第一卷函數-函數圖像初步

圖像作為函數的几何表示

圖像是函數的一种表示方式. 從圖像上讀信息：定義域和值域、交点、端点、分支、對称痕迹和整體轮廓，再把這些線索组织成可靠的草圖.

函數圖像上的每一点都形如 $(x,f(x))$ . 横坐標表示输入，纵坐標表示输出. 圖像上的点、端点、空点、分支和交点，都在說明输入與输出的對應關係.

圖像把分散在解析式里的信息放到同一张平面圖上：定義域、交点、對称痕迹、局部位置和整體轮廓可以一起观察. 所以學習函數时，既要会由式子画草圖，也要会由圖像直接讀信息.

圖像與坐標轴、關键直線及基本交点

讀圖與作圖时，坐標轴和几条關键直線常先给出第一批锚点. 圖像與這些參照線一旦發生關係，相應的代數条件也会跟着露出来.

與 $x$ 轴的關係. 圖像與 $x$ 轴的交点满足 $y=0$ . 因此它们對應方程 $f(x)=0$ 的解. 在圖像研究里，這類交点最先告诉我们哪几個横坐標会让函數值變成 $0$ .

與 $y$ 轴的關係. 圖像與 $y$ 轴的交点满足 $x=0$ . 若 $0$ 在定義域内，交点纵坐標就是 $f(0)$ . 這個点常用来确定圖像在坐標原点附近的位置.

與直線 $y=x$ 的關係. 直線 $y=x$ 在函數學習里很重要. 圖像與它的交点满足 $f(x)=x$ . 這些点的横坐標與纵坐標相同，叫作不动点. 当函數圖像落在 $y=x$ 上方时，對應 $f(x)\>x$ ; 落在下方时，對應 $f(x)\<x$ .

與直線 $x=a$ 、 $y=c$ 的關係. 竖直線 $x=a$ 用来观察某個固定输入對應的函數值，水平線 $y=c$ 用来观察函數值等于某個固定高度时的点. 讀圖时常先看圖像與這些直線是否相交，再决定该输入或该高度是否取到.

先找參照線

作圖时，常先把 $x$ 轴、 $y$ 轴、直線 $y=x$ 和題目中特别显眼的竖直線、水平線標出来. 參照線先立住，圖像信息就容易归位.

由圖像讀定義域和值域

圖像在横向出現在哪些位置，就告诉我们哪些输入允许；圖像在纵向覆蓋哪些高度，就告诉我们哪些函數值能取到. 如果圖像分成几段，定義域和值域都要按各段分别记錄，再用并集寫出来.

定義域的圖像理解. 函數的定義域，就是圖像在 $x$ 轴方向上的投影: 圖像出現在哪些横坐標上，那些横坐標就属于定義域.

例

若某圖像只出現在 $-2\le x\<3$ 的范围内，并且在 $x=3$ 处画成空点，那么定義域就是 $[-2,3)$ .

若圖像中間断開，也要把断開的部分寫出来. 例如圖像只出現在 $x\<-1$ 或 $x\>2$ 两段上，定義域就應寫成 $(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$ .

值域的圖像理解. 類似地，值域就是圖像在 $y$ 轴方向上的投影: 圖像能达到哪些纵坐標，那些纵坐標就属于值域.

例

若圖像最低达到 $y=-1$ , 而上方只贴近 $y=4$ 這一高度，那么值域就是 $[-1,4)$ .

同样地，若不同分支覆蓋的高度分成几段，值域也要寫成并集.

讀值域时要分清“取到”和“贴近”. 实心点表示该点属于圖像，空心点表示该位置只作為边界標记出現. 所以圖像向某個高度靠近，與圖像真正取到這個高度，在值域里需要分開记錄.

横向看定義域，纵向看值域

這是讀圖时最基本的顺序. 先把横向與纵向范围看清楚，后面的交点、分支和特殊点才有落点.

由解析式抓作圖線索

定義域、對称、零点、特殊点

给定解析式时，先抓结構線索，再落到具體取点. 線索抓住了，草圖就容易立起来.

先看定義域. 定義域先决定圖像可能出現在哪些横坐標上. 分母為零、偶次根式、對數真數等条件，都会先切出圖像的横向范围.

