第二卷極限與導數-導數的概念與求導法则

切線問題

在建立起極限的初步概念之后，可以進一步讨論曲線在某一点的切線應如何严格定義.

古典定義

古典几何中，常把“直線與曲線在某点附近只有一個交点”看作切線的判据. 對圓、椭圓等簡單曲線，這种說法便于理解.

当曲線更複杂时，這一判据就不够用了. 下面考察函數 $y=x^3$ 在原点 $(0,0)$ 处的切線.

對直線 $y=0$ 而言，当 $x\>0$ 时有 $x^3\>0$ , 当 $x\<0$ 时有 $x^3\<0$ . 曲線在原点附近穿過這条直線，但從圖形看, $y=0$ 仍應视為原点处的切線.

还会出現唯一性問題. 對任意斜率為负的直線 $y=mx$ ( $m\<0$ ), 方程 $x^3=mx$ 只有实數解 $x=0$ . 若只按“唯一交点”判断，则所有經過原点且斜率為负的直線都可算作切線，這與切線概念不符.

這說明，用交点個數刻画切線并不充分. 切線反映的是曲線在某一点附近的局部變化趋势，這就需要借助極限.

割線的極限观点

设曲線經過点 $P(x_0, f(x_0))$ . 确定切線只差一個量，即切線的斜率.

斜率公式 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 需要两個不同的点. 因而在点 $P$ 附近另取曲線上一点 $Q(x, f(x))$ . 连接 $P$ 與 $Q$ 所得直線称為割線, 其斜率為 $k_{PQ} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ , 它表示函數在区間 $[x_0, x]$ 上的平均變化率.

当点 $Q$ 沿曲線趋近于点 $P$ 时，割線 $PQ$ 逐步逼近切線. 這一過程可用極限刻画.

*圖：当点 $Q$ 沿曲線趋近于点 $P$ 时，割線 $PQ$ 的極限位置即為在点 $P$ 处的切線.*

從几何上看，割線 $PQ$ 在此過程中不断转动. 当 $Q$ 无限接近 $P$ 时，若割線趋于一個确定位置，就把该極限位置的直線定義為点 $P$ 处的切線.

與這一几何極限位置對應的，正是割線斜率的極限值. 因而切線斜率應定義為 $k_{PQ}$ 当 $x \to x_0$ 时的極限.

切線斜率的严格定義

据此可把切線斜率寫成严格的極限定義.

切線斜率

曲線 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处的切線斜率 $k_{\text{tan}}$ 定義為：

k_{\text{tan}} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

若令 $x = x_0 + \Delta x$ , 则 $x \to x_0$ 等价于增量 $\Delta x \to 0$ . 定義式可寫為等价的形式：

k_{\text{tan}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

若此極限存在，则称曲線在该点处的切線存在.

這個定義把“切線”落到一個可计算的量上：割線斜率的極限. 差商在 $\Delta x=0$ 时会變成 $\frac{0}{0}$ 型表达式，因此要先在 $\Delta x \ne 0$ 时化簡，再让 $\Delta x \to 0$ .

再回到 $f(x)=x^3$ 在原点的例子. 连接原点 $(0,0)$ 與曲線上另一点 $(x, x^3)$ 的割線斜率為

k_{\text{割線}} = \frac{x^3 - 0}{x - 0} = x^2 (x \ne 0).

令 $x \to 0$ , 得 $k_{\text{tan}} = \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$ 因此原点处的切線斜率是 $0$ , 切線方程為 $y=0$ . 這個结果唯一，也與圖形相符.

從局部看，光滑曲線在一点附近可近似為一条直線，這条直線就是该点的切線. 因而切線可看作曲線在该点附近的線性近似.

例

求曲線 $f(x) = x^2$ 在点 $P(1, 1)$ 处的切線斜率，并寫出切線方程.

解

所求切線斜率，是点 $P(1,1)$ 與邻近点 $Q(1+\Delta x, (1+\Delta x)^2)$ 的割線斜率在 $\Delta x \to 0$ 时的極限.

割線 $PQ$ 的斜率為 $k_{PQ} = \frac{(1+\Delta x)^2 - 1}{\Delta x}.$ 先化簡分子:

k_{PQ} = \frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2 + \Delta x)}{\Delta x} = 2 + \Delta x (\Delta x \ne 0).

取極限得 $k_{\text{tan}} = \lim_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2$ . 因此，曲線 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切線斜率為 $2$ .

根据点斜式方程，所求的切線方程為 $y - 1 = 2(x - 1)$ ，即 $y = 2x - 1$ .

同一個極限还会出現在更一般的變化率問題中. 極限 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 既给出切線斜率，也刻画函數在一点处的瞬时變化率. 這一極限称為導數.

本节習題

習題

練習

對函數 $g(x) = \sqrt{x}$ , 用極限定義證明其在点 $P(x_0, \sqrt{x_0})$ ( $x_0 \> 0$ ) 处的切線斜率為 $\dfrac{1

解

2\sqrt{x_0

}$. } { 求所有通過点 $A(1, -3)$ 且與抛物線 $y=x^2$ 相切的直線方程. }

練習

判断函數 $h(x) = |x^2 - 4|$ 在 $x=2$ 处是否有切線. 若有，求出其方程；若无，說明几何與代數原因.

解

求參數 $a$ , 使抛物線 $y=ax^2$ 與對數曲線 $y=\ln x$ 相切.

練習

求常數 $b$ , 使直線 $y=x+b$ 與對數曲線 $y=\ln x$ 相切.

解

求抛物線 $y=x^2-1$ 上的点，使该点处的法線經過原点 $(0,0)$ .

練習

證明：對于任意实數 $x$ , 不等式 $e^x \ge x+1$ 恒成立.

解

在雙曲線 $y=1/x$ 的第一象限分支上任取一点. 證明该点处的切線與两坐標轴围成的三角形面積為常數.

導數的概念

導數用于刻画函數在某一点附近的瞬时變化率. 在几何上，它對應曲線在该点的切線斜率；在物理上，它對應随时間變化的量在某一时刻的瞬时速度.

求瞬时變化率时，已知的是一段区間上的平均變化率. 若直接把区間长度取為 $0$ , 差商 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 便失去意義. 因此需要考察当 $\Delta x \to 0$ 时這個差商是否趋于某個确定值.

從几何观点看，這相当于用割線斜率逼近切線斜率. 牛顿從瞬时速度出發，莱布尼茨從切線問題出發，最终都归结到同一思想：先计算平均變化率，再取極限.

由割線到切線

從割線斜率出發. 设曲線 $y=f(x)$ 上有两点 $P(x_0,f(x_0)), Q(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$ . 连接 $P,Q$ 所得割線的斜率為

k_{\text{割線}} = \frac{\text{纵坐標之差}}{\text{横坐標之差}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

它表示函數在区間 $[x_0,x_0+\Delta x]$ 上的平均變化率.

逼近過程. 当点 $Q$ 沿曲線向点 $P$ 移动时，横坐標增量 $\Delta x$ 逐渐趋于 $0$ .

