ch20-微分方程初步

{/* label: chap:ch20 */}

基本概念

{/* label: sec:ch20-s01 */}

數學不僅研究静态的结構，更致力于描述动态的過程.代數方程，如 $x^2-1=0$ ，其解為孤立的數值，描绘的是一种静止的状态.然而，宇宙万物的本質在于运动與變化，无一不是处在持續的演化之中.要精确地刻画這些动态係统，我们就需要一种全新的數學語言，它所求解的不再是未知的數，而是未知的函數——一個能够完整描述過程演變的函數.

微分學的核心思想在于，宏观的、全局性的變化，是由无數個微观的、局域性的“變化倾向”累積而成的.而一個係统在某個瞬間的變化倾向，正是其導數的體現.在自然科學與工程技术中，我们常常更容易發現并总结出這种局域的變化法则，而非直接洞悉整個過程的全局函數.例如，我们可能通過实验观察到，一個物體的冷却速率在每一时刻都正比于它與环境的溫差.這個观察结果，就直接联係了溫度函數 $T(t)$ 與其導數 $T'(t)$ .

将這种蕴含着未知函數及其導數的“變化法则”用數學等式表达出来，便得到了微分方程 .它不直接告诉我们函數是什么，而是施加了一個深刻的约束：這個函數在定義域中的每一点，都必须满足其自身與其變化率之間的特定關係.

從几何的角度看，一個一階微分方程 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ 具有極為生动的意義.它為平面上的每一個点 $(x,y)$ 都指定了一個“前進方向”——即通過该点的解曲線的切線斜率, 其值為 $f(x,y)$ .如果我们把這些方向用无數個微小的箭头在平面上绘制出来，就構成了一幅方向场或称斜率场.

求解這個微分方程，在几何上就等价于在這片由箭头構成的“水流”中，寻找一条处处與水流方向相切的路径.這样的路径被称為方程的積分曲線.

{/* latex-label: fig:direction-field-pure-tikz */} \begin{figure}[htbp]

{dx} = \frac{1}{2}(x-y) $}{dy/dx = 0.5(x-y)} 的方向场與積分曲線.灰色箭头描绘了每一点的斜率, 構成了方向场.蓝色與红色的曲線族是方程的通解, 它们在每一点都與场方向相切.初始条件 \texorpdfstring{$ y(1)=-2$}{y(1)=-2} 如同指定了一個出發点，唯一确定了红色的特解曲線.}

\end{figure} 圖：微分方程 \texorpdfstring{$\frac{dy

显然，從不同的起点出發，我们可以画出无穷多条满足要求的積分曲線，它们共同構成了方程的通解.這個解族中的每一個成员都是方程的一個解.而如果我们指定這条曲線必须通過某一個特定的点 $(x_0, y_0)$ ——這就是所谓的初始条件——那么通常就能從整個解族中唯一地确定出一条曲線.這条唯一的曲線，便是方程的特解.

現在，我们将這些直观的几何概念转化為严谨的數學定義.

微分方程及其相關概念

微分方程: 一個建立自變量 $x$ 、未知函數 $y=y(x)$ 以及其直至 $n$ 階的導數 $y', y'', ..., y^{(n)}$ 之間關係的方程, 其一般形式為 $F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$ .
階: 方程中所出現的導數的最高階數 $n$ ，称為该微分方程的階.
解: 若将函數 $y=\phi(x)$ 及其各階導數代入一個微分方程, 能使该方程成為一個關于自變量 $x$ 的恒等式, 则称函數 $y=\phi(x)$ 是该微分方程的一個解.
通解: 一個 $n$ 階微分方程的解如果包含了 $n$ 個相互独立的任意常數，则称此解為该方程的通解.它代表了满足该方程约束的整個函數族.
初始条件: 為确定通解中的任意常數而给定的附加条件，通常形如 $y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1, ..., y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}$ .
特解: 在初始条件的约束下，從通解中确定了所有任意常數后得到的唯一确定的解.

