ch03-函數

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\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：從出租车计价看函數的對應關係

函數是現代數學的中心概念之一，它為變量之間的依赖關係提供了形式化的語言. 本章的目標是係统地建立函數的理論. 我们将從其作為一种特殊映射的严格定義出發，進而研究其核心性質——單调性、奇偶性、周期性等. 随后，我们将分析几類基本初等函數，它们是構造與分析更複杂函數的基礎. 最后，我们将探讨函數的圖像變換，并将函數模型應用于解决实际問題.

函數的概念

{/* label: sec:ch03-s01 */}

數學中，映射 (mapping) 是一個普适的概念，它描述了從一個集合 $A$ 到另一個集合 $B$ 的元素間的對應法则. 函數是這類關係中最為重要的一种特例, 其特殊之处在于集合 $A$ 和 $B$ 的元素均為數.

函數的定義

函數

设 $A, B$ 為两個非空的实數子集. 一個從 $A$ 到 $B$ 的函數 (function) $f$ , 是一個為 $A$ 中每一個元素 $x$ , 都在 $B$ 中指派唯一确定的一個元素 $y$ 的法则.

此函數可记作 $f: A \to B$ ，其對應關係通常寫作：

y = f(x), x \in A

我们称 $x$ 為自變量, $y$ 為因變量, 集合 $A$ 為函數的定義域, 集合 $B$ 為陪域.

一個函數由三部分構成：定義域 $A$ 、陪域 $B$ 和對應法则 $f$ . 定義直接蕴含了两条核心约束，這两条约束继承自映射的定義：

穷尽性：法则 $f$ 必须對定義域 $A$ 中的所有元素都有效.
唯一性：對于 $A$ 中给定的任意元素 $x$ , 其在 $B$ 中對應的元素 $y$ 必须是唯一的. 這意味着一個输入不能产生多個输出.

值得强调的是，定義并不禁止多個不同的输入 $x_1, x_2$ 對應同一個输出 $y_0$ (即 $f(x_1)=f(x_2)=y_0$ 的情况).

在记号 $y=f(x)$ 中, 必须精确区分 $f$ 和 $f(x)$ . $f$ 指代整個函數（即法则本身）, 而 $f(x)$ 是一個具體的數值, 它是在法则 $f$ 作用下, 與自變量 $x$ 對應的值.

陪域與值域的辨析

陪域和值域是两個相關但不同的概念.

陪域 $B$ 是函數定義时預先指定的目標集合，它包含了所有可能的输出值.
值域 $f(A)$ 是所有实际输出值的集合，由定義域和對應法则完全确定. 其严谨定義為：

f(A) = \{y \mid y=f(x), x \in A\}

值域始终是陪域的一個子集，即 $f(A) \subseteq B$.

例如，對于函數 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , 其法则為 $f(x) = x^2$ . 此函數的陪域是 $\mathbb{R}$ , 但其值域是 $[0, +\infty)$ .

将研究對象限定于數集，極大地拓展了可用的分析工具. 首先，我们可以對函數表达式進行代數运算，例如構造两個函數的和 $h(x) = f(x) + g(x)$ . 其次, 也是更根本的, 我们可以利用笛卡尔坐標係, 将函數與平面几何對象關联起来. 函數 $f$ 的圖像 $\mathcal{G}_f$ 被定義為点集：

\mathcal{G}_f = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y=f(x), x \in A \}

這种代數與几何的联係，使得我们可以通過几何直观来研究函數的抽象性質.

函數的三要素

在分析函數时，我们的注意力通常集中在三個核心要素上：定義域、對應法则和值域.

定義域 指定了函數的合法输入集合. 任何關于函數的讨論都必须以其定義域為前提，此即“定義域优先”原则. 定義域记作 $\operatorname{D}(f)$ 或 $\operatorname{dom}(f)$ . 若一個函數僅由解析式给出而未明确指定定義域, 则其定義域约定為使该解析式在实數范围内有意義的所有 $x$ 的集合，称為自然定義域.

對應法则 描述了输入與输出之間的具體關係. 它最常由解析式给出，如 $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ . 圖像與表格也是表示對應法则的有效形式.

值域是所有函數值構成的集合. 它并非函數的初始構成部分，而是由定義域和對應法则完全决定的派生集合. 探求一個函數的值域，是理解其行為的核心任务之一，也是數學中一類重要且富有技巧性的問題.

定義域

{/* label: sec:ch03-s02 */}

函數的自然定義域 (natural domain)，是指使该函數的解析式在实數域 $\mathbb{R}$ 内有意義的全體自變量 $x$ 構成的集合. 求解此集合通常归结為建立并求解一個或多個由函數代數结構决定的约束条件（通常是不等式或方程）.

基本代數结構的约束

以下是構成函數解析式的基本代數结構所引入的典型约束条件：

**分式 $\frac{f(x)**{g(x)}$ }：分母不為零, 即 $g(x) \neq 0$ . 這是因為除以零在实數域中没有定義.
**偶次根式 $\sqrt[2n]{f(x)**$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )}：被開方數非负, 即 $f(x) \ge 0$ . 這是因為在实數域中, 任何數的偶次幂均為非负數.
對數 $\log_a f(x)$ ：真數大于零, 即 $f(x) \> 0$ . 此约束源于對數的定義. 對數 $\log_a N$ 是指數方程 $a^y = N$ ( $a\>0, a\neq 1$ ) 的解 $y$ . 由于指數函數 $a^y$ 的值域是 $(0, +\infty)$ , 真數 $N$ 必须為正.
零次幂 $[f(x)]^0$ ：底數不為零, 即 $f(x) \neq 0$ . 這是基于指數运算法则 $a^m / a^m = a^{m-m} = a^0$ 建立的, 其中除法运算要求 $a \neq 0$ . 表达式 $0^0$ 在標准分析中是未定式.

实际問題中的隐性定義域

当函數模型源于实际問題时, 其定義域除受上述代數结構约束外, 还必须符合問題本身的物理或逻辑意義. 例如, 代表时間、长度或數量的變量通常被限制為非负數. 這些隐性条件是模型有效性的前提.

例

求函數 $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x-4}$ 的定義域.

解

该函數的定義域由两個代數约束确定. 其一, 偶次根式 $\sqrt{x-2}$ 的被開方數必须非负. 其二, 分母 $x-4$ 不得為零. 這两個条件共同構成了一個不等式體係:

\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x-4 \neq 0 \end{cases}

该體係的解為 $x \ge 2$ 且 $x \neq 4$ .

因此, 函數的定義域為 $[2, 4) \cup (4, +\infty)$ .

例

求函數 $y = \sqrt{9-x^2} + \log_{2}(x+1)$ 的定義域.

解

函數的定義域是使其所有组成部分均有意義的自變量 $x$ 的集合.

對于根式項 $\sqrt{9-x^2}$ , 被開方數必须非负, 即 $9-x^2 \ge 0$ , 解得 $-3 \le x \le 3$ .

對于對數項 $\log_{2}(x+1)$ , 真數必须為正, 即 $x+1 \> 0$ , 解得 $x \> -1$ .

函數的定義域是這两個解集的交集. 联立不等式组:

\begin{cases} -3 \le x \le 3 \\ x \> -1 \end{cases}

其解集為 $(-1, 3]$ . 因此, 函數的定義域為 $(-1, 3]$ .

例

求函數 $f(x) = \frac{(x^2-4)^0}{\sqrt{x+1}-2}$ 的定義域.

解

要确定此函數的定義域, 必须满足三個条件.

首先, 零次幂的底數 $x^2-4$ 不為零, 這意味着 $x \neq 2$ 且 $x \neq -2$ .

其次, 分母 $\sqrt{x+1}-2$ 不為零, 即 $\sqrt{x+1} \neq 2$ , 两边平方得 $x+1 \neq 4$ , 故 $x \neq 3$ .

最后, 分母中的根式要求被開方數 $x+1$ 非负, 即 $x \ge -1$ .

綜合這三個条件, 自變量 $x$ 必须在区間 $[-1, +\infty)$ 内, 且不等于 $2$ 和 $3$ . 注意到 $x \ge -1$ 已自动排除了 $x=-2$ 的情况.

因此, 定義域為 $[-1, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$ .

例

求函數 $f(x) = \sqrt{\log_{0.5}\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)}$ 的定義域.

解

此為複合函數, 其定義域的约束条件需由外向内逐层分析. 最外层的根式结構要求其被開方數非负:

\log_{0.5}\left(\frac{2x-1}{x+2}\right) \ge 0

由于對數底數 $0.5 \in (0,1)$ , 對數函數 $\log_{0.5} t$ 是严格單调递减的. 同时, 根据對數函數的性質, $\log_{0.5} 1 = 0$ . 因此, 上述不等式等价于其真數满足:

0 \< \frac{2x-1}{x+2} \le 1

此分式不等式组可分解為两個不等式:

\begin{aligned} \frac{2x-1}{x+2} &\> 0 {/* label: eq:def-ex4-1 */} \frac{2x-1}{x+2} &\le 1 {/* label: eq:def-ex4-2 */} \end{aligned}

對于不等式 \eqref{eq:def-ex4-1}, 其解集為 $(-\infty, -2) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$ . 對于不等式 \eqref{eq:def-ex4-2}, 移項通分得 $\frac{x-3}{x+2} \le 0$ , 其解集為 $(-2, 3]$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

函數的定義域是這两個解集的交集, 即 $((-\infty, -2) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)) \cap (-2, 3]$ .

因此, 定義域為 $(\frac{1}{2}, 3]$ .

例

已知函數 $f(x)$ 的定義域為 $[-1, 4]$ . 求函數 $g(x) = \frac{f(2x-1)}{\sqrt{x}}$ 的定義域.

解

函數 $f$ 的定義域為 $[-1,4]$ , 這意味着 $f$ 的有效输入值必须属于该区間.

對于函數 $g(x)=\frac{f(2x-1)}{\sqrt{x}}$ , 其自變量 $x$ 必须同时满足以下两個条件.

第一, $f$ 的输入量 $2x-1$ 必须在其定義域内:

-1 \le 2x-1 \le 4

解此不等式得 $0 \le x \le \frac{5}{2}$ .

第二, 表达式 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 要求分母不為零且根号内非负, 即 $x\>0$ .

联立這两個条件, $x$ 的取值范围是区間 $[0, \frac{5}{2}]$ 與 $(0, +\infty)$ 的交集.

因此, 函數 $g(x)$ 的定義域為 $(0, \frac{5}{2}]$ .

單调性

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函數的基本性質之一是其值的變化趋势.單调性是對函數值随自變量有序變化這一趋势的精确刻画.它将函數圖像“上升”或“下降”的几何直观，转化為严格的代數語言，并揭示了函數如何保持或反转其定義域上的序结構.對單调性的分析是比较函數值、求解不等式以及探求函數極值的理論基礎.

單调性的定義與判定策略

單调函數

设函數 $y=f(x)$ 的定義域為 $D$ , 区間 $I \subseteq D$ .

若對于 $I$ 内任意 $x_1, x_2$ , 当 $x_1 \< x_2$ 时, 恒有 $f(x_1) \< f(x_2)$ , 则称 $f(x)$ 在 $I$ 上严格單调递增.
若對于 $I$ 内任意 $x_1, x_2$ , 当 $x_1 \< x_2$ 时, 恒有 $f(x_1) \> f(x_2)$ , 则称 $f(x)$ 在 $I$ 上严格單调递减.

若将上述定義中的严格不等号 $\<$ 和 $\>$ 分别替換為 $\le$ 和 $\ge$ , 则得到單调递增 (或称非减) 和單调递减 (或称非增) 的定義.严格單调函數與單调函數统称為單调函數.

從代數的观点看, 严格單调递增的函數是保序的, 而严格單调递减的函數是逆序的.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：單调性的几何直观

判定一個函數單调性的任务, 本質上是證明一個全称量词命題.其一般性策略如下：首先, 理解目標. 目標是證明一個形如 “ $\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \< x_2 \implies f(x_1) \< f(x_2)$ ” (以严格递增為例) 的命題. 核心問題是如何比较任意两個函數值 $f(x_1)$ 與 $f(x_2)$ 的大小.

其次, 拟定方案. 比较大小的基本途径有两种. 其一是代數途径, 即直接考察差 $f(x_1) - f(x_2)$ 的符号, 或在函數值恒正时考察商 $\frac{f(x_1)}{f(x_2)}$ 與 $1$ 的關係. 此即定義法. 其二是分析途径, 即利用導數工具. 若函數可導, 其單调性與導函數的符号有直接联係, 此即導數法.

最后, 执行與回顾. 执行方案, 完成代數或微積分的推導. 随后回顾論證過程, 识别出使問題得以解决的關键步骤（例如, 某個特定的因式分解技巧, 或導函數零点的确定）, 這有助于将方法内化為解决一類問題的通用能力.

單调性的判定方法

定義法

此方法是單调性定義的直接應用, 其核心在于通過代數變形判断函數值之差的符号. 其逻辑步骤為:

在指定区間 $I$ 内, 任取 $x_1, x_2$ , 并设 $x_1 \< x_2$ .
構造差式 $f(x_1) - f(x_2)$ .
對差式進行恒等變形, 目標是将其化為若干符号易于判定的因式的乘積或商.
依据区間 $I$ 的约束条件判定差式的最终符号, 從而确定 $f(x_1)$ 與 $f(x_2)$ 的大小關係.

例

證明函數 $g(x) = x + \frac{1}{x}$ 在区間 $(0, 1]$ 上严格單调递减, 在 $[1, +\infty)$ 上严格單调递增.

解

设 $x_1, x_2$ 為函數定義域内两点且 $x_1 \< x_2$ . 我们已在上一节的分析中将差式變形為:

g(x_1) - g(x_2) = \frac{(x_1 - x_2)(x_1 x_2 - 1)}{x_1 x_2}

由于 $x_1 \< x_2$ , 因子 $(x_1 - x_2)$ 恒為负. 差式的符号取决于因子 $(x_1 x_2 - 1)$ 和分母 $x_1 x_2$ .

若 $x_1, x_2 \in [1, +\infty)$ 且 $1 \le x_1 \< x_2$ , 则分母 $x_1 x_2 \> 0$ , 且 $x_1 x_2 \> 1$ , 故因子 $(x_1 x_2 - 1) \> 0$ . 差式的符号為 $\frac{(-)(+)}{(+)} = (-)$ , 即 $g(x_1) \< g(x_2)$ . 因此, $g(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上严格單调递增.

若 $x_1, x_2 \in (0, 1]$ 且 $0 \< x_1 \< x_2 \le 1$ , 则分母 $x_1 x_2 \> 0$ , 且 $0 \< x_1 x_2 \< 1$ , 故因子 $(x_1 x_2 - 1) \< 0$ . 差式的符号為 $\frac{(-)(-)}{(+)} = (+)$ , 即 $g(x_1) \> g(x_2)$ . 因此, $g(x)$ 在 $(0, 1]$ 上严格單调递减.

單调区間的表述

單调性是定義在單一区間上的性質.例如, 函數 $f(x)=1/x$ 在 $(-\infty, 0)$ 上严格單调递减, 在 $(0, +\infty)$ 上也严格單调递减.但是, 不能断言 $f(x)$ 在其定義域的并集 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ 上是單调递减的.

為證此言, 只需一個反例：取 $x_1=-1, x_2=1$ .显然 $x_1 \< x_2$ , 但 $f(x_1)=-1 \< f(x_2)=1$ , 這不满足單调递减的定義.因此, 陈述函數的單调区間时, 必须分别列出, 如用"和"或逗号连接, 而非使用并集符号.

導數法

對于可導函數, 其單调性與其導函數的符号密切相關.

導數與單调性的關係

设函數 $y=f(x)$ 在区間 $I$ 上可導.

若在 $I$ 的内部恒有 $f'(x) \> 0$ , 则 $f(x)$ 在 $I$ 上單调递增.
若在 $I$ 的内部恒有 $f'(x) \< 0$ , 则 $f(x)$ 在 $I$ 上單调递减.

此定理将判定單调性的問題转化為求解不等式.導函數的零点是划分單调区間的關键点.

例

求函數 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$ 的單调区間.

解

函數 $f(x)$ 的定義域為 $\mathbb{R}$ .其導函數為 $f'(x) = x^2 - 2x - 3$ . 令 $f'(x)=0$ , 即 $x^2 - 2x - 3 = 0$ , 解得 $x=-1$ 或 $x=3$ . 這两個根将实數轴划分為三個区間: $(-\infty, -1)$ , $(-1, 3)$ , $(3, +\infty)$ .

当 $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ 时, $f'(x)\>0$ . 当 $x \in (-1, 3)$ 时, $f'(x)\<0$ .

由于函數 $f(x)$ 在 $x=-1$ 和 $x=3$ 处连續, 我们可以将單调区間擴展至闭区間.因此, 函數 $f(x)$ 的單调递增区間是 $(-\infty, -1]$ 和 $[3, +\infty)$ , 單调递减区間是 $[-1, 3]$ .

複合函數的單调性

複合函數 $y=f(g(x))$ 的單调性由其内层函數 $u=g(x)$ 和外层函數 $y=f(u)$ 的單调性共同决定, 其规律可概括為“同增异减”.

複合函數單调性

设複合函數 $y=f(g(x))$ 在区間 $I$ 上有定義.若 $u=g(x)$ 在 $I$ 上單调, 且 $y=f(u)$ 在對應的区間 $g(I)$ 上單调, 则:

若 $f(u)$ 與 $g(x)$ 的單调性相同 (同為增或同為减), 则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上單调递增.
若 $f(u)$ 與 $g(x)$ 的單调性相异 (一增一减), 则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上單调递减.

證明

设 $x_1, x_2 \in I$ 且 $x_1 \< x_2$ .令 $u_1 = g(x_1), u_2 = g(x_2)$ .

若 $g$ 和 $f$ 均單调递增, 则 $x_1 \< x_2 \implies u_1 \< u_2 \implies f(u_1) \< f(u_2)$ .複合函數递增.

若 $g$ 和 $f$ 均單调递减, 则 $x_1 \< x_2 \implies u_1 \> u_2 \implies f(u_1) \< f(u_2)$ .複合函數递增.

若 $g$ 递增而 $f$ 递减, 则 $x_1 \< x_2 \implies u_1 \< u_2 \implies f(u_1) \> f(u_2)$ .複合函數递减.

最后一种情况（ $g$ 递减, $f$ 递增）的證明是類似的.

例

求函數 $y = \log_{0.5}(x^2-2x-3)$ 的單调区間.

解

首先, 函數的定義域由 $x^2-2x-3 \> 0$ 确定, 解得 $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ .

我们将函數分解為: 外层函數 $y=f(u)=\log_{0.5} u$ 和内层函數 $u=g(x)=x^2-2x-3$ .

外层函數 $f(u)$ 因底數 $0.5 \in (0,1)$ 在其定義域 $(0, \infty)$ 上严格單调递减.

内层函數 $g(x)$ 是開口向上的二次函數, 對称轴為 $x=1$ .在其定義域的子区間 $(-\infty, -1)$ 上, $g(x)$ 严格單调递减; 在 $(3, +\infty)$ 上, $g(x)$ 严格單调递增.

在区間 $(-\infty, -1)$ 上, $g(x)$ 递减, $f(u)$ 递减.根据定理, 單调性相同, 故複合函數單调递增.

在区間 $(3, +\infty)$ 上, $g(x)$ 递增, $f(u)$ 递减.根据定理, 單调性相异, 故複合函數單调递减.

因此, 函數的單调递增区間是 $(-\infty, -1)$ , 單调递减区間是 $(3, +\infty)$ .

奇偶性

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對称是蕴藏于宇宙與數學深处最本質的美學原则之一. 從雪花的六重對称到物理學中的守恒定律，對称性无处不在.

在函數的世界里，圖像的對称性同样是其内在结構與性質的直观體現. 我们需要一套精准的代數語言来刻画這种几何上的對称，這便是奇偶性理論的出發点.

定義

我们首先關注两种最基本、最重要的對称形式：關于 $y$ 轴的轴對称與關于原点的中心對称.

奇偶性

设函數 $f(x)$ 的定義域 $D$ 是一個關于原点對称的數集 (即, 若 $x \in D$ , 则必有 $-x \in D$ ).

如果對于任意 $x \in D$ , 恒有 $f(-x) = f(x)$ , 则称 $f(x)$ 為偶函數. 其圖像關于 $y$ 轴對称.
如果對于任意 $x \in D$ , 恒有 $f(-x) = -f(x)$ , 则称 $f(x)$ 為奇函數. 其圖像關于原点中心對称.

此定義包含两個不可分割的部分. 首先，定義域的對称性是讨論奇偶性的逻辑前提，它保證了当 $x$ 在定義域内取值时, 其相反數 $-x$ 同样有意義, 從而使得 $f(-x)$ 的考察成為可能. 其次, 代數恒等式 $f(-x)=\pm f(x)$ 是奇偶性的本質判据, 它必须對定義域内的每一個 $x$ 都成立.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：偶函數與奇函數的几何直观

例

(1) 下列函數在定義域上是偶函數的是 ( )

\item[A.] $f(x)=\frac{x^2+x}{x+1}$ \item[B.] $f(x)=x\sin x$ \item[C.] $f(x)=\log_2(\sqrt{x^2+1}-x)$ \item[D.] $f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x+2|-2}$

(2) 已知定義在 $\mathbb{R}$ 上的函數 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=xf(y)+yf(x)$ . 定義在 $\mathbb{R}$ 上的函數 $g(x)$ 满足 $g(x+1)=(x+1)(x^2+2x)$ , 则 ( )

\item[A.] $f(x)$ 不是奇函數 \item[B.] $f(x)$ 既是奇函數也是偶函數 \item[C.] $g(x)$ 是奇函數 \item[D.] $g(x)$ 既不是奇函數也不是偶函數

證明

(1) 我们需要逐一檢验每個選項的奇偶性. 值得注意的是，在判断奇偶性之前，我们务必首先确定函數的定義域是否關于原点對称.

\item[A.] $f(x)=\frac{x^2+x}{x+1}$ . 其定義域為 $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \}$ , 显然不關于原点對称. 因此, $f(x)$ 不可能是偶函數. \item[B.] $f(x)=x\sin x$ . 其定義域為 $\mathbb{R}$ , 關于原点對称. 考察 $f(-x)=(-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = f(x)$ . 因此, $f(x)$ 是偶函數. \item[C.] $f(x)=\log_2(\sqrt{x^2+1}-x)$ . 在之前的例題中我们已經證明了 $g(x) = \sqrt{x^2+1}+x$ 是一個奇函數, 并且它的定義域為 $\mathbb{R}$ . 注意到 $\sqrt{x^2+1}-x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ . 所以 $f(x) = \log_2(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}) = -\log_2(\sqrt{x^2+1}+x)$ . 因此 $f(x)$ 是奇函數，而非偶函數. \item[D.] $f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x+2|-2}$ . 其定義域需要满足 $1-x^2 \ge 0$ 且 $|x+2|-2 \neq 0$ . 由 $1-x^2 \ge 0$ 解得 $-1 \le x \le 1$ . 由 $|x+2|-2 \neq 0$ 解得 $x \neq 0$ 且 $x \neq -4$ . 綜上, 其定義域為 $[-1, 0) \cup (0, 1]$ , 關于原点對称. 考察 $f(-x)=\frac{\sqrt{1-(-x)^2}}{|-x+2|-2} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{|2-x|-2}$ . 显然, 一般情况下 $f(x) \neq f(-x)$ , 故 $f(x)$ 不是偶函數.

綜上所述, 只有 B 選項是偶函數.

(2) 這個問題需要我们從函數方程中提取信息.

對于 $f(x)$ , 我们注意到 $f(x+y)=xf(y)+yf(x)$ 對任意 $x, y \in \mathbb{R}$ 成立. 這是一個非常强的条件. 為了探究 $f(x)$ 的奇偶性, 我们需要考察 $f(-x)$ 與 $f(x)$ 的關係. 這启發我们選取特殊的 $x, y$ 值, 使得等式中出現 $f(-x)$ 項.

一個自然的想法是令 $x=0$ , 则 $f(0+y) = 0\cdot f(y) + y\cdot f(0)$ . 這意味着 $f(y) = yf(0)$ . 換句话說, $f(x)$ 是一個正比例函數, 其形式為 $f(x) = kx$ , 其中 $k=f(0)$ 是一個常數.

那么 $k$ 的值是多少呢? 我们将 $f(x)=kx$ 代入原方程 $f(x+y)=xf(y)+yf(x)$ .

k(x+y) = x(ky) + y(kx) \implies kx+ky = 2kxy

為了让這個等式對任意 $x,y$ 都成立, 唯一的可能是 $k=0$ . 因此, $f(x) \equiv 0$ (恒等于零). 這是一個特殊的函數, 它既是奇函數又是偶函數.

接下来分析 $g(x)$ . 我们已知 $g(x+1)=(x+1)(x^2+2x)$ . 我们的目標是判断 $g(x)$ 的奇偶性. 這需要我们考察 $g(-x)$ 與 $g(x)$ 的關係.

一個直接的想法是设法求出 $g(x)$ 的表达式. 我们可以令 $t=x+1$ , 则 $x=t-1$ . 于是

\begin{aligned} g(t) &= t((t-1)^2+2(t-1)) = t(t^2-2t+1+2t-2) &= t(t^2-1) = t^3-t \end{aligned}

因此, $g(x)=x^3-x$ . 于是 $g(-x)=(-x)^3-(-x) = -x^3+x = -(x^3-x) = -g(x)$ . 故 $g(x)$ 是一個奇函數.

綜上，正确選項是 B 和 C.

函數的奇偶分解定理

奇偶性似乎只是部分特殊函數的属性. 一個自然而深刻的問題是：一個定義在對称区間上的任意函數，是否能與奇偶函數建立某种联係？答案是肯定的，并且揭示了一個优美的结構性事实.

奇偶分解定理

任何一個定義在對称区間 $D$ 上的函數 $f(x)$ , 都可以唯一地表示為一個偶函數 $f_e(x)$ 與一個奇函數 $f_o(x)$ 的和，即

f(x) = f_e(x) + f_o(x)

其中，

f_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \text{且} f_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}

證明

我们首先構造性地證明存在性，再論證其唯一性.

不妨设 $f(x)$ 可以分解為 $f(x) = f_e(x) + f_o(x)$ , 其中 $f_e(x)$ 為偶函數, $f_o(x)$ 為奇函數. 将 $x$ 替換為 $-x$ ，我们得到

f(-x) = f_e(-x) + f_o(-x) = f_e(x) - f_o(x)

現在我们得到了一個關于 $f_e(x)$ 和 $f_o(x)$ 的線性方程组：

\begin{aligned} f_e(x) + f_o(x) &= f(x) f_e(x) - f_o(x) &= f(-x) \end{aligned}

两式相加除以 2，得到 $f_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ . 两式相减除以 2，得到 $f_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ . 這表明如果分解存在，则其形式必是如此.

接下来，我们只需验證這样構造出的 $f_e(x)$ 和 $f_o(x)$ 确实分别是偶函數和奇函數. 對于 $f_e(x)$ ，我们考察

f_e(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = f_e(x)

故 $f_e(x)$ 是偶函數. 對于 $f_o(x)$ ，我们考察

f_o(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = - \frac{f(x) - f(-x)}{2} = -f_o(x)

故 $f_o(x)$ 是奇函數. 并且, 它们的和 $f_e(x)+f_o(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = f(x)$ , 恰好还原為 $f(x)$ .

至此，我们不僅證明了分解的存在性，其推導過程本身也蕴含了唯一性. 任何满足条件的分解必须满足该線性方程组，而该方程组有唯一的解. 證毕.

這個定理的意義是重大的. 它告诉我们，奇函數集合與偶函數集合并非两個孤立的群體，而是共同構成了一個更廣阔的函數空間的“基石”. 任何定義在對称域上的函數都可以被投影到這两個“正交”的子空間中.

例

将函數 $f(x)=e^x$ 分解為一個偶函數與一個奇函數之和.

證明

函數 $f(x)=e^x$ 的定義域為 $\mathbb{R}$ ，是關于原点對称的. 根据奇偶分解定理，其偶部為

f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} = \frac{e^x+e^{-x}}{2}

其奇部為

f_o(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} = \frac{e^x-e^{-x}}{2}

這两個函數在高等數學中極為重要，它们分别被称為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數，记作 $\cosh x$ 和 $\sinh x$ . 于是, 我们得到了指數函數的一個深刻分解： $e^x = \cosh x + \sinh x$ .

运算封闭性與對称推廣

我们已經定義了奇函數與偶函數，它们是满足特定對称性的函數類. 一個自然的問題是，這些對称性在函數的基本代數运算（加法與乘法）下，会如何保持或改變？探索這一問題，将揭示奇偶性背后深刻的代數结構.

不妨设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两個定義在同一個對称区間 $D$ 上的函數.

首先考虑加法. 令 $h(x) = f(x) + g(x)$ . 我们来探究 $h(x)$ 的奇偶性. 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均為偶函數, 那么根据定義, 有 $f(-x)=f(x)$ 和 $g(-x)=g(x)$ . 于是，

h(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = h(x)

這表明，两個偶函數的和仍然是一個偶函數. 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均為奇函數, 那么 $f(-x)=-f(x)$ 和 $g(-x)=-g(x)$ . 于是，

h(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x)+g(x)) = -h(x)

這表明，两個奇函數的和仍然是一個奇函數.

接下来，我们以同样的方式探究乘法. 令 $p(x) = f(x)g(x)$ . 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均為偶函數，则

p(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = p(x)

乘積是偶函數. 若 $f(x)$ 是偶函數而 $g(x)$ 是奇函數，则

p(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)(-g(x)) = -f(x)g(x) = -p(x)

乘積是奇函數. 一個最值得關注的情形是，当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均為奇函數时：

p(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) = p(x)

這是一個非常重要的结果：两個奇函數的乘積是一個偶函數.

這些运算法则與整數的符号法则惊人地相似. 如果我们将“偶函數”看作“正号”或“+1”，将“奇函數”看作“负号”或“-1”，那么函數的乘法规则就完全對應于符号的乘法：

\begin{aligned} \text{偶} \times \text{偶} \to \text{偶} & \longleftrightarrow (+1) \times (+1) = +1 \text{偶} \times \text{奇} \to \text{奇} & \longleftrightarrow (+1) \times (-1) = -1 \text{奇} \times \text{奇} \to \text{偶} & \longleftrightarrow (-1) \times (-1) = +1 \end{aligned}

這個類比不僅是记忆的技巧，更暗示了奇偶性是一种具有二元结構的性質.

运算封闭性與對称推廣

不妨设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两個定義在同一個對称区間 $D$ 上的函數.

首先考虑加法. 令 $h(x) = f(x) + g(x)$ . 我们来探究 $h(x)$ 的奇偶性. 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均為偶函數, 那么根据定義, 有 $f(-x)=f(x)$ 和 $g(-x)=g(x)$ . 于是，

h(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = h(x)

這表明，两個偶函數的和仍然是一個偶函數. 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均為奇函數, 那么 $f(-x)=-f(x)$ 和 $g(-x)=-g(x)$ . 于是，

h(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x)+g(x)) = -h(x)

這表明，两個奇函數的和仍然是一個奇函數.

接下来，我们以同样的方式探究乘法. 令 $p(x) = f(x)g(x)$ . 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均為偶函數，则

p(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = p(x)

乘積是偶函數. 若 $f(x)$ 是偶函數而 $g(x)$ 是奇函數，则

p(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)(-g(x)) = -f(x)g(x) = -p(x)

乘積是奇函數. 一個最值得關注的情形是，当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均為奇函數时：

p(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) = p(x)

這是一個非常重要的结果：两個奇函數的乘積是一個偶函數.

\begin{aligned} \text{偶} \times \text{偶} \to \text{偶} & \longleftrightarrow (+1) \times (+1) = +1 \text{偶} \times \text{奇} \to \text{奇} & \longleftrightarrow (+1) \times (-1) = -1 \text{奇} \times \text{奇} \to \text{偶} & \longleftrightarrow (-1) \times (-1) = +1 \end{aligned}

這個類比不僅是记忆的技巧，更暗示了奇偶性是一种具有二元结構的性質.

對称性的推廣

函數關于 $y$ 轴和原点的對称性, 本質上是關于直線 $x=0$ 和点 $(0,0)$ 的對称. 這一概念可以被自然地推廣到任意的對称轴和對称中心.

\begin{description} \item[關于直線 $x=a$ 對称] 若函數 $f(x)$ 的圖像關于直線 $x=a$ 對称, 這意味着對于數轴上任意一對關于点 $a$ 對称的点 $a-t$ 和 $a+t$ ，它们所對應的函數值必须相等. 也就是說，

f(a-t) = f(a+t)

這個關係式對于所有使得 $a \pm t$ 在定義域内的 $t$ 都成立. 為了得到一個更通用的關于變量 $x$ 的表达式, 我们可以進行變量代換. 令 $x = a-t$ , 则 $t=a-x$ . 于是, 等式右边的自變量變為 $a+t = a+(a-x) = 2a-x$ . 代入上式，我们便得到其等价的代數判据：

f(x) = f(2a-x)

\item[關于点 $(a,b)$ 對称] 若函數 $f(x)$ 的圖像關于点 $(a,b)$ 中心對称, 這意味着對于任意一對自變量 $a-t$ 和 $a+t$ , 它们對應的函數值 $f(a-t)$ 和 $f(a+t)$ 的算术平均值必须恰好是 $b$ . 換言之, 点 $(a,b)$ 是连接点 $(a-t, f(a-t))$ 與 $(a+t, f(a+t))$ 的線段的中点. 這给出了關係：

\frac{f(a-t) + f(a+t)}{2} = b

整理得到 $f(a-t)+f(a+t) = 2b$ . 同样地, 為了得到關于 $x$ 的表达式, 令 $x=a-t$ , 则 $a+t=2a-x$ . 代入后得到等价的代數判据：

f(x) + f(2a-x) = 2b

\end{description} 不难發現，標准的奇偶性正是這些廣義對称性的特例. 当對称轴為 $x=0$ ( $a=0$ ) 时, $f(x)=f(-x)$ , 這正是偶函數的定義. 当對称中心為 $(0,0)$ ( $a=0, b=0$ ) 时, $f(x)+f(-x)=0$ , 即 $f(-x)=-f(x)$ ，這正是奇函數的定義.

\paragraph{一個更具操作性的判别方法} 在处理具體的函數方程以判定對称性时，我们往往面對形如 $f(x+a)=f(-x+b)$ 的表达式. 直接套用 $f(x)=f(2a-x)$ 的形式可能不便. 然而, 我们注意到一個深刻的共性：在 $f(x)=f(2a-x)$ 中, 两個自變量 $x$ 和 $2a-x$ 的和是一個常數 $2a$ . 這一观察為我们提供了识别對称性的一個更為直接和强大的工具.

對称性的统一判据

设函數 $f(x)$ 满足某個函數方程.

轴對称: 若该方程可化為 $f(X_1)=f(X_2)$ 的形式, 且自變量之和 $X_1+X_2=k$ (常數), 则函數 $f(x)$ 的圖像關于直線 $x=\frac{k}{2}$ 對称.
点對称: 若该方程可化為 $f(X_1)+f(X_2)=k$ (常數) 的形式, 且自變量之和 $X_1+X_2=K$ (常數), 则函數 $f(x)$ 的圖像關于点 $\left(\frac{K}{2}, \frac{k}{2}\right)$ 中心對称.

證明

對于 $f(X_1)=f(X_2)$ 且 $X_1+X_2=k$ , 令 $a=k/2$ . 我们可以设 $X_1=a+t$ . 那么 $X_2=k-X_1 = 2a-(a+t)=a-t$ . 于是原方程化為 $f(a+t)=f(a-t)$ , 這正是函數關于 $x=a$ 對称的定義式.
對于 $f(X_1)+f(X_2)=k$ 且 $X_1+X_2=K$ , 令 $a=K/2, b=k/2$ . 同样设 $X_1=a+t$ , 则 $X_2=K-X_1=2a-(a+t)=a-t$ . 于是原方程化為 $f(a+t)+f(a-t)=2b$ , 這正是函數關于点 $(a,b)$ 對称的定義式.

這個定理将複杂的函數方程與直观的几何對称性联係起来，其核心在于檢验“自變量之和是否為常數”.

推論

我们現在可以迅速判定一些常见形式的對称性.

若 $f(x+a)=f(-x+b)$ , 自變量之和為 $(x+a)+(-x+b)=a+b$ . 故對称轴為 $x=\frac{a+b}{2}$ . 当 $b=0$ 时, $f(x+a)=f(-x)$ , 對称轴為 $x=a/2$ .
若 $f(x+a)+f(-x+b)=c$ , 自變量之和為 $a+b$ , 函數值之和為 $c$ . 故對称中心為 $\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right)$ . 特别地, 若 $f(x+a)=-f(-x)$ , 则 $f(x+a)+f(-x)=0$ , 自變量之和為 $a$ , 函數值之和為 $0$ , 故對称中心為 $(\frac{a}{2}, 0)$ .

例

设函數 $f(x)$ 定義在 $\mathbb{R}$ 上. 已知 $f(x-1)$ 是一個偶函數, 而 $f(x+1)$ 是一個奇函數. 试證明 $f(x)$ 是一個周期函數.

