第二卷極限與導數-極限與连續

從点值到附近趋势

前面研究函數时，我们最常做的事情是：给定一個 $x$ , 算出一個 $f(x)$ . 這种做法能回答很多問題，也有明确的边界. 一旦問題落在分界点、临界点或持續變化的過程中，單看某一個点的取值往往不够.

先看一個熟悉的式子: $\frac{x^2-1}{x-1}.$ 把 $x=1$ 代入，会得到 $\dfrac00$ , 這個式子在 $x=1$ 处没有定義. 但若把 $x$ 取成 $1.1,1.01,0.99,0.9$ , 對應的值分别是 $2.1,2.01,1.99,1.9$ . 這些數稳定地向 $2$ 靠近. 這里立刻出現了一個新問題：点上的函數值可以缺失，附近的變化趋势却非常清楚.

速度問題也有同样的结構. 设物體沿直線运动，位置由 $s=f(t)$ 给出. 在时刻 $t_0$ 附近的一段时間里，平均速度是 $\bar v=\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}.$ 当 $\Delta t$ 很小时，這個比值已經很接近时刻 $t_0$ 附近的真实變化速度. 若直接令 $\Delta t=0$ , 分式失去意義；若研究 $\Delta t$ 越来越小时比值怎样變化，問題就重新有了方向.

在几何上，這個比值對應曲線 $s=f(t)$ 上的割線斜率.

極限描述變量靠近某点时函數值的去向. 连續则進一步比较這個去向與点上的实际函數值是否一致.

\begin{aligned} \text{研究變化} &\longrightarrow \text{只看点值不够} &\longrightarrow \text{研究靠近时的趋势} \longrightarrow \text{引入極限} &\longrightarrow \text{比较極限與函數值} \longrightarrow \text{引入连續}. \end{aligned}

極限與连續的基本問題

極限與连續围绕四個基本問題展開:

極限為什么出現，它解决什么問題;
趋近方式怎样影响極限存在性;
極限值、函數值、连續性三者怎样区分;
连續性怎样影响圖像、方程和后續的導數研究.

極限與连續的结構

極限與连續的内容结構如下:

極限：趋近方式、左右極限、極限存在性、極限值與函數值;
连續：定義、三条件、不连續分類、單侧连續與区間连續;
方法：判断極限的路径、判断连續的步骤、分段函數與端点处理;
接口：導數、積分、數列極限以及后續的函數研究.

數轴為什么需要“没有空隙”

極限經常把我们带到一個边界位置. 一串數越来越靠近某個结果，一個函數在附近越来越贴近某個高度，這些說法都默认一件事：那個边界值能在數轴上落下来. 這一节先把這件事說明白. 它解释了為什么極限理論要建立在实數係上.

從 \texorpdfstring{$\sqrt{2

$}{sqrt(2)} 說起}

边长為 $1$ 的正方形，對角線长度 $l$ 满足 $l^2=2.$ 如果只在有理數范围里活动，我们会遇到一個直接障碍：满足這個方程的數寫不成分數.

$\sqrt{2}$ 的无理性

不存在有理數 $r$ , 使得 $r^2=2$ .

證明

设存在有理數 $r$ 满足 $r^2=2$ . 若 $r\<0$ , 取 $-r$ 即可，故不妨设 $r\>0$ . 把它寫成最簡分數 $r=\frac pq,$ 其中 $p,q\in\mathbb Z^+$ , 且 $\gcd(p,q)=1$ （ $p,q$ 互質，即最大公约數為 $1$ ）.

由 $\left(\frac pq\right)^2=2$ 得 $p^2=2q^2.$ 于是 $p^2$ 是偶數，所以 $p$ 是偶數. 设 $p=2k$ , 代入上式得 $4k^2=2q^2, q^2=2k^2.$ 于是 $q$ 也是偶數.

這样一来, $p,q$ 都含有公因數 $2$ , 這和 $\gcd(p,q)=1$ 矛盾.

這個结論說明，數轴上的确存在一些位置，它们附近可以不断找到有理數，位置本身却无法用有理數表达. 例如 $1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,...$ 這一串有理數都在向同一個位置靠近，那個位置就是 $\sqrt{2}$ .

“中間有很多点”和“边界有落点”是两回事

這里有两個容易混淆的性質.

稠密與完備

稠密回答的是：两個數之間能不能继續找到别的數.
完備回答的是：一串逼近形成的边界位置能不能在數轴上找到.

有理數在數轴上处处稠密：任意两個有理數之間一定能插入另一個有理數. 但正如集合 $A=\{r\in\mathbb Q\mid r^2\<2\}$ 所示，有理數係中仍然存在"缺口". 稠密保證点與点之間没有"缝隙", 完備则保證所有逼近過程的边界值都有落点. 這两条性質互相独立，極限理論需要的是后者.

有理數在实數轴上是稠密的. 任意两個不同实數之間都能找到有理數. 這說明“中間的点很多”.

实數係的优势是完備. 它保證“边界位置也有落点”. 極限理論依赖的正是這件事.

上界與上确界

一批數整體向上方某個边界靠近时，這個边界需要精确描述：上界與上确界.

上界

设 $S$ 是 $\mathbb R$ 的非空子集. 若存在实數 $M$ , 使得對任意 $x\in S$ 都有 $x\le M,$ 就称 $M$ 是集合 $S$ 的一個上界.

上确界

设 $S\subseteq\mathbb R$ 非空且上有界. 若实數 $\alpha$ 满足:

$\alpha$ 是 $S$ 的上界;
對任意 $\beta\<\alpha$ , 总能在 $S$ 中找到元素 $x$ , 使得 $x\>\beta$ ;

就称 $\alpha$ 為 $S$ 的上确界, 记作 $\sup S$ .

第二条的意思是: $\alpha$ 已經贴住了這個集合的上边界. 任何更小的數都压不住整個集合.

例

设 $S=[0,1).$ 集合 $S$ 没有最大值，因為其中每個元素右边都还有更大的元素. 但它有上确界 $\sup S=1.$

最大值與上确界

最大值属于集合本身，上确界描述的是边界位置. 有些集合同时拥有這两者，有些集合只有上确界.

$S=[0,1)$ : $\sup S=1$ , 但 $1\notin S$ , 所以 $S$ 没有最大值.
$S=[0,1]$ : $\sup S=1$ , 且 $1\in S$ , 所以最大值 $\max S=1$ .
$S=\left\{\dfrac1n\mid n\in\mathbb Z^+\right\}$ : $\sup S=1$ , 且 $1\in S$ , 所以最大值 $\max S=1$ .

集合可以有上确界而无最大值，但有最大值时上确界一定等于最大值.

有理數係里的缺口

下面看集合 $A=\{r\in\mathbb Q\mid r^2\<2\}.$ 這個集合在有理數係里有上界，例如 $2$ 就是它的上界. 但它在 $\mathbb Q$ 中找不到一個贴住边界的最小有理上界.

原因很清楚:

若某個有理數 $q$ 满足 $q^2\<2$ , 它还没有碰到边界，因為它右边还能找到平方仍小于 $2$ 的有理數.
若某個有理數 $q$ 满足 $q^2\>2$ , 它压得過头了，因為它左边还能找到更小的有理上界.

贴住边界的位置满足 $q^2=2,$ 也就是 $\sqrt2$ . 這個數落在实數里，在有理數里没有落点，缺口就显現出来了.

同一個边界在 $\mathbb Q$ 與 $\mathbb R$ 中的不同情形*

实數係的完備性

实數係把上面的缺口补上了. 這一点通常用下面的公理表达.

完備性公理

$\mathbb R$ 中每個非空且上有界的子集，都有上确界.

這条公理常被概括成“实數數轴没有空隙”. 更准确的說法是：只要一批实數已經被某個上界压住，它们的最紧上边界就能在实數係里找到.

完備性在極限中的作用

極限研究的是“一個變化過程会贴近哪個值”. 完備性保證這种边界值有地方落下. 后面學習介值定理、零点存在定理、數列極限和積分时，這块地基都会再次出現.

極限

研究“靠近时”会發生什么

極限把研究對象從“点上取什么值”推進到“靠近某個位置时会怎样變化”. 一点附近的極限要同时处理趋近方式、附近结構、極限存在性以及極限值與函數值的区别.