可分离變量的微分方程

{/* label: sec:ch20-s02 */}

我们從结構最為簡洁的一類一階微分方程開始研究.若一個微分方程 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ 其右侧的函數 $f(x,y)$ 能够分解為一個僅與 $x$ 相關的函數 $g(x)$ 和一個僅與 $y$ 相關的函數 $h(y)$ 的乘積，即

\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)

则称之為可分离變量的微分方程.其本質特征是，自變量與未知函數對變化率的影响是相互独立、可以分离的.

求解這類方程的策略植根于積分學的基本思想.假定 $h(y) \neq 0$ , 我们可以對原方程進行代數變形, 将所有包含 $y$ 的項置于等式左侧, 包含 $x$ 的項置于右侧：

\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)

此式断言，對于解函數 $y=y(x)$ , 複合函數 $\frac{1}{h(y(x))}\frac{dy}{dx}$ 與函數 $g(x)$ 是恒等的.既然两個函數相等, 它们關于 $x$ 的不定積分也必然相等（相差一個常數）.因此, 我们對等式两边同时關于 $x$ 進行積分：

\int \frac{1}{h(y(x))} \frac{dy}{dx} \,dx = \int g(x) \,dx

注意到左侧的積分形式，根据積分學中的換元法，令 $u=y(x)$ , 则 $du = \frac{dy}{dx}dx$ , 左侧的積分便可以化為對變量 $y$ 的積分.于是，我们得到

\int \frac{1}{h(y)} \,dy = \int g(x) \,dx

這一步严谨地證明了，那個看似不严格的、将 $\frac{dy}{dx}$ 视為分數并“交叉相乘”得到 $\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$ 的符号操作, 其结果是正确的.求解上述两個積分, 便能得到一個联係 $x$ 與 $y$ 的代數方程，此即為原微分方程的通解，通常是以隐函數的形式给出.

例

求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$ .

解

此方程的右侧可以视作 $g(x)=x^2$ 與 $h(y)=\frac{1}{y}$ 的乘積, 故為可分离變量方程.我们假定 $y \neq 0$ .

分离變量，我们得到

y \frac{dy}{dx} = x^2

将此恒等式两边對 $x$ 積分

\int y \frac{dy}{dx} \,dx = \int x^2 \,dx

左侧通過換元，等价于 $\int y \,dy$ .因此

\int y \,dy = \int x^2 \,dx

计算這两個積分，我们得到

\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{3}x^3 + C_1

其中 $C_1$ 為任意積分常數.為了表达的簡洁性, 我们将两边同乘以 $6$ , 并令 $C = 6C_1$ , 此常數 $C$ 依然是任意的.

3y^2 = 2x^3 + C

此即為方程的通解，它以隐函數 $3y^2 - 2x^3 = C$ 的形式给出.對于不同的常數 $C$ ，它代表了平面上的一族曲線.

{/* latex-label: fig:separable-family */} \begin{figure}[htbp]

{dx}=\frac{x^2}{y}$}{dy/dx=x^2/y} 的積分曲線族 \texorpdfstring{$3y^2 - 2x^3 = C$}{3y^2 - 2x^3 = C}.}

\end{figure} 圖：微分方程 \texorpdfstring{$\frac{dy

{该方程的通解為 $3y^2 - 2x^3 = C$ .}

指數增长與衰减模型

描述“一個量的變化率正比于其自身大小”的微分方程

\frac{dy}{dx} = ky (k \neq 0 \text{ 為常數})

其通解為

y = Ce^{kx}

其中 $C$ 為任意常數.

證明

此方程是自然界與社会科學中最基本的模型之一，它刻画了无约束环境下的种群增长、放射性衰變、複利计算等核心动态過程.

我们运用分离變量法求解.首先考虑 $y \neq 0$ 的情形.

