ch13-射影几何

{/* label: chap:ch13 */}

源起與观念

{/* label: sec:ch13-s01 */}

欧氏几何以直尺和圓规為基本作圖工具.圓规的存在意味着“距离”是其核心概念之一，长度、角度等度量性質構成了整個理論的基礎.

一個自然的問題是：若舍棄圓规，只保留作直線的无刻度直尺，几何學将呈現何种面貌？這门几何學僅有两個基本操作：過两点作一直線，以及求两直線之交点.

第二個操作存在一個例外：当两直線平行时，它们没有交点.這個例外破坏了理論的對称性.為消除此例外，射影几何的先驱者從艺术中的透视法获得启發.在透视圖中，平行的铁轨在地平線上交于一個“灭点”.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：透视法中，平行的直線在视觉上交于地平線上的灭点.

由此，他们提出一個修正：假设所有平行線都相交于一個理想的点.這個想法被係统化：

對于平面上的每一個方向，所有與该方向平行的直線（構成一個平行線族）都视為交于同一個无穷远点.
所有這些新增的无穷远点的集合，構成一条特殊的直線，称為无穷远直線.

通過為欧氏平面添加這条无穷远直線，我们得到一個新的几何空間.

射影平面

在欧氏平面的基礎上，添加由所有无穷远点構成的无穷远直線，所得到的擴充空間称為射影平面.

在射影平面中，關于直線相交的公理變得异常簡洁：

任意两個不同的点，唯一确定一条穿過它们的直線.
任意两条不同的直線，唯一确定一個它们的交点.

這种点與直線地位的對称性，被称為對偶原理.

射影几何研究的核心，是在中心投影變換下保持不變的几何性質.中心投影可以设想為一個点光源 $O$ 将一個平面 $\pi_1$ 上的圖形投射到另一個平面 $\pi_2$ 上.

\begin{figure}[htbp]

$}{C} 映射為另一個平面上的椭圓 \texorpdfstring{$ \mathcal{C}' $}{C'}.} \end{figure} *圖：中心投影将一個平面上的圓 \texorpdfstring{$ \mathcal{C*

在此變換下，长度、角度、平行關係通常都会改變.保持不變的是關联属性，如点的共線性與線的共点性.例如，欧氏几何中性質各异的椭圓、抛物線和雙曲線，在射影几何中被视為同一种對象（圓锥曲線）的不同投影.它们的区别僅在于與无穷远直線的位置關係：

椭圓與无穷远直線没有实交点.
抛物線與无穷远直線相切于一点.
雙曲線與无穷远直線相交于两点.

為了在此非度量几何中進行定量分析，需要寻找一种在投影變換下保持不變的數值量.這個量不是长度或角度，而是一种僅依赖于四個共線点相對位置的量.

單比與交比

{/* label: sec:ch13-s02 */}

射影几何研究在中心投影變換下保持不變的性質.為進行定量分析，需要寻找一個在此變換下不變的數值量.长度與角度显然不满足此要求.

單比：一個仿射不變量

我们首先考虑一個更簡單的量.给定共線三点 $A, B, C$ .

單比

给定共線三点 $A, B, C$ , 点 $C$ 關于基点對 $(A, B)$ 的單比定義為有向線段长度之比：

r(A, B; C) = \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}}

若在直線上建立坐標係，设 $A, B, C$ 的坐標為 $x_A, x_B, x_C$ ，则

r(A, B; C) = \frac{x_C - x_A}{x_C - x_B}

這個值不依赖于坐標係原点或單位长度的選择，是一個仿射不變量.它在平移、旋转、均匀缩放等仿射變換下保持不變.

然而，在中心投影下，單比的值会發生改變.考虑点列 $A, B, C$ 從投影中心 $O$ 投射到另一条直線上, 得到像点 $A', B', C'$ .一般而言, $r(A, B; C) \neq r(A', B'; C')$ .投影過程引入了一种非均匀的尺度變化，破坏了單比的不變性.

交比：一個射影不變量

虽然單個的單比在投影下会改變，但數學家發現，两個單比的比值，在特定構造下，其變化可以相互抵消.這個構造需要四個点.

考虑共線四点 $A, B, C, D$ .我们可以用基点對 $(A, B)$ 定義两個單比： $r(A, B; C)$ 和 $r(A, B; D)$ .它们的比值，即為交比.

交比

给定共線四点 $A, B, C, D$ ，它们的交比定義為两個單比的比：

(A, B; C, D) = \frac{r(A, B; C)}{r(A, B; D)} = \frac{\overrightarrow{AC}/\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{AD}/\overrightarrow{BD}} = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}}

這個定義的内在思想是：以点對 $(A, B)$ 為一個内在的坐標係或“標尺”, 去度量另外两個点 $C$ 和 $D$ 的相對位置. $r(A, B; C)$ 可视為点 $C$ 在此標尺下的“坐標”, $r(A, B; D)$ 可视為点 $D$ 的“坐標”.交比就是這两個“坐標”的比值.

中心投影對單比 $r(A, B; C)$ 和 $r(A, B; D)$ 造成的尺度扭曲是係统性的.当我们计算它们的比值时，這個共同的扭曲因子被精确地消除了.這使得交比從一個仿射不變量，提升為我们所寻求的射影不變量.

為严格證明這一点，需将交比的概念從点列推廣到線束.

線束的交比

以点 $O$ 為中心的四条共点直線 $a, b, c, d$ 構成一個線束.其交比 $O(a,b;c,d)$ 定義為任意一条不經過点 $O$ 的截線 $l$ 與線束交点 $A, B, C, D$ 所構成的点列的交比 $(A, B; C, D)$ .

此定義的合理性依赖于交比值不随截線的選择而改變.

