ch19-簡單的積分

{/* label: chap:ch19 */}

原函數與不定積分

{/* label: sec:ch19-s01 */}

在微分學的研究中，我们關注的核心問題是：给定一個函數 $F(x)$ , 如何求出其導函數 $f(x)=F'(x)$ ？這個過程赋予我们一种從“总量”描述其“瞬时變化率”的能力. 接着，我们自然地转向其逆問題. 假设已知一個代表“變化率”的函數 $f(x)$ , 我们能否反向追溯, 寻找到一個其導數恰好是 $f(x)$ 的原初函數 $F(x)$ ？這個問題，即求導运算的逆运算，構成了積分學理論的起点.

原函數的概念與结構

原函數

如果在区間 $I$ 上, 可導函數 $F(x)$ 的導函數為 $f(x)$ , 即對于任意 $x \in I$ ，都有

F'(x) = f(x)

那么，我们称函數 $F(x)$ 為 $f(x)$ 在区間 $I$ 上的一個原函數.

寻找原函數的過程，在本質上是求解最基本的一類微分方程 $y' = f(x)$ .

一個自然的問題是：原函數是否唯一？不难發現，對于任意常數 $C$ , 函數 $F(x)+C$ 的導數都是 $f(x)$ . 這表明，一個函數的原函數若存在，则必然存在无穷多個，構成一個函數族.

更深刻的問題是：一個函數的所有原函數是否都具有這种僅相差一個常數的形式？下面的定理给出了肯定的回答，但其成立的背后，定義域的拓扑性質——即区間的连通性——至關重要.

原函數的结構

若函數 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在一個区間 $I$ 上的一個原函數, 则 $f(x)$ 在该区間上的任意其他原函數 $G(x)$ 必定具有形式 $G(x) = F(x) + C$ , 其中 $C$ 為某個常數.

證明

设 $F(x)$ 和 $G(x)$ 是 $f(x)$ 在区間 $I$ 上的任意两個原函數. 根据定義，我们有 $F'(x)=f(x)$ 以及 $G'(x)=f(x)$ . 構造一個新的辅助函數 $\Phi(x) = G(x) - F(x)$ . 對 $\Phi(x)$ 求導，我们得到

\Phi'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0

對于区間 $I$ 内的任意 $x$ 都成立. 我们在導數的章节中已經證明 (作為拉格朗日中值定理的一個重要推論)，如果一個函數在一個连通的区間上的導數恒為零，那么這個函數在该区間上必然是一個常數函數. 因此，存在一個常數 $C$ , 使得對所有 $x \in I$ 都有 $\Phi(x) = C$ . 即 $G(x) - F(x) = C$ , 或 $G(x) = F(x) + C$ .

必须强调定理中“区間”這一前提. 若函數的定義域并非單個连通的区間，而是多個不相交区間的并集，则在每個独立的区間上，任意两個原函數之間的差可以是不同的常數. 例如，考虑函數 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ , 其定義域為 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ . 其一個原函數是 $F(x)=-\frac{1}{x}$ . 那么， $G(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x} + 2 & x \> 0 \\ -\frac{1}{x} - 5 & x \< 0 \end{cases}$ 也是 $f(x)$ 的原函數，但两個原函數之差在整個定義域上并非同一個常數.

不定積分

為了係统地表示一個函數的“全體原函數”，我们引入不定積分的记号.

不定積分

函數 $f(x)$ 在区間 $I$ 上的全體原函數所構成的集合, 称為 $f(x)$ 在 $I$ 上的不定積分，记作

\int f(x) \, dx

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一個原函數，那么我们寫出

\int f(x) \, dx = F(x) + C

這里的 $C$ 被称為積分常數，它代表了函數族中所有可能的常數項.

從算子的角度看，微分算子 $\frac{d}{dx}$ 與積分算子 $\int (\cdot) \, dx$ 是一對互逆的線性算子.

\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} (F(x)+C) = f(x)

這表明微分是積分的“左逆”.

\int \left(\frac{d}{dx} F(x)\right) \, dx = \int F'(x) \, dx = F(x) + C

這表明積分是微分的“右逆”，其结果與原函數相差一個常數，反映了微分运算会丢失常數信息.

几何上，微分方程 $y'=f(x)$ 在平面上定義了一個方向场 (或称斜率场), 它在每一点 $(x_0, y_0)$ 指定了一個斜率 $f(x_0)$ . 而不定積分 $y=F(x)+C$ 所代表的積分曲線族，正是穿過這個方向场、并且其每点切線都與该点场方向完全吻合的曲線集合.

{/* latex-label: fig:slope-field */} \begin{figure}[htbp]

{y'=2x} 的方向场與積分曲線族 \texorpdfstring{ $y=x^2+C$ }{y=x^2+C}}

\end{figure} 圖：微分方程 \texorpdfstring{ $y'=2x$

原函數的存在性

我们已經定義了原函數，但并未讨論其存在的条件. 一個函數是否必然拥有原函數？答案是否定的. 然而，微積分的一個基石性结論 (微積分基本定理的第一部分) 保證了以下事实：

原函數存在定理

若函數 $f(x)$ 在区間 $I$ 上连續, 则 $f(x)$ 在该区間上必存在原函數.

這個定理極為深刻，它将函數的分析性質 (连續性) 與積分运算的可能性直接联係起来. 它确保了我们對所有遇到的连續函數谈論其不定積分都是有意義的.

然而，存在性與能否用我们熟悉的函數形式表达出来，是两個截然不同的問題. 我们熟悉的函數，如多項式、有理函數、指數、對數、三角函數及其反函數，以及由它们經過有限次四则运算和複合得到的函數，统称為初等函數. 一個自然的問題是：一個初等函數的原函數是否也必定是初等函數？答案出人意料，同样是否定的. 事实上，大量的“簡單”初等函數，其原函數无法用初等函數表示. 這揭示了積分运算與微分运算的一個根本性不對称：初等函數的導數必為初等函數，反之则不然. 以下是一些著名的例子，它们的積分在各自的领域中定義了重要的“特殊函數”：

$\displaystyle \int e^{-x^2} \, dx$ (高斯積分的被積函數，其原函數與誤差函數 erf(x) 相關)
$\displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, dx$ (正弦積分 Si(x))
$\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} \, dx$ (對數積分 Li(x)，在數論中至關重要)
$\displaystyle \int \sqrt{1-k^2\sin^2 x} \, dx$ (第二類椭圓積分)

這一事实表明，我们通過基本積分公式和各种技巧能够“解出”的積分，僅僅是全部可積函數中的沧海一粟. 它也從根本上阐明了為何數值積分方法和特殊函數理論在科學與工程中不可或缺.

不定積分

{/* label: sec:ch19-s02 */}

我们已經确立，一個给定函數 $f(x)$ 的所有原函數構成了一個函數族 $F(x)+C$ . 為係统地研究和表示這個函數族，我们引入不定積分的概念.這不僅是一套符号，更是一种數學结構，它将求導的逆运算形式化，并揭示了其内在的代數性質.

不定積分的表示法與代數结構

不定積分

函數 $f(x)$ 在区間 $I$ 上的全體原函數所構成的集合, 称為 $f(x)$ 在 $I$ 上的不定積分，记作

\int f(x) \, dx

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一個原函數，那么我们寫出

\int f(x) \, dx = F(x) + C

莱布尼茨引入的積分符号 $\int f(x) \, dx$ 具有深刻的内涵. 積分号 $\int$ 是字母 S 的拉长, 代表“求和”(Summa), 這預示了不定積分與定積分（黎曼和的極限）之間的深刻联係. 而被積表达式 $f(x)dx$ 则暗示了變量的微分 $dx$ 在运算中的重要地位，這為我们后續學習換元積分法提供了直观的引導.

