函数的概念与表示

从对应到映射

{/* label: sec:mapping */}

核心问题

什么样的"对应规则"值得被赋予一个正式的数学概念？

学习目标

1. 理解"对应"与"映射"的区别：映射是一类特殊的、可靠的对应.
2. 掌握映射的两个基本条件：穷尽性和唯一性.
3. 能判断一个对应是否构成映射，并能说明理由.

数学中大量关系都可以描述为"给定一个对象，确定另一个对象". 但并不是所有这样的对应都同样可靠. 有些对应给出的答案永远只有一个，有些却可能给出两个甚至更多，还有些时候根本给不出答案.

这一节我们要弄清楚：哪些对应值得被赋予一个正式的名字，以便后续反复使用.

探索

请逐一考察下面五个对应关系，判断它们是否满足"每个输入都能得到恰好一个输出"这一条件. 下面表格中用 $\mapsto$ 表示"对应到".

编号	对应规则	是否满足？
(a)	每个学生 $\mapsto$ 他的学号
(b)	每个实数 $x$ $\mapsto$ $x^2$
(c)	每个正实数 $a$ $\mapsto$ 满足 $x^2=a$ 的实数 $x$
(d)	每个城市 $\mapsto$ 当天的最高气温
(e)	每个人 $\mapsto$ 他喜欢的歌曲

请在读完下面的内容之前，先自己思考每一条的答案.

观察与猜想. 在上面的五个例子中:

• (a) 和 (b) 的共同点是：不管输入是什么，答案都是确定的、唯一的.
• (c) 的问题在于：输入 $a=4$ 时，满足 $x^2=4$ 的实数有两个 ($2$ 和 $-2$), 输出不唯一.
• (d) 通常没有问题，因为气象学上每天的最高气温是确定的. 但如果"当天"还没过完，或者观测站出了故障，某个城市可能暂时没有气温数据.
• (e) 的问题更严重：同一个人可以喜欢很多首歌，而且"喜欢"本身也不是一个精确的数学对象.

把对应关系当作数学工具前，先查两件事：定义域中的每个输入都有输出，且这个输出只有一个.

映射

{/* label: def:mapping */} 设 $A,B$ 为两个非空集合. 若按照某个法则，对 $A$ 中每一个元素 $a$, 都能在 $B$ 中唯一确定一个元素 $b$, 那么这个法则就叫作从 $A$ 到 $B$ 的一个映射, 记作 $f\colon A\to B, a\mapsto f(a).$ 其中 $A$ 叫作映射的定义域, $B$ 叫作陪域. 对于 $a\in A$, 元素 $f(a)\in B$ 叫作 $a$ 的像; 若 $f(a)=b$, 则称 $a$ 是 $b$ 的一个原像.

记号说明. 本书用 $\mathbb{R}$ 表示全体实数的集合, $\mathbb{Z}$ 表示全体整数的集合, $\mathbb{Q}$ 表示全体有理数的集合, $\mathbb{N}$ 表示全体自然数的集合. 这种双线体写法（blackboard bold）是数集的标准记号.

两个条件. 判断一个对应是否为映射，只需检查两点:

• 穷尽性: 定义域里的每个元素都必须有像;
• 唯一性: 每个元素的像必须唯一.

检查映射时只看定义域中的输入：每个输入恰好射出一条箭头，箭头终点落在陪域中.

记号辨析. $f\colon A\to B$ 中的箭头 $\to$ 连接的是两个集合, 表示映射的整体方向; $a\mapsto f(a)$ 中的箭头 $\mapsto$ 连接的是元素, 表示具体元素如何被送到它的像. 两者不要混淆.


TikZ 图 1

读箭头图时，盯住定义域中的元素. 左图每个元素恰好射出一条箭头；中图的 $a_3$ 没有箭头射出；右图的 $a_1$ 射出了两条箭头.

例

法则 $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ 是否是从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射？

解

不是. 因为 $x=0$ 时 $\frac{1}{x}$ 无意义，定义域中有一个元素没有像，违反穷尽性.

但如果把定义域缩小为 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$（从 $\mathbb{R}$ 中去掉 $0$），即考虑
<MathBlock raw={"f\\colon \\mathbb{R}\\setminus\\{0\\}\\to \\mathbb{R},     x\\mapsto \\frac{1}{x},"} />
那么对每个 $x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\frac{1}{x}$ 都唯一确定，所以这构成了映射.

反思

同一个对应法则，换一个定义域就可能从"不是映射"变成"是映射". 判断映射时，一定要同时看清定义域、陪域和对应法则这三样东西.

例

设 $A=\{1,4,9\}$, $B=\mathbb{R}$. 法则``取平方根''是否构成从 $A$ 到 $B$ 的映射？

解

如果``取平方根''指的是取所有平方根，那么 $4$ 对应 $2$ 和 $-2$, 输出不唯一，不是映射.

但如果明确规定为``取算术平方根''(即非负的那个), 那么
$1\mapsto 1$, $4\mapsto 2$, $9\mapsto 3$,
每个输入都有唯一输出，构成映射.

映射由什么决定

一个映射由定义域、陪域和对应法则共同确定. 只改其中一项，得到的就是新的映射. 这三者通常被称为映射的"三要素".

检查理解

1. 如果把探索中的例子 (c) 改为"每个正实数 $a$ $\mapsto$ 满足 $x^2=a$ 的正实数 $x$", 它是否构成映射？
2. 映射的定义域中能否有一个元素对应到陪域中的两个不同元素？
3. 映射的陪域中的每个元素是否都必须被某个定义域中的元素对应到？

练习

判断下列对应是否构成从 $A$ 到 $B$ 的映射.

1. $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{a,b,c\}$, 规定 $1\mapsto a$, $2\mapsto b$, $3\mapsto a$, $4\mapsto c$;
2. $A=\mathbb{R}$, $B=\mathbb{R}$, 规定 $x\mapsto \sqrt{x}$;
3. $A=[0,+\infty)$, $B=\mathbb{R}$, 规定 $x\mapsto \sqrt{x}$.

解

1. 是映射. $A$ 中每个元素都有唯一的像，且像都在 $B$ 中.
2. 不是映射. 当 $x\<0$ 时 $\sqrt{x}$ 在实数范围内无意义，违反穷尽性.
3. 是映射. 对每个 $x\ge 0$, $\sqrt{x}$ 都唯一确定，且结果都在 $\mathbb{R}$ 中.

像集与原像集

{/* label: sec:image-preimage */}

核心问题

把"一批输入"送进映射，会得到什么？反过来，给定一个输出范围，哪些输入会落进去？

学习目标

1. 理解单个元素的像与一批元素的像集之间的区别.
2. 掌握原像集的概念，理解它与"逆映射"的区别.
3. 能用箭头图和集合语言计算像集与原像集.

映射刻画的是单个元素之间的对应. 但在很多问题中，我们关心一整块区域的去向''或来源''. 比如:

• 区间 $[-3,3]$ 在平方映射 $x\mapsto x^2$ 下会被送到哪里？
• 哪些实数在平方后会落到区间 $[1,4]$ 里？

前一个问题问的是"输入集合的输出范围", 后一个问的是"输出集合对应的全部输入". 这就分别引出了像集和原像集.

探索

设映射 $f\colon \{1,2,3,4\}\to \{p,q,r,s\}$ 满足 $f(1)=q, f(2)=q, f(3)=r, f(4)=s.$

1. 如果只看输入 $\{1,2,3\}$, 它们的像分别是哪些？这些像组成什么集合？
2. 如果我们想知道``哪些输入的像落在 $\{q,s\}$ 中'', 应该怎么找？
3. 如果我们想知道``哪些输入的像落在 $\{p\}$ 中'', 结果是什么？

像集与原像集

{/* label: def:image-preimage */} 设 $f\colon A\to B$ 为映射.

