第一卷函數-函數的概念與表示

從對應到映射

核心問題

什么样的"對應规则"值得被赋予一個正式的數學概念？

學習目標

理解"對應"與"映射"的区别：映射是一類特殊的、可靠的對應.
掌握映射的两個基本条件：穷尽性和唯一性.
能判断一個對應是否構成映射，并能說明理由.

數學中大量關係都可以描述為"给定一個對象，确定另一個對象". 但并不是所有這样的對應都同样可靠. 有些對應给出的答案永远只有一個，有些却可能给出两個甚至更多，还有些时候根本给不出答案.

這一节我们要弄清楚：哪些對應值得被赋予一個正式的名字，以便后續反複使用.

探索

請逐一考察下面五個對應關係，判断它们是否满足"每個输入都能得到恰好一個输出"這一条件. 下面表格中用 $\mapsto$ 表示"對應到".

編号	對應规则	是否满足？
(a)	每個學生 $\mapsto$ 他的學号
(b)	每個实數 $x$ $\mapsto$ $x^2$
(c)	每個正实數 $a$ $\mapsto$ 满足 $x^2=a$ 的实數 $x$
(d)	每個城市 $\mapsto$ 当天的最高气溫
(e)	每個人 $\mapsto$ 他喜欢的歌曲

請在讀完下面的内容之前，先自己思考每一条的答案.

观察與猜想. 在上面的五個例子中:

(a) 和 (b) 的共同点是：不管输入是什么，答案都是确定的、唯一的.
(c) 的問題在于：输入 $a=4$ 时，满足 $x^2=4$ 的实數有两個 ( $2$ 和 $-2$ ), 输出不唯一.
(d) 通常没有問題，因為气象學上每天的最高气溫是确定的. 但如果"当天"还没過完，或者观测站出了故障，某個城市可能暂时没有气溫數据.
(e) 的問題更严重：同一個人可以喜欢很多首歌，而且"喜欢"本身也不是一個精确的數學對象.

把對應關係当作數學工具前，先查两件事：定義域中的每個输入都有输出，且這個输出只有一個.

映射

设 $A,B$ 為两個非空集合. 若按照某個法则，對 $A$ 中每一個元素 $a$ , 都能在 $B$ 中唯一确定一個元素 $b$ , 那么這個法则就叫作從 $A$ 到 $B$ 的一個映射, 记作 $f\colon A\to B, a\mapsto f(a).$ 其中 $A$ 叫作映射的定義域, $B$ 叫作陪域. 對于 $a\in A$ , 元素 $f(a)\in B$ 叫作 $a$ 的像; 若 $f(a)=b$ , 则称 $a$ 是 $b$ 的一個原像.

记号說明. 本書用 $\mathbb{R}$ 表示全體实數的集合, $\mathbb{Z}$ 表示全體整數的集合, $\mathbb{Q}$ 表示全體有理數的集合, $\mathbb{N}$ 表示全體自然數的集合. 這种雙線體寫法（blackboard bold）是數集的標准记号.

两個条件. 判断一個對應是否為映射，只需檢查两点:

穷尽性: 定義域里的每個元素都必须有像;
唯一性: 每個元素的像必须唯一.

檢查映射时只看定義域中的输入：每個输入恰好射出一条箭头，箭头终点落在陪域中.

记号辨析. $f\colon A\to B$ 中的箭头 $\to$ 连接的是两個集合, 表示映射的整體方向; $a\mapsto f(a)$ 中的箭头 $\mapsto$ 连接的是元素, 表示具體元素如何被送到它的像. 两者不要混淆.

讀箭头圖时，盯住定義域中的元素. 左圖每個元素恰好射出一条箭头；中圖的 $a_3$ 没有箭头射出；右圖的 $a_1$ 射出了两条箭头.

例

法则 $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ 是否是從 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射？

解

不是. 因為 $x=0$ 时 $\frac{1}{x}$ 无意義，定義域中有一個元素没有像，违反穷尽性.

但如果把定義域缩小為 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$（從 $\mathbb{R}$ 中去掉 $0$），即考虑

f\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}, x\mapsto \frac{1}{x},

那么對每個 $x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\frac{1}{x}$ 都唯一确定，所以這構成了映射.

反思

同一個對應法则，換一個定義域就可能從"不是映射"變成"是映射". 判断映射时，一定要同时看清定義域、陪域和對應法则這三样东西.

例

设 $A=\{1,4,9\}$ , $B=\mathbb{R}$ . 法则``取平方根''是否構成從 $A$ 到 $B$ 的映射？

解

如果``取平方根''指的是取所有平方根，那么 $4$ 對應 $2$ 和 $-2$ , 输出不唯一，不是映射.

但如果明确规定為``取算术平方根''(即非负的那個), 那么
$1\mapsto 1$, $4\mapsto 2$, $9\mapsto 3$,
每個输入都有唯一输出，構成映射.

映射由什么决定

一個映射由定義域、陪域和對應法则共同确定. 只改其中一項，得到的就是新的映射. 這三者通常被称為映射的"三要素".

檢查理解

如果把探索中的例子 (c) 改為"每個正实數 $a$ $\mapsto$ 满足 $x^2=a$ 的正实數 $x$ ", 它是否構成映射？
映射的定義域中能否有一個元素對應到陪域中的两個不同元素？
映射的陪域中的每個元素是否都必须被某個定義域中的元素對應到？

練習

判断下列對應是否構成從 $A$ 到 $B$ 的映射.

$A=\{1,2,3,4\}$ , $B=\{a,b,c\}$ , 规定 $1\mapsto a$ , $2\mapsto b$ , $3\mapsto a$ , $4\mapsto c$ ;
$A=\mathbb{R}$ , $B=\mathbb{R}$ , 规定 $x\mapsto \sqrt{x}$ ;
$A=[0,+\infty)$ , $B=\mathbb{R}$ , 规定 $x\mapsto \sqrt{x}$ .

解

是映射. $A$ 中每個元素都有唯一的像，且像都在 $B$ 中.
不是映射. 当 $x\<0$ 时 $\sqrt{x}$ 在实數范围内无意義，违反穷尽性.
是映射. 對每個 $x\ge 0$ , $\sqrt{x}$ 都唯一确定，且结果都在 $\mathbb{R}$ 中.

像集與原像集

核心問題

把"一批输入"送進映射，会得到什么？反過来，给定一個输出范围，哪些输入会落進去？

學習目標

理解單個元素的像與一批元素的像集之間的区别.
掌握原像集的概念，理解它與"逆映射"的区别.
能用箭头圖和集合語言计算像集與原像集.

映射刻画的是單個元素之間的對應. 但在很多問題中，我们關心一整块区域的去向''或来源''. 比如:

区間 $[-3,3]$ 在平方映射 $x\mapsto x^2$ 下会被送到哪里？
哪些实數在平方后会落到区間 $[1,4]$ 里？

前一個問題問的是"输入集合的输出范围", 后一個問的是"输出集合對應的全部输入". 這就分别引出了像集和原像集.

探索

设映射 $f\colon \{1,2,3,4\}\to \{p,q,r,s\}$ 满足 $f(1)=q, f(2)=q, f(3)=r, f(4)=s.$

如果只看输入 $\{1,2,3\}$ , 它们的像分别是哪些？這些像组成什么集合？
如果我们想知道``哪些输入的像落在 $\{q,s\}$ 中'', 應该怎么找？
如果我们想知道``哪些输入的像落在 $\{p\}$ 中'', 结果是什么？

像集與原像集

设 $f\colon A\to B$ 為映射.

對任意子集 $S\subseteq A$ （ $S$ 包含于 $A$ ），定義 $S$ 在 $f$ 下的像集為 $f(S)=\{\,f(a)\mid a\in S\,\}.$

特别地, $f(A)$ 叫作映射 $f$ 的值域, 记作 $\operatorname{Im}(f)$ （Im 取自 image）.

