第一卷函數-基本初等函數

多項式函數與三次函數初步

多項式函數

形如

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 (n\in\mathbb{N},\ a_n\ne 0)

的函數称為多項式函數. 其中 $n$ 称為這個多項式函數的次數.

$n=1,2,3$ 分别给出一次函數、二次函數和三次函數. 一次函數和二次函數是三次函數的工具：平移、對称和根與係數的结論在三次函數中反複出現. 三次函數要解决的是化簡形式與讀出圖像信息.

一次函數與二次函數回顾

平移、對称和根與係數的结論在三次函數中反複出現. 先回顾一次函數和二次函數中的對應结論.

一次函數 $f(x)=kx+b (k\ne0)$ 的圖像是直線. 若 $x_1\<x_2$ , 则 $f(x_2)-f(x_1)=k(x_2-x_1).$ 因為 $x_2-x_1\>0$ , 所以差值的符号只由 $k$ 决定. 因而当 $k\>0$ 时, $f(x_2)\>f(x_1)$ , 函數在整個定義域上严格递增；当 $k\<0$ 时, $f(x_2)\<f(x_1)$ , 函數在整個定義域上严格递减.

二次函數 $f(x)=ax^2+bx+c (a\ne0)$ 的圖像是抛物線. 配方可得 $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}.$ 所以抛物線的對称轴是 $x=-\frac{b}{2a},$ 顶点坐標是 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right).$ 因為平方項总是非负，当 $a\>0$ 时，顶点给出最小值；当 $a\<0$ 时，顶点给出最大值. 若方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两個根，它们關于對称轴成轴對称分布.

若方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两個根為 $x_1,x_2$ , 由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{b}{a},$ 所以對称轴横坐標也可以寫成 $\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}.$

三次函數的標准形

三次函數的一般形式是 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a\ne0)$ . 处理這類函數时，常先把二次項消去.

三次函數的平移標准形

對任意三次函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a\ne0),$ 令 $g(u)=f\!\left(u-\frac{b}{3a}\right),$ 则 $g(u)=au^3+pu+q,$ 其中

p=c-\frac{b^2}{3a}, q=d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}.

證明

把 $x=u-\frac{b}{3a}$ 代入 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ , 得

\begin{aligned} g(u) &=a\left(u-\frac{b}{3a}\right)^3+b\left(u-\frac{b}{3a}\right)^2+c\left(u-\frac{b}{3a}\right)+d &=au^3+\left[3a\left(-\frac{b}{3a}\right)+b\right]u^2+\left[3a\left(\frac{b}{3a}\right)^2-2b\left(\frac{b}{3a}\right)+c\right]u & -a\left(\frac{b}{3a}\right)^3+b\left(\frac{b}{3a}\right)^2-\frac{bc}{3a}+d. \end{aligned}

其中 $u^2$ 項的係數為 $3a\left(-\frac{b}{3a}\right)+b=-b+b=0,$ 所以

g(u)=au^3+\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)u+\left(d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}\right).

這個结論的作用很直接：任意三次函數經過一次水平平移后，都能化成不含二次項的形式. 后面讨論圖像對称时，只要研究 $au^3+pu+q$ 就够了.

三次函數的中心對称

三次函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的圖像關于点 $\left(-\frac{b}{3a},\,f\!\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ 中心對称.

證明

由上一节的结論，令 $g(u)=f\!\left(u-\frac{b}{3a}\right)=au^3+pu+q.$ 對任意实數 $t$ , 曲線 $y=g(u)$ 上有两点 $A(t,g(t)), B(-t,g(-t)).$ 由 $g(t)+g(-t)=\bigl(at^3+pt+q\bigr)+\bigl(-at^3-pt+q\bigr)=2q$ 可知線段 $AB$ 的中点是 $\left(\frac{t+(-t)}{2},\frac{g(t)+g(-t)}{2}\right)=(0,q).$ 所以曲線 $y=g(u)$ 關于点 $(0,q)$ 中心對称.

再把坐標平移回原變量. 当 $u=0$ 时，對應的横坐標是 $x=-\frac{b}{3a}$ , 對應函數值是 $q=g(0)=f\!\left(-\frac{b}{3a}\right).$ 所以原三次函數圖像關于点 $\left(-\frac{b}{3a},\,f\!\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ 中心對称.

例

寫出函數 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ 的對称中心.

解

由上一定理，對称中心的横坐標為 $x_0=-\frac{b}{3a}=-\frac{-6}{3\cdot 1}=2.$ 再算 $f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2+1=8-24+18+1=3.$ 所以對称中心是 $(2,3)$ .

標准立方函數的圖像

当上面的平移標准形里恰好有 $p=0$ 时，三次函數就變成最簡單的形状.

標准立方函數

形如 $y=a(x-h)^3+k (a\ne 0)$ 的函數称為標准立方函數.

參數 $h,k$ 决定對称中心的位置，參數 $a$ 决定圖像的方向和伸缩程度.

標准立方函數的性質

函數 $f(x)=a(x-h)^3+k (a\ne 0)$ 有下面三個性質:

圖像關于点 $(h,k)$ 中心對称;
当 $a\>0$ 时，函數在 $\mathbb{R}$ 上严格递增；当 $a\<0$ 时，函數在 $\mathbb{R}$ 上严格递减;
任意水平直線 $y=m$ 與圖像恰有一個交点.

證明

對任意实數 $t$ , 有 $f(h+t)+f(h-t)=\bigl(at^3+k\bigr)+\bigl(-at^3+k\bigr)=2k.$ 所以点 $(h,k)$ 是圖像的對称中心.

