极坐标与参数方程

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自笛卡尔奠定解析几何的基石以来，用代数方程描述几何图形便成为数学的核心思想之一. 方程 $f(x,y)=0$ 定义了平面上所有满足特定约束条件的点的集合. 这种观点在刻画固定的几何形态，如直线与圆锥曲线时，非常强力.

然而，数学的发展，特别是微积分的诞生，要求我们不仅要能描述“是什么”，更要能刻画“如何形成”. 早在古希腊时期，数学家们就已经通过动态的、运动学的方法来构造曲线，例如阿基米德螺线和尼科米德斯蚌线. 这些曲线的定义本身就蕴含了一种“生成”的过程，而非一个静态的约束. 当牛顿与莱布尼茨试图用数学语言描述行星的运行、抛射物的轨迹时，笛卡尔坐标的内在局限性便显现出来：它难以表达“时间”这一关键变量. 一个运动的质点，其位置坐标 $(x,y)$ 并非相互约束, 而是共同受控于一个更根本的独立变量——时间 $t$.

为了捕捉这种动态的生成过程，一种新的描述方式应运而生，这便是参数方程. 其核心思想是将点的坐标 $x$ 和 $y$ 分别视为某个第三方“参数” $t$ 的函数, 即 $x=f(t), y=g(t)$. 这种方法将曲线视为一个点随参数 $t$ 变化而连续描绘出的轨迹，完美地契合了物理学中的运动学描述. 它不仅为曲线赋予了方向、速度等动态属性，更在处理复杂曲线的构造和分析时提供了极大的便利.

与此同时，数学家们也注意到，笛卡尔坐标系的网格结构并非在所有情境下都是最优选择. 对于那些具有旋转对称性或与某个中心点密切相关的几何图形，如花瓣曲线、心形线以及开普勒定律所描述的行星轨道，使用 $(x,y)$ 坐标进行描述往往会导致方程异常繁琐.

十七世纪的数学家博纳文图拉·卡瓦列里以及后来的雅各布·伯努利等人发现，通过一个点到原点的距离 $r$ 和该点与原点连线相对于基准方向的夹角 $\theta$ 来确定点的位置，是一种更为自然和简洁的方式. 这一思想最终发展成为极坐标系.

本章将作为解析几何的扩展与深化，系统地介绍参数方程与极坐标这两种强大的数学工具. 我们将首先探索参数方程的理念，学习如何利用它来描述曲线的生成，并掌握其与普通方程的互化技巧. 随后，我们将进入极坐标的世界，建立极坐标与直角坐标的联系，并研究在极坐标下如何优雅地表达和分析那些具有中心对称性的曲线. 这两种工具的引入，将极大地丰富我们观察、描述和解决几何问题的视角与能力.

参数方程

参数方程的引入

在物理学中，一个质点在平面上的运动轨迹，其位置坐标 $(x,y)$ 都是时间 $t$ 的函数. <MathBlock raw={"\begin{cases} x = f(t) y = g(t) \end{cases}"} /> 这里，时间 $t$ 如同一个独立的控制变量, 随着它的变化, 点 $(x,y)$ 在坐标平面上描绘出一条轨迹. 我们将这种思想从物理情境中抽象出来，形成参数方程的一般概念.

参数方程

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 $x, y$ 都是某个独立变量 $t$ 的函数： <MathBlock raw={"\begin{cases} x = f(t) y = g(t) \end{cases}"} /> 并且对于 $t$ 在某个允许的取值范围（定义域 $I$）内的每一个值, 由上述方程组所确定的点 $(x,y)$ 都在这条曲线上, 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程, 联系变量 $x, y$ 的变量 $t$ 叫做参变数，简称参数.

参数方程的本质是一种“降维”思想. 它将二维平面上的点的两个坐标变量 $(x,y)$ 之间的内在约束关系, 转化为两个独立的、关于同一个一维参数 $t$ 的函数关系. 这使得我们可以分别研究 $x$ 和 $y$ 随参数变化的规律，从而更深刻地理解曲线的动态生成过程.

\paragraph{参数方程与普通方程的互化} 参数方程与普通方程是描述同一曲线的两种不同形式，它们之间可以相互转化.

• 由参数方程化为普通方程：核心是消去参数. 通过代数变形，从方程组中消去参数 $t$, 得到一个只含 $x, y$ 的关系式. 消参的方法多种多样，包括代入消元法、加减消元法、利用三角恒等式等.
• 由普通方程化为参数方程：核心是选取参数. 选择一个合适的变量作为参数，将 $x, y$ 表示为该参数的函数. 参数的选取是灵活的，不同的选取方式会得到形式不同的参数方程. 通常我们会选择具有明确几何或物理意义的量作为参数，如时间、角度、斜率等.

需要特别注意的是，在消去参数的过程中，可能会扩大或缩小变量 $x, y$ 的取值范围. 因此, 在得到普通方程后, 必须根据参数方程中参数的取值范围, 来确定 $x, y$ 的真实取值范围.

直线

将下列参数方程化为普通方程，并说明其轨迹. <MathBlock raw={"\begin{cases} x = 2t - 1 y = 3t + 2 \end{cases} (t \text{为参数})"} />

解

此方程组是关于参数 $t$ 的线性方程, 我们可以通过代入消元法来消去参数 $t$.

由第一个方程 $x = 2t - 1$, 我们可以解出 $t$ 关于 $x$ 的表达式： <MathBlock raw={"2t = x+1 \implies t = \frac{x+1}{2}"} />

将此表达式代入第二个方程 $y = 3t + 2$ 中： <MathBlock raw={"y = 3\left(\frac{x+1}{2}\right) + 2"} />

整理此方程，以得到标准的直线方程形式： <MathBlock raw={"2y = 3(x+1) + 4"} /> <MathBlock raw={"2y = 3x + 3 + 4"} /> <MathBlock raw={"3x - 2y + 7 = 0"} />

由于参数 $t$ 的取值范围是全体实数 $\mathbb{R}$, $x$ 和 $y$ 的取值范围也都是全体实数. 因此，该参数方程表示的是一条完整的直线，其普通方程为 $3x - 2y + 7 = 0$.

抛物线

将参数方程 <MathBlock raw={"\begin{cases} x = 2t y = t^2 - 1 \end{cases} (t \text{为参数})"} /> 化为普通方程，并指出其轨迹.

解

我们依然采用代入消元法.

由 $x=2t$, 解得 $t=\frac{x}{2}$.

将其代入 $y=t^2-1$: <MathBlock raw={"y = \left(\frac{x}{2}\right)^2 - 1"} />

整理得到普通方程： <MathBlock raw={"y = \frac{1}{4}x^2 - 1"} />

此时，我们必须考察变量的取值范围. 参数 $t$ 可取任意实数, 因此 $x=2t$ 也可以取任意实数. 然而，对于 $y$ 坐标, 由于 $t^2 \ge 0$, 我们有： <MathBlock raw={"y = t^2 - 1 \ge -1"} />

因此，该参数方程所表示的轨迹是抛物线 $y = \frac{1}{4}x^2 - 1$ 的一部分, 其中 $y \ge -1$. 这恰好是整条抛物线，其顶点为 $(0,-1)$, 开口向上.

圆

指出由参数方程 <MathBlock raw={"\begin{cases} x = 5\cos\theta y = 5\sin\theta \end{cases} (\theta \in [0, 2\pi))"} /> 所表示的曲线.

解

此参数方程涉及三角函数，直接的代数消元较为困难. 我们应利用三角函数的基本恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 来消去参数 $\theta$.

由参数方程可得： <MathBlock raw={"\cos\theta = \frac{x}{5}, \sin\theta = \frac{y}{5}"} />

将这两个表达式代入恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$: <MathBlock raw={"\left(\frac{x}{5}\right)^2 + \left(\frac{y}{5}\right)^2 = 1"} />

整理得到普通方程： <MathBlock raw={"x^2 + y^2 = 25"} />

由于参数 $\theta$ 的取值范围是 $[0, 2\pi)$, $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 均可取遍 $[-1,1]$ 内的所有值. 因此，$x=5\cos\theta$ 的取值范围是 $[-5,5]$, $y=5\sin\theta$ 的取值范围也是 $[-5,5]$. 这与所得的圆的方程的定义域和值域完全吻合.

该参数方程表示的是以原点为圆心，半径为 $5$ 的圆. 参数 $\theta$ 在此具有明确的几何意义：它是从原点指向点 $(x,y)$ 的射线与 $x$ 轴正半轴的夹角. 随着 $\theta$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$, 点 $(x,y)$ 从 $(5,0)$ 出发，沿逆时针方向在圆上运动一周.

常见曲线的参数方程

虽然任何曲线的普通方程原则上都可以转化为参数方程，但在实践中，某些特定的参数化形式因其简洁的代数结构和深刻的几何或物理内涵而被广泛应用.掌握这些标准形式是利用参数方程解决问题的基础.

\paragraph{圆的参数方程} 考虑以原点为圆心，半径为 $R$ 的圆, 其普通方程为 $x^2+y^2=R^2$. 为建立其参数方程，我们寻找一个能够唯一描述圆上点位置的单一变量.最自然的选择是极角，即从原点到圆上一点 $P(x,y)$ 的射线 $OP$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角, 记为 $\theta$.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 304

{P} 的坐标由半径 \texorpdfstring{$R$}{R} 和极角 \texorpdfstring{$\theta$}{theta} 确定.} \end{figure} 图：点 \texorpdfstring{$P$

根据三角函数的定义，在以 $OP$ 为斜边的直角三角形中，我们有： <MathBlock raw={"x = R\cos\theta, y = R\sin\theta"} /> 这就构成了圆的参数方程. 随着参数 $\theta$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$, 点 $P$ 沿逆时针方向在圆上运动一周. <MathBlock raw={"\begin{cases} x = R\cos\theta y = R\sin\theta \end{cases} (\theta \in [0, 2\pi) \text{ 为参数})"} /> 若圆心平移至 $(x_0, y_0)$, 其普通方程为 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$. 其参数方程相应地平移为： <MathBlock raw={"\begin{cases} x = x_0 + R\cos\theta y = y_0 + R\sin\theta \end{cases} (\theta \in [0, 2\pi) \text{ 为参数})"} />

三角形重心的轨迹

已知定点 $A(2,0)$ 和 $B(4,0)$, 动点 $P$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上运动. 求 $\triangle ABP$ 的重心 $G$ 的轨迹方程.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 305

{Triangle ABP} 的重心 \texorpdfstring{$G$}{G} 的轨迹.} \end{figure} 图：\texorpdfstring{$\triangle ABP$

解

本题的核心是建立重心坐标与动点 $P$ 坐标之间的关系. 使用参数方程可以优雅地描述动点 $P$ 的位置.

