函数的基本性质

单调性

{/* label: sec:ch03-s03 */}

图像上升时，函数值变大. 图像下降时，函数值变小. 用不等式把这种升降关系写出来，就得到单调性的定义.

单调性的定义

单调递增与单调递减

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 区间 $I\subseteq D$.

• 若对任意 $x_1,x_2\in I$, 只要 $x_1\<x_2$, 就有 $f(x_1)\<f(x_2)$, 则称 $f$ 在 $I$ 上严格单调递增;
• 若对任意 $x_1,x_2\in I$, 只要 $x_1\<x_2$, 就有 $f(x_1)\>f(x_2)$, 则称 $f$ 在 $I$ 上严格单调递减.

若把上面的 $\<$, $\>$ 换成 $\le$, $\ge$, 就得到非严格的单调递增、单调递减. 在初等函数讨论中，最常用的是严格单调.

几何直观. 严格递增可理解为从左往右看，图像整体向上''; 严格递减可理解为从左往右看，图像整体向下''. 图像给出直观，判定仍要回到定义中的 $x_1\<x_2$ 与 $f(x_1),f(x_2)$ 的大小关系.

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TikZ 图 47

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TikZ 图 48

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单调性一定要放在区间上说

单调性是区间上的性质. 例如 $f(x)=1/x$ 在 $(-\infty,0)$ 上递减，在 $(0,+\infty)$ 上也递减，但不能说它在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上递减，因为这个集合不是一个连通区间.

常值段与严格单调

若函数在某一段上保持常值，则它在该段上可以说是非严格单调递增，也可以说是非严格单调递减，但不能说是严格单调. 严格单调要求不同自变量必须对应不同函数值.

图像法

\BookSubsectionSubtitle{先分区间，再看升降}

若函数图像已经画出，判定单调性时通常先找转折点、端点和分段点，再逐段观察图像从左向右的升降趋势. 读图时不能把几段互不连通的部分合并成一个单调区间.

例

判断函数 $f(x)=|x-2|$ 的单调区间.


TikZ 图 49

解

函数 $y=|x-2|$ 的图像是顶点在 $(2,0)$ 的``V''形图像.

当 $x$ 从左侧向 $2$ 靠近时，图像向下，因而函数在 $(-\infty,2]$ 上递减；当 $x$ 从 $2$ 向右增大时，图像向上，因而函数在 $[2,+\infty)$ 上递增.

图像法的步骤

若图像清楚可见，一般按下面的顺序处理:

1. 先找图像的转折点、分段点和端点;

2. 再把定义域拆成若干个连续区间;

3. 最后逐段判断图像是上升、下降还是保持水平.

   图像法给的是直观判断，需要严格说明时，仍要回到定义.

定义法

\BookSubsectionSubtitle{基本判定方法}

要证明函数在区间上单调，最直接的方法就是按定义来做:

1. 在区间内任取 $x_1\<x_2$;
2. 比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小;
3. 常用做法是考察差 $f(x_1)-f(x_2)$ 或 $f(x_2)-f(x_1)$ 的符号.

例

判断函数 $f(x)=2x-3$ 在 $\mathbb{R}$ 上的单调性.


TikZ 图 50

解

任取 $x_1\<x_2$, 则 $f(x_1)-f(x_2)=(2x_1-3)-(2x_2-3)=2(x_1-x_2)\<0$. 因此 $f(x_1)\<f(x_2)$, 所以 $f(x)=2x-3$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增.

例

判断函数 $f(x)=x^2$ 在 $(-\infty,0]$ 与 $[0,+\infty)$ 上的单调性.


TikZ 图 51

解

先看 $[0,+\infty)$ 上. 任取 $0\le x_1\<x_2$, 则 $f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)\>0$, 所以 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增.

再看 $(-\infty,0]$ 上. 任取 $x_1\<x_2\le 0$, 此时 $x_1+x_2\<0$, 所以 $f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)\<0$. 因此 $f$ 在 $(-\infty,0]$ 上严格递减.

例

证明函数 $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上严格递减，在 $[1,+\infty)$ 上严格递增.