對任意子集 $T\subseteq B$ , 定義 $T$ 的原像集為 $f^{-1}(T)=\{\,a\in A\mid f(a)\in T\,\}.$

怎样理解這两個定義. 像集從输入出發：取出 $S$ 中的元素，逐個计算它们的像，再把重複结果只记一次. 原像集從输出条件反查：给出目標范围 $T$ , 收集所有满足 $f(a)\in T$ 的输入 $a$ .

最常用的判断方式. 其中 $\iff$ 表示"当且僅当".

$y\in f(S)\iff$ 存在 $a\in S$ , 使 $y=f(a)$ .
$a\in f^{-1}(T)\iff f(a)\in T$ .

做題时先判断題目给的是输入集合 $S$ , 还是输出条件 $T$ .

圖~[ref:fig:image-set] 與圖~[ref:fig:preimage-set] 用同一個映射来演示這两個概念.

像集：先選输入子集 $S=\{1,2,3\}$, 再看這些元素的像. 虽然 $1,2$ 都映到 $q$, 但像集里 $q$ 只记一次

原像集：先给出目標集合 $T=\{q,s\}$, 再把所有像落入 $T$ 的输入收集起来，得到 $f^{-1}(T)=\{1,2,4\}$

例

设 $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $f(x)=x^2$ . 则 $f([-3,3])=[0,9]$ , 而 $f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2]$ .

解

對于像集：当 $x\in[-3,3]$ 时, $x^2\in[0,9]$ , 且 $0$ 和 $9$ 都能取到，所以 $f([-3,3])=[0,9]$ .

對于原像集：要找满足 $x^2\in[1,4]$ 的 $x$, 即 $1\le x^2\le 4$, 解得 $x\in[-2,-1]\cup[1,2]$.

例

设 $A=\{1,2,3\}$ , $B=\{p,q,r,s\}$ , 映射 $f$ 满足 $f(1)=q$ , $f(2)=q$ , $f(3)=s$ . 则 $f(A)=\{q,s\}$ , $f^{-1}(\{q\})=\{1,2\}$ , $f^{-1}(\{r\})=\varnothing$ （空集）.

解

$f(A)$ 是所有像的集合: $f(1)=q$ , $f(2)=q$ , $f(3)=s$ , 去重后得 $\{q,s\}$ .

$f^{-1}(\{q\})$ 是所有像為 $q$ 的输入: $f(1)=q$, $f(2)=q$, 所以 $\{1,2\}$.

$f^{-1}(\{r\})$ 是所有像為 $r$ 的输入：没有任何输入的像是 $r$, 所以是空集.

備註

符号

f^{-1}

的两重含義

$f^{-1}(T)$ 中的 $T$ 是集合时，這里在求原像集：找所有满足 $f(a)\in T$ 的输入 $a$ . 這個操作可以用于任何映射.

它和第~[ref:sec:identity-inverse]~节将要學的逆映射用同一個符号，做題时先看括号里放的是集合还是單個元素:

$f^{-1}(\text{集合})$ 算出来的是一個集合(可能是空集、單元素集或多元素集);
逆映射 $f^{-1}(\text{元素})$ 算出来的是唯一的一個元素或者數值.

常见錯誤

以為像集 $f(S)$ 里元素個數一定和 $S$ 一样多. 錯! 如果两個不同元素的像相同(如上面 $f(1)=f(2)=q$ ), 像集的元素個數会比 $S$ 少.
以為 $f^{-1}(T)$ 一定是單個元素. 錯! 原像集通常是一個集合，可能包含多個元素，也可能是空集.

檢查理解

设 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2$ . $f^{-1}(\{0\})$ 是什么？ $f^{-1}(\{-1\})$ 呢？
像集 $f(S)$ 的元素個數是否可能多于 $S$ 的元素個數？

單射、满射與雙射

核心問題

映射的``形状''可以分成哪几种基本類型？每种類型意味着什么？

學習目標

理解單射、满射、雙射的定義和直观含義.
能用箭头圖和代數方法判断映射的類型.
理解陪域的選择如何影响满射性.

不是所有映射的行為方式''都一样. 有些映射把不同元素送到不同位置，有些会把多個元素撞''到同一個输出上；有些映射能覆蓋陪域中的每個元素，有些会留下``空位''. 這一节我们给這些不同的行為方式起名字.

探索

下面三幅箭头圖分别代表三种不同``形状''的映射. 請仔细观察，然后回答問題.

哪幅圖中，不同的输入一定送到不同的输出(没有``撞车'')？
哪幅圖中，陪域的每個元素都被某個输入命中(没有``空位'')？
哪幅圖既不撞车，也不空位？

單射

映射 $f\colon A\to B$ 称為單射, 若對任意 $a_1,a_2\in A$ , $a_1\neq a_2\implies f(a_1)\neq f(a_2).$ （其中 $\implies$ 表示"蕴含", 即"若前者成立则后者也成立".）等价地(逆否命題), $f(a_1)=f(a_2)\implies a_1=a_2.$

直观理解. 單射意味着``不同输入不会撞到同一個输出''. 從箭头圖上看，每個值域元素至多接收一条来自定義域的箭头. 用教室的比喻来說：每把椅子上至多坐一個人.

满射

映射 $f\colon A\to B$ 称為满射, 若對任意 $b\in B$ , 都存在 $a\in A$ 使得 $f(a)=b.$ 值域恰好等于陪域: $f(A)=B$ .

直观理解. 满射意味着``陪域中的每個元素都被命中''. 從箭头圖上看，每個陪域元素都至少接收一条箭头. 用教室的比喻来說：每把椅子上都至少坐了一個人(可能不止一個).

雙射

若映射既是單射又是满射，就称為雙射.

直观理解. 雙射把不撞车''和不空位''合并在一起. 用教室的比喻来說：每把椅子上恰好坐一個人，没有空椅子，也没有人站着. 這就是``一一對應''.

例

映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1$ 是雙射.

解

單射: 若 $2x_1+1=2x_2+1$ , 则 $x_1=x_2$ .

*满射*: 對任意 $y\in\mathbb{R}$, 取 $x=\frac{y-1}{2}$, 就有 $f(x)=y$.

两者同时成立，所以是雙射.

同一個法则，不同的``形状''

同一法则 $x\mapsto x^2$, 在不同定義域和陪域下性質完全不同:

$f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2$ : 既非單射也非满射;
$f\colon \mathbb{R}\to[0,+\infty)$ , $f(x)=x^2$ : 满射，非單射;
$f\colon [0,+\infty)\to[0,+\infty)$ , $f(x)=x^2$ : 雙射.

解

(1) $f(1)=f(-1)=1$ , 所以不單射；负數不会被 $x^2$ 取到，所以不满射.

(2) 每個 $y\ge 0$ 都有 $y=(\sqrt{y})^2$, 所以满射；但 $f(1)=f(-1)$, 所以不單射.

(3) 在 $[0,+\infty)$ 上, $x_1^2=x_2^2$ 且 $x_1,x_2\ge 0$ 推出 $x_1=x_2$, 所以單射；每個 $y\ge 0$ 都有唯一非负平方根，所以满射.

反思

判断單射、满射、雙射时，把函數先完整寫成 $f\colon A\to B$ . 只寫 $x\mapsto x^2$ , 还无法判断满射性和可逆性.

常见錯誤

以為``满射''只取决于對應法则. 实际上，满射依赖于陪域的選择. 同一個法则，陪域取大了就不满射，取對了就满射.
以為雙射就是``看起来一一對應''. 实际上，雙射是單射和满射同时成立，缺一不可.
忘记檢查定義域. 比如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 從 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 到 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 是雙射，但從 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 到 $\mathbb{R}$ 就不是满射(因為 $0$ 取不到).

