第一卷函數-函數的基本性質

單调性

圖像上升时，函數值變大. 圖像下降时，函數值變小. 用不等式把這种升降關係寫出来，就得到單调性的定義.

單调性的定義

單调递增與單调递减

设函數 $f(x)$ 的定義域為 $D$ , 区間 $I\subseteq D$ .

若對任意 $x_1,x_2\in I$ , 只要 $x_1\<x_2$ , 就有 $f(x_1)\<f(x_2)$ , 则称 $f$ 在 $I$ 上严格單调递增;
若對任意 $x_1,x_2\in I$ , 只要 $x_1\<x_2$ , 就有 $f(x_1)\>f(x_2)$ , 则称 $f$ 在 $I$ 上严格單调递减.

若把上面的 $\<$ , $\>$ 換成 $\le$ , $\ge$ , 就得到非严格的單调递增、單调递减. 在初等函數讨論中，最常用的是严格單调.

几何直观. 严格递增可理解為從左往右看，圖像整體向上''; 严格递减可理解為從左往右看，圖像整體向下''. 圖像给出直观，判定仍要回到定義中的 $x_1\<x_2$ 與 $f(x_1),f(x_2)$ 的大小關係.

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單调性一定要放在区間上說

單调性是区間上的性質. 例如 $f(x)=1/x$ 在 $(-\infty,0)$ 上递减，在 $(0,+\infty)$ 上也递减，但不能說它在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上递减，因為這個集合不是一個连通区間.

常值段與严格單调

若函數在某一段上保持常值，则它在该段上可以說是非严格單调递增，也可以說是非严格單调递减，但不能說是严格單调. 严格單调要求不同自變量必须對應不同函數值.

圖像法

\BookSubsectionSubtitle{先分区間，再看升降}

若函數圖像已經画出，判定單调性时通常先找转折点、端点和分段点，再逐段观察圖像從左向右的升降趋势. 讀圖时不能把几段互不连通的部分合并成一個單调区間.

例

判断函數 $f(x)=|x-2|$ 的單调区間.

解

函數 $y=|x-2|$ 的圖像是顶点在 $(2,0)$ 的``V''形圖像.

当 $x$ 從左侧向 $2$ 靠近时，圖像向下，因而函數在 $(-\infty,2]$ 上递减；当 $x$ 從 $2$ 向右增大时，圖像向上，因而函數在 $[2,+\infty)$ 上递增.

圖像法的步骤

若圖像清楚可见，一般按下面的顺序处理:

先找圖像的转折点、分段点和端点;
再把定義域拆成若干個连續区間;
最后逐段判断圖像是上升、下降还是保持水平.

圖像法给的是直观判断，需要严格說明时，仍要回到定義.

定義法

\BookSubsectionSubtitle{基本判定方法}

要證明函數在区間上單调，最直接的方法就是按定義来做:

在区間内任取 $x_1\<x_2$ ;
比较 $f(x_1)$ 與 $f(x_2)$ 的大小;
常用做法是考察差 $f(x_1)-f(x_2)$ 或 $f(x_2)-f(x_1)$ 的符号.

例

判断函數 $f(x)=2x-3$ 在 $\mathbb{R}$ 上的單调性.

解

任取 $x_1\<x_2$ , 则 $f(x_1)-f(x_2)=(2x_1-3)-(2x_2-3)=2(x_1-x_2)\<0$ . 因此 $f(x_1)\<f(x_2)$ , 所以 $f(x)=2x-3$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格單调递增.

例

判断函數 $f(x)=x^2$ 在 $(-\infty,0]$ 與 $[0,+\infty)$ 上的單调性.

解

先看 $[0,+\infty)$ 上. 任取 $0\le x_1\<x_2$ , 则 $f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)\>0$ , 所以 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增.

再看 $(-\infty,0]$ 上. 任取 $x_1\<x_2\le 0$, 此时 $x_1+x_2\<0$, 所以 $f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)\<0$. 因此 $f$ 在 $(-\infty,0]$ 上严格递减.

例

證明函數 $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上严格递减，在 $[1,+\infty)$ 上严格递增.