当 $\Delta x \to 0$ 时，点 $Q$ 逼近点 $P$ , 割線 $PQ$ 也随之逼近点 $P$ 处的切線.

用極限刻画切線斜率. 若割線斜率在 $\Delta x \to 0$ 时趋于某個确定值，就把這個極限看作点 $P$ 处的切線斜率:

k_{\text{切線}} = \lim_{\Delta x \to 0} k_{\text{割線}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

這样，切線斜率問題與瞬时速度問題便统一為同一种極限過程.

導數的定義

平均變化率在自變量增量趋于零时的極限，称為函數在该点的導數.

函數在一点的導數

设函數 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的附近有定義. 如果極限

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

存在，就称函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可導. 這個極限值称為 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的導數, 记作 $f'(x_0)$ .

定義中的 $\Delta x$ 先保持非零，差商先有意義，再让 $\Delta x \to 0$ . 因此導數研究的是差商整體的極限. 極限存在时，函數在该点附近有稳定的線性變化趋势.

注

几何意義： $f'(x_0)$ 就是曲線 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切線的斜率.
物理意義： 如果 $s(t)$ 是位移關于时間的函數，那么 $s'(t_0)$ 就是物體在时刻 $t_0$ 的瞬时速度.
一般意義： 導數 $f'(x_0)$ 衡量了函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处變化的快慢程度，是函數的瞬时變化率.

莱布尼茨记号

若把函數寫成 $y=f(x)$ ，那么導數也常记為

\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0} \text{或} \frac{df}{dx}(x_0).

這個记号保留了差商的影子. 当 $\Delta x$ 很小时，差商 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 已經很接近導數. 继續沿着這個记号往前走，就会引出微分.

微分的引入

设函數 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可導. 按照導數的定義，当 $\Delta x \to 0$ 时， $\frac{\Delta y}{\Delta x} \to f'(x_0)$ . 当 $\Delta x \ne 0$ 时，可寫成 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha,$ 其中 $\alpha \to 0$ . 两边乘以 $\Delta x$ , 得 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha \Delta x.$ 第一項與 $\Delta x$ 成正比，是函數增量中的線性部分. 微分就是把這部分單独记下来.

微分

设函數 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可導. 取自變量的改變量 $dx$ ，定義函數在点 $x_0$ 处的微分 $dy$ 為 $dy = f'(x_0)\,dx.$ 其中， $dx$ 称為自變量的微分， $dy$ 称為因變量的微分.

把 $dx$ 看成刚才的 $\Delta x$ ，上面的關係便可寫成 $\Delta y=dy+\alpha\,dx$ . 当 $dx$ 很小时， $dy$ 與实际增量 $\Delta y$ 很接近. $dy$ 记錄切線给出的線性變化，曲線偏离切線的差别落在 $\alpha\,dx$ 里.

例

设 $y=x^2$ . 求其在点 $x$ 处的微分，并與实际增量比较.

解

当自變量由 $x$ 變為 $x+dx$ 时， $\Delta y = (x+dx)^2 - x^2 = 2x\,dx + (dx)^2.$ 而函數 $y=x^2$ 的導數為 $y'=2x$ ，因此它的微分為 $dy = y'\,dx = 2x\,dx.$ 所以 $\Delta y = dy + (dx)^2.$ 当 $dx$ 很小时， $(dx)^2$ 比 $dx$ 小得多, $dy=2x\,dx$ 就给出了 $\Delta y$ 的線性近似. 后面讨論切線近似與泰勒展開时，這個式子还会重新出現.

用定義求導

導數的極限定義為

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

它给出了由平均變化率计算瞬时變化率的统一方法.

在尚未建立求導公式之前，可以直接利用定義求一些基本函數的導數. 這既能熟悉導數的来源，也能為后面的求導法则作准備.

求導三步法

根据導數的定義，求 $f(x)$ 的導數 $f'(x)$ 可分為三步：第一步求增量, 计算当自變量從 $x$ 變為 $x+\Delta x$ 时函數值的增量 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ ；第二步作商, 计算平均變化率 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , 這一步常通過因式分解或有理化把分母中的 $\Delta x$ 约去；第三步取極限, 计算 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , 所得的结果就是導函數 $f'(x)$ .

例

求函數 $f(x) = c$ ( $c$ 為常數) 的導數.

解

常數函數對應一条水平直線，導數應為 $0$ .

求增量 $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x) = c - c = 0$ 作商 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{\Delta x} = 0$ 取極限 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 0 = 0$ 结論： $(c)' = 0$ . 常數函數没有變化，瞬时變化率恒為零.

例

求函數 $f(x) = x^2$ 的導數.

解

$x^2$ 的切線斜率随 $x$ 改變.

\begin{aligned} \text{求增量 } \Delta y &= f(x+\Delta x) - f(x) &= (x+\Delta x)^2 - x^2 &= (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - x^2 &= 2x\Delta x + (\Delta x)^2 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{作商 } \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} &= \frac{\Delta x (2x + \Delta x)}{\Delta x} (\text{關键一步：提取公因式并约分}) &= 2x + \Delta x \end{aligned}

\begin{aligned} \text{取極限} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) &= 2x \end{aligned}

结論： $(x^2)'=2x$ . 這說明抛物線 $y=x^2$ 在任意一点 $x$ 处的切線斜率都等于该点横坐標的两倍. 例如，在 $x=1$ 处斜率為 $2$ , 在 $x=-3$ 处斜率為 $-6$ .

例

求函數 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 的導數.

解

這里需要用到通分.

\begin{aligned} \Delta y &= \frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x} &= \frac{x - (x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)} (\text{通分}) &= \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)} \cdot \frac{1}{\Delta x} &= \frac{-1}{x(x+\Delta x)} \end{aligned}

\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} &= \frac{-1}{x(x+0)} = -\frac{1}{x^2} \end{aligned}

结論： $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ .

以上例子表明，導數定義可以直接用于计算. 但当函數结構稍複杂时，差商化簡会迅速變长，逐次使用定義并不經济.

基本求導公式的诞生

来龙去脉

導數定義可以直接用于计算. 但每次都從

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

起步，差商会越寫越长. 把這些極限计算整理成可反複调用的公式表.

三角函數、指數函數與對數函數的求導，最后都会追到两個關键極限:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \text{和} \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}.

前一個用于三角函數求導，后一個给出自然常數 $e$ , 進而用于指數函數和對數函數求導. 證明它们之前，先准備一個常用工具：夹逼定理.

夹逼定理的想法很朴素：找到两個容易分析的量，让目標量始终夹在它们之間. 当两侧同时逼近同一個值时，中間量也被迫逼近這個值. 后面證明 $\frac{\sin x}{x}$ 的極限时，正要用到這种比较方法.

夹逼定理 *(選讀内容)

引理

如果在点 $x_0$ 的某個去心邻域内，有三個函數 $g(x), f(x), h(x)$ 始终满足 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 并且 $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$ 那么 $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$

證明

任取 $\varepsilon \> 0$ . 由 $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = L$ , 存在 $\delta_1 \> 0$ , 使得当 $0 \< |x - x_0| \< \delta_1$ 时, $|g(x) - L| \< \varepsilon$ , 即 $L - \varepsilon \< g(x) \< L + \varepsilon$ .