檢查理解

映射 $f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ , $f(n)=2n$ 是單射吗？是满射吗？
如果把上題的陪域改成 $2\mathbb{Z}=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}$ (偶數集), 结論如何變化？

映射的複合

核心問題

两個映射能否``串联''成一個？串联后的效果與顺序有關吗？

學習目標

理解複合映射的定義和记号 $g\circ f$ .
理解複合的顺序性：先做 $f$ , 再做 $g$ .
能判断複合是否有意義，并理解複合一般不满足交換律.

在日常生活和工程中，我们經常把两個步骤串联起来：先做前一步，再把结果作為下一步的输入. 數學中也是一样.

探索

想象你有两台机器:

机器 $f$ : 输入一個數 $x$ , 输出 $2x$ (翻倍).
机器 $g$ : 输入一個數，输出它减 $3$ .

如果先過机器 $f$ 再過机器 $g$ , 输入 $5$ 会得到什么？
如果先過机器 $g$ 再過机器 $f$ , 输入 $5$ 会得到什么？
两种顺序的结果相同吗？
机器 $g$ 能不能放在机器 $f$ 前面？這取决于什么？

複合映射

设 $f\colon A\to B, g\colon B\to C$ 為两個映射. 则由 $a\mapsto g(f(a))$ 确定的從 $A$ 到 $C$ 的映射，叫作 $g$ 與 $f$ 的複合映射, 记作 $g\circ f.$

讀法與顺序. $g\circ f$ 讀作$g$ 圈 $f$'', 含義是先做 $f$ , 再做 $g$ ''. 记号從右向左讀：先 $f$ 后 $g$ . 這和函數记号 $g(f(x))$ 的顺序是一致的.

複合成立的条件. $g\circ f$ 有意義，要求 $f$ 的值域落在 $g$ 的定義域内，即 $f(A)\subseteq \operatorname{dom}(g)$ （dom 取自 domain）. 如果 $f$ 的某個输出不在 $g$ 的定義域里，複合就无法進行.

例

设 $f(x)=2x$ , $g(x)=x-3$ . 则

(g\circ f)(x)=g(2x)=2x-3, (f\circ g)(x)=f(x-3)=2(x-3)=2x-6.

所以 $g\circ f\neq f\circ g$.

解

$(g\circ f)(5)=g(f(5))=g(10)=7$ , 而 $(f\circ g)(5)=f(g(5))=f(2)=4$ . 两個结果不同.

反思

计算複合时先寫出代入顺序: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ , $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ . 顺序一換，中間结果也跟着換.

複合的两個基本事实

複合满足结合律: $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f.$ 證明如下. 设 $f\colon A\to B$ , $g\colon B\to C$ , $h\colon C\to D$ . 對任意 $a\in A$ ,

\bigl(h\circ(g\circ f)\bigr)(a)=h\bigl((g\circ f)(a)\bigr)=h\bigl(g(f(a))\bigr),

\bigl((h\circ g)\circ f\bigr)(a)=(h\circ g)\bigl(f(a)\bigr)=h\bigl(g(f(a))\bigr).

	两边對每個 $a\in A$ 都相等，所以 $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$. 這意味着括号的位置不影响最终结果，三层以上的複合可以不加括号地寫成 $h\circ g\circ f$.

2. 複合一般不满足交換律: $g\circ f\neq f\circ g$ . 上面的例子已經說明了這一点: $(g\circ f)(5)=7$ , 而 $(f\circ g)(5)=4$ . 直观上, 先翻倍再减 $3$'' 和先减 $3$ 再翻倍''是两個不同的操作. 两個映射能交換只是特殊情况(例如两個平移映射的複合), 绝不能默认成立.

檢查理解

设 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2$ ; $g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=x+1$ .

求 $(g\circ f)(x)$ 和 $(f\circ g)(x)$ .
它们相等吗？

恒等映射與逆映射

核心問題

有没有什么都不做''的映射？什么时候能把一個映射倒回来''？

學習目標

理解恒等映射的作用：它是複合中的``中性元素''.
理解逆映射的定義，以及為什么只有雙射才有逆映射.
能判断映射是否可逆，并能求出逆映射.

在研究映射的複合时，有两個特殊的``角色''值得單独讨論：一個是什么都不做的映射，另一個是能把過程完全倒回来的映射.

恒等映射

探索

如果一個映射把每個元素都送到它自己，這样的映射有什么用？

设 $A=\{1,2,3\}$ . 定義 $\mathrm{id}_A(1)=1$ , $\mathrm{id}_A(2)=2$ , $\mathrm{id}_A(3)=3$ .

如果 $f\colon A\to B$ 是任意映射，先做 $\mathrm{id}_A$ 再做 $f$ , 结果和直接做 $f$ 一样吗？
如果 $g\colon C\to A$ 是任意映射，先做 $g$ 再做 $\mathrm{id}_A$ , 结果和直接做 $g$ 一样吗？

恒等映射

设 $A$ 為非空集合. 映射 $\mathrm{id}_A\colon A\to A, \mathrm{id}_A(a)=a$ 叫作 $A$ 上的恒等映射.

恒等映射把每個元素都映為自身. 它在複合中的作用，正像加法中的 $0$ 或乘法中的 $1$ : $f\circ \mathrm{id}_A=f, \mathrm{id}_B\circ f=f.$ 與恒等映射複合以后，原来的映射没有發生任何變化.

逆映射

探索

想象你在電脑上編辑文档，如果不小心做了一個錯誤的操作，你会本能地按下 \texttt{Ctrl + Z} (撤销). 在數學中，我们也有``撤销''操作吗？

设 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 代表操作``把數字乘 $2$ 再加 $1$'' (即 $f(x)=2x+1$).

你能找到一個數學操作 $g$ (即撤销操作), 使得无論最初输入什么 $x$ , 先經過 $f$ 篡改，再經過 $g$ 处理，结果都能完美變回原样 $x$ 吗？(提示：要求 $g(f(x))=x$ )
如果 $f$ 代表操作把數字取平方'' (即 $f(x)=x^2$), 你能完美地撤销''它吗？比如当我知道最终结果是 $4$ 时，你能确定地告诉我原来的數字是什么吗？

逆映射

设映射 $f\colon A\to B$ . 如果存在映射 $g\colon B\to A$ , 满足 $g\circ f=\mathrm{id}_A, f\circ g=\mathrm{id}_B,$ 则称 $g$ 為 $f$ 的逆映射, 记作 $f^{-1}$ , 并称 $f$ 可逆.

這两個等式分别表达了两层意思:

$g\circ f=\mathrm{id}_A$ : 從 $A$ 出發，先 $f$ 后 $g$ , 每個元素都回到自己. 這保證 $f$ 不会把两個不同元素压到同一個结果上(單射).
$f\circ g=\mathrm{id}_B$ : 從 $B$ 出發，先 $g$ 后 $f$ , 每個元素也回到自己. 這保證 $B$ 中的每個元素都确实来自 $A$ 中某個元素(满射).

可逆與雙射

映射 $f\colon A\to B$ 存在逆映射，当且僅当 $f$ 是雙射.

證明

先设 $f$ 有逆映射 $g\colon B\to A$ .

由 $g\circ f=\mathrm{id}_A$ 可知，若 $f(a_1)=f(a_2)$ , 那么 $a_1=(g\circ f)(a_1)=g(f(a_1))=g(f(a_2))=(g\circ f)(a_2)=a_2.$ 所以 $f$ 是單射.

由 $f\circ g=\mathrm{id}_B$ 可知，對任意 $b\in B$ , 取 $a=g(b)\in A$ , 就有 $f(a)=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b.$ 所以 $f$ 是满射. 因而 $f$ 是雙射.