證明

本題的实質是利用廣義對称性推導周期性. 我们首先将題设条件翻译為 $f(x)$ 本身的對称性.

设 $g(x) = f(x-1)$ . 題设 $g(x)$ 為偶函數, 即 $g(x)=g(-x)$ . 代入定義, 得 $f(x-1) = f(-x-1)$ . 這是一個 $f(X_1)=f(X_2)$ 的形式. 自變量之和為 $(x-1)+(-x-1)=-2$ . 根据上述定理, $f(x)$ 的圖像關于直線 $x=\frac{-2}{2}=-1$ 對称.

设 $h(x) = f(x+1)$ . 題设 $h(x)$ 為奇函數, 即 $h(x)=-h(-x)$ . 代入定義, 得 $f(x+1) = -f(-x+1)$ , 即 $f(x+1)+f(-x+1)=0$ . 這是一個 $f(X_1)+f(X_2)=k$ 的形式. 自變量之和為 $(x+1)+(-x+1)=2$ , 函數值之和為 $0$ . 因此, $f(x)$ 的圖像關于点 $(\frac{2}{2}, \frac{0}{2})=(1,0)$ 中心對称.

現在我们拥有了關于 $f(x)$ 的两個對称性法则：

\begin{aligned} f(-1+t) &= f(-1-t) &\text{法则一：關于 } x=-1 \text{ 對称} f(1+t) &= -f(1-t) &\text{法则二：關于 } (1,0) \text{ 對称} \end{aligned}

我们的目標是寻找一個常數 $T$ 使得 $f(x+T)=f(x)$ . 這需要我们巧妙地複合运用這两個法则.

我们從 $f(x)$ 出發, 為了能够利用對称性, 先将其平移. 考虑 $f(x+4)$ . 為了應用關于点 $1$ 的對称法则二, 我们将其寫成 $f(1+(x+3))$ .

f(x+4) = f(1+(x+3)) \overset{\text{法则二}}{=} -f(1-(x+3)) = -f(-x-2)

現在，我们需要处理 $f(-x-2)$ . 為了應用關于直線 $-1$ 的對称法则一, 我们将其寫成 $f(-1+(-x-1))$ .

f(-x-2) = f(-1+(-x-1)) \overset{\text{法则一}}{=} f(-1-(-x-1)) = f(x)

将此结果代回上一步的推導，我们得到了一個關键的中間關係：

f(x+4) = -f(-x-2) = -f(x)

這個關係 $f(x+4) = -f(x)$ 尚未是周期性，但它揭示了一种“反周期”的结構. 我们只需再迭代一次. 将上式中的 $x$ 替換為 $x+4$ , 我们得到 $f((x+4)+4) = -f(x+4)$ , 即 $f(x+8) = -f(x+4)$ . 结合两個式子，我们最终得到：

f(x+8) = -f(x+4) = -(-f(x)) = f(x)

此式對任意 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立. 故 $f(x)$ 是一個周期函數, 其一個周期為 $8$ .

回顾此例，我们看到，两個不同位置的對称性（一個轴對称，一個中心對称）相互作用，最终在函數上生成了一個全局的平移不變性——周期性. 這深刻地揭示了不同函數性質之間内在的、非平凡的联係.

例

设函數 $f(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的增函數. 我们将探讨在两种不同的附加条件下, 该函數所展現出的性質.

情形一: 若 $f(x)$ 满足柯西函數方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ .

求 $f(0)$ 的值.
求證 $f(x)$ 是奇函數.
若 $f(x^2+1)+f(3x-5)\<0$ , 求实數 $x$ 的取值范围.

情形二: 若 $f(x)$ 满足函數方程 $yf(x)-xf(y)=xy(x^2-y^2)$ .

求 $f(0)$ 的值.
求證 $f(x)$ 是奇函數.
若 $f(x^2+1)+f(3x-5)\<0$ , 求实數 $x$ 的取值范围.

證明

本題旨在揭示，不同的函數方程可能蕴含着相同的核心代數性質. 我们的策略是通過對函數方程進行精巧的赋值，從中“榨取”出關于 $f(0)$ 和奇偶性的信息，并利用這些性質以及函數的單调性来解决不等式問題.

\paragraph{情形一的解析} 我们面對的是著名的柯西函數方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ .

(1) 為了探求特定点（如 $x=0$ ）的函數值, 最直接的思路是在方程中進行赋值, 以期簡化方程或直接解出该值. 一個自然的選择是令 $x=y=0$ .

f(0+0) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 2f(0)

此式唯一解為 $f(0)=0$ .

(2) 欲證明 $f(x)$ 為奇函數, 我们的目標是建立 $f(-x)$ 與 $f(x)$ 的關係. 關键在于如何通過赋值在方程中同时引入 $x$ 和 $-x$ . 令 $y=-x$ 是一個绝佳的策略, 因為 $x+y=0$ , 而 $f(0)$ 的值我们刚刚已經求得.

f(x+(-x)) = f(x) + f(-x) \implies f(0) = f(x) + f(-x)

由于 $f(0)=0$ , 我们立即得到 $f(x)+f(-x)=0$ , 即 $f(-x)=-f(x)$ . 故 $f(x)$ 是奇函數.

(3) 現在我们来解决不等式 $f(x^2+1)+f(3x-5)\<0$ . 此时, 我们已經掌握了 $f(x)$ 的两個核心性質: 奇函數和增函數.

首先, 移項得到 $f(x^2+1) \< -f(3x-5)$ . 利用 $f(x)$ 的奇函數性質, 我们可以将负号“吸收”到函數内部. 事实上, $-f(3x-5) = f(-(3x-5)) = f(5-3x)$ . 于是, 原不等式等价于

f(x^2+1) \< f(5-3x)

接下来, $f(x)$ 作為增函數的性質便派上了用场. 對于一個增函數, 函數值的大小關係直接對應于其自變量的大小關係. 因此,

x^2+1 \< 5-3x

整理得 $x^2+3x-4\<0$ , 分解因式為 $(x+4)(x-1)\<0$ . 解此一元二次不等式, 得到 $x$ 的取值范围為 $(-4, 1)$ .

\paragraph{情形二的解析} 現在我们转向一個形式上更複杂的函數方程 $yf(x)-xf(y)=xy(x^2-y^2)$ . 我们的分析思路保持不變：通過特殊赋值来揭示其内在性質.

(1) 求 $f(0)$ . 為了分离出 $f(0)$ , 我们可以令其中一個變量為 $0$ . 不妨设 $y=1, x=0$ . (思考: 為何不直接令 $y=0$ ?)

1 \cdot f(0) - 0 \cdot f(1) = 0 \cdot 1 \cdot (0^2-1^2) \implies f(0)=0

這與情形一的结果完全一致.

(2) 證明奇偶性. 再次使用令 $y=-x$ 的策略.

(-x)f(x) - xf(-x) = x(-x)(x^2 - (-x)^2)

-x f(x) - x f(-x) = -x^2 (x^2 - x^2)

-x[f(x)+f(-x)] = 0

此等式對任意 $x \in \mathbb{R}$ 均成立. 当 $x \neq 0$ 时, 我们可以安全地约去 $-x$ , 得到 $f(x)+f(-x)=0$ . 当 $x=0$ 时, 我们已知 $f(0)=0$ , 故 $f(0)+f(-0)=0$ 亦成立. 因此, 對所有实數 $x$ , 均有 $f(-x)=-f(x)$ , 即 $f(x)$ 是奇函數.

(3) 解不等式. 注意到, 尽管函數方程的形式大相径庭, 我们從中推導出的核心性質—— $f(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的奇函數和增函數——與情形一完全相同.

因此, 不等式 $f(x^2+1)+f(3x-5)\<0$ 的求解過程與情形一完全一致. 其解集依然是 $(-4, 1)$ .

\paragraph{回顾與反思} 這個例子深刻地說明, 解决抽象函數問題的關键在于识别并利用其内在的、不随具體表达式變化的结構性性質 (如奇偶性、單调性、周期性). 不同的函數方程可能只是同一组性質的不同“外衣”. 一旦我们通過巧妙的代數技巧剥离外衣、抓住本質, 解决問題的道路便豁然開朗.

模型：狗造具有特定對称性的函數

在掌握了奇偶性的基本概念后，一個富有创造性的問題随之而来：我们能否主动地構造出具有特定奇偶性的函數？熟记若干结論是低效且违背數學思想的，我们真正的目標是掌握構造這些函數的内在逻辑. 我们将從定義的源头 $f(-x) = \pm f(x)$ 出發，探究如何對基本函數（如指數、對數函數）進行“對称化”改造.

\paragraph{源于指數函數的對称構造} 指數函數 $g(x)=a^x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 本身是非奇非偶的. 然而, 我们不久前學習的奇偶分解定理 $f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}$ 给予了我们强大的启示. 任何定義在對称域上的函數, 都可以分解為其“偶部”和“奇部”. 對指數函數 $g(x)=a^x$ 應用此思想，我们便能“提炼”出其内在的對称成分.

其偶部為 $f_e(x) = \frac{a^x+a^{-x}}{2}$ , 奇部為 $f_o(x) = \frac{a^x-a^{-x}}{2}$ . 不难验證，任意常數 $m$ 與它们的乘積，即

f(x) = m(a^x + a^{-x}) \text{與} g(x) = m(a^x - a^{-x})

分别是偶函數和奇函數的典范. 它们是構造更複杂函數的基礎單元.

一個看似不同的常见奇函數模型是 $f(x) = m\frac{a^x-1}{a^x+1}$ . 我们来探究其對称性的来源.

證明

其定義域為 $\{x \in \mathbb{R} \mid a^x \neq -1 \}$ , 即 $\mathbb{R}$ . 這是一個對称的定義域. 我们考察 $f(-x)$ :

f(-x) = m\frac{a^{-x}-1}{a^{-x}+1}

這里的關键技巧是分子分母同乘 $a^x$ , 以此恢複與 $f(x)$ 的联係.

f(-x) = m\frac{(a^{-x}-1)a^x}{(a^{-x}+1)a^x} = m\frac{1-a^x}{1+a^x} = -m\frac{a^x-1}{a^x+1} = -f(x)

故 $f(x)$ 是一個奇函數. 事实上，通過簡單的代數變形，可以發現它與我们之前導出的雙曲函數模型有深刻联係.

\paragraph{源于對數函數的對称構造} 對于對數函數 $f(x) = \log_a g(x)$ , 其奇偶性完全取决于其宗量 $g(x)$ 的性質. 若 $f(x)$ 為奇函數, 则必须满足

f(-x) = \log_a g(-x) = -f(x) = -\log_a g(x) = \log_a \frac{1}{g(x)}

這要求其宗量必须满足關係 $g(-x) = \frac{1}{g(x)}$ . 若 $f(x)$ 為偶函數, 则必须满足

f(-x) = \log_a g(-x) = f(x) = \log_a g(x)

這要求其宗量必须是偶函數, 即 $g(-x) = g(x)$ .

基于此原理，我们可以構造出大量的對數型奇偶函數.

例

判断函數 $f(x)=\log_a(\sqrt{x^2+1}+x)$ 的奇偶性.

證明

函數定義域要求 $\sqrt{x^2+1}+x\>0$ . 注意到 $\sqrt{x^2+1} \> \sqrt{x^2} = |x|$ , 因此 $\sqrt{x^2+1}+x \> |x|+x$ . 当 $x \ge 0$ 时, $|x|+x=2x \ge 0$ . 当 $x\<0$ 时, $|x|+x=0$ . 故 $\sqrt{x^2+1}+x$ 恒為正, 定義域為 $\mathbb{R}$ .

我们考察其宗量 $g(x)=\sqrt{x^2+1}+x$ .

g(-x) = \sqrt{(-x)^2+1} - x = \sqrt{x^2+1} - x

$g(-x)$ 是否等于 $1/g(x)$ ? 我们来计算它们的乘積, 這启發我们使用平方差公式.

g(x)g(-x) = (\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x) = (\sqrt{x^2+1})^2 - x^2 = (x^2+1) - x^2 = 1

由此可见, $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$ 确实成立. 于是,

f(-x) = \log_a g(-x) = \log_a \frac{1}{g(x)} = -\log_a g(x) = -f(x)

因此, $f(x)=\log_a(\sqrt{x^2+1}+x)$ 是一個奇函數. 這是一個非常重要且优美的模型.

同理, 讀者可以自行验證, 形如 $f(x) = \log_a \frac{m+x}{m-x}$ 的函數, 其宗量 $g(x)=\frac{m+x}{m-x}$ 也满足 $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$ , 故它也是奇函數.

\paragraph{普适的對称性構造法则} 除了针對特定函數類型的改造, 还存在一些更為普适的構造方法.

绝對值化構造偶函數: 對于定義域關于原点對称的任意函數 $f(x)$ , 函數 $h(x)=f(|x|)$ 必然是偶函數.

證明

$h(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = h(x)$ .

這個構造的几何意義是, 舍棄 $y$ 轴左侧的圖像, 然后将 $y$ 轴右侧的圖像反射到左侧, 從而强制地创造出關于 $y$ 轴的對称性.

複合函數法则: 设函數 $f(x)$ 與 $g(x)$ 的奇偶性已知. 複合函數 $f(g(x))$ 的奇偶性遵循“内偶则偶，内奇看外”的原则. \begin{itemize}
若 $g(x)$ 是偶函數, 则 $f(g(x))$ 必為偶函數 (思考: 為什么與 $f(x)$ 的奇偶性无關?).
若 $g(x)$ 是奇函數, 则 $f(g(x))$ 的奇偶性與 $f(x)$ 相同.

\item 平凡模型: 最簡單的偶函數是常數函數 $f(x)=c$ , 最簡單(非零)的奇函數是正比例函數 $f(x)=kx$ . \end{itemize} 通過以上從具體到一般的構造性分析, 我们便无需再孤立地记忆所谓的“常见模型”. 任何一個给定的函數, 我们都可以通過审视其结構, 判断它是否符合上述某一种構造原理, 從而确定其奇偶性. 這才是真正深入理解并掌握知识的方法.

例

已知函數 $f(x) = \frac{2^x-1}{2^x+1}$ , $g(x)=\cos x$ . 判断函數 $h(x) = f(|x|) \cdot g(x)$ 的奇偶性.

證明

我们首先分析構成 $h(x)$ 的两個部分.

函數 $f(x)$ 完美地契合了我们讨論過的奇函數模型 $m\frac{a^x-1}{a^x+1}$ (此处 $m=1, a=2$ ). 因此, $f(x)$ 是一個奇函數.

接下来考察 $f(|x|)$ . 這是“绝對值化構造偶函數”法则的直接應用. 對于任何函數, 經過 $f(|x|)$ 的改造后, 必然成為偶函數. 严谨地验證: 令 $p(x)=f(|x|)$ , 则 $p(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=p(x)$ . 故 $p(x)$ 是偶函數.

函數 $g(x)=\cos x$ 是一個基本的偶函數, $g(-x)=\cos(-x)=\cos x = g(x)$ .

最终, $h(x)$ 是一個偶函數 $p(x)=f(|x|)$ 與另一個偶函數 $g(x)=\cos x$ 的乘積. 根据我们推導的运算法则 (偶 $\times$ 偶 = 偶), 函數 $h(x)$ 必然是偶函數.

例

求解不等式: $\log_2(\sqrt{x^2+1}+x) + \log_2(\sqrt{4x^2+1}-2x) \> 0$ .

證明

直接解這個不等式似乎非常棘手. 然而, 我们應该敏锐地识别出其结構與我们熟知的典范模型相關.

令 $f(x) = \log_2(\sqrt{x^2+1}+x)$ . 我们已經證明, 這是一個定義在 $\mathbb{R}$ 上的奇函數.

現在观察不等式中的第二項, $\log_2(\sqrt{4x^2+1}-2x)$ . 它的形式與 $f(x)$ 的“共轭”形式 $\log_2(\sqrt{x^2+1}-x)$ 極其相似. 注意到

\log_2(\sqrt{4x^2+1}-2x) = \log_2(\sqrt{(2x)^2+1}-2x)

我们知道 $\sqrt{u^2+1}-u = \frac{1}{\sqrt{u^2+1}+u}$ . 因此,

\log_2(\sqrt{(2x)^2+1}-2x) = \log_2\left(\frac{1}{\sqrt{(2x)^2+1}+2x}\right) = -\log_2(\sqrt{(2x)^2+1}+2x) = -f(2x)

至此, 原不等式通過函數性質的运用, 被成功地化簡為:

f(x) - f(2x) \> 0 \implies f(x) \> f(2x)

我们还需要考察 $f(x)$ 的單调性. 函數 $u(x)=\sqrt{x^2+1}+x$ 是增函數 (因為 $\sqrt{x^2+1}$ 和 $x$ 都是增函數), 而 $v(u)=\log_2 u$ 也是增函數. 根据複合函數單调性法则, $f(x)=v(u(x))$ 是 $\mathbb{R}$ 上的增函數.

因為 $f(x)$ 是增函數, 所以由 $f(x)\>f(2x)$ 可以直接得到 $x\>2x$ , 這意味着 $-x\>0$ , 即 $x\<0$ .

所以, 原不等式的解集為 $(-\infty, 0)$ . 這個例子展示了识别典范模型并利用其性質 (奇偶性、單调性) 来簡化複杂問題的威力.

例

设 $g(x) = \ln\frac{1+x^2}{1-x^2}$ , $h(x)=x^3\cos x$ . 判断複合函數 $F(x) = g(h(x))$ 的奇偶性.

證明

我们遵循“先内后外”的原则, 首先确定内外层函數的奇偶性.

内层函數 $h(x)=x^3\cos x$ . 它是奇函數 $x^3$ 與偶函數 $\cos x$ 的乘積. 根据运算法则 (奇 $\times$ 偶 = 奇), $h(x)$ 是奇函數.

外层函數 $g(x)=\ln\frac{1+x^2}{1-x^2}$ . 其定義域由 $\frac{1+x^2}{1-x^2}\>0 \implies 1-x^2\>0 \implies -1\<x\<1$ 给出, 是對称区間. 我们考察 $g(-x)$ :

g(-x) = \ln\frac{1+(-x)^2}{1-(-x)^2} = \ln\frac{1+x^2}{1-x^2} = g(x)

故 $g(x)$ 是偶函數.

現在我们判断複合函數 $F(x)=g(h(x))$ . 我们考察 $F(-x)$ :

F(-x) = g(h(-x))

因為 $h(x)$ 是奇函數, 所以 $h(-x)=-h(x)$ . 代入得:

F(-x) = g(-h(x))

又因為 $g(x)$ 是偶函數, 所以 $g(-u)=g(u)$ 對其定義域内任意的 $u$ 成立. 于是:

F(-x) = g(-h(x)) = g(h(x)) = F(x)

因此, $F(x)$ 是一個偶函數. 這验證了我们总结的複合函數法则: 内层函數為奇, 複合函數的奇偶性與外层函數相同.

例

设定義在 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 上的偶函數 $f(x)$ 满足, 当 $x\>0$ 时, $f(x) = x + \frac{1}{x} - 2$ . 求解方程 $f(x)=3$ .

證明

本題的核心在于如何利用已知的偶函數性質, 将問題從僅知的正半轴推廣到整個定義域.

我们分两种情况讨論.

情形一: $x\>0$ 当 $x\>0$ 时, 方程 $f(x)=3$ 直接等价于

x + \frac{1}{x} - 2 = 3 \implies x + \frac{1}{x} - 5 = 0

两边同乘 $x$ (因為 $x\>0, x \neq 0$ ), 得到 $x^2 - 5x + 1 = 0$ . 利用求根公式, 解得 $x = \frac{5 \pm \sqrt{25-4}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ . 由于 $\sqrt{16}\<\sqrt{21}\<\sqrt{25}$ , 即 $4\<\sqrt{21}\<5$ , 所以两個根 $\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ 和 $\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ 均為正數, 符合本情形的假设.

情形二: $x\<0$ 当 $x\<0$ 时, 我们不能直接使用给定的解析式. 但我们知道 $f(x)$ 是偶函數, 因此

f(x) = f(-x)

因為 $x\<0$ , 所以 $-x\>0$ . 這意味着我们可以對 $f(-x)$ 使用已知的解析式.

f(x) = f(-x) = (-x) + \frac{1}{-x} - 2 = -x - \frac{1}{x} - 2

于是, 在 $x\<0$ 的区間上, 方程 $f(x)=3$ 等价于

-x - \frac{1}{x} - 2 = 3 \implies -x - \frac{1}{x} - 5 = 0

两边同乘 $-x$ (注意 $-x\>0$ ), 得到 $x^2+5x+1=0$ . 解得 $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25-4}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$ . 两個根 $\frac{-5+\sqrt{21}}{2}$ 和 $\frac{-5-\sqrt{21}}{2}$ 均為负數, 符合本情形的假设.

綜上所述, 方程 $f(x)=3$ 的所有解為 $\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ 和 $\frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$ .

例

设 $f(x) = \log_a g(x)$ 為定義在 $\mathbb{R}$ 上的奇函數. 求證: 函數 $h(x) = \frac{(g(x))^2 - 1}{(g(x))^2+1}$ 也是奇函數.

證明

這是一個更具抽象性的證明題. 問題的關键在于從“ $f(x)$ 是奇函數”這一条件中, 提炼出其宗量 $g(x)$ 必须满足的代數性質.

因為 $f(x)=\log_a g(x)$ 是奇函數, 所以 $f(-x)=-f(x)$ .

\log_a g(-x) = -\log_a g(x) = \log_a \left(\frac{1}{g(x)}\right)

由于對數函數是單射, 两边宗量必定相等, 即

g(-x) = \frac{1}{g(x)}

這個關係是后續證明的基石.

現在, 我们来考察函數 $h(x) = \frac{(g(x))^2 - 1}{(g(x))^2+1}$ . 我们的目標是计算 $h(-x)$ 并将其與 $h(x)$ 比较.

h(-x) = \frac{(g(-x))^2 - 1}{(g(-x))^2+1}

将我们刚刚推導出的核心關係 $g(-x) = 1/g(x)$ 代入上式:

h(-x) = \frac{\left(\frac{1}{g(x)}\right)^2 - 1}{\left(\frac{1}{g(x)}\right)^2+1} = \frac{\frac{1}{(g(x))^2} - 1}{\frac{1}{(g(x))^2} + 1}

為了化簡這個繁分數, 我们将分子分母同乘以 $(g(x))^2$ :

h(-x) = \frac{1 - (g(x))^2}{1 + (g(x))^2} = - \frac{(g(x))^2-1}{(g(x))^2+1} = -h(x)

此式表明 $h(x)$ 是一個奇函數. 證毕.

事实上, 我们可以观察到 $h(x)$ 的结構與典范奇函數模型 $\frac{a^u-1}{a^u+1}$ 極為相似. 若令 $u(x) = \log_a (g(x))^2$ , 则 $a^{u(x)}=(g(x))^2$ . 于是 $h(x)=\frac{a^{u(x)}-1}{a^{u(x)}+1}$ . 這從另一個角度揭示了其奇函數属性的来源.

周期性

{/* label: sec:ch03-s05 */}

除了單调性與奇偶性這两种刻画函數局部與對称形态的性質外，函數的第三种宏观性質是周期性.它描述了函數值在定義域上的一种平移不變性，即函數圖像以固定間隔進行无尽的自我複制.對周期性的分析是研究所有振荡、波动現象（如声波、電磁场、行星轨道）的數學基礎, 也是簡化函數相關计算的重要工具.

周期性的定義

我们将函數圖像沿水平方向平移后與自身重合的几何直观，精确化為如下代數定義.

周期函數

设函數 $y=f(x)$ 的定義域為 $D$ . 若存在一個非零常數 $T$ , 使得對于任意 $x \in D$ , 恒有 $x+T \in D$ , 并且满足:

f(x+T) = f(x)

则称 $f(x)$ 為周期函數, $T$ 称為它的一個周期.

此定義蕴含了三個不可或缺的要素.其一，周期 $T$ 必须是非零常數, 以确保其描述的是一种有意義的重複模式.其二, 定義域 $D$ 必须在平移 $T$ 的操作下是封闭的, 這保證了對任意 $x \in D$ , $f(x+T)$ 均有定義.因此, 周期函數的定義域必然是无界的, 例如 $\mathbb{R}$ 或 $(-\infty, a)$ .其三, 核心等式 $f(x+T)=f(x)$ 必须對定義域内的所有 $x$ 成立.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：周期函數的几何意義：圖像的平移不變性

由定義可直接推得：若 $T$ 是一個周期, 则對任意非零整數 $n$ , $nT$ 也是一個周期.此外, 若 $T$ 是周期, 则 $f(x)=f(x-T)$ , 故 $-T$ 也是周期.

最小正周期

若一個周期函數的所有正周期中存在一個最小值, 则称此數為该函數的最小正周期. 通常語境下所称的“周期”即指最小正周期.

值得注意的是，并非所有周期函數都有最小正周期.例如，常數函數 $f(x)=c$ , 任何非零实數 $T$ 都是它的周期, 故不存在最小的正周期.一個更深刻的例子是狄利克雷函數：

D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}

對于任意非零有理數 $T$ , 当 $x$ 是有理數时, $x+T$ 也是有理數, 故 $D(x+T)=1=D(x)$ ; 当 $x$ 是无理數时, $x+T$ 也是无理數, 故 $D(x+T)=0=D(x)$ .因此, 任何非零有理數都是它的周期, 而正有理數集合没有最小值, 故狄利克雷函數不存在最小正周期.

周期性的四则运算

当两個独立的周期性現象叠加时, 其合成的現象是否仍具有周期性？例如, 将两個不同频率的纯音（對應两個正弦函數）混合, 得到的混合音是否仍是周期性的？這個問題的答案, 揭示了周期性在線性运算下的传递规律, 其核心在于周期的公度性.

定理

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在同一集合 $D$ 上的两個周期函數, 周期分别為 $T_1$ 和 $T_2$ .

若 $T_1$ 與 $T_2$ 可公度 (即其比值為有理數), 则它们的和 $f(x)+g(x)$ , 差 $f(x)-g(x)$ , 積 $f(x)g(x)$ 仍然是周期函數, 其一個周期 $T$ 是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍數.
若 $T_1$ 與 $T_2$ 不可公度, 则它们的和、差、積不一定是周期函數.

證明

我们以和函數 $h(x)=f(x)+g(x)$ 為例進行證明.

為了使 $h(x)$ 具有周期性, 我们必须寻找一個非零常數 $T$ , 使得對任意 $x \in D$ , 恒有 $h(x+T)=h(x)$ , 即

f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)

要使此等式无条件成立, 一個充分条件是 $f(x+T)$ 與 $g(x+T)$ 同时回归到 $f(x)$ 與 $g(x)$ , 即

\begin{cases} f(x+T) = f(x) \\ g(x+T) = g(x) \end{cases}

第一個条件要求 $T$ 必须是 $f(x)$ 的周期 $T_1$ 的整數倍, 即 $T = n_1 T_1$ ( $n_1 \in \mathbb{Z}, n_1 \neq 0$ ). 第二個条件要求 $T$ 必须是 $g(x)$ 的周期 $T_2$ 的整數倍, 即 $T = n_2 T_2$ ( $n_2 \in \mathbb{Z}, n_2 \neq 0$ ).

因此, $h(x)$ 存在周期的充要条件是, 存在非零整數 $n_1, n_2$ 使得 $n_1 T_1 = n_2 T_2$ . 此式等价于

\frac{T_1}{T_2} = \frac{n_2}{n_1}

這表明, 两個周期的比值必须是一個有理數. 這正是周期 $T_1$ 與 $T_2$ 可公度的數學定義.

当此条件满足时, 任何满足 $T=n_1 T_1 = n_2 T_2$ 的 $T$ 都是 $h(x)$ 的一個周期. 我们所寻求的最小正周期, 正是 $T_1$ 和 $T_2$ 的所有正公倍數中的最小值, 即它们的最小公倍數, 记作 $T = \operatorname{lcm}(T_1, T_2)$ .

然而, 如果两個周期不可公度, 例如 $f(x)=\sin x$ (周期 $T_1=2\pi$ ) 與 $g(x)=\sin(\sqrt{2}x)$ (周期 $T_2=2\pi/\sqrt{2}=\sqrt{2}\pi$ ), 其周期之比 $T_1/T_2 = \sqrt{2}$ 是一個无理數. 我们用反證法證明其和 $h(x) = \sin x + \sin(\sqrt{2}x)$ 不是周期函數. 假定 $h(x)$ 是周期函數, 其周期為 $T$ . 那么 $T$ 必须同时是 $T_1$ 和 $T_2$ 的公倍數. 即存在非零整數 $n_1, n_2$ 使得

T = n_1 T_1 = n_1 (2\pi) \text{且} T = n_2 T_2 = n_2 (\sqrt{2}\pi)

联立两式可得 $2n_1\pi = \sqrt{2}n_2\pi$ , 消去 $\pi$ 后得到 $\sqrt{2} = 2n_1/n_2$ . 這意味着 $\sqrt{2}$ 是一個有理數, 與事实矛盾. 因此, 我们的假设不成立, $h(x)$ 不是周期函數. 證毕.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：具有不可公度周期的两個函數 (虚線與点線) 之和 (粗实線) 不再是周期函數, 而是呈現出複杂的、永不重複的准周期行為.

例

求函數 $f(x) = |\sin x| + \cos(2x)$ 的最小正周期.

解

我们将函數 $f(x)$ 视為两個周期函數之和: $g(x)=|\sin x|$ 與 $h(x)=\cos(2x)$ .

首先分析 $g(x)=|\sin x|$ . 函數 $\sin x$ 的周期為 $2\pi$ . 經過绝對值變換后, $x$ 轴下方的圖像被翻折到上方. 原本在 $[\pi, 2\pi]$ 区間的负半周圖像, 與 $[0, \pi]$ 区間的正半周圖像完全相同. 因此, $g(x)=|\sin x|$ 的最小正周期為 $T_1=\pi$ .

接着分析 $h(x)=\cos(2x)$ . 其最小正周期為 $T_2 = 2\pi/|2| = \pi$ .

两個函數的周期分别為 $T_1=\pi, T_2=\pi$ . 它们的比值為 $T_1/T_2 = 1$ , 是有理數, 故周期可公度.

因此, $f(x)$ 是周期函數, 其最小正周期為 $T = \operatorname{lcm}(T_1, T_2) = \operatorname{lcm}(\pi, \pi) = \pi$ .

我们可以通過代數變形来验證此结論. 利用二倍角公式,

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2|\sin x|^2

例

求函數 $h(x) = \sin(3x) + \cos(\frac{5}{2}x)$ 的最小正周期.

解

我们将函數 $h(x)$ 视為两個周期函數 $f(x) = \sin(3x)$ 與 $g(x) = \cos(\frac{5}{2}x)$ 的和. 我们的策略是首先分别确定這两個基函數的最小正周期, 然后檢验其公度性, 最后求解它们的最小公倍數.

對于函數 $f(x) = \sin(3x)$ , 其角频率為 $3$ , 故其最小正周期為

T_1 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}

對于函數 $g(x) = \cos(\frac{5}{2}x)$ , 其角频率為 $\frac{5}{2}$ , 故其最小正周期為

T_2 = \frac{2\pi}{|5/2|} = \frac{4\pi}{5}

接下来, 我们考察這两個周期的公度性. 计算它们的比值:

\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi/3}{4\pi/5} = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{5}{4\pi} = \frac{5}{6}

由于比值 $5/6$ 是一個有理數, 两個周期是可公度的. 因此, 函數 $h(x)$ 必然是周期函數. 其最小正周期 $T$ 是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍數.

對于两個分數形式的周期 $\frac{p_1}{q_1}\pi$ 和 $\frac{p_2}{q_2}\pi$ , 它们的最小公倍數可以通過以下方式计算:

T = \operatorname{lcm}\left(\frac{p_1}{q_1}, \frac{p_2}{q_2}\right)\pi = \frac{\operatorname{lcm}(p_1, p_2)}{\operatorname{gcd}(q_1, q_2)}\pi

在本例中, 我们需要计算

T = \operatorname{lcm}\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{5}\right) = \pi \cdot \operatorname{lcm}\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{5}\right)

應用上述法则,

T = \pi \cdot \frac{\operatorname{lcm}(2, 4)}{\operatorname{gcd}(3, 5)} = \pi \cdot \frac{4}{1} = 4\pi

因此, 函數 $h(x)$ 的最小正周期為 $4\pi$ .

例

考察函數 $h(x) = \{2x\} - \sin(\pi x)$ 的周期性, 其中 $\{u\}=u-\lfloor u \rfloor$ 表示小數部分函數.

解

此函數由两個周期函數 $f(x) = \{2x\}$ 和 $g(x) = \sin(\pi x)$ 的差構成.

首先分析 $f(x)=\{2x\}$ . 我们知道, 基本的小數部分函數 $\{u\}$ 的最小正周期為 $1$ . 對于複合函數 $\{kx\}$ , 其周期為 $1/|k|$ . 因此, $f(x)=\{2x\}$ 的最小正周期為 $T_1 = 1/2$ . 我们可以验證這一点: $f(x+1/2) = \{2(x+1/2)\} = \{2x+1\}$ . 由于為一個數加上整數不改變其小數部分, 故 $\{2x+1\}=\{2x\}=f(x)$ .

接着分析 $g(x)=\sin(\pi x)$ . 其角频率為 $\pi$ , 故最小正周期為 $T_2 = 2\pi/|\pi| = 2$ .

我们檢验這两個周期的公度性. 其比值為

\frac{T_1}{T_2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}

這是一個有理數, 故函數 $h(x)$ 是周期函數. 其最小正周期 $T$ 是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍數.

T = \operatorname{lcm}\left(\frac{1}{2}, 2\right) = \operatorname{lcm}\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{1}\right) = \frac{\operatorname{lcm}(1, 2)}{\operatorname{gcd}(2, 1)} = \frac{2}{1} = 2

因此, 函數 $h(x)$ 的最小正周期為 $2$ .

\begin{figure}[htbp]

-\sin(\pi x)$}{h(x)={2x}-sin(pi x)} 的圖像. 尽管其構成部分周期不同 (\texorpdfstring{$T_1=0.5, T_2=2$}{T1=0.5, T2=2}), 合成后的函數呈現出清晰的周期性, 最小正周期為 \texorpdfstring{$T=2$}{T=2}.}

\end{figure} *圖：函數 \texorpdfstring{$h(x)={2x*

對称性與周期性的關係

函數的周期性常常由其對称性導出.一個深刻的几何事实是, 两种不同位置的對称性（轴對称或中心對称）相複合, 可以生成一种新的對称性——平移對称, 即周期性.

對称性向周期性的转化

设函數 $f(x)$ 的定義域為 $\mathbb{R}$ .

雙轴對称: 若 $f(x)$ 的圖像關于两条不同的直線 $x=a$ 和 $x=b$ 對称, 则 $f(x)$ 是周期函數, 且 $T = 2|a-b|$ 是其一個周期.
雙中心對称: 若 $f(x)$ 的圖像關于两個不同的点 $(a,c)$ 和 $(b,d)$ 中心對称, 则 $f(x)$ 是周期函數, 且 $T=2|a-b|$ 是其一個周期.
轴對称與中心對称: 若 $f(x)$ 的圖像關于直線 $x=a$ 對称, 且關于点 $(b,c)$ 中心對称, 则 $f(x)$ 是周期函數, 且 $T = 4|a-b|$ 是其一個周期.

證明

我们逐一證明這三個由對称性導出周期性的重要结論. 證明的核心思想在于, 将几何上的對称操作翻译為代數恒等式, 并通過對這些恒等式進行巧妙的複合與迭代, 最终推導出形如 $f(x+T)=f(x)$ 的周期關係.

\paragraph{1. 雙轴對称} 我们已知函數 $f(x)$ 的圖像關于两条不同的直線 $x=a$ 和 $x=b$ 對称. 這在代數上意味着以下两個恒等式對定義域内所有 $x$ 成立:

\begin{aligned} f(x) &= f(2a-x) {/* label: eq:sym-axis-a */} f(x) &= f(2b-x) {/* label: eq:sym-axis-b */} \end{aligned}

我们的目標是構造出平移不變性. 為此, 我们连續施行這两個對称變換.

從 $f(x)$ 出發, 首先應用關于 $x=a$ 的對称性 \eqref{eq:sym-axis-a}:

f(x) = f(2a-x)

接着, 我们對上式右端的函數 $f(2a-x)$ 應用關于 $x=b$ 的對称性 \eqref{eq:sym-axis-b}. 這需要将 \eqref{eq:sym-axis-b} 中的自變量 $x$ 替換為 $2a-x$ :

f(2a-x) = f(2b - (2a-x)) = f(x + 2b - 2a)

将以上两步连接起来, 我们得到

f(x) = f(x + 2(b-a))

這正是周期函數的定義. 若令 $T = 2(b-a)$ , 则 $f(x)=f(x+T)$ . 因此, $f(x)$ 是一個周期函數, 且 $2|a-b|$ 是其一個周期.

