ch12-解析几何

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向量代數

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\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

經典几何學的研究對象是点、線、面等不动的形體.然而, 物理世界充满了运动與力, 這些量不僅有大小, 更有其方向. 為了将這些动态的、有方向的量纳入數學的严谨體係, 我们必须引入一种新的代數结構.

想象一艘船试圖渡過一条湍急的河流.船长始终将船头垂直指向對岸（對應速度 $\overrightarrow{v}_{\text{船}}$ ）, 但河水（對應速度 $\overrightarrow{v}_{\text{水}}$ ）却将船向下游推.最终, 船的实际航線既不完全向前, 也不完全向右, 而是沿着一条斜線（對應速度 $\overrightarrow{v}_{\text{实际}}$ ）到达對岸的下游某处.

在物理中，力的合成、相對运动等等，都涉及一些不僅有大小（速率、力的大小），更有方向的物理量.我们如何用數學語言来精确地描述和计算這些“带方向的量”？如果船长想精确地在正對岸靠岸，他又该如何调整船头的方向来抵消水流的影响？要回答這些問題，代數中的普通數字（標量）已然无能為力.我们需要引入一种全新的數學工具，它能将“大小”和“方向”完美地融為一體.這就是向量. 這個结構的起点, 是一個比向量更原始、更具體的几何实體: 有向線段.

從有向線段到向量

有向線段

我们首先定義一個局限于特定位置的几何對象.

有向線段

在空間中给定有序的一對点 $A$ 和 $B$ , 從点 $A$ 指向点 $B$ 的線段称為一条有向線段, 记作 $\overrightarrow{AB}$ .

点 $A$ 称為该有向線段的起点.
点 $B$ 称為该有向線段的终点.

一条有向線段 $\overrightarrow{AB}$ 包含了三個基本要素：它的起点（位置）、它的长度（大小）, 以及從 $A$ 指向 $B$ 的方向. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 如圖所示, 有向線段 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 是两個不同的几何對象, 因為它们的起点不同. 然而, 物理學中的位移或力的概念促使我们思考: 如果 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 的长度相等且方向相同, 它们是否代表了同一個物理实體? 例如, “向东北方向移动5公里”這一位移, 无論從何处開始, 其本身是不變的.

為了捕捉這种独立于位置的“有向的大小”, 我们需要定義一种等价關係.

有向線段的等价

两条有向線段 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 被认為是等价的, 如果其中一条可以通過平移變換得到另一条.

從几何上看, 這等价于要求四边形 $ABDC$ 是一個平行四边形. (注意顶点的顺序). 這同时保證了 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 的长度相等且方向相同.

這种等价關係具有數學上的完備性:

自反性: $\overrightarrow{AB}$ 與自身等价.
對称性: 若 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{CD}$ 等价, 则 $\overrightarrow{CD}$ 與 $\overrightarrow{AB}$ 等价.
传递性: 若 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{CD}$ 等价, 且 $\overrightarrow{CD}$ 與 $\overrightarrow{EF}$ 等价, 则 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{EF}$ 等价.

這种關係将所有有向線段划分成一個個互不相交的集合, 每個集合中的所有成员都相互等价. 這個集合, 這個抽象的整體, 就是向量.

向量

一個向量是所有相互等价的有向線段所構成的等价類.

\begin{figure}[htbp]

$}{a} 是一個抽象概念, 它是所有這些长度和方向相同的有向線段的集合. 其中任意一条都是该向量的一個**几何表示**或**代表**.} \end{figure} *圖：向量 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{a*

這個從具體到抽象的定義至關重要. 它将我们從對特定起点和终点的關注中解放出来, 使得向量成為一個自由向量. 我们可以任意平移它的几何表示, 而不改變向量本身. 這為后續的代數运算提供了理論基礎.

向量的基本属性與線性运算

我们已經将向量定義為一個抽象的等价類, 它封装了“大小”與“方向”這两個核心信息, 并摆脱了具體位置的束缚. 接着，我们的任务是為這些新的數學對象建立一套自洽的代數运算法则.

向量的基本属性

在定義运算之前, 我们首先要明确向量自身的几個基本属性.

模: 向量 $\overrightarrow{a}$ 的模, 记作 $|\overrightarrow{a}|$ , 是其等价類中任意一個有向線段代表的长度. 模是一個非负实數, 它唯一地刻画了向量的大小.
相等: 两個向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 相等, 记作 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ , 当且僅当它们的模相等且方向相同. 從等价類的角度看, 它们属于同一個集合.
零向量: 模為 $0$ 的向量称為零向量, 记作 $\overrightarrow{0}$ . 它的起点與终点重合, 其几何表示為一個点. 由于没有长度, 我们规定它的方向是任意的. 在向量加法中, 零向量扮演着類似于數字 $0$ 的角色(加法單位元): $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}$ .
單位向量: 模為 $1$ 的向量称為單位向量. 單位向量是“纯粹”的方向载體. 對于任意一個非零向量 $\overrightarrow{a}$ , 與其方向相同的單位向量可以通過将其自身除以其模得到:

\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{a}} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}

因此, 任何向量都可以表示為其模與它的單位向量的乘積: $\overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{a}}$ .

相反向量: 與向量 $\overrightarrow{a}$ 模相等但方向相反的向量, 称為 $\overrightarrow{a}$ 的相反向量, 记作 $-\overrightarrow{a}$ . 它是向量加法中的逆元: $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$ . 若 $\overrightarrow{a}$ 的一個代表是 $\overrightarrow{AB}$ , 则 $-\overrightarrow{a}$ 的一個代表是 $\overrightarrow{BA}$ .

下面我们来逐個详细了解一下： \paragraph{模} 向量 $\overrightarrow{a}$ 的模, 记作 $|\overrightarrow{a}|$ , 在几何上直观地表現為其任意代表有向線段的长度. 然而, 其更深远的意義在于, 模是在向量空間上定義的一個范數. 范數是一個将向量映射到非负实數的函數, 它满足三個基本公理:

正定性: $|\overrightarrow{a}| \ge 0$ , 且 $|\overrightarrow{a}|=0$ 当且僅当 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ .
齐次性: 對于任意实數 $\lambda$ , 有 $|\lambda\overrightarrow{a}| = |\lambda||\overrightarrow{a}|$ .
三角不等式: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| \le |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$ .

模不僅僅是一個“长度”的度量, 它是赋予一個纯代數空間以几何拓扑结構的根本工具. 有了模, 我们便可以定義向量之間的距离 ( $d(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$ ), 進而探讨收敛、極限與连續性等分析學概念. 因此, 模是连接代數與分析的桥梁.

\paragraph{相等} 两個向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 相等, 记作 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ , 当且僅当它们的模相等且方向相同. 這一看似平凡的定義, 实则蕴含了向量概念的核心抽象. 從我们對向量的構造性定義出發, $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ 的真正含義是: 向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 属于同一個等价類. 這意味着, 代表 $\overrightarrow{a}$ 的任意有向線段 $\overrightarrow{AB}$ , 與代表 $\overrightarrow{b}$ 的任意有向線段 $\overrightarrow{CD}$ , 都是相互等价的. 這种等价關係的确立, 使得向量摆脱了其几何代表的具體位置, 成為一個自由向量. 正是這种自由, 才使得我们可以将不同位置的向量進行平移、首尾相接或共起点放置, 從而為向量的代數运算(如加法)提供了理論上的合法性與可能性.

\paragraph{零向量} 模為 $0$ 的向量称為零向量, 记作 $\overrightarrow{0}$ . 它在几何上對應一個点, 其方向被规定為任意. 這一定義在代數结構中扮演着核心角色: 零向量是向量加法运算的單位元. 在任何一個代數群中, 單位元是那個與其他元素运算后不改變该元素的特殊元素. 對于向量空間, 這表現為對于任意向量 $\overrightarrow{a}$ , 恒有

\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}

\paragraph{單位向量} 模為 $1$ 的向量称為單位向量. 如果說模是向量“大小”信息的载體, 那么單位向量就是“方向”信息的纯粹载體. 将一個非零向量 $\overrightarrow{a}$ 除以其模, 即 $\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{a}} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ , 這一過程被称為规范化. 规范化操作揭示了向量的一個基本结構分解: 任何非零向量 $\overrightarrow{a}$ 都可以唯一地表示為其模與它的單位向量的乘積:

\overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{a}}

這是一种向量的極分解, 類似于複數中的極坐標表示 $z=re^{i\theta}$ . 它将一個向量蕴含的两种信息，也就是大小與方向—進行了彻底的分离. 在诸多物理與工程應用中, 我们常常只關心一個過程的方向, 此时單位向量便成為描述该過程最簡洁有力的工具. 所有單位向量的终点集合, 構成了向量空間中的單位球面 (在二維平面上即單位圓), 這是研究向量旋转等變換的一個基本几何舞台.

\paragraph{相反向量} 與向量 $\overrightarrow{a}$ 模相等但方向相反的向量, 称為 $\overrightarrow{a}$ 的相反向量, 记作 $-\overrightarrow{a}$ . 在代數结構中, 相反向量是向量加法运算的逆元. 對于群中的每一個元素, 都必须存在一個逆元, 使得该元素與逆元运算的结果是單位元. 對于向量空間, 這表現為對于任意向量 $\overrightarrow{a}$ , 恒有

\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}

相反向量的存在, 保證了向量加法群的完整性, 并由此自然地導出了向量减法的定義: 减去一個向量, 等价于加上它的相反向量. 没有相反向量, 就没有封闭的代數係统, 向量的線性运算也将无從谈起. 從几何上看, 若 $\overrightarrow{a}$ 的一個代表是 $\overrightarrow{AB}$ , 则 $-\overrightarrow{a}$ 的一個代表是 $\overrightarrow{BA}$ , 這直观地體現了其“逆反”的几何本質.

例

判断命題甲：“ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ ” 是命題乙：“ $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$ ” 的什么条件？

解

這是一個典型的考察向量基本概念的問題，關键在于区分向量相等與向量的模相等.

若 $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ , 這意味着向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的大小和方向完全相同. 既然大小相同，那么它们的模必然相等，即 $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$ . 因此，甲能够推出乙，甲是乙的充分条件.

反之, 若 $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$ ，這只說明两個向量的长度相等. 它们的方向可能不同.例如，令 $\overrightarrow{a}$ 是一個非零向量, 而 $\overrightarrow{b} = -\overrightarrow{a}$ , 则 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$ , 但 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{b}$ . 因此，乙无法推出甲，甲不是乙的必要条件.

綜上所述，“ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$ ” 是 “ $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$ ” 的充分不必要条件.

向量加法

向量加法的几何动机源于對连續位移的描述. 想象一個質点從点 $A$ 移动到点 $B$ , 产生位移 $\overrightarrow{AB}$ ; 接着又從点 $B$ 移动到点 $C$ , 产生位移 $\overrightarrow{BC}$ . 整個過程的净效果是從起点 $A$ 直接到达终点 $C$ 的位移 $\overrightarrow{AC}$ . 這個“首尾相接, 连接始末”的直观過程, 被抽象為向量加法的基本法则.

向量加法的三角形法则

设 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 為任意两個向量. 取 $\overrightarrow{a}$ 的一個代表 $\overrightarrow{AB}$ , 并取 $\overrightarrow{b}$ 的一個以 $B$ 為起点的代表 $\overrightarrow{BC}$ . 则向量和 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 由有向線段 $\overrightarrow{AC}$ 所代表.

證明

此定理的深刻之处在于，它不僅提供了一個几何作圖的方法，更重要的是，它作為一個定義，其结果必须是唯一且自洽的。即，向量和的最终结果不應依赖于我们最初為向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 選取的几何代表的位置。我们的任务是證明這一点，即證明向量加法是良定義的.

设 $\overrightarrow{AB}$ 是向量 $\overrightarrow{a}$ 的一個代表, $\overrightarrow{BC}$ 是向量 $\overrightarrow{b}$ 的一個代表. 根据定義, 它们的和 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 是由 $\overrightarrow{AC}$ 所代表的向量.

現在，我们在平面上另選一点 $A'$ , 并作 $\overrightarrow{A'B'}$ 作為 $\overrightarrow{a}$ 的另一個代表. 同样, 作 $\overrightarrow{B'C'}$ 作為 $\overrightarrow{b}$ 的另一個代表. 我们的目標是證明由這条新路径得到的和向量代表 $\overrightarrow{A'C'}$ 與原始的代表 $\overrightarrow{AC}$ 是等价的.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：向量加法定義的良定義性

根据向量相等的定義，有向線段等价于可通過平移重合. 因為 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{A'B'}$ 都是向量 $\overrightarrow{a}$ 的代表, 所以它们等价. 這意味着四边形 $ABB'A'$ 是一個平行四边形. 由平行四边形的性質, 我们得到 $\overrightarrow{AA'}$ 與 $\overrightarrow{BB'}$ 等价.

同理, 因為 $\overrightarrow{BC}$ 與 $\overrightarrow{B'C'}$ 都是向量 $\overrightarrow{b}$ 的代表, 所以它们等价. 這意味着四边形 $BCC'B'$ 是一個平行四边形. 由此我们得到 $\overrightarrow{BB'}$ 與 $\overrightarrow{CC'}$ 等价.

接着, 利用向量等价關係的传递性: 既然 $\overrightarrow{AA'}$ 等价于 $\overrightarrow{BB'}$ , 且 $\overrightarrow{BB'}$ 等价于 $\overrightarrow{CC'}$ , 那么 $\overrightarrow{AA'}$ 必然等价于 $\overrightarrow{CC'}$ .

最后, $\overrightarrow{AA'}$ 與 $\overrightarrow{CC'}$ 等价, 這一结論的几何意義是四边形 $ACC'A'$ 是一個平行四边形. 根据平行四边形的性質, 其另一對對边也必然平行且等长, 即 $\overrightarrow{AC}$ 與 $\overrightarrow{A'C'}$ 等价.

這就證明了, 无論我们如何選取向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的代表, 最终得到的和向量的代表总是彼此等价的, 它们都属于同一個唯一的等价類. 因此, 向量加法的三角形法则是一個良定義的运算.

\begin{figure}[htbp]

$}{a} 和 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b} $}{b} 首尾相接, 其和為從 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{a} $}{a} 的起点到 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b} $}{b} 的终点的向量.} \end{figure} *圖：三角形法则: 向量 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{a*

当两個向量的作用是同时發生而非依次進行时 (例如, 共同作用于一点的两個力), 平行四边形法则提供了更直观的几何圖像.

向量加法的平行四边形法则

设两個向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 具有共同的起点 $O$ . 以它们的代表 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 為邻边作平行四边形 $OACB$ , 则從公共起点 $O$ 出發的對角線 $\overrightarrow{OC}$ 代表它们的和 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ .

事实上, 平行四边形法则與三角形法则是等价的. 在平行四边形 $OACB$ 中, $\overrightarrow{AC}$ 是向量 $\overrightarrow{b}$ 的一個等价代表. 于是, 在 $\triangle OAC$ 中應用三角形法则, 立即得到 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ .

向量加法如同实數加法一样, 满足以下运算律:

交換律: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
结合律: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

例

化簡向量表达式： $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EB}$ .

解

注意到，前一個向量的终点恰好是后一個向量的起点，這形成了完美的“首尾相接”链条.

利用向量加法的结合律，分步進行：

\begin{aligned} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}) + \overrightarrow{EB} &= \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB} &= \overrightarrow{AB} \end{aligned}

因此，原表达式化簡的结果為 $\overrightarrow{AB}$ . 對于一串首尾相接的向量之和，其最终结果就是從第一個向量的起点，直接指向最后一個向量的终点的向量.

例

在平行四边形 $ABCD$ 中, 点 $E, F$ 分别是边 $BC, DC$ 的中点.若 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ , 试用 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 表示向量 $\overrightarrow{AE}$ 和 $\overrightarrow{AF}$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

此問題要求我们将目標向量通過一条由已知基向量组成的路径来表示.

要表示 $\overrightarrow{AE}$ , 我们可以選择路径 $A \to B \to E$ . 根据三角形法则：

\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}

已知 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ . 關键在于表示 $\overrightarrow{BE}$ . 因為 $E$ 是 $BC$ 的中点, 所以 $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ . 在平行四边形 $ABCD$ 中, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ . 因此， $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ . 代入可得：

\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}

要表示 $\overrightarrow{AF}$ , 我们可以選择路径 $A \to D \to F$ . 根据三角形法则：

\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF}

已知 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ . 關键在于表示 $\overrightarrow{DF}$ . 因為 $F$ 是 $DC$ 的中点, 所以 $\overrightarrow{DF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$ . 在平行四边形 $ABCD$ 中, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ . 因此， $\overrightarrow{DF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$ . 代入可得：

\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{a}

例

已知两個非零向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}|=3, |\overrightarrow{b}|=5$ , 且它们的夹角為 $120^\circ$ . 求 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ 的值. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

求向量和的模长，是平行四边形法则的直接數量化應用. 设 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ . 以 $OA, OB$ 為邻边作平行四边形 $OACB$ . 根据平行四边形法则， $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \overrightarrow{OC}$ . 我们要求的 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ 就是對角線 $OC$ 的长度.

在 $\triangle OAC$ 中, 我们有 $OA=|\overrightarrow{a}|=3$ , $AC=OB=|\overrightarrow{b}|=5$ . 由于 $OB \parallel AC$ , 所以 $\angle OAC$ 與 $\angle AOB$ 互补. 即 $\angle OAC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ .

接着，在 $\triangle OAC$ 中應用余弦定理来求第三边 $OC$ 的长度：

\begin{aligned} |\overrightarrow{OC}|^2 &= |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AC}|\cos(\angle OAC) |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2 &= 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) &= 9 + 25 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 19 \end{aligned}

因此， $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| = \sqrt{19}$ .

例

设 $O$ 為 $\triangle ABC$ 所在平面内任意一点, $D, E, F$ 分别是边 $BC, CA, AB$ 的中点.求證： $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

這是一個關于中点和任意基点的普适性命題，證明的關键是将等式两边的向量都用以 $O$ 為起点的向量来表示.

我们從等式左边入手，逐一分解 $\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OF}$ . 根据中線模型，我们有 $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ . 同理， $\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$ , 以及 $\overrightarrow{OF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ .

接着，我们将這三個表达式相加：

\begin{aligned} \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) &= \frac{1}{2} (2\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}) &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \end{aligned}

等式左边等于等式右边，命題得證.

向量减法

如果說向量加法回答了“下一步去哪”的問題, 那么向量减法则回答了“如何從 B 到 A”的問題. 它描述了两個由同一起点出發的向量终点之間的相對位移.

向量减法

向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 的差定義為 $\overrightarrow{a}$ 加上 $\overrightarrow{b}$ 的相反向量, 即

\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})

為了揭示其深刻的几何意義, 我们考虑共起点的向量 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ . 根据三角形法则, 我们有

\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}

移項可得

\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：向量减法的几何意義: (左) 共起点时, 差向量由减向量终点指向被减向量终点. (右) 其等价于加上相反向量.

這一结論極為重要: 两個共起点向量之差, 是连接它们终点的向量, 方向由减向量的终点指向被减向量的终点.

例

在四边形 $ABCD$ 中, 化簡表达式 $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

在处理向量的加减混合运算时，關键一步是将减法转化為加法，即减去一個向量等于加上它的相反向量.

\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB}

接着我们利用向量加法的交換律来调整各項的顺序，使得它们“首尾相接”：

\begin{aligned} \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} &= (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{CB} &= \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} &= \overrightarrow{DB} \end{aligned}

因此，原表达式的化簡结果為 $\overrightarrow{DB}$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 结論： 在 $\triangle ABC$ 中, 若 $D$ 是边 $BC$ 的中点，则有：

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AD}

證明

在 $\triangle ABD$ 中, 我们有 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}$ . 在 $\triangle ACD$ 中, 我们有 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$ . 将上述两式相加:

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} &= (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) &= 2\overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) \end{aligned}

因為 $D$ 是線段 $BC$ 的中点, 向量 $\overrightarrow{DB}$ 與 $\overrightarrow{DC}$ 是相反向量. 因此， $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ . 代入即得： $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AD}$ .

例

在 $\triangle ABC$ 中, 点 $D$ 在边 $BC$ 上, 且满足 $BD=2DC$ . 设 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$ , 试用 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 表示向量 $\overrightarrow{AD}$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

我们選择路径 $A \to B \to D$ . 根据向量加法法则：

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}

其中 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ 是已知的.我们只需用基向量表示 $\overrightarrow{BD}$ . 点 $D$ 在線段 $BC$ 上, 根据条件 $BD=2DC$ , 我们知道 $BD = \frac{2}{3} BC$ . 在向量形式下，這意味着 $\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ . 根据向量减法的几何意義：

\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}

将 $\overrightarrow{BC}$ 的表达式代入 $\overrightarrow{BD}$ ：

\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})

最后，将此结果代回到 $\overrightarrow{AD}$ 的表达式中：

\begin{aligned} \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) &= \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b} - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b} \end{aligned}

標量乘法

標量乘法定義了一個实數 $\lambda$ 與一個向量 $\overrightarrow{a}$ 之間的运算. 其结果 $\lambda\overrightarrow{a}$ 仍是一個向量, 几何上表示對原向量 $\overrightarrow{a}$ 進行沿其自身方向的“伸缩”或“反向”.

標量乘法

实數 $\lambda$ 與向量 $\overrightarrow{a}$ 的乘積 $\lambda\overrightarrow{a}$ 是一個向量, 满足:

模: $|\lambda\overrightarrow{a}| = |\lambda||\overrightarrow{a}|$ .
方向:

若 $\lambda \> 0$ , $\lambda\overrightarrow{a}$ 的方向與 $\overrightarrow{a}$ 相同.
若 $\lambda \< 0$ , $\lambda\overrightarrow{a}$ 的方向與 $\overrightarrow{a}$ 相反.
若 $\lambda = 0$ , $\lambda\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ .

\begin{figure}[htbp]

$}{a} 的作用.} \end{figure} *圖：標量乘法對向量 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{a*

標量乘法與向量加法共同满足分配律, 這是将向量代數與实數代數联係起来的關键桥梁:

$\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = \lambda\overrightarrow{a} + \lambda\overrightarrow{b}$
$(\lambda+\mu)\overrightarrow{a} = \lambda\overrightarrow{a} + \mu\overrightarrow{a}$

這些線性运算共同構成了向量空間的基本结構, 是后續所有解析几何理論的代數基礎.

探究向量的除法

在建立了向量的加、减、數乘以及两种乘積（數量積與向量積）之后，一個自然的問題浮現出来：我们能否定義向量的“除法”？要回答這個問題，我们必须首先回归到除法這一运算的根本意義.

在实數域中，除法是乘法的逆运算. “ $a$ 除以 $b$ ” ( $a/b$ ), 其本質是寻找一個唯一的數 $x$ ，使得

b \cdot x = a

若對于任意的 $a$ 和非零的 $b$ , 都能找到這样一個唯一的 $x$ ，我们就說這個代數係统中的除法是良定義的.

将這個思想模板套用到向量上，定義“向量 $\overrightarrow{a}$ 除以向量 $\overrightarrow{b}$ ”, 就意味着我们要寻找一個唯一的向量 $\overrightarrow{x}$ ，使得

\overrightarrow{b} \ \text{某种符号} \ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a}

其中某种符号代表一种向量乘法. 然而，我们已經知道向量的乘法有两种截然不同的形式：數量積 · 和向量積 × 這使得我们的探索必须兵分两路. 我们将分别审视這两种乘法，看它们是否允许一個良定義的逆运算.

我们首先尝试基于數量積来定義除法. 這要求我们求解方程：

\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a}

我们立刻遇到了一個无法逾越的障碍：類型不匹配. 方程的左侧, $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x}$ , 根据定義是一個標量 (一個实數). 而方程的右侧, $\overrightarrow{a}$ ，是一個向量. 一個標量永远不可能等于一個非零向量，這在根本上是矛盾的.

為了让探索继續，我们不妨调整一下問題：我们能否用一個標量 $k$ 来除以一個向量 $\overrightarrow{b}$ ？這對應于求解關于向量 $\overrightarrow{x}$ 的方程：

\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{x} = k

這個方程在代數類型上是自洽的. 它的几何意義是什么？根据數量積的几何解释, 這個方程要求向量 $\overrightarrow{x}$ 在向量 $\overrightarrow{b}$ 方向上的投影是一個固定的值. 设 $\overrightarrow{b}$ 的方向上的單位向量為 $\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{b}}$ , 则投影长度為

|\overrightarrow{x}|\cos\theta = \frac{k}{|\overrightarrow{b}|}

其中 $\theta$ 是 $\overrightarrow{b}$ 與 $\overrightarrow{x}$ 的夹角. \begin{figure}[htbp]

\cdot \overrightarrow{x} = k $}{b.x=k} 的解. 任何以 \texorpdfstring{$ O $}{O} 為起点, 终点落在垂直于 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b} $}{b} 的特定直線(或平面)上的向量 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{x} $}{x} 都是该方程的解.} \end{figure} *圖：方程 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b*

如圖所示, 所有满足条件的向量 $\overrightarrow{x}$ 的终点構成了一個垂直于 $\overrightarrow{b}$ 的直線 (在二維空間中) 或平面 (在三維空間中). 這意味着方程的解有无穷多個. 由于除法要求解是唯一的, 所以我们得出结論: 數量積不存在逆运算. 它在运算中“丢失”了關于 $\overrightarrow{x}$ 垂直于 $\overrightarrow{b}$ 的分量信息, 這种信息损失是不可逆的.

接着, 我们尝试基于向量積来定義除法. 這要求我们求解方程：

\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a}

這一次, 方程两边的類型是匹配的：向量積的结果是一個向量. 這看起来更有希望.

然而, 我们首先面临一個可解性的限制. 根据向量積的定義, 向量 $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}$ 必然同时垂直于 $\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{x}$ . 這意味着, 等式右边的向量 $\overrightarrow{a}$ 必须也垂直于 $\overrightarrow{b}$ , 即 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ . 如果 $\overrightarrow{a}$ 不垂直于 $\overrightarrow{b}$ , 那么這個方程根本没有解. 一個良定義的除法不應该只對極少數特殊情况有解.

即使我们满足了可解性条件 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ , 解的唯一性問題依然存在. 假设我们找到了一個解 $\overrightarrow{x}_0$ , 使得 $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}_0 = \overrightarrow{a}$ . 接着让我们構造一個新的向量 $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{x}_0 + \lambda\overrightarrow{b}$ , 其中 $\lambda$ 是任意实數. 我们来计算 $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}$ :

\begin{aligned} \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x} &= \overrightarrow{b} \times (\overrightarrow{x}_0 + \lambda\overrightarrow{b}) &= (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}_0) + (\overrightarrow{b} \times \lambda\overrightarrow{b}) (\text{向量積對加法满足分配律}) &= \overrightarrow{a} + \lambda(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) \end{aligned}

由于任何向量與自身的向量積都是零向量 ( $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ ), 上式變為:

\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}

這表明, 如果 $\overrightarrow{x}_0$ 是一個解, 那么所有形如 $\overrightarrow{x}_0 + \lambda\overrightarrow{b}$ 的向量都是解！ \begin{figure}[htbp]

\times \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} $}{b x x = a} 的解. 若 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{x}_0 $}{x0} 是一個解, 则所有终点在過 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{x}_0 $}{x0} 终点且平行于 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b} $}{b} 的直線上的向量都是解.} \end{figure} *圖：方程 \texorpdfstring{$ \overrightarrow{b*

几何上, 所有的解向量的终点構成了一条平行于向量 $\overrightarrow{b}$ 的直線. 我们再次得到了无穷多個解. 其根源在于, 向量積运算存在零因子：两個非零向量的向量積可以是零向量 (当它们共線时). 這與实數乘法中“ $ab=0 \implies a=0 \text{ or } b=0$ ”的性質截然不同. 拥有零因子的代數结構通常都不支持除法.

我们已經看到, 无論基于數量積还是向量積, 都无法建立起一個良定義的向量除法. 其根本原因在于，两种乘法都是“多對一”的映射, 它们在运算過程中都不可避免地丢失了输入向量的某些信息, 使得逆向求解无法得到唯一的结果.且向量代數係统, 尤其是向量積, 包含零因子, 這從根本上破坏了除法所依赖的唯一性.

共線定理與平面向量基本定理

上述运算共同構成了向量的線性结構, 其核心是共線與線性组合的概念.

向量共線定理

向量 $\overrightarrow{a}$ ( $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$ ) 與向量 $\overrightarrow{b}$ 共線的充分必要条件是：存在唯一的实數 $\lambda$ ，使得

\overrightarrow{b} = \lambda \overrightarrow{a}

證明

必要性 (由共線 $\implies$ 存在 $\lambda$ ) 假设向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 共線, 且 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$ . 若 $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ , 取 $\lambda=0$ 即可. 若 $\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$ , 且與 $\overrightarrow{a}$ 方向相同, 则其單位向量相同, $\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ . 整理得 $\overrightarrow{b} = \frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|} \overrightarrow{a}$ . 令 $\lambda = \frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|} \> 0$ . 若與 $\overrightarrow{a}$ 方向相反, 则單位向量互為相反, $\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = -\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ . 整理得 $\overrightarrow{b} = -\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|} \overrightarrow{a}$ . 令 $\lambda = -\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|} \< 0$ .

充分性 (由存在 $\lambda \implies$ 共線) 假设存在实數 $\lambda$ , 使得 $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ . 根据向量數乘的定義, 向量 $\overrightarrow{b}$ 的方向或者與 $\overrightarrow{a}$ 相同 ( $\lambda\>0$ ), 或者相反 ( $\lambda\<0$ ), 或者是零向量 ( $\lambda=0$ ). 任何情况下, $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 均共線.

唯一性 假设存在 $\lambda_1 \ne \lambda_2$ 使得 $\overrightarrow{b} = \lambda_1 \overrightarrow{a}$ 且 $\overrightarrow{b} = \lambda_2 \overrightarrow{a}$ . 则 $\lambda_1 \overrightarrow{a} = \lambda_2 \overrightarrow{a}$ , 故 $(\lambda_1 - \lambda_2) \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ . 由于 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$ , 必有 $\lambda_1 - \lambda_2 = 0$ , 即 $\lambda_1 = \lambda_2$ . 這與假设矛盾.

例

判断命題 p：“存在实數 $k$ , 使得 $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$ ” 是命題 q：“向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 共線” 的什么条件？

解

本題旨在辨析向量共線的代數表示與其几何定義之間的细微差别，其陷阱在于對零向量的考虑.

若存在实數 $k$ 使得 $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$ , 根据數乘的几何意義, $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 必然共線. 所以，p 是 q 的充分条件.

反之，若向量 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{b}$ 共線, 我们考虑反例：当 $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ 且 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$ 时. 根据定義，任何非零向量都與零向量共線，所以此时命題 q 為真. 然而，不存在任何实數 $k$ 能够使得一個非零向量 $\overrightarrow{a}$ 等于 $k\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$ . 即此时命題 p 為假.

由于我们找到了一個 q 為真而 p 為假的情况，所以 q 不能推出 p. p 不是 q 的必要条件. 綜上所述，命題 p 是命題 q 的充分不必要条件.

此定理将几何上的“共線”關係, 完美地转化為代數上的“倍數”關係, 是進行向量論證和计算的基石.

平面向量基本定理

当我们将视野擴展到整個平面, 一個自然的問題是: 是否可以用少數几個“基本”向量, 通過線性运算来表示出平面内的所有向量?

平面向量基本定理

如果 $\overrightarrow{e_1}$ 和 $\overrightarrow{e_2}$ 是同一平面内的两個不共線向量, 那么對于该平面内的任意一個向量 $\overrightarrow{a}$ , 存在唯一的一對实數 $\lambda_1, \lambda_2$ ，使得

\overrightarrow{a} = \lambda_1 \overrightarrow{e_1} + \lambda_2 \overrightarrow{e_2}

我们称不共線的向量 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 為表示该平面内所有向量的一组基底.

證明

存在性: 取诸向量共起点的代表 $\overrightarrow{OE_1}=\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{OE_2}=\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ . 過点 $A$ 作直線平行于 $OE_2$ , 交直線 $OE_1$ 于 $A_1$ ; 再過点 $A$ 作直線平行于 $OE_1$ , 交直線 $OE_2$ 于 $A_2$ .

由平行四边形法则, $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}$. 由于 $\overrightarrow{OA_1}$ 與 $\overrightarrow{e_1}$ 共線, 故存在 $\lambda_1$ 使 $\overrightarrow{OA_1}=\lambda_1\overrightarrow{e_1}$. 同理存在 $\lambda_2$ 使 $\overrightarrow{OA_2}=\lambda_2\overrightarrow{e_2}$. 故 $\overrightarrow{a}=\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}$.

唯一性: 假设另有一對实數 $(\mu_1, \mu_2)$ 满足要求. 则 $\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2} = \mu_1\overrightarrow{e_1}+\mu_2\overrightarrow{e_2}$ , 整理得 $(\lambda_1-\mu_1)\overrightarrow{e_1} = (\mu_2-\lambda_2)\overrightarrow{e_2}$ . 由于 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 不共線, 此等式成立的唯一可能是係數均為零, 即 $\lambda_1=\mu_1$ 且 $\lambda_2=\mu_2$ .

這一定理的重大意義在于, 它為平面内的所有向量建立了一個“坐標係”. 任何向量都可以在這個坐標係下被唯一地分解.

例

在 $\triangle ABC$ 中, 点 $M$ 在边 $BC$ 上, 满足 $BM:MC = 1:2$ . 点 $N$ 在边 $AC$ 上, 满足 $AN:NC = 3:1$ . 線段 $AM$ 與 $BN$ 交于点 $P$ . 求 $AP:PM$ 的值.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

此題是關于共線和交点問題的經典模型，其核心思想是：對于同一個向量，其在同一组基底下的表示是唯一的.

我们選择点 $A$ 作為原点, 并以 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$ 作為基向量. 由于 $A, P, M$ 三点共線, 向量 $\overrightarrow{AP}$ 與 $\overrightarrow{AM}$ 共線.因此存在实數 $\lambda$ , 使得 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AM}$ . 根据定比分点公式， $\overrightarrow{AM} = \frac{2\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AC}}{1+2} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}$ . 代入可得 $\overrightarrow{AP}$ 的第一個表达式：

\overrightarrow{AP} = \lambda \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}\right) = \frac{2\lambda}{3}\overrightarrow{b} + \frac{\lambda}{3}\overrightarrow{c} \cdots\cdots (1)

由于 $B, P, N$ 三点共線, 向量 $\overrightarrow{BP}$ 與 $\overrightarrow{BN}$ 共線.因此存在实數 $\mu$ , 使得 $\overrightarrow{BP} = \mu \overrightarrow{BN}$ . 利用向量减法， $\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB} = \mu (\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB})$ . 整理得到 $\overrightarrow{AP} = (1-\mu)\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AN}$ . 已知 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$ , 且 $\overrightarrow{AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{c}$ . 代入得到 $\overrightarrow{AP}$ 的第二個表达式：

\overrightarrow{AP} = (1-\mu)\overrightarrow{b} + \frac{3\mu}{4}\overrightarrow{c} \cdots\cdots (2)

根据平面向量基本定理， $\overrightarrow{AP}$ 由基底 $\{\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\}$ 的表示是唯一的. 比较表达式 (1) 和 (2) 中 $\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 的係數，它们必须分别相等：

\begin{cases} \frac{2\lambda}{3} = 1-\mu \\ \frac{\lambda}{3} = \frac{3\mu}{4} \end{cases}

這是一個關于 $\lambda, \mu$ 的二元一次方程组.解得 $\lambda = \frac{9}{10}$ .

$\overrightarrow{AP} = \frac{9}{10} \overrightarrow{AM}$ 意味着 $AP = \frac{9}{10} AM$ . 因此 $PM = \frac{1}{10}AM$ , 故 $AP:PM = 9:1$ .

向量的坐標表示

為了计算的方便，我们通常選择一组最特殊的基底：在直角坐標係中，分别與 $x$ 轴和 $y$ 轴正方向相同, 且长度為1的單位向量, 记作 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

根据平面向量基本定理，任何向量 $\overrightarrow{a}$ 都可以唯一地表示為 $\overrightarrow{a} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$ . 我们便将這對唯一的实數 $(x,y)$ 称為向量 $\overrightarrow{a}$ 的坐標，记作

\overrightarrow{a} = (x,y)

向量的运算也就相應地转化為其坐標的运算.

向量的坐標运算

设 $\overrightarrow{a}=(x_1, y_1), \overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$ ，则：

加法： $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2)$
减法： $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1-x_2, y_1-y_2)$
數乘： $k\overrightarrow{a} = (kx_1, ky_1)$
模： $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

證明

這些运算规则是向量代數與解析几何之間的核心桥梁. 其證明的基石在于平面向量基本定理, 即任何一個向量都可以唯一地表示為一组基向量的線性组合. 在我们所選取的標准笛卡尔坐標係中, 這组基底是相互正交的單位向量 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ .

设 $\overrightarrow{a}=(x_1, y_1)$ 和 $\overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$ . 根据坐標的定義, 這等价于

\overrightarrow{a} = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j} \text{以及} \overrightarrow{b} = x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}

\paragraph{加法} 我们從向量加法的抽象定義出發, 利用向量运算的代數性質進行推導.

\begin{aligned} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} &= (x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}) + (x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}) &= (x_1\overrightarrow{i} + x_2\overrightarrow{i}) + (y_1\overrightarrow{j} + y_2\overrightarrow{j}) && (\text{向量加法的交換律與结合律}) &= (x_1 + x_2)\overrightarrow{i} + (y_1 + y_2)\overrightarrow{j} && (\text{標量乘法對加法的分配律}) \end{aligned}

根据平面向量基本定理的唯一性, 向量和 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 在基底 $\{\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\}$ 下的坐標是唯一的, 即 $(x_1+x_2, y_1+y_2)$ .

\paragraph{减法} 同理, 向量减法可以看作是加上一個相反向量.

\begin{aligned} \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} &= (x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}) - (x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}) &= (x_1\overrightarrow{i} - x_2\overrightarrow{i}) + (y_1\overrightarrow{j} - y_2\overrightarrow{j}) &= (x_1 - x_2)\overrightarrow{i} + (y_1 - y_2)\overrightarrow{j} \end{aligned}

因此, 差向量 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 的坐標為 $(x_1-x_2, y_1-y_2)$ .

\paragraph{數乘} 设 $k \in \mathbb{R}$ 為一個標量.

\begin{aligned} k\overrightarrow{a} &= k(x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}) &= k(x_1\overrightarrow{i}) + k(y_1\overrightarrow{j}) && (\text{標量乘法對向量加法的分配律}) &= (kx_1)\overrightarrow{i} + (ky_1)\overrightarrow{j} && (\text{標量乘法的结合律}) \end{aligned}

因此, 向量 $k\overrightarrow{a}$ 的坐標為 $(kx_1, ky_1)$ .

\paragraph{模} 向量 $\overrightarrow{a}$ 的模是其几何长度. 向量 $\overrightarrow{a} = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}$ 可以看作是两個向量 $x_1\overrightarrow{i}$ 和 $y_1\overrightarrow{j}$ 的和. 向量 $x_1\overrightarrow{i}$ 位于 $x$ 轴上, 其长度為 $|x_1\overrightarrow{i}| = |x_1||\overrightarrow{i}| = |x_1|$ . 向量 $y_1\overrightarrow{j}$ 位于 $y$ 轴上, 其长度為 $|y_1\overrightarrow{j}| = |y_1||\overrightarrow{j}| = |y_1|$ . 由于基向量 $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 相互垂直, 這两個分量向量也相互垂直.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

根据向量加法的平行四边形法则 (在此处退化為矩形), 向量 $\overrightarrow{a}$ 是以 $x_1\overrightarrow{i}$ 和 $y_1\overrightarrow{j}$ 為邻边的矩形的對角線. 根据勾股定理, 该對角線的长度 (即 $\overrightarrow{a}$ 的模) 為:

|\overrightarrow{a}|^2 = |x_1\overrightarrow{i}|^2 + |y_1\overrightarrow{j}|^2 = x_1^2 + y_1^2

因此, $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ .

一個極其重要的结論是：如果两点坐標為 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ , 那么由 A 指向 B 的向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐標為

\overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1)

即“终点坐標减去起点坐標”.

例

已知点 $A(-1, 2), B(2, 1), C(3, 4)$ , 求向量 $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$ 的坐標及其模.

解

首先，我们根据“终点减起点”法则求出基准向量的坐標.

\overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 1 - 2) = (3, -1)

\overrightarrow{BC} = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)

接下来，進行向量的線性运算.

\begin{aligned} \overrightarrow{u} &= 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = 2(3, -1) - (1, 3) &= (6, -2) - (1, 3) = (5, -5) \end{aligned}

最后，求出向量 $\overrightarrow{u}$ 的模.

|\overrightarrow{u}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

例

平面内向量 $\overrightarrow{OA}=(1, 7), \overrightarrow{OB}=(5, 1), \overrightarrow{OP}=(2, 1)$ . 点 $X$ 為直線 $OP$ 上的一個动点.

\item[(1)] 当 $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}$ 取最小值时, 求 $\overrightarrow{OX}$ 的坐標; \item[(2)] 当点 $X$ 满足 (1) 的条件和结論时, 求 $\cos\angle AXB$ 的值.

{/* latex-label: fig:vector-geometry */} \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：向量關係几何示意圖

解

(1) 我们首先對目標數量積 $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}$ 進行几何转化. 引入線段 $AB$ 的中点 $M$ . 则 $\overrightarrow{XA} = \overrightarrow{XM} + \overrightarrow{MA}$ , 且 $\overrightarrow{XB} = \overrightarrow{XM} + \overrightarrow{MB}$ . 由于 $M$ 是中点, $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MA}$ . 代入數量積表达式:

\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB} = (\overrightarrow{XM} + \overrightarrow{MA}) \cdot (\overrightarrow{XM} - \overrightarrow{MA}) = |\overrightarrow{XM}|^2 - |\overrightarrow{MA}|^2

注意到, 点 $A, B$ 是定点, 故中点 $M$ 和線段长 $|\overrightarrow{MA}|$ 均為定值. 因此, 欲使 $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}$ 取得最小值, 等价于使 $|\overrightarrow{XM}|^2$ 取得最小值, 這也等价于使点 $X$ 到定点 $M$ 的距离 $|\overrightarrow{XM}|$ 最小.