交比的射影不變性

一個固定的共点線束的交比是一個不變量，它不依赖于截線的選择.

\begin{figure}[htbp]

{O(a,b,c,d)} 被两条不同截線 \texorpdfstring{ $l$ }{l} 和 \texorpdfstring{ $l'$ }{l'} 所截, 点列交比 \texorpdfstring{ $(A,B;C,D)$ }{(A,B;C,D)} 與 \texorpdfstring{ $(A',B';C',D')$ }{(A',B';C',D')} 相等.} \end{figure} 圖：線束 \texorpdfstring{ $O(a,b,c,d)$

證明

设線束中心為 $O$ , 四条直線為 $a, b, c, d$ .截線 $l$ 與之交于 $A, B, C, D$ .我们用三角形面積表示有向線段之比. $\triangle OAC$ 和 $\triangle OBC$ 有共同的高，因此面積比等于底边比：

\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} = \frac{\text{Area}(\triangle OAC)}{\text{Area}(\triangle OBC)}

使用正弦面積公式 $\text{Area}(\triangle OAC) = \frac{1}{2} OA \cdot OC \sin(\angle AOC)$ ，我们得到

\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} = \frac{\frac{1}{2} OA \cdot OC \sin(\angle AOC)}{\frac{1}{2} OB \cdot OC \sin(\angle BOC)} = \frac{OA \cdot \sin(\angle AOC)}{OB \cdot \sin(\angle BOC)}

同理，

\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}} = \frac{OA \cdot \sin(\angle AOD)}{OB \cdot \sin(\angle BOD)}

将两式代入交比定義：

\begin{aligned} (A, B; C, D) &= \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} \div \frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}} &= \left( \frac{OA \cdot \sin(\angle AOC)}{OB \cdot \sin(\angle BOC)} \right) \div \left( \frac{OA \cdot \sin(\angle AOD)}{OB \cdot \sin(\angle BOD)} \right) &= \frac{\sin(\angle AOC) \cdot \sin(\angle BOD)}{\sin(\angle BOC) \cdot \sin(\angle AOD)} \end{aligned}

记直線 $a, c$ 間的夹角為 $\angle(a,c)$ ，则

(A, B; C, D) = \frac{\sin\angle(a,c) \cdot \sin\angle(b,d)}{\sin\angle(b,c) \cdot \sin\angle(a,d)}

此表达式僅與線束的内蕴角度有關，與截線 $l$ 的位置或截点 $A,B,C,D$ 的具體坐標无關.這就證明了交比的射影不變性.

這個不變性是射影几何定量分析的基石.它也揭示了不同几何學之間的层级關係.若点 $D$ 為直線上的无穷远点 $P_\infty$ , 其坐標 $x_D \to \infty$ .

\lim_{x_D \to \infty} \frac{x_D - x_B}{x_D - x_A} = \lim_{x_D \to \infty} \frac{1 - x_B/x_D}{1 - x_A/x_D} = 1

因此，交比退化為單比：

(A, B; C, P_\infty) = \frac{x_C - x_A}{x_C - x_B} = r(A, B; C)

這表明，仿射几何的核心不變量（單比），是射影几何的核心不變量（交比）在其中一個点退化到无穷远时的特殊情况.射影几何是一個更具普遍性的框架.

调和共轭

在交比的所有可能取值中，有一個值因其對称性與几何意義而尤為重要，即 $-1$ .

调和共轭

若共線四点 $A, B, C, D$ 的交比 $(A, B; C, D) = -1$ , 则称该点列為调和点列.此时, 称点對 $(C, D)$ 调和分割点對 $(A, B)$ , 或称 $C$ 和 $D$ 關于 $A$ 和 $B$ 调和共轭.

交比為 $-1$ 的線束相應地被称為调和線束.

调和共轭的定義式 $(A, B; C, D) = -1$ 等价于

\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} = - \frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}}

這個關係式揭示了调和分割的几何内涵：

符号的相反意味着，点 $C$ 和 $D$ 中, 一個必然是線段 $AB$ 的内分点，另一個是外分点.
表达式的绝對值相等，即 $|\overrightarrow{AC}/\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AD}/\overrightarrow{BD}|$ , 表明這两個点分割線段 $AB$ 的比的大小是相同的.

這种一個在内部、一個在外部，且分割比大小相等的關係，體現了一种几何上的“和谐”.

\begin{figure}[htbp]

{C} 内分線段 \texorpdfstring{ $AB$ }{AB}, 点 \texorpdfstring{ $D$ }{D} 外分線段 \texorpdfstring{ $AB$ }{AB}.} \end{figure} 圖：调和点列示意圖.点 \texorpdfstring{ $C$

调和共轭的概念将欧氏几何中的一些基本观念统一在射影几何的框架下.考虑一個特殊情况：若 $C$ 是線段 $AB$ 的中点, 其调和共轭点 $D$ 在何处？

若 $C$ 是 $AB$ 的中点, 则 $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{BC}$ , 因此單比 $r(A, B; C) = \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{BC}} = -1$ . 代入调和条件 $(A, B; C, D) = \frac{r(A, B; C)}{r(A, B; D)} = -1$ ，得到

\frac{-1}{r(A, B; D)} = -1 \implies r(A, B; D) = 1

即 $\frac{\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{BD}} = 1$ , 或 $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$ .對于两個不同的点 $A, B$ , 在欧氏平面内不存在任何有限远处的点 $D$ 能满足此条件.唯一的可能是点 $D$ 位于该直線的无穷远处.

由此我们得到一個重要结論：線段中点的调和共轭点是该直線上的无穷远点.反之，與无穷远点调和共轭的点是線段的中点.

调和点列还满足一個优美的度量關係.

调和点列的度量關係

若点列 $(A, B; C, D)$ 為调和点列，则有向線段的倒數满足如下關係：

\frac{2}{\overrightarrow{AB}} = \frac{1}{\overrightarrow{AC}} + \frac{1}{\overrightarrow{AD}}

其中線段的起点均取為 $A$ .