TikZ 图 52

解

任取 $x_1\<x_2$, 则 <MathBlock raw={"\begin{aligned} g(x_1)-g(x_2) &=\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right) &=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2} &=\frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-1)}{x_1x_2}. \end{aligned}"} />

• 若 $0\<x_1\<x_2\le 1$, 则 $x_1x_2\<1$, 上式为正，故 $g(x_1)\>g(x_2)$, 所以在 $(0,1]$ 上递减;
• 若 $1\le x_1\<x_2$, 则 $x_1x_2\>1$, 上式为负，故 $g(x_1)\<g(x_2)$, 所以在 $[1,+\infty)$ 上递增.

单调性的作用

单调性的主要作用是: 把函数值大小比较转化为自变量大小比较, 或反过来.

• 若 $f$ 在区间上递增，则 $x_1\<x_2 \Rightarrow f(x_1)\<f(x_2)$;
• 若 $f$ 在区间上递减，则 $x_1\<x_2 \Rightarrow f(x_1)\>f(x_2)$.

因此，单调性常用于解不等式、比较大小、求值域和判断最值位置.

例

解不等式 $2x-3\>5$.


TikZ 图 53

解

函数 $f(x)=2x-3$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，所以 $2x-3\>5 \iff x\>4$.

例

求函数 $f(x)=3x-2,\ x\in[-1,2]$ 的值域.


TikZ 图 54

解

因为 $f(x)=3x-2$ 在整个实数范围内都递增，所以在区间 $[-1,2]$ 上最小值取在左端点，最大值取在右端点，即 $f(-1)=-5,\ f(2)=4$. 故值域为 $[-5,4]$.

2021年北京卷

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$. 则“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增”是“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$”的什么条件?


TikZ 图 55

解

若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，那么对任意 $x\in[0,1]$, 都有 $f(x)\le f(1)$. 因此 $f(1)$ 确实是函数在 $[0,1]$ 上的最大值. 所以前者是后者的充分条件.

但它不是必要条件. 例如取
<MathBlock raw={"f(x)=
\\begin{cases}
	x, & 0\\le x\\le \\dfrac12,\\\\[4pt]
	\\dfrac14, & \\dfrac12\\<x\\le \\dfrac34,\\\\[4pt]
	x, & \\dfrac34\\<x\\le 1.
\\end{cases}"} />
这个函数在 $x=1$ 处取到最大值 $1$, 但它并不单调递增，因为
<MathBlock raw={"\\frac12\\<\\frac34,     f\\left(\\frac12\\right)=\\frac12\\>\\frac14=f\\left(\\frac34\\right)."} />
故原命题应选“充分而不必要条件”.

复合函数的单调性

对于复合函数，单调性也可分层讨论. 处理时先看定义域，再看内层函数与外层函数各自的增减方向.

同增异减

设 $u=g(x)$ 在区间 $I$ 上单调，且 $y=f(u)$ 在区间 $g(I)$ 上单调.

• 若 $f$ 与 $g$ 单调性相同，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递增;
• 若 $f$ 与 $g$ 单调性相反，则 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递减.

证明

任取 $x_1,x_2\in I$ 且 $x_1\<x_2$.

若 $g$ 在 $I$ 上递增，则 $g(x_1)\le g(x_2)$. 此时:

• 若 $f$ 在 $g(I)$ 上也递增，则 $f(g(x_1))\le f(g(x_2)),$ 故 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递增;

• 若 $f$ 在 $g(I)$ 上递减，则 $f(g(x_1))\ge f(g(x_2)),$ 故 $f(g(x))$ 在 $I$ 上递减.

  若 $g$ 在 $I$ 上递减，则 $g(x_1)\ge g(x_2)$. 同理可得:

• 当 $f$ 递减时，有 $f(g(x_1))\le f(g(x_2)),$ 于是复合函数递增;

• 当 $f$ 递增时，有 $f(g(x_1))\ge f(g(x_2)),$ 于是复合函数递减.

  四种情形合并起来，就得到“同增异减”.


TikZ 图 56

例

求函数 $y=\sqrt{2x+1}$ 在定义域内的单调性.