反過来，若 $f$ 是雙射，那么對每個 $b\in B$ , 满射保證存在 $a\in A$ 使 $f(a)=b$ , 單射保證這样的 $a$ 只有一個. 于是可定義映射 $g\colon B\to A$ , 令 $g(b)$ 等于满足 $f(a)=b$ 的那個唯一元素 $a$ . 按定義就有 $g\circ f=\mathrm{id}_A, f\circ g=\mathrm{id}_B.$ 所以 $g$ 就是 $f$ 的逆映射.

為什么單射和满射缺一不可

單射负责排除``同一個输出来自两個输入''. 一旦 $a_1\neq a_2$ 且 $f(a_1)=f(a_2)$ , 反向讀取时就无法确定该回到 $a_1$ 还是 $a_2$ .

满射负责保證陪域中的每個 $b$ 都有来源. 若某個 $b\in B$ 没有原像，逆映射在 $b$ 处就没有可填的值.

所以求逆映射前，先查單射和满射這两項.

例

映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=2x+1$ 是雙射，它的逆映射為 $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}.$

解

验證: $f^{-1}(f(x))=\frac{(2x+1)-1}{2}=x$ , $f(f^{-1}(x))=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x$ . 两者都等于恒等映射.

不是雙射就没有逆映射

映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2$ 不可逆. 因為 $f(1)=f(-1)=1$ , 不是單射；同时负數不会被取到，不是满射.

若把陪域改為 $[0,+\infty)$, 即 $f\colon \mathbb{R}\to[0,+\infty)$, $f(x)=x^2$, 它成為满射，但仍然不是單射，因而依旧不可逆.

缩小定義域可以使映射可逆

若把定義域也缩小為 $[0,+\infty)$ , 考虑

f\colon [0,+\infty)\to[0,+\infty), f(x)=x^2,

那么對每個 $y\in[0,+\infty)$, 都有唯一的非负实數 $x=\sqrt{y}$ 满足 $x^2=y$. 因而這個映射是雙射，它的逆映射為
$f^{-1}(x)=\sqrt{x}     (x\in[0,+\infty)).$

反思

同一個對應法则能否可逆，往往要连同定義域與陪域一起判断. $x^2$ 在整個 $\mathbb{R}$ 上不可逆，但在 $[0,+\infty)$ 上可逆. 這就是為什么后面讨論反函數时，总是先要确定定義域.

几個需要留意的地方

记号 $f^{-1}$ 表示逆映射；记号 $\dfrac{1}{f(x)}$ 表示把函數值取倒數，两者含義不同.
许多映射都没有逆映射，判断时要同时檢查單射與满射.
寫逆映射时，要把定義域和值域一起寫清楚. 原映射是 $A\to B$ , 逆映射就是 $B\to A$ .

檢查理解

映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^3$ 是否可逆？如果可逆，逆映射是什么？
映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=|x|$ 是否可逆？為什么？

函數的概念

核心問題

映射與函數是什么關係？函數的本質是什么？

學習目標

理解函數是定義在數集上的特殊映射.
掌握函數的三要素：定義域、對應法则、值域.
能判断两個函數是否相等.

前面建立的映射語言适用于任意集合之間的對應. 当定義域與陪域進一步具體為实數集的子集时，映射便成為函數. 由于自變量和函數值都是數，还可以進一步讨論圖像、增减性與對称性等.

探索

下面哪些對象可以看作``從數到數''的對應？

$y=x^2$ ;
$x^2+y^2=1$ ;
气溫随时間的變化;
每個班级對應它的編号.

其中哪些满足``每個输入都有唯一输出''的条件？

函數

设 $A,B$ 是两個非空实數集. 從 $A$ 到 $B$ 的映射 $f\colon A\to B, x\mapsto f(x)$ 叫作一個函數. 其中 $x$ 叫作自變量, $f(x)$ 叫作 $f$ 在 $x$ 处的函數值. 集合 $A$ 叫作函數的定義域, 记作 $\operatorname{dom}(f)$ , 集合 $f(A)$ 叫作函數的值域.

函數的三要素. 一個函數由以下三样东西完全确定:

定義域: 哪些 $x$ 可以代入;
對應法则: 代入后怎样得到函數值;
值域: 所有可能取得的函數值组成的集合.

判断函數是否相等时，先核對定義域. 例如 $f(x)=x^2 (x\in \mathbb{R}) \text{與} g(x)=x^2 (x\in [0,+\infty))$ 表示两個不同函數：它们的值域同為 $[0,+\infty)$ , 定義域分别是 $\mathbb{R}$ 和 $[0,+\infty)$ .

例

设 $f(x)=2x-3$ , 定義域為 $\mathbb{R}$ . 那么 $f(0)=-3$ , $f(2)=1$ , $f(a+1)=2a-1$ .

解

$f(a+1)=2(a+1)-3=2a+2-3=2a-1$ . 這里需要注意: $f(a+1)$ 表示把 $a+1$ 整體代入 $f$ 的定義中 $x$ 的位置.

分段函數

定義

f(x)= \begin{cases} -x, & x\<0, 0, & x=0, x, & x\>0. \end{cases}

這就是 $f(x)=|x|$. 虽然寫成了三段，但對每一個实數 $x$ 都恰好给出了唯一的函數值，因而它仍然是一個函數.

什么时候两個函數相等

两個函數相等，要同时满足:

定義域相同;
對定義域内每個 $x$ , 函數值都相同.

例如 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 與 $x+1$ 看上去化簡后相同，但前者在 $x=1$ 处无意義，后者在 $x=1$ 处有意義，所以它们不是同一個函數.

常见錯誤

以為``有 $x$ 和 $y$ 的式子就是函數''. 不一定! 只有当每個 $x$ 對應唯一 $y$ 时才是函數.
以為化簡后相同的两個式子就代表同一個函數. 不一定! 还要檢查定義域是否相同.
混淆 $f$ 和 $f(x)$ . $f$ 是整個函數(一個映射), $f(x)$ 是把 $x$ 代入后得到的一個數.

檢查理解

$f(x)=x^2$ ( $x\in\mathbb{R}$ ) 與 $g(t)=t^2$ ( $t\in\mathbb{R}$ ) 是同一個函數吗？
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ 與 $g(x)=x+2$ 是同一個函數吗？

練習

判断下列两對函數是否相等.

$f(x)=|x|$ , $g(x)=\sqrt{x^2}$ ;
$p(x)=x$ , $q(x)=\dfrac{x^2}{x}$ .

解

相等. 两者定義域都是 $\mathbb{R}$ , 且對任意 $x$ 都有 $\sqrt{x^2}=|x|$ ;
不相等. $p$ 的定義域是 $\mathbb{R}$ , 而 $q$ 的定義域是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

函數的圖像

核心問題

函數的圖像如何把``输入-输出''變成平面上的点？怎样從圖像判断一個關係是否是函數？

學習目標

理解函數圖像的定義：它是满足 $y=f(x)$ 的所有点的集合.
掌握竖直線判别法，理解它與函數``唯一性''的關係.
能從圖像中讀出函數的信息.

函數的一种重要表示方式是圖像. 圖像把输入 $x$ 對應输出 $f(x)$''變成了平面上的点 $(x,f(x))$, 使我们能用眼睛看到''函數的行為.

函數的圖像

函數 $f\colon A\to \mathbb{R}$ 的圖像是点集 $\mathcal{G}_f=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid x\in A,\ y=f(x)\}.$

圖像的几何特征. 因為函數强调一個 $x$ 只能對應一個 $y$'', 所以圖像具有一個重要的几何特征：任意一条竖直線，與函數圖像至多只有一個交点. 這叫作**竖直線判别法**. 它是函數唯一性''在圖像上的直接體現：如果一条竖線與圖像交于两点，說明同一個 $x$ 對應了两個不同的 $y$ , 這就违反了函數的定義.