與導數算子 $\frac{d}{dx}$ 類似, 不定積分算子 $\int(\cdot)dx$ 也具有优良的代數结構，即線性性.

不定積分的線性性質

若函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函數都存在, $k$ 為非零常數，则

齐次性: $\displaystyle \int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$
可加性: $\displaystyle \int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

證明

此定理的證明根植于微分算子的線性性. 我们知道 $\frac{d}{dx}$ 是一個線性算子. 作為其逆运算的積分算子，理應继承這种線性结構.

為證齐次性，我们對右式求導：

\frac{d}{dx} \left( k \int f(x) \, dx \right) = k \frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = k f(x)

由于右式的導數是被積函數 $kf(x)$ ，根据不定積分的定義，该法则成立.

為證可加性，我们同样對右式求導：

\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx}\left( \int f(x) \, dx \right) + \frac{d}{dx}\left( \int g(x) \, dx \right) = f(x) + g(x)

由于右式的導數是被積函數 $f(x)+g(x)$ ，该法则成立.

這個定理意義重大，它表明在函數空間中，不定積分是一個線性算子. 這允许我们将複杂函數的積分問題分解為若干個簡單函數積分的線性组合，是進行積分计算的根本法则.

基本積分表

既然積分是微分的逆运算，那么我们已經掌握的每一個求導公式，反向审视，都對應着一条積分公式. 這些基本公式構成了我们求解更複杂積分問題的“辞典”.

\paragraph{幂函數與對數函數} 幂函數求導法则 $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ 是我们最熟悉的法则之一. 為将其逆转以求 $\int x^n dx$ , 我们需要寻找一個函數, 其導數恰為 $x^n$ . 注意到 $\left(x^{n+1}\right)' = (n+1)x^n$ . 為抵消係數 $n+1$ , 我们構造 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ , 其導數為 $\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = x^n$ . 此推導要求分母 $n+1 \neq 0$ , 即 $n \neq -1$ .

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (n \in \mathbb{R}, n \neq -1)

幂函數積分公式中 $n=-1$ 的情况構成了一個独特的缺口. $\int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx$ 的答案并非来自幂函數族，而是由一個全新的超越函數——自然對數函數——来填补. 我们已知当 $x\>0$ 时, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ . 当 $x\<0$ 时, $-x \> 0$ , 函數 $\ln(-x)$ 有定義. 根据链式法则, $(\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$ . 這表明，无論 $x$ 在哪個半轴, $\frac{1}{x}$ 的原函數都與對數相關. 為统一表达，我们引入绝對值.

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

\begin{figure}[htbp]

{ln|x|} 作為 \texorpdfstring{ $\frac{1}{x}$ }{1/x} 在其整個定義域上的原函數} \end{figure} 圖：函數 \texorpdfstring{ $\ln|x|$

\paragraph{指數與三角函數} 指數函數 $e^x$ 在微積分中因其導數的不變性而地位特殊, 這一性質也完美地延續到了積分中. 對于一般底數的指數函數 $a^x$ , 求導时产生的 $\ln a$ 因子，在積分时需要被抵消. 三角函數的積分公式同样是其導數關係的直接逆转，需特别注意符号的變化.

\begin{aligned} \int e^x \, dx &= e^x + C \int a^x \, dx &= \frac{a^x}{\ln a} + C (a\>0, a\neq 1) \int \cos x \, dx &= \sin x + C \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \int \sec^2 x \, dx &= \tan x + C \int \csc^2 x \, dx &= -\cot x + C \end{aligned}

基本不定積分表

\begin{multicols}{2}

$\displaystyle \int 0 \, dx = C$
$\displaystyle \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (n \neq -1)$
$\displaystyle \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
$\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C$
$\displaystyle \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
$\displaystyle \int \cos x \, dx = \sin x + C$
$\displaystyle \int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$\displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$\displaystyle \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

\end{multicols}

積分技巧

在实际問題中，很少有被積函數能直接與基本積分表中的某一項完全對應. 求解積分的真正挑战與艺术，在于如何通過代數或三角恒等變換，将被積函數化归為基本形式的線性组合.

例

求不定積分 $\displaystyle \int (4x^3 - \frac{3}{\sqrt{x}} + 2e^x) \, dx$ .

解

首要任务是将所有項改寫為標准幂函數或指數函數形式.

\text{被積函數} = 4x^3 - 3x^{-1/2} + 2e^x

接着，运用線性性質逐項積分.

\begin{aligned} \int \left( 4x^3 - 3x^{-1/2} + 2e^x \right) \, dx &= 4\int x^3 \, dx - 3\int x^{-1/2} \, dx + 2\int e^x \, dx &= 4 \left( \frac{x^4}{4} \right) - 3 \left( \frac{x^{1/2}}{1/2} \right) + 2e^x + C &= x^4 - 6\sqrt{x} + 2e^x + C \end{aligned}

我们只需在最终结果处添加一個总的積分常數 $C$ 即可.

例

求不定積分 $\displaystyle \int \frac{(x-1)^2}{x\sqrt{x}} \, dx$ .

解

被積函數形式複杂，直接積分无從下手. 策略是先進行代數展開與化簡，将其转化為幂函數的和差.

\begin{aligned} \frac{(x-1)^2}{x\sqrt{x}} &= \frac{x^2-2x+1}{x^{3/2}} &= \frac{x^2}{x^{3/2}} - \frac{2x}{x^{3/2}} + \frac{1}{x^{3/2}} &= x^{1/2} - 2x^{-1/2} + x^{-3/2} \end{aligned}

化簡之后，積分問題迎刃而解.

\begin{aligned} \int (x^{1/2} - 2x^{-1/2} + x^{-3/2}) \, dx &= \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2\frac{x^{1/2}}{1/2} + \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C &= \frac{2}{3}x^{3/2} - 4x^{1/2} - 2x^{-1/2} + C &= \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} + C \end{aligned}

例

求不定積分 $\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$ .

解

函數 $\tan^2 x$ 并不在我们的基本積分表中. 然而，它可以通過三角恒等式與表中的一項建立联係. 我们回忆勾股恒等式 $1+\tan^2 x = \sec^2 x$ . 由此可得 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ . 這個變換是解决問題的關键，因為它将未知的積分转化為了已知的積分.

\begin{aligned} \int \tan^2 x \, dx &= \int (\sec^2 x - 1) \, dx &= \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx &= \tan x - x + C \end{aligned}

換元積分法

{/* label: sec:ch19-s03 */}

我们現有的工具，即基本積分公式和線性运算法则，使我们能够對基本函數的和與差進行積分.然而，這套工具在面對複合函數时则显得无能為力.例如，我们能够求解 $\int \cos x \, dx$ , 但面對 $\int \cos(2x) \, dx$ 却束手无策；我们可以求解 $\int \sqrt{x} \, dx$ , 但對于 $\int 2x\sqrt{x^2+1} \, dx$ 却感到棘手.

這些“更複杂”的被積函數并非凭空出現，它们往往具有一個共同的结構特征：它们看起来像是一個複合函數經過链式法则求導后的产物.這提示我们，解决複合函數積分問題的钥匙，必然隐藏在微分學的链式法则之中.

让我们重新审视链式法则：

\frac{d}{dx} [F(g(x))] = F'(g(x)) \cdot g'(x)

如果我们對這個等式的两边同时進行不定積分，根据微分與積分的互逆關係，我们会得到：

\int F'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C

這個恒等式是換元積分法的理論核心.它揭示了一個深刻的模式：如果一個被積函數可以被识别為一個“外层函數”的導數 $F'$ 作用于一個“内层函數” $g(x)$ , 再乘以這個“内层函數”自身的導數 $g'(x)$ 的形式, 那么它的積分结果就是那個“外层函數”的原函數 $F$ 作用于“内层函數” $g(x)$ .

