立体几何

{/* label: chap:ch17 */}

{/* latex-label: fig:cuboid-lines-planes */} \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 319

\end{figure} 图：长方体中的直线与平面示意图

平面几何，作为建立在公理体系之上的逻辑大厦，为我们提供了描述二维空间的严谨框架.在那个世界里，两条直线的位置关系被简洁地划分为相交或平行.然而，我们所感知的物理世界是三维的.为了将几何学的疆域从理想的平面拓展至更为广阔的空间，我们必须引入新的概念并审视由此产生的更为复杂的位置关系.

观察上方的平行六面体，直线 $AB$ 与直线 $CC_1$ 有何关系？它们不共面，因此既不平行也不相交.我们如何精确地定义和研究这种异面直线的关系？我们又该如何刻画空间中两个平面的相对倾斜程度，即所谓的二面角？

为了系统性地回答这些问题，仅仅依赖直观是远远不够的.我们需要扩展平面几何的公理基础，建立一套适用于三维空间的逻辑演绎体系.这套体系的核心任务，是阐明空间中点、直线、平面这三种基本元素之间相互位置关系的判定、性质与度量.这便是立体几何的起点.

基本公理与空间元素

{/* label: sec:ch17-s01 */}

正如平面几何的研究始于点与直线这两个无法定义却可被直观理解的基本元素，立体几何的理论大厦则建立在引入第三个基本元素——平面——的基础之上.我们用 $\alpha, \beta, \gamma$ 等希腊字母表示平面.这三种元素之间的基本关系由以下几条基本公理所规定，它们是我们进行一切逻辑推演的基石.

公理

不共线的三点确定唯一一个平面.

此公理是空间中确定一个平面位置的根本依据.一个稳固的三脚架正是此公理在物理世界中的绝佳体现. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 320

\end{figure}

公理

若一条直线上有两点在一个平面内，则该直线在这个平面内.

这条公理深刻地揭示了直线作为一维图形与平面作为二维图形之间的从属关系.它保证了平面的平整性，即：平面上任意两点间的连线不会逃出该平面. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 321

\end{figure}

公理

若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条通过该点的公共直线.

此公理排除了两个平面仅交于一点的可能性，精确地刻画了两个不同平面相交的形态.

{/* latex-label: fig:plane-intersection */} \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 322

\end{figure} 图：两平面相交公理的立体示意图

公理的推论

仅仅基于上述三条公理，我们便能通过严密的逻辑演绎，推导出一系列关于空间元素位置关系的基本定理.

定理

两条相交直线确定唯一一个平面.

证明

设两直线 $l_1, l_2$ 交于点 $P$. 为确定一个平面，我们需要找到三个不共线的点. 在直线 $l_1$ 上取异于 $P$ 的一点 $A$, 在直线 $l_2$ 上取异于 $P$ 的一点 $B$. 由于 $l_1$ 与 $l_2$ 是不同的相交直线, 点 $A, B, P$ 必然不共线.

根据公理1，不共线的三点 $A, B, P$ 确定唯一一个平面, 我们称之为 $\alpha$.

接着，我们需要证明直线 $l_1$ 和 $l_2$ 均在平面 $\alpha$ 内. 点 $A$ 和点 $P$ 均在平面 $\alpha$ 内, 且它们都在直线 $l_1$ 上. 根据公理2, 直线 $l_1$ 在平面 $\alpha$ 内. 同理，点 $B$ 和点 $P$ 均在平面 $\alpha$ 内, 且它们都在直线 $l_2$ 上. 根据公理2, 直线 $l_2$ 在平面 $\alpha$ 内.

因此，存在一个包含直线 $l_1, l_2$ 的平面 $\alpha$. 由于任何包含 $l_1, l_2$ 的平面都必须包含点 $A, B, P$, 而这三点仅能确定一个平面，故该平面是唯一的.

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TikZ 图 323

\end{figure}

定理

两条平行直线确定唯一一个平面.

证明

设两直线 $l_1, l_2$ 相互平行. 根据平行直线的定义，它们必须共面. 我们需要证明该平面的唯一性.

在直线 $l_1$ 上取一点 $A$. 根据平行公理的推论, 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行, 因此点 $A$ 不在直线 $l_2$ 上.

一个点与一条不经过该点的直线可以确定一个平面. 我们正式证明这一点：在 $l_2$ 上取两点 $B, C$. 由于 $A \notin l_2$, 三点 $A, B, C$ 不共线. 根据公理1，三点 $A, B, C$ 确定唯一平面 $\alpha$.

由于点 $B, C$ 在平面 $\alpha$ 内, 根据公理2, 直线 $l_2$ 在平面 $\alpha$ 内. 我们还需要证明 $l_1$ 也在 $\alpha$ 内. 假设 $l_1$ 不在 $\alpha$ 内. 由于 $l_1 \parallel l_2$ 且 $l_2 \subset \alpha$, 这意味着 $l_1$ 与平面 $\alpha$ 平行或相交于一点. 但点 $A$ 是 $l_1$ 与 $\alpha$ 的公共点. 故 $l_1$ 与 $\alpha$ 相交于 $A$.

然而，平行直线的定义要求它们共面. 既然我们已经找到了一个包含 $l_2$ 和 $l_1$ 上一点 $A$ 的平面 $\alpha$, 那么 $l_1$ 必须在 $\alpha$ 内，这与假设矛盾. 故 $l_1, l_2$ 均在平面 $\alpha$ 内.

由于任何包含 $l_1, l_2$ 的平面都必须包含点 $A$ 和直线 $l_2$, 而这样的平面是唯一的，故该平面唯一.

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TikZ 图 324

\end{figure}

空间中直线与平面的位置关系

在确立了描述空间的基本公理之后，我们的首要任务便是对空间中的基本元素之间可能存在的位置关系进行分类与定义.

与平面几何相比，三维空间引入了新的自由度，从而催生了更为丰富的几何构型. 我们将依次考察直线与直线、直线与平面、以及平面与平面这三组基本的位置关系.

直线与直线的位置关系

在平面几何的框架内，两条不同直线的位置关系构成了一个清晰的二分法：它们若有公共点，则必相交于一点；若无公共点，则必相互平行. 这种完备的划分，其隐含的前提是这两条直线必然位于同一个平面之上. 当我们将视野拓展至三维空间时，这一隐含前提不再必然成立，从而导致了新的几何可能性的出现.

因此，对空间中两条直线 $l_1, l_2$ 的位置关系进行严谨的分类，其首要且最具决定性的判据是共面性.

空间中两直线的位置关系

设 $l_1, l_2$ 为空间中的两条直线. 它们的位置关系根据其是否共面，可作如下层次化定义：

1. 共面直线: 若存在一个平面 $\alpha$ 同时包含 $l_1$ 和 $l_2$. 在此前提下，其位置关系与平面几何中的情况完全一致：

• 若 $l_1, l_2$ 有且仅有一个公共点，则称它们相交.
• 若 $l_1, l_2$ 没有公共点，则称它们平行.

2. 异面直线: 若不存在任何一个平面能同时包含 $l_1$ 和 $l_2$，则称这两条直线异面.

这一定义建立了一个清晰的逻辑层次. 判断两条直线关系的第一个问题，不是它们是否有交点，而是它们是否共面.

• 若答案为“是”，则问题被降维至一个我们所熟知的二维平面问题，其后续的判断仅需考察公共点的个数.
• 若答案为“否”，则无需再考察公共点，这两条直线的位置关系便被唯一地确定为异面. 从逻辑上讲，异面直线既不平行（因为平行线必须共面），也不相交（因为若相交，则两相交直线必确定一个唯一的平面，与不共面的前提矛盾）.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 325

\end{figure} 图：空间中两直线的三种位置关系

为了在具体问题中判定两条直线 $l_1, l_2$ 的位置关系，可以遵循如下的系统性逻辑步骤： 首先，判断它们是否共面. 这可以通过几何构造来完成：在 $l_1$ 上取一点 $A$, 在 $l_2$ 上取一点 $B$. 若 $l_1 \parallel l_2$ 或 $l_1, l_2$ 相交, 则它们共面. 若不属于这两种情况, 则在 $l_1$ 上另取一点 $C$. 如果 $A, B, C$ 以及 $l_2$ 均在同一个平面内, 则 $l_1, l_2$ 共面.

接着，若已确定 $l_1, l_2$ 共面，则问题退化为平面几何问题，只需判断它们是否有公共点. 若有，则相交；若无，则平行.

最后，如果在第一步中，通过任何构造都无法将 $l_1, l_2$ 置于同一平面内（例如, 在四面体中, 底面的边 $AB$ 与其上方的棱 $CD$），那么根据定义，它们必然是异面直线.

相交、平行、异面这三种关系，构成了一个对空间中任意两条直线位置关系的完备且互斥的分类体系.

直线与平面的位置关系

考察直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的公共点的集合, 其元素的个数——$0, 1$ 或无穷——为我们提供了对它们位置关系进行分类的自然依据.