再看式子里显眼的几何痕迹. 有些線索会直接從解析式里露出来:

分式常带来空点、分支或边界附近的特殊現象;
绝對值常带来折点與對称痕迹;
平方、立方和若干移項改寫，常把顶点、中心或對称轴寫得更清楚.

接着找零点與特殊点. 零点给出與 $x$ 轴的交点, $f(0)$ 给出與 $y$ 轴的交点，代入若干簡單的输入还能得到额外锚点. 這些点未必要很多，但需要放在關键位置上.

必要时先改寫. 有些式子換一种寫法，圖像線索会更明显. 例如配方、因式分解和约分，都可能把圖像的主要骨架寫出来.

例

作函數 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 的草圖.

解

先看定義域: $x\ne 1$ .

再把分子因式分解:

\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 (x\ne 1).

所以圖像落在直線 $y=x+1$ 上. 但原式在 $x=1$ 处没有定義，点 $(1,2)$ 只能画成空点.

例

作函數 $y=x^2-2x+2$ 的草圖.

解

先把式子改寫為 $y=(x-1)^2+1.$ 這样可以直接看出圖像是開口向上的抛物線，對称轴是 $x=1$ , 顶点是 $(1,1)$ .

再看几個容易算出的点. 由 $f(0)=2$, 圖像經過 $(0,2)$. 由對称性，圖像也經過 $(2,2)$.

又因為 $(x-1)^2\ge 0$, 所以 $y\ge 1$. 圖像與 $x$ 轴没有交点. 這些信息已經足够把草圖画出来.

由式到圖的一条顺序

定義域定横向范围，零点和特殊点定锚点，改寫后的结構定骨架. 這是最常用的作圖入口.

交点與圖像

與坐標轴的交点、與直線的交点、两函數圖像的交点

交点是圖像研究的重要锚点. 它能定位置，判上下，看分支，也能帮助观察參數變化.

交点對應的方程.

與 $x$ 轴交点對應 $f(x)=0$ ;
與 $y$ 轴交点對應 $x=0$ ;
與直線 $y=x$ 交点對應 $f(x)=x$ ;
两個函數 $y=f(x), y=g(x)$ 的交点對應 $f(x)=g(x)$ .

交点在圖像研究中的作用.

定锚点: 先把圖像钉在若干關键位置上;
判位置: 交点把坐標轴或另一条曲線分成若干段，每一段里常可判断圖像在上方还是下方;
看分支: 某些圖像虽然整體分成几支，交点仍能說明各支怎样與坐標轴或辅助線發生關係;
看參數變化: 当參數變化时，交点個數與位置常会随之變化，圖像族的變化就能看得更清楚.

例

借助與坐標轴的交点，画出函數 $y=x^2-x-2$ 的草圖.

解

先找與 $x$ 轴的交点: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$ , 所以圖像經過点 $(-1,0), (2,0)$ .

再找與 $y$ 轴的交点: $f(0)=-2$, 所以圖像經過点 $(0,-2)$.

二次項係數為正，所以圖像是開口向上的抛物線. 两個零点的中点是 $\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac12$, 因而對称轴是 $x=\dfrac12$.

三個锚点加上對称轴，已經把草圖的基本位置固定下来，顺着開口方向连起来即可.

例

设 $f(x)=x+1, g(x)=x^2-1$ . 利用两圖像的交点，判断在各区間内哪一条曲線在上方.

解

两圖像的交点满足 $x+1=x^2-1$ , 即 $x^2-x-2=0$ . 解得 $x=-1, x=2$ .

再看差 $f(x)-g(x)=x+1-(x^2-1)=-(x-2)(x+1)$.

当 $-1\<x\<2$ 时, $f(x)-g(x)\>0$ , 直線 $y=x+1$ 在抛物線 $y=x^2-1$ 的上方;
当 $x\<-1$ 或 $x\>2$ 时, $f(x)-g(x)\<0$ , 直線落在抛物線下方.

交点把數轴分成三個区間，每一段上的上下關係都由差的符号确定.

