ch15-極坐標與參數方程

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自笛卡尔奠定解析几何的基石以来，用代數方程描述几何圖形便成為數學的核心思想之一. 方程 $f(x,y)=0$ 定義了平面上所有满足特定约束条件的点的集合. 這种观点在刻画固定的几何形态，如直線與圓锥曲線时，非常强力.

然而，數學的發展，特别是微積分的诞生，要求我们不僅要能描述“是什么”，更要能刻画“如何形成”. 早在古希腊时期，數學家们就已經通過动态的、运动學的方法来構造曲線，例如阿基米德螺線和尼科米德斯蚌線. 這些曲線的定義本身就蕴含了一种“生成”的過程，而非一個静态的约束. 当牛顿與莱布尼茨试圖用數學語言描述行星的运行、抛射物的轨迹时，笛卡尔坐標的内在局限性便显現出来：它难以表达“时間”這一關键變量. 一個运动的質点，其位置坐標 $(x,y)$ 并非相互约束, 而是共同受控于一個更根本的独立變量——时間 $t$ .

為了捕捉這种动态的生成過程，一种新的描述方式應运而生，這便是參數方程. 其核心思想是将点的坐標 $x$ 和 $y$ 分别视為某個第三方“參數” $t$ 的函數, 即 $x=f(t), y=g(t)$ . 這种方法将曲線视為一個点随參數 $t$ 變化而连續描绘出的轨迹，完美地契合了物理學中的运动學描述. 它不僅為曲線赋予了方向、速度等动态属性，更在处理複杂曲線的構造和分析时提供了極大的便利.

與此同时，數學家们也注意到，笛卡尔坐標係的網格结構并非在所有情境下都是最优選择. 對于那些具有旋转對称性或與某個中心点密切相關的几何圖形，如花瓣曲線、心形線以及開普勒定律所描述的行星轨道，使用 $(x,y)$ 坐標進行描述往往会導致方程异常繁琐.

十七世纪的數學家博纳文圖拉·卡瓦列里以及后来的雅各布·伯努利等人發現，通過一個点到原点的距离 $r$ 和该点與原点连線相對于基准方向的夹角 $\theta$ 来确定点的位置，是一种更為自然和簡洁的方式. 這一思想最终發展成為極坐標係.

本章将作為解析几何的擴展與深化，係统地介绍參數方程與極坐標這两种强大的數學工具. 我们将首先探索參數方程的理念，學習如何利用它来描述曲線的生成，并掌握其與普通方程的互化技巧. 随后，我们将進入極坐標的世界，建立極坐標與直角坐標的联係，并研究在極坐標下如何优雅地表达和分析那些具有中心對称性的曲線. 這两种工具的引入，将極大地丰富我们观察、描述和解决几何問題的视角與能力.

參數方程

參數方程的引入

在物理學中，一個質点在平面上的运动轨迹，其位置坐標 $(x,y)$ 都是时間 $t$ 的函數.

\begin{cases} x = f(t) y = g(t) \end{cases}

這里，时間 $t$ 如同一個独立的控制變量, 随着它的變化, 点 $(x,y)$ 在坐標平面上描绘出一条轨迹. 我们将這种思想從物理情境中抽象出来，形成參數方程的一般概念.

參數方程

在平面直角坐標係中，如果曲線上任意一点的坐標 $x, y$ 都是某個独立變量 $t$ 的函數：

\begin{cases} x = f(t) y = g(t) \end{cases}

并且對于 $t$ 在某個允许的取值范围（定義域 $I$ ）内的每一個值, 由上述方程组所确定的点 $(x,y)$ 都在這条曲線上, 那么這個方程组就叫做這条曲線的參數方程, 联係變量 $x, y$ 的變量 $t$ 叫做參變數，簡称參數.

參數方程的本質是一种“降維”思想. 它将二維平面上的点的两個坐標變量 $(x,y)$ 之間的内在约束關係, 转化為两個独立的、關于同一個一維參數 $t$ 的函數關係. 這使得我们可以分别研究 $x$ 和 $y$ 随參數變化的规律，從而更深刻地理解曲線的动态生成過程.

\paragraph{參數方程與普通方程的互化} 參數方程與普通方程是描述同一曲線的两种不同形式，它们之間可以相互转化.

由參數方程化為普通方程：核心是消去參數. 通過代數變形，從方程组中消去參數 $t$ , 得到一個只含 $x, y$ 的關係式. 消參的方法多种多样，包括代入消元法、加减消元法、利用三角恒等式等.
由普通方程化為參數方程：核心是選取參數. 選择一個合适的變量作為參數，将 $x, y$ 表示為该參數的函數. 參數的選取是灵活的，不同的選取方式会得到形式不同的參數方程. 通常我们会選择具有明确几何或物理意義的量作為參數，如时間、角度、斜率等.

需要特别注意的是，在消去參數的過程中，可能会擴大或缩小變量 $x, y$ 的取值范围. 因此, 在得到普通方程后, 必须根据參數方程中參數的取值范围, 来确定 $x, y$ 的真实取值范围.

直線

将下列參數方程化為普通方程，并說明其轨迹.

\begin{cases} x = 2t - 1 y = 3t + 2 \end{cases} (t \text{為參數})

解

此方程组是關于參數 $t$ 的線性方程, 我们可以通過代入消元法来消去參數 $t$ .

由第一個方程 $x = 2t - 1$ , 我们可以解出 $t$ 關于 $x$ 的表达式：

2t = x+1 \implies t = \frac{x+1}{2}

将此表达式代入第二個方程 $y = 3t + 2$ 中：

y = 3\left(\frac{x+1}{2}\right) + 2

整理此方程，以得到標准的直線方程形式：

2y = 3(x+1) + 4

2y = 3x + 3 + 4

3x - 2y + 7 = 0

由于參數 $t$ 的取值范围是全體实數 $\mathbb{R}$ , $x$ 和 $y$ 的取值范围也都是全體实數. 因此，该參數方程表示的是一条完整的直線，其普通方程為 $3x - 2y + 7 = 0$ .

抛物線

将參數方程

\begin{cases} x = 2t y = t^2 - 1 \end{cases} (t \text{為參數})

化為普通方程，并指出其轨迹.

解

我们依然采用代入消元法.

由 $x=2t$ , 解得 $t=\frac{x}{2}$ .

将其代入 $y=t^2-1$ :

y = \left(\frac{x}{2}\right)^2 - 1

整理得到普通方程：

y = \frac{1}{4}x^2 - 1

此时，我们必须考察變量的取值范围. 參數 $t$ 可取任意实數, 因此 $x=2t$ 也可以取任意实數. 然而，對于 $y$ 坐標, 由于 $t^2 \ge 0$ , 我们有：

y = t^2 - 1 \ge -1

因此，该參數方程所表示的轨迹是抛物線 $y = \frac{1}{4}x^2 - 1$ 的一部分, 其中 $y \ge -1$ . 這恰好是整条抛物線，其顶点為 $(0,-1)$ , 開口向上.

圓

指出由參數方程

\begin{cases} x = 5\cos\theta y = 5\sin\theta \end{cases} (\theta \in [0, 2\pi))

所表示的曲線.

解

此參數方程涉及三角函數，直接的代數消元较為困难. 我们應利用三角函數的基本恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 来消去參數 $\theta$ .

由參數方程可得：

\cos\theta = \frac{x}{5}, \sin\theta = \frac{y}{5}

将這两個表达式代入恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ :

\left(\frac{x}{5}\right)^2 + \left(\frac{y}{5}\right)^2 = 1

整理得到普通方程：

x^2 + y^2 = 25

由于參數 $\theta$ 的取值范围是 $[0, 2\pi)$ , $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 均可取遍 $[-1,1]$ 内的所有值. 因此， $x=5\cos\theta$ 的取值范围是 $[-5,5]$ , $y=5\sin\theta$ 的取值范围也是 $[-5,5]$ . 這與所得的圓的方程的定義域和值域完全吻合.

该參數方程表示的是以原点為圓心，半径為 $5$ 的圓. 參數 $\theta$ 在此具有明确的几何意義：它是從原点指向点 $(x,y)$ 的射線與 $x$ 轴正半轴的夹角. 随着 $\theta$ 從 $0$ 增加到 $2\pi$ , 点 $(x,y)$ 從 $(5,0)$ 出發，沿逆时针方向在圓上运动一周.

常见曲線的參數方程

虽然任何曲線的普通方程原则上都可以转化為參數方程，但在实践中，某些特定的參數化形式因其簡洁的代數结構和深刻的几何或物理内涵而被廣泛應用.掌握這些標准形式是利用參數方程解决問題的基礎.

\paragraph{圓的參數方程} 考虑以原点為圓心，半径為 $R$ 的圓, 其普通方程為 $x^2+y^2=R^2$ . 為建立其參數方程，我们寻找一個能够唯一描述圓上点位置的單一變量.最自然的選择是極角，即從原点到圓上一点 $P(x,y)$ 的射線 $OP$ 與 $x$ 轴正半轴的夹角, 记為 $\theta$ .

\begin{figure}[htbp]

{P} 的坐標由半径 \texorpdfstring{ $R$ }{R} 和極角 \texorpdfstring{ $\theta$ }{theta} 确定.} \end{figure} 圖：点 \texorpdfstring{ $P$

根据三角函數的定義，在以 $OP$ 為斜边的直角三角形中，我们有：

x = R\cos\theta, y = R\sin\theta

這就構成了圓的參數方程. 随着參數 $\theta$ 從 $0$ 變化到 $2\pi$ , 点 $P$ 沿逆时针方向在圓上运动一周.

\begin{cases} x = R\cos\theta y = R\sin\theta \end{cases} (\theta \in [0, 2\pi) \text{ 為參數})

若圓心平移至 $(x_0, y_0)$ , 其普通方程為 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ . 其參數方程相應地平移為：

\begin{cases} x = x_0 + R\cos\theta y = y_0 + R\sin\theta \end{cases} (\theta \in [0, 2\pi) \text{ 為參數})

三角形重心的轨迹

已知定点 $A(2,0)$ 和 $B(4,0)$ , 动点 $P$ 在圓 $x^2+y^2=1$ 上运动. 求 $\triangle ABP$ 的重心 $G$ 的轨迹方程.

\begin{figure}[htbp]

{Triangle ABP} 的重心 \texorpdfstring{ $G$ }{G} 的轨迹.} \end{figure} 圖：\texorpdfstring{ $\triangle ABP$

解

本題的核心是建立重心坐標與动点 $P$ 坐標之間的關係. 使用參數方程可以优雅地描述动点 $P$ 的位置.