極限的入口問題

學習極限时，要先分清趋近、極限值與函數值，再判断左極限、右極限和雙边極限是否存在. 直接代入、约分、因式分解、通分、有理化和分段讨論，是一点附近極限的基本入口.

極限研究的是逼近過程，需要用“附近趋势”来讀極限;
点上的函數值和附近的極限值可以相同，也可以分离;
左右極限一致时，雙边極限才存在;
分段函數在分界点附近常要分别考察左右两侧.

前置知识

閱讀這一节前，需要具備下面几類基礎:

函數的解析式、定義域和圖像的基本讀法;
分式运算、因式分解、通分與有理化;
绝對值與分段函數;
用數表观察數值變化趋势.

為什么需要極限

先看熟悉的函數 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.$ 当 $x=1$ 时，原式没有意義. 但当 $x$ 取接近 $1$ 的值时，函數值却有清楚的變化趋势:

\begin{array}{c|cccc} x & 0.9 & 0.99 & 1.01 & 1.1 f(x) & 1.9 & 1.99 & 2.01 & 2.1 \end{array}

這些數都在靠近 $2$ . 這說明函數在某一点是否有值，和它在该点附近朝哪里變化，是两件不同的事.

再看平均變化率 $\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}.$ 這里真正重要的是 $\Delta t$ 很小时整個比值怎样變化. 只盯着 $\Delta t=0$ 這一点，信息很少；观察 $\Delta t$ 逐步缩小时的趋势，信息才会显露出来.

極限正是為這种“附近趋势”提供語言的工具.

先建立直观

\BookSubsectionSubtitle{極限在看什么}

常见的趋近方式

讀極限式时，先看自變量怎样靠近目標位置:

$x\to a$ : 從点 $a$ 的两侧一起靠近 $a$ ;
$x\to a^-$ : 從小于 $a$ 的一侧靠近 $a$ ;
$x\to a^+$ : 從大于 $a$ 的一侧靠近 $a$ ;
$x\to+\infty$ : 取越来越大的正數;
$x\to-\infty$ : 取绝對值越来越大的负數.

函數在一点的極限

设函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某個去心邻域内有定義. 若当 $x$ 越来越接近 $x_0$ 时, $f(x)$ 稳定地靠近某個常數 $L$ , 就称 $L$ 為函數 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的極限，记作 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L.$

讀極限式先抓什么

$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ 里最關键的三层信息是:

谁在靠近：這里是 $x\to x_0$ ;
看的是哪里：看的是 $x_0$ 附近，也就是一個逼近過程;
靠向哪里：函數值 $f(x)$ 朝着 $L$ 變化.

這一节最需要反複分清的三件事

“ $x$ 趋近于 $a$ ”說的是過程;
“ $f(a)$ ”记錄的是点值;
“ $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ ”记錄的是附近趋势.

這三件事在很多題里会同时出現，書寫和判断时都要分開.

極限不存在的几种常见情形

雙边極限常见的失败方式有三類:

左边和右边靠向不同结果;
函數值在附近持續振荡，没有统一趋势;
函數值在附近越来越大或越来越小，没有靠向有限常數.

例題

比较極限與函數值

设

g(x)= \begin{cases} x+1, & x\ne 2, 5, & x=2. \end{cases}

求 $\lim\limits_{x\to 2}g(x)$ , 并比较它與 $g(2)$ .

解

当 $x\ne2$ 时，函數表达式就是 $g(x)=x+1$ . 因而 $\lim_{x\to2}g(x)=\lim_{x\to2}(x+1)=3.$ 另一方面, $g(2)=5.$ 所以這個函數在 $x=2$ 附近的趋势是靠向 $3$ , 点值却取成了 $5$ .

直接代入

计算 $\lim_{x\to2}(x^2-x+1).$

解

多項式在各点附近都保持稳定變化，這里直接代入即可: $\lim_{x\to2}(x^2-x+1)=2^2-2+1=3.$

不能直接代入的情形

计算 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}.$

解

直接代入得到 $\frac{2^2-4}{2-2}=\frac00.$ 這里的 $\frac00$ 說明当前寫法还没有把趋势露出来. 先因式分解: $x^2-4=(x-2)(x+2).$ 当 $x\ne2$ 时, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$ 因而 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} =\lim_{x\to2}(x+2)=4.$

通分與有理化

计算下列極限:

(1)\ \lim_{x\to1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right), (2)\ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}.

解

先看第 $(1)$ 題. 這里出現两個分式相减，先通分:

\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1} =\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{2}{x^2-1} =\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} =\frac{1}{x+1} (x\ne1).

所以

\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right)=\frac12.

再看第 $(2)$ 題. 分子是根式差，先做有理化: $\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} =\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} =\frac{1}{\sqrt{x+3}+2} (x\ne1).$ 因而 $\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\frac14.$

左極限與右極限

当研究点 $x_0$ 两侧的行為时，需要分别记錄:

從左侧靠近 $x_0$ 时的極限，记作 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$ ;
從右侧靠近 $x_0$ 时的極限，记作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$ .

雙边極限存在的条件

函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的雙边極限存在且等于 $L$ , 当且僅当 $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L, \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L.$ 左右两侧指向同一個结果时，雙边極限才存在.

左右極限

计算 $\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}.$

解

当 $x\>0$ 时, $|x|=x$ , 所以 $\frac{|x|}{x}=1.$ 当 $x\<0$ 时, $|x|=-x$ , 所以 $\frac{|x|}{x}=-1.$ 因而

\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1, \lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1.

左右两侧靠向不同结果，所以 $\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}$ 不存在.

分段函數

设

f(x)= \begin{cases} x+1, & x\<1, 4, & x=1, 2x, & x\>1. \end{cases}

求 $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to1}f(x)$ 和 $f(1)$ .

解

從左侧靠近 $1$ 时，用的是 $x+1$ , 所以 $\lim_{x\to1^-}f(x)=2.$ 從右侧靠近 $1$ 时，用的是 $2x$ , 所以 $\lim_{x\to1^+}f(x)=2.$ 左右结果相同，因而 $\lim_{x\to1}f(x)=2.$ 但点值来自中間那一行: $f(1)=4.$ 這個例子里，極限存在，点值也有定義，只是两者没有接到一起.

綜合例題

设

h(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\<1,\\[0.8em] a, & x=1,\\[0.8em] \dfrac{8(\sqrt{x+3}-2)}{x-1}, & x\>1. \end{cases}

求 $\lim\limits_{x\to1}h(x)$ , 并确定 $a$ 取何值时点值與極限接上.

解

左侧表达式要先因式分解: $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1 (x\ne1),$ 所以 $\lim_{x\to1^-}h(x)=2.$

右侧表达式要先有理化:

\frac{8(\sqrt{x+3}-2)}{x-1} =\frac{8}{\sqrt{x+3}+2} (x\ne1),

因而 $\lim_{x\to1^+}h(x)=\frac{8}{2+2}=2.$

左右極限相等，所以 $\lim_{x\to1}h(x)=2.$ 若要点值與極限接上，就應取 $a=2.$

一道一点極限題的基本路径

拿到題目后，建议按下面顺序判断:

先看趋近方式，判断是雙边、左边还是右边;
再看该点附近是否需要分段讨論;
能直接代入时先代入;
代入出現 $\frac00$ 时，观察该用因式分解、约分、通分还是有理化;
若左右结構不同，先分别算左極限和右極限;
最后把極限值和函數值分開寫.

把直观寫成更严格的語言

前面的學習重点是看懂極限、会做入门題. 若要把“越来越接近”寫成严格的數學条件，还需要邻域和 $\varepsilon$ - $\delta$ 語言.

邻域與去心邻域

以 $x_0$ 為中心、半径為 $\delta\>0$ 的開区間 $U(x_0,\delta)=\{x\mid |x-x_0|\<\delta\}$ 称為点 $x_0$ 的一個邻域.

去掉中心点后得到 $U^\circ(x_0,\delta)=\{x\mid 0\<|x-x_0|\<\delta\},$ 称為点 $x_0$ 的去心邻域.

為什么要用去心邻域

極限研究的是“附近趋势”，所以真正起作用的是去心邻域. 中心点被單独留出来，函數值和極限值也就自然分開了.