由 $\lim\limits_{x \to x_0} h(x) = L$ , 存在 $\delta_2 \> 0$ , 使得当 $0 \< |x - x_0| \< \delta_2$ 时, $|h(x) - L| \< \varepsilon$ , 即 $L - \varepsilon \< h(x) \< L + \varepsilon$ .

由 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 在点 $x_0$ 的某個去心邻域内成立，可取 $\delta_3 \> 0$ , 使得当 $0 \< |x - x_0| \< \delta_3$ 时, $g(x) \le f(x) \le h(x)$ .

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \delta_3)$ . 则当 $0 \< |x - x_0| \< \delta$ 时，同时有 $L - \varepsilon \< g(x) \le f(x) \le h(x) \< L + \varepsilon$ , 從而 $|f(x) - L| \< \varepsilon$ .

由極限的 $\varepsilon-\delta$ 定義，得 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$ .

直观地說，中間函數被两侧函數夹住，两侧同时逼近同一個值，中間函數也随之逼近這個值.

例

證明 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ .

這個極限通常從單位圓證明. 下面的角 $x$ 用弧度制表示，先讨論 $x\>0$ 的情形.

< S_{\text{扇形 }OAP} < S_{\triangle OAT}$}

由几何圖形的面積關係，有

\text{面積}(\triangle OAP) \< \text{面積}(\text{扇形 } OAP) \< \text{面積}(\triangle OAT).

單位圓半径是 $1$ , 所以這三個面積分别是

\begin{aligned} \text{面積}(\triangle OAP) &= \frac{1}{2}\sin x, \text{面積}(\text{扇形 } OAP) &= \frac{1}{2}x, \text{面積}(\triangle OAT) &= \frac{1}{2}\tan x. \end{aligned}

代回去并同乘 $2$ , 得到 $\sin x \< x \< \tan x.$ 現在要把它改寫成 $\dfrac{\sin x}{x}$ 的形式. 当 $x \to 0^+$ 时, $\sin x \> 0$ , 所以可以同除以 $\sin x$ :

1 \< \frac{x}{\sin x} \< \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x}.

再取倒數，不等号方向反過来: $\cos x \< \frac{\sin x}{x} \< 1.$ 当 $x \to 0^+$ 时，左右两端都趋于 $1$ , 夹逼定理给出 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1.$ 又因為 $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x},$ 這個函數是偶函數，左極限和右極限相同. 因此得到第一個重要極限

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

第二個重要極限来自複利模型.

设本金是 $1$ 元，年利率是 $100\%$ . 如果一年计息一次，一年后得到 $2$ 元. 如果一年分成 $2$ 次计息，一年后得到 $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2 = 2.25.$ 如果一年分成 $12$ 次计息，一年后得到 $\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613.$ 如果一年分成 $365$ 次计息，一年后得到 $\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.714.$ 计息次數越多，每次加上的利息越小，总次數越多. 這一列數稳定逼近一個極限，它描述连續複利下的本利和. 這個極限记作自然常數 $e$ .

自然常數 $e$

自然常數 $e$ 定義為

e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828...

令 $x = \frac{1}{n}$ , 则当 $n \to \infty$ 时, $x \to 0$ . 這個複利極限就變成了第二個重要極限

\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e

有了這两個極限，就可以從定義推導常用求導公式.

幂函數 $f(x)=x^n$ ( $n$ 為正整數). 先看幂函數. 這里会用到二項式定理

(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n.

\begin{aligned} (x^n)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C_n^0 x^n + C_n^1 x^{n-1}\Delta x + C_n^2 x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots - x^n}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{n x^{n-1}\Delta x + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \left( n x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}\Delta x + \cdots \right) \end{aligned}

最后一行中，第一項 $n x^{n-1}$ 與 $\Delta x$ 无關，后面的每一項都至少带一個 $\Delta x$ 因子. 当 $\Delta x \to 0$ 时，后面的項趋于 $0$ , 只留下首項: $(x^n)' = n x^{n-1}.$ 這個公式后来可以推廣到任意实數指數. 例如

(x^2)' = 2x, \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.

三角函數 $f(x)=\sin x$ . 這一步要用到重要極限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1,$ 以及和差化積公式

\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right).

推導的關键是把差商里的三角項改寫成 $\dfrac{\sin u}{u}$ 的形状，以便调用已知極限.

\begin{aligned} (\sin x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left(\frac{x+\Delta x+x}{2}\right)\sin\left(\frac{x+\Delta x-x}{2}\right)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} \end{aligned}

最后一行已拆成两個因子. 第一個因子在 $\Delta x \to 0$ 时趋于 $\cos x$ , 第二個因子是重要極限的標准形状，其中 $u=\frac{\Delta x}{2}$ . 因此 $(\sin x)' = \cos x.$

同理，利用公式

\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right),

可以得到

\begin{aligned} (\cos x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x+\Delta x) - \cos x}{\Delta x} &= -\lim_{\Delta x \to 0} \sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} &= -\sin x. \end{aligned}

指數函數 $f(x)=a^x$ ( $a\>0,\ a\neq 1$ ). 指數函數的差商里，關键部分是指數增量 $a^{\Delta x}$ . 先把它從整體里提出来:

\begin{aligned} (a^x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^x\left(a^{\Delta x} - 1\right)}{\Delta x} &= a^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \end{aligned}

后面的極限只和底數 $a$ 有關，记作 $\ln a$ : $\ln a = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}.$ 于是得到 $(a^x)' = a^x \ln a.$ 前面的複利極限把 $e$ 選成了最自然的底數. 当 $a=e$ 时, $\ln e = 1$ , 所以 $(e^x)' = e^x.$ $e^x$ 的變化率等于函數值本身，因而在微積分中格外重要.

對數函數 $f(x)=\log_a x$ ( $x\>0,\ a\>0,\ a\neq 1$ ). 對數函數的差商需要先改形. 目標是構造 $(1+t)^{1/t}$ , 以便使用第二個重要極限.

\begin{aligned} (\log_a x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a(x+\Delta x) - \log_a x}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \log_a\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \log_a\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right) \end{aligned}

令 $t = \frac{\Delta x}{x}$ , 则 $\Delta x = xt$ . 当 $\Delta x \to 0$ 时, $t \to 0$ , 上式變成

\begin{aligned} (\log_a x)' &= \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{\log_a(1+t)}{t} &= \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \log_a\left((1+t)^{\frac{1}{t}}\right) \end{aligned}

這里把 $\dfrac{\log_a(1+t)}{t}$ 改寫成 $\log_a\left((1+t)^{1/t}\right)$ , 是為了调用 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e.$ 又因為對數函數连續，所以 $(\log_a x)' = \frac{1}{x} \log_a e = \frac{1}{x \ln a}.$ 当底數取 $e$ 时，立刻得到 $(\ln x)' = \frac{1}{x}.$

把上面的结果整理成表. 其中指數函數和對數函數默认 $a\>0,\ a\neq 1$ , 對數函數还要求 $x\>0$ .