\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = k

對两边關于 $x$ 積分

\int \frac{1}{y} \,dy = \int k \,dx

计算得

\ln|y| = kx + C_1

其中 $C_1$ 是積分常數.為了显式地解出 $y$ ，我们對上式两边取指數运算：

|y| = e^{kx+C_1} = e^{C_1} e^{kx}

令 $C_2 = e^{C_1}$ .由于 $C_1$ 是任意实數, 故 $C_2$ 是任意正实數.于是 $|y| = C_2 e^{kx}$ .

去掉绝對值符号，可得 $y = \pm C_2 e^{kx}$ .我们引入一個新的常數 $C = \pm C_2$ , 则 $C$ 可以是任意非零实數.

接着，我们必须考察在分离變量时被排除的 $y=0$ 的情况.将 $y(x) \equiv 0$ 代入原方程, 左侧 $y' = 0$ , 右侧 $k \cdot 0 = 0$ .等式成立, 故 $y=0$ 也是方程的一個解（称為平凡解）.

注意到，在 $y = Ce^{kx}$ 這個表达式中, 若我们允许 $C=0$ , 则可以得到 $y=0$ 這個解.因此, 常數 $C$ 可以取遍所有实數，從而将所有解统一在一個表达式中.

{方程 $\frac{dy}{dx}=ky$ 的通解為 $y=Ce^{kx}$ , 其中 $C$ 是任意实數.}

一階線性微分方程

{/* label: sec:ch20-s03 */}

另一類核心的一階微分方程是線性方程.其標准形式定義如下.

一階線性微分方程

形如

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

的方程，被称為一階線性微分方程.

這類方程的求解依赖于一個非常巧妙的技巧，即引入一個被称為積分因子的辅助函數. 我们的目標是，在方程两边同乘以某個函數 $\mu(x)$ , 使得新的方程左边恰好可以被凑成一個乘積的導數形式.

考虑標准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$ . 两边同乘以 $\mu(x)$ : $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$ . 我们希望左边能够寫成 $(\mu(x)y)'$ 的形式.根据乘法求導法则，我们知道 $(\mu(x)y)' = \mu'(x)y + \mu(x)y'$ . 比较這两個表达式，我们發現，如果能让 $\mu'(x) = \mu(x)P(x)$ , 我们的目標就达成了.

而方程 $\mu'(x) = \mu(x)P(x)$ 正是上一节我们解决的指數增长模型！其解為 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$ . 這個函數 $\mu(x)$ 就是我们寻找的積分因子.

一階線性微分方程求解步骤

将方程整理成標准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$ .
计算積分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$ . (在计算不定積分时，可取積分常數為0，因為我们只需要一個有效的積分因子).
将標准形式的方程两边同乘以積分因子 $\mu(x)$ .此时方程的左边自动變為 $(\mu(x)y)'$ .方程化為 $(\mu(x)y)' = \mu(x)Q(x)$ .
對上式两边同时對 $x$ 積分, 得到 $\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx + C$ .
從上式中解出 $y$ , 得到通解 $y = \frac{1}{\mu(x)}\left( \int \mu(x)Q(x)dx + C \right)$ .

例

求解微分方程 $y' - 2xy = e^{x^2}$ .

解

该方程已經是一階線性微分方程的標准形式. 我们首先识别出 $P(x) = -2x$ 和 $Q(x) = e^{x^2}$ .

接着，计算積分因子 $\mu(x)$ . $\int P(x)dx = \int -2x \,dx = -x^2$ . $\mu(x) = e^{\int P(x)dx} = e^{-x^2}$ .

将原方程两边同乘以積分因子 $e^{-x^2}$ . $e^{-x^2}y' - 2xe^{-x^2}y = e^{-x^2}e^{x^2}$ .

方程左边恰好是 $(e^{-x^2}y)'$ .右边化簡為 $1$ . $(e^{-x^2}y)' = 1$ .

對上式两边關于 $x$ 積分. $\int (e^{-x^2}y)' \,dx = \int 1 \,dx$ . $e^{-x^2}y = x+C$ .