设动点 $P$ 的坐标为 $(\cos\theta, \sin\theta)$, 其中 $\theta \in [0, 2\pi)$ 为参数. 设重心 $G$ 的坐标为 $(x,y)$.

根据三角形重心坐标公式，我们有： <MathBlock raw={"x = \frac{x_A + x_B + x_P}{3} = \frac{2+4+\cos\theta}{3} = \frac{6+\cos\theta}{3}"} /> <MathBlock raw={"y = \frac{y_A + y_B + y_P}{3} = \frac{0+0+\sin\theta}{3} = \frac{\sin\theta}{3}"} />

这就得到了重心 $G$ 轨迹的参数方程： <MathBlock raw={"\begin{cases} x = \frac{6+\cos\theta}{3} y = \frac{\sin\theta}{3} \end{cases} (\theta \text{为参数})"} />

为求其普通方程，我们需消去参数 $\theta$. 从上述方程组中解出 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$: <MathBlock raw={"3x = 6 + \cos\theta \implies \cos\theta = 3x - 6"} /> <MathBlock raw={"3y = \sin\theta \implies \sin\theta = 3y"} />

代入三角恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$: <MathBlock raw={"(3x-6)^2 + (3y)^2 = 1"} />

整理得到轨迹的普通方程： <MathBlock raw={"9(x-2)^2 + 9y^2 = 1"} /> <MathBlock raw={"(x-2)^2 + y^2 = \frac{1}{9}"} />

此方程表示一个以点 $(2,0)$ 为圆心, 半径为 $\frac{1}{3}$ 的圆.

最值问题

求圆 $x^2+y^2=4$ 上的点到直线 $3x+4y-25=0$ 的距离的最大值与最小值.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 306

\end{figure} 图：圆上点到直线距离的最值.

解

法一：几何法. 圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l: 3x+4y-25=0$ 的距离为： <MathBlock raw={"d = \frac{|3(0)+4(0)-25|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{25}{5} = 5"} /> 圆的半径 $R=2$. 圆上的点到直线的最大距离为 $d_{max} = d+R = 5+2=7$. 圆上的点到直线的最小距离为 $d_{min} = d-R = 5-2=3$.

法二：参数方程法. 此方法虽在计算上可能比几何法繁琐，但它是一种普适的代数方法，能处理更一般的情况.

设圆上任意一点 $P$ 的坐标为 $(2\cos\theta, 2\sin\theta)$, 其中 $\theta \in [0, 2\pi)$. 点 $P$ 到直线 $3x+4y-25=0$ 的距离 $d(\theta)$ 为： <MathBlock raw={"d(\theta) = \frac{|3(2\cos\theta) + 4(2\sin\theta) - 25|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|6\cos\theta + 8\sin\theta - 25|}{5}"} />

为求此表达式的最值，我们对三角函数部分使用辅助角公式： <MathBlock raw={"6\cos\theta + 8\sin\theta = 10\left(\frac{3}{5}\cos\theta + \frac{4}{5}\sin\theta\right)"} /> 令 $\cos\varphi = \frac{3}{5}, \sin\varphi = \frac{4}{5}$, 则上式变为： <MathBlock raw={"10(\cos\varphi\cos\theta + \sin\varphi\sin\theta) = 10\cos(\theta-\varphi)"} />

代入距离公式： <MathBlock raw={"d(\theta) = \frac{|10\cos(\theta-\varphi) - 25|}{5}"} />

由于 $\cos(\theta-\varphi)$ 的取值范围是 $[-1, 1]$, $10\cos(\theta-\varphi)-25$ 的取值范围是 $[10(-1)-25, 10(1)-25] = [-35, -15]$. 这是一个恒为负值的区间.

因此，$|10\cos(\theta-\varphi) - 25| = -(10\cos(\theta-\varphi) - 25) = 25 - 10\cos(\theta-\varphi)$. 该表达式的最大值在 $\cos(\theta-\varphi)=-1$ 时取到, 为 $25-10(-1)=35$. 该表达式的最小值在 $\cos(\theta-\varphi)=1$ 时取到, 为 $25-10(1)=15$.

所以，距离 $d(\theta)$ 的最大值为 $\frac{35}{5}=7$, 最小值为 $\frac{15}{5}=3$. 此结果与几何法完全吻合.

轨迹问题

已知圆 $O: x^2+y^2=R^2$. 定点 $A, B$ 在圆 $O$ 上且关于 $x$ 轴对称. 动点 $P$ 是圆 $O$ 上的任意一点. 求 $\triangle ABP$ 的垂心 $H$ 的轨迹.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 307

{H} 的轨迹.} \end{figure} 图：垂心 \texorpdfstring{$H$

解

本题是求解动点轨迹的经典问题. 若使用纯坐标法，需要联立两条高线的方程，计算量巨大. 而结合向量法与参数方程，则能获得极为简洁的解法.

设点 $A(x_0, y_0)$, 由于 $A, B$ 关于 $x$ 轴对称, 则 $B(x_0, -y_0)$. 由于圆 $O$ 是 $\triangle ABP$ 的外接圆，且其圆心在原点，我们可以利用关于垂心的一个重要向量性质： 若三角形的外心为 $O$, 则其垂心 $H$ 满足向量关系 <MathBlock raw={"\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OP}"} />

设垂心 $H$ 的坐标为 $(x,y)$, 则 $\vec{OH}=(x,y)$. $\vec{OA}=(x_0, y_0)$, $\vec{OB}=(x_0, -y_0)$.

动点 $P$ 在圆上, 其坐标最适合用参数方程表示：$P(R\cos\theta, R\sin\theta)$, 故 $\vec{OP}=(R\cos\theta, R\sin\theta)$.

将各向量代入垂心性质的向量式中： <MathBlock raw={"(x,y) = (x_0, y_0) + (x_0, -y_0) + (R\cos\theta, R\sin\theta)"} /> <MathBlock raw={"(x,y) = (2x_0 + R\cos\theta, R\sin\theta)"} />

这直接给出了垂心 $H$ 轨迹的参数方程： <MathBlock raw={"\begin{cases} x = 2x_0 + R\cos\theta y = R\sin\theta \end{cases} (\theta \text{为参数})"} />

为求其普通方程，消去参数 $\theta$: <MathBlock raw={"\cos\theta = \frac{x-2x_0}{R}, \sin\theta = \frac{y}{R}"} />

代入 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$: <MathBlock raw={"\left(\frac{x-2x_0}{R}\right)^2 + \left(\frac{y}{R}\right)^2 = 1"} />

整理得： <MathBlock raw={"(x-2x_0)^2 + y^2 = R^2"} />

此方程表示一个圆心为 $(2x_0, 0)$, 半径为 $R$ 的圆. 该轨迹圆与原圆 $O$ 全等, 其圆心是向量 $\vec{OA}+\vec{OB}$ 的终点.

\paragraph{椭圆的参数方程} 考虑标准椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. 受圆的参数方程启发，我们尝试令 <MathBlock raw={"\frac{x}{a} = \cos\theta, \frac{y}{b} = \sin\theta"} /> 这样自然满足 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$. 由此得到椭圆的标准参数方程： <MathBlock raw={"\begin{cases} x = a\cos\theta y = b\sin\theta \end{cases} (\theta \in [0, 2\pi) \text{ 为参数})"} /> 值得注意的是，这里的参数 $\theta$ 不是点 $(x,y)$ 的极角. 它具有一个特殊的几何意义，称为偏心角. 偏心角的几何构造如下：作椭圆的辅助圆（即以长轴为直径的圆 $x^2+y^2=a^2$）. 对于椭圆上任意一点 $P(x,y)$, 过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线, 交辅助圆于点 $Q$. 连接 $OQ$. 射线 $OQ$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角即为点 $P$ 的偏心角 $\theta$.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 308

{theta} 的几何意义.} \end{figure} 图：椭圆的偏心角 \texorpdfstring{$\theta$

例

已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$. 对于 $\Gamma$ 上的任意两点 $P, Q$, 我们定义一种运算 $\oplus$'' 如下： 过定点 $S(1, \frac{3}{2})$ 作直线 $l$ 平行于直线 $PQ$. (规定当 $P=Q$ 时, 直线 $PQ$ 为 $\Gamma$ 在点 $P$ 处的切线). 若 $l$ 与 $\Gamma$ 有异于 $S$ 的交点 $T$, 则 $P \oplus Q = T$; 否则 $P \oplus Q = S$. 已知运算 $\oplus$'' 满足交换律与结合律. 记 $P_n = \underbrace{P \oplus P \oplus \cdots \oplus P}_{n \text{个}}$.

1. 若 $P(2,0), Q(-1, -\frac{3}{2})$, 求 $P \oplus Q$, $P_2$ 以及 $P_{2025}$.
2. 对于 $\Gamma$ 上的四点 $P(2\cos2\theta, \sqrt{3}\sin2\theta)$, $Q(2\cos2\varphi, \sqrt{3}\sin2\varphi)$, $M(2\cos2\alpha, \sqrt{3}\sin2\alpha)$ 以及 $N(2\cos2\beta, \sqrt{3}\sin2\beta)$, 求证: $\overrightarrow{PQ} \parallel \overrightarrow{MN}$ 的充要条件是 $\alpha+\beta = \theta+\varphi+k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.
3. 是否存在异于 $S$ 的点 $P$, 使得 $P_4 = S$? 若存在, 请求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

解

(1) 首先验证定点 $S(1, \frac{3}{2})$ 在椭圆 $\Gamma$ 上： <MathBlock raw={"\frac{1^2}{4} + \frac{(3/2)^2}{3} = \frac{1}{4} + \frac{9/4}{3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1"} /> 点 $S$ 确实在椭圆上.