解

任取 $x_1\<x_2$ , 则

\begin{aligned} g(x_1)-g(x_2) &=\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right) &=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2} &=\frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-1)}{x_1x_2}. \end{aligned}

若 $0\<x_1\<x_2\le 1$ , 则 $x_1x_2\<1$ , 上式為正，故 $g(x_1)\>g(x_2)$ , 所以在 $(0,1]$ 上递减;
若 $1\le x_1\<x_2$ , 则 $x_1x_2\>1$ , 上式為负，故 $g(x_1)\<g(x_2)$ , 所以在 $[1,+\infty)$ 上递增.

單调性的作用

單调性的主要作用是: 把函數值大小比较转化為自變量大小比较, 或反過来.

若 $f$ 在区間上递增，则 $x_1\<x_2 \Rightarrow f(x_1)\<f(x_2)$ ;
若 $f$ 在区間上递减，则 $x_1\<x_2 \Rightarrow f(x_1)\>f(x_2)$ .

因此，單调性常用于解不等式、比较大小、求值域和判断最值位置.

例

解不等式 $2x-3\>5$ .

解

函數 $f(x)=2x-3$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，所以 $2x-3\>5 \iff x\>4$ .

例

求函數 $f(x)=3x-2,\ x\in[-1,2]$ 的值域.

解

因為 $f(x)=3x-2$ 在整個实數范围内都递增，所以在区間 $[-1,2]$ 上最小值取在左端点，最大值取在右端点，即 $f(-1)=-5,\ f(2)=4$ . 故值域為 $[-5,4]$ .

2021年北京卷

设函數 $f(x)$ 的定義域為 $[0,1]$ . 则“函數 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上單调递增”是“函數 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值為 $f(1)$ ”的什么条件?

解

若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上單调递增，那么對任意 $x\in[0,1]$ , 都有 $f(x)\le f(1)$ . 因此 $f(1)$ 确实是函數在 $[0,1]$ 上的最大值. 所以前者是后者的充分条件.

但它不是必要条件. 例如取

f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x\le \dfrac12,\\[4pt] \dfrac14, & \dfrac12\<x\le \dfrac34,\\[4pt] x, & \dfrac34\<x\le 1. \end{cases}

這個函數在 $x=1$ 处取到最大值 $1$, 但它并不單调递增，因為

\frac12\<\frac34, f\left(\frac12\right)=\frac12\>\frac14=f\left(\frac34\right).

故原命題應選“充分而不必要条件”.

複合函數的單调性

對于複合函數，單调性也可分层讨論. 处理时先看定義域，再看内层函數與外层函數各自的增减方向.

同增异减

设 $u=g(x)$ 在区間 $I$ 上單调，且 $y=f(u)$ 在区間 $g(I)$ 上單调.

若 $f$ 與 $g$ 單调性相同，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递增;
若 $f$ 與 $g$ 單调性相反，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递减.

證明

任取 $x_1,x_2\in I$ 且 $x_1\<x_2$ .

若 $g$ 在 $I$ 上递增，则 $g(x_1)\le g(x_2)$. 此时:

若 $f$ 在 $g(I)$ 上也递增，则 $f(g(x_1))\le f(g(x_2)),$ 故 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递增;
若 $f$ 在 $g(I)$ 上递减，则 $f(g(x_1))\ge f(g(x_2)),$ 故 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递减.

若 $g$ 在 $I$ 上递减，则 $g(x_1)\ge g(x_2)$ . 同理可得:
当 $f$ 递减时，有 $f(g(x_1))\le f(g(x_2)),$ 于是複合函數递增;
当 $f$ 递增时，有 $f(g(x_1))\ge f(g(x_2)),$ 于是複合函數递减.

四种情形合并起来，就得到“同增异减”.

例

求函數 $y=\sqrt{2x+1}$ 在定義域内的單调性.

解

先看定義域. 由 $2x+1\ge 0$ 得 $x\ge -\dfrac12$ .

内层函數 $u=2x+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增.
外层函數 $y=\sqrt{u}$ 在 $u\ge 0$ 上递增.