再看單调性. 取任意 $x_1\<x_2$ , 则 $x_1-h\<x_2-h$ . 立方运算保持大小顺序，所以 $(x_1-h)^3\<(x_2-h)^3.$ 当 $a\>0$ 时，两边同乘 $a$ 后顺序不變，從而 $a(x_1-h)^3+k\<a(x_2-h)^3+k,$ 即 $f(x_1)\<f(x_2)$ . 這說明函數严格递增. 当 $a\<0$ 时，两边同乘 $a$ 后顺序反向，于是 $f(x_1)\>f(x_2)$ , 函數严格递减.

最后看水平直線. 设 $a(x-h)^3+k=m.$ 则 $(x-h)^3=\frac{m-k}{a},$ 所以 $x=h+\sqrt[3]{\frac{m-k}{a}}.$ 這個实數唯一，因而水平直線 $y=m$ 與圖像恰有一個交点.

因此当 $a\>0$ 时，圖像從左下向右上延伸；当 $a\<0$ 时，圖像從左上向右下延伸.

例

讨論方程 $(x-1)^3=8$ 的实根.

解

原方程等价于 $x-1=\sqrt[3]{8}=2,$ 所以唯一实根是 $x=3.$ 由標准立方函數的性質，水平直線 $y=8$ 與曲線 $y=(x-1)^3$ 只有一個交点，所以上面的解已經给出了全部实根.

圖像上，這就是曲線 $y=(x-1)^3$ 與水平直線 $y=8$ 的唯一交点.

三次方程根與係數的關係

三次方程也可以把根的和、两两乘積之和、三根乘積直接寫成係數的式子. 计算根的對称式时，先用這些關係会更省力.

三次方程根與係數的關係

设方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\ne0)$ 在複數范围内的三個根為 $x_1,x_2,x_3$ (重根按重數计算), 则有

\begin{aligned} x_1+x_2+x_3&=-\frac{b}{a}, x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3&=\frac{c}{a}, x_1x_2x_3&=-\frac{d}{a}. \end{aligned}

證明

在複數范围内，這個三次多項式可以分解為三個一次因式. 设這三個根為 $x_1,x_2,x_3$ , 则 $ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).$ 展開右边得

a\bigl[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3\bigr].

比较同次項係數，就得到三個關係式.

例

已知三次方程 $x^3-6x^2+11x-6=0$ 的三個根為 $x_1,x_2,x_3$ , 求 $x_1+x_2+x_3, x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3, x_1x_2x_3$ .

解

這里 $a=1,\ b=-6,\ c=11,\ d=-6$ . 由根與係數關係, $x_1+x_2+x_3=6, x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=11, x_1x_2x_3=6.$

幂函數

前面已經讨論過指數函數 $y=a^x$ . 下面讨論變量位于底數位置的函數.

定義與辨析

幂函數

形如 $y=x^\alpha$ 的函數称為幂函數, 其中 $x$ 是自變量, $\alpha \in \mathbb{R}$ 是一個常數，称為指數.

幂函數與指數函數都含有幂运算，但變量的位置不同，因而性質也不同.

幂函數 $y=x^\alpha$ : 自變量 $x$ 是底數, 指數 $\alpha$ 是常數.
指數函數 $y=a^x$ : 自變量 $x$ 是指數, 底數 $a$ 是常數.

先看變量在幂中的位置. $y=x^2$ 與 $y=2^x$ 在 $x\>0$ 时都递增，当 $x$ 足够大时, $2^x$ 增长得更快.

幂函數與指數函數的增长比较. 在 $x>4$ 后，指數函數的增长速度远超幂函數. — 幂函數與指數函數的增长比较. 在 $x\>4$ 后，指數函數的增长速度远超幂函數.*

圖像與性質

幂函數的性質由指數 $\alpha$ 决定. 下面通過几個典型圖像归纳其共性與差异.

观察圖像，再配合代數运算，可得到幂函數 $y=x^\alpha$ 的常用性質:

定義域: 定義域依赖于 $\alpha$ . 若 $\alpha$ 為正整數，定義域為 $\mathbb{R}$ . 若 $\alpha$ 為负整數，定義域為 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . 若 $\alpha$ 為分數，则需根据分母的奇偶性确定，例如 $y=x^{1/2}$ 的定義域為 $[0, +\infty)$ .
奇偶性: 奇偶性同样取决于 $\alpha$ . 若 $f(x)=x^\alpha$ 的定義域關于原点對称，则当 $\alpha$ 是整數时，其奇偶性與 $\alpha$ 的奇偶性一致. 若 $\alpha=p/q$ (最簡分數), 则当 $q$ 為奇數时，其奇偶性與分子 $p$ 的奇偶性一致.
公共点: 无論 $\alpha$ 為何值 (除 $\alpha=0$ 外), 幂函數的圖像恒過定点 $(1,1)$ , 因為 $1^\alpha=1$ .
單调性 (在第一象限，即 $x\>0$ 时):

当 $\alpha\>0$ 时，函數在 $(0, +\infty)$ 上严格單调递增.
当 $\alpha\<0$ 时，函數在 $(0, +\infty)$ 上严格單调递减.

下面补充單调性和奇偶性的證明.

證明（單调性的證明）

设 $0\<x_1\<x_2$ , 则 $\dfrac{x_2}{x_1}\>1$ .

当 $\alpha\>0$ 时，因為底數大于 $1$ 且指數為正，所以 $\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\alpha}\>1,$ 從而

x_2^{\alpha}=x_1^{\alpha}\cdot\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\alpha}\>x_1^{\alpha}.

這說明 $y=x^{\alpha}$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增.

当 $\alpha\<0$ 时，同理可得 $\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\alpha}\<1,$ 從而 $x_2^{\alpha}\<x_1^{\alpha}$ , 函數在 $(0,+\infty)$ 上严格递减.

