第一卷函數-函數的结構與變換

函數的複合

一個函數的输出可以成為另一個函數的输入. 把式子讀成一個過程——先算什么，再算什么，每一步對定義域、值域和圖像各有什么影响——就能处理反函數、圖像變換和绝對值翻折中的同類结構.

複合函數的层次结構

很多函數都不是一步完成的. 例如 $\sqrt{x^2+1}, \ln(3-\sin x), (2^x+1)^3$ 都要先算一個中間结果，再把它送進下一层运算. 這种“层层套入”的方式，就是複合函數的层次结構.

例

观察函數 $y=\sqrt{x^2+1}.$ 它可以讀成 $x\longmapsto x^2+1\longmapsto \sqrt{x^2+1}.$ 第一步把 $x$ 變成 $x^2+1$ , 第二步再對這個结果開方.

识别层次时，有两個方向:

從外向内看，用来拆层. 先认出最外层运算是什么;
從内向外看，用来计算. 真正代入时总是先算里面，再算外面.

例

把函數 $y=\ln(3-\sin x)$ 按层次拆開.

解

最外层运算是取對數，所以先寫成 $u=3-\sin x, y=\ln u.$ 若继續细分，还可以寫成

x\longmapsto \sin x\longmapsto 3-\sin x\longmapsto \ln(3-\sin x).

同一個函數可以有粗细不同的拆法. 只要层次顺序一致，這些拆法都有效.

识别层次的常用办法

開方、平方、绝對值、對數、指數、三角函數常常充当外层函數. 先把最外层认出来，剩下的整體就当作内层函數.

代數式和操作過程的對應

看到 $\sqrt{\,3-\sin x\,}$ 时，若只把它当成一個整體符号串，很容易漏掉层次關係. 把它讀成“先求 $\sin x$ , 再算 $3-\sin x$ , 最后開方”，式子的结構就清楚了.

複合函數的定義

设函數 $u=g(x)$ 先把输入 $x$ 變成中間量 $u$ , 再由函數 $y=f(u)$ 把 $u$ 變成最终结果 $y$ . 這两步连起来，就得到一個新函數.

複合函數

设函數 $g$ 的定義域為 $D_g$ , 函數 $f$ 的定義域為 $D_f$ . 對每個满足 $x\in D_g, g(x)\in D_f$ 的 $x$ , 定義 $F(x)=f(g(x)).$ 那么 $F$ 叫作 $f$ 與 $g$ 的複合函數. 其中 $g$ 叫作内层函數, $f$ 叫作外层函數.

$f(g(x))$ 這串记号表示“先求 $g(x)$ , 再把结果代入 $f$ ”. 它首先是一段過程，然后才是一段代數式.

例

设 $f(u)=u^3, g(x)=2^x+1.$ 则 $f(g(x))=(2^x+1)^3.$ 它表示的過程是：先求 $2^x+1$ , 再把這個结果立方.

複合的顺序通常不能交換

複合函數有先后顺序. 先做 $g$ , 再做 $f$ , 與先做 $f$ , 再做 $g$ , 往往得到不同的结果.

例

设 $f(x)=x+1, g(x)=x^2.$ 比较 $f(g(x))$ 與 $g(f(x))$ .

解

$f(g(x))=f(x^2)=x^2+1,$ 而 $g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1.$ 两者不同.

這里的差别来自操作顺序. “先平方，再加 $1$ ”與“先加 $1$ , 再平方”本来就是两条不同的计算路線.

例

再看 $f(x)=\sqrt{x}, g(x)=x-1.$ 则 $f(g(x))=\sqrt{x-1}, g(f(x))=\sqrt{x}-1.$

解

函數 $\sqrt{x-1}$ 的定義域是 $[1,+\infty)$ , 函數 $\sqrt{x}-1$ 的定義域是 $[0,+\infty)$ . 這一次连定義域都發生了變化.

顺序意识

這一点会贯穿后面的圖像變換. 先平移再伸缩，與先伸缩再平移，一般也会得到不同结果.

複合函數的定義域

複合函數的定義域只有一個原则：複合過程的每一步都要有意義.

複合函數的定義域

设函數 $g$ 的定義域為 $D_g$ , 函數 $f$ 的定義域為 $D_f$ . 那么複合函數 $F(x)=f(g(x))$ 的定義域是 $\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}.$

證明

要使 $f(g(x))$ 有意義，先要能求出 $g(x)$ , 這要求 $x\in D_g$ ; 还要使這個结果能够代入外层函數 $f$ , 這要求 $g(x)\in D_f$ . 两個条件同时成立时，複合函數才有定義.

因此，複合函數的定義域约束由内到外层层传递：内层要有意義，而且内层的输出要能被外层接收.

例

求函數 $y=\sqrt{\ln(3-x)}$ 的定義域.

解

按层次寫成 $u=\ln(3-x), y=\sqrt{u}.$ 外层根式要求 $u\ge 0,$ 所以 $\ln(3-x)\ge 0.$ 因為對數函數單调递增，上式等价于 $3-x\ge 1.$ 解得 $x\le 2.$ 這個条件同时保證 $3-x\>0$ , 所以對數也有意義. 因而原函數的定義域為 $(-\infty,2].$

例

已知函數 $f(2x-1)$ 的定義域是 $[0,1]$ , 求函數 $f(\sqrt{x})$ 的定義域.

解

函數 $f(2x-1)$ 在 $x\in[0,1]$ 时有意義，說明外层函數 $f$ 能接收的输入正好是 $2x-1\in[-1,1].$ 因此 $f$ 的定義域是 $[-1,1]$ .

現在考虑 $f(\sqrt{x})$ . 要使它有意義，需要 $\sqrt{x}\in[-1,1].$ 由于 $\sqrt{x}\ge 0$ , 条件化為 $0\le \sqrt{x}\le 1.$ 平方得 $0\le x\le 1.$ 所以定義域為 $[0,1]$ .

定義域中的常见錯誤

有些題只檢查内层有意義，忽略了外层的限制；还有些題只盯着外层条件，却忘了内层本身也要先能算出来. 這两步都要保留.

複合函數的值域

複合函數的值域分析是在跟踪“中間量能走到哪里”：先求内层函數 $u=g(x)$ 的值域，再把這個值域当作外层函數的新定義域，求出 $y=f(u)$ 的取值范围.按這個思路，往往可以從内到外逐步确定複合函數的值域.

例

求函數 $y=4^x-2^{x+1}+3$ 的值域.

解

注意到 $4^x=(2^x)^2, 2^{x+1}=2\cdot 2^x.$ 令 $u=2^x,$ 则 $u\>0$ . 原函數化為 $y=u^2-2u+3=(u-1)^2+2.$ 因為 $u\in(0,+\infty)$ , 且 $u=1$ 可以取到，所以 $(u-1)^2$ 的最小值為 $0$ . 因而 $y\ge 2.$ 原函數的值域為 $[2,+\infty).$

例

求函數 $y=\sqrt{2-\cos x}$ 的值域.