溫馨提示

| 函數 | 導數 \

1ex] | | --- | --- | | [-0.5ex] $f(x) = c$ | $f'(x) = 0$ | | [1ex] $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{R}$) | $f'(x) = n x^{n-1}$ | | [1ex] $f(x) = \sin x$ | $f'(x) = \cos x$ | | [1ex] $f(x) = \cos x$ | $f'(x) = -\sin x$ | | [1ex] $f(x) = a^x$ | $f'(x) = a^x \ln a$ | | [1ex] $f(x) = e^x$ | $f'(x) = e^x$ | | [1ex] $f(x) = \log_a x$ | $f'(x) = \dfrac{1}{x \ln a}$ | | [2ex] $f(x) = \ln x$ | $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ | | [1ex] | |

有了公式表，还要學会把這些公式拼起来用. 最先用到的，就是常數倍法则和加减法则.

溫馨提示

设函數 $f(x), g(x)$ 均可導, $c$ 為常數，则

常數倍法则 [ [c \cdot f(x)]' = c \cdot f'(x)

2. **加减法则** $[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$

證明（常數倍法则的證明）

令 $h(x) = c \cdot f(x)$ . 直接從導數定義出發:

\begin{aligned} [c \cdot f(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c \cdot f(x+\Delta x) - c \cdot f(x)}{\Delta x} &= c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} &= c \cdot f'(x) \end{aligned}

證明（加减法则的證明）

先證明加法情形. 令 $h(x) = f(x) + g(x)$ , 则

\begin{aligned} [f(x) + g(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)] + [g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} &= f'(x) + g'(x) \end{aligned}

减法情形完全一样.

到這里為止，由基本函數通過加减和數乘拼出来的表达式，已經可以顺着规则直接求導.

例

求多項式函數 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 1$ 的導數.

解

\begin{aligned} f'(x) &= (2x^3 - 5x^2 + 7x - 1)' &= 2(x^3)' - 5(x^2)' + 7(x)' - (1)' &= 2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x + 7 - 0 &= 6x^2 - 10x + 7 \end{aligned}

多項式求導的做法很固定：逐項求導，最后合并.

例

求函數 $y = 3\sqrt{x} - \dfrac{2}{x^2}$ 的導數.

解

先把根式和分式改寫成幂函數: $y = 3x^{1/2} - 2x^{-2}.$ 然后逐項求導:

\begin{aligned} y' &= (3x^{1/2} - 2x^{-2})' &= 3(x^{1/2})' - 2(x^{-2})' &= 3\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right) - 2\left(-2x^{-3}\right) &= \frac{3}{2}x^{-1/2} + 4x^{-3} &= \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{4}{x^3} \end{aligned}

例

求函數 $f(x) = 4\cos x + e^x - \ln 2$ 的導數.

解

$\ln 2$ 是常數，其導數等于 $0$ .

\begin{aligned} f'(x) &= (4\cos x + e^x - \ln 2)' &= 4(\cos x)' + (e^x)' - (\ln 2)' &= 4(-\sin x) + e^x - 0 &= -4\sin x + e^x \end{aligned}

掌握這张公式表以及加减、數乘法则以后，我们已經能处理很多常见函數.

$x^2\sin x$ , $\dfrac{x^2+1}{x}$ , $\sin(2x+1)$ 分别涉及乘積、商和複合. 對應的求導法则如下.

乘、除、複合求導法则

三大运算法则

溫馨提示

设函數 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在点 $x$ 处均可導，则：

乘法法则 $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ 語言描述：两函數乘積的導數，等于第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二個函數的導數.
除法法则

\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} (v(x) \neq 0)

語言描述：两函數商的導數，等于分子的導數乘以分母，减去分子乘以分母的導數，所得的差再除以分母的平方.

3. 链式法则 设函數 $y=f(u)$ 的自變量 $u$ 本身是另一個關于 $x$ 的函數 $u=g(x)$ , 则複合函數 $y=f(g(x))$ 對 $x$ 的導數為： $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 語言描述：複合函數的導數，等于外层函數對内层函數求導，乘以内层函數對自變量求導.

链式法则的莱布尼茨表示. 莱布尼茨符号便于记忆這一法则.若记 $y=f(u), u=g(x)$ ，则链式法则寫作： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 這种寫法有助于记忆導數在複合過程中的传递方式.

這些法则均可由導數的極限定義推導出来. 理解證明過程有助于把握導數的来源.

乘法法则的證明. 證明中需要作構造項.

\begin{aligned} [u(x)v(x)]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \Bigl[\frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\,v(x+\Delta x) + u(x)\,\frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\Bigr] &= \Bigl(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x}\Bigr)\,v(x) + u(x)\,\Bigl(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x}\Bigr) \end{aligned}

由于函數 $v(x)$ 可導则必然连續，所以 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} v(x+\Delta x) = v(x)$ . 其余两項分别是 $u'(x)$ 和 $v'(x)$ 的定義. 因此， $[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ 證毕.

除法法则的證明. 證明過程與乘法法则類似，先通分，再作構造項.

\begin{aligned} \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left(\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}\right) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot v(x)v(x+\Delta x)} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x) + u(x)v(x) - u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x \cdot v(x)v(x+\Delta x)} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{v(x)v(x+\Delta x)} \Biggl[ \frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x) & - u(x) \cdot \frac{v(x+\Delta x) - v(x)}{\Delta x} \Biggr] &= \frac{1}{[v(x)]^2} [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] \end{aligned}

證毕.

链式法则的證明. 链式法则的严格證明需要细分内层函數增量的情形. 這里先掌握计算用法：识别外层和内层，外层求導后乘以内层導數.

三大法则的應用

先看最外层结構

掌握這三個基本法则后，还要根据函數结構選择相應的求導方法.

先识别函數最外层的代數结構. 最外层是两個函數相乘时用乘法法则，相除时用除法法则，一個函數複合另一個函數时用链式法则. 确定最外层结構后，再對内部需要求導的部分重複同样的识别過程，直到化归為基本求導公式.

乘法法则

求函數 $f(x) = x^2 \sin x$ 的導數.

解

结構分析： 函數 $f(x)$ 是 $u(x) = x^2$ 與 $v(x) = \sin x$ 的乘積.因此，首要應用乘法法则.

根据乘法法则 $[uv]' = u'v + uv'$ :

\begin{aligned} f'(x) &= (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' &= (2x) \cdot \sin x + x^2 \cdot (\cos x) &= 2x\sin x + x^2\cos x \end{aligned}

除法法则

求函數 $y = \dfrac{e^x}{x^2+1}$ 的導數.

解

结構分析： 函數 $y$ 是 $u(x) = e^x$ 與 $v(x) = x^2+1$ 的商.應用除法法则.

根据除法法则 $\left[\dfrac{u}{v}\right]' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ :

\begin{aligned} y' &= \frac{(e^x)'(x^2+1) - e^x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} &= \frac{e^x(x^2+1) - e^x(2x)}{(x^2+1)^2} &= \frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2} &= \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2} \end{aligned}

在分子上提取公因式 $e^x$ 使表达式更為清晰，這是一個良好的代數習惯.