為了係统地利用這一模式，我们引入一种形式上的變量替換，即令 $u = g(x)$ . 這种“變量替換”的技巧, 就是所谓的換元積分法, 它在積分运算中的地位, 完全等同于链式法则在微分运算中的地位.它分為两种战略方向：第一類換元法通過 $u = g(x)$ 将複杂结構“收缩”為簡單形式；第二類換元法通過 $x = \phi(t)$ 将變量“展開”為一個函數，以期簡化被積函數的内在结構.

第一類換元法 (凑微分法)

第一類換元法的策略是“由内向外”识别结構. 我们的目標是在被積函數中辨认出 $f(g(x))g'(x)$ 的形式, 然后通過替換 $u=g(x)$ 将其转化為更易处理的 $\int f(u)du$ .

第一類換元積分法则

设函數 $f(u)$ 具有原函數 $F(u)$ , 即 $\int f(u) \, du = F(u)+C$ . 如果 $u=g(x)$ 是一個可導函數，那么我们有

\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F(g(x)) + C

證明

欲證明 $\int f(g(x)) g'(x) \, dx = F(g(x)) + C$ , 根据不定積分的定義, 我们只需验證等式右侧的函數 $F(g(x)) + C$ 是否為等式左侧被積函數 $f(g(x)) g'(x)$ 的一個原函數.

換言之，我们的目標是證明：

\frac{d}{dx} [F(g(x)) + C] = f(g(x)) g'(x)

我们對函數 $F(g(x)) + C$ 關于 $x$ 進行求導. 這是一個複合函數求導的問題. 注意到 $F(g(x))$ 是由外层函數 $F(u)$ 和内层函數 $u=g(x)$ 複合而成. 根据微分學的链式法则, 我们有

\frac{d}{dx} F(g(x)) = \frac{dF}{du} \cdot \frac{du}{dx}

根据定理的假设，函數 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的原函數，這意味着

\frac{dF}{du} = F'(u) = f(u)

同时，我们已知 $u=g(x)$ , 故

\frac{du}{dx} = g'(x)

将這两個结果代入链式法则的表达式，得到

\frac{d}{dx} F(g(x)) = f(u) \cdot g'(x)

将 $u=g(x)$ 回代，我们有

\frac{d}{dx} F(g(x)) = f(g(x)) g'(x)

接着，我们考虑整個表达式 $F(g(x))+C$ 的導數. 由于常數的導數為零,

\frac{d}{dx} [F(g(x)) + C] = \frac{d}{dx} F(g(x)) + \frac{d}{dx}(C) = f(g(x)) g'(x) + 0 = f(g(x)) g'(x)

這表明函數 $F(g(x))$ 确实是被積函數 $f(g(x))g'(x)$ 的一個原函數. 因此，根据不定積分的定義，

\int f(g(x)) g'(x) \, dx = F(g(x)) + C

再结合假设 $\int f(u)du = F(u)+C$ , 并将 $u=g(x)$ 代入，定理得證.

在实际操作中，我们将莱布尼茨的微分符号 $du = g'(x)dx$ 作為一個形式上的整體来進行替換. 這种将微分 $dx$ 视為可分离、可组合的代數实體的做法，虽然在严格的分析基礎上需要更深的理論支撑（微分形式），但在计算层面是一种極為有效且直观的启發式工具.

第一類換元法战略思想

识别结構. 审视被積函數，尝试寻找一個複合函數的"内层" $u=g(x)$ , 其導數 $g'(x)$ (或其常數倍) 也在被積表达式中作為因子出現.
換元.

声明替換 $u=g(x)$ , 并计算其微分 $du = g'(x)dx$ .
将被積表达式中所有與 $x$ 相關的部分完全替換為關于 $u$ 和 $du$ 的表达式. 積分 $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$ 此时應转化為更簡洁的 $\int f(u) \, du$ . 這個過程也常被称為"凑微分".

求解新積分. 對關于 $u$ 的新積分進行求解. 這一步通常可以直接套用基本積分公式.
回代. 将積分结果中的變量 $u$ 替換回原来的表达式 $g(x)$ , 确保最终答案是關于 $x$ 的函數.

例

求不定積分 $\displaystyle \int 2x\sqrt{x^2+1} \, dx$ .

解

被積函數中呈現出一個複合结構 $\sqrt{x^2+1}$ . 我们识别出其“内层”函數為 $u=x^2+1$ . 接着，我们立即檢验其微分： $du = (x^2+1)' dx = 2x \, dx$ . 這個微分 $2x \, dx$ 恰好是原被積表达式中剩下的部分.這是一個完美的換元结構.

令 $u = x^2+1$ , 则 $du = 2x \, dx$ . 我们将原積分中的部分進行整體替換：

\int \underbrace{\sqrt{x^2+1}}_{\sqrt{u}} \underbrace{2x \, dx}_{du}

原積分在 $u$ 變量下转化為

\int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du

應用幂函數積分公式：

\frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C

最后，将 $u=x^2+1$ 代回结果：

\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C

例

求不定積分 $\displaystyle \int \tan x \, dx$ .

解

$\tan x$ 并不在我们的基本積分公式表中. 為了求解，我们必须将其改寫為更基本的形式，以期揭示其内在的複合结構.

\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx

在這個分式形式中，我们可以将分母视為内层函數 $u=\cos x$ . 其微分為 $du = (\cos x)' dx = -\sin x \, dx$ . 這與分子 $\sin x \, dx$ 只相差一個常數因子 $-1$ . 我们可以通過凑微分来匹配它.

\sin x \, dx = -du

于是原積分转化為

\int \frac{1}{\underbrace{\cos x}_{u}} \underbrace{(\sin x \, dx)}_{-du} = \int \frac{-1}{u} \, du = - \int \frac{1}{u} \, du

- \ln|u| + C

回代 $u=\cos x$ ，得到

- \ln|\cos x| + C

利用對數性質，這個结果也可以寫成 $\ln|\cos x|^{-1} + C = \ln|\sec x| + C$ .

第二類換元法

第一類換元法的策略是令 $u=g(x)$ , 将被積函數向標准形式“收缩”. 而第二類換元法则反其道而行之, 它通過令 $x=\phi(t)$ , 将被積函數進行“擴张”和“變形”. 這种方法的目標是, 選择一個巧妙的函數 $\phi(t)$ , 使得原先棘手的被積函數（尤其是含有根式的）, 在新的變量 $t$ 下，能够利用代數或三角恒等式得到根本性的簡化，從而达到“有理化”或消除複杂结構的目的.

這种方法最典型的應用场景是处理含有二次根式的積分，特别是形如 $\sqrt{a^2-x^2}$ , $\sqrt{a^2+x^2}$ 和 $\sqrt{x^2-a^2}$ 的被積函數. 這些根式结構與勾股定理以及三角函數的基本恒等式有着惊人的同構性：

$\sqrt{a^2-x^2} \longleftrightarrow$ 直角边 $\sqrt{c^2-b^2} \longleftrightarrow \cos t = \sqrt{1-\sin^2 t}$
$\sqrt{a^2+x^2} \longleftrightarrow$ 斜边 $\sqrt{b^2+c^2} \longleftrightarrow \sec t = \sqrt{1+\tan^2 t}$
$\sqrt{x^2-a^2} \longleftrightarrow$ 直角边 $\sqrt{c^2-b^2} \longleftrightarrow \tan t = \sqrt{\sec^2 t - 1}$

利用這些联想，我们通過引入三角函數作為新的變量，来彻底消除根号，将一個複杂的无理函數積分問題，转化為一個相對簡單的有理三角函數積分問題. 這就是三角換元法的精髓.