因此，複合函數 $y=\sqrt{2x+1}$ 在它的定義域 $\left[-\dfrac12,+\infty\right)$ 上递增.

例

求函數 $y=\log_2(5-2x)$ 的單调性.

解

先看定義域. 由 $5-2x\>0$ 得 $x\<\dfrac52$ .

内层函數 $u=5-2x$ 在 $\mathbb{R}$ 上递减.
外层函數 $y=\log_2u$ 在 $u\>0$ 上递增.

因此，複合函數 $y=\log_2(5-2x)$ 在定義域 $\left(-\infty,\dfrac52\right)$ 上递减.

複合函數的檢查顺序

複合函數的單调性要從里到外层层梳理：首先确定定義域，然后把内层函數在各個区間上的增减方向拆開来看，再判断外层函數在内层值域上的增减方向，最后用“同增异减”的规则给出结果.這种由内到外的顺序，可以避免在多层複合时把区間或方向判断錯.

本节小结

讨論單调性时，要始终记住两件基本事实.第一，單调性必须放在具體的区間上讨論，圖像法通過先分区間再观察升降趋势来直观判断，定義法则通過比较 $f(x_1)$ 與 $f(x_2)$ 的大小来得出结論.第二，單调函數在区間上建立了自變量與函數值的一一對應關係，所以一旦單调性确定，比较大小、解不等式和研究最值位置都会變得直接，而複合函數的單调性则需要從内到外逐层梳理，先确定定義域，再判断内外两层的增减方向，最后用 "同增异减" 的规则给出结論.

最值

在给定范围内，函數能否取到最大值或最小值? 這取决于函數值在整個区間上的分布.

最大值與最小值的定義

最大值與最小值

设函數 $f(x)$ 的定義域為 $D$ , $I\subseteq D$ .

若存在 $x_0\in I$ , 使得對任意 $x\in I$ , 都有 $f(x)\le f(x_0),$ 则称 $f(x_0)$ 為函數 $f$ 在 $I$ 上的最大值, 称 $x_0$ 為取到最大值的点;
若存在 $x_1\in I$ , 使得對任意 $x\in I$ , 都有 $f(x)\ge f(x_1),$ 则称 $f(x_1)$ 為函數 $f$ 在 $I$ 上的最小值, 称 $x_1$ 為取到最小值的点.

這里讨論的是整個区間或整個集合上的最高、最低函數值. 圖像上的直观說法，就是看這一范围内是否存在最高点或最低点.

例

若函數圖像在闭区間 $[-2,3]$ 上經過最高点 $(1,5)$ 與最低点 $(-2,-1)$ , 则 $\max f(x)=5, \min f(x)=-1.$

取到與逼近

讨論最值时，最重要的是“取到”二字. 一個函數值可以作為上界或下界，也可以只是圖像不断靠近的边界.

例

若函數在某個范围内的值域是 $[-1,4),$ 则它有最小值 $-1$ , 但没有最大值.

最值與界

函數在某個区間上有上界，只說明函數值都不超過某個數. 最大值要求這個數本身由圖像上的某個点真正取到. 最小值與下界的区别也是這样.

例如，函數 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上有上界 $1$, 因為對所有 $x\ge 1$, 都有 $\dfrac{1}{x}\le 1$. 而 $1$ 在 $x=1$ 处取到，所以最大值确实存在且等于 $1$.
但如果考虑 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上，虽然 $1$ 仍是上界，却取不到，因此没有最大值.

利用單调性判断最值

在闭区間上已經知道單调性时，最值只需要檢查两個端点.

性質

若函數在闭区間 $[a,b]$ 上递增，则 $\min f(x)=f(a), \max f(x)=f(b).$ 若函數在闭区間 $[a,b]$ 上递减，则 $\max f(x)=f(a), \min f(x)=f(b).$

證明

只證递增的情形，递减的情形類似.

