ch17-立體几何

{/* label: chap:ch17 */}

{/* latex-label: fig:cuboid-lines-planes */} \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：长方體中的直線與平面示意圖

平面几何，作為建立在公理體係之上的逻辑大厦，為我们提供了描述二維空間的严谨框架.在那個世界里，两条直線的位置關係被簡洁地划分為相交或平行.然而，我们所感知的物理世界是三維的.為了将几何學的疆域從理想的平面拓展至更為廣阔的空間，我们必须引入新的概念并审视由此产生的更為複杂的位置關係.

观察上方的平行六面體，直線 $AB$ 與直線 $CC_1$ 有何關係？它们不共面，因此既不平行也不相交.我们如何精确地定義和研究這种异面直線的關係？我们又该如何刻画空間中两個平面的相對倾斜程度，即所谓的二面角？

為了係统性地回答這些問題，僅僅依赖直观是远远不够的.我们需要擴展平面几何的公理基礎，建立一套适用于三維空間的逻辑演绎體係.這套體係的核心任务，是阐明空間中点、直線、平面這三种基本元素之間相互位置關係的判定、性質與度量.這便是立體几何的起点.

基本公理與空間元素

{/* label: sec:ch17-s01 */}

正如平面几何的研究始于点與直線這两個无法定義却可被直观理解的基本元素，立體几何的理論大厦则建立在引入第三個基本元素——平面——的基礎之上.我们用 $\alpha, \beta, \gamma$ 等希腊字母表示平面.這三种元素之間的基本關係由以下几条基本公理所规定，它们是我们進行一切逻辑推演的基石.

公理

不共線的三点确定唯一一個平面.

此公理是空間中确定一個平面位置的根本依据.一個稳固的三脚架正是此公理在物理世界中的绝佳體現. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

公理

若一条直線上有两点在一個平面内，则该直線在這個平面内.

這条公理深刻地揭示了直線作為一維圖形與平面作為二維圖形之間的從属關係.它保證了平面的平整性，即：平面上任意两点間的连線不会逃出该平面. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

公理

若两個平面有一個公共点，则它们有且只有一条通過该点的公共直線.

此公理排除了两個平面僅交于一点的可能性，精确地刻画了两個不同平面相交的形态.

{/* latex-label: fig:plane-intersection */} \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：两平面相交公理的立體示意圖

公理的推論

僅僅基于上述三条公理，我们便能通過严密的逻辑演绎，推導出一係列關于空間元素位置關係的基本定理.

定理

两条相交直線确定唯一一個平面.

證明

设两直線 $l_1, l_2$ 交于点 $P$ . 為确定一個平面，我们需要找到三個不共線的点. 在直線 $l_1$ 上取异于 $P$ 的一点 $A$ , 在直線 $l_2$ 上取异于 $P$ 的一点 $B$ . 由于 $l_1$ 與 $l_2$ 是不同的相交直線, 点 $A, B, P$ 必然不共線.

根据公理1，不共線的三点 $A, B, P$ 确定唯一一個平面, 我们称之為 $\alpha$ .

接着，我们需要證明直線 $l_1$ 和 $l_2$ 均在平面 $\alpha$ 内. 点 $A$ 和点 $P$ 均在平面 $\alpha$ 内, 且它们都在直線 $l_1$ 上. 根据公理2, 直線 $l_1$ 在平面 $\alpha$ 内. 同理，点 $B$ 和点 $P$ 均在平面 $\alpha$ 内, 且它们都在直線 $l_2$ 上. 根据公理2, 直線 $l_2$ 在平面 $\alpha$ 内.

因此，存在一個包含直線 $l_1, l_2$ 的平面 $\alpha$ . 由于任何包含 $l_1, l_2$ 的平面都必须包含点 $A, B, P$ , 而這三点僅能确定一個平面，故该平面是唯一的.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

定理

两条平行直線确定唯一一個平面.

證明

设两直線 $l_1, l_2$ 相互平行. 根据平行直線的定義，它们必须共面. 我们需要證明该平面的唯一性.

在直線 $l_1$ 上取一点 $A$ . 根据平行公理的推論, 過直線外一点有且只有一条直線與已知直線平行, 因此点 $A$ 不在直線 $l_2$ 上.

一個点與一条不經過该点的直線可以确定一個平面. 我们正式證明這一点：在 $l_2$ 上取两点 $B, C$ . 由于 $A \notin l_2$ , 三点 $A, B, C$ 不共線. 根据公理1，三点 $A, B, C$ 确定唯一平面 $\alpha$ .

由于点 $B, C$ 在平面 $\alpha$ 内, 根据公理2, 直線 $l_2$ 在平面 $\alpha$ 内. 我们还需要證明 $l_1$ 也在 $\alpha$ 内. 假设 $l_1$ 不在 $\alpha$ 内. 由于 $l_1 \parallel l_2$ 且 $l_2 \subset \alpha$ , 這意味着 $l_1$ 與平面 $\alpha$ 平行或相交于一点. 但点 $A$ 是 $l_1$ 與 $\alpha$ 的公共点. 故 $l_1$ 與 $\alpha$ 相交于 $A$ .

然而，平行直線的定義要求它们共面. 既然我们已經找到了一個包含 $l_2$ 和 $l_1$ 上一点 $A$ 的平面 $\alpha$ , 那么 $l_1$ 必须在 $\alpha$ 内，這與假设矛盾. 故 $l_1, l_2$ 均在平面 $\alpha$ 内.

由于任何包含 $l_1, l_2$ 的平面都必须包含点 $A$ 和直線 $l_2$ , 而這样的平面是唯一的，故该平面唯一.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

空間中直線與平面的位置關係

在确立了描述空間的基本公理之后，我们的首要任务便是對空間中的基本元素之間可能存在的位置關係進行分類與定義.

與平面几何相比，三維空間引入了新的自由度，從而催生了更為丰富的几何構型. 我们将依次考察直線與直線、直線與平面、以及平面與平面這三组基本的位置關係.

直線與直線的位置關係

在平面几何的框架内，两条不同直線的位置關係構成了一個清晰的二分法：它们若有公共点，则必相交于一点；若无公共点，则必相互平行. 這种完備的划分，其隐含的前提是這两条直線必然位于同一個平面之上. 当我们将视野拓展至三維空間时，這一隐含前提不再必然成立，從而導致了新的几何可能性的出現.

因此，對空間中两条直線 $l_1, l_2$ 的位置關係進行严谨的分類，其首要且最具决定性的判据是共面性.

空間中两直線的位置關係

设 $l_1, l_2$ 為空間中的两条直線. 它们的位置關係根据其是否共面，可作如下层次化定義：

共面直線: 若存在一個平面 $\alpha$ 同时包含 $l_1$ 和 $l_2$ . 在此前提下，其位置關係與平面几何中的情况完全一致：

若 $l_1, l_2$ 有且僅有一個公共点，则称它们相交.
若 $l_1, l_2$ 没有公共点，则称它们平行.

异面直線: 若不存在任何一個平面能同时包含 $l_1$ 和 $l_2$ ，则称這两条直線异面.

這一定義建立了一個清晰的逻辑层次. 判断两条直線關係的第一個問題，不是它们是否有交点，而是它们是否共面.

若答案為“是”，则問題被降維至一個我们所熟知的二維平面問題，其后續的判断僅需考察公共点的個數.
若答案為“否”，则无需再考察公共点，這两条直線的位置關係便被唯一地确定為异面. 從逻辑上讲，异面直線既不平行（因為平行線必须共面），也不相交（因為若相交，则两相交直線必确定一個唯一的平面，與不共面的前提矛盾）.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：空間中两直線的三种位置關係

為了在具體問題中判定两条直線 $l_1, l_2$ 的位置關係，可以遵循如下的係统性逻辑步骤：首先，判断它们是否共面. 這可以通過几何構造来完成：在 $l_1$ 上取一点 $A$ , 在 $l_2$ 上取一点 $B$ . 若 $l_1 \parallel l_2$ 或 $l_1, l_2$ 相交, 则它们共面. 若不属于這两种情况, 则在 $l_1$ 上另取一点 $C$ . 如果 $A, B, C$ 以及 $l_2$ 均在同一個平面内, 则 $l_1, l_2$ 共面.

接着，若已确定 $l_1, l_2$ 共面，则問題退化為平面几何問題，只需判断它们是否有公共点. 若有，则相交；若无，则平行.

最后，如果在第一步中，通過任何構造都无法将 $l_1, l_2$ 置于同一平面内（例如, 在四面體中, 底面的边 $AB$ 與其上方的棱 $CD$ ），那么根据定義，它们必然是异面直線.

相交、平行、异面這三种關係，構成了一個對空間中任意两条直線位置關係的完備且互斥的分類體係.

直線與平面的位置關係

考察直線 $l$ 與平面 $\alpha$ 的公共点的集合, 其元素的個數—— $0, 1$ 或无穷——為我们提供了對它们位置關係進行分類的自然依据.

