微分方程初步

{/* label: chap:ch20 */}

基本概念

{/* label: sec:ch20-s01 */}

数学不仅研究静态的结构，更致力于描述动态的过程.代数方程，如 $x^2-1=0$，其解为孤立的数值，描绘的是一种静止的状态.然而，宇宙万物的本质在于运动与变化，无一不是处在持续的演化之中.要精确地刻画这些动态系统，我们就需要一种全新的数学语言，它所求解的不再是未知的数，而是未知的函数——一个能够完整描述过程演变的函数.

微分学的核心思想在于，宏观的、全局性的变化，是由无数个微观的、局域性的“变化倾向”累积而成的.而一个系统在某个瞬间的变化倾向，正是其导数的体现.在自然科学与工程技术中，我们常常更容易发现并总结出这种局域的变化法则，而非直接洞悉整个过程的全局函数.例如，我们可能通过实验观察到，一个物体的冷却速率在每一时刻都正比于它与环境的温差.这个观察结果，就直接联系了温度函数 $T(t)$ 与其导数 $T'(t)$.

将这种蕴含着未知函数及其导数的“变化法则”用数学等式表达出来，便得到了微分方程 .它不直接告诉我们函数是什么，而是施加了一个深刻的约束：这个函数在定义域中的每一点，都必须满足其自身与其变化率之间的特定关系.

从几何的角度看，一个一阶微分方程 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ 具有极为生动的意义.它为平面上的每一个点 $(x,y)$ 都指定了一个“前进方向”——即通过该点的解曲线的切线斜率, 其值为 $f(x,y)$.如果我们把这些方向用无数个微小的箭头在平面上绘制出来，就构成了一幅方向场或称斜率场.

求解这个微分方程，在几何上就等价于在这片由箭头构成的“水流”中，寻找一条处处与水流方向相切的路径.这样的路径被称为方程的积分曲线.

{/* latex-label: fig:direction-field-pure-tikz */} \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 373

{dx} = \frac{1}{2}(x-y)}{dy/dx = 0.5(x-y)} 的方向场与积分曲线.灰色箭头描绘了每一点的斜率, 构成了方向场.蓝色与红色的曲线族是方程的通解, 它们在每一点都与场方向相切.初始条件 \texorpdfstring{y(1)=-2$}{y(1)=-2} 如同指定了一个出发点，唯一确定了红色的特解曲线.}

\end{figure} 图：微分方程 \texorpdfstring{$\frac{dy

显然，从不同的起点出发，我们可以画出无穷多条满足要求的积分曲线，它们共同构成了方程的通解.这个解族中的每一个成员都是方程的一个解.而如果我们指定这条曲线必须通过某一个特定的点 $(x_0, y_0)$——这就是所谓的初始条件——那么通常就能从整个解族中唯一地确定出一条曲线.这条唯一的曲线，便是方程的特解.

现在，我们将这些直观的几何概念转化为严谨的数学定义.

微分方程及其相关概念

• 微分方程: 一个建立自变量 $x$、未知函数 $y=y(x)$ 以及其直至 $n$ 阶的导数 $y', y'', ..., y^{(n)}$ 之间关系的方程, 其一般形式为 $F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$.
• 阶: 方程中所出现的导数的最高阶数 $n$，称为该微分方程的阶.
• 解: 若将函数 $y=\phi(x)$ 及其各阶导数代入一个微分方程, 能使该方程成为一个关于自变量 $x$ 的恒等式, 则称函数 $y=\phi(x)$ 是该微分方程的一个解.
• 通解: 一个 $n$ 阶微分方程的解如果包含了 $n$ 个相互独立的任意常数，则称此解为该方程的通解.它代表了满足该方程约束的整个函数族.
• 初始条件: 为确定通解中的任意常数而给定的附加条件，通常形如 $y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1, ..., y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}$.
• 特解: 在初始条件的约束下，从通解中确定了所有任意常数后得到的唯一确定的解.