例

求函數 $y=x^2$ 與直線 $y=x$ 的交点，并說明圖像在這些交点附近與直線的相對位置.

解

交点满足 $x^2=x$ , 即 $x(x-1)=0$ . 所以圖像與直線 $y=x$ 相交于 $(0,0), (1,1)$ .

這两個点就是函數 $f(x)=x^2$ 的不动点.

再看 $f(x)-x=x^2-x=x(x-1)$. 当 $0\<x\<1$ 时, $f(x)-x\<0$, 抛物線在直線 $y=x$ 的下方；当 $x\<0    \text{或}    x\>1$ 时, $f(x)-x\>0$, 抛物線在直線 $y=x$ 的上方.

與直線 $y=x$ 的交点给出不动点，也把 $f(x)$ 與 $x$ 的大小關係分成了几個清楚的区間.

含參數函數的圖像綜合（一）

前面已經介绍了圖像、交点與基本作圖線索. 這一节開始係统讨論參數. 參數固定时得到一条具體圖像；參數變化时得到一族圖像. 這一节先看一族圖像本身的公共骨架，下一节再看它與另一条圖像相交时，交点個數怎样變化.

研究顺序. 研究含參數函數的圖像时，先要抓住两条線索：一是先把參數暂时看成常數，看清圖像的基本形状；二是抓住定義域、截距、零点、對称、渐近線這些最直观的几何線索，最后再观察參數變化时，圖像的哪一部分發生了移动，哪一部分保持不變.按這個顺序，能從整體上把握含參數函數圖像的變化规律.

第一组：“一個”. 這一组只研究“一個含參數函數所形成的一族圖像”. 重点是先把整族圖像的共同骨架看出来，再讨論參數取不同值时的差异.

例 1.1

观察下列函數所形成的圖像族: $f_1(x)=a$ , $f_2(x)=ax$ , $f_3(x)=x+a$ , $f_4(x)=ax+1$ , $f_5(x)=ax+a$ .

	\mbox{}

解

這一组都是直線或水平線. 參數 $a$ 改變的量主要有三种：高度、斜率、截距.

對于 $f_1(x)=a$, 圖像是水平直線 $y=a$. 參數 $a$ 只影响高度，所以整族圖像互相平行，只是上下移动.

對于 $f_2(x)=ax$, 圖像是一族過原点的直線. 參數 $a$ 改變的是斜率:

$a\>0$ 时直線向右上方倾斜;
$a\<0$ 时直線向右下方倾斜;
$a=0$ 时圖像退化為 $x$ 轴.

對于 $f_3(x)=x+a$ , 圖像是一族斜率都等于 $1$ 的平行直線. 參數 $a$ 改變的是纵截距 $(0,a)$ 和横截距 $(-a,0)$ . $a$ 變化时，這族直線保持方向不變，只整體上下平移.

對于 $f_4(x)=ax+1$ , 圖像是一族都經過点 $(0,1)$ 的直線. 參數 $a$ 改變斜率，公共点 $(0,1)$ 保持不變.

對于 $f_5(x)=ax+a=a(x+1)$ , 圖像是一族都經過点 $(-1,0)$ 的直線. 這里參數同时影响斜率和纵截距，但公共零点 $x=-1$ 保持不變. 当 $a=0$ 时，圖像退化為 $x$ 轴.

這组圖像里最先要看的，往往是斜率、截距和是否經過某個公共点.

一次型圖像先抓什么

看到一次型含參數函數时，先問三件事：斜率是否變化，截距是否變化，是否存在全族共過的定点. 這三件事理清以后，一族直線的圖像關係通常就已經清楚了.

例 1.2

观察下列二次型函數所形成的圖像族: $f_1(x)=ax^2+1$ , $f_2(x)=(x-a)(x-1)$ , $f_3(x)=a(x-a)(x-2a)$ , $f_4(x)=x^2+ax+1$ .

解

這一组都對應二次型圖像，但參數進入的位置不同，观察重点也不同.

