极限与连续

从点值到附近趋势

前面研究函数时，我们最常做的事情是：给定一个 $x$ , 算出一个 $f(x)$ . 这种做法能回答很多问题，也有明确的边界. 一旦问题落在分界点、临界点或持续变化的过程中，单看某一个点的取值往往不够.

先看一个熟悉的式子: $\frac{x^2-1}{x-1}.$ 把 $x=1$ 代入，会得到 $\dfrac00$ , 这个式子在 $x=1$ 处没有定义. 但若把 $x$ 取成 $1.1,1.01,0.99,0.9$ , 对应的值分别是 $2.1,2.01,1.99,1.9$ . 这些数稳定地向 $2$ 靠近. 这里立刻出现了一个新问题：点上的函数值可以缺失，附近的变化趋势却非常清楚.

速度问题也有同样的结构. 设物体沿直线运动，位置由 $s=f(t)$ 给出. 在时刻 $t_0$ 附近的一段时间里，平均速度是 $\bar v=\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}.$ 当 $\Delta t$ 很小时，这个比值已经很接近时刻 $t_0$ 附近的真实变化速度. 若直接令 $\Delta t=0$ , 分式失去意义；若研究 $\Delta t$ 越来越小时比值怎样变化，问题就重新有了方向.

在几何上，这个比值对应曲线 $s=f(t)$ 上的割线斜率.

TikZ 图 110 — 当点 $Q$ 向点 $P$ 靠近时，割线斜率也在变化*

极限描述变量靠近某点时函数值的去向. 连续则进一步比较这个去向与点上的实际函数值是否一致.

极限与连续的基本问题

极限与连续围绕四个基本问题展开:

极限为什么出现，它解决什么问题;
趋近方式怎样影响极限存在性;
极限值、函数值、连续性三者怎样区分;
连续性怎样影响图像、方程和后续的导数研究.

极限与连续的结构

极限与连续的内容结构如下:

极限：趋近方式、左右极限、极限存在性、极限值与函数值;
连续：定义、三条件、不连续分类、单侧连续与区间连续;
方法：判断极限的路径、判断连续的步骤、分段函数与端点处理;
接口：导数、积分、数列极限以及后续的函数研究.

数轴为什么需要“没有空隙”

{/* label: sec:ch14-s01 */}

极限经常把我们带到一个边界位置. 一串数越来越靠近某个结果，一个函数在附近越来越贴近某个高度，这些说法都默认一件事：那个边界值能在数轴上落下来. 这一节先把这件事说明白. 它解释了为什么极限理论要建立在实数系上.

从 \texorpdfstring{$\sqrt{2

$}{sqrt(2)} 说起}

边长为 $1$ 的正方形，对角线长度 $l$ 满足 $l^2=2.$ 如果只在有理数范围里活动，我们会遇到一个直接障碍：满足这个方程的数写不成分数.

$\sqrt{2}$ 的无理性

不存在有理数 $r$ , 使得 $r^2=2$ .

证明

设存在有理数 $r$ 满足 $r^2=2$ . 若 $r\<0$ , 取 $-r$ 即可，故不妨设 $r\>0$ . 把它写成最简分数 $r=\frac pq,$ 其中 $p,q\in\mathbb Z^+$ , 且 $\gcd(p,q)=1$ （ $p,q$ 互质，即最大公约数为 $1$ ）.

由 $\left(\frac pq\right)^2=2$ 得 $p^2=2q^2.$ 于是 $p^2$ 是偶数，所以 $p$ 是偶数. 设 $p=2k$ , 代入上式得 $4k^2=2q^2, q^2=2k^2.$ 于是 $q$ 也是偶数.

这样一来, $p,q$ 都含有公因数 $2$ , 这和 $\gcd(p,q)=1$ 矛盾.

这个结论说明，数轴上的确存在一些位置，它们附近可以不断找到有理数，位置本身却无法用有理数表达. 例如 $1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,...$ 这一串有理数都在向同一个位置靠近，那个位置就是 $\sqrt{2}$ .

“中间有很多点”和“边界有落点”是两回事

这里有两个容易混淆的性质.

稠密与完备

稠密回答的是：两个数之间能不能继续找到别的数.
完备回答的是：一串逼近形成的边界位置能不能在数轴上找到.

有理数在数轴上处处稠密：任意两个有理数之间一定能插入另一个有理数. 但正如集合 $A=\{r\in\mathbb Q\mid r^2\<2\}$ 所示，有理数系中仍然存在"缺口". 稠密保证点与点之间没有"缝隙", 完备则保证所有逼近过程的边界值都有落点. 这两条性质互相独立，极限理论需要的是后者.

有理数在实数轴上是稠密的. 任意两个不同实数之间都能找到有理数. 这说明“中间的点很多”.

实数系的优势是完备. 它保证“边界位置也有落点”. 极限理论依赖的正是这件事.

上界与上确界

一批数整体向上方某个边界靠近时，这个边界需要精确描述：上界与上确界.

上界

设 $S$ 是 $\mathbb R$ 的非空子集. 若存在实数 $M$ , 使得对任意 $x\in S$ 都有 $x\le M,$ 就称 $M$ 是集合 $S$ 的一个上界.

上确界

设 $S\subseteq\mathbb R$ 非空且上有界. 若实数 $\alpha$ 满足:

$\alpha$ 是 $S$ 的上界;
对任意 $\beta\<\alpha$ , 总能在 $S$ 中找到元素 $x$ , 使得 $x\>\beta$ ;

就称 $\alpha$ 为 $S$ 的上确界, 记作 $\sup S$ .

第二条的意思是: $\alpha$ 已经贴住了这个集合的上边界. 任何更小的数都压不住整个集合.

例

设 $S=[0,1).$ 集合 $S$ 没有最大值，因为其中每个元素右边都还有更大的元素. 但它有上确界 $\sup S=1.$

最大值与上确界

最大值属于集合本身，上确界描述的是边界位置. 有些集合同时拥有这两者，有些集合只有上确界.

$S=[0,1)$ : $\sup S=1$ , 但 $1\notin S$ , 所以 $S$ 没有最大值.
$S=[0,1]$ : $\sup S=1$ , 且 $1\in S$ , 所以最大值 $\max S=1$ .
$S=\left\{\dfrac1n\mid n\in\mathbb Z^+\right\}$ : $\sup S=1$ , 且 $1\in S$ , 所以最大值 $\max S=1$ .

集合可以有上确界而无最大值，但有最大值时上确界一定等于最大值.

有理数系里的缺口

下面看集合 $A=\{r\in\mathbb Q\mid r^2\<2\}.$ 这个集合在有理数系里有上界，例如 $2$ 就是它的上界. 但它在 $\mathbb Q$ 中找不到一个贴住边界的最小有理上界.

原因很清楚:

若某个有理数 $q$ 满足 $q^2\<2$ , 它还没有碰到边界，因为它右边还能找到平方仍小于 $2$ 的有理数.
若某个有理数 $q$ 满足 $q^2\>2$ , 它压得过头了，因为它左边还能找到更小的有理上界.

贴住边界的位置满足 $q^2=2,$ 也就是 $\sqrt2$ . 这个数落在实数里，在有理数里没有落点，缺口就显现出来了.

TikZ 图 111 — 同一个边界在 $\mathbb Q$ 与 $\mathbb R$ 中的不同情形*

实数系的完备性

实数系把上面的缺口补上了. 这一点通常用下面的公理表达.

完备性公理

$\mathbb R$ 中每个非空且上有界的子集，都有上确界.

这条公理常被概括成“实数数轴没有空隙”. 更准确的说法是：只要一批实数已经被某个上界压住，它们的最紧上边界就能在实数系里找到.

完备性在极限中的作用

极限研究的是“一个变化过程会贴近哪个值”. 完备性保证这种边界值有地方落下. 后面学习介值定理、零点存在定理、数列极限和积分时，这块地基都会再次出现.