设动点 $P$ 的坐標為 $(\cos\theta, \sin\theta)$ , 其中 $\theta \in [0, 2\pi)$ 為參數. 设重心 $G$ 的坐標為 $(x,y)$ .

根据三角形重心坐標公式，我们有：

x = \frac{x_A + x_B + x_P}{3} = \frac{2+4+\cos\theta}{3} = \frac{6+\cos\theta}{3}

y = \frac{y_A + y_B + y_P}{3} = \frac{0+0+\sin\theta}{3} = \frac{\sin\theta}{3}

這就得到了重心 $G$ 轨迹的參數方程：

\begin{cases} x = \frac{6+\cos\theta}{3} y = \frac{\sin\theta}{3} \end{cases} (\theta \text{為參數})

為求其普通方程，我们需消去參數 $\theta$ . 從上述方程组中解出 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ :

3x = 6 + \cos\theta \implies \cos\theta = 3x - 6

3y = \sin\theta \implies \sin\theta = 3y

代入三角恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ :

(3x-6)^2 + (3y)^2 = 1

整理得到轨迹的普通方程：

9(x-2)^2 + 9y^2 = 1

(x-2)^2 + y^2 = \frac{1}{9}

此方程表示一個以点 $(2,0)$ 為圓心, 半径為 $\frac{1}{3}$ 的圓.

最值問題

求圓 $x^2+y^2=4$ 上的点到直線 $3x+4y-25=0$ 的距离的最大值與最小值.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：圓上点到直線距离的最值.

解

法一：几何法. 圓心 $O(0,0)$ 到直線 $l: 3x+4y-25=0$ 的距离為：

d = \frac{|3(0)+4(0)-25|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{25}{5} = 5

圓的半径 $R=2$ . 圓上的点到直線的最大距离為 $d_{max} = d+R = 5+2=7$ . 圓上的点到直線的最小距离為 $d_{min} = d-R = 5-2=3$ .

法二：參數方程法. 此方法虽在计算上可能比几何法繁琐，但它是一种普适的代數方法，能处理更一般的情况.

设圓上任意一点 $P$ 的坐標為 $(2\cos\theta, 2\sin\theta)$ , 其中 $\theta \in [0, 2\pi)$ . 点 $P$ 到直線 $3x+4y-25=0$ 的距离 $d(\theta)$ 為：

d(\theta) = \frac{|3(2\cos\theta) + 4(2\sin\theta) - 25|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|6\cos\theta + 8\sin\theta - 25|}{5}

為求此表达式的最值，我们對三角函數部分使用辅助角公式：

6\cos\theta + 8\sin\theta = 10\left(\frac{3}{5}\cos\theta + \frac{4}{5}\sin\theta\right)

令 $\cos\varphi = \frac{3}{5}, \sin\varphi = \frac{4}{5}$ , 则上式變為：

10(\cos\varphi\cos\theta + \sin\varphi\sin\theta) = 10\cos(\theta-\varphi)

代入距离公式：

d(\theta) = \frac{|10\cos(\theta-\varphi) - 25|}{5}

由于 $\cos(\theta-\varphi)$ 的取值范围是 $[-1, 1]$ , $10\cos(\theta-\varphi)-25$ 的取值范围是 $[10(-1)-25, 10(1)-25] = [-35, -15]$ . 這是一個恒為负值的区間.

因此， $|10\cos(\theta-\varphi) - 25| = -(10\cos(\theta-\varphi) - 25) = 25 - 10\cos(\theta-\varphi)$ . 该表达式的最大值在 $\cos(\theta-\varphi)=-1$ 时取到, 為 $25-10(-1)=35$ . 该表达式的最小值在 $\cos(\theta-\varphi)=1$ 时取到, 為 $25-10(1)=15$ .

所以，距离 $d(\theta)$ 的最大值為 $\frac{35}{5}=7$ , 最小值為 $\frac{15}{5}=3$ . 此结果與几何法完全吻合.

轨迹問題

已知圓 $O: x^2+y^2=R^2$ . 定点 $A, B$ 在圓 $O$ 上且關于 $x$ 轴對称. 动点 $P$ 是圓 $O$ 上的任意一点. 求 $\triangle ABP$ 的垂心 $H$ 的轨迹.

\begin{figure}[htbp]

{H} 的轨迹.} \end{figure} 圖：垂心 \texorpdfstring{ $H$

解

本題是求解动点轨迹的經典問題. 若使用纯坐標法，需要联立两条高線的方程，计算量巨大. 而结合向量法與參數方程，则能获得極為簡洁的解法.

设点 $A(x_0, y_0)$ , 由于 $A, B$ 關于 $x$ 轴對称, 则 $B(x_0, -y_0)$ . 由于圓 $O$ 是 $\triangle ABP$ 的外接圓，且其圓心在原点，我们可以利用關于垂心的一個重要向量性質：若三角形的外心為 $O$ , 则其垂心 $H$ 满足向量關係

\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OP}

设垂心 $H$ 的坐標為 $(x,y)$ , 则 $\vec{OH}=(x,y)$ . $\vec{OA}=(x_0, y_0)$ , $\vec{OB}=(x_0, -y_0)$ .

动点 $P$ 在圓上, 其坐標最适合用參數方程表示： $P(R\cos\theta, R\sin\theta)$ , 故 $\vec{OP}=(R\cos\theta, R\sin\theta)$ .

将各向量代入垂心性質的向量式中：

(x,y) = (x_0, y_0) + (x_0, -y_0) + (R\cos\theta, R\sin\theta)

(x,y) = (2x_0 + R\cos\theta, R\sin\theta)

這直接给出了垂心 $H$ 轨迹的參數方程：

\begin{cases} x = 2x_0 + R\cos\theta y = R\sin\theta \end{cases} (\theta \text{為參數})

為求其普通方程，消去參數 $\theta$ :

\cos\theta = \frac{x-2x_0}{R}, \sin\theta = \frac{y}{R}

代入 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ :

\left(\frac{x-2x_0}{R}\right)^2 + \left(\frac{y}{R}\right)^2 = 1

整理得：

(x-2x_0)^2 + y^2 = R^2

此方程表示一個圓心為 $(2x_0, 0)$ , 半径為 $R$ 的圓. 该轨迹圓與原圓 $O$ 全等, 其圓心是向量 $\vec{OA}+\vec{OB}$ 的终点.

\paragraph{椭圓的參數方程} 考虑標准椭圓方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . 受圓的參數方程启發，我们尝试令

\frac{x}{a} = \cos\theta, \frac{y}{b} = \sin\theta

這样自然满足 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ . 由此得到椭圓的標准參數方程：

\begin{cases} x = a\cos\theta y = b\sin\theta \end{cases} (\theta \in [0, 2\pi) \text{ 為參數})

值得注意的是，這里的參數 $\theta$ 不是点 $(x,y)$ 的極角. 它具有一個特殊的几何意義，称為偏心角. 偏心角的几何構造如下：作椭圓的辅助圓（即以长轴為直径的圓 $x^2+y^2=a^2$ ）. 對于椭圓上任意一点 $P(x,y)$ , 過 $P$ 作 $x$ 轴的垂線, 交辅助圓于点 $Q$ . 连接 $OQ$ . 射線 $OQ$ 與 $x$ 轴正半轴的夹角即為点 $P$ 的偏心角 $\theta$ .

\begin{figure}[htbp]

{theta} 的几何意義.} \end{figure} 圖：椭圓的偏心角 \texorpdfstring{ $\theta$

例

已知椭圓 $\Gamma: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ . 對于 $\Gamma$ 上的任意两点 $P, Q$ , 我们定義一种运算 $\oplus$'' 如下：過定点 $S(1, \frac{3}{2})$ 作直線 $l$ 平行于直線 $PQ$. (规定当 $P=Q$ 时, 直線 $PQ$ 為 $\Gamma$ 在点 $P$ 处的切線). 若 $l$ 與 $\Gamma$ 有异于 $S$ 的交点 $T$, 则 $P \oplus Q = T$; 否则 $P \oplus Q = S$. 已知运算 $\oplus$ '' 满足交換律與结合律. 记 $P_n = \underbrace{P \oplus P \oplus \cdots \oplus P}_{n \text{個}}$ .

若 $P(2,0), Q(-1, -\frac{3}{2})$ , 求 $P \oplus Q$ , $P_2$ 以及 $P_{2025}$ .
對于 $\Gamma$ 上的四点 $P(2\cos2\theta, \sqrt{3}\sin2\theta)$ , $Q(2\cos2\varphi, \sqrt{3}\sin2\varphi)$ , $M(2\cos2\alpha, \sqrt{3}\sin2\alpha)$ 以及 $N(2\cos2\beta, \sqrt{3}\sin2\beta)$ , 求證: $\overrightarrow{PQ} \parallel \overrightarrow{MN}$ 的充要条件是 $\alpha+\beta = \theta+\varphi+k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$ .
是否存在异于 $S$ 的点 $P$ , 使得 $P_4 = S$ ? 若存在, 請求出所有满足条件的点 $P$ 的坐標; 若不存在, 請說明理由.

解

(1) 首先验證定点 $S(1, \frac{3}{2})$ 在椭圓 $\Gamma$ 上：

\frac{1^2}{4} + \frac{(3/2)^2}{3} = \frac{1}{4} + \frac{9/4}{3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1

点 $S$ 确实在椭圓上.