对任意子集 $S\subseteq A$（$S$ 包含于 $A$），定义 $S$ 在 $f$ 下的像集为 $f(S)=\{\,f(a)\mid a\in S\,\}.$

特别地, $f(A)$ 叫作映射 $f$ 的值域, 记作 $\operatorname{Im}(f)$（Im 取自 image）.

对任意子集 $T\subseteq B$, 定义 $T$ 的原像集为 $f^{-1}(T)=\{\,a\in A\mid f(a)\in T\,\}.$

怎样理解这两个定义. 像集从输入出发：取出 $S$ 中的元素，逐个计算它们的像，再把重复结果只记一次. 原像集从输出条件反查：给出目标范围 $T$, 收集所有满足 $f(a)\in T$ 的输入 $a$.

最常用的判断方式. 其中 $\iff$ 表示"当且仅当".

• $y\in f(S)\iff$ 存在 $a\in S$, 使 $y=f(a)$.
• $a\in f^{-1}(T)\iff f(a)\in T$.

做题时先判断题目给的是输入集合 $S$, 还是输出条件 $T$.

图~[ref:fig:image-set] 与图~[ref:fig:preimage-set] 用同一个映射来演示这两个概念.

{/* latex-label: fig:image-set */}


像集：先选输入子集 $S=\{1,2,3\}$, 再看这些元素的像. 虽然 $1,2$ 都映到 $q$, 但像集里 $q$ 只记一次

{/* latex-label: fig:preimage-set */}


原像集：先给出目标集合 $T=\{q,s\}$, 再把所有像落入 $T$ 的输入收集起来，得到 $f^{-1}(T)=\{1,2,4\}$

例

设 $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. 则 $f([-3,3])=[0,9]$, 而 $f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2]$.

解

对于像集：当 $x\in[-3,3]$ 时, $x^2\in[0,9]$, 且 $0$ 和 $9$ 都能取到，所以 $f([-3,3])=[0,9]$.

对于原像集：要找满足 $x^2\in[1,4]$ 的 $x$, 即 $1\le x^2\le 4$, 解得 $x\in[-2,-1]\cup[1,2]$.

例

设 $A=\{1,2,3\}$, $B=\{p,q,r,s\}$, 映射 $f$ 满足 $f(1)=q$, $f(2)=q$, $f(3)=s$. 则 $f(A)=\{q,s\}$, $f^{-1}(\{q\})=\{1,2\}$, $f^{-1}(\{r\})=\varnothing$（空集）.

解

$f(A)$ 是所有像的集合: $f(1)=q$, $f(2)=q$, $f(3)=s$, 去重后得 $\{q,s\}$.

$f^{-1}(\{q\})$ 是所有像为 $q$ 的输入: $f(1)=q$, $f(2)=q$, 所以 $\{1,2\}$.

$f^{-1}(\{r\})$ 是所有像为 $r$ 的输入：没有任何输入的像是 $r$, 所以是空集.

备注

符号 $f^{-1}$ 的两重含义

$f^{-1}(T)$ 中的 $T$ 是集合时，这里在求原像集：找所有满足 $f(a)\in T$ 的输入 $a$. 这个操作可以用于任何映射.

它和第~[ref:sec:identity-inverse]~节将要学的逆映射用同一个符号，做题时先看括号里放的是集合还是单个元素:

• $f^{-1}(\text{集合})$ 算出来的是一个集合(可能是空集、单元素集或多元素集);
• 逆映射 $f^{-1}(\text{元素})$ 算出来的是唯一的一个元素或者数值.

常见错误

• 以为像集 $f(S)$ 里元素个数一定和 $S$ 一样多. 错! 如果两个不同元素的像相同(如上面 $f(1)=f(2)=q$), 像集的元素个数会比 $S$ 少.
• 以为 $f^{-1}(T)$ 一定是单个元素. 错! 原像集通常是一个集合，可能包含多个元素，也可能是空集.

检查理解

1. 设 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. $f^{-1}(\{0\})$ 是什么？$f^{-1}(\{-1\})$ 呢？
2. 像集 $f(S)$ 的元素个数是否可能多于 $S$ 的元素个数？

单射、满射与双射

{/* label: sec:inj-surj-bij */}

核心问题

映射的``形状''可以分成哪几种基本类型？每种类型意味着什么？

学习目标

1. 理解单射、满射、双射的定义和直观含义.
2. 能用箭头图和代数方法判断映射的类型.
3. 理解陪域的选择如何影响满射性.

不是所有映射的行为方式''都一样. 有些映射把不同元素送到不同位置，有些会把多个元素撞''到同一个输出上；有些映射能覆盖陪域中的每个元素，有些会留下``空位''. 这一节我们给这些不同的行为方式起名字.

探索

下面三幅箭头图分别代表三种不同``形状''的映射. 请仔细观察，然后回答问题.


TikZ 图 4

1. 哪幅图中，不同的输入一定送到不同的输出(没有``撞车'')？
2. 哪幅图中，陪域的每个元素都被某个输入命中(没有``空位'')？
3. 哪幅图既不撞车，也不空位？

单射

{/* label: def:injective */} 映射 $f\colon A\to B$ 称为单射, 若对任意 $a_1,a_2\in A$, $a_1\neq a_2\implies f(a_1)\neq f(a_2).$ （其中 $\implies$ 表示"蕴含", 即"若前者成立则后者也成立".） 等价地(逆否命题), $f(a_1)=f(a_2)\implies a_1=a_2.$

直观理解. 单射意味着``不同输入不会撞到同一个输出''. 从箭头图上看，每个值域元素至多接收一条来自定义域的箭头. 用教室的比喻来说：每把椅子上至多坐一个人.

{/* latex-label: fig:injective-preimage */}


TikZ 图 5

满射

{/* label: def:surjective */} 映射 $f\colon A\to B$ 称为满射, 若对任意 $b\in B$, 都存在 $a\in A$ 使得 $f(a)=b.$ 值域恰好等于陪域: $f(A)=B$.

直观理解. 满射意味着``陪域中的每个元素都被命中''. 从箭头图上看，每个陪域元素都至少接收一条箭头. 用教室的比喻来说：每把椅子上都至少坐了一个人(可能不止一个).

双射

{/* label: def:bijective */} 若映射既是单射又是满射，就称为双射.

直观理解. 双射把不撞车''和不空位''合并在一起. 用教室的比喻来说：每把椅子上恰好坐一个人，没有空椅子，也没有人站着. 这就是``一一对应''.


双射的结构特征：每个输出元素都有且只有一个原像，箭头可反向读成逆映射*

例

映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1$ 是双射.

解

单射: 若 $2x_1+1=2x_2+1$, 则 $x_1=x_2$.

*满射*: 对任意 $y\in\mathbb{R}$, 取 $x=\frac{y-1}{2}$, 就有 $f(x)=y$.

两者同时成立，所以是双射.

同一个法则，不同的``形状''

{/* label: ex:x2-shapes */} 同一法则 $x\mapsto x^2$, 在不同定义域和陪域下性质完全不同:

1. $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$: 既非单射也非满射;
2. $f\colon \mathbb{R}\to[0,+\infty)$, $f(x)=x^2$: 满射，非单射;
3. $f\colon [0,+\infty)\to[0,+\infty)$, $f(x)=x^2$: 双射.

解

(1) $f(1)=f(-1)=1$, 所以不单射；负数不会被 $x^2$ 取到，所以不满射.

(2) 每个 $y\ge 0$ 都有 $y=(\sqrt{y})^2$, 所以满射；但 $f(1)=f(-1)$, 所以不单射.

(3) 在 $[0,+\infty)$ 上, $x_1^2=x_2^2$ 且 $x_1,x_2\ge 0$ 推出 $x_1=x_2$, 所以单射；每个 $y\ge 0$ 都有唯一非负平方根，所以满射.