极限

\BookSectionSubtitle{研究“靠近时”会发生什么} {/* label: sec:ch14-s02 */}

极限把研究对象从“点上取什么值”推进到“靠近某个位置时会怎样变化”. 一点附近的极限要同时处理趋近方式、附近结构、极限存在性以及极限值与函数值的区别.

极限的入口问题

学习极限时，要先分清趋近、极限值与函数值，再判断左极限、右极限和双边极限是否存在. 直接代入、约分、因式分解、通分、有理化和分段讨论，是一点附近极限的基本入口.

极限研究的是逼近过程，需要用“附近趋势”来读极限;
点上的函数值和附近的极限值可以相同，也可以分离;
左右极限一致时，双边极限才存在;
分段函数在分界点附近常要分别考察左右两侧.

前置知识

阅读这一节前，需要具备下面几类基础:

函数的解析式、定义域和图像的基本读法;
分式运算、因式分解、通分与有理化;
绝对值与分段函数;
用数表观察数值变化趋势.

为什么需要极限

先看熟悉的函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}.$ 当 $x=1$ 时，原式没有意义. 但当 $x$ 取接近 $1$ 的值时，函数值却有清楚的变化趋势: <MathBlock raw={"\begin{array}{c|cccc} x & 0.9 & 0.99 & 1.01 & 1.1 f(x) & 1.9 & 1.99 & 2.01 & 2.1 \end{array}"} />

这些数都在靠近 $2$ . 这说明函数在某一点是否有值，和它在该点附近朝哪里变化，是两件不同的事.

再看平均变化率 $\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}.$ 这里真正重要的是 $\Delta t$ 很小时整个比值怎样变化. 只盯着 $\Delta t=0$ 这一点，信息很少；观察 $\Delta t$ 逐步缩小时的趋势，信息才会显露出来.

极限正是为这种“附近趋势”提供语言的工具.

先建立直观

\BookSubsectionSubtitle{极限在看什么}

常见的趋近方式

读极限式时，先看自变量怎样靠近目标位置:

$x\to a$ : 从点 $a$ 的两侧一起靠近 $a$ ;
$x\to a^-$ : 从小于 $a$ 的一侧靠近 $a$ ;
$x\to a^+$ : 从大于 $a$ 的一侧靠近 $a$ ;
$x\to+\infty$ : 取越来越大的正数;
$x\to-\infty$ : 取绝对值越来越大的负数.

函数在一点的极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义. 若当 $x$ 越来越接近 $x_0$ 时, $f(x)$ 稳定地靠近某个常数 $L$ , 就称 $L$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L.$

读极限式先抓什么

$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ 里最关键的三层信息是:

谁在靠近：这里是 $x\to x_0$ ;
看的是哪里：看的是 $x_0$ 附近，也就是一个逼近过程;
靠向哪里：函数值 $f(x)$ 朝着 $L$ 变化.

这一节最需要反复分清的三件事

“ $x$ 趋近于 $a$ ”说的是过程;
“ $f(a)$ ”记录的是点值;
“ $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ ”记录的是附近趋势.

这三件事在很多题里会同时出现，书写和判断时都要分开.

极限不存在的几种常见情形

双边极限常见的失败方式有三类:

左边和右边靠向不同结果;
函数值在附近持续振荡，没有统一趋势;
函数值在附近越来越大或越来越小，没有靠向有限常数.

例题

比较极限与函数值

设 <MathBlock raw={"g(x)= \begin{cases} x+1, & x\ne 2, 5, & x=2. \end{cases}"} /> 求 $\lim\limits_{x\to 2}g(x)$ , 并比较它与 $g(2)$ .

解

当 $x\ne2$ 时，函数表达式就是 $g(x)=x+1$ . 因而 $\lim_{x\to2}g(x)=\lim_{x\to2}(x+1)=3.$ 另一方面, $g(2)=5.$ 所以这个函数在 $x=2$ 附近的趋势是靠向 $3$ , 点值却取成了 $5$ .

直接代入

计算 $\lim_{x\to2}(x^2-x+1).$

解

多项式在各点附近都保持稳定变化，这里直接代入即可: $\lim_{x\to2}(x^2-x+1)=2^2-2+1=3.$

不能直接代入的情形

计算 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}.$

解

直接代入得到 $\frac{2^2-4}{2-2}=\frac00.$ 这里的 $\frac00$ 说明当前写法还没有把趋势露出来. 先因式分解: $x^2-4=(x-2)(x+2).$ 当 $x\ne2$ 时, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$ 因而 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} =\lim_{x\to2}(x+2)=4.$

通分与有理化

计算下列极限: <MathBlock raw={"(1)\ \lim_{x\to1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right),
(2)\ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}."} />

解

先看第 $(1)$ 题. 这里出现两个分式相减，先通分: <MathBlock raw={"\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1} =\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{2}{x^2-1} =\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} =\frac{1}{x+1} (x\ne1)."} /> 所以 <MathBlock raw={"\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right)=\frac12."} />

再看第 $(2)$ 题. 分子是根式差，先做有理化: $\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} =\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} =\frac{1}{\sqrt{x+3}+2} (x\ne1).$ 因而 $\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\frac14.$

左极限与右极限

当研究点 $x_0$ 两侧的行为时，需要分别记录:

从左侧靠近 $x_0$ 时的极限，记作 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$ ;
从右侧靠近 $x_0$ 时的极限，记作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$ .

双边极限存在的条件

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的双边极限存在且等于 $L$ , 当且仅当 $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L, \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L.$ 左右两侧指向同一个结果时，双边极限才存在.

左右极限

计算 $\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}.$

解

当 $x\>0$ 时, $|x|=x$ , 所以 $\frac{|x|}{x}=1.$ 当 $x\<0$ 时, $|x|=-x$ , 所以 $\frac{|x|}{x}=-1.$ 因而 <MathBlock raw={"\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1,
\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1."} /> 左右两侧靠向不同结果，所以 $\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}$ 不存在.

分段函数

设 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} x+1, & x\<1, 4, & x=1, 2x, & x\>1. \end{cases}"} /> 求 $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to1}f(x)$ 和 $f(1)$ .

解

从左侧靠近 $1$ 时，用的是 $x+1$ , 所以 $\lim_{x\to1^-}f(x)=2.$ 从右侧靠近 $1$ 时，用的是 $2x$ , 所以 $\lim_{x\to1^+}f(x)=2.$ 左右结果相同，因而 $\lim_{x\to1}f(x)=2.$ 但点值来自中间那一行: $f(1)=4.$ 这个例子里，极限存在，点值也有定义，只是两者没有接到一起.

综合例题

设 <MathBlock raw={"h(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\<1,\\[0.8em] a, & x=1,\\[0.8em] \dfrac{8(\sqrt{x+3}-2)}{x-1}, & x\>1. \end{cases}"} /> 求 $\lim\limits_{x\to1}h(x)$ , 并确定 $a$ 取何值时点值与极限接上.

解

左侧表达式要先因式分解: $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1 (x\ne1),$ 所以 $\lim_{x\to1^-}h(x)=2.$

右侧表达式要先有理化: <MathBlock raw={"\frac{8(\sqrt{x+3}-2)}{x-1} =\frac{8}{\sqrt{x+3}+2} (x\ne1),"} /> 因而 $\lim_{x\to1^+}h(x)=\frac{8}{2+2}=2.$

左右极限相等，所以 $\lim_{x\to1}h(x)=2.$ 若要点值与极限接上，就应取 $a=2.$

一道一点极限题的基本路径

拿到题目后，建议按下面顺序判断:

先看趋近方式，判断是双边、左边还是右边;
再看该点附近是否需要分段讨论;
能直接代入时先代入;
代入出现 $\frac00$ 时，观察该用因式分解、约分、通分还是有理化;
若左右结构不同，先分别算左极限和右极限;
最后把极限值和函数值分开写.

