第二卷極限與導數-導數定理與近似

中值定理與線性近似

拉格朗日中值定理把区間上的函數增量寫成某個中間点的導數乘以区間长度: $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ . 這条公式可以證明不等式，估计線性近似的誤差，还可以推廣到两個函數的增量比，得到柯西中值定理.

中值定理的基本應用

若函數 $f$ 在闭区間 $[a,b]$ 上连續，在開区間 $(a,b)$ 内可導，则存在 $\xi \in (a,b)$ , 使得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a).$ 這条公式把区間两端的函數增量 $f(b)-f(a)$ 寫成中間某点的導數值 $f'(\xi)$ 與区間长度 $b-a$ 的乘積.

点 $\xi$ 的具體位置通常未知，可它一定落在 $(a,b)$ 内. 因此只要能在這個区間上控制 $f'$ 的范围，就能控制 $f(b)-f(a)$ 的大小. 這是中值定理处理定量估计的入口.

先识别函數增量结構

许多題目的量是同一個函數在两点的差. 看到下列形式时，优先檢查能否在對應区間上應用中值定理:

出現差商或函數增量，如 $f(a)-f(b)$ , $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$ ；
要證明 $f(x)-f(x_0)$ 與 $x-x_0$ 之間的大小關係；
題目中含有 $\ln a - \ln b$ , $e^a - e^b$ , $\sin a - \sin b$ 這類“同一函數在两点的差”；
複杂函數的差值對應着较容易估计的導數.

中值定理證不等式

關键選择是函數 $f$ 與区間端点 $a,b$ . 一旦目標量成為 $f(b)-f(a)$ , 中值定理给出 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ . 后續只需在 $\xi \in (a,b)$ 的范围内估计 $f'(\xi)$ , 再结合 $b-a$ 的符号得到所需的上界、下界或夹逼结論.

基本方法與实例

證明形如 $g(x) \> h(x)$ 的不等式时，可寻找一個函數 $f$ 和两個端点，使目標差值成為 $f(b)-f(a)$ . 中值定理随后把問題转到 $f'$ 的估计上.

例

證明：当 $x \> 0$ 时，成立不等式 $e^x \> 1 + x$ .

證明

把原不等式寫成 $e^x - 1 \> x.$ 设 $f(t)=e^t$ . 因為 $x\>0$ , 所以 $f$ 在 $[0,x]$ 上连續，在 $(0,x)$ 内可導. 由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ , 使得 $e^x - 1 = f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)=e^\xi x.$ 由于 $\xi\>0$ , 有 $e^\xi\>1$ . 再乘以 $x\>0$ , 得 $e^x - 1 = e^\xi x \> x.$ 因而 $e^x \> 1+x$ .

對數函數常适合用這种办法处理: $\ln x$ 的導數 $1/x$ 單调明确，比原式中的對數差更容易夹住.

例

證明：對于任意 $a \> b \> 0$ ，成立 $\frac{a-b}{a} \< \ln \frac{a}{b} \< \frac{a-b}{b}$

證明

设 $f(x)=\ln x$ . 因為 $a\>b\>0$ , 所以 $f$ 在 $[b,a]$ 上连續，在 $(b,a)$ 内可導. 由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (b,a)$ , 使得 $\ln a-\ln b=f'(\xi)(a-b)=\frac{a-b}{\xi}.$ 于是 $\ln \frac{a}{b}=\frac{a-b}{\xi}.$ 又因為 $b\<\xi\<a$ , 函數 $y=\frac1x$ 在 $(0,+\infty)$ 上單调递减，所以 $\frac{1}{a}\<\frac{1}{\xi}\<\frac{1}{b}.$ 由 $a-b\>0$ , 上式同乘 $a-b$ , 得 $\frac{a-b}{a}\<\frac{a-b}{\xi}\<\frac{a-b}{b}.$ 代回 $\ln \dfrac{a}{b}=\dfrac{a-b}{\xi}$ , 即得 $\frac{a-b}{a}\<\ln \frac{a}{b}\<\frac{a-b}{b}.$

導數有界推出增量有界

函數增量等于某個中間導數乘以区間长度. 導數范围给出增量范围，由此得到下面的常用结論.

定理

设 $a\<b$ , 函數 $f(x)$ 在闭区間 $[a,b]$ 上连續，在開区間 $(a,b)$ 内可導，且對任意 $x \in (a,b)$ 都有 $m \le f'(x) \le M$ 则有 $m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)$

證明

由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 再由 $m \le f'(\xi) \le M$ ，且 $b-a\>0$ ，直接得到 $m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)$

注

特别地，若在 $(a,b)$ 上有 $|f'(x)|\le M$ , 则 $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|.$ 這類估计經常用来控制函數值之差.