可分离变量的微分方程

{/* label: sec:ch20-s02 */}

我们从结构最为简洁的一类一阶微分方程开始研究.若一个微分方程 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ 其右侧的函数 $f(x,y)$ 能够分解为一个仅与 $x$ 相关的函数 $g(x)$ 和一个仅与 $y$ 相关的函数 $h(y)$ 的乘积，即 <MathBlock raw={"\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)"} /> 则称之为可分离变量的微分方程.其本质特征是，自变量与未知函数对变化率的影响是相互独立、可以分离的.

求解这类方程的策略植根于积分学的基本思想.假定 $h(y) \neq 0$, 我们可以对原方程进行代数变形, 将所有包含 $y$ 的项置于等式左侧, 包含 $x$ 的项置于右侧： <MathBlock raw={"\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)"} /> 此式断言，对于解函数 $y=y(x)$, 复合函数 $\frac{1}{h(y(x))}\frac{dy}{dx}$ 与函数 $g(x)$ 是恒等的.既然两个函数相等, 它们关于 $x$ 的不定积分也必然相等（相差一个常数）.因此, 我们对等式两边同时关于 $x$ 进行积分： <MathBlock raw={"\int \frac{1}{h(y(x))} \frac{dy}{dx} \,dx = \int g(x) \,dx"} /> 注意到左侧的积分形式，根据积分学中的换元法，令 $u=y(x)$, 则 $du = \frac{dy}{dx}dx$, 左侧的积分便可以化为对变量 $y$ 的积分.于是，我们得到 <MathBlock raw={"\int \frac{1}{h(y)} \,dy = \int g(x) \,dx"} /> 这一步严谨地证明了，那个看似不严格的、将 $\frac{dy}{dx}$ 视为分数并“交叉相乘”得到 $\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$ 的符号操作, 其结果是正确的.求解上述两个积分, 便能得到一个联系 $x$ 与 $y$ 的代数方程，此即为原微分方程的通解，通常是以隐函数的形式给出.

例

求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$.

解

此方程的右侧可以视作 $g(x)=x^2$ 与 $h(y)=\frac{1}{y}$ 的乘积, 故为可分离变量方程.我们假定 $y \neq 0$.

分离变量，我们得到 <MathBlock raw={"y \frac{dy}{dx} = x^2"} /> 将此恒等式两边对 $x$ 积分 <MathBlock raw={"\int y \frac{dy}{dx} \,dx = \int x^2 \,dx"} /> 左侧通过换元，等价于 $\int y \,dy$.因此 <MathBlock raw={"\int y \,dy = \int x^2 \,dx"} /> 计算这两个积分，我们得到 <MathBlock raw={"\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{3}x^3 + C_1"} /> 其中 $C_1$ 为任意积分常数.为了表达的简洁性, 我们将两边同乘以 $6$, 并令 $C = 6C_1$, 此常数 $C$ 依然是任意的. <MathBlock raw={"3y^2 = 2x^3 + C"} /> 此即为方程的通解，它以隐函数 $3y^2 - 2x^3 = C$ 的形式给出.对于不同的常数 $C$，它代表了平面上的一族曲线.

{/* latex-label: fig:separable-family */} \begin{figure}[htbp]

TikZ 图 374

{dx}=\frac{x^2}{y}$}{dy/dx=x^2/y} 的积分曲线族 \texorpdfstring{$3y^2 - 2x^3 = C$}{3y^2 - 2x^3 = C}.}

\end{figure} 图：微分方程 \texorpdfstring{$\frac{dy

{该方程的通解为 $3y^2 - 2x^3 = C$.}

指数增长与衰减模型

描述“一个量的变化率正比于其自身大小”的微分方程 <MathBlock raw={"\frac{dy}{dx} = ky (k \neq 0 \text{ 为常数})"} /> 其通解为 <MathBlock raw={"y = Ce^{kx}"} /> 其中 $C$ 为任意常数.