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上递增. 對任意 $x\in [a,b]$, 有 $a\le x\le b$.
由递增性:
$f(a)\le f(x)\le f(b).$
這說明 $f(a)$ 是所有函數值中最小的, $f(b)$ 是所有函數值中最大的. 又因為 $a,b\in [a,b]$, 所以 $f(a)$ 和 $f(b)$ 都能取到.
因此 $\min f(x)=f(a)$, $\max f(x)=f(b)$.

先确认端点能取到

上面的结論用于闭区間 $[a,b]$ . 若区間寫成 $(a,b)$ 、 $(a,b]$ 或 $[a,b)$ , 端点可能取不到，需要重新檢查最大值或最小值是否存在.

例如，函數 $f(x)=3x-2$ 在 $(0,2]$ 上没有最小值，因為 $f(0)=-2$ 取不到，而 $f(x)$ 可以无限接近 $-2$ 但始终大于 $-2$. 最大值仍然存在: $f(2)=4$.

例

求函數 $f(x)=3x-2, x\in[-1,2]$ 的值域.

解

因為 $f(x)=3x-2$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，所以在区間 $[-1,2]$ 上最小值取在左端点，最大值取在右端点: $f(-1)=-5, f(2)=4.$ 故值域為 $[-5,4].$

例

求函數 $g(x)=x+\frac{1}{x}, x\>0$ 的最小值.

解

前一节已經證明, $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上递减，在 $[1,+\infty)$ 上递增.

因此, $x=1$ 是两段變化的交接点，并且
$g(1)=2.$
所以 $g(x)$ 在 $x\>0$ 上的最小值是
$2.$

最值與值域

若函數在所讨論的范围内既有最大值，又有最小值，那么值域就常可直接寫成 $[\min f(x),\max f(x)].$ 若只取到一端，另一端只是靠近，值域中的端点形式就要随之改變.

求值域时先問最值是否存在

看到"求值域"时，可以先檢查最大值和最小值是否真的取到. 這一点與前一章讀圖时区分实心点、空心点是同一件事.

若两個最值都能取到，值域就是 $[\min f(x),\max f(x)]$; 若一端取不到，就用半開区間表示. 例如 $f(x)=x^2$ 在 $(-1,1]$ 上的值域是 $[0,1]$, 因為最小值 $0$ 在 $x=0$ 处取到，最大值 $1$ 在 $x=1$ 处取到.

奇偶性

圖像左右两侧怎样對應? 如果 $f(-x)=f(x)$ , 两侧關于 $y$ 轴對称; snip 如果 $f(-x)=-f(x)$ , 两侧關于原点旋转對称. 對称關係寫成了代數上的等式，就是奇偶性.

奇函數與偶函數的定義

奇偶函數

设函數 $f(x)$ 的定義域 $D$ 關于原点對称，即只要 $x\in D$ , 就有 $-x\in D$ .

若對任意 $x\in D$ , 恒有 $f(-x)=f(x)$ , 则称 $f$ 為偶函數;
若對任意 $x\in D$ , 恒有 $f(-x)=-f(x)$ , 则称 $f$ 為奇函數.

先看定義域，再谈奇偶. 定義域關于原点對称，是讨論奇偶性的前提. 若 $f(-x)$ 本身就无意義，那么 $f(-x)=\pm f(x)$ 這類判断就谈不上.

几何意義.

偶函數的圖像關于 $y$ 轴對称;
奇函數的圖像關于原点中心對称.

代數關係與圖像對称一一對應. 把成對的点標出来，就能直接看出 $f(-x)$ 與 $f(x)$ 之間的關係.

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例

$f(x)=x^2$ 是偶函數，因為 $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$ .

例

$g(x)=x^3$ 是奇函數，因為 $g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)$ .

\NeedExampleDiagramSpace

例

$h(x)=x+1$ 既不是奇函數，也不是偶函數.

\begin{BookDiagram}

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\end{BookDiagram}

基本结論

性質

若奇函數 $f(x)$ 的定義域包含 $0$ , 则 $f(0)=0$ .

證明

由奇函數定義, $f(-0)=-f(0)$ . 而 $-0=0$ , 所以 $f(0)=-f(0)$ , 從而 $2f(0)=0$ . 故 $f(0)=0$ .