解

先看内层函數 $u=2-\cos x.$ 因為 $-1\le \cos x\le 1,$ 所以 $1\le u\le 3.$ 再看外层函數 $y=\sqrt{u}.$ 当 $u\in[1,3]$ 时, $1\le y\le \sqrt3.$ 因此原函數的值域為 $[1,\sqrt3].$

值域分析中的观察点

内层函數的值域未必等于外层函數的整個定義域. 只把真实能取到的中間量送入外层，才能得到准确的值域.

複合函數的單调性

複合函數的單调性，要同时看内层“怎样變化”和外层“怎样响應這种變化”. 常用规律是“同增异减”，但使用前要先把区間分清楚.

複合函數的單调性

设 $g$ 在区間 $I$ 上單调，且 $f$ 在区間 $g(I)$ 上單调. 那么:

若 $f$ 與 $g$ 的單调方向相同，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递增;
若 $f$ 與 $g$ 的單调方向相反，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递减.

證明

任取 $x_1,x_2\in I$ , 且 $x_1\<x_2$ .

若 $g$ 递增，则 $g(x_1)\le g(x_2)$ . 当 $f$ 也递增时, $f(g(x_1))\le f(g(x_2)),$ 于是複合函數递增；当 $f$ 递减时, $f(g(x_1))\ge f(g(x_2)),$ 于是複合函數递减.

若 $g$ 递减，證明完全類似.

使用条件

“同增异减”只在單一区間上使用. 若内层函數在整個定義域上没有统一的單调方向，就先分区間，再分别讨論.

例

求函數 $y=\log_{0.5}(x^2-2x-3)$ 的單调区間.

解

先求定義域: $x^2-2x-3\>0.$ 解得 $x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty).$

令 $u=x^2-2x-3.$ 外层函數 $y=\log_{0.5}u$ 因為底數 $0.5\<1$ , 所以在 $(0,+\infty)$ 上递减.

内层函數 $u=x^2-2x-3$ 是二次函數，對称轴為 $x=1$ .

在 $(-\infty,-1)$ 上, $u$ 递减;
在 $(3,+\infty)$ 上, $u$ 递增.

因此:

在 $(-\infty,-1)$ 上，内外都递减，所以複合后递增;
在 $(3,+\infty)$ 上，内层递增，外层递减，所以複合后递减.

為什么不能只看一层

只看外层，会漏掉内层把区間顺序翻转的可能；只看内层，又看不到外层怎样改變增减方向. 两层都要纳入判断.

複合函數的奇偶性

複合函數的奇偶性也體現层次传递. 這里先要保證定義域關于原点對称，否则奇偶性本身就无從谈起.

複合函數的奇偶性

设複合函數 $F(x)=f(g(x))$ 的定義域關于原点對称.

若 $g$ 是偶函數，则 $F$ 是偶函數;
若 $g$ 是奇函數，且 $f$ 是偶函數，则 $F$ 是偶函數;
若 $g$ 是奇函數，且 $f$ 是奇函數，则 $F$ 是奇函數.

證明

若 $g$ 為偶函數，则 $F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),$ 所以 $F$ 為偶函數.

若 $g$ 為奇函數，则 $F(-x)=f(g(-x))=f(-g(x)).$ 這时若 $f$ 為偶函數，就有 $F(-x)=f(g(x))=F(x);$ 若 $f$ 為奇函數，就有 $F(-x)=-f(g(x))=-F(x).$

例

判断函數 $F(x)=\cos(x^3)$ 的奇偶性.

解

内层函數 $g(x)=x^3$ 是奇函數，外层函數 $f(u)=\cos u$ 是偶函數. 由上面的结論可知 $F(x)=\cos(x^3)$ 是偶函數.

直接代定義仍然有效

若外层函數既不具有奇性，也不具有偶性，上面的结論就不能直接套用. 這时回到定義去算 $F(-x)$ 最稳妥.

由複合關係反求原函數

前面的問題都是已知 $f$ 與 $g$ , 去研究 $f(g(x))$ . 題目里还常见另一种方向：已知複合關係，反過来求原函數. 這類題的常用思路是拆层，设元，回代，檢查范围.

例

已知 $f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x},$ 求 $f(x)$ .

解

令 $t=\sqrt{x}+1.$ 因為 $\sqrt{x}\ge 0$ , 所以 $t\ge 1.$ 由 $t=\sqrt{x}+1$ 可得 $\sqrt{x}=t-1, x=(t-1)^2.$ 代回原式:

\begin{aligned} f(t) &=(t-1)^2+2(t-1) &=t^2-1. \end{aligned}

把记号換回 $x$ , 得 $f(x)=x^2-1, x\ge 1.$

例

已知 $f(x^2+1)=2x^2-3,$ 求 $f(x)$ .

解

令 $t=x^2+1.$ 由于 $x^2\ge 0$ , 所以 $t\ge 1.$ 又因為 $x^2=t-1,$ 原式右边可化為 $2x^2-3=2(t-1)-3=2t-5.$ 因此 $f(t)=2t-5.$ 把记号換回 $x$ , 得 $f(x)=2x-5, x\ge 1.$

逆向分析意识

這類題常见的失誤是只算出解析式，却漏掉新變量的取值范围. 複合關係反求原函數时，定義域同样属于答案的一部分.

函數相等與定義域

判断两個函數是否相等，不能只看解析式长得像不像. 函數由定義域和對應规则共同确定.

函數相等

若两個函數的定義域相同，并且對定義域中的每一個自變量都取相同的函數值，就称這两個函數相等.

例

判断下列两组函數是否相等: $f(x)=x+2, g(x)=\frac{x^2-4}{x-2};$ $u(x)=\sqrt{x^2}, v(x)=|x|.$

解

先看第一组. 對 $x\neq 2$ , $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$ 但函數 $g$ 在 $x=2$ 处没有定義，函數 $f$ 在 $x=2$ 处有定義. 两者定義域不同，所以它们不相等.

再看第二组. 對任意实數 $x$ , $\sqrt{x^2}=|x|.$ 并且两個函數的定義域都是 $\mathbb{R}$ . 所以 $u$ 與 $v$ 是同一個函數.

函數相等的判断要点

两個函數相等的条件是：定義域相同，且在定義域内每一点的函數值完全相同.化簡后解析式相同只說明對應规则在公共部分一致，还需要核對定義域是否重合.

綜合演練

设函數 $F(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right),$ 试分析它的层次结構、定義域、值域、單调区間和奇偶性.

解

這個函數可以看作三层複合：先算 $x^2+1$ ，再開方得到 $u$ ，最后取對數得到 $F(x)$ .寫成 $t=x^2+1, u=\sqrt{t}, F(x)=\ln u.$

先看 $t=x^2+1$ .由于 $x^2\ge 0$ ，所以 $t\ge 1$ ，且對任意实數 $x$ 都有定義.再算 $u=\sqrt{t}$ ，因為 $t\ge 1\>0$ ，所以 $u$ 总有意義，且 $u\ge 1$ .最后外层是對數函數， $\ln u$ 在 $u\>0$ 时有定義.由于 $u\ge 1$ ，對數完全可行.因此 $F(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right)$ 的定義域是全體实數 $\mathbb{R}$ .