TikZ 图 57

解

先看定义域. 由 $2x+1\ge 0$ 得 $x\ge -\dfrac12$.

内层函数 $u=2x+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增.
外层函数 $y=\sqrt{u}$ 在 $u\ge 0$ 上递增.

因此，复合函数 $y=\sqrt{2x+1}$ 在它的定义域 $\left[-\dfrac12,+\infty\right)$ 上递增.

例

求函数 $y=\log_2(5-2x)$ 的单调性.


TikZ 图 58

解

先看定义域. 由 $5-2x\>0$ 得 $x\<\dfrac52$.

内层函数 $u=5-2x$ 在 $\mathbb{R}$ 上递减.
外层函数 $y=\log_2u$ 在 $u\>0$ 上递增.

因此，复合函数 $y=\log_2(5-2x)$ 在定义域 $\left(-\infty,\dfrac52\right)$ 上递减.

复合函数的检查顺序

复合函数的单调性要从里到外层层梳理：首先确定定义域，然后把内层函数在各个区间上的增减方向拆开来看，再判断外层函数在内层值域上的增减方向，最后用“同增异减”的规则给出结果.这种由内到外的顺序，可以避免在多层复合时把区间或方向判断错.

本节小结

讨论单调性时，要始终记住两件基本事实.第一，单调性必须放在具体的区间上讨论，图像法通过先分区间再观察升降趋势来直观判断，定义法则通过比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小来得出结论.第二，单调函数在区间上建立了自变量与函数值的一一对应关系，所以一旦单调性确定，比较大小、解不等式和研究最值位置都会变得直接，而复合函数的单调性则需要从内到外逐层梳理，先确定定义域，再判断内外两层的增减方向，最后用 "同增异减" 的规则给出结论.

最值

{/* label: sec:ch03-s03b */}

在给定范围内，函数能否取到最大值或最小值? 这取决于函数值在整个区间上的分布.

最大值与最小值的定义

最大值与最小值

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, $I\subseteq D$.

• 若存在 $x_0\in I$, 使得对任意 $x\in I$, 都有 $f(x)\le f(x_0),$ 则称 $f(x_0)$ 为函数 $f$ 在 $I$ 上的最大值, 称 $x_0$ 为取到最大值的点;
• 若存在 $x_1\in I$, 使得对任意 $x\in I$, 都有 $f(x)\ge f(x_1),$ 则称 $f(x_1)$ 为函数 $f$ 在 $I$ 上的最小值, 称 $x_1$ 为取到最小值的点.

这里讨论的是整个区间或整个集合上的最高、最低函数值. 图像上的直观说法，就是看这一范围内是否存在最高点或最低点.

例

若函数图像在闭区间 $[-2,3]$ 上经过最高点 $(1,5)$ 与最低点 $(-2,-1)$, 则 $\max f(x)=5, \min f(x)=-1.$


TikZ 图 59

取到与逼近

讨论最值时，最重要的是“取到”二字. 一个函数值可以作为上界或下界，也可以只是图像不断靠近的边界.

例

若函数在某个范围内的值域是 $[-1,4),$ 则它有最小值 $-1$, 但没有最大值.


TikZ 图 60

最值与界

函数在某个区间上有上界，只说明函数值都不超过某个数. 最大值要求这个数本身由图像上的某个点真正取到. 最小值与下界的区别也是这样.

例如，函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上有上界 $1$, 因为对所有 $x\ge 1$, 都有 $\dfrac{1}{x}\le 1$. 而 $1$ 在 $x=1$ 处取到，所以最大值确实存在且等于 $1$.
但如果考虑 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上，虽然 $1$ 仍是上界，却取不到，因此没有最大值.

利用单调性判断最值

在闭区间上已经知道单调性时，最值只需要检查两个端点.

性质

若函数在闭区间 $[a,b]$ 上递增，则 $\min f(x)=f(a), \max f(x)=f(b).$ 若函数在闭区间 $[a,b]$ 上递减，则 $\max f(x)=f(a), \min f(x)=f(b).$

证明

只证递增的情形，递减的情形类似.