反思

判断单射、满射、双射时，把函数先完整写成 $f\colon A\to B$. 只写 $x\mapsto x^2$, 还无法判断满射性和可逆性.

常见错误

• 以为``满射''只取决于对应法则. 实际上，满射依赖于陪域的选择. 同一个法则，陪域取大了就不满射，取对了就满射.
• 以为双射就是``看起来一一对应''. 实际上，双射是单射和满射同时成立，缺一不可.
• 忘记检查定义域. 比如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 从 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 到 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 是双射，但从 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 到 $\mathbb{R}$ 就不是满射(因为 $0$ 取不到).

检查理解

1. 映射 $f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, $f(n)=2n$ 是单射吗？是满射吗？
2. 如果把上题的陪域改成 $2\mathbb{Z}=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}$ (偶数集), 结论如何变化？

映射的复合

{/* label: sec:composition */}

核心问题

两个映射能否``串联''成一个？串联后的效果与顺序有关吗？

学习目标

1. 理解复合映射的定义和记号 $g\circ f$.
2. 理解复合的顺序性：先做 $f$, 再做 $g$.
3. 能判断复合是否有意义，并理解复合一般不满足交换律.

在日常生活和工程中，我们经常把两个步骤串联起来：先做前一步，再把结果作为下一步的输入. 数学中也是一样.

探索

想象你有两台机器:

• 机器 $f$: 输入一个数 $x$, 输出 $2x$ (翻倍).
• 机器 $g$: 输入一个数，输出它减 $3$.

1. 如果先过机器 $f$ 再过机器 $g$, 输入 $5$ 会得到什么？
2. 如果先过机器 $g$ 再过机器 $f$, 输入 $5$ 会得到什么？
3. 两种顺序的结果相同吗？
4. 机器 $g$ 能不能放在机器 $f$ 前面？这取决于什么？

复合映射

{/* label: def:composition */} 设 $f\colon A\to B, g\colon B\to C$ 为两个映射. 则由 $a\mapsto g(f(a))$ 确定的从 $A$ 到 $C$ 的映射，叫作 $g$ 与 $f$ 的复合映射, 记作 $g\circ f.$

读法与顺序. $g\circ f$ 读作$g$ 圈 $f$'', 含义是先做 $f$, 再做 $g$''. 记号从右向左读：先 $f$ 后 $g$. 这和函数记号 $g(f(x))$ 的顺序是一致的.

复合成立的条件. $g\circ f$ 有意义，要求 $f$ 的值域落在 $g$ 的定义域内，即 $f(A)\subseteq \operatorname{dom}(g)$（dom 取自 domain）. 如果 $f$ 的某个输出不在 $g$ 的定义域里，复合就无法进行.

例

设 $f(x)=2x$, $g(x)=x-3$. 则 <MathBlock raw={"(g\circ f)(x)=g(2x)=2x-3, (f\circ g)(x)=f(x-3)=2(x-3)=2x-6."} /> 所以 $g\circ f\neq f\circ g$.

解

$(g\circ f)(5)=g(f(5))=g(10)=7$, 而 $(f\circ g)(5)=f(g(5))=f(2)=4$. 两个结果不同.

反思

计算复合时先写出代入顺序: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$, $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. 顺序一换，中间结果也跟着换.

复合的两个基本事实

1. 复合满足结合律: $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f.$ 证明如下. 设 $f\colon A\to B$, $g\colon B\to C$, $h\colon C\to D$. 对任意 $a\in A$, <MathBlock raw={"\bigl(h\circ(g\circ f)\bigr)(a)=h\bigl((g\circ f)(a)\bigr)=h\bigl(g(f(a))\bigr),"} /> <MathBlock raw={"\bigl((h\circ g)\circ f\bigr)(a)=(h\circ g)\bigl(f(a)\bigr)=h\bigl(g(f(a))\bigr)."} /> 两边对每个 $a\in A$ 都相等，所以 $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$. 这意味着括号的位置不影响最终结果，三层以上的复合可以不加括号地写成 $h\circ g\circ f$.
2. 复合一般不满足交换律: $g\circ f\neq f\circ g$. 上面的例子已经说明了这一点: $(g\circ f)(5)=7$, 而 $(f\circ g)(5)=4$. 直观上, 先翻倍再减 $3$'' 和先减 $3$ 再翻倍''是两个不同的操作. 两个映射能交换只是特殊情况(例如两个平移映射的复合), 绝不能默认成立.

检查理解

设 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$; $g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x+1$.

1. 求 $(g\circ f)(x)$ 和 $(f\circ g)(x)$.
2. 它们相等吗？

恒等映射与逆映射

{/* label: sec:identity-inverse */}

核心问题

有没有什么都不做''的映射？什么时候能把一个映射倒回来''？

学习目标

1. 理解恒等映射的作用：它是复合中的``中性元素''.
2. 理解逆映射的定义，以及为什么只有双射才有逆映射.
3. 能判断映射是否可逆，并能求出逆映射.

在研究映射的复合时，有两个特殊的``角色''值得单独讨论：一个是什么都不做的映射，另一个是能把过程完全倒回来的映射.

恒等映射

探索

如果一个映射把每个元素都送到它自己，这样的映射有什么用？

设 $A=\{1,2,3\}$. 定义 $\mathrm{id}_A(1)=1$, $\mathrm{id}_A(2)=2$, $\mathrm{id}_A(3)=3$.

1. 如果 $f\colon A\to B$ 是任意映射，先做 $\mathrm{id}_A$ 再做 $f$, 结果和直接做 $f$ 一样吗？
2. 如果 $g\colon C\to A$ 是任意映射，先做 $g$ 再做 $\mathrm{id}_A$, 结果和直接做 $g$ 一样吗？

恒等映射

{/* label: def:identity */} 设 $A$ 为非空集合. 映射 $\mathrm{id}_A\colon A\to A, \mathrm{id}_A(a)=a$ 叫作 $A$ 上的恒等映射.

恒等映射把每个元素都映为自身. 它在复合中的作用，正像加法中的 $0$ 或乘法中的 $1$: $f\circ \mathrm{id}_A=f, \mathrm{id}_B\circ f=f.$ 与恒等映射复合以后，原来的映射没有发生任何变化.

逆映射

探索

想象你在电脑上编辑文档，如果不小心做了一个错误的操作，你会本能地按下 \texttt{Ctrl + Z} (撤销). 在数学中，我们也有``撤销''操作吗？

设 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 代表操作``把数字乘 $2$ 再加 $1$'' (即 $f(x)=2x+1$).

1. 你能找到一个数学操作 $g$ (即撤销操作), 使得无论最初输入什么 $x$, 先经过 $f$ 篡改，再经过 $g$ 处理，结果都能完美变回原样 $x$ 吗？(提示：要求 $g(f(x))=x$)
2. 如果 $f$ 代表操作把数字取平方'' (即 $f(x)=x^2$), 你能完美地撤销''它吗？比如当我知道最终结果是 $4$ 时，你能确定地告诉我原来的数字是什么吗？

逆映射

{/* label: def:inverse */} 设映射 $f\colon A\to B$. 如果存在映射 $g\colon B\to A$, 满足 $g\circ f=\mathrm{id}_A, f\circ g=\mathrm{id}_B,$ 则称 $g$ 为 $f$ 的逆映射, 记作 $f^{-1}$, 并称 $f$ 可逆.

这两个等式分别表达了两层意思:

• $g\circ f=\mathrm{id}_A$: 从 $A$ 出发，先 $f$ 后 $g$, 每个元素都回到自己. 这保证 $f$ 不会把两个不同元素压到同一个结果上(单射).
• $f\circ g=\mathrm{id}_B$: 从 $B$ 出发，先 $g$ 后 $f$, 每个元素也回到自己. 这保证 $B$ 中的每个元素都确实来自 $A$ 中某个元素(满射).