点 $X$ 是直線 $OP$ 上的动点, 故此問題转化為寻找直線上一点 $X$ , 使其到直線外一点 $M$ 的距离最短. 根据平面几何的基本定理, 這個最短距离在 $X$ 為 $M$ 在直線 $OP$ 上的正交投影点时取得. 此时, 向量 $\overrightarrow{MX}$ 必须與直線 $OP$ 的方向向量 $\overrightarrow{OP}$ 垂直.

首先, 计算中点 $M$ 的坐標:

\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) = \frac{1}{2}((1,7)+(5,1)) = \frac{1}{2}(6,8) = (3,4)

由于点 $X$ 在直線 $OP$ 上, 存在唯一的实數 $t$ , 使得 $\overrightarrow{OX} = t\overrightarrow{OP} = t(2,1) = (2t, t)$ . 向量 $\overrightarrow{MX}$ 可以表示為:

\overrightarrow{MX} = \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OM} = (2t, t) - (3,4) = (2t-3, t-4)

施加垂直条件 $\overrightarrow{MX} \cdot \overrightarrow{OP} = 0$ :

(2t-3, t-4) \cdot (2,1) = 0

2(2t-3) + 1(t-4) = 0 \implies 4t-6+t-4=0 \implies 5t=10 \implies t=2

当 $t=2$ 时, $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}$ 取得最小值. 此时, $\overrightarrow{OX}$ 的坐標為:

\overrightarrow{OX} = 2\overrightarrow{OP} = 2(2,1) = (4,2)

(2) 根据 (1) 的结論, 我们取点 $X$ 的坐標為 $(4,2)$ . 我们的任务是计算 $\cos\angle AXB$ . 根据數量積的夹角公式:

\cos\angle AXB = \frac{\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}}{|\overrightarrow{XA}| |\overrightarrow{XB}|}

我们首先计算分子和分母所需的各個向量與模长.

\overrightarrow{XA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OX} = (1,7) - (4,2) = (-3, 5)

\overrightarrow{XB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OX} = (5,1) - (4,2) = (1, -1)

接着计算數量積:

\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB} = (-3)(1) + (5)(-1) = -3-5 = -8

计算模长:

|\overrightarrow{XA}| = \sqrt{(-3)^2+5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}

|\overrightarrow{XB}| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}

最后, 将這些值代入夹角公式:

\cos\angle AXB = \frac{-8}{\sqrt{34}\sqrt{2}} = \frac{-8}{\sqrt{68}} = \frac{-8}{2\sqrt{17}} = -\frac{4}{\sqrt{17}} = -\frac{4\sqrt{17}}{17}

平面向量的數量積

我们已經定義了向量的加、减、數乘运算，其结果仍然是向量. 接着，一個自然的問題是：两個向量能否“相乘”？如果可以，乘積是什么？是向量还是標量？物理學给了我们深刻的启示. 当一個力 $F$ 作用于一個物體, 使其产生位移 $s$ 时, 力所做的功 $W$ 是一個標量, 它的大小不僅與力的大小、位移的大小有關, 还與它们之間的夹角有關. 具體来說, $W = |\overrightarrow{F}||\overrightarrow{s}|\cos\theta$ . 這個例子启發我们定義一种新的向量乘法，其结果是一個標量，故称其為數量積，又因其符号形如点，也称為点積.

數量積的定義與几何意義

數量積

已知两個非零向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ , 它们的夹角為 $\theta$ . 我们定義它们的數量積為一個標量：

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos\theta

如果其中一個向量為零向量，则數量積為0.

數量積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 的几何意義是：向量 $\overrightarrow{a}$ 的模 $|\overrightarrow{a}|$ 與向量 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 方向上的投影 $|\overrightarrow{b}|\cos\theta$ 的乘積. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

數量積的性質與坐標表示

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2$ 或 $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}$ .
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ (交換律).
$(\lambda\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = \lambda(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$ .
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$ (分配律).

垂直的判定

判断两個非零向量是否垂直，是數量積最重要的應用之一.

\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \iff \theta = 90^\circ \iff \cos\theta = 0 \iff \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0

设基向量 $\overrightarrow{i}=(1,0), \overrightarrow{j}=(0,1)$ . 显然 $|\overrightarrow{i}|=|\overrightarrow{j}|=1, \overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=0$ . 對于 $\overrightarrow{a}=(x_1, y_1) = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}$ 和 $\overrightarrow{b}=(x_2, y_2) = x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}$ ，我们有：

\begin{aligned} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} &= (x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j}) \cdot (x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j}) &= x_1x_2(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{i}) + x_1y_2(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}) + y_1x_2(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{i}) + y_1y_2(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{j}) &= x_1x_2(1) + x_1y_2(0) + y_1x_2(0) + y_1y_2(1) &= x_1x_2 + y_1y_2 \end{aligned}

我们得到了數量積的坐標计算公式：

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2

由此，我们可以推導出坐標形式下的模长和夹角公式：

模长： $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
夹角： $\cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

例

已知向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}|=2, |\overrightarrow{b}|=3$ , 且它们的數量積 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3$ . 求向量差 $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ 的模 $|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$ .

解

处理向量模的問題，一個有力的代數工具是利用公式 $|\overrightarrow{v}|^2 = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$ . 我们将此方法應用于向量 $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ ：

\begin{aligned} |\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2 &= (\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}) &= \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{b}) - (2\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{a} + (2\overrightarrow{b})\cdot(2\overrightarrow{b}) &= |\overrightarrow{a}|^2 - 2(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}) &= |\overrightarrow{a}|^2 - 4(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}) + 4|\overrightarrow{b}|^2 \end{aligned}

接着，我们将題目给出的所有已知值代入上式：

\begin{aligned} |\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2 &= (2)^2 - 4(-3) + 4(3)^2 &= 4 + 12 + 4(9) = 52 \end{aligned}

因此，所求的模為 $|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ .

走路法

向量加法的三角形法则 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ 是向量代數中最基本的运算之一, 它在几何上直观地表現為一個连續的位移過程. 這种“首尾相接, 连接始末”的構造, 我们称之為走路法. 它的深刻意義在于, 它為我们将複杂的几何路径問題转化為一係列有序的代數运算提供了最直接的途径. 任何一個從点 $P_1$ 到点 $P_n$ 的路径, 无論多么曲折, 都可以被分解為向量之和 $\overrightarrow{P_1P_2} + \overrightarrow{P_2P_3} + ... + \overrightarrow{P_{n-1}P_n} = \overrightarrow{P_1P_n}$ .

這种方法的力量在于其係统性與普适性. 它将對圖形空間位置關係的直观依赖, 转化為對向量代數法则的严格运用. 相较于綜合几何學中常常需要依赖辅助線構造和灵感的解題模式, 向量走路法提供了一种更為程序化的解决思路: 建立向量關係, 進行代數演算, 直至获得最终的几何结論. 诚然, 任何有效的方法都包含其独特的技巧, 例如參考点的巧妙選取, 但其核心优势在于, 它用極少的公理和运算规则, 便能構建起解决大量几何問題的统一框架.

例

在 $\triangle ABC$ 中, 高線 $AD$ 與 $BE$ 相交于点 $F$ . 求證: $CF \perp AB$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

解

此為欧几里得几何中關于三角形高線交于一点 (垂心) 的經典論断..

欲将此几何問題转化為向量的語言, 我们必须首先将垂直關係代數化. 向量 $\overrightarrow{u}$ 與 $\overrightarrow{v}$ 相互垂直的充要条件是它们的數量積為零, 即 $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ .

接着是證明策略的核心, 即選择一個恰当的參考点作為位置向量的原点. 一個能够極大簡化代數结構的選择, 是将原点置于两条已知高線的交点 $F$ 处.

令点 $F$ 為原点. 于是, 诸顶点 $A, B, C$ 的位置向量即為 $\overrightarrow{FA}, \overrightarrow{FB}, \overrightarrow{FC}$ . 為簡洁起见, 我们分别记為 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ .

現在, 我们将題设条件逐一翻译為向量方程. 注意到高線 $AD$ 所在的直線通過原点 $F$ , 故向量 $\overrightarrow{a}$ 的方向與高線 $AD$ 的方向共線. 因此, 条件 $AD \perp BC$ 等价于向量 $\overrightarrow{a}$ 與向量 $\overrightarrow{BC}$ 正交. 向量 $\overrightarrow{BC}$ 可由“走路法”得到, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FC} - \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$ . 于是, 第一個条件转化為:

\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) = 0

依完全相同的理路, 高線 $BE$ 所在的直線通過原点 $F$ , 故向量 $\overrightarrow{b}$ 的方向與高線 $BE$ 的方向共線. 条件 $BE \perp AC$ 等价于向量 $\overrightarrow{b}$ 與向量 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$ 正交. 第二個条件转化為:

\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) = 0

我们的目標是證明 $CF \perp AB$ . 在我们選定的參考係中, 這等价于證明向量 $\overrightarrow{c}$ 與向量 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ 正交.

接着, 我们對已有的两個數量積方程進行展開. 由第一個方程, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ , 導出

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}

由第二個方程, $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = 0$ , 導出

\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}

根据數量積的交換律, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$ . 比较上述两式, 我们立即得到一個關键的传递關係:

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}

這個關係正是我们完成證明所需要的. 考察我们欲證明的目標數量積:

\overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}

再次利用交換律, 此表达式等价于 $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ . 根据我们推導出的關键關係, 此差值為零.

因此, $\overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = 0$ , 這在几何上意味着 $CF \perp AB$ . 證明完毕. 此證明過程未涉及任何坐標计算, 亦未添加任何辅助線, 纯粹通過向量的代數运算揭示了問題的内在结構, 體現了向量方法的抽象性與力量.

例

如圖, 在正方形 $ABCD$ 中, $E$ 是 $AB$ 中点, $3BF = FC$ , 求證: $DE \perp EF$ .

證明

此題涉及中点與定比分点, 這類条件在向量代數中具有簡洁的表述, 并且正方形的垂直與等长边為向量运算提供了绝佳的代數性質. 因此, 我们采用走路法證明.

走路法的精髓在于, 選取一個合适的基点作為原点, 并以從该点出發的向量為基本元素来表示圖中的其他所有向量, 從而将几何問題转化為代數問題. 我们以点 $A$ 為原点, 令基向量為 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}$ 和 $\overrightarrow{AD} = \mathbf{d}$ .

由于 $ABCD$ 是正方形, 這两個基向量的长度相等, 且相互垂直. 這一几何性質反映在代數上, 即

|\mathbf{b}| = |\mathbf{d}|, \text{且} \mathbf{b} \cdot \mathbf{d} = 0.

接着, 我们用基向量表示圖中相關点的向量. 這好比從原点 $A$ “走”到目標点. 点 $D$ 的位置向量即為 $\overrightarrow{AD} = \mathbf{d}$ . 点 $E$ 是 $AB$ 的中点, 故其位置向量為 $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{b}$ . 点 $F$ 在边 $BC$ 上, 由 $3BF=FC$ 知, $F$ 是 $BC$ 的一個四等分点, 且 $BF = \frac{1}{4}BC$ . 注意到 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} = \mathbf{d}$ . 于是, $\overrightarrow{BF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{4}\mathbf{d}$ . 從 $A$ 到 $F$ 的路径可以分解為先到 $B$ 再到 $F$ , 故

\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{d}.

現在我们構造待證垂直的两個線段所對應的向量 $\overrightarrow{DE}$ 與 $\overrightarrow{EF}$ .

\begin{aligned} \overrightarrow{DE} &= \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{b} - \mathbf{d}, \overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \left(\mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{d}\right) - \frac{1}{2}\mathbf{b} = \frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{d}. \end{aligned}

為了證明 $DE \perp EF$ , 我们只需验證其方向向量的數量積為零. 计算數量積:

\begin{aligned} \overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{EF} &= \left(\frac{1}{2}\mathbf{b} - \mathbf{d}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{4}\mathbf{d}\right) &= \frac{1}{4}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) + \frac{1}{8}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - \frac{1}{2}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{b}) - \frac{1}{4}(\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}) &= \frac{1}{4}|\mathbf{b}|^2 + \frac{1}{8}(0) - \frac{1}{2}(0) - \frac{1}{4}|\mathbf{d}|^2. \end{aligned}

利用 $|\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{d}|^2$ 這一性質, 上式的结果為

\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{EF} = \frac{1}{4}|\mathbf{b}|^2 - \frac{1}{4}|\mathbf{b}|^2 = 0.

數量積為零, 這表明向量 $\overrightarrow{DE}$ 與 $\overrightarrow{EF}$ 相互正交, 故線段 $DE$ 與 $EF$ 垂直.

例

如圖, 以 $\triangle ABC$ 的 $AB$ 和 $BC$ 边分别向外作等边 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCE$ , 且 $AB \perp BC$ . 求證: $BE \perp AD$ .

證明

此題的条件涉及在三角形边上構建新的几何圖形, 且包含旋转與垂直關係, 這正是向量法展現其优势的领域. 向量的代數运算能够优雅地处理旋转與投影.

關键在于選择合适的原点與基向量. 点 $B$ 是两個等边三角形的公共顶点, 且是垂直關係 $AB \perp BC$ 的交点, 因此以点 $B$ 為原点進行向量分析最為便捷. 我们令基向量為 $\overrightarrow{BA} = \mathbf{a}$ 和 $\overrightarrow{BC} = \mathbf{c}$ .

根据題设, $AB \perp BC$, 這意味着基向量 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{c}$ 相互垂直. 其代數體現為它们的數量積為零:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0.

我们要證明 $BE \perp AD$ , 這等价于證明 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ . 為此, 我们需要用基向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{c}$ 表示出 $\overrightarrow{BE}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ .

向量 $\overrightarrow{BE}$ 是由向量 $\overrightarrow{BC}=\mathbf{c}$ 绕点 $B$ 向外 (顺时针) 旋转 $60^\circ$ 得到的. 向量 $\overrightarrow{BD}$ 是由向量 $\overrightarrow{BA}=\mathbf{a}$ 绕点 $B$ 向外 (逆时针) 旋转 $60^\circ$ 得到的. 接着, 我们表示目標向量: 向量 $\overrightarrow{BE}$ 已由上述旋转定義. 向量 $\overrightarrow{AD}$ 可以通過“走路”得到: 從 $A$ 到 $D$ 等价于從 $A$ 先回到 $B$ , 再從 $B$ 走到 $D$ . 故

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD} = -\mathbf{a} + \overrightarrow{BD}.

現在, 我们来计算數量積 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AD}$ :

\begin{aligned} \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{BE} \cdot (-\mathbf{a} + \overrightarrow{BD}) &= \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BE} \cdot \mathbf{a}. \end{aligned}

我们利用數量積的几何定義 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x}||\mathbf{y}|\cos\theta$ 来计算右侧的两項. 對于 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BD}$ : $|\overrightarrow{BE}| = |\overrightarrow{BC}| = |\mathbf{c}|$ , 且 $|\overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{BA}| = |\mathbf{a}|$ . 向量 $\overrightarrow{BD}$ 由 $\mathbf{a}$ 逆时针旋转 $60^\circ$ 得到, 向量 $\overrightarrow{BE}$ 由 $\mathbf{c}$ 顺时针旋转 $60^\circ$ 得到. 由于 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{c}$ 的夹角為 $90^\circ$ , 那么 $\overrightarrow{BD}$ 與 $\overrightarrow{BE}$ 之間的夹角為 $60^\circ + 90^\circ + 60^\circ = 210^\circ$ . 不過, 在计算數量積时, 通常取不超過 $180^\circ$ 的夹角, 即 $360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$ . 因此

\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BD} = |\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{BD}|\cos(150^\circ) = |\mathbf{c}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ).

對于 $\overrightarrow{BE} \cdot \mathbf{a}$ : $|\overrightarrow{BE}| = |\mathbf{c}|$ , $|\mathbf{a}|$ 為已知. 向量 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{c}$ 的夹角為 $90^\circ$ . 向量 $\overrightarrow{BE}$ 由 $\mathbf{c}$ 顺时针旋转 $60^\circ$ 得到, 因此 $\overrightarrow{BE}$ 與 $\mathbf{a}$ 的夹角為 $90^\circ+60^\circ=150^\circ$ . 所以

\overrightarrow{BE} \cdot \mathbf{a} = |\overrightarrow{BE}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ) = |\mathbf{c}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ).

将以上两式代入數量積的表达式中, 我们得到

\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AD} = |\mathbf{c}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ) - |\mathbf{c}||\mathbf{a}|\cos(150^\circ) = 0.

數量積為零, 结論得以證明. 故 $BE \perp AD$ .

前面两個范例展示了处理平面几何問題的一种强有力的代數化思想, 即向量法, 或称“走路法”. 其核心在于将几何圖形的性質與關係, 转化為向量空間的代數运算. 這种方法的实施步骤, 蕴含着一种清晰的逻辑流.

向量法的首要步骤在于建立分析的框架. 這包括:

選取基点: 在圖形中選择一個合适的点作為原点. 通常, 這個点是圖形的特殊点, 例如顶点, 中点, 或是多条重要線段的交点. 一個好的基点可以極大地簡化后續的向量表示.
定義基向量: 從基点出發, 選取一至两個線性无關的向量作為基向量. 在平面問題中, 通常是两個不共線的向量. 在正方形或矩形中, 沿两条邻边方向的向量是自然的選择; 在一般三角形中, 沿两条边的向量亦是如此.

這個框架一旦建立, 圖形中的任何一個点的位置, 都可以由從基点出發的一個唯一的位置向量来描述; 任何一個有向線段, 都可以表示為基向量的線性组合.

在此基礎上, 第二步是翻译几何条件. 将題设中所有的几何關係, 如长度、中点、定比分点、平行、垂直等, 转化為向量的代數語言. 這一步是向量法成功的關键.

长度關係與角度關係, 通常與向量的模和數量積相關. 例如, $AB \perp BC$ 意味着 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ .
点 $M$ 是線段 $AB$ 的中点, 则 $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ .
点 $P$ 在直線 $AB$ 上, 且 $AP:PB = \lambda : \mu$ , 则 $\overrightarrow{OP} = \frac{\mu\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}}{\lambda+\mu}$ .

通過這种方式, 整個几何問題被“翻译”成了一個關于基向量的代數問題.

接着, 我们的目標是構造并计算目標向量. 将待證的几何關係 (例如 $DE \perp EF$ ) 同样用向量語言表达出来 (即 $\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{EF} = 0$ ). 然后, 利用向量的加减法法则 (即“走路法则”, 如 $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OD}$ ) 将這些目標向量用基向量表示出来.

最后的最后，只需通過纯粹的代數运算, 结合基向量自身的性質 (例如它们的模长關係和數量積), 對目標表达式進行化簡并验證是否符合要證明的即可.

極化恒等式

在向量的代數體係中, 數量積是核心概念之一, 它将向量的几何關係 (如夹角) 與代數运算联係起来. 數量積的几何定義 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = ||\mathbf{u}|| \cdot ||\mathbf{v}|| \cos\theta$ 依赖于夹角 $\theta$ . 但在许多几何問題中, 角度是未知的, 我们更易获知的是線段的长度, 即向量的模.

一個自然的問題是: 我们能否僅通過模长来表达數量積? 答案是肯定的. 極化恒等式正是建立數量積與向量模长之間直接桥梁的關键定理.

我们考虑向量和的模长平方 $||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2$ . 根据模的定義, 它等于向量自身的數量積:

||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 = (\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})

利用數量積的分配律展開上式, 我们得到

(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{u} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}

注意到 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{u} = ||\mathbf{u}||^2$ 且數量積满足交換律 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}$ , 上式可化為

||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 + 2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})

移項整理, 我们便得到了數量積的一种表达形式. 這個思想可以推廣并总结為如下的命題.

極化恒等式

對于任意两個向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ , 其數量積可以通過向量的模长表示:

\begin{aligned} \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} &= \frac{1}{2} \left( ||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 - ||\mathbf{u}||^2 - ||\mathbf{v}||^2 \right) \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} &= \frac{1}{4} \left( ||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 - ||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 \right) \end{aligned}

第一种形式我们已經推導得出. 第二种形式更具對称性, 其推導過程也颇具启發性. 我们已有

||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 + 2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) (1)

同理, 计算 $||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2$ :

\begin{aligned} ||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 &= (\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{v}) &= ||\mathbf{u}||^2 - 2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) + ||\mathbf{v}||^2 (2) \end{aligned}

将 (1) 式與 (2) 式相减, 即可消去模长平方項, 得到

||\mathbf{u}+\mathbf{v}||^2 - ||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 = 4(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})

整理后即得恒等式的第二种形式.

此恒等式具有深刻的几何意義. 我们重寫式 (2) 可得:

||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 - 2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})

若以 $\mathbf{u}=\overrightarrow{OA}$ 和 $\mathbf{v}=\overrightarrow{OB}$ 為邻边構成三角形, 则第三边即為向量 $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} = \mathbf{u}-\mathbf{v}$ .

令 $\theta$ 為 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的夹角, 代入數量積的几何定義 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = ||\mathbf{u}|| ||\mathbf{v}|| \cos\theta$, 上式即變為

||\mathbf{u}-\mathbf{v}||^2 = ||\mathbf{u}||^2 + ||\mathbf{v}||^2 - 2||\mathbf{u}|| ||\mathbf{v}||\cos\theta

這正是三角形中的余弦定理. 因此, 極化恒等式可以被视為余弦定理的向量形式, 它将几何中的长度與角度關係完美地融入了向量代數的框架之中. 当一個問題只涉及边长而不涉及角度时, 此恒等式是计算數量積, 進而判断垂直關係的不二之選.

例

设有两個向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ , 满足 $||\mathbf{a}+\mathbf{b}|| = \sqrt{10}$ 及 $||\mathbf{a}-\mathbf{b}|| = \sqrt{6}$ , 求數量積 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ 的值.

解

此問題直接给出了向量和與差的模长, 而要求它们的數量積, 這正是極化恒等式應用的典型情景. 我们采用極化恒等式的第二种形式:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{4} \left( ||\mathbf{a}+\mathbf{b}||^2 - ||\mathbf{a}-\mathbf{b}||^2 \right)

将題设中的已知值代入上式:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{4} \left( (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2 \right)

進行簡單的代數计算:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \frac{1}{4} (10 - 6) = \frac{1}{4}(4) = 1.

因此, 這两個向量的數量積為 $1$ . 這個例子清晰地展示了極化恒等式如何绕開角度, 直接從长度信息中提取出數量積.

例

设 $\triangle ABC$ , $P_0$ 是边 $AB$ 上一定点, 满足 $P_0B = \frac{1}{4}AB$ . 若對于边 $AB$ 上任意一点 $P$ , 恒有不等式 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} \ge \overrightarrow{P_0B} \cdot \overrightarrow{P_0C}$ 成立, 试确定 $\triangle ABC$ 必须满足的几何条件.

解

该命題的条件是一個關于动点 $P$ 的向量不等式. 其核心是表达式 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}$ 在点 $P=P_0$ 处取得最小值. 這种涉及最值的問題, 提示我们可以将该表达式構造成一個函數, 并利用函數的性質来求解.

我们以点 $B$ 為基点, 设 $\overrightarrow{BA} = \mathbf{a}$ 和 $\overrightarrow{BC} = \mathbf{c}$ .

点 $P$ 在線段 $AB$ 上, 它的位置可以用參數 $\lambda$ 描述. 令 $\overrightarrow{BP} = \lambda \overrightarrow{BA} = \lambda \mathbf{a}$, 其中 $\lambda \in [0, 1]$. 于是, 向量 $\overrightarrow{PB}$ 和 $\overrightarrow{PC}$ 可以用基向量表示:

\begin{aligned} \overrightarrow{PB} &= -\overrightarrow{BP} = -\lambda \mathbf{a}, \overrightarrow{PC} &= \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BP} = \mathbf{c} - \lambda \mathbf{a}. \end{aligned}

接着, 我们计算它们的數量積:

\begin{aligned} f(\lambda) = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} &= (-\lambda \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{c} - \lambda \mathbf{a}) &= -\lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) + \lambda^2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}) &= ||\mathbf{a}||^2 \lambda^2 - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\lambda. \end{aligned}

這是一個關于變量 $\lambda$ 的二次函數, 其二次項係數 $||\mathbf{a}||^2$ 為正, 故其圖像是開口向上的抛物線, 存在唯一的最小值. 根据二次函數的性質, 其對称轴位置在 $\lambda = -\frac{-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})}{2||\mathbf{a}||^2} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}}{2||\mathbf{a}||^2}$ . 此即函數 $f(\lambda)$ 取最小值的点.

根据題设, 最小值在 $P=P_0$ 处取得. 我们需要确定 $P_0$ 對應的參數 $\lambda_0$ . 由 $P_0B = \frac{1}{4}AB$ 可知, $||\overrightarrow{BP_0}|| = \frac{1}{4}||\overrightarrow{BA}||$ . 由于 $P_0$ 在 $A, B$ 之間, 故 $\overrightarrow{BP_0}$ 與 $\overrightarrow{BA}$ 同向, 所以 $\overrightarrow{BP_0} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BA} = \frac{1}{4}\mathbf{a}$ . 因此, $\lambda_0 = \frac{1}{4}$ .

令函數取得最小值的 $\lambda$ 等于 $\lambda_0$ :

\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}}{2||\mathbf{a}||^2} = \frac{1}{4}.

由此我们得到一個關于基向量的代數關係:

2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) = ||\mathbf{a}||^2.

最后一步, 我们需要将這個代數關係翻译回几何語言. 我们考察三角形的边长關係. $||\overrightarrow{AC}||^2 = ||\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}||^2 = ||\mathbf{c} - \mathbf{a}||^2$ . 利用我们推導極化恒等式时的展開方法:

||\mathbf{c} - \mathbf{a}||^2 = (\mathbf{c}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{a}) = ||\mathbf{c}||^2 - 2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) + ||\mathbf{a}||^2.

将我们得到的条件 $2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) = ||\mathbf{a}||^2$ 代入上式:

||\overrightarrow{AC}||^2 = ||\mathbf{c}||^2 - ||\mathbf{a}||^2 + ||\mathbf{a}||^2 = ||\mathbf{c}||^2.

這表明 $||\overrightarrow{AC}|| = ||\mathbf{c}|| = ||\overrightarrow{BC}||$ . 因此, $\triangle ABC$ 必须满足的几何条件是 $AC = BC$ , 即它是一個以 $C$ 為顶角的等腰三角形.

例

在 $\triangle ABC$ 中, $D$ 是 $BC$ 的中点, $E, F$ 是 $AD$ 上的两個三等分点. 已知 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} = 4$ , $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} = -1$ , 求 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE}$ 的值.

解

此題的条件與结論均涉及以不同顶点為起点的向量數量積. 這种结構提示我们寻找一個统一的代數形式. 注意到所有數量積都涉及線段 $BC$ 的两個端点 $B$ 和 $C$ , 這启發我们将 $BC$ 的中点 $D$ 作為一個關键的參照点.

我们来考察形如 $\overrightarrow{PX} \cdot \overrightarrow{PY}$ 的數量積, 当一個參照点 $M$ 存在时, 我们可以進行分解. 對于 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA}$ , 我们将向量起点统一到中点 $D$ . $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}$ $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}$ 由于 $D$ 是 $BC$ 的中点, $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{DB}$ . 代入上式: $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}$ 于是, 數量積可以展開為:

\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{CA} = (\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}) \cdot (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}) = ||\overrightarrow{DA}||^2 - ||\overrightarrow{DB}||^2 = AD^2 - BD^2.

這实际上是極化恒等式思想的一個直接應用, 它将數量積與中線长和半弦长联係起来. 根据題设, 我们有

AD^2 - BD^2 = 4 (1)

完全同理, 對于点 $F$ 和 $E$, 我们可以得到相同的代數结構:

\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} = DF^2 - BD^2

\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = DE^2 - BD^2

根据題设 $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CF} = -1$ , 我们有

DF^2 - BD^2 = -1 (2)

現在問題转化為一個關于长度的代數問題. $E, F$ 是 $AD$ 的三等分点. 不妨设 $F$ 是靠近 $D$ 的分点, 则 $DF = \frac{1}{3}AD$ , 且 $DE = \frac{2}{3}AD$ . 将 $DF = \frac{1}{3}AD$ 代入 (2) 式:

\left(\frac{1}{3}AD\right)^2 - BD^2 = -1 \implies \frac{1}{9}AD^2 - BD^2 = -1 (3)

我们現在拥有一個關于 $AD^2$ 和 $BD^2$ 的二元一次方程组, 由 (1) 和 (3) 構成:

\begin{aligned} AD^2 - BD^2 &= 4 \frac{1}{9}AD^2 - BD^2 &= -1 \end{aligned}

两式相减, 消去 $BD^2$ :

\left(1 - \frac{1}{9}\right)AD^2 = 4 - (-1) \implies \frac{8}{9}AD^2 = 5 \implies AD^2 = \frac{45}{8}.

将 $AD^2$ 的值代回 (1) 式:

BD^2 = AD^2 - 4 = \frac{45}{8} - 4 = \frac{45-32}{8} = \frac{13}{8}.

我们的目標是计算 $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = DE^2 - BD^2$ . 利用 $DE = \frac{2}{3}AD$ , 我们有 $DE^2 = \frac{4}{9}AD^2$ . 代入已求出的值:

\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CE} = \frac{4}{9}AD^2 - BD^2 = \frac{4}{9}\left(\frac{45}{8}\right) - \frac{13}{8} = \frac{5}{2} - \frac{13}{8} = \frac{20-13}{8} = \frac{7}{8}.

故所求值為 $\frac{7}{8}$ .

例

已知等边 $\triangle ABC$ 内接于半径為 $2$ 的 $\odot O$ , 点 $P$ 是 $\odot O$ 上的一個动点, 则 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 的取值范围是？

解

這個問題的核心是处理一個动点相關的數量積. 动点 $P$ 的轨迹是圓, 其几何特征是到圓心 $O$ 的距离恒定. 我们希望将數量積 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 與点 $P$ 的位置建立联係.

同样地, 極化恒等式的思想启示我们引入 $AB$ 的中点. 设 $D$ 為 $AB$ 的中点. 将 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PB}$ 用過 $D$ 的路径来表示: $\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DA}$ $\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DB}$ 由于 $D$ 是 $AB$ 的中点, $\overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{DA}$ . 代入得: $\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PD} - \overrightarrow{DA}$ 计算數量積:

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (\overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DA}) \cdot (\overrightarrow{PD} - \overrightarrow{DA}) = ||\overrightarrow{PD}||^2 - ||\overrightarrow{DA}||^2 = PD^2 - AD^2.

通過這個變換, 我们成功地将數量積的范围問題转化為了几何长度 $PD$ 的范围問題. 問題分解為两個子任务: 计算定长 $AD$, 以及确定动长 $PD$ 的范围.

首先, 计算 $AD$ . $\triangle ABC$ 是内接于 $\odot O$ 的等边三角形, 半径 $r=OP=OA=OB=2$ . 在 $\triangle OAB$ 中, $OA=OB=2$ , $\angle AOB = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ . $D$ 是 $AB$ 的中点, 因此 $OD \perp AB$ . 在 Rt $\triangle ODA$ 中, $\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOB = 60^\circ$ . 于是 $AD = OA \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ . 因此, 常數項 $AD^2 = 3$ .

接着, 确定 $PD$ 的范围. $P$ 是圓周上的动点, $D$ 是圓内一定点. $P$ 到 $D$ 的距离范围取决于 $D$ 到圓心 $O$ 的距离. 在 Rt $\triangle ODA$ 中, $OD = OA \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ . 点 $P$ 在半径為 $2$ 的圓上, 点 $D$ 與圓心 $O$ 的距离為 $1$ . 根据几何知识, $PD$ 的最大值發生在 $P, O, D$ 三点共線且 $O$ 在 $P, D$ 之間时:

PD_{\max} = PO + OD = r + OD = 2 + 1 = 3.

$PD$ 的最小值發生在 $P, O, D$ 三点共線且 $D$ 在 $P, O$ 之間时:

PD_{\min} = PO - OD = r - OD = 2 - 1 = 1.

所以, $PD$ 的取值范围是 $[1, 3]$ . 從而, $PD^2$ 的取值范围是 $[1^2, 3^2] = [1, 9]$ .

最后, 我们回到原表达式:

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = PD^2 - AD^2 = PD^2 - 3.

由于 $PD^2 \in [1, 9]$ , 那么

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \in [1-3, 9-3] = [-2, 6].

因此, 所求的取值范围是 $[-2, 6]$ .

例

如圖, Rt $\triangle ABC$ 中, $\angle ABC=90^\circ$ , $AB=2$ , $BC=2\sqrt{3}$ . $M$ 是線段 $AC$ 上一动点, 若以 $M$ 為圓心, 半径為 $1$ 的圓與線段 $AC$ 交于 $P, Q$ 两点, 则 $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 的最小值為 ( )

解

此題要求一個數量積的最小值, 其中涉及的向量起点固定, 终点则由一個移动的圓心确定. 這看似複杂, 但其结構恰好契合了極化恒等式的思想.

注意到点 $M$ 是圓心, 而 $P, Q$ 是圓與直径 $AC$ 的交点, 故 $M$ 必然是線段 $PQ$ 的中点. 根据極化恒等式的思想, 我们可以将 $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 以中点 $M$ 分解:

\begin{aligned} \overrightarrow{BP} &= \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MP} \overrightarrow{BQ} &= \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MQ} \end{aligned}

由于 $M$ 是 $PQ$ 中点, $\overrightarrow{MQ} = -\overrightarrow{MP}$ . 于是

\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ} = (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MP}) \cdot (\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{MP}) = ||\overrightarrow{BM}||^2 - ||\overrightarrow{MP}||^2.

$||\overrightarrow{MP}||$ 是圓的半径, 題设為 $1$ , 故 $||\overrightarrow{MP}||^2=1$ . 表达式化為:

\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ} = ||\overrightarrow{BM}||^2 - 1.

欲求 $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 的最小值, 我们只需寻求 $||\overrightarrow{BM}||^2$ 的最小值. 這等价于寻找动点 $M$ 在線段 $AC$ 上运动时, 点 $B$ 到 $M$ 的最短距离. 几何直观告诉我们, 点到線段的最短距离是该点到直線距离 (垂線段长). 令 $h_B$ 為 Rt $\triangle ABC$ 斜边 $AC$ 上的高. 斜边 $AC$ 的长度由勾股定理给出: $AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12}=4$ . 根据三角形面積公式, $\frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{1}{2}AC \cdot h_B$ .

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_B \implies h_B = \sqrt{3}.

此即 $||\overrightarrow{BM}||$ 的最小值. 于是 $||\overrightarrow{BM}||^2$ 的最小值為 $(\sqrt{3})^2=3$ . 因此, $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 的最小值為 $3-1=2$ .

例

在平行四边形 $ABCD$ 中, 已知 $AB=8, AD=5$ . 点 $P$ 在边 $CD$ 上, 满足 $\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$ , 且 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 2$ . 求 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ 的值.

解

此題在一個平行四边形中给出了边长與一個數量積的特定值, 要求另一個數量積. 這是典型的通過向量代數运算建立桥梁的問題. 我们以点 $A$ 為基点, 令基向量為 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ .

我们的目標是利用已知条件 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 2$ 来構造一個包含目標 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ 的方程. 首先, 用基向量表示 $\overrightarrow{AP}$ 和 $\overrightarrow{BP}$. 点 $P$ 在 $CD$ 上, 我们可以通過路径 $A \to D \to P$ 来表示 $\overrightarrow{AP}$.

\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DP}.

由 $\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$ 可知 $P$ 是 $CD$ 的四等分点, 且 $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$ . 在平行四边形中, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ . 故 $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ . 所以, $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ .

接着表示 $\overrightarrow{BP}$ . 路径可以是 $B \to A \to P$ .

\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{AB} + \left(\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\right) = \overrightarrow{AD} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}.

現在将這两個表达式代入已知条件:

\left(\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\right) \cdot \left(\overrightarrow{AD} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\right) = 2.

展開此數量積, 這與極化恒等式的推導過程一致:

||\overrightarrow{AD}||^2 - \frac{3}{4}(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}) + \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - \frac{3}{16}||\overrightarrow{AB}||^2 = 2.

利用數量積的交換律 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$ , 合并同類項:

||\overrightarrow{AD}||^2 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - \frac{3}{16}||\overrightarrow{AB}||^2 = 2.

代入已知边长 $AD=5, AB=8$ :

5^2 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - \frac{3}{16}(8^2) = 2.

25 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - \frac{3}{16}(64) = 2.

25 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) - 12 = 2.

13 - \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) = 2.

解得 $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) = 11$ , 故 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 22$ .

例

已知 $\triangle ABC$ 是边长為 $2$ 的等边三角形, $P$ 為平面 $ABC$ 内一点, 则 $\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 的最小值是 ( )

解

此表达式包含三個與动点 $P$ 相關的向量, 直接处理较為困难. 我们需要通過向量加法的几何意義来簡化它. 令 $M$ 為边 $BC$ 的中点. 根据向量加法的平行四边形法则, 向量和 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$ 可以被合成為

\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PM}.

于是, 原表达式化為

\overrightarrow{PA} \cdot (2\overrightarrow{PM}) = 2(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PM}).

現在問題转化為求 $2(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PM})$ 的最小值. 表达式中仍有两個與 $P$ 相關的向量. 為了進一步化簡, 我们再次利用中点. 線段 $AM$ 是定长線段, 我们取其中心 $O$ 作為新的參照点.

\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OA}

\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OM}

由于 $O$ 是 $AM$ 的中点, $\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OA}$ . 代入后, 數量積變為

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PM} = (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{PO} - \overrightarrow{OA}) = ||\overrightarrow{PO}||^2 - ||\overrightarrow{OA}||^2.

所以, 原表达式為

2(||\overrightarrow{PO}||^2 - ||\overrightarrow{OA}||^2).

這是一個關于动点 $P$ 到定点 $O$ 距离的函數. $O$ 與 $A$ 均為定点, 故 $||\overrightarrow{OA}||^2$ 是一個常數. 為使整個表达式最小, 我们需要最小化 $||\overrightarrow{PO}||^2$ , 其最小值在 $P=O$ 时取得, 為 $0$ . 此时, 整個表达式的最小值為 $2(0 - ||\overrightarrow{OA}||^2) = -2||\overrightarrow{OA}||^2$ .

最后, 计算 $||\overrightarrow{OA}||$ . $\triangle ABC$ 是边长為 $2$ 的等边三角形, 其高 (也是中線) $AM$ 的长度為 $2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ . $O$ 是 $AM$ 的中点, 所以 $||\overrightarrow{OA}|| = \frac{1}{2}||\overrightarrow{AM}|| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . 因此, $||\overrightarrow{OA}||^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$ . 所求的最小值為 $-2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{2}$ .

例

在 $\triangle ABC$ 中, $AD$ 為 $BC$ 边上的中線, $E$ 為 $AD$ 延长線上一点, 且 $AD = 2DE$ . 已知 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 10$ , $\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{EC} = -2$ , 求 $|BC|$ 的长度.

解

此題與之前的一道例題（哪道？看看你认真看了没.）结構高度相似, 提供了關于中線端点以及延长線上一点的向量數量積信息, 這是應用中線分解的明确信号. 设 $D$ 為 $BC$ 的中点. 對于平面上任意一点 $X$ , 我们有恒等式

\overrightarrow{XB} \cdot \overrightarrow{XC} = XD^2 - BD^2.

将此恒等式分别應用于点 $A$ 和点 $E$ . 当 $X=A$ 时:

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AD^2 - BD^2.

由題设 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 10$ , 得

AD^2 - BD^2 = 10 (1).

当 $X=E$ 时:

\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{EC} = ED^2 - BD^2.

由題设 $\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{EC} = -2$ , 得

ED^2 - BD^2 = -2 (2).

此外, 几何条件 $AD=2DE$ 意味着长度的平方關係為 $AD^2 = 4DE^2$. 我们将此關係代入方程 (1):

4DE^2 - BD^2 = 10 (3).

現在我们得到一個關于 $DE^2$ 和 $BD^2$ 的二元一次方程组:

\begin{aligned} 4DE^2 - BD^2 &= 10 DE^2 - BD^2 &= -2 \end{aligned}

将两方程相减, 消去 $BD^2$ :

3DE^2 = 12 \implies DE^2 = 4.

将 $DE^2=4$ 代回方程 (2):

4 - BD^2 = -2 \implies BD^2 = 6.

我们要求的是 $|BC|$ . 由于 $D$ 是 $BC$ 的中点, $|BC|=2|BD|$ . 因此, $|BC| = 2\sqrt{BD^2} = 2\sqrt{6}$ .

总结一下什么时候使用極化恒等式：

中点结構 這是最重要且最常见的结構. 当題目中出現 線段的中点 $M$ , 并且需要处理與该線段两端点相關的向量數量積时, 几乎总能受益于此思想. 具體表現為计算形如 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 的數量積, 其中 $M$ 是 $AB$ 的中点. 通過分解 $\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MA}$ 和 $\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{PM} - \overrightarrow{MA}$ , 數量積立即转化為长度的平方差:

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = ||\overrightarrow{PM}||^2 - ||\overrightarrow{MA}||^2.

這种转換是極化恒等式思想的直接體現, 它将一個依赖于角度和动点的複杂數量積, 转化為一個僅與距离相關的簡單代數式.