\paragraph{2. 雙中心對称} 我们已知 $f(x)$ 的圖像關于点 $(a,c)$ 和 $(b,d)$ 中心對称. 其代數表述為:

\begin{aligned} f(x) + f(2a-x) &= 2c {/* label: eq:sym-center-a */} f(x) + f(2b-x) &= 2d {/* label: eq:sym-center-b */} \end{aligned}

從這两個關係式中, 我们可以分别解出 $f(2a-x)$ 和 $f(2b-x)$ :

\begin{aligned} f(2a-x) &= 2c - f(x) f(2b-x) &= 2d - f(x) \end{aligned}

我们再次通過複合變換来建立远距离自變量之間的联係. 考虑自變量 $x+2(a-b)$ , 我们可以将其巧妙地構造為 $2a-(2b-x)$ .

首先應用關于点 $(a,c)$ 的對称性 \eqref{eq:sym-center-a}, 将其自變量 $x$ 替換為 $2b-x$ :

f(2b-x) + f(2a-(2b-x)) = 2c

整理得

f(x+2a-2b) = 2c - f(2b-x)

現在, 利用關于点 $(b,d)$ 的對称性 \eqref{eq:sym-center-b} 来替換上式右端的 $f(2b-x)$ :

f(x+2(a-b)) = 2c - (2d - f(x)) = f(x) + 2(c-d)

此關係式揭示了一個深刻的事实: 函數 $f(x)$ 在平移 $2(a-b)$ 后, 其函數值会产生一個固定的增量 $2(c-d)$ . 這种结構称為准周期性.

為使 $f(x)$ 成為严格意義上的周期函數, 该增量必须為零, 即 $2(c-d)=0$ , 這当且僅当 $c=d$ . 因此, 若 $f(x)$ 關于 $(a,c)$ 和 $(b,c)$ (注意纵坐標相同) 對称, 则 $f(x+2(a-b))=f(x)$ , 故 $T=2|a-b|$ 是其一個周期.

\paragraph{3. 轴對称與中心對称} 我们已知 $f(x)$ 關于直線 $x=a$ 對称, 且關于点 $(b,c)$ 中心對称. 其代數恒等式為:

\begin{aligned} f(x) &= f(2a-x) {/* label: eq:sym-mix-axis */} f(x) + f(2b-x) &= 2c {/* label: eq:sym-mix-center */} \end{aligned}

此證明的關键在于寻找一個“反周期”關係, 然后通過迭代将其转化為周期關係.

我们從 $f(x)$ 出發, 先應用轴對称 \eqref{eq:sym-mix-axis}, 再應用中心對称 \eqref{eq:sym-mix-center}.

f(x) \overset{\eqref{eq:sym-mix-axis}}{=} f(2a-x)

從 \eqref{eq:sym-mix-center} 中解出 $f(y) = 2c - f(2b-y)$ . 将此式應用于 $y=2a-x$ :

f(2a-x) = 2c - f(2b-(2a-x)) = 2c - f(x+2b-2a)

结合两步, 我们得到 $f(x) = 2c - f(x+2(b-a))$ . 整理后得到一個反周期關係:

f(x + 2(b-a)) = 2c - f(x)

這個關係表明, 自變量增加 $2(b-a)$ 后, 新的函數值與原函數值關于水平線 $y=c$ 對称. 為了消除這种對称性并恢複恒等關係, 我们對此式進行迭代. 将上式中的 $x$ 替換為 $x+2(b-a)$ :

\begin{aligned} f([x+2(b-a)] + 2(b-a)) &= 2c - f(x+2(b-a)) f(x+4(b-a)) &= 2c - (2c - f(x)) f(x+4(b-a)) &= f(x) \end{aligned}

此式正是周期函數的定義. 故 $T=4|a-b|$ 是函數的一個周期.

由函數方程确定周期性

對于定義在 $\mathbb{R}$ 上的函數 $f(x)$ , 若存在非零常數 $a$ , 满足以下關係之一, 则 $f(x)$ 為周期函數：

若 $f(x+a) = -f(x)$ , 则 $T=2a$ 是一個周期.
若 $f(x+a) = 1/f(x)$ 且 $f(x)$ 的值域不包含零, 则 $T=2a$ 是一個周期.
若 $f(x+a) = \frac{1+f(x)}{1-f(x)}$ , 则 $T=4a$ 是一個周期.

證明

證明均通過對给定關係式進行迭代完成, 這是一种探求周期性的基本技巧.

$f(x+2a) = f((x+a)+a) = -f(x+a) = -(-f(x)) = f(x)$ .
$f(x+2a) = f((x+a)+a) = 1/f(x+a) = 1/(1/f(x)) = f(x)$ .
這是一個更具挑战性的迭代.

\begin{aligned} f(x+2a) &= f((x+a)+a) = \frac{1+f(x+a)}{1-f(x+a)} = \frac{1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}} &= \frac{(1-f(x))+(1+f(x))}{(1-f(x))-(1+f(x))} = \frac{2}{-2f(x)} = -\frac{1}{f(x)} \end{aligned}

我们發現 $f(x+2a) = -1/f(x)$ . 再次迭代, $f(x+4a) = f((x+2a)+2a) = -1/f(x+2a) = -1/(-1/f(x)) = f(x)$ . 故 $T=4a$ 是一個周期.

例

已知函數 $y=f(x)$ ( $x \in \mathbb{R}$ ) 不是常函數, 且满足 $f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)$ 及 $f(1)=1/2$ . 求 $f(2024)$ .

解

這是一個抽象函數問題, 其解的關键在于通過對變量 $a, b$ 赋特殊值来探究 $f(x)$ 的内在结構性質.

首先, 在 $f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)$ 中, 令 $a=x, b=0$ , 得 $f(x)+f(x)=2f(x)f(0)$ , 即 $2f(x) = 2f(x)f(0)$ . 此式可化為 $f(x)(1-f(0))=0$ . 由于 $f(x)$ 不是常函數（特别地, 不是恒為零的函數）, 必存在 $x_0$ 使得 $f(x_0) \neq 0$ . 因此, 必然有 $1-f(0)=0$ , 即 $f(0)=1$ .

接着, 探究函數的奇偶性. 令 $a=0, b=x$ , 得 $f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)$ . 代入 $f(0)=1$ , 我们得到 $f(x)+f(-x)=2f(x)$ , 這立即導出 $f(-x)=f(x)$ . 故 $f(x)$ 是一個偶函數.

然后, 我们利用已知条件 $f(1)=1/2$ . 令 $a=1, b=x$ ,

f(1+x)+f(1-x) = 2f(1)f(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot f(x) = f(x)

由于 $f(x)$ 是偶函數, $f(1-x)=f(-(x-1))=f(x-1)$ . 于是上式變為 $f(x+1)+f(x-1)=f(x)$ .

這個递推關係暗示了周期性. 我们来探寻這個模式. 将 $x$ 替換為 $x+1$ , 得 $f(x+2)+f(x)=f(x+1)$ . 将 $f(x+1)=f(x)-f(x-1)$ 代入上式: $f(x+2)+f(x) = f(x)-f(x-1)$ , 故 $f(x+2)=-f(x-1)$ . 再将 $x$ 替換為 $x+1$ : $f(x+3)=-f(x)$ .

我们得到了一個反周期關係 $f(x+3)=-f(x)$ . 對此關係進行迭代:

f(x+6) = f((x+3)+3) = -f(x+3) = -(-f(x)) = f(x)

因此, $f(x)$ 是一個周期函數, 其一個周期為 $T=6$ .

最后, 我们的目標是计算 $f(2024)$ . 利用周期性, 我们考察 $2024$ 除以 $6$ 的余數.

2024 = 6 \times 337 + 2

故 $f(2024)=f(2)$ .

為了求 $f(2)$ , 我们再次利用递推關係. 在 $f(x+3)=-f(x)$ 中, 令 $x=-1$ , 得 $f(2)=-f(-1)$ . 由于 $f(x)$ 是偶函數, $f(-1)=f(1)=1/2$ . 因此, $f(2)=-f(1)=-1/2$ .

綜上, $f(2024) = f(2) = -1/2$ .

凹凸性

{/* label: sec:ch03-s06 */}

函數的單调性描述了其圖像的升降趋势, 這是一個關于變化率符号的性質. 然而, 函數圖像的形态远比單纯的升降要丰富. 考虑函數 $f(x)=x^2$ 與 $g(x)=\sqrt{x}$ (在 $x\>0$ 时), 它们都是單调递增的, 但它们的增长“姿态”截然不同. $f(x)=x^2$ 的增长越来越快, 其圖像向上弯曲; 而 $g(x)=\sqrt{x}$ 的增长越来越慢, 其圖像向下弯曲.

凹凸性正是為了精确刻画函數圖像的這种弯曲方向而引入的概念. 它所關注的, 不再是變化率的符号, 而是變化率自身的變化趋势.

凹凸性的几何直观與定義

要捕捉曲線的弯曲特性, 我们可以從两個等价的几何观点出發.

\paragraph{观点一：割線斜率的演變} 一個更具动态的观点是考察连接曲線上两点的割線斜率如何變化. 设想我们在一個向上弯曲的曲線上固定一点 $P_1(x_1, f(x_1))$ , 然后让另一点 $P_2(x_2, f(x_2))$ 沿着曲線從左向右移动. 我们会直观地發現, 连接 $P_1$ 和 $P_2$ 的割線, 其斜率是單调递增的.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：下凸函數割線斜率的單调性

\paragraph{观点二：函數圖像與弦的相對位置} 另一個等价的、也是更為經典的几何刻画, 是比较函數圖像本身 (弧) 與连接其上任意两点的線段 (弦) 的相對位置.

對于一個向上弯曲的函數, 其圖像总是位于连接其上任意两点的弦的下方 (或重合).
對于一個向下弯曲的函數, 其圖像总是位于连接其上任意两点的弦的上方 (或重合).

為了将這個几何观察转化為精确的代數語言, 我们需要一种方式来表示弦上的点. 设弦的两個端点為 $A(x_1, f(x_1))$ 和 $B(x_2, f(x_2))$ . 對于任意 $t \in [0,1]$ , 表达式 $x_t = (1-t)x_1 + tx_2$ 给出了線段 $[x_1, x_2]$ 上的一個点. 對應地, 弦上具有相同横坐標的点的纵坐標, 是端点纵坐標的同权重線性组合, 即 $y_t = (1-t)f(x_1) + tf(x_2)$ . 而函數圖像上對應点的纵坐標是 $f(x_t) = f((1-t)x_1 + tx_2)$ . 比较這两個纵坐標的大小, 便得到了凹凸性的严格定義.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：下凸函數的代數定義圖解

凹凸函數

设函數 $f(x)$ 定義在区間 $I$ 上.

若對于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和任意 $t \in [0,1]$ , 恒有

f((1-t)x_1 + tx_2) \le (1-t)f(x_1) + tf(x_2)

则称 $f(x)$ 為 $I$ 上的**下凸函數**.

若對于任意 $x_1, x_2 \in I$ 和任意 $t \in [0,1]$ , 恒有

f((1-t)x_1 + tx_2) \ge (1-t)f(x_1) + tf(x_2)

则称 $f(x)$ 為 $I$ 上的**上凸函數**.

若当 $x_1 \neq x_2$ 且 $t \in (0,1)$ 时上述不等式均取严格不等号, 则称函數為严格下凸或严格上凸.

這個不等式是凸性理論的基石. 特别地, 当我们取 $t=1/2$ 时, 它退化為一個極其常用且直观的形式:

下凸函數: $\displaystyle f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ (中点的函數值不大于函數值的中点).
上凸函數: $\displaystyle f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \ge \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ (中点的函數值不小于函數值的中点).

凹凸性的分析判定法

凹凸性的代數定義虽然严谨, 但在实际操作中直接應用不等式進行判定往往十分繁琐. 我们需要一個更具操作性的分析工具. 這一工具的建立, 源于對凹凸性几何直观的深刻洞察：函數圖像的弯曲方向, 本質上由其切線斜率的變化趋势所决定.

我们考察一個下凸函數的圖像. 当我们從左至右观察其切線时, 会發現切線的倾斜程度在持續增大. 即使在函數递减的部分, 切線的斜率也是從一個较大的负數向一個较小的负數變化, 始终处在增加的過程中. 這一观察是建立分析判定法的關键桥梁.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：下凸函數: 切線斜率 $f'(x)$ 單调递增

事实上, 函數的凹凸性與其一階導數的單调性是等价的.

定理

设函數 $f(x)$ 在区間 $I$ 上可導.

$f(x)$ 在 $I$ 上是下凸函數的充分必要条件是其導函數 $f'(x)$ 在 $I$ 上單调递增.
$f(x)$ 在 $I$ 上是上凸函數的充分必要条件是其導函數 $f'(x)$ 在 $I$ 上單调递减.

證明

我们僅證明下凸的情形.

回顾割線斜率的几何直观, 對于下凸函數, 任意满足 $x_1 \< x_2 \< x_3$ 的三点, 其割線斜率满足

\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}

我们考察任意两点 $a, b \in I$ 且 $a\<b$ . 在上述不等式中, 令 $x_1=a, x_3=b$ .

首先, 令 $x_2 \to a^+$ , 则左侧的割線斜率趋近于 $f'(a)$ . 于是我们得到

f'(a) \le \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

接着, 令 $x_2 \to b^-$ , 则右侧的割線斜率趋近于 $f'(b)$ . 于是我们得到

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \le f'(b)

将這两個不等式结合起来, 我们立即導出 $f'(a) \le f'(b)$ . 由于此结論對任意 $a\<b$ 均成立, 故導函數 $f'(x)$ 在 $I$ 上單调递增. 反方向的證明可由拉格朗日中值定理構造, 此处從略.

這個定理将凹凸性的判定問題, 转化為了我们已經熟悉的單调性判定問題, 只不過判定的對象是導函數 $f'(x)$ . 我们知道, 一個函數 (此处為 $f'(x)$ ) 的單调性由其自身的導數 (即 $f''(x)$ ) 的符号所决定. 這便引出了最终的、也是最常用的分析判定法.

二階導數判定法

设函數 $f(x)$ 在区間 $I$ 上二階可導.

若在 $I$ 内恒有 $f''(x) \ge 0$ , 则 $f(x)$ 在 $I$ 上是下凸的.
若在 $I$ 内恒有 $f''(x) \le 0$ , 则 $f(x)$ 在 $I$ 上是上凸的.

此定理将判断凹凸性的問題最终归结為求解一個不等式, 即判断二階導數 $f''(x)$ 的符号.

拐点

函數從一种弯曲形态過渡到另一种的临界点, 在几何上具有特殊的重要性.

拐点

若函數 $y=f(x)$ 的圖像在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处凹凸性發生改變, 则称点 $P$ 為该函數圖像的一個拐点.

根据二階導數判定法, 拐点的出現意味着二階導數 $f''(x)$ 在该点两侧的符号發生了改變. 因此, 若函數在拐点 $x_0$ 处二階可導, 则必然有 $f''(x_0)=0$ . 值得注意的是, $f''(x_0)=0$ 只是拐点的一個必要条件, 而非充分条件. (思考: 考虑函數 $f(x)=x^4$ , 其在 $x=0$ 处二階導數為零, 但该点并非拐点.)

例

确定函數 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 1$ 的凹凸区間及拐点.

解

我们的策略是计算函數的二階導數, 并分析其符号.

首先求一階導數:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 5

接着求二階導數:

f''(x) = 6x - 12

令 $f''(x)=0$ , 解得 $x=2$ . 這個点是可能存在拐点的唯一候選. 我们以此点為界, 考察 $f''(x)$ 的符号:

当 $x \in (-\infty, 2)$ 时, $f''(x) \< 0$ . 根据定理, 函數 $f(x)$ 在此区間上是上凸的.
当 $x \in (2, +\infty)$ 时, $f''(x) \> 0$ . 根据定理, 函數 $f(x)$ 在此区間上是下凸的.

由于函數在 $x=2$ 两侧的凹凸性發生了改變, 因此点 $(2, f(2))$ 是一個拐点. 计算拐点的纵坐標: $f(2) = 2^3 - 6(2^2) + 5(2) + 1 = 8 - 24 + 10 + 1 = -5$ .

綜上, 函數 $f(x)$ 的上凸区間為 $(-\infty, 2)$ , 下凸区間為 $(2, +\infty)$ , 其拐点為 $(2, -5)$ .

Jensen 不等式

凹凸性的定義本身蕴含了一個深刻的不等式结構. 当我们将定義中连接两点的弦與弧的關係, 從两個点自然地推廣到任意多個点时, 便得到了數學分析中一個極為重要且應用廣泛的不等式——Jensen 不等式.

Jensen 不等式的一般形式

Jensen 不等式的核心思想是: 對于下凸函數, 變量的加权平均的函數值, 不大于函數值的同权重加权平均值.

Jensen 不等式

设 $f(x)$ 是定義在区間 $I$ 上的函數.

若 $f(x)$ 為下凸函數, 则對于任意 $x_1, ..., x_n \in I$ 以及任意一组满足 $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$ 的非负权重 $\lambda_i \ge 0$ , 恒有:

f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)

若 $f(x)$ 為上凸函數, 则上述不等号方向相反.

對于严格凹凸函數, 等号成立的充分必要条件是 $x_1=x_2=...=x_n$ .

此定理的加权形式是其最完整的表述. 当我们取所有权重相等, 即 $\lambda_i = 1/n$ 时, 便得到了其更為人熟知的算术平均形式.

Jensen 不等式的算术平均形式

设 $f(x)$ 是定義在区間 $I$ 上的函數.

若 $f(x)$ 為下凸函數, 则對于任意 $x_1, ..., x_n \in I$ , 有:

f\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n}

此即“平均的函數值不大于函數值的平均”.

2. 若 $f(x)$ 為上凸函數, 则不等号方向相反.

證明（算术平均形式的證明）

我们以下凸函數為例, 使用數學归纳法證明.

奠基: 当 $n=2$ 时, 不等式為 $f(\frac{x_1+x_2}{2}) \le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ . 這正是下凸函數定義中取 $t=1/2$ 的直接推論, 命題成立.

归纳假设: 假设命題對所有小于等于 $n$ 的正整數均成立. (這是一個稍强的归纳假设, 称為强归纳法, 它使得證明過程更為簡洁).

归纳递推: 我们需要證明命題對 $n+1$ 成立. 考虑 $n+1$ 個点 $x_1, ..., x_{n+1}$ . 令它们的算术平均值為 $\bar{x}_{n+1} = \frac{x_1+...+x_{n+1}}{n+1}$ . 證明的核心技巧在于, 将這個 $n+1$ 個点的平均值, 巧妙地表示為两個点的加权平均, 以便利用奠基步骤 ( $n=2$ ) 的结論.

\bar{x}_{n+1} = \frac{n}{n+1} \left( \frac{x_1+...+x_n}{n} \right) + \frac{1}{n+1} x_{n+1}

這是一個以 $\frac{n}{n+1}$ 和 $\frac{1}{n+1}$ 為权重的加权平均. 根据下凸函數的定義 (加权形式), 我们有:

\begin{aligned} f(\bar{x}_{n+1}) &\le \frac{n}{n+1} f\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right) + \frac{1}{n+1} f(x_{n+1}) \end{aligned}

現在, 對于上式右侧的第一項 $f(\frac{x_1+...+x_n}{n})$ , 我们可以應用對 $n$ 個点成立的归纳假设:

f\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n}

将此不等式代入, 得到:

\begin{aligned} f(\bar{x}_{n+1}) &\le \frac{n}{n+1} \left( \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n} \right) + \frac{1}{n+1} f(x_{n+1}) &= \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n+1} + \frac{f(x_{n+1})}{n+1} &= \frac{f(x_1)+...+f(x_{n+1})}{n+1} \end{aligned}

這證明了命題對 $n+1$ 成立. 故由數學归纳法, Jensen不等式對所有整數 $n \ge 2$ 成立.

應用: 從 Jensen 不等式到均值不等式

许多著名不等式是 Jensen 不等式的特例.

例

證明算术-几何平均值不等式: 對于正數 $x_1, ..., x_n$ , $\frac{x_1+...+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1... x_n}$ .

解

考虑函數 $f(x)=\ln x$ , 定義域為 $(0, +\infty)$ . 其二階導數為 $f''(x) = -1/x^2$ . 在 $(0, +\infty)$ 内, $f''(x)\<0$ 恒成立, 故 $f(x)=\ln x$ 是严格上凸函數.

根据上凸函數的 Jensen 不等式:

\frac{\ln x_1 + ... + \ln x_n}{n} \le \ln\left(\frac{x_1+...+x_n}{n}\right)

利用對數性質, 不等式左侧可化為:

\frac{\ln(x_1... x_n)}{n} = \ln\left((x_1... x_n)^{1/n}\right) = \ln(\sqrt[n]{x_1... x_n})

代入原不等式, 得 $\ln(\sqrt[n]{x_1... x_n}) \le \ln(\frac{x_1+...+x_n}{n})$ .

由于對數函數是严格單调递增的, 上述不等關係等价于其自變量之間的不等關係:

\sqrt[n]{x_1... x_n} \le \frac{x_1+...+x_n}{n}

證毕.

Jensen 不等式的應用信号

在处理多元函數極值問題时, 若目標表达式形如 $\sum f(x_i)$ (例如 $2^{x_1}+2^{x_2}$ 或 $\sin A+\sin B+\sin C$ ), 且變量满足和為定值的约束 $\sum x_i = C$ , 這便是應用 Jensen 不等式的强烈信号.

例

在 $\triangle ABC$ 中, 求 $S = \sin A + \sin B + \sin C$ 的最大值.

解

此問題符合上述應用模式.考虑函數 $f(x)=\sin x$ , 定義域為内角范围 $(0, \pi)$ , 變量满足 $A+B+C=\pi$ .

函數 $f(x)=\sin x$ 的二階導數為 $f''(x)=-\sin x$ . 在区間 $(0, \pi)$ 内, $\sin x \> 0$ , 故 $f''(x)\<0$ . 因此 $f(x)$ 是严格上凸函數.

應用上凸函數的 Jensen 不等式:

\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \le \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)

代入约束条件 $A+B+C=\pi$ :

\frac{S}{3} \le \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

解得 $S \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

等号成立条件為 $A=B=C=\pi/3$ , 此条件可以达到 (当 $\triangle ABC$ 為正三角形时). 因此, $S$ 的最大值為 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

反函數

{/* label: sec:ch03-s07 */}

函數定義了一個從定義域到值域的确定性映射.一個自然的問題是，此過程是否可逆？即，能否根据输出值唯一地确定输入值？实現這一“逆過程”的函數即為反函數.反函數的概念不僅在函數理論中至關重要, 其背后蕴含的坐標互換與圖像對称思想, 是解决問題的有力工具.

反函數存在的条件

一個函數 $f$ 的逆過程要成為一個函數, 必须保證對于值域中的任意一個元素 $y$ , 在定義域中都存在唯一的 $x$ 與之對應.這要求原函數 $f$ 的映射關係是无损的, 即没有多個输入映射到同一個输出.

單射

称一個函數 $f: A \to C$ 是單射 (或称一一映射), 如果對于其定義域 $A$ 内任意两個不同的元素 $x_1, x_2$ , 其對應的函數值也必然不同, 即 $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ .

定理

一個函數 $f(x)$ 存在反函數的充分必要条件是 $f(x)$ 為單射.

在几何上, 函數是否為單射可以通過水平線檢验法直观判断：若任意一条水平直線與函數圖像至多只有一個交点, 则该函數為單射, 存在反函數.严格單调函數是單射函數的一個重要子類.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：水平線檢验法

反函數的定義與求解

反函數

设函數 $y=f(x)$ 的定義域為 $A$ , 值域為 $C$ , 且 $f$ 為單射.對于任意 $y \in C$ , 方程 $y=f(x)$ 存在唯一的解 $x \in A$ . 這個解 $x$ 依赖于 $y$ , 因此我们可以定義一個新函數 $g: C \to A$ , 使得 $x=g(y)$ . 函數 $g$ 称為 $f$ 的反函數, 记作 $f^{-1}$ .

按照惯例, 我们用 $x$ 表示自變量, $y$ 表示因變量, 故将 $x=f^{-1}(y)$ 寫為 $y=f^{-1}(x)$ . 此时, 反函數的定義域是原函數的值域 $C$ .

符号 $f^{-1}(x)$ 是反函數的標准记法, 它與 $\frac{1}{f(x)}$ 绝无關係.

求解反函數的標准步骤為：

反解: 從 $y=f(x)$ 中解出 $x$ , 得到 $x=f^{-1}(y)$ .
互換: 将 $x$ 與 $y$ 互換, 得到 $y=f^{-1}(x)$ .
注明定義域: 反函數的定義域是原函數的值域.

例

求函數 $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ 的反函數.

解

首先确定原函數 $f(x)$ 的值域.将 $y = \frac{2x-1}{x+3}$ 變形為 $y = 2 - \frac{7}{x+3}$ .由于 $\frac{7}{x+3} \neq 0$ , 故 $y \neq 2$ . 原函數的值域為 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ , 此即反函數的定義域.

接着, 從 $y = \frac{2x-1}{x+3}$ 中反解 $x$ :

\begin{aligned} y(x+3) &= 2x-1 xy + 3y &= 2x - 1 3y + 1 &= x(2-y) x &= \frac{3y+1}{2-y} \end{aligned}

互換 $x, y$ 得到 $y = \frac{3x+1}{2-x}$ .

因此, 所求反函數為 $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{2-x}$ , 其定義域為 $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$ .

反函數的性質

互為反函數的两個函數在代數性質與几何圖像上存在紧密的對偶關係.

反函數的性質

设 $y=f(x)$ 是一個存在反函數 $y=f^{-1}(x)$ 的函數.

圖像對称性: $y=f(x)$ 的圖像與 $y=f^{-1}(x)$ 的圖像關于直線 $y=x$ 對称.
定義域與值域互換: $f$ 的定義域是 $f^{-1}$ 的值域, $f$ 的值域是 $f^{-1}$ 的定義域.
單调性一致性: 若 $f(x)$ 在某個区間上單调递增(减), 则其反函數 $f^{-1}(x)$ 在對應的区間上也單调递增(减).
複合抵消性: 對于 $f^{-1}$ 定義域中的任意 $x$ , $f(f^{-1}(x))=x$ .對于 $f$ 定義域中的任意 $x$ , $f^{-1}(f(x))=x$ .

證明（性質1的證明）

若点 $P(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 的圖像上, 则 $b=f(a)$ .根据反函數的定義, 這等价于 $a=f^{-1}(b)$ .這意味着点 $Q(b,a)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 的圖像上.点 $P(a,b)$ 與 $Q(b,a)$ 關于直線 $y=x$ 對称, 此结論對圖像上所有点均成立, 故两函數圖像關于 $y=x$ 對称.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數與反函數圖像關于 $y=x$ 對称

例

已知 $x_1$ 是方程 $3^x = \frac{4}{x}$ 的根, $x_2$ 是方程 $\log_3 x = \frac{4}{x}$ 的根, 求 $x_1 x_2$ .

解

這两個方程无法直接求解.我们從函數圖像的角度分析.

方程一的根 $x_1$ 是函數 $y_1=3^x$ 與 $y_g=4/x$ 圖像交点的横坐標. 方程二的根 $x_2$ 是函數 $y_2=\log_3 x$ 與 $y_g=4/x$ 圖像交点的横坐標.

我们分析這三個函數的對称性. $y_1=3^x$ 與 $y_2=\log_3 x$ 互為反函數, 它们的圖像關于直線 $y=x$ 對称. $y_g=4/x$ 的反函數是其自身, 故其圖像也關于直線 $y=x$ 對称.

设 $P_1(x_1, y_1)$ 是 $y_1=3^x$ 與 $y_g=4/x$ 的一個交点. 由于 $y_1$ 和 $y_g$ 的圖像都關于 $y=x$ 對称的圖像分别是 $y_2$ 和 $y_g$ , 那么 $y_2$ 與 $y_g$ 的交点 $P_2(x_2, y_2)$ 必然是 $P_1(x_1, y_1)$ 關于直線 $y=x$ 的對称点.

因此, $P_2$ 的坐標為 $(y_1, x_1)$ , 即 $x_2=y_1, y_2=x_1$ .

由 $P_1$ 点的定義, 有 $y_1=4/x_1$ . 结合 $x_2=y_1$ , 我们得到 $x_2=4/x_1$ .

故 $x_1 x_2 = 4$ .

函數的反函數

{/* label: sec:ch03-s08 */}

反函數存在的条件

單射

定理

一個函數 $f(x)$ 存在反函數的充分必要条件是 $f(x)$ 為單射.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：水平線檢验法

反函數的定義與求解

反函數

按照惯例, 我们用 $x$ 表示自變量, $y$ 表示因變量, 故将 $x=f^{-1}(y)$ 寫為 $y=f^{-1}(x)$ . 此时, 反函數的定義域是原函數的值域 $C$ .

符号 $f^{-1}(x)$ 是反函數的標准记法, 它與 $\frac{1}{f(x)}$ 绝无關係.

求解反函數的標准步骤為：

反解: 從 $y=f(x)$ 中解出 $x$ , 得到 $x=f^{-1}(y)$ .
互換: 将 $x$ 與 $y$ 互換, 得到 $y=f^{-1}(x)$ .
注明定義域: 反函數的定義域是原函數的值域.

例

求函數 $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ 的反函數.

解

接着, 從 $y = \frac{2x-1}{x+3}$ 中反解 $x$ :

\begin{aligned} y(x+3) &= 2x-1 xy + 3y &= 2x - 1 3y + 1 &= x(2-y) x &= \frac{3y+1}{2-y} \end{aligned}

互換 $x, y$ 得到 $y = \frac{3x+1}{2-x}$ .

因此, 所求反函數為 $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{2-x}$ , 其定義域為 $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$ .

反函數的性質

互為反函數的两個函數在代數性質與几何圖像上存在紧密的對偶關係.

反函數的性質

设 $y=f(x)$ 是一個存在反函數 $y=f^{-1}(x)$ 的函數.

圖像對称性: $y=f(x)$ 的圖像與 $y=f^{-1}(x)$ 的圖像關于直線 $y=x$ 對称.
定義域與值域互換: $f$ 的定義域是 $f^{-1}$ 的值域, $f$ 的值域是 $f^{-1}$ 的定義域.
單调性一致性: 若 $f(x)$ 在某個区間上單调递增(减), 则其反函數 $f^{-1}(x)$ 在對應的区間上也單调递增(减).
複合抵消性: 對于 $f^{-1}$ 定義域中的任意 $x$ , $f(f^{-1}(x))=x$ .對于 $f$ 定義域中的任意 $x$ , $f^{-1}(f(x))=x$ .

證明（性質1的證明）

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數與反函數圖像關于 $y=x$ 對称

例

已知 $x_1$ 是方程 $3^x = \frac{4}{x}$ 的根, $x_2$ 是方程 $\log_3 x = \frac{4}{x}$ 的根, 求 $x_1 x_2$ .

解

這两個方程无法直接求解.我们從函數圖像的角度分析.

方程一的根 $x_1$ 是函數 $y_1=3^x$ 與 $y_g=4/x$ 圖像交点的横坐標. 方程二的根 $x_2$ 是函數 $y_2=\log_3 x$ 與 $y_g=4/x$ 圖像交点的横坐標.

因此, $P_2$ 的坐標為 $(y_1, x_1)$ , 即 $x_2=y_1, y_2=x_1$ .

由 $P_1$ 点的定義, 有 $y_1=4/x_1$ . 结合 $x_2=y_1$ , 我们得到 $x_2=4/x_1$ .

故 $x_1 x_2 = 4$ .

函數的複合

{/* label: sec:ch03-s09 */}

函數的複合是一种基本运算, 它通過依次施加多個函數的作用, 由已知函數構造新函數.深刻理解複合函數的構造過程及其性質的传递规律, 是分析複杂函數的關键.

複合函數的定義

设有两個函數, $f$ 和 $g$ .函數的複合過程如下：自變量 $x$ 首先由函數 $g$ 作用, 得到中間值 $u=g(x)$ .该中間值 $u$ 继而作為函數 $f$ 的自變量, 得到最终值 $y=f(u)$ .這個從 $x$ 到 $y$ 的连續作用過程定義了一個新的函數.

x \xrightarrow{g} u=g(x) \xrightarrow{f} y=f(u) = f(g(x))

複合函數

设有函數 $u=g(x)$ 和 $y=f(u)$ , 则通過代換形成的函數

y = f(g(x))

称為由函數 $g$ 和 $f$ 構成的複合函數.其中, $x$ 是自變量, $u$ 是中間變量.我们称 $g$ 為内层函數, $f$ 為外层函數.

複合函數 $y=f(g(x))$ 得以良定義的前提是：内层函數 $g(x)$ 的值域必须是外层函數 $f(u)$ 定義域的子集.

複合函數的基本性質

定義域

複合函數的定義域由一個核心原则支配：複合過程的每一步都必须有意義.

複合函數定義域

设函數 $f$ 的定義域為 $D_f$ , 函數 $g$ 的定義域為 $D_g$ .则複合函數 $y = f(g(x))$ 的定義域 $D_{f \circ g}$ 是同时满足以下两個条件的自變量 $x$ 構成的集合：

$x \in D_g$ (内层函數有意義);
$g(x) \in D_f$ (外层函數有意義).

即 $D_{f \circ g} = \{ x \in D_g \mid g(x) \in D_f \}$ .

例

已知函數 $f(2x-1)$ 的定義域為 $[0, 1]$ , 求函數 $f(\sqrt{x})$ 的定義域.

解

此問題的核心在于确定外层函數 $f$ 的定義域. 由題设, 当 $x \in [0, 1]$ 时, $f(2x-1)$ 有意義.這意味着 $f$ 的输入量 (即中間變量 $u=2x-1$ ) 的取值范围是由 $x \in [0, 1]$ 决定的. 当 $x \in [0, 1]$ 时, $u=2x-1 \in [-1, 1]$ . 因此, 外层函數 $f(u)$ 的定義域為 $D_f = [-1, 1]$ .

對于新函數 $f(\sqrt{x})$ , 其定義域由以下不等式组确定:

\begin{cases} x \ge 0 & (\text{内层函數 } \sqrt{x} \text{ 有意義}) \sqrt{x} \in [-1, 1] & (\text{内层函數的值在外层函數的定義域内}) \end{cases}

由于 $\sqrt{x} \ge 0$ , 第二個条件等价于 $0 \le \sqrt{x} \le 1$ , 平方得 $0 \le x \le 1$ . 联立两個条件, 函數 $f(\sqrt{x})$ 的定義域為 $[0, 1]$ .

值域

求解複合函數的值域, 是一個“由内向外”的分析過程. 對于函數 $y=f(g(x))$ :

确定内层函數的值域: 在複合函數的定義域内, 求出内层函數 $u=g(x)$ 的值域 $R_g$ .
求解外层函數的值域: 将 $R_g$ 作為外层函數 $f(u)$ 的新定義域, 在此定義域上求 $f(u)$ 的值域, 即為原複合函數的值域.

例

求函數 $y = 4^x - 2^{x+1} + 3$ 的值域.

解

通過換元法识别其複合结構.令 $u = 2^x$ , 则原函數可视為 $y = u^2 - 2u + 3$ . 這是一個由内层函數 $u=g(x)=2^x$ 和外层函數 $y=f(u)=u^2-2u+3$ 構成的複合函數.

内层函數 $u=2^x$ 的定義域為 $\mathbb{R}$ , 其值域為 $R_g = (0, +\infty)$ .

問題转化為求二次函數 $y=f(u)=(u-1)^2+2$ 在定義域 $u \in (0, +\infty)$ 上的值域. 此為開口向上, 對称轴為 $u=1$ 的抛物線.由于對称轴 $u=1$ 位于定義域 $(0, +\infty)$ 内, 函數在 $u=1$ 处取得最小值 $y_{\min} = f(1) = 2$ .

因此, 原函數的值域為 $[2, +\infty)$ .

單调性與奇偶性

複合函數的單调性與奇偶性遵循明确的传递法则.

複合函數單调性

设複合函數 $y=f(g(x))$ 在区間 $I$ 上有定義, 且 $u=g(x)$ 與 $y=f(u)$ 在各自對應的定義域区間上單调.

若 $f(u)$ 與 $g(x)$ 單调性相同, 则 $f(g(x))$ 為增函數.
若 $f(u)$ 與 $g(x)$ 單调性相异, 则 $f(g(x))$ 為减函數.

複合函數奇偶性

设複合函數 $y=f(g(x))$ 的定義域 $D$ 關于原点對称.

若内层函數 $g(x)$ 是偶函數, 则 $y=f(g(x))$ 必為偶函數.
若内层函數 $g(x)$ 是奇函數, 则複合函數的奇偶性與外层函數 $f(u)$ 相同.

證明（奇偶性定理證明）

令 $F(x) = f(g(x))$ .

若 $g$ 為偶函數: $F(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = F(x)$ . 故 $F(x)$ 為偶函數.
若 $g$ 為奇函數: $F(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x))$ . 若 $f$ 為偶函數, $f(-g(x))=f(g(x))=F(x)$ , 故 $F(x)$ 為偶函數. 若 $f$ 為奇函數, $f(-g(x))=-f(g(x))=-F(x)$ , 故 $F(x)$ 為奇函數.

函數相等

判定两個函數是否為同一函數, 需满足严格的条件.

函數相等

若两個函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定義域相同, 且對應法则也相同, 则称這两個函數相等, 记為 $f(x)=g(x)$ .

判定时必须同时审查這两個方面.對應法则的审查, 通常在将解析式化至最簡形式后進行.

例

判断 $f(x) = x+2$ 與 $g(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ 是否為同一函數.