這個结論很常用. 已知函數是奇函數且 $0$ 在定義域内时，常可直接得到 $f(0)=0$ .

判断奇偶性的步骤

判断奇偶性时按三步寫：先查定義域是否關于原点對称，再算 $f(-x)$ , 最后和 $f(x)$ 、 $-f(x)$ 比较.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函數 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

定義域為 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , 它關于原点對称.

再计算 $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$.
所以 $f(x)=1/x$ 是奇函數.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函數 $f(x)=x\sin x$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

定義域是 $\mathbb{R}$ , 關于原点對称.

并且 $f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)$.
所以 $f(x)=x\sin x$ 是偶函數.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函數 $f(x)=\dfrac{x^2+x}{x+1}$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

它的定義域是 $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ , 這個集合不關于原点對称: $1$ 在定義域里，與它關于原点對應的 $-1$ 却不在定義域里. 所以它既不是奇函數，也不是偶函數.

利用奇偶性求值和补全解析式

奇偶性的直接作用是: 把一边的信息搬到另一边.

\NeedExampleDiagramSpace

例

已知函數 $f(x)$ 是奇函數，且当 $x\ge 0$ 时 $f(x)=e^x-1$ . 求 $x\<0$ 时的解析式.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

当 $x\<0$ 时, $-x\>0$ , 所以可以先寫 $f(-x)=e^{-x}-1$ . 又因為 $f$ 是奇函數，所以 $f(-x)=-f(x)$ . 于是 $-f(x)=e^{-x}-1$ , 從而 $f(x)=-e^{-x}+1$ .

\NeedExampleDiagramSpace

例

已知奇函數 $f(x)$ 满足 $f(2)=5$ , 求 $f(-2)$ .

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

奇函數满足 $f(-x)=-f(x)$ , 因此 $f(-2)=-f(2)=-5$ .

平移后的奇偶性. 題目有时不会直接說“ $f(x)$ 是奇函數”或“ $f(x)$ 是偶函數”，而是說 $f(x+a)$ 具有奇偶性. 這时要把它看成一個新函數 $g(x)=f(x+a)$ . 于是:

若 $g(x)$ 是奇函數，则 $f(a+t)=-f(a-t)$ , 圖像關于点 $(a,0)$ 中心對称，特别地 $f(a)=0$ ;
若 $g(x)$ 是偶函數，则 $f(a+t)=f(a-t)$ , 圖像關于直線 $x=a$ 對称.

這類条件仍然描述函數圖像的對称性，只是對称中心或對称轴不再落在原点和 $y$ 轴上.

\begin{BookDiagram}

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\end{BookDiagram}

\NeedExampleDiagramSpace

2021年全国甲卷理科

设函數 $f(x)$ 的定義域為 $\mathbb{R}$ , $f(x+1)$ 為奇函數, $f(x+2)$ 為偶函數. 当 $x\in[1,2]$ 时, $f(x)=ax^2+b$ . 若 $f(0)+f(3)=6$ , 求 $f\!\left(\dfrac92\right)$ .

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

由“ $f(x+1)$ 為奇函數”可知，對任意 $t\in\mathbb{R}$ , $f(1+t)=-f(1-t)$ . 特别地，取 $t=0$ , 得 $f(1)=0$ . 又因為 $1\in[1,2]$ , 所以 $a+b=0.$

再由“$f(x+2)$ 為偶函數”可知，對任意 $t\in\mathbb{R}$, $f(2+t)=f(2-t)$. 取 $t=1$, 得 $f(3)=f(1)=0$.

另一方面，在奇函數關係式中取 $t=1$, 有 $f(2)=-f(0)$. 于是由題设 $f(0)+f(3)=6$ 可化為 $-f(2)+0=6$, 即 $f(2)=-6$.
由于 $2\in[1,2]$, 又有
$4a+b=-6.$
联立

\begin{cases} a+b=0, 4a+b=-6, \end{cases}

解得
$a=-2,     b=2.$

現在求 $f\!\left(\dfrac92\right)$. 先把自變量拉回已知区間:

f\!\left(\dfrac92\right)=f\!\left(2+\dfrac52\right)=f\!\left(2-\dfrac52\right)=f\!\left(-\dfrac12\right).