直线与平面的位置关系

设 $l$ 为直线, $\alpha$ 为平面.

• 若 $l$ 与 $\alpha$ 有且仅有一个公共点，则称直线与平面相交.
• 若 $l$ 与 $\alpha$ 没有公共点, 则称直线与平面平行, 记作 $l \parallel \alpha$.
• 若 $l$ 与 $\alpha$ 有无穷多个公共点, 则称直线在平面内, 记作 $l \subset \alpha$.

根据公理2，若一条直线上有两点在平面内，则该直线必在平面内. 这保证了直线与平面的公共点个数不可能为大于等于2的有限数. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 326

\end{figure} 图：直线与平面的三种位置关系

平面与平面的位置关系

最后，我们考察两个平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 在空间中的位置关系. 同样地，这种关系由它们的公共点集的形态所决定.

平面与平面的位置关系

设 $\alpha, \beta$ 为两个平面.

• 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 没有公共点, 则称这两个平面平行, 记作 $\alpha \parallel \beta$.
• 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 有公共点，则称这两个平面相交.

公理3直接规定了相交平面的几何形态：若两平面有公共点，则它们必交于一条通过该点的直线. 这意味着两平面不可能仅交于一点或一条线段. 它们的交集若非空，则必为一条无限延伸的直线. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 327

\end{figure} 图：平面与平面的两种位置关系

至此，我们完成了对空间基本元素之间所有位置关系的定义性分类.

本节习题

习题

\exerciseentry { 判断以下论断是否为真，并基于本节公理与推论阐述理由：空间中任意四个点必然共面. } { 证明：一条直线与不经过该直线的一个点，确定唯一一个平面. }

\exerciseentry { 设四点 $A, B, C, D$ 不共面. 证明：连接 $A, B$ 的直线与连接 $C, D$ 的直线是异面直线. } { 在空间四边形 $ABCD$ (即四顶点不共面的四边形) 中, 点 $M, N, P, Q$ 分别是棱 $AB, BC, CD, DA$ 上的点. 若直线 $MN$ 与直线 $PQ$ 相交于点 $K$. 证明: $A, C, K$ 三点共线. }

\exerciseentry { 考察空间中三条不同的直线 $l_1, l_2, l_3$. 若它们两两相交，证明这三条直线或者共点，或者共面. } { 考察空间中四条不同的直线，其中任意三条都不共面. 若这四条直线中的每一条都与其他三条相交，证明这四条直线必共点. }

\exerciseentry { 设三个互不重合的平面 $\alpha, \beta, \gamma$ 两两相交，且其三条交线互不平行. 证明这三条交线必共点. } { (空间中的迪沙格定理) 设 $O, A, B, C, A', B', C'$ 为空间中七个不同的点, 且 $A, B, C$ 不共线, $A', B', C'$ 亦不共线. 若三条直线 $AA', BB', CC'$ 交于一点 $O$. 设平面 $ABC$ 与平面 $A'B'C'$ 相交于直线 $l$. 证明: 两组对应边的交点, 即 $P = AB \cap A'B'$, $Q = BC \cap B'C'$, $R = CA \cap C'A'$ 三点均在直线 $l$ 上, 因而共线. }

习题解析

解

第一题

该论断为假.

我们构建一个反例. 取不共线的三个点 $A, B, C$. 根据公理1, 这三点确定唯一一个平面, 记为 $\alpha$. 接着, 在平面 $\alpha$ 之外任取一点 $D$. 这样的点必然存在, 否则空间中所有点都将位于平面 $\alpha$ 内，这与我们对三维空间的认知相悖.

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TikZ 图 328

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现在我们拥有四个点 $A, B, C, D$. 假设这四点共面于某个平面 $\beta$. 由于 $A, B, C$ 均在 $\beta$ 内, 且它们不共线, 根据公理1的唯一性, 平面 $\beta$ 必须是平面 $\alpha$. 这意味着点 $D$ 也必须在平面 $\alpha$ 内. 但这与我们对点 $D$ 的选取（$D$ 在 $\alpha$ 之外）直接矛盾.

因此，假设不成立. 空间中任意四点并非必然共面. 这种由四个不共面的点构成的几何体，即为四面体.

证明

第二题

设已知直线为 $l$, 点为 $P$, 且 $P \notin l$. 我们需要证明存在且仅存在一个平面同时包含 $l$ 和 $P$.

为确定一个平面，我们需要不共线的三个点. 在直线 $l$ 上任意选取两个不同的点, 记为 $A$ 和 $B$. 由于点 $P$ 不在直线 $l$ 上, 故三点 $P, A, B$ 必然不共线.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 329

\end{figure}

根据公理1，不共线的三点 $P, A, B$ 确定唯一一个平面. 我们称此平面为 $\alpha$.

接着，我们需要证明直线 $l$ 和点 $P$ 均在此平面 $\alpha$ 内. 点 $P$ 作为确定平面 $\alpha$ 的三点之一, 显然有 $P \in \alpha$. 点 $A$ 和点 $B$ 都在直线 $l$ 上, 并且它们也都是确定平面 $\alpha$ 的点, 故 $A \in \alpha$ 且 $B \in \alpha$. 根据公理2，若一条直线上有两点在一个平面内，则该直线在这个平面内. 因此，直线 $l$ 在平面 $\alpha$ 内.

至此，我们证明了存在这样一个平面 $\alpha$. 为证明其唯一性，我们注意到任何包含直线 $l$ 和点 $P$ 的平面都必须同时包含点 $A, B, P$. 由于这三个不共线的点仅能确定一个唯一的平面，故满足条件的平面是唯一的.

证明

第三题

设直线 $AB$ 为 $l_1$, 直线 $CD$ 为 $l_2$. 根据异面直线的定义，我们需要证明不存在任何一个平面能同时包含 $l_1$ 和 $l_2$.

我们采用反证法. 假设存在一个平面 $\alpha$ 能同时包含直线 $l_1$ 和 $l_2$.

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TikZ 图 330

\end{figure}

若 $l_1 \subset \alpha$, 则根据点的从属关系, 直线上的所有点都在平面内, 故 $A \in \alpha$ 且 $B \in \alpha$. 同理，若 $l_2 \subset \alpha$, 则 $C \in \alpha$ 且 $D \in \alpha$.

综合上述，可得 $A, B, C, D$ 四个点全部位于平面 $\alpha$ 之内. 这意味着四点 $A, B, C, D$ 共面.

然而，这与题目给出的初始条件“四点 $A, B, C, D$ 不共面”直接矛盾.

因此，我们的初始假设“存在一个平面 $\alpha$ 能同时包含 $l_1$ 和 $l_2$”是错误的. 根据异面直线的定义，直线 $AB$ 与直线 $CD$ 是异面直线.

证明

第四题

欲证 $A, C, K$ 三点共线, 我们只需证明点 $K$ 位于由 $A, C$ 两点确定的直线上.

考察由不共面的四点 $A, B, C, D$ 所确定的两个平面：平面 $ABC$ 与平面 $ADC$. 根据公理3，这两个平面必相交于一条直线. 点 $A$ 与点 $C$ 是这两个平面的公共点, 故它们的交线就是直线 $AC$.

接着，考虑点 $K$ 的位置. 根据题设，$K$ 是直线 $MN$ 与直线 $PQ$ 的交点, 故 $K$ 既在直线 $MN$ 上, 也在直线 $PQ$ 上.

考察直线 $MN$. 点 $M$ 在棱 $AB$ 上, 点 $N$ 在棱 $BC$ 上. 由于 $AB \subset \text{平面 } ABC$ 且 $BC \subset \text{平面 } ABC$, 可知点 $M, N$ 均在平面 $ABC$ 内. 根据公理2，连接 $M, N$ 的直线 $MN$ 必在平面 $ABC$ 内. 因为 $K \in MN$, 所以 $K \in \text{平面 } ABC$.

以完全相同的方式考察直线 $PQ$. 点 $P$ 在棱 $CD$ 上, 点 $Q$ 在棱 $DA$ 上. 由于 $CD \subset \text{平面 } ADC$ 且 $DA \subset \text{平面 } ADC$, 可知点 $P, Q$ 均在平面 $ADC$ 内. 根据公理2，连接 $P, Q$ 的直线 $PQ$ 必在平面 $ADC$ 内. 因为 $K \in PQ$, 所以 $K \in \text{平面 } ADC$.

至此，我们证明了点 $K$ 既是平面 $ABC$ 的一个点, 也是平面 $ADC$ 的一个点. 这意味着点 $K$ 是这两个平面的一个公共点. 因此，点 $K$ 必然位于这两个平面的交线之上.

如前所述，该交线为直线 $AC$. 故 $K$ 在直线 $AC$ 上, $A, C, K$ 三点共线.

证明

第五题

设三条直线为 $l_1, l_2, l_3$. 它们两两相交, 设 $l_1 \cap l_2 = P_3$, $l_2 \cap l_3 = P_1$, $l_3 \cap l_1 = P_2$.