最值問題 当問題要求某個數量積的最小值或最大值, 且其中涉及动点时, 極化恒等式是实現問題转化的關键工具. 比如之前的例題，我们通過中点分解, 我们将 $\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BQ}$ 的最值問題转化為求 $||\overrightarrow{BM}||^2$ 的最值, 将 $\overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 的最值問題转化為求 $||\overrightarrow{PO}||^2$ 的最值. 這本質上是将一個向量代數的最值問題, 降維成一個更直观的几何距离的最值問題, 即“求一点到某轨迹 (直線、線段、圓) 的最短或最长距离”.
向量和的出現 当表达式中出現形如 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$ 的向量和时, 這是一個强烈的簡化信号. 利用中点 $M$ 可将此和式合并為 $2\overrightarrow{PM}$ . 這一步往往是應用極化恒等式的前奏, 它将三個與动点 $P$ 相關的向量 $(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}, \overrightarrow{PC})$ 减少到两個 $(\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PM})$ , 從而创造出可以應用中点分解的结構.
纯长度信息的代數运算 当題目给出的条件主要為边长, 却要求计算依赖于角度的數量積时, 這暗示我们需要绕開角度, 直接建立长度與數量積的關係. 之前的几道例題就是一個绝佳的例子, 我们通過向量分解和展開, 建立了一個包含已知长度和未知數量積的代數方程, 最终解出目標值. 這整個代數展開的過程, 其數學本質與極化恒等式的推導過程是完全一致的.

極化恒等式不僅是一個公式而已, 更是一种對称化和代數化的策略. 其應用的本質, 是识别出几何圖形中由中点带来的對称性, 并利用這种對称性将複杂的向量關係转化為簡單的標量 (长度) 關係. 当你面對一個向量問題, 尤其是涉及中点、最值和向量和时, 應当首先思考能否通過分解與變換, 構造出 $(X+Y)\cdot (X-Y)$ 這一標志性结構.

定比分点與共線定理

{/* label: sec:ch12-s02 */}

向量不僅能够表示大小與方向, 其代數运算的结構更是描述几何關係的利器. 特别是点的共線, 共面等位置關係, 在向量的語言下有着异常簡洁的代數刻画.

係數和為常數的轨迹

我们首先從一個基本問題出發: 平面上任意三点 $P, A, B$ 共線的充要条件是什么? 從几何直观上看, $P$ 在直線 $AB$ 上, 意味着向量 $\overrightarrow{AP}$ 與向量 $\overrightarrow{AB}$ 是共線的. 用代數語言描述, 即存在唯一的实數 $\lambda$ , 使得

\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}.

這是一個重要的基礎. 然而在很多問題中, 我们更習惯于從一個公共的基点 (原点) $O$ 出發来描述所有点的位置. 我们可以将上式用位置向量 $\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ 来改寫:

\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \lambda(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}).

整理后可得

\overrightarrow{OP} = (1-\lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}.

這是一個極其优美的形式. 若我们令 $x = 1-\lambda$ 及 $y=\lambda$ , 则上式變為

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}, \text{其中} x+y=1.

這便得到了平面上三点共線的向量表示定理. 它的逆命題同样成立. 這個结論是后續讨論的基石.

三点共線定理

设 $O$ 為平面内任意一点, 则 $P, A, B$ 三点共線的充要条件是, 存在唯一的实數對 $(x,y)$ 使得

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}, \text{且} x+y=1.

證明

為證明该充要条件, 我们需要分别證明其充分性與必要性.

先證明，**充分性.**假设存在实數對 $(x,y)$ 满足 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=1$ . 我们需要證明 $P, A, B$ 三点共線.

為證明三点共線, 我们只需證明连接其中两点的向量, 例如 $\overrightarrow{AP}$ , 與连接另外两点的向量, 例如 $\overrightarrow{AB}$ , 是共線向量即可. 我们構造向量 $\overrightarrow{AP}$ :

\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}.

将假设条件 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 代入上式:

\overrightarrow{AP} = (x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}) - \overrightarrow{OA} = (x-1)\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}.

利用係數和条件 $x+y=1$ , 我们有 $x-1 = -y$ . 将此關係代入:

\overrightarrow{AP} = -y\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} = y(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}).

注意到 $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ 正是向量 $\overrightarrow{AB}$ . 于是, 我们得到

\overrightarrow{AP} = y\overrightarrow{AB}.

此式表明向量 $\overrightarrow{AP}$ 是向量 $\overrightarrow{AB}$ 的一個標量倍. 因此, $\overrightarrow{AP}$ 與 $\overrightarrow{AB}$ 共線. 又因為這两個向量拥有共同的起点 $A$ , 故 $P, A, B$ 三点必然位于同一条直線上. 充分性得證.

**接下来證明，必要性與唯一性.**假设 $P, A, B$ 三点共線. 我们需要證明存在唯一的实數對 $(x,y)$ 满足 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=1$ .

首先, 考虑一個退化情形: 若 $A=B$ , 则三点共線意味着 $P$ 也與 $A, B$ 重合. 此时 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$ . 那么 $\overrightarrow{OP} = 1\overrightarrow{OA} + 0\overrightarrow{OB}$ (取 $x=1, y=0$ ), 或 $0\overrightarrow{OA}+1\overrightarrow{OB}$ (取 $x=0,y=1$ ), 满足 $x+y=1$ . 唯一性在這种情况下不严格成立, 但定理通常在 $A, B$ 為不同点的背景下讨論.

故设 $A \neq B$ . 因為 $P, A, B$ 三点共線, 向量 $\overrightarrow{AP}$ 與向量 $\overrightarrow{AB}$ 共線. 故存在唯一的实數 $\lambda$ , 使得

\overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{AB}.

将此式用以 $O$ 為基点的位置向量表示:

\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \lambda(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}).

整理可得 $\overrightarrow{OP}$ 的表达式:

\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB} - \lambda\overrightarrow{OA} = (1-\lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}.

令 $x = 1-\lambda$ 且 $y = \lambda$ . 此时, 我们找到了满足 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 的係數. 验證其和: $x+y = (1-\lambda) + \lambda = 1$ . 由于對于给定的共線三点, $\lambda$ 的值 (即 $\overrightarrow{AP}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 上的投影係數) 是唯一确定的, 故 $x$ 和 $y$ 的值也是唯一确定的. 必要性與唯一性得證.

綜上, 该定理成立.

一個自然的問題是, 如果係數和不為 $1$ , 而是一個任意的常數 $k$ , 即 $x+y=k$ , 那么点 $P$ 的轨迹又将是什么呢?

我们来考察這個条件: $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ , 且 $x+y=k$ .

首先考虑特殊情况. 当 $k=0$ 时, $y=-x$ . 于是

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} - x\overrightarrow{OB} = x(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) = x\overrightarrow{BA}.

這表明向量 $\overrightarrow{OP}$ 與向量 $\overrightarrow{BA}$ 共線. 由于 $\overrightarrow{OP}$ 的起点是原点 $O$ , 故点 $P$ 的轨迹是一条經過原点 $O$ 且平行于直線 $AB$ 的直線.

接着, 我们考察 $k \neq 0$ 的一般情况. 我们的策略是通過代數變形, 将表达式整理成能够揭示其几何意義的形式. 從条件 $x+y=k$ 中, 我们可以用 $x$ 表示 $y$ , 即 $y=k-x$ . 将其代入向量表达式:

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + (k-x)\overrightarrow{OB}.

為了分离變量 $x$ 的影响, 我们将上式按 $x$ 和常數項重新组合:

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OB} - x\overrightarrow{OB} = k\overrightarrow{OB} + x(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}).

注意到括号中的項正是向量 $\overrightarrow{BA}$ , 于是

\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OB} + x\overrightarrow{BA}.

這個结構是向量几何中直線的參數方程. 為了更清晰地理解其几何轨迹, 我们可以将常數項移到等式左边:

\overrightarrow{OP} - k\overrightarrow{OB} = x\overrightarrow{BA}.

令 $B'$ 是這样一個点, 其位置向量為 $\overrightarrow{OB'} = k\overrightarrow{OB}$ . 由于 $k$ 和点 $B$ 都是固定的, 所以 $B'$ 是一個定点. 上述方程可以寫為

\overrightarrow{B'P} = x\overrightarrow{BA}.

此式的几何意義非常明确: 從定点 $B'$ 到动点 $P$ 的向量 $\overrightarrow{B'P}$ , 总是與一個固定的向量 $\overrightarrow{BA}$ 共線. 因此, 动点 $P$ 的轨迹必然是一条經過定点 $B'$ 且方向與 $\overrightarrow{BA}$ (即直線 $AB$ ) 相同的直線.

同理, 我们也可以定義一個定点 $A'$ 满足 $\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}$ , 通過消去 $x$ 而非 $y$ , 将会證明点 $P$ 的轨迹也經過 $A'$ . 因此, 当 $x+y=k$ ( $k \neq 0$ ) 时, 点 $P$ 的轨迹是一条經過点 $A'(k\overrightarrow{OA})$ 和 $B'(k\overrightarrow{OB})$ 的直線, 并且该直線平行于直線 $AB$ .

我们将這一重要结論总结如下.

等和線定理

给定平面上不共線的三点 $O, A, B$ , 對于动点 $P$ , 若其位置向量满足

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB},

则点 $P$ 的轨迹由係數和 $x+y$ 的值唯一确定:

若 $x+y=1$ , 则 $P$ 的轨迹是直線 $AB$ .
若 $x+y=k$ ( $k$ 為非零常數), 则 $P$ 的轨迹是一条經過点 $A'(k\overrightarrow{OA})$ 和 $B'(k\overrightarrow{OB})$ 的直線, 且该直線平行于 $AB$ .
若 $x+y=0$ , 则 $P$ 的轨迹是一条經過原点 $O$ 且平行于 $AB$ 的直線.

這条由係數和為常數所确定的直線, 我们称之為“等和線”.

證明

我们将分三种情况進行證明.

情况一: $x+y=1$ 此情况即為前述的“三点共線定理”, 其充分性與必要性已得到严格證明. 它是整個等和線理論的基石.
情况二: $x+y=0$ 充分性: 假设 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=0$ . 由 $x+y=0$ 可得 $y=-x$ . 将其代入向量表达式:

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} - x\overrightarrow{OB} = x(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = x\overrightarrow{BA}.

此式表明, 向量 $\overrightarrow{OP}$ 與向量 $\overrightarrow{BA}$ 共線. 由于 $\overrightarrow{OP}$ 的起点為 $O$, 故点 $P$ 必然位于那条經過原点 $O$ 且與直線 $AB$ 平行的直線上.

**必要性:** 假设点 $P$ 位于經過原点 $O$ 且平行于直線 $AB$ 的直線上.
這意味着向量 $\overrightarrow{OP}$ 與向量 $\overrightarrow{AB}$ (或 $\overrightarrow{BA}$) 共線. 因此, 存在唯一的实數 $t$ 使得:

\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{BA}.

将 $\overrightarrow{BA}$ 寫成 $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$, 我们得到:

\overrightarrow{OP} = t(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = t\overrightarrow{OA} - t\overrightarrow{OB}.

若令 $x=t$ 及 $y=-t$, 则上式符合 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 的形式.
此时係數和為 $x+y = t + (-t) = 0$. 證毕.

情况三: $x+y=k$ ( $k$ 為非零常數) 充分性: 假设 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=k$ . 我们定義点 $A'$ 為满足 $\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}$ 的定点. 我们来考察向量 $\overrightarrow{A'P}$ :

\overrightarrow{A'P} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA'} = (x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}) - k\overrightarrow{OA} = (x-k)\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}.

利用係數和条件 $x+y=k$, 我们有 $x-k = -y$. 将此關係代入:

\overrightarrow{A'P} = -y\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} = y(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = y\overrightarrow{AB}.

此式表明, 向量 $\overrightarrow{A'P}$ 與向量 $\overrightarrow{AB}$ 共線. 因為 $A'$ 是一個定点, 所以动点 $P$ 的轨迹是一条經過 $A'$ 且平行于直線 $AB$ 的直線. 類似地, 我们可以證明该直線也經過点 $B'(k\overrightarrow{OB})$.

**必要性:** 假设点 $P$ 位于經過点 $A'(k\overrightarrow{OA})$ 且平行于直線 $AB$ 的直線上.
這意味着向量 $\overrightarrow{A'P}$ 與向量 $\overrightarrow{AB}$ 共線. 因此, 存在唯一的实數 $t$ 使得:

\overrightarrow{A'P} = t\overrightarrow{AB}.

用位置向量展開上式:

\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA'} = t(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}).

解出 $\overrightarrow{OP}$:

\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA'} + t\overrightarrow{OB} - t\overrightarrow{OA}.

将 $\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}$ 代入:

\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} - t\overrightarrow{OA} = (k-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}.

若令 $x=k-t$ 及 $y=t$, 则上式符合 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 的形式.
此时係數和為 $x+y = (k-t) + t = k$. 證毕.

綜合以上三种情况, 定理得證.

這一结論極為有用, 它将一個代數条件 ( $x+y=k$ ) 和一個清晰的几何轨迹 (一条特定的直線) 對應起来, 是解决向量與几何綜合問題的有力工具.

什么？你还不知道這玩意到底是什么？下面我们從三种观点，探究下這個神奇的定理：

观点一: 仿射坐標係

我们熟悉的笛卡尔坐標係, 是由一個原点和两個相互垂直的單位向量基底構成的. 而等和線的概念, 实質上是在一個更廣義的坐標係——仿射坐標係——中進行讨論.

给定一個基点 $O$ 和两個線性无關的向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ , 它们構成了一個仿射坐標係, 记為 $(O; \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$ . 在此坐標係中, 平面上任意一点 $P$ 的位置向量 $\overrightarrow{OP}$ 都可以被唯一地表示為

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}.

這里的數對 $(x,y)$ 就是点 $P$ 在该仿射坐標係下的 仿射坐標.

從這個视角来看, 等和線定理的条件 $x+y=k$ 就變得豁然開朗. 它是在仿射坐標係下的一条線性方程. 我们知道, 在笛卡尔坐標係中, 任何形如 $ax+by=c$ 的線性方程都對應一条直線. 仿射坐標係保持了這种最基本的“線性”性質.

$x+y=1$ : 這条特殊的等和線, 即直線 $AB$ , 在仿射坐標係 $(O; \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$ 中扮演着如同笛卡尔坐標係中 $x+y=1$ 的角色, 是连接两個“單位点” $A(1,0)$ 和 $B(0,1)$ 的基准線.
$x+y=k$ : 這族方程對應的是一族互相平行的直線, 正如在笛卡尔坐標係中 $x+y=k$ 對應一族斜率為 $-1$ 的平行直線係一样.

因此, 等和線定理本質上是陈述了在向量定義的仿射坐標係中, 点的共線關係等价于其仿射坐標满足一個線性方程.

观点二: 几何變換

等和線定理也可以被理解為一种几何變換作用的结果. 具體的說, 是位似變換.

以原点 $O$ 為位似中心, 位似比為 $k$ 的位似變換, 将点 $P'$ 映射到点 $P$ , 其定義就是 $\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OP'}$ .

現在我们重新审视等和線的推導過程. 我们證明了, 如果点 $P'$ 的位置向量满足 $\overrightarrow{OP'} = x'\overrightarrow{OA} + y'\overrightarrow{OB}$ 且 $x'+y'=1$ (即 $P'$ 在直線 $AB$ 上), 那么經過位似變換后的点 $P$ , 其位置向量 $\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OP'} = kx'\overrightarrow{OA} + ky'\overrightarrow{OB}$ . 令 $x=kx'$ 及 $y=ky'$ , 则点 $P$ 的仿射坐標為 $(x,y)$ , 且其係數和為

x+y = kx' + ky' = k(x'+y') = k(1) = k.

這精确地說明了: 係數和為 $k$ 的等和線, 正是係數和為 $1$ 的基准線 (直線 $AB$ ) 在以 $O$ 為中心、比值為 $k$ 的位似變換下的像. 位似變換的一個基本性質就是将直線映射為與之平行的直線. 這就從几何變換的角度完美解释了為何所有的等和線都相互平行.

观点三: 重心坐標

對于 $\triangle OAB$ , 平面内任意一点 $P$ 都可以被唯一表示為三個顶点的線性组合:

\overrightarrow{OP} = u\overrightarrow{OA} + v\overrightarrow{OB} + w\overrightarrow{OO}, \text{其中} u+v+w=1.

由于 $\overrightarrow{OO}$ 是零向量, 上式簡化為 $\overrightarrow{OP} = u\overrightarrow{OA} + v\overrightarrow{OB}$ , 且 $u+v+w=1$ . 這里的 $(u,v,w)$ 称為点 $P$ 關于 $\triangle OAB$ 的重心坐標.

現在, 我们来重新审视条件 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ . 這可以看作是重心坐標表示中第三個係數 $w$ (對應于顶点 $O$ ) 的信息. 比较两种表示, 我们有 $u=x, v=y$ . 由重心坐標的係數和為 $1$ , 即 $u+v+w=1$ , 我们得到

x+y+w=1 \implies w = 1-(x+y).

于是, 等和線的条件 $x+y=k$ 等价于一個關于重心坐標的条件:

w = 1-k.

這也就是說, 等和線 $x+y=k$ 上所有点的重心坐標中, 對應于顶点 $O$ 的分量 $w$ 是一個常數 $1-k$ . 在重心坐標係中, 一個顶点對應的坐標分量為常數的点的轨迹, 是一条平行于该顶点對边的直線. 在這里, $w$ 是對應顶点 $O$ 的坐標, 其對边是線段 $AB$ . 因此, $w=1-k$ 所描述的点的轨迹是一条平行于直線 $AB$ 的直線.

推廣至高維

以上观点, 特别是仿射坐標與重心坐標的观点, 很容易推廣到三維乃至更高維空間. 例如在三維空間中, 给定基点 $O$ 和三個不共面的点 $A, B, C$ , 那么满足

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}, \text{且} x+y+z=k

的点 $P$ 的轨迹, 就是一個平行于平面 $ABC$ 的平面. 這正是等和線定理在高維空間中的自然推廣.

例

在 $\triangle OAB$ 中, 点 $P$ 位于平面内, 且满足 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ . 若 $\triangle OAB$ 的面積為 $1$ , 求在下列条件下点 $P$ 的轨迹.

$x+y=2$ ;
$x+2y=2$ 且 $x \ge 0, y \ge 0$ .

解

此題旨在将向量係數的代數约束, 翻译為点 $P$ 的几何轨迹.

(1) 条件為 $x+y=2$ . 根据等和線定理, 当係數和為常數 $k$ 时, 点 $P$ 的轨迹是一条平行于 $AB$ 的直線. 此处 $k=2$ . 這条直線經過点 $A'$ 和 $B'$ , 其中 $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$ 且 $\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ . 因此, 点 $P$ 的轨迹是直線 $A'B'$ .

(2) 条件為 $x+2y=2$ , 且 $x \ge 0, y \ge 0$ . 這個条件 $x+2y=2$ 并非直接的等和線形式. 我们需要通過代數變換将其化归. 關键在于将基向量進行重组, 以匹配係數的線性關係. 令 $\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ . 则原向量表达式可以改寫為

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y(2\overrightarrow{OB}) = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB'}.

現在, 表达式變為 $\overrightarrow{OP}$ 由 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB'}$ 線性表示, 而其係數 $x, y$ 满足的關係恰好是 $x+y=1$ (将 $2y$ 整體看作係數, 對應向量 $\overrightarrow{OB}$ ), 但這种看法不清晰. 修正思路: 我们希望新基向量的係數和為 $1$ . 条件是 $x+2y=2$ , 两边同除以 $2$ , 得到

\frac{x}{2} + y = 1.

這提示我们應该構造一個新基底, 使得其係數恰為 $\frac{x}{2}$ 和 $y$ .

\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + 2y\overrightarrow{OB} = \frac{x}{2}(2\overrightarrow{OA}) + y(2\overrightarrow{OB}).

令 $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ . 那么

\overrightarrow{OP} = \frac{x}{2}\overrightarrow{OA'} + y\overrightarrow{OB'}.

令 $x'=\frac{x}{2}$ 和 $y'=y$ . 则 $x'+y'=1$ . 根据三点共線定理, 点 $P$ 的轨迹是直線 $A'B'$ .

然而, 題目中还有附加条件 $x \ge 0, y \ge 0$ . $x \ge 0 \implies x' \ge 0$ . $y \ge 0 \implies y' \ge 0$ . 因此, 点 $P$ 的轨迹是係數 $x', y'$ 均非负的線段, 即線段 $A'B'$ .

這個例子說明, 任何關于係數的線性约束 $ax+by=c$, 都可以通過對基向量的伸缩變換, 转化為係數和為 $1$ 的標准形式, 從而确定其轨迹為一条直線.

例

给定 $\triangle OAB$ , 其中 $OA=OB=1$ , $\angle AOB=120^\circ$ . 点 $P$ 在平面内运动, 其位置向量 $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ . 若实數 $s, t$ 满足 $s \ge 0, t \ge 0$ 且 $1 \le s+t \le 2$ , 求点 $P$ 所形成区域的面積.

解

此題要求由向量係數的不等式约束所确定的点的轨迹区域的面積. 這是一個典型的由等和線界定区域的問題. 我们分析点 $P$ 的轨迹边界. 约束条件為 $1 \le s+t \le 2$ , 同时 $s \ge 0, t \ge 0$ .

考虑边界 $s+t=1$ . 根据等和線定理, 這對應一条直線. 又因 $s \ge 0, t \ge 0$ , 点 $P$ 的轨迹是连接点 $A(s=1,t=0)$ 和点 $B(s=0,t=1)$ 的線段 $AB$ .
考虑边界 $s+t=2$ . 根据等和線定理, 這對應另一条與 $AB$ 平行的直線. 這条直線經過点 $A'(s=2,t=0)$ 和点 $B'(s=0,t=2)$ . 其中, $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$ 且 $\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ . 同样因為 $s \ge 0, t \ge 0$ , 点 $P$ 的轨迹是连接 $A'$ 和 $B'$ 的線段 $A'B'$ .

当 $s+t$ 的值在 $[1, 2]$ 区間内连續變化时, 点 $P$ 的轨迹会扫過線段 $AB$ 與線段 $A'B'$ 之間的所有区域. 因此, 点 $P$ 所形成的区域是一個以 $A, B, B', A'$ 為顶点的梯形.

TikZ 圖 200

為求该梯形的面積, 我们可以用大三角形 $\triangle OA'B'$ 的面積减去小三角形 $\triangle OAB$ 的面積. 首先, 计算 $\triangle OAB$ 的面積:

S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}.

$\triangle OA'B'$ 是 $\triangle OAB$ 以 $O$ 為中心, 位似比為 $2$ 的放大圖形. 它的边长 $OA'=2, OB'=2$ , 夹角不變. 其面積為:

S_{\triangle OA'B'} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA'}| |\overrightarrow{OB'}| \sin(\angle A'OB') = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(120^\circ) = \sqrt{3}.

或者, 利用面積的位似性質:

S_{\triangle OA'B'} = 2^2 \cdot S_{\triangle OAB} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}.

因此, 梯形 $ABB'A'$ 的面積為

S_{\text{梯形}} = S_{\triangle OA'B'} - S_{\triangle OAB} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}.

奔驰定理

我们已經探讨了由两個基向量線性组合所定義的点的轨迹. 一個自然而然的推廣是: 對于三角形的三個顶点, 它们的向量之和具有怎样的几何意義? 答案揭示了三角形一個基本中心——重心的深刻向量性質.

重心向量定理

對于平面上任意 $\triangle ABC$ 及其重心 $G$ , 以下两個向量恒等式成立:

對于任意選定的基点 $O$ , 顶点的位置向量之和等于重心位置向量的三倍:

\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}.

對于平面上任意一点 $P$ , 從该点出發到三個顶点的向量之和等于到重心向量的三倍:

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{PG}.

證明

我们将從重心的基本几何性質出發, 即重心是中線的交点, 且按 $2:1$ 的比例分割中線, 来推導這两個恒等式.

**1. 證明 $\overrightarrow{OA** + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ }

设 $M$ 為边 $BC$ 的中点. 根据中点向量公式, 對于任意選定的基点 $O$ , 点 $M$ 的位置向量 $\overrightarrow{OM}$ 可以表示為:

\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}).

重心 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的三条中線的交点. 特别地, $G$ 位于中線 $AM$ 上. 由重心的性質可知, 点 $G$ 将中線 $AM$ 分成两段, 且满足比例關係 $AG:GM = 2:1$ .

我们可以利用定比分点公式来表示点 $G$ 的位置向量 $\overrightarrow{OG}$ . 因為 $G$ 在線段 $AM$ 上, 且 $AG:GM=2:1$ , 我们可以将 $\overrightarrow{OG}$ 表示為 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OM}$ 的線性组合:

\overrightarrow{OG} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OM}}{1+2} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OM}).

現在, 将 $\overrightarrow{OM}$ 的表达式 $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ 代入上式:

\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA} + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\right)\right).

化簡括号内的表达式, 我们得到:

\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}).

将等式两边同乘以 $3$ , 便得到了第一個恒等式:

3\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}.

此式的成立不依赖于基点 $O$ 的選择, 故對任意点 $O$ 均成立.

**2. 證明 $\overrightarrow{PA** + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{PG}$ }

此恒等式可以巧妙地通過更換基点由第一個恒等式導出, 這體現了向量运算的优越性. 在第一個恒等式中, 基点 $O$ 是任意的. 我们可以将這個任意点 $O$ 替換為点 $P$ . 于是, 恒等式變為:

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{PG}.

這种方法虽然簡洁, 但為了更清晰地展示推導過程, 我们也可以從向量的减法出發進行證明. 對于任意点 $P$ , 我们可以将從 $P$ 出發的向量分解為經過基点 $O$ 的路径:

\begin{aligned} \overrightarrow{PA} &= \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} \overrightarrow{PB} &= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP} \overrightarrow{PC} &= \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP} \end{aligned}

将這三個向量表达式相加:

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) - 3\overrightarrow{OP}.

利用我们已經證明的第一個恒等式 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ , 将其代入上式:

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{OG} - 3\overrightarrow{OP}.

提取公因子 $3$ :

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3(\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OP}).

根据向量减法的定義, $\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OP}$ 正是向量 $\overrightarrow{PG}$ . 因此,

\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 3\overrightarrow{PG}.

至此, 定理的两個形式均已得證.

這個定理, 尤其是它的一個重要推論, 在几何學中被赋予了一個形象的名称——奔驰定理.

定理的几何形象與名称由来

若我们将基点 $O$ 選為重心 $G$ 本身, 那么定理的第一個恒等式就變為

\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{GG} = \overrightarrow{0}.

這個簡洁而深刻的结論 $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ 是奔驰定理的核心. 它表明, 如果将三個從重心出發指向顶点的向量首尾相接, 它们将構成一個封闭的三角形. 而如果将這三個向量的起点都置于重心 $G$ , 它们会形成一個完美的力的平衡, 指向三個方向. 這三個向量構成的 Y 形结構, 與梅赛德斯-奔驰的標志惊人地相似, 定理因此得名. 這也從物理學的角度诠释了重心作為“質量中心”的本質.

奔驰定理是处理涉及重心問題时的一個基礎出發点. 它将三個顶点的信息优雅地“平均”或“集中”到了重心這一点上, 極大地簡化了许多複杂的向量關係.

二次和的最小值與斯坦纳定理

奔驰定理揭示了從任意点到三角形三顶点向量之和的簡洁性質. 一個自然延伸的問題是: 從平面上哪一点出發, 到三顶点的距离平方和最小? 這個問題在几何、物理 (力矩) 和统计 (方差) 中都有着重要的應用. 其答案由如下的斯坦纳定理或称莱布尼茨公式给出.

向量的斯坦纳定理

對于平面上任意 $\triangle ABC$ , 其重心為 $G$ . 對于平面上任意一点 $P$ , 以下恒等式成立:

PA^2 + PB^2 + PC^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2.

或者用向量模长的形式寫作:

||\overrightarrow{PA}||^2 + ||\overrightarrow{PB}||^2 + ||\overrightarrow{PC}||^2 = ||\overrightarrow{GA}||^2 + ||\overrightarrow{GB}||^2 + ||\overrightarrow{GC}||^2 + 3||\overrightarrow{PG}||^2.

這個恒等式揭示了一個优美的结構: 從任意点 $P$ 出發的距离平方和, 等于一個不依赖于 $P$ 的常數 (即從重心 $G$ 出發的距离平方和), 加上一個正比于 $P$ 到重心 $G$ 距离平方的變量. 這在物理學中, 與質点係的转动惯量中的平行轴定理具有完全相同的數學形式.

證明

此定理的證明是奔驰定理的一個直接且精彩的應用. 我们的出發点是将所有與动点 $P$ 相關的向量, 都通過重心 $G$ 這個“不动点”進行分解. 對于向量 $\overrightarrow{PA}$ , 我们可以插入点 $G$ , 得到路径 $P \to G \to A$ :

\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GA}.

接着, 我们计算其模长的平方:

\begin{aligned} ||\overrightarrow{PA}||^2 &= (\overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GA}) \cdot (\overrightarrow{PG} + \overrightarrow{GA}) &= ||\overrightarrow{PG}||^2 + 2(\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GA}) + ||\overrightarrow{GA}||^2. \end{aligned}

同理, 我们可以得到關于点 $B$ 和 $C$ 的表达式:

\begin{aligned} ||\overrightarrow{PB}||^2 &= ||\overrightarrow{PG}||^2 + 2(\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GB}) + ||\overrightarrow{GB}||^2, ||\overrightarrow{PC}||^2 &= ||\overrightarrow{PG}||^2 + 2(\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GC}) + ||\overrightarrow{GC}||^2. \end{aligned}

将這三個等式相加, 得到我们關心的距离平方和:

\begin{aligned} ||\overrightarrow{PA}||^2 + ||\overrightarrow{PB}||^2 + ||\overrightarrow{PC}||^2 = & \left( 3||\overrightarrow{PG}||^2 \right) &+ \left( ||\overrightarrow{GA}||^2 + ||\overrightarrow{GB}||^2 + ||\overrightarrow{GC}||^2 \right) &+ 2(\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{GC}). \end{aligned}

利用數量積的分配律, 我们可以将最后一項中的公因子 $\overrightarrow{PG}$ 提取出来:

2\overrightarrow{PG} \cdot (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}).

此时, 奔驰定理的核心结論 $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ 發挥了决定性作用. 上述交叉項因此變為

2\overrightarrow{PG} \cdot \overrightarrow{0} = 0.

于是, 总和的表达式中交叉項消失, 化簡為:

||\overrightarrow{PA}||^2 + ||\overrightarrow{PB}||^2 + ||\overrightarrow{PC}||^2 = 3||\overrightarrow{PG}||^2 + ||\overrightarrow{GA}||^2 + ||\overrightarrow{GB}||^2 + ||\overrightarrow{GC}||^2.

這便完成了恒等式的證明.

推論

在平面上, 使得與 $\triangle ABC$ 三個顶点的距离平方和 $PA^2+PB^2+PC^2$ 取得最小值的点 $P$ , 唯一地是该三角形的重心 $G$ .

證明

根据斯坦纳定理的恒等式, 表达式 $PA^2+PB^2+PC^2$ 由两部分構成. 第一部分, $GA^2+GB^2+GC^2$ , 對于一個给定的三角形, 是一個确定的常數. 第二部分, $3PG^2$ , 是唯一與动点 $P$ 位置相關的變量. 由于模长的平方 $PG^2$ 总是非负的, 即 $PG^2 \ge 0$ , 那么 $3PG^2$ 的最小值显然為 $0$ . 這個最小值在且僅在 $P$ 與 $G$ 重合时 ( $P=G$ ) 取得. 因此, 总和在点 $P=G$ 时达到其最小值, 最小值為 $GA^2+GB^2+GC^2$ .

對角線數量積定理

在深入研究了三角形的向量性質后, 我们自然地将目光转向更為複杂的四边形. 一個基本的問題是: 四边形的四条边长與其两条對角線的长度和方向之間, 是否存在着某种确定的代數關係? 答案是肯定的, 并且這個關係由一個關于對角線向量數量積的簡洁恒等式所刻画.

定理

對于平面上任意一個四边形 $ABCD$ , 其边长與對角線向量的數量積满足如下關係:

2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}) = (AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2).

该恒等式表明, 對角線向量的數量積等于两组對边长度平方和之差的一半.

證明

此定理的證明是向量代數处理几何問題的典范. 其核心策略是引入一個任意的基点 (原点) $O$ , 将所有几何量 (边长和對角線) 用相對于 $O$ 的位置向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}$ 来表示, 從而将几何問題彻底转化為代數恒等式的验證.

令 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}, \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$ . 我们從恒等式右侧的边长平方和之差入手進行计算.

\begin{aligned} (AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2) &= (||\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}||^2 + ||\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}||^2) - (||\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}||^2 + ||\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}||^2) &= \left( (\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}) \right) & - \left( (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}) \right). \end{aligned}

我们将所有模长平方展開:

\begin{aligned} = & \; (||\overrightarrow{d}||^2 - 2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d} + ||\overrightarrow{a}||^2 + ||\overrightarrow{c}||^2 - 2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + ||\overrightarrow{b}||^2) & - (||\overrightarrow{b}||^2 - 2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + ||\overrightarrow{a}||^2 + ||\overrightarrow{d}||^2 - 2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d} + ||\overrightarrow{c}||^2). \end{aligned}

展開并移除括号后, 所有的模长平方項 $||\overrightarrow{a}||^2, ||\overrightarrow{b}||^2, ||\overrightarrow{c}||^2, ||\overrightarrow{d}||^2$ 都相互抵消. 剩下的項為:

= -2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d} - 2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}.

提取公因子 $2$ , 并重新组合這些項, 以便進行因式分解:

\begin{aligned} &= 2( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + \overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d} ) &= 2( \overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}) - \overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}) ) &= 2( (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}) ). \end{aligned}

最后, 我们将位置向量的差还原為几何向量: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$ . $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{BD}$ . 于是, 最终的表达式為:

2( (-\overrightarrow{AC}) \cdot (-\overrightarrow{BD}) ) = 2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}).

這就證明了 $(AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2) = 2(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD})$ . \qed

這個定理不僅形式优美, 更重要的是它引出了一条關于對角線垂直的深刻几何性質.

正交對角線定理

一個四边形的两条對角線相互垂直的充要条件是, 其两组對边的长度平方和相等. 即,

AC \perp BD \iff AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2.

證明

根据向量的性質, 两条對角線 $AC$ 與 $BD$ 相互垂直, 等价于它们的向量數量積為零, 即 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ . 将此条件代入我们刚刚證明的對角線數量積定理:

2(0) = (AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2).

0 = (AD^2 + BC^2) - (AB^2 + CD^2).

移項即得:

AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2.

由于推導過程中的每一步都是可逆的, 因此该条件的充分性與必要性均成立.

這個推論在解决有關筝形、菱形以及其他對角線垂直的四边形問題时, 提供了一個極其强大的边长關係判据.

直線與圓

{/* label: sec:ch12-s03 */}

在建立了向量的代數體係之后, 我们便拥有了描述几何對象的有力工具. 此前, 几何對象的描述依赖于公理和逻辑演绎, 而解析几何的核心思想, 则是為几何對象赋予代數方程, 從而将對“形”的研究转化為對“數”的运算. 我们将從最基本的几何圖形——直線與圓——開始這一進程.

直線的方程

一条直線, 在欧几里得的观念中是“没有宽度、无限延伸的长度”. 如何用代數語言精确地捕捉這一概念? 我们可以從不同的几何约束出發, 得到形式各异但本質相同的方程.

描述直線方向最直观的量是其倾斜程度.

倾斜角與斜率

在平面直角坐標係中, 對于一条與 $x$ 轴相交的直線 $l$ , 我们把 $x$ 轴正向绕着交点逆时针旋转到與直線 $l$ 重合时所转過的最小正角 $\alpha$ 称為该直線的倾斜角. 倾斜角的取值范围是 $[0, \pi)$ . 当 $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$ 时, 倾斜角 $\alpha$ 的正切值 $\tan\alpha$ 称為该直線的斜率, 记作 $m$ .

注意到, 当直線與 $x$ 轴平行时, $\alpha=0, m=0$ . 当直線與 $x$ 轴垂直时, $\alpha=\frac{\pi}{2}$ , 其斜率不存在.

斜率的本質是直線在竖直方向上的變化量與水平方向上的變化量之比, 并且這個比值對于直線上任意两点的選取都是不變的. 设直線 $l$ 的斜率為 $m$ , 且經過一個定点 $P_0(x_0, y_0)$ . 對于直線上异于 $P_0$ 的任意一点 $P(x,y)$ , 我们有

m = \frac{y-y_0}{x-x_0}

整理此式, 即得直線的点斜式方程:

y - y_0 = m(x - x_0)

此方程清晰地揭示了由“一点” $(x_0,y_0)$ 和“一斜率” $m$ 确定一条直線的事实.

若已知的定点是直線與 $y$ 轴的交点 $(0, b)$ , 我们称 $b$ 為直線在 $y$ 轴上的截距. 将该点坐標代入点斜式方程, 得到 $y-b=m(x-0)$ , 化簡即得直線的斜截式方程:

y = mx+b

這是将函數思想與几何圖形结合最紧密的方程形式.

“過两点有且只有一条直線”是基本的几何公理. 设已知直線上两点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ , 其中 $x_1 \neq x_2$ 且 $y_1 \neq y_2$ . 首先, 我们可以确定该直線的斜率:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

接着, 以 $P_1(x_1, y_1)$ 為定点, 利用点斜式方程, 可得

y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)

将此式變形, 得到更具對称性的两点式方程:

\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}

若已知的两点恰好是直線與坐標轴的两個交点, 即 $x$ 截距点 $(a,0)$ 和 $y$ 截距点 $(0,b)$ , 其中 $a, b$ 均非零. 将 $x_1=a, y_1=0$ 和 $x_2=0, y_2=b$ 代入两点式方程:

\frac{y - 0}{b - 0} = \frac{x - a}{0 - a}

\frac{y}{b} = \frac{x-a}{-a} = -\frac{x}{a} + 1

整理即得直線的截距式方程:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

上述各种方程形式直观地反映了直線的几何要素, 但它们都存在局限性, 例如点斜式和斜截式不能表示垂直于 $x$ 轴的直線, 而截距式不能表示過原点或與坐標轴平行的直線. 我们需要一种能够涵蓋所有情况的普适形式.

将任意一种形式的方程移項整理, 都可以化為 $Ax+By+C=0$ 的形式. 例如, 点斜式 $y-y_0=m(x-x_0)$ 可化為 $mx-y+(y_0-mx_0)=0$ . 這启發我们定義直線的一般式方程:

Ax+By+C=0 (A,B \text{不全為零})

当 $B\neq0$ , 方程可化為 $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ , 即斜截式. 当 $B=0$ , 由于 $A,B$ 不全為零, 必有 $A \neq 0$ , 方程化為 $x = -\frac{C}{A}$ , 這正是一条垂直于 $x$ 轴的直線. 因此, 一般式方程囊括了平面内所有直線.

為了更深刻地理解直線方程的内在结構, 我们回归到向量的视角. 一条直線 $l$ 可以由其上一点 $P_0$ 和一個方向向量 $\overrightarrow{d}$ 唯一确定. 對于直線上任意一点 $P$ , 向量 $\overrightarrow{P_0P}$ 與 $\overrightarrow{d}$ 共線. 设 $O$ 為原点, $P_0, P$ 的位置向量分别為 $\overrightarrow{p_0}, \overrightarrow{p}$ , 则 $\overrightarrow{P_0P} = \overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0}$ . 于是存在实數 $t$ 使得 $\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0} = t\overrightarrow{d}$ . 此即直線的向量參數方程:

\overrightarrow{p} = \overrightarrow{p_0} + t\overrightarrow{d}, t \in \mathbb{R}

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：直線的向量參數表示

在笛卡尔坐標係下, 设 $\overrightarrow{p}=(x,y), \overrightarrow{p_0}=(x_0,y_0), \overrightarrow{d}=(a,b)$ . 向量方程等价于坐標表示的參數方程:

\begin{cases} x = x_0 + at y = y_0 + bt \end{cases} (t \in \mathbb{R})

若 $a, b$ 均不為零, 消去參數 $t$ 可得 $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b}$ , 這被称為對称式方程, 整理即得 $b(x-x_0)-a(y-y_0)=0$ , 也就是 $bx-ay+(ay_0-bx_0)=0$ . 這正是 $Ax+By+C=0$ 的形式, 其中 $A=b, B=-a, C=ay_0-bx_0$ .

此外, 直線的方向亦可由一個與之垂直的法向量 $\overrightarrow{n}$ 确定. 设直線過点 $P_0$ , 法向量為 $\overrightarrow{n}$ . 對線上任意点 $P$ , 向量 $\overrightarrow{P_0P}$ 恒與 $\overrightarrow{n}$ 正交, 故其數量積為零.

\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0 \text{或} \overrightarrow{n} \cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0})=0

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：直線的法向量表示法

设 $\overrightarrow{n}=(A,B), \overrightarrow{p}=(x,y), \overrightarrow{p_0}=(x_0,y_0)$ , 上述点法式方程展開為 $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ , 即 $Ax+By-(Ax_0+By_0)=0$ . 令 $C=-(Ax_0+By_0)$ , 這又一次導出了直線的一般形式 $Ax+By+C=0$ . 這一推導揭示了一個至關重要的事实: **在直線的一般式方程 $Ax+By+C=0$ 中, 係數 $A$ 和 $B$ 恰好構成该直線的一個法向量 $\overrightarrow{n**=(A,B)$ }.

圓的方程

圓是继直線之后最簡單、最完美的曲線. 其定義蕴含着一种纯粹的對称性.

圓

平面内到一個定点 $C$ 的距离等于一個定长 $R$ 的所有点 $P$ 的集合, 称為圓. 定点 $C$ 称為圓心, 定长 $R$ 称為半径.