再用奇性和偶性继續转化:

f\!\left(-\dfrac12\right)=-f\!\left(\dfrac52\right)=-f\!\left(\dfrac32\right).

而

f\!\left(\dfrac32\right)=a\left(\dfrac32\right)^2+b=-2\cdot\dfrac94+2=-\dfrac52,

因此 $f\!\left(\dfrac92\right)=\dfrac52$.

奇偶性的运算法则

设 $f,g$ 都定義在關于原点對称的同一個集合上，则有以下常见结論:

偶函數 $+$ 偶函數 $=$ 偶函數;
奇函數 $+$ 奇函數 $=$ 奇函數;
偶函數 $\times$ 偶函數 $=$ 偶函數;
偶函數 $\times$ 奇函數 $=$ 奇函數;
奇函數 $\times$ 奇函數 $=$ 偶函數.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函數 $F(x)=x^3\cos x$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

$x^3$ 是奇函數, $\cos x$ 是偶函數. 奇函數與偶函數的乘積仍是奇函數，所以 $F(x)=x^3\cos x$ 是奇函數.

奇偶性與複合

设 $F(x)=f(g(x))$ .

先檢查 $F$ 的定義域，再使用下面的结論:

若内层函數 $g(x)$ 是偶函數，则 $F(x)$ 一定是偶函數;
若内层函數 $g(x)$ 是奇函數，则 $F(x)$ 的奇偶性與外层函數 $f$ 相同.

常见錯誤是直接套结論，忽略外层函數是否能在 $g(x)$ 的取值上定義.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函數 $F(x)=\cos(x^5)$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

内层 $x^5$ 是奇函數，外层 $\cos u$ 是偶函數，所以複合后仍是偶函數.

本节小结

判断奇偶性时，可按下面顺序進行：先檢查定義域是否關于原点對称，再去计算 $f(-x)$ , 最后判断它等于 $f(x)$ 还是 $-f(x)$ .

奇偶性對應函數圖像的對称性. 求值、补全解析式和複合函數問題中常要用到這一点.

周期性

正弦函數的波形往右平移一段固定长度后，和原来的圖像重合. 圖像按固定长度水平重複的現象，叫作周期性.

周期函數的定義

周期函數

设函數 $f(x)$ 的定義域為 $D$ . 若存在一個非零常數 $T$ , 使得對任意 $x\in D$ , 都有 $x+T\in D$ 且 $f(x+T)=f(x)$ , 则称 $f(x)$ 為周期函數, 常數 $T$ 叫作它的一個周期.

周期性表現為整段圖像按固定长度重複出現. 圖上取一對對應点 $(x,f(x))$ 與 $(x+T,f(x+T))$ , 就能直接看到它们在平移后重合.

這個定義里要注意三点:

$T$ 必须是非零常數;
要對定義域内所有 $x$ 都成立;
还要保證 $x+T$ 仍在定義域内.

最小正周期

若一個周期函數的所有正周期中存在最小者，就把它叫作该函數的最小正周期.

最小正周期刻画的是圖像完成一次最短重複所需要的长度. 一旦知道了最小正周期 $T_0$ , 其余正周期都必须是 $T_0$ 的正整數倍. 也有一些函數虽然有无穷多個正周期，却没有最小的一個，常函數就是最典型的例子.

例

$f(x)=\sin x$ 的最小正周期是 $2\pi$ .

例

$g(x)=\tan x$ 的最小正周期是 $\pi$ .

例

常函數 $f(x)=c$ 的任意非零实數都是周期，因而它没有最小正周期.

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周期的几個直接结論

若 $T$ 是函數的一個周期，那么:

$-T$ 也是周期;
任意非零整數倍 $nT$ 也是周期.

理由并不複杂. 例如 $f(x+T)=f(x)$ 對一切 $x$ 成立，那么把 $x$ 換成 $x-T$ , 就得到 $f(x)=f(x-T)$ , 于是 $-T$ 也是周期.