三角換元的操作策略

根据被積函數中根式的不同形式，我们采用三种標准化的替換策略.

三角換元法则

**若含 $\sqrt{a^2-x^2**$ ( $a\>0$ ):} 令 $x = a\sin t$ , 其中 $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ . 此时 $dx = a\cos t \, dt$ . 根式化為 $\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t} = a\sqrt{\cos^2 t} = a|\cos t|$ . 由于 $t$ 的取值范围保證了 $\cos t \ge 0$ , 故 $\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$ .
**若含 $\sqrt{a^2+x^2**$ ( $a\>0$ ):} 令 $x = a\tan t$ , 其中 $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ . 此时 $dx = a\sec^2 t \, dt$ . 根式化為 $\sqrt{a^2+a^2\tan^2 t} = a\sqrt{\sec^2 t} = a|\sec t|$ . 由于 $t$ 的取值范围保證了 $\sec t \> 0$ , 故 $\sqrt{a^2+x^2} = a\sec t$ .
**若含 $\sqrt{x^2-a^2**$ ( $a\>0$ ):} 令 $x = a\sec t$ , 其中 $t \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ . 此时 $dx = a\sec t \tan t \, dt$ . 根式化為 $\sqrt{a^2\sec^2 t - a^2} = a\sqrt{\tan^2 t} = a|\tan t|$ . 在所選的 $t$ 定義域内, 通過選取合适的象限可保證 $\tan t$ 的符号，從而去掉绝對值.

核心思想: 通過精巧的變量代換，利用三角恒等式 $1-\sin^2 t=\cos^2 t$ , $1+\tan^2 t=\sec^2 t$ 或 $\sec^2 t-1=\tan^2 t$ 来完成"開方"运算，從而使被積函數有理化.

例

求不定積分 $\displaystyle \int \frac{1}{(x^2+9)^{3/2}} \, dx$ .

解

被積函數含有 $(x^2+9)^{3/2} = (\sqrt{x^2+9})^3$ , 其核心是 $\sqrt{x^2+a^2}$ 的形式, 其中 $a=3$ . 我们采用第二類三角換元. 令 $x = 3\tan t$ , $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ .

则 $dx = 3\sec^2 t \, dt$ . 根式部分 $\sqrt{x^2+9} = \sqrt{9\tan^2 t + 9} = 3\sec t$ . 因此， $(x^2+9)^{3/2} = (3\sec t)^3 = 27\sec^3 t$ . 代入原積分：

\begin{aligned} \int \frac{1}{27\sec^3 t} \cdot (3\sec^2 t \, dt) &= \frac{3}{27} \int \frac{\sec^2 t}{\sec^3 t} \, dt &= \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sec t} \, dt = \frac{1}{9} \int \cos t \, dt \end{aligned}

積分在 $t$ 變量下變得極其簡單：

\frac{1}{9} \sin t + C

最后一步，也是至關重要的一步，是将结果從 $t$ 域转換回 $x$ 域. 我们根据換元關係 $x=3\tan t$ , 即 $\tan t = \frac{x}{3}$ , 構造一個辅助直角三角形来几何化此關係. \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 根据 $\tan t = \frac{\text{對边}}{\text{邻边}} = \frac{x}{3}$ , 我们画出如上三角形. 由勾股定理，斜边长為 $\sqrt{x^2+3^2} = \sqrt{x^2+9}$ . 從這個三角形中，我们可以直接讀出所有 $t$ 的三角函數值，例如

\sin t = \frac{\text{對边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}

将此表达式代回積分结果：

\frac{1}{9} \frac{x}{\sqrt{x^2+9}} + C

分部積分法

{/* label: sec:ch19-s04 */}

我们已經掌握了不定積分的線性性質，它允许我们处理函數和與差的積分. 然而，在面對两個函數乘積的積分时，線性法则便无能為力. 一個自然的疑問是：微分學中的乘法法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 在積分學中是否存在一個對應的结構？答案是肯定的，而這個對應物并非一個簡單的公式，而是一种深刻的转化策略，這便是分部積分法.

其思想的根源，正在于對乘法法则的逆向應用. 我们從两個可導函數 $u=u(x)$ 與 $v=v(x)$ 的乘積的導數法则出發：

\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

這是一個關于函數及其導數的恒等式. 根据微積分基本定理的推論，等式两边函數的原函數族必然只相差一個常數. 于是我们對该恒等式两边同时取不定積分：

\int \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] \, dx = \int u'(x)v(x) \, dx + \int u(x)v'(x) \, dx

等式左边，積分與微分互為逆运算，因此结果就是原函數本身.

u(x)v(x) = \int u'(x)v(x) \, dx + \int u(x)v'(x) \, dx

通過簡單的移項，我们便能用一個積分来表达另一個積分，這揭示了一种转化關係：

\int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x) \, dx

為了计算上的便利與形式上的优雅，我们采用莱布尼茨的微分记号，令 $du = u'(x)dx$ 以及 $dv = v'(x)dx$ .

分部積分法

若函數 $u(x)$ 與 $v(x)$ 均可導, 且不定積分 $\int v(x)u'(x) \, dx$ 存在, 则 $\int u(x)v'(x) \, dx$ 也存在，并且

\int u \, dv = uv - \int v \, du

分部積分法的本質，并非直接“求出”積分，而是一种積分的變換. 它将计算 $\int u \, dv$ 的問題, 转化為了计算 $\int v \, du$ 的問題. 這种變換的价值在于, 它将作用在 $v$ 上的微分算子“转移”到了 $u$ 上. 如果這個转移過程能使新的被積函數 $v \, du$ 比原来的 $u \, dv$ 更易于積分，那么我们的策略就成功了.

分部積分法的策略核心

将被積表达式 $f(x)dx$ 分解為 $u$ 和 $dv$ 两部分时，必须進行战略性权衡. 一個成功的分解遵循以下原则：

簡化原则. 所選取的 $u$ 在微分后得到的 $du$ 應当是形式上更簡單的函數. 多項式函數是這一原则的典型受益者，其次數每經過一次微分便降低一階.
可積原则. 所選取的 $dv$ 必须是能够被直接積分以求得 $v$ 的. 若 $v$ 本身无法求出，则该方法无法继續.

例

求不定積分 $\displaystyle \int x e^x \, dx$ .

解

被積函數是多項式 $x$ 與指數函數 $e^x$ 的乘積. 為利用分部積分法簡化積分，我们選择對多項式部分進行微分以降幂. 令 $u=x$ 且 $dv=e^x dx$ . 由此可得 $du=dx$ 且 $v = \int e^x dx = e^x$ . 根据分部積分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ ，我们有

\begin{aligned} \int x e^x \, dx &= x e^x - \int e^x \, dx &= x e^x - e^x + C \end{aligned}

我们成功地将原積分转化為了一個可以直接求解的基本積分.

例

求不定積分 $\displaystyle \int \ln x \, dx$ .

解

此被積函數初看并非乘積形式. 然而，我们可以巧妙地将其视為 $\ln x \cdot 1$ 的乘積，從而為分部積分法的應用创造条件. 若令 $u=1, dv = \ln x dx$ , 则求解 $v=\int\ln x dx$ 正是原問題，此路不通. 因此，我们必须選择 $u = \ln x$ , 因為其導數 $\frac{1}{x}$ 是一個代數函數，形式上更為簡單.