圖中，每個 $x_0$ 對應唯一的 $f(x_0)$ , 所以竖直線 $x=x_0$ 與圖像只有一個交点.

例

曲線 $y=x^2$ 是函數圖像，因為每個实數 $x$ 都只對應一個函數值 $x^2$ . 任何一条竖線 $x=c$ 與抛物線 $y=x^2$ 只有一個交点 $(c,c^2)$ .

例

圓 $x^2+y^2=1$ 不是函數圖像. 因為当 $x=0$ 时，對應的 $y$ 有两個: $1$ 和 $-1$ . 竖直線 $x=0$ 與圓有两個交点.

例

上半圓 $y=\sqrt{1-x^2}$ , $x\in[-1,1]$ 是函數圖像，因為對每個 $x\in[-1,1]$ , 根号取的是非负值，输出只有一個.

反思

圓 $x^2+y^2=1$ 的整體不是函數圖像，但它的上半部分和下半部分分别都是函數圖像. 這和前面``從關係中選出函數''的思路是一致的：整體不满足唯一性时，加上限制就可能满足.

常见錯誤

判断曲線是否是函數圖像时，画一条竖直線试交点個數. 圓和椭圓会被某些竖直線截出两個交点.
代數判断也一样：固定一個 $x$ , 看方程解出的 $y$ 是否只有一個.

本节回顾. 映射是函數的基礎語言. 定義域、單调性、奇偶性、周期性、反函數和複合函數都建立在這套語言之上.

小结

映射是``每個输入都有唯一输出''的對應，由定義域、陪域和對應法则共同确定.
像集是一批输入的输出范围'', 原像集是给定输出条件后反查输入''. 原像集不依赖逆映射的存在.
單射保證不撞车'', 满射保證不空位'', 雙射保證两者同时成立. 陪域的選择会影响满射性.
複合映射 ``先 $f$ 后 $g$ ''记作 $g\circ f$ , 一般不满足交換律.
恒等映射是複合中的中性元素；逆映射只有雙射才有.
函數是定義在數集上的映射，由定義域、對應法则、值域三要素确定.
函數圖像满足竖直線判别法，這是``唯一性''在几何上的體現.

定義域

核心問題

定義域為什么是函數``能否成立''的第一檢查項？

學習目標

理解定義域是函數不可分割的一部分，不是附属条件.
掌握常见限制来源：分母、偶次根式、對數、零次幂.
能求初等函數的自然定義域，并能处理多個限制同时出現的情况.

研究一個函數时，第一件事是搞清楚哪些输入能够進入. 定義域把允许讨論的范围先固定下来，后面的值域、單调性、奇偶性和圖像，都要在這個范围内来理解.

探索

考虑下面三個``函數'':

$f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ ;
$g(x)=\sqrt{3-x}$ ;
$h(x)=\log_2(x+1)$ （以 $2$ 為底的對數）.

你能把 $x=2$ 代入 $f$ 吗？為什么？
你能把 $x=5$ 代入 $g$ 吗？ $\sqrt{-2}$ 在实數范围内有意義吗？
你能把 $x=-1$ 代入 $h$ 吗？ $\log_2(0)$ 有意義吗？

上面三個式子都對 $x$ 的取值施加了限制. 如果忽略了這些限制，就会把无意義的表达式当成合法的函數值.

自然定義域

若題目只给出解析式，没有另外說明定義域，通常默认它的定義域是使解析式在实數范围内有意義的全體 $x$ , 這叫作函數的自然定義域.

求自然定義域时，只需找出這個式子對 $x$ 的全部限制.

常见限制来源

初等函數中，定義域的限制主要来自下面几類结構. 每条限制都有明确的原因:

分式: 分母不能為零. 原因: $\frac{a}{0}$ 在实數中无意義. $\frac{f(x)}{g(x)}\implies g(x)\neq 0.$
偶次根式: 被開方數必须非负. 原因：负數在实數范围内没有偶次方根. $\sqrt[2n]{f(x)}\implies f(x)\ge 0.$
對數式: 真數必须大于零. 原因: $\log_a(0)$ 和 $\log_a(\text{负數})$ 在实數中无意義. $\log_a f(x)\implies f(x)\>0.$
零次幂: 底數不能為零. 原因: $0^0$ 无意義. $[f(x)]^0\implies f(x)\neq 0.$

一個操作習惯. 若一個式子里同时出現多個限制，就把每一条都列出来，最后取這些条件的交集. 這一步最容易漏.

基本例子

例

求函數 $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ 的自然定義域.

解

只需保證分母不為零，即 $x-2\neq 0$ . 所以 $x\neq 2$ . 定義域為 $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .

例

求函數 $g(x)=\sqrt{3-x}$ 的自然定義域.

解

根号内必须非负，即 $3-x\ge 0$ . 解得 $x\le 3$ . 所以定義域為 $(-\infty,3]$ .

例

求函數 $h(x)=\log_2(x+1)$ 的自然定義域.

解

對數的真數必须大于零，即 $x+1\>0$ . 所以 $x\>-1$ . 定義域為 $(-1,+\infty)$ .

反思

這三個例子各自只涉及一种限制. 下一步遇到混合式子时，按``分母、根式、對數、零次幂''逐項列条件，再取交集.

多個限制同时出現时

例

求函數 $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-4}$ 的定義域.

解

需要同时满足:

\begin{cases} x-2\ge 0, & \text{(根号内非负)} x-4\neq 0. & \text{(分母不為零)} \end{cases}

也就是 $x\ge 2$ 且 $x\neq 4$. 因此定義域為 $[2,4)\cup(4,+\infty)$.

常见錯誤

只看了根号的限制 $x\ge 2$ , 忘了分母 $x\neq 4$ 的限制. 如果漏掉這一点, $x=4$ 时分母為零，表达式无意義.

例

求函數 $y=\sqrt{9-x^2}+\log_2(x+1)$ 的定義域.

解

根式部分要求 $9-x^2\ge 0$ , 即 $-3\le x\le 3$ .

對數部分要求 $x+1\>0$, 即 $x\>-1$.

取交集得 $-1\<x\le 3$. 所以定義域為 $(-1,3]$.

含參數的定義域

有些題目给出定義域的结果，反過来要求參數的范围. 這類問題的要点是：定義域為 $\mathbb{R}$ 意味着分母對任意 $x$ 都不為零.

例

函數 $y=\dfrac{3x}{kx^2+2kx+1}$ 的定義域為 $\mathbb{R}$ , 求实數 $k$ 的取值范围.

解

定義域為 $\mathbb{R}$ , 意味着分母 $kx^2+2kx+1$ 對任意实數 $x$ 都不為零.

当 $k=0$ 时，分母為 $1$, 恒不為零，符合題意.

当 $k\neq 0$ 时，二次式恒不為零等价于方程 $kx^2+2kx+1=0$ 无实數解，即判别式
$\Delta = (2k)^2-4k = 4k^2-4k \< 0.$
解得 $0\<k\<1$.

两种情况合并，得 $0\le k\<1$.

常见錯誤

只考虑 $k\neq 0$ 的情形，漏掉 $k=0$ 的檢验. 当 $k=0$ 时分母退化為常數 $1$ , 同样满足条件.

有时需要先從已知条件中解出參數，再求定義域. 此时求定義域的步骤與前面相同，只是多了一步前置的方程求解.

例

已知正數 $a,b$ 满足 $a=b^2$ , $\log_b a = \dfrac{a}{b}$ , 求函數 $f(x)=\sqrt{1-\log_a(x-1)}$ 的定義域.

解

先求 $a,b$ . 由 $a=b^2$ 得 $\log_b a = \log_b b^2 = 2$ . 又 $\log_b a = \dfrac{a}{b}$ , 所以 $\dfrac{a}{b}=2$ , 即 $a=2b$ .