對于 $f_1(x)=ax^2+1$, 当 $a=0$ 时，圖像是水平直線 $y=1$. 当 $a\ne 0$ 时，圖像是關于 $y$ 轴對称的抛物線，顶点固定在 $(0,1)$. 參數 $a$ 影响三件事:

開口方向: $a\>0$ 时向上, $a\<0$ 时向下;
開口大小: $|a|$ 越大，圖像越“瘦”;
與 $x$ 轴的交点個數: $a\<0$ 时有两個交点, $a\ge 0$ 时没有交点.

對于 $f_2(x)=(x-a)(x-1)$ , 圖像始终是一条開口向上的抛物線. 這里參數最直接地影响两個零点中的一個: $x=1$ 保持不动, $x=a$ 随着參數移动. 因而對称轴也随之變為 $x=\dfrac{a+1}{2}$ , 與 $y$ 轴的交点是 $(0,a)$ . 当 $a=1$ 时，圖像變成 $y=(x-1)^2$ , 與 $x$ 轴只有一個公共点.

對于 $f_3(x)=a(x-a)(x-2a)$ , 当 $a=0$ 时，圖像就是 $x$ 轴. 当 $a\ne 0$ 时，圖像是一条抛物線，零点為 $x=a,\ x=2a$ . 所以两個零点会随着參數一起移动. 它的對称轴是 $x=\dfrac{3a}{2}$ , 與 $y$ 轴的交点是 $(0,2a^3)$ . 這里參數既出現在外面，又出現在里面，因而它同时影响開口方向、零点位置和顶点位置:
$a\>0$ 时開口向上;
$a\<0$ 时開口向下;
$|a|$ 變化时，圖像的横向位置與纵向高度都跟着變化.

對于 $f_4(x)=x^2+ax+1$ , 圖像始终是開口向上的抛物線，與 $y$ 轴的交点固定在 $(0,1)$ . 參數 $a$ 影响的是對称轴 $x=-\dfrac{a}{2}$ 和顶点高度 $1-\dfrac{a^2}{4}$ . 顶点坐標是 $\left(-\dfrac{a}{2},\,1-\dfrac{a^2}{4}\right).$ 若记顶点横坐標為 $u=-\dfrac{a}{2}$ , 那么顶点纵坐標就是 $1-u^2$ , 所以顶点沿着曲線 $y=1-x^2$ 移动. 與 $x$ 轴的交点個數由 $a^2-4$ 的符号决定:
$|a|\<2$ 时没有交点;
$|a|=2$ 时有一個公共点;
$|a|\>2$ 时有两個交点.

這一组里，參數有时控制開口，有时控制零点，有时同时带动對称轴和顶点.

二次型圖像先抓什么

看到二次型含參數函數时，先抓四条線索：開口方向，對称轴或顶点，零点位置，與坐標轴的交点. 這四条線索理清以后，一族抛物線的變化就容易看清.

例 1.3

观察下列含 $\dfrac1x$ 型項的圖像族: $f_1(x)=ax+\dfrac1x$ , $f_2(x)=x+\dfrac{a}{x}$ .

解

這一组的重点從顶点和對称轴转到了定義域分裂、渐近線和分支位置. 两個函數都有 $x\ne 0$ , 所以圖像都分成左右两支.

先看 $f_1(x)=ax+\dfrac1x$. 它的定義域是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. 当 $x$ 接近 $0$ 时, $\dfrac1x$ 的绝對值会迅速變大，所以 $x=0$ 是竖直渐近線. 又因為
$f_1(-x)=-f_1(x),$
圖像關于原点中心對称.

再看远处的走势. 有
$f_1(x)-ax=\dfrac1x.$
当 $|x|$ 很大时, $\dfrac1x$ 接近 $0$, 所以圖像远处贴近直線 $y=ax$.

最后看零点. 方程 $ax+\dfrac1x=0$ 可化為 $ax^2+1=0$. 所以

$a\<0$ 时圖像與 $x$ 轴有两個交点;
$a\ge 0$ 时圖像與 $x$ 轴没有交点.

再看 $f_2(x)=x+\dfrac{a}{x}$ . 它同样有定義域 $x\ne 0$ , 同样關于原点中心對称，同样以 $x=0$ 為竖直渐近線.