圓的標准方程

這一定義可以直接翻译為代數語言. 引入笛卡尔坐標係, 设圓心 $C$ 的坐標為 $(h,k)$ , 圓上任意一点 $P$ 的坐標為 $(x,y)$ , 半径為 $R\>0$ . 根据平面上两点間的距离公式, "点 $P$ 到点 $C$ 的距离為 $R$ " 可以表示為:

\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = R

由于距离 $R$ 是非负的, 我们可以對等式两边進行平方, 得到一個等价的、形式更簡洁的方程, 此即圓的標准方程:

(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2

此方程直观地展現了圓的三個几何要素: 圓心横坐標 $h$ , 纵坐標 $k$ 和半径 $R$ . 特别地, 当圓心在原点 $(0,0)$ 时, 方程簡化為 $x^2+y^2=R^2$ .

從向量的角度看, 设圓心 $C$ 和圓上一点 $P$ 的位置向量分别為 $\overrightarrow{c}$ 和 $\overrightarrow{p}$ . 定義 $|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}|=R$ 即為圓的向量方程. 這也等价于 $(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}) = R^2$ , 它與坐標形式的方程是完全一致的.

圓的一般方程

将圓的標准方程 $(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$ 展開:

x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 - R^2 = 0

整理后, 方程具有以下形式:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

其中 $D=-2h, E=-2k, F=h^2+k^2-R^2$ . 這被称為圓的一般方程. 其特点是:

$x^2$ 和 $y^2$ 的係數相同, 且通常化為 $1$ .
不含 $xy$ 這样的交叉項.

一個自然的問題是: 是否任何形如 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的方程都表示一個圓? 換言之, 给定一组係數 $D, E, F$ , 我们能否找到對應的圓心 $(h,k)$ 和半径 $R$ , 使得该方程與某個圓的標准方程等价?

為了回答這個問題, 我们采用配方法, 试圖将一般方程还原為標准形式. 配方的核心思想是, 将二次項和一次項组合成一個完全平方項, 使得方程的结構更加清晰.

\begin{aligned} x^2 + y^2 + Dx + Ey + F &= 0 (x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) &= -F \end{aligned}

為了配方, 我们需要在 $(x^2 + Dx)$ 中加上 $(\frac{D}{2})^2 = \frac{D^2}{4}$ , 在 $(y^2 + Ey)$ 中加上 $(\frac{E}{2})^2 = \frac{E^2}{4}$ . 為了保證等式依然成立, 我们需要在方程的右侧也加上相應的項:

\begin{aligned} \left(x^2 + Dx + \frac{D^2}{4}\right) + \left(y^2 + Ey + \frac{E^2}{4}\right) &= -F + \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 &= \frac{D^2+E^2-4F}{4} \end{aligned}

方程的左侧是两個完全平方項的和, 形式上已經非常接近圓的標准方程. 為了使形式完全一致, 我们将方程右侧的表达式记作 $\frac{\Delta_c}{4}$ , 其中 $\Delta_c = D^2+E^2-4F$ .

\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{\Delta_c}{4}

進一步變形, 得到

\left(x - \left(-\frac{D}{2}\right)\right)^2 + \left(y - \left(-\frac{E}{2}\right)\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{\Delta_c}}{2}\right)^2

我们可以清晰地看到, 方程的几何意義完全取决于 $\Delta_c$ 的符号:

若 $\Delta_c \> 0$ : 此时, $\frac{\sqrt{\Delta_c}}{2}$ 是一個正实數, 可以作為圓的半径 $R$ . 方程表示一個圓心為 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$ , 半径為 $R=\frac{\sqrt{\Delta_c}}{2}$ 的圓. 這意味着, 当且僅当 $D^2 + E^2 \> 4F$ 时, 一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 才表示一個真正的圓.
若 $\Delta_c = 0$ : 此时, 方程變為

\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = 0

由于任何实數的平方都是非负的, 两個非负數的和為零, 意味着它们必须同时為零. 因此, $x = -\frac{D}{2}$ 且 $y = -\frac{E}{2}$ . 方程只有一個解, 表示一個点 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$ . 我们可以将這個点视為半径為 $0$ 的退化圓，即圓心與圓周重合.

若 $\Delta_c \< 0$ : 此时, 方程變為

\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{\Delta_c}{4} \< 0

由于任何实數的平方都是非负的, 两個非负數的和也必然是非负的. 因此, 方程的左侧恒為非负, 而右侧為负數. 這意味着，不存在任何实數 $x$ 和 $y$ 能够满足该方程.因此，方程没有实數解, 不表示任何几何圖形.

一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 只有在满足条件 $D^2 + E^2 \> 4F$ 时, 才表示一個圓.此时, 圓心為 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$ , 半径為 $\frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$ .

直線與圓的位置關係

研究直線與圓的位置關係, 实質上是研究它们的方程所構成的方程组的解的情况. 设直線 $l: Ax+By+C=0$ 與圓 $C: (x-h)^2+(y-k)^2=R^2$ . 從代數角度看, 我们可以联立這两個方程, 消去一個變量 (例如 $y$ ), 得到一個關于另一個變量 (例如 $x$ ) 的一元二次方程. 该二次方程的判别式 $\Delta$ 的符号决定了交点的個數: $\Delta\>0$ 對應两交点(相交), $\Delta=0$ 對應一交点(相切), $\Delta\<0$ 對應无交点(相离).

然而, 這种纯代數的方法往往计算繁琐, 且掩蓋了問題内在的几何结構. 一种更优雅、更具洞察力的判别方法是比较圓心到直線的距离與半径的大小.

点到直線的距离

我们需要一個公式来计算点 $P_0(x_0, y_0)$ 到直線 $l: Ax+By+C=0$ 的距离 $d$ . 设 $P_1(x_1, y_1)$ 是直線 $l$ 上任意一点. 我们要求的是向量 $\overrightarrow{P_1P_0}$ 在直線法向量 $\overrightarrow{n}=(A,B)$ 方向上的投影的长度.

這個投影的长度 $d$ 就是 $P_0$ 到直線 $l$ 的距离. 根据向量投影的公式:

d = \frac{|\overrightarrow{P_1P_0} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}

将坐標代入: $\overrightarrow{P_1P_0} = (x_0-x_1, y_0-y_1)$ , $\overrightarrow{n}=(A,B)$ .

d = \frac{|A(x_0-x_1) + B(y_0-y_1)|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|Ax_0+By_0 - (Ax_1+By_1)|}{\sqrt{A^2+B^2}}

由于点 $P_1(x_1,y_1)$ 在直線 $l$ 上, 它的坐標满足直線方程, 即 $Ax_1+By_1+C=0$ , 從而 $Ax_1+By_1 = -C$ . 代入上式, 即得点到直線的距离公式.

点到直線的距离

点 $P_0(x_0, y_0)$ 到直線 $l: Ax+By+C=0$ 的距离為

d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

几何判别法

设圓 $C$ 的圓心為 $C$ , 半径為 $R$ . 设直線為 $l$ . 我们考察圓心 $C$ 到直線 $l$ 的距离, 记為 $d$ . 设 $H$ 是從 $C$ 到 $l$ 的垂足, 那么根据定義, $d = |CH|$ . 接着考虑直線上任意一点 $P$ . 点 $P$ 是直線與圓的公共点, 当且僅当点 $P$ 到圓心 $C$ 的距离為 $R$ , 即 $|CP|=R$ .

在直角三角形 $\triangle CHP$ 中 (若 $P$ 與 $H$ 不重合), 根据勾股定理, 我们有:

|CP|^2 = |CH|^2 + |HP|^2

代入 $d$ 和 $R$ 的定義, 我们寻求满足下式的点 $P$ :

R^2 = d^2 + |HP|^2

這個方程是连接代數關係與几何直观的桥梁. 我们可以通過分析此方程解的存在性来判断公共点的個數. 将方程變形為:

|HP|^2 = R^2 - d^2

方程的解, 即点 $P$ 的位置, 取决于線段 $HP$ 的长度 $|HP|$ , 而 $|HP|$ 的值则完全由 $R^2 - d^2$ 的符号决定.

若 $d \< R$ , 则 $d^2 \< R^2$ , 從而 $R^2 - d^2 \> 0$ . 此时, 方程 $|HP|^2 = R^2 - d^2$ 有唯一正实數解 $|HP| = \sqrt{R^2 - d^2}$ . 這意味着在直線 $l$ 上, 存在两個關于垂足 $H$ 對称的点 $P_1$ 和 $P_2$ , 使得它们到 $H$ 的距离等于這個正值. 這两個点 $P_1, P_2$ 均满足 $|CP_1|=|CP_2|=R$ , 故它们是直線上僅有的两個在圓上的点. 因此, 直線與圓相交, 有两個公共点. 此时直線称為圓的割線.
若 $d = R$ , 则 $d^2 = R^2$ , 從而 $R^2 - d^2 = 0$ . 此时, 方程變為 $|HP|^2=0$ , 其唯一解為 $|HP|=0$ . 這意味着点 $P$ 必须與垂足 $H$ 重合. 因此, 直線與圓有且僅有一個公共点, 即垂足 $H$ . 此时直線與圓相切, 该公共点称為切点.
若 $d \> R$ , 则 $d^2 \> R^2$ , 從而 $R^2 - d^2 \< 0$ . 此时, 方程 $|HP|^2 = R^2-d^2$ 的右侧為负數. 由于任何实數的平方都不可能為负, 该方程没有实數解. 這意味着在直線 $l$ 上不存在任何点 $P$ 能够满足 $|CP|=R$ . 因此, 直線與圓相离, 没有公共点.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：直線與圓的三种位置關係及其几何判定

圓的切線

切線是位置關係中的临界状态, 具有优美的几何性質. 注意到当直線與圓相切时, 圓心到直線的距离等于半径, 且這段距离本身就是由圓心到切点的半径. 這意味着, 過切点的半径所在的直線與切線垂直.

這個性質為我们提供了一种求切線方程的强大方法. 设圓的標准方程為 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$ , 切点為 $P_0(x_0, y_0)$ . 向量 $\overrightarrow{CP_0} = (x_0-h, y_0-k)$ 就是切線的一個法向量. 根据直線的点法式方程, 切線方程為

(x_0-h)(x-x_0) + (y_0-k)(y-y_0) = 0

為了得到一個更具對称性的形式, 我们對上式進行代數變換:

(x_0-h)(x-h - (x_0-h)) + (y_0-k)(y-k - (y_0-k)) = 0

(x_0-h)(x-h) - (x_0-h)^2 + (y_0-k)(y-k) - (y_0-k)^2 = 0

移項得到

(x_0-h)(x-h) + (y_0-k)(y-k) = (x_0-h)^2 + (y_0-k)^2

由于点 $P_0(x_0,y_0)$ 在圓上, 它满足圓的方程, 即 $(x_0-h)^2 + (y_0-k)^2 = R^2$ . 于是, 我们得到了圓的切線方程的標准形式:

(x_0-h)(x-h) + (y_0-k)(y-k) = R^2

這個形式的优美之处在于, 它是将圓的標准方程 $(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$ 中的一個 $(x-h)$ 和一個 $(y-k)$ 分别替換為 $(x_0-h)$ 和 $(y_0-k)$ 得到的, 這种代換模式在解析几何的其他二次曲線的切線問題中也普遍存在, 具有深刻的代數根源.

線性规划初步*

{/* label: sec:ch12-s04 */}

在前面的章节中, 我们运用解析几何的工具来描述和分析确定的几何圖形. 接着我们将视野转向一個更具动态和决策性的领域: 如何在给定的限制条件下, 做出最优的選择? 這便是运筹學的核心問題, 而線性规划则是解决此類問題最基本且最强大的數學工具之一.

從本質上讲, 線性规划是一种數學建模技术, 用于解决資源分配的最优化問題. 几乎所有组织，无論是商业公司, 政府机構, 还是非营利组织——都面临着一個共同的挑战: 在資源 (如資金, 原材料, 人力, 时間) 有限的情况下, 如何实現某個目標的最大化 (如利润, 效率, 社会福利) 或最小化 (如成本, 风险, 資源消耗).

一個問題能够被構建為線性规划模型, 必须具備三個核心的數學要素:

目標函數: 一個需要被最优化的量, 并且這個量可以表示為决策變量的線性函數. “線性”意味着變量之間的關係是成比例的, 例如, 生产两倍的产品会获得两倍的利润.
决策變量: 一组我们可以控制的變量, 它们的取值共同構成一個决策方案. 例如, 生产線上各种产品的产量, 或投資组合中各項資产的金额.
约束条件: 一係列描述决策變量必须满足的限制条件的線性等式或不等式. 它们反映了現实世界中資源的稀缺性或规则的限制.

因此, 線性规划的宏观定義是: 在一组線性约束条件下, 寻找一组决策變量的值, 使得一個線性目標函數达到最优 (最大或最小) 的數學方法.

經济學中的資源优化問題

線性规划的思想與經济學的基本原则——研究稀缺資源如何有效配置——不谋而合. 因此, 它在經济學领域得到了極其廣泛和深刻的應用. 让我们通過一個經典的生产计划問題 来具體阐释.

设想一個企业, 它利用有限的資源 (如劳动力, 机器工时, 原材料) 来生产多种产品. 企业的目標是制定一個生产计划, 也就是决定每种产品的产量, 以实現总利润的最大化.

决策變量: 设企业生产 $n$ 种产品, 對應的产量分别為 $x_1, x_2, ..., x_n$ . 這就是企业需要决定的方案.
目標函數: 每种产品 $i$ 都有一個單位利润 $c_i$ . 企业的总利润 $Z$ 就是所有产品利润的总和, 即 $Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n$ . 這是一個典型的線性函數, 企业的目標是 $\max Z$ .
约束条件: 生产過程受到多种資源的限制. 假设有 $m$ 种資源. \begin{itemize}
對于第 $j$ 种資源 (例如, 钢材), 其总供應量是有限的, 设為 $b_j$ .
生产每單位的第 $i$ 种产品, 需要消耗 $a_{ji}$ 個單位的第 $j$ 种資源.
因此, 對第 $j$ 种資源的总消耗量不能超過其总供應量, 這就構成了一条線性不等式约束:

a_{j1}x_1 + a_{j2}x_2 + ... + a_{jn}x_n \le b_j

企业有多少种資源限制, 就会有多少条這样的约束.

此外, 产量不能為负, 這構成了非负约束: $x_i \ge 0$ 對所有 $i$ 成立.

\end{itemize} 通過這样的建模過程, 一個複杂的企业生产决策問題, 被清晰地转化為一個標准的線性规划數學模型.

除了生产计划, 線性规划在經济學中还有诸多其他應用, 例如:

运输問題: 如何安排從多個产地到多個销地的货物运输方案, 以最低的总运输成本满足所有销地的需求.
投資组合選择: 在預算和风险承受能力的约束下, 如何分配資金到不同的金融資产 (股票, 债券等), 以最大化預期回报.
营养學問題 (饮食問題): 如何從多种食物中進行搭配, 以最低的成本满足人體每日對各种营养素 (維生素, 蛋白質等) 的最低需求. 這是最早被研究的線性规划問題之一.

在所有這些场景中, 線性规划都提供了一個强大而係统的框架, 将現实世界的优化問題转化為一個结構清晰, 并且存在有效求解算法的數學問題. 接下来, 我们将探讨如何利用解析几何的知识, 来求解這類問題.

線性规划問題的數學模型

我们将通過一個具體問題来引入線性规划的數學结構.

例

一個工坊生产两种产品, 产品A和产品B.

每生产一件产品A, 需要2個單位的原料甲和1個單位的原料乙, 可获利3万元.
每生产一件产品B, 需要1個單位的原料甲和2個單位的原料乙, 可获利4万元.

工坊每日可用的原料甲总量為8個單位, 原料乙总量為7個單位. 問每日應如何安排两种产品的生产件數, 才能获得最大利润?

要将此問題數學化, 我们需要确定三個核心要素:

决策變量: 這是我们需要决定的未知量. 在本例中, 设每日生产产品A為 $x$ 件, 产品B為 $y$ 件.
约束条件: 這是决策變量必须满足的限制, 通常由一係列線性等式或不等式表示.

生产件數不能為负: $x \ge 0, y \ge 0$ .
原料甲的限制: $2x + y \le 8$ .
原料乙的限制: $x + 2y \le 7$ .

目標函數: 這是一個關于决策變量的線性函數, 我们希望将其最大化或最小化. 在本例中, 目標是最大化总利润 $z$ , 即 $z = 3x + 4y$ .

綜上, 该問題被抽象為一個標准的二維線性规划模型:

\begin{aligned} \text{最大化} & z = 3x+4y \text{满足约束} & \begin{cases} 2x+y \le 8 x+2y \le 7 x \ge 0 y \ge 0 \end{cases} \end{aligned}

可行域與圖解法

對于二維線性规划問題, 我们可以借助解析几何的工具, 将整個优化過程转化為一個直观的几何搜寻任务. 這种方法被称為圖解法, 其原理建立在對约束条件和目標函數的几何解释之上.

约束条件组中的每一個線性不等式, 如 $ax+by \le c$ , 都将笛卡尔平面分割為两部分: 满足条件的点構成的闭半平面和不满足条件的点構成的開半平面. 所有约束条件所對應的闭半平面的公共交集, 構成了所有可行解 $(x,y)$ 的集合. 我们称這個几何区域為可行域. 在二維平面上, 只要可行域有界, 它必然是一個凸多边形. 凸性意味着连接区域内任意两点的線段完全位于该区域之内.

對于我们的生产计划問題, 可行域由以下四個半平面交织而成: $x \ge 0$ (y轴右侧), $y \ge 0$ (x轴上方), $2x+y \le 8$ (直線 $2x+y=8$ 左下方), 以及 $x+2y \le 7$ (直線 $x+2y=7$ 左下方). \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：由约束条件構成的凸多边形可行域

接着, 我们考察目標函數 $z = 3x+4y$ . 這個方程可以改寫為斜截式:

y = -\frac{3}{4}x + \frac{z}{4}

對于任意一個特定的利润值 $z_0$ , 方程 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{z_0}{4}$ 都代表一条斜率為 $-\frac{3}{4}$ 的直線. 当 $z$ 的值连續變化时, 我们得到的是一族斜率相同但 $y$ 轴截距 $\frac{z}{4}$ 不同的平行直線. 我们称這族直線為目標函數的等值線, 因為在同一条直線上的所有点 $(x,y)$ 都会产生相同的目標函數值 $z$ .

我们的任务是最大化 $z$ . 從上式可以看出, $z$ 與 $y$ 轴截距 $\frac{z}{4}$ 是成正比的. 因此, 最大化目標函數 $z$ 在几何上等价于寻找一条與可行域有公共点, 且具有最大 $y$ 轴截距的等值線.

那么, 我们應该朝哪個方向移动等值線来增大 $z$ 呢? 回忆直線的一般式方程 $Ax+By-z=0$ , 我们知道向量 $\overrightarrow{n}=(A,B)$ 是该直線的一個法向量. 在本例中, 目標函數 $z=3x+4y$ 對應的法向量為 $\overrightarrow{n}=(3,4)$ . 几何上, 法向量指向的方向正是直線“抬升”最快的方向, 也就是使得 $3x+4y$ 的值增大的方向. 因此, 我们的求解過程可以想象為: 将等值線 $3x+4y=z$ 沿着其法向量 $\overrightarrow{n}=(3,4)$ 的方向平移, 直到它即将离開可行域.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：圖解法原理: 沿法向量方向平移等值線

如圖所示, 等值線族 $3x+4y=z$ 是一係列斜率為 $-\frac{3}{4}$ 的平行線. 当我们沿着法向量 $\overrightarrow{n}=(3,4)$ 的方向推动這条直線时 (即向右上方平移), $z$ 的值不断增大. 這個平移過程是有限制的, 因為该直線必须始终與灰色表示的可行域保持接触. 当等值線移动到恰好經過顶点 $B(3,2)$ 时, 它达到了在满足约束条件下的最远位置. 如果再向上平移丝毫, 它将與可行域完全分离. 因此, 可行域中的顶点 $B$ 就是使目標函數值达到最大的点.

這個几何過程揭示了線性规划問題的一個根本性質, 并為我们提供了下一节将要介绍的更普适的代數解法的理論基礎.

線性规划基本定理

圖解法提供了强大的几何直观, 但對于高維度問題或精度要求高的场景, 我们需要一种更普适的代數方法. 该方法的理論基礎是下面的定理.

線性规划基本定理

如果一個線性规划問題存在最优解, 那么最优解一定可以在其可行域的某個顶点处取得. 若存在多個最优解, 则它们至少覆蓋可行域的一条边, 因而其端点 (顶点) 同样是最优解.

證明

我们考察目標函數 $z=ax+by$ 所代表的平行直線族 $l_z$ . 由于可行域 $S$ 是一個闭凸集, 函數 $z$ 在 $S$ 上的取值必然存在一個最大值和一個最小值. 设取得最大值的等值線為 $l_{z^*}$ . $l_{z^*}$ 與 $S$ 至少有一個公共点. 若此公共点位于 $S$ 的内部, 则我们总可以将 $l_{z^*}$ 再微小平移一点而不离開 $S$ , 從而得到一個更大的 $z$ 值, 這與 $z^*$ 是最大值矛盾. 因此, 最优解必须出現在 $S$ 的边界上. 若 $l_{z^*}$ 與 $S$ 的交集是边界上的一点, 则该点必為顶点. 若 $l_{z^*}$ 與 $S$ 的交集是边界上的一条边, 那么這条边上的所有点都是最优解, 這自然也包括了该边的两個顶点. 綜上, 必有顶点是最优解.

基本定理将一個可能包含无穷多個解的搜索問題, 簡化為對有限個顶点的考察. 這引出了顶点檢验法:

找出可行域的所有顶点. 每個顶点都是两条或多条边界直線方程的交点, 可通過解方程组得到.
计算目標函數在每個顶点的值.
比较這些值, 其中最大者即為問題的最大值, 最小者即為最小值.

對于引例, 我们已通過圖解法确定了四個顶点: $O(0,0), A(4,0), C(0, 3.5), B(3,2)$ . 代入目標函數 $z=3x+4y$ 進行檢验:

$z(O) = 3(0)+4(0)=0$
$z(A) = 3(4)+4(0)=12$
$z(C) = 3(0)+4(3.5)=14$
$z(B) = 3(3)+4(2)=17$

比较可知, 最大值為 $17$ , 在顶点 $B(3,2)$ 处取得. 這與圖解法的结果一致.

例

求目標函數 $z = 5x + 3y$ 在下列约束条件下

\begin{cases} 2x+y \le 8 x+y \le 6 x \ge 0 y \ge 0 \end{cases}

的最大值.

解

我们首先需要确定由该線性不等式组定義的可行域. 该区域是一個位于第一象限的闭合凸多边形. 接着, 我们通過求解边界直線的交点来找出其所有顶点. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：例1的可行域

可行域的顶点由边界線的交点确定:

顶点 $O$ : $x=0$ 與 $y=0$ 的交点, $O(0,0)$ .
顶点 $A$ : $2x+y=8$ 與 $y=0$ 的交点, 解得 $A(4,0)$ .
顶点 $C$ : $x+y=6$ 與 $x=0$ 的交点, 解得 $C(0,6)$ .
顶点 $B$ : $2x+y=8$ 與 $x+y=6$ 的交点. 联立方程组

\begin{cases} 2x+y=8 x+y=6 \end{cases} \implies \begin{cases} x=2 y=4 \end{cases}

故交点為 $B(2,4)$.

根据線性规划基本定理, 最大值必在這些顶点之一处取得. 我们将各顶点坐標代入目標函數 $z = 5x + 3y$ 進行檢验: \begin{table}[h!]

顶点坐標 $(x,y)$	目標函數值 $z=5x+3y$
$O(0,0)$	$5(0)+3(0) = 0$
$A(4,0)$	$5(4)+3(0) = 20$
$B(2,4)$	$5(2)+3(4) = 10+12=22$
$C(0,6)$	$5(0)+3(6) = 18$

\end{table} 比较上表中的目標函數值, 我们發現最大值為 $22$ , 它在顶点 $B(2,4)$ 处取得.

例

求目標函數 $z = 2x+2y$ 在约束条件

\begin{cases} x+y \le 7 x \ge 1 y \ge 2 \end{cases}

下的最大值.

解

同样地, 我们首先确定可行域的顶点. 该可行域是一個三角形. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：例2的可行域

顶点由以下边界線的交点構成:

顶点 $C$ : $x=1$ 與 $y=2$ 的交点, $C(1,2)$ .
顶点 $A$ : $x=1$ 與 $x+y=7$ 的交点, 解得 $A(1,6)$ .
顶点 $B$ : $y=2$ 與 $x+y=7$ 的交点, 解得 $B(5,2)$ .

我们将這些顶点代入目標函數 $z=2x+2y$ 中: \begin{table}[h!]

顶点坐標 $(x,y)$	目標函數值 $z=2x+2y$
$A(1,6)$	$2(1)+2(6) = 14$
$B(5,2)$	$2(5)+2(2) = 14$
$C(1,2)$	$2(1)+2(2) = 6$

\end{table} 观察结果, 我们發現最大值 $14$ 同时在两個顶点 $A(1,6)$ 和 $B(5,2)$ 处取得.

這种情况的出現并非偶然. 我们注意到目標函數 $z=2x+2y$ 可以改寫為 $y = -x + z/2$ . 其等值線的斜率為 $-1$ . 可行域的一条边界線 $x+y=7$ 的斜率同样為 $-1$ . 這意味着目標函數的等值線與可行域的边界 $AB$ 平行. 当等值線平移至與線段 $AB$ 重合时, 整個線段上的所有点都将成為最优解. 因此, 该線性规划問題的最大值為 $14$ , 且最优解為線段 $AB$ 上的任意一点.

在某些問題中, 决策變量必须取整數, 這類問題称為整數線性规划. 虽然其通用解法远比標准線性规划複杂, 但在二維平面上, 若可行域有界, 我们有时可以结合几何方法進行求解. 其中一類特殊問題是计算可行域内的整点 (格点) 总數.

例

在笛卡尔坐標平面上, 求满足不等式组

\begin{cases} y \le 3x y \ge \frac{1}{3}x x+y \le 100 \end{cases}

的整点 $(x,y)$ 的個數.

再解决此問題之前，我们先介绍一個引理.

皮克定理

對于一個顶点均為整点的簡單多边形, 其面積 $S$ 與其内部的整点數 $I$ 、边界上的整点數 $B$ 之間满足如下關係:

S = I + \frac{B}{2} - 1

證明

我们将通過一個循序渐進的構造性證明来验證此定理. 核心思想是證明表达式 $\Phi(P) = I_P + \frac{B_P}{2} - 1$ (其中 $P$ 代表一個多边形) 具有與面積 $S(P)$ 相同的可加性. 若此性質得證, 我们只需在一個基本圖形上验證公式的成立, 便可将其推廣至任意簡單多边形.

考虑两個顶点為整点的簡單多边形 $P_1$ 和 $P_2$ , 它们共享一条公共边 $e$ , 并且它们的并 $P = P_1 \cup P_2$ 也是一個簡單多边形. 设公共边 $e$ 上共有 $k$ 個整点 (包含两個端点).

對于合并后的多边形 $P$ , 其面積显然是可加的: $S(P) = S(P_1) + S(P_2)$ . 我们来考察其内部整点數 $I_P$ 和边界整点數 $B_P$ .

内部整点: $P$ 的内部整点由 $P_1$ 的内部整点, $P_2$ 的内部整点, 以及公共边 $e$ 上不含端点的 $k-2$ 個整点構成.

I_P = I_{P_1} + I_{P_2} + (k-2)

边界整点: $P$ 的边界由 $P_1$ 和 $P_2$ 的边界除去公共边 $e$ (但不含端点) 后拼接而成. $P_1$ 的边界上有 $B_{P_1}$ 個点, $P_2$ 的边界上有 $B_{P_2}$ 個点. 公共边 $e$ 上的 $k$ 個点對于 $P_1, P_2$ 均是边界点, 但對于 $P$ 而言, 其中 $k-2$ 個變為内部点, 2個端点仍為边界点. 因此, $P$ 的边界点數是 $P_1$ 和 $P_2$ 边界点數之和, 减去被计入两次的公共边上的点, 再将被转化為内部点的 $k-2$ 個点排除在外. 更簡洁地看, $P$ 的边界长度是 $P_1, P_2$ 边界长度之和减去两倍的 $e$ 的长度.

B_P = (B_{P_1} - k) + (B_{P_2} - k) + 2 = B_{P_1} + B_{P_2} - 2k + 2

我们计算 $\Phi(P)$ :

\begin{aligned} \Phi(P) &= I_P + \frac{B_P}{2} - 1 &= (I_{P_1} + I_{P_2} + k - 2) + \frac{B_{P_1} + B_{P_2} - 2k + 2}{2} - 1 &= I_{P_1} + I_{P_2} + k - 2 + \frac{B_{P_1}}{2} + \frac{B_{P_2}}{2} - k + 1 - 1 &= \left(I_{P_1} + \frac{B_{P_1}}{2} - 1\right) + \left(I_{P_2} + \frac{B_{P_2}}{2} - 1\right) &= \Phi(P_1) + \Phi(P_2) \end{aligned}

這完美地證明了 $\Phi(P)$ 具有與面積 $S(P)$ 完全相同的可加性.

既然 $\Phi(P)$ 和 $S(P)$ 都是可加的, 那么我们只需證明對于某個基本圖形 $P_0$ , 有 $S(P_0) = \Phi(P_0)$ 成立. 任何其他可以通過拼接這些基本圖形得到的多边形, 其定理的正确性将由可加性来保證. 我们選择一個边與坐標轴平行的矩形 $R$ 作為基本圖形, 其顶点為 $(x_1, y_1), (x_2, y_1), (x_2, y_2), (x_1, y_2)$ . 令其边长為整數 $a = x_2 - x_1$ 和 $b = y_2 - y_1$ .

面積: $S_R = a \cdot b$ .
边界整点數: $B_R = 2a + 2b$ .
内部整点數: $I_R = (a-1)(b-1) = ab - a - b + 1$ .

我们来计算 $\Phi(R)$ :

\begin{aligned} \Phi(R) &= I_R + \frac{B_R}{2} - 1 &= (ab - a - b + 1) + \frac{2a+2b}{2} - 1 &= ab - a - b + 1 + a + b - 1 &= ab \end{aligned}

我们看到 $S_R = \Phi(R)$ . 定理對所有與坐標轴平行的整点矩形都成立.

任何一個顶点為整点的簡單多边形, 都可以被三角剖分, 即分解為有限個顶点同為整点的三角形的并. 同时, 任何一個顶点為整点的三角形, 都可以通過一個外接的、边與坐標轴平行的矩形, 减去其角上至多三個顶点為整点的直角三角形得到. 由于我们已經證明了 $\Phi$ 的可加性, 并且在矩形上验證了 $S=\Phi$ , 這也意味着 $S=\Phi$ 對那些直角三角形也成立. 既然矩形和直角三角形這些基本構造块都满足皮克定理, 那么由它们通過加减运算構成的任意三角形也必然满足. 最后, 既然任意三角形都满足皮克定理, 那么由這些三角形拼接而成的任意簡單多边形也必然满足此定理. 證明完毕.

解

此問題要求我们對一個由線性不等式定義的凸多边形区域内的整点進行计數. 直接枚举的方法虽然可行, 但過程繁琐. 一個更為深刻且结構优雅的途径是运用几何與數論的联係.

我们首先需要精确地刻画该不等式组所定義的可行域. 该区域是由三条直線 $l_1: y=3x$ , $l_2: y=\frac{1}{3}x$ 以及 $l_3: x+y=100$ 所围成的封闭区域. 通過联立方程组, 我们可以确定這個区域的顶点.

直線 $y=3x$ 與 $y=\frac{1}{3}x$ 的交点為 $O(0,0)$ .
直線 $y=3x$ 與 $x+y=100$ 的交点為 $A(25,75)$ .
直線 $y=\frac{1}{3}x$ 與 $x+y=100$ 的交点為 $B(75,25)$ .

该可行域是一個以 $O, A, B$ 為顶点的三角形. 關键在于, 所有顶点均為整点, 這一特性為我们應用皮克定理提供了理想的条件. \begin{figure}[htbp]

{Triangle OAB}}

\end{figure} 圖：由不等式组定義的可行域 \texorpdfstring{ $\triangle OAB$

皮克定理指出, 對于一個顶点均為整点的簡單多边形, 其面積 $S$ 與其内部的整点數 $I$ 、边界上的整点數 $B$ 之間满足如下關係:

S = I + \frac{B}{2} - 1

我们的目標是求总整点數 $N = I + B$ . 借助皮克定理, 我们可以将 $I$ 表示為 $I = S - \frac{B}{2} + 1$ , 從而得到总整点數的计算公式:

N = \left(S - \frac{B}{2} + 1\right) + B = S + \frac{B}{2} + 1

接下来的任务便是分别计算该三角形的面積 $S$ 與其边界上的整点數 $B$ .

對于顶点為 $(x_O, y_O), (x_A, y_A), (x_B, y_B)$ 的三角形, 其面積可由鞋带公式给出:

\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} | (x_O y_A + x_A y_B + x_B y_O) - (y_O x_A + y_A x_B + y_B x_O) | &= \frac{1}{2} | (0 \cdot 75 + 25 \cdot 25 + 75 \cdot 0) - (0 \cdot 25 + 75 \cdot 75 + 25 \cdot 0) | &= \frac{1}{2} | 625 - 5625 | = 2500 \end{aligned}

面積计算完毕后, 我们转向边界整点數 $B$ 的计算. 连接两個整点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的線段上, 其包含的整点個數 (含端点) 為 $\gcd(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|) + 1$ , 其中 $\gcd$ 表示最大公约數.

边 OA (從 $O(0,0)$ 到 $A(25,75)$ ): 整点數為 $\gcd(25, 75) + 1 = 25 + 1 = 26$ .
边 OB (從 $O(0,0)$ 到 $B(75,25)$ ): 整点數為 $\gcd(75, 25) + 1 = 25 + 1 = 26$ .
边 AB (從 $A(25,75)$ 到 $B(75,25)$ ): 整点數為 $\gcd(|75-25|, |25-75|) + 1 = \gcd(50, 50) + 1 = 50 + 1 = 51$ .

边界上的总整点數 $B$ 是三条边上的整点數之和, 并减去被重複计算的三個顶点:

B = 26 + 26 + 51 - 3 = 100

, 我们已具備所有要素, 可以得出最终的整点总數. 将 $S=2500$ 和 $B=100$ 代入公式:

N = S + \frac{B}{2} + 1 = 2500 + \frac{100}{2} + 1 = 2500 + 50 + 1 = 2551

因此, 满足给定不等式组的整点共有 $2551$ 個.

补集计數法

本題亦可通過一种直接的解析方法，补集计數法来求解. 其核心思想是, 首先计算一個包含目標区域且易于计數的更大区域内的整点总數, 然后减去该区域内不满足原始约束条件的点的數量.

我们首先考虑一個由 $x \ge 0, y \ge 0$ 以及 $x+y \le 100$ 所定義的闭合大三角形区域, 记作 $T$ . 這個区域包含了我们所求的所有整点. 為了對 $T$ 内的整点 $(x,y)$ 進行计數, 我们可以遍歷所有可能的整數 $x$ 值. 当 $x=k$ (其中 $k$ 是一個從 $0$ 到 $100$ 的整數), $y$ 必须满足 $0 \le y \le 100-k$ . 因此, 對于每一個固定的整數 $k$ , 對應的整數 $y$ 的個數為 $(100-k) - 0 + 1 = 101-k$ . 将所有可能的 $k$ 值對應的 $y$ 的個數相加, 便得到区域 $T$ 内的整点总數 $N(T)$ :

N(T) = \sum_{k=0}^{100} (101-k) = (101-0) + (101-1) + ... + (101-100)

這是一個首項為 $101$ , 末項為 $1$ , 共 $101$ 項的等差數列. 其和為

N(T) = \frac{(101+1) \times 101}{2} = 5151

接着, 我们需要從這個总數中排除那些不满足原不等式组中另外两個条件的点. 令 $T_A$ 為 $T$ 内不满足 $y \ge \frac{1}{3}x$ 的整点集合, 即满足 $y \< \frac{1}{3}x$ 的点集. 令 $T_B$ 為 $T$ 内不满足 $y \le 3x$ 的整点集合, 即满足 $y \> 3x$ 的点集. 我们所求的整点數 $N$ 就等于 $N(T) - N(T_A) - N(T_B)$ .

此处我们注意到一個深刻的對称性. 考虑坐標變換 $\phi: (x,y) \mapsto (y,x)$ , 這個變換在几何上是關于直線 $y=x$ 的對称. 该變換将大三角形区域 $T$ 映射到其自身. 對于 $T_A$ 中的一個点 $(x,y)$ , 它满足 $y \< \frac{1}{3}x$ . 經過變換后, 其像為 $(x', y') = (y,x)$ , 满足 $x' \< \frac{1}{3}y'$ , 即 $y' \> 3x'$ . 這意味着 $\phi$ 将 $T_A$ 中的点一一映射到了 $T_B$ 中. 因此, 這两個区域的整点個數必然相等: $N(T_A) = N(T_B)$ . 我们的問題便簡化為计算 $N(T_B)$ 的值, 然后從总數中减去它的两倍.

N = N(T) - 2N(T_B)

我们来计算 $N(T_B)$ . 区域 $T_B$ 由不等式组 $x \ge 0, y \> 3x, x+y \le 100$ 定義. 由于 $x,y$ 均為整數, 不等式 $y \> 3x$ 等价于 $y \ge 3x+1$ . 我们對 $x$ 進行遍歷. 對于一個固定的整數 $x=k$ , 變量 $y$ 必须满足 $3k+1 \le y \le 100-k$ . 為了保證這個区間至少包含一個整數, 必须有 $3k+1 \le 100-k$ , 這導出 $4k \le 99$ , 即 $k \le 24.75$ . 因此, 整數 $k$ 的取值范围是 $k \in \{0, 1, 2, ..., 24\}$ . 對于每一個這样的 $k$ , 對應的整數 $y$ 的個數為 $(100-k) - (3k+1) + 1 = 100-4k$ . 将所有可能的 $k$ 值對應的 $y$ 的個數相加, 便得到 $N(T_B)$ :

N(T_B) = \sum_{k=0}^{24} (100-4k)

這是一個首項為 $100-4(0)=100$ , 末項為 $100-4(24)=4$ , 共有 $25$ 項的等差數列. 其和為

N(T_B) = \frac{(100+4) \times 25}{2} = 52 \times 25 = 1300

最后, 我们将计算结果代入总數公式:

N = N(T) - 2N(T_B) = 5151 - 2 \times 1300 = 5151 - 2600 = 2551

通過补集计數的方法, 我们同样得到, 满足给定不等式组的整点共有 $2551$ 個.

例

点 $P(1,1), Q(2,2), R(0, -1)$ 在由方程 $|x-1|+|y-1|=1$ 确定的曲線所围成的圖形中的個數有 \begin{multicols}{4}

[label=\Alph*.]

\end{multicols}

解

此問題的核心在于识别由方程 $|x-1|+|y-1|=1$ 所定義的几何圖形, 并判断给定点與该圖形的位置關係. 该方程描述的是一個区域的边界, 而区域内部及边界上的点 $(x,y)$ 则满足不等式

|x-1|+|y-1| \le 1

為了清晰地揭示其几何形态, 我们可以引入一個坐標平移變換. 令 $x' = x-1$ 及 $y' = y-1$ . 在新的 $x'y'$ 坐標係中, 不等式转化為

|x'|+|y'| \le 1

這是一個標准形式, 它表示一個以新坐標係原点為中心, 顶点分别位于坐標轴上 $(\pm 1, 0)$ 和 $(0, \pm 1)$ 的正方形区域. 将這個几何圖形變換回原始的 $xy$ 坐標係, 我们可知该区域是一個以点 $(1,1)$ 為對称中心, 顶点為 $(2,1), (1,2), (0,1), (1,0)$ 的旋转正方形. \begin{figure}[htbp]

{|x-1|+|y-1| \<= 1} 定義的区域及相關点}

\end{figure} 圖：由 \texorpdfstring{ $|x-1|+|y-1| \le 1$

接着, 我们通過代數方法精确檢验每個点的位置:

對于点 $P(1,1)$ :

|1-1|+|1-1| = 0 + 0 = 0

由于 $0 \le 1$, 点 $P$ 位于该区域内, 且為其對称中心.

對于点 $Q(2,2)$ :

|2-1|+|2-1| = 1 + 1 = 2

由于 $2 \> 1$, 点 $Q$ 位于该区域之外.

對于点 $R(0,-1)$ :

|0-1|+|-1-1| = |-1|+|-2| = 1+2 = 3

由于 $3 \> 1$, 点 $R$ 同样位于该区域之外.

綜上所述, 僅有点 $P$ 满足条件, 因此在圖形中的点的個數為 $1$ . 正确的選項為C.

例

坐標平面内区域 $M\left\{(x,y) \left| \begin{cases} x-y+1\ge0 \\ x+y-1\le0 \\ kx-y-1\le0 \end{cases} \right. , (0\le k \le 1) \right\}$ 的面積可用函數 $f(k)$ 表示, 若 $f(k)=8$ , 则 $k=$ 是多少.

解

此問題要求我们分析一個由參數 $k$ 定義的線性不等式组所确定的平面区域, 并根据其面積反求參數的值. 這是一個典型的解析几何與函數思想结合的問題.

首先, 我们将不等式组转化為边界直線的形式, 以便确定可行域的几何形状.

\begin{cases} y \le x+1 & (l_1) y \le -x+1 & (l_2) y \ge kx-1 & (l_3) \end{cases}

该可行域是由這三条直線围成的一個三角形区域. 為了计算其面積, 我们需要确定其三個顶点的坐標. 這些顶点是边界直線两两相交的交点.

我们通過联立方程组来求解顶点坐標:

顶点 $A$ 是直線 $l_1$ 與 $l_2$ 的交点:

\begin{cases} y=x+1 \\ y=-x+1 \end{cases} \implies \begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}

故顶点 $A$ 的坐標為 $(0,1)$. 此顶点的位置不随參數 $k$ 的變化而改變.