求 $P \oplus Q$: 点 $P(2,0), Q(-1, -\frac{3}{2})$. 直线 $PQ$ 的斜率为： <MathBlock raw={"k_{PQ} = \frac{-\frac{3}{2}-0}{-1-2} = \frac{1}{2}"} /> 过点 $S(1, \frac{3}{2})$ 且平行于 $PQ$ 的直线 $l$ 的方程为 $y - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(x-1)$, 即 $y = \frac{1}{2}x+1$. 联立 $l$ 与 $\Gamma$ 的方程, 消去 $y$ 可得 $3x^2+4(\frac{1}{2}x+1)^2=12$, 整理得 $x^2+x-2=0$. 此方程的解为 $x=1$ (对应点 $S$) 和 $x=-2$. 当 $x=-2$ 时, $y = \frac{1}{2}(-2)+1=0$. 异于 $S$ 的交点为 $T(-2,0)$. 故 $P \oplus Q = (-2,0)$.

求 $P_2 = P \oplus P$: 此时直线 $PQ$ 为过点 $P(2,0)$ 的切线. 其方程为 $\frac{2x}{4}+\frac{0\cdot y}{3}=1$, 即 $x=2$. 过 $S$ 且平行于该切线的直线 $l$ 为 $x=1$. 联立 $x=1$ 与 $\Gamma$ 方程得 $\frac{1}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \implies y=\pm\frac{3}{2}$. 交点为 $(1, \frac{3}{2})$ (即 $S$) 和 $(1, -\frac{3}{2})$. 故 $P_2 = (1, -\frac{3}{2})$.

为求 $P_{2025}$, 我们需要探寻序列 $P_n$ 的周期性. $P_3 = P_2 \oplus P$. 直线 $P_2P$ 的斜率为 $k_{P_2P} = \frac{-3/2 - 0}{1-2} = \frac{3}{2}$. 过 $S$ 的平行线为 $y=\frac{3}{2}x$. 联立 $\Gamma$ 方程解得 $x=1$ (S点) 和 $x=-1$. 当 $x=-1$ 时, $y=-3/2$. 故 $P_3 = (-1, -3/2)$.

$P_4 = P_3 \oplus P$. 直线 $P_3P$ 斜率为 $k_{P_3P} = \frac{-3/2-0}{-1-2} = \frac{1}{2}$. 过 $S$ 的平行线斜率也为 $1/2$, 这与求 $P \oplus Q$ 时的情况相同. 故 $P_4 = (-2,0)$.

$P_5 = P_4 \oplus P$. 直线 $P_4P$ 为 $y=0$. 过 $S$ 的平行线为 $y=3/2$. 联立 $\Gamma$ 方程解得 $x=1$ (S点) 和 $x=-1$. 故 $P_5 = (-1, 3/2)$.

$P_6 = P_5 \oplus P$. 直线 $P_5P$ 斜率为 $k_{P_5P} = \frac{3/2-0}{-1-2} = -\frac{1}{2}$. 过 $S$ 的平行线为 $y-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)$, 即 $y=-\frac{1}{2}x+2$. 联立 $\Gamma$ 方程得 $3x^2+4(-\frac{1}{2}x+2)^2=12 \implies x^2-2x+1=0$. 此方程仅有重根 $x=1$, 意味着直线 $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 相切于点 $S$. 根据定义, 此时没有异于 $S$ 的交点, 故 $P_6 = S$.

接下来考察 $P_7 = P_6 \oplus P = S \oplus P$. 该运算涉及直线 $SP$. 过 $S$ 且平行于 $SP$ 的直线就是 $SP$ 本身. 直线 $SP$ 与椭圆 $\Gamma$ 的交点为 $S$ 和 $P$. 异于 $S$ 的交点是 $P$. 因此 $S \oplus P = P$.

我们发现 $P_7 = P$, 故序列 $P_n$ 以 $6$ 为周期. $2025 = 6 \times 337 + 3$. 故 $P_{2025} = P_3 = (-1, -\frac{3}{2})$.

(2) 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 连接参数为 $\alpha_1, \alpha_2$ 的两点的弦的斜率为： <MathBlock raw={"k = \frac{b\sin\alpha_2-b\sin\alpha_1}{a\cos\alpha_2-a\cos\alpha_1} = -\frac{b}{a}\frac{2\cos\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\sin\frac{\alpha_2-\alpha_1}{2}}{-2\sin\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\sin\frac{\alpha_2-\alpha_1}{2}} = -\frac{b}{a}\cot\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\right)"} /> 在本题中, $a=2, b=\sqrt{3}$, 且点的参数为 $2\theta, 2\varphi$ 等形式. 弦 $PQ$ 对应的参数为 $2\theta$ 和 $2\varphi$, 其斜率为： <MathBlock raw={"k_{PQ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cot\left(\frac{2\theta+2\varphi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cot(\theta+\varphi)"} /> 同理，弦 $MN$ 的斜率为： <MathBlock raw={"k_{MN} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cot(\alpha+\beta)"} />

两直线平行 $\overrightarrow{PQ} \parallel \overrightarrow{MN}$ 的充要条件是其斜率相等 $k_{PQ}=k_{MN}$: <MathBlock raw={"\cot(\theta+\varphi) = \cot(\alpha+\beta)"} /> 由于 $\cot x$ 函数的周期为 $\pi$, 上式成立的充要条件是： <MathBlock raw={"\theta+\varphi = \alpha+\beta + k\pi (k \in \mathbb{Z})"} /> 此结论揭示了对于该椭圆, 一族平行弦的端点参数之和在模 $\pi$ 意义下为常数.

(3)

第(2)问的结论是解决本题的关键.它将复杂的几何运算 ``$\oplus$'' 翻译成了简单的参数加法，揭示了其内在的代数规律. 设点 $P, Q, T=P \oplus Q, S$ 对应的参数分别为 $\theta_P, \theta_Q, \theta_T, \theta_S$.

首先确定特殊点 $S(1, 3/2)$ 对应的参数 $\theta_S$. <MathBlock raw={"2\cos(2\theta_S)=1 \implies \cos(2\theta_S)=1/2"} /> <MathBlock raw={"\sqrt{3}\sin(2\theta_S)=3/2 \implies \sin(2\theta_S)=\sqrt{3}/2"} /> 故 $2\theta_S = \frac{\pi}{3} + 2m\pi$. 我们取主值, $2\theta_S = \frac{\pi}{3}$, 即 $\theta_S = \frac{\pi}{6}$.

根据运算定义, 直线 $ST$ 平行于直线 $PQ$. 由(2)的结论, 端点参数之和模 $\pi$ 相等： <MathBlock raw={"\theta_S + \theta_T \equiv \theta_P + \theta_Q \pmod{\pi}"} /> 因此, 运算 ``$\oplus$'' 在参数空间中的映射为: <MathBlock raw={"\theta_{P \oplus Q} = \theta_P + \theta_Q - \theta_S \pmod{\pi}"} />

我们要求解 $P_4=S$. 设 $P$ 的参数为 $\theta$. 根据结合律和上述加法规则： <MathBlock raw={"\theta_{P_2} = \theta_{P \oplus P} = \theta+\theta-\theta_S = 2\theta-\theta_S \pmod{\pi}"} /> <MathBlock raw={"\theta_{P_3} = \theta_{P_2 \oplus P} = (2\theta-\theta_S)+\theta-\theta_S = 3\theta-2\theta_S \pmod{\pi}"} /> <MathBlock raw={"\theta_{P_4} = \theta_{P_3 \oplus P} = (3\theta-2\theta_S)+\theta-\theta_S = 4\theta-3\theta_S \pmod{\pi}"} />

$P_4=S$ 的充要条件是其参数 $\theta_4$ 与 $\theta_S$ 在模 $\pi$ 意义下相等： <MathBlock raw={"4\theta-3\theta_S = \theta_S + k\pi"} /> <MathBlock raw={"4\theta = 4\theta_S + k\pi \implies \theta = \theta_S + \frac{k\pi}{4}"} /> 代入 $\theta_S = \pi/6$: <MathBlock raw={"\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{4}"} />

我们需要寻找异于 $S$ 的点, 即 $\theta \neq \theta_S + m\pi$. 这要求 $\frac{k\pi}{4}$ 不能是 $\pi$ 的整数倍, 即 $k$ 不能是 $4$ 的倍数. 我们只需考虑 $k=1,2,3$ 即可得到所有不同的解.

当 $k=1$: <MathBlock raw={"\theta = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \implies 2\theta = \frac{5\pi}{6}"} /> $P$ 坐标为 $(2\cos\frac{5\pi}{6}, \sqrt{3}\sin\frac{5\pi}{6}) = (-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

当 $k=2$: <MathBlock raw={"\theta = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{3} \implies 2\theta = \frac{4\pi}{3}"} /> $P$ 坐标为 $(2\cos\frac{4\pi}{3}, \sqrt{3}\sin\frac{4\pi}{3}) = (-1, -\frac{3}{2})$.

当 $k=3$: <MathBlock raw={"\theta = \frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{4}=\frac{11\pi}{12} \implies 2\theta = \frac{11\pi}{6}"} /> $P$ 坐标为 $(2\cos\frac{11\pi}{6}, \sqrt{3}\sin\frac{11\pi}{6}) = (\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

综上所述, 存在三个异于 $S$ 的点 $P$ 使得 $P_4=S$, 它们的坐标分别为: <MathBlock raw={"(-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}), (-1, -\frac{3}{2}), (\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})"} />

例

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ 以及定点 $A(-2,0)$. 过点 $D(-2,3)$ 的动直线与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点. 直线 $AP, AQ$ 分别与 $y$ 轴交于 $M, N$ 两点. 证明: 线段 $MN$ 的中点为定点, 并求出该定点的坐标.

解

本题涉及动直线与椭圆的交点,以及由这些交点引发的另一族直线的截距问题, 最终归结为证明一个中点为定点. 传统的联立方程与韦达定理法虽然可行, 但由于点 $A(-2,0)$ 恰好是椭圆的左顶点, 这提示我们存在一种更为深刻且计算简洁的参数化方法.

我们可以不设动点的坐标, 而是设连接顶点 $A$ 与椭圆上任意一点 $P$ 的直线 $AP$ 的斜率 $t$ 为参数. 这种方法 (称为“斜率参数法”) 可以将椭圆上除点 $A$ 之外的所有点与全体实数 $t$ 建立一一对应关系, 且能将点的坐标用关于 $t$ 的有理分式表示, 极大地简化后续的代数运算.