把直观写成更严格的语言

前面的学习重点是看懂极限、会做入门题. 若要把“越来越接近”写成严格的数学条件，还需要邻域和 $\varepsilon$ - $\delta$ 语言.

邻域与去心邻域

以 $x_0$ 为中心、半径为 $\delta\>0$ 的开区间 $U(x_0,\delta)=\{x\mid |x-x_0|\<\delta\}$ 称为点 $x_0$ 的一个邻域.

去掉中心点后得到 $U^\circ(x_0,\delta)=\{x\mid 0\<|x-x_0|\<\delta\},$ 称为点 $x_0$ 的去心邻域.

为什么要用去心邻域

极限研究的是“附近趋势”，所以真正起作用的是去心邻域. 中心点被单独留出来，函数值和极限值也就自然分开了.

函数极限的 \texorpdfstring{$\varepsilon$-$\delta$}{epsilon-delta} 定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义. 若对于任意给定的 $\varepsilon\>0$ , 总存在 $\delta\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta$ 时，都有 $|f(x)-L|\<\varepsilon,$ 就称 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L.$

怎样读这个定义

这一一定义的流程是先在函数值一侧提出精度要求 $\varepsilon$ ，再在自变量一侧找出足够小的活动范围 $\delta$ ，只要 $x$ 进入这个去心邻域，函数值就会进入 $L$ 附近的误差带. 例如证明 $\lim_{x\to2}(x+1)=3$ 时，只需取 $\delta=\varepsilon$ , 因为 $|(x+1)-3|=|x-2|$ .

常见误区

高频误区

把“ $x\to a$ ”直接看成“ $x=a$ ”;
用函数值代替极限值;
左右都能算就直接写双边极限存在;
代入出现 $\frac00$ 后停在原地;
看图像时只盯着点值，没有观察逼近方向.

本节习题

习题的使用顺序

做习题时，可按下面顺序进行:

先独立完成题目;
遇到困难时查看提示，先获得一个切入口;
完成后核对答案;
需要补全推理时再阅读完整解答.

习题

基础练习

\exercisesingle{ 设 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} x+2, & x\ne1, 0, & x=1. \end{cases}"} /> 求 $\lim\limits_{x\to1}f(x)$ 与 $f(1)$ . }

\exercisesingle{ 计算 $\lim_{x\to-2}(x^2+3x+1).$ }

练习

\exercisesingle{ 计算 $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}.$ }

\exercisesingle{ 计算 $\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}.$ }

提升练习

\exercisesingle{ 计算 $\lim_{x\to2}\frac{|x-2|}{x-2}.$ }

\exercisesingle{ 设 <MathBlock raw={"g(x)= \begin{cases} 2x-1, & x\<2, 5, & x=2, x+1, & x\>2. \end{cases}"} /> 求 $\lim\limits_{x\to2^-}g(x)$ , $\lim\limits_{x\to2^+}g(x)$ , $\lim\limits_{x\to2}g(x)$ 和 $g(2)$ . }

综合练习

\exercisesingle{ 设 <MathBlock raw={"p(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}, & x\<2,\\[0.8em] a, & x=2,\\[0.8em] \dfrac{16(\sqrt{x+2}-2)}{x-2}, & x\>2. \end{cases}"} /> 求 $\lim\limits_{x\to2}p(x)$ , 并确定 $a$ 的值，使点值与极限接上. }

\exercisesingle{ 研究函数 $q(x)=\sin\frac{1}{x-1}$ 在 $x\to1$ 时的极限是否存在. }

选做

\exercisesingle{ 对于给定的 $\varepsilon=0.2$ , 求一个具体的正数 $\delta$ , 使得当 $0\<|x-1|\<\delta$ 时，恒有 $|x^2-1|\<0.2.$ }

\exercisesingle{ 用 $\varepsilon$ - $\delta$ 定义证明 $\lim_{x\to c}(x+1)=c+1.$ }

小结

极限研究的是附近趋势. 读题时先看趋近方式，再看函数在该点附近的结构.
极限值与函数值要分开. 点上有值、点上无值、极限存在、极限不存在，这些情形都能独立出现.
计算一点极限的入门路径很清楚：先代入，再按结构选择约分、因式分解、通分或有理化，必要时分左右.
左右极限一致，双边极限才存在. 分段点、绝对值点、端点附近都要特别留意这一步.
连续会继续追问“极限值能否和函数值接上”；导数会进一步研究“平均变化率的极限是什么”. 所以极限是后续内容的共同起点.

极限的运算与常用工具

{/* label: sec:ch14-s05 */}

计算一个极限时，常见的问题是：能不能直接代入? 需不需要变形? 什么时候要分左右? 什么时候要夹逼? 常用做法可以整理成可操作的方法.

先认清题目，再选择方法

求极限时，可以先停一下，判断题目的结构.

下手前先做三步

先认清趋近方式：是 $x\to a$ , 还是 $x\to a^\pm$ , 还是 $x\to\pm\infty$ . 接着看函数在该点附近是否需要分段讨论. 然后选择直接代入、代数变形、夹逼或重要极限.

分析极限时通常先代入.

代入之后常见的三种结果

代入得到一个确定数：这时极限常常已经清楚;
代入得到 $\dfrac00$ : 这说明当前写法把信息遮住了，下一步需要变形;
代入后左右结构明显不同：这时要先分左右讨论.

例

计算 $\lim_{x\to2}(x^2+3x).$

解

直接代入 $x=2$ , 得 $2^2+3\cdot2=10.$ 所以 $\lim_{x\to2}(x^2+3x)=10.$

多项式、根式、分式等常见函数里，很多题都可以从这一步起步. 后面学习连续时，我们会看到“为什么直接代入常常成立”的统一理由.

极限的四则运算法则

三角不等式

对任意实数 $a,b$ , 恒有 $|a+b|\le |a|+|b|.$

证明

对任意实数 $a,b$ , 有 <MathBlock raw={"\begin{aligned} |a+b|^2 &= (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 &\le a^2+2|a|\,|b|+b^2 = (|a|+|b|)^2. \end{aligned}"} /> 两边取算术平方根，即得 $|a+b|\le |a|+|b|$ .

极限的四则运算法则

若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L, \lim_{x\to x_0}g(x)=M,$ 则有

$\lim_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=L\pm M;$
$\lim_{x\to x_0}[c\,f(x)]=cL;$
$\lim_{x\to x_0}[f(x)g(x)]=LM;$
若 $M\ne0$ , 则 $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac LM.$

证明

这些法则的共同思想是：已知各部分在靠近 $x_0$ 时都有确定极限，组合后的整体极限也可以由它们确定.

下面以和法则为例说明. 任给 $\varepsilon\>0$ . 由 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L, \lim_{x\to x_0}g(x)=M$ 可分别找到 $\delta_1,\delta_2\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta_1$ 时有 $|f(x)-L|\<\frac{\varepsilon}{2},$ 当 $0\<|x-x_0|\<\delta_2$ 时有 $|g(x)-M|\<\frac{\varepsilon}{2}.$ 取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\},$ 就得到 <MathBlock raw={"\begin{aligned} |[f(x)+g(x)]-(L+M)| &=|(f(x)-L)+(g(x)-M)| &\le |f(x)-L|+|g(x)-M| &\<\varepsilon. \end{aligned}"} /> 所以 $\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=L+M.$

差法则、常数倍法则、乘法法则和商法则可以按同样思路证明.

这些法则的作用

它们把复杂极限拆成简单极限. 已知局部行为的若干部分，可以通过加、减、乘、除重新拼出整体行为.

代数变形

\BookSubsectionSubtitle{把遮住的信息露出来}

出现 $\dfrac00$ 时，极限题常常还没有走到结论，只是当前写法暂时看不清趋势. 这时要做的事情是变形.