我们需要对交点 $P_1, P_2, P_3$ 的情况进行讨论.

第一种情形：三个交点重合为一点. 即 $P_1 = P_2 = P_3$. 设此公共点为 $O$. 此时，三条直线 $l_1, l_2, l_3$ 都经过点 $O$. 根据定义，这三条直线共点.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 331

\end{figure}

第二种情形：三个交点不完全重合. 此时，至少有两个交点是不同的. 不失一般性，假设 $P_1 \ne P_2$. 由于 $l_1, l_3$ 是两条相交直线 (交于 $P_2$), 根据本节推论, 它们确定唯一一个平面, 我们称之为 $\alpha$. 故 $l_1 \subset \alpha$ 且 $l_3 \subset \alpha$.

接着，我们考察直线 $l_2$ 与平面 $\alpha$ 的关系. 点 $P_1$ 是 $l_2$ 与 $l_3$ 的交点. 因为 $l_3 \subset \alpha$, 所以 $P_1 \in \alpha$. 点 $P_3$ 是 $l_2$ 与 $l_1$ 的交点. 因为 $l_1 \subset \alpha$, 所以 $P_3 \in \alpha$.

此时，直线 $l_2$ 上有两个不同的点 $P_1, P_3$ (如果 $P_1=P_3$, 则 $l_1,l_3$ 都与 $l_2$ 交于同一点, 这会使 $l_1,l_2,l_3$ 共点, 归入第一种情形) 都在平面 $\alpha$ 内. 根据公理2，直线 $l_2$ 必在平面 $\alpha$ 内.

至此，我们证明了 $l_1, l_2, l_3$ 三条直线全部位于平面 $\alpha$ 内. 根据定义，这三条直线共面.

综上所述，三条两两相交的直线，必然或者共点，或者共面.

证明

第六题

设这四条不同的直线为 $l_1, l_2, l_3, l_4$.

首先，任意选取其中的三条直线，例如 $l_1, l_2, l_3$. 根据题设，它们两两相交. 根据上一题的结论，这三条直线或者共点，或者共面.

但题设中明确指出“任意三条都不共面”. 因此，直线 $l_1, l_2, l_3$ 只能是共点. 设它们的公共点为 $O$.

以完全相同的方式，我们考察另外三条直线 $l_1, l_2, l_4$. 它们同样两两相交且不共面，因此它们也必然共点. 它们的公共点是 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点, 即点 $O$. 这意味着直线 $l_4$ 也必须经过点 $O$.

至此，我们已经证明了 $l_1, l_2, l_3, l_4$ 这四条直线全部都经过点 $O$. 因此，这四条直线必然共点.

证明

第七题

设 $\alpha \cap \beta = l_1$, $\beta \cap \gamma = l_2$, $\gamma \cap \alpha = l_3$.

我们考察交线 $l_1$ 与 $l_3$. $l_1 = \alpha \cap \beta \implies l_1 \subset \alpha$. $l_3 = \gamma \cap \alpha \implies l_3 \subset \alpha$. 故直线 $l_1, l_3$ 均在平面 $\alpha$ 内, 它们是共面直线.

根据题设，这三条交线互不平行，因此 $l_1$ 与 $l_3$ 必然相交. 设它们的交点为 $P$.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 332

\end{figure}

现在我们需要证明点 $P$ 同样位于第三条交线 $l_2$ 之上.

从交点 $P$ 的定义可知, $P \in l_1$ 且 $P \in l_3$.

因为 $P \in l_1$, 而 $l_1$ 是平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 的交线, 故 $P \in \alpha$ 且 $P \in \beta$. 因为 $P \in l_3$, 而 $l_3$ 是平面 $\gamma$ 和 $\alpha$ 的交线, 故 $P \in \gamma$ 且 $P \in \alpha$.

综合上述从属关系，我们发现点 $P$ 同时属于平面 $\beta$ 和平面 $\gamma$.

根据公理3，若两个平面有一个公共点，则它们必交于一条通过该点的直线. 点 $P$ 是平面 $\beta$ 和 $\gamma$ 的一个公共点. 因此，点 $P$ 必然位于平面 $\beta$ 和 $\gamma$ 的交线之上.

这条交线正是 $l_2$. 故 $P \in l_2$.

我们证明了 $l_1$ 与 $l_3$ 的交点 $P$ 必在 $l_2$ 上, 这意味着三条交线 $l_1, l_2, l_3$ 交于同一点 $P$. 因此，这三条交线共点.

证明

第八题

设平面 $ABC$ 为 $\pi_1$, 平面 $A'B'C'$ 为 $\pi_2$. 它们的交线为 $l$. 我们的目标是证明点 $P, Q, R$ 均在直线 $l$ 上.

首先考察点 $P = AB \cap A'B'$. 点 $P$ 在直线 $AB$ 上, 而直线 $AB$ 在平面 $ABC$ (即 $\pi_1$) 内, 故 $P \in \pi_1$. 点 $P$ 在直线 $A'B'$ 上, 而直线 $A'B'$ 在平面 $A'B'C'$ (即 $\pi_2$) 内, 故 $P \in \pi_2$.

因为点 $P$ 同时属于平面 $\pi_1$ 和 $\pi_2$, 所以 $P$ 必然位于这两个平面的交线 $l$ 之上.

接着，我们必须证明交点 $P$ 确实存在. $P$ 存在等价于直线 $AB$ 与 $A'B'$ 相交. 两条直线相交的充要条件是它们共面且不平行. 考察由点 $O, A, B$ 确定的平面, 记为 $\pi_{OAB}$. 因为 $A, A'$ 都在直线 $OA$ 上, $B, B'$ 都在直线 $OB$ 上, 故 $A, B, A', B'$ 四点均在平面 $\pi_{OAB}$ 内. 因此, 直线 $AB$ 和直线 $A'B'$ 是共面直线. 只要它们不平行, 交点 $P$ 就存在. (通常题目会隐含此条件, 或可通过构型保证).

以完全对称的逻辑，我们考察点 $Q = BC \cap B'C'$. $Q \in BC \implies Q \in \pi_1$. $Q \in B'C' \implies Q \in \pi_2$. 故 $Q$ 必然位于交线 $l$ 之上. 其存在性由直线 $BC$ 与 $B'C'$ 在平面 $OBC$ 内共面且不平行所保证.

最后考察点 $R = CA \cap C'A'$. $R \in CA \implies R \in \pi_1$. $R \in C'A' \implies R \in \pi_2$. 故 $R$ 必然位于交线 $l$ 之上. 其存在性由直线 $CA$ 与 $C'A'$ 在平面 $OCA$ 内共面且不平行所保证.

综上所述，三个交点 $P, Q, R$ 均位于同一条直线 $l$ (即平面 $ABC$ 与平面 $A'B'C'$ 的交线) 上, 故它们必然共线.

证明线线平行的基本策略

{/* label: sec:ch17-s02 */}

在立体几何的框架下，证明两条直线 (a, b) 相互平行（记作 (a \parallel b)）是构建空间几何关系论证的基础. 其核心思想是将空间问题转化为平面问题，或利用更高级别的平行关系（如线面平行、面面平行）进行推导. 以下是三种核心的证明策略.

利用平行公理的传递性

理论基础: 平行于同一直线的两条直线互相平行.

这是最直接的方法，它将空间中的平行关系溯源至平面几何的公理体系. 其逻辑是寻找一条“中间桥梁”直线 (c)，分别证明 (a \parallel c) 和 (b \parallel c)，从而根据传递性断定 (a \parallel b). 在具体应用中，这条中间直线 (c) 往往是某个辅助平面图形（如三角形、平行四边形）的关键边或对角线.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 333

\end{figure}

例

在平行六面体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，设 (E, F) 分别是棱 (A_1B_1) 和 (C_1D_1) 的中点. 求证: (EF \parallel AD). \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 334

\end{figure}

证明

欲证 (EF \parallel AD), 一个自然的思路是寻找一条同时与 (EF) 和 (AD) 都平行的中间直线.

考察平行六面体的顶面 (A_1B_1C_1D_1). 根据平行六面体的性质，该四边形是一个平行四边形. <MathBlock raw={"A_1B_1 \parallel D_1C_1 \text{且} A_1B_1 = D_1C_1"} /> 由于点 (E, F) 分别是 (A_1B_1) 和 (C_1D_1) 的中点，我们有 <MathBlock raw={"A_1E = \frac{1}{2} A_1B_1, D_1F = \frac{1}{2} D_1C_1"} /> 因此可得 (A_1E \parallel D_1F) 且 (A_1E = D_1F).

由此可知，四边形 (A_1EFD_1) 是一个平行四边形. 根据平行四边形的性质，其对边相互平行. <MathBlock raw={"EF \parallel A_1D_1"} /> 接着，考察侧面 (ADD_1A_1). 它同样是一个平行四边形，故其对边 (AD \parallel A_1D_1).