在定義域内， $x^2+1\ge 1$ ，所以 $\sqrt{x^2+1}\ge 1$ ，從而 $F(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right)\ge \ln 1=0.$ 当 $x=0$ 时取到等号.又由于 $\sqrt{x^2+1}$ 可以任意增大，所以 $F(x)$ 的值域是 $[0,+\infty)$ .

再看單调性.注意到 $F(x)=\frac{1}{2}\ln(x^2+1),$ 内层函數 $x^2+1$ 在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增；而對數函數本身是單调递增的.因此 $F(x)$ 的單调性與内层一致：在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增.

最后看奇偶性.因為

F(-x)=\ln\left(\sqrt{(-x)^2+1}\right)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}\right)=F(x),

所以 $F(x)$ 是偶函數.

分析层次與綜合判断

以上例題涵蓋了複合函數的主要分析方面.处理這類綜合題时，做法是先把层层拆清楚，從内到外确定每一步的限制条件，再把性質判断交给對應的基本函數.

複合函數第一次係统呈現了函數的层次结構. 下一节讨論反函數，沿着同一条链条反向追踪，研究输出能否唯一地追溯到输入.

反函數

複合函數是顺着层次往前走，反函數则沿着同一条链条往回走. 已知输入求输出，是函數；已知输出反推输入，就進入了反函數的問題. 這一节的重点有两件事：一是看清“能不能反過来”，二是看清“在哪個范围里可以反過来”.

反函數的基本問題

设函數 $y=f(x)$ . 若已知 $x$ , 我们可以求出 $y$ ; 若已知 $y$ , 能否唯一确定 $x$ ? 這就是反函數的基本問題.

例

已知正方形边长 $x$ , 面積是 $x^2$ . 若反過来已知面積，我们希望求边长.

例

已知摄氏溫度 $C$ , 华氏溫度满足 $F=\frac95C+32.$ 若反過来给出华氏溫度，也希望恢複摄氏溫度.

這两個例子都有同一個结構：原函數把输入變成输出，反函數尝试把输出再變回输入. 從方程角度看，這件事等价于解 $f(x)=y.$ 如果對每個允许的 $y$ , 這個方程都有唯一解 $x$ , 那么“由输出恢複输入”本身就可以组织成一個新函數.

例

设 $f(x)=2x+1.$ 给定函數值 $y$ , 反求输入就是解方程 $2x+1=y.$ 它的唯一解是 $x=\frac{y-1}{2}.$ 因此，由输出恢複输入的過程本身就是一個函數.

一個容易忽略的细节. 反函數的输入来自原函數的值域. 原函數從来没有取到的數，不能直接拿来代入反函數.

和複合函數的關係. 若两個函數确实互為反函數，那么先用一個函數把输入送出去，再用另一個函數把结果接回来，会回到原来的數. 這就是后面複合關係 $f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x, f^{-1}(f(x))=x$ 的来源.

反函數與定義域選择

求反函數前先選范围. 檢查每個输出是否只對應一個输入；若同一输出對應多個输入，就把定義域缩到合适的一段，再反推.

例

函數 $y=x^2$ 在整個 $\mathbb{R}$ 上不能直接反過来. 因為 $(-2)^2=2^2=4,$ 同一個输出 $4$ 對應两個输入.

若把定義域缩小到合适的区間，情况就会改變.

例

把 $y=x^2$ 的定義域限制為 $[0,+\infty)$ , 就得到反函數 $y=\sqrt{x}.$ 若把定義域限制為 $(-\infty,0]$ , 就得到另一個反向恢複公式 $y=-\sqrt{x}.$

為什么要選定義域. 反函數要求“由输出唯一确定输入”. 缩小定義域的作用，就是把重複出現的输出拆開，让每個输出只對應一個输入.

定義域選择带来的结論. 同一個代數式，在不同区間上可以得到不同的反函數. 因此，讨論反函數时，真正的對象是“選定区間上的原函數”.

一個判断習惯. 遇到“求反函數”四個字时，先看題目有没有给定区間. 若没有给定，下一步就该檢查原函數在哪些区間上能够保持一一性.

為什么有的函數能反過来，有的不能

若想由 $y$ 唯一确定 $x$ , 就要求不同输入产生不同输出. 這是一种一一性.

單射

设函數 $f$ 的定義域為 $A$ . 若對任意 $x_1,x_2\in A$ , 只要 $x_1\neq x_2$ , 就有 $f(x_1)\neq f(x_2),$ 就称 $f$ 在 $A$ 上是單射.

對中學階段的理解来說，單射的意思很直观：不同的输入不会撞到同一個输出上. 只有這样，才能從输出唯一追溯到输入.

定理

函數 $f$ 在它的值域上存在反函數，当且僅当 $f$ 是單射.

證明

若 $f$ 有反函數 $f^{-1}$ , 那么一旦 $f(x_1)=f(x_2),$ 對两边同时作用 $f^{-1}$ , 得 $x_1=f^{-1}(f(x_1))=f^{-1}(f(x_2))=x_2.$ 所以 $f$ 必為單射.

反過来，若 $f$ 是單射，那么對值域中的每個 $y$ , 方程 $f(x)=y$ 恰好有唯一解. 于是就可以把這個唯一的 $x$ 定義為 $f^{-1}(y)$ , 從而得到反函數.

圖像上的判断. 判断一個函數能否反過来，常用水平線檢验法: 若任意一条水平直線與圖像至多有一個交点，那么函數就是單射.

*圖：定義域選择会改變可逆性*

严格單调是最常见的充分条件

若函數在某個区間上严格递增或严格递减，那么它在這個区間上一定是單射，因而一定存在反函數. 這是因為严格單调意味着 $x_1\<x_2$ 时必有 $f(x_1)\neq f(x_2)$ , 直接满足單射的定義. 在初等函數中，指數函數、對數函數、三角函數在其自然定義域的單调区間上都有反函數，這一条件覆蓋了绝大多數常见情形，因此它是判断可逆性时首先想到的工具.

反函數的定義

反函數

设函數 $f\colon A\to B$ 的值域為 $C$ , 且 $f$ 在 $A$ 上是單射. 對任意 $y\in C$ , 若方程 $y=f(x)$ 有唯一解 $x\in A$ , 那么由 $y$ 确定 $x$ 的這個新函數叫作 $f$ 的反函數, 记作 $f^{-1}$ .

這里有两点必须分清:

$f^{-1}(x)$ 表示反函數，不是 $\dfrac{1}{f(x)}$ ;
反函數的定義域是原函數的值域，反函數的值域是原函數的定義域.

把這一定義翻成更直白的话，就是: $y=f(x) \Longleftrightarrow x=f^{-1}(y).$ 原函數和反函數把同一组對應關係沿相反方向讀了一遍.