例

计算 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}.$

解

直接代入会得到 $\frac00.$ 这表示当前写法还看不清趋势. 先因式分解: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 (x\ne2).$ 因而 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} =\lim_{x\to2}(x+2)=4.$

例

计算 $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.$

解

直接代入仍然得到 $\frac00.$ 这时可以用有理化: <MathBlock raw={"\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}

\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}

\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}."} /> 所以 <MathBlock raw={"\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}

\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}

\frac12."} />

备注

看到

\dfrac00

时先想什么

常见的变形方向有四类:

因式分解与约分;
通分;
分子分母有理化;
提取公因子，把主要结构显出来.

夹逼思想

有些函数本身不好直接算极限，但它始终被两个更简单的函数夹在中间. 若两边都逼近同一个数，中间的函数也会跟着逼近这个数.

夹逼定理

若在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有 $\phi(x)\le f(x)\le \psi(x),$ 且 $\lim_{x\to x_0}\phi(x)=\lim_{x\to x_0}\psi(x)=L,$ 则 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L.$

证明

任给 $\varepsilon\>0$ . 由 $\lim_{x\to x_0}\phi(x)=L$ , 存在 $\delta_1\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta_1$ 时有 $L-\varepsilon\<\phi(x)\<L+\varepsilon$ . 由 $\lim_{x\to x_0}\psi(x)=L$ , 存在 $\delta_2\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta_2$ 时有 $L-\varepsilon\<\psi(x)\<L+\varepsilon$ . 由定理条件，存在 $\delta_0\>0$ , 使得当 $0\<|x-x_0|\<\delta_0$ 时有 $\phi(x)\le f(x)\le\psi(x)$ .

取 $\delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}$. 当 $0\<|x-x_0|\<\delta$ 时，同时有 $L-\varepsilon\<\phi(x)\le f(x)\le\psi(x)\<L+\varepsilon$,
因此 $|f(x)-L|\<\varepsilon$. 所以 $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$.

例

计算 $\lim_{x\to0}x\sin\frac1x.$

解

对任意实数 $u$ , 都有 $-1\le\sin u\le1.$ 所以当 $x\ne0$ 时, $-|x|\le x\sin\frac1x\le |x|.$ 又因为 $\lim_{x\to0}(-|x|)=0, \lim_{x\to0}|x|=0,$ 由夹逼定理可得 $\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0.$

什么时候想到夹逼

当函数里出现振荡项、绝对值项、三角函数有界项，或者式子明显落在两个简单表达式之间时，夹逼往往是自然选择.

两个重要极限

前面的四则法则和夹逼定理能解决很多题，还有两个局部行为特别重要，需要单独记住.

两个重要极限

在弧度制下, <MathBlock raw={"\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,

\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e."} />

证明（第一个重要极限的证明）

先考虑 $0\<x\<\frac\pi2$ 的情形. 在单位圆中取圆心角 $x$ （弧度），对应的三角形、扇形和切线三角形的面积满足: $\frac12\sin x \< \frac12 x \< \frac12\tan x.$ 同除以 $\frac12\sin x\>0$ , 得 $1 \< \frac{x}{\sin x} \< \frac{1}{\cos x}.$ 取倒数并反转不等号: $\cos x \< \frac{\sin x}{x} \< 1.$ 当 $x\to0^+$ 时 $\cos x\to1$ , 夹逼定理给出 $\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1.$ 又因为 $\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}$ , 该函数是偶函数，左极限等于右极限. 因此 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

证明（第二个重要极限的证明）

先说明数列 $\left(1+\frac1n\right)^n$ 单调递增且有上界，因此极限存在，记为 $e$ .

对 $x\to0^+$ , 令 $t=\frac1x\to+\infty$ . 对任意 $t\>1$ , 取正整数 $n=\lfloor t\rfloor$ , 由 $n\le t\<n+1$ 可得 <MathBlock raw={"\left(1+\frac1{n+1}\right)^n \le \left(1+\frac1t\right)^t \le \left(1+\frac1n\right)^{n+1}."} /> 当 $t\to+\infty$ 时，左端 <MathBlock raw={"\left(1+\frac1{n+1}\right)^n = \frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{1+\frac1{n+1}} \to \frac e1 = e,"} /> 右端 <MathBlock raw={"\left(1+\frac1n\right)^{n+1} = \left(1+\frac1n\right)^n\cdot\left(1+\frac1n\right) \to e\cdot1 = e."} /> 由夹逼定理, $\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/x}=e$ .

对 $x\to0^-$ , 令 $x=-\frac1t$ , $t\to+\infty$ , 则 <MathBlock raw={"\begin{aligned} (1+x)^{1/x} &=\left(1-\frac1t\right)^{-t} =\left(\frac{t}{t-1}\right)^t =\left(1+\frac1{t-1}\right)^t &=\left(1+\frac1{t-1}\right)^{t-1}\cdot\left(1+\frac1{t-1}\right). \end{aligned}"} /> 当 $t\to+\infty$ 时, $\left(1+\frac1{t-1}\right)^{t-1}\to e$ , $\left(1+\frac1{t-1}\right)\to1$ , 故上式趋于 $e$ .

左右极限相等，因此 $\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$ .

它们为什么重要

$\displaystyle \frac{\sin x}{x}\to1$ 描述了角度很小时正弦函数的局部行为;
$\displaystyle (1+x)^{1/x}\to e$ 描述了“每次变化很小，次数很多”时的累积结果.

由第一个重要极限，可以推出 <MathBlock raw={"\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12."} />

由第二个重要极限，可以推出 <MathBlock raw={"\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1,

\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1."} />

例

计算 $\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}.$

解

先变形: <MathBlock raw={"\begin{aligned} \tan x-\sin x &=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x &=\sin x\left(\frac1{\cos x}-1\right) &=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}. \end{aligned}"} /> 所以 <MathBlock raw={"\frac{\tan x-\sin x}{x^3}

\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac1{\cos x}."} /> 当 $x\to0$ 时, $\frac{\sin x}{x}\to1, \frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12, \frac1{\cos x}\to1.$ 因而 <MathBlock raw={"\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3} =1\cdot\frac12\cdot1=\frac12."} />

例

设 $a$ 为常数，计算 $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}.$

解

利用指数与对数改写: $(1+x)^a=e^{a\ln(1+x)}.$ 于是 <MathBlock raw={"\frac{(1+x)^a-1}{x}

\frac{e^{a\ln(1+x)}-1}{a\ln(1+x)} \cdot a\cdot\frac{\ln(1+x)}{x}."} /> 当 $x\to0$ 时，有 $a\ln(1+x)\to0$ , 所以 $\frac{e^{a\ln(1+x)}-1}{a\ln(1+x)}\to1.$ 又因为 $\frac{\ln(1+x)}{x}\to1,$ 所以 $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a.$

极限计算的检查顺序

到这里，计算极限的常用方法已经够用了. 分析问题时，要先看结构，再选方法.

极限计算的检查顺序

先认清趋近方式：是 $x\to a$ , 还是 $x\to a^\pm$ , 还是 $x\to\pm\infty$ . 代入能得到确定结果时，直接写出极限；出现 $\dfrac00$ 时，尝试因式分解、约分、通分或分子分母有理化. 式子里有振荡项或明显的大小关系时，考虑夹逼. 结构靠近三角、指数、对数的标准形时，调用重要极限. 任何时候都把"极限存在吗"与"极限等于多少"分成两步.

一点附近与无穷远处

一点附近的极限关注局部趋近，无穷远处的极限关注图像向远处延伸时的整体走向. 两者使用同一种极限记法，自变量的趋近方式不同.

本节习题

习题

练习

计算极限 $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-x^2-x-2

解

x^2-4

$. } { 计算极限 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt[3]{x}-1}$. }

练习

计算极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2+bx})$ , 其中 $a,b$ 为常数.