可逆与双射

{/* label: thm:inverse-bijection */} 映射 $f\colon A\to B$ 存在逆映射，当且仅当 $f$ 是双射.

证明

先设 $f$ 有逆映射 $g\colon B\to A$.

由 $g\circ f=\mathrm{id}_A$ 可知，若 $f(a_1)=f(a_2)$, 那么 $a_1=(g\circ f)(a_1)=g(f(a_1))=g(f(a_2))=(g\circ f)(a_2)=a_2.$ 所以 $f$ 是单射.

由 $f\circ g=\mathrm{id}_B$ 可知，对任意 $b\in B$, 取 $a=g(b)\in A$, 就有 $f(a)=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b.$ 所以 $f$ 是满射. 因而 $f$ 是双射.

反过来，若 $f$ 是双射，那么对每个 $b\in B$, 满射保证存在 $a\in A$ 使 $f(a)=b$, 单射保证这样的 $a$ 只有一个. 于是可定义映射 $g\colon B\to A$, 令 $g(b)$ 等于满足 $f(a)=b$ 的那个唯一元素 $a$. 按定义就有 $g\circ f=\mathrm{id}_A, f\circ g=\mathrm{id}_B.$ 所以 $g$ 就是 $f$ 的逆映射.

为什么单射和满射缺一不可

单射负责排除``同一个输出来自两个输入''. 一旦 $a_1\neq a_2$ 且 $f(a_1)=f(a_2)$, 反向读取时就无法确定该回到 $a_1$ 还是 $a_2$.

满射负责保证陪域中的每个 $b$ 都有来源. 若某个 $b\in B$ 没有原像，逆映射在 $b$ 处就没有可填的值.

所以求逆映射前，先查单射和满射这两项.

例

映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$ 是双射，它的逆映射为 $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}.$

解

验证: $f^{-1}(f(x))=\frac{(2x+1)-1}{2}=x$, $f(f^{-1}(x))=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x$. 两者都等于恒等映射.

不是双射就没有逆映射

映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ 不可逆. 因为 $f(1)=f(-1)=1$, 不是单射；同时负数不会被取到，不是满射.

若把陪域改为 $[0,+\infty)$, 即 $f\colon \mathbb{R}\to[0,+\infty)$, $f(x)=x^2$, 它成为满射，但仍然不是单射，因而依旧不可逆.

缩小定义域可以使映射可逆

若把定义域也缩小为 $[0,+\infty)$, 考虑 <MathBlock raw={"f\colon [0,+\infty)\to[0,+\infty), f(x)=x^2,"} /> 那么对每个 $y\in[0,+\infty)$, 都有唯一的非负实数 $x=\sqrt{y}$ 满足 $x^2=y$. 因而这个映射是双射，它的逆映射为 $f^{-1}(x)=\sqrt{x} (x\in[0,+\infty)).$

反思

同一个对应法则能否可逆，往往要连同定义域与陪域一起判断. $x^2$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上不可逆，但在 $[0,+\infty)$ 上可逆. 这就是为什么后面讨论反函数时，总是先要确定定义域.

几个需要留意的地方

• 记号 $f^{-1}$ 表示逆映射；记号 $\dfrac{1}{f(x)}$ 表示把函数值取倒数，两者含义不同.
• 许多映射都没有逆映射，判断时要同时检查单射与满射.
• 写逆映射时，要把定义域和值域一起写清楚. 原映射是 $A\to B$, 逆映射就是 $B\to A$.

检查理解

1. 映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3$ 是否可逆？如果可逆，逆映射是什么？
2. 映射 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=|x|$ 是否可逆？为什么？

函数的概念

{/* label: sec:function */}

核心问题

映射与函数是什么关系？函数的本质是什么？

学习目标

1. 理解函数是定义在数集上的特殊映射.
2. 掌握函数的三要素：定义域、对应法则、值域.
3. 能判断两个函数是否相等.

前面建立的映射语言适用于任意集合之间的对应. 当定义域与陪域进一步具体为实数集的子集时，映射便成为函数. 由于自变量和函数值都是数，还可以进一步讨论图像、增减性与对称性等.

探索

下面哪些对象可以看作``从数到数''的对应？

1. $y=x^2$;
2. $x^2+y^2=1$;
3. 气温随时间的变化;
4. 每个班级对应它的编号.

其中哪些满足``每个输入都有唯一输出''的条件？

函数

{/* label: def:function */} 设 $A,B$ 是两个非空实数集. 从 $A$ 到 $B$ 的映射 $f\colon A\to B, x\mapsto f(x)$ 叫作一个函数. 其中 $x$ 叫作自变量, $f(x)$ 叫作 $f$ 在 $x$ 处的函数值. 集合 $A$ 叫作函数的定义域, 记作 $\operatorname{dom}(f)$, 集合 $f(A)$ 叫作函数的值域.

函数的三要素. 一个函数由以下三样东西完全确定:

• 定义域: 哪些 $x$ 可以代入;
• 对应法则: 代入后怎样得到函数值;
• 值域: 所有可能取得的函数值组成的集合.

判断函数是否相等时，先核对定义域. 例如 $f(x)=x^2 (x\in \mathbb{R}) \text{与} g(x)=x^2 (x\in [0,+\infty))$ 表示两个不同函数：它们的值域同为 $[0,+\infty)$, 定义域分别是 $\mathbb{R}$ 和 $[0,+\infty)$.

例

设 $f(x)=2x-3$, 定义域为 $\mathbb{R}$. 那么 $f(0)=-3$, $f(2)=1$, $f(a+1)=2a-1$.

解

$f(a+1)=2(a+1)-3=2a+2-3=2a-1$. 这里需要注意: $f(a+1)$ 表示把 $a+1$ 整体代入 $f$ 的定义中 $x$ 的位置.

分段函数

定义 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} -x, & x\<0, 0, & x=0, x, & x\>0. \end{cases}"} /> 这就是 $f(x)=|x|$. 虽然写成了三段，但对每一个实数 $x$ 都恰好给出了唯一的函数值，因而它仍然是一个函数.

什么时候两个函数相等

{/* label: rem:function-equality */} 两个函数相等，要同时满足:

1. 定义域相同;

2. 对定义域内每个 $x$, 函数值都相同.

   例如 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 与 $x+1$ 看上去化简后相同，但前者在 $x=1$ 处无意义，后者在 $x=1$ 处有意义，所以它们不是同一个函数.

常见错误

• 以为``有 $x$ 和 $y$ 的式子就是函数''. 不一定! 只有当每个 $x$ 对应唯一 $y$ 时才是函数.
• 以为化简后相同的两个式子就代表同一个函数. 不一定! 还要检查定义域是否相同.
• 混淆 $f$ 和 $f(x)$. $f$ 是整个函数(一个映射), $f(x)$ 是把 $x$ 代入后得到的一个数.

检查理解

1. $f(x)=x^2$ ($x\in\mathbb{R}$) 与 $g(t)=t^2$ ($t\in\mathbb{R}$) 是同一个函数吗？
2. $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ 与 $g(x)=x+2$ 是同一个函数吗？

练习

判断下列两对函数是否相等.

1. $f(x)=|x|$, $g(x)=\sqrt{x^2}$;
2. $p(x)=x$, $q(x)=\dfrac{x^2}{x}$.

