$), 其非平凡正则解的模型为 $f(x) = \frac{1}{\lambda}x^\alpha$.

证明

我们采用构造法. 定义新函数 $g(x) = \lambda f(x)$. 考察 $g(xy)$: <MathBlock raw={"\begin{aligned} g(xy) &= \lambda f(xy) = \lambda (\lambda f(x)f(y)) &= (\lambda f(x))(\lambda f(y)) = g(x)g(y) \end{aligned}"} /> 函数 $g(x)$ 满足标准的柯西乘法型方程, 故其正则解为 $g(x)=x^\alpha$. 将 $f(x)$ 代回, 得 $\lambda f(x) = x^\alpha$, 解得 $f(x) = \frac{1}{\lambda}x^\alpha$.

例

(多选)已知定义在 $(0, +\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足对任意 $x,y \in (0, +\infty)$, 均有 $f(xy)=2f(x)f(y)$, 且 $f(2)=4$. 则下列说法正确的有：

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}}ll@{}} (A) $f(1)=\frac{1}{2}$ & (B) $f(x)$ 是奇函数 (C) $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增 & (D) $f(\frac{x}{2}) = \frac{f(x)}{8}$ \end{tabular*}

解

该函数方程符合 $f(xy) = \lambda f(x)f(y)$ 的结构，其解应为带系数的幂函数. 我们的策略是直接应用模型，确定函数的唯一解析式，然后对各选项进行检验.

根据定理，我们识别出参数 $\lambda=2$. 因此，函数模型可设为 $f(x) = \frac{1}{\lambda}x^\alpha = \frac{1}{2}x^\alpha$.

利用题设条件 $f(2)=4$ 来确定指数 $\alpha$ 的值. $f(2) = \frac{1}{2}(2)^\alpha = 4$, 即 $2^\alpha = 8$, 解得 $\alpha=3$.

故满足所有条件的函数是唯一的，其解析式为 $f(x)=\frac{1}{2}x^3$.

• 对于 (A): 计算 $f(1) = \frac{1}{2}(1)^3 = \frac{1}{2}$. 故(A)正确.

• 对于 (B): 函数的定义域为 $(0, +\infty)$，不关于原点对称，因此无法讨论奇偶性. 故(B)错误.

• 对于 (C): 求其导数 $f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^3) = \frac{3}{2}x^2$. 在定义域 $(0, +\infty)$ 上, $f'(x)\>0$. 因此, 函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递增. 故(C)正确.

• 对于 (D): 计算方程两端. 左端：$f(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^3 = \frac{x^3}{16}$. 右端：$\frac{f(x)}{8} = \frac{\frac{1}{2}x^3}{8} = \frac{x^3}{16}$. 左右两端相等. 故(D)正确.

  正确的选项是 (A)(C)(D).

二次及高次多项式模型

{/* label: sec:ch04-s03 */}

当函数方程的结构超越了线性范畴, 引入了二次交叉项或呈现出特定的差分规律时, 其解的形态自然地导向了二次或更高次的多项式模型.

二次函数型方程

二次函数型方程模型

若函数 $f(x)$ 满足方程 $f(x+y) = f(x)+f(y)+\mu xy+\lambda$ (其中 $\mu, \lambda$ 为常数), 则其二次多项式解的形式为 $f(x) = \frac{\mu}{2}x^2 + bx - \lambda$, 其中 $b$ 为待定系数.

证明

设 $f(x) = ax^2+bx+c$. 计算其加法增量 $f(x+y)-f(x)-f(y)$: <MathBlock raw={"\begin{aligned} f(x+y) - f(x) - f(y) &= \left[ a(x+y)^2 + b(x+y) + c \right] - \left[ ax^2+bx+c \right] - \left[ ay^2+by+c \right] &= a(x^2+2xy+y^2) - ax^2 - ay^2 + b(x+y) - bx - by - c &= 2axy - c \end{aligned}"} /> 比较此结果与方程 $f(x+y)-f(x)-f(y) = \mu xy + \lambda$, 可得 $2a=\mu$ 且 $-c=\lambda$. 由此解得 $a=\mu/2, c=-\lambda$. 系数 $b$ 不受约束.