解

计算极限 $\lim\limits_{x\to-\infty

\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$. }

练习

已知 $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2+ax+b

解

x-2

=5$, 求常数 $a,b$ 的值. } { 考虑函数若函数 $f(x)$ 在点 $x=1$ 处连续，求常数 $k$ 的值. }

练习

计算极限 $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{|x-1|

解

x^2-1

$. } { 确定常数 $a,b$ 的值，使得 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=0$. }

练习

计算极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(1+x)^a-1

解

$, 其中 $a$ 为任意实数. } { 计算极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$. }

练习

求函数 $f(x)=\sqrt{x^2+3x}$ 的所有渐近线.

解

设函数 $f(x)$ 满足 $\lim\limits_{x\to0

\dfrac{f(x)}{x}=L$, 其中 $L$ 为非零常数. 求极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x^2)}{\sin^2x}$. }

练习

设函数 $f(x)$ 定义为 $f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x^{2n-1}+ax

解

x^{2n

+1},$ 其中 $n$ 为正整数. 试确定常数 $a$ 的值，使得 $f(x)$ 是一个连续函数. } { 证明：方程 $x^3-3x+1=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实数根. }

无穷远处的极限与渐近现象

{/* label: sec:ch14-s06 */}

前面讨论的极限主要围绕 $x\to a$ 展开，它们描述的是某一点附近的局部行为. 极限还有另外两种常见的趋近方式: $x\to+\infty, x\to-\infty.$ 它们研究的是“向远处看”时函数会怎样变化. 图像会不会逐渐贴近某条直线? 分式在 $x$ 很大时会不会稳定下来? 这些问题都属于无穷远处的极限.

把 \texorpdfstring{ $x\to\pm\infty$

{x->pm infinity} 理解成“向远处看”}

$x\to+\infty$ 与 $x\to-\infty$ 时的极限

若对任意 $\varepsilon\>0$ , 都存在 $M\>0$ , 使得当 $x\>M$ 时有 $|f(x)-L|\<\varepsilon,$ 就称 $L$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\to+\infty$ 时的极限，记作 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L.$
若对任意 $\varepsilon\>0$ , 都存在 $M\>0$ , 使得当 $x\<-M$ 时有 $|f(x)-L|\<\varepsilon,$ 就称 $L$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\to-\infty$ 时的极限，记作 $\lim_{x\to-\infty}f(x)=L.$

怎样理解“趋于无穷”

$x\to+\infty$ 表示 $x$ 取得越来越大的正数;
$x\to-\infty$ 表示 $x$ 取得绝对值越来越大的负数;
$\infty$ 在这里表示方向，讨论的重点仍然是函数的变化趋势.

一点附近的极限研究的是局部趋势，无穷远处的极限研究的是整体走向. 它们使用的是同一种思想：只看趋势，不看某一个孤立点.

水平渐近线

若函数在无穷远处稳定地贴近某个常数，图像就会越来越贴近一条水平直线.

水平渐近线

若 <MathBlock raw={"\lim_{x\to+\infty}f(x)=L \text{或}
\lim_{x\to-\infty}f(x)=L,"} /> 则直线 $y=L$ 称为函数图像在相应方向上的水平渐近线.

定理

对任意常数 $c$ 和任意正数 $n\>0$ , 有 $\lim_{x\to+\infty}\frac{c}{x^n}=0.$

证明

任给 $\varepsilon\>0$ .

当 $c=0$ 时， $\frac{c}{x^n}\equiv 0$ , 结论成立.

当 $c\ne0$ 时，取 $M=\left(\frac{|c|}{\varepsilon}\right)^{1/n}.$ 若 $x\>M$ , 则 $x^n\>\frac{|c|}{\varepsilon},$ 从而 $\left|\frac{c}{x^n}\right|=\frac{|c|}{x^n}\<\varepsilon.$ 所以 $\lim_{x\to+\infty}\frac{c}{x^n}=0.$

同理，当 $n$ 为正整数时，也有 $\lim_{x\to-\infty}\frac{c}{x^n}=0.$

例

求 $\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-4x^2+5}{7x^3+3x-1}.$

解

分子、分母同除以最高次幂 $x^3$ : <MathBlock raw={"\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-4x^2+5}{7x^3+3x-1} &=\lim_{x\to+\infty}\frac{2-\frac4x+\frac5{x^3}}{7+\frac3{x^2}-\frac1{x^3}} &=\frac{2-0+0}{7+0-0}=\frac27. \end{aligned}"} /> 所以函数图像在 $x\to+\infty$ 的方向上越来越贴近直线 $y=\frac27.$

有理函数在远处的第一判断

对 $\frac{a_nx^n+\cdots+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_0},$ 先比较分子、分母的次数.

若 $n\<m$ , 极限常趋于 $0$ ;
若 $n=m$ , 极限常趋于最高次项系数之比 $\dfrac{a_n}{b_m}$ ;
若 $n\>m$ , 要继续研究主导项和渐近线.

无穷小、无穷大与倒数关系

无穷小

若某个函数 $\alpha(x)$ 在给定过程中满足 $\alpha(x)\to0,$ 就称 $\alpha(x)$ 在这个过程中是无穷小.

正无穷与负无穷

若对任意 $B\>0$ , 都能让自变量足够靠近目标点或足够远，从而保证 $f(x)\>B,$ 就称 $f(x)$ 在该过程中趋于正无穷, 记作 $f(x)\to+\infty$ .
若对任意 $B\>0$ , 都能保证 $f(x)\<-B,$ 就称 $f(x)$ 在该过程中趋于负无穷, 记作 $f(x)\to-\infty$ .

例如, $\frac1x,\ \frac1{x^2}$ 在 $x\to+\infty$ 时都是无穷小.

再看有限点附近的例子: $\frac1x\to+\infty (x\to0^+), \frac1x\to-\infty (x\to0^-).$ 这说明极限除了“趋向某个常数”，也可以表现为“函数值绝对值越来越大”.

倒数关系

设 $\phi(x)$ 在某个过程中最终不为 $0$ .

若 $\phi(x)\to+\infty$ 或 $\phi(x)\to-\infty$ , 则 $\dfrac1{\phi(x)}\to0$ .
若 $\phi(x)\to0$ 且最终保持正值，则 $\dfrac1{\phi(x)}\to+\infty$ .
若 $\phi(x)\to0$ 且最终保持负值，则 $\dfrac1{\phi(x)}\to-\infty$ .

证明

设 $\phi(x)\to+\infty$ . 任给 $\varepsilon\>0$ , 取 $M=\frac1\varepsilon$ . 由 $\phi(x)\to+\infty$ , 存在某个时刻之后 $\phi(x)\>M$ , 从而 <MathBlock raw={"\left|\frac1{\phi(x)}\right|=\frac1{\phi(x)}\<\frac1M=\varepsilon."} /> 因此 $\frac1{\phi(x)}\to0$ . $\phi(x)\to-\infty$ 的情形同理，此时 $\left|\frac1{\phi(x)}\right|=\frac1{|\phi(x)|}\<\varepsilon$ .
设 $\phi(x)\to0$ 且最终保持正值. 任给 $B\>0$ , 取 $\varepsilon=\frac1B$ . 由 $\phi(x)\to0$ 且最终为正，存在某个时刻之后 $0\<\phi(x)\<\varepsilon$ , 从而 $\frac1{\phi(x)}\>\frac1\varepsilon=B.$ 因此 $\frac1{\phi(x)}\to+\infty$ .
设 $\phi(x)\to0$ 且最终保持负值. 同理，存在某个时刻之后 $-\varepsilon\<\phi(x)\<0$ , 从而 $\frac1{\phi(x)}\<-\frac1\varepsilon=-B.$ 因此 $\frac1{\phi(x)}\to-\infty$ .

符号信息很重要

当分母靠近 $0$ 时，倒数会冲向 $+\infty$ 还是 $-\infty$ , 取决于它最终保持正值还是负值. 研究无穷大极限时，常常要先看符号.

垂直渐近线

若函数在某个有限点附近的函数值绝对值越来越大，图像就会在该点附近沿着一条竖直方向急速上升或下降.

垂直渐近线

若 <MathBlock raw={"\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \text{或}
\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty,"} /> 则直线 $x=a$ 称为函数图像的一条垂直渐近线.