至此，我们已经建立了两个平行关系: (EF \parallel A_1D_1) 与 (AD \parallel A_1D_1). 直线 (A_1D_1) 构成了我们所寻求的桥梁. 根据平行公理的传递性，可断定 <MathBlock raw={"EF \parallel AD"} />

例

在空间四边形 (ABCD) 中，点 (E, F, G, H) 分别是边 (AB, BC, CD, DA) 的中点. 求证: (EF \parallel HG). \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 335

\end{figure}

证明

尽管四点 (A, B, C, D) 不共面，但我们可以通过构造辅助线，将空间问题置于平面几何的框架内进行考察. 连接对角线 (AC).

在 (\triangle ABC) 中, 点 (E) 是 (AB) 的中点，点 (F) 是 (BC) 的中点. 根据三角形中位线定理, (EF) 平行于第三边 (AC), 且其长度为 (AC) 的一半. <MathBlock raw={"EF \parallel AC"} /> 接着, 考察由点 (A, D, C) 构成的平面 (\triangle ADC). 在此三角形中, 点 (H) 是 (DA) 的中点, 点 (G) 是 (CD) 的中点. 同样根据三角形中位线定理, 我们有 <MathBlock raw={"HG \parallel AC"} /> 此时, 直线 (AC) 成为了连接 (EF) 与 (HG) 平行关系的桥梁. 由 (EF \parallel AC) 和 (HG \parallel AC), 根据平行公理的传递性, 我们立即得出结论 <MathBlock raw={"EF \parallel HG"} /> 一个更进一步的推论是, 四边形 (EFGH) 是一个平行四边形.

例

在平行六面体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，设 (M, N) 分别是侧面 (ADD_1A_1) 与 (BCC_1B_1) 的中心. 求证: (MN \parallel AB). \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 336

\end{figure}

证明

此问题的关键在于将作为面中心的点 (M, N) 的几何位置，通过恰当的辅助线转化为更易于处理的边中点问题.

一个平行四边形的中心是其两条对角线的交点，也是对角线的中点. 因此, 点 (M) 是对角线 (AD_1) 和 (A_1D) 的中点, 点 (N) 是对角线 (BC_1) 和 (B_1C) 的中点.

我们选取 (M) 作为 (AD_1) 的中点, (N) 作为 (BC_1) 的中点. 为了找到联系 (MN) 与 (AB) 的桥梁, 构造一个包含其中一条线段的辅助平面图形.

设 (P) 是棱 (DC) 的中点，并连接 (AP, C_1P). 考察由 (A, B, C_1, D_1) 四点构成的空间四边形. 注意到在平行六面体中, (AB \parallel D_1C_1) 且 (AB = D_1C_1), 故 (ABC_1D_1) 是一个平行四边形. 在此平行四边形 (ABC_1D_1) 中, (M) 是对角线 (AD_1) 的中点, (N) 是对角线 (BC_1) 的中点. 连接 (AC_1). 设 (O) 为 (AC_1) 的中点. 在 (\triangle ABC_1) 中，(O, N) 分别为 (AC_1, BC_1) 的中点, 故有 <MathBlock raw={"ON \parallel AB"} /> 在 (\triangle AD_1C_1) 中, (O, M) 分别为 (AC_1, AD_1) 的中点, 故有 <MathBlock raw={"OM \parallel D_1C_1"} /> 由于 (D_1C_1 \parallel AB), 根据平行公理的传递性, 可得 (OM \parallel AB).

现在, 我们有 (ON \parallel AB) 且 (OM \parallel AB). 由于 (OM) 和 (ON) 都经过点 (O), 且平行于同一直线 (AB), 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的公理, 点 (M, O, N) 必然共线.

因此, 直线 (MN) 与直线 (AB) 相互平行.

利用线面平行的性质定理

理论基础: 一条直线若与一个平面平行，则过这条直线的任意一个平面与此平面的交线，与该直线平行.

此策略是一种“降维”思想的应用. 若要证明 (a \parallel b)，我们可以构造一个包含直线 (b) 的平面 (\alpha). 接着，证明直线 (a) 与平面 (\alpha) 平行 ((a \parallel \alpha)). 最后，指出 (a) 和 (b) 均位于另一个平面 (\beta) 内, 且平面 (\beta) 与 (\alpha) 的交线恰好是 (b). 此时，根据线面平行的性质定理，必然有 (a \parallel b).

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TikZ 图 337

\end{figure}

例

设四棱锥 (P-ABCD) 的底面是平行四边形, 点 (M, N) 分别是棱 (PA, PB) 的中点. 求证: (MN) 平行于平面 (PCD) 与平面 (ABCD) 的交线. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 338

\end{figure}

证明

首先需要明确所要证明平行的两条直线. 题目中明确指出了直线 (MN). 另一条直线是平面 (PCD) 与平面 (ABCD) 的交线.

观察图形，平面 (PCD) 与平面 (ABCD) 共享棱 (CD), 因此它们的交线即为直线 (CD). 问题的本质是证明 (MN \parallel CD).

根据本节所介绍的策略，我们尝试证明直线 (MN) 与一个包含 (CD) 的平面平行. 一个自然的选择是平面 (PCD).

为证 (MN \parallel \text{平面 } PCD), 我们需要在平面 (PCD) 内寻找一条与 (MN) 平行的直线. 在 (\triangle PAB) 中, 由于 (M, N) 分别是 (PA, PB) 的中点, 根据三角形中位线定理, 我们有 (MN \parallel AB).

又因底面 (ABCD) 是平行四边形, 故 (AB \parallel CD). 根据平行公理的传递性, 从 (MN \parallel AB) 与 (AB \parallel CD) 可推得 (MN \parallel CD).

此时, 直线 (CD) 包含于平面 (PCD) 中, 而直线 (MN) 显然不在该平面内 (否则点 (P,A,B) 均在平面 (PCD) 内, 这与四棱锥的构造相悖). 根据直线与平面平行的判定定理, 我们断定 <MathBlock raw={"MN \parallel \text{平面 } PCD"} /> 至此, 准备工作已经完成. 我们要证明的直线 (MN) 与平面 (PCD) 平行.

构造一个包含 (MN) 的平面. 平面 (PAB) 即是这样一个平面. 平面 (PAB) 与我们刚刚考察的平面 (PCD) 并不相交于一条直线 (除非 (P,A,B,C,D) 共面), 因此这并非我们所需的应用场景.

我们回到最初的推导 (MN \parallel CD). 实际上, 在证明 (MN \parallel \text{平面 } PCD) 的过程中, 我们已经通过传递性证得了 (MN \parallel CD). 虽然此题可以仅用传递性解决, 但它完美地展示了运用线面平行性质定理的逻辑链条: 首先证明线面平行, 接着利用包含该线的平面与此平面相交, 从而得到线线平行的结论.

例

在三棱柱 (ABC-A_1B_1C_1) 中, 一个平面 (\beta) 与棱 (AC) 平行, 且与棱 (AB, BC, A_1B_1, B_1C_1) 分别交于点 (M, N, M_1, N_1). 求证: (MN \parallel M_1N_1). \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 339

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证明

欲证 (MN \parallel M_1N_1), 我们再次尝试寻找一个中间桥梁. 此题的条件并未直接给出两条线的平行关系, 而是给出了一个关键的线面平行关系: (\text{平面 } \beta \parallel AC). 这等价于 (AC \parallel \text{平面 } \beta).

注意到直线 (AC) 位于底面 (ABC) 内. 于是, 我们可以应用线面平行的性质定理. 已知直线 (AC) 与平面 (\beta) (即平面 (MNN_1M_1)) 平行. 平面 (ABC) 是一个过直线 (AC) 的平面. 该平面 (ABC) 与平面 (\beta) 的交线是直线 (MN). 根据定理, 我们必然有 <MathBlock raw={"MN \parallel AC"} /> 这是一个重要的中间结论. 接着, 我们将目光投向棱柱的顶面.

在三棱柱中, 底面与顶面相互平行, 故 (AC \parallel A_1C_1). 由 (AC \parallel \text{平面 } \beta) 以及 (AC \parallel A_1C_1), 可推知 (A_1C_1 \parallel \text{平面 } \beta).

现在我们重复刚才的论证过程: 已知直线 (A_1C_1) 与平面 (\beta) 平行. 平面 (A_1B_1C_1) 是一个过直线 (A_1C_1) 的平面. 该平面 (A_1B_1C_1) 与平面 (\beta) 的交线是直线 (M_1N_1). 根据同一性质定理, 必有 <MathBlock raw={"M_1N_1 \parallel A_1C_1"} /> 至此, 我们获得了三个平行关系: (MN \parallel AC), (M_1N_1 \parallel A_1C_1), 以及 (AC \parallel A_1C_1). 通过平行公理的传递性, 易得 <MathBlock raw={"MN \parallel M_1N_1"} />

例

在一个空间四边形 (ABCD) 中, (E, F) 分别是边 (AB, AD) 的中点. 一个平面 (\alpha) 经过 (GH), 其中 (G, H) 分别是边 (BC, CD) 上的点, 且平面 (\alpha) 平行于直线 (EF). 若平面 (\alpha) 与平面 (ABD) 的交线为 (l), 求证: (l \parallel BD). \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 340

\end{figure}

证明

题目的目标是证明 (l \parallel BD). 我们分析已知条件. 核心条件是平面 (\alpha) 平行于直线 (EF), 即 (EF \parallel \alpha). 同时, 我们知道直线 (l) 的来源: (l = \text{平面 } \alpha \cap \text{平面 } ABD).