證明

為方便计算，我们在直線上建立坐標係，并令点 $A$ 為原点, 即 $x_A = 0$ .设 $B, C, D$ 的坐標分别為 $b, c, d$ . 交比的定義式為

(A, B; C, D) = \frac{x_C - x_A}{x_C - x_B} \cdot \frac{x_D - x_B}{x_D - x_A} = -1

代入坐標，得到

\frac{c - 0}{c - b} \cdot \frac{d - b}{d - 0} = -1

c(d - b) = -d(c - b)

展開得 $cd - cb = -cd + db$ .移項整理得

2cd = cb + db = b(c+d)

当 $b, c, d$ 均不為零时, 两边同除以 $bcd$ ，得到

\frac{2}{b} = \frac{c+d}{cd} = \frac{1}{d} + \frac{1}{c}

由于原点在 $A$ , 我们有 $b = \overrightarrow{AB}, c = \overrightarrow{AC}, d = \overrightarrow{AD}$ .代入即得

\frac{2}{\overrightarrow{AB}} = \frac{1}{\overrightarrow{AC}} + \frac{1}{\overrightarrow{AD}}

這個關係表明， $\overrightarrow{AB}$ 的长度是 $\overrightarrow{AC}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 长度的调和平均數.

例

在直線上给定三点 $A, B, C$ , 其坐標分别為 $0, 5, 8$ .求点 $D$ 的坐標, 使得 $(A, B; C, D) = -1$ .

證明

這是一個求解调和共轭点的問題.我们设点 $D$ 的坐標為 $x$ . 根据交比的定義，我们有

(A, B; C, D) = \frac{x_C - x_A}{x_C - x_B} \cdot \frac{x_D - x_B}{x_D - x_A} = -1

将已知的坐標值代入：

\frac{8 - 0}{8 - 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 0} = -1

计算并整理方程：

\frac{8}{3} \cdot \frac{x - 5}{x} = -1

8(x - 5) = -3x

8x - 40 = -3x

11x = 40

x = \frac{40}{11}

因此，点 $D$ 的坐標是 $40/11$ .

回顾這個结果.点 $A, B$ 的坐標為 $0, 5$ .点 $C$ 的坐標為 $8$ , 是外分点.我们求得的点 $D$ 的坐標為 $40/11 \approx 3.64$ , 位于 $A, B$ 之間，是内分点.這與调和分割的几何性質相符.

二次曲線的極点與極線

{/* label: sec:ch13-s03 */}

调和共轭的概念是连接直線几何與二次曲線几何的桥梁.它将揭示二次曲線的一种深刻的内在對称性.

调和分割與定比点差

我们首先回顾调和点列的定義.若点列 $(A, B; P, Q)$ 為调和点列, 其交比為 $-1$ .

(A, B; P, Q) = \frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{BP}} \div \frac{\overrightarrow{AQ}}{\overrightarrow{BQ}} = -1

這意味着

\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{BP}} = - \frac{\overrightarrow{AQ}}{\overrightarrow{BQ}}

這個關係式可以用另一种方式来表述.设存在一個常數 $\lambda$ ，使得

\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB} \text{且} \overrightarrow{AQ} = -\lambda \overrightarrow{QB}

其中 $\overrightarrow{PB} = -\overrightarrow{BP}$ , $\overrightarrow{QB} = -\overrightarrow{BQ}$ .代入后得到

\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{BP}} = -\lambda \text{且} \frac{\overrightarrow{AQ}}{\overrightarrow{BQ}} = \lambda

這两個式子合并，恰好满足交比為 $-1$ 的条件.因此, 调和分割可以用“定比点差”的等价形式来描述：点 $P$ 和 $Q$ 以大小相等、方向相反的比率分割有向線段 $AB$ .

若设 $A, B$ 的坐標分别為 $(x_A, y_A)$ 和 $(x_B, y_B)$ , 则点 $P, Q$ 的坐標可以由定比分点公式表示：

P = \frac{A + \lambda B}{1 + \lambda} = \left( \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}, \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda} \right)

Q = \frac{A - \lambda B}{1 - \lambda} = \left( \frac{x_A - \lambda x_B}{1 - \lambda}, \frac{y_A - \lambda y_B}{1 - \lambda} \right)

這個代數表示為我们研究二次曲線中的相關轨迹提供了工具.

極点與極線的定義與推導

在一条直線上，调和分割给出了四個点之間一种非常刚性的投影不變量：一旦 $(A,B;P,Q)=-1$ 被确定, 点 $Q$ 就由 $A,B,P$ 唯一决定，反之亦然.這是一維情形下“点—点”之間的精细對應關係.

現在我们把视角提升到平面上的二次曲線 $\mathcal{C}$ 上.對于一条經過定点 $P$ 的割線, 它與 $\mathcal{C}$ 相交于 $A,B$ 两点, 我们知道在這条割線上存在唯一一点 $Q$ , 使得 $(A,B;P,Q)$ 成為一個调和点列：在每一条割線上, $P$ 都有一個“调和對点” $Q$ .随着割線绕着 $P$ 旋转, 我们便得到了一大族点 $Q$ .

看上去，点 $Q$ 会在平面中“到处乱跑”, 因為不同的割線给出不同的 $A,B$ , 继而给出看似毫不相關的 $Q$ .然而, 调和分割是一個典型的投影不變量：我们對整幅圖形做任何投影變換, $A,B,P,Q$ 的调和性都保持不變.這提示我们：這些 $Q$ 的集合，很可能并不是杂乱无章的，而是蕴含着某种簡單而又深刻的几何结構.