證明（奇偶性的證明）

设 $\alpha$ 為整數，且 $f(x)=x^{\alpha}$ 的定義域關于原点對称.

若 $\alpha$ 為偶數，则 $f(-x)=(-x)^{\alpha}=(-1)^{\alpha}x^{\alpha}=x^{\alpha}=f(x),$ 所以 $f$ 為偶函數.

若 $\alpha$ 為奇數，则

f(-x)=(-x)^{\alpha}=(-1)^{\alpha}x^{\alpha}=-x^{\alpha}=-f(x),

所以 $f$ 為奇函數.

對 $\alpha=p/q$ (最簡分數) 且 $q$ 為奇數的情形，此时 $x^{1/q}$ 對所有实數 $x$ 都有意義，定義域為 $\mathbb{R}$ , 關于原点對称. 又因為 $(-x)^{1/q}=-x^{1/q}$ (奇數次方根保持符号), 所以

(-x)^{p/q}=\bigl((-x)^{1/q}\bigr)^{p}=\bigl(-x^{1/q}\bigr)^{p}=(-1)^{p}\bigl(x^{1/q}\bigr)^{p},

奇偶性取决于 $p$ 的奇偶性.

比较幂的大小、解含幂式的不等式时，通常先看定義域和單调性.

例

比较 $0.7^{0.8}, 0.8^{0.7}, 0.8^{0.8}$ 的大小.

解

取 $0.8^{0.8}$ 作中間量，分两次比较.

比较 $0.8^{0.7}$ 與 $0.8^{0.8}$ . 把它们看作指數函數 $f(x)=0.8^x$ 在两個点处的函數值. 由于 $0.8\in(0,1)$ , 函數 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上單调递减，又 $0.7\<0.8$ , 所以 $0.8^{0.7}\>0.8^{0.8}$ .

比较 $0.7^{0.8}$ 與 $0.8^{0.8}$ . 把它们看作幂函數 $g(x)=x^{0.8}$ 在两個点处的函數值. 由于指數 $0.8\>0$ , 函數 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上單调递增，又 $0.7\<0.8$ , 所以 $0.7^{0.8}\<0.8^{0.8}$ .

綜合两步比较，得 $0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8} \< 0.8^{0.7}$ . 因此，三個數的大小顺序為 $0.7^{0.8} \< 0.8^{0.8} \< 0.8^{0.7}$ .

例

已知函數 $f(x) = (m^2-m-1)x^{m-2}$ 是一個幂函數，且在区間 $(0, +\infty)$ 上是减函數，求实數 $m$ 的值.

解

分别使用“幂函數”和“减函數”两個条件.

幂函數的標准形式為 $y=x^\alpha$ , 自變量前的係數必须為 $1$ . 因此 $m^2 - m - 1 = 1$ . 整理得 $m^2 - m - 2 = 0$ . 因式分解為 $(m-2)(m+1)=0$ , 解得两個可能的 $m$ 值為 $m=2$ 或 $m=-1$ .

再用單调性筛選. 当 $x\>0$ 时, $y=x^\alpha$ 單调递减對應 $\alpha \< 0$ . 在本題中，指數為 $m-2$ . 故必须满足 $m-2 \< 0 \implies m \< 2$ .

在 $\{2, -1\}$ 中取满足 $m\<2$ 的值，得 $m=-1$ .

故实數 $m$ 的值為 $-1$ .

指數函數

在自然現象與社会經济現象中，常会遇到增长或衰减速率與当前总量成正比的過程. 例如细胞增殖、放射性衰變和複利计息.

刻画這類過程需要指數函數模型. 幂运算的推廣是它的起点.

指數的擴张與指數函數的定義

$a^3 = a \cdot a \cdot a$ , $a^{-2} = 1/a^2$ . 把指數從整數擴展到实數，同时保留幂运算律，就得到指數函數.

先定義有理數指數幂. 對于任意正实數 $a$ 和有理數 $p/q$ ( $p,q \in \mathbb{Z}, q\>0$ ), 定義 $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$ 這一定義的目的是保持幂运算律 $(a^x)^y = a^{xy}$ .

對于无理數指數，在高中階段把 $a^x$ 视為已經建立好的基本函數對象. 它保持了熟悉的幂运算规律，并把定義域自然擴展到全體实數.

指數函數

函數 $y=a^x$ ( $a\>0$ 且 $a \neq 1$ ) 称為指數函數, 其中 $x$ 是自變量. 其定義域為全體实數 $\mathbb{R}$ .

要求底數 $a$ 為正數，是為了确保函數在整個实數域上都有定義 (例如, $(-2)^{1/2}$ 在实數域内无意義). 而 $a \neq 1$ 是因為当 $a=1$ 时, $y=1^x=1$ 是常數函數，通常不單独作為指數函數研究.

指數函數的定義辨析

若函數 $y=(a^2-5a+7)a^{x}$ 是指數函數，求參數 $a$ 的值.

解

先對照指數函數的標准形式 $y=b^x$ . 给定式子要成為指數函數，需要满足:

函數的係數必须為 $1$ .
底數 $b$ 必须為正數且不等于 $1$ .

係數必须為 $1$ , 所以 $a^2 - 5a + 7 = 1$ , 即 $a^2 - 5a + 6 = 0$ . 因式分解得 $(a-2)(a-3)=0$ , 所以 $a=2$ 或 $a=3$ .

再檢查底數条件 $a\>0$ 且 $a \neq 1$ .

当 $a=2$ 时, $2\>0$ 且 $2 \neq 1$ . 此条件满足.
当 $a=3$ 时, $3\>0$ 且 $3 \neq 1$ . 此条件同样满足.