例

證明：對于任意实數 $a,b$ ，都有 $|\sin a-\sin b| \le |a-b|$

證明

当 $a=b$ 时，两边都等于 $0$ , 结論成立. 下设 $a\>b$ . 對函數 $f(x)=\sin x$ 在区間 $[b,a]$ 上應用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (b,a)$ , 使得 $\sin a-\sin b=\cos \xi\,(a-b).$ 两边取绝對值，得 $|\sin a-\sin b|=|\cos \xi|\,|a-b|.$ 因為 $|\cos \xi|\le 1$ , 所以 $|\sin a-\sin b|\le |a-b|.$ 当 $a\<b$ 时交換 $a,b$ 即可，故结論對任意实數 $a,b$ 都成立.

注

上題的做法是用導數控制增量. 以后再遇到 $|f(a)-f(b)| \le C|a-b|$ 這類估计，可以先檢查连接 $a,b$ 的区間上是否有 $|f'(x)|\le C$ .

線性近似與誤差分析

当 $x$ 接近 $x_0$ 时，曲線在 $x_0$ 附近常可用切線近似. 這就是線性近似.

線性近似與誤差

设函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可導. 定義 $L(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 為函數 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的線性近似. 相應的誤差定義為 $R(x)=f(x)-L(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0).$

$L(x)$ 是曲線 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切線方程. 誤差 $R(x)$ 记錄曲線與切線之間的差. 對 $R(x)$ 的估计越具體，線性近似的可信范围就越清楚.

線性近似的誤差估计

设函數 $f(x)$ 在区間 $I$ 上二階可導，且 $x_0,x \in I$ . 则存在介于 $x_0$ 與 $x$ 之間的 $\xi$ , 使得

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(\xi)(x - x_0)^2

即誤差項為 $R(x) = \frac{1}{2}f''(\xi)(x - x_0)^2$ .

證明

当 $x=x_0$ 时，等式两边都等于 $f(x_0)$ . 下设 $x\ne x_0$ , 并令 $K=\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}.$ 于是 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+K(x-x_0)^2.$ 定義辅助函數

\varphi(t)=f(t)-\left[f(x_0)+f'(x_0)(t-x_0)+K(t-x_0)^2\right].

由 $K$ 的定義知 $\varphi(x)=0$ , 直接代入也有 $\varphi(x_0)=0$ . 因為 $f$ 在 $I$ 上二階可導，所以 $\varphi$ 在 $x_0$ 與 $x$ 之間的闭区間上连續，在開区間内可導. 由罗尔定理，存在 $\eta$ 介于 $x_0$ 與 $x$ 之間，使得 $\varphi'(\eta)=0.$ 计算導數: $\varphi'(t)=f'(t)-f'(x_0)-2K(t-x_0),$ 從而 $\varphi'(x_0)=0.$ 于是 $\varphi'(x_0)=\varphi'(\eta)=0$ . 再對 $\varphi'$ 在 $x_0$ 與 $\eta$ 之間應用罗尔定理，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 與 $\eta$ 之間，因而也介于 $x_0$ 與 $x$ 之間，使得 $\varphi''(\xi)=0.$ 而 $\varphi''(t)=f''(t)-2K,$ 所以 $0=\varphi''(\xi)=f''(\xi)-2K,$ 即 $K=\frac12 f''(\xi).$ 代回 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+K(x-x_0)^2$ , 就得到 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac12 f''(\xi)(x-x_0)^2.$

做近似计算时，展開点 $x_0$ 是一個主动選择. 通常選在目標点附近，同时保證 $f(x_0)$ 與 $f'(x_0)$ 容易计算；誤差估计则放在连接 $x_0$ 與目標点的区間上完成.

例

利用線性近似估算 $\sqrt{4.1}$ ，并给出誤差范围.

證明

取 $f(x)=\sqrt{x}$ , 選 $x_0=4$ . 因為 $4.1$ 离 $4$ 很近，且 $f(4)=2, f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, f'(4)=\frac14.$ 所以線性近似為 $L(x)=2+\frac14(x-4).$ 代入 $x=4.1$ , 得 $\sqrt{4.1}\approx L(4.1)=2+\frac14\cdot 0.1=2.025.$

再估计誤差. 由 $f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}},$ 對一切 $x\in[4,4.1]$ 都有 $|f''(x)|\le \frac{1}{4\cdot 4^{3/2}}=\frac{1}{32}.$ 由誤差公式，存在 $\xi \in (4,4.1)$ , 使得 $R(4.1)=\frac12 f''(\xi)(0.1)^2.$ 因而

|R(4.1)|\le \frac12\cdot \frac{1}{32}\cdot (0.1)^2=\frac{1}{6400}.