令 $u = \ln x$ 且 $dv = 1 \cdot dx$ . 進行微分與積分，得到 $du = \frac{1}{x} dx$ 且 $v = x$ . 應用分部積分公式，

\begin{aligned} \int \ln x \, dx &= (\ln x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx &= x \ln x - \int 1 \, dx &= x \ln x - x + C \end{aligned}

例

求不定積分 $\displaystyle \int e^x \sin x \, dx$ .

解

這是一個經典例子，其中指數函數與三角函數的導數和積分都保持其函數類型不變. 直接應用分部積分法似乎不会“簡化”被積函數. 然而，连續两次應用该方法，会产生一個包含原積分本身的代數方程.

记 $I = \int e^x \sin x \, dx$ .

第一次分部積分，令 $u=e^x, dv=\sin x dx$ . 则 $du=e^x dx, v=-\cos x$ .

\begin{aligned} I &= e^x(-\cos x) - \int (-\cos x)e^x dx &= -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx \end{aligned}

對新出現的積分 $\int e^x \cos x dx$ 再次應用分部積分法, 并保持選择的一致性 (仍然選择 $e^x$ 作為 $u$ ). 令 $u_2 = e^x, dv_2 = \cos x dx$ . 则 $du_2 = e^x dx, v_2 = \sin x$ .

\begin{aligned} \int e^x \cos x dx &= e^x \sin x - \int (\sin x) e^x dx &= e^x \sin x - I \end{aligned}

将此结果代回第一步的表达式中：

I = -e^x \cos x + (e^x \sin x - I)

我们得到了一個關于待求量 $I$ 的方程.

2I = e^x(\sin x - \cos x)

解出 $I$ ，并补上積分常數：

I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C

選择 u 的启發式准则：LIATE 法则

在实践中，為了係统化選择 $u$ 的過程, 可以遵循一個由經验总结而来的启發式准则, 即按照以下函數類型的顺序来优先選择 $u$ ：

L: Logarithmic (對數函數), 如 $\ln x, \log_a x$ .
I: Inverse trigonometric (反三角函數), 如 $\arcsin x, \arctan x$ .
A: Algebraic (代數函數，包括多項式), 如 $x^n, \sqrt{x}$ .
T: Trigonometric (三角函數), 如 $\sin x, \cos x$ .
E: Exponential (指數函數), 如 $e^x, a^x$ .

這個顺序 (LIATE) 的内在逻辑是，排在前面的函數類型在微分后，其函數结構往往会變得更簡單（例如對數變為代數，代數降低次數），而排在后面的函數在微分或積分后，其基本形式保持不變.

分部求和法

分部積分法的思想并不局限于连續的積分领域，它在离散的求和世界中有一個优美的對應物——分部求和法，或称阿贝尔求和公式. 從一個更高的视角看，這两种方法共享同一個灵魂：将一個算子（微分或差分）從一個因子转移到另一個因子上.

我们首先引入离散微積分中的核心算子——前向差分算子 $\Delta$ . 對于一個數列 $\{a_k\}$ , 其定義為 $\Delta a_k = a_{k+1} - a_k$ . 這個算子是微分算子 $\frac{d}{dx}$ 的离散模拟. 其逆运算是求和算子 $\sum$ ，這構成了离散微積分基本定理：

\sum_{k=m}^{n-1} \Delta a_k = \sum_{k=m}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_m

這與 $\int_a^b F'(x)dx = F(b) - F(a)$ 的结構完全一致.

接着，我们推導离散世界中的“乘法法则”. 考虑两個數列乘積 $a_k B_k$ 的差分：

\begin{aligned} \Delta (a_k B_k) &= a_{k+1}B_{k+1} - a_k B_k &= a_{k+1}B_{k+1} - a_{k+1}B_k + a_{k+1}B_k - a_k B_k &= a_{k+1}(B_{k+1} - B_k) + (a_{k+1} - a_k)B_k &= a_{k+1}(\Delta B_k) + (\Delta a_k)B_k \end{aligned}

移項整理，我们得到 $\sum$ 算子下的分部法则的雏形：

a_{k+1}(\Delta B_k) = \Delta (a_k B_k) - (\Delta a_k)B_k

對此恒等式两边從 $k=1$ 到 $n-1$ 求和：

\sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1}(\Delta B_k) = \sum_{k=1}^{n-1} \Delta(a_k B_k) - \sum_{k=1}^{n-1} (\Delta a_k) B_k

右边的第一項是裂項和，等于 $a_n B_n - a_1 B_1$ . 通過一係列的指標變換和定義 $b_k = \Delta B_{k-1}$ ，我们可以得到其最常用的形式.

分部求和法

给定两個數列 $\{a_k\}$ 和 $\{b_k\}$ . 令 $B_n = \sum_{k=1}^{n} b_k$ 為 $\{b_k\}$ 的部分和, 且约定 $B_0=0$ . 则對于任意正整數 $n \ge 1$ ,

\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_{k+1} - a_k)

\paragraph{连續與离散的對偶性} 阿贝尔求和公式與分部積分公式之間存在着惊人的一一對應關係，這揭示了连續數學與离散數學之間深刻的结構同構性.

分部積分 (连續)		分部求和 (离散)
$\displaystyle \int u \, dv$	$\longleftrightarrow$	$\displaystyle \sum a_k b_k$
$u$	$\longleftrightarrow$	$a_k$
$dv = v'(x)dx$	$\longleftrightarrow$	$b_k$
$v = \int dv$ (積分)	$\longleftrightarrow$	$B_k = \sum b_i$ (求和)
$du = u'(x)dx$ (微分)	$\longleftrightarrow$	$\Delta a_k = a_{k+1} - a_k$ (差分)
$\left. uv \right	_a^b$ (边界項)	$\longleftrightarrow$
$\displaystyle \int v \, du$ (转化后的積分)	$\longleftrightarrow$	$\displaystyle \sum B_k \Delta a_k$ (转化后的求和)

例

利用分部求和法，计算等差比數列之和 $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k q^k (q \neq 1)$ .

解

我们希望计算 $\sum_{k=1}^{n} k q^k$ . 正如在分部積分中我们倾向于對多項式求導以降幂, 在分部求和中, 我们也選择對等差數列 $\{k\}$ 進行“差分”运算.

令 $a_k=k$ 以及 $b_k=q^k$ . $a_k$ 的差分為 $\Delta a_k = a_{k+1} - a_k = (k+1) - k = 1$ . $b_k$ 的部分和為几何级數求和

B_k = \sum_{i=1}^{k} q^i = \frac{q(1-q^k)}{1-q}

根据阿贝尔求和公式 $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_{k+1} - a_k)$ ,

\begin{aligned} S_n &= n \cdot B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k \cdot 1 &= n \frac{q(1-q^n)}{1-q} - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{q(1-q^k)}{1-q} \end{aligned}

将常數因子 $\frac{q}{1-q}$ 提出，我们处理剩余的和式

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1} (1-q^k) &= \sum_{k=1}^{n-1} 1 - \sum_{k=1}^{n-1} q^k &= (n-1) - \frac{q(1-q^{n-1})}{1-q} \end{aligned}

将此结果代回原式

\begin{aligned} S_n &= n \frac{q(1-q^n)}{1-q} - \frac{q}{1-q} \left[ (n-1) - \frac{q(1-q^{n-1})}{1-q} \right] &= \frac{nq - nq^{n+1}}{1-q} - \frac{q(n-1)}{1-q} + \frac{q^2(1-q^{n-1})}{(1-q)^2} &= \frac{nq - nq^{n+1} - nq + q}{1-q} + \frac{q^2 - q^{n+1}}{(1-q)^2} &= \frac{q - nq^{n+1}}{1-q} + \frac{q^2 - q^{n+1}}{(1-q)^2} &= \frac{(q-nq^{n+1})(1-q) + q^2 - q^{n+1}}{(1-q)^2} &= \frac{q - q^2 - nq^{n+1} + nq^{n+2} + q^2 - q^{n+1}}{(1-q)^2} &= \frac{q - (n+1)q^{n+1} + nq^{n+2}}{(1-q)^2} \end{aligned}

此结果與传统的“錯位相减法”得到的结果完全一致，但分部求和公式為此類计算提供了一個更高观点的理解.