设 $t$ 为直线 $AP$ 的斜率, 则直线 $AP$ 的方程为: <MathBlock raw={"y = t(x+2)"} /> 将此方程代入椭圆 $C$ 的方程 $9x^2+4y^2=36$: <MathBlock raw={"9x^2 + 4(t(x+2))^2 = 36"} /> <MathBlock raw={"9x^2 + 4t^2(x^2+4x+4) = 36"} /> 整理得到一个关于 $x$ 的一元二次方程: <MathBlock raw={"(9+4t^2)x^2 + 16t^2x + (16t^2-36) = 0"} /> 此方程的两个根是直线 $AP$ 与椭圆 $C$ 的交点的横坐标. 其中一个根必然是点 $A$ 的横坐标 $x_A=-2$. 设另一个交点 $P$ 的横坐标为 $x_P$.

根据韦达定理, 两根之积为: <MathBlock raw={"x_A \cdot x_P = (-2) \cdot x_P = \frac{16t^2-36}{9+4t^2}"} /> 解得 $P$ 点的横坐标: <MathBlock raw={"x_P = \frac{18-8t^2}{9+4t^2}"} /> 将其代入直线 $AP$ 的方程, 得到 $P$ 点的纵坐标: <MathBlock raw={"y_P = t(x_P+2) = t\left(\frac{18-8t^2}{9+4t^2}+2\right) = t\left(\frac{18-8t^2+18+8t^2}{9+4t^2}\right) = \frac{36t}{9+4t^2}"} /> 这样我们就建立了椭圆上任意点 $P$ (除 $A$ 点外) 与参数 $t$ 的对应关系.

设直线 $DPQ$ 交椭圆于 $P, Q$ 两点. 设直线 $AP$ 的斜率为 $t_1$, 直线 $AQ$ 的斜率为 $t_2$. 则点 $P, Q$ 的坐标可以分别用 $t_1, t_2$ 表示.

点 $D(-2,3), P, Q$ 三点共线, 这意味着斜率 $k_{DP}$ 与 $k_{DQ}$ 相等. <MathBlock raw={"k_{DP} = \frac{y_P - 3}{x_P - (-2)} = \frac{\frac{36t_1}{9+4t_1^2}-3}{\frac{18-8t_1^2}{9+4t_1^2}+2} = \frac{36t_1-3(9+4t_1^2)}{18-8t_1^2+2(9+4t_1^2)} = \frac{36t_1-27-12t_1^2}{36} = t_1 - \frac{1}{3}t_1^2 - \frac{3}{4}"} /> 由于 $P, Q$ 在同一条直线上, 故 $k_{DP}=k_{DQ}$. <MathBlock raw={"t_1 - \frac{1}{3}t_1^2 - \frac{3}{4} = t_2 - \frac{1}{3}t_2^2 - \frac{3}{4}"} /> <MathBlock raw={"t_1 - t_2 = \frac{1}{3}(t_1^2 - t_2^2)"} /> <MathBlock raw={"(t_1 - t_2) = \frac{1}{3}(t_1-t_2)(t_1+t_2)"} /> 由于 $P \neq Q$, 则 $t_1 \neq t_2$. 我们可以约去 $(t_1-t_2)$ 项: <MathBlock raw={"1 = \frac{1}{3}(t_1+t_2) \implies t_1+t_2 = 3"} /> 这个简洁的关系式是解决问题的关键.

直线 $AP$ 的方程为 $y=t_1(x+2)$. 它与 $y$ 轴的交点 $M$ 的坐标为 $(0, 2t_1)$. 直线 $AQ$ 的方程为 $y=t_2(x+2)$. 它与 $y$ 轴的交点 $N$ 的坐标为 $(0, 2t_2)$.

线段 $MN$ 的中点 $T$ 的坐标为: <MathBlock raw={"T\left(\frac{0+0}{2}, \frac{2t_1+2t_2}{2}\right) = (0, t_1+t_2)"} />

将我们在第二步中得到的结论 $t_1+t_2=3$ 代入: <MathBlock raw={"T(0, 3)"} />

因此, 线段 $MN$ 的中点是一个与动直线 $DPQ$ 的位置无关的定点, 其坐标为 $(0,3)$.

例

如图 [ref:fig:rhombus-in-ellipse] 所示，已知菱形 $ABCD$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (a\>b\>0)$ 的内接四边形.

1. 求证: $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ 为定值;
2. 求菱形 $ABCD$ 面积的最大值.

{/* latex-label: fig:rhombus-in-ellipse */} \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 309

{ABCD}.}

\end{figure} 图：椭圆内接菱形 \texorpdfstring{$ABCD$

解

(1) 证明 $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ 为定值.

菱形 $ABCD$ 内接于中心在原点 $O(0,0)$ 的椭圆, 因此菱形的中心也必然是椭圆的中心 $O$. 这意味着菱形的对角线 $AC$ 和 $BD$ 均通过原点 $O$. 此外, 菱形的对角线相互垂直, 因此线段 $OA$ 和 $OB$ 相互垂直.

为了描述菱形顶点的位置，我们引入极角参数化. 设点 $A$ 距离原点的长度为 $m = OA$, 其极角为 $\alpha$. 则点 $A$ 的坐标可以表示为 $(m\cos\alpha, m\sin\alpha)$.

由于 $OA$ 与 $OB$ 垂直, 设点 $B$ 距离原点的长度为 $n = OB$, 其极角可取为 $\alpha + \frac{\pi}{2}$. 因此点 $B$ 的坐标可以表示为 $(n\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}), n\sin(\alpha+\frac{\pi}{2}))$, 这简化为 $(-n\sin\alpha, n\cos\alpha)$.

由于点 $A$ 在椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上, 我们将点 $A$ 的坐标代入椭圆方程： <MathBlock raw={"\frac{(m\cos\alpha)^2}{a^2} + \frac{(m\sin\alpha)^2}{b^2} = 1"} /> 整理此方程，我们可以得到 $\frac{1}{m^2}$ 的表达式： <MathBlock raw={"m^2\left(\frac{\cos^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha}{b^2}\right) = 1 \implies \frac{1}{m^2} = \frac{\cos^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha}{b^2}"} />

同理，将点 $B$ 的坐标代入椭圆方程： <MathBlock raw={"\frac{(-n\sin\alpha)^2}{a^2} + \frac{(n\cos\alpha)^2}{b^2} = 1"} /> 整理后得到 $\frac{1}{n^2}$ 的表达式： <MathBlock raw={"n^2\left(\frac{\sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\cos^2\alpha}{b^2}\right) = 1 \implies \frac{1}{n^2} = \frac{\sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\cos^2\alpha}{b^2}"} />

现在我们将这两个表达式相加，以考察 $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ 的值： <MathBlock raw={"\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} = \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \left(\frac{\cos^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha}{b^2}\right) + \left(\frac{\sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\cos^2\alpha}{b^2}\right)"} /> 将同分母的项合并： <MathBlock raw={"= \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{b^2}"} /> 根据三角恒等式 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，上式进一步简化为： <MathBlock raw={"= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}"} /> 由于 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半轴长, 它们是固定值, 因此 $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ 是一个与参数 $\alpha$ 无关的定值.

(2) 求菱形 $ABCD$ 面积的最大值.

菱形 $ABCD$ 的对角线长分别为 $d_1 = AC = 2OA = 2m$ 和 $d_2 = BD = 2OB = 2n$. 菱形的面积 $S$ 等于其对角线长度乘积的一半： <MathBlock raw={"S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} (2m)(2n) = 2mn"} /> 为了求菱形面积的最大值，我们需要找到 $mn$ 的最大值. 从第一问的结论我们已知： <MathBlock raw={"\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}"} /> 要最大化 $mn$, 我们可以等价地最大化 $(mn)^2$, 或者最小化其倒数 $\frac{1}{(mn)^2}$.

我们将第一问中得到的 $\frac{1}{m^2}$ 和 $\frac{1}{n^2}$ 的表达式相乘： <MathBlock raw={"\frac{1}{(mn)^2} = \left(\frac{1}{m^2}\right)\left(\frac{1}{n^2}\right) = \left(\frac{\cos^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha}{b^2}\right)\left(\frac{\sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\cos^2\alpha}{b^2}\right)"} /> 展开右侧的乘积： <MathBlock raw={"= \frac{\cos^2\alpha\sin^2\alpha}{a^4} + \frac{\cos^4\alpha}{a^2b^2} + \frac{\sin^4\alpha}{a^2b^2} + \frac{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{b^4}"} /> 为了简化这个表达式，我们使用三角恒等式 $\cos^2\alpha\sin^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$ 以及 $\cos^4\alpha+\sin^4\alpha = (\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)$： <MathBlock raw={"\frac{1}{(mn)^2} = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)\left(\frac{1}{a^4} + \frac{1}{b^4}\right) + \frac{1}{a^2b^2}\left(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)\right)"} /> 重新组织各项，将包含 $\sin^2(2\alpha)$ 的项合并： <MathBlock raw={"= \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)\left(\frac{1}{a^4} + \frac{1}{b^4} - \frac{2}{a^2b^2}\right) + \frac{1}{a^2b^2}"} /> 括号中的项可以写成平方的形式： <MathBlock raw={"= \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)^2 + \frac{1}{a^2b^2}"} />

现在我们分析这个表达式的范围. 我们知道 $\sin^2(2\alpha)$ 的取值范围是 $[0, 1]$. 另外, 由于 $a\>b\>0$, $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} \neq 0$, 所以 $\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)^2$ 是一个正数.

要使 $\frac{1}{(mn)^2}$ 取得最小值, 我们需要使 $\sin^2(2\alpha)$ 最小, 即 $\sin^2(2\alpha) = 0$. 当 $\sin^2(2\alpha) = 0$ 时, $\frac{1}{(mn)^2}$ 的最小值为 $\frac{1}{a^2b^2}$. 这意味着 $(mn)^2$ 的最大值为 $a^2b^2$. 因此， $mn$ 的最大值为 $\sqrt{a^2b^2} = ab$.

这种情况发生在 $2\alpha = k\pi$ (其中 $k$ 是整数), 即 $\alpha = 0$ 或 $\alpha = \frac{\pi}{2}$ 时.

• 若 $\alpha=0$, 点 $A$ 在 $x$ 轴上, 即 $A(m,0)$. 将其代入椭圆方程得 $\frac{m^2}{a^2}=1 \implies m=a$. 此时 $B$ 在 $y$ 轴上, 即 $B(0,n)$, 代入椭圆方程得 $\frac{n^2}{b^2}=1 \implies n=b$. 此时 $mn=ab$.