直線與平面的位置關係

设 $l$ 為直線, $\alpha$ 為平面.

若 $l$ 與 $\alpha$ 有且僅有一個公共点，则称直線與平面相交.
若 $l$ 與 $\alpha$ 没有公共点, 则称直線與平面平行, 记作 $l \parallel \alpha$ .
若 $l$ 與 $\alpha$ 有无穷多個公共点, 则称直線在平面内, 记作 $l \subset \alpha$ .

根据公理2，若一条直線上有两点在平面内，则该直線必在平面内. 這保證了直線與平面的公共点個數不可能為大于等于2的有限數. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：直線與平面的三种位置關係

平面與平面的位置關係

最后，我们考察两個平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 在空間中的位置關係. 同样地，這种關係由它们的公共点集的形态所决定.

平面與平面的位置關係

设 $\alpha, \beta$ 為两個平面.

若 $\alpha$ 與 $\beta$ 没有公共点, 则称這两個平面平行, 记作 $\alpha \parallel \beta$ .
若 $\alpha$ 與 $\beta$ 有公共点，则称這两個平面相交.

公理3直接规定了相交平面的几何形态：若两平面有公共点，则它们必交于一条通過该点的直線. 這意味着两平面不可能僅交于一点或一条線段. 它们的交集若非空，则必為一条无限延伸的直線. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：平面與平面的两种位置關係

至此，我们完成了對空間基本元素之間所有位置關係的定義性分類.

本节習題

習題

\exerciseentry { 判断以下論断是否為真，并基于本节公理與推論阐述理由：空間中任意四個点必然共面. } { 證明：一条直線與不經過该直線的一個点，确定唯一一個平面. }

\exerciseentry { 设四点 $A, B, C, D$ 不共面. 證明：连接 $A, B$ 的直線與连接 $C, D$ 的直線是异面直線. } { 在空間四边形 $ABCD$ (即四顶点不共面的四边形) 中, 点 $M, N, P, Q$ 分别是棱 $AB, BC, CD, DA$ 上的点. 若直線 $MN$ 與直線 $PQ$ 相交于点 $K$ . 證明: $A, C, K$ 三点共線. }

\exerciseentry { 考察空間中三条不同的直線 $l_1, l_2, l_3$ . 若它们两两相交，證明這三条直線或者共点，或者共面. } { 考察空間中四条不同的直線，其中任意三条都不共面. 若這四条直線中的每一条都與其他三条相交，證明這四条直線必共点. }

\exerciseentry { 设三個互不重合的平面 $\alpha, \beta, \gamma$ 两两相交，且其三条交線互不平行. 證明這三条交線必共点. } { (空間中的迪沙格定理) 设 $O, A, B, C, A', B', C'$ 為空間中七個不同的点, 且 $A, B, C$ 不共線, $A', B', C'$ 亦不共線. 若三条直線 $AA', BB', CC'$ 交于一点 $O$ . 设平面 $ABC$ 與平面 $A'B'C'$ 相交于直線 $l$ . 證明: 两组對應边的交点, 即 $P = AB \cap A'B'$ , $Q = BC \cap B'C'$ , $R = CA \cap C'A'$ 三点均在直線 $l$ 上, 因而共線. }

習題解析

解

第一題

该論断為假.

我们構建一個反例. 取不共線的三個点 $A, B, C$ . 根据公理1, 這三点确定唯一一個平面, 记為 $\alpha$ . 接着, 在平面 $\alpha$ 之外任取一点 $D$ . 這样的点必然存在, 否则空間中所有点都将位于平面 $\alpha$ 内，這與我们對三維空間的认知相悖.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

現在我们拥有四個点 $A, B, C, D$ . 假设這四点共面于某個平面 $\beta$ . 由于 $A, B, C$ 均在 $\beta$ 内, 且它们不共線, 根据公理1的唯一性, 平面 $\beta$ 必须是平面 $\alpha$ . 這意味着点 $D$ 也必须在平面 $\alpha$ 内. 但這與我们對点 $D$ 的選取（ $D$ 在 $\alpha$ 之外）直接矛盾.

因此，假设不成立. 空間中任意四点并非必然共面. 這种由四個不共面的点構成的几何體，即為四面體.

證明

第二題

设已知直線為 $l$ , 点為 $P$ , 且 $P \notin l$ . 我们需要證明存在且僅存在一個平面同时包含 $l$ 和 $P$ .

為确定一個平面，我们需要不共線的三個点. 在直線 $l$ 上任意選取两個不同的点, 记為 $A$ 和 $B$ . 由于点 $P$ 不在直線 $l$ 上, 故三点 $P, A, B$ 必然不共線.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

根据公理1，不共線的三点 $P, A, B$ 确定唯一一個平面. 我们称此平面為 $\alpha$ .

接着，我们需要證明直線 $l$ 和点 $P$ 均在此平面 $\alpha$ 内. 点 $P$ 作為确定平面 $\alpha$ 的三点之一, 显然有 $P \in \alpha$ . 点 $A$ 和点 $B$ 都在直線 $l$ 上, 并且它们也都是确定平面 $\alpha$ 的点, 故 $A \in \alpha$ 且 $B \in \alpha$ . 根据公理2，若一条直線上有两点在一個平面内，则该直線在這個平面内. 因此，直線 $l$ 在平面 $\alpha$ 内.

至此，我们證明了存在這样一個平面 $\alpha$ . 為證明其唯一性，我们注意到任何包含直線 $l$ 和点 $P$ 的平面都必须同时包含点 $A, B, P$ . 由于這三個不共線的点僅能确定一個唯一的平面，故满足条件的平面是唯一的.

證明

第三題

设直線 $AB$ 為 $l_1$ , 直線 $CD$ 為 $l_2$ . 根据异面直線的定義，我们需要證明不存在任何一個平面能同时包含 $l_1$ 和 $l_2$ .

我们采用反證法. 假设存在一個平面 $\alpha$ 能同时包含直線 $l_1$ 和 $l_2$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

若 $l_1 \subset \alpha$ , 则根据点的從属關係, 直線上的所有点都在平面内, 故 $A \in \alpha$ 且 $B \in \alpha$ . 同理，若 $l_2 \subset \alpha$ , 则 $C \in \alpha$ 且 $D \in \alpha$ .

綜合上述，可得 $A, B, C, D$ 四個点全部位于平面 $\alpha$ 之内. 這意味着四点 $A, B, C, D$ 共面.

然而，這與題目给出的初始条件“四点 $A, B, C, D$ 不共面”直接矛盾.

因此，我们的初始假设“存在一個平面 $\alpha$ 能同时包含 $l_1$ 和 $l_2$ ”是錯誤的. 根据异面直線的定義，直線 $AB$ 與直線 $CD$ 是异面直線.

證明

第四題

欲證 $A, C, K$ 三点共線, 我们只需證明点 $K$ 位于由 $A, C$ 两点确定的直線上.

考察由不共面的四点 $A, B, C, D$ 所确定的两個平面：平面 $ABC$ 與平面 $ADC$ . 根据公理3，這两個平面必相交于一条直線. 点 $A$ 與点 $C$ 是這两個平面的公共点, 故它们的交線就是直線 $AC$ .

接着，考虑点 $K$ 的位置. 根据題设， $K$ 是直線 $MN$ 與直線 $PQ$ 的交点, 故 $K$ 既在直線 $MN$ 上, 也在直線 $PQ$ 上.

考察直線 $MN$ . 点 $M$ 在棱 $AB$ 上, 点 $N$ 在棱 $BC$ 上. 由于 $AB \subset \text{平面 } ABC$ 且 $BC \subset \text{平面 } ABC$ , 可知点 $M, N$ 均在平面 $ABC$ 内. 根据公理2，连接 $M, N$ 的直線 $MN$ 必在平面 $ABC$ 内. 因為 $K \in MN$ , 所以 $K \in \text{平面 } ABC$ .

以完全相同的方式考察直線 $PQ$ . 点 $P$ 在棱 $CD$ 上, 点 $Q$ 在棱 $DA$ 上. 由于 $CD \subset \text{平面 } ADC$ 且 $DA \subset \text{平面 } ADC$ , 可知点 $P, Q$ 均在平面 $ADC$ 内. 根据公理2，连接 $P, Q$ 的直線 $PQ$ 必在平面 $ADC$ 内. 因為 $K \in PQ$ , 所以 $K \in \text{平面 } ADC$ .

至此，我们證明了点 $K$ 既是平面 $ABC$ 的一個点, 也是平面 $ADC$ 的一個点. 這意味着点 $K$ 是這两個平面的一個公共点. 因此，点 $K$ 必然位于這两個平面的交線之上.

如前所述，该交線為直線 $AC$ . 故 $K$ 在直線 $AC$ 上, $A, C, K$ 三点共線.

證明

第五題

设三条直線為 $l_1, l_2, l_3$ . 它们两两相交, 设 $l_1 \cap l_2 = P_3$ , $l_2 \cap l_3 = P_1$ , $l_3 \cap l_1 = P_2$ .