函數極限的 \texorpdfstring{$\varepsilon$-$\delta$}{epsilon-delta} 定義

设函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某個去心邻域内有定義. 若對于任意给定的 $\varepsilon\>0$ , 总存在 $\delta\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta$ 时，都有 $|f(x)-L|\<\varepsilon,$ 就称 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L.$

怎样讀這個定義

這一一定義的流程是先在函數值一侧提出精度要求 $\varepsilon$ ，再在自變量一侧找出足够小的活动范围 $\delta$ ，只要 $x$ 進入這個去心邻域，函數值就会進入 $L$ 附近的誤差带. 例如證明 $\lim_{x\to2}(x+1)=3$ 时，只需取 $\delta=\varepsilon$ , 因為 $|(x+1)-3|=|x-2|$ .

常见誤区

高频誤区

把“ $x\to a$ ”直接看成“ $x=a$ ”;
用函數值代替極限值;
左右都能算就直接寫雙边極限存在;
代入出現 $\frac00$ 后停在原地;
看圖像时只盯着点值，没有观察逼近方向.

本节習題

習題的使用顺序

做習題时，可按下面顺序進行:

先独立完成題目;
遇到困难时查看提示，先获得一個切入口;
完成后核對答案;
需要补全推理时再閱讀完整解答.

習題

基礎練習

\exercisesingle{ 设

f(x)= \begin{cases} x+2, & x\ne1, 0, & x=1. \end{cases}

求 $\lim\limits_{x\to1}f(x)$ 與 $f(1)$ . }

\exercisesingle{ 计算 $\lim_{x\to-2}(x^2+3x+1).$ }

練習

\exercisesingle{ 计算 $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.$ }

\exercisesingle{ 计算 $\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}.$ }

提升練習

\exercisesingle{ 计算 $\lim_{x\to2}\frac{|x-2|}{x-2}.$ }

\exercisesingle{ 设

g(x)= \begin{cases} 2x-1, & x\<2, 5, & x=2, x+1, & x\>2. \end{cases}

求 $\lim\limits_{x\to2^-}g(x)$ , $\lim\limits_{x\to2^+}g(x)$ , $\lim\limits_{x\to2}g(x)$ 和 $g(2)$ . }

綜合練習

\exercisesingle{ 设

p(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}, & x\<2,\\[0.8em] a, & x=2,\\[0.8em] \dfrac{16(\sqrt{x+2}-2)}{x-2}, & x\>2. \end{cases}

求 $\lim\limits_{x\to2}p(x)$ , 并确定 $a$ 的值，使点值與極限接上. }

\exercisesingle{ 研究函數 $q(x)=\sin\frac{1}{x-1}$ 在 $x\to1$ 时的極限是否存在. }

選做

\exercisesingle{ 對于给定的 $\varepsilon=0.2$ , 求一個具體的正數 $\delta$ , 使得当 $0\<|x-1|\<\delta$ 时，恒有 $|x^2-1|\<0.2.$ }

\exercisesingle{ 用 $\varepsilon$ - $\delta$ 定義證明 $\lim_{x\to c}(x+1)=c+1.$ }

小结

極限研究的是附近趋势. 讀題时先看趋近方式，再看函數在该点附近的结構.
極限值與函數值要分開. 点上有值、点上无值、極限存在、極限不存在，這些情形都能独立出現.
计算一点極限的入门路径很清楚：先代入，再按结構選择约分、因式分解、通分或有理化，必要时分左右.
左右極限一致，雙边極限才存在. 分段点、绝對值点、端点附近都要特别留意這一步.
连續会继續追問“極限值能否和函數值接上”；導數会進一步研究“平均變化率的極限是什么”. 所以極限是后續内容的共同起点.

極限的运算與常用工具

计算一個極限时，常见的問題是：能不能直接代入? 需不需要變形? 什么时候要分左右? 什么时候要夹逼? 常用做法可以整理成可操作的方法.

先认清題目，再選择方法

求極限时，可以先停一下，判断題目的结構.

下手前先做三步

先认清趋近方式：是 $x\to a$ , 还是 $x\to a^\pm$ , 还是 $x\to\pm\infty$ . 接着看函數在该点附近是否需要分段讨論. 然后選择直接代入、代數變形、夹逼或重要極限.

分析極限时通常先代入.

代入之后常见的三种结果

代入得到一個确定數：這时極限常常已經清楚;
代入得到 $\dfrac00$ : 這說明当前寫法把信息遮住了，下一步需要變形;
代入后左右结構明显不同：這时要先分左右讨論.

例

计算 $\lim_{x\to2}(x^2+3x).$

解

直接代入 $x=2$ , 得 $2^2+3\cdot2=10.$ 所以 $\lim_{x\to2}(x^2+3x)=10.$

多項式、根式、分式等常见函數里，很多題都可以從這一步起步. 后面學習连續时，我们会看到“為什么直接代入常常成立”的统一理由.

極限的四则运算法则

三角不等式

對任意实數 $a,b$ , 恒有 $|a+b|\le |a|+|b|.$

證明

對任意实數 $a,b$ , 有

\begin{aligned} |a+b|^2 &= (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 &\le a^2+2|a|\,|b|+b^2 = (|a|+|b|)^2. \end{aligned}

两边取算术平方根，即得 $|a+b|\le |a|+|b|$.

極限的四则运算法则

若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L, \lim_{x\to x_0}g(x)=M,$ 则有

$\lim_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=L\pm M;$
$\lim_{x\to x_0}[c\,f(x)]=cL;$
$\lim_{x\to x_0}[f(x)g(x)]=LM;$
若 $M\ne0$ , 则 $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac LM.$

證明

這些法则的共同思想是：已知各部分在靠近 $x_0$ 时都有确定極限，组合后的整體極限也可以由它们确定.

下面以和法则為例說明. 任给 $\varepsilon\>0$ . 由 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L, \lim_{x\to x_0}g(x)=M$ 可分别找到 $\delta_1,\delta_2\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta_1$ 时有 $|f(x)-L|\<\frac{\varepsilon}{2},$ 当 $0\<|x-x_0|\<\delta_2$ 时有 $|g(x)-M|\<\frac{\varepsilon}{2}.$ 取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\},$ 就得到

\begin{aligned} |[f(x)+g(x)]-(L+M)| &=|(f(x)-L)+(g(x)-M)| &\le |f(x)-L|+|g(x)-M| &\<\varepsilon. \end{aligned}

所以 $\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=L+M.$

差法则、常數倍法则、乘法法则和商法则可以按同样思路證明.

這些法则的作用

它们把複杂極限拆成簡單極限. 已知局部行為的若干部分，可以通過加、减、乘、除重新拼出整體行為.

代數變形

\BookSubsectionSubtitle{把遮住的信息露出来}

出現 $\dfrac00$ 时，極限題常常还没有走到结論，只是当前寫法暂时看不清趋势. 這时要做的事情是變形.

例

计算 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}.$

解

直接代入会得到 $\frac00.$ 這表示当前寫法还看不清趋势. 先因式分解: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 (x\ne2).$ 因而 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} =\lim_{x\to2}(x+2)=4.$

例

计算 $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.$

解

直接代入仍然得到 $\frac00.$ 這时可以用有理化:

\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}.

所以

\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac12.

備註

看到

\dfrac00

时先想什么

常见的變形方向有四類:

因式分解與约分;
通分;
分子分母有理化;
提取公因子，把主要结構显出来.

夹逼思想

有些函數本身不好直接算極限，但它始终被两個更簡單的函數夹在中間. 若两边都逼近同一個數，中間的函數也会跟着逼近這個數.

夹逼定理

若在点 $x_0$ 的某個去心邻域内有 $\phi(x)\le f(x)\le \psi(x),$ 且 $\lim_{x\to x_0}\phi(x)=\lim_{x\to x_0}\psi(x)=L,$ 则 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L.$

證明

任给 $\varepsilon\>0$ . 由 $\lim_{x\to x_0}\phi(x)=L$ , 存在 $\delta_1\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta_1$ 时有 $L-\varepsilon\<\phi(x)\<L+\varepsilon$ . 由 $\lim_{x\to x_0}\psi(x)=L$ , 存在 $\delta_2\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta_2$ 时有 $L-\varepsilon\<\psi(x)\<L+\varepsilon$ . 由定理条件，存在 $\delta_0\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta_0$ 时有 $\phi(x)\le f(x)\le\psi(x)$ .