又因為 $f''(\xi)\<0$ , 所以 $R(4.1)\<0$ . 于是 $2.025-\frac{1}{6400}\le \sqrt{4.1}\<2.025.$ 也就是 $2.02484375\le \sqrt{4.1}\<2.025.$

線性近似的适用情形

目標点附近若有一個“好算”的点，線性近似就有了合适的展開点. 誤差大小再由這两個点之間的二階導數控制.

誤差公式說明：切線近似的精度由二階導數控制. 在目標区間上, $|f''|$ 越大，曲線偏离切線可能越快，線性近似的誤差上界也越大. 這為后續高階近似提供了动机.

柯西中值定理

拉格朗日中值定理处理的是單個函數的增量. 若要把两個函數的增量放進同一個等式，就得到柯西中值定理. 它是拉格朗日中值定理的推廣，也是下一章处理不定式極限的基礎.

柯西中值定理

设 $a\<b$ . 如果函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

在闭区間 $[a, b]$ 上连續；
在開区間 $(a, b)$ 内可導；
對任意 $x \in (a, b)$ , $g'(x) \neq 0$ .

那么，在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

證明

先說明分母 $g(b)-g(a)$ 确实不為零. 若 $g(b)=g(a)$ , 则由罗尔定理可知存在 $\eta \in (a,b)$ , 使得 $g'(\eta)=0$ , 這與条件 3 矛盾. 因此 $g(b)-g(a)\ne 0.$

下面構造辅助函數 $\Phi(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x).$ 验證端点值:

\begin{aligned} \Phi(a) &= [f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b), \Phi(b) &= [f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(a)-f(a)g(b). \end{aligned}

所以 $\Phi(a)=\Phi(b)$ . 又因為 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连續，在 $(a,b)$ 内可導，故 $\Phi$ 也满足罗尔定理的条件. 于是存在 $\xi \in (a,b)$ , 使得 $\Phi'(\xi)=0.$ 對 $\Phi$ 求導，得 $[f(b)-f(a)]g'(\xi)-[g(b)-g(a)]f'(\xi)=0.$ 由于 $g(b)-g(a)\ne 0$ 且 $g'(\xi)\ne 0$ , 可整理為 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$

注

讀柯西中值定理时抓住三点:

取 $g(x)=x$ 时，公式變為拉格朗日中值定理.
条件 $g'(x)\ne 0$ 先排除 $g(b)-g(a)=0$ , 结論中的分式因而有意義.
两個增量共用同一個中間点 $\xi$ , 這是定理的信息.

何时應想到柯西中值定理

若題目中出現两個函數增量的比值，例如 $\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$ 或者需要由函數值之比走向導數之比，就應想到柯西中值定理. 例如對 $x\>a$ 應用在 $[a,x]$ 上，常能得到

\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \xi\in(a,x),

這個指针会在洛必达法则中反複使用.

几何意義

将曲線看成參數方程

\begin{cases} x = g(t), y = f(t), \end{cases} t \in [a, b],

就能看到它的几何意義. 比值 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是连接起点 $A(g(a),f(a))$ 和终点 $B(g(b),f(b))$ 的弦的斜率. 而

\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\Big|_{t=\xi}=\frac{dy}{dx}\Big|_{t=\xi}

是曲線在參數 $t=\xi$ 對應点处的切線斜率.

因此，柯西中值定理說明：在起点和终点之間，至少有一点的切線與弦平行.

這一观察正是下一章證明洛必达法则的關键. 当 $f(a)=g(a)=0$ 时，對每個靠近 $a$ 且 $x\ne a$ 的点，在连接 $a$ 與 $x$ 的区間上應用柯西中值定理，可得某個介于二者之間的 $\xi_x$ , 使得

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}.

由于 $\xi_x$ 夹在 $a$ 與 $x$ 之間，所以当 $x\to a$ 时, $\xi_x\to a$ . 這样就把函數值之比與導數之比联係起来了.

中值定理與線性近似​

中值定理的基本應用​

先识别函數增量结構​

基本方法與实例​

導數有界推出增量有界​

線性近似與誤差分析​

柯西中值定理​

几何意義​

留言

中值定理與線性近似

中值定理的基本應用

先识别函數增量结構

基本方法與实例

導數有界推出增量有界

線性近似與誤差分析

柯西中值定理

几何意義