這里远处的參考線變成了 $f_2(x)-x=\dfrac{a}{x}.$ 当 $|x|$ 很大时, $\dfrac{a}{x}$ 接近 $0$ , 所以圖像远处总是贴近直線 $y=x$ . 參數 $a$ 改變的是两支圖像相對這条斜線的位置.

方程 $x+\dfrac{a}{x}=0$ 可化為 $x^2+a=0$ . 所以
$a\<0$ 时圖像與 $x$ 轴有两個交点;
$a=0$ 时圖像成為直線 $y=x$ 在 $x\ne 0$ 上的两段;
$a\>0$ 时圖像與 $x$ 轴没有交点.

含 $\dfrac1x$ 型項的函數圖像，先看定義域怎样裂成两部分，再看渐近線和對称性，最后再看分支與坐標轴怎样發生關係.

備註

含 \texorpdfstring{

1/x

}{1/x} 型圖像先抓什么

含 $\dfrac1x$ 型項的含參數函數，先抓定義域分裂，再抓渐近線和對称性，最后看分支位置與零点變化. 這類題里，分支怎样移动常常比求几個特殊点更重要.

含參數函數的圖像綜合（二）

前一节研究的是一族圖像本身. 這一节继續研究它與另一条圖像相交时会發生什么：交点個數怎样變化，相對位置怎样變化.

研究顺序. 处理交点個數問題时，通常先把两条圖像各自的形状稳住，再沿着參數變化的方向观察圖像發生了上下移动、左右移动、翻折还是分段變化.這些變化搞定之后，再把交点問題落到方程上，验證參數在边界位置时方程解的個數是否發生突變.抓住"先定形、再跟踪、最后验證边界"的顺序，就能係统处理這類問題.

第二组：“两個”. 這一组研究一族圖像與另一条圖像之間的關係怎样随參數改變.

例 2.1

设 $f(x)=\left|x+\dfrac1x+3\right|$ , $g(x)=a$ . 讨論两圖像的交点個數.

解

這里 $g(x)=a$ 是一条水平直線. 因而問題的關键，是水平直線 $y=a$ 在不同高度时怎样切到圖像 $y=\left|x+\dfrac1x+3\right|$ .

先看 $h(x)=x+\dfrac1x+3$. 它的定義域是 $x\ne 0$, 所以圖像分成左右两支.

在 $x\>0$ 上，由 $x+\dfrac1x\ge 2$ 可知 $h(x)\ge 5$, 且 $h(1)=5$. 所以右半边圖像的最低点是 $(1,5)$:

$a\<5$ 时右半边没有交点;
$a=5$ 时右半边有 $1$ 個交点;
$a\>5$ 时右半边有 $2$ 個交点.

在 $x\<0$ 上，有 $x+\dfrac1x\le -2$ , 所以 $h(x)\le 1$ , 且 $h(-1)=1$ . 再看方程 $|h(x)|=a$ 在左半边的解.

若 $h(x)=a$ , 那么 $x^2+(3-a)x+1=0.$ 当 $0\<a\<1$ 时，判别式 $(3-a)^2-4=(1-a)(5-a)\>0,$ 又因為两根之和為 $a-3\<0$ , 两根之積為 $1\>0$ , 所以有两個负根. 当 $a=1$ 时，方程化為 $(x+1)^2=0$ , 给出一個负的重根 $x=-1$ . 当 $a\>1$ 时，判别式小于 $0$ , 没有实根.

若 $h(x)=-a$ , 那么 $x^2+(3+a)x+1=0.$ 当 $a\ge 0$ 时，判别式 $(3+a)^2-4\>0$ , 两根之和為 $-(3+a)\<0$ , 两根之積為 $1\>0$ , 所以总有两個负根.