最后，解出 $y$ . $y = \frac{x+C}{e^{-x^2}} = (x+C)e^{x^2}$ .

{方程的通解為 $y=(x+C)e^{x^2}$ .}

溫馨提示

掌握可分离變量方程與一階線性方程的求解方法，是运用分析工具解决函數方程問題的基礎.特别地，方程 $y'=ky$ 及其解 $y=Ce^{kx}$ 的關係，必须牢记于心，它将在后續的推導中反複出現.

應用微分方程求解函數方程

{/* label: sec:ch20-s04 */}

從代數恒等式到分析微分方程

在前面的章节中，我们已經掌握了赋值法、模型法等一係列处理抽象函數方程的代數工具.這些方法在处理特定结構的方程时表現得極為高效.然而，当函數方程的形式變得新颖或複杂时，纯粹的代數變換有时会显得力不從心.

我们必须思考一個更深层次的問題：函數方程的本質是什么？它是一個在定義域上处处成立的恒等式.微積分的核心思想之一告诉我们，如果两個函數在某個区間上恒等，那么只要它们是可導的，它们的導函數也必然在该区間上恒等.

這一深刻的联係，為我们開辟了一条全新的道路.它启發我们，或许可以通過對函數方程這個“恒等式”進行微分运算，来發掘出隐藏在其中的、關于函數導數的信息.這個過程常常能将一個含有多個變量、關係複杂的函數方程，转化為一個只含單個變量、结構清晰的微分方程.一旦转化成功，我们便可以动用整個微積分的武庫来對其進行求解，從而得到原函數的精确表达式.這种從代數恒等式到分析微分方程的跨越，是一种威力强大的解題策略.

偏導數

在执行上述策略之前，我们必须掌握一個關键的預備工具.函數方程通常含有多個變量，如 $f(x+y)$ .而我们所熟悉的導數定義是针對單變量函數的.那么，如何對一個多變量表达式求導呢？答案是偏導數.

其思想非常直观：当我们决定對其中一個變量（例如 $x$ ）求導时, 我们只需将所有其他變量（例如 $y$ ）暂时视為常數，然后按照單變量函數的求導法则進行运算即可.

偏導數的操作性定義

對于一個含有變量 $x$ 和 $y$ 的表达式 $F(x,y)$ , 其對 $x$ 的偏導數（记作 $\frac{\partial}{\partial x}F(x,y)$ ）的计算方式是：将 $y$ 看作一個常數, 然后對 $x$ 進行常规的求導.

在函數方程的應用中，最常见的操作是對複合函數求偏導，這需要结合链式法则.例如，我们来计算 $f(x+y)$ 對 $x$ 的偏導數. 令 $u=x+y$ .根据链式法则，

\frac{\partial}{\partial x}f(x+y) = \frac{df}{du} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = f'(u) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x+y)

因為在對 $x$ 求偏導时, $y$ 被视為常數, 所以 $\frac{\partial}{\partial x}(x+y) = 1+0=1$ . 因此，我们得到一個至關重要的结果：

\frac{\partial}{\partial x}f(x+y) = f'(x+y)

同理，對于乘法形式 $f(xy)$ , 對 $x$ 求偏導时, $y$ 是常數，则

\frac{\partial}{\partial x}f(xy) = f'(xy) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = f'(xy) \cdot y

求解的四步流程

利用偏導數這一工具，我们可以構建一套標准化的流程，将函數方程問題转化為微分方程問題.

微分方程法四步流程

微分: 假设函數 $f(x)$ 可導.選择方程中的一個變量（如 $x$ ）, 将函數方程两边都對该變量求偏導, 将其他變量（如 $y$ ）视為常數.
赋值: 對求導后得到的新方程進行分析.通常這個新方程仍含有多個變量.此时，通過巧妙地给某個變量赋予一個特殊值（如令 $y=0$ 或 $y=1$ ）, 来消去多余的變量, 從而得到一個只含有 $f'(x)$ , $f(x)$ 和 $x$ 的標准微分方程.
求解: 求解上一步得到的微分方程，得到函數 $f(x)$ 的通解（通常含有一個或多個待定常數）.
檢验: 将求得的通解带回最初的函數方程，或利用題目给出的初始条件（如 $f(0)=1$ ），来确定通解中的待定常數，從而获得問題的特解.