我们需要對交点 $P_1, P_2, P_3$ 的情况進行讨論.

第一种情形：三個交点重合為一点. 即 $P_1 = P_2 = P_3$ . 设此公共点為 $O$ . 此时，三条直線 $l_1, l_2, l_3$ 都經過点 $O$ . 根据定義，這三条直線共点.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

第二种情形：三個交点不完全重合. 此时，至少有两個交点是不同的. 不失一般性，假设 $P_1 \ne P_2$ . 由于 $l_1, l_3$ 是两条相交直線 (交于 $P_2$ ), 根据本节推論, 它们确定唯一一個平面, 我们称之為 $\alpha$ . 故 $l_1 \subset \alpha$ 且 $l_3 \subset \alpha$ .

接着，我们考察直線 $l_2$ 與平面 $\alpha$ 的關係. 点 $P_1$ 是 $l_2$ 與 $l_3$ 的交点. 因為 $l_3 \subset \alpha$ , 所以 $P_1 \in \alpha$ . 点 $P_3$ 是 $l_2$ 與 $l_1$ 的交点. 因為 $l_1 \subset \alpha$ , 所以 $P_3 \in \alpha$ .

此时，直線 $l_2$ 上有两個不同的点 $P_1, P_3$ (如果 $P_1=P_3$ , 则 $l_1,l_3$ 都與 $l_2$ 交于同一点, 這会使 $l_1,l_2,l_3$ 共点, 归入第一种情形) 都在平面 $\alpha$ 内. 根据公理2，直線 $l_2$ 必在平面 $\alpha$ 内.

至此，我们證明了 $l_1, l_2, l_3$ 三条直線全部位于平面 $\alpha$ 内. 根据定義，這三条直線共面.

綜上所述，三条两两相交的直線，必然或者共点，或者共面.

證明

第六題

设這四条不同的直線為 $l_1, l_2, l_3, l_4$ .

首先，任意選取其中的三条直線，例如 $l_1, l_2, l_3$ . 根据題设，它们两两相交. 根据上一題的结論，這三条直線或者共点，或者共面.

但題设中明确指出“任意三条都不共面”. 因此，直線 $l_1, l_2, l_3$ 只能是共点. 设它们的公共点為 $O$ .

以完全相同的方式，我们考察另外三条直線 $l_1, l_2, l_4$ . 它们同样两两相交且不共面，因此它们也必然共点. 它们的公共点是 $l_1$ 與 $l_2$ 的交点, 即点 $O$ . 這意味着直線 $l_4$ 也必须經過点 $O$ .

至此，我们已經證明了 $l_1, l_2, l_3, l_4$ 這四条直線全部都經過点 $O$ . 因此，這四条直線必然共点.

證明

第七題

设 $\alpha \cap \beta = l_1$ , $\beta \cap \gamma = l_2$ , $\gamma \cap \alpha = l_3$ .

我们考察交線 $l_1$ 與 $l_3$ . $l_1 = \alpha \cap \beta \implies l_1 \subset \alpha$ . $l_3 = \gamma \cap \alpha \implies l_3 \subset \alpha$ . 故直線 $l_1, l_3$ 均在平面 $\alpha$ 内, 它们是共面直線.

根据題设，這三条交線互不平行，因此 $l_1$ 與 $l_3$ 必然相交. 设它们的交点為 $P$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

現在我们需要證明点 $P$ 同样位于第三条交線 $l_2$ 之上.

從交点 $P$ 的定義可知, $P \in l_1$ 且 $P \in l_3$ .

因為 $P \in l_1$ , 而 $l_1$ 是平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 的交線, 故 $P \in \alpha$ 且 $P \in \beta$ . 因為 $P \in l_3$ , 而 $l_3$ 是平面 $\gamma$ 和 $\alpha$ 的交線, 故 $P \in \gamma$ 且 $P \in \alpha$ .

綜合上述從属關係，我们發現点 $P$ 同时属于平面 $\beta$ 和平面 $\gamma$ .

根据公理3，若两個平面有一個公共点，则它们必交于一条通過该点的直線. 点 $P$ 是平面 $\beta$ 和 $\gamma$ 的一個公共点. 因此，点 $P$ 必然位于平面 $\beta$ 和 $\gamma$ 的交線之上.

這条交線正是 $l_2$ . 故 $P \in l_2$ .

我们證明了 $l_1$ 與 $l_3$ 的交点 $P$ 必在 $l_2$ 上, 這意味着三条交線 $l_1, l_2, l_3$ 交于同一点 $P$ . 因此，這三条交線共点.

證明

第八題

设平面 $ABC$ 為 $\pi_1$ , 平面 $A'B'C'$ 為 $\pi_2$ . 它们的交線為 $l$ . 我们的目標是證明点 $P, Q, R$ 均在直線 $l$ 上.

首先考察点 $P = AB \cap A'B'$ . 点 $P$ 在直線 $AB$ 上, 而直線 $AB$ 在平面 $ABC$ (即 $\pi_1$ ) 内, 故 $P \in \pi_1$ . 点 $P$ 在直線 $A'B'$ 上, 而直線 $A'B'$ 在平面 $A'B'C'$ (即 $\pi_2$ ) 内, 故 $P \in \pi_2$ .

因為点 $P$ 同时属于平面 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ , 所以 $P$ 必然位于這两個平面的交線 $l$ 之上.

接着，我们必须證明交点 $P$ 确实存在. $P$ 存在等价于直線 $AB$ 與 $A'B'$ 相交. 两条直線相交的充要条件是它们共面且不平行. 考察由点 $O, A, B$ 确定的平面, 记為 $\pi_{OAB}$ . 因為 $A, A'$ 都在直線 $OA$ 上, $B, B'$ 都在直線 $OB$ 上, 故 $A, B, A', B'$ 四点均在平面 $\pi_{OAB}$ 内. 因此, 直線 $AB$ 和直線 $A'B'$ 是共面直線. 只要它们不平行, 交点 $P$ 就存在. (通常題目会隐含此条件, 或可通過構型保證).

以完全對称的逻辑，我们考察点 $Q = BC \cap B'C'$ . $Q \in BC \implies Q \in \pi_1$ . $Q \in B'C' \implies Q \in \pi_2$ . 故 $Q$ 必然位于交線 $l$ 之上. 其存在性由直線 $BC$ 與 $B'C'$ 在平面 $OBC$ 内共面且不平行所保證.

最后考察点 $R = CA \cap C'A'$ . $R \in CA \implies R \in \pi_1$ . $R \in C'A' \implies R \in \pi_2$ . 故 $R$ 必然位于交線 $l$ 之上. 其存在性由直線 $CA$ 與 $C'A'$ 在平面 $OCA$ 内共面且不平行所保證.

綜上所述，三個交点 $P, Q, R$ 均位于同一条直線 $l$ (即平面 $ABC$ 與平面 $A'B'C'$ 的交線) 上, 故它们必然共線.

證明線線平行的基本策略

{/* label: sec:ch17-s02 */}

在立體几何的框架下，證明两条直線 (a, b) 相互平行（记作 (a \parallel b)）是構建空間几何關係論證的基礎. 其核心思想是将空間問題转化為平面問題，或利用更高级别的平行關係（如線面平行、面面平行）進行推導. 以下是三种核心的證明策略.

利用平行公理的传递性

理論基礎: 平行于同一直線的两条直線互相平行.

這是最直接的方法，它将空間中的平行關係溯源至平面几何的公理體係. 其逻辑是寻找一条“中間桥梁”直線 (c)，分别證明 (a \parallel c) 和 (b \parallel c)，從而根据传递性断定 (a \parallel b). 在具體應用中，這条中間直線 (c) 往往是某個辅助平面圖形（如三角形、平行四边形）的關键边或對角線.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

例

在平行六面體 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，设 (E, F) 分别是棱 (A_1B_1) 和 (C_1D_1) 的中点. 求證: (EF \parallel AD). \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

欲證 (EF \parallel AD), 一個自然的思路是寻找一条同时與 (EF) 和 (AD) 都平行的中間直線.

考察平行六面體的顶面 (A_1B_1C_1D_1). 根据平行六面體的性質，该四边形是一個平行四边形.

A_1B_1 \parallel D_1C_1 \text{且} A_1B_1 = D_1C_1

由于点 (E, F) 分别是 (A_1B_1) 和 (C_1D_1) 的中点，我们有

A_1E = \frac{1}{2} A_1B_1, D_1F = \frac{1}{2} D_1C_1

因此可得 (A_1E \parallel D_1F) 且 (A_1E = D_1F).

由此可知，四边形 (A_1EFD_1) 是一個平行四边形. 根据平行四边形的性質，其對边相互平行.

EF \parallel A_1D_1

接着，考察侧面 (ADD_1A_1). 它同样是一個平行四边形，故其對边 (AD \parallel A_1D_1).