解

1. 相等. 两者定义域都是 $\mathbb{R}$, 且对任意 $x$ 都有 $\sqrt{x^2}=|x|$;
2. 不相等. $p$ 的定义域是 $\mathbb{R}$, 而 $q$ 的定义域是 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

函数的图像

{/* label: sec:graph */}

核心问题

函数的图像如何把``输入-输出''变成平面上的点？怎样从图像判断一个关系是否是函数？

学习目标

1. 理解函数图像的定义：它是满足 $y=f(x)$ 的所有点的集合.
2. 掌握竖直线判别法，理解它与函数``唯一性''的关系.
3. 能从图像中读出函数的信息.

函数的一种重要表示方式是图像. 图像把输入 $x$ 对应输出 $f(x)$''变成了平面上的点 $(x,f(x))$, 使我们能用眼睛看到''函数的行为.

函数的图像

{/* label: def:graph */} 函数 $f\colon A\to \mathbb{R}$ 的图像是点集 $\mathcal{G}_f=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid x\in A,\ y=f(x)\}.$

图像的几何特征. 因为函数强调一个 $x$ 只能对应一个 $y$'', 所以图像具有一个重要的几何特征：任意一条竖直线，与函数图像至多只有一个交点. 这叫作**竖直线判别法**. 它是函数唯一性''在图像上的直接体现：如果一条竖线与图像交于两点，说明同一个 $x$ 对应了两个不同的 $y$, 这就违反了函数的定义.


TikZ 图 7

图中，每个 $x_0$ 对应唯一的 $f(x_0)$, 所以竖直线 $x=x_0$ 与图像只有一个交点.

例

曲线 $y=x^2$ 是函数图像，因为每个实数 $x$ 都只对应一个函数值 $x^2$. 任何一条竖线 $x=c$ 与抛物线 $y=x^2$ 只有一个交点 $(c,c^2)$.

例

圆 $x^2+y^2=1$ 不是函数图像. 因为当 $x=0$ 时，对应的 $y$ 有两个: $1$ 和 $-1$. 竖直线 $x=0$ 与圆有两个交点.

例

上半圆 $y=\sqrt{1-x^2}$, $x\in[-1,1]$ 是函数图像，因为对每个 $x\in[-1,1]$, 根号取的是非负值，输出只有一个.

反思

圆 $x^2+y^2=1$ 的整体不是函数图像，但它的上半部分和下半部分分别都是函数图像. 这和前面``从关系中选出函数''的思路是一致的：整体不满足唯一性时，加上限制就可能满足.

常见错误

• 判断曲线是否是函数图像时，画一条竖直线试交点个数. 圆和椭圆会被某些竖直线截出两个交点.
• 代数判断也一样：固定一个 $x$, 看方程解出的 $y$ 是否只有一个.

本节回顾. 映射是函数的基础语言. 定义域、单调性、奇偶性、周期性、反函数和复合函数都建立在这套语言之上.

小结

• 映射是``每个输入都有唯一输出''的对应，由定义域、陪域和对应法则共同确定.
• 像集是一批输入的输出范围'', 原像集是给定输出条件后反查输入''. 原像集不依赖逆映射的存在.
• 单射保证不撞车'', 满射保证不空位'', 双射保证两者同时成立. 陪域的选择会影响满射性.
• 复合映射 ``先 $f$ 后 $g$''记作 $g\circ f$, 一般不满足交换律.
• 恒等映射是复合中的中性元素；逆映射只有双射才有.
• 函数是定义在数集上的映射，由定义域、对应法则、值域三要素确定.
• 函数图像满足竖直线判别法，这是``唯一性''在几何上的体现.

定义域

{/* label: sec:ch03-s02 */}

核心问题

定义域为什么是函数``能否成立''的第一检查项？

学习目标

1. 理解定义域是函数不可分割的一部分，不是附属条件.
2. 掌握常见限制来源：分母、偶次根式、对数、零次幂.
3. 能求初等函数的自然定义域，并能处理多个限制同时出现的情况.

研究一个函数时，第一件事是搞清楚哪些输入能够进入. 定义域把允许讨论的范围先固定下来，后面的值域、单调性、奇偶性和图像，都要在这个范围内来理解.

探索

考虑下面三个``函数'':

1. $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$;
2. $g(x)=\sqrt{3-x}$;
3. $h(x)=\log_2(x+1)$（以 $2$ 为底的对数）.

• 你能把 $x=2$ 代入 $f$ 吗？为什么？
• 你能把 $x=5$ 代入 $g$ 吗？$\sqrt{-2}$ 在实数范围内有意义吗？
• 你能把 $x=-1$ 代入 $h$ 吗？$\log_2(0)$ 有意义吗？

上面三个式子都对 $x$ 的取值施加了限制. 如果忽略了这些限制，就会把无意义的表达式当成合法的函数值.

自然定义域

若题目只给出解析式，没有另外说明定义域，通常默认它的定义域是使解析式在实数范围内有意义的全体 $x$, 这叫作函数的自然定义域.

求自然定义域时，只需找出这个式子对 $x$ 的全部限制.

常见限制来源

初等函数中，定义域的限制主要来自下面几类结构. 每条限制都有明确的原因:

• 分式: 分母不能为零. 原因: $\frac{a}{0}$ 在实数中无意义. $\frac{f(x)}{g(x)}\implies g(x)\neq 0.$
• 偶次根式: 被开方数必须非负. 原因：负数在实数范围内没有偶次方根. $\sqrt[2n]{f(x)}\implies f(x)\ge 0.$
• 对数式: 真数必须大于零. 原因: $\log_a(0)$ 和 $\log_a(\text{负数})$ 在实数中无意义. $\log_a f(x)\implies f(x)\>0.$
• 零次幂: 底数不能为零. 原因: $0^0$ 无意义. $[f(x)]^0\implies f(x)\neq 0.$

一个操作习惯. 若一个式子里同时出现多个限制，就把每一条都列出来，最后取这些条件的交集. 这一步最容易漏.

基本例子

例

求函数 $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ 的自然定义域.

解

只需保证分母不为零，即 $x-2\neq 0$. 所以 $x\neq 2$. 定义域为 $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

例

求函数 $g(x)=\sqrt{3-x}$ 的自然定义域.

解

根号内必须非负，即 $3-x\ge 0$. 解得 $x\le 3$. 所以定义域为 $(-\infty,3]$.

例

求函数 $h(x)=\log_2(x+1)$ 的自然定义域.

解

对数的真数必须大于零，即 $x+1\>0$. 所以 $x\>-1$. 定义域为 $(-1,+\infty)$.

反思

这三个例子各自只涉及一种限制. 下一步遇到混合式子时，按``分母、根式、对数、零次幂''逐项列条件，再取交集.

多个限制同时出现时

例

求函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-4}$ 的定义域.

解

需要同时满足: <MathBlock raw={"\begin{cases} x-2\ge 0, & \text{(根号内非负)} x-4\neq 0. & \text{(分母不为零)} \end{cases}"} /> 也就是 $x\ge 2$ 且 $x\neq 4$. 因此定义域为 $[2,4)\cup(4,+\infty)$.

常见错误

只看了根号的限制 $x\ge 2$, 忘了分母 $x\neq 4$ 的限制. 如果漏掉这一点, $x=4$ 时分母为零，表达式无意义.

例

求函数 $y=\sqrt{9-x^2}+\log_2(x+1)$ 的定义域.

解

根式部分要求 $9-x^2\ge 0$, 即 $-3\le x\le 3$.

对数部分要求 $x+1\>0$, 即 $x\>-1$.

取交集得 $-1\<x\le 3$. 所以定义域为 $(-1,3]$.

含参数的定义域

有些题目给出定义域的结果，反过来要求参数的范围. 这类问题的要点是：定义域为 $\mathbb{R}$ 意味着分母对任意 $x$ 都不为零.

例

函数 $y=\dfrac{3x}{kx^2+2kx+1}$ 的定义域为 $\mathbb{R}$, 求实数 $k$ 的取值范围.