再探柯西指數方程

若可導函數 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x)f(y)$ , 且 $f(x)$ 不恒為零, 求 $f(x)$ .

解

函數方程為恒等式 $f(x+y)=f(x)f(y)$ . 将此等式两边同时對變量 $x$ 求偏導. 左边： $\frac{\partial}{\partial x}f(x+y) = f'(x+y)$ . 右边： $\frac{\partial}{\partial x}[f(x)f(y)] = f'(x)f(y)$ (因為 $f(y)$ 被视為常數).

于是我们得到一個新的恒等式： $f'(x+y) = f'(x)f(y)$ .

為了得到一個單變量的微分方程，我们對上式進行赋值.令 $x=0$ , $f'(y) = f'(0)f(y)$ .

注意到 $f'(0)$ 是一個由函數 $f$ 在 $0$ 点的性質决定的常數.我们将其记為 $k$ . 于是，我们得到了關于函數 $f(y)$ 的微分方程 (為了書寫習惯, 我们将變量換回 $x$ ): $f'(x) = kf(x)$ .

這是一個我们在前一节研究過的指數增长模型.根据结論，其通解為 $f(x) = Ce^{kx}$ .

為确定常數 $C$ , 我们将此通解带回原函數方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$ . 左边： $f(x+y) = Ce^{k(x+y)} = Ce^{kx}e^{ky}$ . 右边： $f(x)f(y) = (Ce^{kx})(Ce^{ky}) = C^2e^{kx}e^{ky}$ .

令两边相等： $Ce^{kx}e^{ky} = C^2e^{kx}e^{ky}$ . 這意味着 $C=C^2$ .解得 $C=0$ 或 $C=1$ .

若 $C=0$ , 则 $f(x)=0$ .這與題设“ $f(x)$ 不恒為零”矛盾. 故必有 $C=1$ .

令 $a=e^k$ , 這是一個由 $f'(0)$ 决定的正常數. {因此，唯一的非零可導解是 $f(x)=e^{kx}=(e^k)^x=a^x$ .}

例

设可導函數 $f(x)$ 對任意 $x,y\>0$ 满足 $f(xy)=f(x)+f(y)$ , 求 $f(x)$ .

解

這是柯西對數型方程.我们對其可導解進行求解. 函數方程為 $f(xy)=f(x)+f(y)$ .

将方程两边對 $x$ 求偏導. 左边： $\frac{\partial}{\partial x}f(xy) = f'(xy) \cdot \frac{\partial(xy)}{\partial x} = yf'(xy)$ . 右边： $\frac{\partial}{\partial x}[f(x)+f(y)] = f'(x)+0 = f'(x)$ .

得到新方程 $yf'(xy) = f'(x)$ .

為了消去變量，我们赋值 $x=1$ . $yf'(y) = f'(1)$ .

令常數 $k=f'(1)$ , 我们得到微分方程 (變量換回 $x$ ): $xf'(x) = k \implies f'(x) = \frac{k}{x}$ .

對上式两边積分，得到通解. $f(x) = \int \frac{k}{x} dx = k\ln x + C$ (由于定義域為 $x\>0$ , 无需绝對值).

将通解代回原方程 $f(xy)=f(x)+f(y)$ . 左边： $f(xy) = k\ln(xy)+C = k(\ln x + \ln y)+C = k\ln x + k\ln y + C$ . 右边： $f(x)+f(y) = (k\ln x+C) + (k\ln y+C) = k\ln x + k\ln y + 2C$ .

比较两边可得 $C=2C$ , 即 $C=0$ .

我们可以将 $k$ 表达為換底公式的形式, $k\ln x = \frac{\ln x}{\ln a} = \log_a x$ .