• 若 $\alpha=\frac{\pi}{2}$, 点 $A$ 在 $y$ 轴上, 即 $A(0,m)$. 将其代入椭圆方程得 $\frac{m^2}{b^2}=1 \implies m=b$. 此时 $B$ 在 $x$ 轴上, 即 $B(-n,0)$, 代入椭圆方程得 $\frac{n^2}{a^2}=1 \implies n=a$. 此时 $mn=ba$.

  在这些情况下，菱形的对角线与椭圆的轴重合. $mn$ 的最大值均为 $ab$.

  因此，菱形 $ABCD$ 面积的最大值为 $S_{max} = 2(mn)_{max} = 2ab$.

为了突显参数方法的简洁性，我们不妨考察使用传统坐标几何方法解决此问题所需的计算过程.这种方法不依赖于参数方程，而是直接通过联立直线与椭圆的方程进行求解.

解

(1) 证明定值 设直线 $OA$ 的斜率为 $k$ (当 $OA$ 与 $x$ 轴重合时 $k=0$；当 $OA$ 与 $y$ 轴重合时, 可视为 $k \to \infty$ 的极限情况，或单独讨论). 则直线 $OA$ 的方程为 $y=kx$. 将其与椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 联立, 消去 $y$： <MathBlock raw={"\frac{x^2}{a^2} + \frac{(kx)^2}{b^2} = 1 \implies x^2\left(\frac{1}{a^2} + \frac{k^2}{b^2}\right) = 1 \implies x^2\left(\frac{b^2+a^2k^2}{a^2b^2}\right)=1"} /> 解得点 $A$ 的横坐标平方 $x_A^2 = \frac{a^2b^2}{b^2+a^2k^2}$. 从而 $y_A^2 = k^2x_A^2 = \frac{a^2b^2k^2}{b^2+a^2k^2}$. 因此，$OA^2$ 的表达式为： <MathBlock raw={"OA^2 = x_A^2+y_A^2 = \frac{a^2b^2}{b^2+a^2k^2} + \frac{a^2b^2k^2}{b^2+a^2k^2} = \frac{a^2b^2(1+k^2)}{b^2+a^2k^2}"} /> 由于 $OB \perp OA$, 直线 $OB$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$.将表达式中所有的 $k$ 替换为 $-\frac{1}{k}$, 即可得到 $OB^2$ 的表达式： <MathBlock raw={"OB^2 = \frac{a^2b^2(1+(-\frac{1}{k})^2)}{b^2+a^2(-\frac{1}{k})^2} = \frac{a^2b^2(1+\frac{1}{k^2})}{b^2+\frac{a^2}{k^2}} = \frac{a^2b^2\frac{k^2+1}{k^2}}{\frac{b^2k^2+a^2}{k^2}} = \frac{a^2b^2(k^2+1)}{a^2+b^2k^2}"} /> 现在计算二者倒数之和： <MathBlock raw={"\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} = \frac{b^2+a^2k^2}{a^2b^2(1+k^2)} + \frac{a^2+b^2k^2}{a^2b^2(1+k^2)}"} /> <MathBlock raw={"= \frac{(b^2+a^2) + (a^2+b^2)k^2}{a^2b^2(1+k^2)} = \frac{(a^2+b^2)(1+k^2)}{a^2b^2(1+k^2)} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}"} /> 可见，尽管计算过程涉及繁琐的代数运算，但最终仍能证明该值为定值.

(2) 求最大面积 菱形面积 $S = 2 \cdot OA \cdot OB$.为求其最大值, 我们考察 $S^2 = 4 \cdot OA^2 \cdot OB^2$. <MathBlock raw={"S^2 = 4 \cdot \frac{a^2b^2(1+k^2)}{b^2+a^2k^2} \cdot \frac{a^2b^2(1+k^2)}{a^2+b^2k^2} = \frac{4a^4b^4(1+k^2)^2}{(b^2+a^2k^2)(a^2+b^2k^2)}"} /> 这是一个关于斜率 $k$ 的复杂函数.为求其最值, 可以令 $u=k^2$ ($u \ge 0$)，然后通过求导分析函数 <MathBlock raw={"f(u) = \frac{4a^4b^4(1+u)^2}{(b^2+a^2u)(a^2+b^2u)}"} /> 的单调性.求导过程相当繁琐.

一个更好的想法是观察表达式的分母： <MathBlock raw={"(b^2+a^2u)(a^2+b^2u) = a^2b^2 + (a^4+b^4)u + a^2b^2u^2"} /> 我们可以证明，要使 $f(u)$ 最大, 等价于使其分母相对于分子 $(1+u)^2$ 的增长“最慢”.可以验证, 当 $u=0$ (即 $k=0$, 菱形对角线与坐标轴重合) 或 $u \to \infty$ (即 $k \to \infty$) 时，函数取得最大值. 当 $k=0$ 时, $OA=a, OB=b$, 面积 $S = 2ab$. 当 $k \to \infty$ 时, $OA=b, OB=a$, 面积 $S = 2ab$. 因此最大面积为 $2ab$.

对比之下，参数坐标法将点的位置与角度 $\alpha$ 直接关联, 使得代数结构更加对称和清晰, 利用三角恒等式即可完成简化, 避免了处理斜率 $k$ 及其趋于无穷的复杂情况.这充分说明了选择合适的数学工具对于简化问题的重要性.

\paragraph{双曲线的参数方程} 对于标准双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, 我们需要寻找满足 $u^2-v^2=1$ 的函数对. 一种选择是利用三角恒等式 $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$. 令 $\frac{x}{a} = \sec\theta, \frac{y}{b}=\tan\theta$, 得到双曲线的三角参数方程： <MathBlock raw={"\begin{cases} x = a\sec\theta y = b\tan\theta \end{cases} (\theta \text{ 为参数})"} /> 其中，当 $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时, 表示双曲线的右支；当 $\theta \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ 时，表示左支.

另一种方法是使用双曲函数（我们曾在抽象函数一章说过）. 定义双曲余弦 $\cosh t = \frac{e^t+e^{-t}}{2}$ 和双曲正弦 $\sinh t = \frac{e^t-e^{-t}}{2}$. 它们满足基本恒等式 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$. 由此可得双曲线的双曲参数方程： <MathBlock raw={"\begin{cases} x = a\cosh t y = b\sinh t \end{cases} (t \in \mathbb{R} \text{ 为参数})"} /> 此参数方程仅表示双曲线的右支. 左支的参数方程为 $x=-a\cosh t, y=b\sinh t$.

\paragraph{抛物线的参数方程} 对于标准抛物线方程 $y^2=2px \ (p\>0)$, 我们可以直接选取一个坐标作为参数, 例如令 $y=t$, 则 $x = \frac{t^2}{2p}$. 然而，为了在处理问题时避免分数，一种更常用且形式更优美的参数化是令 $y=2pt$. 代入原方程： $(2pt)^2 = 2px \implies 4p^2t^2=2px \implies x=2pt^2$. <MathBlock raw={"\begin{cases} x = 2pt^2 y = 2pt \end{cases} (t \in \mathbb{R} \text{ 为参数})"} /> 此参数 $t$ 的几何意义是过抛物线上一点 $(x,y)$ 与顶点 $(0,0)$ 的直线 $OP$ 的斜率 $k_{OP} = \frac{y}{x} = \frac{2pt}{2pt^2} = \frac{1}{t}$. 因此参数 $t$ 是过该点与原点连线斜率的倒数.

例

在抛物线 $y^2=2px \ (p\>0)$ 的对称轴（$x$ 轴）正方向上是否存在一点 $K$, 使得对于经过 $K$ 点的抛物线的任意一条弦 $AB$, 总有 $\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2}$ 为定值？证明你的结论.

解

本题探讨的是抛物线中一个关于焦弦性质的深刻拓展. 我们需要判断是否存在这样一个“特殊点”，使得所有过该点的弦都满足一个特定的代数关系. 解决此类涉及定点与变动弦长度关系的问题，将问题转换到极坐标系下往往能极大地简化运算.

假设在 $x$ 轴正半轴上存在这样一点 $K(x_0, 0)$, 其中 $x_0 \> 0$. 我们以点 $K$ 为极点, 以 $x$ 轴正方向为极轴，建立一个新的极坐标系. 设该极坐标系下任意一点的坐标为 $(\rho, \theta)$. 则它与原直角坐标系 $(x,y)$ 的转换关系为： <MathBlock raw={"x = x_0 + \rho\cos\theta"} /> <MathBlock raw={"y = \rho\sin\theta"} />

将此转换关系代入抛物线方程 $y^2=2px$ 中： <MathBlock raw={"(\rho\sin\theta)^2 = 2p(x_0 + \rho\cos\theta)"} /> 整理此方程，得到一个关于极径 $\rho$ 的一元二次方程： <MathBlock raw={"\rho^2\sin^2\theta - 2p\rho\cos\theta - 2px_0 = 0"} />

对于任意一条经过点 $K$ 的弦 $AB$, 它可以由一条固定的极角为 $\theta$ (以及 $\theta+\pi$) 的直线来表示. 那么, 该直线与抛物线的两个交点 $A$ 和 $B$ 到极点 $K$ 的距离 $|KA|$ 和 $|KB|$, 就对应于上述关于 $\rho$ 的二次方程的两个根的绝对值. 设这两个根为 $\rho_1$ 和 $\rho_2$. 根据韦达定理，我们有： <MathBlock raw={"\rho_1 + \rho_2 = \frac{2p\cos\theta}{\sin^2\theta}"} /> <MathBlock raw={"\rho_1\rho_2 = -\frac{2px_0}{\sin^2\theta}"} />

我们需要考察的表达式为 $\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} = \frac{1}{\rho_1^2} + \frac{1}{\rho_2^2}$. 我们将此表达式用根的和与积来表示： <MathBlock raw={"\frac{1}{\rho_1^2} + \frac{1}{\rho_2^2} = \frac{\rho_1^2 + \rho_2^2}{(\rho_1\rho_2)^2} = \frac{(\rho_1+\rho_2)^2 - 2\rho_1\rho_2}{(\rho_1\rho_2)^2}"} />

然后，将韦达定理的结果代入上式： <MathBlock raw={"\begin{aligned} \frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} &= \frac{\left(\frac{2p\cos\theta}{\sin^2\theta}\right)^2 - 2\left(-\frac{2px_0}{\sin^2\theta}\right)}{\left(-\frac{2px_0}{\sin^2\theta}\right)^2} &= \frac{\frac{4p^2\cos^2\theta}{\sin^4\theta} + \frac{4px_0}{\sin^2\theta}}{\frac{4p^2x_0^2}{\sin^4\theta}} &= \frac{4p^2\cos^2\theta + 4px_0\sin^2\theta}{4p^2x_0^2} &= \frac{p\cos^2\theta + x_0\sin^2\theta}{px_0^2} \end{aligned}"} />

为了使此表达式为定值，它必须与变动的角度 $\theta$ 无关. 我们将 $\sin^2\theta$ 替换为 $1-\cos^2\theta$ 来观察其对 $\theta$ 的依赖性： <MathBlock raw={"\frac{p\cos^2\theta + x_0(1-\cos^2\theta)}{px_0^2} = \frac{(p-x_0)\cos^2\theta + x_0}{px_0^2}"} />

要使此分式的值不随 $\theta$ 的变化而变化, 唯一的可能性是分子中含有 $\cos^2\theta$ 项的系数为零. 因此，我们必须有： <MathBlock raw={"p - x_0 = 0 \implies x_0 = p"} />

当 $x_0=p$ 时，上述表达式变为： <MathBlock raw={"\frac{(p-p)\cos^2\theta + p}{p \cdot p^2} = \frac{p}{p^3} = \frac{1}{p^2}"} /> 此值是一个与 $\theta$ 无关的常数.