把左右两部分合起来，交点個數分類如下:
当 $a\<0$ 时，水平直線在 $x$ 轴下方，與 $f(x)\ge 0$ 的圖像没有交点;
当 $a=0$ 时，左半边有 $2$ 個交点，右半边没有交点，共 $2$ 個;
当 $0\<a\<1$ 时，左半边由 $h(x)=a$ 给出 $2$ 個交点，由 $h(x)=-a$ 再给出 $2$ 個交点，右半边没有交点，共 $4$ 個;
当 $a=1$ 时，左半边由 $h(x)=1$ 给出 $1$ 個交点，由 $h(x)=-1$ 给出 $2$ 個交点，右半边没有交点，共 $3$ 個;
当 $1\<a\<5$ 时，左半边只剩 $h(x)=-a$ 给出的 $2$ 個交点，右半边没有交点，共 $2$ 個;
当 $a=5$ 时，左半边有 $2$ 個交点，右半边在 $x=1$ 处再给出 $1$ 個交点，共 $3$ 個;
当 $a\>5$ 时，左半边有 $2$ 個交点，右半边有 $2$ 個交点，共 $4$ 個.

例 2.2

设 $f(x)=|a^x-2|$ , $g(x)=a$ . 讨論两圖像的交点個數.

解

為了使 $a^x$ 對一切实數 $x$ 都有意義，這里只讨論 $a\>0$ . 函數 $g(x)=a$ 仍然是一条水平直線，所以問題仍然是直線 $y=a$ 與圖像 $y=|a^x-2|$ 的交点個數.

先看 $y=|a^x-2|$ 的形状. 当 $a\ne 1$ 时，方程 $a^x=2$ 有唯一解，所以圖像只有一個零点，并在這個点形成折点.

先处理特殊值 $a=1$. 這时
$f(x)=|1^x-2|=1,     g(x)=1.$
两圖像重合，因而有无穷多個交点.

下面设 $a\ne 1$. 交点满足
$|a^x-2|=a,$
也就是
$a^x=2+a      \text{或}      a^x=2-a.$
對固定的 $a\>0,\ a\ne 1$, 方程 $a^x=c$ 在 $c\>0$ 时恰有一個实根. 所以交点個數只取决于右端是否為正:

$2+a\>0$ 总成立，所以总有 $1$ 個交点;
$2-a\>0$ 当且僅当 $0\<a\<2$ , 這时再多出 $1$ 個交点.

因此
当 $0\<a\<1$ 时，有 $2$ 個交点;
当 $a=1$ 时，有无穷多個交点;
当 $1\<a\<2$ 时，有 $2$ 個交点;
当 $a\ge 2$ 时，有 $1$ 個交点.

例 2.3

设 $f(x)=(ax-1)^2$ , $g(x)=x+3,\ x\in(0,1)$ . 讨論两圖像在区間 $(0,1)$ 内的交点個數.

解

交点满足 $(ax-1)^2=x+3, x\in(0,1).$ 设 $F(x)=(ax-1)^2-(x+3)=a^2x^2-(2a+1)x-2.$ 題目转化為: $F(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内有几個解.

先看解的個數上限. 当 $a=0$ 时,
$F(x)=-x-2\<0,$
区間内没有解. 当 $a\ne 0$ 时, $F$ 是開口向上的二次函數，并且
$F(0)=-2\<0.$
這說明如果 $F$ 有两個实根，那么 $0$ 一定位于两根之間，因而正根至多只有一個. 所以区間 $(0,1)$ 内的交点至多 $1$ 個.

再看這個正根是否落在 $1$ 的左边. 计算
$F(1)=(a-1)^2-4=(a+1)(a-3).$

当 $a\<-1$ 或 $a\>3$ 时, $F(1)\>0$ . 由于 $F(0)\<0$ , 在 $(0,1)$ 内恰有 $1$ 個解;
当 $-1\<a\<3$ 时, $F(1)\<0$ . 正根若存在，只能落在 $x\>1$ , 因而 $(0,1)$ 内没有解;
当 $a=-1$ 或 $a=3$ 时, $F(1)=0$ , 交点落在 $x=1$ , 但題目给的是開区間 $(0,1)$ , 這個点不计入.

所以

\begin{cases} \text{在 $(0,1)$ 内有 $1$ 個交点}, & a\<-1 \ \text{或}\ a\>3,\\[4pt] \text{在 $(0,1)$ 内没有交点}, & -1\le a\le 3. \end{cases}

例 2.4

设

f(x)= \begin{cases} |x-1|, & x\ge 0,\\[4pt] x^2+a, & x\<0, \end{cases} g(x)=-x+2.

讨論两圖像的交点個數.