这恰好构成了应用线面平行性质定理的场景. 已知直线 (EF) 与平面 (\alpha) 平行. 直线 (EF) 包含于平面 (ABD) 之中. 根据定理, 过 (EF) 的平面 (ABD) 与平面 (\alpha) 的交线 (l) 必然与 (EF) 平行. 所以我们首先得到一个结论: <MathBlock raw={"l \parallel EF"} /> 这个结论将问题从证明 (l \parallel BD) 转化为了证明 (EF \parallel BD).

后者是一个纯粹的平面几何问题. 考察 (\triangle ABD). 点 (E) 是边 (AB) 的中点, 点 (F) 是边 (AD) 的中点. 根据三角形中位线定理, (EF) 必然平行于第三边 (BD). <MathBlock raw={"EF \parallel BD"} /> 最后, 结合我们得到的两个平行关系 (l \parallel EF) 和 (EF \parallel BD), 根据平行公理的传递性, 可立即断定 <MathBlock raw={"l \parallel BD"} /> 此题的论证过程展现了一种典型的解题模式: 首先利用线面平行的性质定理, 将空间中的平行问题转化为一个更简单的线线平行问题, 然后在某个平面内解决这个子问题, 最后通过传递性获得最终答案.

利用面面平行的性质定理

理论基础: 若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行.

若要证明 (a \parallel b)，我们可以构造两个相互平行的平面 (\alpha) 和 (\beta)，使得直线 (a) 位于 (\alpha) 内，直线 (b) 位于 (\beta) 内. 接着，找到或构造第三个平面 (\gamma)，它同时与 (\alpha) 和 (\beta) 相交，并且其交线分别就是 (a) 和 (b). 即 (\alpha \cap \gamma = a) 且 (\beta \cap \gamma = b).

此时，根据面面平行的性质定理，必然有 (a \parallel b). 此定理也是作空间几何体截面的重要理论依据之一，当一个几何体被一系列平行平面所截时，得到的截面轮廓线中平行的边就源于此.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 341

\end{figure}

例

在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中, 设 (M, N) 分别是棱 (A_1B_1, A_1D_1) 的中点. 一个过点 (A, M, N) 的平面 (\gamma) 与底面 (ABCD) 相交于直线 (l). 求证: (l \parallel BD). \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 342

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证明

欲证 (l \parallel BD), 我们的策略是利用面面平行的性质定理, 寻找两个平行平面, 并证明 (l) 和 (BD) (或其平行线) 是第三个平面与这两个平行平面的交线.

在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中, 顶面 (A_1B_1C_1D_1) 与底面 (ABCD) 相互平行. 我们称顶面为平面 (\beta), 底面为平面 (\alpha). <MathBlock raw={"\alpha \parallel \beta"} /> 题目所给的平面 (\gamma) (即平面 (AMN)) 分别与这两个平面相交.

根据题设, 平面 (\gamma) 与平面 (\alpha) (底面 (ABCD)) 的交线是 (l). <MathBlock raw={"l = \gamma \cap \alpha"} /> 接着, 我们考察平面 (\gamma) 与平面 (\beta) (顶面 (A_1B_1C_1D_1)) 的交线. 由于点 (M) 和 (N) 均在棱 (A_1B_1) 和 (A_1D_1) 上, 它们都位于平面 (\beta) 内. 同时, (M, N) 也位于平面 (\gamma) 内. 因此, 连接 (M, N) 的直线是这两个平面的交线. <MathBlock raw={"MN = \gamma \cap \beta"} /> 至此, 我们已经满足了应用面面平行性质定理的所有条件: 两个平行平面 (\alpha, \beta) 被第三个平面 (\gamma) 所截, 交线分别为 (l) 和 (MN). 根据该定理, 我们必然有 <MathBlock raw={"l \parallel MN"} /> 此结论将原问题转化为证明 (MN \parallel BD).

考察顶面 (\triangle A_1B_1D_1). 由于 (M) 是 (A_1B_1) 的中点, (N) 是 (A_1D_1) 的中点, 根据三角形中位线定理, (MN) 平行于第三边 (B_1D_1), 且其长度为 (B_1D_1) 的一半. <MathBlock raw={"MN \parallel B_1D_1"} /> 又因为在正方体中, 侧棱相互平行且相等, 故四边形 (BDD_1B_1) 是一个矩形, 其对边平行. <MathBlock raw={"BD \parallel B_1D_1"} /> 通过平行关系的传递性, 结合 (l \parallel MN), (MN \parallel B_1D_1) 以及 (B_1D_1 \parallel BD), 我们最终得出结论 <MathBlock raw={"l \parallel BD"} />

例

设有一棱锥 (P-ABCD), 其底面 (ABCD) 为平行四边形. 一个平行于底面的平面 (\alpha) 与棱 (PA, PB, PC, PD) 分别相交于点 (A', B', C', D'). 求证: 四边形 (A'B'C'D') 是一个平行四边形. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 343

\end{figure}

证明

为证明四边形 (A'B'C'D') 是平行四边形, 我们需要证明其两组对边分别平行, 即 (A'B' \parallel D'C') 且 (A'D' \parallel B'C').

首先证明 (A'B' \parallel D'C'). 根据题设, 平面 (A'B'C'D') (即平面 (\alpha)) 与底面平面 (ABCD) 平行. <MathBlock raw={"\text{平面 } A'B'C'D' \parallel \text{平面 } ABCD"} /> 我们寻找一个同时与这两个平面相交的第三个平面. 侧面 (PAB) 满足此条件.

平面 (PAB) 与平面 (A'B'C'D') 的交线是 (A'B'). 平面 (PAB) 与平面 (ABCD) 的交线是 (AB). 根据面面平行的性质定理, 这两条交线必然相互平行. <MathBlock raw={"A'B' \parallel AB"} /> 接着, 我们以同样的方式考察侧面 (PCD). 平面 (PCD) 与平面 (A'B'C'D') 的交线是 (D'C'). 平面 (PCD) 与平面 (ABCD) 的交线是 (DC). 再次应用该性质定理, 得到 <MathBlock raw={"D'C' \parallel DC"} /> 由于底面 (ABCD) 是一个平行四边形, 其对边 (AB) 与 (DC) 平行. <MathBlock raw={"AB \parallel DC"} /> 综合以上三个平行关系: (A'B' \parallel AB), (AB \parallel DC), (DC \parallel D'C'), 根据平行公理的传递性, 我们得到第一组对边的平行关系. <MathBlock raw={"A'B' \parallel D'C'"} /> 完全同理, 我们可以通过考察侧面 (PAD) 与 (PBC) 来证明另一组对边的平行性.

在平面 (PAD) 中, 有 (A'D' \parallel AD). 在平面 (PBC) 中, 有 (B'C' \parallel BC). 在底面 (ABCD) 中, 有 (AD \parallel BC).

通过传递性, 可得 (A'D' \parallel B'C').

由于四边形 (A'B'C'D') 的两组对边分别平行, 故它是一个平行四边形.

例

设 (\alpha) 与 (\beta) 为两个相互平行的平面. 一条直线 (l) 与它们都相交, 交点分别为 (A \in \alpha) 和 (B \in \beta). 另有一点 (C) 在平面 (\alpha) 内. 过点 (C) 作直线 (m), 使得 (m \parallel l), 且 (m) 与平面 (\beta) 交于点 (D). 求证: (AC \parallel BD). \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 344

\end{figure}

证明

此题的证明展现了如何从线线平行关系出发, 构造出应用面面平行性质定理所需的第三个平面.

我们已知条件 (l \parallel m). 根据平行直线的定义, 两条平行直线必然共面. 设包含直线 (l) 和 (m) 的唯一平面为 (\gamma).

由于点 (A, B) 在直线 (l) 上, 点 (C, D) 在直线 (m) 上, 故此四点均位于平面 (\gamma) 内.