解

审查定義域: $f(x)=x+2$ 的定義域為 $\mathbb{R}$ . $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ 的分母不能為零, 即 $x \neq 2$ . 其定義域為 $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$ .

由于定義域不同, 這两個函數不是同一函數.

函數的圖像變換

{/* label: sec:ch03-s10 */}

函數的圖像是其代數表达式的几何实現.圖像變換提供了一套係统性的方法, 使我们能從基本函數圖像出發, 通過平移、伸缩、對称等操作, 精确構造出更複杂函數的圖像.本节旨在建立這些几何操作與其代數表示之間的严格联係, 并揭示其背后的统一原理.

變換的统一原理

所有圖像變換均可归结為一個代數原理：新旧坐標的代換關係.

设原函數圖像满足方程 $y_0=f(x_0)$ , 其上任意一点為 $(x_0, y_0)$ .經過變換, 该点移动至新圖像上的点 $(x,y)$ .若新旧坐標間的變換關係可表示為

\begin{aligned} x_0 &= g(x,y) y_0 &= h(x,y) \end{aligned}

则将此關係代入原方程 $y_0=f(x_0)$ , 即得新圖像的方程 $h(x,y) = f(g(x,y))$ .

坐標變換與方程變換的對偶性

核心在于, 方程的變換與点的坐標變換在形式上是"逆向"的.例如, 将圖像上的所有点 $(x_0, y_0)$ 向右平移 $a$ 個單位得到新点 $(x,y)$ , 其坐標關係為 $x = x_0+a, y=y_0$ .為建立新坐標 $(x,y)$ 满足的方程, 必须用新坐標表示旧坐標, 即 $x_0 = x-a, y_0=y$ , 然后代入原方程, 得到 $y=f(x-a)$ .注意到, 作用于坐標的變換是 $+a$ , 而作用于方程中變量的變換是 $-a$ .

基本圖像變換

平移與伸缩變換

设原函數為 $y=f(x)$ , $a,b,\omega,A$ 均為正实數.

水平平移: $y = f(x-a)$ 的圖像由 $y=f(x)$ 向右平移 $a$ 個單位得到.
竖直平移: $y = f(x)+b$ 的圖像由 $y=f(x)$ 向上平移 $b$ 個單位得到.
水平伸缩: $y = f(\omega x)$ 的圖像由 $y=f(x)$ 上各点的横坐標變為原来的 $1/\omega$ 倍得到 (纵坐標不變).
竖直伸缩: $y = A f(x)$ 的圖像由 $y=f(x)$ 上各点的纵坐標變為原来的 $A$ 倍得到 (横坐標不變).

對称變換

设原函數為 $y=f(x)$ .

關于 x轴對称的圖像方程為 $y = -f(x)$ .
關于 y轴對称的圖像方程為 $y = f(-x)$ .
關于原点對称的圖像方程為 $y = -f(-x)$ .
關于直線 y=x 對称的圖像方程為 $x = f(y)$ (即反函數圖像).

上述變換均可通過统一原理直接推導.

複合變換

對于形如 $y=A f(\omega x + \phi) + k$ 的函數, 其圖像變換顺序至關重要.為避免混淆, 我们首先将其改寫為標准形式:

y - k = A f\left(\omega\left(x + \frac{\phi}{\omega}\right)\right)

此形式揭示了從基函數 $y_0=f(x_0)$ 到目標函數的坐標映射關係:

x_0 = \omega\left(x + \frac{\phi}{\omega}\right), y_0 = \frac{y-k}{A}

反解出新坐標 $(x,y)$ 與旧坐標 $(x_0, y_0)$ 的關係：

x = \frac{1}{\omega}x_0 - \frac{\phi}{\omega}, y = Ay_0 + k

此坐標變換過程可分解為伸缩(或對称)變換與平移變換的複合.一個可靠的作圖法则是先伸缩, 后平移.具體而言, 水平變換與竖直變換的次序无關, 但各自内部的“先伸缩后平移”的次序不應颠倒.

例

叙述由 $y=\sin x$ 的圖像變換得到 $y=-2\sin\left( \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ 圖像的過程.

解

将目標函數改寫為標准形式 $y - 1 = -2\sin\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)$ . 變換過程如下:

1. 水平變換: (a) 将 $y=\sin x$ 圖像上所有点的横坐標變為原来的 $2$ 倍, 得到 $y=\sin(\frac{1}{2}x)$ 的圖像. (b) 再将所得圖像向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 個單位, 得到 $y=\sin(\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3}))$ 的圖像.

2. 竖直變換: (a) 将前一步所得圖像上所有点的纵坐標變為原来的 $-2$ 倍 (即伸长到2倍, 再關于x轴對称), 得到 $y=-2\sin(\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3}))$ 的圖像. (b) 最后将所得圖像向上平移 $1$ 個單位, 得到最终圖像.

绝對值變換

含绝對值的函數圖像變換是一种基于坐標轴的翻折操作.

翻折變換

设原函數為 $y=f(x)$ .

函數 $y=f(|x|)$ 的圖像: 由 $f(|x|) = \begin{cases} f(x), & x \ge 0 \\ f(-x), & x \< 0 \end{cases}$ 可知, 新函數為偶函數. 其圖像的構造方法為: 保留 $y=f(x)$ 圖像在 y轴右侧 (含y轴) 的部分, 并将此部分關于 y轴對称翻折到左侧, 構成完整的圖像.
函數 $y=|f(x)|$ 的圖像: 由 $|f(x)| = \begin{cases} f(x), & f(x) \ge 0 \\ -f(x), & f(x) \< 0 \end{cases}$ 可知, 新函數的值域非负. 其圖像的構造方法為: 保留 $y=f(x)$ 圖像在 x轴上方 (含x轴) 的部分, 并将 x轴下方的部分關于 x轴對称翻折到上方.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：翻折變換示例

導函數的對称性

定理

若可導函數 $y=f(x)$ 的圖像關于直線 $x=a$ 轴對称, 则其導函數 $y=f'(x)$ 的圖像關于点 $(a,0)$ 中心對称.

證明

函數 $f(x)$ 圖像關于 $x=a$ 對称的代數表达式為 $f(a-x)=f(a+x)$ .對此恒等式两边關于 $x$ 求導, 應用链式法则:

\begin{aligned} [f(a-x)]' &= [f(a+x)]' f'(a-x) \cdot (a-x)' &= f'(a+x) \cdot (a+x)' -f'(a-x) &= f'(a+x) \end{aligned}

此關係式即為導函數 $f'(x)$ 的圖像關于点 $(a,0)$ 中心對称的定義.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：轴對称原函數與中心對称導函數

常见多項式函數

{/* label: sec:ch03-s11 */}

多項式函數 $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ 是由幂函數通過有限次加法與數乘运算複合而成的函數類, 它们是函數世界中最基本、性質最良好、應用最廣泛的基石. 其定義域為全體实數 $\mathbb{R}$ , 且在定義域内处处连續、光滑可導. 本节将簡要回顾一次與二次函數的核心性質, 并重点剖析三次函數的對称性、單调性與根的性質, 以期建立一個分析任意多項式函數的係统性视角.

一次與二次函數回顾

一次函數 $f(x)=kx+b \ (k\neq 0)$ 的本質特征是其變化率恒定. 它的導數 $f'(x)=k$ 是一個常數, 這意味着其圖像——直線——的斜率处处相等. 几何上, 直線是自身在每一点的切線, 并且關于其上任意一点都構成中心對称圖形.

二次函數 $f(x)=ax^2+bx+c \ (a\neq 0)$ 的本質特征是其變化率的變化率恒定. 它的二階導數 $f''(x)=2a$ 是一個非零常數, 這意味着其圖像——抛物線——的凹凸性在整個定義域上保持不變. 抛物線最根本的性質是其轴對称性, 對称轴為直線 $x=-\frac{b}{2a}$ . 這一對称性深刻地联係了函數的几何與代數性質. 不妨设方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根為 $x_1, x_2$ , 根据韦达定理, 根與係數的關係為 $x_1+x_2 = -b/a$ . 注意到, 對称轴的横坐標恰好是两根的算术平均值 $\frac{x_1+x_2}{2} = -\frac{b}{2a}$ . 這一事实揭示了對称轴作為函數零点几何中心的代數根源.

三次函數

三次函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ (a\neq 0)$ 展現了更為丰富的形态與性質, 其行為主要由其一階與二階導數所支配.

\begin{aligned} f'(x) &= 3ax^2+2bx+c f''(x) &= 6ax+2b \end{aligned}

注意到, 一階導數是二次函數, 决定了原函數的單调性與極值; 二階導數是一次函數, 决定了原函數的凹凸性與拐点. 從高階導數反向研究原函數, 是分析函數性質的根本方法.

單调性與極值

三次函數的單调性完全取决于其導函數 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 的符号. 作為一個二次函數, $f'(x)$ 的符号由其判别式 $\Delta = (2b)^2 - 4(3a)c = 4(b^2-3ac)$ 决定.

当 $\Delta \> 0$ 时, 即 $b^2-3ac \> 0$ , 方程 $f'(x)=0$ 有两個不相等的实數根 $x_1, x_2$ . 這两個根是 $f(x)$ 的極值点. 函數 $f(x)$ 在 $(-\infty, \min\{x_1,x_2\})$ 和 $(\max\{x_1,x_2\}, +\infty)$ 上單调, 在 $(\min\{x_1,x_2\}, \max\{x_1,x_2\})$ 上單调性相反. 函數圖像呈現典型的“S”形, 拥有一個極大值点和一個極小值点.
当 $\Delta = 0$ 时, 即 $b^2-3ac = 0$ , 方程 $f'(x)=0$ 有两個相等的实數根 $x_0$ . 此时 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上除一点外恒為正或恒為负. 函數 $f(x)$ 在整個定義域 $\mathbb{R}$ 上是單调的, 没有極值点. 但在 $x_0$ 处, 其切線斜率為零, 该点是一個水平拐点.
当 $\Delta \< 0$ 时, 即 $b^2-3ac \< 0$ , 方程 $f'(x)=0$ 无实數根. $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒為正或恒為负. 函數 $f(x)$ 在整個定義域 $\mathbb{R}$ 上是严格單调的, 既无極值点, 也无水平切線.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：三次函數的三种基本形态 ( $a\>0$ )

對称性

二次函數具有轴對称性, 而三次函數则具有更為深刻的中心對称性.

定理

任何三次函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的圖像都是中心對称圖形, 其對称中心是唯一的拐点 $(x_0, f(x_0))$ .

證明

函數的拐点是其凹凸性改變之处, 由二階導數 $f''(x)=0$ 确定.

f''(x) = 6ax+2b = 0 \implies x_0 = -\frac{b}{3a}

此即拐点的横坐標. 事实上, 该点也是導函數 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 這条抛物線的對称轴.

為證明点 $(x_0, f(x_0))$ 是對称中心, 我们只需验證 $f(x_0+t)+f(x_0-t) = 2f(x_0)$ 對任意实數 $t$ 恒成立. 将 $x_0+t$ 與 $x_0-t$ 分别代入 $f(x)$ 的表达式, 經過直接但略显繁琐的代數运算, 可以消去所有含 $t$ 的奇次幂項, 最终验證该恒等式成立.

這一對称性具有重要的推論. 若三次函數存在两個極值点 $x_1, x_2$ , 它们必然關于對称中心的横坐標 $x_0$ 對称, 即 $x_0 = \frac{x_1+x_2}{2}$ . 同时, 两個極值点 $f(x_1), f(x_2)$ 也關于對称中心的纵坐標 $f(x_0)$ 對称, 即 $f(x_0) = \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ .

三次方程实根個數的判定

探究三次方程 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$ 实根的個數, 本質上是考察函數圖像 $y=f(x)$ 與 $x$ 轴的交点個數. 這一几何問題的代數判据, 完全蕴含于函數的極值性質之中.

我们分析的出發点是導函數 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ . 其判别式 $\Delta = 4(b^2-3ac)$ 是分類讨論的第一個枢纽.

首先, 我们考察函數不存在極值的情形. 当 $b^2-3ac \le 0$ 时, 導函數 $f'(x)$ 在实數域上至多有一個零点, 從而 $f'(x)$ 恒為非负或恒為非正. 這意味着原函數 $f(x)$ 在整個定義域 $\mathbb{R}$ 上是單调的. 一個在 $\mathbb{R}$ 上连續的單调函數, 其圖像與任何一条水平直線(包括 $x$ 轴)至多有一個交点. 又因 $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)$ 符号相反, 故必有一個交点. 因此, 在此情形下, 方程 $f(x)=0$ 有且僅有一個实根.

一個更為微妙的情形是当 $b^2-3ac \> 0$ 时. 此时, 函數 $f(x)$ 存在一個極大值與一個極小值, 不妨设其發生在 $x_1$ 與 $x_2$ 处. 函數圖像不再單调, 而是呈現“升-降-升”或“降-升-降”的形态. 此时, 圖像與 $x$ 轴的交点個數, 完全取决于两個極值 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 相對于 $x$ 轴的位置. 這一几何位置關係, 可以通過考察两個極值的乘積 $f(x_1) \cdot f(x_2)$ 的符号来精确刻画.

若 $f(x_1) \cdot f(x_2) \> 0$ , 這意味着两個極值点均在 $x$ 轴的同一侧(同為正或同為负). 此时, 函數圖像在达到一個極值后“折返”, 但在到达另一個極值前并未能触及 $x$ 轴. 因此, 圖像僅與 $x$ 轴有一個交点, 方程僅有一個实根.
若 $f(x_1) \cdot f(x_2) = 0$ , 這意味着其中一個極值点恰好落在 $x$ 轴上. 此时, 函數圖像在 $x$ 轴上有一個切点(二重根)和一個穿根点. 因此, 方程有两個不相等的实根.
若 $f(x_1) \cdot f(x_2) \< 0$ , 這意味着極大值在 $x$ 轴上方, 而極小值在 $x$ 轴下方. 根据连續函數介值定理, 函數圖像在两個極值点之間必然要穿越一次 $x$ 轴. 加上两端趋于无穷的行為, 圖像共與 $x$ 轴有三個不同的交点. 因此, 方程有三個不相等的实根.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：三次函數存在極值时, 实根個數的几何情形

綜上所述, 我们可以将三次方程实根個數的判定条件总结如下: 设 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$ , 且 $x_1, x_2$ 是其導函數 $f'(x)=0$ 的根.

一個实根的充要条件是 $b^2-3ac \le 0$ , 或 $b^2-3ac \> 0$ 且 $f(x_1)f(x_2)\>0$ .
两個不等实根的充要条件是 $b^2-3ac \> 0$ 且 $f(x_1)f(x_2)=0$ .
三個不等实根的充要条件是 $b^2-3ac \> 0$ 且 $f(x_1)f(x_2)\<0$ .

例

确定方程 $2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$ 的实根個數.

解

此問題等价于考察函數 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ 的圖像與 $x$ 轴的交点個數. 我们的分析策略是首先通過導數确定函數的單调性與極值, 進而根据極值與零的位置關係来判定根的數目.

首先求其導函數:

f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)

令 $f'(x)=0$ , 我们得到两個临界点 $x_1=1$ 和 $x_2=2$ . 這表明函數 $f(x)$ 存在两個極值点.

接下来, 我们计算這两個極值的大小:

\begin{aligned} f(1) &= 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 4 = 2 - 9 + 12 - 4 = 1 f(2) &= 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 4 = 16 - 36 + 24 - 4 = 0 \end{aligned}

我们注意到, 極小值 $f(2)$ 恰好為零. 這意味着函數圖像在点 $(2,0)$ 处與 $x$ 轴相切.

為了确定根的总數, 我们考察極值的乘積:

f(1) \cdot f(2) = 1 \cdot 0 = 0

根据我们的判定准则, 当極值之積為零时, 函數圖像與 $x$ 轴有一個切点和一個穿根点.

因此, 原方程有两個不相等的实根 (其中一個是二重根).

例

讨論關于 $x$ 的方程 $x^3 - 3x = m$ 的实根個數随參數 $m$ 的變化情况.

解

此問題要求我们根据參數 $m$ 的取值, 對一個三次方程的根的结構進行完整的分類讨論. 我们可以将方程變形為 $x^3 - 3x - m = 0$ , 并令 $f(x) = x^3 - 3x - m$ . 問題的核心便是分析函數 $f(x)$ 的零点個數.

首先, 我们考察 $f(x)$ 的極值存在性. 其導函數為:

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)

令 $f'(x)=0$ , 解得極值点為 $x_1=-1$ 和 $x_2=1$ . 注意到極值点的存在與參數 $m$ 无關.

接下来, 我们计算两個極值, 它们将是 $m$ 的表达式:

\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^3 - 3(-1) - m = -1 + 3 - m = 2-m f(1) &= (1)^3 - 3(1) - m = 1 - 3 - m = -2-m \end{aligned}

方程实根的個數取决于這两個極值乘積的符号:

f(-1)f(1) = (2-m)(-2-m) = (m-2)(m+2)

我们現在可以對參數 $m$ 進行分類讨論:

当有三個不等实根时, 必须满足 $f(-1)f(1) \< 0$ , 即 $(m-2)(m+2) \< 0$ . 解此不等式得 $-2 \< m \< 2$ .
当有两個不等实根时, 必须满足 $f(-1)f(1) = 0$ , 即 $(m-2)(m+2) = 0$ . 解得 $m=2$ 或 $m=-2$ .
当僅有一個实根时, 必须满足 $f(-1)f(1) \> 0$ , 即 $(m-2)(m+2) \> 0$ . 解得 $m \> 2$ 或 $m \< -2$ .

綜上所述, 当 $-2 \< m \< 2$ 时, 方程有三個不等实根; 当 $m=\pm 2$ 时, 方程有两個不等实根; 当 $|m|\>2$ 时, 方程僅有一個实根.

分离參數法

一個等价且几何直观更强的视角是分离參數. 原方程 $x^3 - 3x = m$ 的根的個數, 等价于函數 $g(x)=x^3-3x$ 的圖像與水平直線 $y=m$ 的交点個數. 通過分析 $g(x)$ 的極大值 $g(-1)=2$ 與極小值 $g(1)=-2$ , 我们可以直观地得出相同的结論.

例

已知函數 $f(x) = x^3 - ax^2 + (a^2-2a)x$ . 若 $f(x)$ 在区間 $(1, 2)$ 内恰有一個極值点, 求实數 $a$ 的取值范围.

解

注意到, $f'(x)$ 可以進行因式分解:

f'(x) = (3x - (a-1))(x - (a+1))

這是一個錯誤的分解. 让我们重新尝试配方法或直接使用求根公式.

让我们重新审视 $f'(x) = 3x^2 - 2ax + (a^2-2a)$ . 這是一個開口向上的抛物線. 它在区間 $(1, 2)$ 内恰有一個根, 這意味着该区間穿過了抛物線與 $x$ 轴的一個交点. 這在几何上對應两种可能:

抛物線在 $(1, 2)$ 内只有一個根(可能是重根, 但此处判别式 $\Delta = 4a^2 - 12(a^2-2a) = -8a^2+24a = -8a(a-3)$ 需大于等于零, 故 $0 \le a \le 3$ ).
抛物線在 $x=1$ 和 $x=2$ 处的函數值异号, 即 $f'(1) \cdot f'(2) \< 0$ .

我们来计算 $f'(1)$ 和 $f'(2)$ :

\begin{aligned} f'(1) &= 3 - 2a + a^2 - 2a = a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3) f'(2) &= 3(4) - 2a(2) + a^2 - 2a = a^2 - 6a + 12 \end{aligned}

對于 $f'(2) = a^2 - 6a + 12 = (a-3)^2 + 3$ , 其值恒為正.

因此, 条件 $f'(1) \cdot f'(2) \< 0$ 就等价于 $f'(1) \< 0$ .

(a-1)(a-3) \< 0

解得 $1 \< a \< 3$ .

我们还需檢验边界情况. 若 $f'(1)=0$ , 则 $a=1$ 或 $a=3$ . 当 $a=1$ 时, $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = (3x+1)(x-1)$ . 根為 $x=-1/3$ 和 $x=1$ . 区間 $(1,2)$ 内无根, 不符. 当 $a=3$ 时, $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x-1)^2$ . 根為 $x=1$ (二重根). 区間 $(1,2)$ 内无根, 不符.

若 $f'(2)=0$ , 由于 $f'(2)=(a-3)^2+3$ 恒大于零, 此情况不会發生.

綜上所述, 使得 $f'(x)=0$ 在 $(1,2)$ 内恰有一個根的充要条件是 $1 \< a \< 3$ .

最后, 我们必须确保在此条件下 $f(x)$ 确实存在極值点, 即 $f'(x)=0$ 有实根. 這要求判别式 $\Delta = -8a(a-3) \ge 0$ , 即 $0 \le a \le 3$ .

将两個条件取交集, 我们得到 $a$ 的最终取值范围是 $(1, 3)$ .

例

设函數 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax^2 + 1$ . 若 $a\>2$ , 判断函數 $f(x)$ 在区間 $(0,2)$ 内的零点個數.

解

此問題的核心在于判断函數 $f(x)$ 在指定区間 $(0,2)$ 上的單调性, 并结合端点处的函數值符号来确定零点的個數. 這是一個典型的结合了導數與连續函數介值定理的分析問題.

首先, 我们考察函數的導數以确定其單调趋势:

f'(x) = x^2 - 2ax = x(x-2a)

根据題设条件 $a\>2$ , 可知 $2a \> 4$ . 對于任意 $x \in (0,2)$ , 我们有 $x\>0$ 且 $x-2a \< 2-4 = -2 \< 0$ . 因此, 在区間 $(0,2)$ 内, 两個因子 $x$ 與 $(x-2a)$ 异号, 故其乘積 $f'(x) = x(x-2a) \< 0$ 恒成立.

這表明 $f(x)$ 在区間 $(0,2)$ 上是严格單调递减的.

接下来, 我们考察函數在区間端点处的函數值. 在左端点, $f(0) = 1 \> 0$ . 在右端点, $f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - a(2)^2 + 1 = \frac{8}{3} - 4a + 1 = \frac{11}{3} - 4a$ . 由于 $a\>2$ , 必然有 $4a\>8$ , 故 $f(2) = \frac{11}{3} - 4a \< \frac{11}{3} - 8 = -\frac{13}{3} \< 0$ .

函數 $f(x)$ 在闭区間 $[0,2]$ 上连續, 在開区間 $(0,2)$ 上严格單调递减, 且其在区間两端点的值异号 ( $f(0)\>0, f(2)\<0$ ). 根据连續函數介值定理, $f(x)$ 在区間 $(0,2)$ 内存在唯一一個零点.

故函數在区間 $(0,2)$ 上恰好有1個零点.

例

设 $a$ 為实數, 函數 $f(x) = -x^3 + 3x + a$ .

求 $f(x)$ 的極值.
若函數 $y=f(x)$ 恰好有两個零点, 求 $a$ 的值.

解

(1) 函數的極值由其導數的零点决定. 我们求其導函數:

f'(x) = -3x^2 + 3

令 $f'(x)=0$ , 即 $-3x^2+3=0$ , 解得 $x=\pm 1$ .

通過考察 $f'(x)$ 的符号, 我们可知: 当 $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ 时, $f'(x)\<0$ , 函數單调递减; 当 $x \in (-1, 1)$ 时, $f'(x)\>0$ , 函數單调递增.

因此, $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得極小值, 在 $x=1$ 处取得極大值. 極小值為: $f_{\text{極小}} = f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + a = 1 - 3 + a = a-2$ . 極大值為: $f_{\text{極大}} = f(1) = -(1)^3 + 3(1) + a = -1 + 3 + a = a+2$ .

(2) 函數 $y=f(x)$ 的圖像恰好有两個零点, 這在几何上意味着其圖像與 $x$ 轴恰有两個交点. 對于一個具有極大值和極小值的三次函數而言, 這当且僅当其中一個極值点恰好落在 $x$ 轴上, 即極大值或極小值之一為零.

因此, 我们有

f_{\text{極小}} = a-2 = 0 \text{或} f_{\text{極大}} = a+2 = 0

解得 $a=2$ 或 $a=-2$ .

例

已知函數 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax^2 + b$ , 且其在 $x=-2$ 处取得極值.

求函數 $f(x)$ 的單调区間.
若函數 $f(x)$ 在闭区間 $[-3, 3]$ 上有且僅有一個零点, 求实數 $b$ 的取值范围.

解

(I) 函數的極值点必然是其導函數為零的点. 我们首先计算導函數:

f'(x) = x^2 - 2ax

根据題设, $f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得極值, 故必有 $f'(-2)=0$ . 将 $x=-2$ 代入導函數表达式:

f'(-2) = (-2)^2 - 2a(-2) = 4 + 4a = 0

解得 $a=-1$ .

由此, 導函數得以确定: $f'(x) = x^2 + 2x = x(x+2)$ . 令 $f'(x)\>0$ , 解得 $x\>0$ 或 $x\<-2$ . 令 $f'(x)\<0$ , 解得 $-2\<x\<0$ .

因此, 函數 $f(x)$ 的严格單调递增区間是 $(-\infty, -2)$ 和 $(0, +\infty)$ , 严格單调递减区間是 $(-2, 0)$ .

(II) 根据(I)的结論, 我们所研究的函數為 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + b$ . 此函數在 $(-\infty, -2)$ 上递增, 在 $(-2, 0)$ 上递减, 在 $(0, \infty)$ 上递增. 我们需要分析其在闭区間 $[-3, 3]$ 上的行為. 為此, 我们计算函數在区間端点及内部極值点处的函數值:

\begin{aligned} f(-3) &= \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 + b = -9 + 9 + b = b f(-2) &= \frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + b = -\frac{8}{3} + 4 + b = b + \frac{4}{3} (\text{区間内的極大值}) f(0) &= b (\text{区間内的極小值}) f(3) &= \frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + b = 9 + 9 + b = b + 18 \end{aligned}

函數圖像在 $[-3, 3]$ 上的形态是固定的, 僅随參數 $b$ 發生竖直平移. 為使函數在此区間上有且僅有一個零点, 函數圖像的最高点與最低点必须几乎完全位于 $x$ 轴的一侧. 我们分两种情形讨論:

情形一: 函數圖像的極大值低于 $x$ 轴, 即 $f(-2) \< 0$ . 此条件為 $b + 4/3 \< 0$ , 即 $b \< -4/3$ . 在此条件下, $f(-3)=b$ , $f(-2)$ 及 $f(0)=b$ 均為负值. 要存在唯一零点, 必须且只需函數在区間右端点的值非负, 即 $f(3) \ge 0$ . 此条件為 $b+18 \ge 0$ , 即 $b \ge -18$ . 綜合此情形下的两個条件, 我们得到 $-18 \le b \< -4/3$ .

情形二: 函數圖像的極小值高于 $x$ 轴, 即 $f(0) \> 0$ . 此条件為 $b \> 0$ . 在此条件下, $f(0), f(-2), f(3)$ 均為正值. 要存在唯一零点, 必须且只需 $f(-3) \le 0$ , 即 $b \le 0$ . 這两個条件 $b\>0$ 與 $b \le 0$ 相互矛盾, 故此情形不可能發生.

我们还需檢验边界情况. 若 $f(-2)=0$ , 即 $b=-4/3$ , 则函數在 $x=-2$ 处有二重根, 且 $f(3) = -4/3+18 \> 0$ , $f(0)=-4/3\<0$ , 故在 $(0,3)$ 内还有一根, 不符. 若 $f(0)=0$ , 即 $b=0$ , 则 $f(x) = x^2(\frac{1}{3}x+1)$ , 其零点為 $x=0$ 和 $x=-3$ . 在 $[-3,3]$ 内有两個零点, 不符.

綜合以上所有分析, 实數 $b$ 的取值范围是 $[-18, -4/3)$ .

根與係數的關係

三次方程根與係數的關係

设方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的三個根(可能為複數根)為 $x_1, x_2, x_3$ , 则:

\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= -b/a x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 &= c/a x_1x_2x_3 &= -d/a \end{aligned}

證明

由因式定理, 多項式 $ax^3+bx^2+cx+d$ 可唯一地分解為 $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ . 展開右侧的表达式, 并與左侧的同次項係數進行比较, 即可導出上述三個關係式.

切線問題

一個有趣的問題是：過平面上任意一点, 可以作三次函數圖像的几条切線？设切点為 $(t, f(t))$ , 则切線方程為 $y-f(t) = f'(t)(x-t)$ . 若该切線經過点 $P(x_0, y_0)$ , 则

y_0 - f(t) = f'(t)(x_0-t)

将 $f(t)$ 和 $f'(t)$ 的表达式代入, 這是一個關于切点横坐標 $t$ 的三次方程. 此方程实根的個數即為過点 $P$ 可作的切線条數. 對此三次方程根的個數進行分析, 可以得到一個优美的几何结論.

切線条數判定

三次函數 $y=f(x)$ 的圖像及其在拐点处的切線(称之為拐点切線), 将整個平面划分為四個区域.

若点 $P(x_0, y_0)$ 位于由函數圖像與拐点切線所夹的两個開区域内, 则過该点可作3条不同的切線.
若点 $P$ 位于函數圖像上或拐点切線上 (但非拐点本身), 则可作2条切線.
若点 $P$ 位于其余两個開区域内, 或 $P$ 恰為拐点, 则僅可作1条切線.

{/* latex-label: fig:tangent-regions */} \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：過平面一点作三次函數切線条數的区域划分 ( $a\>0$ )

例

已知函數 $f(x)=-x^3+2x^2-x$ , 若過点 $P(1,t)$ 可作曲線 $y=f(x)$ 的三条切線, 求实數 $t$ 的取值范围.

解

理解題意的第一步, 是将“可作三条切線”這一条件转化為点 $P$ 的几何位置约束. 根据切線条數判定定理, 点 $P(1,t)$ 必须严格位于函數圖像 $y=f(x)$ 與其拐点切線之間. 我们的方案是, 分别求出在横坐標 $x=1$ 处, 函數圖像的纵坐標與拐点切線的纵坐標, $t$ 的值必须介于此二者之間.

首先, 计算函數在 $x=1$ 处的值:

f(1) = -(1)^3 + 2(1)^2 - 1 = -1+2-1=0

接下来, 我们需要确定拐点切線的方程. $f'(x)=-3x^2+4x-1$ , 進而 $f''(x)=-6x+4$ . 令 $f''(x)=0$ , 解得拐点的横坐標為 $x_0 = 2/3$ . 拐点处的函數值為 $f(2/3) = -(2/3)^3 + 2(2/3)^2 - 2/3 = -8/27 + 8/9 - 2/3 = -2/27$ . 拐点处的切線斜率為 $k_0 = f'(2/3) = -3(2/3)^2 + 4(2/3) - 1 = -4/3 + 8/3 - 1 = 1/3$ .

因此, 拐点切線的方程為 $y - (-2/27) = (1/3)(x-2/3)$ , 化簡得 $y = \frac{1}{3}x - \frac{8}{27}$ .

現在, 我们计算当 $x=1$ 时, 這条切線上的点的纵坐標:

y_{\text{切線}} = \frac{1}{3}(1) - \frac{8}{27} = \frac{9-8}{27} = \frac{1}{27}

点 $P(1,t)$ 的纵坐標 $t$ 必须严格地介于函數值 $f(1)=0$ 與拐点切線上的值 $1/27$ 之間.

故, 实數 $t$ 的取值范围是 $(0, 1/27)$ .

對称性

函數的對称性與其導函數的對称性之間存在着一种优美的對偶關係，也就是對称性.

定理

设可導函數 $y=f(x)$ .

若 $f(x)$ 的圖像關于直線 $x=a$ 轴對称, 则其導函數 $y=f'(x)$ 的圖像關于点 $(a,0)$ 中心對称.
若 $f(x)$ 的圖像關于点 $(a,b)$ 中心對称, 则其導函數 $y=f'(x)$ 的圖像關于直線 $x=a$ 轴對称.

證明

第一条性質已在前面章节證明. 我们在此證明第二条, 以展現其推導的簡洁與深刻.

函數 $f(x)$ 圖像關于点 $(a,b)$ 對称的代數表达式為 $f(a+t)+f(a-t)=2b$ . 注意到這是一個關于變量 $t$ 的恒等式. 我们對此恒等式两边關于 $t$ 求導, 并應用链式法则:

\begin{aligned} \frac{d}{dt}[f(a+t)] + \frac{d}{dt}[f(a-t)] &= \frac{d}{dt}[2b] f'(a+t) \cdot (a+t)'_t + f'(a-t) \cdot (a-t)'_t &= 0 f'(a+t) \cdot 1 + f'(a-t) \cdot (-1) &= 0 \end{aligned}

由此我们得到 $f'(a+t) = f'(a-t)$ . 這正是導函數 $f'(x)$ 的圖像關于直線 $x=a$ 轴對称的定義.

現在, 我们可以從一個更高的视角重新审视三次函數的對称性. 我们已經證明, 任何三次函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 都關于其唯一的拐点 $(x_0, f(x_0))$ 中心對称, 其中 $x_0 = -b/(3a)$ . 根据上述定理, 其導函數 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 的圖像必然關于直線 $x=x_0=-b/(3a)$ 轴對称. 這與我们熟知的二次函數對称轴公式完全吻合, 展現了不同层级理論之間的和谐统一.

極值点连線的几何性質

当三次函數存在两個極值点时, 连接這两個点的直線(割線)的几何性質, 與函數在拐点处的微观性質(切線斜率)之間, 存在一個令人惊讶的定量關係.

定理

若三次函數 $f(x)$ 存在两個極值点 $(x_1, f(x_1))$ 與 $(x_2, f(x_2))$ , 则连接這两点的割線斜率满足:

\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = -\frac{a}{2}(x_1-x_2)^2

不僅如此, 该斜率與拐点处的切線斜率 $f'(x_0)$ 存在正比關係:

\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = \frac{2}{3}f'(x_0)

其中 $x_0 = \frac{x_1+x_2}{2}$ 是函數拐点的横坐標.

證明

此證明旨在揭示函數宏观几何性質(割線斜率)與局部微观性質(切線斜率)之間的内在联係.

首先, 極值点 $x_1, x_2$ 是導函數 $f'(x)=3ax^2+2bx+c=0$ 的两根. 根据韦达定理, 我们有 $x_1+x_2 = -2b/(3a)$ 以及 $x_1x_2 = c/(3a)$ .

我们来计算割線斜率.

\begin{aligned} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} &= \frac{(ax_1^3+bx_1^2+cx_1+d)-(ax_2^3+bx_2^2+cx_2+d)}{x_1-x_2} &= a(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) + b(x_1+x_2) + c \end{aligned}

為建立一個更簡洁的關係, 我们利用 $f'(x_1)=3ax_1^2+2bx_1+c=0$ 這一事实来消去 $c$ , 即 $c = -3ax_1^2-2bx_1$ . 代入斜率表达式:

\begin{aligned} \text{斜率} &= a(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) + b(x_1+x_2) - (3ax_1^2+2bx_1) &= a(x_1x_2+x_2^2-2x_1^2) + b(x_2-x_1) &= a(x_2-x_1)(x_2+2x_1) + b(x_2-x_1) &= (x_2-x_1)(a(x_2+2x_1)+b) \end{aligned}

注意到 $x_2+2x_1 = (x_1+x_2)+x_1 = -2b/(3a)+x_1$ . 代入得:

\text{斜率} = (x_2-x_1)\left(a\left(-\frac{2b}{3a}+x_1\right)+b\right) = (x_2-x_1)\left(-\frac{2b}{3}+ax_1+b\right) = (x_2-x_1)\left(ax_1+\frac{b}{3}\right)

這是一個非對称的表达式, 我们尝试另一种途径. 回到 $a(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) + b(x_1+x_2) + c$ , 将其用係數 $a,b,c$ 表示. $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-2b/(3a))^2 - 2(c/(3a)) = \frac{4b^2}{9a^2} - \frac{2c}{3a}$ . 代入斜率表达式:

\begin{aligned} \text{斜率} &= a\left( \left(\frac{4b^2}{9a^2} - \frac{2c}{3a}\right) + \frac{c}{3a} \right) + b\left(-\frac{2b}{3a}\right) + c &= a\left( \frac{4b^2}{9a^2} - \frac{c}{3a} \right) - \frac{2b^2}{3a} + c &= \frac{4b^2}{9a} - \frac{c}{3} - \frac{6b^2}{9a} + c = -\frac{2b^2}{9a} + \frac{2c}{3} = \frac{-2b^2+6ac}{9a} = -\frac{2(b^2-3ac)}{9a} \end{aligned}

現在我们计算 $-\frac{a}{2}(x_1-x_2)^2$ .

-\frac{a}{2}(x_1-x_2)^2 = -\frac{a}{2}((x_1+x_2)^2-4x_1x_2) = -\frac{a}{2}\left(\left(-\frac{2b}{3a}\right)^2 - 4\frac{c}{3a}\right) = -\frac{a}{2}\left(\frac{4b^2-12ac}{9a^2}\right) = -\frac{2(b^2-3ac)}{9a}

故第一個等式成立.