取 $\delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}$. 当 $0\<|x-x_0|\<\delta$ 时，同时有 $L-\varepsilon\<\phi(x)\le f(x)\le\psi(x)\<L+\varepsilon$,
因此 $|f(x)-L|\<\varepsilon$. 所以 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$.

例

计算 $\lim_{x\to0}x\sin\frac1x.$

解

對任意实數 $u$ , 都有 $-1\le\sin u\le1.$ 所以当 $x\ne0$ 时, $-|x|\le x\sin\frac1x\le |x|.$ 又因為 $\lim_{x\to0}(-|x|)=0, \lim_{x\to0}|x|=0,$ 由夹逼定理可得 $\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0.$

什么时候想到夹逼

当函數里出現振荡項、绝對值項、三角函數有界項，或者式子明显落在两個簡單表达式之間时，夹逼往往是自然選择.

两個重要極限

前面的四则法则和夹逼定理能解决很多題，还有两個局部行為特别重要，需要單独记住.

两個重要極限

在弧度制下,

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e.

證明（第一個重要極限的證明）

先考虑 $0\<x\<\frac\pi2$ 的情形. 在單位圓中取圓心角 $x$ （弧度），對應的三角形、扇形和切線三角形的面積满足: $\frac12\sin x \< \frac12 x \< \frac12\tan x.$ 同除以 $\frac12\sin x\>0$ , 得 $1 \< \frac{x}{\sin x} \< \frac{1}{\cos x}.$ 取倒數并反转不等号: $\cos x \< \frac{\sin x}{x} \< 1.$ 当 $x\to0^+$ 时 $\cos x\to1$ , 夹逼定理给出 $\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1.$ 又因為 $\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}$ , 该函數是偶函數，左極限等于右極限. 因此 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

證明（第二個重要極限的證明）

先說明數列 $\left(1+\frac1n\right)^n$ 單调递增且有上界，因此極限存在，记為 $e$ .

對 $x\to0^+$ , 令 $t=\frac1x\to+\infty$ . 對任意 $t\>1$ , 取正整數 $n=\lfloor t\rfloor$ , 由 $n\le t\<n+1$ 可得

\left(1+\frac1{n+1}\right)^n \le \left(1+\frac1t\right)^t \le \left(1+\frac1n\right)^{n+1}.

当 $t\to+\infty$ 时，左端

\left(1+\frac1{n+1}\right)^n = \frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{1+\frac1{n+1}} \to \frac e1 = e,

右端

\left(1+\frac1n\right)^{n+1} = \left(1+\frac1n\right)^n\cdot\left(1+\frac1n\right) \to e\cdot1 = e.

由夹逼定理, $\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/x}=e$ .

對 $x\to0^-$ , 令 $x=-\frac1t$ , $t\to+\infty$ , 则

\begin{aligned} (1+x)^{1/x} &=\left(1-\frac1t\right)^{-t} =\left(\frac{t}{t-1}\right)^t =\left(1+\frac1{t-1}\right)^t &=\left(1+\frac1{t-1}\right)^{t-1}\cdot\left(1+\frac1{t-1}\right). \end{aligned}

当 $t\to+\infty$ 时, $\left(1+\frac1{t-1}\right)^{t-1}\to e$ , $\left(1+\frac1{t-1}\right)\to1$ , 故上式趋于 $e$ .

左右極限相等，因此 $\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$ .

它们為什么重要

$\displaystyle \frac{\sin x}{x}\to1$ 描述了角度很小时正弦函數的局部行為;
$\displaystyle (1+x)^{1/x}\to e$ 描述了“每次變化很小，次數很多”时的累積结果.

由第一個重要極限，可以推出

\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1, \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12.

由第二個重要極限，可以推出

\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1, \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

例

计算 $\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}.$

解

先變形:

\begin{aligned} \tan x-\sin x &=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x &=\sin x\left(\frac1{\cos x}-1\right) &=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}. \end{aligned}

所以

\frac{\tan x-\sin x}{x^3} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac1{\cos x}.

当 $x\to0$ 时, $\frac{\sin x}{x}\to1, \frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12, \frac1{\cos x}\to1.$ 因而

\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3} =1\cdot\frac12\cdot1=\frac12.

例

设 $a$ 為常數，计算 $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}.$

解

利用指數與對數改寫: $(1+x)^a=e^{a\ln(1+x)}.$ 于是

\frac{(1+x)^a-1}{x} = \frac{e^{a\ln(1+x)}-1}{a\ln(1+x)} \cdot a\cdot\frac{\ln(1+x)}{x}.

当 $x\to0$ 时，有 $a\ln(1+x)\to0$ , 所以 $\frac{e^{a\ln(1+x)}-1}{a\ln(1+x)}\to1.$ 又因為 $\frac{\ln(1+x)}{x}\to1,$ 所以 $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a.$

極限计算的檢查顺序

到這里，计算極限的常用方法已經够用了. 分析問題时，要先看结構，再選方法.

極限计算的檢查顺序

先认清趋近方式：是 $x\to a$ , 还是 $x\to a^\pm$ , 还是 $x\to\pm\infty$ . 代入能得到确定结果时，直接寫出極限；出現 $\dfrac00$ 时，尝试因式分解、约分、通分或分子分母有理化. 式子里有振荡項或明显的大小關係时，考虑夹逼. 结構靠近三角、指數、對數的標准形时，调用重要極限. 任何时候都把"極限存在吗"與"極限等于多少"分成两步.

一点附近與无穷远处

一点附近的極限關注局部趋近，无穷远处的極限關注圖像向远处延伸时的整體走向. 两者使用同一种極限记法，自變量的趋近方式不同.

本节習題

習題

練習

计算極限 $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-x^2-x-2

解

x^2-4

$. } { 计算極限 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt[3]{x}-1}$. }

練習

计算極限 $\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx})$ , 其中 $a,b$ 為常數.

解

计算極限 $\lim\limits_{x\to-\infty

\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$. }

練習

已知 $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2+ax+b

解

x-2

=5$, 求常數 $a,b$ 的值. } { 考虑函數

f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin(\pi x)}{x-1}, & x\ne1, k, & x=1. \end{cases}

若函數 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处连續，求常數 $k$ 的值.

}

練習

计算極限 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{|x-1|

解

x^2-1

$. } { 确定常數 $a,b$ 的值，使得 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=0$. }

練習

计算極限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(1+x)^a-1

解

$, 其中 $a$ 為任意实數. } { 计算極限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$. }

練習

求函數 $f(x)=\sqrt{x^2+3x}$ 的所有渐近線.

解

设函數 $f(x)$ 满足 $\lim\limits_{x\to0

\dfrac{f(x)}{x}=L$, 其中 $L$ 為非零常數. 求極限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x^2)}{\sin^2x}$. }

練習

设函數 $f(x)$ 定義為 $f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x^{2n-1}+ax

解

x^{2n

+1},$ 其中 $n$ 為正整數. 试确定常數 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 是一個连續函數. } { 證明：方程 $x^3-3x+1=0$ 在区間 $(0,1)$ 内至少存在一個实數根. }

无穷远处的極限與渐近現象

前面讨論的極限主要围绕 $x\to a$ 展開，它们描述的是某一点附近的局部行為. 極限还有另外两种常见的趋近方式: $x\to+\infty, x\to-\infty.$ 它们研究的是“向远处看”时函數会怎样變化. 圖像会不会逐渐贴近某条直線? 分式在 $x$ 很大时会不会稳定下来? 這些問題都属于无穷远处的極限.

把 \texorpdfstring{ $x\to\pm\infty$

{x->pm infinity} 理解成“向远处看”}

$x\to+\infty$ 與 $x\to-\infty$ 时的極限

若對任意 $\varepsilon\>0$ , 都存在 $M\>0$ , 使得当 $x\>M$ 时有 $|f(x)-L|\<\varepsilon,$ 就称 $L$ 為函數 $f(x)$ 当 $x\to+\infty$ 时的極限，记作 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L.$
若對任意 $\varepsilon\>0$ , 都存在 $M\>0$ , 使得当 $x\<-M$ 时有 $|f(x)-L|\<\varepsilon,$ 就称 $L$ 為函數 $f(x)$ 当 $x\to-\infty$ 时的極限，记作 $\lim_{x\to-\infty}f(x)=L.$

怎样理解“趋于无穷”

$x\to+\infty$ 表示 $x$ 取得越来越大的正數;
$x\to-\infty$ 表示 $x$ 取得绝對值越来越大的负數;
$\infty$ 在這里表示方向，讨論的重点仍然是函數的變化趋势.