链式法则

求函數 $y = \cos(x^3 - 4x)$ 的導數.

解

结構分析： 函數 $y$ 是 $\cos(\cdot)$ 與多項式 $x^3-4x$ 的複合函數，應用链式法则，按由外到内的顺序求導.

外层函數： $y = \cos(u)$
内层函數： $u = x^3 - 4x$
外導： $y$ 對 $u$ 求導, $\dfrac{dy}{du} = (\cos u)' = -\sin u$
内導： $u$ 對 $x$ 求導, $\dfrac{du}{dx} = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$

根据链式法则 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$ :

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= (-\sin u) \cdot (3x^2 - 4) &= -\sin(x^3 - 4x) \cdot (3x^2 - 4) (\text{最后将中間變量 $u$ 換回}) &= -(3x^2 - 4)\sin(x^3 - 4x) \end{aligned}

多层複合

求函數 $f(x) = \ln(\sin(e^{x^2}))$ 的導數.

解

這是多层複合函數，按链式法则由外向内逐层求導.

层次分解 函數可分解為四层：最外层為 $y=\ln(u)$ ，第二层為 $u=\sin(v)$ ，第三层為 $v=e^{w}$ ，最内层為 $w=x^2$ .

逐层求導并應用链式法则 由链式法则 $[f(g(h(k(x))))]' = f' \cdot g' \cdot h' \cdot k'$ , 有

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{\sin(e^{x^2})} \cdot [\sin(e^{x^2})]' &= \frac{1}{\sin(e^{x^2})} \cdot \cos(e^{x^2}) \cdot [e^{x^2}]' (\text{對第二层求導}) &= \frac{\cos(e^{x^2})}{\sin(e^{x^2})} \cdot e^{x^2} \cdot [x^2]' (\text{對第三层求導}) &= \cot(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot (2x) (\text{對最内层求導}) \end{aligned}

整理得 $f'(x) = 2x e^{x^2} \cot(e^{x^2})$ .

例

求函數 $y = x^3 \sqrt{1-x^2}$ 的導數.

解

這是乘積函數. 先用乘法法则，再對根式部分使用链式法则.

由乘法法则 $y' = u'v + uv'$ , 有 $y' = (x^3)' \sqrt{1-x^2} + x^3 (\sqrt{1-x^2})'$ .

第一部分導數很簡單： $(x^3)' = 3x^2$ .

第二部分 $(\sqrt{1-x^2})'$ 需要使用链式法则.将根式寫為幂函數形式 $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ . 外层函數是 $w^{\frac{1}{2}}$ , 内层函數是 $w=1-x^2$ .

(\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}

将各部分代入乘法法则公式：

\begin{aligned} y' &= 3x^2 \sqrt{1-x^2} + x^3 \left( \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \right) &= 3x^2 \sqrt{1-x^2} - \frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

通分得

\begin{aligned} y' &= \frac{3x^2 (1-x^2) - x^4}{\sqrt{1-x^2}} &= \frac{3x^2 - 3x^4 - x^4}{\sqrt{1-x^2}} &= \frac{3x^2 - 4x^4}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x^2(3-4x^2)}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

例

求函數 $f(x) = \frac{x^2 e^{2x}}{\ln(x^2+1)}$ 的導數.

解

這是商函數. 分子求導用乘法法则，指數項與對數項求導都要用链式法则.

令 $u(x) = x^2 e^{2x}$ , $v(x) = \ln(x^2+1)$ . 先求 $u'(x)$ 與 $v'(x)$ .

求 $u'(x)$ (應用乘法法则):

\begin{aligned} u'(x) &= (x^2)' e^{2x} + x^2 (e^{2x})' &= 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot (e^{2x} \cdot 2) (\text{對 } e^{2x} \text{ 應用链式法则}) &= 2x e^{2x} (1 + x) \end{aligned}

求 $v'(x)$ (應用链式法则), 得 $v'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}$ .

接着，将 $u, v, u', v'$ 代入除法法则 $\left[\dfrac{u}{v}\right]' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ：

\begin{aligned} f'(x) &= \frac{[2x e^{2x} (1 + x)] \cdot \ln(x^2+1) - (x^2 e^{2x}) \cdot \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)}{[\ln(x^2+1)]^2} &= \frac{2x e^{2x} \left( (1 + x)\ln(x^2+1) - \frac{x^2}{x^2+1} \right)}{[\ln(x^2+1)]^2} \end{aligned}

例

求函數 $g(x) = \left( \ln(x \sin^2 x) \right)^3$ 的導數.

解

這是複合函數與乘積函數的结合，先分清层次，再逐层求導. 函數可分解為四层：最外层是幂函數 $u^3$ ，第二层是自然對數函數 $\ln(v)$ ，第三层是乘積 $v = x \sin^2 x$ ，第四层（内嵌于第三层）是複合函數 $w^2$ , 其中 $w=\sin x$ .

由外到内應用链式法则，有 $g'(x) = 3\left( \ln(x \sin^2 x) \right)^2 \cdot \left( \ln(x \sin^2 x) \right)'$ , 且 $\left( \ln(x \sin^2 x) \right)' = \frac{1}{x \sin^2 x} \cdot (x \sin^2 x)'$ .

對 $(x \sin^2 x)'$ 應用乘法法则：

\begin{aligned} (x \sin^2 x)' &= (x)' \sin^2 x + x (\sin^2 x)' &= 1 \cdot \sin^2 x + x \cdot [2 \sin x \cdot (\sin x)'] (\text{對 } \sin^2 x \text{ 應用链式法则}) &= \sin^2 x + x (2 \sin x \cos x) &= \sin^2 x + x \sin(2x) \end{aligned}

将内层结果逐层代回：

\begin{aligned} g'(x) &= 3\left( \ln(x \sin^2 x) \right)^2 \cdot \frac{1}{x \sin^2 x} \cdot (\sin^2 x + x \sin(2x)) &= \frac{3(\sin^2 x + x \sin(2x))}{x \sin^2 x} \left( \ln(x \sin^2 x) \right)^2 \end{aligned}

例

求函數 $y = (x^2+1)^{\ln x}$ 的導數.

解

底數與指數都含有變量，用對數求導法.

$\ln y = \ln((x^2+1)^{\ln x}) = (\ln x) \cdot \ln(x^2+1)$ .

左边應用链式法则，右边應用乘法法则，得 $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = (\ln x)' \cdot \ln(x^2+1) + (\ln x) \cdot (\ln(x^2+1))'$ .

分别计算右侧各導數： $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ , 且 $(\ln(x^2+1))' = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}$ .

代回方程，得 $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \ln(x^2+1) + (\ln x) \frac{2x}{x^2+1}$ . 将 $y$ 乘到右边，并代入其原始表达式，得 $\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\ln(x^2+1)}{x} + \frac{2x \ln x}{x^2+1} \right) = (x^2+1)^{\ln x} \left( \frac{\ln(x^2+1)}{x} + \frac{2x \ln x}{x^2+1} \right)$ .

例

求函數 $f(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)$ 的導數.