至此，我们已經建立了两個平行關係: (EF \parallel A_1D_1) 與 (AD \parallel A_1D_1). 直線 (A_1D_1) 構成了我们所寻求的桥梁. 根据平行公理的传递性，可断定

EF \parallel AD

例

在空間四边形 (ABCD) 中，点 (E, F, G, H) 分别是边 (AB, BC, CD, DA) 的中点. 求證: (EF \parallel HG). \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

尽管四点 (A, B, C, D) 不共面，但我们可以通過構造辅助線，将空間問題置于平面几何的框架内進行考察. 连接對角線 (AC).

在 (\triangle ABC) 中, 点 (E) 是 (AB) 的中点，点 (F) 是 (BC) 的中点. 根据三角形中位線定理, (EF) 平行于第三边 (AC), 且其长度為 (AC) 的一半.

EF \parallel AC

接着, 考察由点 (A, D, C) 構成的平面 (\triangle ADC). 在此三角形中, 点 (H) 是 (DA) 的中点, 点 (G) 是 (CD) 的中点. 同样根据三角形中位線定理, 我们有

HG \parallel AC

此时, 直線 (AC) 成為了连接 (EF) 與 (HG) 平行關係的桥梁. 由 (EF \parallel AC) 和 (HG \parallel AC), 根据平行公理的传递性, 我们立即得出结論

EF \parallel HG

一個更進一步的推論是, 四边形 (EFGH) 是一個平行四边形.

例

在平行六面體 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，设 (M, N) 分别是侧面 (ADD_1A_1) 與 (BCC_1B_1) 的中心. 求證: (MN \parallel AB). \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

此問題的關键在于将作為面中心的点 (M, N) 的几何位置，通過恰当的辅助線转化為更易于处理的边中点問題.

一個平行四边形的中心是其两条對角線的交点，也是對角線的中点. 因此, 点 (M) 是對角線 (AD_1) 和 (A_1D) 的中点, 点 (N) 是對角線 (BC_1) 和 (B_1C) 的中点.

我们選取 (M) 作為 (AD_1) 的中点, (N) 作為 (BC_1) 的中点. 為了找到联係 (MN) 與 (AB) 的桥梁, 構造一個包含其中一条線段的辅助平面圖形.

设 (P) 是棱 (DC) 的中点，并连接 (AP, C_1P). 考察由 (A, B, C_1, D_1) 四点構成的空間四边形. 注意到在平行六面體中, (AB \parallel D_1C_1) 且 (AB = D_1C_1), 故 (ABC_1D_1) 是一個平行四边形. 在此平行四边形 (ABC_1D_1) 中, (M) 是對角線 (AD_1) 的中点, (N) 是對角線 (BC_1) 的中点. 连接 (AC_1). 设 (O) 為 (AC_1) 的中点. 在 (\triangle ABC_1) 中，(O, N) 分别為 (AC_1, BC_1) 的中点, 故有

ON \parallel AB

在 (\triangle AD_1C_1) 中, (O, M) 分别為 (AC_1, AD_1) 的中点, 故有

OM \parallel D_1C_1

由于 (D_1C_1 \parallel AB), 根据平行公理的传递性, 可得 (OM \parallel AB).

現在, 我们有 (ON \parallel AB) 且 (OM \parallel AB). 由于 (OM) 和 (ON) 都經過点 (O), 且平行于同一直線 (AB), 根据過直線外一点有且只有一条直線與已知直線平行的公理, 点 (M, O, N) 必然共線.

因此, 直線 (MN) 與直線 (AB) 相互平行.

利用線面平行的性質定理

理論基礎: 一条直線若與一個平面平行，则過這条直線的任意一個平面與此平面的交線，與该直線平行.

此策略是一种“降維”思想的應用. 若要證明 (a \parallel b)，我们可以構造一個包含直線 (b) 的平面 (\alpha). 接着，證明直線 (a) 與平面 (\alpha) 平行 ((a \parallel \alpha)). 最后，指出 (a) 和 (b) 均位于另一個平面 (\beta) 内, 且平面 (\beta) 與 (\alpha) 的交線恰好是 (b). 此时，根据線面平行的性質定理，必然有 (a \parallel b).

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

例

设四棱锥 (P-ABCD) 的底面是平行四边形, 点 (M, N) 分别是棱 (PA, PB) 的中点. 求證: (MN) 平行于平面 (PCD) 與平面 (ABCD) 的交線. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

首先需要明确所要證明平行的两条直線. 題目中明确指出了直線 (MN). 另一条直線是平面 (PCD) 與平面 (ABCD) 的交線.

观察圖形，平面 (PCD) 與平面 (ABCD) 共享棱 (CD), 因此它们的交線即為直線 (CD). 問題的本質是證明 (MN \parallel CD).

根据本节所介绍的策略，我们尝试證明直線 (MN) 與一個包含 (CD) 的平面平行. 一個自然的選择是平面 (PCD).

為證 (MN \parallel \text{平面 } PCD), 我们需要在平面 (PCD) 内寻找一条與 (MN) 平行的直線. 在 (\triangle PAB) 中, 由于 (M, N) 分别是 (PA, PB) 的中点, 根据三角形中位線定理, 我们有 (MN \parallel AB).

又因底面 (ABCD) 是平行四边形, 故 (AB \parallel CD). 根据平行公理的传递性, 從 (MN \parallel AB) 與 (AB \parallel CD) 可推得 (MN \parallel CD).

此时, 直線 (CD) 包含于平面 (PCD) 中, 而直線 (MN) 显然不在该平面内 (否则点 (P,A,B) 均在平面 (PCD) 内, 這與四棱锥的構造相悖). 根据直線與平面平行的判定定理, 我们断定

MN \parallel \text{平面 } PCD

至此, 准備工作已經完成. 我们要證明的直線 (MN) 與平面 (PCD) 平行.

構造一個包含 (MN) 的平面. 平面 (PAB) 即是這样一個平面. 平面 (PAB) 與我们刚刚考察的平面 (PCD) 并不相交于一条直線 (除非 (P,A,B,C,D) 共面), 因此這并非我们所需的應用场景.

我们回到最初的推導 (MN \parallel CD). 实际上, 在證明 (MN \parallel \text{平面 } PCD) 的過程中, 我们已經通過传递性證得了 (MN \parallel CD). 虽然此題可以僅用传递性解决, 但它完美地展示了运用線面平行性質定理的逻辑链条: 首先證明線面平行, 接着利用包含该線的平面與此平面相交, 從而得到線線平行的结論.

例

在三棱柱 (ABC-A_1B_1C_1) 中, 一個平面 (\beta) 與棱 (AC) 平行, 且與棱 (AB, BC, A_1B_1, B_1C_1) 分别交于点 (M, N, M_1, N_1). 求證: (MN \parallel M_1N_1). \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

欲證 (MN \parallel M_1N_1), 我们再次尝试寻找一個中間桥梁. 此題的条件并未直接给出两条線的平行關係, 而是给出了一個關键的線面平行關係: (\text{平面 } \beta \parallel AC). 這等价于 (AC \parallel \text{平面 } \beta).

注意到直線 (AC) 位于底面 (ABC) 内. 于是, 我们可以應用線面平行的性質定理. 已知直線 (AC) 與平面 (\beta) (即平面 (MNN_1M_1)) 平行. 平面 (ABC) 是一個過直線 (AC) 的平面. 该平面 (ABC) 與平面 (\beta) 的交線是直線 (MN). 根据定理, 我们必然有

MN \parallel AC

這是一個重要的中間结論. 接着, 我们将目光投向棱柱的顶面.

在三棱柱中, 底面與顶面相互平行, 故 (AC \parallel A_1C_1). 由 (AC \parallel \text{平面 } \beta) 以及 (AC \parallel A_1C_1), 可推知 (A_1C_1 \parallel \text{平面 } \beta).

現在我们重複刚才的論證過程: 已知直線 (A_1C_1) 與平面 (\beta) 平行. 平面 (A_1B_1C_1) 是一個過直線 (A_1C_1) 的平面. 该平面 (A_1B_1C_1) 與平面 (\beta) 的交線是直線 (M_1N_1). 根据同一性質定理, 必有

M_1N_1 \parallel A_1C_1

至此, 我们获得了三個平行關係: (MN \parallel AC), (M_1N_1 \parallel A_1C_1), 以及 (AC \parallel A_1C_1). 通過平行公理的传递性, 易得

MN \parallel M_1N_1

例

在一個空間四边形 (ABCD) 中, (E, F) 分别是边 (AB, AD) 的中点. 一個平面 (\alpha) 經過 (GH), 其中 (G, H) 分别是边 (BC, CD) 上的点, 且平面 (\alpha) 平行于直線 (EF). 若平面 (\alpha) 與平面 (ABD) 的交線為 (l), 求證: (l \parallel BD). \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

題目的目標是證明 (l \parallel BD). 我们分析已知条件. 核心条件是平面 (\alpha) 平行于直線 (EF), 即 (EF \parallel \alpha). 同时, 我们知道直線 (l) 的来源: (l = \text{平面 } \alpha \cap \text{平面 } ABD).