一点附近的極限研究的是局部趋势，无穷远处的極限研究的是整體走向. 它们使用的是同一种思想：只看趋势，不看某一個孤立点.

水平渐近線

若函數在无穷远处稳定地贴近某個常數，圖像就会越来越贴近一条水平直線.

水平渐近線

若

\lim_{x\to+\infty}f(x)=L \text{或} \lim_{x\to-\infty}f(x)=L,

则直線 $y=L$ 称為函數圖像在相應方向上的水平渐近線.

定理

對任意常數 $c$ 和任意正數 $n\>0$ , 有 $\lim_{x\to+\infty}\frac{c}{x^n}=0.$

證明

任给 $\varepsilon\>0$ .

当 $c=0$ 时， $\frac{c}{x^n}\equiv 0$ , 结論成立.

当 $c\ne0$ 时，取 $M=\left(\frac{|c|}{\varepsilon}\right)^{1/n}.$ 若 $x\>M$ , 则 $x^n\>\frac{|c|}{\varepsilon},$ 從而 $\left|\frac{c}{x^n}\right|=\frac{|c|}{x^n}\<\varepsilon.$ 所以 $\lim_{x\to+\infty}\frac{c}{x^n}=0.$

同理，当 $n$ 為正整數时，也有 $\lim_{x\to-\infty}\frac{c}{x^n}=0.$

例

求 $\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-4x^2+5}{7x^3+3x-1}.$

解

分子、分母同除以最高次幂 $x^3$ :

\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-4x^2+5}{7x^3+3x-1} &=\lim_{x\to+\infty}\frac{2-\frac4x+\frac5{x^3}}{7+\frac3{x^2}-\frac1{x^3}} &=\frac{2-0+0}{7+0-0}=\frac27. \end{aligned}

所以函數圖像在 $x\to+\infty$ 的方向上越来越贴近直線 $y=\frac27.$

有理函數在远处的第一判断

對 $\frac{a_nx^n+\cdots+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_0},$ 先比较分子、分母的次數.

若 $n\<m$ , 極限常趋于 $0$ ;
若 $n=m$ , 極限常趋于最高次項係數之比 $\dfrac{a_n}{b_m}$ ;
若 $n\>m$ , 要继續研究主導項和渐近線.

无穷小、无穷大與倒數關係

无穷小

若某個函數 $\alpha(x)$ 在给定過程中满足 $\alpha(x)\to0,$ 就称 $\alpha(x)$ 在這個過程中是无穷小.

正无穷與负无穷

若對任意 $B\>0$ , 都能让自變量足够靠近目標点或足够远，從而保證 $f(x)\>B,$ 就称 $f(x)$ 在该過程中趋于正无穷, 记作 $f(x)\to+\infty$ .
若對任意 $B\>0$ , 都能保證 $f(x)\<-B,$ 就称 $f(x)$ 在该過程中趋于负无穷, 记作 $f(x)\to-\infty$ .

例如, $\frac1x,\ \frac1{x^2}$ 在 $x\to+\infty$ 时都是无穷小.

再看有限点附近的例子: $\frac1x\to+\infty (x\to0^+), \frac1x\to-\infty (x\to0^-).$ 這說明極限除了“趋向某個常數”，也可以表現為“函數值绝對值越来越大”.

倒數關係

设 $\phi(x)$ 在某個過程中最终不為 $0$ .

若 $\phi(x)\to+\infty$ 或 $\phi(x)\to-\infty$ , 则 $\dfrac1{\phi(x)}\to0$ .
若 $\phi(x)\to0$ 且最终保持正值，则 $\dfrac1{\phi(x)}\to+\infty$ .
若 $\phi(x)\to0$ 且最终保持负值，则 $\dfrac1{\phi(x)}\to-\infty$ .

證明

设 $\phi(x)\to+\infty$ . 任给 $\varepsilon\>0$ , 取 $M=\frac1\varepsilon$ . 由 $\phi(x)\to+\infty$ , 存在某個时刻之后 $\phi(x)\>M$ , 從而

\left|\frac1{\phi(x)}\right|=\frac1{\phi(x)}\<\frac1M=\varepsilon.

因此 $\frac1{\phi(x)}\to0$. $\phi(x)\to-\infty$ 的情形同理，此时 $\left|\frac1{\phi(x)}\right|=\frac1{|\phi(x)|}\<\varepsilon$.

2. 设 $\phi(x)\to0$ 且最终保持正值. 任给 $B\>0$ , 取 $\varepsilon=\frac1B$ . 由 $\phi(x)\to0$ 且最终為正，存在某個时刻之后 $0\<\phi(x)\<\varepsilon$ , 從而 $\frac1{\phi(x)}\>\frac1\varepsilon=B.$ 因此 $\frac1{\phi(x)}\to+\infty$ . 3. 设 $\phi(x)\to0$ 且最终保持负值. 同理，存在某個时刻之后 $-\varepsilon\<\phi(x)\<0$ , 從而 $\frac1{\phi(x)}\<-\frac1\varepsilon=-B.$ 因此 $\frac1{\phi(x)}\to-\infty$ .

符号信息很重要

当分母靠近 $0$ 时，倒數会冲向 $+\infty$ 还是 $-\infty$ , 取决于它最终保持正值还是负值. 研究无穷大極限时，常常要先看符号.

垂直渐近線

若函數在某個有限点附近的函數值绝對值越来越大，圖像就会在该点附近沿着一条竖直方向急速上升或下降.

垂直渐近線

若

\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \text{或} \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty,

则直線 $x=a$ 称為函數圖像的一条垂直渐近線.

例

研究函數 $f(x)=\frac1{x-2}$ 在 $x=2$ 附近的行為.

解

当 $x\to2^+$ 时, $x-2$ 是接近 $0$ 的正數，所以 $\frac1{x-2}\to+\infty.$ 当 $x\to2^-$ 时, $x-2$ 是接近 $0$ 的负數，所以 $\frac1{x-2}\to-\infty.$ 因而直線 $x=2$ 是圖像的一条垂直渐近線.

斜渐近線與抓最高次項

当函數在无穷远处越来越像一条斜直線时，我们用斜渐近線来描述.

斜渐近線

若存在常數 $m,b$ , 使得 $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(mx+b)]=0,$ 则直線 $y=mx+b$ 称為函數圖像在相應方向上的斜渐近線.

处理多項式或分式在无穷远处的極限时，最常用的原则是：最高次項决定主要行為. 当 $x$ 很大时，低次項的影响会迅速减弱.

例

求函數 $f(x)=\sqrt{x^2+3x}$ 在 $x\to+\infty$ 时的斜渐近線.

解

先求斜率: $m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x} =\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac3x}=1.$ 再求截距:

\begin{aligned} b &=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x) &=\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+3x}-x\bigr) &=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} &=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}=\frac32. \end{aligned}

所以在 $x\to+\infty$ 时，圖像有斜渐近線 $y=x+\frac32.$

“抓最高次項”怎样操作

對有理函數，常用同除以最高次幂的方法;
對根式，常把根号内提出最高次幂，或者配合有理化;
對複杂表达式，先找主導增长的部分，再看其余部分的影响是否趋于 $0$ .

比较增长速度

“抓最高次項”是在比较不同函數的增长速度. 在 $x\to+\infty$ 时，常见函數的快慢次序可以直接用于判断主導項.

同階、高階、低階

设当 $x\to+\infty$ 时, $f(x)\to+\infty$ 且 $g(x)\to+\infty$ .

若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=c\ne0,$ 就称 $f(x)$ 與 $g(x)$ 同階;
若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty,$ 就称 $f(x)$ 比 $g(x)$ 高階;
若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0,$ 就称 $f(x)$ 比 $g(x)$ 低階.