证明

此方程是自然界与社会科学中最基本的模型之一，它刻画了无约束环境下的种群增长、放射性衰变、复利计算等核心动态过程.

我们运用分离变量法求解.首先考虑 $y \neq 0$ 的情形. <MathBlock raw={"\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = k"} /> 对两边关于 $x$ 积分 <MathBlock raw={"\int \frac{1}{y} \,dy = \int k \,dx"} /> 计算得 <MathBlock raw={"\ln|y| = kx + C_1"} /> 其中 $C_1$ 是积分常数.为了显式地解出 $y$，我们对上式两边取指数运算： <MathBlock raw={"|y| = e^{kx+C_1} = e^{C_1} e^{kx}"} /> 令 $C_2 = e^{C_1}$.由于 $C_1$ 是任意实数, 故 $C_2$ 是任意正实数.于是 $|y| = C_2 e^{kx}$.

去掉绝对值符号，可得 $y = \pm C_2 e^{kx}$.我们引入一个新的常数 $C = \pm C_2$, 则 $C$ 可以是任意非零实数.

接着，我们必须考察在分离变量时被排除的 $y=0$ 的情况.将 $y(x) \equiv 0$ 代入原方程, 左侧 $y' = 0$, 右侧 $k \cdot 0 = 0$.等式成立, 故 $y=0$ 也是方程的一个解（称为平凡解）.

注意到，在 $y = Ce^{kx}$ 这个表达式中, 若我们允许 $C=0$, 则可以得到 $y=0$ 这个解.因此, 常数 $C$ 可以取遍所有实数，从而将所有解统一在一个表达式中.

{方程 $\frac{dy}{dx}=ky$ 的通解为 $y=Ce^{kx}$, 其中 $C$ 是任意实数.}

一阶线性微分方程

{/* label: sec:ch20-s03 */}

另一类核心的一阶微分方程是线性方程.其标准形式定义如下.

一阶线性微分方程

形如 <MathBlock raw={"\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)"} /> 的方程，被称为一阶线性微分方程.

这类方程的求解依赖于一个非常巧妙的技巧，即引入一个被称为积分因子的辅助函数. 我们的目标是，在方程两边同乘以某个函数 $\mu(x)$, 使得新的方程左边恰好可以被凑成一个乘积的导数形式.

考虑标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$. 两边同乘以 $\mu(x)$: $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$. 我们希望左边能够写成 $(\mu(x)y)'$ 的形式.根据乘法求导法则，我们知道 $(\mu(x)y)' = \mu'(x)y + \mu(x)y'$. 比较这两个表达式，我们发现，如果能让 $\mu'(x) = \mu(x)P(x)$, 我们的目标就达成了.

而方程 $\mu'(x) = \mu(x)P(x)$ 正是上一节我们解决的指数增长模型！其解为 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$. 这个函数 $\mu(x)$ 就是我们寻找的积分因子.

一阶线性微分方程求解步骤

1. 将方程整理成标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$.
2. 计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$. (在计算不定积分时，可取积分常数为0，因为我们只需要一个有效的积分因子).
3. 将标准形式的方程两边同乘以积分因子 $\mu(x)$.此时方程的左边自动变为 $(\mu(x)y)'$.方程化为 $(\mu(x)y)' = \mu(x)Q(x)$.
4. 对上式两边同时对 $x$ 积分, 得到 $\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx + C$.
5. 从上式中解出 $y$, 得到通解 $y = \frac{1}{\mu(x)}\left( \int \mu(x)Q(x)dx + C \right)$.

例

求解微分方程 $y' - 2xy = e^{x^2}$.

解

该方程已经是一阶线性微分方程的标准形式. 我们首先识别出 $P(x) = -2x$ 和 $Q(x) = e^{x^2}$.

接着，计算积分因子 $\mu(x)$. $\int P(x)dx = \int -2x \,dx = -x^2$. $\mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{-x^2}$.