解

定义域为 $\mathbb{R}$, 意味着分母 $kx^2+2kx+1$ 对任意实数 $x$ 都不为零.

当 $k=0$ 时，分母为 $1$, 恒不为零，符合题意.

当 $k\neq 0$ 时，二次式恒不为零等价于方程 $kx^2+2kx+1=0$ 无实数解，即判别式
$\Delta = (2k)^2-4k = 4k^2-4k \< 0.$
解得 $0\<k\<1$.

两种情况合并，得 $0\le k\<1$.

常见错误

只考虑 $k\neq 0$ 的情形，漏掉 $k=0$ 的检验. 当 $k=0$ 时分母退化为常数 $1$, 同样满足条件.

有时需要先从已知条件中解出参数，再求定义域. 此时求定义域的步骤与前面相同，只是多了一步前置的方程求解.

例

已知正数 $a,b$ 满足 $a=b^2$, $\log_b a = \dfrac{a}{b}$, 求函数 $f(x)=\sqrt{1-\log_a(x-1)}$ 的定义域.

解

先求 $a,b$. 由 $a=b^2$ 得 $\log_b a = \log_b b^2 = 2$. 又 $\log_b a = \dfrac{a}{b}$, 所以 $\dfrac{a}{b}=2$, 即 $a=2b$.

联立 $a=b^2$ 和 $a=2b$, 得 $b^2=2b$. 因为 $b\>0$, 两边除以 $b$ 得 $b=2$, 从而 $a=4$.

现在求 $f(x)=\sqrt{1-\log_4(x-1)}$ 的定义域. 根号内要求
$1-\log_4(x-1)\ge 0    \text{且}    x-1\>0.$
由 $1-\log_4(x-1)\ge 0$ 得 $\log_4(x-1)\le 1$, 即 $x-1\le 4$, 所以 $x\le 5$.
由 $x-1\>0$ 得 $x\>1$.

取交集得 $1\<x\le 5$. 定义域为 $(1,5]$.

复合函数里的定义域

复合函数的定义域往往要``由外向内''地检查.

例

求函数 $f(x)=\sqrt{\log_{0.5}\!\left(\dfrac{2x-1}{x+2}\right)}$ 的定义域.

解

最外层是根式，所以先要求 $\log_{0.5}\!\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)\ge 0$.

因为底数 $0.5\in(0,1)$, 对数函数是递减的，所以这等价于 $0\<\frac{2x-1}{x+2}\le 1$.

分成两步来解:
$\frac{2x-1}{x+2}\>0    \Rightarrow    x\in(-\infty,-2)\cup\left(\frac12,+\infty\right);$
<MathBlock raw={"\\frac{2x-1}{x+2}\\le 1
   \\Rightarrow   
\\frac{x-3}{x+2}\\le 0
   \\Rightarrow   
x\\in(-2,3]."} />

两部分取交集，得 $x\in\left(\frac12,3\right]$. 所以定义域为 $\left(\frac12,3\right]$.

已知外层函数定义域时的反推

例

已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $[-1,4]$, 求函数 $g(x)=\dfrac{f(2x-1)}{\sqrt{x}}$ 的定义域.

解

要使 $g(x)$ 有意义，需要同时满足两件事:

1. $2x-1$ 要落在 $f$ 的定义域 $[-1,4]$ 内;

2. 分母 $\sqrt{x}$ 要有意义且不为零.

   先看第一条: $-1\le 2x-1\le 4$, 解得 $0\le x\le \frac52$.

   再看第二条: $\sqrt{x}\neq 0$ 且 $x\ge 0$, 等价于 $x\>0$.

   取交集得 $0\<x\le \frac52$. 所以定义域为 $\left(0,\frac52\right]$.

反思

这里的已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,4]$''意味着 $f$ 的输入范围''是 $[-1,4]$. 所以 $f(2x-1)$ 中的 $2x-1$ 必须落在这个范围内. 这是复合函数定义域问题的基本思路.

当题目只给出 $f(x-1)$ 或 $f(x+1)$ 的定义域，要求 $f(2x+1)$ 的定义域时，分两步走：先由已知条件推出 $f$ 本身的定义域，再用 $f$ 的定义域去约束新的自变量.

例

已知函数 $f(x-1)$ 的定义域为 $[-2,3]$, 求函数 $f(2x+1)$ 的定义域.

解

$f(x-1)$ 的定义域为 $[-2,3]$, 意味着 $x\in[-2,3]$.

此时 $x-1\in[-3,2]$, 所以 $f$ 本身的定义域为 $[-3,2]$.

要使 $f(2x+1)$ 有意义，需要 $2x+1\in[-3,2]$, 即
$-3\le 2x+1\le 2    \Rightarrow    -2\le x\le \frac{1}{2}.$
所以 $f(2x+1)$ 的定义域为 $\left[-2,\dfrac{1}{2}\right]$.

常见错误

把 $f(x-1)$ 的定义域 $[-2,3]$ 直接当成 $f$ 的定义域. 实际上 $[-2,3]$ 是 $x$ 的范围，不是 $x-1$ 的范围. 必须先换元求出 $f$ 的定义域，再用于新的自变量.

当复合函数与代数限制叠加时，需要同时满足多组条件.

例

已知函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $(-3,3]$, 求函数 $h(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x}}{x-2}\cdot f(2x)$ 的定义域.

解

$f(x+1)$ 的定义域为 $(-3,3]$, 意味着 $x\in(-3,3]$.

此时 $x+1\in(-2,4]$, 所以 $f$ 本身的定义域为 $(-2,4]$.

要使 $h(x)$ 有意义，需要同时满足:

1. $2x\in(-2,4]$, 即 $-1\<x\le 2$;

2. $x-2\neq 0$, 即 $x\neq 2$;

3. $\sqrt[3]{x}$ 对任意实数有意义，无额外限制.

   取交集得 $-1\<x\<2$. 所以 $h(x)$ 的定义域为 $(-1,2)$.

复合函数与对数限制叠加时，同样逐项列条件再取交集.

例

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[1,3]$, 求函数 $g(x)=f(2x-1)\cdot\log_2(3x-3)$ 的定义域.

解

要使 $g(x)$ 有意义，需要同时满足:

1. $2x-1\in[1,3]$, 即 $1\le x\le 2$;

2. $3x-3\>0$, 即 $x\>1$.

   取交集得 $1\<x\le 2$. 所以 $g(x)$ 的定义域为 $(1,2]$.

实际问题中的定义域

若函数来自实际情境，除了代数限制以外，还要考虑题目本身的意义.

• 时间通常不能为负;
• 长度、面积、体积通常不能为负;
• 人数、件数这类变量还常常只能取整数.

因此，实际问题中的定义域往往是代数限制''与实际意义限制''的共同结果.

例

一个正方形的边长为 $x$, 面积为 $S=x^2$. 如果把 $S$ 看作 $x$ 的函数，从纯代数角度，定义域是 $\mathbb{R}$. 但如果``边长''来自实际问题，那么 $x\>0$, 定义域变成 $(0,+\infty)$.

常见错误

• 实际题先列代数限制，再列背景限制. 边长、时间、人数这类量会继续缩小范围.
• 同一个式子放进不同语境，定义域可能不同. 写答案时把定义域跟在解析式后面.
• 比较两个函数时，先比定义域，再比对应法则.

检查理解

1. 函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$ 的定义域是什么？
2. 为什么说``定义域是函数的一部分''？请举一个解析式相同、定义域不同的例子.

本节小结

求定义域时，直接按三步写：找限制、联立取交集、补实际背景条件. 值域、单调性、奇偶性和复合函数的讨论都从这一步开始.