接下来, 拐点横坐標 $x_0 = -b/(3a)$ , 此处的導數值為:

\begin{aligned} f'(x_0) &= 3a(x_0)^2+2bx_0+c = 3a\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 + 2b\left(-\frac{b}{3a}\right) + c &= \frac{b^2}{3a} - \frac{2b^2}{3a} + c = -\frac{b^2}{3a} + c = \frac{-b^2+3ac}{3a} = -\frac{b^2-3ac}{3a} \end{aligned}

比较斜率與 $f'(x_0)$ 的表达式, 我们清晰地看到:

\text{斜率} = -\frac{2(b^2-3ac)}{9a} = \frac{2}{3} \left( -\frac{b^2-3ac}{3a} \right) = \frac{2}{3}f'(x_0)

證毕.

此定理揭示了一個深刻的几何事实：连接三次函數两個極值点的直線的斜率, 恰好是其拐点处切線斜率的 $2/3$ . 拐点处的切線斜率是整個導函數 $f'(x)$ 的極值, 代表了原函數變化率最快或最慢的瞬間. 因此, 這一關係定量地刻画了函數的宏观起伏(由極值点决定)與其局部變化最剧烈处(拐点)的内在關联.

指數函數

{/* label: sec:ch03-s12 */}

在自然界與社会經济現象中，许多係统的增长或衰减過程具有一個共同的特征：其變化率與係统当前的总量成正比. 例如，在理想条件下，一個细胞群落的增殖速率與其現有的细胞數量成正比；放射性元素的衰變速率與其剩余的原子核數量成正比；一笔按複利计息的存款，其利息的增长速率與当前的本利和成正比.

為了精确地刻画這類“自催化”式的增长模式，我们需要一种新的函數模型. 我们的探索始于對幂运算的推廣，并最终引出數學中最為重要的函數之一——指數函數.

指數的擴张與指數函數的定義

我们已經熟悉了整數指數幂的运算, 例如 $a^3 = a \cdot a \cdot a$ 以及 $a^{-2} = 1/a^2$ . 為了将指數的概念從整數域 $\mathbb{Z}$ 拓展至整個实數域 $\mathbb{R}$ , 我们必须分步進行, 并确保每一步拓展都與原有的运算律相容.

首先, 我们定義有理數指數幂. 對于任意正实數 $a$ 和有理數 $p/q$ ( $p,q \in \mathbb{Z}, q\>0$ ), 我们定義

a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}

此定義是基于保持幂运算律 $(a^x)^y = a^{xy}$ 的期望而自然導出的.

一個深刻的挑战在于如何為无理數指數幂赋予一個明确的意義. 例如, $2^{\pi}$ 的值究竟是什么？我们无法将其理解為有限次的乘法或開方. 解决此問題的關键在于利用实數係的完備性. 我们可以用一串有理數 $r_1, r_2, r_3, ...$ (例如 $\pi$ 的十進制小數展開 $3, 3.1, 3.14, ...$ ) 来无限逼近无理數 $\pi$ . 相應地, 數列 $2^{r_1}, 2^{r_2}, 2^{r_3}, ...$ 将会逼近一個确定的实數. 实數係的完備性保證了這個極限的存在且唯一. 我们便将此極限值定義為 $2^{\pi}$ .

通過這种方式, 我们可以将 $a^x$ 的定義域從有理數集 $\mathbb{Q}$ 拓展至整個实數集 $\mathbb{R}$ .

指數函數

函數 $y=a^x$ ( $a\>0$ 且 $a \neq 1$ ) 称為指數函數, 其中 $x$ 是自變量. 其定義域為全體实數 $\mathbb{R}$ .

我们要求底數 $a$ 為正數, 是為了确保函數在整個实數域上都有定義 (例如, $(-2)^{1/2}$ 在实數域内无意義). 而 $a \neq 1$ 是因為当 $a=1$ 时, $y=1^x=1$ 是一個常數函數, 其性質平庸, 通常不單独作為指數函數研究.

指數函數的定義辨析

若函數 $y=(a^2-5a+7)a^{x}$ 是指數函數, 求參數 $a$ 的值.

解

要确定參數 $a$ 的值, 我们必须回归指數函數的严格定義. 一個函數被称為指數函數, 其標准形式為 $y=b^x$ , 這蕴含了两個不可或缺的代數约束:

函數的係數必须為 $1$ .
底數 $b$ 必须為正數且不等于 $1$ .

我们将這两個约束条件應用于给定的函數表达式 $y=(a^2-5a+7)a^{x}$ .

首先, 係數部分必须為 $1$ :

a^2 - 5a + 7 = 1

移項整理, 我们得到一個關于 $a$ 的一元二次方程:

a^2 - 5a + 6 = 0

通過因式分解, $(a-2)(a-3)=0$ , 解得两個可能的參數值為 $a=2$ 或 $a=3$ .

接下来, 我们必须檢验這两個候選值是否满足底數 $a$ 的约束条件, 即 $a\>0$ 且 $a \neq 1$ .

当 $a=2$ 时, $2\>0$ 且 $2 \neq 1$ . 此条件满足.
当 $a=3$ 时, $3\>0$ 且 $3 \neq 1$ . 此条件同样满足.

两個候選值均通過了檢验. 因此, 參數 $a$ 的值為 $2$ 或 $3$ .

由点确定指數函數

已知指數函數 $y=f(x)$ 的圖像經過点 $(2,4)$ , 求 $f(3)$ 的值.

解

題目明确指出 $f(x)$ 是一個指數函數, 這為我们提供了其基本的代數形式. 不妨设 $f(x)=a^x$ , 其中底數 $a$ 满足 $a\>0$ 且 $a \neq 1$ .

函數圖像經過点 $(2,4)$ 這一几何信息, 意味着当自變量 $x=2$ 时, 其對應的函數值 $y$ 必為 $4$ . 将此条件代入函數的一般形式, 我们得到一個關于底數 $a$ 的方程:

f(2) = a^2 = 4

解此方程, 得 $a=2$ 或 $a=-2$ .

根据指數函數定義中對底數的约束 ( $a\>0$ ), 我们必须舍去 $a=-2$ 這個解. 因此, 底數 $a$ 被唯一确定為 $2$ .

至此, 我们完全确定了该指數函數的具體表达式:

f(x) = 2^x

最后, 我们计算所求的函數值 $f(3)$ :

f(3) = 2^3 = 8

故 $f(3)$ 的值為 $8$ .

指數函數的圖像與性質

指數函數的性質由其底數 $a$ 的取值范围决定. 我们分 $a\>1$ 和 $0\<a\<1$ 两种情形来讨論.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：指數函數的圖像

指數函數 $y=a^x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 具有以下核心性質:

定義域與值域: 其定義域為 $\mathbb{R}$ , 值域為 $(0, +\infty)$ .
特定点: 无論底數 $a$ 為何值, 函數圖像恒過定点 $(0,1)$ , 因為 $a^0=1$ .
單调性:

当 $a\>1$ 时, 指數函數在 $\mathbb{R}$ 上是严格單调递增的.
当 $0\<a\<1$ 时, 指數函數在 $\mathbb{R}$ 上是严格單调递减的.

渐近線: $x$ 轴是指數函數圖像的水平渐近線.

我们以 $a\>1$ 的情形為例, 利用定義法严格證明其單调性.

證明

不妨设 $a\>1$ . 在定義域 $\mathbb{R}$ 中任取 $x_1, x_2$ 且 $x_1 \< x_2$ . 我们考察其函數值的比值:

\frac{f(x_2)}{f(x_1)} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = a^{x_2-x_1}

由于 $x_1 \< x_2$ , 故 $x_2-x_1 \> 0$ . 当底數 $a\>1$ 且指數為正數时, 幂的值必然大于 $1$ . 即 $a^{x_2-x_1} \> 1$ . 因此, $\frac{f(x_2)}{f(x_1)} \> 1$ . 又因為指數函數的值域為 $(0, +\infty)$ , $f(x_1)$ 恒為正, 故可得 $f(x_2) \> f(x_1)$ . 根据定義, 函數 $f(x)=a^x$ 在 $a\>1$ 时是严格單调递增的. $0\<a\<1$ 的情形可類似證明.

例

求解不等式 $4^{x^2+x} \< (\frac{1}{2})^{x-5}$ .

解

此不等式两端的底數不同, 直接比较指數是无意義的. 解决此類問題的關键在于, 通過代數變形将不等式两端统一為相同的底數, 從而利用指數函數的單调性将問題转化為指數部分的不等式.

注意到, 不等式中的底數 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 都是 $2$ 的幂. 這是一個强烈的信号, 提示我们将底數统一為 $2$ .

4 = 2^2, \frac{1}{2} = 2^{-1}

将此關係代入原不等式:

(2^2)^{x^2+x} \< (2^{-1})^{x-5}

根据幂的运算法则, 上式等价于:

2^{2(x^2+x)} \< 2^{-(x-5)}

現在, 不等式两端是同一個指數函數 $f(t)=2^t$ 在两個不同点 $t_1=2(x^2+x)$ 和 $t_2=-(x-5)$ 的取值.

由于底數 $2\>1$ , 指數函數 $f(t)=2^t$ 在其定義域 $\mathbb{R}$ 上是严格單调递增的. 因此, 函數值的大小關係 $f(t_1) \< f(t_2)$ 等价于其自變量的大小關係 $t_1 \< t_2$ .

2(x^2+x) \< -(x-5)

整理此一元二次不等式:

2x^2 + 2x \< -x + 5

2x^2 + 3x - 5 \< 0

通過因式分解, 我们得到 $(2x+5)(x-1) \< 0$ .

此不等式的解集為 $(-\frac{5}{2}, 1)$ .

例

求解方程 $4^x + 6^x = 2 \cdot 9^x$ .

解

直接求解此方程是困难的, 因為它包含了三個不同的底數. 然而, 我们注意到這些底數 $4, 6, 9$ 之間存在深刻的代數联係, 它们均可由 $2$ 和 $3$ 的幂次组合而成: $4=2^2, 6=2 \cdot 3, 9=3^2$ . 這一结構提示我们, 或许可以通過某种除法运算来簡化方程, 减少底數的种類.

一個有效的策略是, 将方程两边同除以某一項, 以期得到一個關于某個比值的方程. 不妨将方程两边同除以 $9^x$ . (思考: 為何選取 $9^x$ ? 因為 $9^x$ 恒為正, 除法是安全的, 且它可以产生形式上最簡洁的項).

\frac{4^x}{9^x} + \frac{6^x}{9^x} = 2

利用指數运算法则 $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$ , 上式化為:

\left(\frac{4}{9}\right)^x + \left(\frac{6}{9}\right)^x = 2

\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0

\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0

至此, 原方程的内在结構已經清晰地暴露出来. 它是一個關于變量 $t = (\frac{2}{3})^x$ 的一元二次方程.

令 $t = (\frac{2}{3})^x$ . 由于指數函數的值域為正, 我们有 $t\>0$ . 上述方程转化為:

t^2 + t - 2 = 0

因式分解得 $(t+2)(t-1)=0$ . 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ .

我们必须结合 $t\>0$ 的约束来筛選解. $t=-2$ 不符合要求, 舍去. 因此, 唯一有效的解是 $t=1$ .

将 $t$ 的值代回換元關係式:

\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1

由于任何非零实數的零次幂等于 $1$ , 我们立即得到 $x=0$ .

回顾整個解題過程, 關键步骤在于识别底數之間的代數關係, 并通過除法运算将原方程转化為一個隐藏的二次方程. 這种通過代數變形揭示問題内在结構的方法, 是解决複杂數學問題的核心思想之一.

指數增长模型的性質辨析

某池塘中浮萍的面積 $y$ (單位: $\text{m}^2$ ) 與时間 $t$ (單位: 月) 的關係為指數函數模型 $y=f(t)=ka^t$ ( $k\>0, a\>0, a \neq 1$ ), 其圖像如圖所示. 试判断下列說法的正誤. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

[label=\Alph*.]

浮萍每月增加的面積都相等.
第6個月时, 浮萍的面積会超過 $30\,\text{m}^2$ .
浮萍面積從 $2\,\text{m}^2$ 蔓延到 $64\,\text{m}^2$ 只需經過 5 個月.
若浮萍面積蔓延到 $4\,\text{m}^2, 6\,\text{m}^2, 9\,\text{m}^2$ 所經過的时間分别為 $t_1, t_2, t_3$ , 则 $t_1+t_3=2t_2$ .

解

首先, 我们需要從圖像中提取關键信息以确定函數模型的具體參數. 圖像明确地經過点 $(0,1)$ , 這為我们提供了一個直接的约束. 将其代入 $y=ka^t$ , 我们得到:

1 = k \cdot a^0 \implies k=1

因此, 函數模型簡化為 $y=a^t$ . 不僅如此, 圖像还清晰地經過点 $(1,2)$ . 将此点代入, 可确定底數 $a$ :

2 = a^1 \implies a=2

為验證此模型的准确性, 我们檢验点 $(2,4)$ : $f(2)=2^2=4$ , 與圖像吻合. 因此, 该浮萍面積的增长模型為 $y=f(t)=2^t$ .

現在我们逐一分析各個命題.

對于命題 A, “每月增加的面積”在數學上表示為差分 $f(t+1)-f(t)$ .

f(t+1) - f(t) = 2^{t+1} - 2^t = 2^t(2-1) = 2^t

此增量是时間 $t$ 的函數, 随 $t$ 的增加而指數级增长, 并非一個固定的常量. 故 A 項錯誤.

對于命題 B, 我们计算在第6個月末 (即 $t=6$ 时) 的面積:

f(6) = 2^6 = 64 \, (\text{m}^2)

由于 $64 \> 30$ , 故 B 項正确.

對于命題 C, 此命題的本質是求解一個时間差. 面積為 $2\,\text{m}^2$ 對應的时間由方程 $2^t=2$ 给出, 解得 $t_{\text{初}}=1$ . 面積為 $64\,\text{m}^2$ 對應的时間由 $2^t=64=2^6$ 给出, 解得 $t_{\text{末}}=6$ . 所需时間為 $\Delta t = t_{\text{末}} - t_{\text{初}} = 5$ 個月. 故 C 項正确.

對于命題 D, 此命題探究的是指數函數自變量與因變量之間更深层次的代數關係. 根据題意, 我们有:

4=2^{t_1}, 6=2^{t_2}, 9=2^{t_3}

這在對數語言中等价于 $t_1=\log_2 4$ , $t_2=\log_2 6$ , $t_3=\log_2 9$ . 我们需要檢验等式 $t_1+t_3=2t_2$ 是否成立. 考察等式左侧:

t_1+t_3 = \log_2 4 + \log_2 9 = \log_2(4 \cdot 9) = \log_2 36

考察等式右侧:

2t_2 = 2\log_2 6 = \log_2(6^2) = \log_2 36

由于二者相等, 故 D 項正确.

綜上所述, 正确的說法為 B, C, D.

等比與等差的對偶性

選項 D 揭示了一個深刻的性質：若指數函數的因變量構成一個等比數列 (本例中 $4, 6, 9$ 的公比為 $3/2$ ), 则其對應的自變量必然構成一個等差數列. 這是對數运算将乘法關係转化為加法關係的直接體現.

指數衰减模型的建立與求解

某地区计划對总面積為 $A$ 的老旧房屋進行“平改坡”工程. 經测算, 若改造模式為每年改造的面積是当年剩余未改造面積的一個固定百分比 $p$ , 要在10年内完成工程总量的一半, 试估算這個百分比 $p$ 的值. (參考數据: $(1/2)^{1/10} \approx 0.933$ )

解

此問題本質上是建立一個描述剩余量的指數衰减模型. 设工程总面積為 $A$ , $t$ 年后剩余未改造的面積為 $R(t)$ . 初始状态為 $R(0)=A$ .

根据題意, 每年改造的面積是当年剩余面積的百分比 $p$ . 這意味着, 第 $t+1$ 年末的剩余面積 $R(t+1)$ 與第 $t$ 年末的剩余面積 $R(t)$ 之間的關係為:

R(t+1) = R(t) - p \cdot R(t) = (1-p)R(t)

這是一個公比為 $r=1-p$ 的递推關係, 其通項公式為 $R(t) = R(0) \cdot r^t = A(1-p)^t$ .

題目给出的核心条件是, 10年后完成工程总量的一半, 即 $t=10$ 时, 剩余面積為初始面積的一半: $R(10) = A/2$ . 将此条件代入我们建立的模型中:

A(1-p)^{10} = \frac{A}{2}

消去 $A$ , 我们得到 $(1-p)^{10} = \frac{1}{2}$ .

由此, 我们可以解出公比 $r=1-p$ :

1-p = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{10}}

利用題目给出的參考數据 $(1/2)^{1/10} \approx 0.933$ , 我们得到 $1-p \approx 0.933$ .

因此, 所求的固定百分比 $p = 1 - (1-p) \approx 1 - 0.933 = 0.067$ .

故每年约需改造当年剩余面積的 $6.7\%$ .

指數模型與線性模型的對比

值得注意的是, 這种按剩余量百分比進行改造的模式, 理論上永远无法完成100%的工程, 因為剩余量总是在不断减小但永不為零. 這與每年改造固定面積 (例如, 总面積的 $5\%$ ) 的線性模型有着本質区别. 在線性模型中, 工程将在确定的 20 年后完成.

自然底數 \texorpdfstring{ $e$

{e} 的引入} 在指數函數 $y=a^x$ 的大家族中, 底數 $a$ 可以是任何不為1的正实數. 不同的底數决定了函數增长或衰减的“剧烈程度”. 一個自然而深刻的問題是：在所有這些可能的底數中, 是否存在一個“最自然”或“最基本”的底數, 使其對應的指數函數具有某种独特的、不可替代的簡洁性？

這個問題的答案, 令人惊讶地源于一個看似无關的金融問題：连續複利.

设想我们将一笔本金存入银行, 年利率為 $r$ . 若每年计息一次, 一年后本利和為 $P_1 = P_0(1+r)$ . 若每半年计息一次, 则每次计息的利率為 $r/2$ , 一年内计息两次. 一年后本利和為 $P_2 = P_0(1+\frac{r}{2})^2$ . 若每月计息一次, 则一年后本利和為 $P_{12} = P_0(1+\frac{r}{12})^{12}$ .

一般地, 若一年内计息 $n$ 次, 则每次的利率為 $r/n$ , 一年后本利和為:

P_n = P_0\left(1+\frac{r}{n}\right)^n

我们不禁要問：当计息周期无限缩短, 即计息频率 $n$ 趋于无穷大时, 最终的本利和是会无限制地增长, 还是会收敛到一個确定的極限值？

為了探究其數學本質, 不妨设本金為1單位, 年利率為 $100\%$ (即 $r=1$ ), 以剥离无關參數, 聚焦于核心的數學结構. 此时, 一年后的本利和表达式為:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

我们的問題转化為研究当 $n \to \infty$ 时, 此表达式的極限行為. 通過计算可以發現, 随着 $n$ 的增大, 這個值确实在增长, 但增长的步伐越来越慢, 并稳定地趋向于一個特定的數值.

$n=1$ : $(1+1/1)^1 = 2$
$n=10$ : $(1+1/10)^{10} \approx 2.5937$
$n=100$ : $(1+1/100)^{100} \approx 2.7048$
$n=1000$ : $(1+1/1000)^{1000} \approx 2.7169$

可以严格證明 (尽管這需要更高等的分析工具), 這個極限是存在且唯一的. 這個極限值是一個无理數, 在數學中扮演着至關重要的角色, 我们用字母 $e$ 来表示它.

自然底數 $e$

自然底數 $e$ 定義為如下極限:

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828...

事实上, 對于任意年利率 $r$ , 连續複利下的本利和極限為 $P_0 e^r$ . 這表明, $e$ 正是單位利率下單位本金连續增长的極限倍率.

然而, 连續複利模型僅僅揭示了 $e$ 的一种来源, 其在數學中的核心地位源于一個更為深刻的分析性質. 我们回到最初的問題：是否存在一個“最自然”的底數？從微積分的观点看, “自然”意味着“簡洁”. 我们不禁要問：在所有的指數函數 $y=a^x$ 中, 哪一個的變化率 (即其導數) 與其函數值本身的關係最為簡洁？

可以證明, 指數函數 $f(x)=a^x$ 的導數與其自身成正比, 即 $(a^x)' = (\ln a) \cdot a^x$ , 其中比例常數 $\ln a$ 完全由底數 $a$ 决定. 我们能否找到一個底數 $a$ , 使得這個比例常數恰好為1, 從而使得函數的變化率在每一点都精确地等于其函數值？

這個特殊的底數正是自然底數 $e$ .

自然指數函數的基本性質

以 $e$ 為底的指數函數 $f(x)=e^x$ (称為自然指數函數) 是唯一满足初始条件 $f(0)=1$ 且其導數恒等于自身的函數, 即:

(e^x)' = e^x

這個性質使得 $e^x$ 成為描述所有“增长率正比于存量”的物理、生物及經济過程的數學基石. 它的簡洁性與普适性, 使 $e$ 当之无愧地成為指數函數家族中“最自然”的底數.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：自然指數函數的几何意義：圖像上任意一点的切線斜率等于该点的函數值.

幂函數

{/* label: sec:ch03-s13 */}

我们已經探讨了變量位于指數位置的函數, 即指數函數 $y=a^x$ . 現在, 我们将注意力转向另一類基本函數, 其中變量位于底數位置.

定義與辨析

幂函數

形如 $y=x^\alpha$ 的函數称為幂函數, 其中 $x$ 是自變量, $\alpha \in \mathbb{R}$ 是一個常數, 称為指數.

在深入研究之前, 辨析幂函數與指數函數的根本区别至關重要. 尽管它们的表达式都涉及幂运算, 但變量在其中的角色截然不同, 這導致了它们性質上的巨大差异.

幂函數 $y=x^\alpha$ : 自變量 $x$ 是底數, 指數 $\alpha$ 是常數.
指數函數 $y=a^x$ : 自變量 $x$ 是指數, 底數 $a$ 是常數.

這种结構上的對偶性, 使得它们在定義域、圖像形态、單调性等方面的行為迥异. 例如, 函數 $y=x^2$ 與 $y=2^x$ 在 $x\>0$ 时均為增函數, 但它们的增长“姿态”完全不同. $y=x^2$ 的增长是多項式的, 而 $y=2^x$ 的增长是指數级的, 后者在 $x$ 足够大时将远远超過前者.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：幂函數與指數函數的增长比较. 在 $x\>4$ 后, 指數函數的增长速度远超幂函數.

圖像與性質的係统性分析

幂函數的性質由其指數 $\alpha$ 的值深刻决定. 不同的 $\alpha$ 值赋予函數截然不同的几何形态與分析性質. 我们将通過考察几個典型的 $\alpha$ 值来係统地归纳其共性與差异.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：不同指數 $\alpha$ 下幂函數的圖像

通過對圖像的观察與代數分析, 我们可以总结出幂函數 $y=x^\alpha$ 的一般性質:

定義域: 定義域依赖于 $\alpha$ . 若 $\alpha$ 為正整數, 定義域為 $\mathbb{R}$ . 若 $\alpha$ 為负整數, 定義域為 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . 若 $\alpha$ 為分數, 则需根据分母的奇偶性确定, 例如 $y=x^{1/2}$ 的定義域為 $[0, +\infty)$ .
奇偶性: 奇偶性同样取决于 $\alpha$ . 若 $f(x)=x^\alpha$ 的定義域關于原点對称, 则当 $\alpha$ 是整數时, 其奇偶性與 $\alpha$ 的奇偶性一致. 若 $\alpha=p/q$ (最簡分數), 则当 $q$ 為奇數时, 其奇偶性與分子 $p$ 的奇偶性一致.
公共点: 无論 $\alpha$ 為何值 (除 $\alpha=0$ 外), 幂函數的圖像恒過定点 $(1,1)$ , 因為 $1^\alpha=1$ .
單调性 (在第一象限, 即 $x\>0$ 时):

当 $\alpha\>0$ 时, 函數在 $(0, +\infty)$ 上严格單调递增.
当 $\alpha\<0$ 时, 函數在 $(0, +\infty)$ 上严格單调递减.

凹凸性 (在第一象限, 即 $x\>0$ 时):

当 $\alpha\>1$ 或 $\alpha\<0$ 时, 圖像是下凸的 (向上弯曲).
当 $0\<\alpha\<1$ 时, 圖像是上凸的 (向下弯曲).

這些性質的组合, 决定了幂函數在比较大小、求解不等式等問題中的關键作用.

例

比较 $0.7^{0.8}, 0.8^{0.7}, 0.8^{0.8}$ 的大小.

解

此問題涉及的三個數, 其底數和指數均不相同, 直接比较十分困难. 解决此類問題的關键策略是引入一個或多個中間量作為“桥梁”, 将複杂的比较分解為若干個簡單的、可以利用函數單调性解决的比较.

我们首先观察這三個數, 注意到 $0.8^{0.8}$ 與另外两個數分别共享了底數和指數, 這使其成為一個理想的中間桥梁.

首先, 我们考察 $0.8^{0.7}$ 與 $0.8^{0.8}$ . 這可以视為指數函數 $f(x)=0.8^x$ 在两個不同点上的取值. 由于底數 $a=0.8 \in (0,1)$ , 此指數函數在 $\mathbb{R}$ 上是严格單调递减的. 因為 $0.7 \< 0.8$ , 根据單调递减的定義, 必有 $f(0.7) \> f(0.8)$ , 即 $0.8^{0.7} \> 0.8^{0.8}$ .

接着, 我们转向比较 $0.7^{0.8}$ 與 $0.8^{0.8}$ . 這可以视為幂函數 $g(x)=x^{0.8}$ 在两個不同点上的取值. 由于指數 $\alpha=0.8 \> 0$ , 此幂函數在定義域 $(0, +\infty)$ 上是严格單调递增的. 因為 $0.7 \< 0.8$ , 根据單调递增的定義, 必有 $g(0.7) \< g(0.8)$ , 即 $0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8}$ .

綜合以上两方面的分析, 我们便可建立一個完整的大小關係链:

0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8} \< 0.8^{0.7}

因此, 三個數的大小顺序為 $0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8} \< 0.8^{0.7}$ .

例

已知函數 $f(x) = (m^2-m-1)x^{m-2}$ 是一個幂函數, 且在区間 $(0, +\infty)$ 上是减函數, 求实數 $m$ 的值.

解

此問題綜合考察了幂函數的定義及其單调性與指數的關係. 我们需要從題设的两個条件中分别提炼出對參數 $m$ 的约束.

根据幂函數的定義, 其標准形式為 $y=x^\alpha$ , 這要求自變量前的係數必须為 $1$ . 因此, 给定函數的係數部分必须满足:

m^2 - m - 1 = 1

整理得 $m^2 - m - 2 = 0$ . 因式分解為 $(m-2)(m+1)=0$ , 解得两個可能的 $m$ 值為 $m=2$ 或 $m=-1$ .

我们再利用第二個条件来筛選這两個候選值. 題设函數在区間 $(0, +\infty)$ 上是减函數. 根据幂函數的性質, 当 $x\>0$ 时, 函數 $y=x^\alpha$ 單调递减的充要条件是其指數 $\alpha \< 0$ . 在本題中, 指數為 $m-2$ . 故必须满足:

m-2 \< 0 \implies m \< 2

最后, 我们将两個条件得到的解集求交集. 第一個条件给出的可能值為 $\{2, -1\}$ . 第二個条件要求 $m\<2$ . 唯一同时满足這两個条件的 $m$ 值是 $m=-1$ .

故实數 $m$ 的值為 $-1$ .

對數函數

{/* label: sec:ch03-s14 */}

指數函數 $y=a^x$ 建立了一個從自變量 $x$ (指數) 到函數值 $y$ (幂) 的映射. 一個自然而深刻的問題随之而来：這一過程是否可逆？即, 若已知幂的值 $y$ 和底數 $a$ , 我们能否唯一地确定其對應的指數 $x$ ？

例如, 求解方程 $2^x=8$ 是直接的, 我们知道 $x=3$ . 然而, 若要求解 $2^x=5$ , 我们会發現 $x$ 并非一個有理數. 尽管如此, 從指數函數 $y=2^x$ 的严格單调递增圖像上可以看出, 必然存在一個唯一的实數 $x$ 與 $y=5$ 對應. 為了表示這個數, 我们需要引入一种新的记号, 一种描述“求解指數”這一逆运算的語言. 這便是對數概念的起源.

對數的定義與對數函數

對數

若 $a^x = N$ ( $a\>0, a \neq 1$ ), 则數 $x$ 称為以 $a$ 為底 $N$ 的對數, 记作

x = \log_a N

其中, $a$ 称為對數的底數, $N$ 称為真數.

這個定義揭示了對數與指數之間深刻的互逆關係： $a^x=N \iff x=\log_a N$ . 對數 $\log_a N$ 的本質, 就是“求使 $a$ 的幂等于 $N$ 的那個指數”.

基于此定義, 我们可以建立對數函數.

對數函數

函數 $y=\log_a x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 称為對數函數, 其中 $x$ 是自變量.

對數函數的定義域與底數的约束条件, 并非凭空规定, 而是由其作為指數函數逆运算的身份所继承而来.

底數约束 ( $a\>0, a \neq 1$ ): 與指數函數完全相同.
定義域 (真數约束 $x\>0$ ): 對數函數的自變量 $x$ 對應于指數函數 $y=a^x$ 的因變量 $y$ . 由于指數函數的值域是 $(0, +\infty)$ , 故對數函數的定義域也必须是 $(0, +\infty)$ .

對數函數的圖像與性質

對數函數 $y=\log_a x$ 是指數函數 $y=a^x$ 的反函數. 這一事实决定了它们在几何與代數性質上的全部對偶關係. 最直观的體現是, 它们的圖像關于直線 $y=x$ 對称.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：指數函數與對數函數圖像的對称性 ( $a\>1$ )

對數函數 $y=\log_a x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 的核心性質如下:

定義域與值域: 其定義域為 $(0, +\infty)$ , 值域為 $\mathbb{R}$ . (這恰好是指數函數定義域與值域的互換).
特定点: 无論底數 $a$ 為何值, 函數圖像恒過定点 $(1,0)$ , 因為 $\log_a 1=0$ .
單调性:

当 $a\>1$ 时, 對數函數在 $(0, +\infty)$ 上是严格單调递增的.
当 $0\<a\<1$ 时, 對數函數在 $(0, +\infty)$ 上是严格單调递减的.

渐近線: $y$ 轴 (即直線 $x=0$ ) 是對數函數圖像的垂直渐近線.

對數與指數的複合應用

已知對數函數 $f(x)$ 的圖像與一次函數 $h(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ 的圖像交于 $A, B$ 两点, 且点 $B$ 的横坐標為 $4$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

求 $f(x)$ 的解析式.
若關于 $x$ 的不等式 $4^{f(x)}\<k$ 恰有 1 個整數解, 求实數 $k$ 的取值范围.

解

首先, 我们需要确定對數函數 $f(x)$ 的具體形式. 设其解析式為 $f(x)=\log_a x$ , 其中 $a\>0$ 且 $a \neq 1$ .

点 $B$ 作為两個函數圖像的公共点, 其坐標必须同时满足两個函數的解析式. 已知点 $B$ 的横坐標為 $4$ , 我们可以计算其纵坐標:

h(4) = \frac{1}{3}(4) - \frac{1}{3} = 1

因此, 点 $B$ 的坐標為 $(4,1)$ .

将点 $B(4,1)$ 的坐標代入 $f(x)=\log_a x$ 中, 我们得到一個關于底數 $a$ 的方程:

f(4) = \log_a 4 = 1

根据對數的定義, 此式等价于 $a^1=4$ , 故 $a=4$ . 因此, 函數 $f(x)$ 的解析式為 $f(x)=\log_4 x$ .

接下来, 我们分析不等式 $4^{f(x)}\<k$ . 将已求得的 $f(x)$ 解析式代入, 不等式左侧呈現出一個指數與對數複合的结構.

4^{\log_4 x} \< k

根据對數與指數的互逆關係, $a^{\log_a N} = N$ , 上述不等式可以被極大地簡化為:

x \< k

然而, 對此不等式的讨論必须在原函數 $f(x)=\log_4 x$ 的定義域内進行. $f(x)$ 的定義域為 $x\>0$ .

因此, 不等式的完整解集是 $0 \< x \< k$ . 我们的任务是寻找參數 $k$ 的取值, 使得開区間 $(0,k)$ 内恰好包含一個整數.

区間 $(0,k)$ 内的整數從小到大依次為 $1, 2, 3, ...$ . 要使该区間内恰好包含一個整數, 這個整數必然是 $1$ .

為了让 $1$ 成為解集的一部分, 必须有 $1 \< k$ . 為了让 $2$ 不成為解集的一部分, 必须有 $k \le 2$ .

綜合這两個条件, 我们得到 $1 \< k \le 2$ . 故实數 $k$ 的取值范围是 $(1, 2]$ .

對數函數圖像的几何應用

如圖, 對數函數 $f(x)=\log_a x$ ( $a\>1$ ) 圖像上的点 $A$ 與 $x$ 轴上的点 $B(1,0)$ 和点 $C$ 構成以 $BC$ 為斜边的等腰直角三角形. 若 $\triangle ECD$ 與 $\triangle ABC$ 相似, 点 $E$ 在函數 $f(x)$ 的圖像上, 点 $D$ 位于点 $C$ 的右侧, 且两個三角形的相似比為 $2:1$ , 求底數 $a$ 的值. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

此問題的核心在于将複杂的几何条件转化為点坐標之間的代數關係.

我们首先分析 $\triangle ABC$ 的几何性質. 设点 $A$ 的坐標為 $(x_1, y_1)$ . 由于 $a\>1$ , 函數 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上單调递增, 故 $y_1\>0$ . $\triangle ABC$ 是以 $BC$ 為斜边的等腰直角三角形, 且 $A$ 点在其上方, 這意味着 $A$ 点到斜边 $BC$ 的垂線段 (即其高) 恰好是斜边长度的一半, 且垂足是 $BC$ 的中点.

点 $A$ 的纵坐標 $y_1$ 即為三角形的高. 设 $C$ 点坐標為 $(c,0)$ , 则斜边长為 $c-1$ . 我们得到關係 $y_1 = \frac{1}{2}(c-1)$ . 同时, 点 $A$ 的横坐標 $x_1$ 必為 $BC$ 的中点横坐標, 即 $x_1 = \frac{1+c}{2}$ .

從這两個關于 $x_1, y_1, c$ 的關係式中, 我们可以消去 $c$ . 由 $c=2x_1-1$ 代入前式, 得 $y_1 = \frac{1}{2}((2x_1-1)-1) = x_1-1$ . 這揭示了一個關键的约束：圖像上的点 $A(x_1, y_1)$ 必须满足線性關係 $y_1=x_1-1$ .

接下来, 我们引入 $\triangle ECD$ 的信息. 设点 $E$ 的坐標為 $(x_2, y_2)$ . 由于 $\triangle ECD \sim \triangle ABC$ 且相似比為 $2$ , 其對應高的比也為 $2$ . $\triangle ECD$ 的高即為点 $E$ 的纵坐標 $y_2$ . 因此, $y_2 = 2y_1$ .

因為点 $A(x_1, y_1)$ 和 $E(x_2, y_2)$ 均在函數 $f(x)=\log_a x$ 的圖像上, 我们有:

y_1 = \log_a x_1, y_2 = \log_a x_2

结合 $y_2=2y_1$ , 我们得到 $\log_a x_2 = 2\log_a x_1 = \log_a(x_1^2)$ . 由于對數函數是單射, 此式蕴含了 $x_2 = x_1^2$ .

我们还需要一個關于 $x_1, x_2$ 的關係. 同样利用 $\triangle ECD$ 的几何性質, 其底边 $CD$ 的长度是 $BC$ 的两倍, 即 $CD=2BC=2(c-1)=4y_1$ . 点 $E$ 的横坐標 $x_2$ 是 $CD$ 的中点横坐標.

x_2 = c + \frac{1}{2}CD = c + 2y_1

現在我们拥有一個關于 $x_1, y_1, x_2$ 的方程组:

\begin{cases} y_1 = x_1-1 x_2 = x_1^2 x_2 = c + 2y_1 = (2x_1-1) + 2y_1 \end{cases}

将第一、二個式子代入第三個式子:

x_1^2 = (2x_1-1) + 2(x_1-1) = 4x_1 - 3

整理得到一個關于 $x_1$ 的一元二次方程:

x_1^2 - 4x_1 + 3 = 0

因式分解得 $(x_1-1)(x_1-3)=0$ , 解得 $x_1=1$ 或 $x_1=3$ .

若 $x_1=1$ , 则 $y_1 = \log_a 1 = 0$ , 這将導致 $\triangle ABC$ 退化為一個線段, 不合題意, 故舍去. 因此, $x_1=3$ .

当 $x_1=3$ 时, $y_1 = x_1-1 = 2$ . 故点 $A$ 的坐標為 $(3,2)$ .

最后, 将点 $A(3,2)$ 的坐標代入函數解析式以求解底數 $a$ :

2 = \log_a 3

根据對數的定義, $a^2=3$ . 由于題设 $a\>1$ , 我们得到 $a=\sqrt{3}$ .

對數的运算法则

對數的运算法则并非独立存在, 它们是指數运算法则在對數語言下的直接“翻译”. 每一個對數法则的背后, 都隐藏着一個對應的指數法则.

對數运算法则

设 $a\>0, a \neq 1$ , 且 $M\>0, N\>0$ .