联立 $a=b^2$ 和 $a=2b$, 得 $b^2=2b$. 因為 $b\>0$, 两边除以 $b$ 得 $b=2$, 從而 $a=4$.

現在求 $f(x)=\sqrt{1-\log_4(x-1)}$ 的定義域. 根号内要求
$1-\log_4(x-1)\ge 0    \text{且}    x-1\>0.$
由 $1-\log_4(x-1)\ge 0$ 得 $\log_4(x-1)\le 1$, 即 $x-1\le 4$, 所以 $x\le 5$.
由 $x-1\>0$ 得 $x\>1$.

取交集得 $1\<x\le 5$. 定義域為 $(1,5]$.

複合函數里的定義域

複合函數的定義域往往要``由外向内''地檢查.

例

求函數 $f(x)=\sqrt{\log_{0.5}\!\left(\dfrac{2x-1}{x+2}\right)}$ 的定義域.

解

最外层是根式，所以先要求 $\log_{0.5}\!\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)\ge 0$ .

因為底數 $0.5\in(0,1)$, 對數函數是递减的，所以這等价于 $0\<\frac{2x-1}{x+2}\le 1$.

分成两步来解:
$\frac{2x-1}{x+2}\>0    \Rightarrow    x\in(-\infty,-2)\cup\left(\frac12,+\infty\right);$

\frac{2x-1}{x+2}\le 1 \Rightarrow \frac{x-3}{x+2}\le 0 \Rightarrow x\in(-2,3].

两部分取交集，得 $x\in\left(\frac12,3\right]$. 所以定義域為 $\left(\frac12,3\right]$.

已知外层函數定義域时的反推

例

已知函數 $f(x)$ 的定義域是 $[-1,4]$ , 求函數 $g(x)=\dfrac{f(2x-1)}{\sqrt{x}}$ 的定義域.

解

要使 $g(x)$ 有意義，需要同时满足两件事:

$2x-1$ 要落在 $f$ 的定義域 $[-1,4]$ 内;
分母 $\sqrt{x}$ 要有意義且不為零.

先看第一条: $-1\le 2x-1\le 4$ , 解得 $0\le x\le \frac52$ .

再看第二条: $\sqrt{x}\neq 0$ 且 $x\ge 0$ , 等价于 $x\>0$ .

取交集得 $0\<x\le \frac52$ . 所以定義域為 $\left(0,\frac52\right]$ .

反思

這里的已知 $f(x)$ 的定義域為 $[-1,4]$''意味着 $f$ 的输入范围''是 $[-1,4]$ . 所以 $f(2x-1)$ 中的 $2x-1$ 必须落在這個范围内. 這是複合函數定義域問題的基本思路.

当題目只给出 $f(x-1)$ 或 $f(x+1)$ 的定義域，要求 $f(2x+1)$ 的定義域时，分两步走：先由已知条件推出 $f$ 本身的定義域，再用 $f$ 的定義域去约束新的自變量.

例

已知函數 $f(x-1)$ 的定義域為 $[-2,3]$ , 求函數 $f(2x+1)$ 的定義域.

解

$f(x-1)$ 的定義域為 $[-2,3]$ , 意味着 $x\in[-2,3]$ .

此时 $x-1\in[-3,2]$, 所以 $f$ 本身的定義域為 $[-3,2]$.

要使 $f(2x+1)$ 有意義，需要 $2x+1\in[-3,2]$, 即
$-3\le 2x+1\le 2    \Rightarrow    -2\le x\le \frac{1}{2}.$
所以 $f(2x+1)$ 的定義域為 $\left[-2,\dfrac{1}{2}\right]$.

常见錯誤

把 $f(x-1)$ 的定義域 $[-2,3]$ 直接当成 $f$ 的定義域. 实际上 $[-2,3]$ 是 $x$ 的范围，不是 $x-1$ 的范围. 必须先換元求出 $f$ 的定義域，再用于新的自變量.

当複合函數與代數限制叠加时，需要同时满足多组条件.

例

已知函數 $f(x+1)$ 的定義域為 $(-3,3]$ , 求函數 $h(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x}}{x-2}\cdot f(2x)$ 的定義域.

解

$f(x+1)$ 的定義域為 $(-3,3]$ , 意味着 $x\in(-3,3]$ .

此时 $x+1\in(-2,4]$, 所以 $f$ 本身的定義域為 $(-2,4]$.

要使 $h(x)$ 有意義，需要同时满足:

$2x\in(-2,4]$ , 即 $-1\<x\le 2$ ;
$x-2\neq 0$ , 即 $x\neq 2$ ;
$\sqrt[3]{x}$ 對任意实數有意義，无额外限制.

取交集得 $-1\<x\<2$ . 所以 $h(x)$ 的定義域為 $(-1,2)$ .

複合函數與對數限制叠加时，同样逐項列条件再取交集.

例

已知函數 $f(x)$ 的定義域為 $[1,3]$ , 求函數 $g(x)=f(2x-1)\cdot\log_2(3x-3)$ 的定義域.

解

要使 $g(x)$ 有意義，需要同时满足:

$2x-1\in[1,3]$ , 即 $1\le x\le 2$ ;
$3x-3\>0$ , 即 $x\>1$ .

取交集得 $1\<x\le 2$ . 所以 $g(x)$ 的定義域為 $(1,2]$ .

实际問題中的定義域

若函數来自实际情境，除了代數限制以外，还要考虑題目本身的意義.

时間通常不能為负;
长度、面積、體積通常不能為负;
人數、件數這類變量还常常只能取整數.

因此，实际問題中的定義域往往是代數限制''與实际意義限制''的共同结果.

例

一個正方形的边长為 $x$ , 面積為 $S=x^2$ . 如果把 $S$ 看作 $x$ 的函數，從纯代數角度，定義域是 $\mathbb{R}$ . 但如果``边长''来自实际問題，那么 $x\>0$ , 定義域變成 $(0,+\infty)$ .

常见錯誤

实际題先列代數限制，再列背景限制. 边长、时間、人數這類量会继續缩小范围.
同一個式子放進不同語境，定義域可能不同. 寫答案时把定義域跟在解析式后面.
比较两個函數时，先比定義域，再比對應法则.

檢查理解

函數 $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$ 的定義域是什么？
為什么說``定義域是函數的一部分''？請举一個解析式相同、定義域不同的例子.

本节小结

求定義域时，直接按三步寫：找限制、联立取交集、补实际背景条件. 值域、單调性、奇偶性和複合函數的讨論都從這一步開始.

小结

定義域规定哪些输入可以代入，是函數的一部分.
常见限制来源：分母不為零、偶次根式内非负、對數真數大于零.
多個限制同时出現时，必须取交集.
实际問題中，定義域还受到現实意義的约束.
比较函數是否相同，要同时看解析式和定義域.

函數的表示法

核心問題

函數只能用公式表示吗？不同的表示方式各有什么优势？

學習目標

了解函數的多种表示方式：解析式、表格、圖像、文字描述、分段表示.
理解不同表示方式各有优势，不是所有函數都有漂亮的解析式.
能根据問題的需要選择合适的表示方式.

刚接触函數时，很容易把函數''和公式''等同起来. 但這种理解只覆蓋了函數的一部分. 公式可以定義函數，但函數还可以通過表格、圖像、文字规则等方式给出.

探索

下面几种對象，都可以看作函數. 請思考：它们各自的输入''和输出''是什么？它们是用什么方式给出對應關係的？

把每個人對應到其學号;
把每一天對應到当天的最高气溫;
把每個实數 $x$ 對應到它的平方 $x^2$ ;
把区間 $[0,1]$ 内的每個 $x$ 對應到满足 $x^2+y^2=1$ , $y\ge 0$ 的那個 $y$ .

