第一卷函數-函數模型與綜合應用

函數模型的建立與應用

函數模型用于描述实际問題中的數量關係，也用于作近似預测. 數學建模的關键，是把題目中的變化规律译成函數類型，再用數据确定參數.

建模时先看數据是增长还是下降，增长速度是在變快还是變慢；再選出走势相近的函數類型；然后用已知數据求參數，并用剩余數据檢验誤差. 下面通過实例說明這种判断.

函數模型的選择與拟合

某养殖场随着技术的進步和规模的擴大，肉鸡产量在不断增加. 現收集到 2020 年前 10 個月该养殖场上市的肉鸡數量 $W$ (單位：万只) 與月份 $m$ 的數据如下表:

月份 $m$	1	2	3	4	5
數量 $W$	1.020	2.000	2.578	2.997	3.313
月份 $m$	6	7	8	9	10
數量 $W$	3.578	3.804	4.000	4.173	4.329

數量 $W$ 和月份 $m$ 之間可能存在以下四种函數關係:

\item[①] $W(m)=b \cdot a^m$ \item[②] $W(m)=b \cdot m^c$ \item[③] $W(m)=b+\log_a m$ \item[④] $W(m)=a-\frac{b}{m}$ ( $a\>b\>0$ )

請從這四個函數模型中去掉一個與表格中數据不吻合的函數模型，并說明理由.
請從表格中選择 2 月份和 8 月份的數据，再從第(1)問剩下的三個模型中任選两個函數模型進行建模，求出其函數表达式，再分别求出這两個模型下 4 月份的肉鸡數量，并說明哪個函數模型更好. (參考數据: $\sqrt[3]{16} \approx 2.519, \sqrt{2} \approx 1.414$ )

解

(1) 先分析數据的變化趋势. 由表可见，數量 $W$ 随月份 $m$ 的增加而增加，但增长速率并不恒定. 考察相邻月份的增量:

\begin{aligned} W(2)-W(1) &\approx 0.980 W(3)-W(2) &\approx 0.578 W(4)-W(3) &\approx 0.419 &... W(10)-W(9) &\approx 0.156 \end{aligned}

注意到，每月增加的數量是递减的. 這表明该增长過程具有减速增长的特征.

再把數据趋势同四個候選模型的走势對應起来.

模型 ① $W(m)=b \cdot a^m$ : 若它表示增长，则 $a\>1$ . 此时 $W(m+1)-W(m)=b\cdot a^m(a-1)$ 随 $m$ 增大而增大，對應加速增长.
模型 ② $W(m)=b \cdot m^c$ : 当 $b\>0,0\<c\<1$ 时增长變慢；当 $b\>0,c\>1$ 时增长變快.
模型 ③ $W(m)=b+\log_a m$ : 当 $a\>1$ 时單调增加，且增长速度逐渐變慢.
模型 ④ $W(m)=a-\frac{b}{m}$ : 当 $a\>b\>0$ 时，在正整數月份上為正且單调增加，并逐渐接近水平值 $a$ .

表中相邻增量逐月變小，指向减速增长. 模型 ① 對應加速增长，與這组數据的走势相反，因此應去掉 ①.

(2) 選取 2 月份的數据 $(2, 2.000)$ 和 8 月份的數据 $(8, 4.000)$ , 用模型 ② 和 ③ 進行拟合.

對于模型 ②: $W(m)=b \cdot m^c$

将數据点 $(2,2)$ 和 $(8,4)$ 代入，得到關于參數 $b, c$ 的方程组:

\begin{cases} 2 = b \cdot 2^c 4 = b \cdot 8^c \end{cases}

两式相除，以消去參數 $b$ , 得 $\frac{4}{2} = \frac{b \cdot 8^c}{b \cdot 2^c} \implies 2 = \left(\frac{8}{2}\right)^c = 4^c$ . 解得 $c=1/2$ . 将 $c=1/2$ 代回第一個方程: $2 = b \cdot 2^{1/2} = b\sqrt{2}$ , 解得 $b=\sqrt{2}$ . 因此，幂函數模型為 $W_2(m) = \sqrt{2} \cdot m^{1/2} = \sqrt{2m}$ .