于是产生了下面的問題：

**問題：**给定平面上的一個二次曲線 $\mathcal{C}$ 和一個定点 $P$ .從点 $P$ 引出任意一条割線, 與二次曲線 $\mathcal{C}$ 交于 $A,B$ 两点.在這条割線上, 存在唯一的点 $Q$ , 使得点列 $(A,B;P,Q)$ 構成调和点列. 当割線绕着点 $P$ 转动时, 点 $Q$ 的轨迹是什么？

這個問題的答案極其簡洁：所有這样的 $Q$ 居然自动排成了一条直線.這条直線只依赖于点 $P$ 和二次曲線 $\mathcal{C}$ , 而與我们選取哪一条割線无關.它把“從 $P$ 出發的一簇割線”上的无穷多個调和對点，凝聚成了一個统一的几何對象——一条直線.

這正是本节要引入的極点與極線的概念.

極点與極線定理

给定二次曲線 $\mathcal{C}$ 和一点 $P$ .所有满足 $(A,B;P,Q)=-1$ 的点 $Q$ 的轨迹是一条直線.這条直線称為 $P$ 關于 $\mathcal{C}$ 的極線, 点 $P$ 称為该極線的極点.

證明

我们以椭圓為例進行證明.设椭圓方程為

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

设極点為 $P(x_0,y_0)$ , 动点為 $Q(x,y)$ .割線與椭圓的交点為 $A(x_A,y_A)$ 和 $B(x_B,y_B)$ .

根据上一节中调和点列的向量（坐標）表示，存在常數 $\lambda$ （ $\lambda \neq \pm 1$ ）, 使得 $P$ 和 $Q$ 在割線上的坐標可以表示為

\begin{aligned} x_0 = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda} & \iff x_A + \lambda x_B = x_0(1+\lambda), y_0 = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda} & \iff y_A + \lambda y_B = y_0(1+\lambda), x = \frac{x_A - \lambda x_B}{1 - \lambda} & \iff x_A - \lambda x_B = x(1-\lambda), y = \frac{y_A - \lambda y_B}{1 - \lambda} & \iff y_A - \lambda y_B = y(1-\lambda). \end{aligned}

因為点 $A$ 和 $B$ 均在椭圓上，它们满足

\begin{aligned} \frac{x_A^2}{a^2} + \frac{y_A^2}{b^2} = 1, \tag{1} \frac{x_B^2}{a^2} + \frac{y_B^2}{b^2} = 1. \tag{2} \end{aligned}

我们的目標是消去與具體割線相關的量（ $x_A, y_A, x_B, y_B, \lambda$ ）, 得到一個只包含 $(x,y)$ 與定点 $(x_0,y_0)$ 的關係式, 從而刻画 $Q$ 的轨迹.

考虑用 $(1)$ 减去 $\lambda^2$ 倍的 $(2)$ ：

\left(\frac{x_A^2}{a^2} + \frac{y_A^2}{b^2}\right) - \lambda^2\left(\frac{x_B^2}{a^2} + \frac{y_B^2}{b^2}\right) = 1 - \lambda^2.

即

\frac{x_A^2 - \lambda^2 x_B^2}{a^2} + \frac{y_A^2 - \lambda^2 y_B^2}{b^2} = 1 - \lambda^2.

利用平方差公式分解：

\frac{(x_A - \lambda x_B)(x_A + \lambda x_B)}{a^2} + \frac{(y_A - \lambda y_B)(y_A + \lambda y_B)}{b^2} = 1 - \lambda^2.

将前面得到的關係

x_A - \lambda x_B = x(1-\lambda), x_A + \lambda x_B = x_0(1+\lambda),

以及 $y$ 的對應式代入，得到

\frac{x(1-\lambda)\cdot x_0(1+\lambda)}{a^2} + \frac{y(1-\lambda)\cdot y_0(1+\lambda)}{b^2} = 1 - \lambda^2.

注意 $(1-\lambda)(1+\lambda) = 1 - \lambda^2$ ，于是

(1 - \lambda^2)\left(\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2}\right) = 1 - \lambda^2.

由于割線與椭圓有两個不同交点， $\lambda\neq\pm1$ , 因此 $1-\lambda^2\neq 0$ ，可约去，得到

\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1.

這是一個關于 $(x,y)$ 的一階線性方程, 其係數只由椭圓參數 $a,b$ 以及定点 $P(x_0,y_0)$ 决定.這說明, 随着割線转动, 所有满足调和条件的点 $Q$ 都落在這条直線上.因而点 $Q$ 的轨迹是一条直線.對于雙曲線和抛物線，完全可以作出類似的推導.

\paragraph{關于“(1) 减去 $\lambda^2$ 倍的 (2) $\,$ ”這一步的思想}

這一步非常重要，有必要回顾一下. 這一步之前，我们已經得到两類信息：

椭圓给出的二次關係：

(1) \frac{x_A^2}{a^2} + \frac{y_A^2}{b^2} = 1, (2) \frac{x_B^2}{a^2} + \frac{y_B^2}{b^2} = 1;

调和分割给出的一次線性關係：

x_A \pm \lambda x_B, y_A \pm \lambda y_B

都能用 $x_0,y_0$ 與 $x,y$ 来表示.

我们的目標是：既利用椭圓的“二次”性質，又利用调和分割给出的“線性”表达，消去 $A,B,\lambda$ , 得到只含 $(x_0,y_0)$ 與 $(x,y)$ 的關係式.

要把二次式和一次式结合起来，最自然的想法是：把 $x_A^2$ 、 $x_B^2$ 這种二次項, 设法改寫成 $(x_A\pm \lambda x_B)$ 的乘積形式，因為我们已經知道

x_A \pm \lambda x_B, y_A \pm \lambda y_B

都可以換成有關 $P,Q$ 的表达.一旦把 $x_A^2$ 和 $x_B^2$ 寫成這類乘積，就可以直接用那些線性關係代入.