這恰好構成了應用線面平行性質定理的场景. 已知直線 (EF) 與平面 (\alpha) 平行. 直線 (EF) 包含于平面 (ABD) 之中. 根据定理, 過 (EF) 的平面 (ABD) 與平面 (\alpha) 的交線 (l) 必然與 (EF) 平行. 所以我们首先得到一個结論:

l \parallel EF

這個结論将問題從證明 (l \parallel BD) 转化為了證明 (EF \parallel BD).

后者是一個纯粹的平面几何問題. 考察 (\triangle ABD). 点 (E) 是边 (AB) 的中点, 点 (F) 是边 (AD) 的中点. 根据三角形中位線定理, (EF) 必然平行于第三边 (BD).

EF \parallel BD

最后, 结合我们得到的两個平行關係 (l \parallel EF) 和 (EF \parallel BD), 根据平行公理的传递性, 可立即断定

l \parallel BD

此題的論證過程展現了一种典型的解題模式: 首先利用線面平行的性質定理, 将空間中的平行問題转化為一個更簡單的線線平行問題, 然后在某個平面内解决這個子問題, 最后通過传递性获得最终答案.

利用面面平行的性質定理

理論基礎: 若两個平行平面同时與第三個平面相交，则它们的交線平行.

若要證明 (a \parallel b)，我们可以構造两個相互平行的平面 (\alpha) 和 (\beta)，使得直線 (a) 位于 (\alpha) 内，直線 (b) 位于 (\beta) 内. 接着，找到或構造第三個平面 (\gamma)，它同时與 (\alpha) 和 (\beta) 相交，并且其交線分别就是 (a) 和 (b). 即 (\alpha \cap \gamma = a) 且 (\beta \cap \gamma = b).

此时，根据面面平行的性質定理，必然有 (a \parallel b). 此定理也是作空間几何體截面的重要理論依据之一，当一個几何體被一係列平行平面所截时，得到的截面轮廓線中平行的边就源于此.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure}

例

在正方體 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中, 设 (M, N) 分别是棱 (A_1B_1, A_1D_1) 的中点. 一個過点 (A, M, N) 的平面 (\gamma) 與底面 (ABCD) 相交于直線 (l). 求證: (l \parallel BD). \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

欲證 (l \parallel BD), 我们的策略是利用面面平行的性質定理, 寻找两個平行平面, 并證明 (l) 和 (BD) (或其平行線) 是第三個平面與這两個平行平面的交線.

在正方體 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中, 顶面 (A_1B_1C_1D_1) 與底面 (ABCD) 相互平行. 我们称顶面為平面 (\beta), 底面為平面 (\alpha).

\alpha \parallel \beta

題目所给的平面 (\gamma) (即平面 (AMN)) 分别與這两個平面相交.

根据題设, 平面 (\gamma) 與平面 (\alpha) (底面 (ABCD)) 的交線是 (l).

l = \gamma \cap \alpha

接着, 我们考察平面 (\gamma) 與平面 (\beta) (顶面 (A_1B_1C_1D_1)) 的交線. 由于点 (M) 和 (N) 均在棱 (A_1B_1) 和 (A_1D_1) 上, 它们都位于平面 (\beta) 内. 同时, (M, N) 也位于平面 (\gamma) 内. 因此, 连接 (M, N) 的直線是這两個平面的交線.

MN = \gamma \cap \beta

至此, 我们已經满足了應用面面平行性質定理的所有条件: 两個平行平面 (\alpha, \beta) 被第三個平面 (\gamma) 所截, 交線分别為 (l) 和 (MN). 根据该定理, 我们必然有

l \parallel MN

此结論将原問題转化為證明 (MN \parallel BD).

考察顶面 (\triangle A_1B_1D_1). 由于 (M) 是 (A_1B_1) 的中点, (N) 是 (A_1D_1) 的中点, 根据三角形中位線定理, (MN) 平行于第三边 (B_1D_1), 且其长度為 (B_1D_1) 的一半.

MN \parallel B_1D_1

又因為在正方體中, 侧棱相互平行且相等, 故四边形 (BDD_1B_1) 是一個矩形, 其對边平行.

BD \parallel B_1D_1

通過平行關係的传递性, 结合 (l \parallel MN), (MN \parallel B_1D_1) 以及 (B_1D_1 \parallel BD), 我们最终得出结論

l \parallel BD

例

设有一棱锥 (P-ABCD), 其底面 (ABCD) 為平行四边形. 一個平行于底面的平面 (\alpha) 與棱 (PA, PB, PC, PD) 分别相交于点 (A', B', C', D'). 求證: 四边形 (A'B'C'D') 是一個平行四边形. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

為證明四边形 (A'B'C'D') 是平行四边形, 我们需要證明其两组對边分别平行, 即 (A'B' \parallel D'C') 且 (A'D' \parallel B'C').

首先證明 (A'B' \parallel D'C'). 根据題设, 平面 (A'B'C'D') (即平面 (\alpha)) 與底面平面 (ABCD) 平行.

\text{平面 } A'B'C'D' \parallel \text{平面 } ABCD

我们寻找一個同时與這两個平面相交的第三個平面. 侧面 (PAB) 满足此条件.

平面 (PAB) 與平面 (A'B'C'D') 的交線是 (A'B'). 平面 (PAB) 與平面 (ABCD) 的交線是 (AB). 根据面面平行的性質定理, 這两条交線必然相互平行.

A'B' \parallel AB

接着, 我们以同样的方式考察侧面 (PCD). 平面 (PCD) 與平面 (A'B'C'D') 的交線是 (D'C'). 平面 (PCD) 與平面 (ABCD) 的交線是 (DC). 再次應用该性質定理, 得到

D'C' \parallel DC

由于底面 (ABCD) 是一個平行四边形, 其對边 (AB) 與 (DC) 平行.

AB \parallel DC

綜合以上三個平行關係: (A'B' \parallel AB), (AB \parallel DC), (DC \parallel D'C'), 根据平行公理的传递性, 我们得到第一组對边的平行關係.

A'B' \parallel D'C'

完全同理, 我们可以通過考察侧面 (PAD) 與 (PBC) 来證明另一组對边的平行性.

在平面 (PAD) 中, 有 (A'D' \parallel AD). 在平面 (PBC) 中, 有 (B'C' \parallel BC). 在底面 (ABCD) 中, 有 (AD \parallel BC).

通過传递性, 可得 (A'D' \parallel B'C').

由于四边形 (A'B'C'D') 的两组對边分别平行, 故它是一個平行四边形.

例

设 (\alpha) 與 (\beta) 為两個相互平行的平面. 一条直線 (l) 與它们都相交, 交点分别為 (A \in \alpha) 和 (B \in \beta). 另有一点 (C) 在平面 (\alpha) 内. 過点 (C) 作直線 (m), 使得 (m \parallel l), 且 (m) 與平面 (\beta) 交于点 (D). 求證: (AC \parallel BD). \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

此題的證明展現了如何從線線平行關係出發, 構造出應用面面平行性質定理所需的第三個平面.

我们已知条件 (l \parallel m). 根据平行直線的定義, 两条平行直線必然共面. 设包含直線 (l) 和 (m) 的唯一平面為 (\gamma).

由于点 (A, B) 在直線 (l) 上, 点 (C, D) 在直線 (m) 上, 故此四点均位于平面 (\gamma) 内.

現在, 我们考察平面 (\gamma) 與已知的两個平行平面 (\alpha, \beta) 的關係. 已知 (\alpha \parallel \beta). 平面 (\gamma) 與平面 (\alpha) 相交. 其交線是一条包含所有公共点的直線. 点 (A) 和点 (C) 均在 (\alpha) 内, 同时也都在 (\gamma) 内, 故它们是公共点. 因此, 直線 (AC) 是平面 (\gamma) 與平面 (\alpha) 的交線.

AC = \gamma \cap \alpha

同理, 平面 (\gamma) 也與平面 (\beta) 相交. 点 (B) 和点 (D) 既在 (\beta) 内, 又在 (\gamma) 内. 因此, 直線 (BD) 是平面 (\gamma) 與平面 (\beta) 的交線.

BD = \gamma \cap \beta

我们已經清晰地構造出了定理所需的几何结構: 两個平行平面 (\alpha, \beta) 被第三個平面 (\gamma) 所截, 产生的两条交線分别是 (AC) 和 (BD).

根据面面平行的性質定理, 這两条交線必然相互平行.

AC \parallel BD

由此命題得證. 進一步观察可知, 四边形 (ACDB) 是一個平行四边形.

计算問題

在立體几何中，與平行相關的计算問題通常归结為線段长度的求解. 解决此類問題的核心策略是，首先利用上述的平行判定與性質定理，從線面平行或面面平行關係中推導出所需的線線平行關係.

一旦确定了關键的線線平行，我们便可以構造一個包含目標線段的平面圖形（如三角形或梯形）. 這样，空間中的长度计算問題就被成功地“降維”到我们所熟知的平面几何领域. 接着，便可以綜合运用平面几何中的相似圖形性質、全等圖形性質、三角函數或勾股定理等工具進行求解.