解

先处理對數内部的分式. 對分子作有理化，得

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x} &= \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}-x)}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)} &= \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{(x^2+1) - x^2} &= (\sqrt{x^2+1}-x)^2 \end{aligned}

因此，原函數可以被重寫為 $f(x) = \ln\left( (\sqrt{x^2+1}-x)^2 \right) = 2\ln(\sqrt{x^2+1}-x)$ .

再對化簡后的函數求導：

\begin{aligned} f'(x) &= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot (\sqrt{x^2+1}-x)' &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x - 1 \right) &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - 1 \right) &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \right) &= \frac{2}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \frac{-(\sqrt{x^2+1}-x)}{\sqrt{x^2+1}} &= -\frac{2}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}

直接對原式求導也能得到同一结果，但步骤会明显變长：先用链式法则处理 $\ln u$ , 再對 $u = \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x}$ 使用商法则，还要继續处理两個根式的導數. 本題的關键是先有理化，把複杂分式化成 $2\ln(\sqrt{x^2+1}-x)$ .

這個例子說明：對數内部含有複杂分式时，先化簡再求導通常更稳妥.

綜合應用

求函數 $y = e^{-x} \ln(x^2)$ 的導數.

解

结構分析： 最外层是 $e^{-x}$ 與 $\ln(x^2)$ 的乘積，先用乘法法则，再分别用链式法则求 $(e^{-x})'$ 與 $(\ln(x^2))'$ .

應用乘法法则，有 $y' = (e^{-x})' \ln(x^2) + e^{-x} (\ln(x^2))'$

分别计算两個需要用链式法则的部分：

求 $(e^{-x})'$ ：外层為 $e^u$ , 内层為 $u=-x$ .導數為 $e^u \cdot u' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$ .
求 $(\ln(x^2))'$ ：外层為 $\ln u$ , 内层為 $u=x^2$ .導數為 $\dfrac{1}{u} \cdot u' = \dfrac{1}{x^2} \cdot 2x = \dfrac{2}{x}$ .

最后，将计算结果代回乘法法则公式：

\begin{aligned} y' &= (-e^{-x}) \cdot \ln(x^2) + e^{-x} \cdot \left(\frac{2}{x}\right) &= e^{-x} \left(\frac{2}{x} - \ln(x^2)\right) \end{aligned}

常见錯誤

混淆运算法则

乘積求導要用 $[uv]'=u'v+uv'$ . 寫成 $u'v'$ 会把乘法法则誤当成線性法则.
链式法则遗漏内導

複合函數求導时，外层導數后面还要乘以内层導數. 例如

$(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x).$
複合层次识别不清

對于 $y = \sin^3 x$ , 其结構是 $y = (\sin x)^3$ . 最外层是幂函數 $u^3$ , 内层是三角函數 $u=\sin x$ .

$y' = 3(\sin x)^{3-1} \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cos x.$

對于 $y = \sin(x^3)$ , 最外层是正弦函數 $\sin u$ , 内层是幂函數 $u=x^3$ .

$y' = \cos(x^3) \cdot (x^3)' = 3x^2\cos(x^3).$
先化簡，再求導

启动複杂法则前，先檢查表达式能否化簡. 例如 $y=\ln(e^{2x})$ 可先化為 $2x$ , 再求導.

几种求導方法*

至此，已經建立了基本的求導法则. 但有些關係并不能直接寫成 $y=f(x)$ 的形式：

当函數呈現“幂的幂”或多項因子的乘除结構时，例如 $y = \dfrac{\sqrt{x+1}(x-2)^3}{(x+5)^4}$ , 直接使用乘除法與链式法则往往较繁.
当函數關係由方程给出，例如圓的方程 $x^2+y^2=25$ , 需要另行讨論求導方法.

取對數求導法

当函數表达式含有幂指结構，或由多個因子的乘、除、開方構成时，取對數求導法常较為簡洁. 它利用對數运算把乘除化為加减，把幂化為乘積.

取對數求導法

對于函數 $y=f(x)$ , 若其表达式由多個因子的積、商或幂指结構 $u(x)^{v(x)}$ 構成，可按下列步骤求導：先在有定義的范围内取 $\ln|y| = \ln|f(x)|$ , 再利用對數性質展開右端，然后两边對 $x$ 求導使左端得到 $\dfrac{y'}{y}$ , 最后解出 $y'$ .

取對數求導法的作用是把“乘除關係”改寫成“加减關係”，把“幂”改寫成“乘積關係”. 這样做之后，原来难以下手的幂指结構就能转化成熟悉的乘法法则與链式法则. 取 $\ln|y|$ 可以同时覆蓋正值與负值情形；使用时，仍要先說明函數在哪個范围内有定義.

例

求幂指函數 $y = x^{\sin x}$ ( $x\>0$ ) 的導數.

解

底數 $x$ 與指數 $\sin x$ 都含有變量，可用對數求導.

在 $x\>0$ 的条件下，两边取自然對數，得 $\ln y = \ln(x^{\sin x}) = \sin x \cdot \ln x$ . 于是幂指關係化為三角函數與對數函數的乘積.

方程两边對 $x$ 求導. 左边用链式法则，右边用乘法法则，得 $\frac{1}{y} \cdot y' = (\sin x)' \ln x + \sin x (\ln x)'$ , 即 $\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$ . 将 $y=x^{\sin x}$ 代回整理，得 $y' = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$ .

例

求函數 $y = \dfrac{\sqrt{x+1}(x-2)^3}{(x+5)^4}$ 的導數.

解

此函數由三個代數式的幂通過乘除構成. 利用對數性質可把运算拆成若干和式.

在函數有定義的区域考察绝對值的對數，利用 $\ln(abc)=\ln a+\ln b+\ln c$ 及 $\ln(a^n)=n\ln a$ 展開:

\begin{aligned} \ln|y| &= \ln \left| \dfrac{(x+1)^{1/2}(x-2)^3}{(x+5)^4} \right| &= \frac{1}{2}\ln|x+1| + 3\ln|x-2| - 4\ln|x+5| \end{aligned}

两边同时對 $x$ 求導. 注意 $\frac{d}{dx}(\ln|u|) = \frac{u'}{u}$ :

\frac{y'}{y} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+5}

最后解出 $y'$ :

y' = \dfrac{\sqrt{x+1}(x-2)^3}{(x+5)^4} \left[ \frac{1}{2(x+1)} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+5} \right]

這样可把原先的多重嵌套运算化為若干簡單分式的求和.

隐函數求導法

当 $x$ 和 $y$ 的關係由方程 $F(x,y)=0$ 确定，而没有或较难寫成 $y=f(x)$ 的形式时，就称這個關係定義了一個隐函數. 求這類函數的導數时，直接對原方程求導.

隐函數求導法

当方程 $F(x,y)=0$ 在某区域内确定了 $y$ 為 $x$ 的函數时，即使无法显式解出 $y=f(x)$ , 也可以對方程两边關于 $x$ 求導. 具體做法是：将方程中出現的 $y$ 都看作 $x$ 的函數 $y(x)$ , 對含 $y$ 的項按链式法则处理，再從所得的等式中解出 $y'$ . 這個方法的合理性在于：若 $y(x)$ 确实可導，则它满足方程 $F(x,y(x))=0$ , 两边關于 $x$ 求導后自然得到 $y'$ 與 $x,y$ 的關係. 何时方程能确定可導的隐函數，由隐函數定理保證：当 $F$ 连續可微且 $\frac{\partial F}{\partial y}\ne0$ 时，局部存在唯一的可導函數 $y(x)$ .