為此，我们希望在计算中出現

x_A^2 - \lambda^2 x_B^2, y_A^2 - \lambda^2 y_B^2

這样的组合，因為它们可以利用平方差公式分解為

x_A^2 - \lambda^2 x_B^2 = (x_A - \lambda x_B)(x_A + \lambda x_B),

y_A^2 - \lambda^2 y_B^2 = (y_A - \lambda y_B)(y_A + \lambda y_B).

這正好把“二次”信息拆成了两個“一次”因子，而這两個因子都已經在前面通過调和分割被表示成了 $x_0,y_0,x,y$ 的線性组合.

于是，**為什么要用 $(1) - \lambda^2 (2)$ ？**原因在于：

如果只用 $(1) - (2)$ , 得到的是 $x_A^2 - x_B^2$ , 分解后会出現 $(x_A \pm x_B)$ , 而我们的線性關係是關于 $x_A \pm \lambda x_B$ 的, 係數對不上, 代入后不会簡化成只含 $P,Q$ 的整齐形式.
如果用 $(1) - \lambda (2)$ , 则出現的是 $x_A^2 - \lambda x_B^2$ , 同样无法分解成 $(x_A - \lambda x_B)(x_A + \lambda x_B)$ , 因為係數必须是 $\lambda^2$ 才能匹配平方差公式.
只有選择 $(1) - \lambda^2 (2)$ ，才恰好得到

x_A^2 - \lambda^2 x_B^2, y_A^2 - \lambda^2 y_B^2,

從而既能用平方差分解，又能與我们已有的 $x_A \pm \lambda x_B$ 、 $y_A \pm \lambda y_B$ 直接對應起来.

因此，這一步

(1) - \lambda^2 (2)

是要搭建一個桥梁，一头连着二次曲線的方程（包含 $x_A^2,y_A^2,x_B^2,y_B^2$ ）, 另一头连着调和分割给出的線性组合（ $x_A \pm \lambda x_B$ 等）.通過這座桥, 我们得以把曲線的二次信息與调和的線性信息乘在一起, 最终把 $A,B,\lambda$ 全部消去，凝練成

\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1

這样一個只依赖于 $P$ 和 $Q$ 的線性方程, 也就從解析上證明了：所有這样的 $Q$ 共線.

從整體结構看，這一步是整個消元過程的關键转折点：它把“二次曲線的信息”與“调和共轭的信息”融合在一起，使得極点—極線關係得以從代數上明确地呈現出来.

極線方程

设点 $P$ 的坐標為 $(x_0, y_0)$ .

若二次曲線 $\mathcal{C}$ 為椭圓 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ，则其極線方程為：

\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1

若二次曲線 $\mathcal{C}$ 為雙曲線 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ，则其極線方程為：

\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1

若二次曲線 $\mathcal{C}$ 為抛物線 $y^2 = 2px$ ，则其極線方程為：

y_0 y = p(x + x_0)

观察極線方程的形式，可以發現一個代數规律.極線方程可以通過對二次曲線方程進行“形式替換”得到：

$x^2 \to x_0 x$
$y^2 \to y_0 y$
$x \to \frac{1}{2}(x + x_0)$
$y \to \frac{1}{2}(y + y_0)$
$xy \to \frac{1}{2}(x_0 y + y_0 x)$

這個過程被称為配極變換或極化.它统一了所有二次曲線的極線方程，并與点 $P$ 位于曲線上时的切線方程在形式上完全一致.

例

過点 $P(1,1)$ 的直線交椭圓 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 于 $A,B$ 两点．在線段 $AB$ 上取点 $Q$ ，满足

\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|} = \frac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{QB}|}.

求證：点 $Q$ 在某条定直線上．

證明

先把題目条件翻译成调和点列的語言．

由于 $P$ 在線段 $AB$ 上, $Q$ 在射線 $AB$ 的延长線上（或反之）, 于是 $P,Q$ 一為内分点，一為外分点．又有

\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|} = \frac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{QB}|},

這等价于

\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QB},

其中一边是内分比，另一边是外分比．根据前面對调和分割的刻画（“若 $P$ 内分 $AB$ , $Q$ 外分 $AB$ , 且 $\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AQ}{QB}$ , 则点列 $(A,B;P,Q)$ 為调和点列”），可知

(A,B;P,Q)=-1.

也就是說，題目给出的比例条件正說明 $Q$ 是 $P$ 在割線 $AB$ 上的调和共轭点．

于是，当過 $P(1,1)$ 的直線在平面内转动时, 所有這样的点 $Q$ 正是關于给定椭圓

\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1

的極点 $P$ 所對應的極線上所有点．根据刚刚得到的極点與極線定理, 我们只需寫出 $P$ 的極線方程即可确定 $Q$ 的轨迹．

對一般椭圓

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,

上一节已經推導出：点 $P(x_0,y_0)$ 的極線方程為

\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1.

本題中 $a^2=4,b^2=2$ , 極点為 $P(1,1)$ ，代入可得

\frac{1\cdot x}{4} + \frac{1\cdot y}{2} = 1.

两边同乘以 $4$ ，化簡為

x + 2y = 4,

即

x + 2y - 4 = 0.

這是一条與割線无關的定直線．因此，无論過 $P(1,1)$ 的直線如何转动, 只要 $Q$ 满足題中的比例条件, 它都必在這条直線 $x+2y-4=0$ 上．

綜上，点 $Q$ 的轨迹是一条定直線，其方程為

x + 2y - 4 = 0.

例

已知雙曲線 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ( $a\>0, b\>0$ ) 過点 $A(4\sqrt{2}, 3)$ ，且焦距為 10.