這些對象的形式并不相同. 有的是現实中的對應规则，有的是代數公式，有的是由几何条件選出来的值. 但它们都满足同一個条件：對每一個允许的输入，都唯一确定一個输出.

解析式表示

這是最常见的一种. 例如 $f(x)=2x-3, g(x)=x^2+1, h(x)=|x|.$

它的优点是便于计算與推導，缺点是容易让人誤以為``只要长得像公式，就一定是同一個函數''. 事实上，解析式相同而定義域不同，往往就是不同函數.

例

$f(x)=x^2\ (x\in\mathbb{R})$ 與 $g(x)=x^2\ (x\in[0,+\infty))$ 這两個函數的解析式相同，但定義域不同，所以不是同一個函數.

表格表示

有些函數通過若干對應數据直接给出

例

设函數 $T$ 把一天中的时刻 $t$ 對應到某城市当时的气溫. 若只记錄若干时刻的观测值，就会得到一张表:

\begin{array}{c|ccccc} t & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 T(t) & 12 & 16 & 21 & 24 & 19 \end{array}

這张表虽然没有给出统一公式，但已經表达了若干输入與输出之間的對應關係.

表格常出現在实验、统计和建模中. 從表格出發，常要继續考察：這些數据是否反映某种單调趋势？它是否接近某個熟悉函數模型？有没有必要在這些点之間進一步插值或拟合？

圖像表示

如果把每個输入 $x$ 與输出 $f(x)$ 画成点 $(x,f(x))$ , 就得到函數的圖像. 圖像特别适合表現整體趋势:

在哪几個区間上递增或递减;
是否具有對称性;
是否存在周期;
大致的值域和零点分布如何.

圖像能把定義域、值域、單调性、奇偶性、最值和對称性等信息集中呈現出来. 但圖像也有局限：從圖像上讀出的數值通常是近似的，不如解析式精确.

文字或规则表示

在更一般的情形下，函數甚至不需要表格、圖像或公式，只要把规则說清楚就够了.

例

``把每個非负实數對應到它的算术平方根''定義了一個函數 $f\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty)$ , $x\mapsto \sqrt{x}$ .
``把每個实數對應到不超過它的最大整數''也定義了一個函數，這就是取整函數(也叫高斯函數、地板函數).

公式與规则

公式只是把對應规则寫出来的一种方式，函數本身由规则和定義域共同决定. 判断两個對象是否為同一函數时，看的是规则(每個输入對應哪個输出)和定義域(哪些输入被允许).

同一個规则可以換不同公式来表达: $|x|$ , $\sqrt{x^2}$ , 分段形式，表达的是同一個對應. 反過来，相同的公式配上不同定義域，就是不同函數.

遇到抽象函數、分段函數、反函數或由几何条件定義的函數时，先提取對應规则，再谈性質.

同一函數的不同表示

同一個函數可以換寫法. 換寫法前后，定義域和每個输入對應的输出都要保持一致.

例

绝對值函數 $f(x)=|x|$ 至少可以有下面几种寫法:

f(x)=|x|, f(x)= \begin{cases} x, & x\ge 0, -x, & x\<0, \end{cases} f(x)=\sqrt{x^2}.

這些表示方式强调的侧面并不相同:

$|x|$ 突出的是``距离原点的长度'';
分段形式突出的是符号分類;
$\sqrt{x^2}$ 突出的是與平方、根式之間的联係.

檢查理解

取整函數 $f(x)=\lfloor x\rfloor$ 能否用一個簡單的解析式表示？它最适合用什么方式来表示？
為什么說``函數不等于公式''？請举一個没有簡單解析式的函數的例子.

函數表示中的限制與選择

核心問題

同一個關係，在不同限制下可以變成不同的函數吗？為什么要主动選择定義域和值域？

學習目標

理解同一個關係經過不同限制可以得到不同函數.
理解实际問題中需要主动選择定義域和值域.
能根据具體情境選择合适的函數表示.

含有 $x,y$ 的關係，只有在每個允许的 $x$ 都唯一确定一個 $y$ 时，才给出函數.

例

關係 $x^2+y^2=1$ 描述的是單位圓. 它不是函數，因為同一個 $x$ 往往對應两個 $y$ .

但只要再加上一点限制，情况就變了.

例

若规定 $y\ge 0$ , 则上面的關係變成 $y=\sqrt{1-x^2}$ , $x\in[-1,1]$ . 這时就得到了一個函數——單位圓的上半部分.

例

若规定 $y\le 0$ , 则得到 $y=-\sqrt{1-x^2}$ , $x\in[-1,1]$ . 這是另一個函數——單位圓的下半部分.

反思

從 $x^2+y^2=1$ 出發，加 $y\ge 0$ 取上半圓，加 $y\le 0$ 取下半圓. 寫這种函數时，把分支条件和定義域一起寫清楚.

限制與選择的方式. 從一個關係中選出函數，通常靠以下手段:

限定定義域;
规定只取某個分支;
添加实际背景中的额外条件.

以后學習反函數、三角函數的反函數以及几何問題时，常要先選分支，再寫函數.

現实中的限制與選择

设边长為 $x$ 的正方形面積為 $S$ , 则 $S=x^2$ . 如果反過来由面積求边长，從代數上看有 $x=\pm\sqrt{S}$ . 但边长不能是负數，所以在实际問題中只能取 $x=\sqrt{S}$ .

常见錯誤

方程解出两個 $y$ 值时，先選一個分支，再称為函數.
实际題要把背景条件寫進定義域或分支条件. 由面積求边长时，取正边长.

函數表示的转換

核心問題

同一個函數的不同表示之間如何转換？转換過程中可能丢失什么信息？

學習目標

理解函數的不同表示之間的转換是``同一對象的不同語言之間的翻译''.
了解各种转換中可能丢失的信息和需要注意的限制.
能根据問題的需要選择合适的表示方式.

研究函數时，常要在文字、表格、圖像和解析式之間切換. 每次切換都要檢查定義域、精确值和分支条件是否保留下来.

常见的转換方向.

文字描述 $\to$ 表格: 把``规则''變成具體的對應數据. 适合檢验理解是否正确.
表格 $\to$ 圖像: 把數据点画在坐標係中. 适合观察趋势，但点之間的部分只能推测.
圖像 $\to$ 性質: 從圖像中讀出單调性、對称性、零点等. 通常是近似的.
解析式 $\to$ 圖像: 通過计算關键点和趋势画圖. 最精确，但也最费力.
關係式 $\to$ 函數: 通過限制定義域或選择分支，從關係中選出函數.

例

若題目给出一条曲線圖像，并問它是否是函數，先用竖直線判别法判断.

若題目给出一张數据表，并問變化趋势，先观察整體增减與極值位置.

若題目给出一個複杂公式，并問如何作圖，可考虑把它拆成熟悉函數再做圖像變換.

转換中可能丢失的信息.

從解析式到圖像：精确數值變成视觉近似.
從圖像到表格：连續變化變成离散采样.
從表格到文字：具體數据變成模糊趋势.
從關係到函數：完整的曲線變成其中的一個分支.

選择表示方式前，先問這題要计算精确值、观察趋势，还是判断分支.

本节小结

小结

函數是對應规则. 解析式、表格、圖像、文字规则都可以表达函數.
定義域是函數的一部分. 寫函數时要同时寫解析式和定義域.
同一關係經不同限制可得不同函數. 例如 $x^2+y^2=1$ 加 $y\ge 0$ 得上半圓，加 $y\le 0$ 得下半圓.
陪域和值域是两個概念. 值域是实际取到的输出集合，陪域是事先指定的目標集合.
**``每個输入有唯一输出''**是函數對應關係的约束.

從關係到函數

前面已經說明：函數首先是一种對應规则，解析式只是它的一种表达方式.