顶点 $B$ 是直線 $l_1$ 與 $l_3$ 的交点:

\begin{cases} y=x+1 \\ y=kx-1 \end{cases} \implies x+1=kx-1 \implies (1-k)x=-2 \implies x=\frac{2}{k-1}

代入得 $y=x+1=\frac{2}{k-1}+1 = \frac{k+1}{k-1}$. 故顶点 $B$ 的坐標為 $\left(\frac{2}{k-1}, \frac{k+1}{k-1}\right)$.

顶点 $C$ 是直線 $l_2$ 與 $l_3$ 的交点:

\begin{cases} y=-x+1 \\ y=kx-1 \end{cases} \implies -x+1=kx-1 \implies (k+1)x=2 \implies x=\frac{2}{k+1}

代入得 $y=-x+1=-\frac{2}{k+1}+1 = \frac{k-1}{k+1}$. 故顶点 $C$ 的坐標為 $\left(\frac{2}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)$.

\begin{figure}[htbp]

{k=0.5} 為例)}

\end{figure} 圖：可行域示意圖 (以 \texorpdfstring{ $k=0.5$

接着, 我们计算该三角形的面積 $f(k)$ . 一种有效的方法是選择一条边作為底, 计算對應的高. 我们選择線段 $BC$ 作為底边, 它位于直線 $l_3: kx-y-1=0$ 上. 底边 $BC$ 的长度的平方為:

\begin{aligned} |BC|^2 &= \left(\frac{2}{k-1}-\frac{2}{k+1}\right)^2 + \left(\frac{k+1}{k-1}-\frac{k-1}{k+1}\right)^2 &= \left(\frac{4}{k^2-1}\right)^2 + \left(\frac{4k}{k^2-1}\right)^2 = \frac{16(1+k^2)}{(k^2-1)^2} \end{aligned}

由于 $0\le k \< 1$ , $k^2-1 \< 0$ . 因此 $|BC| = \frac{4\sqrt{1+k^2}}{1-k^2}$ . 三角形的高 $h$ 是顶点 $A(0,1)$ 到直線 $l_3$ 的距离:

h = \frac{|k(0)-1-1|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{k^2+1}}

因此, 面積函數 $f(k)$ 為:

f(k) = \frac{1}{2} |BC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{1+k^2}}{1-k^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{4}{1-k^2}

根据題意, $f(k)=8$ . 我们建立關于 $k$ 的方程:

\frac{4}{1-k^2} = 8

解此方程, 我们得到 $4 = 8(1-k^2)$ , 即 $1 = 2(1-k^2)$ , 化簡得 $2k^2=1$ . 因此 $k^2 = \frac{1}{2}$ , 解得 $k = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

考虑到參數 $k$ 的取值范围是 $0 \le k \le 1$ , 我们舍去负值解. 最终得到 $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

例

對于每個自然數 $n$ , 抛物線 $y=(n^2+n)x^2 - (2n+1)x+1$ 與 $x$ 轴交于 $A_n, B_n$ 两点, 以 $|A_nB_n|$ 表示该两点的距离, 则 $|A_1B_1|+|A_2B_2|+\cdots+|A_{2000}B_{2000}|$ 的值是 \begin{multicols}{4}

[label=\Alph*.]

$\dfrac{1999}{2000}$
$\dfrac{2000}{2001}$
$\dfrac{1999}{2001}$
$\dfrac{2001}{2001}$

\end{multicols}

解

此問題考察了二次函數與 $x$ 轴交点距离的计算, 并将其與级數求和, 特别是裂項相消法, 巧妙地结合在一起.

對于给定的自然數 $n$ , 抛物線 $y=(n^2+n)x^2 - (2n+1)x+1$ 與 $x$ 轴的交点 $A_n, B_n$ 的横坐標是二次方程

(n^2+n)x^2 - (2n+1)x+1 = 0

的两個实數根. 设這两個根為 $x_1$ 和 $x_2$ . 根据韦达定理, 我们有

x_1+x_2 = \frac{2n+1}{n^2+n}, x_1x_2 = \frac{1}{n^2+n}

两交点之間的距离 $|A_nB_n|$ 即為两根之差的绝對值 $|x_1-x_2|$ . 我们可以利用根與係數的關係来计算這個距离:

|A_nB_n| = |x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}

将韦达定理的结果代入上式:

\begin{aligned} |A_nB_n| &= \sqrt{\left(\frac{2n+1}{n^2+n}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{n^2+n}\right)} &= \sqrt{\frac{(2n+1)^2 - 4(n^2+n)}{(n^2+n)^2}} &= \sqrt{\frac{4n^2+4n+1 - 4n^2-4n}{(n^2+n)^2}} &= \sqrt{\frac{1}{(n^2+n)^2}} = \frac{1}{n^2+n} \end{aligned}

由于 $n$ 是自然數, $n \ge 1$ , 故 $n^2+n \> 0$ , 分母開方后无需加绝對值.

注意到 $n^2+n = n(n+1)$ , 于是我们得到了距离的簡洁表达式:

|A_nB_n| = \frac{1}{n(n+1)}

這是一個可以進行裂項分解的结構. 我们将其分解為部分分式:

\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

現在, 我们的任务是计算這個级數的和. 這是一個典型的裂項相消.

\begin{aligned} S &= \sum_{n=1}^{2000} |A_nB_n| = \sum_{n=1}^{2000} \frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{2000} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) &= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2000} - \frac{1}{2001}\right) \end{aligned}

观察到, 除首項和末項外, 所有中間項都相互抵消. 因此, 和為

S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2001} = \frac{2001-1}{2001} = \frac{2000}{2001}

故正确選項為 B.

例

若当点 $P(m,n)$ 為圓 $x^2+(y-1)^2=1$ 上任一点时, 不等式 $m+n+c \ge 0$ 恒成立, 则 $c$ 的取值范围是？

解

此問題要求我们寻找參數 $c$ 的范围, 使得一個線性不等式在一個圓域上恒成立. 這是一個典型的線性规划思想在解析几何中的應用.

題目所给的条件是, 對于满足方程 $m^2+(n-1)^2=1$ 的任意实數對 $(m,n)$ , 不等式 $m+n+c \ge 0$ 均成立. 我们可以将此不等式變形為 $c \ge -(m+n)$ . 此不等式恒成立, 意味着 $c$ 的值必须大于或等于表达式 $-(m+n)$ 在圓上的所有可能取值. 換言之, $c$ 必须大于或等于 $-(m+n)$ 的最大值.

c \ge \max_{m^2+(n-1)^2=1} \{-(m+n)\}

求 $-(m+n)$ 的最大值, 等价于求 $z=m+n$ 的最小值.

我们将此問題置于几何框架中進行考察. 目標函數 $z=m+n$ 在 $mn$ -坐標平面上代表了一族斜率為 $-1$ 的平行直線. 我们需要寻找当這条直線與圓 $m^2+(n-1)^2=1$ 有公共点时, $z$ 所能取到的最小值. 该圓的圓心為 $C(0,1)$ , 半径為 $R=1$ . 当直線 $m+n-z=0$ 與圓相切时, 目標函數 $z$ 会取得其最大值或最小值. 相切的条件是圓心到直線的距离等于半径.

d = \frac{|1\cdot 0 + 1\cdot 1 - z|}{\sqrt{1^2+1^2}} = R=1

\frac{|1-z|}{\sqrt{2}} = 1

解此方程, 我们得到 $|1-z|=\sqrt{2}$ , 從而 $1-z = \sqrt{2}$ 或 $1-z = -\sqrt{2}$ . 這给出了 $z$ 的两個临界值: $z = 1-\sqrt{2}$ 和 $z = 1+\sqrt{2}$ . 显然, $z=m+n$ 在圓上的最小值為 $z_{\min} = 1-\sqrt{2}$ .

\begin{figure}[htbp]

{z=m+n} 的几何解释}

\end{figure} 圖：目標函數 \texorpdfstring{ $z=m+n$

我们已經确定 $m+n$ 的最小值為 $1-\sqrt{2}$ . 因此, $-(m+n)$ 的最大值為 $-(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1$ . 要使不等式 $c \ge -(m+n)$ 恒成立, $c$ 必须大于或等于 $-(m+n)$ 的最大值. 所以, $c \ge \sqrt{2}-1$ . $c$ 的取值范围是 $[\sqrt{2}-1, +\infty)$ .

例

已知坐標平面内有曲線 $C$ 的方程為 $x^2\cos^2\theta + y^2\sin^2\theta=4$ .

\item[(1)] 当 $\theta$ 在什么范围内时, 由曲線 $C$ 上的所有点都位于不等式 $x^2+y^2\le16$ 所表示的圖形之中 (這里 $0 \le \theta \le \pi$ ), 并求出此范围; \item[(2)] 当 $\dfrac{\pi}{6} \< \theta \< \dfrac{\pi}{3}$ 时, 求满足曲線 $C$ 的方程的点 $(x,y)$ 的取值范围, 并用圖形表示.

解

(1) 我们首先分析曲線 $C$ 的方程. 该方程可改寫為

\frac{x^2}{4/\cos^2\theta} + \frac{y^2}{4/\sin^2\theta} = 1

当 $\cos\theta \ne 0$ 且 $\sin\theta \ne 0$ 时, 此方程表示一個中心在原点的椭圓, 其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的半轴长分别為 $a = \frac{2}{|\cos\theta|}$ 和 $b = \frac{2}{|\sin\theta|}$ .

不等式 $x^2+y^2 \le 16$ 表示一個以原点為中心、半径為 $4$ 的闭圓盘. 要使椭圓上的所有点都位于该圓盘内, 椭圓的半长轴必须不大于圓的半径. 換言之, 椭圓上任意点到原点的距离的最大值不能超過 $4$ . 這個最大距离就是椭圓的半长轴长度. 因此, 我们必须满足条件:

\max\{a, b\} = \max\left\{\frac{2}{|\cos\theta|}, \frac{2}{|\sin\theta|}\right\} \le 4

這等价于同时满足以下两個不等式:

\frac{2}{|\cos\theta|} \le 4 \text{和} \frac{2}{|\sin\theta|} \le 4

化簡得到

|\cos\theta| \ge \frac{1}{2} \text{和} |\sin\theta| \ge \frac{1}{2}

我们現在在给定区間 $0 \le \theta \le \pi$ 内求解這两個不等式.

對于 $|\sin\theta| \ge \frac{1}{2}$ : 在 $[0,\pi]$ 上, $\sin\theta \ge 0$ , 故不等式為 $\sin\theta \ge \frac{1}{2}$ . 解得 $\theta \in \left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$ .
對于 $|\cos\theta| \ge \frac{1}{2}$ : 這意味着 $\cos\theta \ge \frac{1}{2}$ 或 $\cos\theta \le -\frac{1}{2}$ . \begin{itemize}
在 $[0,\pi]$ 上, $\cos\theta \ge \frac{1}{2}$ 的解為 $\theta \in \left[0, \dfrac{\pi}{3}\right]$ .
在 $[0,\pi]$ 上, $\cos\theta \le -\frac{1}{2}$ 的解為 $\theta \in \left[\dfrac{2\pi}{3}, \pi\right]$ .

因此, $|\cos\theta| \ge \frac{1}{2}$ 的解集為 $\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{2\pi}{3}, \pi\right]$ . \end{itemize} 為了使两個条件同时成立, 我们需要取上述两個解集的交集:

\left( \left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3}, \pi\right] \right) \cap \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right] = \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right]

所以, $\theta$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$ .

(2) 当 $\theta$ 在開区間 $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right)$ 内變化时, 我们需要确定所有满足方程 $x^2\cos^2\theta + y^2\sin^2\theta=4$ 的点 $(x,y)$ 所構成的区域.

当 $\theta$ 取区間的两個端点时, 我们得到两個边界椭圓:

当 $\theta \to \frac{\pi}{6}$ , $\cos^2\theta \to \frac{3}{4}, \sin^2\theta \to \frac{1}{4}$ . 曲線趋近于 $x^2\left(\frac{3}{4}\right) + y^2\left(\frac{1}{4}\right)=4$ , 即 $3x^2+y^2=16$ .
当 $\theta \to \frac{\pi}{3}$ , $\cos^2\theta \to \frac{1}{4}, \sin^2\theta \to \frac{3}{4}$ . 曲線趋近于 $x^2\left(\frac{1}{4}\right) + y^2\left(\frac{3}{4}\right)=4$ , 即 $x^2+3y^2=16$ .

對于任意一個固定的点 $(x,y)$ , 方程 $x^2\cos^2\theta + y^2\sin^2\theta=4$ 可以看作是關于變量 $u=\cos^2\theta$ 的線性方程: $x^2 u + y^2(1-u) = 4$ , 即 $u(x^2-y^2) = 4-y^2$ . 当 $\theta \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$ 时, $u=\cos^2\theta \in (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ . 因此, 点 $(x,y)$ 属于所求区域的充要条件是, 存在 $u \in (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ 使得 $u(x^2-y^2) = 4-y^2$ .

這等价于數值 $4$ 严格地位于 $x^2 u + y^2(1-u)$ 当 $u=\frac{1}{4}$ 和 $u=\frac{3}{4}$ 时的两個值之間. 這两個值分别是 $\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}y^2$ 和 $\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}y^2$ . 所以, 点 $(x,y)$ 所在的区域由以下複合不等式定義:

\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}y^2 \< 4 \text{且} \frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}y^2 \> 4 \right) \text{或} \left(\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}y^2 \> 4 \text{且} \frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}y^2 \< 4 \right)

整理后即

(x^2+3y^2 \< 16 \text{且} 3x^2+y^2 \> 16) \text{或} (x^2+3y^2 \> 16 \text{且} 3x^2+y^2 \< 16)

该区域是位于椭圓 $3x^2+y^2=16$ 和 $x^2+3y^2=16$ 之間的部分, 不包括边界.

圖形表示在下一頁: \begin{figure}

{(x,y)} 的取值范围 (阴影部分, 不含边界)}

\end{figure} 圖：点 \texorpdfstring{ $(x,y)$

饮食問題與计划經济等有趣的應用問題

線性规划的真正力量在于其作為一种思維框架, 能够将纷繁複杂的現实世界問題, 提炼為结構清晰的數學模型. 這一從具體問題到抽象模型的转化過程, 被称為數學建模, 它是應用數學的核心技能. 其關键在于准确地识别出决策變量, 目標函數和约束条件.

我们将通過一個經典的饮食問題 来完整地展示這一過程. 這是一個典型的成本最小化問題.

营养膳食的成本优化

一位营养师需要為一位运动员设计一份最低成本的早餐食谱, 该食谱必须满足特定的营养需求. 早餐由燕麦和牛奶两种食物構成.

营养信息與成本: \begin{itemize}
每 $100$ 克燕麦: 含蛋白質 $10$ 克, 維生素C $5$ 毫克. 成本為 $3$ 元.
每 $100$ 毫升牛奶: 含蛋白質 $4$ 克, 維生素C $20$ 毫克. 成本為 $5$ 元.

\item 营养需求: 早餐必须至少提供 $44$ 克的蛋白質和 $60$ 毫克的維生素C. \end{itemize} 問: 應该如何搭配燕麦和牛奶的份量, 才能在满足营养需求的前提下, 使得总成本最低?

解

我们遵循數學建模的步骤来構建并求解此問題.

我们需要决定的量是两种食物的份量. 设购买燕麦 $x$ 個單位 (每單位 $100$ 克), 牛奶 $y$ 個單位 (每單位 $100$ 毫升). 显然, $x \ge 0, y \ge 0$ .

我们的目標是最小化总成本 $z$ . 根据單价, 目標函數為:

\text{最小化} z = 3x + 5y

食谱必须满足两种营养素的最低需求.

蛋白質约束: 燕麦提供的蛋白質加上牛奶提供的蛋白質, 必须不少于 $44$ 克.

10x + 4y \ge 44

維生素C约束: 燕麦提供的維生素C加上牛奶提供的維生素C, 必须不少于 $60$ 毫克.

5x + 20y \ge 60 (\text{可化簡為 } x+4y \ge 12)

綜上, 完整的線性规划模型為:

\begin{cases} 10x + 4y \ge 44 x + 4y \ge 12 x \ge 0 y \ge 0 \end{cases}

我们使用顶点檢验法. 首先确定可行域. 與之前的例子不同, 這是一個向右上方无限延伸的无界区域. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：饮食問題的无界可行域

可行域的顶点由边界線的交点構成:

顶点 $A$ : $10x+4y=44$ 與 $x=0$ 的交点, 解得 $A(0,11)$ .
顶点 $C$ : $x+4y=12$ 與 $y=0$ 的交点, 解得 $C(12,0)$ .
顶点 $B$ : $10x+4y=44$ 與 $x+4y=12$ 的交点. 两式相减得 $9x=32 \implies x=32/9$ . 代入第二式, $32/9+4y=12 \implies 4y = 12-32/9=76/9 \implies y=19/9$ . 故 $B(32/9, 19/9)$ .

即使可行域无界, 線性规划基本定理的一個推論告诉我们: 如果最优解存在, 它也必然在顶点处取得. 我们可以檢验目標函數 $z=3x+5y$ 的等值線 $y = -\frac{3}{5}x + \frac{z}{5}$ . 当我们希望最小化 $z$ 时, 相当于在圖中寻找截距最小 (即最靠下方) 的、且與可行域有交点的等值線. 几何直观显示, 這条線必定会首先触碰到可行域的某個“角落”, 即顶点.

我们将顶点坐標代入目標函數: \begin{table}

顶点	坐標 $(x,y)$	成本 $z=3x+5y$
$A$	$(0,11)$	$3(0)+5(11) = 55$
$B$	$(32/9, 19/9)$	$3(32/9)+5(19/9) = (96+95)/9 = 191/9 \approx 21.22$
$C$	$(12,0)$	$3(12)+5(0) = 36$

\end{table} 比较可知, 最小成本為 $191/9$ 元, 在顶点 $B(32/9, 19/9)$ 处取得.

因此, 最优的膳食搭配方案是购买 $32/9 \approx 3.56$ 個單位 (即 $356$ 克) 的燕麦和 $19/9 \approx 2.11$ 個單位 (即 $211$ 毫升) 的牛奶.

接下来，我们来探讨一個很有趣的問題，当然，我们有必要先理解不同經济體係是如何影响优化目標的. 在市场經济中, 企业通常以利润最大化或成本最小化為目標. 而在计划經济 體係中, 經济决策由中央计划机構 (如国家计划委员会) 做出, 資源并非通過市场价格机制来配置, 而是依据国家层面的宏观战略目標進行指令性分配.

因此, 计划經济下的优化目標函數并非利润, 而可能是一個衡量国家战略优先级的綜合指數或计划产值. 例如, 在优先發展重工业的时期,

钢材的“价值”权重可能远高于消费品; 在致力于农业机械化时, 拖拉机的权重则会最高. 線性规划作為一种數學工具, 其普适性正體現在此: 无論目標是利润还是战略价值, 其底层的优化逻辑是相通的.

重工业與农业的平衡發展

一個地区的计划委员会需要為下一個五年计划周期制定核心产品的生产指標. 该地区主要利用電力、劳动力和铁矿石這三种資源, 生产两种關键产品: 钢材 (重工业基礎) 和拖拉机 (支援农业).

可用資源总量: \begin{itemize}
電力: $1800$ 万千瓦时
熟練劳动力: $2100$ 万工时

\item 生产消耗 (以“万吨”為單位的钢材和“万台”為單位的拖拉机):
生产 $1$ 万吨钢材 ( $x$ ) 需要: $5$ 万千瓦时電力, $10$ 万工时劳动力.
生产 $1$ 万台拖拉机 ( $y$ ) 需要: $20$ 万千瓦时電力, $15$ 万工时劳动力.

\item 内部结構與最低任务约束:
内部消耗: 每生产 $1$ 万台拖拉机, 需要消耗 $2$ 万吨钢材作為原材料.
最低保障: 為满足基本建设和农业需求, 必须保證钢材产量至少為 $60$ 万吨, 拖拉机产量至少為 $30$ 万台.

\item 国家优先指數: 根据国家“以农促工, 工农并举”的战略方针, 每單位钢材的优先指數计為 $3$ 分, 每單位拖拉机的优先指數计為 $10$ 分. \end{itemize} 問: 應如何规划钢材和拖拉机的产量, 才能使该地区的总国家优先指數最高?

解

這是一個典型的、具有多重及内部關联约束的線性规划問題. 我们将严格按照數學建模的步骤来構建和求解.

设钢材的计划产量為 $x$ 万吨, 拖拉机的计划产量為 $y$ 万台. 目標是最大化国家优先指數 $z$ , 其目標函數為:

\text{最大化} z = 3x + 10y

决策變量 $(x,y)$ 必须满足一係列约束条件.

資源约束:

5x + 20y \le 1800 (\text{電力约束}) \implies x+4y \le 360

10x + 15y \le 2100 (\text{劳动力约束}) \implies 2x+3y \le 420

内部消耗约束: 用于生产拖拉机的钢材 ( $2y$ ) 不能超過钢材的总产量 ( $x$ ).

2y \le x \implies x - 2y \ge 0

最低任务约束:

x \ge 60, y \ge 30

我们获得了完整的線性规划模型. 接着, 通過顶点檢验法求解. 首先确定可行域的顶点. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：计划經济問題的可行域

可行域的顶点由边界線的交点構成:

顶点 $A$ : $x=60$ 與 $y=30$ 的交点. 檢验: $60-2(30)=0 \ge 0$ . 故 $A(60,30)$ 是一個顶点.
顶点 $B$ : $y=30$ 與 $2x+3y=420$ 的交点. $2x+3(30)=420 \implies 2x=330 \implies x=165$ . 故 $B(165,30)$ .
顶点 $C$ : $2x+3y=420$ 與 $x+4y=360$ 的交点. 联立求解得 $x=120, y=60$ . 故 $C(120,60)$ .

(我们需验證其他交点是否構成可行域. 例如 $x=2y$ 與 $x+4y=360$ 的交点也是 $(120,60)$ , 表明三条约束線在此交于一点. $x=60$ 與 $x=2y$ 的交点為 $(60,30)$ , 即顶点 $A$ . 故可行域确实為三角形 $ABC$ .)

最后, 将顶点代入目標函數 $z = 3x + 10y$ 進行檢验: \begin{table}[h!]

顶点坐標 $(x,y)$	优先指數 $z=3x+10y$
$A(60,30)$	$3(60)+10(30) = 180+300 = 480$
$B(165,30)$	$3(165)+10(30) = 495+300 = 795$
$C(120,60)$	$3(120)+10(60) = 360+600 = 960$

\end{table} 比较可知, 最大的国家优先指數為 $960$ , 在顶点 $C(120,60)$ 处取得.

因此, 计划委员会應下达生产 $120$ 万吨钢材和 $60$ 万台拖拉机的指標. 在此计划下, 電力消耗為 $5(120)+20(60) = 600+1200=1800$ , 达到上限. 劳动力消耗為 $10(120)+15(60) = 1200+900=2100$ , 达到上限. 内部钢材消耗為 $2(60)=120$ , 與钢材产量相等. 此解表明, 最优策略是将所有可用資源全部投入生产, 直到電力和劳动力同时耗尽, 并且生产的钢材恰好全部用于制造拖拉机, 没有剩余. 這是一個資源被完全有效利用的理想状态.

例

假设你是国家计划委员会的规划專家, 需要為某一年的生产制定核心指標. 你的决策将围绕三個關键部门: 钢铁、机械制造 (以机床為代表) 和农业 (以粮食為代表).

决策變量: \begin{itemize}
钢材年产量: $x$ (万吨)
机床年产量: $y$ (万台)
粮食年产量: $z$ (百万吨)

\item 可用資源约束:
国家投資总额: $60$ 亿元. 生产1万吨钢材需投資 $0.3$ 亿元; 1万台机床需投資 $0.8$ 亿元; 1百万吨粮食需投資 $0.1$ 亿元.
技术工人总工时: $3000$ 万工时. 生产1万吨钢材需 $5$ 万工时; 1万台机床需 $20$ 万工时; 粮食生产主要依赖普通劳力, 對技术工人需求極小, 忽略不计.

\item 内部结構與社会需求约束:
钢材内部消耗: 每制造1万台机床, 需消耗 $2$ 万吨钢材. 剩余的钢材才能用于其他建设.
粮食基本需求: 工业部门 (钢铁, 机床) 的工人需要粮食来維持生产. 假设每生产1万吨钢材或1万台机床, 需要消耗 $0.2$ 百万吨粮食. 此外, 国家必须保證至少 $80$ 百万吨的粮食储備與民用.
最低工业指標: 作為工业化的基礎, 钢材产量至少為 $40$ 万吨, 机床产量至少為 $5$ 万台.

\item 国家战略价值函數: 根据优先發展重工业, 特别是装備制造业的国策, 經测算, 每單位产出的战略价值為: 钢材 $5$ 分, 机床 $12$ 分, 粮食 $2$ 分. \end{itemize} 問: 應如何制定 $x, y, z$ 的年度生产计划, 使得国家战略价值总分最高?

解

這是一個三維線性规划問題, 其複杂性與真实性远超二維平面. 我们首先係统地構建其數學模型.

目標函數是最大化国家战略价值 $W$ :

\text{最大化} W = 5x + 12y + 2z

约束条件如下:

投資约束: $0.3x + 0.8y + 0.1z \le 60 \implies 3x+8y+z \le 600$
技术工人约束: $5x + 20y \le 3000 \implies x+4y \le 600$
钢材内部平衡: (此為隐性约束, 净钢材為 $x-2y$ , 必须非负) $x-2y \ge 0$
粮食需求约束: $z \ge 0.2x + 0.2y + 80$
最低指標约束: $x \ge 40, y \ge 5$

由于存在三個變量, 我们无法直接使用二維圖解法. 然而, 我们可以分析约束条件的特性来簡化問題. 注意到粮食需求约束 $z \ge 0.2x + 0.2y + 80$ 是一個下界. 而在目標函數 $W = 5x + 12y + 2z$ 中, $z$ 的价值係數 (2) 远低于 $x$ (5) 和 $y$ (12). 在一個追求最大化价值的係统中, 任何超出最低需求的資源都應被投入到价值更高的部门. 因此, 生产恰好满足需求的粮食, 而将节约下来的投資和劳动力用于生产钢材和机床, 是最优策略. 這一經济學直觉告诉我们, 最优解很可能出現在粮食约束的边界上.

我们假设最优解在 $z = 0.2x + 0.2y + 80$ 這条边界上取得. 将此關係代入投資约束和目標函數, 即可将三維問題转化為二維問題.

代入目標函數:

\begin{aligned} W &= 5x + 12y + 2(0.2x + 0.2y + 80) &= 5x + 12y + 0.4x + 0.4y + 160 &= 5.4x + 12.4y + 160 \end{aligned}

最大化 $W$ 等价于最大化有效目標函數 $W_{eff} = 5.4x + 12.4y$ .

代入投資约束:

3x+8y+(0.2x+0.2y+80) \le 600

3.2x + 8.2y \le 520 \implies 16x + 41y \le 2600

現在, 我们得到了一個關于 $x,y$ 的二維線性规划問題:

\text{最大化} W_{eff} = 5.4x + 12.4y

\text{满足} \begin{cases} x+4y \le 600 16x + 41y \le 2600 x - 2y \ge 0 x \ge 40 y \ge 5 \end{cases}

我们通過顶点檢验法求解.

顶点 $A$ : $y=5$ 與 $x=40$ 的交点, $A(40,5)$ .
顶点 $B$ : $x=40$ 與 $x+4y=600$ 的交点, $40+4y=600 \implies y=140$ . $B(40,140)$ .
顶点 $C$ : $x+4y=600$ 與 $16x+41y=2600$ 的交点. 解方程组得 $C(80,130)$ .
顶点 $D$ : $16x+41y=2600$ 與 $x-2y=0$ (即 $x=2y$ ) 的交点. $16(2y)+41y=2600 \implies 73y=2600 \implies y \approx 35.6$ . $x \approx 71.2$ . $D(71.2, 35.6)$ .
顶点 $E$ : $x=2y$ 與 $y=5$ 的交点, $E(10,5)$ , 但不满足 $x \ge 40$ , 舍去.

(需檢验各顶点是否满足所有约束, 經檢验 A,B,C,D 均在可行域内).

将顶点代入有效目標函數 $W_{eff} = 5.4x + 12.4y$ : \begin{table}[h!]

顶点	$W_{eff} = 5.4x + 12.4y$
$A(40,5)$	$5.4(40)+12.4(5) = 216+62=278$
$B(40,140)$	$5.4(40)+12.4(140) = 216+1736=1952$
$C(80,130)$	$5.4(80)+12.4(130) = 432+1612=2044$
$D(71.2, 35.6)$	$5.4(71.2)+12.4(35.6) = 384.48+441.44 = 825.92$

\end{table}

最大有效值為 $2044$ , 在顶点 $C(80,130)$ 处取得. 此时, 钢材产量 $x=80$ 万吨, 机床产量 $y=130$ 万台. 代入求得粮食产量:

z = 0.2(80) + 0.2(130) + 80 = 16 + 26 + 80 = 122 \text{ 百万吨}

最终的战略价值总分為:

W = 5(80) + 12(130) + 2(122) = 400 + 1560 + 244 = 2204

(這與 $W_{eff}+160 = 2044+160=2204$ 的结果一致, 验證了计算的正确性).

因此, 最优的年度生产计划是: 生产钢材 $80$ 万吨, 机床 $130$ 万台, 粮食 $122$ 百万吨. 這個解反映了计划經济的内在逻辑: 在满足所有基本约束后, 資源被优先配置给战略价值最高的部门 (机床), 直到其生产受到資本和劳动力的雙重制约, 從而达到全局最优.

金融领域的投資组合优化

金融學的核心议題之一是在不确定性中做出最优决策. 對任何投資者而言, 這都归结于一场在回报與风险之間的永恒博弈. 通常, 潜在回报越高的資产, 其价格波动的风险也越大. 一個纯粹追求最高回报的策略可能会導致无法承受的亏损, 而一個完全回避风险的策略则可能使資产价值停滞不前.

現代投資组合理論, 由诺贝尔奖得主哈里·马科維茨奠基, 為解决這一难題提供了科學的框架. 其核心思想是, 通過分散化 投資于多种不完全相關的資产, 可以在不牺牲預期回报的前提下降低整個投資组合的风险. 理論上, 存在一係列被称為“有效前沿”的投資组合, 它们在给定风险水平下提供了最高的回报.

虽然完整的马科維茨模型因其對风险 (通常用方差衡量) 的处理而属于二次规划的范畴, 但線性规划為解决這類問題提供了一個極其强大且易于理解的入门工具和近似方法. 在许多現实场景中, 风险可以通過一係列線性的规则和约束来有效控制, 從而将問題转化為一個標准的線性规划模型.

在線性规划的视角下, 投資组合优化的任务被清晰地解構為:

决策變量: 决定投入到每一种金融資产 (如股票, 债券, 房地产等) 的資金數额 $x_1, x_2, ..., x_n$ .
目標函數: 通常是最大化整個投資组合的总預期回报, 即 $\text{Maximize} Z = r_1 x_1 + r_2 x_2 + ... + r_n x_n$ , 其中 $r_i$ 是資产 $i$ 的預期回报率.
约束条件: 這部分是模型的關键, 它将所有現实世界的限制和投資者的偏好转化為數學語言. \begin{itemize}
預算约束: $\sum x_i \le \text{总投資额}$ .
风险控制约束: 對高风险資产類别的投資上限, 如 $\sum_{k \in \text{高风险}} x_k \le \text{风险敞口上限}$ .
分散化约束: 對單一資产或行业的最低或最高投資比例, 如 $x_j \ge \text{最低要求}$ , 或 $x_j \le \text{單一資产上限}$ .
监管與合规约束: 法律或基金章程规定的其他任何線性限制.

\end{itemize} 通過這种方式, 線性规划将投資者的主观目標 (高回报) 和客观限制 (預算, 风险) 转化為一個精确的數學問題, 并提供了一個保證找到最优解的係统性方法. 它使得在成千上万种可能的資金分配方案中, 寻找到那個唯一的最优解成為可能.

风险與回报的权衡

一位基金經理负责管理一笔总额為 $100$ 万元的資金. 她的目標是在遵守基金的投資章程的前提下, 将這笔資金分配给两种類型的股票: “高增长科技股”和“蓝筹公用事业股”, 以期获得最大的年度預期回报.

投資標的與預期回报: \begin{itemize}
高增长科技股 (T): 风险较高, 預期年回报率為 $10\%$ .
蓝筹公用事业股 (U): 风险较低, 預期年回报率為 $4\%$ .

\item 基金投資章程约束:
总預算: 投入两种股票的总金额不得超過 $100$ 万元.
风险敞口限制: 對高风险的科技股, 投資额不得超過 $60$ 万元.
稳健性要求: 為保證投資组合的稳定性, 對公用事业股的投資额不得低于 $10$ 万元.

\end{itemize} 問: 基金經理應如何分配資金, 才能使总的預期年回报最大化?

解

這是一個典型的投資组合优化問題, 我们可以通過線性规划進行建模求解.

\paragraph{數學建模} 设投入高增长科技股的資金為 $x$ 万元, 投入蓝筹公用事业股的資金為 $y$ 万元. 目標是最大化总預期回报 $Z$ (單位: 万元), 其目標函數為:

\text{最大化} Z = 0.10x + 0.04y

此决策必须满足基金章程规定的所有约束条件:

預算约束: $x + y \le 100$
风险敞口约束: $x \le 60$
稳健性约束: $y \ge 10$
非负约束: $x \ge 0$ .

\paragraph{求解} 我们通過顶点檢验法求解. 首先绘制由上述不等式组定義的可行域. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：投資组合問題的可行域

可行域是一個四边形, 其顶点由边界線的交点構成:

顶点 $A$ : $x=0$ 與 $y=10$ 的交点. 故 $A(0,10)$ .
顶点 $B$ : $x=60$ 與 $y=10$ 的交点. 故 $B(60,10)$ .
顶点 $C$ : $x=60$ 與 $x+y=100$ 的交点, 解得 $y=40$ . 故 $C(60,40)$ .
顶点 $D$ : $x=0$ 與 $x+y=100$ 的交点, 解得 $y=100$ . 故 $D(0,100)$ .

根据線性规划基本定理, 最大回报必在這些顶点之一处取得. 我们将各顶点坐標代入目標函數 $Z = 0.10x + 0.04y$ 進行檢验: \begin{table}[h!]

顶点坐標 $(x,y)$	預期回报 $Z=0.1x+0.04y$
$A(0,10)$	$0.1(0)+0.04(10) = 0.4$
$B(60,10)$	$0.1(60)+0.04(10) = 6 + 0.4 = 6.4$
$C(60,40)$	$0.1(60)+0.04(40) = 6 + 1.6 = 7.6$
$D(0,100)$	$0.1(0)+0.04(100) = 4$

\end{table}

比较上表中的回报值, 我们發現最大值為 $7.6$ 万元, 它在顶点 $C(60,40)$ 处取得.

因此, 最优的投資策略是: 将 $60$ 万元投入高增长科技股, 将 $40$ 万元投入蓝筹公用事业股. 這個解的經济學含義是, 為了追求最高回报, 基金經理應该将高风险資产的头寸加到规则允许的上限 ( $x=60$ ), 然后将剩余的資金全部投入到稳健資产中, 直到用尽全部預算.

構建固定收益投資组合

一家保险公司的資产管理部门需要将一笔 $500$ 万元的資金投資于一個由国债和企业债構成的固定收益投資组合. 目標是在满足严格的风险和流动性要求下, 最大化年度利息总收入.

投資標的: \begin{itemize}
A類資产 (政府主权债券 - 国债): 預期年收益率 $3\%$ , 风险评级為 $1$ (極低风险).
B類資产 (高收益企业债券 - 企业债): 預期年收益率 $7\%$ , 风险评级為 $5$ (中等风险).

\item 投資规定與风控要求:
总預算: 总投資额不超過 $500$ 万元.
平均风险控制: 整個投資组合的加权平均风险评级不得超過 $2$ .
流动性要求: 出于流动性考虑, 投資于国债的資金必须至少占总投資额的 $40\%$ .

\end{itemize} 問: 應如何配置国债和企业债的投資金额, 才能使年度利息收入最大化?

解

此問題要求我们在多重财务约束下, 寻找最优的資产配置方案. 我们将此問題構建為一個線性规划模型.

\paragraph{數學建模} 设投資于国债的金额為 $x$ 万元, 投資于企业债的金额為 $y$ 万元. 目標是最大化年度利息总收入 $Z$ (單位: 万元), 其目標函數為:

\text{最大化} Z = 0.03x + 0.07y

投資决策必须满足下列约束条件:

預算约束: $x + y \le 500$
平均风险约束: 投資组合的加权平均风险评级由 $\frac{1 \cdot x + 5 \cdot y}{x+y}$ 给出.

\frac{x + 5y}{x+y} \le 2 \implies x+5y \le 2(x+y) \implies x+5y \le 2x+2y \implies 3y \le x \implies x-3y \ge 0

流动性约束: $x \ge 0.40(x+y) \implies x \ge 0.4x+0.4y \implies 0.6x \ge 0.4y \implies 3x \ge 2y \implies 3x-2y \ge 0$
非负约束: $x \ge 0, y \ge 0$ .

\paragraph{求解} 我们通過顶点檢验法求解. 首先确定可行域. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：债券投資组合問題的可行域

可行域是一個由原点和另外两個顶点構成的三角形. 它的顶点由以下边界線的交点确定: (注意到 $3x-2y \ge 0 \implies y \le 1.5x$ 是一個比 $x-3y \ge 0 \implies y \le x/3$ 更宽松的约束, 因此可行域的边界由 $y=x/3$ , $x+y=500$ 和 $y=0$ 决定).

顶点 $O$ : 原点 $(0,0)$ .
顶点 $B$ : $x+y=500$ 與 $y=0$ 的交点. 故 $B(500,0)$ .
顶点 $A$ : $x+y=500$ 與 $x-3y=0$ 的交点. 联立求解, $3y+y=500 \implies 4y=500 \implies y=125$ , 则 $x=375$ . 故 $A(375,125)$ .

(需檢验顶点 $A$ 是否满足所有约束. $3(375)-2(125)=1125-250 \> 0$ , 满足流动性约束. 故 $A$ 是有效顶点).

我们将顶点代入目標函數 $Z = 0.03x + 0.07y$ 進行檢验: \begin{table}[h!]

顶点坐標 $(x,y)$	利息收入 $Z=0.03x+0.07y$
$O(0,0)$	$0.03(0)+0.07(0) = 0$
$B(500,0)$	$0.03(500)+0.07(0) = 15$
$C(375,125)$	$0.03(375)+0.07(125) = 11.25 + 8.75 = 20$

\end{table}

比较结果, 最大利息收入為 $20$ 万元, 在顶点 $A(375,125)$ 处取得.

因此, 最优的資产配置方案是: 投資 $375$ 万元于国债, 投資 $125$ 万元于企业债. 此解的金融學含義是, 在满足預算的前提下, 决策的核心在于风险控制. 投資者應将尽可能多的資金投入到高收益的企业债中, 直到组合的平均风险达到规定的上限 ( $x-3y=0$ ). 此时, 任何進一步增加企业债投資的行為都将违反风险规定. 這個点定義了在给定风险偏好下的最优回报.

二次曲線

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直線與圓是代數上由一階和特定二階方程定義的几何圖形. 一個自然而深刻的推廣是考察由一般二階多項式方程所定義的曲線. 這些曲線, 统称為二次曲線, 構成了欧几里得平面几何中最為重要和优美的一族圖形, 它们在物理學, 天文學和工程學中扮演着核心角色, 從行星的运行轨道到光學仪器的设计, 无不體現着它们的根本重要性.

二次曲線的一般理論

在笛卡尔坐標係中, 任意二次曲線都可以由一個二元二次方程的一般形式来描述.

二次曲線的代數定義

平面上一条二次曲線是所有满足方程

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

的点 $(x,y)$ 的集合, 其中係數 $A, B, C, D, E, F$ 均為实數, 且 $A, B, C$ 不全為零.

這個單一的方程蕴含着惊人的多样性. 根据係數的不同, 它可以表示椭圓 (包括圓), 抛物線, 或雙曲線. 同时, 它也包含了一些退化情况, 例如一個点, 一条直線, 两条相交或平行的直線, 甚至没有圖形.

這些曲線之所以被统称為圓锥曲線, 是因為它们都可以通過一個平面去截一個圓锥面得到, 這一几何观点揭示了它们之間深刻的内在联係.

一般方程中的 $Bxy$ 項, 称為交叉項, 它的存在意味着曲線的對称轴相對于坐標轴發生了旋转. 而 $Dx$ 和 $Ey$ 線性項的存在则意味着曲線的中心 (或顶点) 發生了平移. 解析几何的一個核心技巧就是通過坐標變換 (旋转和平移), 選取一個“恰当”的坐標係, 使得在该坐標係下曲線的方程不含交叉項和某些線性項. 這种簡化后的方程形式被称為標准方程, 它能最清晰地揭示曲線的几何属性.

一個自然的問題是: 如何從代數方程的係數直接判断曲線的類型, 而无需進行複杂的坐標變換? 答案隐藏在一個不随坐標旋转而改變的量, 即不變量之中.

考虑将原始的 $xy$ 坐標係逆时针旋转一個角度 $\theta$ , 得到新的 $x'y'$ 坐標係. 坐標變換關係為:

\begin{aligned} x &= x' \cos\theta - y' \sin\theta y &= x' \sin\theta + y' \cos\theta \end{aligned}

将此變換代入二次曲線的一般方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+...=0$ , 經過繁琐但直接的代數展開后, 我们会得到一個新的關于 $x', y'$ 的二次方程 $A'x'^2 + B'x'y' + C'y'^2 + ... = 0$ . 我们的目標是選择一個合适的旋转角 $\theta$ , 使得新方程中的交叉項係數 $B'$ 為零. 新的交叉項係數 $B'$ 的表达式為:

B' = B(\cos^2\theta - \sin^2\theta) - 2(A-C)\sin\theta\cos\theta = B\cos(2\theta) - (A-C)\sin(2\theta)

令 $B'=0$ , 我们得到 $B\cos(2\theta) = (A-C)\sin(2\theta)$ , 這意味着

\cot(2\theta) = \frac{A-C}{B}

對于任意的 $A,B,C$ , 這個方程总是有解的. 這表明我们总能找到一個旋转角 $\theta$ 来消除交叉項, 使得新方程的形式簡化為 $A'x'^2+C'y'^2+D'x'+E'y'+F'=0$ .