两個候選值均满足条件. 因此，參數 $a$ 的值為 $2$ 或 $3$ .

由点确定指數函數

已知指數函數 $y=f(x)$ 的圖像經過点 $(2,4)$ , 求 $f(3)$ 的值.

解

題目明确指出 $f(x)$ 是指數函數，因而可设 $f(x)=a^x$ , 其中底數 $a$ 满足 $a\>0$ 且 $a \neq 1$ .

圖像經過点 $(2,4)$ , 即当 $x=2$ 时函數值為 $4$ . 代入函數形式得到關于底數 $a$ 的方程 $f(2) = a^2 = 4$ . 解此方程，得 $a=2$ 或 $a=-2$ .

由指數函數底數满足 $a\>0$ , 需舍去 $a=-2$ . 因此，底數 $a$ 被唯一确定為 $2$ .

因而函數表达式确定為 $f(x) = 2^x$ . 再计算所求的函數值 $f(3)$ , 有 $f(3) = 2^3 = 8$ , 故 $f(3)$ 的值為 $8$ .

指數函數的圖像與性質

指數函數的性質由底數 $a$ 的取值范围决定. 下面分 $a\>1$ 和 $0\<a\<1$ 两种情形讨論.

指數函數 $y=a^x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 具有以下基本性質:

定義域與值域: 其定義域為 $\mathbb{R}$ , 值域為 $(0, +\infty)$ .
特定点: 无論底數 $a$ 為何值，函數圖像恒過定点 $(0,1)$ , 因為 $a^0=1$ .
單调性:

当 $a\>1$ 时，指數函數在 $\mathbb{R}$ 上是严格單调递增的.
当 $0\<a\<1$ 时，指數函數在 $\mathbb{R}$ 上是严格單调递减的.

渐近線: $x$ 轴是指數函數圖像的水平渐近線.

以下以 $a\>1$ 的情形為例，用定義法證明其單调性.

證明

不妨设 $a\>1$ . 在定義域 $\mathbb{R}$ 中任取 $x_1, x_2$ 且 $x_1 \< x_2$ . 考察其函數值的比值，有 $\frac{f(x_2)}{f(x_1)} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = a^{x_2-x_1}$ . 由于 $x_1 \< x_2$ , 故 $x_2-x_1 \> 0$ . 当底數 $a\>1$ 且指數為正數时，幂的值必然大于 $1$ . 即 $a^{x_2-x_1} \> 1$ . 因此, $\frac{f(x_2)}{f(x_1)} \> 1$ . 又因為指數函數的值域為 $(0, +\infty)$ , $f(x_1)$ 恒為正，故可得 $f(x_2) \> f(x_1)$ . 根据定義，函數 $f(x)=a^x$ 在 $a\>1$ 时是严格單调递增的. $0\<a\<1$ 的情形可類似證明.

例

求解不等式 $4^{x^2+x} \< (\frac{1}{2})^{x-5}$ .

解

先把两端都化成以 $2$ 為底的幂，再用單调性比较指數.

由 $4 = 2^2, \frac{1}{2} = 2^{-1}$ , 原不等式化為 $(2^2)^{x^2+x} \< (2^{-1})^{x-5}$ , 即 $2^{2(x^2+x)} \< 2^{-(x-5)}$ . 這就是同一個指數函數 $f(t)=2^t$ 在 $t_1=2(x^2+x)$ 和 $t_2=-(x-5)$ 处的取值比较.

由于底數 $2\>1$ , 指數函數 $f(t)=2^t$ 在其定義域 $\mathbb{R}$ 上是严格單调递增的. 因此, $f(t_1) \< f(t_2)$ 等价于 $t_1 \< t_2$ , 即 $2(x^2+x) \< -(x-5)$ . 整理得 $2x^2 + 3x - 5 \< 0$ . 因式分解得 $(2x+5)(x-1) \< 0$ .

此不等式的解集為 $(-\frac{5}{2}, 1)$ .

例

求解方程 $4^x + 6^x = 2 \cdot 9^x$ .

解

先观察底數: $4=2^2, 6=2 \cdot 3, 9=3^2$ . 用除法把它们整理成同一個比值.

将方程两边同除以 $9^x$ , 得 $\frac{4^x}{9^x} + \frac{6^x}{9^x} = 2$ . 利用 $(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$ , 得

\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0.

令 $t = (\frac{2}{3})^x$ . 由于指數函數的值域為正，有 $t\>0$ . 原方程转化為 $t^2 + t - 2 = 0$ . 因式分解得 $(t+2)(t-1)=0$ . 解得 $t=-2$ 或 $t=1$ .

结合 $t\>0$ 筛選，保留 $t=1$ .

将 $t$ 的值代回換元關係式，得 $\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$ . 由于任何非零实數的零次幂都等于 $1$ , 立即得到 $x=0$ .

本題的關键是先把不同底數化為同一比值，再換元.

指數增长模型的性質辨析

某池塘中浮萍的面積 $y$ (單位: $\text{m}^2$ ) 與时間 $t$ (單位：月) 的關係為指數函數模型 $y=f(t)=ka^t$ ( $k\>0, a\>0, a \neq 1$ ), 其圖像如圖所示. 试判断下列說法的正誤. \begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

[label=\Alph*.]

浮萍每月增加的面積都相等.
第6個月时，浮萍的面積会超過 $30\,\text{m}^2$ .
浮萍面積從 $2\,\text{m}^2$ 蔓延到 $64\,\text{m}^2$ 只需經過 5 個月.
若浮萍面積蔓延到 $4\,\text{m}^2, 6\,\text{m}^2, 9\,\text{m}^2$ 所經過的时間分别為 $t_1, t_2, t_3$ , 则 $t_1+t_3=2t_2$ .