常见增长顺序

当 $x\to+\infty$ 时，常见函數的增长顺序可以记成 $\ln x\ll x^\alpha\ll a^x (a\>1,\ \alpha\>0).$ 這表示對數增长最慢，幂函數居中，指數函數增长最快.

例

求 $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-100x^{10}+\ln x}{2e^x+500x^2}.$

解

分子與分母中增长最快的部分都是 $e^x$ . 同除以 $e^x$ :

\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-100x^{10}+\ln x}{2e^x+500x^2} &=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-100\dfrac{x^{10}}{e^x}+\dfrac{\ln x}{e^x}}{2+500\dfrac{x^2}{e^x}} &=\frac{1-0+0}{2+0}=\frac12. \end{aligned}

分析无穷远極限的檢查顺序

分析无穷远極限时的思考顺序

先判断目標類型：常數極限、无穷大極限或渐近線問題. 有理函數比较次數后，决定是否同除以最高次幂. 根式先提主導項，必要时做有理化. 分母趋于 $0$ 时，先看符号，再判断趋向 $+\infty$ 还是 $-\infty$ . 得到極限结果后，再對應到圖像中的水平渐近線、垂直渐近線或斜渐近線.

几類常见函數在远处和边界处的行為

幂函數 $y=x^n$ .

$ 的增长對比} \end{figure} *圖：幂函數 $y=x^n$ 與 $y=x^{-n*

当 $n$ 為正整數时, $|x|$ 越大, $|x^n|$ 通常越大;
当 $n$ 為负整數时, $x^n=\dfrac1{x^{-n}}$ , 圖像会向 $x$ 轴贴近.

指數函數 $y=a^x$ .

当 $a\>1$ 时，圖像向右快速上升，向左贴近 $x$ 轴;
当 $0\<a\<1$ 时，圖像向右贴近 $x$ 轴，向左快速上升.

對數函數 $y=\log_a x$ .

当 $a\>1$ 时，圖像向右缓慢上升，在 $x\to0^+$ 时向下發散;
当 $0\<a\<1$ 时，圖像向右缓慢下降，在 $x\to0^+$ 时向上發散.

三角函數 $y=\sin x,\ y=\cos x$ .

*圖：三角函數 $y=\sin x$ 的振荡行為*

当 $x\to+\infty$ 时, $\sin x$ 和 $\cos x$ 会一直在 $[-1,1]$ 内振荡. 它们保持有界，趋势却不会稳定到某個常數，所以相關極限不存在.

本节習題

習題

練習

分析函數 $f(x)=\dfrac{3x+5

解

x^2+x+1

$ 在 $x\to\pm\infty$ 处的渐近行為，并绘制其函數圖像的示意圖. } { 分析函數 $f(x)=\dfrac{2x^2-3x}{x^2-1}$ 的渐近線，包括水平與垂直渐近線，并绘制其函數圖像的示意圖. }

練習

分析函數 $f(x)=\sqrt{x^2+6x}-x$ 在 $x\to+\infty$ 时的極限，阐述其几何意義并绘制示意圖.

解

分析函數 $f(x)=\sqrt{x^2+6x

+x$ 在 $x\to-\infty$ 时的極限，阐述其几何意義并绘制示意圖. }

練習

分析函數 $f(x)=\dfrac{x^3

解

(x-1)^2

$ 的渐近線，并绘制其函數圖像的示意圖. } { 分析函數 $f(x)=\dfrac{x^2+\cos x}{2x^2-\sin x}$ 的水平渐近線，并绘制其示意圖. }

練習

分析函數 $f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}

解

e^x+e^{-x

}$ 在 $x\to+\infty$ 與 $x\to-\infty$ 处的極限，绘制示意圖以展示其两条不同的水平渐近線. } { 分析函數 $f(x)=\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$ 的水平渐近線，并绘制其示意圖. }

練習

分析函數 $f(x)=x(e^{1/x}-1)$ 的水平渐近線，并绘制其示意圖.

解

分析函數 $f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^{2x

$ 的水平渐近線，并绘制其示意圖. }

練習

分析函數 $f(x)=x+\arctan x$ 的渐近行為. 阐述该函數為何有两条不同的斜渐近線并求出其方程，随后绘制示意圖. （請先了解反三角函數，此題可跳過）

解

求函數 $f(x)=\sqrt{4x^2+x

$ 的所有斜渐近線，并绘制其示意圖. }

練習

确定常數 $a,b$ 的值，使得 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2+bx}-(ax-1)\right)=3$ , 并說明 $a,b$ 的取值依据.

解

考虑函數 $f(x)=\lim\limits_{n\to\infty

\dfrac{x^{2n+1}+2x}{x^{2n}+1},$ 其中 $n$ 為正整數. 請分段寫出 $f(x)$ 的解析式，分析其間断点，并绘制其函數圖像的示意圖. }

函數的连續性

極限回答的是“靠近某点时函數值趋向哪里”，连續比较這個趋向和该点的函數值. 连續是從極限自然长出来的概念.

连續從哪里长出来

研究函數时，我们已經有了两层信息:

極限记錄点附近的變化趋势;
函數值记錄该点本身的取值.

若這两层信息一致，圖像在该点附近就呈現出连贯状态，這就是连續的直观来源.

若接不上，常见原因有四類:

点上没有函數值;
点上有函數值，但這個值和附近趋势錯開了;
左右两侧靠近同一点时走向不同高度;
附近一直振荡或發散，没有形成稳定趋势.

连續性给出了区分這些情形的精确標准.

函數在一点连續的定義

函數在一点的连續性

设函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 及其某個邻域内有定義. 若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$ 就称函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连續.

這個式子很短，含義却分成三层.

连續的三条条件

函數在 $x_0$ 处连續，需要同时满足:

$f(x_0)$ 有定義;
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在;
$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

把三条条件逐条拆開

這三条条件分别對應连續性的不同侧面.

每一条都在保證什么

第一条保證“点上有落点”. 若 $f(x_0)$ 没有定義，圖像在该点就缺少對應点.
第二条保證“靠近时有确定去向”. 若極限不存在，左右錯位、振荡或發散都会破坏连續性.
第三条保證“極限值和点值重合”. 若極限值與函數值不同，圖像会在该点出現錯位.

例

判断函數

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne1, 3, & x=1 \end{cases}

在 $x=1$ 处是否连續.

解

先檢查点值. 由題意, $f(1)=3.$ 接着计算極限. 当 $x\ne1$ 时, $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,$ 所以 $\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2.$ 比较極限值與函數值: $\lim_{x\to1}f(x)=2\ne3=f(1).$ 点上有定義，極限也存在，但两者不相等. 因而函數在 $x=1$ 处不连續.

连續性要拆開逐項檢查

判断连續时，要把這三条条件拆開逐項檢查. 缺少任何一条，连續性都不能成立. 例如函數

g(x)= \begin{cases} x+1, & x\ne0, 2, & x=0 \end{cases}

在 $x=0$ 处满足前两条（有定義且極限存在），但 $\lim\limits_{x\to0}g(x)=1\ne2=g(0)$ , 第三条不满足，所以不连續.

直观圖像與严格判断

连續的圖像直观很清楚：曲線走到该点附近时，極限值和点值一致. 圖像直观很有帮助，但判断时仍要回到定義.

*圖：连續與几种典型間断情形*

圖像直观和數學定義的分工

圖像可以帮助我们形成判断，也能帮助發現問題. 严格结論仍然来自 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$ 圖像给出方向，定義给出標准.

四類常见的不连續情形

學習连續时，只知道“满足条件叫连續”还不够. 分析問題时，常常是先判断它属于哪一种断開的情形.

四類常见情形

点上无定義: 例如 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处. 極限存在，点上缺少函數值.
左右極限不相等: 例如 $\frac{|x|}{x}$ 在 $x=0$ 处. 左右两侧分别趋向 $-1$ 和 $1$ .
極限不存在: 例如 $\sin\frac1x$ 在 $x=0$ 附近持續振荡，極限不存在；例如 $\frac1x$ 当 $x\to0^+$ 时趋向 $+\infty$ , 当 $x\to0^-$ 时趋向 $-\infty$ , 因而 $x\to0$ 的雙边極限不存在.
極限存在但不等于函數值: 例如前面的分段函數

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne1, 3, & x=1 \end{cases}

在 $x=1$ 处.