现在, 我们考察平面 (\gamma) 与已知的两个平行平面 (\alpha, \beta) 的关系. 已知 (\alpha \parallel \beta). 平面 (\gamma) 与平面 (\alpha) 相交. 其交线是一条包含所有公共点的直线. 点 (A) 和点 (C) 均在 (\alpha) 内, 同时也都在 (\gamma) 内, 故它们是公共点. 因此, 直线 (AC) 是平面 (\gamma) 与平面 (\alpha) 的交线. <MathBlock raw={"AC = \gamma \cap \alpha"} /> 同理, 平面 (\gamma) 也与平面 (\beta) 相交. 点 (B) 和点 (D) 既在 (\beta) 内, 又在 (\gamma) 内. 因此, 直线 (BD) 是平面 (\gamma) 与平面 (\beta) 的交线. <MathBlock raw={"BD = \gamma \cap \beta"} /> 我们已经清晰地构造出了定理所需的几何结构: 两个平行平面 (\alpha, \beta) 被第三个平面 (\gamma) 所截, 产生的两条交线分别是 (AC) 和 (BD).

根据面面平行的性质定理, 这两条交线必然相互平行. <MathBlock raw={"AC \parallel BD"} /> 由此命题得证. 进一步观察可知, 四边形 (ACDB) 是一个平行四边形.

计算问题

在立体几何中，与平行相关的计算问题通常归结为线段长度的求解. 解决此类问题的核心策略是，首先利用上述的平行判定与性质定理，从线面平行或面面平行关系中推导出所需的线线平行关系.

一旦确定了关键的线线平行，我们便可以构造一个包含目标线段的平面图形（如三角形或梯形）. 这样，空间中的长度计算问题就被成功地“降维”到我们所熟知的平面几何领域. 接着，便可以综合运用平面几何中的相似图形性质、全等图形性质、三角函数或勾股定理等工具进行求解.

例

在一个底面为平行四边形的四棱锥 (P-ABCD) 中, 一个平行于底面的平面 (\alpha) 与棱 (PA, PB, PC, PD) 分别交于点 (E, F, G, H). 若 (PE:EA = 2:1), 且底面边长 (AB = 9), (BC = 6), 求截面四边形 (EFGH) 的周长. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 345

\end{figure}

证明

我们欲求四边形 (EFGH) 的周长, 即 (EF+FG+GH+HE) 的值. 此问题的核心在于建立截面边长与底面边长之间的定量关系.

根据题设, 截面平面 (EFGH) 与底面平面 (ABCD) 平行. <MathBlock raw={"\text{平面 } EFGH \parallel \text{平面 } ABCD"} /> 这是一个应用面面平行性质定理的理想情景.

我们考察由顶点 (P) 和边 (AB) 构成的侧面 (PAB). 此平面与上述两个平行平面相交. 其与平面 (EFGH) 的交线为 (EF), 与平面 (ABCD) 的交线为 (AB). 根据定理, 此二交线必然平行. <MathBlock raw={"EF \parallel AB"} /> 在 (\triangle PAB) 中, 由于 (EF \parallel AB), 故 (\triangle PEF) 与 (\triangle PAB) 相似. <MathBlock raw={"\triangle PEF \sim \triangle PAB"} /> 由此可得边长的比例关系: <MathBlock raw={"\frac{EF}{AB} = \frac{PE}{PA}"} /> 题目给出的条件是 (PE:EA = 2:1), 这意味着 (PA = PE+EA = 3) 份, 而 (PE = 2) 份. 故比例为 <MathBlock raw={"\frac{PE}{PA} = \frac{2}{3}"} /> 结合 (AB=9), 我们便可计算出 (EF) 的长度. <MathBlock raw={"EF = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} \times 9 = 6"} /> 我们以完全相同的方式处理其余三边.

考察侧面 (PBC), 它是截取两个平行平面的第三个平面, 交线分别为 (FG) 与 (BC). 故 (FG \parallel BC), 且 (\triangle PFG \sim \triangle PBC). 比例关系为 <MathBlock raw={"\frac{FG}{BC} = \frac{PF}{PB}"} /> 注意到, 平行平面族截相交于一点的直线族所得的线段成比例. 更具体地, 在 (\triangle PAB) 中, 由 (EF \parallel AB)可知 (\frac{PF}{PB} = \frac{PE}{PA} = \frac{2}{3}). 因此 <MathBlock raw={"FG = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} \times 6 = 4"} /> 由于底面 (ABCD) 是平行四边形, 截面 (EFGH) 亦为平行四边形, 故 (GH = EF = 6) 且 (HE = FG = 4).

最后, 将各边长相加, 得到截面四边形 (EFGH) 的周长. <MathBlock raw={"C_{EFGH} = EF + FG + GH + HE = 6 + 4 + 6 + 4 = 20"} />

例

在长方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中, 已知 (AB=3), (AD=4), (AA_1=5). 点 (M, N) 分别是棱 (BB_1, DD_1) 的中点. 一个过点 (A, M, N) 的平面 (\alpha) 与棱 (CC_1) 交于点 (P). 求线段 (MP) 的长度. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 346

\end{figure}

证明

求解线段 (MP) 的长度, 需要将它置于一个可以进行计算的平面图形中. 这需要我们利用长方体的几何性质来建立线段之间的关系.

注意到在长方体中, 侧面 (ADD_1A_1) 与侧面 (BCC_1B_1) 相互平行. <MathBlock raw={"\text{平面 } ADD_1A_1 \parallel \text{平面 } BCC_1B_1"} /> 而平面 (\alpha), 即平面 (AMN), 同时与这两个平行的侧面相交.

平面 (\alpha) 与平面 (ADD_1A_1) 的交线为直线 (AN). 平面 (\alpha) 与平面 (BCC_1B_1) 的交线为直线 (MP).

根据面面平行的性质定理, 这两条交线必然相互平行. <MathBlock raw={"AN \parallel MP"} /> 以同样的方式, 我们考察长方体的前后两个侧面, 即平面 (ABB_1A_1) 与平面 (DCC_1D_1). 它们同样相互平行. 平面 (\alpha) 与它们的交线分别为 (AM) 和 (NP). 故 <MathBlock raw={"AM \parallel NP"} /> 一个四边形的两组对边分别平行, 那么它是一个平行四边形. 因此, 四边形 (AMNP) 是一个平行四边形. 根据平行四边形的性质, 其对边长度相等. <MathBlock raw={"MP = AN"} /> 至此, 空间中的线段长度问题成功转化为一个在平面 (ADD_1A_1) 内的计算问题.

我们考察矩形 (ADD_1A_1). 在此矩形中, 我们需要计算对角线 (AN) 的长度. 由于 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 是长方体, 侧棱 (DD_1) 垂直于底面, 故 (DD_1 \perp AD). 因此 (\triangle ADN) 是一个以 (\angle D) 为直角的直角三角形.

根据题设, (AD=4). 点 (N) 是棱 (DD_1) 的中点, 且 (DD_1 = AA_1 = 5), 故 (DN = \frac{1}{2}DD_1 = \frac{5}{2}).

在 Rt(\triangle ADN) 中, 应用勾股定理: <MathBlock raw={"AN^2 = AD^2 + DN^2 = 4^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2"} /> <MathBlock raw={"AN^2 = 16 + \frac{25}{4} = \frac{64+25}{4} = \frac{89}{4}"} /> 于是, (AN) 的长度为 <MathBlock raw={"AN = \sqrt{\frac{89}{4}} = \frac{\sqrt{89}}{2}"} /> 由于 (MP = AN), 我们最终得到线段 (MP) 的长度. <MathBlock raw={"MP = \frac{\sqrt{89}}{2}"} />

空间中的平行关系

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平行关系是欧几里得几何的基石. 在立体几何中，我们将这一概念从线线平行拓展至线面平行和面面平行，并建立起一套判定这些关系的完备理论.

直线与平面平行

在考察了直线与平面的三种位置关系之后，我们首先深入研究平行这一核心情形.一条直线与一个平面平行，直观上意味着这条直线无论如何延伸，都永远不会与该平面相遇.这一几何图像的背后，是直线与平面作为集合，其交集为空.

直线与平面平行

若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的交集为空集, 即 $l \cap \alpha = \emptyset$, 则称直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行, 记作 $l \parallel \alpha$.

直接运用此定义来判定平行关系是极为困难的，因为它要求我们验证一个无穷集合（平面）与另一个无穷集合（直线）不存在任何公共元素.因此，建立一个有效的、具有可操作性的判定准则，是理论发展的必然要求.下面的判定定理，将这一判定过程从验证与平面内无穷多条直线的位置关系，简化为寻找平面内的一条特定直线.

线面平行判定定理

若一个平面之外的一条直线与此平面内的某一条直线平行，则该直线与此平面平行.

证明

设直线 $l \not\subset \alpha$, 且在平面 $\alpha$ 内存在一条直线 $m$, 使得 $l \parallel m$. 我们需要证明 $l \parallel \alpha$, 即 $l \cap \alpha = \emptyset$.

我们采用反证法.假设直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 并不平行, 那么它们必然存在一个公共点, 记为 $P$. <MathBlock raw={"P \in l \text{且} P \in \alpha"} /> 根据平行直线的定义，$l$ 与 $m$ 共面.设此唯一确定的平面为 $\beta$. 由于 $P \in l$ 且 $l \subset \beta$, 可知 $P \in \beta$. 又因为 $m \subset \alpha$ 且 $m \subset \beta$, 这意味着直线 $m$ 是平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的一条公共直线.