$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ (積的對數等于對數的和).
$\log_a(M/N) = \log_a M - \log_a N$ (商的對數等于對數的差).
$\log_a(M^n) = n \log_a M$ ( $n \in \mathbb{R}$ ) (幂的對數等于指數乘以底的對數).

備註

證明（以

\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N

為例）

我们的策略是将對數表达式转換回其本源的指數形式, 在指數的世界里运用我们熟知的法则, 然后再转換回来.

不妨设 $\log_a M = u$ 且 $\log_a N = v$ . 根据對數的定義, 這两個等式分别等价于:

a^u = M, a^v = N

我们将這两個指數式相乘, 以構造出真數 $MN$ :

MN = a^u \cdot a^v

根据指數的运算法则, 我们得到:

MN = a^{u+v}

現在, 我们将這個最终的指數式重新翻译回對數語言. 根据定義, 它等价于:

\log_a(MN) = u+v

最后, 将 $u$ 和 $v$ 的原始定義代回, 即得所證:

\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N

其余法则的證明思想完全類似.

在实际计算與理論推導中, 统一不同對數的底數是一個常见的需求. 這需要一個重要的工具——換底公式.

換底公式

设 $a, b \> 0$ 且 $a, b \neq 1$ , $N\>0$ . 则

\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}

證明

设 $\log_a N = x$ . 则 $a^x = N$ . 對此指數式两边取以 $b$ 為底的對數:

\log_b(a^x) = \log_b N

應用對數的幂运算法则, 我们得到 $x \log_b a = \log_b N$ . 由于 $a \neq 1$ , $\log_b a \neq 0$ , 故可解得 $x = \frac{\log_b N}{\log_b a}$ . 将 $x=\log_a N$ 代回, 即得公式.

換底公式有两個極其有用的推論:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ (通過令 $N=b$ 得到).
$\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ (通過換底到以 $a$ 為底的對數得到).

例

求解不等式 $\log_{0.5}(x^2-2x-3) \> \log_{0.5}(x-1)$ .

解

此不等式涉及對數函數, 其求解必须在一個严格的前提下進行：所有對數的真數必须為正. 這構成了我们解集的一個基本约束.

\begin{cases} x^2-2x-3 \> 0 x-1 \> 0 \end{cases}

第一個不等式 $(x-3)(x+1)\>0$ 的解集為 $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ . 第二個不等式 $x\>1$ 的解集為 $(1, +\infty)$ . 两個解集的交集為 $(3, +\infty)$ . 這是我们考虑原不等式时, 自變量 $x$ 必须满足的范围.

現在, 我们在定義域 $x \in (3, +\infty)$ 内求解原不等式. 不等式两端是同一個對數函數 $f(t)=\log_{0.5} t$ 在两個不同点 $t_1=x^2-2x-3$ 和 $t_2=x-1$ 的取值.

由于底數 $a=0.5 \in (0,1)$ , 對數函數 $f(t)$ 在其定義域上是严格單调递减的. 因此, 函數值的大小關係 $f(t_1) \> f(t_2)$ 等价于其自變量的反向大小關係 $t_1 \< t_2$ .

x^2-2x-3 \< x-1

整理此一元二次不等式:

x^2-3x-2 \< 0

此方程 $x^2-3x-2=0$ 的根為 $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ . 故不等式 $x^2-3x-2 \< 0$ 的解集為 $(\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

最后, 我们必须将此解集與我们最初确定的函數定義域 $(3, +\infty)$ 求交集. 注意到 $4 \< \sqrt{17} \< 5$ , 因此 $\frac{3+4}{2} \< \frac{3+\sqrt{17}}{2} \< \frac{3+5}{2}$ , 即 $3.5 \< \frac{3+\sqrt{17}}{2} \< 4$ . 同时, $3 = \frac{6}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} \< \frac{3+\sqrt{17}}{2}$ .

因此, 两個区間的交集為 $(3, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

故原不等式的解集為 $(3, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

例

已知函數 $f(x) = \log_a \frac{1+x}{1-x}$ ( $a\>0, a \neq 1$ ).

求 $f(x)$ 的定義域.
判断 $f(x)$ 的奇偶性.

解

函數的定義域由其真數必须為正的条件决定:

\frac{1+x}{1-x} \> 0

此分式不等式等价于 $(1+x)(1-x) \> 0$ , 即 $(x+1)(x-1) \< 0$ . 解得 $-1 \< x \< 1$ . 故 $f(x)$ 的定義域為開区間 $(-1, 1)$ .

接下来, 我们判断其奇偶性. 注意到定義域 $(-1, 1)$ 是一個關于原点對称的区間, 這使得讨論奇偶性成為可能. 我们考察 $f(-x)$ 的表达式:

f(-x) = \log_a \frac{1+(-x)}{1-(-x)} = \log_a \frac{1-x}{1+x}

為了将此表达式與 $f(x)$ 建立联係, 我们利用對數的运算法则. 注意到 $\frac{1-x}{1+x} = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}$ . 因此,

\begin{aligned} f(-x) &= \log_a \left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) &= -1 \cdot \log_a \frac{1+x}{1-x} &= -f(x) \end{aligned}

此關係對定義域内的所有 $x$ 恒成立, 故函數 $f(x)$ 是一個奇函數.

注

此函數是一個重要的奇函數模型. 更一般地, 任何形如 $f(x) = \log_a g(x)$ 的函數, 若其宗量满足 $g(-x)=1/g(x)$ , 则该函數必為奇函數.

函數模型與應用

{/* label: sec:ch03-s15 */}

數學的力量不僅在于其内部逻辑的严谨與和谐, 更在于其作為一种普适語言, 能够對自然、社会及經济現象中的複杂關係進行抽象、描述與預测. 将一個实际問題转化為數學结構的過程, 称為數學建模. 在此過程中, 核心任务之一是根据問題的内在规律和經验數据, 從已知的函數類型中選择一個或多個作為候選模型, 估算其參數, 并最终通過檢验與比较, 确定一個最能反映問題本質的函數表达式.

這個過程本質上是一种數學化的科學探究, 它包含以下几個密不可分的环节:

數据分析與模型初選: 审视經验數据, 分析其變化趋势 (增长或衰减)、變化速率 (加速、匀速或减速) 等宏观特征, 以此為依据, 筛選出具有相似理論行為的函數類型作為候選模型.
參數估计: 利用數据中的若干關键信息 (通常是特定的數据点), 建立關于模型待定參數的方程组, 并求解這些參數.
模型檢验與优化: 将拟合出的具體函數模型用于預测其他數据点, 并通過比较預测值與真实值的差异 (即誤差) 来评估模型的优劣. 若誤差過大, 则可能需要更換模型或修正參數.

通過以下实例, 我们将完整地展現這一思想過程.

函數模型的選择與拟合

某养殖场随着技术的進步和规模的擴大, 肉鸡产量在不断增加. 現收集到 2020 年前 10 個月该养殖场上市的肉鸡數量 $W$ (單位: 万只) 與月份 $m$ 的數据如下表:

月份 $m$	1	2	3	4	5
數量 $W$	1.020	2.000	2.578	2.997	3.313
月份 $m$	6	7	8	9	10
數量 $W$	3.578	3.804	4.000	4.173	4.329

數量 $W$ 和月份 $m$ 之間可能存在以下四种函數關係:

\item[\textcircled{1}] $W(m)=b \cdot a^m$ \item[\textcircled{2}] $W(m)=b \cdot m^c$ \item[\textcircled{3}] $W(m)=b+\log_a m$ \item[\textcircled{4}] $W(m)=a+\frac{b}{m}$ ( $a\>0, a \neq 1, b\>0$ )

請從這四個函數模型中去掉一個與表格中數据不吻合的函數模型, 并說明理由.
請從表格中選择 2 月份和 8 月份的數据, 再從第(1)問剩下的三個模型中任選两個函數模型進行建模, 求出其函數表达式, 再分别求出這两個模型下 4 月份的肉鸡數量, 并說明哪個函數模型更好. (參考數据: $\sqrt[3]{16} \approx 2.519, \sqrt{2} \approx 1.414$ )

解

(1) 我们首先分析經验數据所呈現的宏观趋势. 從表格中可以清晰地看到, 數量 $W$ 随月份 $m$ 的增加而增加, 表明這是一個增长過程. 然而, 增长的速率并非恒定. 我们考察相邻月份的增量:

\begin{aligned} W(2)-W(1) &\approx 0.980 W(3)-W(2) &\approx 0.578 W(4)-W(3) &\approx 0.419 &... W(10)-W(9) &\approx 0.156 \end{aligned}

注意到, 每月增加的數量是递减的. 這表明该增长過程具有减速增长的特征.

現在, 我们来分析四個候選模型的理論行為.

模型 \textcircled{1} $W(m)=b \cdot a^m$ : 這是一個指數增长模型. 為保證增长, 必须有 $a\>1$ . 在此条件下, 其增量為 $W(m+1)-W(m) = b \cdot a^m(a-1)$ , 這是一個随 $m$ 增加而严格递增的量. 這意味着指數模型描述的是加速增长過程.
模型 \textcircled{2} $W(m)=b \cdot m^c$ : 這是一個幂函數模型. 為保證增长, 需 $b\>0, c\>0$ . 若 $0\<c\<1$ , 其增长率是递减的; 若 $c\>1$ , 其增长率是递增的.
模型 \textcircled{3} $W(m)=b+\log_a m$ : 這是一個對數函數模型. 為保證增长, 需 $a\>1$ . 對數函數的增长率是递减的.
模型 \textcircled{4} $W(m)=a-b/m$ (修正為增长模型): 這是一個反比例函數平移后的模型. 其增长率也是递减的.

比较理論行為與數据特征, 模型 \textcircled{1} 所描述的加速增长與數据所反映的减速增长存在根本性的矛盾. 因此, 與表格中數据最不吻合的函數模型是 \textcircled{1}.

(2) 我们選取 2 月份的數据 $(2, 2.000)$ 和 8 月份的數据 $(8, 4.000)$ . 不妨選择模型 \textcircled{2} 和 \textcircled{3} 進行拟合.

對于模型 \textcircled{2: $W(m)=b \cdot m^c$ }

将數据点 $(2,2)$ 和 $(8,4)$ 代入, 得到關于參數 $b, c$ 的方程组:

\begin{cases} 2 = b \cdot 2^c 4 = b \cdot 8^c \end{cases}

两式相除, 以消去參數 $b$ :

\frac{4}{2} = \frac{b \cdot 8^c}{b \cdot 2^c} \implies 2 = \left(\frac{8}{2}\right)^c = 4^c

解得 $c=1/2$ . 将 $c=1/2$ 代回第一個方程: $2 = b \cdot 2^{1/2} = b\sqrt{2}$ , 解得 $b=\sqrt{2}$ . 因此, 幂函數模型為 $W_2(m) = \sqrt{2} \cdot m^{1/2} = \sqrt{2m}$ .

利用此模型預测 4 月份的肉鸡數量:

W_2(4) = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \text{ (万只)}

對于模型 \textcircled{3: $W(m)=b+\log_a m$ }

将數据点 $(2,2)$ 和 $(8,4)$ 代入, 得到關于參數 $a, b$ 的方程组:

\begin{cases} 2 = b + \log_a 2 4 = b + \log_a 8 \end{cases}

两式相减, 以消去參數 $b$ :

4-2 = (\log_a 8) - (\log_a 2) \implies 2 = \log_a(8/2) = \log_a 4

根据對數的定義, $a^2=4$ . 由于底數 $a\>0, a \neq 1$ , 故 $a=2$ . 将 $a=2$ 代回第一個方程: $2 = b + \log_2 2 = b+1$ , 解得 $b=1$ . 因此, 對數函數模型為 $W_3(m) = 1+\log_2 m$ .

利用此模型預测 4 月份的肉鸡數量:

W_3(4) = 1 + \log_2 4 = 1+2 = 3.000 \text{ (万只)}

模型比较

為了判断哪個模型更好, 我们将两個模型的預测值與表格中 4 月份的真实數据 $W(4)=2.997$ 進行比较.

模型 \textcircled{2} 的預测誤差為 $|2.828 - 2.997| = 0.169$ . 模型 \textcircled{3} 的預测誤差為 $|3.000 - 2.997| = 0.003$ .

由于對數函數模型的預测誤差远小于幂函數模型, 我们可以认為, 在描述此項生产數据时, 對數函數模型 \textcircled{3} 更加精确, 是一個更好的模型.

例

物理世界中, 声音的强度 (声强 $I$ , 單位: $\text{W/m}^2$ ) 的變化范围極其巨大, 而人耳對其响度的感知并非線性關係. 為此, 科學家引入了声强级 $Y$ (單位: 分贝) 的概念, 它通過一個對數模型将声强映射到一個更符合人類感知的標度上. 其公式為:

Y = 10\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)

其中 $10^{-12} \, \text{W/m}^2$ 是人耳能听到的阈值声强.

平常人交谈时的声强约為 $10^{-6} \, \text{W/m}^2$ , 求其声强级.
一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝, 求能听到的最低声强為多少？
比较理想的睡眠环境要求声强级 $Y \le 50$ 分贝. 已知熄灯后两位同學在宿舍說话的声强為 $5 \times 10^{-7} \, \text{W/m}^2$ , 問這两位同學是否会影响其他同學休息？ (參考數据: $\lg 2 \approx 0.301$ )

解

此問題旨在應用對數函數模型来量化声音的物理强度與其被人耳感知到的响度之間的關係. 核心模型為声强级 $Y$ 與声强 $I$ 之間的對數關係.

對于平常人交谈的情形, 已知声强 $I = 10^{-6} \, \text{W/m}^2$ . 我们的任务是计算其對應的声强级 $Y$ . 将此声强值代入模型公式, 我们得到:

\begin{aligned} Y &= 10\lg\left(\frac{10^{-6}}{10^{-12}}\right) &= 10\lg(10^{6}) &= 10 \cdot 6 = 60 \text{ (分贝)} \end{aligned}

故平常人交谈时的声强级约為 60 分贝.

接着, 我们探究人耳能听到的最低声强. 此情形對應于声强级為 0 分贝, 即 $Y=0$ . 這要求我们求解方程:

0 = 10\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)

此方程等价于 $\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) = 0$ . 根据常用對數的性質, 僅当真數為 1 时, 其對數值為 0. 故

\frac{I}{10^{-12}} = 1 \implies I = 10^{-12} \, \text{W/m}^2

此即人耳能感知的阈值声强, 也正是模型公式中作為基准的參考声强.

最后, 我们来评估宿舍内谈话声是否会影响他人休息. 為此, 我们需计算声强 $I = 5 \times 10^{-7} \, \text{W/m}^2$ 對應的声强级, 并将其與理想睡眠环境的上限 50 分贝進行比较.

\begin{aligned} Y &= 10\lg\left(\frac{5 \times 10^{-7}}{10^{-12}}\right) &= 10\lg(5 \times 10^5) \end{aligned}

利用對數的运算法则, 将積的對數拆分為對數的和:

\begin{aligned} Y &= 10(\lg 5 + \lg 10^5) &= 10(\lg 5 + 5) \end{aligned}

為了估算 $\lg 5$ , 我们巧妙地利用 $\lg 5 = \lg(10/2) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - \lg 2$ .

\begin{aligned} Y &= 10((1-\lg 2) + 5) = 10(6 - \lg 2) &\approx 10(6 - 0.301) = 10(5.699) = 56.99 \text{ (分贝)} \end{aligned}

计算结果 $56.99$ 分贝显著高于 50 分贝的阈值. 因此, 這两位同學的谈话声会影响其他同學休息.

對數標度的意義

為何在声學、地震學 (里氏震级)、化學 (pH值) 等领域廣泛采用對數標度？其根本原因在于, 這些物理量的變化范围極其廣阔, 且人類或仪器的感知與物理量的绝對值不成正比, 而是與其數量级的變化更為相關. 對數函數恰好能将乘法關係 (數量级的變化) 转化為加法關係 (標度值的線性變化), 從而将一個巨大的动态范围压缩到一個易于处理的区間内, 這正是對數模型的核心价值所在.

函數的零点（一）

{/* label: sec:ch03-s16 */}

函數的零点, 這一概念在代數與几何之間架起了一座至關重要的桥梁. 從代數的观点看, 函數 $y=f(x)$ 的零点是方程 $f(x)=0$ 的实數根; 從几何的观点看, 它则是函數圖像 $y=f(x)$ 與 $x$ 轴的交点的横坐標. 這三种表述——函數的零点、方程的根、圖像的横截距——是同一數學對象的不同侧面. 對零点的研究, 其本質便是探究方程 $f(x)=0$ 解的存在性、個數與具體位置.

零点的存在性：介值定理的直观應用

一個基本的問題是：我们如何能确信一個函數必定存在零点, 尤其是在我们无法直接解出方程 $f(x)=0$ 的情况下？答案蕴含于函數的一個根本性質——连續性之中.

设想一条连續不断的曲線, 如果它的一個端点在 $x$ 轴下方, 而另一個端点在 $x$ 轴上方, 那么這条曲線在從一端运动到另一端的過程中, 必然会穿越 $x$ 轴. 這一直观的几何事实, 正是零点存在性定理的精髓.

零点存在性定理

若函數 $y=f(x)$ 在闭区間 $[a,b]$ 上的圖像是一条连續不断的曲線, 并且其在区間端点处的函數值异号, 即 $f(a) \cdot f(b) \< 0$ , 则在開区間 $(a,b)$ 内, 函數 $y=f(x)$ 至少存在一個零点.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：零点存在性定理的几何直观. 由于 $f(a)$ 與 $f(b)$ 异号, 连續曲線必然穿越 $x$ 轴.

值得注意的是, 条件 $f(a) \cdot f(b) \< 0$ 僅僅是函數在 $(a,b)$ 内存在零点的一個充分条件, 而非必要条件. 一個函數完全可能在区間内存在零点, 却不满足此条件. 例如, 函數 $f(x)=x^2$ 在区間 $[-1,1]$ 上显然有零点 $x=0$ , 但 $f(-1)f(1)=1\>0$ . 這种情况通常發生在函數圖像與 $x$ 轴相切, 或在区間内穿越 $x$ 轴偶數次.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：零点存在性定理条件的非必要性

例

函數 $f(x) = \ln x + x^2 - 2$ 的零点所在的区間是 ( ). A. $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B. $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C. $(1, \sqrt{2})$ D. $(\sqrt{2}, 2)$

解

要确定函數零点的位置, 我们首先需要理解该函數的基本性状. 函數 $f(x) = \ln x + x^2 - 2$ 的定義域為 $(0, +\infty)$ .

在直接求解方程 $\ln x + x^2 - 2 = 0$ 不可行的情况下, 零点存在性定理是我们定位其根的主要工具. 然而, 该定理僅保證零点的存在性, 而非唯一性. 為了得到一個更强的结論, 我们不妨先考察函數的單调性, 這将决定其零点是否唯一.

其導函數為 $f'(x) = \frac{1}{x} + 2x$ . 注意到, 對于定義域内的任意 $x \> 0$ , 均有 $\frac{1}{x} \> 0$ 且 $2x \> 0$ , 因此 $f'(x) \> 0$ 恒成立. 這表明函數 $f(x)$ 在其整個定義域 $(0, +\infty)$ 上是严格單调递增的. 一個严格單调函數至多只有一個零点. 我们的任务因此從寻找一個零点, 簡化為定位這唯一的一個零点.

現在, 我们的策略是逐一檢验題目所给区間的端点, 寻找函數值發生符号變化的区間.

我们從最簡洁的整數点開始考察. 考虑区間端点 $x=1$ :

f(1) = \ln 1 + 1^2 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1 \< 0

由于 $f(1)$ 為负, 根据函數的單调递增性, 零点 $x_0$ 必然位于 $1$ 的右侧, 即 $x_0 \> 1$ . 這一推論使我们能够立刻排除選項 A 和 B.

接下来, 我们檢验選項 C 的右端点. 考察 $x=\sqrt{2}$ :

f(\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 - 2 = \ln(2^{1/2}) + 2 - 2 = \frac{1}{2}\ln 2

由于 $2\>1$ , $\ln 2 \> 0$ , 故 $f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\ln 2 \> 0$ .

我们已經發現, 函數在区間 $[1, \sqrt{2}]$ 的两個端点处异号: $f(1) \< 0$ 且 $f(\sqrt{2}) \> 0$ . 根据零点存在性定理, 函數 $f(x)$ 在開区間 $(1, \sqrt{2})$ 内必存在一個零点.

结合其單调性, 此零点是唯一的. 因此, 函數的零点落在区間 $(1, \sqrt{2})$ 内.

故選 C.

零点的求解與個數判定

在确认零点存在后, 下一步便是确定其具體位置與個數. 解决這一問題的策略, 往往需要将代數分析與几何直观紧密结合.

代數變換與圖像分析

對于複杂的方程 $f(x)=0$ , 一個極其有力的思想是将其等价變形為两個更簡洁、我们更熟悉的函數圖像的交点問題. 方程 $f(x)=0$ 的根, 與方程 $g(x)=h(x)$ 的根是相同的, 只要 $f(x)=g(x)-h(x)$ . 通過巧妙地構造 $g(x)$ 和 $h(x)$ , 我们可以将一個抽象的求根問題, 转化為一個直观的几何問題：判断两条曲線的交点個數.

例

判断函數 $f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x}$ 的零点個數.

解

直接分析函數 $f(x)$ 的性質较為複杂. 一個更具启發性的思路是, 将求解 $f(x)=0$ 的問題转化為求解 $\ln(x+1) = \frac{2}{x}$ .

這样, 原問題便等价于考察函數 $y_1 = \ln(x+1)$ 與函數 $y_2 = \frac{2}{x}$ 的圖像的交点個數.

我们分别分析這两個函數的性質與圖像. 函數 $y_1 = \ln(x+1)$ 是由基本對數函數 $y=\ln x$ 的圖像向左平移 1 個單位得到的. 其定義域為 $(-1, +\infty)$ , 在定義域内严格單调递增, 且圖像過原点 $(0,0)$ .

函數 $y_2 = \frac{2}{x}$ 是一個反比例函數, 其圖像在第一、三象限.

現在, 我们在同一坐標係中绘制這两個函數的草圖, 以便直观地判断交点情况.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數 $y_1=\ln(x+1)$ 與 $y_2=2/x$ 的圖像

從圖像上观察, 两条曲線在第一象限似乎有且僅有一個交点. 為严格證明這一点, 我们需要更深入的分析.

注意到, 在区間 $(0, +\infty)$ 上, $y_1=\ln(x+1)$ 是严格單调递增的, 而 $y_2=2/x$ 是严格單调递减的. 一個严格增函數與一個严格减函數的圖像, 在一個公共定義区間内至多只有一個交点.

我们只需验證在此区間内确实存在一個交点. 考察 $x=1$ 处, $y_1(1)=\ln 2 \> 0$ , $y_2(1)=2$ . 考察 $x=2$ 处, $y_1(2)=\ln 3 \approx 1.098$ , $y_2(2)=1$ . 注意到 $y_1(2) \> y_2(2)$ . 而在 $x$ 趋于 $0^+$ 时, $y_1 \to 0$ , $y_2 \to +\infty$ . 故在 $(0, +\infty)$ 内必有交点.

在区間 $(-1, 0)$ 内, $y_1=\ln(x+1)$ 的值域為 $(-\infty, 0)$ , 而 $y_2=2/x$ 的值域也為 $(-\infty, 0)$ . 两者均為增函數, 交点情况不明显, 但可以構造辅助函數 $F(x) = \ln(x+1) - 2/x$ . $F'(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2} \> 0$ , 故 $F(x)$ 在 $(-1,0)$ 上單调递增. 又 $\lim_{x\to -1^+} F(x) = -\infty$ , $\lim_{x\to 0^-} F(x) = -\infty$ , 故在此区間内无零点.

綜上所述, 两個函數圖像僅有一個交点, 故原函數 $f(x)$ 有且僅有 1 個零点.

單调性與極值分析

對于无法轻易分离為两個簡單函數的 $f(x)$ , 判定其零点個數的根本方法是研究其自身的單调性. 函數的單调区間由其導函數 $f'(x)$ 的符号决定, 而單调区間的端点 (即極值点) 的函數值, 则成為判断零点存在的關键.

其一般性策略是:

求導數 $f'(x)$ , 并求解 $f'(x)=0$ 得到所有临界点.
根据临界点划分函數的單调区間.
计算函數在所有極值点处的函數值, 并考察函數在无穷远处的極限行為.
结合單调性與上述關键点的函數值符号, 在每個單调区間内應用零点存在性定理, 最终确定零点的总個數.

例

讨論函數 $f(x) = e^x - ax$ ( $a \in \mathbb{R}$ ) 的零点個數.

解

此問題等价于考察方程 $e^x=ax$ 的根的個數, 亦即曲線 $y=e^x$ 與直線 $y=ax$ 的交点個數. 直線 $y=ax$ 是一条過原点的直線, 其斜率 $a$ 是變化的參數. 這是一個典型的动态几何問題.

我们從分析函數 $f(x)$ 的單调性入手. 其導函數為 $f'(x) = e^x - a$ .

令 $f'(x)=0$ , 得 $e^x=a$ . 此方程解的存在性取决于參數 $a$ 的值.

情形一: $a \le 0$ 在此情形下, $e^x=a$ 无解, 且 $f'(x)=e^x-a \> 0$ 對所有 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立. 故 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格單调递增. 一個在 $\mathbb{R}$ 上连續的严格單调函數, 其圖像與 $x$ 轴至多有一個交点. 由于 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (当 $a\<0$ ) 或 $0$ (当 $a=0$ ), 且 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , 根据介值定理, 函數必有一個零点. 因此, 当 $a \le 0$ 时, 函數有且僅有 1 個零点.

情形二: $a \> 0$ 在此情形下, $f'(x)=0$ 有唯一解 $x_0 = \ln a$ . 当 $x \< \ln a$ 时, $f'(x)\<0$ , $f(x)$ 單调递减. 当 $x \> \ln a$ 时, $f'(x)\>0$ , $f(x)$ 單调递增. 因此, 函數在 $x=\ln a$ 处取得唯一的極小值, 也是最小值.

f_{\min} = f(\ln a) = e^{\ln a} - a \ln a = a - a \ln a = a(1-\ln a)

函數零点的個數, 完全取决于這個最小值與零的大小關係.

若 $f_{\min} \> 0$ , 即 $a(1-\ln a) \> 0$ . 由于 $a\>0$ , 這等价于 $1-\ln a \> 0$ , 即 $\ln a \< 1$ , 解得 $0 \< a \< e$ . 此时, 函數的最小值大于零, 圖像恒在 $x$ 轴上方, 故函數没有零点.
若 $f_{\min} = 0$ , 即 $a(1-\ln a) = 0$ . 由于 $a\>0$ , 這等价于 $1-\ln a = 0$ , 即 $\ln a = 1$ , 解得 $a=e$ . 此时, 函數的最小值恰好為零, 圖像與 $x$ 轴僅有一個切点, 故函數有且僅有 1 個零点.
若 $f_{\min} \< 0$ , 即 $a(1-\ln a) \< 0$ . 由于 $a\>0$ , 這等价于 $1-\ln a \< 0$ , 即 $\ln a \> 1$ , 解得 $a \> e$ . 此时, 函數的最小值小于零. 考虑到 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$ , 函數圖像在極小值点左侧和右侧必然各與 $x$ 轴相交一次. 故函數有 2 個零点.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：方程 $e^x=ax$ 根的個數的几何解释

綜上所述, 函數 $f(x)=e^x-ax$ 的零点個數為:

当 $a \in (-\infty, 0] \cup \{e\}$ 时, 有 1 個零点.
当 $a \in (0, e)$ 时, 有 0 個零点.
当 $a \in (e, +\infty)$ 时, 有 2 個零点.

分段函數

{/* label: sec:ch03-s17 */}

在數學建模的实践中, 许多現象的變化规律在不同的階段会遵循截然不同的法则. 例如, 所得税的税率随收入水平的分级而變化, 物體在不同介質中的运动遵循不同的物理定律. 為了精确地刻画這類在定義域的不同部分具有不同對應法则的函數關係, 單一的解析表达式往往显得力不從心. 這促使我们引入一种更具灵活性的函數構造方式——分段函數. 對這類函數的分析, 核心在于理解其在各個“片段”上的局部性質, 以及這些性質在“拼接点”处如何衔接, 從而决定其整體行為, 如连續性與可導性.

定義與基本示例

分段函數

一個分段函數是指在其定義域的不同子集上, 分别由不同的解析式所定義的函數. 其一般形式為:

f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in D_1 f_2(x), & x \in D_2 \vdots & f_n(x), & x \in D_n \end{cases}

其中, 各個子集 $D_i$ 互不相交 (即 $D_i \cap D_j = \emptyset$ 對任意 $i \neq j$ ), 且它们的并集 $\bigcup_{i=1}^n D_i$ 構成了函數 $f(x)$ 的完整定義域 $D$ .

我们可以将分段函數理解為一個具有多套计价规则的收费係统，例如出租车计费.

输入 ( $x$ ): 乘客乘坐的里程.
输出 ( $f(x)$ ): 最终需要支付的车费.
函數 ( $f$ ): 整個计费规则的集合.

计费规则可能会是這样：

规则1: 如果里程不超過3公里 ( $x \in [0, 3]$ ), 则车费固定為13元.
规则2: 如果里程超過3公里 ( $x \in (3, +\infty)$ ), 则车费為13元加上超出部分的费用, 每公里2.4元.

這個计费係统就是一個分段函數, 我们可以将其精确地寫為:

f(x) = \begin{cases} 13, & 0 \le x \le 3 \\ 13 + 2.4(x-3), & x \> 3 \end{cases}

這里的核心思想是：對于任何一個给定的里程 $x$ , 我们首先要判断它属于哪個“计价区間”, 然后再應用该区間對應的“计价公式”来计算费用. 整個過程構成了一個單一、明确的函數關係.

現在, 我们可以回头审视形式化的定義, 并理解其每個部分的精确含義. \begin{description} \item[ $D_1, D_2, ...$ (定義域的划分)] 這對應于出租车计费的各個“里程区間”. 它们将所有可能的输入值 (整個定義域) 分割成若干個互不重叠的部分.

\item[ $f_1(x), f_2(x), ...$ (不同的法则)] 這對應于每個里程区間所使用的不同“计价公式”. 它们是函數在特定区域的行為准则.

\item[“互不相交” ( $D_i \cap D_j = \emptyset$ )] 這是确保其成為一個函數的根本. 它意味着任何一個输入值 $x$ 都只能落入唯一一個子定義域 $D_i$ 中. 這就保證了對于一個输入, 只会有一個计价公式被激活, 從而产生唯一的输出值. 一次5公里的行程, 不能同时适用“3公里内”和“3公里外”的规则.

\item[“并集構成完整定義域”] 這保證了规则的完備性. 對于任何一個允许的输入值, 係统中都存在一個對應的规则来处理它, 不会存在“无法计价”的情况. \end{description} 因此, 分段函數并非多個独立函數的簡單拼凑, 而是一個定義完整的函數. 它的特殊之处在于其對應法则是有条件的, 需要根据自變量的取值来選择执行.

分段函數

一個分段函數是指在其定義域的不同子集上, 分别由不同的解析式所定義的函數. 其一般形式為:

f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in D_1 f_2(x), & x \in D_2 \vdots & f_n(x), & x \in D_n \end{cases}

其中, 各個子集 $D_i$ 互不相交 (即 $D_i \cap D_j = \emptyset$ 對任意 $i \neq j$ ), 且它们的并集 $\bigcup_{i=1}^n D_i$ 構成了函數 $f(x)$ 的完整定義域 $D$ .

分段函數的核心在于其定義域的划分. 函數在某一点 $x_0$ 的取值, 完全取决于 $x_0$ 属于哪個子定義域. 绘制分段函數的圖像, 本質上是在同一坐標係中, 将各個函數片段 $y=f_i(x)$ 在其各自的定義域 $D_i$ 上的圖像“拼接”起来. 在這個過程中, 必须特别關注各個分段的端点. 這些点是函數性質可能發生突變的地方, 我们称之為分段点. 在分段点处, 必须仔细判断该点是属于前一段还是后一段, 并在圖像上用实心点與空心点加以区分, 以确保函數的單值性.

例

设函數 $f(x) = \begin{cases} x+2, & x \le 1 \\ 3, & x \> 1 \end{cases}$ . 求 $f(0)$ 與 $f(f(0))$ 的值.

解

為求 $f(0)$ , 我们首先判断自變量 $0$ 所在的区間. 由于 $0 \le 1$ , $f(0)$ 适用第一個解析式, 故 $f(0) = 0+2=2$ .

為求 $f(f(0))$ , 我们需计算 $f(2)$ . 自變量 $2$ 满足 $2\>1$ , 适用第二個解析式, 故 $f(2)=3$ . 因此, $f(f(0))=3$ .

例

设函數 $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \ge 0 \\ 2x+1, & x \< 0 \end{cases}$ . 求 $f(3)$ 的值.

解

為求 $f(3)$ , 我们首先需要确定自變量 $x=3$ 属于哪個子定義域.

由于 $3 \ge 0$ , 自變量 $x=3$ 满足第一個条件.

因此, 我们應用第一個解析式 $f(x)=x^2+1$ 来计算函數值.

f(3) = 3^2+1 = 9+1 = 10

故 $f(3)$ 的值為 $10$ .

例

设函數 $g(x) = \begin{cases} 2x, & x \> 1 \\ x-1, & x \le 1 \end{cases}$ . 求 $g(g(1))$ 的值.

解

求解複合函數值 $g(g(1))$ 需要一個由内向外的计算過程.

首先, 我们计算内层函數的值 $g(1)$ . 自變量 $x=1$ 满足条件 $x \le 1$ . 因此, 我们應用第二個解析式 $g(x)=x-1$ .

g(1) = 1-1 = 0

接下来, 我们将此结果作為外层函數的自變量, 即计算 $g(0)$ . 自變量 $x=0$ 满足条件 $x \le 1$ . 因此, 我们再次應用第二個解析式.

g(g(1)) = g(0) = 0-1 = -1

故 $g(g(1))$ 的值為 $-1$ .

例

已知函數 $h(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 1 \\ x+1, & x \< 1 \end{cases}$ . 若 $h(x)=3$ , 求 $x$ 的值.

解

此問題要求我们寻找一個自變量 $x$ , 使得其函數值為 $3$ . 由于函數的解析式是分段的, 我们需要分别在每個子定義域上進行讨論.

情形一: 假设 $x \ge 1$ . 在此条件下, 函數的解析式為 $h(x)=\sqrt{x}$ . 我们令 $\sqrt{x}=3$ , 两边平方得 $x=9$ . 我们需要檢验此解是否满足本情形的假设. 由于 $9 \ge 1$ , 该解是有效的.

情形二: 假设 $x \< 1$ . 在此条件下, 函數的解析式為 $h(x)=x+1$ . 我们令 $x+1=3$ , 解得 $x=2$ . 我们需要檢验此解是否满足本情形的假设. 由于 $2$ 并不小于 $1$ , 该解是无效的, 必须舍去.

綜合以上两种情形, 唯一有效的解是 $x=9$ .

连續性與可導性

分段函數的分析, 關键在于其在分段点处的行為.

分段点的连續性

设 $x_0$ 是函數 $f(x)$ 的一個分段点. $f(x)$ 在 $x_0$ 处连續的充要条件是其在该点的左極限、右極限均存在且等于该点的函數值, 即

\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

若此条件不满足, 则称函數在 $x_0$ 处間断.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：分段点处的连續與間断

分段点的可導性

若函數 $f(x)$ 在分段点 $x_0$ 处连續, 则其在该点可導的充要条件是其左導數與右導數存在且相等, 即

f'_{-}(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'_{+}(x_0)

若左右導數不相等, 则函數在 $x_0$ 处不可導, 其圖像在该点形成尖点或角点.

例

分析函數 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处的连續性與可導性.

解

函數 $f(x)=|x|$ 可寫為分段函數形式 $f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x \< 0 \end{cases}$ .

在 $x=0$ 处, 左極限 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ . 右極限 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$ . 函數值為 $f(0)=0$ . 由于左極限 = 右極限 = 函數值, 函數在 $x=0$ 处连續.

左導數為 $f'_{-}(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h|-|0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$ . 右導數為 $f'_{+}(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h|-|0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$ . 由于 $f'_{-}(0) \neq f'_{+}(0)$ , 函數在 $x=0$ 处不可導.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：分段点处的光滑與尖点

整體性質的判定

一個函數在各分段区間上具有某种性質 (如單调性), 并不保證该函數在整個定義域上都具有此性質. 整體性質的判定必须额外考察函數在分段点处的衔接行為.

例如, 一個分段函數若要在整個定義域上單调递增, 必须满足:

函數在每個子定義域上均單调递增.
在任意相邻的两個子定義域 $D_i, D_{i+1}$ (设 $D_i$ 在 $D_{i+1}$ 左侧) 的分界点 $x_0$ 处, 必须有 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \le f(x_0)$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：一個在各分段区間均递增, 但整體非單调的函數.

例

已知函數 $f(x) = \begin{cases} (2a-1)x+7a-2, & x \< 1 \\ a^x, & x \ge 1 \end{cases}$ 在 $\mathbb{R}$ 上單调递减, 求实數 $a$ 的取值范围.