例

(多选)已知函数 $f(x)$ 满足对任意 $x,y \in \mathbb{R}$, 均有 $f(x+y) = f(x)+f(y)+4xy-3$, 且 $f(1)=6$. 则下列说法正确的有：

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}}ll@{}} (A) $f(0)=3$ & (B) $f(x)$ 为偶函数 (C) 函数 $y=f(x)$ 图像的对称轴为 $x = -\frac{1}{4}$ & (D) 函数 $f(x)$ 的最小值为 $\frac{23}{8}$ \end{tabular*}

解

该函数方程符合二次函数型方程模型. 我们的策略是直接应用模型确定函数的解析式.

根据定理，我们识别出参数 $\mu=4$ 和 $\lambda=-3$. 因此，函数模型可设为 $f(x) = \frac{4}{2}x^2 + bx - (-3) = 2x^2+bx+3$.

利用题设条件 $f(1)=6$ 来确定待定系数 $b$. $f(1) = 2(1)^2 + b(1) + 3 = 5+b$. 令 $5+b=6$, 解得 $b=1$.

故函数的解析式为 $f(x)=2x^2+x+3$.

• 对于 (A): 计算 $f(0) = 3$. 故(A)正确.

• 对于 (B): 考察 $f(-x) = 2(-x)^2+(-x)+3 = 2x^2-x+3 \neq f(x)$. 该函数不是偶函数. 故(B)错误.

• 对于 (C): 二次函数 $f(x)=2x^2+x+3$ 的对称轴为 $x = -\frac{1}{2(2)} = -\frac{1}{4}$. 故(C)正确.

• 对于 (D): 函数的最小值在其顶点处取得, 即当 $x = -1/4$ 时. $f\left(-\frac{1}{4}\right) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4} + 3 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{24}{8} = \frac{23}{8}$. 故(D)正确.

  正确的选项是 (A)(C)(D).

差分法与多项式阶数

差分算子是离散数学中类比于微分的核心工具. 定义一阶前向差分算子 $\Delta$ 为 $\Delta f(x) = f(x+1)-f(x)$. 该算子作用于多项式时, 会使其阶数降低一. 对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$, 其一阶差分为 $\Delta f(x) = 2ax+(a+b)$, 是一个一次多项式. 其二阶差分 $\Delta^2 f(x) = \Delta(\Delta f(x)) = f(x+2)-2f(x+1)+f(x) = 2a$, 是一个常数. 反之, 若一个函数的高阶差分为常数, 则该函数必为多项式.

2023年12月苏州市部分高中高三上联考第12题

(多选)定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 同时满足：

\item[\textnormal{I.}] $f(x+1)-f(x)=2x+2, \forall x\in\mathbb{R}$； \item[\textnormal{II.}] 当$x \in [0,1]$时, $|f(x)|\le 1$.

则下列说法正确的有：

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}}ll@{}} (A) $f(0)=-1$ & (B) $f(x)$ 为偶函数 (C) 存在 $n\in\mathbb{N}^*$, 使得 $f(n)\>2023n$ & (D) 对任意 $x\in\mathbb{R}$, $|f(x)|\<x^2+|x|+3$ \end{tabular*}

解

条件I表明函数 $f(x)$ 的一阶差分是一个一次多项式, 这蕴含了 $f(x)$ 本身是一个二次多项式. 我们的求解策略是：首先, 利用待定系数法确定 $f(x)$ 的二次项和一次项；其次，利用条件II确定常数项.

设 $f(x) = ax^2+bx+c$. 计算其一阶差分： <MathBlock raw={"f(x+1)-f(x) = [a(x+1)^2+b(x+1)+c] - [ax^2+bx+c] = 2ax + (a+b)"} /> 根据条件I, 我们有恒等式 $2ax + (a+b) \equiv 2x+2$. 比较系数，得 $2a = 2, a+b = 2$, 解得 $a=1, b=1$. 因此，函数形式必为 $f(x)=x^2+x+c$.