求反函數的基本步骤

求反函數时，按四步做：寫出 $y=f(x)$ ; 從等式中解出 $x$ ; 交換 $x,y$ 的字母，寫成 $y=f^{-1}(x)$ ; 檢查反函數的定義域和值域.

這套步骤背后的含義很明确：原来是“输入 $x$ , 输出 $y$ ”，現在改成“输入 $y$ , 输出 $x$ ”，所以最后要交換两個字母的角色.

例

求函數 $f(x)=2x+1, x\in\mathbb{R}$ 的反函數.

解

设 $y=2x+1.$ 解出 $x$ , 得 $x=\frac{y-1}{2}.$ 交換 $x,y$ , 得 $y=\frac{x-1}{2}.$ 因此 $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}.$ 原函數的值域是 $\mathbb{R}$ , 所以反函數的定義域也是 $\mathbb{R}$ .

例

在定義域 $[0,+\infty)$ 上，求函數 $f(x)=x^2$ 的反函數.

解

因為 $x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增，所以存在反函數.

设 $y=x^2, x\ge 0.$ 由 $x\ge 0$ , 解得 $x=\sqrt{y}.$ 交換 $x,y$ , 得 $y=\sqrt{x}.$ 因此 $f^{-1}(x)=\sqrt{x}, x\ge 0.$

例

求函數 $f(x)=\frac{2x-1}{x+3} (x\neq -3)$ 的反函數.

解

设 $y=\frac{2x-1}{x+3}.$ 解方程:

\begin{aligned} y(x+3)&=2x-1, yx+3y&=2x-1, x(y-2)&=-(1+3y), x&=\frac{3y+1}{2-y}. \end{aligned}

交換 $x,y$ , 得 $f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}.$

原函數不可能取到 $2$ , 所以反函數的定義域為 $\mathbb{R}\setminus\{2\}.$

最后一步為什么不能省

若只把式子解出来，却不檢查值域與定義域，很容易把原函數没取到的數也誤放進反函數的定義域. 例如上題中，原函數 $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ 的值域不包含 $2$ (无論 $x$ 取何值，分式都不等于 $2$ ), 如果忘记排除，反函數的定義域就会多出一個不该存在的点.

反函數的基本性質

反函數的几個基本性質彼此联係很紧.

定義域和值域交換

若 $f$ 與 $f^{-1}$ 互為反函數，那么

\begin{aligned} D_{f^{-1}}&=R_f, R_{f^{-1}}&=D_f. \end{aligned}

證明

反函數的输入就是原函數真正取到的输出，所以 $D_{f^{-1}}=R_f$ . 同理，反函數输出的正是原函數的输入，所以 $R_{f^{-1}}=D_f$ .

複合關係

若 $f$ 與 $f^{-1}$ 互為反函數，则 $f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x$ 對 $f^{-1}$ 的定義域内一切 $x$ 成立，且 $f^{-1}(f(x))=x$ 對 $f$ 的定義域内一切 $x$ 成立.

證明

任取 $x$ 属于 $f^{-1}$ 的定義域，记 $y=f^{-1}(x).$ 由反函數定義, $x=f(y)$ , 所以 $f(f^{-1}(x))=f(y)=x.$ 另一式同理可證.

圖像關于 $y=x$ 對称

若 $y=f(x)$ 與 $y=f^{-1}(x)$ 互為反函數，那么它们的圖像關于直線 $y=x$ 對称.

證明

若点 $(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 的圖像上，那么 $b=f(a).$ 由反函數定義, $a=f^{-1}(b),$ 所以点 $(b,a)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 的圖像上. 而 $(a,b)$ 與 $(b,a)$ 正好關于直線 $y=x$ 對称.

*圖：原函數與反函數交換了横纵坐標的位置*

單调性保持

若函數 $f$ 在某個区間上严格递增，则它的反函數在對應区間上也严格递增；若 $f$ 严格递减，则反函數也严格递减.

證明

先證严格递增的情形. 任取 $y_1\<y_2,$ 记 $x_1=f^{-1}(y_1), x_2=f^{-1}(y_2).$ 若有 $x_1\ge x_2$ , 由于 $f$ 严格递增，就有 $f(x_1)\ge f(x_2),$ 即 $y_1\ge y_2,$ 矛盾. 所以 $x_1\<x_2$ , 于是 $f^{-1}$ 也严格递增. 严格递减的證明同理.

這些性質為什么连在一起

反函數做的事只有一件：交換输入和输出的角色. 定義域和值域交換，圖像關于 $y=x$ 對称，單调方向保持，都来自這件事.

例

已知 $x_1$ 是方程 $3^x=\frac{4}{x}$ 的根, $x_2$ 是方程 $\log_3 x=\frac{4}{x}$ 的根，求 $x_1x_2$ .

解

函數 $y=3^x$ 與 $y=\log_3 x$ 互為反函數，它们的圖像關于 $y=x$ 對称.

函數 $y=\frac{4}{x}$ 的圖像本身也關于 $y=x$ 對称.

因此，這两组交点互為關于 $y=x$ 的對称点. 若第一個交点的横坐標是 $x_1$ , 那么第二個交点的横坐標就是第一個交点的纵坐標.

而在第一個交点上, $y=\frac{4}{x_1}.$ 所以 $x_2=\frac{4}{x_1},$ 從而 $x_1x_2=4.$

2018年上海卷

设常數 $a\in\mathbb{R}$ , 函數 $f(x)=\log_2(x+a).$ 若 $f(x)$ 的反函數圖像經過点 $(3,1)$ , 求 $a$ .

解

反函數圖像經過点 $(3,1)$ , 就意味着原函數圖像經過與之關于直線 $y=x$ 對称的点 $(1,3)$ . 因此 $f(1)=3.$ 代入解析式: $\log_2(1+a)=3.$ 由對數定義, $1+a=2^3=8,$ 所以 $a=7.$

本节小结

反函數部分抓住四項檢查：原函數在所讨論范围里是否具有一一性；定義域是否已經選到能唯一反推输入；反函數的定義域和值域是否补全；圖像題是否已經用上關于 $y=x$ 的對称關係.

複合函數描述“一层一层往前走”，反函數描述“沿着同一结構往回走”. 圖像變換把這种结構變化投影到平面上.

函數的圖像變換

複合函數教我们從表达式里讀出层次，反函數教我们沿着對應關係反向追索. 圖像變換则把這种结構變化画在坐標平面上. 一個式子寫在 $f(\cdot)$ 的内部还是外部，会在圖像上留下不同的痕迹.

圖像變換研究的對象

圖像變換研究的是這样一類問題：已知一個基本函數的圖像，当我们改动自變量、改动函數值，或對圖像做平移、伸缩、對称、翻折时，新圖像会變成什么样.

例

函數 $y=(x-2)^2+1$ 與 $y=x^2$ 具有相同的開口方向和相同的基本形状. 前者只是把后者的顶点從 $(0,0)$ 移到了 $(2,1)$ .

例

函數 $y=\ln(3-x)$ 可以從 $y=\ln x$ 的圖像出發理解. 先把圖像關于 $y$ 轴對称，得到 $y=\ln(-x)$ ; 再向右平移 $3$ 個單位，得到 $y=\ln(3-x)$ .