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上递增. 对任意 $x\in [a,b]$, 有 $a\le x\le b$.
由递增性:
$f(a)\le f(x)\le f(b).$
这说明 $f(a)$ 是所有函数值中最小的, $f(b)$ 是所有函数值中最大的. 又因为 $a,b\in [a,b]$, 所以 $f(a)$ 和 $f(b)$ 都能取到.
因此 $\min f(x)=f(a)$, $\max f(x)=f(b)$.

先确认端点能取到

上面的结论用于闭区间 $[a,b]$. 若区间写成 $(a,b)$、$(a,b]$ 或 $[a,b)$, 端点可能取不到，需要重新检查最大值或最小值是否存在.

例如，函数 $f(x)=3x-2$ 在 $(0,2]$ 上没有最小值，因为 $f(0)=-2$ 取不到，而 $f(x)$ 可以无限接近 $-2$ 但始终大于 $-2$. 最大值仍然存在: $f(2)=4$.

例

求函数 $f(x)=3x-2, x\in[-1,2]$ 的值域.


TikZ 图 61

解

因为 $f(x)=3x-2$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，所以在区间 $[-1,2]$ 上最小值取在左端点，最大值取在右端点: $f(-1)=-5, f(2)=4.$ 故值域为 $[-5,4].$

例

求函数 $g(x)=x+\frac{1}{x}, x\>0$ 的最小值.


TikZ 图 62

解

前一节已经证明, $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上递减，在 $[1,+\infty)$ 上递增.

因此, $x=1$ 是两段变化的交接点，并且
$g(1)=2.$
所以 $g(x)$ 在 $x\>0$ 上的最小值是
$2.$

最值与值域

若函数在所讨论的范围内既有最大值，又有最小值，那么值域就常可直接写成 $[\min f(x),\max f(x)].$ 若只取到一端，另一端只是靠近，值域中的端点形式就要随之改变.

求值域时先问最值是否存在

看到"求值域"时，可以先检查最大值和最小值是否真的取到. 这一点与前一章读图时区分实心点、空心点是同一件事.

若两个最值都能取到，值域就是 $[\min f(x),\max f(x)]$; 若一端取不到，就用半开区间表示. 例如 $f(x)=x^2$ 在 $(-1,1]$ 上的值域是 $[0,1]$, 因为最小值 $0$ 在 $x=0$ 处取到，最大值 $1$ 在 $x=1$ 处取到.

奇偶性

{/* label: sec:ch03-s04 */}

图像左右两侧怎样对应? 如果 $f(-x)=f(x)$, 两侧关于 $y$ 轴对称; snip 如果 $f(-x)=-f(x)$, 两侧关于原点旋转对称. 对称关系写成了代数上的等式，就是奇偶性.

奇函数与偶函数的定义

奇偶函数

设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，即只要 $x\in D$, 就有 $-x\in D$.

• 若对任意 $x\in D$, 恒有 $f(-x)=f(x)$, 则称 $f$ 为偶函数;
• 若对任意 $x\in D$, 恒有 $f(-x)=-f(x)$, 则称 $f$ 为奇函数.

先看定义域，再谈奇偶. 定义域关于原点对称，是讨论奇偶性的前提. 若 $f(-x)$ 本身就无意义，那么 $f(-x)=\pm f(x)$ 这类判断就谈不上.

几何意义.

• 偶函数的图像关于 $y$ 轴对称;
• 奇函数的图像关于原点中心对称.

代数关系与图像对称一一对应. 把成对的点标出来，就能直接看出 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 之间的关系.

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TikZ 图 63

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TikZ 图 64

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例

$f(x)=x^2$ 是偶函数，因为 $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$.

例

$g(x)=x^3$ 是奇函数，因为 $g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)$.

\NeedExampleDiagramSpace

例

$h(x)=x+1$ 既不是奇函数，也不是偶函数.

\begin{BookDiagram}

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TikZ 图 65

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TikZ 图 66

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TikZ 图 67

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\end{BookDiagram}

基本结论

性质

若奇函数 $f(x)$ 的定义域包含 $0$, 则 $f(0)=0$.