由解析式直接求周期

對于常见三角函數，周期往往可以直接從角的係數看出来:

\sin(\omega x),\ \cos(\omega x)\ \text{的周期是}\ \frac{2\pi}{|\omega|}; \tan(\omega x)\ \text{的周期是}\ \frac{\pi}{|\omega|}.

例

求函數 $f(x)=\sin(3x)$ 的最小正周期.

解

因為 $\sin x$ 的最小正周期是 $2\pi$ , 所以 $\sin(3x)$ 的最小正周期為 $\dfrac{2\pi}{3}$ .

例

求函數 $g(x)=\cos\left(\dfrac{5}{2}x\right)$ 的最小正周期.

解

最小正周期為 $\dfrac{2\pi}{5/2}=\dfrac{4\pi}{5}$ .

周期函數的和差與最小公倍數

若两個周期函數叠加，新函數是否仍有周期，要看它们是否存在公共周期.

定理

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的周期分别為 $T_1,T_2$ . 若存在正數 $T$ , 既是 $T_1$ 的整數倍，又是 $T_2$ 的整數倍，那么在它们的共同定義域内, $f(x)\pm g(x),\ f(x)g(x)$ 也都是周期函數，而這個公共周期 $T$ 就是它们的一個周期.

證明

设 $x$ 属于 $f$ 與 $g$ 的共同定義域. 因為 $T$ 是 $T_1$ 的整數倍，所以 $f(x+T)=f(x)$ . 同理，由于 $T$ 也是 $T_2$ 的整數倍，有 $g(x+T)=g(x)$ . 于是 $(f\pm g)(x+T)=f(x+T)\pm g(x+T)=f(x)\pm g(x)=(f\pm g)(x)$ , 并且 $(fg)(x+T)=f(x+T)g(x+T)=f(x)g(x)=(fg)(x)$ . 所以 $f(x)\pm g(x)$ 與 $f(x)g(x)$ 都以 $T$ 為周期.

對高中階段最常见的題目来說，若 $\dfrac{T_1}{T_2}$ 是有理數，就可以求公共周期；若比值是无理數，往往就不能得到周期函數.

例

求函數 $f(x)=|\sin x|+\cos 2x$ 的最小正周期.

解

先看两個部分.

$|\sin x|$ 的最小正周期是 $\pi$ ;
$\cos 2x$ 的最小正周期也是 $\pi$ .

因此它们的和的最小正周期也是 $\pi$ .

例

求函數 $h(x)=\sin(3x)+\cos\left(\dfrac{5}{2}x\right)$ 的最小正周期.

解

两個部分的最小正周期分别為 $T_1=\dfrac{2\pi}{3},\ T_2=\dfrac{4\pi}{5}$ .

要找公共周期 $T$, 令 $T=m\cdot \dfrac{2\pi}{3}=n\cdot \dfrac{4\pi}{5}$, 其中 $m,n$ 為正整數. 化簡得

\frac{2m}{3}=\frac{4n}{5} \Longleftrightarrow 10m=12n \Longleftrightarrow 5m=6n.

取最小正整數解 $m=6,n=5$, 得 $T=6\cdot \dfrac{2\pi}{3}=4\pi$. 所以最小正周期是 $4\pi$.

本节小结

判断周期性时，通常從三個方向入手：第一是直接檢验 $f(x+T)=f(x)$ 是否成立；第二是看函數是否是若干周期函數的叠加，如果是就找公共周期；第三是把題目给出的對称或變形關係改寫成函數等式，再继續处理.這三個方向已經覆蓋周期判断的基本场景，后續遇到周期相關的問題时，可以先從這三個角度入手.

周期性表現為圖像在水平方向上的重複. 后續函數題中常要利用這一点.

性質之間的联係與綜合判断

單调性给出變化方向，最值给出變化结果，奇偶性给出對称约束，周期性给出重複结構. 同一個函數往往同时具有多种性質，它们之間互相配合.

單调性與最值

單调性给出變化方向，最值给出這一變化在整個区間上的结果. 因而，一旦函數被划分成若干個單调区間，最值位置往往也就随之清楚起来.