解

先讀圖确定模型參數. 圖像經過点 $(0,1)$ , 代入 $y=ka^t$ 得 $1 = k \cdot a^0$ , 所以 $k=1$ . 模型化為 $y=a^t$ . 圖像还經過点 $(1,2)$ , 代入得 $2 = a^1$ , 所以 $a=2$ . 再檢验点 $(2,4)$ : $f(2)=2^2=4$ , 與圖像吻合. 因而浮萍面積的增长模型為 $y=f(t)=2^t$ .

逐項判断.

對于命題 A, “每月增加的面積”對應差分 $f(t+1)-f(t)$ , 而 $f(t+1) - f(t) = 2^{t+1} - 2^t = 2^t$ . 這個增量随 $t$ 增大而增大. 故 A 項錯誤.

對于命題 B, 计算第6個月末 (即 $t=6$ 时) 的面積，有 $f(6) = 2^6 = 64 \, (\text{m}^2)$ . 由于 $64 \> 30$ , 故 B 項正确.

對于命題 C, 面積為 $2\,\text{m}^2$ 时 $2^t=2$ , 得 $t_{\text{初}}=1$ ; 面積為 $64\,\text{m}^2$ 时 $2^t=64=2^6$ , 得 $t_{\text{末}}=6$ . 所需时間為 $5$ 個月. 故 C 項正确.

對于命題 D, 根据題意有 $4=2^{t_1}, 6=2^{t_2}, 9=2^{t_3}$ , 即 $t_1=\log_2 4$ , $t_2=\log_2 6$ , $t_3=\log_2 9$ . 檢验等式: $t_1+t_3 = \log_2 4 + \log_2 9 = \log_2 36$ , $2t_2 = 2\log_2 6 = \log_2 36$ . 由于二者相等，故 D 項正确.

因此，正确的說法為 B, C, D.

等比與等差的對偶性

選項 D 反映出一個常见性質：若指數函數的因變量構成等比數列，则對應的自變量構成等差數列. 這是對數把乘法關係转化為加法關係的直接體現.

2017年北京卷

已知函數 $f(x)=3^x-\left(\frac13\right)^x.$ 判断 $f(x)$ 的奇偶性與單调性.

解

先看奇偶性: $f(-x)=3^{-x}-3^x=-\left(3^x-3^{-x}\right)=-f(x).$ 所以 $f(x)$ 是奇函數.

再看單调性. 任取 $x_1\<x_2$ , 则因為 $3^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增, $3^{-x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上递减，所以 $3^{x_1}\<3^{x_2}, 3^{-x_1}\>3^{-x_2}.$ 從而

\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1) &=\left(3^{x_2}-3^{-x_2}\right)-\left(3^{x_1}-3^{-x_1}\right) &=\left(3^{x_2}-3^{x_1}\right)+\left(3^{-x_1}-3^{-x_2}\right)\>0. \end{aligned}

因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格單调递增.

綜上, $f(x)$ 是奇函數，且在 $\mathbb{R}$ 上是增函數.

指數衰减模型的建立與求解

某地区计划對总面積為 $A$ 的老旧房屋進行“平改坡”工程. 經测算，若改造模式為每年改造的面積是当年剩余未改造面積的一個固定百分比 $p$ , 要在10年内完成工程总量的一半，试估算這個百分比 $p$ 的值. (參考數据: $(1/2)^{1/10} \approx 0.933$ )

解

设 $t$ 年后剩余未改造面積為 $R(t)$ , 则 $R(0)=A$ .

每年改造当年剩余面積的 $p$ , 下一年就剩下原剩余量的 $1-p$ , 因此 $R(t+1) = R(t) - pR(t) = (1-p)R(t).$ 所以 $R(t) = A(1-p)^t$ .

10 年后完成一半，也就是 $R(10)=A/2$ . 代入模型得 $A(1-p)^{10} = \frac{A}{2}$ , 消去 $A$ , 得 $(1-p)^{10} = \frac{1}{2}$ .

由此得 $1-p = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{10}}$ . 利用參考數据 $(1/2)^{1/10} \approx 0.933$ , 得到 $1-p \approx 0.933$ .

因此, $p \approx 1 - 0.933 = 0.067$ .

故每年约需改造当年剩余面積的 $6.7\%$ .

指數模型與線性模型的對比

按剩余量百分比改造时，剩余面積按固定比例缩小. 每年改造固定面積时，剩余面積按固定差值减少.

自然底數 \texorpdfstring{ $e$

{e} 的引入} 在指數函數 $y=a^x$ 中，不同底數决定增长或衰减的快慢. 其中有一個特殊底數，记作 $e$ .

设一笔本金存入银行，年利率為 $r$ . 若每年计息一次，一年后本利和為 $P_1 = P_0(1+r)$ . 若每半年计息一次，则每次计息的利率為 $r/2$ , 一年内计息两次. 一年后本利和為 $P_2 = P_0(1+\frac{r}{2})^2$ . 若每月计息一次，则一年后本利和為 $P_{12} = P_0(1+\frac{r}{12})^{12}$ .

一般地，若一年内计息 $n$ 次，则每次的利率為 $r/n$ , 一年后本利和為: $P_n = P_0\left(1+\frac{r}{n}\right)^n$ 当计息次數不断增加时，上式会稳定到一個固定的數值附近.

為突出主要结構，取本金為 $1$ , 年利率為 $100\%$ , 得 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ . 随着 $n$ 逐渐增大，這個數列的值逐渐稳定.