在很多情形里，函數起初先藏在某個代數關係、几何条件或实际规则里. 這时先要辨认：它到底只是一個關係，还是已經足以構成函數.

先判断输出是否唯一

设平面上有某個由 $x,y$ 满足的条件所确定的点集. 若對每個允许的 $x$ , 都有且只有一個 $y$ 與之對應，那么它就定義了一個函數. 若某個 $x$ 会對應多個 $y$ , 它就还不是函數.

例

關係 $x^2+y^2=1$ 不是函數. 因為当 $x=0$ 时，對應的 $y$ 有两個: $y=1, y=-1$ .

例

關係 $y^2=x$ 也不是函數. 因為当 $x=4$ 时，有 $y=2, y=-2$ .

几何上的判别. 若把這個關係画成平面曲線，那么它能否表示函數，仍然可以用竖直線判别法来理解: 任意一条竖直線與圖像至多有一個交点，它才可能是函數的圖像.

代數上的判别. 若題目给的是方程或關係式，只需判断對每個允许的 $x$ , $y$ 是否唯一. 有些时候不必真的把 $y$ 显式寫出来，只要能證明唯一性，就足以說明它定義了函數.

關係化為函數时的限制與選择

一個關係本身不是函數，往往只是因為其中包含多個分支. 加上适当限制后，就可以從中選出一個函數.

例

關係 $x^2+y^2=1$ 若加上条件 $y\ge 0$ , 就變成 $y=\sqrt{1-x^2}, x\in[-1,1]$ .這时它定義的是單位圓的上半圓，已經是一個函數.

例

同一個關係若改成 $y\le 0$ , 则得到 $y=-\sqrt{1-x^2}, x\in[-1,1]$ , 這又是另一個函數.

例

關係 $y^2=x$ 若规定 $y\ge 0$ , 则得到 $y=\sqrt{x}, x\ge 0$ .若规定 $y\le 0$ , 则得到 $y=-\sqrt{x}, x\ge 0$ .

這里發生了什么. 這是從原關係里選出一個分支. 分支的确定有时依靠符号限制，有时依靠定義域限制，有时依靠实际背景中的额外条件.

分支選择為什么這么重要

以后學習反函數时，這一点会不断出現. 因為许多熟悉函數如果放在整個定義域上，根本不能反過来；必须先把定義域缩小到某個單调区間，才能谈反函數.

例

函數 $y=x^2$ 在整個 $\mathbb{R}$ 上没有反函數，因為同一個函數值 $4$ 来自两個输入: $x=2, x=-2$ .

但如果把定義域限制為 $[0,+\infty)$, 它就變成严格递增函數，從而可以反過来得到 $y=\sqrt{x}$.

這一点說明. “選分支”是函數論的指導思想: 若一個對應太大而不唯一，就要缩小范围，使它成為函數.

這個思想在平方根、反三角函數、參數方程、隐式曲線分段研究里都会反複出現.

隐式定義的函數

有些函數由一個關係間接确定

例

方程 $x+y^3=0$ 虽然不是先寫成 $y=f(x)$ 的形式，但可以唯一解出 $y=-\sqrt[3]{x}$ . 所以它实际上定義了一個函數.

例

方程 $y^3+y=x$ 并不容易一眼把 $y$ 用初等表达式寫出来. 但如果能够證明：對每個实數 $x$ , 方程 $y^3+y=x$ 都有唯一实根，那么它依然定義了一個函數.

隐式定義函數的判断. 隐式定義的函數未必能把 $y$ 寫成显式公式. 只要對應存在且唯一，就已經给出函數.

整體不是函數，分開看却可以是函數

有些曲線整體上不是函數圖像，但把它分成几段以后，每一段都可以看成函數圖像.

例

單位圓 $x^2+y^2=1$ 整體不是函數圖像. 但它可以拆成两段: $y=\sqrt{1-x^2}, x\in[-1,1]$ 和 $y=-\sqrt{1-x^2}, x\in[-1,1]$ .

例

抛物線 $x=y^2$ 若把 $x$ 视為自變量，它整體不是函數. 但若改成“把 $y$ 视為自變量”，就可以寫成 $x=y^2$ , 此时它描述的是從 $y$ 到 $x$ 的函數.

表述要准确. 常会說“這条曲線不是函數”. 更准确的說法是: 它不是關于 $x$ 的函數圖像.

因為同一条曲線，可能不是 $y$ 關于 $x$ 的函數，却是 $x$ 關于 $y$ 的函數；也可能整體不是函數，但分成若干支以后每一支都是函數.

实际問題中的函數，也常靠限制選出来

在实际建模里，“從關係中選出函數”更常见，因為現实条件本身就会排除不合理分支.

例

若某段路程满足 $s=vt$ , 從代數上可以寫成 $t=\frac{s}{v}$ . 但只有在 $v\>0$ 且结合所讨論情境是否允许负时間，這個函數的定義域才能确定下来.

背景条件的作用. 現实中的函數由代數關係和实际意義共同决定. 因而实际問題中的分支選择，通常由背景条件确定.

從關係到函數的通用思路

前面的例子已經反複說明了一個基本思路：当題目给出的關係或条件并未直接寫成 $y=f(x)$ 的显式形式时，要先弄清谁是输入、谁是输出，再判断每個输入是否唯一對應一個输出. 若输出不唯一，就要考虑能否通過限制定義域、值域或附加条件選出一個唯一分支. 只有在确认對應唯一之后，才去進一步研究它的定義域、值域和圖像性質.這一整套判断過程背后，問題只有一個：對應是否唯一.

容易出現的錯誤

很多錯誤来自默认“方程能解出两個值也算函數”. 只要一個输入對應多個输出，它就还是關係，不是函數.

本节小结

以上内容总结如下:

函數常常藏在一個關係中;
一個關係能否成為函數，關键看输出是否唯一;
若不唯一，往往可以通過限制范围選出一個分支;
分支選择是函數、反函數和圖像研究中的常用手法;
隐式定義的函數未必有漂亮公式，但只要對應存在且唯一，它就已經是函數.

以后再看反函數、複合函數和某些圖像題时，可先從“對應是否唯一”“需不需要選分支”這些問題出發.

從對應到映射​

像集與原像集​

單射、满射與雙射​

映射的複合​

恒等映射與逆映射​

恒等映射​

逆映射​

函數的概念​

函數的圖像​

定義域​

自然定義域​

常见限制来源​

基本例子​

多個限制同时出現时​

含參數的定義域​

複合函數里的定義域​

已知外层函數定義域时的反推​

实际問題中的定義域​

本节小结​

函數的表示法​

解析式表示​

表格表示​

圖像表示​

文字或规则表示​

同一函數的不同表示​

函數表示中的限制與選择​

函數表示的转換​

本节小结​

從關係到函數​

先判断输出是否唯一​

關係化為函數时的限制與選择​

分支選择為什么這么重要​

隐式定義的函數​

整體不是函數，分開看却可以是函數​

实际問題中的函數，也常靠限制選出来​

從關係到函數的通用思路​

本节小结​

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從對應到映射

像集與原像集

單射、满射與雙射

映射的複合

恒等映射與逆映射

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逆映射

函數的概念

函數的圖像

定義域

自然定義域

常见限制来源

基本例子

多個限制同时出現时

含參數的定義域

複合函數里的定義域

已知外层函數定義域时的反推

实际問題中的定義域

本节小结

函數的表示法

解析式表示

表格表示

圖像表示

文字或规则表示

同一函數的不同表示

函數表示中的限制與選择

函數表示的转換

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從關係到函數

先判断输出是否唯一

關係化為函數时的限制與選择

分支選择為什么這么重要

隐式定義的函數

整體不是函數，分開看却可以是函數

实际問題中的函數，也常靠限制選出来

從關係到函數的通用思路

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