解

為使函數 $f(x)$ 在整個定義域 $\mathbb{R}$ 上單调递减, 必须同时满足三個条件.

首先, 函數在第一個子定義域 $(-\infty, 1)$ 上必须單调递减. 此段為線性函數, 其單调性由斜率决定.

2a-1 \< 0 \implies a \< \frac{1}{2}

其次, 函數在第二個子定義域 $[1, +\infty)$ 上必须單调递减. 此段為指數函數, 其單调性由底數决定.

0 \< a \< 1

最后, 在分段点 $x=1$ 处, 左侧区間的终点值必须不小于右侧区間的起点值, 以保證單调性的延續.

\lim_{x \to 1^-} f(x) \ge f(1)

计算得:

(2a-1)(1) + 7a-2 \ge a^1

9a-3 \ge a \implies 8a \ge 3 \implies a \ge \frac{3}{8}

我们将這三個条件联立, 求解其交集:

\begin{cases} a \< 1/2 \\ 0 \< a \< 1 \\ a \ge 3/8 \end{cases}

由于 $3/8 = 0.375$ 且 $1/2 = 0.5$ , 這三個区間的公共部分為 $[\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ .

故实數 $a$ 的取值范围是 $[\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ .

例

讨論方程 $f(x)=k$ 的根的個數, 其中 $f(x) = \begin{cases} -x^2-2x, & x \le 0 \\ \ln(x+1), & x \> 0 \end{cases}$ .

解

此問題等价于考察函數 $y=f(x)$ 的圖像與水平直線 $y=k$ 的交点個數. 解决此問題的最有效途径是分析函數 $f(x)$ 的圖像, 特别是其單调性、極值與端点行為.

我们分段分析函數 $f(x)$ .

当 $x \le 0$ 时, $f(x) = -x^2-2x = -(x+1)^2+1$ . 這是一個開口向下, 對称轴為 $x=-1$ 的抛物線. 在区間 $(-\infty, -1]$ 上, 函數單调递增. 在区間 $[-1, 0]$ 上, 函數單调递减. 函數在 $x=-1$ 处取得極大值 $f(-1)=1$ . 在分段点 $x=0$ 处, $f(0)=0$ .

当 $x \> 0$ 时, $f(x) = \ln(x+1)$ . 這是一個严格單调递增的對數函數. 其在 $x \to 0^+$ 时的極限為 $\lim_{x \to 0^+} \ln(x+1) = \ln 1 = 0$ .

綜合两段的信息, 我们可以绘制出函數的草圖. 函數在 $x=0$ 处是连續的. 它從 $-\infty$ 增长到極大值 $1$ , 然后下降到 $0$ , 再從 $0$ 開始无限增长.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數 $y=f(x)$ 與水平直線 $y=k$ 的交点情况

通過观察圖像與水平直線 $y=k$ 的交点個數, 我们可以得出结論:

当 $k\>1$ 时, 直線與圖像在第一段和第二段各有一個交点, 共 2 個交点.
当 $k=1$ 时, 直線與圖像在 $x=-1$ 处相切, 并在第二段有一個交点, 共 2 個交点.
当 $0 \< k \< 1$ 时, 直線與圖像在第一段的两個分支以及第二段各有一個交点, 共 3 個交点.
当 $k=0$ 时, 直線與圖像在 $x=0$ 和 $x=-2$ 处相交, 共 2 個交点.
当 $k\<0$ 时, 直線僅與圖像在第一段有一個交点, 共 1 個交点.

总结可知, 方程 $f(x)=k$ 的根的個數為:

\text{根的個數} = \begin{cases} 1, & k \< 0 2, & k=0, k=1, k\>1 3, & 0 \< k \< 1 \end{cases}

此分析表明, 函數的零点(或更一般的, 方程的根)個數, 由常數 $k$ 與函數的關键值(極大值 $1$ 和连接点值 $0$ )之間的關係所决定.

函數的基本要素分析

分段函數的定義域、值域與單调性等基本性質, 由其各個组成部分的性質以及它们在分段点处的衔接方式共同决定. 對其分析的核心原则是“分段考察, 整體联立”.

定義域與值域

\paragraph{定義域} 分段函數的定義域是其所有子定義域的并集.

D = D_1 \cup D_2 \cup ... \cup D_n

這通常在函數定義时已明确给出.

\paragraph{值域} 分段函數的值域是其在各個子定義域上取得的值的集合的并集. 求解過程分為两步:

分别求出函數 $y=f_i(x)$ 在其對應定義域 $D_i$ 上的值域 $R_i$ .
将所有這些局部值域合并, 即求其并集 $R = R_1 \cup R_2 \cup ... \cup R_n$ .

例

求函數 $f(x) = \begin{cases} x+2, & x \le -1 \\ x^2, & -1 \< x \< 2 \\ 2, & x \ge 2 \end{cases}$ 的值域.

解

我们分别考察函數在每一個子定義域上的取值范围, 然后将這些范围合并.

当 $x \in (-\infty, -1]$ 时, $f(x)=x+2$ . 這是一個單调递增的線性函數. 其在该区間上的值域為 $(-\infty, f(-1)]$ , 即 $(-\infty, 1]$ .
当 $x \in (-1, 2)$ 时, $f(x)=x^2$ . 這是一個二次函數, 在区間 $(-1, 0]$ 上递减, 在 $[0, 2)$ 上递增. 其在该区間上的值域為 $[f(0), \max(\lim_{x\to -1^+} x^2, \lim_{x\to 2^-} x^2))$ , 即 $[0, 4)$ .
当 $x \in [2, \infty)$ 时, $f(x)=2$ . 這是一個常數函數, 其值域為單点集 $\{2\}$ .

函數 $f(x)$ 的总值域是這三個部分值域的并集:

(-\infty, 1] \cup [0, 4) \cup \{2\} = (-\infty, 4)

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數 $f(x)$ 的圖像及其值域

因此, 函數的值域為 $(-\infty, 4)$ .

單调性

一個分段函數若要在整個定義域上單调, 必须同时满足两個条件:

函數在每個子定義域上均具有相同的單调性 (例如, 均為單调递增).
在所有分段点处, 函數的衔接必须保持這种單调趋势. 對于單调递增函數, 這意味着后一段的起始值必须不小于前一段的结束值.

若第二個条件不满足, 即使函數在每個局部区間上都單调, 其整體也非單调函數.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：一個在各分段区間均递增, 但因在 $x=0$ 处發生“向下跳跃”而整體非單调的函數.

例

已知函數 $f(x) = \begin{cases} (2a-1)x+7a-2, & x \< 1 \\ a^x, & x \ge 1 \end{cases}$ 在 $\mathbb{R}$ 上單调递减, 求实數 $a$ 的取值范围.

解

為使函數 $f(x)$ 在整個定義域 $\mathbb{R}$ 上單调递减, 必须同时满足三個条件.

首先, 函數在第一個子定義域 $(-\infty, 1)$ 上必须單调递减. 此段為線性函數, 其單调性由斜率决定.

2a-1 \< 0 \implies a \< \frac{1}{2}

其次, 函數在第二個子定義域 $[1, +\infty)$ 上必须單调递减. 此段為指數函數, 其單调性由底數决定.

0 \< a \< 1

最后, 在分段点 $x=1$ 处, 左侧区間的终点值必须不小于右侧区間的起点值, 以保證單调递减趋势的延續.

\lim_{x \to 1^-} f(x) \ge f(1)

计算得:

(2a-1)(1) + 7a-2 \ge a^1

9a-3 \ge a \implies 8a \ge 3 \implies a \ge \frac{3}{8}

我们将這三個条件联立, 求解其交集:

\begin{cases} a \< 1/2 \\ 0 \< a \< 1 \\ a \ge 3/8 \end{cases}

由于 $3/8 = 0.375$ 且 $1/2 = 0.5$ , 這三個区間的公共部分為 $[\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ .

故实數 $a$ 的取值范围是 $[\frac{3}{8}, \frac{1}{2})$ .

應用示例

分段函數是描述現实世界中条件依赖關係的有力工具. 以下示例展示了如何将几何問題與生活中的计价规则转化為分段函數的數學模型.

例

如圖, 在边长為 4 的正方形 $ABCD$ 的边上有一动点 $P$ , 沿着折線 $B \to C \to D \to A$ 运动. 设点 $P$ 运动的路程為 $x$ , $\triangle APB$ 的面積為 $y$ .

求 $y$ 與 $x$ 之間的函數關係式.
求面積最大时, $x$ 的取值范围.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

(1) 理解問題. 三角形 $APB$ 的底边 $AB$ 长度固定為 4. 因此, 其面積 $y$ 完全由高决定, 這個高是点 $P$ 到边 $AB$ 的垂直距离.

y = \frac{1}{2} \cdot \text{底} \cdot \text{高} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_P = 2h_P

点 $P$ 的运动路径由三条边構成, 其在不同边上运动时, 高 $h_P$ 與路程 $x$ 的關係不同. 這表明 $y(x)$ 是一個分段函數.

我们分段進行分析.

第一段: 点 $P$ 在边 $BC$ 上运动. 此时, $P$ 從 $B$ 运动到 $C$ . 路程 $x$ 的取值范围是 $[0, 4]$ . 点 $P$ 到 $AB$ 的高 $h_P$ 等于它從点 $B$ 向上运动的距离, 即路程 $x$ . 故 $h_P = x$ . 面積 $y = 2x$ .

第二段: 点 $P$ 在边 $CD$ 上运动. 此时, $P$ 從 $C$ 运动到 $D$ . 路程 $x$ 從 4 增加到 $4+4=8$ . 其取值范围是 $(4, 8]$ . 点 $P$ 在 $CD$ 上运动时, 它到 $AB$ 的高 $h_P$ 始终等于正方形的边长 4. 故 $h_P = 4$ . 面積 $y = 2 \cdot 4 = 8$ .

第三段: 点 $P$ 在边 $DA$ 上运动. 此时, $P$ 從 $D$ 运动到 $A$ . 路程 $x$ 從 8 增加到 $8+4=12$ . 其取值范围是 $(8, 12]$ . 点 $P$ 到 $AB$ 的高 $h_P$ 等于它與点 $A$ 的距离. 总路程為 12, 已走路程為 $x$ , 剩余路程即為 $PA$ 的长度. 故 $h_P = 12-x$ . 面積 $y = 2(12-x)$ .

綜合以上三段, 我们得到函數關係式:

y = f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le 4 8, & 4 \< x \le 8 2(12-x), & 8 \< x \le 12 \end{cases}

(2) 為求面積的最大值, 我们分析函數 $y(x)$ 在其定義域 $[0, 12]$ 上的行為.

在 $[0, 4]$ 上, $y=2x$ 是增函數, 最大值為 $y(4)=8$ .
在 $(4, 8]$ 上, $y=8$ 是常數函數.
在 $(8, 12]$ 上, $y=2(12-x)$ 是减函數, 其值域為 $[0, 8)$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：面積函數 $y(x)$ 的圖像

通過分析各段的值域并结合圖像, 函數 $y$ 的最大值為 8. 這個最大值在 $x=4$ 时首次达到, 并一直保持到 $x=8$ . 因此, 当面積最大时, $x$ 的取值范围是 $[4, 8]$ .

例

某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:

乘坐汽车 5 km 以内, 票价 2 元;
5 km 以上, 每增加 5 km, 票价增加 1 元 (不足 5 km 的按 5 km 计算).

已知两個相邻的公共汽车站間相距约為 1 km, 如果沿途 (包括起点站和终点站) 设 20 個汽车站, 請根据題意寫出票价與里程之間的函數解析式.

解

首先, 我们需要确定函數的自變量和因變量. 设乘客乘坐的里程為 $x$ (km), 對應的票价為 $y$ (元).

接着, 确定自變量 $x$ 的取值范围. 線路共有 20 個站, 站間距為 1 km, 因此总里程為 $(20-1) \times 1 = 19$ km. 乘客乘坐的里程 $x$ 的范围是 $(0, 19]$ .

然后, 我们根据计价规则, 将定義域 $(0, 19]$ 分割成不同的计价区間. 计价规则以 5 km 為一個台階.

第一区間: $0 \< x \le 5$ . 根据规则 (1), 在此里程范围内, 票价固定為 2 元.

第二区間: $5 \< x \le 10$ . 里程超過 5 km, 進入第一個增价区間. 根据规则 (2), 票价在 2 元的基礎上增加 1 元. 票价為 $2+1=3$ 元.

第三区間: $10 \< x \le 15$ . 里程超過 10 km, 進入第二個增价区間. 票价在 3 元的基礎上再增加 1 元. 票价為 $3+1=4$ 元.

第四区間: $15 \< x \le 19$ . 里程超過 15 km, 進入第三個增价区間. 票价在 4 元的基礎上再增加 1 元. 票价為 $4+1=5$ 元.

綜合以上分析, 我们可以寫出票价 $y$ 關于里程 $x$ 的分段函數解析式:

y = f(x) = \begin{cases} 2, & 0 \< x \le 5 3, & 5 \< x \le 10 4, & 10 \< x \le 15 5, & 15 \< x \le 19 \end{cases}

這是一個階梯函數.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：公交票价函數圖像

例

设函數 $f(x) = \begin{cases} -ax+1, & x \< a \\ (x-2)^2, & x \ge a \end{cases}$ . 若 $f(x)$ 存在最小值, 求实數 $a$ 的最大值.

解

此問題的核心是分析函數在不同參數 $a$ 下的形态, 并确定其是否存在一個全局的最小值. 函數的表达式由線性部分與二次函數部分構成, 其整體行為取决于分段点 $a$ 的位置. 我们對 $a$ 的取值進行分類讨論.

情形一: $a \< 0$ . 此时, 線性部分 $y=-ax+1$ 的斜率 $-a$ 大于零, 函數在该区間 $(-\infty, a)$ 上單调递增. 然而, 題目要求的是最小值. 让我们重新审视. 当 $a\<0$ 时, 斜率 $-a \> 0$ . 故 $f(x)$ 在 $(-\infty, a)$ 上單调递增. 当 $x \to -\infty$ 时, $f(x) \to -\infty$ . 函數无下界, 因此不存在最小值.

情形二: $a = 0$ . 此时函數為 $f(x) = \begin{cases} 1, & x \< 0 \\ (x-2)^2, & x \ge 0 \end{cases}$ . 在区間 $(-\infty, 0)$ 上, 函數值為常數 $1$ . 在区間 $[0, +\infty)$ 上, 函數 $y=(x-2)^2$ 在 $x=2$ 处取得最小值 $0$ . 綜合来看, 函數 $f(x)$ 的最小值為 $0$ . 故 $a=0$ 是一個可能的值.

情形三: $a \> 0$ . 此时, 線性部分 $y=-ax+1$ 的斜率 $-a$ 小于零, 函數在该区間 $(-\infty, a)$ 上單调递减.

我们根据分段点 $a$ 與抛物線顶点 $x=2$ 的相對位置, 進一步细分.

子情形 3a: $0 \< a \< 2$ . 函數在 $(-\infty, a)$ 上單调递减, 其值的下确界為 $\lim_{x \to a^-} f(x) = -a^2+1$ . 在 $[a, +\infty)$ 上, 函數 $y=(x-2)^2$ 先递减后递增, 在 $x=2$ 处取得最小值 $0$ . 要使函數存在全局最小值, 函數必须有下界. 這意味着当 $x$ 從左侧趋近于 $a$ 时, 函數值不能趋于一個比全局最小值更小的值. 若 $-a^2+1 \< 0$ , 则函數在 $(-\infty, a)$ 上的下确界為负, 且无法取到, 故不存在最小值. 因此, 必须满足 $-a^2+1 \ge 0$ , 即 $a^2 \le 1$ . 结合本情形的假设 $a\>0$ , 我们得到 $0 \< a \le 1$ .

子情形 3b: $a \ge 2$ . 函數在 $(-\infty, a)$ 上單调递减. 在 $[a, +\infty)$ 上, 由于 $a \ge 2$ , 函數 $y=(x-2)^2$ 是單调递增的. 因此, 函數的圖像在 $x=a$ 点处可能存在一個最低点. 函數的下确界為 $\min(\lim_{x \to a^-} f(x), f(a)) = \min(-a^2+1, (a-2)^2)$ . 為使最小值存在, 该下确界必须在 $x=a$ 处取到, 即 $f(a) \le \lim_{x \to a^-} f(x)$ .

(a-2)^2 \le -a^2+1

整理得 $a^2-4a+4 \le -a^2+1$ , 即 $2a^2-4a+3 \le 0$ . 此二次多項式的判别式 $\Delta = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16-24 = -8 \< 0$ . 由于其開口向上, 故 $2a^2-4a+3$ 恒為正. 不等式 $2a^2-4a+3 \le 0$ 无解. 因此, 在 $a \ge 2$ 的情况下, 函數不存在最小值.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：不同 $a$ 值下函數圖像形态示意

綜合所有情形, 函數 $f(x)$ 存在最小值的条件是 $a \in [0, 1]$ . 因此, 实數 $a$ 的最大值為 $1$ .

例

设函數 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le a \\ x^2-2ax+a, & x \> a \end{cases}$ . 若存在实數 $b$ , 使得函數 $g(x)=f(x)-b$ 有 3 個零点, 则 $a$ 的取值范围為\underline{}.

解

函數 $g(x)$ 有 3 個零点, 等价于方程 $f(x)=b$ 有 3 個不同的实數根. 這在几何上意味着, 存在一条水平直線 $y=b$ , 與函數 $y=f(x)$ 的圖像有 3 個不同的交点.

為实現 3 個交点, 函數 $f(x)$ 的圖像必须存在某种形式的“峰”與“谷”, 即非單调. 我们分析函數 $f(x)$ 的结構.

在 $x=a$ 处, 函數的左值為 $f(a)=a^2$ . 其右極限為 $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (x^2-2ax+a) = a^2-2a^2+a = a-a^2$ .

我们對參數 $a$ 進行分類讨論.

情形一: $a \le 0$ . 当 $x \le a$ 时, $f(x)=x^2$ 在此区間上單调递减. 当 $x \> a$ 时, $f(x)=x^2-2ax+a = (x-a)^2 + a-a^2$ . 這是一個顶点在 $x=a$ 的開口向上的抛物線, 故在 $(a, +\infty)$ 上單调递增. 函數圖像的整體形态是先下降后上升, 任何水平直線至多與其有两個交点. 故此情形不满足条件.

情形二: $a \> 0$ . 当 $x \le a$ 时, $f(x)=x^2$ 在 $(-\infty, 0]$ 上單调递减, 在 $[0, a]$ 上單调递增. 函數在 $x=0$ 处取得一個局部最小值 $f(0)=0$ . 当 $x \> a$ 时, $f(x)=(x-a)^2+a-a^2$ 在 $(a, +\infty)$ 上單调递增.

函數 $f(x)$ 的整體圖像形态為: 從 $+\infty$ 下降至 $(0,0)$ , 再上升至分段点 $(a, a^2)$ , 然后在 $x=a$ 处發生一個跳跃, 從 $(a, a-a^2)$ 開始继續上升至 $+\infty$ .

要使水平直線 $y=b$ 能與圖像产生 3 個交点, 它必须穿過位于 $(0,a)$ 区間的上升段, 并且同时穿過位于 $(a, +\infty)$ 区間的上升段. 這要求在分段点 $x=a$ 处發生一個“向下的跳跃”, 形成一個局部的“峰”與“谷”.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：当 $a\>1/2$ 时, 函數圖像形态與水平線 $y=b$

這個“向下的跳跃”的代數条件是, 函數在分段点左侧的值大于其右極限:

f(a) \> \lim_{x \to a^+} f(x)

a^2 \> a-a^2

整理得 $2a^2-a \> 0$ , 即 $a(2a-1) \> 0$ .

结合本情形的假设 $a\>0$ , 上述不等式等价于 $2a-1 \> 0$ , 即 $a \> 1/2$ .

当 $a \> 1/2$ 时, 我们确实有 $a^2 \> a-a^2$ . 此时, 只要選取一個介于“谷底”與“峰顶”之間的 $b$ 值, 即 $a-a^2 \< b \< a^2$ , 水平直線 $y=b$ 就会與函數圖像产生 3 個交点.

反之, 若 $0 \< a \le 1/2$ , 则 $a^2 \le a-a^2$ . 函數在 $x=0$ 之后是單调不减的, 任何水平直線至多有两個交点.

綜上所述, 使得函數 $g(x)$ 有 3 個零点存在的条件是 $a \> 1/2$ . 故 $a$ 的取值范围為 $(\frac{1}{2}, +\infty)$ .

例

设 $a$ 為实數, 函數 $f(x)=(x-a)^2+|x-a|-a|a-1|$ .

若 $f(0)\>1$ , 求 $a$ 的取值范围;
讨論 $f(x)$ 的單调性;
当 $a\>2$ 时, 讨論 $f(x)+|x|$ 在 $\mathbb{R}$ 上的零点個數.

證明

(1) 根据函數表达式, 我们有 $f(0)=(0-a)^2+|0-a|-a|a-1| = a^2+|a|-a|a-1|$ . 条件 $f(0)\>1$ 即 $a^2+|a|-a|a-1|\>1$ . 我们根据 $a$ 的取值對绝對值進行分段讨論.

若 $a \ge 1$ , 不等式為 $a^2+a-a(a-1)\>1$ , 即 $a^2+a-a^2+a\>1$ , 整理得 $2a\>1$ , 解得 $a\>1/2$ . 與 $a \ge 1$ 求交集, 得 $a \ge 1$ .

若 $0 \le a \< 1$ , 不等式為 $a^2+a-a(-(a-1))\>1$ , 即 $a^2+a+a^2-a\>1$ , 整理得 $2a^2\>1$ , 解得 $a \> 1/\sqrt{2}$ 或 $a \< -1/\sqrt{2}$ . 與 $0 \le a \< 1$ 求交集, 得 $1/\sqrt{2} \< a \< 1$ .

若 $a \< 0$ , 不等式為 $a^2-a-a(-(a-1))\>1$ , 即 $a^2-a+a^2-a\>1$ , 整理得 $2a^2-2a-1\>0$ . 该二次不等式的解為 $a \> \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ 或 $a \< \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ . 與 $a \< 0$ 求交集, 得 $a \< \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ .

綜上所述, $a$ 的取值范围是 $(-\infty, \frac{1-\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty)$ .

(2) 函數 $f(x)$ 的结構可视為複合函數. 令 $t=|x-a|$ , 则 $t \ge 0$ . 原函數可表示為關于 $t$ 的函數 $h(t) = t^2+t-a|a-1|$ . 這是一個開口向上的二次函數, 對称轴為 $t=-1/2$ . 由于 $t \ge 0$ , 函數 $h(t)$ 在其定義域 $[0, +\infty)$ 上是严格單调递增的.

内层函數 $t(x)=|x-a|$ 在区間 $(-\infty, a]$ 上單调递减, 在区間 $[a, +\infty)$ 上單调递增. 根据複合函數單调性法则: 在区間 $(-\infty, a]$ 上, 内层函數递减, 外层函數递增, 故 $f(x)$ 單调递减. 在区間 $[a, +\infty)$ 上, 内层函數递增, 外层函數递增, 故 $f(x)$ 單调递增.

(3) 设 $g(x)=f(x)+|x|$ . 当 $a\>2$ 时, 我们需要讨論方程 $g(x)=0$ 的根的個數. 我们根据绝對值的零点 $x=0$ 和 $x=a$ 将函數寫為分段形式.

当 $x \< 0$ 时, $g(x)=(x-a)^2-(x-a)-a(a-1)-x = x^2-(2a+2)x+2a$ . 当 $0 \le x \< a$ 时, $g(x)=(x-a)^2-(x-a)-a(a-1)+x = x^2-2ax+2a$ . 当 $x \ge a$ 时, $g(x)=(x-a)^2+(x-a)-a(a-1)+x = x^2-(2a-2)x+2a$ .

我们分析函數 $g(x)$ 的單调性. 在 $(-\infty, 0)$ 上, $g'(x)=2x-(2a+2)$ . 由于 $x\<0, a\>2$ , $g'(x)\<0$ , 函數單调递减. 在 $(0, a)$ 上, $g'(x)=2x-2a=2(x-a)$ . 由于 $x\<a$ , $g'(x)\<0$ , 函數單调递减. 在 $(a, +\infty)$ 上, $g'(x)=2x-(2a-2)=2(x-(a-1))$ . 由于 $x\>a\>a-1$ , $g'(x)\>0$ , 函數單调递增.

綜上, 函數 $g(x)$ 在 $(-\infty, a]$ 上單调递减, 在 $[a, +\infty)$ 上單调递增. 因此, $g(x)$ 在 $x=a$ 处取得全局最小值.

我们计算几個關键点的函數值: $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$ . $g(0) = 0^2-2a(0)+2a = 2a$ . 由于 $a\>2$ , $g(0)\>0$ . $g(a) = a^2-(2a-2)a+2a = a^2-2a^2+2a+2a = -a^2+4a = -a(a-4)$ . $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ .

零点的個數取决于最小值 $g(a)$ 的符号.

若 $2 \< a \< 4$ , 则 $a-4\<0$ , 故 $g(a)=-a(a-4)\>0$ . 此时, 函數的最小值為正, 圖像恒在 $x$ 轴上方, 故 $g(x)$ 没有零点.

若 $a=4$ , 则 $g(a)=0$ . 此时, 函數的最小值為零, 圖像與 $x$ 轴僅在最低点 $x=4$ 处相切, 故 $g(x)$ 有 1 個零点.

若 $a\>4$ , 则 $a-4\>0$ , 故 $g(a)=-a(a-4)\<0$ . 此时, 函數的最小值為负. 由于 $\lim_{x \to -\infty} g(x)=+\infty$ 且 $g(a)\<0$ , 函數在 $(-\infty, a)$ 上必有一個零点. 由于 $\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$ 且 $g(a)\<0$ , 函數在 $(a, +\infty)$ 上必有一個零点. 故 $g(x)$ 有 2 個零点.

绝對值函數

{/* label: sec:ch03-s18 */}

在數學的诸多概念中, 绝對值以其形式的簡洁與内涵的深刻而独树一帜. 它不僅是代數运算的基礎, 更為“距离”這一核心几何概念提供了最原初的代數刻画. 對绝對值函數的深入理解, 是掌握不等式恒等變形、分析函數圖像以及领会近代數學中“范數”思想的基石.

绝對值的定義與核心性質

我们首先從其代數定義出發.

绝對值

实數 $x$ 的绝對值, 记作 $|x|$ , 定義為一個分段函數:

|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 -x, & x \< 0 \end{cases}

此定義的直接几何诠释是： $|x|$ 表示实數 $x$ 在數轴上對應的点到原点的距离. 類似地, $|x-a|$ 则表示數 $x$ 與數 $a$ 在數轴上對應点之間的距离. 這一几何观点是化解众多複杂绝對值問題的直观来源.

由定義可直接導出绝對值的几個根本性質.

绝對值的基本性質

對于任意实數 $x, y$ , 以下性質恒成立:

非负性: $|x| \ge 0$ .
正定性: $|x|=0 \iff x=0$ .
積性: $|xy| = |x||y|$ .
三角不等式: $|x+y| \le |x|+|y|$ . 等号成立的充要条件是 $xy \ge 0$ .

證明（三角不等式的證明）

此不等式的證明是展示分類讨論思想的绝佳范例, 其依据完全是绝對值的定義.

若 $x, y$ 中至少一個為零, 不等式显然成立. 故不妨设 $x, y$ 均非零.

情形一: $x\>0, y\>0$ . 此时 $x+y\>0$ . 于是 $|x+y|=x+y$ , $|x|=x$ , $|y|=y$ . 不等式化為 $x+y \le x+y$ , 等号成立.

情形二: $x\<0, y\<0$ . 此时 $x+y\<0$ . 于是 $|x+y|=-(x+y)$ , $|x|=-x$ , $|y|=-y$ . 不等式化為 $-(x+y) \le -x-y$ , 等号成立.

情形三: $x, y$ 异号. 不妨设 $x\>0, y\<0$ . 若 $x+y \ge 0$ , 则 $|x+y|=x+y$ . 不等式為 $x+y \le x+(-y)$ . 由于 $y\<0$ , $-y\>y$ , 故 $x+y \< x-y$ , 不等式严格成立. 若 $x+y \< 0$ , 则 $|x+y|=-(x+y)$ . 不等式為 $-x-y \le x-y$ . 這等价于 $-x \le x$ , 即 $2x \ge 0$ , 由于 $x\>0$ , 此式成立.

綜合所有情形, $|x+y| \le |x|+|y|$ 恒成立. 等号僅在 $x,y$ 同号或至少其一為零时取得, 這等价于 $xy \ge 0$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：三角不等式的數轴诠释

绝對值函數圖像與性質

函數 $f(x)=|x|$ 是最基本的分段函數之一, 其圖像與性質是分析更複杂绝對值函數的基礎.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數 $y=|x|$ 的圖像

含绝對值的方程與不等式

求解含绝對值的方程與不等式, 其根本思想是**“化去绝對值”. 实現這一目標的核心方法論是零点分段讨論法**, 其逻辑根源在于绝對值的定義本身.

该方法的步骤是:

找出所有绝對值符号内部表达式的零点.
這些零点将整個实數轴划分為若干個開区間.
在每個開区間内, 所有绝對值符号内部表达式的符号是恒定的, 從而可以去掉绝對值符号, 将原方程(或不等式)转化為一個不含绝對值的常规問題.
分别求解在各個区間上的問題, 并将解集與该区間的范围求交集, 得到该区間内的有效解.
将所有区間上的有效解合并, 得到原問題的完整解集.

例

求解不等式 $|2x-1| \< x+2$ .

解

我们首先确定讨論的零点. 令绝對值内部的表达式 $2x-1=0$ , 解得 $x=1/2$ . 此点将实數轴划分為两個区間: $(-\infty, 1/2)$ 和 $[1/2, +\infty)$ .

情形一: $x \ge 1/2$ . 在此区間内, $2x-1 \ge 0$ , 故 $|2x-1|=2x-1$ . 原不等式转化為 $2x-1 \< x+2$ , 解得 $x \< 3$ . 将此解與本情形的约束 $x \ge 1/2$ 求交集, 得到该区間的解為 $[1/2, 3)$ .

情形二: $x \< 1/2$ . 在此区間内, $2x-1 \< 0$ , 故 $|2x-1|=-(2x-1)=1-2x$ . 原不等式转化為 $1-2x \< x+2$ , 解得 $-1 \< 3x$ , 即 $x \> -1/3$ . 将此解與本情形的约束 $x \< 1/2$ 求交集, 得到该区間的解為 $(-1/3, 1/2)$ .

最后, 我们将两個情形下得到的解集合并:

[1/2, 3) \cup (-1/3, 1/2) = (-1/3, 3)

故原不等式的解集為 $(-1/3, 3)$ .

對于特定形式的绝對值問題, 也存在一些更簡洁的等价转化.

$|f(x)| \< a \ (a\>0) \iff -a \< f(x) \< a$ .
$|f(x)| \> a \ (a\>0) \iff f(x) \> a \text{ 或 } f(x) \< -a$ .
$|f(x)| = |g(x)| \iff f(x)^2 = g(x)^2 \iff (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0$ .

例

已知函數 $f(x) = -x\ln x + ax$ 在 $(0,e)$ 上是增函數, 函數 $g(x)=|e^x - a| + \frac{a^2}{2}$ 在 $x \in [0, \ln 3]$ 上的最大值 $M$ 與最小值 $m$ 的差為 $\frac{3}{2}$ . 求 $a$ 的值.

解

此問題包含两個独立的条件, 我们分别對其進行分析.

首先, 我们考察函數 $f(x)$ 的單调性. 其導函數為

f'(x) = -(\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) + a = a - 1 - \ln x

由于 $f(x)$ 在区間 $(0,e)$ 上是增函數, 故 $f'(x) \ge 0$ 在该区間上恒成立. 這等价于 $a \ge 1 + \ln x$ 對所有 $x \in (0,e)$ 成立. 函數 $h(x) = 1+\ln x$ 在 $(0,e)$ 上單调递增, 其上界為 $\lim_{x \to e^-} (1+\ln x) = 1+\ln e = 2$ . 因此, 參數 $a$ 必须满足 $a \ge 2$ .

接下来, 我们分析函數 $g(x) = |e^x - a| + \frac{a^2}{2}$ 在区間 $[0, \ln 3]$ 上的極值. 函數 $g(x)$ 的行為取决于其绝對值内部表达式 $e^x-a$ 的符号. 其零点為 $x_0 = \ln a$ . 由于 $a \ge 2$ , 我们有 $\ln a \ge \ln 2 \> 0$ . 函數 $g(x)$ 在 $x=\ln a$ 处取得其最小值, 因為当 $x \< \ln a$ 时 $g(x)$ 递减, 当 $x \> \ln a$ 时 $g(x)$ 递增.

我们需要根据 $\ln a$ 與区間 $[0, \ln 3]$ 的相對位置進行讨論.

情形一: $\ln a \ge \ln 3$ , 即 $a \ge 3$ . 在此情形下, 临界点 $\ln a$ 位于考察区間的右侧或恰在右端点. 因此, 函數 $g(x)$ 在整個区間 $[0, \ln 3]$ 上是單调递减的. 其最大值 $M$ 在 $x=0$ 处取得, 最小值為 $m$ 在 $x=\ln 3$ 处取得.

\begin{aligned} M &= g(0) = |1-a| + \frac{a^2}{2} = a-1+\frac{a^2}{2} (\text{因 } a \ge 3) m &= g(\ln 3) = |3-a| + \frac{a^2}{2} = a-3+\frac{a^2}{2} (\text{因 } a \ge 3) \end{aligned}

两者之差為 $M-m = (a-1+\frac{a^2}{2}) - (a-3+\frac{a^2}{2}) = 2$ . 這與題设条件 $M-m = 3/2$ 矛盾. 故此情形不成立.

情形二: $\ln a \< \ln 3$ , 即 $2 \le a \< 3$ . 在此情形下, 临界点 $\ln a$ 位于考察区間的内部. 函數 $g(x)$ 在 $[0, \ln a]$ 上單调递减, 在 $[\ln a, \ln 3]$ 上單调递增. 其最小值 $m$ 在 $x=\ln a$ 处取得:

m = g(\ln a) = |e^{\ln a}-a| + \frac{a^2}{2} = 0 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}

其最大值 $M$ 必然在区間的两個端点 $x=0$ 或 $x=\ln 3$ 处取得.

M = \max(g(0), g(\ln 3))

我们比较 $g(0)$ 與 $g(\ln 3)$ . $g(0) = |1-a| + \frac{a^2}{2} = a-1+\frac{a^2}{2}$ (因 $a \ge 2$ ). $g(\ln 3) = |3-a| + \frac{a^2}{2} = 3-a+\frac{a^2}{2}$ (因 $a \< 3$ ). 考察 $g(0)-g(\ln 3) = (a-1) - (3-a) = 2a-4$ . 由于 $a \ge 2$ , $2a-4 \ge 0$ , 故 $g(0) \ge g(\ln 3)$ . 因此, 最大值為 $M = g(0) = a-1+\frac{a^2}{2}$ .

根据題设条件 $M-m = 3/2$ , 我们建立方程:

\left(a-1+\frac{a^2}{2}\right) - \frac{a^2}{2} = \frac{3}{2}

a-1 = \frac{3}{2}

解得 $a = \frac{5}{2}$ .

最后, 我们檢验此解是否满足本情形的约束条件 $2 \le a \< 3$ . 由于 $2 \le 5/2 \< 3$ , 该解是有效的.

綜上所述, $a$ 的值為 $\frac{5}{2}$ .

距离和的最小值

绝對值函數的组合可以構造出许多在优化問題中具有重要意義的模型. 其中最經典的是求解动点到若干定点距离之和的最小值問題.

例

求函數 $f(x) = |x-1| + |x-3|$ 的最小值.

解

從几何的观点看, $f(x)$ 表示數轴上动点 $x$ 到两個定点 $1$ 和 $3$ 的距离之和. 直观上, 当动点 $x$ 位于两個定点之間时, 其距离之和恰好等于两定点間的距离, 此时應取得最小值. 我们通過代數方法严格證明這一猜想.

我们以两個零点 $x=1$ 和 $x=3$ 為分界, 對 $x$ 的取值進行分段讨論.

情形一: $x \le 1$ . 此时 $x-1 \le 0, x-3 \< 0$ . $f(x) = -(x-1) - (x-3) = -2x+4$ . 這是一個單调递减的函數.

情形二: $1 \< x \< 3$ . 此时 $x-1 \> 0, x-3 \< 0$ . $f(x) = (x-1) - (x-3) = 2$ . 函數在此区間上為常數.

情形三: $x \ge 3$ . 此时 $x-1 \> 0, x-3 \ge 0$ . $f(x) = (x-1) + (x-3) = 2x-4$ . 這是一個單调递增的函數.

綜合三段的分析, 函數 $f(x)$ 的圖像先下降, 然后在区間 $[1,3]$ 上保持為常數 $2$ , 之后再上升. 因此, 函數的最小值為 $2$ , 在闭区間 $[1,3]$ 上的任意一点均可取得.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數 $y=|x-1|+|x-3|$ 的圖像

此例可以推廣至更一般的情形. 對于函數 $f(x) = \sum_{i=1}^n |x-a_i|$ , 其几何意義是动点 $x$ 到 $n$ 個定点 $a_1, ..., a_n$ 的距离之和. 可以證明, 该函數的最小值在诸 $a_i$ 的中位數处取得. 這是一個在统计學和运筹學中具有重要應用的深刻结論.