$n=1$ : $(1+1/1)^1 = 2$
$n=10$ : $(1+1/10)^{10} \approx 2.5937$
$n=100$ : $(1+1/100)^{100} \approx 2.7048$
$n=1000$ : $(1+1/1000)^{1000} \approx 2.7169$

這個稳定下来的常數记作 $e$ .

自然底數 $e$

自然底數 $e$ 是一個重要常數，近似值為 $e \approx 2.71828...$ 複利模型中，计息足够频繁时的增长常數就是 $e$ .

在複利模型中, $e$ 描述了计息足够频繁时的增长规律.

自然指數函數的基本性質

以 $e$ 為底的指數函數 $f(x)=e^x$ (称為自然指數函數) 仍属于指數函數. 因而它满足:

定義域為 $\mathbb{R}$ , 值域為 $(0,+\infty)$ ;
圖像過点 $(0,1)$ ;
在 $\mathbb{R}$ 上严格單调递增.

證明

這些结論都是指數函數一般性質在底數 $a=e$ 时的直接特例.

因此, $e^x$ 常用于描述複利增长、持續積累和指數增长過程. 第二卷再继續讨論它的更深性質.

對數函數

在第~[ref:sec:ch03-s07] 节中，已讨論過反函數的一般理論. 對指數函數 $y=a^x$ 而言，一個自然問題是其逆過程如何表示：已知幂的值 $y$ 和底數 $a$ , 能否唯一确定對應的指數 $x$ ？

例如，方程 $2^x=8$ 的解是 $x=3$ . 若求解 $2^x=5$ , 虽然解不再是有理數，但由指數函數 $y=2^x$ 的严格單调性可知，仍存在唯一的实數 $x$ 與 $y=5$ 對應. 為了表示這個數，需要引入描述“求解指數”這一逆运算的记号，這就是對數概念的起源.

對數的定義與對數函數

對數

若 $a^x = N$ ( $a\>0, a \neq 1$ ), 则數 $x$ 称為以 $a$ 為底 $N$ 的對數, 记作 $x = \log_a N$ 其中, $a$ 称為對數的底數, $N$ 称為真數.

這個定義揭示了對數與指數之間的互逆關係： $a^x=N \iff x=\log_a N$ . 對數 $\log_a N$ 的含義，就是求使 $a$ 的幂等于 $N$ 的指數.

据此可建立對數函數.

對數函數

函數 $y=\log_a x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 称為對數函數, 其中 $x$ 是自變量.

從指數式 $a^x=N$ 反看對數，可以直接讀出底數和真數的限制.

底數约束 ( $a\>0, a \neq 1$ ): 底數仍按指數函數的要求取值.
定義域 (真數约束 $x\>0$ ): 對數函數的自變量 $x$ 對應指數函數 $y=a^x$ 的函數值. 指數函數的值域為 $(0, +\infty)$ , 所以對數函數的定義域為 $(0, +\infty)$ .

對數函數的圖像與性質

對數函數 $y=\log_a x$ 是指數函數 $y=a^x$ 的反函數. 画圖时，可以把指數函數圖像沿直線 $y=x$ 翻折，得到對應的對數函數圖像.

指數函數與對數函數圖像的對称性 ($a>1$) — 指數函數與對數函數圖像的對称性 ($a\>1$)*

對數函數 $y=\log_a x$ ( $a\>0, a \neq 1$ ) 的性質如下:

定義域與值域: 其定義域為 $(0, +\infty)$ , 值域為 $\mathbb{R}$ . (這恰好是指數函數定義域與值域的互換).
特定点: 无論底數 $a$ 為何值，函數圖像恒過定点 $(1,0)$ , 因為 $\log_a 1=0$ .
單调性:

当 $a\>1$ 时，對數函數在 $(0, +\infty)$ 上是严格單调递增的.
当 $0\<a\<1$ 时，對數函數在 $(0, +\infty)$ 上是严格單调递减的.

渐近線: $y$ 轴 (即直線 $x=0$ ) 是對數函數圖像的垂直渐近線.

2021年全国甲卷

五分记錄法與小數记錄法记錄视力數据时，两者满足 $L=5+\lg V.$ 已知某同學视力的五分记錄法數据為 $4.9$ , 求其小數记錄法數据 $V$ 的近似值. (參考數据: $10^{0.1}\approx 1.259$ )

解

由題意 $4.9=5+\lg V,$ 所以 $\lg V=-0.1.$ 按照對數定義, $V=10^{-0.1}=\frac{1}{10^{0.1}}.$ 利用題中所给數据, $V\approx \frac{1}{1.259}\approx 0.79.$ 因而小數记錄法數据约為 $0.8.$

對數與指數的複合應用

已知對數函數 $f(x)$ 的圖像與一次函數 $h(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ 的圖像交于 $A, B$ 两点，且点 $B$ 的横坐標為 $4$ . \begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

求 $f(x)$ 的解析式.
若關于 $x$ 的不等式 $4^{f(x)}\<k$ 恰有 1 個整數解，求实數 $k$ 的取值范围.

解

先确定對數函數 $f(x)$ 的具體形式. 设 $f(x)=\log_a x$ , 其中 $a\>0$ 且 $a \neq 1$ .

点 $B$ 是两個函數圖像的公共点，其坐標必须同时满足两個解析式. 已知点 $B$ 的横坐標為 $4$ , 计算得 $h(4) = \frac{1}{3}(4) - \frac{1}{3} = 1$ . 因此，点 $B$ 的坐標為 $(4,1)$ .

将点 $B(4,1)$ 代入 $f(x)=\log_a x$ , 得 $f(4) = \log_a 4 = 1$ . 根据對數的定義，此式等价于 $a^1=4$ , 故 $a=4$ . 因此，函數 $f(x)$ 的解析式為 $f(x)=\log_4 x$ .