例

研究函数 $f(x)=\frac1{x-2}$ 在 $x=2$ 附近的行为.

解

当 $x\to2^+$ 时, $x-2$ 是接近 $0$ 的正数，所以 $\frac1{x-2}\to+\infty.$ 当 $x\to2^-$ 时, $x-2$ 是接近 $0$ 的负数，所以 $\frac1{x-2}\to-\infty.$ 因而直线 $x=2$ 是图像的一条垂直渐近线.

斜渐近线与抓最高次项

当函数在无穷远处越来越像一条斜直线时，我们用斜渐近线来描述.

斜渐近线

若存在常数 $m,b$ , 使得 $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(mx+b)]=0,$ 则直线 $y=mx+b$ 称为函数图像在相应方向上的斜渐近线.

处理多项式或分式在无穷远处的极限时，最常用的原则是：最高次项决定主要行为. 当 $x$ 很大时，低次项的影响会迅速减弱.

例

求函数 $f(x)=\sqrt{x^2+3x}$ 在 $x\to+\infty$ 时的斜渐近线.

解

先求斜率: $m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x} =\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac3x}=1.$ 再求截距: <MathBlock raw={"\begin{aligned} b &=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x) &=\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+3x}-x\bigr) &=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} &=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}=\frac32. \end{aligned}"} /> 所以在 $x\to+\infty$ 时，图像有斜渐近线 $y=x+\frac32.$

“抓最高次项”怎样操作

对有理函数，常用同除以最高次幂的方法;
对根式，常把根号内提出最高次幂，或者配合有理化;
对复杂表达式，先找主导增长的部分，再看其余部分的影响是否趋于 $0$ .

比较增长速度

“抓最高次项”是在比较不同函数的增长速度. 在 $x\to+\infty$ 时，常见函数的快慢次序可以直接用于判断主导项.

同阶、高阶、低阶

设当 $x\to+\infty$ 时, $f(x)\to+\infty$ 且 $g(x)\to+\infty$ .

若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=c\ne0,$ 就称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 同阶;
若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty,$ 就称 $f(x)$ 比 $g(x)$ 高阶;
若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0,$ 就称 $f(x)$ 比 $g(x)$ 低阶.

常见增长顺序

当 $x\to+\infty$ 时，常见函数的增长顺序可以记成 $\ln x\ll x^\alpha\ll a^x (a\>1,\ \alpha\>0).$ 这表示对数增长最慢，幂函数居中，指数函数增长最快.

例

求 $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-100x^{10}+\ln x}{2e^x+500x^2}.$

解

分子与分母中增长最快的部分都是 $e^x$ . 同除以 $e^x$ : <MathBlock raw={"\begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-100x^{10}+\ln x}{2e^x+500x^2} &=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-100\dfrac{x^{10}}{e^x}+\dfrac{\ln x}{e^x}}{2+500\dfrac{x^2}{e^x}} &=\frac{1-0+0}{2+0}=\frac12. \end{aligned}"} />

分析无穷远极限的检查顺序

分析无穷远极限时的思考顺序

先判断目标类型：常数极限、无穷大极限或渐近线问题. 有理函数比较次数后，决定是否同除以最高次幂. 根式先提主导项，必要时做有理化. 分母趋于 $0$ 时，先看符号，再判断趋向 $+\infty$ 还是 $-\infty$ . 得到极限结果后，再对应到图像中的水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线.

几类常见函数在远处和边界处的行为

幂函数 $y=x^n$ .

![TikZ 图 112](/img/tikz/c20c955dff.svg)

TikZ 图 112

$ 的增长对比} \end{figure} *图：幂函数 $y=x^n$ 与 $y=x^{-n*

当 $n$ 为正整数时, $|x|$ 越大, $|x^n|$ 通常越大;
当 $n$ 为负整数时, $x^n=\dfrac1{x^{-n}}$ , 图像会向 $x$ 轴贴近.

指数函数 $y=a^x$ .

当 $a\>1$ 时，图像向右快速上升，向左贴近 $x$ 轴;
当 $0\<a\<1$ 时，图像向右贴近 $x$ 轴，向左快速上升.

对数函数 $y=\log_a x$ .

![TikZ 图 114](/img/tikz/71c54683e5.svg)

对数函数 $y=\log_a x$ 的两种形态

当 $a\>1$ 时，图像向右缓慢上升，在 $x\to0^+$ 时向下发散;
当 $0\<a\<1$ 时，图像向右缓慢下降，在 $x\to0^+$ 时向上发散.

三角函数 $y=\sin x,\ y=\cos x$ .

![TikZ 图 115](/img/tikz/5e318eb9bf.svg)

TikZ 图 115

*图：三角函数 $y=\sin x$ 的振荡行为*

当 $x\to+\infty$ 时, $\sin x$ 和 $\cos x$ 会一直在 $[-1,1]$ 内振荡. 它们保持有界，趋势却不会稳定到某个常数，所以相关极限不存在.

本节习题

习题

练习

分析函数 $f(x)=\dfrac{3x+5

解

x^2+x+1

$ 在 $x\to\pm\infty$ 处的渐近行为，并绘制其函数图像的示意图. } { 分析函数 $f(x)=\dfrac{2x^2-3x}{x^2-1}$ 的渐近线，包括水平与垂直渐近线，并绘制其函数图像的示意图. }

练习

分析函数 $f(x)=\sqrt{x^2+6x}-x$ 在 $x\to+\infty$ 时的极限，阐述其几何意义并绘制示意图.

解

分析函数 $f(x)=\sqrt{x^2+6x

+x$ 在 $x\to-\infty$ 时的极限，阐述其几何意义并绘制示意图. }

练习

分析函数 $f(x)=\dfrac{x^3

解

(x-1)^2

$ 的渐近线，并绘制其函数图像的示意图. } { 分析函数 $f(x)=\dfrac{x^2+\cos x}{2x^2-\sin x}$ 的水平渐近线，并绘制其示意图. }

练习

分析函数 $f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}

解

e^x+e^{-x

}$ 在 $x\to+\infty$ 与 $x\to-\infty$ 处的极限，绘制示意图以展示其两条不同的水平渐近线. } { 分析函数 $f(x)=\dfrac{\ln(x^2+1)}{x}$ 的水平渐近线，并绘制其示意图. }

练习

分析函数 $f(x)=x(e^{1/x}-1)$ 的水平渐近线，并绘制其示意图.

解

分析函数 $f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^{2x

$ 的水平渐近线，并绘制其示意图. }

练习

分析函数 $f(x)=x+\arctan x$ 的渐近行为. 阐述该函数为何有两条不同的斜渐近线并求出其方程，随后绘制示意图. （请先了解反三角函数，此题可跳过）

解

求函数 $f(x)=\sqrt{4x^2+x

$ 的所有斜渐近线，并绘制其示意图. }

练习

确定常数 $a,b$ 的值，使得 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2+bx}-(ax-1)\right)=3$ , 并说明 $a,b$ 的取值依据.

解

考虑函数 $f(x)=\lim\limits_{n\to\infty

\dfrac{x^{2n+1}+2x}{x^{2n}+1},$ 其中 $n$ 为正整数. 请分段写出 $f(x)$ 的解析式，分析其间断点，并绘制其函数图像的示意图. }

函数的连续性

{/* label: sec:ch14-s04 */}

极限回答的是“靠近某点时函数值趋向哪里”，连续比较这个趋向和该点的函数值. 连续是从极限自然长出来的概念.

连续从哪里长出来

研究函数时，我们已经有了两层信息:

极限记录点附近的变化趋势;
函数值记录该点本身的取值.

若这两层信息一致，图像在该点附近就呈现出连贯状态，这就是连续的直观来源.

若接不上，常见原因有四类:

点上没有函数值;
点上有函数值，但这个值和附近趋势错开了;
左右两侧靠近同一点时走向不同高度;
附近一直振荡或发散，没有形成稳定趋势.