此时，点 $P$ 既是 $\alpha$ 的元素, 也是 $\beta$ 的元素.故点 $P$ 必然位于这两个平面的交线之上.然而, 由于 $m$ 是 $\alpha$ 与 $\beta$ 的一条公共直线, 且两平面若相交则交于唯一一条直线（除非重合, 但此处 $l \not\subset \alpha$ 故 $\alpha, \beta$ 不重合）, 则交线必为 $m$. 因此，点 $P$ 必然在直线 $m$ 上.

这导致了一个结论：点 $P$ 同时位于直线 $l$ 和直线 $m$ 上.这与 $l \parallel m$ 的前提（两平行线没有公共点）产生了直接的矛盾.

因此，我们最初的假设“直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 有公共点”是错误的.故 $l$ 与 $\alpha$ 必无公共点, 即 $l \parallel \alpha$. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 347

\end{figure} 图：线面平行判定定理的几何直观

此判定定理是证明线面平行关系的最核心工具.它将一个空间位置关系的判定问题，成功地转化为一个寻找平面内的平行线的问题.

例

在四面体 $P-ABC$ 中, 设点 $M, N$ 分别是棱 $PA, PB$ 的中点.求证: $MN \parallel \text{平面 } ABC$. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 348

\end{figure}

证明

我们的目标是证明直线 $MN$ 与平面 $ABC$ 平行.根据线面平行判定定理, 我们只需在平面 $ABC$ 内寻找到一条与 $MN$ 平行的直线即可.

考察由点 $P,A,B$ 构成的平面三角形 $\triangle PAB$. 在此三角形中，已知点 $M, N$ 分别是边 $PA, PB$ 的中点.根据三角形中位线定理, 连接这两点的线段 $MN$ 必然平行于三角形的第三边 $AB$. <MathBlock raw={"MN \parallel AB"} /> 接着，我们审视此结论与判定定理的联系. 直线 $AB$ 显然是平面 $ABC$ 内的一条直线. 而直线 $MN$ 上的点 $M,N$ 位于棱 $PA,PB$ 上, 只要四点 $P,A,B,C$ 不共面, 直线 $MN$ 就不在平面 $ABC$ 内.

至此，我们已经满足了判定定理的所有条件：平面 $ABC$ 外的一条直线 $MN$ 与该平面内的一条直线 $AB$ 平行. 因此，我们可以断定 <MathBlock raw={"MN \parallel \text{平面 } ABC"} />

在确认了线面平行的关系之后，这一关系本身又会带来什么样的几何性质？下面的性质定理揭示了这种平行结构在被其他平面截取时所表现出的规律性.

线面平行性质定理

若一条直线与一个平面平行，则经过这条直线的任意一个平面与此平面的交线，与该直线平行.

证明

设直线 $l \parallel \alpha$.又设平面 $\beta$ 是一个包含直线 $l$ 的平面, 即 $l \subset \beta$.并且平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 相交, 交线为 $m$, 即 $\alpha \cap \beta = m$. 我们需要证明 $l \parallel m$.

首先，从交线的定义可知，$m \subset \alpha$ 且 $m \subset \beta$. 又已知 $l \subset \beta$. 故直线 $l$ 和 $m$ 均在同一个平面 $\beta$ 内，它们是共面直线.

要证明两共面直线平行，我们只需证明它们没有公共点. 再次使用反证法.假设 $l$ 与 $m$ 有一个公共点 $Q$. 由于 $Q \in m$, 且 $m \subset \alpha$, 可得 $Q \in \alpha$. 此时点 $Q$ 同时位于直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 之上, 这意味着 $Q$ 是 $l$ 与 $\alpha$ 的一个公共点. 这与前提条件 $l \parallel \alpha$ (即 $l$ 与 $\alpha$ 没有公共点) 直接矛盾.

因此，我们关于 $l$ 与 $m$ 存在公共点的假设是错误的. 作为两条共面且无公共点的直线，$l$ 与 $m$ 必然相互平行. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 349

\end{figure} 图：线面平行性质定理的几何直观

此性质定理是利用线面平行关系进行逻辑推演和几何作图的理论基石.它能够将空间中的平行关系“传递”到特定的平面上，从而转化为一个线线平行的问题.下面的范例展示了如何应用此定理解决问题.

例

在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, 平面 $\alpha$ 经过对角线 $BD$ 且平行于对角线 $A_1C$. 平面 $\alpha$ 与棱 $CC_1$ 交于点 $K$. 求证 $CK = \frac{1}{2} CC_1$. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 350

\end{figure}

证明

欲确定点 $K$ 在棱 $CC_1$ 上的精确位置，我们需要充分利用题目给出的线面平行条件.

已知条件为 $A_1C \parallel \alpha$, 其中平面 $\alpha$ 即为平面 $BDK$. 为利用此条件，我们需构造一个包含直线 $A_1C$ 的平面, 并考察该平面与平面 $\alpha$ 的交线.一个自然的选择是包含对角线 $A_1C$ 和 $AC$ 的对角面 $ACC_1A_1$.

设底面对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $O$. 点 $O$ 在 $AC$ 上, 故 $O \in \text{平面 } ACC_1A_1$. 点 $O$ 在 $BD$ 上, 故 $O \in \text{平面 } BDK (\alpha)$. 点 $K$ 在 $CC_1$ 上, 故 $K \in \text{平面 } ACC_1A_1$. 点 $K$ 本身就在平面 $\alpha$ 上.

因此，点 $O$ 和 $K$ 均为平面 $ACC_1A_1$ 与平面 $\alpha$ 的公共点.连接此两点的直线 $OK$ 即为这两个平面的交线.

现在，我们可以应用线面平行的性质定理： 已知直线 $A_1C$ 平行于平面 $\alpha$. 平面 $ACC_1A_1$ 是一个经过直线 $A_1C$ 的平面. 该平面与平面 $\alpha$ 的交线是直线 $OK$.

根据定理，必然有 <MathBlock raw={"OK \parallel A_1C"} /> 此时，空间几何问题被转化到了平面 $ACC_1A_1$ 内的平面几何问题. 在 $\triangle A_1AC$ 中, $O$ 是对角线 $AC$ 的中点. 我们又已证得 $OK \parallel A_1C$. 根据平行线分线段成比例定理的推论（或直接视作三角形中位线的逆定理）, 直线 $OK$ 必然是 $\triangle A_1AC$ 的中位线.

因此，点 $K$ 必然是边 $A_1C$ 在平面内的对应边 $CC_1$ 的中点. 故 $CK = \frac{1}{2}CC_1$.

平面与平面平行

在欧几里得的二维世界中，两条直线若不相交，则必然平行.当我们将视界拓展至三维空间，两个平面作为二维子空间的推广，它们的位置关系也呈现出类似的二分法：相交或平行.两个平面相互平行，意味着它们在空间中无限延伸却永不相交，如同一个理想书架上无限延伸的两个隔板.

平面与平面平行

若两个平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 的交集为空集, 即 $\alpha \cap \beta = \emptyset$, 则称这两个平面相互平行, 记作 $\alpha \parallel \beta$.

与线面平行类似，直接依据定义来判定两个无限延展的平面没有公共点，在实践中是不可行的.我们需要一个从有限构造出发，能够判定整体位置关系的有力工具.

面面平行判定定理

若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则此二平面相互平行.

证明

设平面 $\alpha$ 内有两条相交于点 $P$ 的直线 $l_1, l_2$, 并且已知 $l_1 \parallel \beta$ 以及 $l_2 \parallel \beta$. 我们需要证明 $\alpha \parallel \beta$.

我们依然采用反证法.假设平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 并不平行, 那么它们必然相交于一条直线, 我们称之为 $m$.

考察直线 $l_1$. 我们有 $l_1 \subset \alpha$ 且 $l_1 \parallel \beta$. 根据线面平行的性质定理, 任何包含 $l_1$ 的平面若与 $\beta$ 相交, 其交线必与 $l_1$ 平行.平面 $\alpha$ 正是这样一个平面, 故其与 $\beta$ 的交线 $m$ 必然平行于 $l_1$. <MathBlock raw={"m \parallel l_1"} /> 以完全相同的方式考察直线 $l_2$. 我们有 $l_2 \subset \alpha$ 且 $l_2 \parallel \beta$. 同样根据线面平行的性质定理, 交线 $m$ 也必然平行于 $l_2$. <MathBlock raw={"m \parallel l_2"} /> 至此，我们得到了两个结论: $l_1 \parallel m$ 且 $l_2 \parallel m$. 这意味着在平面 $\alpha$ 内, 经过同一点 $P$ 的两条不同直线 $l_1, l_2$ 都平行于同一条直线 $m$. 这违背了平面几何中的平行公理.

因此，我们最初的假设“平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交”是错误的.故此二平面必然相互平行. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 351

\end{figure} 图：面面平行判定定理的几何模型

面面平行一旦确立，便形成了一种非常规整的空间结构.这种结构的一个重要推论是，任何一个“截面”都会在这两个平行平面上留下平行的“痕迹”.