求 $P \oplus Q$ : 点 $P(2,0), Q(-1, -\frac{3}{2})$ . 直線 $PQ$ 的斜率為：

k_{PQ} = \frac{-\frac{3}{2}-0}{-1-2} = \frac{1}{2}

過点 $S(1, \frac{3}{2})$ 且平行于 $PQ$ 的直線 $l$ 的方程為 $y - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(x-1)$ , 即 $y = \frac{1}{2}x+1$ . 联立 $l$ 與 $\Gamma$ 的方程, 消去 $y$ 可得 $3x^2+4(\frac{1}{2}x+1)^2=12$ , 整理得 $x^2+x-2=0$ . 此方程的解為 $x=1$ (對應点 $S$ ) 和 $x=-2$ . 当 $x=-2$ 时, $y = \frac{1}{2}(-2)+1=0$ . 异于 $S$ 的交点為 $T(-2,0)$ . 故 $P \oplus Q = (-2,0)$ .

求 $P_2 = P \oplus P$ : 此时直線 $PQ$ 為過点 $P(2,0)$ 的切線. 其方程為 $\frac{2x}{4}+\frac{0\cdot y}{3}=1$ , 即 $x=2$ . 過 $S$ 且平行于该切線的直線 $l$ 為 $x=1$ . 联立 $x=1$ 與 $\Gamma$ 方程得 $\frac{1}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \implies y=\pm\frac{3}{2}$ . 交点為 $(1, \frac{3}{2})$ (即 $S$ ) 和 $(1, -\frac{3}{2})$ . 故 $P_2 = (1, -\frac{3}{2})$ .

為求 $P_{2025}$ , 我们需要探寻序列 $P_n$ 的周期性. $P_3 = P_2 \oplus P$ . 直線 $P_2P$ 的斜率為 $k_{P_2P} = \frac{-3/2 - 0}{1-2} = \frac{3}{2}$ . 過 $S$ 的平行線為 $y=\frac{3}{2}x$ . 联立 $\Gamma$ 方程解得 $x=1$ (S点) 和 $x=-1$ . 当 $x=-1$ 时, $y=-3/2$ . 故 $P_3 = (-1, -3/2)$ .

$P_4 = P_3 \oplus P$ . 直線 $P_3P$ 斜率為 $k_{P_3P} = \frac{-3/2-0}{-1-2} = \frac{1}{2}$ . 過 $S$ 的平行線斜率也為 $1/2$ , 這與求 $P \oplus Q$ 时的情况相同. 故 $P_4 = (-2,0)$ .

$P_5 = P_4 \oplus P$ . 直線 $P_4P$ 為 $y=0$ . 過 $S$ 的平行線為 $y=3/2$ . 联立 $\Gamma$ 方程解得 $x=1$ (S点) 和 $x=-1$ . 故 $P_5 = (-1, 3/2)$ .

$P_6 = P_5 \oplus P$ . 直線 $P_5P$ 斜率為 $k_{P_5P} = \frac{3/2-0}{-1-2} = -\frac{1}{2}$ . 過 $S$ 的平行線為 $y-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)$ , 即 $y=-\frac{1}{2}x+2$ . 联立 $\Gamma$ 方程得 $3x^2+4(-\frac{1}{2}x+2)^2=12 \implies x^2-2x+1=0$ . 此方程僅有重根 $x=1$ , 意味着直線 $l$ 與椭圓 $\Gamma$ 相切于点 $S$ . 根据定義, 此时没有异于 $S$ 的交点, 故 $P_6 = S$ .

接下来考察 $P_7 = P_6 \oplus P = S \oplus P$ . 该运算涉及直線 $SP$ . 過 $S$ 且平行于 $SP$ 的直線就是 $SP$ 本身. 直線 $SP$ 與椭圓 $\Gamma$ 的交点為 $S$ 和 $P$ . 异于 $S$ 的交点是 $P$ . 因此 $S \oplus P = P$ .

我们發現 $P_7 = P$ , 故序列 $P_n$ 以 $6$ 為周期. $2025 = 6 \times 337 + 3$ . 故 $P_{2025} = P_3 = (-1, -\frac{3}{2})$ .

(2) 對于椭圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , 连接參數為 $\alpha_1, \alpha_2$ 的两点的弦的斜率為：

k = \frac{b\sin\alpha_2-b\sin\alpha_1}{a\cos\alpha_2-a\cos\alpha_1} = -\frac{b}{a}\frac{2\cos\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\sin\frac{\alpha_2-\alpha_1}{2}}{-2\sin\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\sin\frac{\alpha_2-\alpha_1}{2}} = -\frac{b}{a}\cot\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\right)

在本題中, $a=2, b=\sqrt{3}$ , 且点的參數為 $2\theta, 2\varphi$ 等形式. 弦 $PQ$ 對應的參數為 $2\theta$ 和 $2\varphi$ , 其斜率為：

k_{PQ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cot\left(\frac{2\theta+2\varphi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cot(\theta+\varphi)

同理，弦 $MN$ 的斜率為：

k_{MN} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cot(\alpha+\beta)

两直線平行 $\overrightarrow{PQ} \parallel \overrightarrow{MN}$ 的充要条件是其斜率相等 $k_{PQ}=k_{MN}$ :

\cot(\theta+\varphi) = \cot(\alpha+\beta)

由于 $\cot x$ 函數的周期為 $\pi$ , 上式成立的充要条件是：

\theta+\varphi = \alpha+\beta + k\pi (k \in \mathbb{Z})

此结論揭示了對于该椭圓, 一族平行弦的端点參數之和在模 $\pi$ 意義下為常數.

(3)

第(2)問的结論是解决本題的關键.它将複杂的几何运算 `` $\oplus$ '' 翻译成了簡單的參數加法，揭示了其内在的代數规律. 设点 $P, Q, T=P \oplus Q, S$ 對應的參數分别為 $\theta_P, \theta_Q, \theta_T, \theta_S$ .

首先确定特殊点 $S(1, 3/2)$ 對應的參數 $\theta_S$ .

2\cos(2\theta_S)=1 \implies \cos(2\theta_S)=1/2

\sqrt{3}\sin(2\theta_S)=3/2 \implies \sin(2\theta_S)=\sqrt{3}/2

故 $2\theta_S = \frac{\pi}{3} + 2m\pi$ . 我们取主值, $2\theta_S = \frac{\pi}{3}$ , 即 $\theta_S = \frac{\pi}{6}$ .

根据运算定義, 直線 $ST$ 平行于直線 $PQ$ . 由(2)的结論, 端点參數之和模 $\pi$ 相等：

\theta_S + \theta_T \equiv \theta_P + \theta_Q \pmod{\pi}

因此, 运算 `` $\oplus$ '' 在參數空間中的映射為:

\theta_{P \oplus Q} = \theta_P + \theta_Q - \theta_S \pmod{\pi}

我们要求解 $P_4=S$ . 设 $P$ 的參數為 $\theta$ . 根据结合律和上述加法规则：

\theta_{P_2} = \theta_{P \oplus P} = \theta+\theta-\theta_S = 2\theta-\theta_S \pmod{\pi}

\theta_{P_3} = \theta_{P_2 \oplus P} = (2\theta-\theta_S)+\theta-\theta_S = 3\theta-2\theta_S \pmod{\pi}

\theta_{P_4} = \theta_{P_3 \oplus P} = (3\theta-2\theta_S)+\theta-\theta_S = 4\theta-3\theta_S \pmod{\pi}

$P_4=S$ 的充要条件是其參數 $\theta_4$ 與 $\theta_S$ 在模 $\pi$ 意義下相等：

4\theta-3\theta_S = \theta_S + k\pi

4\theta = 4\theta_S + k\pi \implies \theta = \theta_S + \frac{k\pi}{4}

代入 $\theta_S = \pi/6$ :

\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{4}

我们需要寻找异于 $S$ 的点, 即 $\theta \neq \theta_S + m\pi$ . 這要求 $\frac{k\pi}{4}$ 不能是 $\pi$ 的整數倍, 即 $k$ 不能是 $4$ 的倍數. 我们只需考虑 $k=1,2,3$ 即可得到所有不同的解.

当 $k=1$ :

\theta = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \implies 2\theta = \frac{5\pi}{6}

$P$ 坐標為 $(2\cos\frac{5\pi}{6}, \sqrt{3}\sin\frac{5\pi}{6}) = (-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

当 $k=2$ :

\theta = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{3} \implies 2\theta = \frac{4\pi}{3}

$P$ 坐標為 $(2\cos\frac{4\pi}{3}, \sqrt{3}\sin\frac{4\pi}{3}) = (-1, -\frac{3}{2})$ .

当 $k=3$ :

\theta = \frac{\pi}{6}+\frac{3\pi}{4}=\frac{11\pi}{12} \implies 2\theta = \frac{11\pi}{6}

$P$ 坐標為 $(2\cos\frac{11\pi}{6}, \sqrt{3}\sin\frac{11\pi}{6}) = (\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ .

綜上所述, 存在三個异于 $S$ 的点 $P$ 使得 $P_4=S$ , 它们的坐標分别為:

(-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}), (-1, -\frac{3}{2}), (\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})

例

已知椭圓 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ 以及定点 $A(-2,0)$ . 過点 $D(-2,3)$ 的动直線與椭圓 $C$ 交于 $P, Q$ 两点. 直線 $AP, AQ$ 分别與 $y$ 轴交于 $M, N$ 两点. 證明: 線段 $MN$ 的中点為定点, 并求出该定点的坐標.

解

本題涉及动直線與椭圓的交点,以及由這些交点引發的另一族直線的截距問題, 最终归结為證明一個中点為定点. 传统的联立方程與韦达定理法虽然可行, 但由于点 $A(-2,0)$ 恰好是椭圓的左顶点, 這提示我们存在一种更為深刻且计算簡洁的參數化方法.