在此新坐標係下, 曲線的類型由係數 $A'$ 和 $C'$ 的符号决定:

若 $A'$ 與 $C'$ 同号 (即 $A'C' \> 0$ ), 曲線為椭圓類型.
若 $A'$ 或 $C'$ 中有一個為零 (即 $A'C' = 0$ ), 曲線為抛物線類型.
若 $A'$ 與 $C'$ 异号 (即 $A'C' \< 0$ ), 曲線為雙曲線類型.

尽管我们可以计算出 $A'$ 和 $C'$ 的具體表达式, 但一個更為深刻和簡洁的方法是寻找一個在坐標旋转下保持不變的量. 通過直接计算可以證明, 表达式 $B^2-4AC$ 就是這样一個不變量, 即

B'^2 - 4A'C' = B^2 - 4AC

由于我们選择的 $\theta$ 使得 $B'=0$ , 上述不變量關係簡化為:

-4A'C' = B^2 - 4AC

這個等式建立了原始方程的係數與旋转后方程係數之間的直接桥梁, 從而使我们能够直接判断曲線類型:

若 $B^2 - 4AC \< 0$ , 则 $-4A'C' \< 0$ , 意味着 $A'C' \> 0$ . $A'$ 和 $C'$ 同号, 曲線為椭圓類型 (当 $B=0, A=C$ 时為圓).
若 $B^2 - 4AC = 0$ , 则 $-4A'C' = 0$ , 意味着 $A'C' = 0$ . $A'$ 或 $C'$ 必有一個為零, 曲線為抛物線類型.
若 $B^2 - 4AC \> 0$ , 则 $-4A'C' \> 0$ , 意味着 $A'C' \< 0$ . $A'$ 和 $C'$ 异号, 曲線為雙曲線類型.

我们称 $\Delta = B^2 - 4AC$ 為二次曲線的判别式. 它的符号不依赖于坐標係的選择, 而是内禀地反映了曲線的几何本質. 我们的研究将從逐一分析這些曲線的標准方程開始.

椭圓

椭圓的几何定義

我们首先從一個纯粹的几何構造出發, 這個構造不依赖于任何坐標係, 捕捉了椭圓最本質的特征.

椭圓

平面内到两個定点 $F_1, F_2$ 的距离之和等于一個常數 (该常數必须大于两定点之間的距离) 的所有点 $P$ 的轨迹, 称為椭圓. 這两個定点 $F_1, F_2$ 称為椭圓的焦点.

這個定義可以直观地通過“拉绳法”来理解: 将一根长度固定的绳子的两端固定在两個圖钉上 ( $F_1, F_2$ ), 用笔尖 ( $P$ ) 将绳子拉紧并移动, 笔尖所經過的轨迹就是一個椭圓. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：椭圓的焦点定義

椭圓的標准方程

為了将上述几何定義转化為代數方程, 我们需要建立一個坐標係. 最能簡化计算的坐標係選择是: 将 $x$ 轴置于两焦点所在的直線上, 并将原点置于線段 $F_1F_2$ 的中点. 设两焦点之間的距离為 $2c$ ( $c\>0$ ), 则 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$ . 设点 $P$ 到两焦点的距离之和為常數 $2a$ . 根据三角形两边之和大于第三边的原理, 必须有 $2a \> |F_1F_2|=2c$ , 即 $a\>c$ . 设 $P$ 的坐標為 $(x,y)$ . 根据定義, 我们有

|PF_1| + |PF_2| = 2a

利用两点間距离公式, 将其寫為坐標形式:

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a

這是一個含有两個根式的方程. 我们的目標是通過代數运算消除根式. 首先, 将其中一個根式移到等式右侧:

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}

對等式两边同时平方:

(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2

展開并化簡. 注意到 $x^2, y^2, c^2$ 項在两侧被消去:

x^2+2xc+c^2+y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + x^2-2xc+c^2+y^2

4xc - 4a^2 = -4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}

两边同除以 $4$ , 并整理得到:

a^2 - cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}

為了消除最后的根式, 我们再次對等式两边進行平方:

(a^2-cx)^2 = a^2 \left( (x-c)^2+y^2 \right)

a^4 - 2a^2cx + c^2x^2 = a^2 (x^2-2xc+c^2+y^2)

a^4 - 2a^2cx + c^2x^2 = a^2x^2 - 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2

注意到 $-2a^2cx$ 項在两侧也被消去. 我们将含有變量的項移到一边, 常數項移到另一边:

a^2x^2 - c^2x^2 + a^2y^2 = a^4 - a^2c^2

(a^2-c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2-c^2)

由于我们已經假设 $a\>c$ , 故 $a^2-c^2$ 是一個正數. 這個量在椭圓的几何结構中具有重要意義. 我们定義一個新常數 $b$ :

b^2 = a^2-c^2 (b\>0)

将此式代入, 方程變為:

b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2

最后, 用 $a^2b^2$ 除以方程两边 (由于 $a\>c\>0$ , $b^2\>0$ , 故 $a^2b^2 \ne 0$ ), 我们便得到了椭圓的標准方程:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a\>b\>0)

若焦点位于 $y$ 轴上, 即 $F_1(0,-c), F_2(0,c)$ , 遵循同样的推導, 可得標准方程為 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ . 通常我们约定 $a$ 代表半长轴, 故 $a\>b$ 总是成立.

椭圓的几何性質

椭圓的標准方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 以一种極為凝練的形式編码了其全部的几何信息.

對称性: 由于方程中 $x,y$ 均以平方形式出現, 将 $(x,y)$ 替換為 $(-x,y), (x,-y), (-x,-y)$ 方程均不變. 這表明椭圓是關于 $y$ 轴, $x$ 轴以及原点中心對称的圖形.
范围: 從方程可知 $\frac{x^2}{a^2} \le 1$ 且 $\frac{y^2}{b^2} \le 1$ . 這意味着 $|x| \le a$ 且 $|y| \le b$ . 椭圓是一個有界圖形, 它完全包含在由直線 $x=\pm a, y=\pm b$ 構成的矩形内部.
顶点: 椭圓與對称轴的交点称為顶点. 它们是 $(\pm a, 0)$ 和 $(0, \pm b)$ .
轴: 连接顶点 $(\pm a, 0)$ 的線段称為长轴, 其长度為 $2a$ . 连接顶点 $(0, \pm b)$ 的線段称為短轴, 其长度為 $2b$ . $a$ 和 $b$ 分别被称為半长轴长和半短轴长.
焦点與轴长的關係: 我们定義的 $b^2=a^2-c^2$ 可以改寫為 $a^2=b^2+c^2$ . 這個關係在几何上體現為一個以半长轴长 $a$ 為斜边, 半短轴长 $b$ 和焦距 $c$ 為直角边的直角三角形.

\begin{figure}[htbp]

{a^2=b^2+c^2}} \end{figure} 圖：椭圓的標准方程几何要素, 其中 \texorpdfstring{ $a^2=b^2+c^2$

例

设 $F_1$ 為椭圓 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的右焦点, $AB$ 為過原点的弦, 则 $\triangle ABF_1$ 面積的最大值為 \begin{multicols}{4}

[label=\Alph*.]

20
15
$13\dfrac{1}{2}$
12

\end{multicols}

解

此問題要求解一個以焦点為顶点, 以中心弦為底边的三角形的面積最大值. 其解法深刻地依赖于對椭圓基本參數的几何理解.

首先, 我们從椭圓方程 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 中提取其几何參數: 半长轴 $a=\sqrt{25}=5$ , 半短轴 $b=\sqrt{9}=3$ . 半焦距 $c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16}=4$ . 由于 $F_1$ 是右焦点, 其坐標為 $(4,0)$ .

设弦 $AB$ 是過原点的一条直線. 设其與椭圓的交点為 $A(x_A, y_A)$ 和 $B(x_B, y_B)$ . 由于直線過原点, 椭圓關于原点中心對称, 因此点 $A$ 和点 $B$ 必然也關于原点對称, 即 $x_B=-x_A, y_B=-y_A$ .

我们来计算 $\triangle ABF_1$ 的面積. 我们可以将這個三角形看作是由 $\triangle OAF_1$ 和 $\triangle OBF_1$ 拼接而成. 這两個小三角形共享底边 $OF_1$ . 底边长為 $|OF_1|=c=4$ . $\triangle OAF_1$ 的高是点 $A$ 到 $x$ 轴的距离, 即 $|y_A|$ . $\triangle OBF_1$ 的高是点 $B$ 到 $x$ 轴的距离, 即 $|y_B|=|-y_A|=|y_A|$ .

因此, $\triangle ABF_1$ 的总面積 $S$ 為:

S = S_{\triangle OAF_1} + S_{\triangle OBF_1} = \frac{1}{2}|OF_1|\cdot|y_A| + \frac{1}{2}|OF_1|\cdot|y_B| = \frac{1}{2}c|y_A| + \frac{1}{2}c|y_A| = c|y_A|

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：焦点-中心弦三角形面積的構成

要使面積 $S = c|y_A|$ 最大化, 我们需要最大化点 $A$ 的纵坐標的绝對值 $|y_A|$ . 對于椭圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上的任意一点, 其坐標满足 $|y| \le b$ . $|y|$ 的最大值在短轴顶点处取得, 即当 $x=0$ 时, $|y|=b$ .

因此, 当弦 $AB$ 恰好是椭圓的短轴时, $|y_A|$ 取得最大值 $b$ . 此时 $\triangle ABF_1$ 的面積也达到最大值.

S_{\max} = c \cdot b

代入本題的數值, 我们得到:

S_{\max} = 4 \times 3 = 12

故正确選項為 D.

這個例題的解法揭示了一個具有普遍性的结論, 我们可以将其总结為一個定理.

焦点-中心弦三角形面積

對于中心在原点的椭圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , 由一個焦点 $F(c,0)$ 和一条過原点的弦 $AB$ 構成的三角形 $\triangle ABF$ , 其面積 $S$ 的取值范围為:

0 \< S \le cb

当弦 $AB$ 為短轴时, 面積取得最大值 $cb$ .
当弦 $AB$ 趋近于长轴时 (此时三角形退化為線段), 面積趋近于最小值 $0$ .

證明

设椭圓的方程為 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , 其右焦点為 $F(c,0)$ . 设過原点的弦 $AB$ 由直線 $l$ 确定, $A$ 和 $B$ 為 $l$ 與椭圓的两個交点. 由于椭圓關于原点中心對称, 若 $A$ 的坐標為 $(x_A, y_A)$ , 则 $B$ 的坐標必為 $(-x_A, -y_A)$ .

我们来计算三角形 $\triangle ABF$ 的面積 $S$ . 我们可以選择線段 $AB$ 在 $y$ 轴上的投影作為“底”, 焦点 $F$ 到 $y$ 轴的距离作為“高”. 更严谨地, 我们可以将 $\triangle ABF$ 的面積视為两個共底边的小三角形 $\triangle OAF$ 和 $\triangle OBF$ 的面積之和.

以線段 $OF$ 所在的 $x$ 轴為基准.

$\triangle OAF$ 的底边為 $|OF|=c$ , 其高為点 $A$ 到 $x$ 轴的距离, 即 $|y_A|$ . 因此, $S_{\triangle OAF} = \frac{1}{2}c|y_A|$ .
$\triangle OBF$ 的底边也為 $|OF|=c$ , 其高為点 $B$ 到 $x$ 轴的距离, 即 $|y_B|$ . 由于 $y_B = -y_A$ , 我们有 $|y_B|=|y_A|$ . 因此, $S_{\triangle OBF} = \frac{1}{2}c|y_A|$ .

将两者相加, 得到 $\triangle ABF$ 的总面積:

S = S_{\triangle OAF} + S_{\triangle OBF} = \frac{1}{2}c|y_A| + \frac{1}{2}c|y_A| = c|y_A|

這個關係式表明, 三角形的面積 $S$ 與弦的端点 $A$ 的纵坐標的绝對值成正比. 因此, 寻求面積 $S$ 的最大值, 等价于寻求 $|y_A|$ 在椭圓上的最大值.

對于椭圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上的任意一点 $(x,y)$ , 其坐標必须满足方程. 從方程中我们可以推断出 $y$ 的取值范围:

\frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2} \le 1

y^2 \le b^2 \implies |y| \le b

因此, 椭圓上任意一点的纵坐標的绝對值 $|y|$ 的最大值為 $b$ . 這個最大值在 $x=0$ 时取得, 此时的点為椭圓的短轴顶点 $(0, \pm b)$ .

将 $|y_A|$ 的最大值代入面積公式, 我们得到面積的最大值:

S_{\max} = c \cdot b = cb

這种情况發生在点 $A$ 為 $(0,b)$ 或 $(0,-b)$ 时, 此时弦 $AB$ 正是椭圓的短轴.

我们再来考察面積的最小值. $|y_A|$ 的最小值為 $0$ , 這發生在点 $A$ 為长轴顶点 $(\pm a, 0)$ 时. 此时弦 $AB$ 為椭圓的长轴. 在這种情况下, 三個点 $A, B, F$ 共線, 三角形退化為一条線段, 其面積為 $0$ . 對于任意非退化的三角形, 弦 $AB$ 不能是长轴, 故 $|y_A|\>0$ , 從而 $S \> 0$ . 面積可以随着弦 $AB$ 任意地接近长轴而趋近于 $0$ .

綜上所述, 三角形面積 $S$ 的取值范围為 $0 \< S \le cb$ . 證毕.

例

在椭圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a\>b\>0)$ 上取三点, 其横坐標满足 $x_1+x_3=2x_2$ . 三点與某一個焦点连结的線段长分别為 $r_1, r_2, r_3$ , 则 $r_1, r_2, r_3$ 满足 \begin{multicols}{4}

[label=\Alph*.]

$2r_2=r_1+r_3$
$\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_3}=\dfrac{2}{r_2}$
$r_2^2=r_1 \cdot r_3$
以上结論全不對

\end{multicols}

解

此問題的核心在于利用椭圓的焦半径公式, 将關于焦半径长度 $r_i$ 的關係, 转化為關于對應点横坐標 $x_i$ 的關係.

设這三点為 $P_1(x_1, y_1)$ , $P_2(x_2, y_2)$ , $P_3(x_3, y_3)$ . 设它们與右焦点 $F_2(c,0)$ 相连. (選择左焦点 $F_1(-c,0)$ 会得到相同的结論). 根据我们之前證明的焦半径公式, 椭圓上一点 $(x,y)$ 到右焦点 $F_2(c,0)$ 的距离為

r = a - ex

其中 $e=\frac{c}{a}$ 是椭圓的离心率.

我们将此公式應用于给定的三点:

\begin{aligned} r_1 &= a - ex_1 r_2 &= a - ex_2 r_3 &= a - ex_3 \end{aligned}

這是一個焦半径长度 $r_i$ 與横坐標 $x_i$ 之間的一階線性關係. 我们可以利用這個關係来探究 $r_1, r_2, r_3$ 之間的代數结構.

題目给出的条件是三点的横坐標構成一個等差數列, 即 $x_1+x_3 = 2x_2$ . 我们来考察焦半径 $r_1, r_2, r_3$ 是否也構成等差數列. 计算 $r_1+r_3$ :

\begin{aligned} r_1+r_3 &= (a-ex_1) + (a-ex_3) &= 2a - e(x_1+x_3) \end{aligned}

将条件 $x_1+x_3=2x_2$ 代入上式:

r_1+r_3 = 2a - e(2x_2) = 2(a-ex_2)

注意到 $a-ex_2$ 正是 $r_2$ 的表达式. 因此, 我们得到:

r_1+r_3 = 2r_2

這個關係表明, 焦半径 $r_1, r_2, r_3$ 也構成一個等差數列.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：横坐標成等差數列的点的焦半径

(若選择左焦点 $F_1(-c,0)$ , 焦半径公式為 $r=a+ex$ . 同样地, $r_1+r_3 = (a+ex_1)+(a+ex_3) = 2a+e(x_1+x_3) = 2a+e(2x_2) = 2(a+ex_2) = 2r_2$ . 结論不變.)

因此, 正确的選項為 A. 這個结論揭示了椭圓的一個深刻性質: 焦半径的长度是其端点横坐標的線性函數. 這一性質直接導致了等差數列的结構可以在横坐標與焦半径之間传递.

椭圓的參數方程

虽然椭圓的標准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 簡洁地描述了曲線上点的坐標 $(x,y)$ 必须满足的代數關係, 但它提供的是一种静态的描述. 在许多物理和工程問題中, 我们更倾向于将曲線视為一個質点运动的轨迹. 這就需要一种能够动态生成曲線上所有点的方式, 即用一個独立的變量 (通常代表时間或角度) 来表示每個坐標. 這便是參數方程的核心思想.

為了構建椭圓的參數方程, 我们观察其標准方程的形式:

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

這個结構與三角學中最基本的恒等式 $\cos^2t + \sin^2t = 1$ 惊人地相似. 這种形式上的類比启發我们進行一次巧妙的變量代換. 我们可以令:

\frac{x}{a} = \cos t, \frac{y}{b} = \sin t

由此, 我们直接得到了椭圓的參數方程:

\begin{cases} x = a \cos t y = b \sin t \end{cases} (t \text{為參數})

当參數 $t$ 從 $0$ 變化到 $2\pi$ 时, 点 $(x,y)$ 恰好沿着椭圓逆时针运行一周.

一個至關重要的問題是: 參數 $t$ 的几何意義是什么? 一個常见的誤解是认為 $t$ 是点 $P(x,y)$ 的位置向量與 $x$ 轴正向的夹角 (即極角). 事实上并非如此. $t$ 的几何意義，即离心角，需要通過一個辅助几何構造来揭示.

我们引入椭圓的长轴辅助圓, 這是一個與椭圓同中心, 半径等于椭圓半长轴长 $a$ 的圓. 其方程為 $x^2+y^2=a^2$ . \begin{figure}[htbp]

{t} (离心角) 的几何意義} \end{figure} 圖：參數 \texorpdfstring{ $t$

如圖所示, 离心角 $t$ 的構造如下:

從椭圓上任意一点 $P(x,y)$ 向长轴 (即 $x$ 轴) 作垂線, 垂足為 $M$ .
延长 (或缩短) 線段 $MP$ 交长轴辅助圓于点 $Q$ .
则有向角 $\angle MOQ$ (其中 $O$ 為原点) 的大小就是參數 $t$ .

從這個構造中我们可以验證參數方程的正确性. 点 $Q$ 位于半径為 $a$ 的圓上, 且其極角為 $t$ , 因此其坐標為 $(a\cos t, a\sin t)$ . 由于点 $P$ 與点 $Q$ 在同一条垂線上, 它们的横坐標相同, 故 $x = a\cos t$ . 将此 $x$ 代入椭圓的標准方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ :

\frac{(a\cos t)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies \cos^2t + \frac{y^2}{b^2} = 1

\frac{y^2}{b^2} = 1 - \cos^2t = \sin^2t \implies y^2 = b^2\sin^2t

由此可得 $y = \pm b\sin t$ . 结合点 $P$ 與 $Q$ 的位置關係 (同在 $x$ 轴上方或下方), 可知 $y = b\sin t$ . 這一几何構造不僅直观地解释了离心角 $t$ 的含義, 也為我们提供了一個從圓到椭圓的几何變換视角: **椭圓可以看作是将其长轴辅助圓沿短轴方向均匀压缩 (或拉伸) $\frac{b**{a}$ 倍得到的圖形}.

這個动态的、可生成的參數表示法在计算椭圓的切線、面積、弧长以及在物理學中描述椭圓轨道运动时, 都显示出其独特的优越性.

例

设椭圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a\>b\>0)$ 與 $y$ 轴正向的交点為 $B$ . 求以 $B$ 為直角顶点的椭圓内接等腰直角三角形的個數.

解

此問題要求我们探究在椭圓中嵌入特定几何構造的可能性, 其解的個數并非一個固定的整數, 而是依赖于椭圓的形状參數---离心率. 這要求我们從代數方程解的存在性入手, 進行分類讨論.

椭圓與 $y$ 轴正向的交点為短轴顶点 $B(0,b)$ . 设所求的等腰直角三角形為 $\triangle BPQ$ , 其中 $P, Q$ 為椭圓上另外两点. 我们不預先假设 $\triangle BPQ$ 的朝向, 而是采用一种更具普遍性的方法.

设從 $B$ 点出發的一条腰 $BP$ 所在的射線, 其方向向量與 $x$ 轴正向夹角為 $\phi$ . 為簡化计算, 我们设其方向向量為 $(\cos\theta, -\sin\theta)$ . 另一条與之垂直的腰 $BQ$ 的方向向量则為 $(-\sin\theta, -\cos\theta)$ , 以保證两条射線均朝向椭圓内部.

射線 $BP$ 的參數方程為 $\begin{cases} x = t\cos\theta \\ y = b-t\sin\theta \end{cases} (t\>0)$ . 将其代入椭圓方程 $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ :

b^2(t\cos\theta)^2 + a^2(b-t\sin\theta)^2 = a^2b^2

展開并整理, 可得關于 $t=|BP|$ 的二次方程:

(b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta)t^2 - (2a^2b\sin\theta)t = 0

此方程的非零解即為 $|BP|$ 的长度:

|BP| = \frac{2a^2b\sin\theta}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}

同理, 對于射線 $BQ$ , 其參數方程為 $\begin{cases} x=-t\sin\theta \\ y=b-t\cos\theta \end{cases} (t\>0)$ . 代入椭圓方程可得 $|BQ|$ 的长度:

|BQ| = \frac{2a^2b\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}

施加“等腰”条件, 即 $|BP|=|BQ|$ :

\frac{\sin\theta}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta} = \frac{\cos\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}

交叉相乘并整理:

\sin\theta(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta) = \cos\theta(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta)

假设 $\cos\theta \ne 0$ , 两边同除以 $\cos^3\theta$ :

\tan\theta(a^2+b^2\tan^2\theta) = a^2\tan^2\theta+b^2

令 $T = \tan\theta$ , 我们得到一個關于 $T$ 的三次方程:

b^2T^3 - a^2T^2 + a^2T - b^2 = 0

注意到 $T=1$ 是该方程的一個根, 因為 $b^2(1)^3 - a^2(1)^2 + a^2(1) - b^2 = 0$ . 因此, 我们可以分解因式:

(T-1)[b^2T^2 + (b^2-a^2)T + b^2] = 0

三角形的個數取决于该方程实數根的個數. 一個根是 $T=\tan\theta=1$ , 這對應于 $\theta=45^\circ$ , 此时两腰對称于 $y$ 轴, 底边 $PQ$ 水平. 這种三角形总是存在一個.

其他可能的解源于二次方程 $b^2T^2 + (b^2-a^2)T + b^2 = 0$ . 我们考察该二次方程的判别式 $\Delta$ :

\Delta = (b^2-a^2)^2 - 4(b^2)(b^2) = (b^2-a^2)^2 - 4b^4

利用 $c^2=a^2-b^2$ , 即 $b^2-a^2=-c^2$ , 判别式化為:

\Delta = (-c^2)^2 - 4b^4 = c^4 - 4b^4 = (c^2-2b^2)(c^2+2b^2)

由于 $c^2+2b^2\>0$ , $\Delta$ 的符号由 $c^2-2b^2$ 决定. 我们将此条件转化為關于离心率 $e$ 的不等式:

c^2 - 2b^2 \> 0 \iff c^2 \> 2(a^2-c^2) \iff 3c^2 \> 2a^2 \iff e^2 \> \frac{2}{3} \iff e \> \frac{\sqrt{6}}{3}

接着, 我们進行分類讨論:

**当 $e \> \frac{\sqrt{6**}{3}$ }, 即 $c^2 \> 2b^2$ , $\Delta\>0$ . 此时二次方程有两個不相等的实數根 $T_1, T_2$ . 注意到 $T=1$ 不是该二次方程的根 (代入得 $2b^2-a^2 \ne 0$ , 除非 $c^2=2b^2$ ). 因此, 总共有三個不同的实數根 $1, T_1, T_2$ . 每個根對應一個 $\theta$ 值, 從而對應一個唯一的等腰直角三角形. 故此时共有 3 個這样的三角形.
**当 $e = \frac{\sqrt{6**}{3}$ }, 即 $c^2 = 2b^2$ , $\Delta=0$ . 此时二次方程有一個重根 $T = -\frac{b^2-a^2}{2b^2} = \frac{c^2}{2b^2} = \frac{2b^2}{2b^2}=1$ . 這意味着三次方程有三重根 $T=1$ . 因此只存在一個 $\tan\theta=1$ 的解. 故此时只有 1 個這样的三角形.
**当 $e \< \frac{\sqrt{6**}{3}$ }, 即 $c^2 \< 2b^2$ , $\Delta\<0$ . 此时二次方程没有实數根. 三次方程唯一的实數根是 $T=1$ . 故此时也只有 1 個這样的三角形.

綜上所述, 椭圓内接等腰直角三角形的個數取决于其离心率 $e$ :

若 $e \> \frac{\sqrt{6}}{3}$ , 存在 3 個.
若 $0 \< e \le \frac{\sqrt{6}}{3}$ , 存在 1 個.

椭圓的切線方程

我们現在来推導經過椭圓上一点的切線方程. 這是一個将微分思想與代數技巧相结合的經典范例. 考虑標准椭圓 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ . 為了求得曲線上任意一点 $P(x_0, y_0)$ 的切線斜率, 我们對方程两边關于 $x$ 進行隐式微分:

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right) = \frac{d}{dx}(1)

\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx} = 0

由此, 我们可以解出切線的斜率 $\frac{dy}{dx}$ :

\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}

在点 $P(x_0, y_0)$ 处, 切線的斜率為 $m = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$ . 利用直線的点斜式方程 $y-y_0=m(x-x_0)$ , 我们得到:

y-y_0 = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)

為了将其化為更簡洁對称的形式, 我们對上式两边同乘 $a^2y_0$ :

a^2y_0(y-y_0) = -b^2x_0(x-x_0)

a^2yy_0 - a^2y_0^2 = -b^2xx_0 + b^2x_0^2

将含有變量的項移到一边:

b^2xx_0 + a^2yy_0 = b^2x_0^2 + a^2y_0^2

注意到方程的右侧, 由于点 $P(x_0, y_0)$ 在椭圓上, 其坐標满足椭圓方程, 即 $\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ . 将此式两边同乘 $a^2b^2$ , 得到 $b^2x_0^2+a^2y_0^2 = a^2b^2$ . 将此结果代入切線方程, 我们得到:

b^2xx_0 + a^2yy_0 = a^2b^2

最后, 两边同除以 $a^2b^2$ , 便得到了椭圓切線方程極為优美的標准形式:

\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1

這個形式具有深刻的“替換”對称性: 将椭圓標准方程中的一個 $x$ 和一個 $y$ 替換為切点的坐標 $x_0$ 和 $y_0$ .

若切点由參數方程给出, $P(a\cos t, b\sin t)$ , 我们只需将 $x_0=a\cos t$ 和 $y_0=b\sin t$ 代入上式, 即可得到切線方程的參數形式:

\frac{x(a\cos t)}{a^2} + \frac{y(b\sin t)}{b^2} = 1

\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1

例

證明自椭圓的两焦点向其任任意切線所作垂線段长的乘積為定值.

證明

這是一個揭示椭圓深刻几何性質的經典定理. 參數方程在此問題的證明中展現了其强大的威力. 我们考虑中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上的椭圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . 其焦点為 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$ . 利用參數方程, 椭圓上任意一点 $P$ 可表示為 $(a\cos\theta, b\sin\theta)$ . 根据我们刚刚導出的结論, 過此点的切線方程為:

\frac{x\cos\theta}{a} + \frac{y\sin\theta}{b} = 1

為了使用点到直線的距离公式, 我们将其改寫為一般形式:

\left(\frac{\cos\theta}{a}\right)x + \left(\frac{\sin\theta}{b}\right)y - 1 = 0

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：焦点到切線的垂線段

设两焦点到该切線的距离分别為 $d_1$ 和 $d_2$ . 根据点到直線的距离公式:

\begin{aligned} d_1 &= \frac{\left| \frac{\cos\theta}{a}(-c) + \frac{\sin\theta}{b}(0) - 1 \right|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}}} = \frac{\left| -\frac{c\cos\theta}{a} - 1 \right|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}}} d_2 &= \frac{\left| \frac{\cos\theta}{a}(c) + \frac{\sin\theta}{b}(0) - 1 \right|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}}} = \frac{\left| \frac{c\cos\theta}{a} - 1 \right|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}}} \end{aligned}

我们現在计算這两個距离的乘積 $d_1d_2$ . 分子和分母分别相乘:

d_1 d_2 = \frac{\left| \left(-\frac{c\cos\theta}{a} - 1\right)\left(\frac{c\cos\theta}{a} - 1\right) \right|}{\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}} = \frac{\left| 1 - \frac{c^2\cos^2\theta}{a^2} \right|}{\frac{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}{a^2b^2}}

我们對分子和分母分别進行化簡. 對于分子:

\left| 1 - \frac{c^2\cos^2\theta}{a^2} \right| = \frac{|a^2 - c^2\cos^2\theta|}{a^2}

對于分母:

\begin{aligned} b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta &= b^2\cos^2\theta+a^2(1-\cos^2\theta) &= b^2\cos^2\theta + a^2 - a^2\cos^2\theta &= a^2 - (a^2-b^2)\cos^2\theta &= a^2 - c^2\cos^2\theta \end{aligned}

将化簡后的结果代回原式:

d_1 d_2 = \frac{\frac{|a^2 - c^2\cos^2\theta|}{a^2}}{\frac{a^2 - c^2\cos^2\theta}{a^2b^2}} = \frac{|a^2 - c^2\cos^2\theta|}{a^2} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2 - c^2\cos^2\theta}

注意到, 由于 $a\>c$ 且 $|\cos\theta|\le 1$ , 必然有 $a^2 \> c^2 \ge c^2\cos^2\theta$ , 因此表达式 $a^2 - c^2\cos^2\theta$ 恒為正. 故绝對值符号可以去掉.

d_1 d_2 = \frac{a^2 - c^2\cos^2\theta}{a^2} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2 - c^2\cos^2\theta} = b^2

此结果 $b^2$ (半短轴长的平方) 是一個不依赖于切点位置 (即參數 $\theta$ ) 的常數. 證毕.

椭圓的光學與声學性質

二次曲線的几何特性不僅在纯粹數學中展現出和谐與优美, 更在物理世界中扮演着至關重要的角色. 椭圓最引人入胜的性質之一便是其独特的反射特性, 這一性質是自然界和人類工程學中众多現象與设计的理論基石.

椭圓的反射性質

從椭圓的一個焦点發出的任何射線 (如光線或声波), 經過椭圓内壁的一次反射后, 其反射射線必将精确地汇聚于另一個焦点.

證明

根据物理學中的反射定律, 入射角等于反射角. 在几何上, 這等价于證明: 在椭圓上任意一点 $P$ 处的切線, 是两条焦半径 $F_1P$ 和 $F_2P$ 所構成的角的外角平分線. 一個更便于向量分析的等价命題是: 该点处的法線是 $\angle F_1PF_2$ 的内角平分線.

设椭圓方程為 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , 焦点為 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ . 取椭圓上任意一点 $P(x_0, y_0)$ .

\begin{figure}[htbp]

{alpha_i} 等于反射角 \texorpdfstring{$\alpha_r$}{alpha_r}}

\end{figure} 圖：椭圓的反射性質: 入射角 \texorpdfstring{ $\alpha_i$

要證明法線平分 $\angle F_1PF_2$ , 我们采用向量法, 證明法向量與向量 $\overrightarrow{PF_1}$ 和 $\overrightarrow{PF_2}$ 的夹角相等. 過点 $P(x_0,y_0)$ 的切線方程為 $\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1$ . 因此, 该切線的一個法向量為 $\overrightarrow{n} = \left(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}\right)$ .

向量 $\overrightarrow{PF_1} = (-c-x_0, -y_0)$ 和 $\overrightarrow{PF_2} = (c-x_0, -y_0)$ . 在计算夹角之前, 我们首先需要建立一個至關重要的结論.

焦半径公式

對于椭圓上一点 $P(x_0, y_0)$ , 其到两焦点的距离為

|PF_1| = a+ex_0, |PF_2| = a-ex_0

其中 $e=\frac{c}{a}$ 是离心率.

我们直接计算 $|PF_2|^2$ :

\begin{aligned} |PF_2|^2 &= (x_0-c)^2+y_0^2 = x_0^2-2cx_0+c^2+b^2\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}\right) &= x_0^2-2cx_0+c^2+b^2-\frac{b^2x_0^2}{a^2} &= x_0^2-2cx_0+c^2+(a^2-c^2)-\frac{(a^2-c^2)x_0^2}{a^2} (\text{代入 } b^2=a^2-c^2) &= a^2-2cx_0+x_0^2\frac{c^2}{a^2} = a^2-2a\left(\frac{c}{a}\right)x_0+\left(\frac{c}{a}x_0\right)^2 &= (a-ex_0)^2 \end{aligned}

由于 $P$ 在椭圓上, $|x_0| \le a$ , 且 $e\<1$ , 故 $a-ex_0 \> 0$ . 因此 $|PF_2|=a-ex_0$ . 根据椭圓的定義 $|PF_1|+|PF_2|=2a$ , 可得 $|PF_1|=2a-(a-ex_0) = a+ex_0$ .

現在我们计算法向量 $\overrightarrow{n}$ 與焦半径向量 $\overrightarrow{PF_1}$ 和 $\overrightarrow{PF_2}$ 的夹角 $\alpha_1, \alpha_2$ 的余弦值.

\begin{aligned} \cos\alpha_1 = \cos(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{PF_1}) &= \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PF_1}}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{PF_1}|} = \frac{\left(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}\right) \cdot (-c-x_0, -y_0)}{|\overrightarrow{n}| |PF_1|} &= \frac{-\frac{cx_0}{a^2}-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}}{|\overrightarrow{n}| (a+ex_0)} = \frac{-\frac{c}{a}\frac{x_0}{a} - \left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)}{|\overrightarrow{n}| (a+ex_0)} &= \frac{-e\frac{x_0}{a} - 1}{|\overrightarrow{n}| (a+ex_0)} = -\frac{1}{a|\overrightarrow{n}|}\frac{ex_0+a}{a+ex_0} = -\frac{1}{a|\overrightarrow{n}|} \end{aligned}

\begin{aligned} \cos\alpha_2 = \cos(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{PF_2}) &= \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PF_2}}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{PF_2}|} = \frac{\left(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}\right) \cdot (c-x_0, -y_0)}{|\overrightarrow{n}| |PF_2|} &= \frac{\frac{cx_0}{a^2}-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}}{|\overrightarrow{n}| (a-ex_0)} = \frac{e\frac{x_0}{a} - 1}{|\overrightarrow{n}| (a-ex_0)} &= \frac{1}{a|\overrightarrow{n}|}\frac{ex_0-a}{a-ex_0} = -\frac{1}{a|\overrightarrow{n}|} \end{aligned}

由于 $\cos\alpha_1 = \cos\alpha_2$ , 且两個向量夹角均在 $[0, \pi]$ 范围内, 故 $\alpha_1=\alpha_2$ . 這證明了法線确实平分 $\angle F_1PF_2$ . 根据反射定律, 這意味着從 $F_1$ 發出、經由点 $P$ 反射的光線, 其路径與向量 $\overrightarrow{PF_2}$ 共線, 即必将朝向另一個焦点 $F_2$ . 證毕.

證明（平面几何法）

我们的策略是證明: 對于椭圓上任意一点 $P$ , 其两条焦半径 $F_1P$ 和 $F_2P$ 對切線张開的角度是相等的.

设 $l$ 為椭圓在点 $P$ 处的切線. 根据凸曲線的性質, 切線 $l$ 與椭圓僅有唯一的公共点 $P$ , 且整個椭圓位于 $l$ 的一侧. 我们的核心構造如下: 延长焦半径 $F_1P$ 至点 $G$ , 使得 $|PG|=|PF_2|$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：椭圓反射性質的几何證明

根据椭圓的定義, $|F_1P| + |PF_2| = 2a$ . 由我们的構造, $|F_1G| = |F_1P|+|PG| = |F_1P|+|PF_2| = 2a$ . 這意味着, 對于固定的焦点 $F_1$ , 点 $G$ 的轨迹是一個以 $F_1$ 為圓心, 半径為 $2a$ 的圓.

現在, 我们来考察 $\triangle F_2PG$ . 由于 $|PG|=|PF_2|$ , 這是一個以 $P$ 為顶点的等腰三角形.

我们的目標是證明切線 $l$ 平分外角 $\angle F_2PG$ . 在等腰三角形 $\triangle F_2PG$ 中, 顶点角 $\angle F_2PG$ 的平分線, 必然是底边 $F_2G$ 的垂直平分線. 因此, 我们的任务转化為證明: 切線 $l$ 是線段 $F_2G$ 的垂直平分線.

我们采用反證法. 假设切線 $l$ 不是 $F_2G$ 的垂直平分線. 那么, 设 $l'$ 是 $F_2G$ 的垂直平分線. 由于 $\triangle F_2PG$ 是等腰三角形, $l'$ 必然經過顶点 $P$ .

現在取 $l'$ 上异于 $P$ 的任意一点 $Q$ . 由于 $l'$ 是 $F_2G$ 的中垂線, 我们有 $|QF_2|=|QG|$ . 我们来计算点 $Q$ 的焦半径之和:

|QF_1| + |QF_2| = |QF_1| + |QG|

在 $\triangle QF_1G$ 中, 根据三角形两边之和大于第三边的公理, 我们有

|QF_1| + |QG| \> |F_1G|

而已知 $|F_1G|=2a$ , 故

|QF_1| + |QF_2| \> 2a

這個不等式表明, 直線 $l'$ 上除了点 $P$ 之外的任何点 $Q$ 都在椭圓的外部. 根据切線的定義, 這条直線 $l'$ 就是椭圓在点 $P$ 处的切線. 因此, $l'=l$ .

我们已經證明了椭圓在点 $P$ 处的切線 $l$ 就是線段 $F_2G$ 的垂直平分線. 作為 $F_2G$ 的中垂線, $l$ 上的任意一点到 $F_2$ 和 $G$ 的距离都相等. 這也意味着 $\angle F_2Pl = \angle GPl$ . 由于 $\angle GPl$ 與 $\angle F_1Pl'$ (其中 $l'$ 是 $l$ 的反向延长線) 是對顶角, 它们相等. 因此, $\angle F_2Pl = \angle F_1Pl'$ , 這在光學上意味着入射光線 $F_1P$ 的延长線與反射光線 $PF_2$ 關于法線對称. 也就是說, 從 $F_1$ 出發的光線經反射后必經過 $F_2$ . 證毕.

例

已知椭圓 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 中的两焦点 $F_1(3,0), F_2(-3,0)$ , 由点 $F_1$ 射出一光線至椭圓上一点 $A_1$ , 經反射后經過另一焦点 $F_2$ 后至椭圓上另一点 $A_2$ , 再反射回到焦点 $F_1$ , 则所經過的路径长度為何?

解

此問題完美地展示了椭圓的反射性質與其基本定義的结合. 問題的核心在于将光線的路径分解, 并利用椭圓的几何性質進行计算.

首先, 我们從椭圓的方程 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 中确定其關键參數. 這是一個標准形式的椭圓, 其中 $a^2=25, b^2=16$ , 因此半长轴长 $a=5$ . (我们可以验證焦距 $c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{25-16}=3$ , 與題设焦点坐標相符).

光線所經過的总路径由三個部分構成:

從 $F_1$ 到 $A_1$ , 长度為 $|F_1A_1|$ .
從 $A_1$ 反射, 經過 $F_2$ , 到达 $A_2$ . 根据椭圓的反射性質, 從 $A_1$ 反射的光線必将經過 $F_2$ , 因此 $A_1, F_2, A_2$ 三点共線. 這一段路径的长度為 $|A_1A_2| = |A_1F_2| + |F_2A_2|$ .
從 $A_2$ 反射, 回到 $F_1$ . 這一段路径的长度為 $|A_2F_1|$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：光線在椭圓内的反射路径

因此, 总的路径长度 $L$ 為:

L = |F_1A_1| + |A_1A_2| + |A_2F_1|

将 $|A_1A_2|$ 替換為其分段之和:

L = |F_1A_1| + (|A_1F_2| + |F_2A_2|) + |A_2F_1|

我们重新组合上式中的各項, 以便利用椭圓的定義.

L = (|F_1A_1| + |A_1F_2|) + (|F_2A_2| + |A_2F_1|)

注意到:

点 $A_1$ 是椭圓上的一点. 根据椭圓的定義, 该点到两焦点的距离之和為常數 $2a$ .

|F_1A_1| + |A_1F_2| = 2a

同样, 点 $A_2$ 也是椭圓上的一点, 故其到两焦点的距离之和也為常數 $2a$ .

|F_2A_2| + |A_2F_1| = 2a

将這两個结論代回总路径长度的表达式:

L = 2a + 2a = 4a

這是一個不依赖于反射点 $A_1, A_2$ 具體位置的定值.

對于本題中的椭圓, 我们已經确定 $a=5$ . 因此, 总路径长度為:

L = 4 \times 5 = 20

椭圓的導演圓

椭圓的反射性質揭示了其焦点與單一切線之間的深刻联係. 一個自然而然的推廣問題是: 当我们考虑從同一個点出發的两条切線时, 它们的几何關係又会呈現出怎样的规律? 18世纪的法国數學家加斯帕尔·蒙日深入研究了這一問題, 并發現了一個令人惊叹的结論, 其轨迹被称為導演圓 或蒙日圓.