求 $C$ 的方程.
已知点 $B(4\sqrt{2}, -3)$ , $D(2\sqrt{2}, 0)$ , $E$ 為線段 $AB$ 上一点, 且直線 $DE$ 交 $C$ 于 $G, H$ 两点.證明： $\dfrac{|GD|}{|GE|} = \dfrac{|HD|}{|HE|}$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

(1) 首先确定雙曲線的方程. 由焦距為 $10$ 可知 $2c = 10$ , 即 $c=5$ .因此 $c^2 = a^2 + b^2 = 25$ . 点 $A(4\sqrt{2}, 3)$ 在雙曲線上，其坐標满足方程：

\frac{(4\sqrt{2})^2}{a^2} - \frac{3^2}{b^2} = 1 \implies \frac{32}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1

我们得到關于 $a^2, b^2$ 的方程组：

\begin{cases} a^2 + b^2 = 25 32b^2 - 9a^2 = a^2 b^2 \end{cases}

将 $b^2 = 25 - a^2$ 代入第二式：

32(25 - a^2) - 9a^2 = a^2(25 - a^2)

800 - 41a^2 = 25a^2 - a^4

a^4 - 66a^2 + 800 = 0

這是一個關于 $a^2$ 的二次方程, 分解因式得 $(a^2 - 16)(a^2 - 50) = 0$ . 解得 $a^2 = 16$ 或 $a^2 = 50$ . 若 $a^2 = 50$ , 则 $b^2 = 25 - 50 = -25$ ，不合題意. 若 $a^2 = 16$ , 则 $b^2 = 25 - 16 = 9$ . 因此，雙曲線 $C$ 的方程為 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ .

(2) 問題的核心在于證明 $\dfrac{|GD|}{|GE|} = \dfrac{|HD|}{|HE|}$ . 這個条件可以變形為 $\dfrac{|GD|}{|HD|} = \dfrac{|GE|}{|HE|}$ . 注意到点 $D, E, G, H$ 共線.该比例式是点對 $(D, E)$ 调和分割点對 $(G, H)$ 的度量表达形式, 即等价于證明交比 $(G, H; D, E) = -1$ .

這個几何结構——一個定点 $D$ , 一条定直線 $AB$ , 以及一条過 $D$ 的變动割線 $DGH$ 與定直線交于 $E$ ——提示我们考察点 $D$ 與直線 $AB$ 之間的極点極線關係.

我们计算点 $D(2\sqrt{2}, 0)$ 關于雙曲線 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的極線方程. 極点為 $(x_0, y_0) = (2\sqrt{2}, 0)$ .應用配極變換：

\frac{x_0 x}{16} - \frac{y_0 y}{9} = 1

代入坐標得：

\frac{2\sqrt{2} \cdot x}{16} - \frac{0 \cdot y}{9} = 1

\frac{\sqrt{2}x}{8} = 1 \implies x = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}

我们确定直線 $AB$ 的方程. 点 $A$ 的坐標為 $(4\sqrt{2}, 3)$ , 点 $B$ 的坐標為 $(4\sqrt{2}, -3)$ . 這是一条垂直于 $x$ 轴的直線, 其方程為 $x = 4\sqrt{2}$ .

由于点 $D$ 的極線方程與直線 $AB$ 的方程完全相同, 我们确认直線 $AB$ 就是点 $D$ 的極線.

根据極点與極線的定義，對于任意一条穿過極点 $D$ 的割線, 若其與雙曲線交于 $G, H$ 两点, 與極線交于点 $E$ , 则点列 $(G, H; D, E)$ 必然構成调和点列. 即 $(G, H; D, E) = -1$ .

由交比定義，這意味着：

\frac{\overrightarrow{GD}}{\overrightarrow{HD}} \div \frac{\overrightarrow{GE}}{\overrightarrow{HE}} = -1 \implies \frac{\overrightarrow{GD}}{\overrightarrow{HD}} = - \frac{\overrightarrow{GE}}{\overrightarrow{HE}}

取两边的绝對值，得到：

\frac{|\overrightarrow{GD}|}{|\overrightarrow{HD}|} = \frac{|\overrightarrow{GE}|}{|\overrightarrow{HE}|}

整理后即為所求證的式子：

\frac{|GD|}{|GE|} = \frac{|HD|}{|HE|}

證明完毕.

極点與極線的几何作圖

{/* label: sec:ch13-s04 */}

本节探讨僅用直尺完成極点與極線相互構造的方法.核心在于構造调和共轭点.

構造调和共轭点

给定共線三点 $A, B, P$ , 作 $P$ 關于 $A, B$ 的调和共轭点 $Q$ 的方法依赖于完全四边形. 一個完全四边形由平面上任意四条直線（无三線共点）構成，有六個交点（顶点）和三条连接對顶点的對角線.其基本性質是：在任意一条對角線上，其與另外两条對角線的交点，與该線上的两個原始顶点，構成调和点列.

\paragraph{作圖步骤}

在平面上任取一点 $S$ , 不在直線 $ABP$ 上.连接 $SA, SP, SB$ .
在直線 $SP$ 上任取一点 $R$ (异于 $S, P$ ).
作直線 $AR$ 交 $SB$ 于 $D$ .作直線 $BR$ 交 $SA$ 于 $C$ .
连接 $C, D$ .直線 $CD$ 與直線 $ABP$ 的交点即為所求的调和共轭点 $Q$ .

\begin{figure}[htbp]

{SCDR} (部分顶点為 \texorpdfstring{ $A,B$ }{A,B}) 構造调和共轭点 \texorpdfstring{ $Q$ }{Q}.} \end{figure} 圖：使用完全四边形 \texorpdfstring{ $SCDR$

在此構造中，直線 $AB, SP, CD$ 是完全四边形的三条對角線.根据其性質, 点列 $(A, B; P, Q)$ 是调和点列.