我们可以不设动点的坐標, 而是设连接顶点 $A$ 與椭圓上任意一点 $P$ 的直線 $AP$ 的斜率 $t$ 為參數. 這种方法 (称為“斜率參數法”) 可以将椭圓上除点 $A$ 之外的所有点與全體实數 $t$ 建立一一對應關係, 且能将点的坐標用關于 $t$ 的有理分式表示, 極大地簡化后續的代數运算.

设 $t$ 為直線 $AP$ 的斜率, 则直線 $AP$ 的方程為:

y = t(x+2)

将此方程代入椭圓 $C$ 的方程 $9x^2+4y^2=36$ :

9x^2 + 4(t(x+2))^2 = 36

9x^2 + 4t^2(x^2+4x+4) = 36

整理得到一個關于 $x$ 的一元二次方程:

(9+4t^2)x^2 + 16t^2x + (16t^2-36) = 0

此方程的两個根是直線 $AP$ 與椭圓 $C$ 的交点的横坐標. 其中一個根必然是点 $A$ 的横坐標 $x_A=-2$ . 设另一個交点 $P$ 的横坐標為 $x_P$ .

根据韦达定理, 两根之積為:

x_A \cdot x_P = (-2) \cdot x_P = \frac{16t^2-36}{9+4t^2}

解得 $P$ 点的横坐標:

x_P = \frac{18-8t^2}{9+4t^2}

将其代入直線 $AP$ 的方程, 得到 $P$ 点的纵坐標:

y_P = t(x_P+2) = t\left(\frac{18-8t^2}{9+4t^2}+2\right) = t\left(\frac{18-8t^2+18+8t^2}{9+4t^2}\right) = \frac{36t}{9+4t^2}

這样我们就建立了椭圓上任意点 $P$ (除 $A$ 点外) 與參數 $t$ 的對應關係.

设直線 $DPQ$ 交椭圓于 $P, Q$ 两点. 设直線 $AP$ 的斜率為 $t_1$ , 直線 $AQ$ 的斜率為 $t_2$ . 则点 $P, Q$ 的坐標可以分别用 $t_1, t_2$ 表示.

点 $D(-2,3), P, Q$ 三点共線, 這意味着斜率 $k_{DP}$ 與 $k_{DQ}$ 相等.

k_{DP} = \frac{y_P - 3}{x_P - (-2)} = \frac{\frac{36t_1}{9+4t_1^2}-3}{\frac{18-8t_1^2}{9+4t_1^2}+2} = \frac{36t_1-3(9+4t_1^2)}{18-8t_1^2+2(9+4t_1^2)} = \frac{36t_1-27-12t_1^2}{36} = t_1 - \frac{1}{3}t_1^2 - \frac{3}{4}

由于 $P, Q$ 在同一条直線上, 故 $k_{DP}=k_{DQ}$ .

t_1 - \frac{1}{3}t_1^2 - \frac{3}{4} = t_2 - \frac{1}{3}t_2^2 - \frac{3}{4}

t_1 - t_2 = \frac{1}{3}(t_1^2 - t_2^2)

(t_1 - t_2) = \frac{1}{3}(t_1-t_2)(t_1+t_2)

由于 $P \neq Q$ , 则 $t_1 \neq t_2$ . 我们可以约去 $(t_1-t_2)$ 項:

1 = \frac{1}{3}(t_1+t_2) \implies t_1+t_2 = 3

這個簡洁的關係式是解决問題的關键.

直線 $AP$ 的方程為 $y=t_1(x+2)$ . 它與 $y$ 轴的交点 $M$ 的坐標為 $(0, 2t_1)$ . 直線 $AQ$ 的方程為 $y=t_2(x+2)$ . 它與 $y$ 轴的交点 $N$ 的坐標為 $(0, 2t_2)$ .

線段 $MN$ 的中点 $T$ 的坐標為:

T\left(\frac{0+0}{2}, \frac{2t_1+2t_2}{2}\right) = (0, t_1+t_2)

将我们在第二步中得到的结論 $t_1+t_2=3$ 代入:

T(0, 3)

因此, 線段 $MN$ 的中点是一個與动直線 $DPQ$ 的位置无關的定点, 其坐標為 $(0,3)$ .

例

如圖 [ref:fig:rhombus-in-ellipse] 所示，已知菱形 $ABCD$ 是椭圓 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (a\>b\>0)$ 的内接四边形.

求證: $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ 為定值;
求菱形 $ABCD$ 面積的最大值.

{/* latex-label: fig:rhombus-in-ellipse */} \begin{figure}[htbp]

{ABCD}.}

\end{figure} 圖：椭圓内接菱形 \texorpdfstring{ $ABCD$

解

(1) 證明 $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ 為定值.

菱形 $ABCD$ 内接于中心在原点 $O(0,0)$ 的椭圓, 因此菱形的中心也必然是椭圓的中心 $O$ . 這意味着菱形的對角線 $AC$ 和 $BD$ 均通過原点 $O$ . 此外, 菱形的對角線相互垂直, 因此線段 $OA$ 和 $OB$ 相互垂直.

為了描述菱形顶点的位置，我们引入極角參數化. 设点 $A$ 距离原点的长度為 $m = OA$ , 其極角為 $\alpha$ . 则点 $A$ 的坐標可以表示為 $(m\cos\alpha, m\sin\alpha)$ .

由于 $OA$ 與 $OB$ 垂直, 设点 $B$ 距离原点的长度為 $n = OB$ , 其極角可取為 $\alpha + \frac{\pi}{2}$ . 因此点 $B$ 的坐標可以表示為 $(n\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}), n\sin(\alpha+\frac{\pi}{2}))$ , 這簡化為 $(-n\sin\alpha, n\cos\alpha)$ .

由于点 $A$ 在椭圓 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上, 我们将点 $A$ 的坐標代入椭圓方程：

\frac{(m\cos\alpha)^2}{a^2} + \frac{(m\sin\alpha)^2}{b^2} = 1

整理此方程，我们可以得到 $\frac{1}{m^2}$ 的表达式：

m^2\left(\frac{\cos^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha}{b^2}\right) = 1 \implies \frac{1}{m^2} = \frac{\cos^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha}{b^2}

同理，将点 $B$ 的坐標代入椭圓方程：

\frac{(-n\sin\alpha)^2}{a^2} + \frac{(n\cos\alpha)^2}{b^2} = 1

整理后得到 $\frac{1}{n^2}$ 的表达式：

n^2\left(\frac{\sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\cos^2\alpha}{b^2}\right) = 1 \implies \frac{1}{n^2} = \frac{\sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\cos^2\alpha}{b^2}

現在我们将這两個表达式相加，以考察 $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ 的值：

\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} = \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \left(\frac{\cos^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha}{b^2}\right) + \left(\frac{\sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\cos^2\alpha}{b^2}\right)

将同分母的項合并：

= \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{b^2}

根据三角恒等式 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ ，上式進一步簡化為：

= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}

由于 $a$ 和 $b$ 是椭圓的半轴长, 它们是固定值, 因此 $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ 是一個與參數 $\alpha$ 无關的定值.

(2) 求菱形 $ABCD$ 面積的最大值.

菱形 $ABCD$ 的對角線长分别為 $d_1 = AC = 2OA = 2m$ 和 $d_2 = BD = 2OB = 2n$ . 菱形的面積 $S$ 等于其對角線长度乘積的一半：

S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} (2m)(2n) = 2mn

為了求菱形面積的最大值，我们需要找到 $mn$ 的最大值. 從第一問的结論我们已知：

\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}

要最大化 $mn$ , 我们可以等价地最大化 $(mn)^2$ , 或者最小化其倒數 $\frac{1}{(mn)^2}$ .

我们将第一問中得到的 $\frac{1}{m^2}$ 和 $\frac{1}{n^2}$ 的表达式相乘：

\frac{1}{(mn)^2} = \left(\frac{1}{m^2}\right)\left(\frac{1}{n^2}\right) = \left(\frac{\cos^2\alpha}{a^2} + \frac{\sin^2\alpha}{b^2}\right)\left(\frac{\sin^2\alpha}{a^2} + \frac{\cos^2\alpha}{b^2}\right)

展開右侧的乘積：

= \frac{\cos^2\alpha\sin^2\alpha}{a^4} + \frac{\cos^4\alpha}{a^2b^2} + \frac{\sin^4\alpha}{a^2b^2} + \frac{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{b^4}

為了簡化這個表达式，我们使用三角恒等式 $\cos^2\alpha\sin^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$ 以及 $\cos^4\alpha+\sin^4\alpha = (\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)$ ：

\frac{1}{(mn)^2} = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)\left(\frac{1}{a^4} + \frac{1}{b^4}\right) + \frac{1}{a^2b^2}\left(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)\right)

重新组织各項，将包含 $\sin^2(2\alpha)$ 的項合并：

= \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)\left(\frac{1}{a^4} + \frac{1}{b^4} - \frac{2}{a^2b^2}\right) + \frac{1}{a^2b^2}

括号中的項可以寫成平方的形式：

= \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)^2 + \frac{1}{a^2b^2}

現在我们分析這個表达式的范围. 我们知道 $\sin^2(2\alpha)$ 的取值范围是 $[0, 1]$ . 另外, 由于 $a\>b\>0$ , $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} \neq 0$ , 所以 $\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)^2$ 是一個正數.

要使 $\frac{1}{(mn)^2}$ 取得最小值, 我们需要使 $\sin^2(2\alpha)$ 最小, 即 $\sin^2(2\alpha) = 0$ . 当 $\sin^2(2\alpha) = 0$ 时, $\frac{1}{(mn)^2}$ 的最小值為 $\frac{1}{a^2b^2}$ . 這意味着 $(mn)^2$ 的最大值為 $a^2b^2$ . 因此， $mn$ 的最大值為 $\sqrt{a^2b^2} = ab$ .

這种情况發生在 $2\alpha = k\pi$ (其中 $k$ 是整數), 即 $\alpha = 0$ 或 $\alpha = \frac{\pi}{2}$ 时.