将原方程两边同乘以积分因子 $e^{-x^2}$. $e^{-x^2}y' - 2xe^{-x^2}y = e^{-x^2}e^{x^2}$.

方程左边恰好是 $(e^{-x^2}y)'$.右边化简为 $1$. $(e^{-x^2}y)' = 1$.

对上式两边关于 $x$ 积分. $\int (e^{-x^2}y)' \,dx = \int 1 \,dx$. $e^{-x^2}y = x+C$.

最后，解出 $y$. $y = \frac{x+C}{e^{-x^2}} = (x+C)e^{x^2}$.

{方程的通解为 $y=(x+C)e^{x^2}$.}

温馨提示

掌握可分离变量方程与一阶线性方程的求解方法，是运用分析工具解决函数方程问题的基础.特别地，方程 $y'=ky$ 及其解 $y=Ce^{kx}$ 的关系，必须牢记于心，它将在后续的推导中反复出现.

应用微分方程求解函数方程

{/* label: sec:ch20-s04 */}

从代数恒等式到分析微分方程

在前面的章节中，我们已经掌握了赋值法、模型法等一系列处理抽象函数方程的代数工具.这些方法在处理特定结构的方程时表现得极为高效.然而，当函数方程的形式变得新颖或复杂时，纯粹的代数变换有时会显得力不从心.

我们必须思考一个更深层次的问题：函数方程的本质是什么？它是一个在定义域上处处成立的恒等式.微积分的核心思想之一告诉我们，如果两个函数在某个区间上恒等，那么只要它们是可导的，它们的导函数也必然在该区间上恒等.

这一深刻的联系，为我们开辟了一条全新的道路.它启发我们，或许可以通过对函数方程这个“恒等式”进行微分运算，来发掘出隐藏在其中的、关于函数导数的信息.这个过程常常能将一个含有多个变量、关系复杂的函数方程，转化为一个只含单个变量、结构清晰的微分方程.一旦转化成功，我们便可以动用整个微积分的武库来对其进行求解，从而得到原函数的精确表达式.这种从代数恒等式到分析微分方程的跨越，是一种威力强大的解题策略.

偏导数

在执行上述策略之前，我们必须掌握一个关键的预备工具.函数方程通常含有多个变量，如 $f(x+y)$.而我们所熟悉的导数定义是针对单变量函数的.那么，如何对一个多变量表达式求导呢？答案是偏导数.

其思想非常直观：当我们决定对其中一个变量（例如 $x$）求导时, 我们只需将所有其他变量（例如 $y$）暂时视为常数，然后按照单变量函数的求导法则进行运算即可.

偏导数的操作性定义

对于一个含有变量 $x$ 和 $y$ 的表达式 $F(x,y)$, 其对 $x$ 的偏导数（记作 $\frac{\partial}{\partial x}F(x,y)$）的计算方式是：将 $y$ 看作一个常数, 然后对 $x$ 进行常规的求导.

在函数方程的应用中，最常见的操作是对复合函数求偏导，这需要结合链式法则.例如，我们来计算 $f(x+y)$ 对 $x$ 的偏导数. 令 $u=x+y$.根据链式法则， <MathBlock raw={"\frac{\partial}{\partial x}f(x+y) = \frac{df}{du} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = f'(u) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x+y)"} /> 因为在对 $x$ 求偏导时, $y$ 被视为常数, 所以 $\frac{\partial}{\partial x}(x+y) = 1+0=1$. 因此，我们得到一个至关重要的结果： <MathBlock raw={"\frac{\partial}{\partial x}f(x+y) = f'(x+y)"} /> 同理，对于乘法形式 $f(xy)$, 对 $x$ 求偏导时, $y$ 是常数，则 <MathBlock raw={"\frac{\partial}{\partial x}f(xy) = f'(xy) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = f'(xy) \cdot y"} />

求解的四步流程

利用偏导数这一工具，我们可以构建一套标准化的流程，将函数方程问题转化为微分方程问题.