學習圖像變換时先練两個动作:

作圖前先认基本函數，再按顺序寫出變換過程;
讀到新函數时，立即標出顶点、對称轴、定義域、值域和變化趋势的移动.

變換的统一表示

设原函數圖像為 $y=f(x).$ 若把它變成 $y=A f\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k,$ 其中 $\omega\neq 0,\ A\neq 0$ , 那么原圖像上的点 $(x_0,y_0), y_0=f(x_0)$ 会對應到新圖像上的点 $\left(\frac{x_0}{\omega}+h,\ Ay_0+k\right).$

讀這個式子时，先分清作用位置:

寫在 $f(\cdot)$ 内部的變化，影响横坐標;
寫在 $f(\cdot)$ 外部的變化，影响纵坐標.

当 $\omega\<0$ 时，横向變化里包含關于 $y$ 轴的對称；当 $A\<0$ 时，纵向變化里包含關于 $x$ 轴的對称. 伸缩和對称常常同时出現.

備註

横向看

x

, 纵向看

y

這是圖像變換最重要的观察習惯. 寫在 $f(\cdot)$ 内部的运算作用于自變量 $x$ , 影响的是横坐標；寫在 $f(\cdot)$ 外部的运算作用于函數值，影响的是纵坐標. 例如 $y=f(2x)$ 中的 $2$ 把横坐標压缩到一半，而 $y=2f(x)$ 中的 $2$ 把纵坐標伸长到两倍. 只要按作用位置分類，平移方向和伸缩倍數就不会混淆.

證明（统一表示的来歷）

若原圖像上的点是 $(x_0,y_0)$ , 那么它满足 $y_0=f(x_0).$ 新圖像上的点 $(x,y)$ 满足 $y=A f\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k.$ 把 $x_0=\omega(x-h), y_0=\frac{y-k}{A}$ 代入原方程，再解出 $x,y$ , 就得到 $x=\frac{x_0}{\omega}+h, y=Ay_0+k.$

基本圖像變換

下面把最常见的几類變換分别說清.

1. 平移.

函數 $y=f(x-a)$ 由 $y=f(x)$ 的圖像向右平移 $a$ 個單位得到;
函數 $y=f(x)+b$ 由 $y=f(x)$ 的圖像向上平移 $b$ 個單位得到.

之所以 $f(x-a)$ 對應向右平移，是因為原圖像上横坐標為 $0$ 的点，在新圖像里会出現在 $x=a$ 的位置. 平移改變的是位置，圖像形状本身保持不變.

2. 伸缩.

函數 $y=f(\omega x)$ 把原圖像上各点的横坐標變成原来的 $\dfrac1{\omega}$ 倍;
函數 $y=A f(x)$ 把原圖像上各点的纵坐標變成原来的 $A$ 倍.

若 $\omega\>1$ , 圖像在水平方向压缩；若 $0\<\omega\<1$ , 圖像在水平方向伸长. 這是因為内部係數作用在横坐標上，其效果是“反過来”的.

3. 對称.

$y=f(-x)$ 表示圖像關于 $y$ 轴對称;
$y=-f(x)$ 表示圖像關于 $x$ 轴對称;
$y=-f(-x)$ 表示圖像關于原点對称.

若函數存在反函數，那么 $y=f^{-1}(x)$ 與 $y=f(x)$ 的圖像關于直線 $y=x$ 對称. 這正是上一节讨論過的反函數圖像性質.

例

由 $y=x^2$ 的圖像寫出 $y=(x-2)^2+1$ 的變換過程.

解

先向右平移 $2$ 個單位，得到 $y=(x-2)^2.$ 再向上平移 $1$ 個單位，得到 $y=(x-2)^2+1.$ 顶点從 $(0,0)$ 變成 $(2,1)$ .

例

由 $y=\ln x$ 的圖像寫出 $y=\ln(3-x)$ 的變換過程.

解

先把 $y=\ln x$ 關于 $y$ 轴對称，得到 $y=\ln(-x).$ 再向右平移 $3$ 個單位，得到 $y=\ln(3-x).$

複合變換

当一個函數同时包含平移、伸缩和對称时，最稳妥的做法是先把式子寫成標准形式 $y=A f\bigl(\omega(x-h)\bigr)+k.$ 這样就能直接看出横向變化和纵向變化.

例

叙述由 $y=\sin x$ 的圖像得到 $y=-2\sin\left(\frac12 x-\frac{\pi}{6}\right)+1$ 的過程.

解

先把内部整理成標准形式: $\frac12 x-\frac{\pi}{6}=\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$ 因此目標函數可寫成 $y=-2\sin\left(\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)+1.$

接着分两部分看:

横向變化: 先把横坐標伸长到原来的 $2$ 倍，再向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ ;
纵向變化: 先把纵坐標伸长到原来的 $2$ 倍并關于 $x$ 轴對称，再向上平移 $1$ 個單位.

顺序為什么重要

同一方向上的两個變換按不同顺序执行，会得到不同解析式. 例如從 $y=f(x)$ 出發:

先向右平移 $1$ 個單位，再把横坐標压缩到原来的一半，得到 $y=f(2x-1);$
先把横坐標压缩到原来的一半，再向右平移 $1$ 個單位，得到 $y=f\bigl(2(x-1)\bigr)=f(2x-2).$

這两個结果分别是 $f(2x-1)$ 和 $f(2x-2)$ . 顺序寫錯，平移量会跟着錯.

一個实用習惯. 讀複合變換时，横向變化和纵向變化可以分開处理. 同一方向内部的顺序要严格檢查.

反求解析式时怎样想. 若題目给的是“由基本圖像經過若干步變換得到”，求解析式时可以把每一步變換翻成對 $x$ 或 $y$ 的改动，再按顺序寫進公式. 這样比死记口诀稳定得多.

绝對值變換

绝對值變換有很鲜明的圖像特征：它会把圖像沿某条轴“折起来”.

定理

设原函數為 $y=f(x)$ .

函數 $y=f(|x|)$ 的圖像保留原圖像在 $y$ 轴右侧的部分，再把這部分關于 $y$ 轴對称複制到左侧;
函數 $y=|f(x)|$ 的圖像保留原圖像在 $x$ 轴上方的部分，再把 $x$ 轴下方的部分關于 $x$ 轴翻到上方.

證明

對 $f(|x|),$ 当 $x\ge 0$ 时, $|x|=x$ , 所以 $f(|x|)=f(x);$ 当 $x\<0$ 时, $|x|=-x$ , 所以 $f(|x|)=f(-x).$ 這說明左半边由右半边關于 $y$ 轴對称得到.

對 $|f(x)|,$ 当 $f(x)\ge 0$ 时，函數值保持不變；当 $f(x)\<0$ 时, $|f(x)|=-f(x),$ 所以圖像在 $x$ 轴下方的部分会翻到上方.