利用此模型預测 4 月份的肉鸡數量，有 $W_2(4) = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \text{ (万只)}$ .

對于模型 ③: $W(m)=b+\log_a m$

将數据点 $(2,2)$ 和 $(8,4)$ 代入，得到關于參數 $a, b$ 的方程组:

\begin{cases} 2 = b + \log_a 2 4 = b + \log_a 8 \end{cases}

两式相减，以消去參數 $b$ , 得 $4-2 = (\log_a 8) - (\log_a 2) \implies 2 = \log_a(8/2) = \log_a 4$ . 根据對數的定義, $a^2=4$ . 此模型要表示增长，需 $a\>1$ , 故 $a=2$ . 将 $a=2$ 代回第一個方程: $2 = b + \log_2 2 = b+1$ , 解得 $b=1$ . 因此，對數函數模型為 $W_3(m) = 1+\log_2 m$ .

利用此模型預测 4 月份的肉鸡數量，有 $W_3(4) = 1 + \log_2 4 = 1+2 = 3.000 \text{ (万只)}$ .

模型比较

用 4 月份的真实數据 $W(4)=2.997$ 比较两個模型的預测效果.

模型 ② 的預测誤差為 $|2.828 - 2.997| = 0.169$ . 模型 ③ 的預测誤差為 $|3.000 - 2.997| = 0.003$ .

以 4 月份數据檢验，模型 ③ 的誤差更小，因而本題中選模型 ③.

例

声音强度 $I$ (單位: $\text{W/m}^2$ ) 的變化范围很大，人耳對响度的感知可用對數模型刻画. 声强级 $Y$ (單位：分贝) 的公式為 $Y = 10\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$ 其中 $10^{-12} \, \text{W/m}^2$ 是人耳能听到的阈值声强.

平常人交谈时的声强约為 $10^{-6} \, \text{W/m}^2$ , 求其声强级.
一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，求能听到的最低声强為多少？
比较理想的睡眠环境要求声强级 $Y \le 50$ 分贝. 已知熄灯后两位同學在宿舍說话的声强為 $5 \times 10^{-7} \, \text{W/m}^2$ , 問這两位同學是否会影响其他同學休息？ (參考數据: $\lg 2 \approx 0.301$ )

解

直接代入声强级公式计算.

對平常人交谈的情形，已知声强 $I = 10^{-6} \, \text{W/m}^2$ . 代入公式得

\begin{aligned} Y &= 10\lg\left(\frac{10^{-6}}{10^{-12}}\right) &= 10\lg(10^{6}) &= 10 \cdot 6 = 60 \text{ (分贝)} \end{aligned}

故平常人交谈时的声强级约為 60 分贝.

再求人耳能听到的最低声强. 此时声强级為 $0$ 分贝，即 $Y=0$ , 于是有 $0 = 10\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$ . 此方程等价于 $\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) = 0$ . 根据常用對數的性質，僅当真數為 1 时，其對數值為 0. 故 $\frac{I}{10^{-12}} = 1 \implies I = 10^{-12} \, \text{W/m}^2$ . 此即人耳能感知的阈值声强，也正是模型公式中作為基准的參考声强.

宿舍谈话声的判断，只需把對應声强级與 $50$ 分贝比较.

\begin{aligned} Y &= 10\lg\left(\frac{5 \times 10^{-7}}{10^{-12}}\right) &= 10\lg(5 \times 10^5) \end{aligned}

拆開積的對數:

\begin{aligned} Y &= 10(\lg 5 + \lg 10^5) &= 10(\lg 5 + 5) \end{aligned}

由 $\lg 5 = \lg(10/2) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - \lg 2$ ,

\begin{aligned} Y &= 10((1-\lg 2) + 5) = 10(6 - \lg 2) &\approx 10(6 - 0.301) = 10(5.699) = 56.99 \text{ (分贝)} \end{aligned}

$56.99$ 分贝高于 50 分贝，這两位同學的谈话声会影响其他同學休息.