证明

由奇函数定义, $f(-0)=-f(0)$. 而 $-0=0$, 所以 $f(0)=-f(0)$, 从而 $2f(0)=0$. 故 $f(0)=0$.

这个结论很常用. 已知函数是奇函数且 $0$ 在定义域内时，常可直接得到 $f(0)=0$.

判断奇偶性的步骤

判断奇偶性时按三步写：先查定义域是否关于原点对称，再算 $f(-x)$, 最后和 $f(x)$、$-f(x)$ 比较.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}


TikZ 图 68

\end{BookDiagram}

解

定义域为 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, 它关于原点对称.

再计算 $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$.
所以 $f(x)=1/x$ 是奇函数.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $f(x)=x\sin x$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}


TikZ 图 69

\end{BookDiagram}

解

定义域是 $\mathbb{R}$, 关于原点对称.

并且 $f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)$.
所以 $f(x)=x\sin x$ 是偶函数.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $f(x)=\dfrac{x^2+x}{x+1}$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}


TikZ 图 70

\end{BookDiagram}

解

它的定义域是 $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, 这个集合不关于原点对称: $1$ 在定义域里，与它关于原点对应的 $-1$ 却不在定义域里. 所以它既不是奇函数，也不是偶函数.

利用奇偶性求值和补全解析式

奇偶性的直接作用是: 把一边的信息搬到另一边.

\NeedExampleDiagramSpace

例

已知函数 $f(x)$ 是奇函数，且当 $x\ge 0$ 时 $f(x)=e^x-1$. 求 $x\<0$ 时的解析式.

\begin{BookDiagram}


TikZ 图 71

\end{BookDiagram}

解

当 $x\<0$ 时, $-x\>0$, 所以可以先写 $f(-x)=e^{-x}-1$. 又因为 $f$ 是奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$. 于是 $-f(x)=e^{-x}-1$, 从而 $f(x)=-e^{-x}+1$.

\NeedExampleDiagramSpace

例

已知奇函数 $f(x)$ 满足 $f(2)=5$, 求 $f(-2)$.

\begin{BookDiagram}


TikZ 图 72

\end{BookDiagram}

解

奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$, 因此 $f(-2)=-f(2)=-5$.

平移后的奇偶性. 题目有时不会直接说“$f(x)$ 是奇函数”或“$f(x)$ 是偶函数”，而是说 $f(x+a)$ 具有奇偶性. 这时要把它看成一个新函数 $g(x)=f(x+a)$. 于是:

• 若 $g(x)$ 是奇函数，则 $f(a+t)=-f(a-t)$, 图像关于点 $(a,0)$ 中心对称，特别地 $f(a)=0$;
• 若 $g(x)$ 是偶函数，则 $f(a+t)=f(a-t)$, 图像关于直线 $x=a$ 对称.

这类条件仍然描述函数图像的对称性，只是对称中心或对称轴不再落在原点和 $y$ 轴上.

\begin{BookDiagram}

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TikZ 图 73

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TikZ 图 74

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\end{BookDiagram}

\NeedExampleDiagramSpace

2021年全国甲卷理科

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$, $f(x+1)$ 为奇函数, $f(x+2)$ 为偶函数. 当 $x\in[1,2]$ 时, $f(x)=ax^2+b$. 若 $f(0)+f(3)=6$, 求 $f\!\left(\dfrac92\right)$.

\begin{BookDiagram}


TikZ 图 75

\end{BookDiagram}

解

由“$f(x+1)$ 为奇函数”可知，对任意 $t\in\mathbb{R}$, $f(1+t)=-f(1-t)$. 特别地，取 $t=0$, 得 $f(1)=0$. 又因为 $1\in[1,2]$, 所以 $a+b=0.$

再由“$f(x+2)$ 为偶函数”可知，对任意 $t\in\mathbb{R}$, $f(2+t)=f(2-t)$. 取 $t=1$, 得 $f(3)=f(1)=0$.