例

在一個底面為平行四边形的四棱锥 (P-ABCD) 中, 一個平行于底面的平面 (\alpha) 與棱 (PA, PB, PC, PD) 分别交于点 (E, F, G, H). 若 (PE:EA = 2:1), 且底面边长 (AB = 9), (BC = 6), 求截面四边形 (EFGH) 的周长. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

我们欲求四边形 (EFGH) 的周长, 即 (EF+FG+GH+HE) 的值. 此問題的核心在于建立截面边长與底面边长之間的定量關係.

根据題设, 截面平面 (EFGH) 與底面平面 (ABCD) 平行.

\text{平面 } EFGH \parallel \text{平面 } ABCD

這是一個應用面面平行性質定理的理想情景.

我们考察由顶点 (P) 和边 (AB) 構成的侧面 (PAB). 此平面與上述两個平行平面相交. 其與平面 (EFGH) 的交線為 (EF), 與平面 (ABCD) 的交線為 (AB). 根据定理, 此二交線必然平行.

EF \parallel AB

在 (\triangle PAB) 中, 由于 (EF \parallel AB), 故 (\triangle PEF) 與 (\triangle PAB) 相似.

\triangle PEF \sim \triangle PAB

由此可得边长的比例關係:

\frac{EF}{AB} = \frac{PE}{PA}

題目给出的条件是 (PE:EA = 2:1), 這意味着 (PA = PE+EA = 3) 份, 而 (PE = 2) 份. 故比例為

\frac{PE}{PA} = \frac{2}{3}

结合 (AB=9), 我们便可计算出 (EF) 的长度.

EF = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} \times 9 = 6

我们以完全相同的方式处理其余三边.

考察侧面 (PBC), 它是截取两個平行平面的第三個平面, 交線分别為 (FG) 與 (BC). 故 (FG \parallel BC), 且 (\triangle PFG \sim \triangle PBC). 比例關係為

\frac{FG}{BC} = \frac{PF}{PB}

注意到, 平行平面族截相交于一点的直線族所得的線段成比例. 更具體地, 在 (\triangle PAB) 中, 由 (EF \parallel AB)可知 (\frac{PF}{PB} = \frac{PE}{PA} = \frac{2}{3}). 因此

FG = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} \times 6 = 4

由于底面 (ABCD) 是平行四边形, 截面 (EFGH) 亦為平行四边形, 故 (GH = EF = 6) 且 (HE = FG = 4).

最后, 将各边长相加, 得到截面四边形 (EFGH) 的周长.

C_{EFGH} = EF + FG + GH + HE = 6 + 4 + 6 + 4 = 20

例

在长方體 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中, 已知 (AB=3), (AD=4), (AA_1=5). 点 (M, N) 分别是棱 (BB_1, DD_1) 的中点. 一個過点 (A, M, N) 的平面 (\alpha) 與棱 (CC_1) 交于点 (P). 求線段 (MP) 的长度. \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

求解線段 (MP) 的长度, 需要将它置于一個可以進行计算的平面圖形中. 這需要我们利用长方體的几何性質来建立線段之間的關係.

注意到在长方體中, 侧面 (ADD_1A_1) 與侧面 (BCC_1B_1) 相互平行.

\text{平面 } ADD_1A_1 \parallel \text{平面 } BCC_1B_1

而平面 (\alpha), 即平面 (AMN), 同时與這两個平行的侧面相交.

平面 (\alpha) 與平面 (ADD_1A_1) 的交線為直線 (AN). 平面 (\alpha) 與平面 (BCC_1B_1) 的交線為直線 (MP).

根据面面平行的性質定理, 這两条交線必然相互平行.

AN \parallel MP

以同样的方式, 我们考察长方體的前后两個侧面, 即平面 (ABB_1A_1) 與平面 (DCC_1D_1). 它们同样相互平行. 平面 (\alpha) 與它们的交線分别為 (AM) 和 (NP). 故

AM \parallel NP

一個四边形的两组對边分别平行, 那么它是一個平行四边形. 因此, 四边形 (AMNP) 是一個平行四边形. 根据平行四边形的性質, 其對边长度相等.

MP = AN

至此, 空間中的線段长度問題成功转化為一個在平面 (ADD_1A_1) 内的计算問題.

我们考察矩形 (ADD_1A_1). 在此矩形中, 我们需要计算對角線 (AN) 的长度. 由于 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 是长方體, 侧棱 (DD_1) 垂直于底面, 故 (DD_1 \perp AD). 因此 (\triangle ADN) 是一個以 (\angle D) 為直角的直角三角形.

根据題设, (AD=4). 点 (N) 是棱 (DD_1) 的中点, 且 (DD_1 = AA_1 = 5), 故 (DN = \frac{1}{2}DD_1 = \frac{5}{2}).

在 Rt(\triangle ADN) 中, 應用勾股定理:

AN^2 = AD^2 + DN^2 = 4^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2

AN^2 = 16 + \frac{25}{4} = \frac{64+25}{4} = \frac{89}{4}

于是, (AN) 的长度為

AN = \sqrt{\frac{89}{4}} = \frac{\sqrt{89}}{2}

由于 (MP = AN), 我们最终得到線段 (MP) 的长度.

MP = \frac{\sqrt{89}}{2}

空間中的平行關係

{/* label: sec:ch17-s03 */}

平行關係是欧几里得几何的基石. 在立體几何中，我们将這一概念從線線平行拓展至線面平行和面面平行，并建立起一套判定這些關係的完備理論.

直線與平面平行

在考察了直線與平面的三种位置關係之后，我们首先深入研究平行這一核心情形.一条直線與一個平面平行，直观上意味着這条直線无論如何延伸，都永远不会與该平面相遇.這一几何圖像的背后，是直線與平面作為集合，其交集為空.

直線與平面平行

若直線 $l$ 與平面 $\alpha$ 的交集為空集, 即 $l \cap \alpha = \emptyset$ , 则称直線 $l$ 與平面 $\alpha$ 平行, 记作 $l \parallel \alpha$ .

直接运用此定義来判定平行關係是極為困难的，因為它要求我们验證一個无穷集合（平面）與另一個无穷集合（直線）不存在任何公共元素.因此，建立一個有效的、具有可操作性的判定准则，是理論發展的必然要求.下面的判定定理，将這一判定過程從验證與平面内无穷多条直線的位置關係，簡化為寻找平面内的一条特定直線.

線面平行判定定理

若一個平面之外的一条直線與此平面内的某一条直線平行，则该直線與此平面平行.

證明

设直線 $l \not\subset \alpha$ , 且在平面 $\alpha$ 内存在一条直線 $m$ , 使得 $l \parallel m$ . 我们需要證明 $l \parallel \alpha$ , 即 $l \cap \alpha = \emptyset$ .

我们采用反證法.假设直線 $l$ 與平面 $\alpha$ 并不平行, 那么它们必然存在一個公共点, 记為 $P$ .

P \in l \text{且} P \in \alpha

根据平行直線的定義， $l$ 與 $m$ 共面.设此唯一确定的平面為 $\beta$ . 由于 $P \in l$ 且 $l \subset \beta$ , 可知 $P \in \beta$ . 又因為 $m \subset \alpha$ 且 $m \subset \beta$ , 這意味着直線 $m$ 是平面 $\alpha$ 與平面 $\beta$ 的一条公共直線.

此时，点 $P$ 既是 $\alpha$ 的元素, 也是 $\beta$ 的元素.故点 $P$ 必然位于這两個平面的交線之上.然而, 由于 $m$ 是 $\alpha$ 與 $\beta$ 的一条公共直線, 且两平面若相交则交于唯一一条直線（除非重合, 但此处 $l \not\subset \alpha$ 故 $\alpha, \beta$ 不重合）, 则交線必為 $m$ . 因此，点 $P$ 必然在直線 $m$ 上.

這導致了一個结論：点 $P$ 同时位于直線 $l$ 和直線 $m$ 上.這與 $l \parallel m$ 的前提（两平行線没有公共点）产生了直接的矛盾.

因此，我们最初的假设“直線 $l$ 與平面 $\alpha$ 有公共点”是錯誤的.故 $l$ 與 $\alpha$ 必无公共点, 即 $l \parallel \alpha$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：線面平行判定定理的几何直观

此判定定理是證明線面平行關係的最核心工具.它将一個空間位置關係的判定問題，成功地转化為一個寻找平面内的平行線的問題.

例

在四面體 $P-ABC$ 中, 设点 $M, N$ 分别是棱 $PA, PB$ 的中点.求證: $MN \parallel \text{平面 } ABC$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

我们的目標是證明直線 $MN$ 與平面 $ABC$ 平行.根据線面平行判定定理, 我们只需在平面 $ABC$ 内寻找到一条與 $MN$ 平行的直線即可.