定積分與微積分基本定理

{/* label: sec:ch19-s05 */}

在前面的讨論中，不定積分作為微分的逆运算，為我们提供了一個函數族，它完美地回答了“何种函數的導數是 $f(x)$ ”這一纯粹的分析問題.然而，積分學的歷史根源和其在物理、几何等领域的廣泛應用，都指向一個更具體的問題——積累問題.

无論是计算曲線下的面積、變速直線运动在某段时間内的位移，还是變力在某個過程中所作的功，這些問題的數學本質都是相同的：對一個连續變化的量在一個指定区間上進行“无限求和”以得到其总積累量. 這一思想，經過黎曼的严格化，形成了定積分的現代理論.

定積分

设想我们要计算一個连續函數 $y=f(x)$ 在区間 $[a,b]$ 上與 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面積. 阿基米德的穷竭法启發我们，可以用一係列规则圖形（如矩形）的面積来逼近這個不规则圖形的面積.

分割. 我们将区間 $[a,b]$ 任意地分割成 $n$ 個小区間. 這個分割记為 $\mathcal{P} = \{x_0, x_1, ..., x_n\}$ , 其中 $a=x_0 \< x_1 \< ... \< x_n=b$ . 第 $i$ 個小区間的长度為 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .
近似. 在每個小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ 内, 我们任意選取一個样本点 $\xi_i$ . 接着, 我们用一個高為 $f(\xi_i)$ 、宽為 $\Delta x_i$ 的矩形面積来近似该小区間上曲边梯形的面積.
求和. 我们将所有這些小矩形的面積加总，得到总面積的一個近似值. 這個和式被称為黎曼和.

S_{\mathcal{P}} = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i

這個黎曼和的值，依赖于我们如何分割区間 $\mathcal{P}$ 以及如何在每個小区間内選取样本点 $\xi_i$ .

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：對非均匀分割的黎曼和

直观上，当我们让分割无限地细密，所有小区間都變得无限窄时，黎曼和就應该逼近一個确定的值，即曲边梯形的精确面積. 我们用分割的模 $\|\mathcal{P}\| = \max_{i} \{\Delta x_i\}$ 来度量分割的精细程度.

定積分

若当分割的模 $\|\mathcal{P}\| \to 0$ 时, 黎曼和 $S_{\mathcal{P}}$ 的極限存在, 且此極限值與样本点 $\xi_i$ 的選取方式无關, 则称函數 $f(x)$ 在区間 $[a,b]$ 上是可積的. 我们将這個唯一的極限值定義為 $f(x)$ 從 $a$ 到 $b$ 的定積分，记作

\int_a^b f(x) \, dx

這里的積分号 $\int$ 正是 Summa (求和) 首字母 S 的拉长形式, 它與求和号 $\sum$ 在本質上遥相呼應.

一個關键的理論問題是：何种函數是可積的？微積分學的一個基石性结論是，连續性足以保證可積性.

定理

若函數 $f(x)$ 在闭区間 $[a,b]$ 上连續, 则 $f(x)$ 在该区間上必定可積.

證明

為了證明此定理，我们必须诉诸于可積性的严格定義.一個函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積的充要条件是, 對于任意给定的正數 $\epsilon \> 0$ , 我们总能找到一個区間 $[a,b]$ 的分割 $\mathcal{P}=\{x_0, x_1, ..., x_n\}$ , 使得该分割下的上和 $U(f, \mathcal{P})$ 與下和 $L(f, \mathcal{P})$ 之差小于 $\epsilon$ . 即

U(f, \mathcal{P}) - L(f, \mathcal{P}) \< \epsilon

其中，上和與下和分别定義為：

U(f, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i, L(f, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i

而 $M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$ 和 $m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$ 分别是 $f(x)$ 在第 $i$ 個小区間上的上确界與下确界.

我们的目標便是利用 $f(x)$ 的连續性来控制這個差值 $\sum_{i=1}^{n} (M_i - m_i) \Delta x_i$ .

這里的關键，是引入一個比普通连續性更强的性質：一致连續性. 這是实數完備性的一個推論，即海涅-康托尔定理：定義在闭区間 $[a,b]$ 上的连續函數，必定在该区間上一致连續.

一致连續性保證了，對于我们给定的任意正數 $\epsilon \> 0$ , 我们可以選取一個新的正數 $\epsilon' = \frac{\epsilon}{b-a}$ . 根据一致连續的定義, 必然存在一個 $\delta \> 0$ , 使得對于区間 $[a,b]$ 内任意两点 $x', x''$ , 只要它们的距离 $|x' - x''| \< \delta$ , 它们函數值的差就满足 $|f(x') - f(x'')| \< \epsilon'$ . 這個 $\delta$ 的選取只依赖于 $\epsilon'$ ，而與点在区間内的具體位置无關.

接着，我们来構造一個满足条件的分割 $\mathcal{P}$ . 我们選取一個足够大的正整數 $n$ , 使得 $\frac{b-a}{n} \< \delta$ , 然后對区間 $[a,b]$ 進行 $n$ 等分. 此时, 每個小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ 的宽度 $\Delta x_i = \frac{b-a}{n}$ 都小于 $\delta$ .

在任何一個小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ 上, 由于 $f(x)$ 连續, 根据極值定理, 它必定能取到其最大值 $M_i$ 和最小值 $m_i$ . 假设取得這两個值的点分别是 $x''_{i}$ 和 $x'_{i}$ . 這两個点都在同一個小区間内, 因此它们之間的距离 $|x''_{i} - x'_{i}| \le \Delta x_i \< \delta$ .

根据一致连續性的保證，我们立刻得到

M_i - m_i = |f(x''_{i}) - f(x'_{i})| \< \epsilon' = \frac{\epsilon}{b-a}

這個不等式對所有的小区間 $i=1, 2, ..., n$ 都成立.

我们来计算上和與下和之差：

\begin{aligned} U(f, \mathcal{P}) - L(f, \mathcal{P}) &= \sum_{i=1}^{n} (M_i - m_i) \Delta x_i &\< \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\epsilon}{b-a}\right) \Delta x_i &= \frac{\epsilon}{b-a} \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i \end{aligned}

而所有小区間宽度之和恰好是总区間的长度，即 $\sum_{i=1}^{n} \Delta x_i = b-a$ . 于是，

U(f, \mathcal{P}) - L(f, \mathcal{P}) \< \frac{\epsilon}{b-a} (b-a) = \epsilon

我们成功地對于任意 $\epsilon \> 0$ 找到了一個分割，使得上和與下和之差可以任意小. 根据黎曼可積的充要条件，定理得證.

当函數不连續时

连續性是可積的一個充分条件，但并非必要条件. 那么，当一個函數不再连續时，它的可積性会發生怎样的變化？這取决于其不连續点的“數量”與“分布”.