两点距离模型：平底锅與破锅圖像

函數 $f(x)=|x-1|+|x-3|$ 的圖像形态具有一般性. 我们可以係统地考察两類與數轴上两点距离相關的函數模型.

\paragraph{距离和模型} 考虑函數 $f(x) = |x-a| + |x-b|$ , 其中 $a\<b$ . 此函數可视為數轴上动点 $x$ 到两定点 $a, b$ 的距离之和. 通過零点分段讨論, 可得其分段表达式:

f(x) = \begin{cases} -2x+a+b, & x \< a b-a, & a \le x \le b 2x-a-b, & x \> b \end{cases}

函數圖像由两条射線和一個水平線段構成, 形似平底锅. 其最小值為 $b-a$ , 在区間 $[a,b]$ 上取得.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數 $y=|x-a|+|x-b|$ 的圖像 (平底锅圖像)

\paragraph{距离差模型} 與距离和模型對應, 我们考察距离差模型 $g(x) = |x-a| - |x-b|$ , 其中 $a\<b$ . 其分段表达式為:

g(x) = \begin{cases} a-b, & x \< a 2x-a-b, & a \le x \le b b-a, & x \> b \end{cases}

函數圖像由两条水平射線和一条斜率為 2 的線段構成. 其圖像形态常被称為“破锅”圖像. 函數的值域為 $[a-b, b-a]$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數 $y=|x-a|-|x-b|$ 的圖像 (破锅圖像)

作為范數的绝對值

绝對值的概念可以被抽象和推廣, 從而引出近代數學中的一個核心概念——范數. 在一個向量空間中, 范數是為每個向量赋予一個“长度”或“大小”的函數. 绝對值 $|x|$ 正是定義在一維实向量空間 $\mathbb{R}^1$ 上的范數. 我们之前列出的绝對值的基本性質, 正是范數定義的三個公理:

正定性: $\|v\| \ge 0$ , 且 $\|v\|=0 \iff v=0$ .
齐次性: $\|\lambda v\| = |\lambda| \|v\|$ (這推廣了積性).
三角不等式: $\|u+v\| \le \|u\|+\|v\|$ .

從這個观点看, 绝對值不再僅僅是一個初等函數, 而是廣阔的泛函分析领域的一個最原初、最具體的实例. 例如, 在二維平面 $\mathbb{R}^2$ 中, 一個向量 $\mathbf{v}=(x,y)$ 的欧几里得范數(或称模长)定義為 $\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{x^2+y^2}$ , 它同样满足上述三条公理. 這正是绝對值概念在更高維度上的自然推廣.

函數解析式的求解

{/* label: sec:ch03-s19 */}

探求一個未知函數的解析式, 本質上是一场逻辑推理的智力游戏. 我们所掌握的線索, 可能是函數满足的特定代數關係 (函數方程), 可能是其圖像經過的若干点, 抑或是其具備的某种内在性質 (如奇偶性、周期性). 解决這類問題的核心, 在于根据已知信息的结構特征, 選取最恰当的數學工具, 将這些線索转化為關于函數表达式的代數方程, 從而揭示其“庐山真面目”. 不同的線索结構, 對應着不同的求解策略.

待定係數法（当函數類型已知时）

若題设已經明示或强烈暗示了函數的類型 (例如, 一次函數、二次函數、指數函數等), 那么函數解析式的“骨架”便已确定, 未知的僅僅是其中的若干個係數. 我们的任务, 便是利用给定的条件構造一個關于這些待定係數的方程组, 進而解出其值.

例

已知二次函數 $f(x)$ 满足 $f(2)=-1$ , 且其圖像的對称轴為直線 $x=1$ , 顶点在 $x$ 轴下方, 與 $x$ 轴两交点間的距离為 $4$ . 求 $f(x)$ 的解析式.

解

此問題提供了關于一個二次函數的若干几何信息, 我们的目標是将其逐一翻译為代數约束.

注意到, 顶点坐標與對称轴是二次函數性質的核心. 對称轴為 $x=1$ 這一信息, 强烈建议我们采用函數的顶点式作為求解的出發点, 因為它能最直接地體現這一對称性.

不妨设 $f(x) = a(x-1)^2+k$ , 其中 $a \neq 0$ .

接下来, 我们利用“與 $x$ 轴两交点間的距离為 $4$ ”這一条件. 由于抛物線的對称性, 两個交点必然關于對称轴 $x=1$ 對称. 设两交点的横坐標為 $x_1, x_2$ , 则 $|x_1-x_2|=4$ 且 $\frac{x_1+x_2}{2}=1$ . 由此可解得, 两根分别為 $x_1=-1$ 和 $x_2=3$ .

這為我们提供了另一种设定函數形式的可能性——两根式:

f(x) = a(x-(-1))(x-3) = a(x+1)(x-3)

此形式同样内蕴了對称轴為 $x=1$ 的信息.

現在, 我们利用最后一個条件, 函數圖像經過点 $(2, -1)$ , 将其代入两根式中以确定係數 $a$ :

f(2) = a(2+1)(2-3) = -3a = -1

解得 $a = 1/3$ .

将 $a$ 的值代回, 我们便得到了函數的完整解析式:

f(x) = \frac{1}{3}(x+1)(x-3) = \frac{1}{3}(x^2-2x-3) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x - 1

最后, 我们回顾并檢验所有条件. 顶点坐標為 $(1, f(1)) = (1, -4/3)$ , 位于 $x$ 轴下方, 與題设吻合.

選择恰当的函數形式

對于二次函數, 其一般式、顶点式與两根式分别适用于不同的条件. 灵活地根据已知信息的结構, 選取最能簡化计算的函數形式, 是待定係數法中的核心策略.

例

已知 $f(x)$ 為二次函數, 且 $f(0)=3$ , $f(x+2)-f(x)=4x+2$ . 求 $f(x)$ .

解

由于函數類型已知為二次函數, 我们可以设其一般形式為 $f(x)=ax^2+bx+c$ .

由条件 $f(0)=3$ , 可直接确定常數項 $c=3$ . 故 $f(x)=ax^2+bx+3$ .

接下来, 我们处理函數方程 $f(x+2)-f(x)=4x+2$ . 我们首先计算 $f(x+2)$ :

f(x+2) = a(x+2)^2+b(x+2)+3 = a(x^2+4x+4)+b(x+2)+3

然后構造差式:

\begin{aligned} f(x+2)-f(x) &= [a(x^2+4x+4)+b(x+2)+3] - [ax^2+bx+3] &= (ax^2+4ax+4a+bx+2b+3) - (ax^2+bx+3) &= 4ax + (4a+2b) \end{aligned}

根据題设, 此差式恒等于 $4x+2$ .

4ax + (4a+2b) = 4x+2

這是一個關于 $x$ 的恒等式. 根据多項式恒等定理, 两边同次項的係數必须相等. 比较 $x$ 的一次項係數: $4a=4$ , 解得 $a=1$ . 比较常數項: $4a+2b=2$ . 将 $a=1$ 代入, 得 $4(1)+2b=2$ , 解得 $b=-1$ .

至此, 所有待定係數均已确定. 故 $f(x) = x^2-x+3$ .

利用函數性質法（奇偶性、周期性與對称性）

当一個函數的具體類型未知, 但其具備某些确定的全局性質 (如奇偶性、周期性或更一般的對称性) 时, 這些性質本身就構成了强大的约束条件. 它们使得函數在定義域某一部分的行為, 能够决定其在另一部分的形态. 求解解析式的過程, 便是利用這些性質建立不同定義域子集上函數值之間的代數联係.

利用奇偶性

若一個奇函數或偶函數的解析式在部分定義域 (通常是 $x\>0$ 的部分) 上已知, 我们可以直接利用其對称性定義, 推導出其在對称的另一部分定義域上的解析式.

其核心逻辑是: 欲求 $x\<0$ 时的 $f(x)$ , 我们構造 $f(-x)$ . 由于此时 $-x\>0$ , $f(-x)$ 的值可由已知解析式求出. 随后, 根据 $f(x)=f(-x)$ (偶函數) 或 $f(x)=-f(-x)$ (奇函數) 的關係, 即可解出 $f(x)$ .

例

设函數 $f(x)$ 為定義在 $\mathbb{R}$ 上的奇函數, 且当 $x \ge 0$ 时, $f(x) = e^x - 1$ . 求当 $x \< 0$ 时 $f(x)$ 的解析式.

解

我们的目標是确定当 $x\<0$ 时 $f(x)$ 的表达式.

设任意一個 $x \< 0$ . 根据奇函數的定義, 我们有 $f(x) = -f(-x)$ .

由于 $x\<0$ , 其相反數 $-x$ 必然大于 $0$ . 因此, $-x$ 属于函數解析式已知的区間 $[0, +\infty)$ . 我们可以将 $-x$ 代入已知的表达式中, 以计算 $f(-x)$ 的值.

f(-x) = e^{-x} - 1

将此结果代回奇函數的定義關係式中:

f(x) = -f(-x) = -(e^{-x} - 1) = 1 - e^{-x}

此表达式對所有 $x\<0$ 均成立.

我们还需考虑 $x=0$ 的情况. 對于奇函數, 若 $f(0)$ 有定義, 则必有 $f(0)=0$ . 在已知的 $x \ge 0$ 的表达式中, $f(0)=e^0-1=0$ , 與奇函數的性質吻合.

綜上, 函數 $f(x)$ 的完整解析式為:

f(x) = \begin{cases} e^x - 1, & x \ge 0 1 - e^{-x}, & x \< 0 \end{cases}

利用周期性

若一個函數 $f(x)$ 是周期為 $T$ 的周期函數, 那么其在任何一個长度為 $T$ 的区間 (例如 $[0, T)$ ) 上的表达式, 就决定了它在整個定義域上的行為.

其核心逻辑是: 對于任意一個自變量 $x$ , 我们总能通過加上或减去整數倍的周期 $T$ , 将其“平移”到已知的基准区間内.

f(x) = f(x+nT), n \in \mathbb{Z}

求解 $f(x)$ 的過程, 便是寻找恰当的整數 $n$ , 使得 $x+nT$ 落入已知解析式的定義域.

例

已知定義在 $\mathbb{R}$ 上的函數 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=f(x)$ , 且当 $x \in [-1, 1)$ 时, $f(x)=x^2$ . 求当 $x \in [1, 3)$ 时 $f(x)$ 的解析式.

解

条件 $f(x+2)=f(x)$ 表明 $f(x)$ 是一個周期為 2 的周期函數.

我们的目標是求当 $x \in [1, 3)$ 时 $f(x)$ 的表达式. 设任意一個 $x \in [1, 3)$ .

為了利用已知的在 $[-1, 1)$ 上的解析式, 我们需要對自變量 $x$ 進行平移, 使其落入区間 $[-1, 1)$ . 考虑 $x-2$ . 当 $x \in [1, 3)$ 时, $x-2 \in [-1, 1)$ .

根据周期性, 我们有 $f(x) = f(x-2)$ .

由于 $x-2$ 属于函數解析式已知的区間, 我们可以将 $x-2$ 代入表达式 $f(t)=t^2$ 中 (此处 $t=x-2$ ).

f(x-2) = (x-2)^2

因此, 当 $x \in [1, 3)$ 时,

f(x) = (x-2)^2 = x^2-4x+4

換元法與配凑法（处理複合函數）

当已知条件涉及複合函數, 例如给出 $f(g(x))$ 的表达式而要求解 $f(x)$ 时, 我们的核心目標是“剥离”内层函數 $g(x)$ 的影响, 还原出外层函數 $f$ 對其自變量的原始作用. 实現這一目標的標准方法是換元法.

其逻辑步骤是: 首先, 将内层函數设為一個新變量, 例如 $t=g(x)$ . 接着, 确定新變量 $t$ 的取值范围, 這将構成最终函數 $f(t)$ 的定義域. 然后, 尝试将原方程右侧的表达式完全用新變量 $t$ 来表示. 這通常通過從 $t=g(x)$ 中反解出 $x$ 并代入来实現. 最后, 将得到的 $f(t)$ 的表达式中的 $t$ 替換回 $x$ , 便得到所求的解析式.

例

已知函數 $f(\sqrt{x}+1) = x+2\sqrt{x}$ , 求 $f(x)$ 的解析式.

解

為探求 $f(x)$ 的表达式, 我们的目標是分离出其自變量. 一個自然的策略是令中間變量 $t = \sqrt{x}+1$ .

此举引入了一個新的變量 $t$ , 我们必须确定其取值范围, 這将成為新函數 $f(t)$ 的定義域. 由于 $\sqrt{x} \ge 0$ , 故 $t = \sqrt{x}+1 \ge 1$ .

接下来, 我们需要将原表达式右侧的 $x$ 全部用新變量 $t$ 来表示. 從 $t=\sqrt{x}+1$ 中, 我们反解出 $\sqrt{x} = t-1$ . 進而, $x = (t-1)^2$ .

将這些關係代入已知的函數方程中:

f(t) = (t-1)^2 + 2(t-1)

展開并化簡右侧表达式:

f(t) = (t^2-2t+1) + (2t-2) = t^2-1

我们已經得到了函數 $f$ 在新變量 $t$ 下的表达式. 按照惯例, 我们将自變量換回 $x$ , 并注明其定義域.

故 $f(x) = x^2-1$ , 其定義域為 $[1, +\infty)$ .

有时, 直接從 $t=g(x)$ 中反解 $x$ 是困难的或不雅的. 此时, 我们應转換视角, 考察已知表达式的右侧, 能否直接“配凑”成關于中間變量 $g(x)$ 的代數组合. 這种更具技巧性的方法称為配凑法.

例

已知 $f(x+\frac{1}{x}) = x^3 + \frac{1}{x^3}$ , 求 $f(x)$ .

解

令 $t = x+\frac{1}{x}$ . 直接從此式中反解 $x$ 将導致複杂的根式, 并非良策.

我们转而分析表达式的右侧 $x^3+\frac{1}{x^3}$ . 我们熟知立方和公式, 并尝试将其與 $t=x+\frac{1}{x}$ 建立联係. 利用恒等式 $(A+B)^3 = A^3+B^3+3AB(A+B)$ , 我们有:

\begin{aligned} x^3 + \frac{1}{x^3} &= \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x+\frac{1}{x}\right) &= \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\frac{1}{x}\right) \end{aligned}

此式清晰地表明, 函數值的表达式可以完全由中間變量 $t=x+\frac{1}{x}$ 来表示.

将 $t$ 代入, 我们得到 $f(t) = t^3 - 3t$ .

最后, 确定定義域. 由于 $x+\frac{1}{x}$ 的值域為 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ , 故函數 $f(x)$ 的定義域為 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ .

因此, $f(x) = x^3-3x$ , 定義域為 $|x| \ge 2$ .

例

若 $f(\sin x) = 2 - \cos(2x)$ , 则 $f(\cos x) = ( )$ .

解

此問題包含两個步骤. 首先, 我们需要從已知關係式中求出函數 $f(x)$ 的解析式. 其次, 将 $\cos x$ 代入所得的解析式中.

令 $t = \sin x$ . 由于 $x \in \mathbb{R}$ , 新變量 $t$ 的取值范围是 $[-1, 1]$ . 我们的目標是将表达式 $2-\cos(2x)$ 用 $t$ 来表示. 利用三角函數的二倍角公式, 我们有 $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ .

将此關係代入原方程:

f(\sin x) = 2 - (1 - 2\sin^2 x) = 1 + 2\sin^2 x

用 $t$ 替換 $\sin x$ , 我们得到:

f(t) = 1 + 2t^2, t \in [-1, 1]

因此, 函數 $f(x)$ 的解析式為 $f(x) = 1+2x^2$ , 其定義域為 $[-1, 1]$ .

接下来, 我们计算 $f(\cos x)$ . 這意味着将 $x$ 替換為 $\cos x$ 代入 $f(x)$ 的表达式中.

f(\cos x) = 1 + 2(\cos x)^2 = 1 + 2\cos^2 x

為了與選項匹配, 我们可以再次使用二倍角公式的變體 $2\cos^2 x = 1 + \cos(2x)$ .

f(\cos x) = 1 + (1 + \cos(2x)) = 2 + \cos(2x)

故選 D.

例

已知 $f\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ , 则 $f(x)$ 的解析式為 $( )$ .

解

我们采用換元法. 令 $t = \frac{1-x}{1+x}$ .

首先, 我们需要從這個關係式中反解出 $x$ , 以便用 $t$ 来表示原方程的右侧.

\begin{aligned} t(1+x) &= 1-x t+tx &= 1-x tx+x &= 1-t x(t+1) &= 1-t x &= \frac{1-t}{1+t} \end{aligned}

接下来, 我们将 $x = \frac{1-t}{1+t}$ 代入表达式 $\frac{1-x^2}{1+x^2}$ 中.

\begin{aligned} 1-x^2 &= 1 - \left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2 = \frac{(1+t)^2 - (1-t)^2}{(1+t)^2} = \frac{4t}{(1+t)^2} 1+x^2 &= 1 + \left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2 = \frac{(1+t)^2 + (1-t)^2}{(1+t)^2} = \frac{2(1+t^2)}{(1+t)^2} \end{aligned}

将這两個结果相除:

\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{4t/(1+t)^2}{2(1+t^2)/(1+t)^2} = \frac{4t}{2(1+t^2)} = \frac{2t}{1+t^2}

因此, 我们得到 $f(t) = \frac{2t}{1+t^2}$ .

将自變量換回 $x$ , 得到 $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ . 故選 B.

方程组法（利用對称性與對合關係）

当未知函數 $f(x)$ 出現在一個包含其自身與其他相關項 (如 $f(-x), f(1/x)$ ) 的方程中时, 我们可以通過對自變量進行巧妙的代換, 構造出另一個關于這些項的方程, 從而形成一個方程组. 此时, 我们可以将 $f(x)$ 等视為独立的未知量, 通過解方程组的方法求得其表达式.

這种方法的有效性, 根植于代換操作的對合性質, 即连續施行两次代換会使變量回归其自身. 常见的對合代換包括 $x \to -x$ 和 $x \to 1/x$ .

例

设函數 $f(x)$ 满足 $2f(x) + f(-x) = 3x+4$ , 求 $f(x)$ 的解析式.

解

此方程的精妙之处在于, 變量 $x$ 與 $-x$ 之間存在對合關係. 這一结構启發我们将原方程中的自變量 $x$ 全部替換為 $-x$ , 以期得到一個新方程.

将 $x$ 替換為 $-x$ , 原方程變為:

2f(-x) + f(-(-x)) = 3(-x)+4

化簡得:

2f(-x) + f(x) = -3x+4

現在, 我们将原方程與這個新導出的方程联立, 形成一個關于“變量” $f(x)$ 和 $f(-x)$ 的二元一次方程组:

\begin{cases} 2f(x) + f(-x) = 3x+4 & (1) f(x) + 2f(-x) = -3x+4 & (2) \end{cases}

為消去 $f(-x)$ , 我们将方程 (1) 的两边乘以 2, 然后减去方程 (2):

(4f(x)+2f(-x)) - (f(x)+2f(-x)) = 2(3x+4) - (-3x+4)

3f(x) = (6x+8) - (-3x+4) = 9x+4

解得 $f(x) = 3x + \frac{4}{3}$ .

例

已知 $f(x)$ 的定義域為 $\{x \mid x \neq 0\}$ , 满足 $3f(x) + 5f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x}+1$ . 求函數 $f(x)$ .

解

此方程涉及 $f(x)$ 與 $f(1/x)$ , 且代換 $x \to 1/x$ 具有對合性.

我们将原方程记為 (1):

3f(x) + 5f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x}+1 (1)

在方程 (1) 中, 将所有 $x$ 替換為 $1/x$ , 得到新方程 (2):

3f\left(\frac{1}{x}\right) + 5f(x) = 3x+1 (2)

我们将 $f(x)$ 和 $f(1/x)$ 视為未知量, 联立方程组:

\begin{cases} 3f(x) + 5f(1/x) = 3/x+1 5f(x) + 3f(1/x) = 3x+1 \end{cases}

為消去 $f(1/x)$ , 将 (1) 式乘以 3, (2) 式乘以 5:

\begin{aligned} 9f(x) + 15f(1/x) &= 9/x+3 25f(x) + 15f(1/x) &= 15x+5 \end{aligned}

两式相减, 得到 $16f(x) = (15x+5) - (9/x+3) = 15x - 9/x + 2$ .

故 $f(x) = \frac{15}{16}x - \frac{9}{16x} + \frac{1}{8}$ .

例

已知函數 $f(x)$ 對定義域 $\{x \mid x \neq 0\}$ 内的任意实數 $x$ 满足 $f(x) - 2f\left(\frac{2}{x}\right) = 4x$ , 则 $f(x) = ( )$ .

解

此方程涉及 $f(x)$ 與 $f(2/x)$ . 我们考察代換 $x \to 2/x$ . 若令 $g(x)=2/x$ , 则 $g(g(x)) = 2/(2/x) = x$ . 此代換同样具有對合性.

原方程為:

f(x) - 2f\left(\frac{2}{x}\right) = 4x (1)

将 $x$ 替換為 $2/x$ :

f\left(\frac{2}{x}\right) - 2f\left(\frac{2}{2/x}\right) = 4\left(\frac{2}{x}\right)

化簡得:

f\left(\frac{2}{x}\right) - 2f(x) = \frac{8}{x} (2)

联立方程组:

\begin{cases} f(x) - 2f(2/x) = 4x -2f(x) + f(2/x) = 8/x \end{cases}

為消去 $f(2/x)$ , 将 (2) 式乘以 2, 再與 (1) 式相加:

(f(x) - 2f(2/x)) + (-4f(x) + 2f(2/x)) = 4x + 2\left(\frac{8}{x}\right)

-3f(x) = 4x + \frac{16}{x}

解得 $f(x) = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3x}$ .

赋值法與递推（探索函數方程）

對于更為抽象的函數方程, 我们往往无法預知其函數類型. 此时, 赋值法成為一种强大的探索工具. 通過為方程中的變量赋予一些特殊的、能使方程结構簡化的值 (如 $0, 1, -1, y=x, y=-x$ 等), 我们可以逐步揭示函數的某些關键性質或递推關係, 從而為最终求解其解析式铺平道路.

例

已知函數 $f(x)$ 對任意实數 $x, y$ 均满足 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy$ , 且 $f(1)=1$ . 求 $f(x)$ 的解析式.

解

這是一個典型的柯西型函數方程. 我们通過一係列的特殊赋值来探寻其结構.

令 $x=y=0$ , 得 $f(0) = f(0)+f(0)+0$ , 故 $f(0)=0$ .

令 $y=-x$ , 得 $f(0) = f(x)+f(-x)-2x^2$ . 由于 $f(0)=0$ , 我们得到 $f(x)+f(-x)=2x^2$ . 這揭示了函數奇偶分解的線索.

我们尝试寻找一個递推關係. 令 $y=1$ , 得 $f(x+1) = f(x)+f(1)+2x$ . 代入 $f(1)=1$ , 我们得到一個一階差分方程:

f(x+1) - f(x) = 2x+1

此關係暗示函數可能是一個多項式. 让我们考察其在整數点上的取值. $f(0)=0$ . $f(1)=1$ . $f(2) = f(1) + 2(1)+1 = 1+3=4$ . $f(3) = f(2) + 2(2)+1 = 4+5=9$ .

观察到 $f(n)=n^2$ 對自然數 $n=0,1,2,3$ 成立. 我们大胆猜测 $f(x)=x^2$ .

現在, 我们来验證這個猜测. 将 $f(x)=x^2$ 代入原方程的左侧: $f(x+y)=(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ . 代入原方程的右侧: $f(x)+f(y)+2xy = x^2+y^2+2xy$ .

左右两侧完全相等. 且 $f(1)=1^2=1$ 也满足.

因此, 函數的解析式為 $f(x)=x^2$ .

從离散到连續

通過赋值法, 我们首先發現了函數在整數点上的规律, 從而形成了一個關于其解析式的合理猜想. 随后通過严格的代數验證, 将此猜想推廣至整個实數域. 這种“由特殊到一般, 從离散到连續”的思維路径, 是解决函數方程問題的常用策略.

例

已知函數 $f(x)$ 的定義域為 $\mathbb{R}$ , 且 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ , $f(0)=1$ . 請寫出一個满足条件的函數 $f(x)$ .

解

這是一個著名的达朗贝尔函數方程. 我们通過特殊赋值来探究其性質.

令 $x=0$ , 得 $f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)$ . 化簡得 $f(-y)=f(y)$ , 故 $f(x)$ 是一個偶函數.

令 $y=x$ , 得 $f(2x)+f(0)=2(f(x))^2$ . 代入 $f(0)=1$ , 我们得到 $f(2x) = 2(f(x))^2-1$ .

這個關係式與三角函數中的二倍角公式 $\cos(2x)=2\cos^2 x - 1$ 具有惊人的一致性.

我们猜测 $f(x)=\cos(\alpha x)$ 可能是一個解. 代入 $f(0)=1$ 的条件: $f(0)=\cos(0)=1$ , 满足.

現在验證其是否满足原方程. 左侧: $\cos(\alpha(x+y)) + \cos(\alpha(x-y)) = \cos(\alpha x+\alpha y) + \cos(\alpha x-\alpha y)$ . 利用和差化積公式, 左侧 $= 2\cos(\alpha x)\cos(\alpha y)$ . 右侧: $2f(x)f(y) = 2\cos(\alpha x)\cos(\alpha y)$ .

左右两侧恒等. 因此, $f(x)=\cos(\alpha x)$ 對任意实數 $\alpha$ 都是一個解.

題目要求寫出一個满足条件的函數, 我们可以取最簡單的非平凡情况, 例如 $\alpha=1$ .

故一個满足条件的函數是 $f(x)=\cos x$ .

例

已知函數 $f(x)$ 满足 $f(x-y)=f(x)+x(2y-3x+4)$ , 且 $f(-1)=3$ . 求 $f(x)$ 的解析式.

解

此方程的结構较為特殊, 右侧不僅有 $f(x)$ , 还显式地含有 $x, y$ . 我们的目標是通過巧妙的赋值, 消去其中一個自變量, 或将方程转化為更簡洁的形式.

一個有效的策略是令 $x-y$ 等于一個特定的常數, 以便利用已知条件 $f(-1)=3$ .

令 $x-y=-1$ , 则 $y=x+1$ . 将此關係代入原方程:

f(-1) = f(x) + x(2(x+1)-3x+4)

代入 $f(-1)=3$ :

3 = f(x) + x(2x+2-3x+4)

3 = f(x) + x(-x+6)

3 = f(x) - x^2+6x

由此, 我们可以直接解出 $f(x)$ 的表达式:

f(x) = x^2-6x+3

這是一個非常直接的解法, 其關键在于识别出可以通過令 $x-y$ 為常數来直接利用已知条件.

函數值域的求解

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探求函數的值域, 即确定函數所有可能的输出值構成的集合, 是分析函數行為的核心任务之一. 它不僅揭示了函數纵向的运动范围, 更與方程解的存在性、不等式的成立范围等問題紧密相连. 若将定義域的求解视為從法则出發探究其“合法输入”的過程, 那么值域的求解便是探究其“必然输出”的逆向思維過程.

求解值域并无万能的法则, 而是需要根据函數表达式的代數结構與几何特征, 灵活地選取恰当的分析工具. 其根本思想, 是在代數變換的严谨性與几何直观的启發性之間建立联係.

观察法與基本函數

對于基本初等函數, 其值域是我们必须熟知的先验知识, 它们是構造更複杂函數值域的基石.

線性函數 $y=ax+b \ (a \neq 0)$ : 值域為 $\mathbb{R}$ .
二次函數 $y=ax^2+bx+c \ (a \neq 0)$ : 值域為 $[\frac{4ac-b^2}{4a}, +\infty)$ (当 $a\>0$ ) 或 $(-\infty, \frac{4ac-b^2}{4a}]$ (当 $a\<0$ ).
反比例函數 $y=k/x \ (k \neq 0)$ : 值域為 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ .
指數函數 $y=a^x$ : 值域為 $(0, +\infty)$ .
對數函數 $y=\log_a x$ : 值域為 $\mathbb{R}$ .
正弦與余弦函數 $y=\sin x, y=\cos x$ : 值域為 $[-1, 1]$ .

分析法

對于可導函數, 其值域的边界必然在区間的端点或導數為零的临界点处取得. 這一深刻的联係, 使得我们可以借助導數這一强大的分析工具, 係统性地探求函數的值域. 其理論基石在于, 连續函數在一個闭区間上的最大值與最小值决定了其值域.

此方法的逻辑步骤是: 首先, 求出函數的導數 $f'(x)$ , 并解出所有临界点 (即 $f'(x)=0$ 的根). 其次, 比较函數在所有临界点以及定義域端点处的函數值. 最后, 綜合這些值, 确定函數的最大值與最小值, 從而得到其值域.

例

求函數 $f(x) = x + \frac{4}{x}$ 在区間 $[1, 4]$ 上的值域.

解

我们首先考察函數在指定区間内的變化趋势. 其導函數為:

f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2-4}{x^2}

在区間 $[1,4]$ 内, 令 $f'(x)=0$ , 解得 $x=2$ . 此為区間内唯一的临界点.

現在, 我们只需比较函數在区間端点 $(x=1, x=4)$ 與临界点 $(x=2)$ 处的函數值:

\begin{aligned} f(1) &= 1 + \frac{4}{1} = 5 f(2) &= 2 + \frac{4}{2} = 4 f(4) &= 4 + \frac{4}{4} = 5 \end{aligned}

通過比较可知, 函數在区間 $[1,4]$ 上的最大值為 $5$ , 最小值為 $4$ . 因此, 函數的值域為 $[4, 5]$ .

代數法

代數方法的核心在于通過精巧的恒等變形, 将原函數转化為一种我们熟知其值域的结構, 或建立一個關于因變量 $y$ 的存在性约束.

換元法與配方法

当函數可以视為某個中間變量的簡單函數 (特别是二次函數) 时, 換元法便成為一种有力的工具. 其關键在于, 准确地确定中間變量的取值范围, 這将成為外层函數的新定義域.

例

求函數 $f(x) = \sin^2 x + 2\sin x + 3$ 的值域.

解

此函數的结構提示我们, 它可以被看作一個關于 $\sin x$ 的二次函數.

我们進行換元, 令 $t = \sin x$ . 首先必须确定新變量 $t$ 的取值范围. 由于正弦函數的值域為 $[-1, 1]$ , 故 $t \in [-1, 1]$ .

原問題等价于求解二次函數 $g(t) = t^2+2t+3$ 在定義域 $t \in [-1, 1]$ 上的值域.

我们對 $g(t)$ 進行配方, 以揭示其顶点位置與單调性:

g(t) = (t+1)^2 + 2

這是一個開口向上, 對称轴為 $t=-1$ 的抛物線.

由于對称轴 $t=-1$ 恰好是新定義域 $[-1, 1]$ 的左端点, 函數 $g(t)$ 在此定義域上是严格單调递增的. 因此, 其最小值在 $t=-1$ 处取得, 最大值在 $t=1$ 处取得.

\begin{aligned} g_{\min} &= g(-1) = (-1+1)^2+2 = 2 g_{\max} &= g(1) = (1+1)^2+2 = 6 \end{aligned}

故原函數 $f(x)$ 的值域為 $[2, 6]$ .

反函數法 (方程法)

此方法提供了一個优雅的视角转換. 其深刻之处在于利用了“原函數的值域即為其反函數的定義域”這一對偶性質. 即使原函數不存在反函數 (非單射), 這一思想仍然有效, 故更普适地称為方程法.

其核心思想是, 将 $y=f(x)$ 视為一個關于 $x$ 的方程. 函數的值域, 正是所有使得這個關于 $x$ 的方程有实數解的 $y$ 值構成的集合.

例

求函數 $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ 的值域.

解

设 $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ . 我们将此式看作一個關于 $x$ 的方程, 并尝试從中反解 $x$ .

整理方程, 消去分母:

y(x^2+x+1) = x^2-x+1

yx^2+yx+y = x^2-x+1

将所有項移至一边, 得到一個關于 $x$ 的標准一元二次方程形式:

(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0

函數的值域, 就是使得這個關于 $x$ 的方程有实數解的所有 $y$ 的集合.

我们對係數 $(y-1)$ 進行分類讨論.

情形一: $y-1=0$ , 即 $y=1$ . 此时方程退化為 $2x=0$ , 解得 $x=0$ . 這表明 $x=0$ 是一個合法的实數解, 故 $y=1$ 是值域的一部分.

情形二: $y-1 \neq 0$ , 即 $y \neq 1$ . 此时方程是一個標准的一元二次方程. 它有实數解的充要条件是其判别式 $\Delta \ge 0$ .

\Delta = (y+1)^2 - 4(y-1)(y-1) \ge 0

(y+1)^2 - (2(y-1))^2 \ge 0

利用平方差公式分解:

((y+1) - 2(y-1))((y+1) + 2(y-1)) \ge 0

(-y+3)(3y-1) \ge 0

(y-3)(3y-1) \le 0

解此不等式, 得到 $\frac{1}{3} \le y \le 3$ .

綜合两种情形, 并考虑到 $y \neq 1$ , 我们得到 $y$ 的取值范围是 $[\frac{1}{3}, 1) \cup (1, 3] \cup \{1\}$ .

合并這些集合, 最终得到函數的值域為 $[\frac{1}{3}, 3]$ .

不等式法

在处理特定结構的函數时, 尤其是分式函數或根式函數, 我们可以利用基本不等式 (如均值不等式) 来探求其值的边界.

例

求函數 $f(x) = x + \frac{4}{x}$ 的值域.

解

此函數的定義域為 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ . 我们需要分情况讨論.

情形一: $x \> 0$ . 此时, $x$ 與 $4/x$ 均為正數, 這提示我们可以應用算术-几何平均值不等式.

f(x) = x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4

等号成立的条件是 $x = \frac{4}{x}$ , 即 $x^2=4$ . 由于 $x\>0$ , 解得 $x=2$ . 因此, 当 $x\>0$ 时, 函數的值域為 $[4, +\infty)$ .

情形二: $x \< 0$ . 此时, $x$ 與 $4/x$ 均為负數. 我们可以對它们的相反數應用均值不等式. 令 $x = -t$ , 其中 $t\>0$ .

f(x) = -t + \frac{4}{-t} = -\left(t+\frac{4}{t}\right)

由于 $t\>0$ , 我们已知 $t+\frac{4}{t} \ge 4$ . 因此, $f(x) = -\left(t+\frac{4}{t}\right) \le -4$ . 等号在 $t=2$ , 即 $x=-2$ 时取得. 因此, 当 $x\<0$ 时, 函數的值域為 $(-\infty, -4]$ .

綜合两种情形, 函數 $f(x)$ 的完整值域為 $(-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$ .

數形结合法

函數的值域, 在几何上直观地表現為函數圖像在 $y$ 轴上的投影. 绘制出函數的草圖, 并观察其纵向的分布范围, 是求解值域問題中最直观、最富启發性的方法. 這种方法常常與其他代數方法结合使用, 以几何的直观引導代數的计算, 以代數的严谨验證几何的猜想.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：函數 $y=(x-2)^2+1$ 在定義域 $[1,4]$ 上的值域 $[1,5]$

函數的概念​

函數的定義​

函數的三要素​

定義域​

基本代數结構的约束​

实际問題中的隐性定義域​

單调性​

單调性的定義與判定策略​

單调性的判定方法​

定義法​

導數法​

複合函數的單调性​

奇偶性​

定義​

函數的奇偶分解定理​

运算封闭性與對称推廣​

运算封闭性與對称推廣​

對称性的推廣​

模型：狗造具有特定對称性的函數​

周期性​

周期性的定義​

周期性的四则运算​

對称性與周期性的關係​

凹凸性​

凹凸性的几何直观與定義​

凹凸性的分析判定法​

拐点​

Jensen 不等式​

Jensen 不等式的一般形式​

應用: 從 Jensen 不等式到均值不等式​

反函數​

反函數存在的条件​

反函數的定義與求解​

反函數的性質​

函數的反函數​

反函數存在的条件​

反函數的定義與求解​

反函數的性質​

函數的複合​

複合函數的定義​

複合函數的基本性質​

定義域​

值域​

單调性與奇偶性​

函數相等​

函數的圖像變換​

變換的统一原理​

基本圖像變換​

複合變換​

绝對值變換​

導函數的對称性​

常见多項式函數​

一次與二次函數回顾​

三次函數​

單调性與極值​

對称性​

三次方程实根個數的判定​

根與係數的關係​

切線問題​

對称性​

極值点连線的几何性質​

指數函數​

指數的擴张與指數函數的定義​

指數函數的圖像與性質​

自然底數 \texorpdfstring{​

幂函數​

定義與辨析​

圖像與性質的係统性分析​

對數函數​

對數的定義與對數函數​

對數函數的圖像與性質​

對數的运算法则​

函數模型與應用​

函數的零点（一）​

零点的存在性：介值定理的直观應用​

零点的求解與個數判定​

代數變換與圖像分析​

單调性與極值分析​

分段函數​

定義與基本示例​

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运算封闭性與對称推廣

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