這四類情形里，第一類和第四類都和“函數值”有關，第二類和第三類主要看“極限”本身. 所以判断连續时，需要把点值和極限拆開檢查.

连續與光滑是两回事

圖像接得上，說明函數连續. 圖像有没有尖角，属于另一层性質.

例

證明函數 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连續.

解

当 $x\to0$ 时, $|x|\to0.$ 又因為 $f(0)=|0|=0,$ 所以 $\lim_{x\to0}|x|=f(0).$ 因而 $|x|$ 在 $0$ 点连續.

它的圖像在原点有尖角. 這說明“连續”和“光滑”是两件事. 下一章學習導數时，我们会進一步研究這种区别.

單侧连續與区間上的连續

在分段点和定義域端点处，常常只需要從一侧观察.

左连續與右连續

设函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定義.

若 $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0),$ 就称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连續;
若 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0),$ 就称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连續.

区間上的连續

若函數在開区間 $(a,b)$ 的每一点都连續，就称它在 $(a,b)$ 上连續;
若函數在 $(a,b)$ 上连續，并且在左端点 $a$ 处右连續，在右端点 $b$ 处左连續，就称它在闭区間 $[a,b]$ 上连續.

连續函數的运算稳定性

连續函數的运算规则

设 $f(x)$ 與 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处连續，则:

$f(x)\pm g(x)$ 在 $x_0$ 处连續;
$f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处连續;
若 $g(x_0)\ne0$ , 则 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 处连續;
若 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连續，且 $F(u)$ 在 $u=g(x_0)$ 处连續，则複合函數 $F(g(x))$ 在 $x_0$ 处连續.

證明

由连續性定義,

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0), \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0).

再利用極限的四则运算法则和複合函數的極限思想，可得 $\lim_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=f(x_0)\pm g(x_0),$ $\lim_{x\to x_0}[f(x)g(x)]=f(x_0)g(x_0),$ 以及

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x_0)}{g(x_0)} \bigl(g(x_0)\ne0\bigr).

複合情形同理.

這個结論為什么重要

连續性具有稳定性. 常见函數只要經過有限次四则运算和複合，通常仍然连續. 這就是很多極限題可以直接代入的根本原因.

连續與直接代入法

對于在点 $x_0$ 连續的函數，定義本身就告诉我们 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$ 這就是“直接代入法”的理論基礎.

例

计算 $\lim_{x\to2}\left(\sqrt{x+2}+\frac1{x^2+1}\right).$

解

函數 $\sqrt{x+2}$ 在 $x=2$ 附近连續，函數 $\frac1{x^2+1}$ 在全體实數上连續，所以它们的和也在 $x=2$ 处连續. 于是可以直接代入: $\lim_{x\to2}\left(\sqrt{x+2}+\frac1{x^2+1}\right) =\sqrt4+\frac15 =\frac{11}{5}.$

分段函數與端点問題

分段函數的大部分点都在某一段的内部，判断起来和普通函數一样. 需要集中檢查的是分界点和定義域端点.

分段函數在分界点处连續的条件

设

f(x)= \begin{cases} f_1(x), & x\<x_0, c, & x=x_0, f_2(x), & x\>x_0. \end{cases}

则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连續，当且僅当 $\lim_{x\to x_0^-}f_1(x)=\lim_{x\to x_0^+}f_2(x)=c.$

證明

$(\Rightarrow)$ : 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连續，则 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=c.$ 雙边極限存在意味着左右極限都存在且等于 $c$ . 当 $x\<x_0$ 时, $f(x)=f_1(x)$ , 所以 $\lim_{x\to x_0^-}f_1(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=c.$ 同理，当 $x\>x_0$ 时, $f(x)=f_2(x)$ , 所以 $\lim_{x\to x_0^+}f_2(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=c.$

$(\Leftarrow)$ : 设 $\lim_{x\to x_0^-}f_1(x)=\lim_{x\to x_0^+}f_2(x)=c.$ 则左極限和右極限都等于 $c$ , 雙边極限存在: $\lim_{x\to x_0}f(x)=c.$ 又因為 $f(x_0)=c$ , 所以 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$ 即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连續.

例

若函數

f(x)= \begin{cases} x^2+ax+1, & x\<1, 2x+b, & x\ge1 \end{cases}

在 $x=1$ 处连續，求 $a,b$ 满足的關係.

解

连續要求左極限、右極限和函數值接到一起.

左侧極限為 $\lim_{x\to1^-}f(x)=1+a+1=a+2.$ 因為 $x\ge1$ 时取第二段，所以 $f(1)=2+b, \lim_{x\to1^+}f(x)=2+b.$ 连續条件就是 $a+2=2+b.$ 因而 $a=b.$

判断连續性的檢查顺序

判断连續性时，先檢查该点是否有定義，再判断该点極限是否存在. 分段函數或端点問題要优先檢查左右極限或單侧極限. 極限存在后，再比较極限值與函數值是否相等.

誤区與反例

學習连續时最常见的几处誤解

有函數值就說明连續：点上有值只解决第一条条件，还要看極限.
極限存在就一定连續：连續还要求点上有定義，并且極限值等于函數值.
圖像看起来连着就算严格證明：圖像能帮助判断，结論来自定義.
分段函數的分界点不用單独看：分界点和端点正是最需要單独檢查的位置.
左右都能算就够了：左右结果还必须相等，才能谈雙边極限和连續性.

连續性的作用

连續性已經把"圖像接續"變成了可判断的數學条件. 它在后續内容中的作用至少有三個方向:

介值定理和零点存在定理依赖连續性来保證中間高度和方程根的存在;
闭区間上连續函數的最值定理保證最大值和最小值一定能取到;
導數的定義涉及極限 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ , 這一步要求 $f$ 在 $x_0$ 附近有良好的局部行為，连續性是基本前提.

连續性在圖像與方程中的作用

连續性一旦建立起来，它的作用立刻会超出“某点接得上”這一件事. 连續会约束圖像怎样连接，也会影响某個高度能否取到、曲線在哪一段必定穿過 $x$ 轴、一個方程在某個区間里是否存在解.

连續把零散信息连成一条線

离散的点值只能告诉我们几個孤立位置. 连續性把這些零散信息连接成一整段變化過程. 正是因為圖像在中間不能突然断開、跳過某些高度，我们才能得到介值定理和零点存在定理.

中間高度一定会經過

若函數在闭区間上连續，圖像從一個端点走向另一個端点时，两端高度之間的每個高度都会出現. 這就是介值定理.

介值定理

设函數 $f(x)$ 在闭区間 $[a,b]$ 上连續. 若 $M$ 介于 $f(a)$ 與 $f(b)$ 之間，则存在 $\xi\in(a,b)$ , 使得 $f(\xi)=M.$

證明

设 $f(a)\<M\<f(b).$ 另一种大小次序同理.

令 $S=\{x\in[a,b]\mid f(x)\le M\}.$ 由 $f(a)\<M$ 可知 $a\in S$ , 所以 $S$ 非空. 又因為 $S\subseteq[a,b]$ , 它有上界. 由实數完備性, $S$ 有上确界. 记 $\xi=\sup S.$

先說明 $\xi\in(a,b)$ . 由 $f(a)\<M$ 和 $f$ 在 $a$ 处连續，存在 $\delta_1\>0$ 使得 $[a,a+\delta_1)\subset S$ , 因而 $\xi\>a$ . 由 $f(b)\>M$ 和 $f$ 在 $b$ 处连續，存在 $\delta_2\>0$ 使得 $(b-\delta_2,b]\cap S=\varnothing$ , 因而 $\xi\<b$ .

再說明 $f(\xi)=M$ . 若 $f(\xi)\>M$ , 由连續性存在 $\delta\>0$ , 使 $|x-\xi|\<\delta$ 时 $f(x)\>M$ , 從而 $\xi-\delta$ 是 $S$ 的上界，與 $\xi=\sup S$ 矛盾. 若 $f(\xi)\<M$ , 由连續性存在 $\delta\>0$ , 使 $|x-\xi|\<\delta$ 时 $f(x)\<M$ , 從而存在 $x_0\>\xi$ 满足 $x_0\in S$ , 與 $\xi$ 是上界矛盾. 因此 $f(\xi)=M.$

例

设函數 $f(x)$ 在区間 $[1,3]$ 上连續，且 $f(1)=2, f(3)=5.$ 說明圖像一定與直線 $y=4$ 相交.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

數 $4$ 介于 $f(1)=2$ 與 $f(3)=5$ 之間. 由介值定理可知，存在 $\xi\in(1,3),$ 使得 $f(\xi)=4.$ 這就說明函數圖像一定與直線 $y=4$ 相交.