有限個間断点

若函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有有限個間断点（例如跳跃間断点），则函數仍然是可積的. 其直观思想是，這些有限個“坏”点的影响，可以通過将其隔离在一些总长度任意小的区間内而被控制住. 例如，對于函數 $f(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ -1, & x \< 0 \end{cases}$ 在 $[-1, 1]$ 上的積分. 它僅在 $x=0$ 处有一個間断点. 我们可以将積分拆分為 $\int_{-1}^0 (-1) dx + \int_0^1 (1) dx = -1 + 1 = 0$ . 严格的證明是, 我们可以用一個極窄的区間 $(-\delta, \delta)$ 将 $x=0$ 包围起来. 在這個区間内, 函數的振荡 $M-m = 1-(-1)=2$ 是固定的, 但這個区間對 $U-L$ 的贡献是 $2 \cdot (2\delta)$ , 可以随 $\delta \to 0$ 而任意小. 在区間 $[-1, -\delta]$ 和 $[\delta, 1]$ 上, 函數是连續的, 因此可積, 其 $U-L$ 之差也可以做得任意小. 两部分合起来, 总的 $U-L$ 仍然可以小于任意给定的 $\epsilon$ .

无穷個間断点

当間断点的數量达到无穷时，情况變得極為微妙. 此时，函數可能可積，也可能不可積. \paragraph{不可積的例子：狄利克雷函數} 考虑定義在 $[0,1]$ 上的狄利克雷函數:

D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}

這個函數在每一点都不连續. 對于 $[0,1]$ 上的任何一個分割 $\mathcal{P}$ , 在任意一個小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ 内，由于有理數和无理數的稠密性，我们总能找到有理數和无理數. 因此，每個小区間上的上确界 $M_i$ 永远是 $1$ , 而下确界 $m_i$ 永远是 $0$ . 于是，對于任何分割 $\mathcal{P}$ ：

U(D, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} 1 \cdot \Delta x_i = 1-0 = 1

L(D, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^{n} 0 \cdot \Delta x_i = 0

上和與下和之差恒為 $1$ , 永远无法小于任意正數 $\epsilon$ . 因此，狄利克雷函數是黎曼不可積的.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：狄利克雷函數不可積的示意圖：在任意子区間上，上确界為1，下确界為0

\paragraph{可積的例子：托玛函數} 然而，并非所有含无穷間断点的函數都不可積. 考虑托玛函數, $t(x)$ :

t(x) = \begin{cases} 1/q, & x=p/q \in \mathbb{Q} \text{ (最簡分數)} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \\ 1, & x=0 \end{cases}

這個函數在所有有理点上間断，在所有无理点上连續. 尽管其間断点是无穷且稠密的，但它在 $[0,1]$ 上却是黎曼可積的, 其積分值為 $0$ . 其深层原因是，對于任何 $\epsilon \> 0$ , 只有有限個有理点的函數值 $t(x)=1/q$ 大于 $\epsilon$ (因為這要求分母 $q \< 1/\epsilon$ ). 我们可以将這有限個“主要”間断点用总长度任意小的区間隔离起来, 而在剩下的区間上, 函數的振荡 $M-m$ 小于 $\epsilon$ . 從而, 总的 $U-L$ 之差可以被控制.

微積分基本定理

至此，我们面對着两個在起源、定義和形式上都截然不同的“積分”概念：

不定積分: 一個纯粹的分析概念，是求導的逆运算，其结果是一個函數族 $F(x)+C$ .
定積分: 一個源于几何與物理的概念，是黎曼和的極限，其结果是一個數值.

數學史上最伟大的發現之一，便是牛顿和莱布尼茨揭示了這两個概念之間存在着内在的联係. 這种联係，被后世尊為微積分基本定理. 它包含两個部分，共同構筑了一座连接微分與積分世界的宏伟桥梁.

第一基本定理

為了探寻二者的联係，我们構造一個關键的辅助函數——變上限積分函數. 對于一個在 $[a,b]$ 上连續的函數 $f(t)$ , 我们可以定義一個新函數 $A(x)$ ：

A(x) = \int_a^x f(t) \, dt (x \in [a,b])

這個函數 $A(x)$ 的几何意義是 $f(t)$ 的圖像從 $a$ 到 $x$ 所累積的有向面積. 微積分第一基本定理精确地回答了這個問題：這個“累積函數” $A(x)$ 的瞬时變化率是什么？

微積分第一基本定理

若 $f(t)$ 在区間 $[a,b]$ 上连續, 则由 $A(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 定義的函數 $A(x)$ 在 $[a,b]$ 上可導，并且

A'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = f(x)

證明

我们考察 $A(x)$ 的導數定義式.

A'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{A(x+h) - A(x)}{h}

根据 $A(x)$ 的定義和定積分的区間可加性，

A(x+h) - A(x) = \int_a^{x+h} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt = \int_x^{x+h} f(t) \, dt

這個積分值表示了在極窄区間 $[x, x+h]$ 上的面積. 直观上, 当 $h$ 極小时, 這块面積约等于一個高為 $f(x)$ , 宽為 $h$ 的矩形面積, 即 $h \cdot f(x)$ . \begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：第一基本定理的几何直观

因此 $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} \approx \frac{h \cdot f(x)}{h} = f(x)$ . 严格的證明依赖于積分中值定理，但其核心思想已然明晰. 取極限后，我们便證明了 $A'(x)=f(x)$ .

第一基本定理的意義極為深远，它告诉我们：任何连續函數的定積分（作為其上限的函數）都是该函數的一個原函數. 這不僅證明了所有连續函數都必然存在原函數，更從根本上揭示了微分與積分作為“變化率”與“总積累”的互逆關係.

第二基本定理

第一基本定理是一個存在性與结構性的定理，而第二基本定理则是一個强大的计算工具. 它正是我们通常所說的“微積分基本定理”.

微積分第二基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式)

如果函數 $f(x)$ 在区間 $[a,b]$ 上连續, 且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在该区間上的任意一個原函數 (即 $F'(x)=f(x)$ )，那么

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

證明

根据第一基本定理，我们已知 $A(x) = \int_a^x f(t) dt$ 是 $f(x)$ 的一個原函數. 又设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一個原函數. 根据原函數的基本结構，這两個原函數之間必然只相差一個常數 $C$ . 即 $A(x) = F(x) + C$ . 為了确定這個常數 $C$ , 我们令 $x=a$ . $A(a) = \int_a^a f(t) dt = 0$ . 同时， $A(a) = F(a) + C$ . 于是 $0 = F(a) + C$ , 這表明 $C = -F(a)$ . 因此，我们得到關係式 $\int_a^x f(t) dt = F(x) - F(a)$ . 最后，令 $x=b$ ，定理即得證.

為方便書寫，我们通常引入记号 $\left. F(x) \right|_a^b$ 来表示 $F(b)-F(a)$ . 于是，公式可以寫為 $\int_a^b f(x) \, dx = \left. F(x) \right|_a^b$ .

這個定理的伟大之处在于，它将一個原则上需要计算无穷和的極限問題（求定積分），转化為了一個簡單的代數問題：

找到被積函數 $f(x)$ 的一個原函數 $F(x)$ (通過不定積分).
计算原函數在積分区間两個端点处的值，并求其差.

這无疑是數學思想的一次巨大飞跃，它使得曾經只有像阿基米德那样的天才才能解决的面積問題，變成了任何掌握了基本積分公式的普通大學生都能完成的常规计算.

因此，若有人問你與那些數年才學会如何積分和计算曲線下的面積的數學大家相比，你几個星期就弄明白了如何计算，谁更聪明，不言自明了.（這是一個玩笑）

例

计算定積分 $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x \, dx$ .

解

被積函數為 $f(x)=\sin x$ . 我们首先寻求其一個原函數. 已知 $F(x) = -\cos x$ 满足 $F'(x)=\sin x$ .