若 $\alpha=0$ , 点 $A$ 在 $x$ 轴上, 即 $A(m,0)$ . 将其代入椭圓方程得 $\frac{m^2}{a^2}=1 \implies m=a$ . 此时 $B$ 在 $y$ 轴上, 即 $B(0,n)$ , 代入椭圓方程得 $\frac{n^2}{b^2}=1 \implies n=b$ . 此时 $mn=ab$ .
若 $\alpha=\frac{\pi}{2}$ , 点 $A$ 在 $y$ 轴上, 即 $A(0,m)$ . 将其代入椭圓方程得 $\frac{m^2}{b^2}=1 \implies m=b$ . 此时 $B$ 在 $x$ 轴上, 即 $B(-n,0)$ , 代入椭圓方程得 $\frac{n^2}{a^2}=1 \implies n=a$ . 此时 $mn=ba$ .

在這些情况下，菱形的對角線與椭圓的轴重合. $mn$ 的最大值均為 $ab$ .

因此，菱形 $ABCD$ 面積的最大值為 $S_{max} = 2(mn)_{max} = 2ab$ .

為了突显參數方法的簡洁性，我们不妨考察使用传统坐標几何方法解决此問題所需的计算過程.這种方法不依赖于參數方程，而是直接通過联立直線與椭圓的方程進行求解.

解

(1) 證明定值设直線 $OA$ 的斜率為 $k$ (当 $OA$ 與 $x$ 轴重合时 $k=0$ ；当 $OA$ 與 $y$ 轴重合时, 可视為 $k \to \infty$ 的極限情况，或單独讨論). 则直線 $OA$ 的方程為 $y=kx$ . 将其與椭圓方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 联立, 消去 $y$ ：

\frac{x^2}{a^2} + \frac{(kx)^2}{b^2} = 1 \implies x^2\left(\frac{1}{a^2} + \frac{k^2}{b^2}\right) = 1 \implies x^2\left(\frac{b^2+a^2k^2}{a^2b^2}\right)=1

解得点 $A$ 的横坐標平方 $x_A^2 = \frac{a^2b^2}{b^2+a^2k^2}$ . 從而 $y_A^2 = k^2x_A^2 = \frac{a^2b^2k^2}{b^2+a^2k^2}$ . 因此， $OA^2$ 的表达式為：

OA^2 = x_A^2+y_A^2 = \frac{a^2b^2}{b^2+a^2k^2} + \frac{a^2b^2k^2}{b^2+a^2k^2} = \frac{a^2b^2(1+k^2)}{b^2+a^2k^2}

由于 $OB \perp OA$ , 直線 $OB$ 的斜率為 $-\frac{1}{k}$ .将表达式中所有的 $k$ 替換為 $-\frac{1}{k}$ , 即可得到 $OB^2$ 的表达式：

OB^2 = \frac{a^2b^2(1+(-\frac{1}{k})^2)}{b^2+a^2(-\frac{1}{k})^2} = \frac{a^2b^2(1+\frac{1}{k^2})}{b^2+\frac{a^2}{k^2}} = \frac{a^2b^2\frac{k^2+1}{k^2}}{\frac{b^2k^2+a^2}{k^2}} = \frac{a^2b^2(k^2+1)}{a^2+b^2k^2}

現在计算二者倒數之和：

\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} = \frac{b^2+a^2k^2}{a^2b^2(1+k^2)} + \frac{a^2+b^2k^2}{a^2b^2(1+k^2)}

= \frac{(b^2+a^2) + (a^2+b^2)k^2}{a^2b^2(1+k^2)} = \frac{(a^2+b^2)(1+k^2)}{a^2b^2(1+k^2)} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}

可见，尽管计算過程涉及繁琐的代數运算，但最终仍能證明该值為定值.

(2) 求最大面積菱形面積 $S = 2 \cdot OA \cdot OB$ .為求其最大值, 我们考察 $S^2 = 4 \cdot OA^2 \cdot OB^2$ .

S^2 = 4 \cdot \frac{a^2b^2(1+k^2)}{b^2+a^2k^2} \cdot \frac{a^2b^2(1+k^2)}{a^2+b^2k^2} = \frac{4a^4b^4(1+k^2)^2}{(b^2+a^2k^2)(a^2+b^2k^2)}

這是一個關于斜率 $k$ 的複杂函數.為求其最值, 可以令 $u=k^2$ ( $u \ge 0$ )，然后通過求導分析函數

f(u) = \frac{4a^4b^4(1+u)^2}{(b^2+a^2u)(a^2+b^2u)}

的單调性.求導過程相当繁琐.

一個更好的想法是观察表达式的分母：

(b^2+a^2u)(a^2+b^2u) = a^2b^2 + (a^4+b^4)u + a^2b^2u^2

我们可以證明，要使 $f(u)$ 最大, 等价于使其分母相對于分子 $(1+u)^2$ 的增长“最慢”.可以验證, 当 $u=0$ (即 $k=0$ , 菱形對角線與坐標轴重合) 或 $u \to \infty$ (即 $k \to \infty$ ) 时，函數取得最大值. 当 $k=0$ 时, $OA=a, OB=b$ , 面積 $S = 2ab$ . 当 $k \to \infty$ 时, $OA=b, OB=a$ , 面積 $S = 2ab$ . 因此最大面積為 $2ab$ .

對比之下，參數坐標法将点的位置與角度 $\alpha$ 直接關联, 使得代數结構更加對称和清晰, 利用三角恒等式即可完成簡化, 避免了处理斜率 $k$ 及其趋于无穷的複杂情况.這充分說明了選择合适的數學工具對于簡化問題的重要性.

\paragraph{雙曲線的參數方程} 對于標准雙曲線方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , 我们需要寻找满足 $u^2-v^2=1$ 的函數對. 一种選择是利用三角恒等式 $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ . 令 $\frac{x}{a} = \sec\theta, \frac{y}{b}=\tan\theta$ , 得到雙曲線的三角參數方程：

\begin{cases} x = a\sec\theta y = b\tan\theta \end{cases} (\theta \text{ 為參數})

其中，当 $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时, 表示雙曲線的右支；当 $\theta \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ 时，表示左支.

另一种方法是使用雙曲函數（我们曾在抽象函數一章說過）. 定義雙曲余弦 $\cosh t = \frac{e^t+e^{-t}}{2}$ 和雙曲正弦 $\sinh t = \frac{e^t-e^{-t}}{2}$ . 它们满足基本恒等式 $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ . 由此可得雙曲線的雙曲參數方程：

\begin{cases} x = a\cosh t y = b\sinh t \end{cases} (t \in \mathbb{R} \text{ 為參數})

此參數方程僅表示雙曲線的右支. 左支的參數方程為 $x=-a\cosh t, y=b\sinh t$ .

\paragraph{抛物線的參數方程} 對于標准抛物線方程 $y^2=2px \ (p\>0)$ , 我们可以直接選取一個坐標作為參數, 例如令 $y=t$ , 则 $x = \frac{t^2}{2p}$ . 然而，為了在处理問題时避免分數，一种更常用且形式更优美的參數化是令 $y=2pt$ . 代入原方程： $(2pt)^2 = 2px \implies 4p^2t^2=2px \implies x=2pt^2$ .

\begin{cases} x = 2pt^2 y = 2pt \end{cases} (t \in \mathbb{R} \text{ 為參數})

此參數 $t$ 的几何意義是過抛物線上一点 $(x,y)$ 與顶点 $(0,0)$ 的直線 $OP$ 的斜率 $k_{OP} = \frac{y}{x} = \frac{2pt}{2pt^2} = \frac{1}{t}$ . 因此參數 $t$ 是過该点與原点连線斜率的倒數.

例

在抛物線 $y^2=2px \ (p\>0)$ 的對称轴（ $x$ 轴）正方向上是否存在一点 $K$ , 使得對于經過 $K$ 点的抛物線的任意一条弦 $AB$ , 总有 $\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2}$ 為定值？證明你的结論.

解

本題探讨的是抛物線中一個關于焦弦性質的深刻拓展. 我们需要判断是否存在這样一個“特殊点”，使得所有過该点的弦都满足一個特定的代數關係. 解决此類涉及定点與變动弦长度關係的問題，将問題转換到極坐標係下往往能極大地簡化运算.

假设在 $x$ 轴正半轴上存在這样一点 $K(x_0, 0)$ , 其中 $x_0 \> 0$ . 我们以点 $K$ 為極点, 以 $x$ 轴正方向為極轴，建立一個新的極坐標係. 设该極坐標係下任意一点的坐標為 $(\rho, \theta)$ . 则它與原直角坐標係 $(x,y)$ 的转換關係為：

x = x_0 + \rho\cos\theta

y = \rho\sin\theta

将此转換關係代入抛物線方程 $y^2=2px$ 中：

(\rho\sin\theta)^2 = 2p(x_0 + \rho\cos\theta)

整理此方程，得到一個關于極径 $\rho$ 的一元二次方程：

\rho^2\sin^2\theta - 2p\rho\cos\theta - 2px_0 = 0

對于任意一条經過点 $K$ 的弦 $AB$ , 它可以由一条固定的極角為 $\theta$ (以及 $\theta+\pi$ ) 的直線来表示. 那么, 该直線與抛物線的两個交点 $A$ 和 $B$ 到極点 $K$ 的距离 $|KA|$ 和 $|KB|$ , 就對應于上述關于 $\rho$ 的二次方程的两個根的绝對值. 设這两個根為 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ . 根据韦达定理，我们有：

\rho_1 + \rho_2 = \frac{2p\cos\theta}{\sin^2\theta}

\rho_1\rho_2 = -\frac{2px_0}{\sin^2\theta}

我们需要考察的表达式為 $\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} = \frac{1}{\rho_1^2} + \frac{1}{\rho_2^2}$ . 我们将此表达式用根的和與積来表示：

\frac{1}{\rho_1^2} + \frac{1}{\rho_2^2} = \frac{\rho_1^2 + \rho_2^2}{(\rho_1\rho_2)^2} = \frac{(\rho_1+\rho_2)^2 - 2\rho_1\rho_2}{(\rho_1\rho_2)^2}