椭圓的導演圓

與椭圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 相切的两条相互垂直的切線的交点的轨迹, 是一個與椭圓同中心的圓, 其方程為:

x^2+y^2 = a^2+b^2

證明

此證明是解析几何中一個运用代數技巧解决轨迹問題的典范. 核心思想是通過建立一個關于切線斜率的二次方程, 并利用根與係數的關係来施加“相互垂直”這一几何约束.

设 $P(x_0, y_0)$ 是所求轨迹上的任意一点. 從点 $P$ 出發可以引出两条與椭圓相切的直線. 设其中一条切線的方程為

y-y_0 = m(x-x_0) \text{即} y = mx + (y_0-mx_0)

我们首先需要建立直線 $y=mx+k$ 與椭圓相切的条件. 将直線方程代入椭圓方程并整理成關于 $x$ 的二次方程:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{(mx+k)^2}{b^2} = 1 \implies (b^2+a^2m^2)x^2 + 2a^2mkx + a^2(k^2-b^2)=0

直線與椭圓相切, 意味着此二次方程有唯一解, 即其判别式 $\Delta$ 為零:

(2a^2mk)^2 - 4(b^2+a^2m^2)a^2(k^2-b^2) = 0

化簡可得 $a^2m^2k^2 - (b^2+a^2m^2)(k^2-b^2) = 0$ , 最终得到一個普适的切線条件:

k^2 = a^2m^2+b^2

對于我们设定的過点 $P(x_0, y_0)$ 的切線 $y = mx + (y_0-mx_0)$ , 其截距 $k = y_0-mx_0$ . 将此代入切線条件:

(y_0-mx_0)^2 = a^2m^2+b^2

展開并整理成一個關于斜率 $m$ 的二次方程:

y_0^2 - 2mx_0y_0 + m^2x_0^2 = a^2m^2+b^2

(x_0^2-a^2)m^2 - (2x_0y_0)m + (y_0^2-b^2) = 0

這個方程的两個根 $m_1$ 和 $m_2$ 正是從点 $P(x_0, y_0)$ 引出的两条切線的斜率.

根据題意, 這两条切線是相互垂直的. 這意味着它们的斜率之積為 $-1$ :

m_1 m_2 = -1

根据韦达定理, 二次方程根的乘積等于常數項除以二次項係數:

m_1 m_2 = \frac{y_0^2-b^2}{x_0^2-a^2}

于是, 我们得到一個關于点 $P(x_0, y_0)$ 坐標的方程:

\frac{y_0^2-b^2}{x_0^2-a^2} = -1

y_0^2-b^2 = -(x_0^2-a^2) = -x_0^2+a^2

整理得到

x_0^2+y_0^2 = a^2+b^2

這就是交点 $P$ 的轨迹方程. 它表示一個以原点為中心, 半径為 $R = \sqrt{a^2+b^2}$ 的圓. 證毕.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：椭圓 (蓝色) 及其導演圓 (红色)

离心率

在确定了椭圓的三個基本几何量 $a, b, c$ 之后, 我们不禁要問: 是什么决定了椭圓的形状? 一個椭圓可以接近圓形, 也可以極為扁长. 我们需要一個独立于其尺寸大小, 能够纯粹描述其形状的參數.

為了回答這個問題, 我们必须回归到椭圓最本原的構造. 椭圓的诞生源于两個核心要素: 焦点間距 $2c$ 和常數和 $2a$ . 參數 $b$ 只是 $a$ 和 $c$ 關係 ( $b^2=a^2-c^2$ ) 的一個派生结果. 因此, 椭圓的形状必然蕴含在 $a$ 和 $c$ 的相對關係之中. 一個自然的、能够消除尺寸影响的度量方法, 就是考察這两個基本长度的比值. 這便引出了离心率的定義.

离心率

椭圓的半焦距 $c$ 與半长轴长 $a$ 的比值称為椭圓的离心率, 记作 $e$ .

e = \frac{c}{a}

“离心率” 一词的字面含義是“偏离中心”. 這個比值精确地量化了焦点 $F_1, F_2$ 偏离椭圓中心的程度, 并且是相對于椭圓的整體尺寸 ( $a$ ) 而言的.

我们来考察其極限情况, 以此揭示其深刻的几何内涵:

当 $e \to 0$ 时: 這意味着 $c \to 0$ . 從几何上看, 两個焦点 $F_1, F_2$ 不断靠近, 最终在中心 $O$ 处重合. 此时, 椭圓的定義 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$ 就退化為 $|PO|+|PO|=2a$ , 即 $|PO|=a$ . 這正是半径為 $a$ 的圓的定義. 在代數上, $c \to 0$ 意味着 $b^2=a^2-c^2 \to a^2$ , 即 $b \to a$ , 椭圓的长短轴相等. 因此, 圓可以被视為离心率為 $0$ 的一种特殊的、完美的椭圓.
当 $e \to 1$ 时: 這意味着 $c \to a$ . 此时 $b^2 = a^2-c^2 \to 0$ , 即 $b \to 0$ . 椭圓的短轴长度趋近于零, 整個圖形在竖直方向上被“压扁”, 極限情况下退化為连接两個焦点 (此时也與顶点重合) 的線段. 离心率越接近 $1$ , 椭圓就越扁长.

這一观察结果極具启發性: 离心率 $e$ (其取值范围為 $0 \le e \< 1$ ) 如同一根“刻度尺”, 完美地度量了椭圓從“最圓” (圓, $e=0$ ) 到“最扁” (線段, $e \to 1$ ) 的全部形态.

一個更深刻且统一的视角, 来自于圓锥曲線的另一個等价定義, 它揭示了离心率是所有二次曲線共有的“基因”.

圓锥曲線的统一焦点-准線定義

平面内到一個定点 $F$ (焦点) 的距离與到一条定直線 $l$ (准線, $F$ 不在 $l$ 上) 的距离之比為常數 $e$ 的点的轨迹, 是一条圓锥曲線. 這個常數 $e$ 就是该曲線的离心率.

当 $0 \< e \< 1$ 时, 轨迹是椭圓.
当 $e = 1$ 时, 轨迹是抛物線.
当 $e \> 1$ 时, 轨迹是雙曲線.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：椭圓的焦点-准線定義

可以證明, 對于椭圓, 這個统一定義中的常數 $e$ 與我们之前定義的比值 $\frac{c}{a}$ 是完全相同的. 准線的位置為 $x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{a}{e}$ . 這個统一定義的意義是很重要的，它告诉我们, 椭圓、抛物線和雙曲線并非三种孤立的曲線, 而是同一個几何法则 ( $|PF|=e|PL|$ ) 在參數 $e$ 取不同值域时的具體表現.

例

求椭圓 $16x^2+25y^2=400$ 的离心率.

解

此為求解离心率最基本的問題. 我们首先需要将给定的椭圓方程转化為其標准形式, 以便清晰地识别出其半长轴與半短轴的长度. 将方程 $16x^2+25y^2=400$ 两边同除以 $400$ , 得到

\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1

化簡得

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1

這是一個焦点位于 $x$ 轴上的椭圓的標准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . 通過比较係數, 我们可以确定 $a^2=25$ 且 $b^2=16$ . 由此得到半长轴长 $a=5$ , 半短轴长 $b=4$ .

离心率的定義是 $e = \frac{c}{a}$ , 其中 $c$ 為半焦距. 這三個量之間由基本關係式 $a^2=b^2+c^2$ 联係. 因此, 我们可以计算出 $c$ :

c^2 = a^2-b^2 = 25-16=9 \implies c=3

接着, 我们便可求得离心率:

e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}

例

已知椭圓的两個焦点與短轴的一個顶点構成一個顶角為 $120^\circ$ 的等腰三角形, 求该椭圓的离心率.

解

此問題将离心率的求解與椭圓的内在几何结構联係起来. 我们需要将角度這一几何信息转化為關于 $a, b, c$ 的代數關係. 设椭圓的標准方程為 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . 其焦点為 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ , 短轴顶点為 $B(0,b)$ .

根据題意, $\triangle F_1BF_2$ 是一個以 $B$ 為顶点的等腰三角形, 其顶角 $\angle F_1BF_2 = 120^\circ$ . $y$ 轴 (即直線 $OB$ ) 是该等腰三角形的對称轴, 因此它平分顶角.

\angle F_2BO = \frac{1}{2}\angle F_1BF_2 = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ

接着, 我们考察直角三角形 $\triangle F_2OB$ . 在此三角形中, 我们有

\tan(\angle F_2BO) = \frac{|OF_2|}{|OB|} = \frac{c}{b}

代入角度值, 我们得到一個關于 $b$ 和 $c$ 的關係:

\tan(60^\circ) = \frac{c}{b} \implies \sqrt{3} = \frac{c}{b} \implies c = \sqrt{3}b

為了求得离心率 $e=\frac{c}{a}$ , 我们需要引入 $a$ . 利用基本關係式 $a^2=b^2+c^2$ :

a^2 = b^2 + (\sqrt{3}b)^2 = b^2 + 3b^2 = 4b^2

由此可得 $a=2b$ . 同时, 将 $b = c/\sqrt{3}$ 代入 $a=2b$ , 得到 $a=2(c/\sqrt{3})$ . 整理此式, 我们便可得到 $c$ 與 $a$ 的比值:

\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

因此, 该椭圓的离心率為 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

例

设 $P$ 為椭圓上任意一点, $F_1, F_2$ 為其两焦点. 若角 $\angle F_1PF_2$ 的最大值為 $90^\circ$ , 求该椭圓的离心率.

解

此問題将离心率與一個極值問題联係起来. 我们需要首先确定在何种条件下 $\angle F_1PF_2$ 取得最大值, 然后利用该条件構建方程.

對于椭圓上的任意点 $P$ , 焦半径 $|PF_1|$ 和 $|PF_2|$ 的和是固定的 $2a$ , 而底边 $|F_1F_2|$ 的长度是固定的 $2c$ . 直观上, 当点 $P$ 距离底边 $F_1F_2$ 最远时, 其對底边所张的角 $\angle F_1PF_2$ 應该最大. 這個最远的位置正是椭圓的短轴顶点.

\begin{figure}[htbp]

{Angle F1PF2} 在短轴顶点处取得最大值}

\end{figure} 圖：角 \texorpdfstring{ $\angle F_1PF_2$

当点 $P$ 位于短轴顶点, 例如 $B(0,b)$ 时, $\triangle F_1BF_2$ 是一個等腰三角形. 根据題意, 该角的最大值為 $90^\circ$ , 這意味着当 $P$ 点為 $B(0,b)$ 时, $\triangle F_1BF_2$ 是一個等腰直角三角形.

在该三角形中, 腰长為 $|BF_1|=|BF_2|$ . 根据椭圓的對称性以及 $a^2=b^2+c^2$ 的几何意義, 我们知道這個腰长等于半长轴长 $a$ . 斜边為 $|F_1F_2| = 2c$ .

根据勾股定理, 我们有

|BF_1|^2 + |BF_2|^2 = |F_1F_2|^2

将 $a$ 和 $c$ 代入:

a^2 + a^2 = (2c)^2

2a^2 = 4c^2

整理此式以得到离心率 $e$ :

\frac{c^2}{a^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

因此, 离心率 $e = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

例

一根长度為 $L$ 的刚性细杆 $AB$ , 其两端点 $A$ 和 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动. 点 $P$ 是杆上的一点, 满足 $|PA|=l_2$ 且 $|PB|=l_1$ , 其中 $l_1+l_2=L$ . 求点 $P$ 的轨迹方程, 并确定该轨迹的离心率.

解

此問題是一個經典的轨迹問題, 其解法优美地展示了參數方程在描述几何生成過程中的威力.

我们建立一個合适的坐標係. 设杆 $AB$ 與 $x$ 轴正向的夹角為 $\theta$ . 则端点 $A$ 在 $x$ 轴上, $B$ 在 $y$ 轴上.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：细杆滑动構造椭圓

過点 $P$ 作 $x$ 轴的垂線, 垂足為 $M$ ; 作 $y$ 轴的垂線, 垂足為 $N$ . 在直角三角形 $APM$ 中, $\angle PAM = \theta$ . 因此

y = |PM| = |PA|\sin\theta = l_2\sin\theta

在直角三角形 $BPN$ 中, $\angle PBN = \angle OAB = \theta$ . 因此

x = |PN| = |PB|\cos\theta = l_1\cos\theta

我们得到了点 $P$ 轨迹的參數方程:

\begin{cases} x = l_1\cos\theta y = l_2\sin\theta \end{cases} (\theta \text{為參數})

這是一個標准的椭圓參數方程. 為了得到其笛卡尔方程, 我们消去參數 $\theta$ .

\frac{x}{l_1} = \cos\theta, \frac{y}{l_2} = \sin\theta

利用三角恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ , 我们得到

\left(\frac{x}{l_1}\right)^2 + \left(\frac{y}{l_2}\right)^2 = 1

\frac{x^2}{l_1^2} + \frac{y^2}{l_2^2} = 1

此即点 $P$ 的轨迹方程, 它确实是一個中心在原点的椭圓.

要确定其离心率, 我们需要区分两种情况, 取决于 $l_1$ 和 $l_2$ 的相對大小.

若 $l_1 \> l_2$ : 此时, 半长轴 $a=l_1$ , 半短轴 $b=l_2$ . 半焦距 $c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{l_1^2-l_2^2}$ . 离心率為 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{l_1^2-l_2^2}}{l_1}$ .
若 $l_2 \> l_1$ : 此时, 半长轴 $a=l_2$ (位于 $y$ 轴上), 半短轴 $b=l_1$ . 半焦距 $c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{l_2^2-l_1^2}$ . 离心率為 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{l_2^2-l_1^2}}{l_2}$ .

綜合来看, 离心率取决于点 $P$ 在杆上的相對位置.

例

设椭圓 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a\>b\>0)$ 的长轴辅助圓為 $C: x^2+y^2=a^2$ . 過椭圓上任意一点 $P$ 作其切線 $l_P$ . 過 $P$ 点的竖直線與辅助圓 $C$ 交于点 $Q$ (设 $P,Q$ 均在 $x$ 轴上方). 過 $Q$ 作圓 $C$ 的切線 $l_Q$ .

證明: 两条切線 $l_P$ 和 $l_Q$ 相交于 $x$ 轴上同一点.
若由两条切線 $l_P, l_Q$ 以及 $y$ 轴所围成的三角形面積的最小值等于 $ab$ , 求椭圓 $E$ 的离心率 $e$ .

解

(1) 我们采用參數方程来描述点的位置, 這将極大地簡化切線方程的表达. 设椭圓上点 $P$ 的离心角為 $t \in (0,\pi)$ , 则其坐標為 $P(a\cos t, b\sin t)$ . 根据离心角的几何意義, 與 $P$ 對應的辅助圓上的点 $Q$ 坐標為 $Q(a\cos t, a\sin t)$ .

過点 $P$ 的椭圓切線 $l_P$ 方程為:

\frac{x \cos t}{a} + \frac{y \sin t}{b} = 1

過点 $Q$ 的圓 $C$ 的切線 $l_Q$ 方程為 (應用圓的切線公式 $xx_0+yy_0=R^2$ ):

x(a\cos t) + y(a\sin t) = a^2 \implies x\cos t + y\sin t = a

為了寻找两切線的交点, 我们令 $y=0$ , 分别求它们在 $x$ 轴上的截距. 對于 $l_P$ : $\frac{x \cos t}{a} = 1 \implies x = \frac{a}{\cos t}$ . 對于 $l_Q$ : $x\cos t = a \implies x = \frac{a}{\cos t}$ . 由于两条切線在 $x$ 轴上的截距完全相同, 它们必然相交于 $x$ 轴上的同一点, 记為 $T(\frac{a}{\cos t}, 0)$ . 證毕.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：两切線與 $y$ 轴围成的三角形

(2) 所述三角形是由两条切線與 $y$ 轴围成. 其三個顶点為两条切線在 $y$ 轴上的截距点, 以及它们在 $x$ 轴上的公共交点 $T$ . 我们首先求出两条切線在 $y$ 轴上的截距. 對于 $l_P$ , 令 $x=0$ , 得 $\frac{y \sin t}{b} = 1 \implies y = \frac{b}{\sin t}$ . 對于 $l_Q$ , 令 $x=0$ , 得 $y \sin t = a \implies y = \frac{a}{\sin t}$ .

该区域是一個以 $y$ 轴部分線段為底, 顶点為 $T$ 的三角形. 其底边长為 $\left|\frac{a}{\sin t} - \frac{b}{\sin t}\right| = \frac{a-b}{\sin t}$ (由于 $t \in (0,\pi)$ , $\sin t\>0$ 且 $a\>b$ ). 其高為点 $T$ 到 $y$ 轴的距离, 即 $T$ 点的横坐標的绝對值 $|\frac{a}{\cos t}|$ .

三角形的面積 $S(t)$ 為:

S(t) = \frac{1}{2} \cdot \text{底} \cdot \text{高} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a-b}{\sin t} \cdot \left|\frac{a}{\cos t}\right| = \frac{a(a-b)}{|2\sin t \cos t|} = \frac{a(a-b)}{|\sin(2t)|}

我们需要求這個面積函數的最小值. 由于分母 $|\sin(2t)|$ 的最大值為 $1$ (当 $2t=\pi/2$ , 即 $t=\pi/4$ 时), 面積 $S(t)$ 的最小值在此时取得.

S_{\min} = \frac{a(a-b)}{1} = a(a-b)

根据題设条件, 這個最小值等于 $ab$ .

a(a-b) = ab

由于 $a \ne 0$ , 我们可以将方程两边同除以 $a$ :

a-b = b \implies a = 2b

這個關係唯一地确定了椭圓的形状. 我们接着计算其离心率:

e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{b^2}{(2b)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

故椭圓 $E$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

例

以正方形 $ABCD$ 的相對顶点 $A, C$ 為焦点的椭圓, 恰過正方形四边的中点, 则椭圓的离心率為( ).

解

此問題巧妙地将正方形的几何對称性與椭圓的焦点定義结合起来. 為了揭示其内在的數量關係, 我们必须建立一個能充分利用這种對称性的坐標係.

我们選择以正方形的中心為原点, 以焦点所在的對角線 $AC$ 為 $x$ 轴建立平面直角坐標係. 设椭圓的半焦距為 $c$ , 则焦点坐標為 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$ . 這两個焦点也即是正方形的顶点 $A$ 和 $C$ . 由于 $AC$ 是正方形的對角線, 其长度為 $2c$ , 且中心在原点, 我们可以确定另外两個顶点 $B$ 和 $D$ 的坐標為 $(0,c)$ 和 $(0,-c)$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：椭圓與内切正方形

椭圓經過正方形四边的中点. 我们取边 $BC$ 的中点 $M$ 進行分析. 其坐標為 $M\left(\frac{c+0}{2}, \frac{0+c}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, \frac{c}{2}\right)$ .

根据椭圓的定義, 点 $M$ 到两焦点的距离之和等于常數 $2a$ :

|MF_1| + |MF_2| = 2a

我们分别计算這两個焦半径的长度:

|MF_1| = \sqrt{\left(\frac{c}{2} - (-c)\right)^2 + \left(\frac{c}{2}-0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3c}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9c^2}{4}+\frac{c^2}{4}} = \frac{\sqrt{10}c}{2}

|MF_2| = \sqrt{\left(\frac{c}{2} - c\right)^2 + \left(\frac{c}{2}-0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{c^2}{4}+\frac{c^2}{4}} = \frac{\sqrt{2}c}{2}

将這些距离代入定義式:

2a = \frac{\sqrt{10}c}{2} + \frac{\sqrt{2}c}{2} = \frac{c(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{2}

由此, 我们可以直接求得离心率 $e$ :

e = \frac{c}{a} = \frac{c}{c(\sqrt{10}+\sqrt{2})/4} = \frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}

為了得到一個更簡洁的形式, 我们對分母進行有理化:

e = \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{(\sqrt{10}+\sqrt{2})(\sqrt{10}-\sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{10-2} = \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}

圓锥曲線基本解題策略

從直線與圓锥曲線的位置關係谈起

在前面的几节中，我们已經推導出椭圓、雙曲線和抛物線的標准方程以及它们之間的一些有趣的應用，接下来，我们将進入解析几何的核心领域，或者是他最核心的思想：通過代數工具来研究几何對象之間的动态關係. 而在這其中，最基本也是最重要的關係，便是直線與圓锥曲線的位置關係. 我们的任务，就是建立一套係统性的方法，将“相交”、“相切”、“弦长”、“中点”等几何概念，精确地翻译成代數語言.

研究直線與圓锥曲線的位置關係，其代數上的第一步是求解由它们的方程组成的方程组.

设直線 $l$ 的方程為 $Ax+By+C=0$ , 圓锥曲線 $\mathcal{C}$ 的方程為 $f(x,y)=0$ . 联立方程组：

\begin{cases} Ax+By+C=0 f(x,y)=0 \end{cases}

通過消元（例如，将 $y=kx+m$ 代入 $f(x,y)=0$ ）, 我们通常会得到一個關于變量 $x$ (或 $y$ ) 的一元二次方程：

ax^2+bx+c=0 (a \neq 0)

這個一元二次方程是连接几何與代數的桥梁，其性質直接反映了直線與曲線的几何關係.

\paragraph{判别式與交点個數} 一元二次方程的实數根的個數决定了直線與圓锥曲線的交点個數. 其判别式 $\Delta = b^2-4ac$ 的符号是判断位置關係的核心指標.

$\Delta \> 0 \iff$ 方程有两個不等实根 $\iff$ 直線與曲線相交于两点.
$\Delta = 0 \iff$ 方程有两個相等实根 $\iff$ 直線與曲線相切于一点.
$\Delta \< 0 \iff$ 方程无实根 $\iff$ 直線與曲線相离，无公共点.

需要注意的是，当直線是雙曲線的渐近線的平行線或抛物線的對称轴的平行線时，联立消元后将得到一個一次方程，此时直線與曲線只有一個交点，但這种情况并非相切. 因此， $\Delta=0$ 是相切的充分条件，但在运用时需注意二次項係數不為零.

這個结論完美地展示了解析几何的精髓：将直观的几何概念精确地转化為可计算的代數结構. 但我们必须深入思考：為什么几何圖形的“相交”與代數方程的“判别式”之間存在如此必然的、一一對應的關係？這個联係的建立，依赖于一個严密的逻辑链条：

在笛卡尔坐標係中，任何一個几何圖形（如直線、椭圓）都可以被看作是一個点的集合，這個集合中的每一個点的坐標 $(x,y)$ 都满足一個特定的代數方程. 一個交点的几何意義是, 這個点同时位于直線上和圓锥曲線上. 将這個几何描述翻译成代數語言就是：這個交点的坐標 $(x,y)$ 必须同时满足直線方程和圓锥曲線方程.

在代數中，寻找同时满足多個方程的解，這個過程被称為解方程组. 因此，寻找几何交点的問題，被完全转化為了求解代數方程组的問題. 這個方程组的实數解的组數，就等于几何圖形的交点個數.

為了求解這個包含两個變量的方程组，我们通常使用消元法. 利用较為簡單的線性方程来表达一個變量與另一個變量的關係（例如 $y=kx+m$ ）, 然后将其代入到二次曲線方程中. 這個代入的過程, 本質上是将問題進行了降維：我们從一個二維平面上的問題（寻找点 $(x,y)$ ）, 转化為了一個一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 所描述的一維數轴上的問題（寻找满足条件的横坐標 $x$ ）.

這個一元二次方程的每一個实數根，都對應着一個交点的横坐標. 若方程有两個不等的实數根 $x_1, x_2$ , 则對應两個不同的交点；若方程有两個相等的实數根 $x_0$ , 则只對應一個交点；若方程没有实數根, 则意味着在实數范围内, 不存在任何一個 $x$ 值能满足這個由几何問題转化而来的代數约束，故不存在任何交点. 因此，一元二次方程的实數根的個數，與几何圖形的交点個數，在此建立了严格的一一對應關係.

于是，問題最终归结為：如何判断一個一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实數根的個數？這正是判别式 $\Delta = b^2-4ac$ 的根本作用. 根据二次方程求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , $\Delta$ 的符号决定了根式 $\sqrt{\Delta}$ 是实數还是虚數，從而裁定了实數根的個數.

通過以上五個步骤的严密推理，我们建立了一条從几何到代數的逻辑通路：

\text{几何交点個數} \xrightarrow{\text{坐標化}} \text{方程组实數解的组數} \xrightarrow{\text{消元}} \text{一元二次方程实數根的個數} \xrightarrow{\text{判别式}} \Delta \text{ 的符号}

\paragraph{韦达定理} 当 $\Delta \ge 0$ 时, 我们确知交点存在. 一個自然而然的想法是, 直接解出方程的两個根 $x_1, x_2$ , 從而获得交点的确切坐標，再進行后續的几何计算. 這种“求出坐標再计算”的思路，在逻辑上完全可行，但在实践中往往会引導我们進入一条荆棘丛生的代數路径.

让我们审视這個一元二次方程的求根公式：

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

除非問題經過精心设计，否则根号下的判别式 $\Delta$ 通常不是一個完全平方數. 這意味着交点的横坐標 $x_1, x_2$ 将是包含无理數的複杂表达式. 将這样複杂的代數式代入到几何计算中，那确实不是人能算出来的了.

然而，在這些看似繁杂的计算中蕴含着深刻的规律. 例如，在计算弦中点横坐標 $\frac{x_1+x_2}{2}$ 时：

\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-2b}{2a} \right) = -\frac{b}{2a}

我们观察到，那個最棘手的无理部分 $\sqrt{\Delta}$ 在求和過程中竟然相互抵消了. 最终的结果 $\left(-\frac{b}{2a}\right)$ 异常簡洁, 并且只與方程的係數 $a, b$ 有關. 這强烈地暗示我们：或许根本没有必要去求解根的具體值，我们需要的可能只是根的某些“整體性質”，比如它们的和或積.

法国數學家弗朗索瓦·韦达的工作，正是响應這种需求而生的完美工具. 它揭示了一個深刻的事实：一元二次方程两根的和與積，可以直接由其係數确定，完全无需經過開方运算.

韦达定理

若一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根為 $x_1, x_2$ , 则它们满足以下關係：

x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, x_1x_2 = \frac{c}{a}

韦达定理的引入，催生了解析几何中一种極為重要的數學思想——设而不求. 其核心是：我们可以大胆地设出交点坐標為 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ , 但我们從不打算真正去解出它们. 我们只是将它们作為逻辑推理的载體, 并将所有需要的几何量, 都想方设法地用交点坐標的對称表达式 $(x_1+x_2, x_1x_2)$ 来表示.

在解析几何的語境中，韦达定理的意義被極大地放大了. 因為一元二次方程的係數 $a, b, c$ 是由直線參數（如斜率 $k$ ）和曲線參數（如 $a^2, b^2$ ）组合而成的. 于是，韦达定理建立起了一条至關重要的逻辑链：

\text{几何要素參數 } \xrightarrow{\text{联立}} \text{二次方程係數 } \xrightarrow{\text{韦达定理}} \text{交点坐標的整體性質 }

基本几何量的计算

当直線與圓锥曲線相交于两点 $P_1, P_2$ 时, 線段 $P_1P_2$ 称為曲線的一条弦. 其长度 $|P_1P_2|$ 是一個基本的几何量，可以通過韦达定理精确计算.

设直線方程為 $y=kx+m$ . 由两点間距离公式：

|P_1P_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} = \sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|

而 $|x_1-x_2|$ 可以通過韦达定理表示，完全避免求解根的具體值：

(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\frac{c}{a} = \frac{b^2-4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}

因此， $|x_1-x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$ .

弦长公式

若直線 $y=kx+m$ 與圓锥曲線交于两点, 且联立消元后得到的關于 $x$ 的一元二次方程為 $ax^2+bx+c=0$ , 则弦长為：

|P_1P_2| = \sqrt{1+k^2} \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

若直線方程為 $x=my+n$ , 联立消元后得到關于 $y$ 的方程為 $ay^2+by+c=0$ , 则弦长為：

|P_1P_2| = \sqrt{1+m^2} \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}

此公式将弦长這一几何量，完全用联立后方程的代數係數来表达，是“设而不求”思想的完美體現.

例

求直線 $y=x-1$ 被抛物線 $y^2=4x$ 截得的弦长.

解

联立直線與抛物線的方程，得到方程组：

\begin{cases} y = x-1 y^2 = 4x \end{cases}

消去 $y$ , 整理得到關于 $x$ 的一元二次方程：

(x-1)^2 = 4x

x^2 - 2x + 1 = 4x

x^2 - 6x + 1 = 0

此方程的係數為 $a=1, b=-6, c=1$ . 直線的斜率 $k=1$ . 判别式為：

\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(1) = 32 \> 0

表明直線與抛物線有两個不同的交点. 根据弦长公式，所求弦长為：

|P_1P_2| = \sqrt{1+k^2} \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{1+1^2} \frac{\sqrt{32}}{|1|} = \sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 8

例

求椭圓 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的過右焦点 $F$ 且斜率為 $k$ 的弦的长度.

解

對于椭圓 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ , 有 $a^2=4, b^2=1$ , 故半焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}$ . 其右焦点坐標為 $F(\sqrt{3}, 0)$ . 過点 $F$ 且斜率為 $k$ 的直線方程為：

y = k(x-\sqrt{3})

将其代入椭圓方程并整理：

\frac{x^2}{4} + k^2(x-\sqrt{3})^2 = 1

x^2 + 4k^2(x^2 - 2\sqrt{3}x + 3) = 4

(1+4k^2)x^2 - 8\sqrt{3}k^2x + (12k^2-4) = 0

此方程的判别式為：

\Delta = (-8\sqrt{3}k^2)^2 - 4(1+4k^2)(12k^2-4) = 192k^4 - 16(1+4k^2)(3k^2-1)

\Delta = 192k^4 - 16(12k^4-k^2-1) = 192k^4 - 192k^4 + 16k^2 + 16 = 16(k^2+1)

應用弦长公式，可得弦长為：

|P_1P_2| = \sqrt{1+k^2} \frac{\sqrt{16(k^2+1)}}{1+4k^2} = \frac{4(1+k^2)}{1+4k^2}

弦中点問題

\paragraph{法一：韦达定理} 设弦 $P_1P_2$ 的中点為 $M(x_M, y_M)$ . 联立直線與曲線方程得到 $ax^2+bx+c=0$ . 由中点坐標公式和韦达定理，可得中点横坐標：

x_M = \frac{x_1+x_2}{2} = -\frac{b}{2a}

中点纵坐標 $y_M$ 可通過代入直線方程 $y_M=kx_M+m$ 求得. 這种方法思路直接，是处理中点問題的基本功.

\paragraph{法二：点差法} 虽然韦达定理法普适，但在某些情况下运算较為繁琐. 点差法為涉及弦中点和弦斜率的問題提供了一种更為簡洁和深刻的代數路径. 设弦的端点為 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ , 中点為 $M(x_M, y_M)$ . 以椭圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 為例. $P_1, P_2$ 均在椭圓上，故其坐標满足方程：

\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 \text{①} \text{和} \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1 \text{②}

将两式相减 (此即“点差”之意)，并利用平方差公式：

\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2} + \frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2} = 0

代入中点坐標 $x_M = \frac{x_1+x_2}{2}, y_M = \frac{y_1+y_2}{2}$ 與斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ :

\frac{(x_1-x_2)(2x_M)}{a^2} + \frac{k(x_1-x_2)(2y_M)}{b^2} = 0

当 $x_1 \neq x_2$ 时, 约去 $2(x_1-x_2)$ ，整理即得：

\frac{x_M}{a^2} + k \frac{y_M}{b^2} = 0

此式优美地建立了弦中点坐標 $(x_M, y_M)$ 與弦斜率 $k$ 之間的内在關係，而无需關心直線方程的具體截距.

弦中点斜率關係

對于中心在原点的椭圓與雙曲線，其一条斜率為 $k$ 的弦的中点坐標 $(x_M, y_M)$ 满足：

椭圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ : $k \cdot \frac{y_M}{x_M} = -\frac{b^2}{a^2}$ , 即 $k \cdot k_{OM} = -\frac{b^2}{a^2}$
雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ : $k \cdot \frac{y_M}{x_M} = \frac{b^2}{a^2}$ , 即 $k \cdot k_{OM} = \frac{b^2}{a^2}$

例

已知直線 $y=x+m$ 與雙曲線 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ 交于两点, 若两交点所構成弦的中点的横坐標為 $3$ , 求实數 $m$ 的值.

解

联立直線與雙曲線的方程：

\frac{x^2}{4} - \frac{(x+m)^2}{2} = 1

整理可得：

x^2 - 2(x^2+2mx+m^2) = 4

-x^2 - 4mx - 2m^2 - 4 = 0

即

x^2 + 4mx + 2m^2 + 4 = 0

设两交点為 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ , 弦中点為 $M(x_M, y_M)$ . 根据韦达定理， $x_1+x_2 = -4m$ . 中点横坐標為：

x_M = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-4m}{2} = -2m

根据題意， $x_M=3$ , 故有：

-2m = 3 \implies m = -\frac{3}{2}

例

求椭圓 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 中, 被点 $M(1, 1)$ 平分的弦所在的直線方程.

解

此問題可直接應用点差法得到的弦中点斜率關係式. 對于椭圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , 弦的斜率 $k$ 與弦的中点 $M(x_M, y_M)$ 的坐標满足關係：

k \cdot \frac{y_M}{x_M} = -\frac{b^2}{a^2}

在本題中， $a^2=9, b^2=4$ , 中点 $M(1, 1)$ , 故 $x_M=1, y_M=1$ . 代入上述關係式，可得弦的斜率 $k$ :

k \cdot \frac{1}{1} = -\frac{4}{9} \implies k = -\frac{4}{9}

该弦所在的直線經過点 $M(1, 1)$ 且斜率為 $-\frac{4}{9}$ . 由点斜式可得直線方程為：

y-1 = -\frac{4}{9}(x-1)

整理得：

4x+9y-13=0

例

求抛物線 $y^2=2px \, (p\>0)$ 的一组斜率為 $k \, (k \neq 0)$ 的平行弦的中点轨迹方程.

解

设任意一条斜率為 $k$ 的弦的两個端点為 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ . 两点坐標满足抛物線方程：

y_1^2 = 2px_1 \text{①}

y_2^2 = 2px_2 \text{②}

将两式相减，得：

y_1^2 - y_2^2 = 2p(x_1 - x_2)

利用平方差公式進行分解：

(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 2p(x_1 - x_2)

由于弦的斜率存在且不為零，故 $x_1 \neq x_2$ . 上式可變形為：

\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} (y_1 + y_2) = 2p

设弦的中点為 $M(x_M, y_M)$ , 则弦的斜率 $k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ , 且中点纵坐標 $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$ , 即 $y_1+y_2 = 2y_M$ . 代入上式，得：

k \cdot (2y_M) = 2p

化簡得：

y_M = \frac{p}{k}

此關係式對所有斜率為 $k$ 的弦的中点均成立. 因此, 這些中点的轨迹是一条平行于 $x$ 轴的直線, 其方程為 $y=\frac{p}{k}$ .

\paragraph{点差法的原理與思想} 点差法是一种处理圓锥曲線弦中点問題的独特技巧，其名称已經揭示了其核心操作：将两個满足曲線方程的点的坐標代入方程，然后将所得的两個等式作差.

我们以椭圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 為例，设弦 $P_1P_2$ 的端点為 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ . 由于這两点均在椭圓上，它们的坐標必然满足椭圓方程：

\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 \text{(I)}

\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1 \text{(II)}

單独看任何一個方程，我们只能得到關于一個点的信息. 但解析几何的威力在于研究点與点之間的關係. 点差法的關键步骤，即 I-II，正是為了建立這种關係.

\left(\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{x_2^2}{a^2}\right) + \left(\frac{y_1^2}{b^2}-\frac{y_2^2}{b^2}\right) = 0

作差的直接代數效果是消去了等式右侧的常數項 1，使得等式變為齐次形式，這為因式分解创造了条件. 利用平方差公式，上式可以被分解為：

\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2} + \frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2} = 0

至此，代數變形完成了它的使命. 下一步是赋予這些代數表达式以几何意義. 我们观察式中出現的四個關键组合項：

$x_1-x_2$ 與 $y_1-y_2$ : 這两項是坐標的差值, 它们的比值 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ 正是弦 $P_1P_2$ 的斜率 $k$ (当 $x_1 \neq x_2$ ).
$x_1+x_2$ 與 $y_1+y_2$ : 這两項是坐標的和, 它们的一半 $\frac{x_1+x_2}{2}$ 和 $\frac{y_1+y_2}{2}$ 恰好是弦 $P_1P_2$ 的中点 $M$ 的坐標 $(x_M, y_M)$ .

通過引入弦的斜率 $k$ 和中点坐標 $(x_M, y_M)$ , 我们便可以将上述纯代數等式转化為一個蕴含丰富几何信息的方程：

\frac{(x_1-x_2) \cdot (2x_M)}{a^2} + \frac{k(x_1-x_2) \cdot (2y_M)}{b^2} = 0

约去公因子 $2(x_1-x_2)$ (当弦不垂直于 $x$ 轴), 我们便得到了一個不依赖于端点 $P_1, P_2$ 具體坐標，而僅联係弦中点與弦斜率的内在關係式：

\frac{x_M}{a^2} + k\frac{y_M}{b^2} = 0

总结而言，点差法的本質是：

代數层面：通過作差消去常數項，利用因式分解将二次關係转化為關于坐標和與坐標差的乘積形式.
几何层面：将代數中的“和”與“差”分别诠释為几何中的“中点”與“斜率”.

它巧妙地绕開了韦达定理法中求解联立方程的繁琐過程，直接揭示了圓锥曲線自身所固有的、關于其任意一族平行弦中点轨迹的几何属性. 這种從“点”的方程到“弦”的性質的推演，是解析几何思想的精髓體現.

至此，我们已經構建了分析直線與圓锥曲線關係的核心代數工具箱. 下一步，我们将探讨如何运用這些工具，形成係统性的解題策略，以應對更加複杂的几何挑战. 這便是解析几何的两大思想门派：设点法與设線法.

设点法

解析几何的核心思想在于将几何問題代數化，通過坐標係建立几何對象與代數方程之間的联係. 设点法是這一思想最直接的體現，它是一种基礎但極為重要的解題策略. 当問題涉及的几何關係较為複杂，或需要确定动点的轨迹时，我们通常会主动為研究的關键点赋予坐標變量.

與前述利用韦达定理处理弦問題的“设而不求”思想不同，设点法中的“设”是具體地设定点的坐標，如 $P(x_0, y_0)$ . 這么做的目的是将点所满足的几何条件，逐一转化為關于其坐標的代數方程. 這些条件通常包括：

点在已知曲線上：点的坐標 $(x_0, y_0)$ 满足该曲線的方程. 這是建立基本關係的第一步.
点與其他点或直線的位置關係：如距离、斜率、中点、對称性等，這些都可以通過相應的公式表示為包含 $(x_0, y_0)$ 的等式或不等式.

通過联立這些方程，我们可以解出点的坐標，或者在求解轨迹問題时，消去中間參數 $(x_0, y_0)$ , 最终得到目標动点坐標 $(x, y)$ 所满足的轨迹方程.

\paragraph{基本思路} 设点法的應用遵循一個清晰的逻辑框架：

设坐標：根据問題情境，设出關键动点的坐標，例如 $P(x_0, y_0)$ . 如果需要求解轨迹, 则设目標轨迹上的动点坐標為 $M(x, y)$ .
列方程：将問題中所有的几何条件翻译成代數語言. 最首要的方程是 $P(x_0, y_0)$ 在已知曲線上所满足的方程. 其次是 $P(x_0, y_0)$ 與 $M(x, y)$ 及其他已知点、線之間的關係式.
代入與消元：這是核心的代數操作步骤. 目標是消去我们作為中間量引入的參數坐標 $(x_0, y_0)$ , 僅保留轨迹点坐標 $(x, y)$ 和題目中的已知常量，從而得到轨迹方程.

例

已知椭圓 $C$ 的两個焦点分别為 $F_1(-1,0)$ 、 $F_2(1,0)$ , 短轴的两個端点是 $B_1, B_2$ .

若 $\triangle F_1B_1B_2$ 為等边三角形, 求椭圓 $C$ 的標准方程.
若椭圓 $C$ 的短轴长為 2, 過点 $F_2$ 的直線 $l$ 與椭圓 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点, 且以 $PQ$ 為直径的圓經過点 $F_1$ , 求直線 $l$ 的方程.

\begin{figure}[htbp]

{PQ} 為直径的圓經過焦点 \texorpdfstring{ $F_1$ }{F1} 的几何示意圖, 其等价于 \texorpdfstring{ $\overrightarrow{F_1P} \perp \overrightarrow{F_1Q}$ }{Vector F1P perp Vector F1Q}.} \end{figure} 圖：以 \texorpdfstring{ $PQ$

解

(1) 由焦点坐標可知，半焦距 $c=1$ . $\triangle F_1B_1B_2$ 是以 $B_1B_2$ 為底, $F_1O$ 為高的等腰三角形. 其底边长為 $|B_1B_2|=2b$ , 边 $|F_1B_1|=a$ . 因為 $\triangle F_1B_1B_2$ 為等边三角形, 所以 $|F_1B_1|=|F_1F_2|=2c=2$ . 故 $a=2$ . 由椭圓的基本關係式 $a^2=b^2+c^2$ 可得：

4 = b^2+1 \implies b^2=3

因此，椭圓 $C$ 的標准方程為 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ .

(2) 這是一個典型的几何条件约束下的問題，我们首先應用设点法将核心几何条件代數化.

由題设，短轴长為 $2b=2$ , 故 $b=1$ . 半焦距 $c=1$ . 则 $a^2 = b^2+c^2 = 1^2+1^2=2$ . 此时椭圓 $C$ 的標准方程為:

\frac{x^2}{2} + y^2 = 1

设直線 $l$ 與椭圓的交点為 $P(x_1, y_1)$ 和 $Q(x_2, y_2)$ .