因此，结论是：在抛物线 $y^2=2px$ 的对称轴正向上存在唯一点 $K(p,0)$, 使得对于任何过 $K$ 的弦 $AB$, 都有 $\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} = \frac{1}{p^2}$ 为定值.

下面的方法不依赖极坐标，而是通过传统的设直线斜率、联立方程与韦达定理来解决问题.其计算过程更为繁复，可以作为对比，以体会不同数学工具的效率差异.

解

假设在 $x$ 轴正半轴上存在满足条件的点 $K(x_0, 0)$, 其中 $x_0\>0$. 设过点 $K$ 的任意直线 $l$ 的方程为 $y=m(x-x_0)$. 将 $x = \frac{y}{m}+x_0$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$ 中, 消去 $x$ 以求交点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 的纵坐标： <MathBlock raw={"y^2 = 2p\left(\frac{y}{m}+x_0\right)"} /> 整理得到一个关于 $y$ 的一元二次方程： <MathBlock raw={"y^2 - \frac{2p}{m}y - 2px_0 = 0"} /> 其两根 $y_1, y_2$ 分别是点 $A, B$ 的纵坐标.根据韦达定理，我们有： <MathBlock raw={"y_1+y_2 = \frac{2p}{m}, y_1y_2 = -2px_0"} />

接下来，我们表示弦长 $|KA|$ 和 $|KB|$. 对于点 $A(x_1, y_1)$, 它到点 $K(x_0, 0)$ 的距离平方为： <MathBlock raw={"|KA|^2 = (x_1-x_0)^2 + (y_1-0)^2"} /> 由于点 $A$ 在直线 $l$ 上, 满足 $y_1=m(x_1-x_0)$, 因此 $x_1-x_0 = \frac{y_1}{m}$. 代入上式： <MathBlock raw={"|KA|^2 = \left(\frac{y_1}{m}\right)^2 + y_1^2 = y_1^2\left(\frac{1}{m^2}+1\right) = y_1^2\frac{1+m^2}{m^2}"} /> 同理，$|KB|^2 = y_2^2\frac{1+m^2}{m^2}$.

现在构建目标表达式： <MathBlock raw={"\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} = \frac{m^2}{y_1^2(1+m^2)} + \frac{m^2}{y_2^2(1+m^2)} = \frac{m^2}{1+m^2}\left(\frac{1}{y_1^2}+\frac{1}{y_2^2}\right)"} /> <MathBlock raw={"= \frac{m^2}{1+m^2}\left(\frac{y_1^2+y_2^2}{(y_1y_2)^2}\right)"} /> 我们需要用韦达定理的结论来表示 $y_1^2+y_2^2$： <MathBlock raw={"y_1^2+y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1y_2 = \left(\frac{2p}{m}\right)^2 - 2(-2px_0) = \frac{4p^2}{m^2} + 4px_0"} /> 代入目标表达式中： <MathBlock raw={"\begin{aligned} \frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} &= \frac{m^2}{1+m^2} \cdot \frac{\frac{4p^2}{m^2} + 4px_0}{(-2px_0)^2} &= \frac{m^2}{1+m^2} \cdot \frac{4p(\frac{p}{m^2}+x_0)}{4p^2x_0^2} &= \frac{m^2}{1+m^2} \cdot \frac{\frac{p+m^2x_0}{m^2}}{px_0^2} &= \frac{p+m^2x_0}{(1+m^2)px_0^2} \end{aligned}"} /> 要使此表达式为定值，即其值不随斜率 $m$ 的变化而改变.我们将上式看作是关于变量 $m^2$ 的分式函数： <MathBlock raw={"\frac{x_0 m^2 + p}{(px_0^2) m^2 + px_0^2}"} /> 对于一个形如 $\frac{Am+B}{Cm+D}$ 的分式函数, 若其为常数, 则必须有 $\frac{A}{C}=\frac{B}{D}$ (当 $C,D \neq 0$). 应用此结论于我们关于 $m^2$ 的分式，则有： <MathBlock raw={"\frac{x_0}{px_0^2} = \frac{p}{px_0^2}"} /> 由于 $p\>0, x_0\>0$, 分母不为零, 因此可得 $x_0 = p$.

为了验证这个结论，我们还需要考虑直线 $AB$ 垂直于 $x$ 轴的特殊情况, 此时斜率 $m$ 不存在. 若直线为 $x=x_0$, 交点为 $A(x_0, \sqrt{2px_0})$ 和 $B(x_0, -\sqrt{2px_0})$. 此时 $|KA|^2 = (\sqrt{2px_0})^2 = 2px_0$, $|KB|^2 = (-\sqrt{2px_0})^2 = 2px_0$. <MathBlock raw={"\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} = \frac{1}{2px_0} + \frac{1}{2px_0} = \frac{1}{px_0}"} /> 若此值要与斜率存在时的定值相等，则 <MathBlock raw={"\frac{1}{px_0} = \frac{p+m^2x_0}{(1+m^2)px_0^2} \text{在 } x_0=p \text{ 时}"} /> <MathBlock raw={"\frac{1}{p^2} = \frac{p+m^2p}{(1+m^2)p^3} = \frac{p(1+m^2)}{p^3(1+m^2)} = \frac{1}{p^2}"} /> 等式成立.因此，点 $K$ 的坐标为 $(p,0)$ 时，结论对所有情况都成立.

\paragraph{摆线} 当一个圆沿一条直线无滑动地滚动时，摆线指的是圆周上一个定点的轨迹. 建立如下几何模型：一个半径为 $r$ 的圆在 $x$ 轴上滚动, 其上的定点 $P$ 最初位于原点 $O$. 我们选取圆滚过的角度 $\theta$ 作为参数.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 310

\end{figure} 图：摆线的生成过程.

当圆心从 $(0,r)$ 移动到 $C(x_C, y_C)$ 时, 圆滚过了角度 $\theta$.

• 圆心 $C$ 的坐标：由于是无滑动滚动, 圆心在 $x$ 轴方向上移动的距离等于圆滚过的弧长, 即 $r\theta$. 圆心高度始终为 $r$. 所以 $C(r\theta, r)$.
• 点 $P$ 相对于圆心 $C$ 的位置：设 $P$ 的坐标为 $(x,y)$. 向量 $\vec{CP}$ 的起点为 $C$, 终点为 $P$. 相比于竖直向下的位置（对应初始位置）, 向量 $\vec{CP}$ 旋转了 $\theta$ 角. 因此，其分量为： <MathBlock raw={"x_P - x_C = -r\sin\theta"} /> <MathBlock raw={"y_P - y_C = -r\cos\theta"} />
• 点 $P$ 的绝对坐标： <MathBlock raw={"x = x_C - r\sin\theta = r\theta - r\sin\theta = r(\theta-\sin\theta)"} /> <MathBlock raw={"y = y_C - r\cos\theta = r - r\cos\theta = r(1-\cos\theta)"} />

最终得到摆线的参数方程： <MathBlock raw={"\begin{cases} x = r(\theta - \sin\theta) y = r(1 - \cos\theta) \end{cases} (\theta \text{ 为参数})"} />

极坐标系

笛卡尔直角坐标系通过水平和竖直的网格来定位点，这种体系在描述平移、矩形等几何结构时表现出极大的优越性.然而，若是要研究旋转或向心运动生成的轨迹时，直角坐标的局限性便开始显现.例如，描述一张匀速向外扩张同时匀速旋转的蛛网，或是行星环绕太阳的椭圆轨道，其直角坐标方程都显得笨拙而缺乏直观性.

早在17世纪，艾萨克·牛顿在其《流数法》中就构想了多种坐标系，其中之一便是通过“角度”和“长度”来描述曲线.与此同时，瑞士数学家雅各布·伯努利在研究诸如阿基米德螺线 ($\rho = a\theta$) 和双纽线 ($\rho^2=a^2\cos(2\theta)$) 等曲线时，也发现使用径向距离和角度来表达其方程，会得到惊人简洁和优美的形式.他们意识到，对于这些围绕一个中心点展开的图形，与其问“一个点向右多远，向上多远？”，不如问“它离中心多远，朝哪个方向？”.

这种源于对运动和自然形态的深刻洞察，最终演化为一套完整的坐标体系.这个体系便是我们现在所熟知的极坐标系.它的构建基于两个最基本的元素：一个作为参照的中心点，和一条作为参照方向的射线.

极坐标的定义

• 极点: 平面内一个固定的点，记作 $O$.
• 极轴: 从极点 $O$ 出发的一条固定的射线, 通常记作 $Ox$.

极坐标

平面内任意一点 $P$ 的位置, 可以由一个有序数对 $(\rho, \theta)$ 唯一确定，其中：

• $\rho$ 是从极点 $O$ 到点 $P$ 的距离, 称为点 $P$ 的极径. 我们约定 $\rho \ge 0$.

• $\theta$ 是从极轴 $Ox$ 逆时针旋转到射线 $OP$ 所成的角, 称为点 $P$ 的极角.

  这个数对 $(\rho, \theta)$ 就称为点 $P$ 的极坐标.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 311

\end{figure} 图：极坐标系的构成.