由極点作極線

已知極線是一条直線，只需構造其上两点即可. \paragraph{作圖步骤}

從極点 $P$ 引一条割線交二次曲線 $\mathcal{C}$ 于 $A_1, B_1$ .
使用完全四边形法，構造 $P$ 關于 $A_1, B_1$ 的调和共轭点 $Q_1$ .
從 $P$ 引另一条割線交 $\mathcal{C}$ 于 $A_2, B_2$ .
同样構造调和共轭点 $Q_2$ .
连接 $Q_1, Q_2$ 即得所求的極線 $p$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：通過構造两個调和共轭点 $Q_1, Q_2$ 来确定極線 $p$ .

由極線作極点

此作圖基于 La Hire 定理.

La Hire 定理

点 $P$ 位于点 $Q$ 關于二次曲線 $\mathcal{C}$ 的極線上, 当且僅当点 $Q$ 位于点 $P$ 關于 $\mathcal{C}$ 的極線上.

\paragraph{作圖步骤}

在给定的極線 $p$ 上任取两点 $Q_1, Q_2$ .
作出点 $Q_1$ 的極線 $p_1$ .
作出点 $Q_2$ 的極線 $p_2$ .
根据 La Hire 定理，所求極点 $P$ 必同时在 $p_1$ 和 $p_2$ 上.因此, $p_1$ 和 $p_2$ 的交点即為極点 $P$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：取 $p$ 上两点 $Q_1, Q_2$ , 作其極線 $p_1, p_2$ , 交点即為 $p$ 的極点 $P$ .

自極三角形與綜合構造

在前文中，我们通過構造两個独立的调和共轭点来确定一条極線.現在，我们介绍一种更具整體性的几何構造方法，它不僅能一次性作出極線，还能揭示一個深刻的對称结構——自極三角形.

此構造的基礎是極点與極線之間的互易關係.

由La Hire 定理，我们知道若一個点沿着某条直線移动，则它對應的極線将始终绕着该直線的極点转动. 因此，我们考虑如何僅用直尺構造出点 $P$ 的極線.

\paragraph{極線的几何構造} 给定二次曲線 $\mathcal{C}$ 和外部一点 $P$ .

從点 $P$ 引两条任意的割線, 分别交二次曲線于点 $A, B$ 和 $C, D$ .
连接對角点，作直線 $AD$ 和 $BC$ , 设它们的交点為 $M$ .
连接另外一组對角点，作直線 $AC$ 和 $BD$ , 设它们的交点為 $N$ .
连接 $M, N$ 两点.直線 $MN$ 即為点 $P$ 關于二次曲線 $\mathcal{C}$ 的極線.

{/* latex-label: fig:polar-line-1 */} \begin{figure}[htbp]

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{從点 $P$ 引两条割線交 $\mathcal{C}$ 于 $A,B$ 和 $C,D$}

\end{subfigure}

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{连接對角点 $AD$ 和 $BC$, 交于点 $M$}

\end{subfigure}

\end{figure} 圖：極線構造步骤 1-2

{/* latex-label: fig:polar-line-2 */} \begin{figure}[htbp]

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{连接對角点 $AC$ 和 $BD$, 交于点 $N$}

\end{subfigure}

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{连接 $M,N$ 得到点 $P$ 關于 $\mathcal{C}$ 的極線}

\end{subfigure}

\end{figure} 圖：極線構造步骤 3-4

這個構造不僅给出了極線，还形成了一個特殊的三角形 $\triangle PMN$ .這個三角形具有完美的對偶性質.

自極三角形

一個三角形，如果它的每一個顶点都是其對边的極点，则称该三角形為關于该二次曲線的自極三角形（或自共轭三角形）.

在上述構造中， $\triangle PMN$ 就是一個自極三角形.我们已經構造出点 $P$ 的極線是 $MN$ .可以證明（利用交比的射影不變性）, 点 $M$ 的極線是直線 $PN$ , 点 $N$ 的極線是直線 $PM$ .

自極三角形模型揭示了極点極線對應關係的内在结構：

点的共線對應線的共点：若取極線 $MN$ 上的任意一点 $Q$ , 根据 La Hire 定理, $Q$ 的極線 $q$ 必然穿過 $MN$ 的極点 $P$ .
切点弦：若極線 $MN$ 與二次曲線 $\mathcal{C}$ 交于两点 $E, F$ , 则 $E, F$ 都在 $P$ 的極線上.根据 La Hire 定理, $P$ 必然在 $E$ 的極線和 $F$ 的極線上.由于 $E, F$ 在曲線上, 它们的極線就是曲線在各自点上的切線.因此, 直線 $PE$ 和 $PF$ 就是從点 $P$ 到该二次曲線的两条切線.

因此，構造自極三角形是解决與極点、極線、切線相關的几何問題的一個有力工具.

例

已知椭圓 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ( $a\>b\>0$ ) 的左右焦点分别為 $F_1, F_2$ , 点 $P(1, \frac{3}{2})$ 在 $C$ 上, 且 $PF_2 \perp F_1F_2$ .

求 $C$ 的標准方程.
设 $C$ 的左右顶点分别為 $A, B$ .直線 $l$ 過右焦点 $F_2$ 且不與坐標轴垂直, $l$ 與 $C$ 交于 $M, N$ 两点.直線 $AM$ 與直線 $BN$ 相交于点 $Q$ .證明点 $Q$ 在定直線上.