例

令 $f(x)=x-1.$ 比较 $f(|x|) \text{和} |f(x)|.$

解

$f(|x|)=|x|-1.$ 它是把直線 $y=x-1$ 在右半平面的部分關于 $y$ 轴對称複制到左边，圖像是顶点在 $(0,-1)$ 的 V 形.

再看 $|f(x)|=|x-1|.$ 它是把直線 $y=x-1$ 在 $x$ 轴下方的部分翻到上方，圖像是顶点在 $(1,0)$ 的 V 形.

两個式子都带有绝對值，但作用對象不同，圖像也完全不同.

局部折叠的感觉

$f(|x|)$ 改的是输入，所以折叠發生在左右方向; $|f(x)|$ 改的是函數值，所以折叠發生在上下方向.

圖像變換中的常见錯誤

圖像變換里先查對象，再查顺序.

把自變量變化和函數值變化混在一起. 看到寫在 $f(\cdot)$ 内部的量，應先想到横坐標；看到寫在外部的量，應先想到纵坐標. 混用以后，左右平移会被画成上下平移.
把平移方向记反. 例如 $f(x-a)$ 向右平移，因為新圖像上横坐標為 $a$ 的点對應原圖像上横坐標為 $0$ 的点. 方向记反时，顶点或對称轴会落到相反一侧.
忽略内部因式分解. 例如 $\sin\left(\frac12x-\frac{\pi}{6}\right)$ 應先寫成 $\sin\left(\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right),$ 這样平移量才能看准. 漏掉因式分解时，会把 $\dfrac{\pi}{3}$ 誤看成 $\dfrac{\pi}{6}$ .
忽略先后顺序. 同一方向上的伸缩和平移要按題目顺序执行，顺序錯会改變解析式.
把 $f(|x|)$ 與 $|f(x)|$ 混為一谈. 一個對應左右複制，一個對應上下翻折. 混用以后，折叠的轴会選錯.

口诀的作用

口诀只适合压缩记忆. 稳定的方法是先問一句：這一步作用在自變量上，还是作用在函數值上?

圖像變換把“结構變化如何投影到圖像上”這件事讲清了. 下一节讨論分段函數，则把另一种结構展示出来：同一個函數可以按条件分成几段规则来组织.

分段函數

前面看到的複合函數强调“层层套入”，圖像變換强调“整體移动和翻折”. 分段函數展示的是另一种结構：同一個函數可以按条件分成几条规则来组织. 這在數學内部和实际應用里都很常见.

定義與讀法

分段函數

若函數在定義域的不同部分分别由不同解析式给出，就称它為分段函數. 一般寫成

f(x)= \begin{cases} f_1(x),& x\in D_1, f_2(x),& x\in D_2, \vdots& f_n(x),& x\in D_n, \end{cases}

其中各個集合 $D_1,D_2,...,D_n$ 两两不交，并且它们的并集構成函數的定義域.

讀分段函數时，每一行都包含两部分信息:

這一段用什么规则计算;
這一段在什么条件下生效.

先看条件，再選公式，這是分段函數最基本的讀法.

例

设

f(x)= \begin{cases} x+2,& x\le 1, 3,& x\>1. \end{cases}

求 $f(0)$ 與 $f(f(0))$ .

解

因為 $0\le 1$ , 所以 $f(0)=0+2=2.$ 再算 $f(f(0))=f(2).$ 由于 $2\>1$ , 應用第二段表达式，得 $f(2)=3.$ 所以 $f(f(0))=3.$

分段函數仍然是一個函數

给定一個输入，只会落入某一段的适用范围，因而输出仍然唯一. 分段寫法改變的是组织方式，并没有改變函數的本質.

分段函數不要求“接起来很光滑”

有些分段函數在分界点左右函數值相同，圖像能够接上；有些分段函數在分界点会跳開. 這两种情况都可以是合法的分段函數.

作圖與端点

分段函數的圖像要按区間分别画. 画圖时，端点是否取到需要格外注意.

若该段包含端点，在對應点画实心点;
若该段不包含端点，在對應点画空心点.

端点属于哪一段，由条件决定，不能凭圖形感觉判断.

例

画出函數

f(x)= \begin{cases} x+1,& x\<0, x^2+1,& x\ge 0 \end{cases}

的圖像.

解

当 $x\<0$ 时，圖像是直線 $y=x+1$ 在左半平面的部分，点 $(0,1)$ 不属于這一段，所以在该点画空心点.

当 $x\ge 0$ 时，圖像是抛物線 $y=x^2+1$ 在右半平面的部分，点 $(0,1)$ 属于這一段，所以在该点画实心点.

把两部分合在一起，就得到原函數圖像.

端点檢查的顺序

先代入条件判断這一点属于哪一段，再决定点的虚实. 這個顺序能避免很多作圖錯誤.

定義域、值域與單调性

分段函數的定義域是各段定義域的并集. 值域與單调性则要先分段分析，再把局部结論组合成整體结論.

值域. 求值域时，可以按下面的顺序处理：分别求出各段上的值域，再把這些部分值域取并集.

例

求函數

f(x)= \begin{cases} x+2,& x\le -1, x^2,& -1\<x\<2, 2,& x\ge 2 \end{cases}

的值域.

解

当 $x\le -1$ 时, $f(x)=x+2,$ 值域為 $(-\infty,1].$

当 $-1\<x\<2$ 时, $f(x)=x^2.$ 在這一区間内，最小值為 $0$ , 上界逼近 $4$ 而不取到，所以值域為 $[0,4).$

当 $x\ge 2$ 时, $f(x)=2,$ 值域為 $\{2\}.$

把三部分合并，总值域為 $(-\infty,4).$

單调性. 分段函數要在整個定義域上保持單调，需要同时满足两件事:

各段内部的單调方向一致;
相邻两段在分界点附近的函數值衔接符合這一方向.

例

已知函數

f(x)= \begin{cases} (2a-1)x+7a-2,& x\<1, a^x,& x\ge 1 \end{cases}

在 $\mathbb{R}$ 上單调递减，求实數 $a$ 的取值范围.

解

要使函數在整個定義域上單调递减，先看各段内部.

第一段是一次函數，递减条件為 $2a-1\<0,$ 即 $a\<\frac12.$

第二段是指數函數 $a^x$ . 要在 $[1,+\infty)$ 上递减，必须有 $0\<a\<1.$

再比较分段点附近的衔接. 当 $x$ 從左边靠近 $1$ 时，第一段函數值趋近于 $(2a-1)\cdot 1+7a-2=9a-3.$ 而第二段在起点处的函數值是 $f(1)=a.$ 若整體递减，右段起点值不能高于左段末端值，因而應有 $9a-3\ge a.$ 即 $a\ge \frac38.$

把条件合并，得 $\frac38\le a\<\frac12.$

整體性質與局部性質

分段以后，每一段的性質都只是局部信息. 要得到整體结論，还要檢查分界点两侧的衔接情况.

定義域不要漏掉条件端点

分段函數的定義域常常由若干区間拼成. 端点是否包含，完全由条件中的“ $\<$ 、 $\le$ 、 $\>$ 、 $\ge$ ”决定，這一点和作圖时的实心点、空心点保持一致.