然后，将韦达定理的结果代入上式：

\begin{aligned} \frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} &= \frac{\left(\frac{2p\cos\theta}{\sin^2\theta}\right)^2 - 2\left(-\frac{2px_0}{\sin^2\theta}\right)}{\left(-\frac{2px_0}{\sin^2\theta}\right)^2} &= \frac{\frac{4p^2\cos^2\theta}{\sin^4\theta} + \frac{4px_0}{\sin^2\theta}}{\frac{4p^2x_0^2}{\sin^4\theta}} &= \frac{4p^2\cos^2\theta + 4px_0\sin^2\theta}{4p^2x_0^2} &= \frac{p\cos^2\theta + x_0\sin^2\theta}{px_0^2} \end{aligned}

為了使此表达式為定值，它必须與變动的角度 $\theta$ 无關. 我们将 $\sin^2\theta$ 替換為 $1-\cos^2\theta$ 来观察其對 $\theta$ 的依赖性：

\frac{p\cos^2\theta + x_0(1-\cos^2\theta)}{px_0^2} = \frac{(p-x_0)\cos^2\theta + x_0}{px_0^2}

要使此分式的值不随 $\theta$ 的變化而變化, 唯一的可能性是分子中含有 $\cos^2\theta$ 項的係數為零. 因此，我们必须有：

p - x_0 = 0 \implies x_0 = p

当 $x_0=p$ 时，上述表达式變為：

\frac{(p-p)\cos^2\theta + p}{p \cdot p^2} = \frac{p}{p^3} = \frac{1}{p^2}

此值是一個與 $\theta$ 无關的常數.

因此，结論是：在抛物線 $y^2=2px$ 的對称轴正向上存在唯一点 $K(p,0)$ , 使得對于任何過 $K$ 的弦 $AB$ , 都有 $\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} = \frac{1}{p^2}$ 為定值.

下面的方法不依赖極坐標，而是通過传统的设直線斜率、联立方程與韦达定理来解决問題.其计算過程更為繁複，可以作為對比，以體会不同數學工具的效率差异.

解

假设在 $x$ 轴正半轴上存在满足条件的点 $K(x_0, 0)$ , 其中 $x_0\>0$ . 设過点 $K$ 的任意直線 $l$ 的方程為 $y=m(x-x_0)$ . 将 $x = \frac{y}{m}+x_0$ 代入抛物線方程 $y^2=2px$ 中, 消去 $x$ 以求交点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 的纵坐標：

y^2 = 2p\left(\frac{y}{m}+x_0\right)

整理得到一個關于 $y$ 的一元二次方程：

y^2 - \frac{2p}{m}y - 2px_0 = 0

其两根 $y_1, y_2$ 分别是点 $A, B$ 的纵坐標.根据韦达定理，我们有：

y_1+y_2 = \frac{2p}{m}, y_1y_2 = -2px_0

接下来，我们表示弦长 $|KA|$ 和 $|KB|$ . 對于点 $A(x_1, y_1)$ , 它到点 $K(x_0, 0)$ 的距离平方為：

|KA|^2 = (x_1-x_0)^2 + (y_1-0)^2

由于点 $A$ 在直線 $l$ 上, 满足 $y_1=m(x_1-x_0)$ , 因此 $x_1-x_0 = \frac{y_1}{m}$ . 代入上式：

|KA|^2 = \left(\frac{y_1}{m}\right)^2 + y_1^2 = y_1^2\left(\frac{1}{m^2}+1\right) = y_1^2\frac{1+m^2}{m^2}

同理， $|KB|^2 = y_2^2\frac{1+m^2}{m^2}$ .

現在構建目標表达式：

\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} = \frac{m^2}{y_1^2(1+m^2)} + \frac{m^2}{y_2^2(1+m^2)} = \frac{m^2}{1+m^2}\left(\frac{1}{y_1^2}+\frac{1}{y_2^2}\right)

= \frac{m^2}{1+m^2}\left(\frac{y_1^2+y_2^2}{(y_1y_2)^2}\right)

我们需要用韦达定理的结論来表示 $y_1^2+y_2^2$ ：

y_1^2+y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1y_2 = \left(\frac{2p}{m}\right)^2 - 2(-2px_0) = \frac{4p^2}{m^2} + 4px_0

代入目標表达式中：

\begin{aligned} \frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} &= \frac{m^2}{1+m^2} \cdot \frac{\frac{4p^2}{m^2} + 4px_0}{(-2px_0)^2} &= \frac{m^2}{1+m^2} \cdot \frac{4p(\frac{p}{m^2}+x_0)}{4p^2x_0^2} &= \frac{m^2}{1+m^2} \cdot \frac{\frac{p+m^2x_0}{m^2}}{px_0^2} &= \frac{p+m^2x_0}{(1+m^2)px_0^2} \end{aligned}

要使此表达式為定值，即其值不随斜率 $m$ 的變化而改變.我们将上式看作是關于變量 $m^2$ 的分式函數：

\frac{x_0 m^2 + p}{(px_0^2) m^2 + px_0^2}

對于一個形如 $\frac{Am+B}{Cm+D}$ 的分式函數, 若其為常數, 则必须有 $\frac{A}{C}=\frac{B}{D}$ (当 $C,D \neq 0$ ). 應用此结論于我们關于 $m^2$ 的分式，则有：

\frac{x_0}{px_0^2} = \frac{p}{px_0^2}

由于 $p\>0, x_0\>0$ , 分母不為零, 因此可得 $x_0 = p$ .

為了验證這個结論，我们还需要考虑直線 $AB$ 垂直于 $x$ 轴的特殊情况, 此时斜率 $m$ 不存在. 若直線為 $x=x_0$ , 交点為 $A(x_0, \sqrt{2px_0})$ 和 $B(x_0, -\sqrt{2px_0})$ . 此时 $|KA|^2 = (\sqrt{2px_0})^2 = 2px_0$ , $|KB|^2 = (-\sqrt{2px_0})^2 = 2px_0$ .

\frac{1}{|KA|^2} + \frac{1}{|KB|^2} = \frac{1}{2px_0} + \frac{1}{2px_0} = \frac{1}{px_0}

若此值要與斜率存在时的定值相等，则

\frac{1}{px_0} = \frac{p+m^2x_0}{(1+m^2)px_0^2} \text{在 } x_0=p \text{ 时}

\frac{1}{p^2} = \frac{p+m^2p}{(1+m^2)p^3} = \frac{p(1+m^2)}{p^3(1+m^2)} = \frac{1}{p^2}

等式成立.因此，点 $K$ 的坐標為 $(p,0)$ 时，结論對所有情况都成立.

\paragraph{摆線} 当一個圓沿一条直線无滑动地滚动时，摆線指的是圓周上一個定点的轨迹. 建立如下几何模型：一個半径為 $r$ 的圓在 $x$ 轴上滚动, 其上的定点 $P$ 最初位于原点 $O$ . 我们選取圓滚過的角度 $\theta$ 作為參數.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：摆線的生成過程.

当圓心從 $(0,r)$ 移动到 $C(x_C, y_C)$ 时, 圓滚過了角度 $\theta$ .

圓心 $C$ 的坐標：由于是无滑动滚动, 圓心在 $x$ 轴方向上移动的距离等于圓滚過的弧长, 即 $r\theta$ . 圓心高度始终為 $r$ . 所以 $C(r\theta, r)$ .
点 $P$ 相對于圓心 $C$ 的位置：设 $P$ 的坐標為 $(x,y)$ . 向量 $\vec{CP}$ 的起点為 $C$ , 终点為 $P$ . 相比于竖直向下的位置（對應初始位置）, 向量 $\vec{CP}$ 旋转了 $\theta$ 角. 因此，其分量為：

x_P - x_C = -r\sin\theta

y_P - y_C = -r\cos\theta

点 $P$ 的绝對坐標：

x = x_C - r\sin\theta = r\theta - r\sin\theta = r(\theta-\sin\theta)

y = y_C - r\cos\theta = r - r\cos\theta = r(1-\cos\theta)

最终得到摆線的參數方程：

\begin{cases} x = r(\theta - \sin\theta) y = r(1 - \cos\theta) \end{cases} (\theta \text{ 為參數})

極坐標係

笛卡尔直角坐標係通過水平和竖直的網格来定位点，這种體係在描述平移、矩形等几何结構时表現出極大的优越性.然而，若是要研究旋转或向心运动生成的轨迹时，直角坐標的局限性便開始显現.例如，描述一张匀速向外擴张同时匀速旋转的蛛網，或是行星环绕太阳的椭圓轨道，其直角坐標方程都显得笨拙而缺乏直观性.

早在17世纪，艾萨克·牛顿在其《流數法》中就構想了多种坐標係，其中之一便是通過“角度”和“长度”来描述曲線.與此同时，瑞士數學家雅各布·伯努利在研究诸如阿基米德螺線 ( $\rho = a\theta$ ) 和雙纽線 ( $\rho^2=a^2\cos(2\theta)$ ) 等曲線时，也發現使用径向距离和角度来表达其方程，会得到惊人簡洁和优美的形式.他们意识到，對于這些围绕一個中心点展開的圖形，與其問“一個点向右多远，向上多远？”，不如問“它离中心多远，朝哪個方向？”.

這种源于對运动和自然形态的深刻洞察，最终演化為一套完整的坐標體係.這個體係便是我们現在所熟知的極坐標係.它的構建基于两個最基本的元素：一個作為參照的中心点，和一条作為參照方向的射線.

極坐標的定義

極点: 平面内一個固定的点，记作 $O$ .
極轴: 從極点 $O$ 出發的一条固定的射線, 通常记作 $Ox$ .

極坐標

平面内任意一点 $P$ 的位置, 可以由一個有序數對 $(\rho, \theta)$ 唯一确定，其中：

$\rho$ 是從極点 $O$ 到点 $P$ 的距离, 称為点 $P$ 的極径. 我们约定 $\rho \ge 0$ .
$\theta$ 是從極轴 $Ox$ 逆时针旋转到射線 $OP$ 所成的角, 称為点 $P$ 的極角.