對數標度的意義

在声學、地震學和化學等领域，常采用對數標度来处理數量级差异很大的物理量. 對數函數可以把乘法關係转化為加法關係，從而把很大的动态范围压缩到便于处理的区間内. 例如，本題中声强從 $10^{-12}$ 到 $10^{-6}$ 跨越了 $6$ 個數量级，但對應的声强级只是 $0$ 到 $60$ 分贝，變化幅度适合日常感知與比较. 若直接用原始声强作比较，相差百万倍的數字难以直观理解；取對數后，每增大 $10$ 倍對應声强级增加 $10$ 分贝，尺度變得線性而均匀.

2020年北京卷

设企业的污水排放量 $W$ 與时間 $t$ 的關係為 $W=f(t)$ , 用 $\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$ 的大小评价在 $[a,b]$ 這段时間内企业污水治理能力的强弱. 已知整改期内甲、乙两企业的污水排放量曲線如圖所示.

判断下列结論的正誤:

在 $[t_1,t_2]$ 這段时間内，甲企业的污水治理能力比乙企业强;
在 $t_2$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强;
在 $t_3$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达標;
甲企业在 $[0,t_1]$ , $[t_1,t_2]$ , $[t_2,t_3]$ 三段时間中，在 $[0,t_1]$ 的污水治理能力最强.

解

差商绝對值表示單位时間内排放量下降的平均速度. 圖像上，区間两端连線越陡，平均治污能力越强；某一时刻则看该点附近曲線下降的快慢.

结論 1: 在 $[t_1,t_2]$ 内，甲企业的排放曲線下降更快，割線更陡，因此甲企业的治污能力更强. 结論 1 正确.

结論 2: 在 $t_2$ 附近，甲企业曲線下降更快，因此甲企业在 $t_2$ 时刻的治污能力更强. 结論 2 正确.

结論 3: 在 $t_3$ 时刻，两条曲線都落在达標線下方，因而两家企业都已达標. 结論 3 正确.

结論 4: 甲企业在 $[0,t_1]$ 這一段下降较缓，平均治污能力较弱. “在 $[0,t_1]$ 的治污能力最强”這一說法錯誤. 结論 4 錯誤.

所以正确结論的序号是 $1,\ 2,\ 3.$

函數值域

值域是函數全部可能输出值组成的集合. 求值域时，主要任务是判断函數值能取到哪些數，以及哪些边界值能取到、哪些只能逼近.

观察法與基本函數

基本函數的值域需要熟记:

一次函數 $y=ax+b\ (a\ne0)$ 的值域是 $\mathbb{R}$ ;
二次函數 $y=ax^2+bx+c\ (a\ne0)$ 的值域由顶点决定;
指數函數 $y=a^x$ 的值域是 $(0,+\infty)$ ;
對數函數 $y=\log_a x$ 的值域是 $\mathbb{R}$ ;
反比例函數 $y=\dfrac{k}{x}\ (k\ne0)$ 的值域是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ;
三角函數 $y=\sin x,\ y=\cos x$ 的值域是 $[-1,1]$ .

代數法

換元法與配方法

当函數可看成某個中間變量的簡單函數时，先換元，再利用新變量的取值范围求值域.

例

求函數 $f(x)=\sin^2x+2\sin x+3$ 的值域.

解

令 $t=\sin x$ . 因為 $-1\le t\le1$ , 原函數化為 $f(x)=t^2+2t+3=(t+1)^2+2$ . 当 $t=-1$ 时取最小值 $2$ , 当 $t=1$ 时取最大值 $6$ . 因而值域為 $[2,6]$ .

方程法

把 $y=f(x)$ 看成關于 $x$ 的方程. 函數的值域，就是使该方程有实數解的全部 $y$ 的集合.

例

求函數 $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ 的值域.