接着，我们援引微積分基本定理：

\begin{aligned} \int_0^{\pi} \sin x \, dx &= \left. (-\cos x) \right|_0^{\pi} &= (-\cos \pi) - (-\cos 0) &= (-(-1)) - (-1) &= 1 + 1 = 2 \end{aligned}

這個优美的结果表明，正弦曲線在 $[0,\pi]$ 上的一個“拱形”所围成的区域，其精确面積為 2.

例

计算定積分 $\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx$ .

解

被積函數為 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ . 我们需要先求出它的不定積分. 這是一個典型的換元法問題. 令 $u = \ln x$ , 则 $du = \frac{1}{x} dx$ . 当处理定積分的換元时，我们必须同时對積分的上下限進行變換. 当 $x=1$ 时, $u=\ln(1)=0$ . 当 $x=e$ 时, $u=\ln(e)=1$ . 原積分在新的變量 $u$ 下转化為：

\begin{aligned} \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx &= \int_0^1 u \, du &= \left. \frac{u^2}{2} \right|_0^1 &= \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} &= \frac{1}{2} \end{aligned}

這种直接變換積分限的方法，避免了求出原函數后回代 $x$ 的繁琐步骤，是处理定積分換元的標准技巧.

定積分的性質

{/* label: sec:ch19-s06 */}

微積分基本定理為我们提供了计算定積分的强大代數工具，但定積分的本質是黎曼和的極限.因此，它必然继承了求和运算 ( $\sum$ ) 的内在结構，并展現出與積分区間和被積函數大小相關的深刻几何與分析性質.理解這些性質，不僅能極大地簡化计算，更能让我们洞察到定積分作為一個數學算子的本質特征.

代數性質

定積分算子 $I(f) = \int_a^b f(x) \, dx$ 作用于一個函數空間之上.在這個空間中，最基本的运算是函數的加法與數乘.定積分算子與這些运算完美兼容，展現出优美的線性性質.

定積分的線性性

若函數 $f(x)$ 與 $g(x)$ 均在 $[a,b]$ 上可積, $k$ 為任意常數, 则 $kf(x)$ 與 $f(x)+g(x)$ 也在 $[a,b]$ 上可積，且

齐次性: $\displaystyle \int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) \, dx$
可加性: $\displaystyle \int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$

證明

此定理的根源在于求和算子 $\sum$ 的線性性. 我们审视黎曼和的定義. 對于 $kf(x)$ 的黎曼和：

\sum_{i=1}^{n} kf(\xi_i)\Delta x_i = k \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i

對和式两边同时取極限 $\|\mathcal{P}\| \to 0$ ，齐次性便得以證明.

對于 $f(x)+g(x)$ 的黎曼和：

\sum_{i=1}^{n} [f(\xi_i)+g(\xi_i)]\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i + \sum_{i=1}^{n} g(\xi_i)\Delta x_i

對和式两边取極限，可加性亦得證.

從一個更抽象的视角看，此定理表明，在给定区間 $[a,b]$ 上的可積函數構成一個線性空間（或称向量空間）, 而定積分算子是從這個函數空間到实數域 $\mathbb{R}$ 的一個線性映射（或称線性泛函）.

積分区間的性質

這些性質阐明了定積分的值如何依赖于其積分域 $[a,b]$ .

積分域退化: 若積分的上下限重合，则積分区間 $[a,a]$ 的长度為零.

\int_a^a f(x) \, dx = 0

這既可以從黎曼和的角度理解（所有 $\Delta x_i=0$ ）, 也可以由牛顿-莱布尼茨公式直接得出 $F(a)-F(a)=0$ . 2. 積分域反向: 交換定積分的上下限，積分值反号.

\int_b^a f(x) \, dx = - \int_a^b f(x) \, dx

此性質最初是作為一個约定来引入的，它使得牛顿-莱布尼茨公式 $F(a)-F(b) = -(F(b)-F(a))$ 在 $a\>b$ 时依然保持形式上的和谐. 3. 積分域的可加性: 積分的区間可以被拆分或合并.

\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx

该性質對于 $a,b,c$ 的任意排列顺序均成立, 只要 $f(x)$ 在包含這三点的最大区間上可積. 其几何意義極為直观：從 $a$ 到 $b$ 的总（有向）面積, 等于從 $a$ 到 $c$ 的面積與從 $c$ 到 $b$ 的面積之和.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：定積分的区間可加性

序性質與估值

這類性質将函數的大小關係（序關係）與積分值的大小關係联係起来，是進行積分估算的理論基礎.

保序性: 若在区間 $[a,b]$ 上恒有 $f(x) \ge g(x)$ , 那么

\int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b g(x) \, dx

特别地，若 $f(x) \ge 0$ , 则 $\int_a^b f(x) \, dx \ge 0$ . 從黎曼和看，由于每個 $f(\xi_i) \ge g(\xi_i)$ 且 $\Delta x_i \> 0$ ，故和式的大小關係得以保持，取極限后亦然. 几何上，這表示更高的函數曲線所围成的（有向）面積也更大. 從算子的角度看，這表明定積分是一個保序算子. 2. 估值定理: 设函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值為 $M$ , 最小值為 $m$ . 那么

m(b-a) \le \int_a^b f(x) \, dx \le M(b-a)

證明

因為在 $[a,b]$ 上恒有 $m \le f(x) \le M$ . 根据保序性，我们對這個不等式链進行積分：

\int_a^b m \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b M \, dx

由于 $\int_a^b k \, dx = k(b-a)$, 定理得證.

几何上，這表示曲線下的真实面積一定被两個矩形的面積所夹住：一個是以最小值為高的“内接”矩形，另一個是以最大值為高的“外切”矩形. 3. 積分的绝對值不等式:

\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)| \, dx (a\<b)

證明

我们知道 $-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|$ . 根据保序性，對這個不等式積分，得到

\int_a^b -|f(x)| \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b |f(x)| \, dx

即

-\int_a^b |f(x)| \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b |f(x)| \, dx

這正是绝對值不等式 $|A| \le B \iff -B \le A \le B$ 的形式.

積分中值定理

估值定理给出了積分值的一個界，一個自然的問題是：在這個界之間，是否存在某一個值，它能以一种“平均”的方式代表整個積分？

函數的平均值

函數 $f(x)$ 在区間 $[a,b]$ 上的平均值定義為

\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx

這個定義的合理性在于，它推廣了有限個數算术平均值的概念. 黎曼和 $\sum f(\xi_i)\Delta x_i$ 是對函數值的加权求和, 除以总长度 $b-a=\sum \Delta x_i$ 后再取極限，就得到了连續情形下的平均值.

那么，對于一個连續函數，它是否一定能在某一点取到它的平均值？積分中值定理给出了肯定的回答.

積分中值定理

若函數 $f(x)$ 在闭区間 $[a,b]$ 上连續, 则在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使得

f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx

或者寫成等价形式： $\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)$ .

證明

设 $m$ 和 $M$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值與最大值. 根据估值定理，

m(b-a) \le \int_a^b f(x) \, dx \le M(b-a)

两边同除以 $(b-a)$ ，我们得到

m \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \le M

這表明函數的平均值 $\bar{f}$ 介于函數的最小值與最大值之間. 由于 $f(x)$ 在闭区間上连續, 根据介值定理, 對于任何一個介于 $m$ 與 $M$ 之間的數值, 函數 $f(x)$ 必定能在区間内的某一点取到该值. 因此，在 $[a,b]$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使得 $f(\xi)=\bar{f}$ .

此定理的几何意義極為深刻：對于任意连續曲線下的面積，总能找到一個高度為 $f(\xi)$ 的矩形, 其宽度為区間长度 $(b-a)$ ，使得這個矩形的面積與曲線下的面積完全相等.

\begin{figure}[htbp]

\end{figure} 圖：積分中值定理的几何诠释

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