這個數對 $(\rho, \theta)$ 就称為点 $P$ 的極坐標.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：極坐標係的構成.

需要注意的是，一個点的極坐標表示不是唯一的.例如，点 $(2, \pi/4)$ 的極角若增加 $2\pi$ 的整數倍, 即 $(2, \pi/4 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$ , 它们都表示同一個点.極点 $O$ 的極坐標為 $(0, \theta)$ , 其中 $\theta$ 可以是任意角.在没有特殊說明时, 我们通常将極角 $\theta$ 的范围限制在 $[0, 2\pi)$ .

極坐標與直角坐標的互化

為了能够在两种坐標係之間灵活切換，我们必须建立它们之間的代數联係.最自然的方式是進行如下的“標准對齐”：

将極坐標係的極点 $O$ 與直角坐標係的原点 $(0,0)$ 重合.
将極坐標係的極轴 $Ox$ 與直角坐標係的 $x$ 轴正半轴重合.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：極坐標與直角坐標的几何關係.

在此设定下，考察点 $P$ 的两种坐標表示 $(\rho, \theta)$ 和 $(x,y)$ . 由上圖中的直角三角形關係，可以立即得到转換公式：

\paragraph{由極坐標化為直角坐標}

x = \rho\cos\theta

y = \rho\sin\theta

\paragraph{由直角坐標化為極坐標}

\rho^2 = x^2+y^2 \implies \rho = \sqrt{x^2+y^2}

\tan\theta = \frac{y}{x} (x \neq 0)

在计算 $\theta$ 时, 必须根据点 $(x,y)$ 所在的象限来确定其具體值, 因為反正切函數 $\arctan(\frac{y}{x})$ 的值域通常是 $(-\pi/2, \pi/2)$ , 无法覆蓋所有象限.

例

将極坐標為 $(4, \frac{2\pi}{3})$ 的点化為直角坐標.

解

已知 $\rho=4, \theta=\frac{2\pi}{3}$ .

代入转換公式:

x = \rho\cos\theta = 4\cos\frac{2\pi}{3} = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2

y = \rho\sin\theta = 4\sin\frac{2\pi}{3} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}

所以, 该点的直角坐標為 $(-2, 2\sqrt{3})$ .

例

将直角坐標為 $(-1, -1)$ 的点化為極坐標 (要求 $\rho\>0, \theta \in [0, 2\pi)$ ).

解

已知 $x=-1, y=-1$ .

首先计算極径 $\rho$ :

\rho = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2}

接下来计算極角 $\theta$ .

\cos\theta = \frac{x}{\rho} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

\sin\theta = \frac{y}{\rho} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

由于 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 均為负, 可知 $\theta$ 是第三象限角. 满足条件的角為 $\theta = \frac{5\pi}{4}$ .

所以, 该点的極坐標為 $(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})$ .

例

将下列方程在直角坐標與極坐標之間進行互化.

直角坐標方程: $x^2+(y-2)^2=4$
極坐標方程: $\rho = \frac{6}{2\cos\theta - 3\sin\theta}$

解

(1) 将直角坐標方程 $x^2+(y-2)^2=4$ 化為極坐標方程.

首先展開方程:

x^2+y^2-4y+4=4 \implies x^2+y^2=4y

使用代換公式 $x^2+y^2=\rho^2$ 和 $y=\rho\sin\theta$ :

\rho^2 = 4\rho\sin\theta

当 $\rho \neq 0$ 时, 方程两边可以约去 $\rho$ , 得到:

\rho = 4\sin\theta

当 $\rho=0$ 时, 表示極点. 在方程 $\rho=4\sin\theta$ 中, 若取 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$ , 则 $\rho=0$ , 方程也包含極点. 因此, 原直角坐標方程對應的極坐標方程為 $\rho=4\sin\theta$ .

(2) 将極坐標方程 $\rho = \frac{6}{2\cos\theta - 3\sin\theta}$ 化為直角坐標方程.

首先, 将分母移到等式左侧:

\rho(2\cos\theta - 3\sin\theta) = 6

展開括号:

2\rho\cos\theta - 3\rho\sin\theta = 6

使用代換公式 $x = \rho\cos\theta$ 和 $y = \rho\sin\theta$ :

2x - 3y = 6

此即為所求的直角坐標方程, 它表示一条直線.

常见曲線的極坐標方程

将曲線的直角坐標方程通過代換公式转化為極坐標方程，是研究曲線的一种基本方法.然而，更有启發性的是直接在極坐標係下，根据曲線的几何定義来推導其方程.

\paragraph{直線的極坐標方程}

經過極点的直線

若一条直線通過極点 $O$ , 则其上所有点（除極点外）的極角 $\theta$ 均等于一個定值 $\alpha$ (或 $\alpha+\pi$ ).因此，其方程極為簡洁：

\theta = \alpha (\rho \in \mathbb{R})

其中 $\alpha$ 是直線的倾斜角. 2. 不經過極点的直線

對于一条不經過極点的直線 $l$ , 我们可以用其法線段的性質来刻画.從極点 $O$ 向直線 $l$ 作垂線, 垂足為 $N$ . 设線段 $ON$ 的长度為 $p$ ( $p\>0$ ), 且射線 $ON$ 的極角為 $\alpha$ .

设 $P(\rho, \theta)$ 是直線 $l$ 上任意一点.在 $\triangle ONP$ 中, $\angle ONP = \pi/2$ , $ON=p$ , $OP=\rho$ , $\angle NOP = |\theta - \alpha|$ . 由三角關係可得：

ON = OP \cos(\angle NOP)

即

p = \rho\cos(\theta-\alpha)

這就是不經過極点的直線的一般極坐標方程.

\paragraph{圓的極坐標方程}

圓心在極点

若圓心位于極点 $O$ , 半径為 $R$ , 则圓上任意一点的極径 $\rho$ 恒為 $R$ . 其方程為：

\rho = R

圓經過極点

设一個半径為 $R$ 的圓經過極点 $O$ , 其圓心為 $C(R, \alpha)$ . 设 $P(\rho, \theta)$ 是圓上异于 $O$ 的任意一点. 在 $\triangle OCP$ 中, $OC=R, CP=R, OP=\rho, \angle COP=|\theta-\alpha|$ . 由余弦定理, $CP^2=OC^2+OP^2-2OC \cdot OP \cos(\angle COP)$ .

R^2 = R^2 + \rho^2 - 2R\rho\cos(\theta-\alpha)

化簡得 $\rho^2 = 2R\rho\cos(\theta-\alpha)$ . 当 $\rho \neq 0$ 时,

\rho = 2R\cos(\theta-\alpha)

特别地, 若圓心在極轴上, $\alpha=0$ , 方程為 $\rho = 2R\cos\theta$ . 若圓心在與極轴垂直且過極点的射線上, $\alpha=\pi/2$ , 方程為 $\rho = 2R\sin\theta$ .

圓锥曲線的统一極坐標表示

極坐標係為我们提供了一個深刻而统一的视角来审视所有圓锥曲線.通過将極点置于焦点，這些看似形态各异的曲線可以被同一個优美的方程所描述.

圓锥曲線的统一極坐標方程

以圓锥曲線的一個焦点為極点, 以過该焦点且背离對應准線的方向為極轴.设焦点到對應准線的距离為 $p$ (焦參數), 离心率為 $e$ .则该圓锥曲線的極坐標方程為：

\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}

此方程是開普勒定律的數學基礎，它精确地描述了天體在引力场中的运行轨道.我们将以离心率 $e$ 的取值為線索，探讨该方程如何演化為我们所熟知的各种圓锥曲線.

\paragraph{抛物線： $e=1$ 的情形} 当离心率 $e=1$ 时，曲線為抛物線.代入统一方程，我们得到其極坐標方程：

\rho = \frac{p}{1 - \cos\theta}

這個簡洁的方程完美地刻画了抛物線的几何特性.

当 $\theta \to 0$ 时, $\cos\theta \to 1$ , 分母趋于 $0$ , 故 $\rho \to \infty$ . 這體現了抛物線是開口的、无限延伸的.
当 $\theta = \pi$ 时, $\cos\theta = -1$ , 此时 $\rho = \frac{p}{1-(-1)} = \frac{p}{2}$ . 這是抛物線的顶点，是曲線上离焦点（極点）最近的点.

\begin{figure}[htbp]

{e=1}).} \end{figure} 圖：抛物線的極坐標表示 (\texorpdfstring{ $e=1$

\paragraph{椭圓： $0 \< e \< 1$ 的情形} 当离心率 $0 \< e \< 1$ 时，曲線為椭圓.其極坐標方程仍為：

\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}

由于 $0 \< e \< 1$ , 无論 $\theta$ 取何值, 都有 $|e\cos\theta| \< 1$ , 因此分母 $1-e\cos\theta$ 恒為正且永远不等于零. 這一代數性質直接導致了其几何特征：極径 $\rho$ 始终是有限的正值.這正是椭圓作為一条封闭、有界曲線的數學體現.

当 $\theta = 0$ 时, $\cos\theta=1$ , $\rho$ 取最大值, $\rho_{max} = \frac{ep}{1-e}$ . 此為远日点.
当 $\theta = \pi$ 时, $\cos\theta=-1$ , $\rho$ 取最小值, $\rho_{min} = \frac{ep}{1+e}$ . 此為近日点.

\begin{figure}[htbp]

{0<e<1}).} \end{figure} 圖：椭圓的極坐標表示 (\texorpdfstring{ $0\<e\<1$

\paragraph{雙曲線： $e \> 1$ 的情形} 当离心率 $e \> 1$ 时，曲線為雙曲線.其極坐標方程依然是：

\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}

此时，由于 $e\>1$ , 存在特定的角 $\theta_0$ 使得 $1-e\cos\theta_0 = 0$ , 即 $\cos\theta_0 = 1/e$ . 在這些方向上, $\rho \to \infty$ . 這正是雙曲線渐近線的代數来源, 它们指明了雙曲線在无穷远处无限靠近的方向.