{故该方程的可導解為 $f(x)=k\ln x = \log_a x$ .}

达朗贝尔方程

若可導函數 $f(x)$ 满足 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ , 且存在非平凡解. 求 $f(x)$ .

解

此方程在數學上被称為达朗贝尔方程.其解的推導過程完美地體現了二次求導與變量分离的思想.

首先，通過赋值法探求函數在原点的性質.在原方程中令 $x=y=0$ , $f(0)+f(0) = 2f(0)^2 \implies 2f(0)(1-f(0))=0$ . 解得 $f(0)=0$ 或 $f(0)=1$ . 若 $f(0)=0$ , 在原方程中令 $y=0$ , 得 $f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0$ , 即 $f(x) \equiv 0$ .這是一個平凡解. 我们考虑非平凡解的情况，此时必有 $f(0)=1$ .

接着，将原方程两边對 $x$ 求偏導: $f'(x+y) + f'(x-y) = 2f'(x)f(y)$ . (1)

再将原方程两边對 $y$ 求偏導: $f'(x+y) - f'(x-y) = 2f(x)f'(y)$ . (2)

此时，我们拥有了两個關于導函數的新方程.對這两個方程再次求導，可以揭示更深层的關係. 将方程(1)两边對 $y$ 求偏導: $f''(x+y) - f''(x-y) = 2f'(x)f'(y)$ . (3)

将方程(2)两边對 $x$ 求偏導: $f''(x+y) - f''(x-y) \cdot (-1) = 2f'(x)f'(y) \implies f''(x+y)+f''(x-y)=2f'(x)f'(y)$ . (4)

此路稍显複杂.我们換一個思路.将方程(1)對 $x$ 求偏導, 方程(2)對 $y$ 求偏導. 由(1)對 $x$ 求導: $f''(x+y)+f''(x-y) = 2f''(x)f(y)$ . 由(2)對 $y$ 求導: $f''(x+y)+f''(x-y) = 2f(x)f''(y)$ .

比较上述两式右侧，我们得到一個惊人地簡洁的關係: $2f''(x)f(y) = 2f(x)f''(y)$ .

假设存在一点 $x_0$ 使得 $f(x_0) \neq 0$ , 我们可以整理得到: $\frac{f''(x)}{f(x)} = \frac{f''(y)}{f(y)}$ .

這個等式的左边是一個只與 $x$ 有關的函數, 右边是一個只與 $y$ 有關的函數.要使它们對任意 $x,y$ 恒等, 唯一的可能性就是它们都等于同一個常數.设此常數為 $k$ . 于是，我们得到了一個關于 $f(x)$ 的二階常係數齐次線性微分方程: $f''(x) - kf(x) = 0$ .

根据常數 $k$ 的符号，我们分類讨論其解:

第一种情况: $k=0$ . $f''(x)=0$ .通解為 $f(x)=Ax+B$ . 由 $f(0)=1$ 得 $B=1$ . 在 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ 中令 $x=0$ , 得 $f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y) \implies f(-y)=f(y)$ .故 $f(x)$ 為偶函數. 對于 $f(x)=Ax+1$ , 偶函數要求 $A=0$ .故 $f(x)=1$ , 這是一個解.
第二种情况: $k\>0$ . 令 $k=\omega^2$ ( $\omega\>0$ ).方程為 $f''(x)-\omega^2 f(x)=0$ . 其特征方程為 $r^2-\omega^2=0$ , 解得 $r=\pm\omega$ . 通解為 $f(x)=C_1e^{\omega x}+C_2e^{-\omega x}$ . 利用初始条件 $f(0)=1$ 和 $f(x)$ 是偶函數 (導致 $f'(0)=0$ ). $f(0)=C_1+C_2=1$ . $f'(x) = \omega C_1e^{\omega x} - \omega C_2e^{-\omega x}$ . $f'(0) = \omega(C_1-C_2)=0 \implies C_1=C_2$ . 联立解得 $C_1=C_2=1/2$ . $f(x) = \frac{e^{\omega x}+e^{-\omega x}}{2} = \cosh(\omega x)$ .
第三种情况: $k\<0$ . 令 $k=-\omega^2$ ( $\omega\>0$ ).方程為 $f''(x)+\omega^2 f(x)=0$ . 其特征方程為 $r^2+\omega^2=0$ , 解得 $r=\pm i\omega$ . 通解為 $f(x)=C_1\cos(\omega x)+C_2\sin(\omega x)$ . 同样利用 $f(0)=1$ 和 $f'(0)=0$ . $f(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)=C_1=1$ . $f'(x)=-\omega C_1\sin(\omega x)+\omega C_2\cos(\omega x)$ . $f'(0)=-\omega C_1\sin(0)+\omega C_2\cos(0)=\omega C_2=0 \implies C_2=0$ . $f(x) = \cos(\omega x)$ .