微分方程法四步流程

1. 微分: 假设函数 $f(x)$ 可导.选择方程中的一个变量（如 $x$）, 将函数方程两边都对该变量求偏导, 将其他变量（如 $y$）视为常数.
2. 赋值: 对求导后得到的新方程进行分析.通常这个新方程仍含有多个变量.此时，通过巧妙地给某个变量赋予一个特殊值（如令 $y=0$ 或 $y=1$）, 来消去多余的变量, 从而得到一个只含有 $f'(x)$, $f(x)$ 和 $x$ 的标准微分方程.
3. 求解: 求解上一步得到的微分方程，得到函数 $f(x)$ 的通解（通常含有一个或多个待定常数）.
4. 检验: 将求得的通解带回最初的函数方程，或利用题目给出的初始条件（如 $f(0)=1$），来确定通解中的待定常数，从而获得问题的特解.

再探柯西指数方程

若可导函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x)f(y)$, 且 $f(x)$ 不恒为零, 求 $f(x)$.

解

函数方程为恒等式 $f(x+y)=f(x)f(y)$. 将此等式两边同时对变量 $x$ 求偏导. 左边：$\frac{\partial}{\partial x}f(x+y) = f'(x+y)$. 右边：$\frac{\partial}{\partial x}[f(x)f(y)] = f'(x)f(y)$ (因为 $f(y)$ 被视为常数).

于是我们得到一个新的恒等式： $f'(x+y) = f'(x)f(y)$.

为了得到一个单变量的微分方程，我们对上式进行赋值.令 $x=0$, $f'(y) = f'(0)f(y)$.

注意到 $f'(0)$ 是一个由函数 $f$ 在 $0$ 点的性质决定的常数.我们将其记为 $k$. 于是，我们得到了关于函数 $f(y)$ 的微分方程 (为了书写习惯, 我们将变量换回 $x$): $f'(x) = kf(x)$.

这是一个我们在前一节研究过的指数增长模型.根据结论，其通解为 $f(x) = Ce^{kx}$.

为确定常数 $C$, 我们将此通解带回原函数方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$. 左边：$f(x+y) = Ce^{k(x+y)} = Ce^{kx}e^{ky}$. 右边：$f(x)f(y) = (Ce^{kx})(Ce^{ky}) = C^2e^{kx}e^{ky}$.

令两边相等：$Ce^{kx}e^{ky} = C^2e^{kx}e^{ky}$. 这意味着 $C=C^2$.解得 $C=0$ 或 $C=1$.

若 $C=0$, 则 $f(x)=0$.这与题设“$f(x)$不恒为零”矛盾. 故必有 $C=1$.

令 $a=e^k$, 这是一个由 $f'(0)$ 决定的正常数. {因此，唯一的非零可导解是 $f(x)=e^{kx}=(e^k)^x=a^x$.}

例

设可导函数 $f(x)$ 对任意 $x,y\>0$ 满足 $f(xy)=f(x)+f(y)$, 求 $f(x)$.

解

这是柯西对数型方程.我们对其可导解进行求解. 函数方程为 $f(xy)=f(x)+f(y)$.

将方程两边对 $x$ 求偏导. 左边：$\frac{\partial}{\partial x}f(xy) = f'(xy) \cdot \frac{\partial(xy)}{\partial x} = yf'(xy)$. 右边：$\frac{\partial}{\partial x}[f(x)+f(y)] = f'(x)+0 = f'(x)$.

得到新方程 $yf'(xy) = f'(x)$.

为了消去变量，我们赋值 $x=1$. $yf'(y) = f'(1)$.

令常数 $k=f'(1)$, 我们得到微分方程 (变量换回 $x$): $xf'(x) = k \implies f'(x) = \frac{k}{x}$.

对上式两边积分，得到通解. $f(x) = \int \frac{k}{x} dx = k\ln x + C$ (由于定义域为 $x\>0$, 无需绝对值).