当 $1-e\cos\theta \> 0$ 时, $\rho\>0$ , 描绘出雙曲線靠近極点（焦点）的一支.
当 $1-e\cos\theta \< 0$ 时, $\rho\<0$ . 按照極坐標的约定, 负極径表示在相反方向上取长度為 $|\rho|$ 的点.這恰好描绘出雙曲線的另一支.

因此，這一個看似簡單的方程，竟能同时包含雙曲線的两支，這再次彰显了極坐標係的深刻威力.

我们可以看看如何将極坐標形式的圓锥曲線统一方程應用： \paragraph{正焦弦长} 正焦弦是指過焦点且垂直于主轴 (極轴) 的弦. 它的长度是圓锥曲線的一個重要内在參數. 设弦的两個端点對應的極角分别為 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 和 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ . 当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时,

\rho_1 = \frac{ep}{1 - e\cos(\frac{\pi}{2})} = ep

当 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ 时,

\rho_2 = \frac{ep}{1 - e\cos(\frac{3\pi}{2})} = ep

因此, 正焦弦长為 $\rho_1+\rho_2 = 2ep$ . 這個长度通常记作 $2l$ . 量 $l=ep$ 被称為半正焦弦长或焦參數. 于是, 圓锥曲線的统一極坐標方程也可以寫成:

\rho = \frac{l}{1-e\cos\theta}

這個形式在天體力學中尤為常用.

焦弦的调和平均性質

设一条過圓锥曲線焦点 (極点) 的直線與曲線交于 $P, Q$ 两点. 證明: 焦半径 $|OP|$ 與 $|OQ|$ 的倒數之和為常數, 即 $\frac{1}{|OP|} + \frac{1}{|OQ|}$ 為定值.

證明

设直線 $PQ$ 與極轴的夹角為 $\alpha$ . 则点 $P$ 的極坐標可以设為 $(\rho_P, \alpha)$ , 点 $Q$ 的極坐標可以设為 $(\rho_Q, \alpha+\pi)$ .

根据圓锥曲線的统一極坐標方程 $\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}$ :

對于点 $P$ , 其極径為

|OP| = \rho_P = \frac{ep}{1 - e\cos\alpha}

對于点 $Q$ , 其極径為

|OQ| = \rho_Q = \frac{ep}{1 - e\cos(\alpha+\pi)} = \frac{ep}{1 - e(-\cos\alpha)} = \frac{ep}{1 + e\cos\alpha}

计算两焦半径的倒數之和:

\frac{1}{|OP|} + \frac{1}{|OQ|} = \frac{1 - e\cos\alpha}{ep} + \frac{1 + e\cos\alpha}{ep}

= \frac{(1 - e\cos\alpha) + (1 + e\cos\alpha)}{ep}

= \frac{2}{ep}

此结果是一個與角度 $\alpha$ 无關的常數, 等于正焦弦长的倒數. 這一性質表明, 半正焦弦长 $ep$ 是所有過焦点的弦的两個半径段的调和平均數.

例

已知行星绕太阳 (位于焦点) 的椭圓轨道方程為 $\rho = \frac{A}{1+\varepsilon\cos\theta}$ . 這里 $A$ 為半正焦弦长, $\varepsilon$ 為离心率, 且 $\theta$ 是從近日点開始计算的角度. 求此椭圓轨道的半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ .

解

本題所给的極坐標方程與我们推導的標准形式略有不同. 標准形式 $\rho = \frac{ep}{1-e\cos\theta}$ 中, $\theta=0$ 對應远日点 (离焦点最远的点). 而題中方程 $\rho = \frac{A}{1+\varepsilon\cos\theta}$ 当 $\theta=0$ 时, 分母最大, $\rho$ 最小, 對應近日点. 這等价于将極轴旋转了 $\pi$ .

令 $e=\varepsilon, ep=A$ .

近日点距离 (当 $\theta=0$ ):

\rho_{\min} = \frac{A}{1+\varepsilon\cos(0)} = \frac{A}{1+\varepsilon}

远日点距离 (当 $\theta=\pi$ ):

\rho_{\max} = \frac{A}{1+\varepsilon\cos(\pi)} = \frac{A}{1-\varepsilon}

根据椭圓的几何性質, 长轴的长度 $2a$ 等于近日点距离與远日点距离之和.

2a = \rho_{\min} + \rho_{\max} = \frac{A}{1+\varepsilon} + \frac{A}{1-\varepsilon}

2a = \frac{A(1-\varepsilon) + A(1+\varepsilon)}{(1+\varepsilon)(1-\varepsilon)} = \frac{2A}{1-\varepsilon^2}

故半长轴 $a$ 為:

a = \frac{A}{1-\varepsilon^2}

我们有關係式 $l=ep=A$ 以及 $l = \frac{b^2}{a}$ . 因此 $A = \frac{b^2}{a}$ .

b^2 = aA = \left(\frac{A}{1-\varepsilon^2}\right) \cdot A = \frac{A^2}{1-\varepsilon^2}

故半短轴 $b$ 為:

b = \frac{A}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}

例

求圓锥曲線 $\rho = \frac{ep}{1-e\cos\theta}$ 所有焦弦中点的轨迹方程.

解

设一条焦弦 $PQ$ 的端点為 $P(\rho_1, \alpha)$ 和 $Q(\rho_2, \alpha+\pi)$ .

\rho_1 = \frac{ep}{1-e\cos\alpha}, \rho_2 = \frac{ep}{1+e\cos\alpha}

设 $PQ$ 的中点為 $M$ . 我们首先求 $M$ 的直角坐標. 点 $P$ 的直角坐標為 $(\rho_1\cos\alpha, \rho_1\sin\alpha)$ . 点 $Q$ 的直角坐標為 $(\rho_2\cos(\alpha+\pi), \rho_2\sin(\alpha+\pi)) = (-\rho_2\cos\alpha, -\rho_2\sin\alpha)$ .

中点 $M(x_M, y_M)$ 的坐標為:

x_M = \frac{\rho_1\cos\alpha - \rho_2\cos\alpha}{2} = \frac{1}{2}(\rho_1-\rho_2)\cos\alpha

y_M = \frac{\rho_1\sin\alpha - \rho_2\sin\alpha}{2} = \frac{1}{2}(\rho_1-\rho_2)\sin\alpha

计算 $\rho_1-\rho_2$ :

\rho_1-\rho_2 = ep \left(\frac{1}{1-e\cos\alpha} - \frac{1}{1+e\cos\alpha}\right) = ep \left(\frac{2e\cos\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha}\right) = \frac{2e^2p\cos\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha}

代入 $x_M, y_M$ 的表达式:

x_M = \frac{e^2p\cos^2\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha}

y_M = \frac{e^2p\sin\alpha\cos\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha}

這是一個以 $\alpha$ 為參數的參數方程. 為求其轨迹的直角坐標方程, 我们需要消去 $\alpha$ . 我们寻求一個簡洁的代數關係, 考虑 $x_M$ 與常數 $p$ 的组合:

x_M+p = \frac{e^2p\cos^2\alpha}{1-e^2\cos^2\alpha} + p = \frac{e^2p\cos^2\alpha + p(1-e^2\cos^2\alpha)}{1-e^2\cos^2\alpha} = \frac{p}{1-e^2\cos^2\alpha}

利用這個關係, 我们可以重新表达 $x_M$ 和 $y_M$ :

x_M = e^2\cos^2\alpha \cdot \frac{p}{1-e^2\cos^2\alpha} = e^2\cos^2\alpha (x_M+p)

y_M = e^2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \frac{p}{1-e^2\cos^2\alpha} = e^2\sin\alpha\cos\alpha (x_M+p)

從第一個關係式解出 $\cos^2\alpha$ :

\cos^2\alpha = \frac{x_M}{e^2(x_M+p)}

将第二個關係式平方:

y_M^2 = e^4\sin^2\alpha\cos^2\alpha(x_M+p)^2 = e^4(1-\cos^2\alpha)\cos^2\alpha(x_M+p)^2

将 $\cos^2\alpha$ 的表达式代入:

y_M^2 = e^4 \left(1-\frac{x_M}{e^2(x_M+p)}\right) \left(\frac{x_M}{e^2(x_M+p)}\right) (x_M+p)^2

y_M^2 = e^4 \left(\frac{e^2(x_M+p)-x_M}{e^2(x_M+p)}\right) \left(\frac{x_M}{e^2(x_M+p)}\right) (x_M+p)^2

化簡可得:

y_M^2 = \left(e^2(x_M+p)-x_M\right)x_M = (e^2x_M+e^2p-x_M)x_M

整理得到轨迹的直角坐標方程 (省略下標 $M$ ):

(1-e^2)x^2 + e^2px + y^2 = 0

這是一個新的圓锥曲線方程. 我们可以通過配方来确定其具體形式. 若 $e \neq 1$ ,

(1-e^2)\left(x^2 + \frac{e^2p}{1-e^2}x\right) + y^2 = 0

(1-e^2)\left(x + \frac{e^2p}{2(1-e^2)}\right)^2 + y^2 = \frac{(1-e^2)e^4p^2}{4(1-e^2)^2} = \frac{e^4p^2}{4(1-e^2)}

此方程表示一個中心位于 $(-\frac{e^2p}{2(1-e^2)}, 0)$ 的圓锥曲線.

若 $e=1$ (原曲線為抛物線), 方程退化為:

px + y^2 = 0 \implies y^2=-px

此轨迹方程表示一個與原抛物線全等, 但開口方向相反, 顶点在原点 (即原抛物線焦点) 的抛物線.

參數方程​

參數方程的引入​

常见曲線的參數方程​

極坐標係​

極坐標的定義​

極坐標與直角坐標的互化​

常见曲線的極坐標方程​

圓锥曲線的统一極坐標表示​

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