例

求函數 $f(x)=x^2, x\in[-2,3]$ 的最大值與最小值.

解

函數 $x^2$ 在 $[-2,0]$ 上递减，在 $[0,3]$ 上递增.

因此，最小值取在
$x=0,$
此时
$f(0)=0.$

区間两端的函數值分别為
$f(-2)=4,     f(3)=9.$
所以最大值為
$9.$

奇偶性對圖像信息的压缩

奇偶性能够把一边的圖像信息搬到另一边.

若函數是偶函數，研究右半边圖像后，左半边由關于 $y$ 轴對称得到;
若函數是奇函數，研究右半边圖像后，左半边由關于原点中心對称得到.

因此，奇偶性常和單调性、最值一起使用. 先研究一侧的變化，再用對称把结果擴展到另一侧，往往比把整条圖像從头到尾逐段讨論更簡洁.

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周期性把局部信息推廣到整體

周期性說明圖像按固定长度重複. 一旦知道了一個周期内的圖像，其余部分就由平移得到.

例

已知函數 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=-f(x),$ 且当 $x\in[0,1]$ 时 $f(x)=e^x.$ 求 $f(23)$ .

解

由 $f(x+2)=-f(x)$ 连續使用两次，得 $f(x+4)=f(x).$ 因此 $4$ 是函數的一個周期.

于是
$f(23)=f(3).$
又因為
$3=1+2,$
所以
$f(3)=f(1+2)=-f(1)=-e.$
故
$f(23)=-e.$

對称與重複常可互相转化

若題目给出的条件是關于某個点或某条直線的對称關係，连續使用两次后，常可得到周期. 這類題的關键，是把題目给出的几何關係改寫成函數等式，再顺着等式迭代.

綜合判断的顺序

把几种性質放在一起研究时，通常從定義域出發：一切性質都要在定義域内讨論.在此基礎上，再看圖像或解析式中最直接的结構線索，例如分段、對称或重複.接着按区間讨論單调性，由此确定最值位置或值域范围.最后把各段信息合并成對整個函數的描述.按這個顺序逐步推進，能避免在複杂函數中遗漏信息.

例

研究函數 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 的基本性質.

解

先看定義域: $\mathbb{R}\setminus\{0\}.$

再看奇偶性:
$f(-x)=-x-\frac{1}{x}=-f(x),$
所以 $f(x)$ 是奇函數，圖像關于原点中心對称.

前面已經證明，它在
$(0,1]$
上递减，在
$[1,+\infty)$
上递增. 因而在正半轴上，最小值取在
$x=1,$
且
$f(1)=2.$

由奇偶性可知，在负半轴上與之對應的点是
$(-1,-2).$
于是函數值只能落在
$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$
中.

過渡. 圖像告诉我们整體轮廓，基本性質告诉我们這些轮廓應当怎样准确表述. 再往下走，就要研究函數怎样由簡單部分拼成更複杂的结構，以及圖像在平移、伸缩和對称下怎样變化.

單调性​

單调性的定義​

圖像法​

定義法​

單调性的作用​

複合函數的單调性​

本节小结​

最值​

最大值與最小值的定義​

取到與逼近​

利用單调性判断最值​

最值與值域​

奇偶性​

奇函數與偶函數的定義​

基本结論​

判断奇偶性的步骤​

利用奇偶性求值和补全解析式​

奇偶性的运算法则​

奇偶性與複合​

本节小结​

周期性​

周期函數的定義​

周期的几個直接结論​

由解析式直接求周期​

周期函數的和差與最小公倍數​

本节小结​

性質之間的联係與綜合判断​

單调性與最值​

奇偶性對圖像信息的压缩​

周期性把局部信息推廣到整體​

綜合判断的顺序​

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單调性

單调性的定義

圖像法

定義法

單调性的作用

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最值

最大值與最小值的定義

取到與逼近

利用單调性判断最值

最值與值域

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基本结論

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利用奇偶性求值和补全解析式

奇偶性的运算法则

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由解析式直接求周期

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