核心的几何条件是“以 $PQ$ 為直径的圓經過点 $F_1$ ”. 在圓中，直径所對的圓周角為直角. 這一条件的等价代數表示為向量 $\overrightarrow{F_1P}$ 與 $\overrightarrow{F_1Q}$ 垂直.

\overrightarrow{F_1P} \perp \overrightarrow{F_1Q} \implies \overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0

点 $F_1$ 的坐標為 $(-1, 0)$ , 故：

\overrightarrow{F_1P} = (x_1+1, y_1), \overrightarrow{F_1Q} = (x_2+1, y_2)

将坐標代入數量積的表达式，得到：

(x_1+1)(x_2+1) + y_1y_2 = 0 \text{(I)}

此式即為核心几何条件的代數表示. 為了求解它，我们需要建立 $x_1, x_2, y_1, y_2$ 之間的關係，這需要联立直線與椭圓方程.

直線 $l$ 經過点 $F_2(1,0)$ . 首先讨論直線斜率不存在的情况，此时直線 $l$ 的方程為 $x=1$ . 代入椭圓方程得 $\frac{1}{2}+y^2=1$ , 解得 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ . 此时 $P(1, \frac{\sqrt{2}}{2}), Q(1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ . $\overrightarrow{F_1P}=(2, \frac{\sqrt{2}}{2}), \overrightarrow{F_1Q}=(2, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ . $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 2 \cdot 2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 - \frac{1}{2} \neq 0$ . 故直線 $l$ 的斜率存在.

设直線 $l$ 的方程為 $y=k(x-1)$ . 联立直線與椭圓方程组：

\begin{cases} y = k(x-1) \frac{x^2}{2} + y^2 = 1 \end{cases}

消去 $y$ 并整理得：

x^2 + 2k^2(x-1)^2 = 2

x^2 + 2k^2(x^2-2x+1) = 2

(1+2k^2)x^2 - 4k^2x + (2k^2-2) = 0

由韦达定理，可得：

x_1+x_2 = \frac{4k^2}{1+2k^2}, x_1x_2 = \frac{2k^2-2}{1+2k^2}

回到我们的核心關係式 (I), 将其展開：

x_1x_2 + (x_1+x_2) + 1 + y_1y_2 = 0

其中 $y_1y_2$ 可用 $x_1, x_2$ 表示：

y_1y_2 = k(x_1-1) \cdot k(x_2-1) = k^2(x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1)

将 $y_1y_2$ 代入展開式，并合并同類項：

x_1x_2 + (x_1+x_2) + 1 + k^2(x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1) = 0

(1+k^2)x_1x_2 + (1-k^2)(x_1+x_2) + (1+k^2) = 0

現在，将韦达定理的结論代入此式：

(1+k^2)\frac{2k^2-2}{1+2k^2} + (1-k^2)\frac{4k^2}{1+2k^2} + (1+k^2) = 0

方程两边同乘以 $(1+2k^2)$ :

(1+k^2)(2k^2-2) + (1-k^2)(4k^2) + (1+k^2)(1+2k^2) = 0

展開整理：

(2k^4 - 2) + (4k^2 - 4k^4) + (1 + 3k^2 + 2k^4) = 0

(2-4+2)k^4 + (4+3)k^2 + (-2+1) = 0

7k^2 - 1 = 0

解得 $k^2 = \frac{1}{7}$ , 即 $k = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

因此，所求直線 $l$ 的方程為 $y = \frac{\sqrt{7}}{7}(x-1)$ 或 $y = -\frac{\sqrt{7}}{7}(x-1)$ . 即 $x - \sqrt{7}y - 1 = 0$ 或 $x + \sqrt{7}y - 1 = 0$ .

面對這道例題的第二問，一個關键的思考节点是：如何处理“以 $PQ$ 為直径的圓經過点 $F_1$ ”這一核心几何条件？我们必须找到一种方式，将這個看似複杂的几何描述，转化為我们能够操作的、精确的代數語言.

几何条件的代數翻译： “以 $PQ$ 為直径的圓經過点 $F_1$ ”, 根据圓的几何性質, 其等价的表述是“線段 $F_1P$ 與 $F_1Q$ 相互垂直”, 即 $\angle PF_1Q = 90^\circ$ . 這一步是将一個關于圓的叙述，转化為了一個關于角和垂直關係的叙述，使其更接近坐標係的語言.

接下来，垂直關係在解析几何中最直接、最有效的代數翻译工具是向量的數量積. 两非零向量垂直的充要条件是它们的數量積為零. 因此，几何条件 $\overrightarrow{F_1P} \perp \overrightarrow{F_1Q}$ 被精确地代數化為：

\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0

设点法的必然性：一旦我们将核心条件转化為向量方程 $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ , “设点”就從一种選择變成了一种必然. 為了计算向量的坐標表示并進而计算它们的數量積, 我们必须為向量的起点和终点赋予坐標. $F_1$ 的坐標是已知的 $(-1,0)$ , 但 $P$ 和 $Q$ 的坐標是未知的. 因此, 我们必须主动引入符号来表示它们, 即设 $P(x_1, y_1)$ 和 $Q(x_2, y_2)$ .

没有這一步“设点”操作，向量方程 $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ 就无法继續展開，整個解題路径也就此中断. 设点法在這里的作用，是為我们的代數推理提供了必需的坐標變量. 3. 構建解題的完整逻辑链：设点之后，我们的目標變得非常清晰：求解由 $(x_1+1)(x_2+1) + y_1y_2 = 0$ 所确定的, 關于直線 $l$ 的參數（即斜率 $k$ ）的方程.

此时我们發現，方程中包含了四個變量 $x_1, y_1, x_2, y_2$ , 但它们并非独立的. 它们之間存在着深刻的内在联係：

点 $P, Q$ 在椭圓上：它们的坐標满足椭圓方程.
点 $P, Q$ 在直線 $l$ 上：它们的坐標满足直線方程 $y=k(x-1)$ .

這两個联係正是我们消除多余變量、最终得到關于 $k$ 的方程的桥梁. 通過联立直線與椭圓方程, 我们可以得到一個關于 $x$ (或 $y$ ) 的一元二次方程. 這個方程的两個根恰好是 $x_1, x_2$ . 虽然我们不需要求出 $x_1, x_2$ 的具體值, 但韦达定理為我们提供了它们的和 $x_1+x_2$ 與積 $x_1x_2$ 的表达式.

最终，我们将 $y_1y_2$ 也用 $x_1, x_2$ 和 $k$ 表示, 再将 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 的韦达定理表达式代入, 便成功地将一個關于四個坐標變量的複杂關係式, 转化為了一個只含單個未知參數 $k$ 的簡單方程.

綜上所述，選择设点法并非是随意的，而是由問題的核心几何条件的性質所决定的. 当一個几何条件直接關涉到曲線上动点的具體位置關係（如本題中的垂直關係）时，设点法是将其代數化的最自然、最直接的途径.

如果我们偏要用设線法呢？首先，就会遇到几何条件难以直接用直線參數表达的問題：問題的核心条件是“以 $PQ$ 為直径的圓經過点 $F_1$ ”, 即 $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ . 這個条件本質上是關于三個特定点 $P, Q, F_1$ 之間位置關係的描述. 它是一個“点對点”的几何约束. 纯粹的“设線法”威力最大的领域, 是处理那些可以直接與直線整體或联立方程係數相關的几何量. 例如, 若題目条件是“弦长 $|PQ|$ 為定值”, 我们可以直接使用弦长公式 $|PQ| = \sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$ . 在這個公式中, 判别式 $\Delta$ 和二次項係數 $a$ 都是直線參數 $k$ 的函數. 整個条件被完美地转化為了一個關于 $k$ 的方程，完全无需引入交点坐標.

然而， $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ 這一条件无法被直接、封闭地表示為 $k$ 的函數. 我们找不到一個像弦长公式那样的“現成工具”，能够直接将這個点積與联立方程的係數联係起来.

接着，还会導致，引入交点坐標成為不可避免的中間步骤：為了将条件 $\overrightarrow{F_1P} \cdot \overrightarrow{F_1Q} = 0$ 進行代數展開, 我们必须表达出向量 $\overrightarrow{F_1P}$ 和 $\overrightarrow{F_1Q}$ 的坐標. 這就迫使我们必须引入交点 $P(x_1, y_1)$ 和 $Q(x_2, y_2)$ 的坐標. 換言之, 即便我们以“设線法”開局, 問題的几何本質也决定了我们必须立即转入“设点法”的框架, 将交点坐標作為中間變量来搭桥梁, 用以连接几何条件與直線參數 $k$ .

若固守纯粹的“设線法”，试圖绕開交点坐標，我们将无法對核心几何条件進行有效的代數处理，解題過程将无法推進.

曲線係方程*

在处理一族具有共同几何性質的曲線（例如，經過共同的交点）时，逐一分析每条曲線的方程是不經济的.曲線係方程的思想，是用一個含參數的方程来统一表示這一整族曲線，從而将問題從“寻找一条特定的曲線”转化為“确定一個參數的值”.這一思想是解析几何中一种高度抽象且極其有力的代數工具.

其理論基礎是以下原理：

曲線係原理

设曲線 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程分别為 $f(x,y)=0$ 和 $g(x,y)=0$ .那么, 對于任意实數 $\lambda$ , 方程

f(x,y) + \lambda g(x,y) = 0

表示一条經過 $C_1$ 和 $C_2$ 所有公共点的曲線.

證明

设 $P(x_0, y_0)$ 是曲線 $C_1$ 和 $C_2$ 的任意一個公共点. 根据定義， $P$ 的坐標必然同时满足 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程，即：

f(x_0, y_0) = 0 \text{且} g(x_0, y_0) = 0

現在，我们将点 $P(x_0, y_0)$ 的坐標代入曲線係方程 $f(x,y) + \lambda g(x,y) = 0$ 的左侧：

f(x_0, y_0) + \lambda g(x_0, y_0) = 0 + \lambda \cdot 0 = 0

這表明等式恒成立.因此，点 $P(x_0, y_0)$ 必定位于方程 $f(x,y) + \lambda g(x,y) = 0$ 所表示的曲線上.由于此结論對所有公共点成立, 故该方程表示的曲線經過 $C_1$ 和 $C_2$ 的所有公共点.

這個原理的核心优势在于，处理“過交点”的問題时，可以完全避免求解交点坐標這一繁琐甚至不可能的步骤，直接在代數结構层面解决問題.

\paragraph{共点直線係} 最簡單也是最基礎的曲線係是共点直線係. 若两直線 $l_1: A_1x+B_1y+C_1=0$ 和 $l_2: A_2x+B_2y+C_2=0$ 相交, 则通過其交点的所有直線的集合（除去 $l_2$ ），可以由直線係方程表示：

(A_1x+B_1y+C_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2) = 0 (\lambda \in \mathbb{R})

此方程是曲線係原理在 $f,g$ 均為一次多項式时的直接應用.對于任意 $\lambda$ , 该方程均是關于 $x,y$ 的一次方程, 故表示一条直線, 且该直線必過 $l_1, l_2$ 的交点.

我们稍微看一些有趣的應用，大致了解其作用：

例

求經過两直線 $l_1: 2x-y-1=0$ 和 $l_2: x+y-5=0$ 的交点, 且與点 $P(1,-2)$ 的距离為 $\sqrt{5}$ 的直線方程.

解

设所求直線属于過 $l_1, l_2$ 交点的直線係，其方程可设為：

(2x-y-1) + \lambda(x+y-5)=0

整理為一般式：

(2+\lambda)x + (\lambda-1)y - (1+5\lambda) = 0

利用点 $P(1,-2)$ 到该直線的距离公式, 距离為 $\sqrt{5}$ ：

d = \frac{|(2+\lambda)(1) + (\lambda-1)(-2) - (1+5\lambda)|}{\sqrt{(2+\lambda)^2+(\lambda-1)^2}} = \sqrt{5}

化簡分子：

|2+\lambda-2\lambda+2-1-5\lambda| = |-6\lambda+3|

化簡分母下的表达式：

(2+\lambda)^2+(\lambda-1)^2 = (\lambda^2+4\lambda+4)+(\lambda^2-2\lambda+1) = 2\lambda^2+2\lambda+5

代入距离公式并两边平方：

\frac{(-6\lambda+3)^2}{2\lambda^2+2\lambda+5} = 5

36\lambda^2-36\lambda+9 = 5(2\lambda^2+2\lambda+5)

36\lambda^2-36\lambda+9 = 10\lambda^2+10\lambda+25

26\lambda^2-46\lambda-16=0

13\lambda^2-23\lambda-8=0

這是一個關于 $\lambda$ 的一元二次方程.尽管解 $\lambda$ 仍需计算，但此方法構建了一個清晰的代數框架，在处理更抽象的證明題或參數問題时，其结構性优势会更加凸显.

\paragraph{過圓锥曲線交点的曲線係} 曲線係原理的威力在处理二次曲線时體現得淋漓尽致. 设 $C_1: f(x,y)=0$ 和 $C_2: g(x,y)=0$ 是两条圓锥曲線, 则 $C_1 + \lambda C_2=0$ 表示經過它们所有交点的圓锥曲線係.

例

已知两圓 $C_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ 和 $C_2: x^2+y^2+2x-6y=0$ .

求經過 $C_1, C_2$ 交点的直線的方程.
求經過 $C_1, C_2$ 交点, 且過点 $P(3,1)$ 的圓的方程.

解

(1) 设經過两圓交点的曲線係方程為：

(x^2+y^2-2x-4y-4) + \lambda(x^2+y^2+2x-6y) = 0

该方程表示的曲線是一条直線的充要条件是，方程中 $x^2$ 和 $y^2$ 的係數為零. 整理方程的二次項部分： $(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + ... = 0$ . 為使二次項消去，需令 $1+\lambda = 0$ , 即 $\lambda = -1$ . 当 $\lambda=-1$ 时，曲線係方程即為所求直線的方程：

(x^2+y^2-2x-4y-4) - (x^2+y^2+2x-6y) = 0

-4x+2y-4=0

化簡得 $2x-y+2=0$ . 此直線称為两圓的根轴.

(2) 所求圓是過 $C_1, C_2$ 交点的曲線係中的一员. 将点 $P(3,1)$ 的坐標代入曲線係方程, 以确定參數 $\lambda$ 的值. 對于 $C_1$ 部分： $3^2+1^2-2(3)-4(1)-4 = 9+1-6-4-4 = -4$ . 對于 $C_2$ 部分： $3^2+1^2+2(3)-6(1) = 9+1+6-6 = 10$ . 代入曲線係方程得到：

-4 + \lambda(10) = 0 \implies \lambda = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

将 $\lambda = \frac{2}{5}$ 代回曲線係方程：

(x^2+y^2-2x-4y-4) + \frac{2}{5}(x^2+y^2+2x-6y) = 0

方程两边同乘以 $5$ ：

5(x^2+y^2-2x-4y-4) + 2(x^2+y^2+2x-6y) = 0

5x^2+5y^2-10x-20y-20 + 2x^2+2y^2+4x-12y = 0

合并同類項，得到所求圓的方程：

7x^2+7y^2-6x-32y-20 = 0

例

求經過椭圓 $C: x^2+4y^2=4$ 與两条直線 $l_1: x-y=0$ 及 $l_2: x+y=0$ 的所有四個交点, 并且經過点 $P(2,1)$ 的圓锥曲線的方程.

解

此題若直接求解四個交点坐標，再用待定係數法求曲線方程，计算将極為繁琐.曲線係方法為此類問題提供了極為优雅的解决方案.

我们将两条直線 $l_1, l_2$ 视為一条退化的二次曲線.其方程為：

(x-y)(x+y) = 0 \implies x^2-y^2=0

此方程表示的圖形正是直線 $y=x$ 和 $y=-x$ 的并集.

現在，問題转化為求經過椭圓 $C: x^2+4y^2-4=0$ 和退化二次曲線 $L: x^2-y^2=0$ 交点的曲線. 根据曲線係原理，设所求曲線的方程為：

(x^2+4y^2-4) + \lambda(x^2-y^2) = 0

此方程表示的曲線族自动满足經過所有四個交点的条件.

為确定參數 $\lambda$ , 我们将点 $P(2,1)$ 的坐標代入此方程：

(2^2+4(1)^2-4) + \lambda(2^2-1^2) = 0

(4+4-4) + \lambda(4-1) = 0

4 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{4}{3}

将 $\lambda = -\frac{4}{3}$ 代回曲線係方程：

(x^2+4y^2-4) - \frac{4}{3}(x^2-y^2) = 0

方程两边同乘以 $3$ ：

3(x^2+4y^2-4) - 4(x^2-y^2) = 0

3x^2+12y^2-12 - 4x^2+4y^2 = 0

整理得到所求圓锥曲線的方程：

-x^2+16y^2-12=0 \implies x^2-16y^2+12=0

這是一条雙曲線.

直線係與圓係

\paragraph{直線係方程} 直線係是具有某种共同几何属性的一族直線的集合.根据属性的不同，其方程有几种標准形式.

共点直線係

經過两已知相交直線 $l_1: A_1x+B_1y+C_1=0$ 和 $l_2: A_2x+B_2y+C_2=0$ 交点的直線係方程為：

(A_1x+B_1y+C_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2) = 0 (\lambda \in \mathbb{R})

此方程族不包含直線 $l_2$ 本身.若需考虑 $l_2$ , 则需采用對称形式 $\mu(A_1x+B_1y+C_1) + \lambda(A_2x+B_2y+C_2) = 0$ .

一個更基本的形式是經過定点 $P_0(x_0, y_0)$ 的直線係，其方程可设為：

y-y_0 = k(x-x_0)

其中斜率 $k$ 為參數.此形式的局限在于无法表示垂直于 $x$ 轴的直線 $x=x_0$ .在解題时，通常需要對斜率不存在的情况進行單独讨論.

平行直線係

與已知直線 $Ax+By+C=0$ 平行的一族直線的方程為：

Ax+By+\lambda=0 (\lambda \in \mathbb{R})

其几何本質是该族直線具有相同的法向量 $(A,B)$ , 因此斜率均相等.參數 $\lambda$ 控制了直線與原点的距离.

例

求與直線 $3x-4y+1=0$ 平行, 且與圓 $x^2+y^2=4$ 相切的直線方程.

解

设所求直線属于與 $3x-4y+1=0$ 平行的直線係，其方程可设為：

3x-4y+\lambda=0

直線與圓相切的几何条件，等价于圓心到直線的距离等于圓的半径. 圓 $x^2+y^2=4$ 的圓心為 $O(0,0)$ , 半径 $R=2$ . 圓心 $O$ 到直線 $3x-4y+\lambda=0$ 的距离為：

d = \frac{|3(0)-4(0)+\lambda|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|\lambda|}{5}

令 $d=R$ , 可得：

\frac{|\lambda|}{5} = 2 \implies |\lambda|=10 \implies \lambda = \pm 10

因此，所求的切線方程有两条：

3x-4y+10=0 \text{和} 3x-4y-10=0

\paragraph{圓係方程} 與直線係類似，圓係方程是解决涉及两圓交点、切点等問題的强大工具.

過两圓交点的圓係

设两圓 $C_1: x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$ 和 $C_2: x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$ 相交，则經過其交点的圓係方程為：

(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1) + \lambda(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2) = 0 (\lambda \neq -1)

特别地，当 $\lambda=-1$ 时, 方程中的二次項 $x^2, y^2$ 被消去，得到一個一次方程，它表示過两圓公共弦所在的直線，即两圓的根轴.

過圓與直線交点的圓係

這是上述情形的一個重要特例，可将直線 $l: Ax+By+C=0$ 视為一個半径无限大的“退化圓”.經過圓 $C: x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 與直線 $l$ 交点的圓係方程為：

(x^2+y^2+Dx+Ey+F) + \lambda(Ax+By+C) = 0

相切圓係

與已知直線 $l: Ax+By+C=0$ 相切于点 $P_0(x_0, y_0)$ 的圓係方程, 可以看作是過直線與一個半径為零的“点圓” $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=0$ 交点的圓係.其方程為：

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 + \lambda(Ax+By+C) = 0

例

求經過圓 $C: x^2+y^2-4x=0$ 與直線 $l: x-2y-2=0$ 的交点，且面積最小的圓的方程.

解

设所求圓属于過圓 $C$ 與直線 $l$ 交点的圓係，其方程為：

(x^2+y^2-4x) + \lambda(x-2y-2) = 0

整理為圓的標准方程形式以确定其圓心與半径：

x^2 + (\lambda-4)x - 2\lambda y - 2\lambda = 0

配方得：

\left(x + \frac{\lambda-4}{2}\right)^2 + (y-\lambda)^2 = \left(\frac{\lambda-4}{2}\right)^2 + \lambda^2 + 2\lambda

圓的面積 $S=\pi R^2$ 最小, 等价于半径的平方 $R^2$ 最小. 令 $f(\lambda) = R^2 = \frac{\lambda^2-8\lambda+16}{4} + \lambda^2+2\lambda = \frac{5}{4}\lambda^2 + 1$ . 显然，当 $\lambda=0$ 时, $f(\lambda)$ 取得最小值 $1$ . 当 $\lambda=0$ 时, 所求圓的方程即為原始圓 $C$ 的方程 $x^2+y^2-4x=0$ .

此结果具有深刻的几何意義.過圓與直線两交点的所有圓中，以這两交点连線（即公共弦）為直径的圓面積最小. 圓心 $C$ 的坐標為 $(2,0)$ . 连接圓心與弦中点的直線垂直于弦. 直線 $l$ 的斜率為 $\frac{1}{2}$ . 以公共弦為直径的圓，其圓心必在直線 $l$ 上. 设该圓心為 $M(x_M, y_M)$ , 则 $x_M-2y_M-2=0$ . 同时，圓心 $M$ 也是原圓心 $(2,0)$ 在直線 $l$ 上的投影與弦中点的连線上的点.

让我们用圓心坐標来验證.圓係方程的圓心坐標為 $(-\frac{\lambda-4}{2}, \lambda)$ . 要使面積最小，该圓的直径即為圓 $C$ 與直線 $l$ 的公共弦.其圓心即為弦的中点, 该中点必须在直線 $l$ 上. 将圓心坐標代入直線 $l$ 的方程 $x-2y-2=0$ ：

-\frac{\lambda-4}{2} - 2\lambda - 2 = 0

-(\lambda-4) - 4\lambda - 4 = 0

-\lambda+4 - 4\lambda - 4 = 0 \implies -5\lambda=0 \implies \lambda=0

此结果與代數求最值的方法一致. 故面積最小的圓是 $x^2+y^2-4x=0$ .

例

求與直線 $y=2x$ 相切于点 $P(1,2)$ , 且過点 $Q(3,4)$ 的圓的方程.

解

此問題是相切圓係的經典應用. 切線方程為 $2x-y=0$ , 切点為 $P(1,2)$ . 设所求圓属于與直線 $2x-y=0$ 相切于点 $(1,2)$ 的圓係，其方程為：

(x-1)^2 + (y-2)^2 + \lambda(2x-y) = 0

因為该圓經過点 $Q(3,4)$ , 将 $Q$ 的坐標代入圓係方程以确定參數 $\lambda$ :

(3-1)^2 + (4-2)^2 + \lambda(2(3)-4) = 0

2^2 + 2^2 + \lambda(6-4) = 0

4+4+2\lambda = 0 \implies 8+2\lambda=0 \implies \lambda=-4

将 $\lambda=-4$ 代回圓係方程：

(x-1)^2 + (y-2)^2 - 4(2x-y) = 0

展開并整理：

(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) - 8x+4y = 0

x^2+y^2-10x+5=0

此即為所求圓的方程.

二次曲線係

我们将曲線係原理的應用從直線和圓推廣至一般的二次曲線.其基本形式 $C_1 + \lambda C_2 = 0$ 描述了經過两条二次曲線 $C_1, C_2$ 所有（至多四個）交点的一族二次曲線.

其实际應用中最有力的策略，是将其中一条二次曲線“退化”為两条直線.

\paragraph{退化的二次曲線} 一個二次方程 $f(x,y)=0$ 所代表的圖形, 并不总是椭圓、雙曲線或抛物線.当二次多項式 $f(x,y)$ 可以因式分解為两個一次多項式的乘積时，该方程所代表的圖形是两条直線的并集. 例如，两条直線 $l_1: A_1x+B_1y+C_1=0$ 和 $l_2: A_2x+B_2y+C_2=0$ 所组成的圖形，可以被一個單一的二次方程所描述：

(A_1x+B_1y+C_1)(A_2x+B_2y+C_2) = 0

這個方程的解集，正是满足 $l_1=0$ 或 $l_2=0$ 的所有点的集合.我们称這样的圖形為退化的二次曲線.這一概念是理解和構造二次曲線係的關键.

\paragraph{過四点的二次曲線係} 現在，我们考虑一個核心應用场景：求經過一条已知二次曲線 $C$ 與两条已知直線 $l_1, l_2$ 的四個交点的曲線. 设 $C=0, l_1=0, l_2=0$ 分别是它们的方程.我们可以構造一個退化的二次曲線 $l_1l_2=0$ .根据曲線係原理，方程

C + \lambda (l_1 l_2) = 0

就表示了經過這四個交点的一族二次曲線.

例

求經過椭圓 $C_1: x^2+2y^2=3$ 與圓 $C_2: x^2+y^2=2$ 的四個交点，且過原点的二次曲線方程.

解

设所求二次曲線属于過 $C_1, C_2$ 交点的曲線係，其方程可设為：

(x^2+2y^2-3) + \lambda(x^2+y^2-2) = 0

此方程族中的任意一条曲線均自动經過 $C_1, C_2$ 的所有交点.

该曲線經過原点 $(0,0)$ , 故将 $(0,0)$ 代入方程以确定參數 $\lambda$ .

(0+0-3) + \lambda(0+0-2) = 0

-3 - 2\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{3}{2}

将 $\lambda = -\frac{3}{2}$ 代回曲線係方程：

(x^2+2y^2-3) - \frac{3}{2}(x^2+y^2-2) = 0

為化簡方程，两边同乘以 $2$ :

2(x^2+2y^2-3) - 3(x^2+y^2-2) = 0

2x^2+4y^2-6 - 3x^2-3y^2+6 = 0

合并同類項得到最终方程：

-x^2+y^2 = 0 \implies y^2=x^2

此方程可分解為 $(y-x)(y+x)=0$ , 其几何圖形是两条直線 $y=x$ 和 $y=-x$ 的并集. 這是一個退化的雙曲線.

\paragraph{從相交到相切} 曲線係的强大之处不僅在于处理离散的交点，更在于其能够优雅地处理相切這一“重合交点”的極限情形. 在几何上，切線是割線当两個交点无限逼近并重合时的極限位置. 在代數上，這意味着解方程组所得到的二次方程的判别式 $\Delta \to 0$ , 方程的两個不等实根合并為一個重根.

基于此思想，我们可以推廣曲線係来处理相切問題.当两条直線 $l_1, l_2$ 重合為一条直線 $l$ 时, 退化二次曲線 $l_1l_2=0$ 就演變成了 $l^2=0$ . $l^2=0$ 的几何意義是一条“雙重”直線.由此，我们得到处理相切問題的强大曲線係：

C + \lambda l^2 = 0

此方程描述了一族與二次曲線 $C$ 在其與直線 $l$ 的两個交点处有“二重接触”的曲線.若 $l$ 與 $C$ 相交于两点, 则该曲線係中的所有曲線都在這两点與 $C$ 相切.若 $l$ 與 $C$ 相切, 则该曲線係中的所有曲線都在该切点处與 $C$ 有更高階的接触.

\paragraph{單点切触的曲線係} 当我们需要構造一族與某条直線 $l$ 在某一点 $P_0$ 相切的曲線时, 可以运用一個更為精妙的特例.一個與已知直線 $l: Ax+By+C=0$ 相切于已知点 $P_0(x_0, y_0)$ 的圓係, 可以由一個在 $P_0$ 处的半径為零的“点圓”與该直線 $l$ 線性组合而成. 点圓的方程為 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=0$ . 圓係方程即為：

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 + \lambda(Ax+By+C) = 0

例

求與抛物線 $C: y^2=4x$ 在顶点 $(0,0)$ 处相切, 且經過点 $P(1,2)$ 的圓的方程.

解

此問題的核心在于将“曲線與曲線相切”的几何条件转化為精确的代數構造.

首先，我们分析相切的几何内涵.若两条曲線在某点相切，则它们在该点有公共的切線. 抛物線 $C: y^2=4x$ 在其顶点 $(0,0)$ 的切線是 $y$ 轴, 其方程為 $x=0$ . 因此，原問題等价于：求一個經過点 $P(1,2)$ , 且與直線 $l: x=0$ 相切于点 $O(0,0)$ 的圓.

這個問題完美地契合了相切圓係的構造思想.

切点為 $O(0,0)$ , 對應的点圓方程為 $(x-0)^2+(y-0)^2=0$ , 即 $x^2+y^2=0$ .
切線方程為 $l: x=0$ .

根据相切圓係的構造原理，所有與直線 $x=0$ 相切于点 $(0,0)$ 的圓，其方程均可表示為：

(x^2+y^2) + \lambda x = 0

其中 $\lambda$ 是待定參數.這個方程族中的每一個成员都代表一個满足核心相切条件的圓.

接下来，我们利用第二個条件圓經過点 $P(1,2)$ 来從该圓係中确定唯一的成员.将点 $P(1,2)$ 的坐標代入圓係方程：

(1^2+2^2) + \lambda(1) = 0

5 + \lambda = 0 \implies \lambda = -5

将求得的參數 $\lambda=-5$ 代回圓係方程，即得所求圓的方程：

x^2+y^2-5x=0

此方法将複杂的几何约束（與抛物線相切）提炼為核心的代數结構（相切圓係），再通過一個簡單的代入运算确定參數，充分展現了曲線係思想的优越性.

仿射變換*

在处理涉及椭圓的複杂几何問題时，我们常常会發現，尽管基本原理（联立方程、韦达定理）清晰，但往往只能爆算.

其根本原因在于椭圓方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中两個坐標變量的不對等性.相比之下, 圓的方程 $x^2+y^2=R^2$ 具有完美的對称性，其几何性質（如半径处处相等、垂径定理等）也更為簡洁.

這启發我们提出一個深刻的問題：是否存在一种几何變換，能够搭建起從椭圓到圓的桥梁，将複杂的椭圓問題转化到我们熟悉的圓的领域中去解决？如果存在這样的變換，它需要满足什么条件？我们又该如何利用它？

\paragraph{構造伸缩變換} 我们的目標是寻找一個坐標映射 $T: (x,y) \mapsto (x',y')$ , 它能将椭圓 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上的任意一点 $(x,y)$ , 映射成某個圓 $C'$ 上的点 $(x',y')$ .

為了使變換尽可能簡單，我们希望保持坐標係的基本结構不變.一個自然的想法是，尝试對坐標轴進行独立的伸缩.观察椭圓方程，可以改寫為：

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

我们希望變換后的新坐標 $(x',y')$ 满足一個圓的方程, 例如 $x'^2+y'^2=R^2$ . 比较上述两個方程的形式，一個非常自然的對應關係是：

\frac{x'}{R} = \frac{x}{a} \text{且} \frac{y'}{R} = \frac{y}{b}

為了進一步簡化，我们可以選择一個特定的目標圓.例如，我们可以選择让變換不改變 $x$ 轴的尺度, 即令 $x'=x$ . 此时, 為使方程匹配, 我们必须選择目標圓的半径 $R=a$ . 由 $\frac{x'}{a} = \frac{x}{a}$ , 我们得到 $x'=x$ . 由 $\frac{y'}{a} = \frac{y}{b}$ , 我们得到 $y'=\frac{a}{b}y$ .

至此，我们成功地構造出了一個满足我们需求的坐標變換：

T: \begin{cases} x' = x y' = \frac{a}{b}y \end{cases}

這個變換在几何上，相当于将平面沿 $y$ 轴方向伸长（当 $a\>b$ ）或压缩（当 $a\<b$ ）了 $\frac{a}{b}$ 倍, 而保持 $x$ 轴方向不變.通過這個變換, 椭圓 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 被精确地映射到了圓 $x'^2+y'^2=a^2$ .

\paragraph{伸缩變換后對几何性質的影响} 我们已經找到了连接椭圓與圓的桥梁，但要真正應用它，还必须考察其他几何對象和几何關係在變換下的表現.

共線性保持

在伸缩變換 $T: (x,y) \mapsto (x, \frac{a}{b}y)$ 下，一条直線被映射為另一条直線.

證明

设原平面内的直線方程為 $Ax+By+C=0$ . 變換的逆關係為 $x=x', y=\frac{b}{a}y'$ . 将其代入直線方程，得到新坐標係下的方程：

A(x') + B\left(\frac{b}{a}y'\right) + C = 0 \implies Ax' + \frac{Bb}{a}y' + C = 0

由于 $A, B$ 不全為零, 故 $A, \frac{Bb}{a}$ 也不全為零.此方程是關于 $x', y'$ 的一次方程，故其像仍為一条直線.

平行性保持

在伸缩變換 $T$ 下，两条平行的直線被映射為两条仍然平行的直線.

證明

设原平面内两条平行直線為 $l_1: Ax+By+C_1=0$ 和 $l_2: Ax+By+C_2=0$ . 根据定理 1 的證明過程，它们的像分别為 $l'_1: Ax'+\frac{Bb}{a}y'+C_1=0$ 和 $l'_2: Ax'+\frac{Bb}{a}y'+C_2=0$ . 由于 $x', y'$ 的係數對應相等, 僅常數項不同, 故 $l'_1 \parallel l'_2$ .

定比分点保持

在伸缩變換 $T$ 下，線段的定比分点（包括中点）被映射為像線段的對應定比分点.

證明

设線段 $P_1P_2$ 的端点為 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ . 设点 $M$ 為線段 $P_1P_2$ 的一個定比分点, 满足 $\overrightarrow{P_1M} = \lambda \overrightarrow{MP_2}$ .

其坐標為 $M\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)$ .

各点經變換后的像為 $P'_1(x_1, \frac{a}{b}y_1), P'_2(x_2, \frac{a}{b}y_2), M'\left( \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \frac{a}{b}\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)$ . 计算像線段 $P'_1P'_2$ 上满足 $\overrightarrow{P'_1M''} = \lambda \overrightarrow{M''P'_2}$ 的点 $M''$ :

x_{M''} = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, y_{M''} = \frac{\frac{a}{b}y_1+\lambda \frac{a}{b}y_2}{1+\lambda} = \frac{a}{b}\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}

可见 $M''$ 的坐標與 $M'$ 完全相同. 当 $\lambda=1$ 时，此结論對中点成立.

相切性保持

在伸缩變換 $T$ 下，若一条直線與一条曲線相切，则它们的像也相互相切.

證明

相切的代數定義是，直線與曲線的方程联立后所得到的一元二次方程有唯一的重根. 變換 $T$ 是一個一一映射，其逆變換也存在且唯一. 這保證了方程组解的個數在變換前后保持不變. 因此，一個具有唯一重根解的方程组，在變換后得到的方程组也必然有唯一的重根解. 故相切關係得以保持.

需要注意的是，该變換不保持长度和角度. 例如，点 $(0,b)$ 變換為 $(0,a)$ , 其到原点的距离從 $b$ 變為 $a$ . 两条垂直的直線 $y=x$ 和 $y=-x$ 變換為 $y'=\frac{a}{b}x'$ 和 $y'=-\frac{a}{b}x'$ , 它们不再垂直（除非 $a=b$ ）. 因此，所有依赖于长度、距离、垂直關係的计算，必须在逆變換之后，回到原始坐標係中進行.

多边形面積變換

在伸缩變換 $T$ 下, 一個面積為 $S$ 的多边形, 被映射為一個面積為 $S'$ 的多边形, 且两面積满足關係 $S' = \frac{a}{b}S$ .

證明

我们首先證明此结論對任意三角形成立. 设原平面内一個三角形的顶点為 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2), P_3(x_3, y_3)$ . 其面積 $S_{\triangle}$ 可由坐標面積公式（鞋带公式）给出：

S_{\triangle} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|

經變換 $T$ 后, 像三角形的顶点為 $P'_1(x_1, \frac{a}{b}y_1), P'_2(x_2, \frac{a}{b}y_2), P'_3(x_3, \frac{a}{b}y_3)$ . 其面積 $S'_{\triangle}$ 為：

\begin{aligned} S'_{\triangle} &= \frac{1}{2} \left|x_1\left(\frac{a}{b}y_2-\frac{a}{b}y_3\right) + x_2\left(\frac{a}{b}y_3-\frac{a}{b}y_1\right) + x_3\left(\frac{a}{b}y_1-\frac{a}{b}y_2\right)\right| &= \frac{1}{2} \left|\frac{a}{b} \left( x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right)\right| \end{aligned}

由于 $a,b$ 均為正數, 可将因子 $\frac{a}{b}$ 提出绝對值符号：

S'_{\triangle} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = \frac{a}{b} S_{\triangle}

對于任意一個多边形（如四边形），我们总可以将其剖分為有限個不重叠的三角形. 设一個多边形被剖分為 $n$ 個三角形 $\triangle_1, \triangle_2, ..., \triangle_n$ . 其总面積 $S = \sum_{i=1}^{n} S_{\triangle_i}$ . 經變換后，该多边形的像由 $n$ 個像三角形 $\triangle'_1, \triangle'_2, ..., \triangle'_n$ 组成. 其总面積 $S' = \sum_{i=1}^{n} S'_{\triangle_i}$ . 根据已證的三角形面積變換關係，我们有 $S'_{\triangle_i} = \frac{a}{b}S_{\triangle_i}$ 對所有 $i$ 成立. 因此：

S' = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{a}{b}S_{\triangle_i}\right) = \frac{a}{b} \sum_{i=1}^{n} S_{\triangle_i} = \frac{a}{b}S

此结論對任意多边形均成立.

基于上述理論，我们形成一套清晰的解題流程：

變換：识别問題中的椭圓，施加伸缩變換，将其转化為圓. 同时，将問題中所有相關的几何元素（点、線）進行同步變換.
求解：在變換后的圓中，利用圓的簡洁几何性質（對称性、垂径定理等）来解决問題. 這一步通常在代數上或几何上都更為簡單.
逆變：将圓中得到的结論，依据變換的几何不變性（如平行、中点、相切）或确定的變換规律（如面積關係），翻译回原始的椭圓.

例

求内接于椭圓 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的三角形的最大面積.

解

设椭圓 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 内接一個 $\triangle PQR$ . 我们對其所在平面進行仿射變換 $T: (x,y) \mapsto (x', y') = (x, \frac{a}{b}y)$ .

在此變換下，椭圓 $C$ 變為圓 $C': x'^2+y'^2=a^2$ . 内接三角形 $\triangle PQR$ 變為圓 $C'$ 的内接三角形 $\triangle P'Q'R'$ .

在變換后的平面中，問題转化為求圓 $x'^2+y'^2=a^2$ 的内接三角形的最大面積. 我们知道，圓的内接三角形中，以等边三角形的面積為最大. 半径為 $R=a$ 的圓的内接等边三角形的面積為:

S'_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2

現在，我们将此结論逆變回原始平面. 根据我们導出的面積變換规律 $S' = \frac{a}{b}S$ , 可得 $S = \frac{b}{a}S'$ . 因此，椭圓内接三角形的最大面積為:

S_{\text{max}} = \frac{b}{a} S'_{\text{max}} = \frac{b}{a} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}ab

此方法将複杂的椭圓最值問題，通過一個簡單的線性變換，化归為初等的圓的最值問題，過程極為簡明.

例

设直線 $l$ 與椭圓 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点, $M$ 為弦 $AB$ 的中点. 若直線 $OM$ ( $O$ 為坐標原点) 與椭圓交于点 $P$ . 證明：椭圓在点 $P$ 处的切線與直線 $l$ 平行.

解

這是一個關于椭圓共轭直径的基本性質，其直接代數證明较為繁琐，但使用仿射變換则直观且深刻.

我们對整個几何圖形施行伸缩變換 $T: (x,y) \mapsto (x', y') = (x, \frac{a}{b}y)$ .

在變換后的平面中：椭圓變為圓 $C': x'^2+y'^2=a^2$ . 直線 $l$ 變為直線 $l'$ . 交点 $A, B$ 變為交点 $A', B'$ . 根据變換的中点保持性質，弦 $AB$ 的中点 $M$ 變為弦 $A'B'$ 的中点 $M'$ . 原点 $O$ 保持不變, 直線 $OM$ 變為直線 $OM'$ . 交点 $P$ 變為交点 $P'$ . 根据變換的相切保持性質，椭圓在点 $P$ 处的切線 $l_P$ 變為圓在点 $P'$ 处的切線 $l'_{P'}$ .

現在，我们在圓的世界中分析這些變換后的几何對象之間的關係. 在圓 $C'$ 中, $A'B'$ 是一条弦, $M'$ 是其中点, $O$ 是圓心. 根据圓的垂径定理，连接圓心與弦中点的直線必垂直于该弦. 因此，直線 $OM'$ 垂直于直線 $l'$ .

点 $P'$ 在直線 $OM'$ 上, 故 $OP'$ 也是圓的一条半径. 圓在点 $P'$ 处的切線 $l'_{P'}$ 必然垂直于經過该点的半径 $OP'$ .

綜合以上两点，我们得到：

l' \perp OM' \text{且} l'_{P'} \perp OM'

在同一平面内，两条同时垂直于第三条直線的直線必定相互平行. 故 $l'_{P'} \parallel l'$ .

最后，我们将此结論逆變回原始平面. 由于仿射變換保持平行性質，若變換后的两条直線 $l'_{P'}$ 和 $l'$ 平行, 则它们在變換前的原像直線 $l_P$ 和 $l$ 也必定平行.

因此，椭圓在点 $P$ 处的切線與直線 $l$ 平行. 證毕.

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观点二: 几何變換​

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從直線與圓锥曲線的位置關係谈起​

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弦中点問題​

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