另一方面，在奇函数关系式中取 $t=1$, 有 $f(2)=-f(0)$. 于是由题设 $f(0)+f(3)=6$ 可化为 $-f(2)+0=6$, 即 $f(2)=-6$.
由于 $2\in[1,2]$, 又有
$4a+b=-6.$
联立
<MathBlock raw={"\\begin{cases}
	a+b=0,
	4a+b=-6,
\\end{cases}"} />
解得
$a=-2,     b=2.$

现在求 $f\!\left(\dfrac92\right)$. 先把自变量拉回已知区间:
<MathBlock raw={"f\\!\\left(\\dfrac92\\right)=f\\!\\left(2+\\dfrac52\\right)=f\\!\\left(2-\\dfrac52\\right)=f\\!\\left(-\\dfrac12\\right)."} />
再用奇性和偶性继续转化:
<MathBlock raw={"f\\!\\left(-\\dfrac12\\right)=-f\\!\\left(\\dfrac52\\right)=-f\\!\\left(\\dfrac32\\right)."} />
而
<MathBlock raw={"f\\!\\left(\\dfrac32\\right)=a\\left(\\dfrac32\\right)^2+b=-2\\cdot\\dfrac94+2=-\\dfrac52,"} />
因此 $f\!\left(\dfrac92\right)=\dfrac52$.

奇偶性的运算法则

设 $f,g$ 都定义在关于原点对称的同一个集合上，则有以下常见结论:

• 偶函数 $+$ 偶函数 $=$ 偶函数;
• 奇函数 $+$ 奇函数 $=$ 奇函数;
• 偶函数 $\times$ 偶函数 $=$ 偶函数;
• 偶函数 $\times$ 奇函数 $=$ 奇函数;
• 奇函数 $\times$ 奇函数 $=$ 偶函数.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $F(x)=x^3\cos x$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}


TikZ 图 76

\end{BookDiagram}

解

$x^3$ 是奇函数, $\cos x$ 是偶函数. 奇函数与偶函数的乘积仍是奇函数，所以 $F(x)=x^3\cos x$ 是奇函数.

奇偶性与复合

设 $F(x)=f(g(x))$.

先检查 $F$ 的定义域，再使用下面的结论:

• 若内层函数 $g(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 一定是偶函数;
• 若内层函数 $g(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 的奇偶性与外层函数 $f$ 相同.

常见错误是直接套结论，忽略外层函数是否能在 $g(x)$ 的取值上定义.

\NeedExampleDiagramSpace

例

判断函数 $F(x)=\cos(x^5)$ 的奇偶性.

\begin{BookDiagram}


TikZ 图 77

\end{BookDiagram}

解

内层 $x^5$ 是奇函数，外层 $\cos u$ 是偶函数，所以复合后仍是偶函数.

本节小结

判断奇偶性时，可按下面顺序进行：先检查定义域是否关于原点对称，再去计算 $f(-x)$, 最后判断它等于 $f(x)$ 还是 $-f(x)$.

奇偶性对应函数图像的对称性. 求值、补全解析式和复合函数问题中常要用到这一点.

周期性

{/* label: sec:ch03-s05 */}

正弦函数的波形往右平移一段固定长度后，和原来的图像重合. 图像按固定长度水平重复的现象，叫作周期性.

周期函数的定义

周期函数

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$. 若存在一个非零常数 $T$, 使得对任意 $x\in D$, 都有 $x+T\in D$ 且 $f(x+T)=f(x)$, 则称 $f(x)$ 为周期函数, 常数 $T$ 叫作它的一个周期.

周期性表现为整段图像按固定长度重复出现. 图上取一对对应点 $(x,f(x))$ 与 $(x+T,f(x+T))$, 就能直接看到它们在平移后重合.

周期函数的几何图景*

这个定义里要注意三点:

1. $T$ 必须是非零常数;
2. 要对定义域内所有 $x$ 都成立;
3. 还要保证 $x+T$ 仍在定义域内.

最小正周期

若一个周期函数的所有正周期中存在最小者，就把它叫作该函数的最小正周期.

最小正周期刻画的是图像完成一次最短重复所需要的长度. 一旦知道了最小正周期 $T_0$, 其余正周期都必须是 $T_0$ 的正整数倍. 也有一些函数虽然有无穷多个正周期，却没有最小的一个，常函数就是最典型的例子.