小结

• 定义域规定哪些输入可以代入，是函数的一部分.
• 常见限制来源：分母不为零、偶次根式内非负、对数真数大于零.
• 多个限制同时出现时，必须取交集.
• 实际问题中，定义域还受到现实意义的约束.
• 比较函数是否相同，要同时看解析式和定义域.

函数的表示法

{/* label: sec:function-representations */}

核心问题

函数只能用公式表示吗？不同的表示方式各有什么优势？

学习目标

1. 了解函数的多种表示方式：解析式、表格、图像、文字描述、分段表示.
2. 理解不同表示方式各有优势，不是所有函数都有漂亮的解析式.
3. 能根据问题的需要选择合适的表示方式.

刚接触函数时，很容易把函数''和公式''等同起来. 但这种理解只覆盖了函数的一部分. 公式可以定义函数，但函数还可以通过表格、图像、文字规则等方式给出.

探索

下面几种对象，都可以看作函数. 请思考：它们各自的输入''和输出''是什么？它们是用什么方式给出对应关系的？

1. 把每个人对应到其学号;
2. 把每一天对应到当天的最高气温;
3. 把每个实数 $x$ 对应到它的平方 $x^2$;
4. 把区间 $[0,1]$ 内的每个 $x$ 对应到满足 $x^2+y^2=1$, $y\ge 0$ 的那个 $y$.

这些对象的形式并不相同. 有的是现实中的对应规则，有的是代数公式，有的是由几何条件选出来的值. 但它们都满足同一个条件：对每一个允许的输入，都唯一确定一个输出.

解析式表示

这是最常见的一种. 例如 $f(x)=2x-3, g(x)=x^2+1, h(x)=|x|.$

它的优点是便于计算与推导，缺点是容易让人误以为``只要长得像公式，就一定是同一个函数''. 事实上，解析式相同而定义域不同，往往就是不同函数.

例

$f(x)=x^2\ (x\in\mathbb{R})$ 与 $g(x)=x^2\ (x\in[0,+\infty))$ 这两个函数的解析式相同，但定义域不同，所以不是同一个函数.

表格表示

有些函数通过若干对应数据直接给出

例

设函数 $T$ 把一天中的时刻 $t$ 对应到某城市当时的气温. 若只记录若干时刻的观测值，就会得到一张表: <MathBlock raw={"\begin{array}{c|ccccc} t & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 T(t) & 12 & 16 & 21 & 24 & 19 \end{array}"} /> 这张表虽然没有给出统一公式，但已经表达了若干输入与输出之间的对应关系.

表格常出现在实验、统计和建模中. 从表格出发，常要继续考察：这些数据是否反映某种单调趋势？它是否接近某个熟悉函数模型？有没有必要在这些点之间进一步插值或拟合？

图像表示

如果把每个输入 $x$ 与输出 $f(x)$ 画成点 $(x,f(x))$, 就得到函数的图像. 图像特别适合表现整体趋势:

• 在哪几个区间上递增或递减;
• 是否具有对称性;
• 是否存在周期;
• 大致的值域和零点分布如何.

图像能把定义域、值域、单调性、奇偶性、最值和对称性等信息集中呈现出来. 但图像也有局限：从图像上读出的数值通常是近似的，不如解析式精确.

文字或规则表示

在更一般的情形下，函数甚至不需要表格、图像或公式，只要把规则说清楚就够了.

例

• ``把每个非负实数对应到它的算术平方根''定义了一个函数 $f\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty)$, $x\mapsto \sqrt{x}$.
• ``把每个实数对应到不超过它的最大整数''也定义了一个函数，这就是取整函数(也叫高斯函数、地板函数).

公式与规则

公式只是把对应规则写出来的一种方式，函数本身由规则和定义域共同决定. 判断两个对象是否为同一函数时，看的是规则(每个输入对应哪个输出)和定义域(哪些输入被允许).

同一个规则可以换不同公式来表达: $|x|$, $\sqrt{x^2}$, 分段形式，表达的是同一个对应. 反过来，相同的公式配上不同定义域，就是不同函数.

遇到抽象函数、分段函数、反函数或由几何条件定义的函数时，先提取对应规则，再谈性质.

同一函数的不同表示

同一个函数可以换写法. 换写法前后，定义域和每个输入对应的输出都要保持一致.

例

绝对值函数 $f(x)=|x|$ 至少可以有下面几种写法: <MathBlock raw={"f(x)=|x|,
f(x)= \begin{cases} x, & x\ge 0, -x, & x\<0, \end{cases}

f(x)=\\sqrt{x^2}."} />
这些表示方式强调的侧面并不相同:

• $|x|$ 突出的是``距离原点的长度'';
• 分段形式突出的是符号分类;
• $\sqrt{x^2}$ 突出的是与平方、根式之间的联系.

检查理解

1. 取整函数 $f(x)=\lfloor x\rfloor$ 能否用一个简单的解析式表示？它最适合用什么方式来表示？
2. 为什么说``函数不等于公式''？请举一个没有简单解析式的函数的例子.

函数表示中的限制与选择

{/* label: sec:representation-restrictions */}

核心问题

同一个关系，在不同限制下可以变成不同的函数吗？为什么要主动选择定义域和值域？

学习目标

1. 理解同一个关系经过不同限制可以得到不同函数.
2. 理解实际问题中需要主动选择定义域和值域.
3. 能根据具体情境选择合适的函数表示.

含有 $x,y$ 的关系，只有在每个允许的 $x$ 都唯一确定一个 $y$ 时，才给出函数.

例

关系 $x^2+y^2=1$ 描述的是单位圆. 它不是函数，因为同一个 $x$ 往往对应两个 $y$.

但只要再加上一点限制，情况就变了.

例

若规定 $y\ge 0$, 则上面的关系变成 $y=\sqrt{1-x^2}$, $x\in[-1,1]$. 这时就得到了一个函数——单位圆的上半部分.

例

若规定 $y\le 0$, 则得到 $y=-\sqrt{1-x^2}$, $x\in[-1,1]$. 这是另一个函数——单位圆的下半部分.

反思

从 $x^2+y^2=1$ 出发，加 $y\ge 0$ 取上半圆，加 $y\le 0$ 取下半圆. 写这种函数时，把分支条件和定义域一起写清楚.

限制与选择的方式. 从一个关系中选出函数，通常靠以下手段:

• 限定定义域;
• 规定只取某个分支;
• 添加实际背景中的额外条件.

以后学习反函数、三角函数的反函数以及几何问题时，常要先选分支，再写函数.

现实中的限制与选择

设边长为 $x$ 的正方形面积为 $S$, 则 $S=x^2$. 如果反过来由面积求边长，从代数上看有 $x=\pm\sqrt{S}$. 但边长不能是负数，所以在实际问题中只能取 $x=\sqrt{S}$.

常见错误

• 方程解出两个 $y$ 值时，先选一个分支，再称为函数.
• 实际题要把背景条件写进定义域或分支条件. 由面积求边长时，取正边长.

函数表示的转换

{/* label: sec:representation-conversion */}

核心问题

同一个函数的不同表示之间如何转换？转换过程中可能丢失什么信息？

学习目标

1. 理解函数的不同表示之间的转换是``同一对象的不同语言之间的翻译''.
2. 了解各种转换中可能丢失的信息和需要注意的限制.
3. 能根据问题的需要选择合适的表示方式.

研究函数时，常要在文字、表格、图像和解析式之间切换. 每次切换都要检查定义域、精确值和分支条件是否保留下来.

常见的转换方向.

• 文字描述 $\to$ 表格: 把``规则''变成具体的对应数据. 适合检验理解是否正确.
• 表格 $\to$ 图像: 把数据点画在坐标系中. 适合观察趋势，但点之间的部分只能推测.
• 图像 $\to$ 性质: 从图像中读出单调性、对称性、零点等. 通常是近似的.
• 解析式 $\to$ 图像: 通过计算关键点和趋势画图. 最精确，但也最费力.
• 关系式 $\to$ 函数: 通过限制定义域或选择分支，从关系中选出函数.