再分析不等式 $4^{f(x)}\<k$ . 代入 $f(x)=\log_4 x$ , 得 $4^{\log_4 x} \< k$ . 由 $a^{\log_a N} = N$ , 化為 $x \< k$ . 同时保留原函數 $f(x)=\log_4 x$ 的定義域 $x\>0$ .

因此，不等式的解集是 $0 \< x \< k$ . 下面确定參數 $k$ 的取值，使開区間 $(0,k)$ 内恰好包含一個整數.

区間 $(0,k)$ 内的整數從小到大依次為 $1, 2, 3, ...$ . 要使该区間内恰好包含一個整數，這個整數必然是 $1$ .

為了让 $1$ 成為解集的一部分，必须有 $1 \< k$ . 為了让 $2$ 不成為解集的一部分，必须有 $k \le 2$ .

由此得 $1 \< k \le 2$ . 故实數 $k$ 的取值范围是 $(1, 2]$ .

對數函數圖像的几何應用

如圖，對數函數 $f(x)=\log_a x$ ( $a\>1$ ) 圖像上的点 $A$ 與 $x$ 轴上的点 $B(1,0)$ 和点 $C$ 構成以 $BC$ 為斜边的等腰直角三角形. 若 $\triangle ECD$ 與 $\triangle ABC$ 相似，点 $E$ 在函數 $f(x)$ 的圖像上，点 $D$ 位于点 $C$ 的右侧，且两個三角形的相似比為 $2:1$ , 求底數 $a$ 的值. \begin{BookDiagram}

\end{BookDiagram}

解

把圖形条件逐步寫成点坐標關係.

设点 $A$ 的坐標為 $(x_1, y_1)$ . 由于 $a\>1$ , 函數 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上單调递增，故 $y_1\>0$ . $\triangle ABC$ 是以 $BC$ 為斜边的等腰直角三角形，点 $A$ 在其上方，所以点 $A$ 到 $BC$ 的高等于斜边长度的一半，垂足是 $BC$ 的中点.

点 $A$ 的纵坐標 $y_1$ 即為三角形的高. 设 $C$ 点坐標為 $(c,0)$ , 则斜边长為 $c-1$ . 于是 $y_1 = \frac{1}{2}(c-1)$ . 同时，点 $A$ 的横坐標 $x_1$ 必為 $BC$ 的中点横坐標，即 $x_1 = \frac{1+c}{2}$ .

消去 $c$ , 由 $c=2x_1-1$ 代入前式，得 $y_1 = \frac{1}{2}((2x_1-1)-1) = x_1-1$ . 因而圖像上的点 $A(x_1, y_1)$ 满足線性關係 $y_1=x_1-1$ .

设点 $E$ 的坐標為 $(x_2, y_2)$ . 由于 $\triangle ECD \sim \triangle ABC$ 且相似比為 $2$ , 對應高的比也為 $2$ . $\triangle ECD$ 的高就是点 $E$ 的纵坐標 $y_2$ . 因此, $y_2 = 2y_1$ .

因為点 $A(x_1, y_1)$ 和 $E(x_2, y_2)$ 都在函數 $f(x)=\log_a x$ 的圖像上，所以 $y_1 = \log_a x_1, y_2 = \log_a x_2$ . 结合 $y_2=2y_1$ , 得 $\log_a x_2 = 2\log_a x_1 = \log_a(x_1^2)$ . 由于對數函數是單射，此式蕴含了 $x_2 = x_1^2$ .

再找 $x_1, x_2$ 的關係. 由相似比可知 $CD$ 的长度是 $BC$ 的两倍，即 $CD=2BC=2(c-1)=4y_1$ . 点 $E$ 的横坐標 $x_2$ 是 $CD$ 的中点横坐標，因而 $x_2 = c + \frac{1}{2}CD = c + 2y_1$ .

于是得到關于 $x_1, y_1, x_2$ 的方程组

\begin{cases} y_1 = x_1-1 x_2 = x_1^2 x_2 = c + 2y_1 = (2x_1-1) + 2y_1 \end{cases}

将第一、二個式子代入第三個式子，得 $x_1^2 = (2x_1-1) + 2(x_1-1) = 4x_1 - 3$ . 整理得到一個關于 $x_1$ 的一元二次方程 $x_1^2 - 4x_1 + 3 = 0$ . 因式分解得 $(x_1-1)(x_1-3)=0$ , 解得 $x_1=1$ 或 $x_1=3$ .

若 $x_1=1$ , 则 $y_1 = \log_a 1 = 0$ , 這将導致 $\triangle ABC$ 退化為一個線段，不合題意，故舍去. 因此, $x_1=3$ .

当 $x_1=3$ 时, $y_1 = x_1-1 = 2$ . 故点 $A$ 的坐標為 $(3,2)$ .

最后，将点 $A(3,2)$ 代入函數解析式，得 $2 = \log_a 3$ . 根据對數的定義, $a^2=3$ . 由于題设 $a\>1$ , 得 $a=\sqrt{3}$ .

對數的运算法则

對數运算法则可以從指數运算法则推出. 證明时，先把對數式改寫成指數式，用指數法则计算，再改寫回對數式.

對數运算法则

设 $a\>0, a \neq 1$ , 且 $M\>0, N\>0$ .

$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ (積的對數等于對數的和).
$\log_a(M/N) = \log_a M - \log_a N$ (商的對數等于對數的差).
$\log_a(M^n) = n \log_a M$ ( $n \in \mathbb{R}$ ) (幂的對數等于指數乘以底的對數).

證明

三条法则的證明思路一致：设對數為指數，用指數法则运算，再改寫回對數.