例

$f(x)=\sin x$ 的最小正周期是 $2\pi$.

例

$g(x)=\tan x$ 的最小正周期是 $\pi$.

例

常函数 $f(x)=c$ 的任意非零实数都是周期，因而它没有最小正周期.

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TikZ 图 79

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TikZ 图 80

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TikZ 图 81

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周期的几个直接结论

若 $T$ 是函数的一个周期，那么:

• $-T$ 也是周期;
• 任意非零整数倍 $nT$ 也是周期.

理由并不复杂. 例如 $f(x+T)=f(x)$ 对一切 $x$ 成立，那么把 $x$ 换成 $x-T$, 就得到 $f(x)=f(x-T)$, 于是 $-T$ 也是周期.

由解析式直接求周期

对于常见三角函数，周期往往可以直接从角的系数看出来:

<MathBlock raw={"\sin(\omega x),\ \cos(\omega x)\ \text{的周期是}\ \frac{2\pi}{|\omega|};

\tan(\omega x)\ \text{的周期是}\ \frac{\pi}{|\omega|}."} />

例

求函数 $f(x)=\sin(3x)$ 的最小正周期.


TikZ 图 82

解

因为 $\sin x$ 的最小正周期是 $2\pi$, 所以 $\sin(3x)$ 的最小正周期为 $\dfrac{2\pi}{3}$.

例

求函数 $g(x)=\cos\left(\dfrac{5}{2}x\right)$ 的最小正周期.


TikZ 图 83

解

最小正周期为 $\dfrac{2\pi}{5/2}=\dfrac{4\pi}{5}$.

周期函数的和差与最小公倍数

若两个周期函数叠加，新函数是否仍有周期，要看它们是否存在公共周期.

定理

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的周期分别为 $T_1,T_2$. 若存在正数 $T$, 既是 $T_1$ 的整数倍，又是 $T_2$ 的整数倍，那么在它们的共同定义域内, $f(x)\pm g(x),\ f(x)g(x)$ 也都是周期函数，而这个公共周期 $T$ 就是它们的一个周期.

证明

设 $x$ 属于 $f$ 与 $g$ 的共同定义域. 因为 $T$ 是 $T_1$ 的整数倍，所以 $f(x+T)=f(x)$. 同理，由于 $T$ 也是 $T_2$ 的整数倍，有 $g(x+T)=g(x)$. 于是 $(f\pm g)(x+T)=f(x+T)\pm g(x+T)=f(x)\pm g(x)=(f\pm g)(x)$, 并且 $(fg)(x+T)=f(x+T)g(x+T)=f(x)g(x)=(fg)(x)$. 所以 $f(x)\pm g(x)$ 与 $f(x)g(x)$ 都以 $T$ 为周期.

对高中阶段最常见的题目来说，若 $\dfrac{T_1}{T_2}$ 是有理数，就可以求公共周期；若比值是无理数，往往就不能得到周期函数.

例

求函数 $f(x)=|\sin x|+\cos 2x$ 的最小正周期.


TikZ 图 84

解

先看两个部分.

• $|\sin x|$ 的最小正周期是 $\pi$;

• $\cos 2x$ 的最小正周期也是 $\pi$.

  因此它们的和的最小正周期也是 $\pi$.

例

求函数 $h(x)=\sin(3x)+\cos\left(\dfrac{5}{2}x\right)$ 的最小正周期.


TikZ 图 85

解

两个部分的最小正周期分别为 $T_1=\dfrac{2\pi}{3},\ T_2=\dfrac{4\pi}{5}$.

要找公共周期 $T$, 令 $T=m\cdot \dfrac{2\pi}{3}=n\cdot \dfrac{4\pi}{5}$, 其中 $m,n$ 为正整数. 化简得
<MathBlock raw={"\\frac{2m}{3}=\\frac{4n}{5}
   \\Longleftrightarrow   
10m=12n
   \\Longleftrightarrow   
5m=6n."} />
取最小正整数解 $m=6,n=5$, 得 $T=6\cdot \dfrac{2\pi}{3}=4\pi$. 所以最小正周期是 $4\pi$.