方程根的個數與圖像

對于方程 $f(x)=k,$ 分段函數題往往最适合用圖像来处理. 它等价于研究分段函數圖像與水平直線 $y=k$ 的交点個數.

例

讨論方程 $f(x)=k$ 的根的個數，其中

f(x)= \begin{cases} -x^2-2x,& x\le 0, \ln(x+1),& x\>0. \end{cases}

解

当 $x\le 0$ 时, $f(x)=-(x+1)^2+1.$ 這一段圖像在 $x=-1$ 处达到最高点 $1$ , 并經過点 $(0,0)$ .

当 $x\>0$ 时, $f(x)=\ln(x+1)$ 是递增的，并且從 $(0,0)$ 的右侧開始向上延伸.

因此:

当 $k\>1$ 时，只在右侧對數曲線上有一個交点;
当 $k=1$ 时，左侧抛物線與右侧對數曲線各给出一個交点，共两個;
当 $0\<k\<1$ 时，左侧抛物線给出两個交点，右侧對數曲線再给出一個交点，共三個;
当 $k=0$ 时，交点為 $(-2,0)$ 與 $(0,0)$ , 共两個;
当 $k\<0$ 时，只有左侧抛物線與水平線相交一次.

圖像方法的价值

數根时先画 $y=f(x)$ , 再移动水平直線 $y=k$ . "有几個根"就對應"有几個交点", 每個交点给出一個解. 這個方法的好处在于：不需要求出方程的显式解，只要能画出函數圖像的大致形状，就可以判断不同 $k$ 值下根的個數. 因此，它是处理超越方程、分段方程等无法直接求解情形的常用工具.

應用示例

分段函數非常适合描述“按条件收费”“按区間计价”“超過某個標准后规则改變”這一類現实规则.

例

某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:

乘车 $5$ km 以内，票价 $2$ 元;
超過 $5$ km 后，每增加 $5$ km, 票价增加 $1$ 元，不足 $5$ km 的部分按 $5$ km 计算.

若線路总里程為 $19$ km, 寫出票价關于里程 $x$ 的函數解析式.

解

票价按区間分段保持常值，因而是一個階梯函數:

y= \begin{cases} 2,& 0\<x\le 5, 3,& 5\<x\le 10, 4,& 10\<x\le 15, 5,& 15\<x\le 19. \end{cases}

這正是“按条件定价”最典型的分段函數模型.

分段函數的現实背景

手机資费、階梯電价、個税区間、邮费標准都經常出現同样的结構. 规则一旦随着条件改變，分段函數就会自然出現. 识别這類問題的關键是：找到"条件分界点", 即规则發生改變的位置，然后按区間分别寫出每段的解析式. 分界点往往對應現实中的某個阈值或临界条件.

分段函數告诉我们：一個函數完全可以由若干局部规则拼成整體. 下一节讨論绝對值函數，会看到另一件事：绝對值既能制造分段结構，也能制造圖像翻折.

绝對值函數

绝對值函數把前面几节的内容连了起来. 它按符号分段，常常寫成複合函數，圖像上表現為對称和翻折. 处理绝對值題时先找零点，再分段，最后回到圖像或距离解释.

绝對值的定義與基本性質

绝對值

实數 $x$ 的绝對值, 记作 $|x|$ , 定義為

|x|= \begin{cases} x,& x\ge 0, -x,& x\<0. \end{cases}

這個定義有两個层面:

從代數上看，绝對值按符号分成两段;
從几何上看, $|x|$ 表示數轴上点 $x$ 到原点的距离.

更一般地, $|x-a|$ 表示点 $x$ 到点 $a$ 的距离. 這個解释会在绝對值方程、绝對值不等式和最值問題里反複出現.

绝對值的基本性質

對任意实數 $x,y$ , 有:

非负性 $|x|\ge 0;$
零点性質 $|x|=0\iff x=0;$
乘法性質 $|xy|=|x||y|;$
三角不等式 $|x+y|\le |x|+|y|.$

證明

非负性與零点性質: 由定義，当 $x\ge0$ 时 $|x|=x\ge0$ ; 当 $x\<0$ 时 $|x|=-x\>0$ . 因此對任意实數 $x$ , 恒有 $|x|\ge0$ , 并且 $|x|=0$ 当且僅当 $x=0$ .

乘法性質: 按 $x,y$ 的符号分四种情形.

若 $x\ge0, y\ge0$ , 则 $xy\ge0$ , 于是 $|xy|=xy=|x||y|$ ;
若 $x\<0, y\<0$ , 则 $xy\>0$ , 于是 $|xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y|$ ;
若 $x\ge0, y\<0$ , 则 $xy\le0$ , 于是 $|xy|=-xy=x(-y)=|x||y|$ ;
若 $x\<0, y\ge0$ , 则 $xy\le0$ , 于是 $|xy|=-xy=(-x)y=|x||y|$ .

四种情形均成立，故 $|xy|=|x||y|$ 對任意实數 $x,y$ 成立.

三角不等式: 利用非负性和乘法性質给出代數證明. 由

(|x|+|y|)^2 - |x+y|^2 = x^2+2|xy|+y^2 - (x+y)^2 = 2|xy|-2xy = 2(|xy|-xy).

由 $|xy|\ge xy$ (因為 $|t|\ge t$ 對任意实數 $t$ 成立), 得 $(|x|+|y|)^2 \ge |x+y|^2$ . 两边取非负平方根，即得 $|x+y|\le |x|+|y|$ .

绝對值天然带来两件事

先记两件事：绝對值的结果非负，到同一点距离相等的两個數会成對出現. 這两件事决定了绝對值圖像常有折点和對称轴. 具體来說，非负性意味着绝對值函數的圖像不会出現在 $x$ 轴下方；成對性意味着 $|f(x)|=|g(x)|$ 等价于 $f(x)=g(x)$ 或 $f(x)=-g(x)$ , 這正是"零点分段讨論法"的理論基礎.

绝對值函數

最基本的绝對值函數是 $y=|x|.$ 由定義可得

y= \begin{cases} x,& x\ge 0, -x,& x\<0. \end{cases}

所以它的圖像由两条射線组成.

這個圖像有几個基本特征:

關于 $y$ 轴對称，所以它是偶函數;
在 $(-\infty,0]$ 上递减，在 $[0,+\infty)$ 上递增;
在原点处出現一個尖点.

例

寫出函數 $y=|x-2|+1$ 的圖像特征.

解

它由 $y=|x|$ 的圖像向右平移 $2$ 個單位，再向上平移 $1$ 個單位得到. 因此圖像仍是 V 形，顶点在 $(2,1).$ 對称轴是直線 $x=2.$

绝對值函數與圖像變換

一般地, $y=|x-a|+b$ 可以直接看成基本圖像 $y=|x|$ 的平移. 這說明绝對值函數天然和圖像變換连在一起. 類似地, $y=-|x|+b$ 是将 V 形翻转為倒 V 形; $y=c|x-a|+b$ ( $c\>0$ ) 改變的是 V 形的開口宽窄，而顶点 $(a,b)$ 和對称轴 $x=a$ 的位置不變. 掌握這些變換规律，可以快速画出各种绝對值函數的圖像.