例

求由圓的方程 $x^2 + y^2 = 25$ 所确定的函數在任意点 $(x,y)$ 的導數 $\dfrac{dy}{dx}$ .

解

對方程两边同时關于 $x$ 求導. $\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25)$ 利用加法法则展開： $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$

對 $x^2$ 求導，得 $2x$ .
對 $y^2$ 求導时，由于 $y$ 是 $x$ 的函數，所以 $y^2$ 是複合函數. 根据链式法则： $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \cdot y'$

将求導结果代回方程： $2x + 2y \cdot y' = 0$ 再把它看作關于 $y'$ 的代數方程来解： $2y \cdot y' = -2x$ $y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$ 因而圓上任意一点 $(x,y)$ 的切線斜率為 $-\frac{x}{y}$ . 例如在点 $(3,4)$ , 切線斜率為 $-\frac{3}{4}$ .

導數與單调性

導數 $f'(x)$ 刻画一点附近的變化趋势. 單调性關心整個区間上的增减. 下面要做的事，是把局部斜率信息转化為区間判断.

理論基石與判定法则

先看函數圖像中的转折点. 這些点是單调性可能改變的位置，称為極值点.

函數的極值

设函數 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某個邻域内有定義.

如果對于该邻域内任意异于 $x_0$ 的点 $x$ , 都恒有 $f(x) \< f(x_0)$ , 就称 $f(x_0)$ 是函數 $f(x)$ 的一個極大值, 称 $x_0$ 為極大值点.
如果對于该邻域内任意异于 $x_0$ 的点 $x$ , 都恒有 $f(x) \> f(x_0)$ , 就称 $f(x_0)$ 是函數 $f(x)$ 的一個極小值, 称 $x_0$ 為極小值点.

極大值與極小值统称為極值，極大值点與極小值点统称為極值点.

極值是局部概念，最值是全局概念. 直接由定義寻找極值并不方便. 對光滑曲線而言，峰顶或谷底处的切線通常是水平的，這一事实可由费马引理精确表述.

费马引理

如果函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足以下两個条件：

$f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得極值；
$f(x)$ 在点 $x_0$ 处可導；

那么，函數在该点的導數必為零，即 $f'(x_0) = 0$ .

證明

以下以 $f(x_0)$ 為極大值為例. 根据極大值的定義，存在一個以 $x_0$ 為中心的邻域，對于该邻域内任意的 $x$ , 都有 $f(x) \le f(x_0)$ , 即 $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$ .

考察導數 $f'(x_0)$ 的定義式. 当自變量從右侧逼近 ( $\Delta x \to 0^+$ ) 时，分母 $\Delta x \> 0$ , 分子 $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$ . 故比值非正，其極限（即右導數）满足 $f'_+(x_0) \le 0$ . 当自變量從左侧逼近 ( $\Delta x \to 0^-$ ) 时，分母 $\Delta x \< 0$ , 分子非正.故比值非负，其極限（即左導數）满足 $f'_-(x_0) \ge 0$ .

由于函數在 $x_0$ 处可導，其左、右導數必须存在且相等，即 $f'(x_0) = f'_+(x_0) = f'_-(x_0)$ . 联立 $f'(x_0) \le 0$ 與 $f'(x_0) \ge 0$ , 唯一可能的情况便是 $f'(x_0)=0$ .

必要而不充分

费马引理给出極值点的必要条件. 可導函數在極值点处導數必為零，因而寻找極值点时，先考察導數為零的点以及導數不存在的点. 僅有 $f'(x_0)=0$ 还不能推出 $x_0$ 是極值点. 例如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处導數為零，但函數仍保持递增，该点是拐点.

费马引理把單点处的極值性質與導數性質联係起来. 若要進一步讨論区間上的單调性，还需要中值定理. 先從罗尔定理開始.

罗尔定理

如果函數 $f(x)$ 满足：(1)在闭区間 $[a,b]$ 上连續；(2)在開区間 $(a,b)$ 内可導；(3)在端点处的函數值相等，即 $f(a) = f(b)$ . 那么，在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使得 $f'(\xi) = 0$ .

證明

根据闭区間上连續函數的最值定理， $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必取得最大值 $M$ 和最小值 $m$ . 若 $M=m$ , 则 $f(x)$ 為常數函數，其導數在 $(a,b)$ 内处处為零，结論成立. 若 $M\>m$ , 由于 $f(a)=f(b)$ , 则 $M$ 與 $m$ 中至少有一個必定在区間的内部某点 $\xi \in (a,b)$ 处取得. 這意味着点 $\xi$ 是一個極值点，且函數在该点可導.根据费马引理，可導函數在極值点处的導數必為零，故 $f'(\xi)=0$ . :::

罗尔定理要求 $f(a)=f(b)$ , 条件较强. 拉格朗日通過構造辅助函數把一般情形化為罗尔定理.

拉格朗日中值定理

如果函數 $f(x)$ 满足：(1)在 $[a,b]$ 上连續；(2)在 $(a,b)$ 内可導. 那么，在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}

證明

構造一個满足罗尔定理条件的辅助函數. 连接端点 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的割線方程為 $y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ . 構造辅助函數 $\varphi(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \right]$ . 此函數 $\varphi(x)$ 代表了曲線 $y=f(x)$ 與其端点割線之間的竖直距离. 直接计算得 $\varphi(a)=0$ 且 $\varphi(b)=0$ , 故 $\varphi(x)$ 满足罗尔定理的全部条件. 因此，存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\varphi'(\xi)=0$ . 對 $\varphi(x)$ 求導得 $\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . 令 $x=\xi$ 并代入 $\varphi'(\xi)=0$ ，移項后即得定理结論. :::

拉格朗日中值定理建立了瞬时變化率 $f'(\xi)$ 與区間平均變化率 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 之間的联係. 利用這一工具，可以严格證明單调性判定法则.

函數單调性的判定法

设函數 $y=f(x)$ 在区間 $I$ 内可導.

如果在 $I$ 内恒有 $f'(x) \> 0$ , 那么函數 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是單调递增的.
如果在 $I$ 内恒有 $f'(x) \< 0$ , 那么函數 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是單调递减的.
如果在 $I$ 内恒有 $f'(x) = 0$ , 那么函數 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是一個常數函數.

證明

设 $x_1, x_2$ 是区間 $I$ 内的任意两点，且 $x_1 \< x_2$ . 在闭区間 $[x_1, x_2]$ 上對函數 $f(x)$ 應用拉格朗日中值定理，可知在開区間 $(x_1, x_2)$ 内必定存在一点 $\xi$ ，使得 $f'(\xi) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ 變形得 $f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1)$ 由于假设 $x_1 \< x_2$ , 因子 $(x_2 - x_1)$ 恒為正數. 因而函數值差 $f(x_2) - f(x_1)$ 的符号由 $f'(\xi)$ 的符号决定.