将通解代回原方程 $f(xy)=f(x)+f(y)$. 左边：$f(xy) = k\ln(xy)+C = k(\ln x + \ln y)+C = k\ln x + k\ln y + C$. 右边：$f(x)+f(y) = (k\ln x+C) + (k\ln y+C) = k\ln x + k\ln y + 2C$.

比较两边可得 $C=2C$, 即 $C=0$.

我们可以将 $k$ 表达为换底公式的形式, $k\ln x = \frac{\ln x}{\ln a} = \log_a x$.

{故该方程的可导解为 $f(x)=k\ln x = \log_a x$.}

达朗贝尔方程

若可导函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$, 且存在非平凡解. 求 $f(x)$.

解

此方程在数学上被称为达朗贝尔方程.其解的推导过程完美地体现了二次求导与变量分离的思想.

首先，通过赋值法探求函数在原点的性质.在原方程中令 $x=y=0$, $f(0)+f(0) = 2f(0)^2 \implies 2f(0)(1-f(0))=0$. 解得 $f(0)=0$ 或 $f(0)=1$. 若 $f(0)=0$, 在原方程中令 $y=0$, 得 $f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0$, 即 $f(x) \equiv 0$.这是一个平凡解. 我们考虑非平凡解的情况，此时必有 $f(0)=1$.

接着，将原方程两边对 $x$ 求偏导: $f'(x+y) + f'(x-y) = 2f'(x)f(y)$. (1)

再将原方程两边对 $y$ 求偏导: $f'(x+y) - f'(x-y) = 2f(x)f'(y)$. (2)

此时，我们拥有了两个关于导函数的新方程.对这两个方程再次求导，可以揭示更深层的关系. 将方程(1)两边对 $y$ 求偏导: $f''(x+y) - f''(x-y) = 2f'(x)f'(y)$. (3)

将方程(2)两边对 $x$ 求偏导: $f''(x+y) - f''(x-y) \cdot (-1) = 2f'(x)f'(y) \implies f''(x+y)+f''(x-y)=2f'(x)f'(y)$. (4)

此路稍显复杂.我们换一个思路.将方程(1)对 $x$ 求偏导, 方程(2)对 $y$ 求偏导. 由(1)对 $x$ 求导: $f''(x+y)+f''(x-y) = 2f''(x)f(y)$. 由(2)对 $y$ 求导: $f''(x+y)+f''(x-y) = 2f(x)f''(y)$.

比较上述两式右侧，我们得到一个惊人地简洁的关系: $2f''(x)f(y) = 2f(x)f''(y)$.

假设存在一点 $x_0$ 使得 $f(x_0) \neq 0$, 我们可以整理得到: $\frac{f''(x)}{f(x)} = \frac{f''(y)}{f(y)}$.

这个等式的左边是一个只与 $x$ 有关的函数, 右边是一个只与 $y$ 有关的函数.要使它们对任意 $x,y$ 恒等, 唯一的可能性就是它们都等于同一个常数.设此常数为 $k$. 于是，我们得到了一个关于 $f(x)$ 的二阶常系数齐次线性微分方程: $f''(x) - kf(x) = 0$.

根据常数 $k$ 的符号，我们分类讨论其解:

• 第一种情况: $k=0$. $f''(x)=0$.通解为 $f(x)=Ax+B$. 由 $f(0)=1$ 得 $B=1$. 在 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ 中令 $x=0$, 得 $f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y) \implies f(-y)=f(y)$.故 $f(x)$ 为偶函数. 对于 $f(x)=Ax+1$, 偶函数要求 $A=0$.故 $f(x)=1$, 这是一个解.