接着，利用条件II. 对任意 $x \in [0,1]$, 不等式 $|f(x)| \le 1$ 恒成立, 即 $-1 \le x^2+x+c \le 1$. 令 $h(x)=x^2+x$. 函数 $h(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增, 值域为 $[0, 2]$. 因此，当 $x \in [0,1]$ 时, $f(x)=h(x)+c$ 的值域为 $[c, c+2]$. 为使此区间包含于 $[-1,1]$ 内, 必须满足 $c \ge -1$ 且 $c+2 \le 1$, 唯一解为 $c=-1$.

综上，唯一的解析表达式为 $f(x)=x^2+x-1$.

• 对于 (A): $f(0) = -1$. 正确.

• 对于 (B): $f(x)$ 的对称轴为 $x=-1/2$. 不是偶函数. 错误.

• 对于 (C): 判断 $f(n)\>2023n$ 是否有正整数解. 该条件等价于 $n^2+n-1 \> 2023n$, 即 $n^2-2022n-1 \> 0$. 这是一个开口向上的二次函数, 当 $n$ 足够大时函数值必为正. 正确.

• 对于 (D): 判断 $|f(x)| \< x^2+|x|+3$ 是否恒成立. 根据三角不等式, $|x^2+x-1| \le |x^2| + |x| + |-1| = x^2+|x|+1$. 由于 $1 \< 3$, 显然有 $x^2+|x|+1 \< x^2+|x|+3$. 因此， $|f(x)| \le x^2+|x|+1 \< x^2+|x|+3$. 恒成立. 正确.

  正确的选项是 (A)(C)(D).

三角与双曲函数模型

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某些函数方程的结构与三角函数或双曲函数的和差角公式紧密相关. 其中最著名的一类是达朗贝尔方程.

达朗贝尔方程

双曲函数

双曲正弦函数 ($\sinh$) 和双曲余弦函数 ($\cosh$) 定义为: <MathBlock raw={"\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}"} />

$\sinh x$ 是奇函数, $\cosh x$ 是偶函数. 它们满足恒等式 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

达朗贝尔方程的正则解

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ 且二次连续可微, 若满足 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$, 则其非平凡解的模型为 $f(x) = \cos(\omega x)$ 或 $f(x) = \cosh(\omega x)$, 其中 $\omega$ 为常数.

证明

将原方程对 $y$ 求偏导数两次. 第一次求导：$f'(x+y) - f'(x-y) = 2f(x)f'(y)$. 令 $y=0$, 得 $0=2f(x)f'(0)$. 若 $f(x)$ 不恒为零, 则必有 $f'(0)=0$.

第二次求导：$f''(x+y) + f''(x-y) = 2f(x)f''(y)$. 令 $y=0$, 得 $2f''(x) = 2f(x)f''(0)$, 即 $f''(x) = k f(x)$, 其中 $k=f''(0)$.

这是一个二阶常系数齐次线性微分方程. 根据 $k$ 的符号分类讨论. 若 $k\<0$, 令 $k=-\omega^2$, 通解为 $A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)$. 利用初始条件 $f(0)=1, f'(0)=0$ 可得解为 $f(x)=\cos(\omega x)$. 若 $k\>0$, 令 $k=\omega^2$, 通解为 $Ae^{\omega x}+Be^{-\omega x}$. 利用初始条件可得解为 $f(x)=\cosh(\omega x)$. 若 $k=0$, 解为常数函数 $f(x)=1$.

2024届重庆第八中学高三月考卷五

(多选)定义域为 $\mathbb{R}$ 的连续函数 $f(x)$, 对任意 $x,y \in \mathbb{R}$, 有 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$, 且 $f(x)$ 不恒为0，则下列说法正确的是

(A) $f(x)$为偶函数

(B) $f(x)+f(0)\ge 0$

(C) 若$f(1)=0$, 则 $\sum\limits_{i=1}^{2024} f(i)=4048$

(D) 若0为 $f(x)$ 的极小值点, 则 $f(x)$ 的最小值为1

解

该函数方程为达朗贝尔方程. 对于连续函数，其非平凡解模型为 $f(x)=\cos(\omega x)$ 或 $f(x)=\cosh(\omega x)$. 通过赋值法易证 $f(0)=1$.