{綜上，该方程的所有非平凡可導解為 $f(x)=1$ , $f(x)=\cos(\omega x)$ , 或 $f(x)=\cosh(\omega x)$ .這與我们之前的模型完全吻合.}

正切加法模型

若可導函數 $f(x)$ 满足 $f(x+y) = \frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$ , 求 $f(x)$ .

解

此方程的结構與正切函數的和角公式完全一致. 首先，令 $x=y=0$ , 得 $f(0)=\frac{2f(0)}{1-f(0)^2}$ . $f(0)(1-f(0)^2) = 2f(0) \implies f(0)(1+f(0)^2)=0$ . 在实數域内，唯一解為 $f(0)=0$ .

将函數方程两边對 $x$ 求偏導. 左边: $\frac{\partial}{\partial x}f(x+y) = f'(x+y)$ . 右边, 使用商的求導法则: $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\right) = \frac{f'(x)(1-f(x)f(y))-(f(x)+f(y))(-f'(x)f(y))}{(1-f(x)f(y))^2}$ . 化簡分子: $f'(x)-f'(x)f(x)f(y)+f'(x)f(x)f(y)+f'(x)f(y)^2 = f'(x)(1+f(y)^2)$ .

于是得到新方程 $f'(x+y) = \frac{f'(x)(1+f(y)^2)}{(1-f(x)f(y))^2}$ .

利用原方程關于 $x,y$ 的對称性, 两边對 $y$ 求偏導必将得到一個對称的结果: $f'(x+y) = \frac{f'(y)(1+f(x)^2)}{(1-f(x)f(y))^2}$ .

比较這两個關于 $f'(x+y)$ 的表达式，我们得到: $f'(x)(1+f(y)^2) = f'(y)(1+f(x)^2)$ .

分离變量: $\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} = \frac{f'(y)}{1+f(y)^2}$ .

此等式左边只與 $x$ 相關, 右边只與 $y$ 相關, 故它们必等于同一個常數, 记為 $\omega$ . $\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} = \omega$ .

這是一個可分离變量的微分方程 $\frac{df}{1+f^2} = \omega dx$ . 两边積分: $\int \frac{df}{1+f^2} = \int \omega dx$ . $\arctan(f(x)) = \omega x + C$ .

解出 $f(x)$ : $f(x) = \tan(\omega x + C)$ .

利用初始条件 $f(0)=0$ : $f(0) = \tan(C) = 0$ . 這要求 $C=n\pi$ ( $n \in \mathbb{Z}$ ).由于正切函數的周期性, 我们可以取最簡單的 $C=0$ .

{故该方程的可導解為 $f(x)=\tan(\omega x)$ .}

基本概念​

可分离變量的微分方程​

一階線性微分方程​

應用微分方程求解函數方程​

從代數恒等式到分析微分方程​

偏導數​

求解的四步流程​

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基本概念

可分离變量的微分方程

一階線性微分方程

應用微分方程求解函數方程

從代數恒等式到分析微分方程

偏導數

求解的四步流程