需要注意的是，一个点的极坐标表示不是唯一的.例如，点 $(2, \pi/4)$ 的极角若增加 $2\pi$ 的整数倍, 即 $(2, \pi/4 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$, 它们都表示同一个点.极点 $O$ 的极坐标为 $(0, \theta)$, 其中 $\theta$ 可以是任意角.在没有特殊说明时, 我们通常将极角 $\theta$ 的范围限制在 $[0, 2\pi)$.

极坐标与直角坐标的互化

为了能够在两种坐标系之间灵活切换，我们必须建立它们之间的代数联系.最自然的方式是进行如下的“标准对齐”：

• 将极坐标系的极点 $O$ 与直角坐标系的原点 $(0,0)$ 重合.
• 将极坐标系的极轴 $Ox$ 与直角坐标系的 $x$ 轴正半轴重合.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 312

\end{figure} 图：极坐标与直角坐标的几何关系.

在此设定下，考察点 $P$ 的两种坐标表示 $(\rho, \theta)$ 和 $(x,y)$. 由上图中的直角三角形关系，可以立即得到转换公式：

\paragraph{由极坐标化为直角坐标} <MathBlock raw={"x = \rho\cos\theta"} /> <MathBlock raw={"y = \rho\sin\theta"} />

\paragraph{由直角坐标化为极坐标} <MathBlock raw={"\rho^2 = x^2+y^2 \implies \rho = \sqrt{x^2+y^2}"} /> <MathBlock raw={"\tan\theta = \frac{y}{x} (x \neq 0)"} /> 在计算 $\theta$ 时, 必须根据点 $(x,y)$ 所在的象限来确定其具体值, 因为反正切函数 $\arctan(\frac{y}{x})$ 的值域通常是 $(-\pi/2, \pi/2)$, 无法覆盖所有象限.

例

将极坐标为 $(4, \frac{2\pi}{3})$ 的点化为直角坐标.

解

已知 $\rho=4, \theta=\frac{2\pi}{3}$.

代入转换公式: <MathBlock raw={"x = \rho\cos\theta = 4\cos\frac{2\pi}{3} = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2"} /> <MathBlock raw={"y = \rho\sin\theta = 4\sin\frac{2\pi}{3} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}"} />

所以, 该点的直角坐标为 $(-2, 2\sqrt{3})$.

例

将直角坐标为 $(-1, -1)$ 的点化为极坐标 (要求 $\rho\>0, \theta \in [0, 2\pi)$).

解

已知 $x=-1, y=-1$.

首先计算极径 $\rho$: <MathBlock raw={"\rho = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2}"} />

接下来计算极角 $\theta$. <MathBlock raw={"\cos\theta = \frac{x}{\rho} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}"} /> <MathBlock raw={"\sin\theta = \frac{y}{\rho} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}"} />

由于 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 均为负, 可知 $\theta$ 是第三象限角. 满足条件的角为 $\theta = \frac{5\pi}{4}$.

所以, 该点的极坐标为 $(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})$.

例

将下列方程在直角坐标与极坐标之间进行互化.

1. 直角坐标方程: $x^2+(y-2)^2=4$
2. 极坐标方程: $\rho = \frac{6}{2\cos\theta - 3\sin\theta}$

解

(1) 将直角坐标方程 $x^2+(y-2)^2=4$ 化为极坐标方程.

首先展开方程: <MathBlock raw={"x^2+y^2-4y+4=4 \implies x^2+y^2=4y"} />

使用代换公式 $x^2+y^2=\rho^2$ 和 $y=\rho\sin\theta$: <MathBlock raw={"\rho^2 = 4\rho\sin\theta"} />

当 $\rho \neq 0$ 时, 方程两边可以约去 $\rho$, 得到: <MathBlock raw={"\rho = 4\sin\theta"} /> 当 $\rho=0$ 时, 表示极点. 在方程 $\rho=4\sin\theta$ 中, 若取 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$, 则 $\rho=0$, 方程也包含极点. 因此, 原直角坐标方程对应的极坐标方程为 $\rho=4\sin\theta$.

(2) 将极坐标方程 $\rho = \frac{6}{2\cos\theta - 3\sin\theta}$ 化为直角坐标方程.

首先, 将分母移到等式左侧: <MathBlock raw={"\rho(2\cos\theta - 3\sin\theta) = 6"} />

展开括号: <MathBlock raw={"2\rho\cos\theta - 3\rho\sin\theta = 6"} />

使用代换公式 $x = \rho\cos\theta$ 和 $y = \rho\sin\theta$: <MathBlock raw={"2x - 3y = 6"} />

此即为所求的直角坐标方程, 它表示一条直线.

常见曲线的极坐标方程

将曲线的直角坐标方程通过代换公式转化为极坐标方程，是研究曲线的一种基本方法.然而，更有启发性的是直接在极坐标系下，根据曲线的几何定义来推导其方程.

\paragraph{直线的极坐标方程}

1. 经过极点的直线

若一条直线通过极点 $O$, 则其上所有点（除极点外）的极角 $\theta$ 均等于一个定值 $\alpha$ (或 $\alpha+\pi$).因此，其方程极为简洁： <MathBlock raw={"\theta = \alpha (\rho \in \mathbb{R})"} /> 其中 $\alpha$ 是直线的倾斜角. 2. 不经过极点的直线

对于一条不经过极点的直线 $l$, 我们可以用其法线段的性质来刻画.从极点 $O$ 向直线 $l$ 作垂线, 垂足为 $N$. 设线段 $ON$ 的长度为 $p$ ($p\>0$), 且射线 $ON$ 的极角为 $\alpha$.

设 $P(\rho, \theta)$ 是直线 $l$ 上任意一点.在 $\triangle ONP$ 中, $\angle ONP = \pi/2$, $ON=p$, $OP=\rho$, $\angle NOP = |\theta - \alpha|$. 由三角关系可得： <MathBlock raw={"ON = OP \cos(\angle NOP)"} /> 即 <MathBlock raw={"p = \rho\cos(\theta-\alpha)"} /> 这就是不经过极点的直线的一般极坐标方程.

\paragraph{圆的极坐标方程}

1. 圆心在极点

若圆心位于极点 $O$, 半径为 $R$, 则圆上任意一点的极径 $\rho$ 恒为 $R$. 其方程为： <MathBlock raw={"\rho = R"} /> 2. 圆经过极点

设一个半径为 $R$ 的圆经过极点 $O$, 其圆心为 $C(R, \alpha)$. 设 $P(\rho, \theta)$ 是圆上异于 $O$ 的任意一点. 在 $\triangle OCP$ 中, $OC=R, CP=R, OP=\rho, \angle COP=|\theta-\alpha|$. 由余弦定理, $CP^2=OC^2+OP^2-2OC \cdot OP \cos(\angle COP)$. <MathBlock raw={"R^2 = R^2 + \rho^2 - 2R\rho\cos(\theta-\alpha)"} /> 化简得 $\rho^2 = 2R\rho\cos(\theta-\alpha)$. 当 $\rho \neq 0$ 时, <MathBlock raw={"\rho = 2R\cos(\theta-\alpha)"} /> 特别地, 若圆心在极轴上, $\alpha=0$, 方程为 $\rho = 2R\cos\theta$. 若圆心在与极轴垂直且过极点的射线上, $\alpha=\pi/2$, 方程为 $\rho = 2R\sin\theta$.

圆锥曲线的统一极坐标表示

极坐标系为我们提供了一个深刻而统一的视角来审视所有圆锥曲线.通过将极点置于焦点，这些看似形态各异的曲线可以被同一个优美的方程所描述.

圆锥曲线的统一极坐标方程

以圆锥曲线的一个焦点为极点, 以过该焦点且背离对应准线的方向为极轴.设焦点到对应准线的距离为 $p$ (焦参数), 离心率为 $e$.则该圆锥曲线的极坐标方程为： <MathBlock raw={"\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}"} />

此方程是开普勒定律的数学基础，它精确地描述了天体在引力场中的运行轨道.我们将以离心率 $e$ 的取值为线索，探讨该方程如何演化为我们所熟知的各种圆锥曲线.

\paragraph{抛物线：$e=1$ 的情形} 当离心率 $e=1$ 时，曲线为抛物线.代入统一方程，我们得到其极坐标方程： <MathBlock raw={"\rho = \frac{p}{1 - \cos\theta}"} /> 这个简洁的方程完美地刻画了抛物线的几何特性.

• 当 $\theta \to 0$ 时, $\cos\theta \to 1$, 分母趋于 $0$, 故 $\rho \to \infty$. 这体现了抛物线是开口的、无限延伸的.
• 当 $\theta = \pi$ 时, $\cos\theta = -1$, 此时 $\rho = \frac{p}{1-(-1)} = \frac{p}{2}$. 这是抛物线的顶点，是曲线上离焦点（极点）最近的点.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 313

{e=1}).} \end{figure} 图：抛物线的极坐标表示 (\texorpdfstring{$e=1$

\paragraph{椭圆：$0 \< e \< 1$ 的情形} 当离心率 $0 \< e \< 1$ 时，曲线为椭圆.其极坐标方程仍为： <MathBlock raw={"\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}"} /> 由于 $0 \< e \< 1$, 无论 $\theta$ 取何值, 都有 $|e\cos\theta| \< 1$, 因此分母 $1-e\cos\theta$ 恒为正且永远不等于零. 这一代数性质直接导致了其几何特征：极径 $\rho$ 始终是有限的正值.这正是椭圆作为一条封闭、有界曲线的数学体现.

• 当 $\theta = 0$ 时, $\cos\theta=1$, $\rho$ 取最大值, $\rho_{max} = \frac{ep}{1-e}$. 此为远日点.
• 当 $\theta = \pi$ 时, $\cos\theta=-1$, $\rho$ 取最小值, $\rho_{min} = \frac{ep}{1+e}$. 此为近日点.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 314

{0<e<1}).} \end{figure} 图：椭圆的极坐标表示 (\texorpdfstring{$0\<e\<1$

\paragraph{双曲线：$e \> 1$ 的情形} 当离心率 $e \> 1$ 时，曲线为双曲线.其极坐标方程依然是： <MathBlock raw={"\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}"} /> 此时，由于 $e\>1$, 存在特定的角 $\theta_0$ 使得 $1-e\cos\theta_0 = 0$, 即 $\cos\theta_0 = 1/e$. 在这些方向上, $\rho \to \infty$. 这正是双曲线渐近线的代数来源, 它们指明了双曲线在无穷远处无限靠近的方向.