法则 1: 设 $\log_a M = u$ , $\log_a N = v$ , 则 $a^u = M$ , $a^v = N$ . 于是 $MN = a^u \cdot a^v = a^{u+v}$ , 改寫回對數得 $\log_a(MN) = u+v = \log_a M + \log_a N$ .

法则 2: 同样设 $\log_a M = u$ , $\log_a N = v$ . 于是 $\dfrac{M}{N} = \dfrac{a^u}{a^v} = a^{u-v}$ , 改寫回對數得 $\log_a\!\left(\dfrac{M}{N}\right) = u-v = \log_a M - \log_a N$ .

法则 3: 设 $\log_a M = u$ , 则 $a^u = M$ . 于是 $M^n = (a^u)^n = a^{nu}$ , 改寫回對數得 $\log_a(M^n) = nu = n\log_a M$ .

在实际计算與理論推導中，统一不同對數的底數是一個常见的需求. 這需要一個重要的工具——換底公式.

換底公式

设 $a, b \> 0$ 且 $a, b \neq 1$ , $N\>0$ . 则 $\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}$

證明

设 $\log_a N = x$ . 则 $a^x = N$ . 對此指數式两边取以 $b$ 為底的對數，得 $\log_b(a^x) = \log_b N$ . 應用對數的幂运算法则，得 $x \log_b a = \log_b N$ . 由于 $a \neq 1$ , $\log_b a \neq 0$ , 故可解得 $x = \frac{\log_b N}{\log_b a}$ . 将 $x=\log_a N$ 代回，即得公式.

換底公式有两個常用推論:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ (通過令 $N=b$ 得到).
$\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ (通過換底到以 $a$ 為底的對數得到).

例

求解不等式 $\log_{0.5}(x^2-2x-3) \> \log_{0.5}(x-1)$ .

解

先由對數的真數必须為正确定定義域.

\begin{cases} x^2-2x-3 \> 0 x-1 \> 0 \end{cases}

第一個不等式 $(x-3)(x+1)\>0$ 的解集為 $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ . 第二個不等式 $x\>1$ 的解集為 $(1, +\infty)$ . 两個解集的交集為 $(3, +\infty)$ , 這就是原不等式的定義域.

在定義域 $x \in (3, +\infty)$ 内求解原不等式. 不等式两端是同一個對數函數 $f(t)=\log_{0.5} t$ 在两個不同点 $t_1=x^2-2x-3$ 和 $t_2=x-1$ 的取值.

由于底數 $a=0.5 \in (0,1)$ , 對數函數 $f(t)$ 在其定義域上是严格單调递减的. 因此，函數值的大小關係 $f(t_1) \> f(t_2)$ 等价于其自變量的反向大小關係 $t_1 \< t_2$ , 即 $x^2-2x-3 \< x-1$ . 整理此一元二次不等式，得 $x^2-3x-2 \< 0$ . 此方程 $x^2-3x-2=0$ 的根為 $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ . 故不等式 $x^2-3x-2 \< 0$ 的解集為 $(\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

最后将此解集與定義域 $(3, +\infty)$ 求交集. 注意到 $4 \< \sqrt{17} \< 5$ , 因此 $\frac{3+4}{2} \< \frac{3+\sqrt{17}}{2} \< \frac{3+5}{2}$ , 即 $3.5 \< \frac{3+\sqrt{17}}{2} \< 4$ . 同时, $3 = \frac{6}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} \< \frac{3+\sqrt{17}}{2}$ .

因此，两個区間的交集為 $(3, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

故原不等式的解集為 $(3, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

例

已知函數 $f(x) = \log_a \frac{1+x}{1-x}$ ( $a\>0, a \neq 1$ ).

求 $f(x)$ 的定義域.
判断 $f(x)$ 的奇偶性.

解

函數的定義域由其真數必须為正的条件决定，即 $\frac{1+x}{1-x} \> 0$ . 此分式不等式等价于 $(1+x)(1-x) \> 0$ , 即 $(x+1)(x-1) \< 0$ . 解得 $-1 \< x \< 1$ . 故 $f(x)$ 的定義域為開区間 $(-1, 1)$ .

再判断其奇偶性. 注意到定義域 $(-1, 1)$ 關于原点對称，因而可以讨論奇偶性. 计算 $f(-x) = \log_a \frac{1+(-x)}{1-(-x)} = \log_a \frac{1-x}{1+x}$ . 利用對數运算法则. 注意到 $\frac{1-x}{1+x} = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}$ . 因此,

\begin{aligned} f(-x) &= \log_a \left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) &= -1 \cdot \log_a \frac{1+x}{1-x} &= -f(x) \end{aligned}

此關係對定義域内的所有 $x$ 恒成立，故函數 $f(x)$ 是一個奇函數.

注

此函數是一個重要的奇函數模型. 更一般地，任何形如 $f(x) = \log_a g(x)$ 的函數，若其宗量满足 $g(-x)=1/g(x)$ , 则该函數必為奇函數. 验證方法與本題完全一致: $f(-x)=\log_a g(-x)=\log_a(1/g(x))=-\log_a g(x)=-f(x)$ . 這個结論在判断含對數的抽象函數的奇偶性时經常用到.

多項式函數與三次函數初步​

一次函數與二次函數回顾​

三次函數的標准形​

三次函數的中心對称​

標准立方函數的圖像​

三次方程根與係數的關係​

幂函數​

定義與辨析​

圖像與性質​

指數函數​

指數的擴张與指數函數的定義​

指數函數的圖像與性質​

自然底數 \texorpdfstring{​

對數函數​

對數的定義與對數函數​

對數函數的圖像與性質​

對數的运算法则​

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