考察由点 $P,A,B$ 構成的平面三角形 $\triangle PAB$ . 在此三角形中，已知点 $M, N$ 分别是边 $PA, PB$ 的中点.根据三角形中位線定理, 连接這两点的線段 $MN$ 必然平行于三角形的第三边 $AB$ .

MN \parallel AB

接着，我们审视此结論與判定定理的联係. 直線 $AB$ 显然是平面 $ABC$ 内的一条直線. 而直線 $MN$ 上的点 $M,N$ 位于棱 $PA,PB$ 上, 只要四点 $P,A,B,C$ 不共面, 直線 $MN$ 就不在平面 $ABC$ 内.

至此，我们已經满足了判定定理的所有条件：平面 $ABC$ 外的一条直線 $MN$ 與该平面内的一条直線 $AB$ 平行. 因此，我们可以断定

MN \parallel \text{平面 } ABC

在确认了線面平行的關係之后，這一關係本身又会带来什么样的几何性質？下面的性質定理揭示了這种平行结構在被其他平面截取时所表現出的规律性.

線面平行性質定理

若一条直線與一個平面平行，则經過這条直線的任意一個平面與此平面的交線，與该直線平行.

證明

设直線 $l \parallel \alpha$ .又设平面 $\beta$ 是一個包含直線 $l$ 的平面, 即 $l \subset \beta$ .并且平面 $\beta$ 與平面 $\alpha$ 相交, 交線為 $m$ , 即 $\alpha \cap \beta = m$ . 我们需要證明 $l \parallel m$ .

首先，從交線的定義可知， $m \subset \alpha$ 且 $m \subset \beta$ . 又已知 $l \subset \beta$ . 故直線 $l$ 和 $m$ 均在同一個平面 $\beta$ 内，它们是共面直線.

要證明两共面直線平行，我们只需證明它们没有公共点. 再次使用反證法.假设 $l$ 與 $m$ 有一個公共点 $Q$ . 由于 $Q \in m$ , 且 $m \subset \alpha$ , 可得 $Q \in \alpha$ . 此时点 $Q$ 同时位于直線 $l$ 與平面 $\alpha$ 之上, 這意味着 $Q$ 是 $l$ 與 $\alpha$ 的一個公共点. 這與前提条件 $l \parallel \alpha$ (即 $l$ 與 $\alpha$ 没有公共点) 直接矛盾.

因此，我们關于 $l$ 與 $m$ 存在公共点的假设是錯誤的. 作為两条共面且无公共点的直線， $l$ 與 $m$ 必然相互平行. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：線面平行性質定理的几何直观

此性質定理是利用線面平行關係進行逻辑推演和几何作圖的理論基石.它能够将空間中的平行關係“传递”到特定的平面上，從而转化為一個線線平行的問題.下面的范例展示了如何應用此定理解决問題.

例

在正方體 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, 平面 $\alpha$ 經過對角線 $BD$ 且平行于對角線 $A_1C$ . 平面 $\alpha$ 與棱 $CC_1$ 交于点 $K$ . 求證 $CK = \frac{1}{2} CC_1$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure}

證明

欲确定点 $K$ 在棱 $CC_1$ 上的精确位置，我们需要充分利用題目给出的線面平行条件.

已知条件為 $A_1C \parallel \alpha$ , 其中平面 $\alpha$ 即為平面 $BDK$ . 為利用此条件，我们需構造一個包含直線 $A_1C$ 的平面, 并考察该平面與平面 $\alpha$ 的交線.一個自然的選择是包含對角線 $A_1C$ 和 $AC$ 的對角面 $ACC_1A_1$ .

设底面對角線 $AC$ 與 $BD$ 的交点為 $O$ . 点 $O$ 在 $AC$ 上, 故 $O \in \text{平面 } ACC_1A_1$ . 点 $O$ 在 $BD$ 上, 故 $O \in \text{平面 } BDK (\alpha)$ . 点 $K$ 在 $CC_1$ 上, 故 $K \in \text{平面 } ACC_1A_1$ . 点 $K$ 本身就在平面 $\alpha$ 上.

因此，点 $O$ 和 $K$ 均為平面 $ACC_1A_1$ 與平面 $\alpha$ 的公共点.连接此两点的直線 $OK$ 即為這两個平面的交線.

現在，我们可以應用線面平行的性質定理：已知直線 $A_1C$ 平行于平面 $\alpha$ . 平面 $ACC_1A_1$ 是一個經過直線 $A_1C$ 的平面. 该平面與平面 $\alpha$ 的交線是直線 $OK$ .

根据定理，必然有

OK \parallel A_1C

此时，空間几何問題被转化到了平面 $ACC_1A_1$ 内的平面几何問題. 在 $\triangle A_1AC$ 中, $O$ 是對角線 $AC$ 的中点. 我们又已證得 $OK \parallel A_1C$ . 根据平行線分線段成比例定理的推論（或直接视作三角形中位線的逆定理）, 直線 $OK$ 必然是 $\triangle A_1AC$ 的中位線.

因此，点 $K$ 必然是边 $A_1C$ 在平面内的對應边 $CC_1$ 的中点. 故 $CK = \frac{1}{2}CC_1$ .

平面與平面平行

在欧几里得的二維世界中，两条直線若不相交，则必然平行.当我们将视界拓展至三維空間，两個平面作為二維子空間的推廣，它们的位置關係也呈現出類似的二分法：相交或平行.两個平面相互平行，意味着它们在空間中无限延伸却永不相交，如同一個理想書架上无限延伸的两個隔板.

平面與平面平行

若两個平面 $\alpha$ 與 $\beta$ 的交集為空集, 即 $\alpha \cap \beta = \emptyset$ , 则称這两個平面相互平行, 记作 $\alpha \parallel \beta$ .

與線面平行類似，直接依据定義来判定两個无限延展的平面没有公共点，在实践中是不可行的.我们需要一個從有限構造出發，能够判定整體位置關係的有力工具.

面面平行判定定理

若一個平面内有两条相交直線分别平行于另一個平面，则此二平面相互平行.

證明

设平面 $\alpha$ 内有两条相交于点 $P$ 的直線 $l_1, l_2$ , 并且已知 $l_1 \parallel \beta$ 以及 $l_2 \parallel \beta$ . 我们需要證明 $\alpha \parallel \beta$ .

我们依然采用反證法.假设平面 $\alpha$ 與平面 $\beta$ 并不平行, 那么它们必然相交于一条直線, 我们称之為 $m$ .

考察直線 $l_1$ . 我们有 $l_1 \subset \alpha$ 且 $l_1 \parallel \beta$ . 根据線面平行的性質定理, 任何包含 $l_1$ 的平面若與 $\beta$ 相交, 其交線必與 $l_1$ 平行.平面 $\alpha$ 正是這样一個平面, 故其與 $\beta$ 的交線 $m$ 必然平行于 $l_1$ .

m \parallel l_1

以完全相同的方式考察直線 $l_2$ . 我们有 $l_2 \subset \alpha$ 且 $l_2 \parallel \beta$ . 同样根据線面平行的性質定理, 交線 $m$ 也必然平行于 $l_2$ .

m \parallel l_2

至此，我们得到了两個结論: $l_1 \parallel m$ 且 $l_2 \parallel m$ . 這意味着在平面 $\alpha$ 内, 經過同一点 $P$ 的两条不同直線 $l_1, l_2$ 都平行于同一条直線 $m$ . 這违背了平面几何中的平行公理.

因此，我们最初的假设“平面 $\alpha$ 與 $\beta$ 相交”是錯誤的.故此二平面必然相互平行. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：面面平行判定定理的几何模型

面面平行一旦确立，便形成了一种非常规整的空間结構.這种结構的一個重要推論是，任何一個“截面”都会在這两個平行平面上留下平行的“痕迹”.

面面平行性質定理

若两個相互平行的平面被第三個平面所截，则它们的交線相互平行.

證明

设平面 $\alpha \parallel \beta$ . 另有第三個平面 $\gamma$ 與 $\alpha, \beta$ 分别交于直線 $l_1, l_2$ . 即 $l_1 = \alpha \cap \gamma$ 且 $l_2 = \beta \cap \gamma$ . 我们需要證明 $l_1 \parallel l_2$ .

首先，根据交線的定義，直線 $l_1$ 和 $l_2$ 均在平面 $\gamma$ 内, 故 $l_1, l_2$ 是共面直線.

其次，我们需要證明它们没有公共点. 我们再次诉诸反證法.假设 $l_1, l_2$ 有一個公共点 $P$ . 由于 $P \in l_1$ 且 $l_1 \subset \alpha$ , 可知 $P \in \alpha$ . 同理，由于 $P \in l_2$ 且 $l_2 \subset \beta$ , 可知 $P \in \beta$ .

這意味着点 $P$ 是平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 的一個公共点. 但這與我们的前提条件 $\alpha \parallel \beta$ (即两平面没有公共点) 發生了直接的矛盾.

因此，關于 $l_1, l_2$ 存在公共点的假设是錯誤的. 綜上，直線 $l_1, l_2$ 共面且无公共点，故它们必然相互平行. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：面面平行性質定理的几何模型

正如線線平行關係具有传递性一样，面面平行關係同样满足传递性.這一性質保證了空間中“平行”這一概念的整體和谐性.