• 当 $1-e\cos\theta \> 0$ 时, $\rho\>0$, 描绘出双曲线靠近极点（焦点）的一支.
• 当 $1-e\cos\theta \< 0$ 时, $\rho\<0$. 按照极坐标的约定, 负极径表示在相反方向上取长度为 $|\rho|$ 的点.这恰好描绘出双曲线的另一支.

因此，这一个看似简单的方程，竟能同时包含双曲线的两支，这再次彰显了极坐标系的深刻威力.

我们可以看看如何将极坐标形式的圆锥曲线统一方程应用： \paragraph{正焦弦长} 正焦弦是指过焦点且垂直于主轴 (极轴) 的弦. 它的长度是圆锥曲线的一个重要内在参数. 设弦的两个端点对应的极角分别为 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 和 $\theta=\frac{3\pi}{2}$. 当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时, <MathBlock raw={"\rho_1 = \frac{ep}{1 - e\cos(\frac{\pi}{2})} = ep"} /> 当 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ 时, <MathBlock raw={"\rho_2 = \frac{ep}{1 - e\cos(\frac{3\pi}{2})} = ep"} /> 因此, 正焦弦长为 $\rho_1+\rho_2 = 2ep$. 这个长度通常记作 $2l$. 量 $l=ep$ 被称为半正焦弦长或焦参数. 于是, 圆锥曲线的统一极坐标方程也可以写成: <MathBlock raw={"\rho = \frac{l}{1-e\cos\theta}"} /> 这个形式在天体力学中尤为常用.

焦弦的调和平均性质

设一条过圆锥曲线焦点 (极点) 的直线与曲线交于 $P, Q$ 两点. 证明: 焦半径 $|OP|$ 与 $|OQ|$ 的倒数之和为常数, 即 $\frac{1}{|OP|} + \frac{1}{|OQ|}$ 为定值.

证明

设直线 $PQ$ 与极轴的夹角为 $\alpha$. 则点 $P$ 的极坐标可以设为 $(\rho_P, \alpha)$, 点 $Q$ 的极坐标可以设为 $(\rho_Q, \alpha+\pi)$.

根据圆锥曲线的统一极坐标方程 $\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}$:

对于点 $P$, 其极径为 <MathBlock raw={"|OP| = \rho_P = \frac{ep}{1 - e\cos\alpha}"} />

对于点 $Q$, 其极径为 <MathBlock raw={"|OQ| = \rho_Q = \frac{ep}{1 - e\cos(\alpha+\pi)} = \frac{ep}{1 - e(-\cos\alpha)} = \frac{ep}{1 + e\cos\alpha}"} />

计算两焦半径的倒数之和: <MathBlock raw={"\frac{1}{|OP|} + \frac{1}{|OQ|} = \frac{1 - e\cos\alpha}{ep} + \frac{1 + e\cos\alpha}{ep}"} /> <MathBlock raw={"= \frac{(1 - e\cos\alpha) + (1 + e\cos\alpha)}{ep}"} /> <MathBlock raw={"= \frac{2}{ep}"} />

此结果是一个与角度 $\alpha$ 无关的常数, 等于正焦弦长的倒数. 这一性质表明, 半正焦弦长 $ep$ 是所有过焦点的弦的两个半径段的调和平均数.

例

已知行星绕太阳 (位于焦点) 的椭圆轨道方程为 $\rho = \frac{A}{1+\varepsilon\cos\theta}$. 这里 $A$ 为半正焦弦长, $\varepsilon$ 为离心率, 且 $\theta$ 是从近日点开始计算的角度. 求此椭圆轨道的半长轴 $a$ 和半短轴 $b$.

解

本题所给的极坐标方程与我们推导的标准形式略有不同. 标准形式 $\rho = \frac{ep}{1-e\cos\theta}$ 中, $\theta=0$ 对应远日点 (离焦点最远的点). 而题中方程 $\rho = \frac{A}{1+\varepsilon\cos\theta}$ 当 $\theta=0$ 时, 分母最大, $\rho$ 最小, 对应近日点. 这等价于将极轴旋转了 $\pi$.

令 $e=\varepsilon, ep=A$.

近日点距离 (当 $\theta=0$): <MathBlock raw={"\rho_{\min} = \frac{A}{1+\varepsilon\cos(0)} = \frac{A}{1+\varepsilon}"} />

远日点距离 (当 $\theta=\pi$): <MathBlock raw={"\rho_{\max} = \frac{A}{1+\varepsilon\cos(\pi)} = \frac{A}{1-\varepsilon}"} />

根据椭圆的几何性质, 长轴的长度 $2a$ 等于近日点距离与远日点距离之和. <MathBlock raw={"2a = \rho_{\min} + \rho_{\max} = \frac{A}{1+\varepsilon} + \frac{A}{1-\varepsilon}"} /> <MathBlock raw={"2a = \frac{A(1-\varepsilon) + A(1+\varepsilon)}{(1+\varepsilon)(1-\varepsilon)} = \frac{2A}{1-\varepsilon^2}"} /> 故半长轴 $a$ 为: <MathBlock raw={"a = \frac{A}{1-\varepsilon^2}"} />

我们有关系式 $l=ep=A$ 以及 $l = \frac{b^2}{a}$. 因此 $A = \frac{b^2}{a}$. <MathBlock raw={"b^2 = aA = \left(\frac{A}{1-\varepsilon^2}\right) \cdot A = \frac{A^2}{1-\varepsilon^2}"} /> 故半短轴 $b$ 为: <MathBlock raw={"b = \frac{A}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}"} />

例

求圆锥曲线 $\rho = \frac{ep}{1-e\cos\theta}$ 所有焦弦中点的轨迹方程.

解

设一条焦弦 $PQ$ 的端点为 $P(\rho_1, \alpha)$ 和 $Q(\rho_2, \alpha+\pi)$. <MathBlock raw={"\rho_1 = \frac{ep}{1-e\cos\alpha}, \rho_2 = \frac{ep}{1+e\cos\alpha}"} />

设 $PQ$ 的中点为 $M$. 我们首先求 $M$ 的直角坐标. 点 $P$ 的直角坐标为 $(\rho_1\cos\alpha, \rho_1\sin\alpha)$. 点 $Q$ 的直角坐标为 $(\rho_2\cos(\alpha+\pi), \rho_2\sin(\alpha+\pi)) = (-\rho_2\cos\alpha, -\rho_2\sin\alpha)$.

中点 $M(x_M, y_M)$ 的坐标为: <MathBlock raw={"x_M = \frac{\rho_1\cos\alpha - \rho_2\cos\alpha}{2} = \frac{1}{2}(\rho_1-\rho_2)\cos\alpha"} /> <MathBlock raw={"y_M = \frac{\rho_1\sin\alpha - \rho_2\sin\alpha}{2} = \frac{1}{2}(\rho_1-\rho_2)\sin\alpha"} />

计算 $\rho_1-\rho_2$: <MathBlock raw={"\rho_1-\rho_2 = ep \left(\frac{1}{1-e\cos\alpha} - \frac{1}{1+e\cos\alpha}\right) = ep \left(\frac{2e\cos\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha}\right) = \frac{2e^2p\cos\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha}"} />

代入 $x_M, y_M$ 的表达式: <MathBlock raw={"x_M = \frac{e^2p\cos^2\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha}"} /> <MathBlock raw={"y_M = \frac{e^2p\sin\alpha\cos\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha}"} />

这是一个以 $\alpha$ 为参数的参数方程. 为求其轨迹的直角坐标方程, 我们需要消去 $\alpha$. 我们寻求一个简洁的代数关系, 考虑 $x_M$ 与常数 $p$ 的组合: <MathBlock raw={"x_M+p = \frac{e^2p\cos^2\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha} + p = \frac{e^2p\cos^2\alpha + p(1-e^2\cos^2\alpha)}{1-e^2\cos^2\alpha} = \frac{p}{1-e^2\cos^2\alpha}"} />

利用这个关系, 我们可以重新表达 $x_M$ 和 $y_M$: <MathBlock raw={"x_M = e^2\cos^2\alpha \cdot \frac{p}{1-e^2\cos^2\alpha} = e^2\cos^2\alpha (x_M+p)"} /> <MathBlock raw={"y_M = e^2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \frac{p}{1-e^2\cos^2\alpha} = e^2\sin\alpha\cos\alpha (x_M+p)"} />

从第一个关系式解出 $\cos^2\alpha$: <MathBlock raw={"\cos^2\alpha = \frac{x_M}{e^2(x_M+p)}"} />

将第二个关系式平方: <MathBlock raw={"y_M^2 = e^4\sin^2\alpha\cos^2\alpha(x_M+p)^2 = e^4(1-\cos^2\alpha)\cos^2\alpha(x_M+p)^2"} />

将 $\cos^2\alpha$ 的表达式代入: <MathBlock raw={"y_M^2 = e^4 \left(1-\frac{x_M}{e^2(x_M+p)}\right) \left(\frac{x_M}{e^2(x_M+p)}\right) (x_M+p)^2"} /> <MathBlock raw={"y_M^2 = e^4 \left(\frac{e^2(x_M+p)-x_M}{e^2(x_M+p)}\right) \left(\frac{x_M}{e^2(x_M+p)}\right) (x_M+p)^2"} /> 化简可得: <MathBlock raw={"y_M^2 = \left(e^2(x_M+p)-x_M\right)x_M = (e^2x_M+e^2p-x_M)x_M"} />

整理得到轨迹的直角坐标方程 (省略下标 $M$): <MathBlock raw={"(1-e^2)x^2 + e^2px + y^2 = 0"} />

这是一个新的圆锥曲线方程. 我们可以通过配方来确定其具体形式. 若 $e \neq 1$, <MathBlock raw={"(1-e^2)\left(x^2 + \frac{e^2p}{1-e^2}x\right) + y^2 = 0"} /> <MathBlock raw={"(1-e^2)\left(x + \frac{e^2p}{2(1-e^2)}\right)^2 + y^2 = \frac{(1-e^2)e^4p^2}{4(1-e^2)^2} = \frac{e^4p^2}{4(1-e^2)}"} /> 此方程表示一个中心位于 $(-\frac{e^2p}{2(1-e^2)}, 0)$ 的圆锥曲线.

若 $e=1$ (原曲线为抛物线), 方程退化为: <MathBlock raw={"px + y^2 = 0 \implies y^2=-px"} /> 此轨迹方程表示一个与原抛物线全等, 但开口方向相反, 顶点在原点 (即原抛物线焦点) 的抛物线.