解

设 $y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ . 移項整理，得 $(y-1)x^2+(y+1)x+(y-1)=0$ .

若 $y=1$ , 方程化為 $2x=0$ , 有实數解 $x=0$ , 所以 $y=1$ 属于值域.

若 $y\ne1$ , 上式是一元二次方程. 它有实數解的充要条件是判别式非负: $(y+1)^2-4(y-1)^2\ge0$ . 化簡得 $(y-3)(3y-1)\le0$ , 因而 $\frac13\le y\le3$ .

合并两种情形，值域為 $\left[\frac13,3\right]$ .

不等式法

当表达式中出現成對的正數項或倒數項时，常可借助基本不等式直接确定值域.

例

求函數 $f(x)=x+\frac4x$ 的值域.

解

定義域為 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ .

当 $x\>0$ 时，由算术平均與几何平均不等式, $x+\frac4x\ge2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4$ . 当且僅当 $x=2$ 时等号成立，所以這一部分值域為 $[4,+\infty)$ .

当 $x\<0$ 时，令 $x=-t\ (t\>0)$ , 则 $f(x)=-\left(t+\frac4t\right)\le-4$ . 当 $t=2$ , 即 $x=-2$ 时等号成立，所以這一部分值域為 $(-\infty,-4]$ .

因而总值域為 $(-\infty,-4]\cup[4,+\infty)$ .

單调性與圖像法

若函數在某区間上沿一個方向變化，值域常可由端点、边界附近的走势和圖像投影讀出. 對本卷常见的函數来說，圖像是始终向上或向下的單调曲線时，判断值域的思路是：先看函數在该区間上的增减方向，再檢验端点是否属于定義域，最后观察边界附近函數值的變化趋势，把三部分信息合在一起就能得到值域.

這一节先保留圖像語言

這里主要使用單调性與圖像观察来求值域. 到后面的连續性章节，我们会看到為什么某些连續單调函數的值域恰好把两端之間的全部高度填满.

例

求函數 $f(x)=|x-1|+|x-3|$ 的值域.

解

這個函數表示点 $x$ 到点 $1$ 與点 $3$ 的距离之和.

当 $x\le1$ 时, $f(x)=-(x-1)-(x-3)=-2x+4$ ; 当 $1\le x\le3$ 时, $f(x)=(x-1)-(x-3)=2$ ; 当 $x\ge3$ 时, $f(x)=(x-1)+(x-3)=2x-4$ .

因而函數先下降，再保持常值 $2$ , 最后上升. 所以最小值為 $2$ , 没有最大值，值域為 $[2,+\infty)$ .

例

求函數 $f(x)=\log_2(3-x), x\in(-1,3)$ 的值域.

解

先看單调性. 内层函數 $u=3-x$ 在区間 $(-1,3)$ 上递减，外层函數 $y=\log_2u$ 在 $u\>0$ 上递增，因而 $f(x)$ 在 $(-1,3)$ 上递减.

再看两端的边界趋势：当 $x\to-1^+$ 时, $f(x)\to \log_2 4=2$ ; 当 $x\to3^-$ 时, $f(x)$ 可以无限减小.

由于左端点 $x=-1$ 不属于定義域，所以函數值 $2$ 不能取到；右端向 $3$ 靠近时，函數值可以无限减小.

因而值域為 $(-\infty,2)$ .

分段函數的值域

對于分段函數，值域要先分段求，再取并集.

例

求函數

f(x)= \begin{cases} x+2,& x\le-1, x^2,& -1\<x\<2, 2,& x\ge2 \end{cases}

的值域.

解

第一段值域為 $(-\infty,1]$ , 第二段值域為 $[0,4)$ , 第三段值域為 $\{2\}$ , 合并后得到 $(-\infty,4)$ .

*圖：分段函數值域的求法：分段分析后再合并*

函數模型的建立與應用​

函數值域​

观察法與基本函數​

代數法​

換元法與配方法​

方程法​

不等式法​

單调性與圖像法​

分段函數的值域​

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