平行平面的传递性

平行于同一個平面的两個平面相互平行.

證明

设平面 $\alpha \parallel \gamma$ 且平面 $\beta \parallel \gamma$ . 我们需要證明 $\alpha \parallel \beta$ .

我们使用面面平行的判定定理来證明此命題.為此，我们需要在平面 $\alpha$ 内構造两条相交直線, 并證明它们均平行于平面 $\beta$ .

在平面 $\alpha$ 内, 任意作两条相交直線 $l_1, l_2$ .

首先考察直線 $l_1$ . 因為 $l_1 \subset \alpha$ 且 $\alpha \parallel \gamma$ , 故 $l_1$ 與 $\gamma$ 没有公共点, 即 $l_1 \parallel \gamma$ . 構造一個包含 $l_1$ 的平面 $\delta_1$ , 使其與平面 $\beta$ 和 $\gamma$ 都相交.（若 $\delta_1$ 與 $\beta, \gamma$ 之一平行，可另取一個平面）. 设 $\delta_1 \cap \beta = k_1$ 且 $\delta_1 \cap \gamma = m_1$ .

由于 $\beta \parallel \gamma$ , 根据面面平行的性質定理, 可得 $k_1 \parallel m_1$ . 又由于 $\alpha \parallel \gamma$ , 在截面 $\delta_1$ 中, 同理可得 $l_1 \parallel m_1$ .

根据平行公理的传递性，從 $l_1 \parallel m_1$ 和 $k_1 \parallel m_1$ 可推得 $l_1 \parallel k_1$ . 因為 $k_1 \subset \beta$ 且 $l_1 \not\subset \beta$ (否则 $\alpha, \beta$ 相交), 根据線面平行的判定定理，我们断定

l_1 \parallel \beta

我们以完全相同的方式對直線 $l_2$ 進行論證，可以得到

l_2 \parallel \beta

現在，我们已經證明了在平面 $\alpha$ 内的两条相交直線 $l_1, l_2$ 均平行于平面 $\beta$ . 根据面面平行的判定定理，我们最终得出结論

\alpha \parallel \beta

空間中的垂直關係

{/* label: sec:ch17-s04 */}

垂直是继平行之后，欧几里得几何中又一核心概念. 它為我们提供了度量角度、距离和投影的基准.

直線與平面垂直

定義

若一条直線與一個平面内的任意一条直線都垂直，则称這条直線與這個平面互相垂直.

這是一個極强的定義. 為了实际應用，我们需要一個更易于操作的判定方法.

判定定理

若一条直線與一個平面内的两条相交直線都垂直，则该直線與此平面垂直.

證明

设直線 $l$ 與平面 $\alpha$ 内的两条相交直線 $m_1, m_2$ 都垂直, 且交点為 $O$ . 我们需要證明 $l$ 與平面 $\alpha$ 内的任意一条直線 $m$ 都垂直.

在 $l$ 上取异于 $O$ 的两点 $A, B$ 使得 $AO=BO$ . 在平面 $\alpha$ 内作任意一条不過 $O$ 点的直線, 分别交 $m_1, m_2, m$ 于 $P, Q, R$ . 连接 $AP, AQ, AR, BP, BQ, BR$ .

在 $\triangle APQ$ 與 $\triangle BPQ$ 中: 因為 $l \perp m_1$ , $l \perp m_2$ , 故 $\triangle AOP, \triangle AOQ$ 均為直角三角形. 在 Rt $\triangle AOP$ 和 Rt $\triangle BOP$ 中, $AO=BO, OP=OP$ , 故 $\triangle AOP \cong \triangle BOP$ , 得 $AP=BP$ . 同理, 在 Rt $\triangle AOQ$ 和 Rt $\triangle BOQ$ 中, $AQ=BQ$ . 又 $PQ=PQ$ , 故 $\triangle APQ \cong \triangle BPQ$ (SSS). 因此, $\angle APR = \angle BPR$ .

在 $\triangle APR$ 與 $\triangle BPR$ 中: $AP=BP, PR=PR, \angle APR = \angle BPR$ . 故 $\triangle APR \cong \triangle BPR$ (SAS). 因此, $AR=BR$ .

在 $\triangle ABR$ 中, $AR=BR$ , 且 $O$ 是 $AB$ 的中点, 故 $OR$ 是底边 $AB$ 上的中線. 因此, $OR \perp AB$ , 即 $m \perp l$ . 由于 $m$ 是平面 $\alpha$ 内的任意一条直線, 根据定義, 直線 $l$ 與平面 $\alpha$ 垂直. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：線面垂直判定定理

三垂線定理

三垂線定理及其逆定理是处理空間中垂直關係，特别是涉及斜線及其投影問題时，最為有力的工具之一.

三垂線定理

在平面内的一条直線，若它與此平面的一条斜線的射影垂直，则它也與這条斜線垂直.

證明

设 $l$ 是平面 $\alpha$ 内的一条直線, $PO$ 是平面 $\alpha$ 的一条斜線, $P'O$ 是其在 $\alpha$ 内的射影, 且 $l \perp P'O$ . 我们需要證明 $l \perp PO$ .

由射影的定義，有 $PP' \perp \alpha$ . 根据線面垂直的性質, $PP'$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的任意一条直線, 故 $PP' \perp l$ .

現在我们已知：

$l \perp P'O$ (題设)
$l \perp PP'$ (由射影定義推得)

直線 $P'O$ 與 $PP'$ 是平面 $PP'O$ 内的两条相交直線. 根据線面垂直的判定定理, 若一条直線與一個平面内的两条相交直線都垂直，则该直線與此平面垂直. 因此, 直線 $l$ 垂直于平面 $PP'O$ .

最后, 根据線面垂直的性質, 若一条直線與一個平面垂直，则它與该平面内的任意一条直線都垂直. 直線 $PO$ 在平面 $PP'O$ 内, 故 $l \perp PO$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：三垂線定理

平面與平面垂直

定義

若两個相交平面所成的二面角是直二面角，则称這两個平面互相垂直.

這一定義依赖于二面角的概念. 一個更直接的判定方法如下：

判定定理

若一個平面經過另一個平面的一条垂線，则這两個平面互相垂直.

證明

设平面 $\beta$ 經過平面 $\alpha$ 的一条垂線 $l$ . 设 $\alpha \cap \beta = m$ . 我们需要證明 $\alpha \perp \beta$ .

设 $l \cap \alpha = O$ . 则 $O$ 点必在交線 $m$ 上. 在平面 $\alpha$ 内作直線 $n$ , 使得 $n \perp m$ 于点 $O$ .

因為 $l \perp \alpha$ , 根据線面垂直的性質, $l$ 與 $\alpha$ 内的任意直線都垂直. 故 $l \perp m$ 且 $l \perp n$ .

角 $\angle(l,n)$ 是两平面所成二面角的平面角. 由于 $l \perp n$ , 该平面角為 $90^\circ$ . 根据定義，两平面互相垂直. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：面面垂直判定定理

性質定理

若两個平面互相垂直，则在一個平面内垂直于它们交線的直線垂直于另一個平面.

證明

设 $\alpha \perp \beta$ , 且 $\alpha \cap \beta = m$ . 设直線 $l \subset \alpha$ 且 $l \perp m$ 于点 $O$ . 我们需要證明 $l \perp \beta$ .

在平面 $\beta$ 内作直線 $n$ , 使得 $n \perp m$ 于点 $O$ . 因為 $\alpha \perp \beta$ , 故由 $l,n$ 所構成的二面角的平面角為 $90^\circ$ , 即 $l \perp n$ .

我们現在已知：

$l \perp m$ (題设)
$l \perp n$ (由面面垂直定義推得)

直線 $m, n$ 是平面 $\beta$ 内的两条相交直線. 根据線面垂直的判定定理, 直線 $l$ 垂直于平面 $\beta$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：面面垂直性質定理

基本公理與空間元素​

公理的推論​

空間中直線與平面的位置關係​

直線與直線的位置關係​

直線與平面的位置關係​

平面與平面的位置關係​

本节習題​

習題解析​

證明線線平行的基本策略​

利用平行公理的传递性​

利用線面平行的性質定理​

利用面面平行的性質定理​

计算問題​

空間中的平行關係​

直線與平面平行​

平面與平面平行​

空間中的垂直關係​

直線與平面垂直​

三垂線定理​

平面與平面垂直​

留言

基本公理與空間元素

公理的推論

空間中直線與平面的位置關係

直線與直線的位置關係

直線與平面的位置關係

平面與平面的位置關係

本节習題

習題解析

證明線線平行的基本策略

利用平行公理的传递性

利用線面平行的性質定理

利用面面平行的性質定理

计算問題

空間中的平行關係

直線與平面平行

平面與平面平行

空間中的垂直關係

直線與平面垂直

三垂線定理

平面與平面垂直