解

參數 $a$ 只影响左边那一支 $y=x^2+a$ , 右边那一支 $y=|x-1|$ 保持不變. 所以把左右两支分開讨論最清楚.

先看右边 $x\ge 0$ 的分支.

当 $0\le x\<1$ 时, $|x-1|=1-x$ . 方程 $1-x=-x+2$ 无解;
当 $x\ge 1$ 时, $|x-1|=x-1$ . 方程 $x-1=-x+2$ 给出 $x=\dfrac32$ .

所以右边始终提供 $1$ 個固定交点 $\left(\dfrac32,\dfrac12\right)$ .

再看左边 $x\<0$ 的分支. 交点满足 $x^2+a=-x+2,$ 即 $x^2+x+a-2=0.$ 配方得 $x^2+x+a-2=\left(x+\dfrac12\right)^2+a-\dfrac94.$ 于是左边交点個數由 $a-\dfrac94$ 以及根的符号决定:
当 $a\>\dfrac94$ 时，方程没有实根，左边没有交点;
当 $a=\dfrac94$ 时，方程有一個重根 $x=-\dfrac12$ , 左边有 $1$ 個交点;
当 $2\<a\<\dfrac94$ 时，方程有两個实根. 這时两根之積是 $a-2\>0$ , 两根之和是 $-1\<0$ , 所以两根都小于 $0$ , 左边有 $2$ 個交点;
当 $a=2$ 时，方程化為 $x(x+1)=0$ . 由于左边只取 $x\<0$ , 只有 $x=-1$ 保留，左边有 $1$ 個交点;
当 $a\<2$ 时，两根之積 $a-2\<0$ , 所以一正一负. 左边只有那個负根符合 $x\<0$ , 因而左边有 $1$ 個交点.

再把右边固定的 $1$ 個交点加進去，两圖像的交点個數為:
当 $a\>\dfrac94$ 时，有 $1$ 個交点;
当 $a=\dfrac94$ 时，有 $2$ 個交点;
当 $2\<a\<\dfrac94$ 时，有 $3$ 個交点;
当 $a\le 2$ 时，有 $2$ 個交点.

交点個數的观察顺序

两圖像相交时，先看哪一条圖像在變，另一条是什么參照線，再看值域、分支、折点、区間限制或分段点. 交点個數的變化，本質上就是這些几何因素共同作用的结果.

圖像研究的基本路径與常见誤判

把前面的内容收成一条稳定的研究路径，讀圖和作圖时就不容易乱.

圖像研究的基本路径.

先看定義域，确定圖像可能出現在哪些横坐標上;
再找與坐標轴的交点、與直線 $y=x$ 的交点以及若干明显的特殊点;
接着观察解析式里是否带出對称、平移、折点、空点、渐近線或分支等線索;
若含有參數，先把參數固定成常數，先看一条曲線怎样成形，再看它與另一条圖像怎样相交;
最后把這些离散信息组织成一幅可靠草圖或一段稳定的圖像變化過程.

常见誤判.

把空点当成圖像上的点，從而把某個边界值誤算進定義域或值域;
只看局部形状，就把草圖直接认成某一种确定函數;
把“带參數的一族圖像”当成“同一条曲線”来理解;
遇到交点個數問題，直接把方程联立后埋头分類，忽略了圖像本身的形状、分支和相對位置;
忽略区間限制、分段点或參數特殊值，于是把端点交点、退化情形或无定義情形一并算了進去;
圖像里先看见了上升、下降、對称或重複，就急着套用后文的正式性質或更强工具.

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圖像與函數性質

圖像中的上升、下降、最高点、最低点、對称和重複現象，都可以進一步寫成函數性質的語言. 單调性、最值、奇偶性和周期性，正是對這些直观現象的精确表达.

圖像作為函數的几何表示​

圖像與坐標轴、關键直線及基本交点​

由圖像讀定義域和值域​

由解析式抓作圖線索​

定義域、對称、零点、特殊点​

交点與圖像​

與坐標轴的交点、與直線的交点、两函數圖像的交点​

含參數函數的圖像綜合（一）​

含參數函數的圖像綜合（二）​

圖像研究的基本路径與常见誤判​

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