连续性给出了区分这些情形的精确标准.

函数在一点连续的定义

函数在一点的连续性

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 及其某个邻域内有定义. 若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$ 就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续.

这个式子很短，含义却分成三层.

连续的三条条件

函数在 $x_0$ 处连续，需要同时满足:

$f(x_0)$ 有定义;
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在;
$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

把三条条件逐条拆开

这三条条件分别对应连续性的不同侧面.

每一条都在保证什么

第一条保证“点上有落点”. 若 $f(x_0)$ 没有定义，图像在该点就缺少对应点.
第二条保证“靠近时有确定去向”. 若极限不存在，左右错位、振荡或发散都会破坏连续性.
第三条保证“极限值和点值重合”. 若极限值与函数值不同，图像会在该点出现错位.

例

判断函数 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne1, 3, & x=1 \end{cases}"} /> 在 $x=1$ 处是否连续.

解

先检查点值. 由题意, $f(1)=3.$ 接着计算极限. 当 $x\ne1$ 时, $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,$ 所以 $\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2.$ 比较极限值与函数值: $\lim_{x\to1}f(x)=2\ne3=f(1).$ 点上有定义，极限也存在，但两者不相等. 因而函数在 $x=1$ 处不连续.

连续性要拆开逐项检查

判断连续时，要把这三条条件拆开逐项检查. 缺少任何一条，连续性都不能成立. 例如函数 <MathBlock raw={"g(x)= \begin{cases} x+1, & x\ne0, 2, & x=0 \end{cases}"} /> 在 $x=0$ 处满足前两条（有定义且极限存在），但 $\lim\limits_{x\to0}g(x)=1\ne2=g(0)$ , 第三条不满足，所以不连续.

直观图像与严格判断

连续的图像直观很清楚：曲线走到该点附近时，极限值和点值一致. 图像直观很有帮助，但判断时仍要回到定义.

![TikZ 图 116](/img/tikz/91fa959b0b.svg)

TikZ 图 116

*图：连续与几种典型间断情形*

图像直观和数学定义的分工

图像可以帮助我们形成判断，也能帮助发现问题. 严格结论仍然来自 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$ 图像给出方向，定义给出标准.

四类常见的不连续情形

学习连续时，只知道“满足条件叫连续”还不够. 分析问题时，常常是先判断它属于哪一种断开的情形.

四类常见情形

点上无定义: 例如 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处. 极限存在，点上缺少函数值.
左右极限不相等: 例如 $\frac{|x|}{x}$ 在 $x=0$ 处. 左右两侧分别趋向 $-1$ 和 $1$ .
极限不存在: 例如 $\sin\frac1x$ 在 $x=0$ 附近持续振荡，极限不存在；例如 $\frac1x$ 当 $x\to0^+$ 时趋向 $+\infty$ , 当 $x\to0^-$ 时趋向 $-\infty$ , 因而 $x\to0$ 的双边极限不存在.
极限存在但不等于函数值: 例如前面的分段函数 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne1, 3, & x=1 \end{cases}"} /> 在 $x=1$ 处.

这四类情形里，第一类和第四类都和“函数值”有关，第二类和第三类主要看“极限”本身. 所以判断连续时，需要把点值和极限拆开检查.

连续与光滑是两回事

图像接得上，说明函数连续. 图像有没有尖角，属于另一层性质.

例

证明函数 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续.

解

当 $x\to0$ 时, $|x|\to0.$ 又因为 $f(0)=|0|=0,$ 所以 $\lim_{x\to0}|x|=f(0).$ 因而 $|x|$ 在 $0$ 点连续.

它的图像在原点有尖角. 这说明“连续”和“光滑”是两件事. 下一章学习导数时，我们会进一步研究这种区别.

单侧连续与区间上的连续

在分段点和定义域端点处，常常只需要从一侧观察.

左连续与右连续

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义.

若 $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0),$ 就称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续;
若 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0),$ 就称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续.

区间上的连续

若函数在开区间 $(a,b)$ 的每一点都连续，就称它在 $(a,b)$ 上连续;
若函数在 $(a,b)$ 上连续，并且在左端点 $a$ 处右连续，在右端点 $b$ 处左连续，就称它在闭区间 $[a,b]$ 上连续.

连续函数的运算稳定性

连续函数的运算规则

设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，则:

$f(x)\pm g(x)$ 在 $x_0$ 处连续;
$f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处连续;
若 $g(x_0)\ne0$ , 则 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 处连续;
若 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且 $F(u)$ 在 $u=g(x_0)$ 处连续，则复合函数 $F(g(x))$ 在 $x_0$ 处连续.

证明

由连续性定义, <MathBlock raw={"\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),
\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)."} /> 再利用极限的四则运算法则和复合函数的极限思想，可得 $\lim_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=f(x_0)\pm g(x_0),$ $\lim_{x\to x_0}[f(x)g(x)]=f(x_0)g(x_0),$ 以及 <MathBlock raw={"\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x_0)}{g(x_0)} \bigl(g(x_0)\ne0\bigr)."} /> 复合情形同理.

这个结论为什么重要

连续性具有稳定性. 常见函数只要经过有限次四则运算和复合，通常仍然连续. 这就是很多极限题可以直接代入的根本原因.

连续与直接代入法

对于在点 $x_0$ 连续的函数，定义本身就告诉我们 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$ 这就是“直接代入法”的理论基础.

例

计算 $\lim_{x\to2}\left(\sqrt{x+2}+\frac1{x^2+1}\right).$

解

函数 $\sqrt{x+2}$ 在 $x=2$ 附近连续，函数 $\frac1{x^2+1}$ 在全体实数上连续，所以它们的和也在 $x=2$ 处连续. 于是可以直接代入: $\lim_{x\to2}\left(\sqrt{x+2}+\frac1{x^2+1}\right) =\sqrt4+\frac15 =\frac{11}{5}.$

分段函数与端点问题

分段函数的大部分点都在某一段的内部，判断起来和普通函数一样. 需要集中检查的是分界点和定义域端点.

分段函数在分界点处连续的条件

设 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} f_1(x), & x\<x_0, c, & x=x_0, f_2(x), & x\>x_0. \end{cases}"} /> 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，当且仅当 $\lim_{x\to x_0^-}f_1(x)=\lim_{x\to x_0^+}f_2(x)=c.$

证明

$(\Rightarrow)$ : 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=c.$ 双边极限存在意味着左右极限都存在且等于 $c$ . 当 $x\<x_0$ 时, $f(x)=f_1(x)$ , 所以 $\lim_{x\to x_0^-}f_1(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=c.$ 同理，当 $x\>x_0$ 时, $f(x)=f_2(x)$ , 所以 $\lim_{x\to x_0^+}f_2(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=c.$

$(\Leftarrow)$ : 设 $\lim_{x\to x_0^-}f_1(x)=\lim_{x\to x_0^+}f_2(x)=c.$ 则左极限和右极限都等于 $c$ , 双边极限存在: $\lim_{x\to x_0}f(x)=c.$ 又因为 $f(x_0)=c$ , 所以 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$ 即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续.

例

若函数 <MathBlock raw={"f(x)= \begin{cases} x^2+ax+1, & x\<1, 2x+b, & x\ge1 \end{cases}"} /> 在 $x=1$ 处连续，求 $a,b$ 满足的关系.

解

连续要求左极限、右极限和函数值接到一起.

左侧极限为 $\lim_{x\to1^-}f(x)=1+a+1=a+2.$ 因为 $x\ge1$ 时取第二段，所以 $f(1)=2+b, \lim_{x\to1^+}f(x)=2+b.$ 连续条件就是 $a+2=2+b.$ 因而 $a=b.$

判断连续性的检查顺序

判断连续性时，先检查该点是否有定义，再判断该点极限是否存在. 分段函数或端点问题要优先检查左右极限或单侧极限. 极限存在后，再比较极限值与函数值是否相等.