含绝對值的方程與不等式

求解含绝對值的方程與不等式时，最常用的方法是零点分段讨論法. 它依靠的正是绝對值的分段定義.

处理步骤通常是：先找出所有绝對值内部表达式的零点，這些零点把數轴分成若干区間；在每個区間内，绝對值内部表达式的符号固定，于是可以去掉绝對值；分别求解，再與本区間条件求交.

例

求解不等式 $|2x-1|\<x+2.$

解

先求分界点: $2x-1=0 \Longrightarrow x=\frac12.$ 于是只需在两個区間上分别讨論.

情形一: $x\ge \dfrac12$ . 這时 $|2x-1|=2x-1.$ 原不等式化為 $2x-1\<x+2,$ 解得 $x\<3.$ 與本情形条件合并，得 $\frac12\le x\<3.$

情形二: $x\<\dfrac12$ . 這时 $|2x-1|=1-2x.$ 原不等式化為 $1-2x\<x+2,$ 解得 $x\>-\frac13.$ 與本情形条件合并，得 $-\frac13\<x\<\frac12.$

把两部分合并，原不等式的解集為 $\left(-\frac13,3\right).$

几個常用等价形式. 当 $a\>0$ 时:

$|f(x)|\<a\iff -a\<f(x)\<a;$

|f(x)|\>a\iff f(x)\>a\ \text{或}\ f(x)\<-a;

$|f(x)|=|g(x)|\iff f(x)^2=g(x)^2.$

為什么分段法稳

绝對值本身按符号分段. 先找零点，再在每個区間去掉绝對值，可以避免把正负号寫反；符号錯会直接得到多余解或漏解. 與之相比，平方法虽然也能去绝對值，但可能引入增根，且對不等式会改變不等号方向，容易出錯. 零点分段讨論法的每一步都有明确的逻辑依据，因此是最稳妥的通用方法.

绝對值與分段、複合、圖像變換

绝對值函數同时涉及分段、複合和圖像變換.

1. 它本身就是分段函數.

|x|= \begin{cases} x,& x\ge 0, -x,& x\<0. \end{cases}

所以每一個绝對值表达式都天然带有按条件分段的思想.

2. 它常常出現在複合函數里. 函數 $|f(x)|$ 就是先算 $f(x)$ , 再取绝對值. 分析它的定義域、值域和單调性时，仍然要先看内层函數.

3. 它会制造圖像翻折.

$y=|f(x)|$ 把原圖像在 $x$ 轴下方的部分翻到上方;
$y=f(|x|)$ 把原圖像在 $y$ 轴右侧的部分對称複制到左侧.

例

分析函數 $y=|x^2-1|.$

解

先看内层函數 $u=x^2-1.$ 它在区間 $[-1,1]$ 内取非正值，在区間 $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ 内取非负值.

因此

|x^2-1|= \begin{cases} x^2-1,& |x|\ge 1, 1-x^2,& |x|\<1. \end{cases}

圖像的外侧保持原样，中間落在 $x$ 轴下方的那一段被翻到上方.

结構之間的联係

一個绝對值表达式往往同时具有三种面貌：代數上是绝對值，结構上是複合，展開后是分段，圖像上是翻折. 分析含绝對值的函數时，這四种视角可以互相配合：用複合函數的方法确定定義域和值域，用分段讨論的方法去掉绝對值，用圖像翻折的直觉快速画圖，用绝對值的代數性質簡化计算.

距离模型與應用

绝對值最自然的應用来自距离. 這使很多最值問題一下子變得清楚.

例

求函數 $f(x)=|x-1|+|x-3|$ 的最小值.

解

几何上, $|x-1|$ 表示点 $x$ 到点 $1$ 的距离, $|x-3|$ 表示点 $x$ 到点 $3$ 的距离. 因而 $f(x)$ 表示点 $x$ 到這两個定点的距离之和.

若点 $x$ 落在区間 $[1,3]$ 内，那么两段距离正好拼成点 $1$ 到点 $3$ 的距离: $|x-1|+|x-3|=2.$ 這时已經达到最小.

若希望用代數說明，可以按分界点 $1,3$ 分段:

f(x)= \begin{cases} -2x+4,& x\le 1, 2,& 1\<x\<3, 2x-4,& x\ge 3. \end{cases}

于是圖像先下降，在中間保持常數，再上升. 因此最小值為 $2,$ 在区間 $[1,3]$ 上的每一点都能取到.

模型的推廣

函數 $\sum_{i=1}^n |x-a_i|$ 表示点 $x$ 到若干定点的距离之和. 這類函數的最小值問題與"中位數"有密切關係：当 $n$ 為奇數时，最小值在正中間那個点取得；当 $n$ 為偶數时，最小值在中間两個点之間的任意位置取得. 這個结論把绝對值函數與统计學中的中位數联係在一起.

一道绝對值函數題同时涉及：按符号分段，按层次複合，在圖像上對称或翻折，在應用里翻译成距离和条件判断. 拆清步骤、查明范围、再画圖像，就能处理一大類函數問題.

函數的複合​

複合函數的层次结構​

複合函數的定義​

複合的顺序通常不能交換​

複合函數的定義域​

複合函數的值域​

複合函數的單调性​

複合函數的奇偶性​

由複合關係反求原函數​

函數相等與定義域​

反函數​

反函數的基本問題​

反函數與定義域選择​

為什么有的函數能反過来，有的不能​

反函數的定義​

求反函數的基本步骤​

反函數的基本性質​

本节小结​

函數的圖像變換​

圖像變換研究的對象​

變換的统一表示​

基本圖像變換​

複合變換​

绝對值變換​

圖像變換中的常见錯誤​

分段函數​

定義與讀法​

作圖與端点​

定義域、值域與單调性​

方程根的個數與圖像​

應用示例​

绝對值函數​

绝對值的定義與基本性質​

绝對值函數​

含绝對值的方程與不等式​

绝對值與分段、複合、圖像變換​

距离模型與應用​

留言

函數的複合

複合函數的层次结構

複合函數的定義

複合的顺序通常不能交換

複合函數的定義域

複合函數的值域

複合函數的單调性

複合函數的奇偶性

由複合關係反求原函數

函數相等與定義域

反函數

反函數的基本問題

反函數與定義域選择

為什么有的函數能反過来，有的不能

反函數的定義

求反函數的基本步骤

反函數的基本性質

本节小结

函數的圖像變換

圖像變換研究的對象

變換的统一表示

基本圖像變換

複合變換

绝對值變換

圖像變換中的常见錯誤

分段函數

定義與讀法

作圖與端点

定義域、值域與單调性

方程根的個數與圖像

應用示例

绝對值函數

绝對值的定義與基本性質

绝對值函數

含绝對值的方程與不等式

绝對值與分段、複合、圖像變換

距离模型與應用