对于 (A): 两个模型均为偶函数. 故 (A) 正确.

对于 (B): 已知 $f(0)=1$. 对于模型 $f(x)=\cos(\omega x)$, $f(x)+f(0)=\cos(\omega x)+1 \ge 0$. 对于模型 $f(x)=\cosh(\omega x)$, $f(x)+f(0)=\cosh(\omega x)+1 \ge 2 \> 0$. 故 (B) 正确.

对于 (C): 附加条件为 $f(1)=0$. 由于 $\cosh(\omega x) \ge 1$, 模型必为 $f(x)=\cos(\omega x)$. 由 $f(1)=\cos(\omega)=0$, 可取 $\omega = \frac{\pi}{2}$, 模型为 $f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$. 该函数周期为 $T=4$. 一个周期内的整数点函数值之和为 $\cos(\pi/2)+\cos(\pi)+\cos(3\pi/2)+\cos(2\pi) = 0-1+0+1=0$. 由于 $2024$ 是 $4$ 的倍数, 和为 $0$. 故 (C) 错误.

对于 (D): 附加条件“0为 $f(x)$ 的极小值点”. 对于模型 $f(x)=\cos(\omega x)$, $f(0)=1$ 是其极大值. 对于模型 $f(x)=\cosh(\omega x)$, $f(0)=1$ 是其全局最小值. 因此，该条件唯一确定了模型为 $f(x)=\cosh(\omega x)$. 其最小值为 $f(0)=1$. 故 (D) 正确.

正确的选项为 (A)(B)(D).

正切函数模型

正切函数模型

若可微函数 $f(x)$ 满足方程 $f(x+y) = \frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$, 则其正则解模型为 $f(x) = \tan(\omega x)$.

证明

令 $x=y=0$, 得 $f(0)=0$. 将原方程对 $y$ 求偏导数, 再令 $y=0$, 可得微分方程 $f'(x) = f'(0)(1+[f(x)]^2)$. 这是一个一阶可分离变量的微分方程. 令 $y=f(x)$ 及常数 $\omega=f'(0)$, 方程为 $\frac{dy}{dx} = \omega(1+y^2)$. 分离变量积分得 $\arctan(y) = \omega x + C$. 利用初始条件 $f(0)=0$ 可得 $C=0$. 故 $f(x) = \tan(\omega x)$.

2024年1月浙江省宁波市慈溪期末第6题

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$, 且 $f(x+y)f(x)f(y) = f(x+y)-f(x)-f(y)$. 若 $f(1)=\sqrt{3}$, 则 $\sum\limits_{k=1}^{2024} f(k) =$

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}}llll@{}} (A) $2024$ & (B) $1012\sqrt{3}$ & (C) $\sqrt{3}$ & (D) $0$ \end{tabular*}

解

首先，对给定的函数方程进行代数变形以识别其结构. $f(x)+f(y) = f(x+y)[1-f(x)f(y)]$. 假设 $1-f(x)f(y) \neq 0$, 则 $f(x+y) = \frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$. 此方程与正切函数的和角公式完全吻合.

我们构造其模型为 $f(x) = \tan(\omega x)$. 利用已知条件 $f(1)=\sqrt{3}$ 来确定参数 $\omega$. $\tan(\omega) = \sqrt{3}$. 可取 $\omega = \frac{\pi}{3}$. 因此，我们得到函数的具体模型为 $f(x) = \tan\left(\frac{\pi}{3}x\right)$.

该函数的最小正周期为 $T = \frac{\pi}{\pi/3} = 3$. 计算一个周期内的函数值之和： $f(1)+f(2)+f(3) = \tan(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{2\pi}{3}) + \tan(\pi) = \sqrt{3} - \sqrt{3} + 0 = 0$.

所求和式的项数为 $2024$. $2024 = 3 \times 674 + 2$. <MathBlock raw={"\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{2024} f(k) &= 674 \times (f(1)+f(2)+f(3)) + f(2023) + f(2024) &= 0 + f(1) + f(2) = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0. \end{aligned}"} />

最终答案是 $0$, 选择(D).