误区与反例

学习连续时最常见的几处误解

有函数值就说明连续：点上有值只解决第一条条件，还要看极限.
极限存在就一定连续：连续还要求点上有定义，并且极限值等于函数值.
图像看起来连着就算严格证明：图像能帮助判断，结论来自定义.
分段函数的分界点不用单独看：分界点和端点正是最需要单独检查的位置.
左右都能算就够了：左右结果还必须相等，才能谈双边极限和连续性.

连续性的作用

连续性已经把"图像接续"变成了可判断的数学条件. 它在后续内容中的作用至少有三个方向:

介值定理和零点存在定理依赖连续性来保证中间高度和方程根的存在;
闭区间上连续函数的最值定理保证最大值和最小值一定能取到;
导数的定义涉及极限 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ , 这一步要求 $f$ 在 $x_0$ 附近有良好的局部行为，连续性是基本前提.

连续性在图像与方程中的作用

{/* label: sec:ch14-s04b */}

连续性一旦建立起来，它的作用立刻会超出“某点接得上”这一件事. 连续会约束图像怎样连接，也会影响某个高度能否取到、曲线在哪一段必定穿过 $x$ 轴、一个方程在某个区间里是否存在解.

连续把零散信息连成一条线

离散的点值只能告诉我们几个孤立位置. 连续性把这些零散信息连接成一整段变化过程. 正是因为图像在中间不能突然断开、跳过某些高度，我们才能得到介值定理和零点存在定理.

中间高度一定会经过

若函数在闭区间上连续，图像从一个端点走向另一个端点时，两端高度之间的每个高度都会出现. 这就是介值定理.

介值定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续. 若 $M$ 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，则存在 $\xi\in(a,b)$ , 使得 $f(\xi)=M.$

证明

设 $f(a)\<M\<f(b).$ 另一种大小次序同理.

令 $S=\{x\in[a,b]\mid f(x)\le M\}.$ 由 $f(a)\<M$ 可知 $a\in S$ , 所以 $S$ 非空. 又因为 $S\subseteq[a,b]$ , 它有上界. 由实数完备性, $S$ 有上确界. 记 $\xi=\sup S.$

先说明 $\xi\in(a,b)$ . 由 $f(a)\<M$ 和 $f$ 在 $a$ 处连续，存在 $\delta_1\>0$ 使得 $[a,a+\delta_1)\subset S$ , 因而 $\xi\>a$ . 由 $f(b)\>M$ 和 $f$ 在 $b$ 处连续，存在 $\delta_2\>0$ 使得 $(b-\delta_2,b]\cap S=\varnothing$ , 因而 $\xi\<b$ .

再说明 $f(\xi)=M$ . 若 $f(\xi)\>M$ , 由连续性存在 $\delta\>0$ , 使 $|x-\xi|\<\delta$ 时 $f(x)\>M$ , 从而 $\xi-\delta$ 是 $S$ 的上界，与 $\xi=\sup S$ 矛盾. 若 $f(\xi)\<M$ , 由连续性存在 $\delta\>0$ , 使 $|x-\xi|\<\delta$ 时 $f(x)\<M$ , 从而存在 $x_0\>\xi$ 满足 $x_0\in S$ , 与 $\xi$ 是上界矛盾. 因此 $f(\xi)=M.$

例

设函数 $f(x)$ 在区间 $[1,3]$ 上连续，且 $f(1)=2, f(3)=5.$ 说明图像一定与直线 $y=4$ 相交.

\begin{BookDiagram}

![TikZ 图 117](/img/tikz/b5087dbbdc.svg)

TikZ 图 117

\end{BookDiagram}

解

数 $4$ 介于 $f(1)=2$ 与 $f(3)=5$ 之间. 由介值定理可知，存在 $\xi\in(1,3),$ 使得 $f(\xi)=4.$ 这就说明函数图像一定与直线 $y=4$ 相交.

图像语言

一段连续曲线从一个高度走到另一个高度时，中间高度都会经过. 这条规则能帮助我们排除很多错误草图. 例如，若已知连续函数 $f$ 满足 $f(1)=2$ 和 $f(5)=-3$ , 那么图像在区间 $(1,5)$ 内至少穿过 $x$ 轴一次；如果草图中这段曲线始终在 $x$ 轴上方，这张图就是错的.

端点异号意味着一定穿过 \texorpdfstring{ $x$

{x} 轴}

在介值定理里取 $M=0,$ 就得到零点存在定理.

零点存在定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)\<0,$ 则存在 $\xi\in(a,b)$ , 使得 $f(\xi)=0.$

证明

由 $f(a)f(b)\<0$ 可知 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号. 不妨设 $f(a)\<0\<f(b)$ （另一种情况同理）.

由介值定理, $M=0$ 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，因而存在 $\xi\in(a,b)$ , 使得 $f(\xi)=0.$

例

证明函数 $f(x)=x^3-2x-5$ 的图像与 $x$ 轴有交点.

\begin{BookDiagram}

![TikZ 图 118](/img/tikz/9ebff11a6a.svg)

TikZ 图 118

\end{BookDiagram}

解

多项式函数在实数范围内连续，所以 $f(x)$ 在区间 $[2,3]$ 上连续.

计算端点值: $f(2)=8-4-5=-1\<0, f(3)=27-6-5=16\>0.$ 因而 $f(2)f(3)\<0.$ 由零点存在定理可知，存在 $\xi\in(2,3),$ 使得 $f(\xi)=0.$ 所以函数图像在区间 $(2,3)$ 内与 $x$ 轴相交.

这个定理提供什么信息

这个定理保证存在性. 根的精确个数、近似位置和唯一性，还需要结合单调性、对称性或导数继续判断.

连续性怎样帮助补草图

很多题目只给出几个关键点和值的正负关系. 连续性可以把这些离散信息连起来.

例

设 $f(x)=x^3-4x+1.$ 利用连续性说明它在区间 $[0,2]$ 内与 $x$ 轴的交点位置.

\begin{BookDiagram}

![TikZ 图 119](/img/tikz/e2ecdf2b54.svg)

TikZ 图 119

\end{BookDiagram}

解

因为 $f(x)$ 是多项式函数，所以它在 $[0,2]$ 上连续.

先看几个关键点: $f(0)=1\>0, f(1)=-2\<0, f(2)=1\>0.$ 由 $f(0)f(1)\<0,$ 可知在区间 $(0,1)$ 内至少有一个零点.

由 $f(1)f(2)\<0,$ 可知在区间 $(1,2)$ 内至少有一个零点.

所以这段连续图像至少要在 $(0,1)$ 内穿过一次 $x$ 轴，还要在 $(1,2)$ 内再穿过一次. 单靠连续性，我们已经能把图像的大致位置压缩到很小的范围内.

连续性和单调性合用时，根的个数更清楚

连续性负责说明“会相交”，单调性负责说明“相交几次”. 这两类信息放在一起时，结论会更强.

例

证明函数 $f(x)=x^3+x-1$ 的图像与 $x$ 轴恰有一个交点.

\begin{BookDiagram}

![TikZ 图 120](/img/tikz/7775469116.svg)

TikZ 图 120

\end{BookDiagram}

解

先看存在性. 因为 $f(x)$ 是多项式函数，所以在 $\mathbb R$ 上连续. 又有 $f(0)=-1\<0, f(1)=1\>0,$ 所以它在 $(0,1)$ 内至少有一个零点.

再看个数. 任取 $x_1\<x_2$ , 则 <MathBlock raw={"\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1) &=(x_2^3+x_2-1)-(x_1^3+x_1-1) &=(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+1). \end{aligned}"} /> 这里 $x_2-x_1\>0, x_1^2+x_1x_2+x_2^2+1\>0,$ 所以 $f(x_2)-f(x_1)\>0.$ 这说明 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上严格递增.

严格递增函数与 $x$ 轴至多有一个交点. 结合前面的存在性结论，可知它与 $x$ 轴恰有一个交点.