圖像語言

一段连續曲線從一個高度走到另一個高度时，中間高度都会經過. 這条规则能帮助我们排除很多錯誤草圖. 例如，若已知连續函數 $f$ 满足 $f(1)=2$ 和 $f(5)=-3$ , 那么圖像在区間 $(1,5)$ 内至少穿過 $x$ 轴一次；如果草圖中這段曲線始终在 $x$ 轴上方，這张圖就是錯的.

端点异号意味着一定穿過 \texorpdfstring{ $x$

{x} 轴}

在介值定理里取 $M=0,$ 就得到零点存在定理.

零点存在定理

若函數 $f(x)$ 在闭区間 $[a,b]$ 上连續，且 $f(a)f(b)\<0,$ 则存在 $\xi\in(a,b)$ , 使得 $f(\xi)=0.$

證明

由 $f(a)f(b)\<0$ 可知 $f(a)$ 與 $f(b)$ 异号. 不妨设 $f(a)\<0\<f(b)$ （另一种情况同理）.

由介值定理, $M=0$ 介于 $f(a)$ 與 $f(b)$ 之間，因而存在 $\xi\in(a,b)$ , 使得 $f(\xi)=0.$

例

證明函數 $f(x)=x^3-2x-5$ 的圖像與 $x$ 轴有交点.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

多項式函數在实數范围内连續，所以 $f(x)$ 在区間 $[2,3]$ 上连續.

计算端点值: $f(2)=8-4-5=-1\<0, f(3)=27-6-5=16\>0.$ 因而 $f(2)f(3)\<0.$ 由零点存在定理可知，存在 $\xi\in(2,3),$ 使得 $f(\xi)=0.$ 所以函數圖像在区間 $(2,3)$ 内與 $x$ 轴相交.

這個定理提供什么信息

這個定理保證存在性. 根的精确個數、近似位置和唯一性，还需要结合單调性、對称性或導數继續判断.

连續性怎样帮助补草圖

很多題目只给出几個關键点和值的正负關係. 连續性可以把這些离散信息连起来.

例

设 $f(x)=x^3-4x+1.$ 利用连續性說明它在区間 $[0,2]$ 内與 $x$ 轴的交点位置.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

因為 $f(x)$ 是多項式函數，所以它在 $[0,2]$ 上连續.

先看几個關键点: $f(0)=1\>0, f(1)=-2\<0, f(2)=1\>0.$ 由 $f(0)f(1)\<0,$ 可知在区間 $(0,1)$ 内至少有一個零点.

由 $f(1)f(2)\<0,$ 可知在区間 $(1,2)$ 内至少有一個零点.

所以這段连續圖像至少要在 $(0,1)$ 内穿過一次 $x$ 轴，还要在 $(1,2)$ 内再穿過一次. 單靠连續性，我们已經能把圖像的大致位置压缩到很小的范围内.

连續性和單调性合用时，根的個數更清楚

连續性负责說明“会相交”，單调性负责說明“相交几次”. 這两類信息放在一起时，结論会更强.

例

證明函數 $f(x)=x^3+x-1$ 的圖像與 $x$ 轴恰有一個交点.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

先看存在性. 因為 $f(x)$ 是多項式函數，所以在 $\mathbb R$ 上连續. 又有 $f(0)=-1\<0, f(1)=1\>0,$ 所以它在 $(0,1)$ 内至少有一個零点.

再看個數. 任取 $x_1\<x_2$ , 则

\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1) &=(x_2^3+x_2-1)-(x_1^3+x_1-1) &=(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+1). \end{aligned}

這里 $x_2-x_1\>0, x_1^2+x_1x_2+x_2^2+1\>0,$ 所以 $f(x_2)-f(x_1)\>0.$ 這說明 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上严格递增.

严格递增函數與 $x$ 轴至多有一個交点. 结合前面的存在性结論，可知它與 $x$ 轴恰有一個交点.

極限與连續的结構回顾

極限與连續的基本结構已經成形:

極限负责刻画逼近過程，它關心的是趋势;
左右極限和不同趋近方式决定了極限是否存在;
连續把極限值和函數值连接起来，它關心的是接續;
连續性進一步控制圖像怎样连接、方程根是否存在、某個高度能否取到.

這些判断会继續用于下面几類問題:

導數用極限来定義瞬时變化率;
積分会把“无限分割、逐步逼近”的思想推進到面積和累積量;
數列極限会把極限語言從函數推廣到离散變化過程;
后續的函數研究也会一直依赖连續性和極限.

極限刻画逼近趋势，连續性连接極限值與函數值. “趋近方式—極限存在性—函數值—连續性”這条線索延伸到導數、積分和數列極限.

從点值到附近趋势​

數轴為什么需要“没有空隙”​

從 \texorpdfstring{$\sqrt{2​

“中間有很多点”和“边界有落点”是两回事​

上界與上确界​

有理數係里的缺口​

实數係的完備性​

極限​

研究“靠近时”会發生什么​

極限的入口問題​

前置知识​

為什么需要極限​

先建立直观​

例題​

把直观寫成更严格的語言​

常见誤区​

本节習題​

基礎練習​

練習​

提升練習​

綜合練習​

選做​

極限的运算與常用工具​

先认清題目，再選择方法​

極限的四则运算法则​

代數變形​

夹逼思想​

两個重要極限​

極限计算的檢查顺序​

本节習題​

无穷远处的極限與渐近現象​

把 \texorpdfstring{​

水平渐近線​

无穷小、无穷大與倒數關係​

垂直渐近線​

斜渐近線與抓最高次項​

比较增长速度​

分析无穷远極限的檢查顺序​

几類常见函數在远处和边界处的行為​

本节習題​

函數的连續性​

连續從哪里长出来​

函數在一点连續的定義​

把三条条件逐条拆開​

直观圖像與严格判断​

四類常见的不连續情形​

连續與光滑是两回事​

單侧连續與区間上的连續​

连續函數的运算稳定性​

连續與直接代入法​

分段函數與端点問題​

誤区與反例​

连續性在圖像與方程中的作用​

连續把零散信息连成一条線​

中間高度一定会經過​

端点异号意味着一定穿過 \texorpdfstring{​

连續性怎样帮助补草圖​

连續性和單调性合用时，根的個數更清楚​

極限與连續的结構回顾​

留言

從点值到附近趋势

數轴為什么需要“没有空隙”

從 \texorpdfstring{$\sqrt{2

“中間有很多点”和“边界有落点”是两回事

上界與上确界

有理數係里的缺口

实數係的完備性

極限

研究“靠近时”会發生什么

極限的入口問題

前置知识

為什么需要極限

先建立直观

例題

把直观寫成更严格的語言

常见誤区

本节習題

基礎練習

練習

提升練習

綜合練習

選做

極限的运算與常用工具

先认清題目，再選择方法

極限的四则运算法则

代數變形

夹逼思想

两個重要極限

極限计算的檢查顺序

本节習題

无穷远处的極限與渐近現象

把 \texorpdfstring{ $x\to\pm\infty$

水平渐近線

无穷小、无穷大與倒數關係

垂直渐近線

斜渐近線與抓最高次項

比较增长速度

分析无穷远極限的檢查顺序

几類常见函數在远处和边界处的行為

本节習題

函數的连續性

连續從哪里长出来

函數在一点连續的定義

把三条条件逐条拆開

直观圖像與严格判断

四類常见的不连續情形

连續與光滑是两回事

單侧连續與区間上的连續

连續函數的运算稳定性

连續與直接代入法

分段函數與端点問題

誤区與反例

连續性在圖像與方程中的作用

连續把零散信息连成一条線

中間高度一定会經過

端点异号意味着一定穿過 \texorpdfstring{ $x$

连續性怎样帮助补草圖

连續性和單调性合用时，根的個數更清楚

極限與连續的结構回顾