本节小结

判断周期性时，通常从三个方向入手：第一是直接检验 $f(x+T)=f(x)$ 是否成立；第二是看函数是否是若干周期函数的叠加，如果是就找公共周期；第三是把题目给出的对称或变形关系改写成函数等式，再继续处理.这三个方向已经覆盖周期判断的基本场景，后续遇到周期相关的问题时，可以先从这三个角度入手.

周期性表现为图像在水平方向上的重复. 后续函数题中常要利用这一点.

性质之间的联系与综合判断

{/* label: sec:ch03-s06b */}

单调性给出变化方向，最值给出变化结果，奇偶性给出对称约束，周期性给出重复结构. 同一个函数往往同时具有多种性质，它们之间互相配合.

单调性与最值

单调性给出变化方向，最值给出这一变化在整个区间上的结果. 因而，一旦函数被划分成若干个单调区间，最值位置往往也就随之清楚起来.

例

求函数 $f(x)=x^2, x\in[-2,3]$ 的最大值与最小值.


TikZ 图 86

解

函数 $x^2$ 在 $[-2,0]$ 上递减，在 $[0,3]$ 上递增.

因此，最小值取在
$x=0,$
此时
$f(0)=0.$

区间两端的函数值分别为
$f(-2)=4,     f(3)=9.$
所以最大值为
$9.$

奇偶性对图像信息的压缩

奇偶性能够把一边的图像信息搬到另一边.

• 若函数是偶函数，研究右半边图像后，左半边由关于 $y$ 轴对称得到;
• 若函数是奇函数，研究右半边图像后，左半边由关于原点中心对称得到.

因此，奇偶性常和单调性、最值一起使用. 先研究一侧的变化，再用对称把结果扩展到另一侧，往往比把整条图像从头到尾逐段讨论更简洁.

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TikZ 图 87

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TikZ 图 88

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周期性把局部信息推广到整体

周期性说明图像按固定长度重复. 一旦知道了一个周期内的图像，其余部分就由平移得到.

例

已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=-f(x),$ 且当 $x\in[0,1]$ 时 $f(x)=e^x.$ 求 $f(23)$.


TikZ 图 89

解

由 $f(x+2)=-f(x)$ 连续使用两次，得 $f(x+4)=f(x).$ 因此 $4$ 是函数的一个周期.

于是
$f(23)=f(3).$
又因为
$3=1+2,$
所以
$f(3)=f(1+2)=-f(1)=-e.$
故
$f(23)=-e.$

对称与重复常可互相转化

若题目给出的条件是关于某个点或某条直线的对称关系，连续使用两次后，常可得到周期. 这类题的关键，是把题目给出的几何关系改写成函数等式，再顺着等式迭代.

综合判断的顺序

把几种性质放在一起研究时，通常从定义域出发：一切性质都要在定义域内讨论.在此基础上，再看图像或解析式中最直接的结构线索，例如分段、对称或重复.接着按区间讨论单调性，由此确定最值位置或值域范围.最后把各段信息合并成对整个函数的描述.按这个顺序逐步推进，能避免在复杂函数中遗漏信息.

例

研究函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 的基本性质.


TikZ 图 90

解

先看定义域: $\mathbb{R}\setminus\{0\}.$

再看奇偶性:
$f(-x)=-x-\frac{1}{x}=-f(x),$
所以 $f(x)$ 是奇函数，图像关于原点中心对称.

前面已经证明，它在
$(0,1]$
上递减，在
$[1,+\infty)$
上递增. 因而在正半轴上，最小值取在
$x=1,$
且
$f(1)=2.$

由奇偶性可知，在负半轴上与之对应的点是
$(-1,-2).$
于是函数值只能落在
$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$
中.

过渡. 图像告诉我们整体轮廓，基本性质告诉我们这些轮廓应当怎样准确表述. 再往下走，就要研究函数怎样由简单部分拼成更复杂的结构，以及图像在平移、伸缩和对称下怎样变化.