{/* latex-label: fig:ellipse-polar-example */} \begin{figure}[htbp]

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{問題(1)：点$P$在椭圓上, $PF_2 \perp F_1F_2$}

\end{subfigure}

\begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}

\subcaption{問題(2)：$AM$與$BN$交于定直線$x=4$上的点$Q$}

\end{subfigure}

\end{figure} 圖：椭圓極点與極線問題示意圖

證明

(1) 确定椭圓的方程. 椭圓的焦点在 $x$ 轴上, 坐標為 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$ . 条件 $PF_2 \perp F_1F_2$ 意味着点 $P$ 與 $F_2$ 的横坐標相同.由于 $P(1, \frac{3}{2})$ , 可得 $c=1$ . 因此 $F_1(-1, 0), F_2(1, 0)$ . 点 $P$ 到左焦点 $F_1$ 的距离為 $|PF_1| = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (\frac{3}{2} - 0)^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \frac{5}{2}$ . 点 $P$ 到右焦点 $F_2$ 的距离為 $|PF_2| = \frac{3}{2}$ . 根据椭圓定義， $2a = |PF_1| + |PF_2| = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4$ , 所以 $a=2$ . 由 $a^2 = b^2 + c^2$ , 得 $b^2 = a^2 - c^2 = 4 - 1 = 3$ . 椭圓 $C$ 的標准方程為 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ .

(2) 證明点 $Q$ 在定直線上. 由題意，顶点 $A(-2, 0), B(2, 0)$ .设 $M(x_1, y_1), N(x_2, y_2), Q(x_Q, y_Q)$ . 直線 $l$ 過 $F_2(1, 0)$ , 设其方程為 $y=k(x-1)$ . 联立直線與椭圓方程：

\begin{cases} y=k(x-1) \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases} \implies (3+4k^2)x^2 - 8k^2x + 4k^2 - 12 = 0

$x_1, x_2$ 為此方程的两根，根据韦达定理：

x_1+x_2 = \frac{8k^2}{3+4k^2}, x_1x_2 = \frac{4k^2-12}{3+4k^2}

由 $A, M, Q$ 三点共線, 斜率相等, 得 $\dfrac{y_Q}{x_Q+2} = \dfrac{y_1}{x_1+2}$ (i). 由 $B, N, Q$ 三点共線, 斜率相等, 得 $\dfrac{y_Q}{x_Q-2} = \dfrac{y_2}{x_2-2}$ (ii).

将 (i) 式與 (ii) 式相除，得 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = \dfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}$ . 两边平方，得 $\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \dfrac{y_1^2(x_2-2)^2}{y_2^2(x_1+2)^2}$ .

因為 $M, N$ 在椭圓上, 所以 $y_1^2 = 3(1-\frac{x_1^2}{4}) = \frac{3}{4}(4-x_1^2)$ , $y_2^2 = \frac{3}{4}(4-x_2^2)$ . 代入上式：

\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \frac{\frac{3}{4}(4-x_1^2)(x_2-2)^2}{\frac{3}{4}(4-x_2^2)(x_1+2)^2} = \frac{(2-x_1)(2+x_1)(x_2-2)^2}{(2-x_2)(2+x_2)(x_1+2)^2}

化簡得：

\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \frac{(2-x_1)(x_2-2)^2}{(2-x_2)(x_1+2)} = \frac{(2-x_1)(-(2-x_2))^2}{(2-x_2)(x_1+2)} = \frac{(2-x_1)(2-x_2)}{(x_1+2)(x_2+2)}

\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \frac{4 - 2(x_1+x_2) + x_1x_2}{4 + 2(x_1+x_2) + x_1x_2}

将韦达定理的表达式代入：

\begin{aligned} \text{分子} &= 4 - 2\left(\frac{8k^2}{3+4k^2}\right) + \frac{4k^2-12}{3+4k^2} &= \frac{4(3+4k^2) - 16k^2 + 4k^2-12}{3+4k^2} = \frac{12+16k^2 - 12k^2-12}{3+4k^2} = \frac{4k^2}{3+4k^2} \text{分母} &= 4 + 2\left(\frac{8k^2}{3+4k^2}\right) + \frac{4k^2-12}{3+4k^2} &= \frac{4(3+4k^2) + 16k^2 + 4k^2-12}{3+4k^2} = \frac{12+16k^2 + 20k^2-12}{3+4k^2} = \frac{36k^2}{3+4k^2} \end{aligned}

因此，

\left(\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2}\right)^2 = \frac{4k^2/(3+4k^2)}{36k^2/(3+4k^2)} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

解得 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = \dfrac{1}{3}$ 或 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = -\dfrac{1}{3}$ . 若 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = \dfrac{1}{3}$ , 则 $3(x_Q-2) = x_Q+2 \implies 2x_Q = 8 \implies x_Q = 4$ . 若 $\dfrac{x_Q-2}{x_Q+2} = -\dfrac{1}{3}$ , 则 $3(x_Q-2) = -(x_Q+2) \implies 4x_Q = 4 \implies x_Q = 1$ .

從几何圖形上看，点 $M, N$ 在直線 $l$ 上, 且 $l$ 經過 $F_2(1,0)$ .当 $l$ 的斜率變化时, $M, N$ 分布在 $F_2$ 两侧.直線 $AM$ 和 $BN$ 的交点 $Q$ 應在椭圓外部, 且在 $B$ 点的右侧, 因此 $x_Q \> 2$ . 所以 $x_Q=1$ 的解不符合題意，舍去.

故 $x_Q=4$ .点 $Q$ 在定直線 $x=4$ 上.

源起與观念​

單比與交比​

單比：一個仿射不變量​

交比：一個射影不變量​

调和共轭​

二次曲線的極点與極線​

调和分割與定比点差​

極点與極線的定義與推導​

極点與極線的几何作圖​

構造调和共轭点​

由極点作極線​

由極線作極点​

自極三角形與綜合構造​

留言

源起與观念

單比與交比

單比：一個仿射不變量

交比：一個射影不變量

调和共轭

二次曲線的極点與極線

调和分割與定比点差

極点與極線的定義與推導

極点與極線的几何作圖

構造调和共轭点

由極点作極線

由極線作極点

自極三角形與綜合構造