若在 $I$ 内 $f'(x) \> 0$ : 由于 $\xi \in (x_1, x_2) \subset I$ , 所以 $f'(\xi) \> 0$ . 此时 $f(x_2) - f(x_1) = (\text{正數}) \times (\text{正數}) \> 0$ , 即 $f(x_2) \> f(x_1)$ . 根据定義，函數單调递增.
若在 $I$ 内 $f'(x) \< 0$ : 同理，此时 $f'(\xi) \< 0$ . 于是 $f(x_2) - f(x_1) = (\text{负數}) \times (\text{正數}) \< 0$ , 即 $f(x_2) \< f(x_1)$ . 根据定義，函數單调递减.
若在 $I$ 内 $f'(x) = 0$ : 同理，此时 $f'(\xi) = 0$ . 于是 $f(x_2) - f(x_1) = 0$ , 即 $f(x_2) = f(x_1)$ . 由于 $x_1, x_2$ 是任意两点，故函數為常數函數.

由此得到利用導數判断函數單调性的法则.

單调性分析的標准流程與應用

根据上述定理，求單调区間通常按四步進行: 确定定義域; 求導數 $f'(x)$ ; 求分界点, 包括 $f'(x)=0$ 的根和 $f'(x)$ 无定義的点; 列表分析, 比较各子区間上 $f'(x)$ 的符号.

例

求函數 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ 的單调区間.

解

定義域 该函數為多項式函數，定義域為 $(-\infty, +\infty)$ .

求導數 $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$

求解分界点 令 $f'(x)=0$ , 解得 $x=1$ 或 $x=2$ . 這两個驻点将定義域 $(-\infty, +\infty)$ 划分為三個区間.

列表分析

区間	$(-\infty, 1)$	$1$	$(1, 2)$	$2$	$(2, +\infty)$
$f'(x)$ 的符号	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$ 的單调性	$\nearrow$ (增)	極大值	$\searrow$ (减)	極小值	$\nearrow$ (增)

结論函數 $f(x)$ 的單调递增区間為 $(-\infty, 1)$ 和 $(2, +\infty)$ , 單调递减区間為 $(1, 2)$ .

例

求函數 $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ 的單调区間.

解

定義域 函數 $f(x)$ 的定義域為 $(0, +\infty)$ .

求導數 利用除法法则：

f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}

求解分界点 由于 $x \in (0, +\infty)$ , 分母 $x^2$ 恒為正，所以 $f'(x)$ 的符号完全由分子 $1-\ln x$ 决定. 令 $f'(x)=0$ , 得 $1-\ln x = 0$ , 解得 $x=e$ .

列表分析

区間	$(0, e)$	$e$	$(e, +\infty)$
$f'(x)$ 的符号	$+$	$0$	$-$
$f(x)$ 的單调性	$\nearrow$ (增)	極大值	$\searrow$ (减)

结論函數 $f(x)$ 的單调递增区間為 $(0, e)$ , 單调递减区間為 $(e, +\infty)$ .

例

已知函數 $f(x) = x\ln x$ .

讨論函數 $g(x) = f(x) - x + 1$ 的單调性，并證明：對任意 $x\>0$ , 恒有 $x\ln x \ge x - 1$ .
證明：存在唯一的 $x_0 \in (1, e)$ , 使得曲線 $y=x\ln x$ 在点 $x_0$ 处的切線，與连接点 $(1,0)$ 和 $(e,e)$ 的直線平行.

解

解題入口

第 (2) 問要求切線與割線平行，這是在比较两個斜率. 曲線在 $x_0$ 处的切線斜率是 $f'(x_0)$ , 端点割線斜率是 $\frac{f(e)-f(1)}{e-1}$ . 因此問題转化為證明方程 $f'(x_0)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}$ 在 $(1,e)$ 内有唯一解.

(1) 讨論 $g(x)$ 的單调性并證明不等式. 函數 $g(x) = x\ln x - x + 1$ 的定義域為 $(0, +\infty)$ . 對其求導，得： $g'(x) = (\ln x + 1) - 1 = \ln x$ 令 $g'(x) = 0$ , 解得 $x=1$ . 当 $x \in (0, 1)$ 时, $g'(x) = \ln x \< 0$ , 函數 $g(x)$ 單调递减. 当 $x \in (1, +\infty)$ 时, $g'(x) = \ln x \> 0$ , 函數 $g(x)$ 單调递增. 因此，函數 $g(x)$ 在 $x=1$ 处取得極小值，同时也是全局最小值. 其最小值為 $g(1) = 1\ln 1 - 1 + 1 = 0$ . 由于函數的最小值是 $0$ , 所以對任意 $x\>0$ , 都有 $g(x) \ge 0$ . 即 $x\ln x - x + 1 \ge 0$ , 移項得 $x\ln x \ge x - 1$ .

(2) 證明解的存在性與唯一性. 本問等价于證明方程 $\ln x + 1 = \frac{e}{e-1}$ 在 $(1,e)$ 内有唯一解.

構造辅助函數 $H(x) = \ln x + 1 - \frac{e}{e-1}$ . 目標是證明 $H(x)$ 在 $(1,e)$ 内有唯一零点.

首先證明存在性. 函數 $H(x)$ 在闭区間 $[1,e]$ 上连續. 计算其在区間端点的值: $H(1) = \ln 1 + 1 - \frac{e}{e-1} = \frac{e-1-e}{e-1} = -\frac{1}{e-1} \< 0$ . $H(e) = \ln e + 1 - \frac{e}{e-1} = 2 - \frac{e}{e-1} = \frac{2e-2-e}{e-1} = \frac{e-2}{e-1} \> 0$ . 由于连續函數 $H(x)$ 在区間 $[1,e]$ 的两端异号，根据零点存在性定理，在開区間 $(1,e)$ 内至少存在一個点 $x_0$ , 使得 $H(x_0)=0$ .

接着證明唯一性. 再考察函數 $H(x)$ 在区間 $(1,e)$ 上的單调性. 對其求導，得 $H'(x) = \frac{1}{x}$ . 對于任意 $x \in (1,e)$ , 都有 $H'(x) \> 0$ . 這說明函數 $H(x)$ 在整個区間 $(1,e)$ 上是严格單调递增的. 一個严格單调的函數，其圖像與 $x$ 轴最多只有一個交点. 结合已證的存在性，得出结論：函數 $H(x)$ 在 $(1,e)$ 内有且僅有一個零点. 證毕.

切線問題​

古典定義​

割線的極限观点​

切線斜率的严格定義​

本节習題​

導數的概念​

由割線到切線​

導數的定義​

微分的引入​

用定義求導​

基本求導公式的诞生​

来龙去脉​

夹逼定理 *(選讀内容)​

乘、除、複合求導法则​

三大运算法则​

三大法则的應用​

先看最外层结構​

几种求導方法*​

取對數求導法​

隐函數求導法​

導數與單调性​

理論基石與判定法则​

單调性分析的標准流程與應用​

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