• 第二种情况: $k\>0$. 令 $k=\omega^2$ ($\omega\>0$).方程为 $f''(x)-\omega^2 f(x)=0$. 其特征方程为 $r^2-\omega^2=0$, 解得 $r=\pm\omega$. 通解为 $f(x)=C_1e^{\omega x}+C_2e^{-\omega x}$. 利用初始条件 $f(0)=1$ 和 $f(x)$ 是偶函数 (导致 $f'(0)=0$). $f(0)=C_1+C_2=1$. $f'(x) = \omega C_1e^{\omega x} - \omega C_2e^{-\omega x}$. $f'(0) = \omega(C_1-C_2)=0 \implies C_1=C_2$. 联立解得 $C_1=C_2=1/2$. $f(x) = \frac{e^{\omega x}+e^{-\omega x}}{2} = \cosh(\omega x)$.

• 第三种情况: $k\<0$. 令 $k=-\omega^2$ ($\omega\>0$).方程为 $f''(x)+\omega^2 f(x)=0$. 其特征方程为 $r^2+\omega^2=0$, 解得 $r=\pm i\omega$. 通解为 $f(x)=C_1\cos(\omega x)+C_2\sin(\omega x)$. 同样利用 $f(0)=1$ 和 $f'(0)=0$. $f(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)=C_1=1$. $f'(x)=-\omega C_1\sin(\omega x)+\omega C_2\cos(\omega x)$. $f'(0)=-\omega C_1\sin(0)+\omega C_2\cos(0)=\omega C_2=0 \implies C_2=0$. $f(x) = \cos(\omega x)$.

  {综上，该方程的所有非平凡可导解为 $f(x)=1$, $f(x)=\cos(\omega x)$, 或 $f(x)=\cosh(\omega x)$.这与我们之前的模型完全吻合.}

正切加法模型

若可导函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y) = \frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$, 求 $f(x)$.

解

此方程的结构与正切函数的和角公式完全一致. 首先，令 $x=y=0$, 得 $f(0)=\frac{2f(0)}{1-f(0)^2}$. $f(0)(1-f(0)^2) = 2f(0) \implies f(0)(1+f(0)^2)=0$. 在实数域内，唯一解为 $f(0)=0$.

将函数方程两边对 $x$ 求偏导. 左边: $\frac{\partial}{\partial x}f(x+y) = f'(x+y)$. 右边, 使用商的求导法则: $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\right) = \frac{f'(x)(1-f(x)f(y))-(f(x)+f(y))(-f'(x)f(y))}{(1-f(x)f(y))^2}$. 化简分子: $f'(x)-f'(x)f(x)f(y)+f'(x)f(x)f(y)+f'(x)f(y)^2 = f'(x)(1+f(y)^2)$.

于是得到新方程 $f'(x+y) = \frac{f'(x)(1+f(y)^2)}{(1-f(x)f(y))^2}$.

利用原方程关于 $x,y$ 的对称性, 两边对 $y$ 求偏导必将得到一个对称的结果: $f'(x+y) = \frac{f'(y)(1+f(x)^2)}{(1-f(x)f(y))^2}$.

比较这两个关于 $f'(x+y)$ 的表达式，我们得到: $f'(x)(1+f(y)^2) = f'(y)(1+f(x)^2)$.

分离变量: $\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} = \frac{f'(y)}{1+f(y)^2}$.

此等式左边只与 $x$ 相关, 右边只与 $y$ 相关, 故它们必等于同一个常数, 记为 $\omega$. $\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} = \omega$.

这是一个可分离变量的微分方程 $\frac{df}{1+f^2} = \omega dx$. 两边积分: $\int \frac{df}{1+f^2} = \int \omega dx$. $\arctan(f(x)) = \omega x + C$.

解出 $f(x)$: $f(x) = \tan(\omega x + C)$.

利用初始条件 $f(0)=0$: $f(0) = \tan(C) = 0$. 这要求 $C=n\pi$ ($n \in \mathbb{Z}$).由于正切函数的周期性, 我们可以取最简单的 $C=0$.

{故该方程的可导解为 $f(x)=\tan(\omega x)$.}