面面平行性质定理

若两个相互平行的平面被第三个平面所截，则它们的交线相互平行.

证明

设平面 $\alpha \parallel \beta$. 另有第三个平面 $\gamma$ 与 $\alpha, \beta$ 分别交于直线 $l_1, l_2$. 即 $l_1 = \alpha \cap \gamma$ 且 $l_2 = \beta \cap \gamma$. 我们需要证明 $l_1 \parallel l_2$.

首先，根据交线的定义，直线 $l_1$ 和 $l_2$ 均在平面 $\gamma$ 内, 故 $l_1, l_2$ 是共面直线.

其次，我们需要证明它们没有公共点. 我们再次诉诸反证法.假设 $l_1, l_2$ 有一个公共点 $P$. 由于 $P \in l_1$ 且 $l_1 \subset \alpha$, 可知 $P \in \alpha$. 同理，由于 $P \in l_2$ 且 $l_2 \subset \beta$, 可知 $P \in \beta$.

这意味着点 $P$ 是平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 的一个公共点. 但这与我们的前提条件 $\alpha \parallel \beta$ (即两平面没有公共点) 发生了直接的矛盾.

因此，关于 $l_1, l_2$ 存在公共点的假设是错误的. 综上，直线 $l_1, l_2$ 共面且无公共点，故它们必然相互平行. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 352

\end{figure} 图：面面平行性质定理的几何模型

正如线线平行关系具有传递性一样，面面平行关系同样满足传递性.这一性质保证了空间中“平行”这一概念的整体和谐性.

平行平面的传递性

平行于同一个平面的两个平面相互平行.

证明

设平面 $\alpha \parallel \gamma$ 且平面 $\beta \parallel \gamma$. 我们需要证明 $\alpha \parallel \beta$.

我们使用面面平行的判定定理来证明此命题.为此，我们需要在平面 $\alpha$ 内构造两条相交直线, 并证明它们均平行于平面 $\beta$.

在平面 $\alpha$ 内, 任意作两条相交直线 $l_1, l_2$.

首先考察直线 $l_1$. 因为 $l_1 \subset \alpha$ 且 $\alpha \parallel \gamma$, 故 $l_1$ 与 $\gamma$ 没有公共点, 即 $l_1 \parallel \gamma$. 构造一个包含 $l_1$ 的平面 $\delta_1$, 使其与平面 $\beta$ 和 $\gamma$ 都相交.（若 $\delta_1$ 与 $\beta, \gamma$ 之一平行，可另取一个平面）. 设 $\delta_1 \cap \beta = k_1$ 且 $\delta_1 \cap \gamma = m_1$.

由于 $\beta \parallel \gamma$, 根据面面平行的性质定理, 可得 $k_1 \parallel m_1$. 又由于 $\alpha \parallel \gamma$, 在截面 $\delta_1$ 中, 同理可得 $l_1 \parallel m_1$.

根据平行公理的传递性，从 $l_1 \parallel m_1$ 和 $k_1 \parallel m_1$ 可推得 $l_1 \parallel k_1$. 因为 $k_1 \subset \beta$ 且 $l_1 \not\subset \beta$ (否则 $\alpha, \beta$ 相交), 根据线面平行的判定定理，我们断定 <MathBlock raw={"l_1 \parallel \beta"} /> 我们以完全相同的方式对直线 $l_2$ 进行论证，可以得到 <MathBlock raw={"l_2 \parallel \beta"} /> 现在，我们已经证明了在平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 $l_1, l_2$ 均平行于平面 $\beta$. 根据面面平行的判定定理，我们最终得出结论 <MathBlock raw={"\alpha \parallel \beta"} />

空间中的垂直关系

{/* label: sec:ch17-s04 */}

垂直是继平行之后，欧几里得几何中又一核心概念. 它为我们提供了度量角度、距离和投影的基准.

直线与平面垂直

定义

若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直.

这是一个极强的定义. 为了实际应用，我们需要一个更易于操作的判定方法.

判定定理

若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

证明

设直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 $m_1, m_2$ 都垂直, 且交点为 $O$. 我们需要证明 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线 $m$ 都垂直.

在 $l$ 上取异于 $O$ 的两点 $A, B$ 使得 $AO=BO$. 在平面 $\alpha$ 内作任意一条不过 $O$ 点的直线, 分别交 $m_1, m_2, m$ 于 $P, Q, R$. 连接 $AP, AQ, AR, BP, BQ, BR$.

在 $\triangle APQ$ 与 $\triangle BPQ$ 中: 因为 $l \perp m_1$, $l \perp m_2$, 故 $\triangle AOP, \triangle AOQ$ 均为直角三角形. 在 Rt$\triangle AOP$ 和 Rt$\triangle BOP$ 中, $AO=BO, OP=OP$, 故 $\triangle AOP \cong \triangle BOP$, 得 $AP=BP$. 同理, 在 Rt$\triangle AOQ$ 和 Rt$\triangle BOQ$ 中, $AQ=BQ$. 又 $PQ=PQ$, 故 $\triangle APQ \cong \triangle BPQ$ (SSS). 因此, $\angle APR = \angle BPR$.

在 $\triangle APR$ 与 $\triangle BPR$ 中: $AP=BP, PR=PR, \angle APR = \angle BPR$. 故 $\triangle APR \cong \triangle BPR$ (SAS). 因此, $AR=BR$.

在 $\triangle ABR$ 中, $AR=BR$, 且 $O$ 是 $AB$ 的中点, 故 $OR$ 是底边 $AB$ 上的中线. 因此, $OR \perp AB$, 即 $m \perp l$. 由于 $m$ 是平面 $\alpha$ 内的任意一条直线, 根据定义, 直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 垂直. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 353

\end{figure} 图：线面垂直判定定理

三垂线定理

三垂线定理及其逆定理是处理空间中垂直关系，特别是涉及斜线及其投影问题时，最为有力的工具之一.

三垂线定理

在平面内的一条直线，若它与此平面的一条斜线的射影垂直，则它也与这条斜线垂直.

证明

设 $l$ 是平面 $\alpha$ 内的一条直线, $PO$ 是平面 $\alpha$ 的一条斜线, $P'O$ 是其在 $\alpha$ 内的射影, 且 $l \perp P'O$. 我们需要证明 $l \perp PO$.

由射影的定义，有 $PP' \perp \alpha$. 根据线面垂直的性质, $PP'$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的任意一条直线, 故 $PP' \perp l$.

现在我们已知：

1. $l \perp P'O$ (题设)
2. $l \perp PP'$ (由射影定义推得)

直线 $P'O$ 与 $PP'$ 是平面 $PP'O$ 内的两条相交直线. 根据线面垂直的判定定理, 若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 因此, 直线 $l$ 垂直于平面 $PP'O$.

最后, 根据线面垂直的性质, 若一条直线与一个平面垂直，则它与该平面内的任意一条直线都垂直. 直线 $PO$ 在平面 $PP'O$ 内, 故 $l \perp PO$. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 354

\end{figure} 图：三垂线定理

平面与平面垂直

定义

若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.

这一定义依赖于二面角的概念. 一个更直接的判定方法如下：

判定定理

若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

证明

设平面 $\beta$ 经过平面 $\alpha$ 的一条垂线 $l$. 设 $\alpha \cap \beta = m$. 我们需要证明 $\alpha \perp \beta$.

设 $l \cap \alpha = O$. 则 $O$ 点必在交线 $m$ 上. 在平面 $\alpha$ 内作直线 $n$, 使得 $n \perp m$ 于点 $O$.

因为 $l \perp \alpha$, 根据线面垂直的性质, $l$ 与 $\alpha$ 内的任意直线都垂直. 故 $l \perp m$ 且 $l \perp n$.

角 $\angle(l,n)$ 是两平面所成二面角的平面角. 由于 $l \perp n$, 该平面角为 $90^\circ$. 根据定义，两平面互相垂直. \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 355

\end{figure} 图：面面垂直判定定理

性质定理

若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

证明

设 $\alpha \perp \beta$, 且 $\alpha \cap \beta = m$. 设直线 $l \subset \alpha$ 且 $l \perp m$ 于点 $O$. 我们需要证明 $l \perp \beta$.

在平面 $\beta$ 内作直线 $n$, 使得 $n \perp m$ 于点 $O$. 因为 $\alpha \perp \beta$, 故由 $l,n$ 所构成的二面角的平面角为 $90^\circ$, 即 $l \perp n$.

我们现在已知：

1. $l \perp m$ (题设)
2. $l \perp n$ (由面面垂直定义推得)

直线 $m, n$ 是平面 $\beta$ 内的两条相交直线. 根据线面垂直的判定定理, 直线 $l$ 垂直于平面 $\beta$.

\begin{figure}[htbp]

TikZ 图 356

\end{figure} 图：面面垂直性质定理