例

若题目给出一条曲线图像，并问它是否是函数，先用竖直线判别法判断.

若题目给出一张数据表，并问变化趋势，先观察整体增减与极值位置.

若题目给出一个复杂公式，并问如何作图，可考虑把它拆成熟悉函数再做图像变换.

转换中可能丢失的信息.

• 从解析式到图像：精确数值变成视觉近似.
• 从图像到表格：连续变化变成离散采样.
• 从表格到文字：具体数据变成模糊趋势.
• 从关系到函数：完整的曲线变成其中的一个分支.

选择表示方式前，先问这题要计算精确值、观察趋势，还是判断分支.

本节小结

{/* label: sec:ch01-summary */}

小结

1. 函数是对应规则. 解析式、表格、图像、文字规则都可以表达函数.
2. 定义域是函数的一部分. 写函数时要同时写解析式和定义域.
3. 同一关系经不同限制可得不同函数. 例如 $x^2+y^2=1$ 加 $y\ge 0$ 得上半圆，加 $y\le 0$ 得下半圆.
4. 陪域和值域是两个概念. 值域是实际取到的输出集合，陪域是事先指定的目标集合.
5. **``每个输入有唯一输出''**是函数对应关系的约束.

从关系到函数

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前面已经说明：函数首先是一种对应规则，解析式只是它的一种表达方式.

在很多情形里，函数起初先藏在某个代数关系、几何条件或实际规则里. 这时先要辨认：它到底只是一个关系，还是已经足以构成函数.

先判断输出是否唯一

设平面上有某个由 $x,y$ 满足的条件所确定的点集. 若对每个允许的 $x$, 都有且只有一个 $y$ 与之对应，那么它就定义了一个函数. 若某个 $x$ 会对应多个 $y$, 它就还不是函数.

例

关系 $x^2+y^2=1$ 不是函数. 因为当 $x=0$ 时，对应的 $y$ 有两个: $y=1, y=-1$.

例

关系 $y^2=x$ 也不是函数. 因为当 $x=4$ 时，有 $y=2, y=-2$.

几何上的判别. 若把这个关系画成平面曲线，那么它能否表示函数，仍然可以用竖直线判别法来理解: 任意一条竖直线与图像至多有一个交点，它才可能是函数的图像.

代数上的判别. 若题目给的是方程或关系式，只需判断对每个允许的 $x$, $y$ 是否唯一. 有些时候不必真的把 $y$ 显式写出来，只要能证明唯一性，就足以说明它定义了函数.

关系化为函数时的限制与选择

一个关系本身不是函数，往往只是因为其中包含多个分支. 加上适当限制后，就可以从中选出一个函数.

例

关系 $x^2+y^2=1$ 若加上条件 $y\ge 0$, 就变成 $y=\sqrt{1-x^2}, x\in[-1,1]$.这时它定义的是单位圆的上半圆，已经是一个函数.

例

同一个关系若改成 $y\le 0$, 则得到 $y=-\sqrt{1-x^2}, x\in[-1,1]$, 这又是另一个函数.

例

关系 $y^2=x$ 若规定 $y\ge 0$, 则得到 $y=\sqrt{x}, x\ge 0$.若规定 $y\le 0$, 则得到 $y=-\sqrt{x}, x\ge 0$.

这里发生了什么. 这是从原关系里选出一个分支. 分支的确定有时依靠符号限制，有时依靠定义域限制，有时依靠实际背景中的额外条件.

分支选择为什么这么重要

以后学习反函数时，这一点会不断出现. 因为许多熟悉函数如果放在整个定义域上，根本不能反过来；必须先把定义域缩小到某个单调区间，才能谈反函数.

例

函数 $y=x^2$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上没有反函数，因为同一个函数值 $4$ 来自两个输入: $x=2, x=-2$.

但如果把定义域限制为 $[0,+\infty)$, 它就变成严格递增函数，从而可以反过来得到 $y=\sqrt{x}$.

这一点说明. “选分支”是函数论的指导思想: 若一个对应太大而不唯一，就要缩小范围，使它成为函数.

这个思想在平方根、反三角函数、参数方程、隐式曲线分段研究里都会反复出现.

隐式定义的函数

有些函数由一个关系间接确定

例

方程 $x+y^3=0$ 虽然不是先写成 $y=f(x)$ 的形式，但可以唯一解出 $y=-\sqrt[3]{x}$. 所以它实际上定义了一个函数.

例

方程 $y^3+y=x$ 并不容易一眼把 $y$ 用初等表达式写出来. 但如果能够证明：对每个实数 $x$, 方程 $y^3+y=x$ 都有唯一实根，那么它依然定义了一个函数.

隐式定义函数的判断. 隐式定义的函数未必能把 $y$ 写成显式公式. 只要对应存在且唯一，就已经给出函数.

整体不是函数，分开看却可以是函数

有些曲线整体上不是函数图像，但把它分成几段以后，每一段都可以看成函数图像.

例

单位圆 $x^2+y^2=1$ 整体不是函数图像. 但它可以拆成两段: $y=\sqrt{1-x^2}, x\in[-1,1]$ 和 $y=-\sqrt{1-x^2}, x\in[-1,1]$.

例

抛物线 $x=y^2$ 若把 $x$ 视为自变量，它整体不是函数. 但若改成“把 $y$ 视为自变量”，就可以写成 $x=y^2$, 此时它描述的是从 $y$ 到 $x$ 的函数.

表述要准确. 常会说“这条曲线不是函数”. 更准确的说法是: 它不是关于 $x$ 的函数图像.

因为同一条曲线，可能不是 $y$ 关于 $x$ 的函数，却是 $x$ 关于 $y$ 的函数；也可能整体不是函数，但分成若干支以后每一支都是函数.

实际问题中的函数，也常靠限制选出来

在实际建模里，“从关系中选出函数”更常见，因为现实条件本身就会排除不合理分支.

例

设边长为 $x$ 的正方形面积为 $S$, 则 $S=x^2$. 如果反过来由面积求边长，从代数上看有 $x=\pm\sqrt{S}$. 但边长不能是负数，所以在实际问题中只能取 $x=\sqrt{S}$.

例

若某段路程满足 $s=vt$, 从代数上可以写成 $t=\frac{s}{v}$. 但只有在 $v\>0$ 且结合所讨论情境是否允许负时间，这个函数的定义域才能确定下来.

背景条件的作用. 现实中的函数由代数关系和实际意义共同决定. 因而实际问题中的分支选择，通常由背景条件确定.

从关系到函数的通用思路

前面的例子已经反复说明了一个基本思路：当题目给出的关系或条件并未直接写成 $y=f(x)$ 的显式形式时，要先弄清谁是输入、谁是输出，再判断每个输入是否唯一对应一个输出. 若输出不唯一，就要考虑能否通过限制定义域、值域或附加条件选出一个唯一分支. 只有在确认对应唯一之后，才去进一步研究它的定义域、值域和图像性质.这一整套判断过程背后，问题只有一个：对应是否唯一.

容易出现的错误

很多错误来自默认“方程能解出两个值也算函数”. 只要一个输入对应多个输出，它就还是关系，不是函数.

本节小结

以上内容总结如下:

• 函数常常藏在一个关系中;
• 一个关系能否成为函数，关键看输出是否唯一;
• 若不唯一，往往可以通过限制范围选出一个分支;
• 分支选择是函数、反函数和图像研究中的常用手法;
• 隐式定义的函数未必有漂亮公式，但只要对应存在且唯一，它就已经是函数.

以后再看反函数、复合函数和某些图像题时，可先从“对应是否唯一”“需不需要选分支”这些问题出发.